Ονοματεπώνυμο Τμήμα. 1. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση

Transcript

1 ΓΕΛ. ΚΑΣΤΡΙΤΣΙΟΥ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 202- Ονοματεπώνυμο Τμήμα ΘΕΜΑ: ΕΜΒΑΔΟΝ ΠΑΡΑΒΟΛΙΚΟΥ ΧΩΡΙΟΥ. Τι ονομάζουμε εμβαδόν ενός επιπέδου σχήματος (χωρίου) και πως υπολογίζεται αυτό; Απάντηση Το πρόβλημα μελετήθηκε από τον Αρχιμήδη ( π.χ) που υπολόγισε τέτοια εμβαδά με τη μέθοδο της εξάντλησης, που αποδίδεται στον Εύδοξο ( π.χ). Προσεγγίζουμε το χωρίο με ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο που το εμβαδόν του είναι ορισμένο. Επιλέγουμε ένα δεύτερο εγγεγραμμένο,που περιβάλλει το πρώτο και έχουμε μία καλύτερη προσέγγιση του χωρίου.συνεχίζοντας όμοια μπορούμε να εξαντλήσουμε όλο το χωρίο και να πάρουμε ως εμβαδόν του το όριο των εμβαδών. Ο Αρχιμήδης εφάρμοσε με επιτυχία τη γενική αυτή μέθοδο για τον κυκλικό δίσκο και για παραβολικά χωρία. Δηλαδή, εγγράφουμε στον κύκλο κανονικό πολύγωνο και διχοτομώντας τα τόξα κατασκευάζουμε κανονικό πολύγωνο με διπλάσιο αριμό πλευρών και συνεχίζοντας κατασκευάζουμε μία ακολουθία εγγεγραμμένων πολυγώνων, με εμβαδά.στη συνέχεια, στις κορυφές κάθε εγγεγραμμένου κανονικού πολυγώνου φέρνουμε εφαπτόμενες και παίρνουμε μία ακολουθία περιγεγραμμένων κανονικών πολυγώνων, με εμβαδά. Η ακολουθία είναι αύξουσα και φραγμένη, ενώ η ακολουθία είναι φθίνουσα και φραγμένη. Επομένως συγκλίνουν και μάλιστα αποδεικνύεται, έχουν το ίδιο όριο, που ονομάζεται εμβαδόν κυκλικού δίσκου. Οπότε lim lim 2. Από τον παραπάνω ορισμό μπορούμε να οδηγηθούμε στην ιδέα να εφαρμόσουμε κάτι ανάλογο για να υπολογίσουμε το εμβαδό του παραβολικού χωρλιου, που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της 2 f ( ), τις ευθείες =0, = και τον άξονα. Σχήμα (α) Σχήμα (α) Σχήμα (β) Χωρίζουμε το διάστημα 0, σε 4 ίσα διαστήματα...,...,...,...,...,...,...,.... Με βάσεις τα μήκη των υποδιαστημάτων αυτών και ύψη τις τιμές της συνάρτησης στα αριστερά άκρα τους κατασκευάζουμε ορθογώνια, όπως στο σχήμα (β). Τα ορθογώνια αυτά ορίζουν ένα πολύγωνο που περιέχεται στο χωρίο και έχει εμβαδόν.

2 Σχήμα (γ) Με βάσεις τα μήκη των υποδιαστημάτων αυτών και ύψη τις τιμές της συνάρτησης στα δεξιά άκρα τους κατασκευάζουμε ορθογώνια, όπως στο σχήμα (γ). Τα ορθογώνια αυτά ορίζουν ένα πολύγωνο που περιέχεται στο χωρίο και έχει εμβαδόν Οπότε για το ζητούμενο έμβαδόν Ε θα ισχύει: Ας δούμε με τον βιντεοπροβολέα, καθώς επιλέγουμε με τον δρομέα n=4,5,6,.. και παρακολουθούμε το άθροισμα των εμβαδών στις ενδείξεις κάτω άθροισμα και πάνω άθροισμα.επίσης με το κουμπί Διαφορά παρατηρούμε τη διαφορά των εμβαδών.

3 4. Έστω ότι θέλουμε να βρούμε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από 2 τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f ( ), τον άξονα των και τις ευθείες =0, =. Χωρίζουμε το διάστημα 0, σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους άκρα τα σημεία:...,...,...,...,..., , με Σχηματίζουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα υποδιαστήματα αυτά και ύψη την ελάχιστη τιμή της f σε καθένα από αυτά (Σχήμα 2 ). Μια προσέγγιση του εμβαδού που ζητάμε είναι το άθροισμα,, των εμβαδών των παραπάνω ορθογωνίων. Δηλαδή, το: ( ) 2 2 ) (Γνωρίζουμε ότι: Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα και ύψη την μέγιστη τιμή της f σε (Σχήμα ) καθένα απ αυτά τότε το άθροισμα

4 των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού. Είναι ) όμως, (Γνωρίζουμε ότι: Το ζητούμενο, όμως, εμβαδόν Ε βρίσκεται μεταξύ των..., οπότε lim lim. Επειδή lim... lim, έχουμε... και. Δηλαδή ισχύει 5. Αν, τώρα, σχηματίσουμε τα ορθογώνια με βάσεις τα παραπάνω υποδιαστήματα,2,..., και ύψη την τιμή της συνάρτησης σε οποιοδήποτε ενδιάμεσο σημείο,,2,...,, καθενός διαστήματος, (Σχήμα 4), τότε το άθροισμα S f των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι μια ακόμη προσέγγιση του ζητούμενου εμβαδού.,, f για,2,..., Επειδή οπότε θα ισχύει S, θα είναι f... f... Είναι όμως, lim lim. Άρα θα ισχύει lim.... S 6. Ορισμός εμβαδού.έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα,, με f( ) 0για κάθε, τον άξονα των και τις ευθείες και Ω το χωρίο που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της f,,.

5 Για να ορίσουμε το εμβαδόν του χωρίου Ω (Σχήμα 5) εργαζόμαστε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα. Δηλαδή: ωρίζουμε το διάστημα σε, ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους σημεία , με τα Σε κάθε υποδιάστημα S επιλέγουμε αυθαίρετα ένα σημείο και σχηματίζουμε τα ορθογώνια που έχουν βάση και ύψη τα f ( ). Το άθροισμα των εμβαδών των ορθογωνίων αυτών είναι, f( ) Yπολογίζουμε το lim S. Αποδεικνύεται ότι το lim S υπάρχει στο και είναι ανεξάρτητο από την επιλογή των σημείων. Το όριο αυτό ονομάζεται εμβαδόν του επίπεδου χωρίου Ω και συμβολίζεται με ( ). Είναι φανερό ότι ( ) Η έννοια του ορισμένου ολοκληρώματος Έστω μια συνάρτηση συνεχής στο., Με τα σημεία χωρίζουμε το διάστημα, σε ν ισομήκη... υποδιαστήματα μήκους., για κάθε,2,..., και σχηματίζουμε Στη συνέχεια επιλέγουμε αυθαίρετα ένα, το άθροισμα S f ( ) f ( ) το οποίο συμβολίζεται, σύντομα, ως εξής: S f( )

6 Αποδεικνύεται ότι, Το όριο του αθροίσματος S, δηλαδή το f ανεξάρτητο από την επιλογή των ενδιάμεσων σημείων lim ( ( ) ) () υπάρχει στο και είναι. Το παραπάνω όριο () ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνεχούς συνάρτησης f από το α στο β, συμβολίζεται με f ( ) d και διαβάζεται ολοκλήρωμα της f από το α στο β. Δηλαδή f ( ) d lim ( f ( ) ). 8. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα Μια συνάρτηση f έχει την παραπάνω γραφική παράσταση και είναι δυο φορές παραγωγίσιμη στο με συνεχή δεύτερη παράγωγο. Είναι: Επιλογή μίας απάντησης. Α. Β. Γ. Παράδειγμα 2 Για την ίδια συνάρτηση της προηγούμενης ερώτησης είναι: Επιλογή μίας απάντησης. Α. Β. Γ. Παράδειγμα

7 Στο παραπάνω σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης, για. Το ολοκλήρωμα υπολογιζόμενο κατά τα γνωστά είναι ίσο με. Αν προσεγγίσουμε το με τη διαμέριση που δείχνει το σχήμα, τότε: Επιλογή μίας απάντησης. Α. Β. Γ. 9. ΑΣΚΗΣΗ Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα, όπου και να εξηγήσετε γεωμετρικά το αποτέλεσμα.