ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αναθεωρημένη Πρώτη Εκδοση

Transcript

1 ΨΗΦΙΑΚΗ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΡΧΕΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αναθεωρημένη Πρώτη Εκδοση Μάνος Ρουµελιώτης, Καθηγητής, Πανεπιστήµιο Μακεδονίας. Σταύρος Σουραβλάς, Λέκτορας, Πανεπιστήµιο Μακεδονίας. ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ

2 Τίτλος πρωτοτύπου : Ψηφιακά Σχεδίαση : Αρχές και Εφαρµογές, Μάνος Ρουµελιώτης, Σταύρος Σουραβλάς Αποκλειστικότητα για την ελληνική γλώσσα : ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ Κεντρικό : Φιλίππου 91, Τ.Κ , Τηλ , , Fax Αρµενοπούλου 23, Τ.Κ Θεσσαλονίκη, Τηλ./Fax Υποκατάστηµα : Κων. Μελενίκου 3, Τ.Κ , Τηλ , Fax Internet: info@tziola.gr Κατάστηµα Αθηνών : Πεσµαζόγλου 5 (Πανεπιστηµίου 39) ΣΤΟΑ ΤΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ - Αρσάκειο Μέγαρο Κατάστηµα 18,105 64, Τηλ./Fax Copyright Copyright c 2013 ΕΚ ΟΣΕΙΣ ΤΖΙΟΛΑ c 2013 TZIOLAS PUBLICATIONS ISBN Απαγορεύεται η αναπαραγωγή οποιουδήποτε τµήµατος του ϐιβλίου µε οποιοδήποτε µέσο ( ϕωτοτυπία, εκτύπωση, µικροφίλµ, αποθήκευση σε αρχείο πληροφοριών ή άλλη µηχανική ή ηλεκτρονική µέθοδο) χωρίς την έγγραφη άδεια του εκδότη. No part of this publication may be reproduced or distributed in any form or by any means, or stored in data base or retrieval system, without the prior written permission of the publisher.

3 Περιεχόµενα ΠΡΟΛΟΓΟΣ 1 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ-ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΕΚΑ ΙΚΟ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ 2 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΧΟΥΝ ΩΣ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΙΑΙΡΕΣΗ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΒΑΣΗ ΜΕΙΟΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΒΑΣΗ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΩΝ ΥΑ ΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΟΣΗΜΑΣΜΕΝΟΥΣ ΥΑ ΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΤΗΣ ΥΠΟ ΙΑΣΤΟΛΗΣ ΥΑ ΙΚΟΙ ΚΩ ΙΚΕΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Η ΑΛΓΕΒΡΑ BOOLE ΑΞΙΩΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΡΑΙΟΤΗΤΑ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ BOOLE ΛΟΓΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΟΛΟ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ BOOLE ΛΟΓΙΚΕΣ ΠΥΛΕΣ ΠΥΛΕΣ ΥΟ ΕΙΣΟ ΩΝ ΙΚΑΝΟΤΗΤΑ ΟΡΙΣΜΟΥ ΑΛΛΩΝ ΜΟΡΦΩΝ ΑΛΓΕΒΡΑΣ BOOLE ΙΑΣΥΝ ΕΣΗ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΛΟΓΙΚΩΝ ΠΥΛΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ iii

4 iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 3.3 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΛΟΓΙΚΗ ΣΥΖΕΥΞΗΣ ΕΚΠΟΜΠΩΝ (ECL) ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΑ ΛΟΓΙΚΗ ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ-ΤΡΑΝΖΙΣΤΟΡ (TTL) ΜΟΝΟΠΟΛΙΚΕΣ ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΕΞΟ ΟΙ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΣΥΛΛΕΚΤΗ ΚΑΙ ΠΥΛΕΣ ΤΡΙΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΚΑΙ ΣΥΣΚΕΥΕΣ TTL ΥΠΟ-ΟΙΚΟΓΕΝΕΙΕΣ TTL ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΧΡΗΣΗΣ ΤΩΝ ΠΥΛΩΝ TTL ΤΥΠΟΠΟΙΗΜΕΝΑ TTL ΤΣΙΠ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΛΟΓΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΚΑΝΟΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΠΡΟΤΥΠΕΣ ΜΟΡΦΕΣ ΧΑΡΤΕΣ KARNAUGH ΜΟΡΦΗ ΤΟΥ ΧΑΡΤΗ KARNAUGH ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΧΑΡΤΕΣ KARNAUGH Α ΙΑΦΟΡΟΙ ΟΡΟΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΥΛΕΣ ΟΧΙ-ΚΑΙ ΚΑΙ ΟΥΤΕ ΚΙΝ ΥΝΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ QUINE McCLUSKEY ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ QUINE McCLUSKEY ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΚΑΛΥΨΗΣ Α ΙΑΦΟΡΟΙ ΟΡΟΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΩΝ ΕΞΟ ΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΕΛΕΓΧΟΣ ΙΑ ΟΣΗΣ ΣΗΜΑΤΟΣ ΜΕ ΧΡΗΣΗ ΠΥΛΩΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΜΕ ΠΥΛΕΣ ΟΧΙ-ΚΑΙ ΚΑΙ ΟΥΤΕ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ-ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΤΕΣ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ-ΑΠΟΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ ΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ ΑΠΟΠΟΛΥΠΛΕΚΤΕΣ ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ ΗΜΙΑΘΡΟΙΣΤΕΣ ΠΛΗΡΕΙΣ ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ-ΑΦΑΙΡΕΤΕΣ ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ ΜΕ ΠΡΟΒΛΕΨΗ ΚΡΑΤΟΥΜΕΝΟΥ ΑΘΡΟΙΣΤΕΣ BCD ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗΣ- ΙΟΡΘΩΣΗΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΑΡΤΙΑΣ ΙΣΟΤΙΜΙΑΣ ΚΥΚΛΩΜΑ HAMMING ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΕΣ ΙΑΤΑΞΕΙΣ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΝ ΑΛΩΤΕΣ ΜΑΝ ΑΛΩΤΕΣ ΜΙΑΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ v ΜΑΝ ΑΛΩΤΕΣ ΥΟ ΣΤΑΘΕΡΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ FLIP FLOP SR FLIP FLOP D FLIP FLOP JK FLIP FLOP T FLIP FLOP ΠΙΝΑΚΑΣ ΙΕΓΕΡΣΗΣ ΤΩΝ FLIP FLOP FLIP FLOP ΑΦΕΝΤΗ-ΣΚΛΑΒΟΥ ΖΗΤΗΜΑΤΑ ΧΡΟΝΙΣΜΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΗΧΑΝΕΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΜΗΧΑΝΕΣ MEALY ΚΑΙ MOORE ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΙΣΟ ΥΝΑΜΙΑ ΜΗΧΑΝΩΝ MEALY ΚΑΙ MOORE ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΑ ΒΑΣΙΚΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΙΝΑΚΕΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΠΙΝΑΚΕΣ ΙΕΓΕΡΣΗΣ ΛΟΓΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΛΟΓΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΑ ΙΑΓΡΑΜΜΑΤΑ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ ΤΩΝ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΘΕΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΕΝΑ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ : ΓΙΑΤΙ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ ΜΙΑ ΚΑΛΗ ΑΝΑΘΕΣΗ; ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΑΝΑΘΕΣΗΣ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΤΕΛΩΣ ΟΡΙΣΜΕΝΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΛΜΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΤΟ ΠΑΛΜΙΚΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΑΛΜΙΚΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΑΛΜΙΚΩΝ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗ: ΜΕΤΑΤΡΟΠΗ ΜΑΝ ΑΛΩΤΗ SR ΣΕ D ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩ ΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩ ΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩ ΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΘΕΜΕΛΙΩ ΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥ ΒΑΣΙΚΗ ΙΑ ΙΚΑΣΙΑ ΣΧΕ ΙΑΣΗΣ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΑΝΑΘΕΣΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΕΩΝ ΚΙΝ ΥΝΟΙ ΣΤΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΑ ΘΕΜΕΛΙΩ ΟΥΣ ΤΡΟΠΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΕΙΣΑΓΩΓΗ

6 vi ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 10.2 ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΑΣΥΓΧΡΟΝΟΙ ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΜΕ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΦΟΡΤΩΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΜΕΤΡΗΤΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΜΕΤΡΗΤΩΝ ΣΥΝΟΨΗ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΠΑΡΑΛΛΗΛΗΣ ΦΟΡΤΩΣΗΣ ΜΕ ΕΛΕΓΧΟ ΦΟΡΤΩΣΗΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΕΝΑ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΩΝ ΟΛΙΣΘΗΣΗΣ ΜΕΤΡΗΤΕΣ ΑΚΤΥΛΙΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Η ΓΛΩΣΣΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΩΝ (RTL) ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΗΣ RTL ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΕΣ ΤΗΣ RTL ΤΥΠΟΙ ΜΙΚΡΟΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΣΥΝΘΗΚΕΣ ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΜΙΚΡΟΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΜΙΚΡΟΛΕΙΤΟΥΡΓΙΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ RTL ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΠΟΛΥΠΛΟΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ BOOTH ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ ΜΕ ΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΤΕΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ΙΑΙΡΕΤΕΣ ΣΥΓΚΡΙΤΕΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΥΣΚΕΥΕΣ ΜΝΗΜΗΣ Η ΜΝΗΜΗ ΤΥΧΑΙΑΣ ΠΡΟΣΠΕΛΑΣΗΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΚΑΙ ΙΕΥΘΥΝΣΙΟ ΟΤΗΣΗ ΜΝΗΜΗΣ ΑΠΟΚΩ ΙΚΟΠΟΙΗΣΗ ΙΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΝΗΜΗΣ ΑΝΙΧΝΕΥΣΗ ΚΑΙ ΙΟΡΘΩΣΗ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΤΥΠΟΙ ΜΝΗΜΗΣ RAM ΜΝΗΜΗ ΑΝΑΓΝΩΣΗΣ ΜΟΝΟ (ROM) ΟΡΓΑΝΩΣΗ ΜΝΗΜΗΣ ROM ΥΛΟΠΟΙΗΣΗ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΕ ROM ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΕΣ ROM ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΤΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΤΟΥ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΤΗ ΓΛΩΣΣΑ ΜΗΧΑΝΗΣ

7 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ vii 14.4 ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΤΟΥ Α ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΚΑΤΑΧΩΡΗΤΕΣ ΤΟΥ Α Ο ΚΥΚΛΟΣ ΑΝΑΚΛΗΣΗΣ-ΕΚΤΕΛΕΣΗΣ ΕΝΤΟΛΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΙΚΡΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΡΧΕΣ ΜΙΚΡΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟ ΟΙ ΥΛΟΠΟΙΗΣΗΣ ΤΗΣ ΜΟΝΑ ΑΣ ΕΛΕΓΧΟΥ ΜΙΚΡΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΗ ΜΟΝΑ Α ΕΛΕΓΧΟΥ ΤΟΥ Α ΜΙΚΡΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΩΝ ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΗ ΛΟΓΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΟΣ ΛΟΓΙΚΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ (PLA) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΛΟΓΙΚΗΣ (PAL) ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΗ ΣΥΣΚΕΥΗ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ (SPLD) ΕΠΙ ΤΟΠΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΖΟΜΕΝΟΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΥΛΩΝ (FPGA) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΧΕ ΙΑΣΗ ΜΕ HDL ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ HDL Η ΓΛΩΣΣΑ VHDL ΓΕΝΙΚΑ ΟΝΤΟΤΗΤΕΣ ΚΑΙ ΑΡΧΙΤΕΚΤΟΝΙΚΕΣ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΙΜΩΝ ΣΕ ΣΗΜΑΤΑ ΑΛΛΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΥΠΟΣΤΗΡΙΚΤΙΚΕΣ ΟΜΕΣ ΤΥΠΟΙ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΕΚΦΡΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΣ ΜΕ ΤΗ ΓΛΩΣΣΑ VHDL ΑΛΓΟΡΙΘΜΙΚΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΣ ΡΟΗΣ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΟΜΙΚΕΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΕΣ ΜΟΝΤΕΛΑ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΓΛΩΣΣΑ VHDL ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΥΝ ΥΑΣΤΙΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΚΟΛΟΥΘΙΑΚΩΝ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΜΟΝΤΕΛΑ ΣΕ ΕΠΙΠΕ Α ΑΦΑΙΡΕΤΙΚΗΣ ΙΕΡΑΡΧΙΑΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΥΚΛΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΓΛΩΣΣΑ VHDL ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΗ ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΟΙ ΚΑΙ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α : ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΩΝ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 699 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΛΕΞΙΚΟ ΟΡΩΝ 821 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Γ: ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΩΝ-ΑΓΓΛΙΚΩΝ ΟΡΩΝ 829 ΕΥΡΕΤΗΡΙΟ 833

8 viii

9 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η ψηφιακή σχεδίαση έχει ως αντικείµενο τη σχεδίαση ψηφιακών ηλετρονικών κυκλωµάτων. Το ϑέµα αυτό είναι γνωστό και µε άλλα ονόµατα όπως ψηφιακά κυκλώµατα, ψηφιακή λογική, ψηφιακά συστήµατα, ή λογική σχεδίαση. Τα ψηφιακά κυκλώµατα χρησιµοποιούνται ευρέως στη σχεδίαση συστηµάτων όπως είναι ο υπολογιστής, τα συστήµατα µετάδοσης δεδοµένων και τα συστήµατα ελέγχου. Η σχεδίαση ψηφιακών συστηµάτων έχει διάρκεια Ϲωής λιγότερο από 80 χρόνια, αλλά η εξέλιξή της ήταν ϱαγδαία κατά τη διάρκεια των ετών αυτών. Ξεκινώντας από χειροκίνητες σχεδιάσεις των δοµικών στοιχείων, έχουµε ϕθάσει στην πλήρη λειτουργική σχεδίαση µε ηλεκτρονικούς επεξεργαστές και την αυτοµατοποιηµένη παραγωγή των ηλεκτρονικών σχεδιαγραµµάτων ενός συστήµατος. Το ϐιβλίο αυτό προσπαθεί να περιλάβει το πλήρες ϕάσµα σχεδίασης, από τις διακριτές πύλες, µέχρι την αλγοριθµική υλοποίηση µε γλώσσες περιγραφής υλικού. Ταυτόχρονα, ϕιλοδοξεί να καλύψει ένα κενό στην Ελληνική ϐιβλιογραφία, επειδή η διδασκαλία της ψηφιακής σχεδίασης ϐασιζόταν κυρίως σε µεταφρασµένα ϐιβλία, που πολλές ϕορές έχουν εκδοθεί πριν από δεκαετίες. Αν και οι σηµερινή τεχνολογία προσφέρει πολλούς αυτοµατοποιηµένους τρόπους σχεδίασης ψη- ϕιακής λογικής που ϐοηθούν πολύ την ταχεία ανάπτυξη, έλεγχο και προτυποποίηση των κυκλωµάτων, οι ϐασικές αρχές της δεν έχουνε αλλάξει πολύ. Αυτό οφείλεται στο γεγονός ότι η σχεδίαση ακολουθεί την άλγεβρα του Boole, η απλότητα της οποίας οδηγεί σε επίσης απλούς κανόνες εφαρµογής και εργαλεία. Βεβαίως, κατά τις τελευταίες δεκαετίες υπήρξε µια µετατόπιση από τη λεπτοµερή σχεδίαση σε επίπεδο πυλών, προς την σχεδίαση µε ολοκληρωµένα µεγάλης κλίµακας, ακόµα και για µικρά και απλά κυκλώµατα. Παρόλα αυτά, η χρήση εξελιγµένων εργαλείων σχεδίασης χωρίς τη γνώση των ϐασικών κανόνων οµοιάζει µε την χρήση αριθµοµηχανής χωρίς γνώσεις των αριθµητικών πράξεων. Για τον λόγο αυτό, ένα ολοκληρωµένο ϐιβλίο σχεδίασης ϑα πρέπει να καλύπτει τόσο την ϑεωρία στην οποία ϐασίζεται η σχεδίαση, όσο και τη µεθοδολογία αυτής, αλλά και τη χρήση των σύγχρονων εργαλείων. Ξεκινώντας, εποµένως από την ψηφιακή αριθµητική και την άλγεβρα του Boole, το ϐιβλίο δεν απαιτεί ιδιαίτερες προηγούµενες γνώσεις από τον αναγνώστη. Μπορεί λοιπόν να χρησιµοποιηθεί τόσο από ϕοιτητές τµηµάτων πληροφορικής που ασχολούνται µόνο µε τις ϐασικές αρχές ανάλυσης και σχεδίασης ψηφιακών συστηµάτων, όσο και από τους ϕοιτητές των τµηµάτων Μηχανικών Υπολογιστών, οι οποίοι ϑα προχωρήσουν στη µελέτη της υλοποίηση κυκλωµάτων µε ολοκληρωµένα µεγάλης κλίµακας και µε τη χρήση εφαρµογών CAD. Στο πρώτο κεφάλαιο εξετάζεται το δυαδικό σύστηµα αρίθµησης, το οποίο χρησιµοποιείται στα ψηφιακά συστήµατα. Η ϑεώρηση γίνεται στο πλαίσιο των συστηµάτων αρίθµησης γενικότερα για να δειχθεί ότι ούτε ο δεκαδικό σύστηµα που χρησιµοποιούν οι άνθρωποι, ούτε το δυαδικό σύστηµα που χρησιµοποιούν οι υπολογιστές έχουν κάτι το ιδιαίτερο, αλλά χρησιµοποιούνται επειδή ϐολεύουν στη συγκεκριµένη περίπτωση. Εκτός από τα συστήµατα αρίθµησης, αναλύονται και κάποιου δυαδικοί κώδικες και αναπαραστάσεις που χρησιµοποιούνται συχνά. Στο δεύτερο κεφάλαιο αναπτύσσεται η Άλγεβρα Boole και η δυαδική λογική που αποτελεί τον ϑεµέλιο λίθο της ψηφιακής σχεδίασης. Εξετάζονται όλες οι µορφές της Άλγεβρας Boole (είναι πάνω από µία!), επειδή ορισµένες από αυτές χρησιµοποιούνται σε κάποιες οικογένειες ολοκληρωµένων κυκλωµάτων. Στο κεφάλαιο αυτό περιγράφονται και οι πύλες που είναι τα δοµικά στοιχεία των ψηφιακών συστηµάτων. Επειδή σε ορισµένα στάδια της σχεδίασης λαµβάνονται αποφάσεις που αφορούν τεχνικά χαρακτηριστικά των ψηφιακών δοµικών στοιχείων, στο τρίτο κεφάλαιο περιγράφονται οι τεχνολογίες που ϐρίσκονται πίσω από τα σύγχρονα ολοκληρωµένα κυκλώµατα. Το κεφάλαιο αυτό απαιτεί κάποιες γνώσεις ηλεκτρονικής, αν και γίνεται προσπάθεια να είναι κατανοητό ακόµη και από ϕοιτητές που δεν έχουν αυτές τις γνώσεις. Σε κάθε περίπτωση, το κεφάλαιο αυτό µπορεί να παραλειφθεί χωρίς να επηρεάζεται σηµαντικά η κατανόηση της ύλης των εποµένων κεφαλαίων. 1

10 2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Στο τέταρτο κεφάλαιο εξετάζονται οι µέθοδοι ελαχιστοποίησης των λογικών συναρτήσεων έτσι ώστε ο σχεδιαστής να οδηγηθεί στην οικονοµικότερη, αλλά και ταχύτερη σχεδίαση. Οι µέθοδοι αυτοί εφαρµόζονται σε κάθε τύπο ψηφιακών κυκλωµάτων από αυτά που εξετάζονται στη συνέχεια. Στο πέµπτο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι µέθοδοι ανάλυσης και σχεδίασης του ενός εκ των δύο τύπων κυκλωµάτων, των συνδυαστικών κυκλωµάτων, στα οποία η έξοδος εξαρτάται αποκλειστικά από την είσοδο. Ο δεύτερος τύπων κυκλωµάτων, τα ακολουθιακά, αναπτύσσονται στα τέσσερα επόµενα κεφάλαια. Αρχικά, στο έκτο κεφάλαιο σχεδιάζονται τα δοµικά στοιχεία των ακολουθιακών κυκλωµάτων και αναπτύσσεται η ϑεωρία των µηχανών πεπερασµένων καταστάσεων όπως εισήχθη αρχικά από τους Mealy και Moore. Στα τρία επόµενα κεφάλαια, εξετάζονται οι µεθοδολογίες σχεδίασης των τριών τύπων ακολουθιακών κυκλωµάτων, σύγχρονων, ασύγχρονων και ϑεµελιώδους τρόπου. Τα σύγχρονα ακολουθιακά κυκλώµατα είναι αυτά που χρησιµοποιούνται κυρίως σε µεγάλα συστήµατα, όπως µικροεπεξεργαστές, µικροελεγκτές, και γενικά συστήµατα που εκτελούν υπολογισµούς, και περιγράφονται στο έβδοµο κεφάλαιο. Για απλά συστήµατα όµως, τα ασύγχρονα ακολουθιακά κυκλώµατα και τα κυκλώµατα ϑεµελιώδους τρόπου προσφέρουν πολύ πιο απλές και συµπαγείς σχεδιάσεις Οι δύο αυτοί τύποι ακολουθιακών κυκλωµάτων εξετάζονται στα κεφάλαια 8 και 9 αντίστοιχα. Σε όλους τους τύπους ακολουθιακών κυκλωµάτων εφαρµόζεται η ϑεωρία των µηχανών πεπερασµένων καταστάσεων που α- ναπτύχθηκε στο έκτο κεφάλαιο. Προχωρώντας προς τη σχεδίαση περισσότερο πολύπλοκων κυκλωµάτων, στο κεφάλαιο 10 πα- ϱουσιάζεται η σχεδίαση των ϐασικών κυκλωµάτων µνήµης των ψηφιακών συστηµάτων, δηλαδή των καταχωρητών. Εξετάζονται διάφορες µορφές καταχωρητών από τους µετρητές µέχρι τους συσσωρευτές που χρησιµοποιούνται στους µικροεπεξεργαστές για την επεξεργασία των δεδοµένων. Στο ενδέκατο κεφάλαιο παρουσιάζεται µια γλώσσα περιγραφής υλικού, η RTL. Η γλώσσα αυτή ϐασίζεται στη µεταφορά δεδοµένων από τον ένα καταχωρητή στον άλλο και µπορεί µε πολύ απλό τρόπο να περιγράψει τη λειτουργία πολύπλοκων κυκλωµάτων. Η γλώσσα αυτή µπορεί να περιγράψει ακόµη και την πλήρη λειτουργία ενός µικροεπεξεργαστή όπως ϑα δούµε στη συνέχεια. Στο κεφάλαιο 12 παρουσιάζονται µερικά πολύπλοκα αλλά πολύ συνήθη κυκλώµατα επεξεργασίας δεδοµένων, όπως πολλαπλασιαστές, διαιρέτες, συγκριτές, κλπ. Επειδή τα κυκλώµατα αυτά ϑα πρέπει να εκτελούν τις πράξεις όσο πιο γρήγορα γίνεται, έχουν αναπτυχθεί αρκετοί αλγόριθµοι υλοποίησης αλλά και µέθοδοι εξέλιξής τους, ενώ η έρευνα στον τοµέα αυτό απασχολεί ακόµη και σήµερα τους ερευνητές. Στο επόµενο κεφάλαιο εξετάζονται οι συσκευές µνήµης που χρησιµοποιούνται στα σύγχρονα υπολογιστικά συστήµατα. Παρουσιάζονται και αναλύονται διάφορες µορφές µνηµών, αλλά και οι τρόποι διασύνδεσής τους και πιο ευέλικτη και αποτελεσµατική µεταφορά των δεδοµένων. Εχοντας στο σηµείο αυτό εξετάσει όλα τα επιµέρους στοιχεία ενός ψηφιακού συστήµατος, στο κεφάλαιο αυτό σχεδιάζεται ένας απλός επεξεργαστής. Περισσότερη προσοχή έχει δοθεί στην εφαρµογή των διαφόρων αρχών σχεδίασης, και λιγότερο στην αποτελεσµατικότητα και ευελιξία του επεξεργαστή. Για τη σχεδίαση του επεξεργαστή χρησιµοποιείται η γλώσσα RTL και εξετάζονται δύο τρόποι σχεδίασης της µονάδας ελέγχου: ο προκατασκευασµένος έλεγχος και ο µικροπρογραµµατισµός. Η µεγάλη ανάγκη για ταχεία σχεδίαση και υλοποίηση πολύπλοκων συστηµάτων, οδήγησε στη δηµιουργία διατάξεων προγραµµατιζόµενης λογικής που µπορούν να χρησιµοποιηθούν από το χρήστη για άµεση υλοποίηση ενός ψηφιακού συστήµατος. Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι διατάξεις προγραµµατιζόµενης λογικής, όπως PLA, PAL, FPGA κλπ., και δίνονται παραδείγµατα σχεδίασης µε τις διατάξεις αυτές. Το τελευταίο κεφάλαιο είναι αφιερωµένο στην πλέον ευρύτερα χρησιµοποιούµενη σήµερα γλώσσα περιγραφής υλικού, την VHDL. Η γλώσσα αυτή αποτελεί διεθνές πρότυπο και χρησιµοποιείται από τους περισσότερους κατασκευαστές ψηφιακών συστηµάτων κατά το στάδιο της σχεδίασης, ενώ έχουν αναπτυχθεί και πολλά εργαλεία σχεδίασης γύρω από τη γλώσσα αυτή. Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται µια

11 ΠΡΟΛΟΓΟΣ 3 γενική παρουσίαση της γλώσσας και των δυνατοτήτων της, και δίνονται παραδείγµατα υλοποίησης. Στο Παράρτηµα Α παρατίθενται οι λύσεις επιλεγµένων ασκήσεων κάθε κεφαλαίου ξεχωριστά. Επιλέχθηκαν οι πιο διδακτικές ασκήσεις κάθε κεφαλαίου, οι οποίες µπορούν να αποτελέσουν ϐάση ώστε να µπορεί να εργαστεί ο ϕοιτητής και στις υπόλοιπες, µη επιλυµένες ασκήσεις. Ευελπιστούµε ότι το ϐιβλίο ϑα αποτελέσει πλήρες διδακτικό ϐοήθηµα για τη διδασκαλία της ψη- ϕιακής σχεδίασης, αλλά και εγχειρίδιο αναφοράς για όσους ασχολούνται µε αυτή. Μάνος Ρουµελιώτης Σταύρος Σουραβλάς Πανεπιστήµιο Μακεδονίας

12 4

13 ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ-ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 1.1 Συστήµατα Αρίθµησης 1.2 Μετατροπές Ανάµεσα σε Συστήµατα Αρίθµησης Μετατροπές Αριθµών Από το εκαδικό στα Συστήµατα µε Βάση τις υνάµεις του 2 και Αντίστροφα Μετατροπές Αριθµών Ανάµεσα στα Συστήµατα που Εχουν ως Βάση τις υνάµεις του Αριθµητικές Πράξεις Πρόσθεση Αφαίρεση Πολλαπλασιασµός ιαίρεση 1.4 Συµπληρώµατα Αριθµών Συµπληρώµατα Αριθµών Ως Προς Βάση Μείον Ενα Συµπληρώµατα Αριθµών Ως Προς Βάση 1.5 Αναπαράσταση εδοµένων Αναπαράσταση Προσηµασµένων υαδικών Αριθµών Αριθµητικές Πράξεις µε Προσηµασµένους υαδικούς Αριθµούς Αναπαράσταση Κινητής Υποδιαστολής υαδικοί Κώδικες 1.6 Προτεινόµενη Μελέτη 1.7 Βασικοί Οροι και Ασκήσεις 5

14 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 1.1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Στις επιστήµες, στις επιχειρήσεις, και γενικότερα σε κάθε τοµέα της Ϲωής συναντούµε συνέχεια ποσότητες. Οι ποσότητες αυτές µετρούνται, παρατηρούνται και υφίστανται διάφορες µορφές επεξεργασίας. Εποµένως, είναι σηµαντικό να µπορούµε να αναπαραστήσουµε αυτές τις ποσότητες µε ακρίβεια και αποτελεσµατικότητα. Υπάρχουν δύο µορφές αναπαράστασης της αριθµητικής τιµής µίας ποσότητας: αναλογική αναπαράσταση και ψηφιακή Αναπαράσταση. Στην αναλογική αναπαράσταση, µία ποσότητα αναπαρίσταται από ένα µέτρο ανάλογο της ποσότητας. Για παράδειγµα, σε ένα αναλογικό ϱολόι, η κίνηση των δεικτών δείχνει την ώρα. Οµοίως, στο κοντέρ του αυτοκινήτου, η ϑέση της ϐελόνας δείχνει την ταχύτητα κίνησής του. Στην ψηφιακή αναπαράσταση, οι ποσότητες δεν αναπαρίστανται από µέτρα που αναλογούν σε αυτές, αλλά από ψηφία. Για παράδειγµα, ένα ψηφιακό ϱολόι δείχνει την ώρα χρησιµοποιώντας δεκαδικά ψηφία τα οποία δείχνουν την ώρα, τα λεπτά, και, σε µερικά ϱολόγια, τα δευτερόλεπτα. Οµοίως, σε ορισµένα αυτοκίνητα, υπάρχουν ψηφιακά ταχύµετρα, τα οποία δείχνουν την ταχύτητα µε µορρφή ψηφίων. Μία διαφοροποίηση ανάµεσα στις δύο µορφές αναπαράστασης είναι ότι οι ποσότητες που αναπα- ϱίστανται αναλογικά µπορούν να λάβουν ένα εύρος συνεχών τιµών. Για παράδειγµα, η ϐελόνα ενός αναλογικού ταχύµετρου µπορεί να δείχνει σε κάποια ποσότητα ανάµεσα στα 80 και στα 85 Km. Η ποσότητα αυτή µπορεί να ερµηνευθεί ως 81, 81.5, 81.75, 82.5, κ.ο.κ. Αντίθετα, οι ποσότητες που αναπαρίστανται ψηφιακά µπορούν να λάβουν µόνον διακριτές τιµές. Ετσι, ένα ψηφιακό ταχύµετρο δείχνει ακριβώς την τιµή 81 ή 82 Km και η τιµή αυτή δεν µπορεί να ερµηνευτεί µε διαφορετικό τρόπο. Τα συστήµατα αρίθµησης χωρίζονται σε δύο κατηγορίες: τα µη ϑεσιακά και τα ϑεσιακά. Στα µη ϑεσιακά συστήµατα, τα σύµβολα που χρησιµοποιούνται έχουν πάντοτε την ίδια τιµή ανεξάρτητα από τη ϑέση τους στον αριθµό. Τέτοια συστήµατα είναι το Ρωµαϊκό (I, II, III, IV, V.. κ.λ.π) και το ελληνικό (Α, Β, Γ...κ.λ.π). Ορισµένα παραδείγµατα αναπαραστάσεων αριθµών σε µη ϑεσιακά συστήµατα είναι τα ακόλουθα: Ρωµαϊκό Σύστηµα I=1 V=5 X=10 C=100 Ελληνικό Σύστηµα Α =1 Β =2 Ι =10 Ρ =100 Σ =200 Το ϐασικό µειονέκτηµα των µη ϑεσιακών συστηµάτων είναι η δυσκολία στην υλοποίηση ακόµη και απλών αριθµητικών πράξεων. Για παράδειγµα, η πράξη Ρ Β -Μ =Ξ Β στο ελληνικό σύστηµα είναι ισοδύναµη µε την πολύ πιο οικεία σε εµάς πράξη του δεκαδικού συστήµατος =62!! Σήµερα, για την ψηφιακή αναπαράσταση των ποσοτήτων έχουν επικρατήσει και χρησιµοποιούνται τα ϑεσιακά συστήµατα αρίθµησης. Ενας απλός ορισµός του συστήµατος αρίθµησης είναι ο ακόλουθος:

15 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 7 ΟΡΙΣΜΟΣ 1.1 Ενα σύστηµα αρίθµησης ονοµάζεται ϑεσιακό όταν οι αριθµοί αναπαρίστανται µε ένα πλήθος διακριτών συµβόλων και η αξία των αριθµών αυτών υπολογίζεται µε ϐάση: - τις αξίες των συµβόλων και - τη ϑέση των συµβόλων (σχετικά µε τη ϑέση των συµβόλων, δείτε την παράγραφο που ακολουθεί) Οταν το πλήθος των διακριτών συµβόλων είναι r, τότε το ϑεσιακό σύστηµα ονοµάζεται σύστηµα µε µε ϐάση r. Τα πιο συνηθισµένα ϑεσιακά συστήµατα είναι το δεκαδικό, το δυαδικό, το οκταδικό, και το δεκαεξαδικό. Βάσει του Ορισµού 1.1, το δεκαδικό σύστηµα περιέχει r = 10 ψηφία, το δυαδικό σύστηµα περιέχει r = 2 ψηφία, το οκταδικό σύστηµα περιέχει r = 8 ψηφία, ενώ το δεκαεξαδικό σύστηµα περιέχει r=16 ψηφία. Συµβολικά, ένας αριθµός εκφρασµένος σε ένα σύστηµα αρίθµησης γράφεται µέσα σε παρένθεση και εκτός της παρένθεσης αναγράφεται ως δείκτης η ϐάση. Για παράδειγµα (32) 10, (765) 8 κ.ο.κ. Προφανώς, το δεκαδικό σύστηµα είναι εκείνο µε το οποίο όλοι οι άνθρωποι έχουν τη µεγαλύτερη εξοικείωση και το χρησιµοποιούν καθηµερινά. Η παρουσίασή του σε ένα ϐιβλίο ϕαίνεται να µην έχει κανένα ενδιαφέρον. Ωστόσο, επειδή τα συστήµατα αρίθµησης παρουσιάζουν κοινά χαρακτηριστικά, είναι προτιµότερο αυτά να παρουσιαστούν µε άξονα το δεκαδικό σύστηµα, ώστε να γίνουν πολύ πιο εύκολα κατανοητά. εκαδικό Σύστηµα Το δεκαδικό σύστηµα είναι το σύστηµα αρίθµησης που έχει επικρατήσει ως σύστηµα πραγµατοποίησης κάθε συναλλαγής που αφορά ποσότητες. Ο λόγος για τον οποίο το δεκαδικό σύστηµα επικράτησε σε σχέση µε τα άλλα συστήµατα αρίθµησης είναι πάρα πολύ απλός: Ο άνθρωπος έχει 10 δάχτυλα! Το δεκαδικό σύστηµα αποτελείται από 10 σύµβολα: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, και 9. Τα σύµβολα αυτά συνδυάζονται για να αναπαραστήσουν οποιαδήποτε ποσότητα. Οταν τα σύµβολα παραταχθούν σε µία συγκεκριµένη διάταξη, η ϑέση τους µέσα στη διάταξη έχει έναν ιδιαίτερο ϱόλο. Ειδικότερα, η ϑέση του κάθε ψηφίου δείχνει το ϐάρος το οποίο µεταφέρει αυτό το ψηφίο. Το ψηφίο το οποίο ϐρίσκεται στη δεξιότερη ϑέση της διάταξης µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος, και για το λόγο αυτό ονοµάζεται λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο το οποίο ϐρίσκεται στην αριστερότερη ϑέση της διάταξης µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος, και για το λόγο αυτό ονοµάζεται σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίστοιχα, η ϑέση του λιγότερο σηµαντικού ψηφίου της διάταξης ονοµάζεται λιγότερο σηµαντική ϑέση, ενώ η ϑέση του σηµαντικότερου ψηφίου της διάταξης ονοµάζεται σηµαντικότερη ϑέση. Οι ϑέσεις των ψηφίων µπορούν να αριθµηθούν. Σε περίπτωση που ο αριθµός είναι ακέραιος, η αρίθµηση ξεκινά από το 0 (λιγότερο σηµαντική ϑέση) και αυξάνεται κατά µία µονάδα όσο µεταφερόµαστε στο αριστερό µέρος του αριθµού. Σε περίπτωση που ο αριθµός περιέχει κλασµατικό µέρος, η αρίθµηση των ϑέσεων γίνεται ως εξής: Η ϑέση του πρώτου ψηφίου αριστερά από την υποδιαστολή αριθµείται ως 0 και προχωρώντας αριστερότερα, η αρίθµηση αυξάνεται κατά 1. Η ϑέση του πρώτου ψηφίου δεξιά από την υποδιαστολή αριθµείται ως -1 και προχωρώντας δεξιότερα, η αρίθµηση µειώνεται κατά 1. Η εξήγηση αυτού του τρόπου αρίθµησης των ϑέσεων δίνεται µετά το Παράδειγµα 1.1.

16 8 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.1 Ο αριθµός 5432 αποτελείται από 5 χιλιάδες, 4 εκατοντάδες, 3 δεκάδες, και 2 µονάδες. Αυτό σηµαίνει ότι το ψηφίο 5 µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (χιλιάδες), εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο 2 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (µονάδες), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Σύµφωνα µε τα παραπάνω, η ϑέση του ψηφίου 2 αριθµείται µε 0, η ϑέση του ψηφίου 3 αριθµείται µε 1, η ϑέση του ψηφίου 4 αριθµείται µε 2, και η ϑέση του ψηφίου 5 αριθµείται µε 3. Ο αριθµός αποτελείται από 6 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, 2 µονάδες, 5 δέκατα, και 5 εκατοστά. Αυτό σηµαίνει ότι το ψηφίο 6 µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (εκατοντάδες), εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο 4 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (εκατοστά), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Η ϑέση του ψηφίου 2 (πρώτο στοιχείο αριστερά της υποδιαστολής) αριθµείται µε 0, η ϑέση του η ϑέση του ψηφίου 7 αριθµείται µε 1, και η ϑέση του ψηφίου 6 αριθµείται µε 2. εξιά της υποδιαστολής, η ϑέση του ψηφίου 5 αριθµείται µε -1, ενώ η ϑέση του ψηφίου 4 αριθµείται µε -2. Η εξήγηση που υπάρχει σχετικά µε την αρίθµηση των ϑέσεων είναι αρκετά απλή. Το ψηφίο που ϐρίσκεται σε κάθε ϑέση µεταφέρει ένα ϐάρος, του οποίου η τιµή είναι µία δύναµη της ϐάσης r. Θεωρείστε τον αριθµό του Παραδείγµατος 1.1. Οπως αναφέρθηκε, ο αριθµός περιέχει 6 εκατοντάδες, 7 δεκάδες, 2 µονάδες, 5 δέκατα, και 5 εκατοστά. Οµως, αν σκεφτούµε ότι η εκατοντάδα (δηλαδή ο αριθµός 100) εκφράζεται ως 10 2, η δεκάδα (δηλαδή ο αριθµός 10) εκφράζεται ως 10 1, η µονάδα (δηλαδή ο αριθµός 1) εκφράζεται ως 10 0, το ένα δέκατο (δηλαδή ο αριθµός 0.1) εκφράζεται ως 10 1, και το ένα εκατοστό (δηλαδή ο αριθµός 0.01) εκφράζεται ως 10 2, τότε ο αριθµός γράφεται ως: Γενικότερα, ένας αριθµός (a n a n 1 a n 2...a 3 a 2 a 1 a 0.a 1 a 2...a k ) 10, όπου τα ψηφία a n, a n 1...a 0...a k είναι οποιαδήποτε εκ των συµβόλων 0-9, εκφράζεται ως a n 10 n +a n 1 10 n 1 a n 2 10 n 2 + +a a a a a k 10 k (1.1) Το Σχήµα 1.1 δείχνει το ϐάρος που µεταφέρει κάθε ψηφίο του αριθµού , εκφρασµένο σε δυνάµεις του 10. Σχήµα 1.1: Εκφραση των ϐαρών που µεταφέρει κάθε ψηφίο του αριθµού σε δυνάµεις του 10 Γενικά, κάθε αριθµός εκφρασµένος σε οποιοδήποτε σύστηµα µε ϐάση r, είναι δυνατόν να γραφτεί ως ένα άθροισµα επιµέρους γινοµένων. Καθένα από τα γινόµενα αυτά έχει τη µορφή:

17 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 9 Ψηφίο r Θέση Ψηφίου (1.2) Η έκφραση (1.2) είναι ιδιαίτερα χρήσιµη για την κατανόηση του τρόπου αναπαράστασης ενός αριθµού εκφρασµένου σε άλλα συστήµατα, τα οποία δεν είναι τόσο κοινά. Χρησιµοποιώντας την (1.2), ένας αριθµός (a n a n 1 a n 2...a 3 a 2 a 1 a 0.a 1 a 2...a k ) r, όπου τα ψηφία a n, a n 1...a 0...a k είναι είναι τα σύµβολα ενός συστήµατος µε ϐάση r, εκφράζεται ως a n r n + a n 1 r n 1 a n 2 r n 2 + +a 1 r 1 + a 0 r 0 + a 1 r 1 + a 2 r 2 + +a k r k (1.3) Μία πολύ σηµαντική παρατήρηση σχετίζεται µε το εύρος των ακέραιων ποσοτήτων που µπορεί να αναπαραστήσει κανείς χρησιµοποιώντας ένα συγκεκριµένο πλήθος από ψηφία. Χρησιµοποιώντας ένα ψηφίο, µπορούµε να αναπαραστήσουµε 10 ακέραιες δεκαδικές ποσότητες εύρους από 0 ως 9. Χρησιµοποιώντας δύο ψηφία, µπορούµε να αναπαραστήσουµε 10 2 διαφορετικές δεκαδικές ποσότητες. Η µικρότερη από αυτές είναι η 00, ενώ η µεγαλύτερη η 99= Οµοίως, χρησιµοποιώντας 3 ψηφία, µπορούµε να αναπαραστήσουµε 10 3 διαφορετικές δεκαδικές ποσότητες. Η µικρότερη από αυτές είναι η 000, ενώ η µεγαλύτερη η 999= Γενικά, χρησιµοποιώντας n ψηφία, µπορούµε να αναπαραστήσουµε 10 n διαφορετικές δεκαδικές ποσότητες, στο εύρος τιµών από 0 ως 10 n 1. Γενικότερα, σε ένα σύστηµα ϐάσης r, χρησιµοποιώντας n ψηφία, µπορούµε να αναπαραστήσουµε r n διαφορετικές ποσότητες, στο πεδίο τιµών από 0 ως r n 1. υαδικό Σύστηµα Το δεκαδικό σύστηµα µπορεί να έχει επικρατήσει στην καθηµερινότητα, όµως, δεν είναι ιδιαίτερα ϐολικό, ώστε να χρησιµοποιηθεί ως ϐασικό σύστηµα αρίθµησης ενός ψηφιακού συστήµατος. Οι πληροφορίες ενός ψηφιακού συστήµατος αναπαρίστανται µε ϕυσικές ποσότητες που ονοµάζονται ψηφιακά σήµατα. Τα ψηφιακά σήµατα που χρησιµοποιούνται στα περισσότερα ψηφιακά συστήµατα χρησιµοποιούν δύο διακριτές τιµές: 0 (ανοικτός διακόπτης), 1 (κλειστός διακόπτης). Για το λόγο αυτό, τα ψηφιακά συστήµατα χρησιµοποιούν το δυαδικό σύστηµα για την αναπαράσταση και τις πράξεις µεταξύ των αριθµών. Το δυαδικό σύστηµα χρησιµοποιεί δύο µόνον σύµβολα για να αναπαραστήσει οποιαδήποτε ποσότητα. Τα σύµβολα αυτά είναι το 0 και το 1. Το µειονέκτηµα του δυαδικού συστήµατος είναι ότι απαιτείται ένα πολύ µεγάλο πλήθος από σύµβολα ώστε να αναπαρασταθούν µεσαίου ή µικρού µεγέ- ϑους ποσότητες. Για παράδειγµα, ο αριθµός 5432 που χρησιµοποιήθηκε στο Παράδειγµα 1.1, δεν είναι δυνατόν να αναπαρασταθεί µε λιγότερα από 13 δυαδικά ψηφία. Οσα αναφέρθηκαν σε σχέση µε το δεκαδικό σύστηµα στην προηγούµενη παράγραφο, ισχύουν και στο δυαδικό. Μία ποσότητα που αναπαρίσταται στο δυαδικό σύστηµα αποτελείται από µία διάταξη µηδενικών και µονάδων. Στη γλώσσα των ψηφιακών συστηµάτων, µία µονάδα ή ένα µηδενικό του δυαδικού συστήµατος ονοµάζεται bit. Ο ορισµός του bit προέρχεται από τη ϑεωρία πληροφορίας του Shannon και είναι η µικρότερη µονάδα πληροφορίας. Η µονάδα αυτή αντιστοιχεί στην πληροφορία που περιέχεται στην απάντηση µίας ερώτησης, η οποία µπορεί να δεχθεί ως απάντηση µόνον ΝΑΙ ή ΟΧΙ. Το ψηφίο το οποίο ϐρίσκεται στη δεξιότερη ϑέση της διάταξης µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος, για το λόγο αυτό ονοµάζεται λιγότερο σηµαντικό ψηφίο ή λιγότερο σηµαντικό bit. Αντίθετα, το ψηφίο το οποίο ϐρίσκεται στην αριστερότερη ϑέση της διάταξης µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος, για το λόγο αυτό ονοµάζεται σηµαντικότερο ψηφίο ή σηµαντικότερο bit. Οπως και στο δεκαδικό σύστηµα, η ϑέση του λιγότερο σηµαντικού ψηφίου της διάταξης ονοµάζεται λιγότερο σηµαντική ϑέση, ενώ η ϑέση του σηµαντικότερου ψηφίου της διάταξης ονοµάζεται σηµαντικότερη ϑέση. Οι

18 10 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ϑέσεις των ψηφίων µπορούν να αριθµηθούν και η αρίθµηση τους ακολουθεί ακριβώς τους ίδιους κανόνες µε εκείνους των δεκαδικών αριθµών, τόσο για ακέραιους όσο και για κλασµατικούς αριθµούς. Η µοναδική διαφοροποίηση ϐρίσκεται στο ϐάρος το οποίο µεταφέρει κάθε ψηφίο, το οποίο εκφράζεται σε κάθε ϑέση µε δυνάµεις του 2. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.2 Ο αριθµός αποτελείται (διαβάζοντας τον αριθµό από αριστερά προς τα δεξιά) από µία τριανταδυάδα, 0 δεκαεξάδες, µία οκτάδα, µία τετράδα, 0 δυάδες, και µία µονάδα. Αυτό σηµαίνει ότι η µονάδα που ϐρίσκεται στη ϑέση 5 µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (τριανταδυάδες), και εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο 1 που ϐρίσκεται στη ϑέση 0 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (µονάδα), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Η αντίστοιχη δεκαδική τιµή αυτού του αριθµού είναι 45 ( ). είτε την Ενότητα 1.2, όπου παρουσιάζονται οι µετατροπές µεταξύ των συστηµάτων αρίθµησης. Ο αριθµός αποτελείται από µία οκτάδα, 0 τετράδες, µία δυάδα, 0 µονάδες, ένα δεύτερο, µηδέν τέταρτα, και ένα όγδοο. Αυτό σηµαίνει ότι η µονάδα που ϐρίσκεται στη ϑέση 3 µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (οκτάδες), εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο 1 που ϐρίσκεται στη ϑέση -2 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (1/8), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Η αντίστοιχη δεκαδική τιµή αυτού του αριθµού είναι ( ). Γενικότερα, ένας αριθµός (a n a n 1 a n 2...a 3 a 2 a 1 a 0.a 1 a 2...a k ) 2, όπου τα ψηφία a n, a n 1...a 0...a k είναι οποιαδήποτε εκ των συµβόλων 0 και 1, εκφράζεται ως a n 2 n + a n 1 2 n 1 a n 2 2 n 2 + +a a a a a k 2 k (1.4) Το Σχήµα 1.2 δείχνει το ϐάρος που µεταφέρει κάθε ψηφίο του αριθµού , εκφρασµένο σε δυνάµεις του 2. Σχήµα 1.2: Εκφραση των ϐαρών που µεταφέρει κάθε bit του αριθµού , σε δυνάµεις του 2 Μία πλειάδα n δυαδικών ψηφίων µπορεί να αναπαραστήσει 2 n διαφορετικούς αριθµούς στο εύ- ϱος τιµών από 0 ως 2 n 1. Επειδή στους υπολογιστές τα δεδοµένα αποθηκεύονται σε ποσότητες πολλαπλάσιες των 8 bits (8 bit=1 byte), ενδιαφέρει να σηµειώσουµε ότι σε ένα byte µπορούµε να αναπαραστήσουµε τους αριθµούς από 0 ως 255 (2 8 1), ενώ σε 2 bytes µπορούµε να αναπαραστήσουµε τους αριθµούς από 0 ως 65,535 (2 16 1). Παρατηρείστε ότι αναφερόµαστε σε µη προσηµασµένους (άρα ϑετικούς) αριθµούς. Η αναπαράσταση των αρνητικών δυαδικών αριθµών περιγράφεται σε ξεχωριστή Ενότητα (1.3).

19 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 11 Πίνακας 1.1: Αντιστοιχία των ψηφίων του οκταδικού συστήµατος µε τριάδες δυαδικών ψηφίων Τριάδες bits Οκταδικό ψηφίο Οκταδικό Σύστηµα Το οκταδικό (αλλά και το δεκαεξαδικό σύστηµα που ακολουθεί) έχει τη σηµαντική ιδιότητα να µπορεί να εκφράζει µε συντοµία τους δυαδικούς αριθµούς. Λόγω του γεγονότος ότι 2 3 = 8, ένα οκταδικό ψηφίο µπορεί να αντικαταστήσει µια τριάδα από δυαδικά. Αυτό είναι ιδιαίτερα χρήσιµο, επειδή στους υπολογιστές είναι πολύ συνηθισµένη η ύπαρξη µεγάλου µήκους ακολουθιών bits, οι οποίες αναπαριστούν αριθµούς, χαρακτήρες, διευθύνσεις µνήµης, κ.λ.π. Οταν διαχειριζόµαστε τόσο µεγάλες ακολουθίες, πολλές ϕορές είναι προτιµότερο να τις εκφράζουµε στο οκταδικό (ή στο δεκαεξαδικό) σύστηµα. Ωστόσο, σηµειώνεται ότι τα πραγµατικά ψηφιακά κυκλώµατα είναι δυαδικά. Το οκταδικό (και το δεκαεξαδικό) σύστηµα, χρησιµοποιούνται από τους προγραµµατιστές για λόγους ευκολίας. Το οκταδικό σύστηµα περιέχει 8 ψηφία (0 ως 7). Αυτό το εύρος τιµών είναι ίδιο µε εκείνο που µπορεί να καλύψει µία τριάδα από δυαδικά ψηφία. Πράγµατι, για r=2, ο ελάχιστος αριθµός που µπορεί να εκφραστεί είναι ο 000=0 και ο µέγιστος ο 111=7. Εποµένως, υπάρχει µία αντιστοιχία ενός προς ένα ανάµεσα στα 8 ψηφία του οκταδικού συστήµατος και στους 8 δυνατούς συνδυασµούς που µπορούν να προκύψουν από τρία δυαδικά ψηφία. Η αντιστοιχία αυτή δίνεται στον Πίνακα 1.1. Για την αναπαράσταση αριθµών στο οκταδικό σύστηµα ισχύει ότι αναφέρθηκε και στο δεκαδικό και δυαδικό σύστηµα. Η διαφοροποίηση ϐρίσκεται πάλι στο ϐάρος το οποίο µεταφέρει κάθε ψηφίο, το οποίο εκφράζεται σε κάθε ϑέση, µε δυνάµεις του 8. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.3 Ο αριθµός 765 αποτελείται (διαβάζοντας τον αριθµό από αριστερά προς τα δεξιά) από 7 εξηντατετράδες, 6 οκτάδες, και 5 µονάδες. Το ψηφίο 7 που ϐρίσκεται στο αριστερότερο µέρος (ϑέση 2) µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (εξηντατετράδες), εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντί- ϑετα, το ψηφίο 5 που ϐρίσκεται στη ϑέση 0 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (µονάδες), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Η αντίστοιχη δεκαδική τιµή αυτού του αριθµού είναι 501 ( ). Ο αριθµός αποτελείται από 5 εξηντατετράδες, 0 οκτάδες, 2 µονάδες, 2 όγδοα, και 3 εξηκοστά τέταρτα. Αυτό σηµαίνει ότι το ψηφίο 5 που ϐρίσκεται στη ϑέση 2 µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (εξηντατετράδες), εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο 3 που ϐρίσκεται στη ϑέση -2 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (εξηκοστά τέταρτα), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Η αντίστοιχη δεκαδική τιµή αυτού του αριθµού είναι ( /8+3/64). Γενικότερα, ένας αριθµός (a n a n 1 a n 2...a 3 a 2 a 1 a 0.a 1 a 2...a k ) 8, όπου τα ψηφία a n, a n 1...a 0...a k είναι οποιαδήποτε εκ των οκταδικών συµβόλων 0 ως 7, εκφράζεται ως a n 8 n + a n 1 8 n 1 a n 2 8 n 2 + +a a a a a k 8 k (1.5) Το Σχήµα 1.3 δείχνει το ϐάρος που µεταφέρει κάθε ψηφίο του αριθµού , εκφρασµένο σε δυνάµεις του 8.

20 12 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Σχήµα 1.3: Εκφραση των ϐαρών που µεταφέρει κάθε ψηφίο του αριθµού , σε δυνάµεις του 8 Μία πλειάδα n οκταδικών ψηφίων µπορεί να να αναπαραστήσει 8 n διαφορετικούς αριθµούς στο εύρος τιµών από 0 ως 8 n 1. Για παράδειγµα, µε n=2οκταδικά ψηφία, µπορούµε να αναπαραστήσουµε µέχρι και 8 2 = 64 αριθµούς, από το 00, ως το 77. Οπως ϑα δούµε στην επόµενη ενότητα, η τιµή του αριθµού (77) 8 είναι ίση µε 63= εκαεξαδικό Σύστηµα Το δεκαεξαδικό σύστηµα είναι επίσης χρήσιµο για τη σύντοµη γραφή µεγάλων ακολουθιών από bits. Λόγω του γεγονότος ότι 2 4 = 16, ένα δεκαεξαδικό ψηφίο µπορεί να αντικαταστήσει µια τετράδα από δυαδικά. Το δεκαεξαδικό σύστηµα περιέχει 16 σύµβολα, τους αριθµούς από 0 ως 9 και τα γράµµµατα A, B, C, D, E, και Ε. Τα γράµµατα αυτά αντιστοιχούν στους αριθµούς 10, 11, 12, 13, 14, και 15 του δεκαδικού συστήµατος. Το εύρος τιµών από 0-15 είναι αυτό που µπορούµε να επιτύχουµε µε µία τετράδα από δυαδικά ψηφία. Πράγµατι, για r = 2, ο ελάχιστος αριθµός που µπορεί να εκφραστεί είναι ο 0000=0 και ο µέγιστος ο 1111=15. Εποµένως, υπάρχει µία αντιστοιχία ενός προς ένα ανάµεσα στα 16 σύµβολα του οκταδικού συστήµατος και στους 16 δυνατούς συνδυασµούς που µπορούν να προκύψουν από τέσσερα δυαδικά ψηφία. Η αντιστοιχία αυτή δίνεται στον Πίνακα 1.2. Πίνακας 1.2: Αντιστοιχία των ψηφίων του δεκαεξαδικού συστήµατος µε τετράδες δυαδικών ψηφίων Τετράδες bits εκαεξαδικό ψηφίο A 1011 B 1100 C 1101 D 1110 E 1111 F Για την αναπαράσταση αριθµών στο δεκαεξαδικό σύστηµα ισχύει ότι αναφέρθηκε και στα άλλα συστήµατα που περιγράφηκαν παραπάνω. Η διαφοροποίηση ϐρίσκεται πάλι στο ϐάρος το οποίο µεταφέρει κάθε ψηφίο, το οποίο εκφράζεται σε κάθε ϑέση, µε δυνάµεις του 16.

21 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 13 ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.4 Ο αριθµός F32 αποτελείται (διαβάζοντας τον αριθµό από αριστερά προς τα δεξιά) από 15 διακοσοπενηνταεξάδες, 3 δεκαεξάδες, και 2 µονάδες. Το ψηφίο F που ϐρίσκεται στο αριστερότερο µέρος (ϑέση 2) µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (διακοσοπενηνταεξάδες), εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση 0 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (µονάδες), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Η αντίστοιχη δεκαδική τιµή αυτού του αριθµού είναι 3906 ( ). Ο αριθµός 23F.4 αποτελείται από 2 διακοσοπενηνταεξάδες, 3 δεκαεξάδες, 15 µονάδες, και 2 όγδοα, και 4 δέκατα έκτα. Αυτό σηµαίνει ότι το ψηφίο 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση 2 µεταφέρει το µεγαλύτερο ϐάρος (διακοσοπενηνταεξάδες), εποµένως είναι το σηµαντικότερο ψηφίο. Αντίθετα, το ψηφίο 4 που ϐρίσκεται στη ϑέση -1 µεταφέρει το µικρότερο ϐάρος (δέκατα έκτα), άρα είναι το λιγότερο σηµαντικό ψηφίο. Η αντίστοιχη δεκαδική τιµή αυτού του αριθµού είναι ( /16). Γενικότερα, ένας αριθµός (a n a n 1 a n 2...a 3 a 2 a 1 a 0.a 1 a 2...a k ) 16, όπου τα ψηφία a n, a n 1...a 0...a k είναι οποιαδήποτε εκ των δεκαεξαδικν συµβόλων 0 ως 9 και Α ως F, εκφράζεται ως a n 16 n +a n 1 16 n 1 a n 2 16 n 2 + +a a a a a k 16 k (1.6) Το Σχήµα 1.4 δείχνει το ϐάρος που µεταφέρει κάθε ψηφίο του αριθµού 23F.4, εκφρασµένο σε δυνάµεις του 16. Σχήµα 1.4: Εκφραση των ϐαρών που µεταφέρει κάθε ψηφίο του αριθµού 23F.4, σε δυνάµεις του 16 Μία πλειάδα n δεκαεξαδικών ψηφίων µπορεί να να αναπαραστήσει 16 n διαφορετικούς αριθµούς στο εύρος τιµών από 0 ως 16 n 1. Για παράδειγµα, µε n=2 δεκαεξαδικά ψηφία, µπορούµε να αναπαραστήσουµε µέχρι και 16 2 = 256 αριθµούς, από το 00, ως το FF. Οπως ϑα δούµε στην επόµενη ενότητα, η τιµή του αριθµού FF 16 = 255= ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ Στην παράγραφο αυτή ϑα περιγραφεί ο τρόπος µε τον οποίο υλοποιούνται οι µετατροπές αριθµών εκφρασµένων σε διάφορα συστήµατα αρίθµησης. Η περιγραφή ϑα χωριστεί σε δύο παραγράφους: (1) Μετατροπή αριθµών από το δεκαδικό σύστηµα στα συστήµατα µε ϐάση τις δυνάµεις του 2 (δυαδικό, οκταδικό, και δεκαεξαδικό) και αντίστροφα, και (2) Μετατροπή αριθµών που είναι εκφρασµένοι στα συστήµατα µε ϐάση τις δυνάµεις του 2.

22 14 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΠΟ ΤΟ ΕΚΑ ΙΚΟ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΕ ΒΑΣΗ ΤΙΣ ΥΝΑΜΕΙΣ ΤΟΥ 2 ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ Γενικά, η µετατροπή ενός αριθµού από δεκαδικό σύστηµα σε ένα οποιοδήποτε σύστηµα µε ϐάση r υλοποιείται ακολουθώντας µε τα εξής ϐήµατα: 1. Ο δεκαδικός αριθµός χωρίζεται σε ακέραιο και κλασµατικό µέρος. 2. Τα δύο µέρη µετατρέπονται χωριστά, µε τον τρόπο που ϑα αναπτυχθεί στη συνέχεια. 3. Τα δύο µέρη ενώνονται σχηµατίζοντας τον αριθµό ϐάσης r. Στις επόµενες δύο παραγράφους περιγράφεται η διαδικασία µετατροπής του ακεραίου και του κλασµατικού µέρους ενός αριθµού. Στα παραδείγµατα που ακολουθούν, χρησιµοποιούµε τα συστήµατα που έχουν ως ϐάση τις δυνάµεις του 2 (δυαδικό, οκταδικό, και δεκαεξαδικό). Ωστόσο, οι διαδικασίες που περιγράφονται είναι παρόµοιες και για τη µετατροπή ενός αριθµού από το δεκαδικό σε κάθε άλλο σύστηµα αρίθµησης. Μετατροπή Ακεραίου Μέρους εκαδικού Αριθµού Η µετατροπή του ακεραίου µέρους ενός δεκαδικού αριθµού σε έναν αριθµό ϐάσης r ϐασίζεται σε ένα πλήθος διαδοχικών διαιρέσεων µε τη ϐάση. Τα ψηφία που ϑα σχηµατίσουν τον Ϲητούµενο αριθµό ϐάσης r σχηµατίζονται από τα υπόλοιπα των διαδοχικών διαιρέσεων, γραµµένα σε αντίστροφη σειρά από εκείνη µε την οποία παράγονται. Οι διαιρέσεις σταµατούν όταν το ακέραιο πηλίκο γίνει µηδέν. Παρακάτω δίνονται τρία παραδείγµατα µετατροπής του αριθµού (77) 10 στον αντίστοιχο δυαδικό, οκταδικό, και δεκαεξαδικό αριθµό. ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑ 1.5 α. Μετατροπή του αριθµού (77) 10 στο δυαδικό σύστηµα. Ακέραιο Πηλίκο Υπόλοιπο 77 2 = = = = = = = 1 1

23 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΝΑΜΕΣΑ ΣΕ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΡΙΘΜΗΣΗΣ 15 Ο δεκαδικός αριθµός 77 διαιρείται συνεχώς µε τη ϐάση r = 2. Το υπόλοιπο που προκύπτει (άρα και ο αντίστοιχος συντελεστής) είναι 1 ή 0. Για να γράψουµε τον αριθµό 77 στο δυαδικό σύστηµα, γράφουµε τους συντελεστές µε αντίστροφη σειρά από αυτήν που παρήχθησαν, άρα (77) 10 = ( ) 2. Παρατηρούµε ότι το πλήθος των διαιρέσεων που απαιτούνται για γραφτεί ο αριθµός 77 σε δυαδική µορφή είναι 7. Άρα, απαιτούνται 7 bits για να εκφραστεί στο δυαδικό σύστηµα ο αριθµός 77. Πράγµατι, ϐάσει της προηγούµενης ενότητας, αν σκεφτούµε ότι µε 6 bits µπορούµε να αναπαραστήσουµε τους αριθµούς 0 ως 2 6 1=63, τότε για τον αριθµό 77 απαιτούνται 7 bits, όπως και για κάθε αριθµό από το 64 (2 6 ) ως το 127 (2 7 1). ϐ. Μετατροπή του αριθµού (77) 10 στο οκταδικό σύστηµα. Ακέραιο Πηλίκο Υπόλοιπο 77 8 = = = 1 1 Ο δεκαδικός αριθµός 77 διαιρείται συνεχώς µε τη ϐάση r=8. Το υπόλοιπο που προκύπτει (άρα και ο αντίστοιχος συντελεστής) ϐρίσκεται στο εύρος τιµών από 0 ως 7. Οπως και προηγουµένως, για να γράψουµε τον αριθµό στο οκταδικό σύστηµα, γράφουµε τους συντελεστές µε αντίστροφη σειρά από αυτήν που παρήχθησαν. Άρα (77) 10 = (115) 2. Παρατηρούµε ότι το πλήθος των διαιρέσεων που απαιτούνται για γραφτεί ο αριθµός 77 στο οκταδικό σύστηµα είναι3. Άρα, απαιτούνται 3 οκταδικά ψηφία για να εκφραστεί στο οκταδικό σύστηµα ο αριθµός 77. Πράγµατι, ϐάσει της προηγούµενης ενότητας, αν σκεφτούµε ότι µε 2 οκταδικά ψηφία µπορούµε να αναπαραστήσουµε τους αριθµούς 0 ως 8 2 1=63, τότε για τον αριθµό 77 απαιτούνται 3 ψηφία, όπως και για κάθε αριθµό από το 64 (8 2 ) ως το 511 (8 3 1). γ. Μετατροπή του αριθµού (77) 10 στο δεκαεξαδικό σύστηµα. Ακέραιο Πηλίκο Υπόλοιπο = = 0 4 Ο δεκαδικός αριθµός 77 διαιρείται συνεχώς µε τη ϐάση r=16. Το υπόλοιπο που προκύπτει (άρα και ο αντίστοιχος συντελεστής) ϐρίσκεται στο εύρος τιµών από 0 ως 15 (F). Οπως και προηγουµένως για να γράψουµε τον αριθµό στο δεκαεξαδικό σύστηµα, γράφουµε τους συντελεστές µε αντίστροφη σειρά από αυτήν που παρήχθησαν. Άρα (77) 10 = (4D) 16.