3. ΚΙΝΗΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOULLI Κίνηση σωµατιδίων ρευστού

Transcript

1 . ΚΙΝΗΣΗ ΡΕΥΣΤΟΥ-ΕΞΙΣΩΣΗ BERNOLLI Κίνηση σωµατιδίων ρευστού ύναµη, επιτάχυνση F mα εφαρµογή στην κίνηση σωµατιδίου εύτερος νόµος του NEWTON Επιτάχυνση F mα ΒΑΣΙΚΕΣ ΠΑΡΑ ΟΧΕΣ Ρευστά χωρίς ιξώδες Πίεση-Βαρύτητα Συστήµατα συντεταγµένων x,y,z r,θ,z Μόνιµη ροή 0 t

2 Προσδιορισµός της επιτάχυνσης ds dt d α αn, αs dt d ds α s dt s dt s αn R Rακτίνα καµπυλότητας της ροϊκής γραµµής sαπόσταση από κάποιο αρχικό αυθαίρετο σηµείο κατά µήκος µιάς ροϊκής γραµµής

3 Προσδιορισµός των δυνάµεων ιάγραµµα «Ελευθέρου Σώµατος» για ένα ροϊκό σωµατίδιο

4 Fmα κατά µήκος µίας Ροϊκής Γραµµής Για µόνιµη ροή η εφαρµογή του ου νόµου του Newton στη διεύθυνση s δίνει: δ F s δm s ρδv s () Η συνιστώσα του βάρους στην διεύθυνση µίας ροϊκής γραµµής εξαρτάται από τη γωνία της ροϊκής γραµµής δ W s δw sin γδv sin Η τελική δύναµη λόγω πίεσης προσδιορίζεται από την κλίση (βαθµίδα) πίεσης p δf ps δv s

5 (συνέχεια) Fmα κατά µήκος µίας Ροϊκής Γραµµής Η εξίσωση () γίνεται: γ sin p s ρ s ρα s που από φυσική άποψη,σηµαίνει ότι η µεταβολή της ταχύτητας του ροϊκού σωµατιδίου εξαρτάται απο την κλίση πίεσης και από το βάρος του σωµατιδίου κατά µήκος της ροϊκής γραµµής

6 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Εξετάζουµε την µη συνεκτική, ασυµπίεστη, µόνιµη ροήκατά µήκος της ροϊκής γραµµής Α-Β µπροστά από µία σφαίρα ακτίνας α. Η ταχύτητα ροής κατά µήκος της ροϊκής αυτής γραµµής δίνεται από τη σχέση α 0 + x Να προσδιορισθεί η µεταβολή της πίεσης από το σηµείο Α µακριά από τη σφαίρα (x A - και A 0 ) στο σηµείο Β επάνω στη σφαίρα (x B -α και B 0)

7 ΑΠΘ ΠΟΛ. ΜΗΧ. Λύση Ισχύει η εξίσωση (Ροή µη συνεκτική, µόνιµη και sin0) Με τη δεδοµένη σχέση για την ταχύτητα, ο όρος της επιτάχυνσης γράφεται s s p ρ x x x x x s α α + α α + Προκύπτει ότι,δηλαδή το ρευστό επιβραδύνεται 0 x < Εποµένως 4 0 x x x p α + ρα Το σχήµα (b) δείχνει τη µεταβολή του p/ x κατά µήκος της γραµµής και το (c) τη µεταβολή της πίεσης (συνέχεια)

8 Ηεξίσωση () γράφεται όπως: dz γ ds dp ds απλοποιείται σε ( ) d ρ ds dp + ρ d( ) +γ dz 0 και µε ολοκλήρωση γίνεται dp + ρ + gz c ρ (cσταθερά ολοκλήρωσης) Για ρσταθερό (ασυµπίεστη ροή) έχουµε την εξίσωση Bernoulli p + ρ + γz σταθερό (κατά µήκος µίας ροϊκής γραµµής)

9 Ηεξίσωση Bernoulli µπορεί να γραφεί και µε µορφή «φορτίων» p γ + g + z σταθερό (κατά µήκος µίας ροϊκής γραµµής) p γ πιεζοµετρικό «φορτίο» g «φορτίο» ταχύτητας z δυναµικό «φορτίο»

10 Fmα κάθετα σε µία Ροϊκή Γραµµή Εφαρµογή του ου νόµου του Newton στη διεύθυνση n για µόνιµη ροή: δf s δm R ρδv R Η συνιστώσα του βάρους στη διεύθυνση n είναι δ W n δw cos γδv cos Η συνιστώσα της δύναµης λόγω πίεσης στη διεύθυνση n είναι p δf pn δv n

11 (συνέχεια) Fmα κάθετα σε µία Ροϊκή Γραµµή Η εξίσωση () γίνεται: γδv cos p n δv ρδv R ή γ dz dn p n ρ R που από φυσική άποψη,σηµαίνει ότι η µεταβολή της διεύθυνσης της ροής ενός σωµατιδίου οφείλεται στη βαθµίδα πίεσης και το βάρος του σωµατιδίου στη διεύθυνση n

12 Για αµελητέα βαρύτητα ή οριζόντια ροή έχουµε: p ρ n R * αύξηση της πίεσης µε την απόσταση από το κέντρο καµπυλότητας Ολοκλήρωση στη διεύθυνση n δίνει dp ρ R + dn + gz σταθερό κάθετα σε µία ροϊκή γραµµή Για µόνιµη, ασυµπίεστη, µη συνεκτική ροή έχουµε p + ρ dn + gz R σταθερό (κάθετα σε µία ροϊκή γραµµή)

13 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Στο σχήµα φαίνονται δύο ροϊκά πεδία µε κυκλικέςροϊκέςγραµµές. Οι κατανοµές της ταχύτητας δίνονται από τις σχέσεις () r C r για την (α) και () r C r για την (β) C,C σταθερές Να προσδιορισθεί η κατανοµή της πίεσης pp(r) για κάθε περίπτωση µε δεδοµένο ότι pp 0 στη θέση rr 0.

14 (συνέχεια) Λύση H εξίσωση που ισχύει είναι p r ρ r Για την (α) η εξίσωση δίνει και για την (β) p r ρc r r p ρc r Και στις δύο περιπτώσεις η p αυξάνει µε αύξηση του r p r > 0 Με ολοκλήρωση έχουµε p ρc Η (α) αντιστοιχεί σε κίνηση στερεού σώµατος p ρc ( r r ) + p ( α) r0 0 r 0 + p 0 ( β) Η (β) αντιστοιχεί σε ελεύθερη «δίνη» (λαίλαπα-tornado)

15 Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση Μετατροπή της κινητικής ενέργειας της ροής σε «ανύψωση πίεσης» (α) pθερµοδυναµική πίεση (Στατική) p γh + p γh (β) γzυδροστατική πίεση (λόγω µεταβολήs υψοµέτρου) (γ) ρ δυναµική πίεση () Σηµείο ανακοπής 0 (ρευστό στο σωλήνα ακίνητο)

16 (συνέχεια) Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση p + p ρ Σηµείο ανακοπής σε κάθε σώµα που βρίσκεται µέσα στη ροή p ολ p + ρ + γz κατά µήκος ροϊκής γραµµής σταθερή

17 (συνέχεια) Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση Στατική Πίεση Ολική Πίεση p p p 4 p + ρ p p p 4 ( p p ) ρ ρ 4 Ταχύτητα

18 (συνέχεια) Στατική- υναµική Πίεση-Ολική (Πίεση Ανακοπής) Πίεση Σωστός σχεδιασµός για την ακριβή µέτρηση της στατικής πίεσης Κατανοµή πίεσης κατά µήκος ενός σώµατος βυθισµένου στη ροή Περιοχή µε p<p στατικής

19 Εφαρµογές της εξίσωσης Bernoulli (α) Ροή από Στόµιο Ελεύθερες φλέβες (jets) z γh h, z 0, V 0, p 0 (Σχετική πίεση), p 0 (Ελεύθερη πίεση) ρv V gh Στο σηµείο 5 V g( h + H)

20 (β) Οριζόντια ροή Μεταβολή της ταχύτητας της εκροής V <V <V V µέσο Εφαρµογές της εξίσωσης Bernoulli Επίδραση vena contracta d j <d h vena contracta Στην έξοδο της φλέβας R< p > p p 0 Οµοιόµορφη Ταχύτητα στη διατοµή α-α C c συντελεστής συστολής C c A j /A h

21 Χρήση Εξίσωσης Bernoulli και Εξίσωσης Συνεχείας Παροχή µάζας m ρ Q,Qπαροχή όγκου Q Vol VAδt δt δt VA Vταχύτητα m ρ VA m m ρ VA ρ VA VA VA A για A V V

22 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ Νερό εκρέει από δεξαµενή διαµέτρου D.0m µέσω µιαςοπήςδιαµέτρου 0.m. Να προσδιορισθεί η παροχή Q αντοβάθοςροήςστηδεξαµενή παρα- µένει σταθερό h.0m. ΛΥΣΗ Για µόνιµη, µη συνεκτική και ασυµπίεστη ροή η εξίσωση Bernoulli εφαρ- µόζεται µεταξύ των () και () και δίνει p + ρ +γ z p + ρ +γz ()

23 (συνέχεια) Με τις παραδοχές p p 0 και z h, z 0 η εξίσωση () γίνεται + gh () Η αρχή της διατήρησης της µάζας δίνει Q Q όπου QA Εποµένως D d d π π ή () 4 4 D

24 (συνέχεια) Από () και () Q gh d D A A 6.6 m / s m ' Αν υποθέσουµε 0 και και Q ο A / s Το σφάλµα από την υπόθεση αυτή µπορεί να υπολογισθεί από το λόγο των παροχών Q/Q ο gh

25 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 4 Αέρας από µία κλειστή δεξαµενή εκρέει στην ατµόσφαιρα µέσω ενός σωλήνα (D0.0m) που στην άκρη έχει ακροφύσιο (d0.0m).η πίεση στη δεξαµενή παραµένει σταθερή και ίση.0kpa. Να υπολογισθεί η παροχή του αέρα και η πίεση στο σωλήνα. ΛΥΣΗ Εφαρµογή της εξίσωσης Bernoulli δίνει p + ρ +γ z p + ρ +γ z p + ρ +γz Με τις παραδοχές z z z, 0 (µεγάλη δεξαµενή) και p 0 (ατµοσφαιρική πίεση) η εξίσωση γίνεται p και p p ρ ρ

26 (συνέχεια) Για ρ αέρα.6kg/m έχουµε 69 m/s και QΑ 5.4*0 - m /s Η ταχύτητα είναι A / (d/d) 7.67 m/s και η πίεση p 96N/m (Pa)

27 Το Φαινόµενο της Σπηλαίωσης Αύξηση της ταχύτητας Μείωση της πίεσης Σπηλαίωση pp ατµών Βρασµός Σωλήνας σπηλαίωσης

28 Γραµµή ενέργειας και πιεζοµετρική γραµµή Γραφική απεικόνιση της εξίσωσης Bernoulli Γραµµή ενέργειας: η γραµµή που δείχνει τη συνολική ενέργεια του ρευστού Πιεζοµετρική γραµµή: η γραµµή που δείχνει το πιεζοµετρικό φορτίο p/γ κατά µήκος της ροϊκής γραµµής(σωλήνα) Για ροή κάτω από την πιεζοµετρική γραµµή, η πίεση p είναι αρνητική

29 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 5 Νερό ρέει στο σωλήνα του σχήµατος. Η µέτρησητηςστατικήςπίεσηςστιςδιατο- µές () και () γίνεται µεέναµανόµετρο τύπου που περιέχει λάδι πυκνότητας µικρότερης από αυτή του νερού. Να προσδιορισθεί η ένδειξη του µανόµετρου. ΛΥΣΗ Θεωρώντας ροή µόνιµη, ασυµπίεστη και µη συνεκτική η εξίσωση Bernoulli γράφεται + ρ + γz p + ρ + γz p () Η εξίσωση συνεχείας γράφεται Q A A () Η διαφορά πίεσης (p -p ) από το µανόµετρο είναι ( ) p γ z z γl γ h+ρ gh+γ l p µαν ( ) ( νερ µαν ) p p γ z z + ρ ρ gh()

30 (συνέχεια) Από (),() και () έχουµε: A ρ ρ gh ρ ή A ( νερ µαν ) A Q A h A ρ g ρ µαν νερ Το h ανεξάρτητο της γωνίας θ

31 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 6 Να προσδιορισθεί το µέγιστο ύψος Η του σωλήνα έτσι ώστε να µην εµφανισθεί σπηλαίωση στο σωλήνα. ΛΥΣΗ ΗεξίσωσηBernoulli γιατασηµεία (), () και () γράφεται: p + ρ + γz p + p + ρ + γz () ρ + γz Με επίπεδο αναφοράς τον πυθµένα της δεξαµενής έχουµε: z 5m,z H,z.5m, 0 ( µεγάλη δεξαµενή) p 0 ( ατµοσφαιρικήπί εση) p 0 ( ελεύθερηφλέ βα) ( ), p.8*0 0.*0 99.0kPa

32 (συνέχεια) Από () έχουµε: ( ) g z z 0.77m/s Από () έχουµε: γ z p + ρ +γz 980*4.5 99* * H H 8.46m