METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar"

Transcript

1 METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

3 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

4 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Jednačine ravnoteže koje se odnose na posmatrani računski model linijskog nosača (u ravni) imaju oblik K q = S (1) Matrica koeficijenata K uz nepoznati vektor q je globalna matrica krutosti sistema štapova Vektor slobodnih članova S je vektor opterećenja koji je posledica spoljašnjih sila koje su koncentrisane u čvorovima nosača, kao i opterećenja koje deluje duž pojedinih štapova i koje je zamenjeno ekvivalentnim čvornim opterećenjem

5 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrica koeficijenata K može da bude redukovana matrica krutosti, dobijena posle izbacivanja vrsta i kolona koje odgovaraju sprečenim pomeranjima oslonačkih čvorova, ili transformisana matrica krutosti, dobijena kada se elementima glavne dijagonale koji odgovaraju sprečenim pomeranjima oslonačih čvorova dodaju jako veliki brojevi U svakom slučaju, matrica koeficijenata K je regularna matrica i sistem uslovnih jednačina ravnoteže (1) može da se reši (postoji inverzna matrica)

6 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Osnovne osobine matrice koeficijenata u jednačinama (1) su sledeće: 1 matrica koeficijenata je simetrična 2 matrica koeficijenata je retka matrica trakaste strukture (ima puno elemenata koji su = 0, a širina trake zavisi od strukture nosača i od usvojene numeracije čvorova i štapova) 3 matrica koeficijenata je pozitivno definitna Ove osobine su značajne i uslovljavaju način rešavanja dobijenih jednačina Računski modeli formirani primenom MKE mogu da budu jako veliki (n 10 6 nepoznatih), pa je način rešavanja jednačina osnovni problem

7 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Neka je data kvadratna matrica A = [a ij ], (i, j = 1, 2,..., n), kao i vektor x = {x i } reda n, sa elementima u skupu realnih brojeva Matrica A je simetrična ukoliko važi: A = A T ili a ij = a ji (2) Matrica A je pozitivno definitna ukoliko važi: x T A x > 0 ili a ij x i x j > 0 (3) za bilo koji vektor x 0 i j

8 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Kvadratna matrica koja je simetrična i pozitivno definitna naziva se normalna matrica Rešenje jednačina (1) dobija se (formalno napisano) kao K q = S q = K 1 S (4) Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A definisana je relacijom A A 1 = A 1 A = I gde je I jedinična matrica reda n

9 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Inverzna matrica može da se dobije kao A 1 = 1 deta adja Sa adja i deta označeni su adjungovana matrica matrice A i determinanta matrice A Međutim, osim izuzetno, jednačine ravnoteže ne rešavaju se određivanjem inverzne matrice i njenim množenjem sa vektorom opterećenja, prema (4)

10 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Postupci za rešavanje linearnih algebarskih jednačina dele se na dve generalne grupe: 1 direktni postupci rešavanja jednačina 2 iterativni postupci rešavanja jednačina Za rešavanje linearnih algebarskih jednačina normalne veličine (to je rastegljiv pojam!) efikasniji su direktni postupci Za nesimetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupak LU dekompozicije (u varijantama Crout-a ili Doolittle-a) Nesimetrične matrice koeficijenata (matrice krutosti ) javljaju se u analizi fluida i problemima interakcije fluida i konstrukcija

11 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Za simetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupak Čoleskog (Cholesky method - varijanta LU dekompozicije za simetrične matrice) Iterativni postupci rešavanja linearnih algebarskih jednačina (razne varijante gradijentnih postupaka) efikasniji su za jako velike sisteme jednačina Osnovne varijante gradijentnih iterativnih postupaka rešavanja linearnih algebarskih jednačina su: - metoda najmanjeg pada - metoda konjugovanih gradijenata

12 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE LU dekompozicija matrice znači da se regularna kvadratna matrica A transformiše u obliku proizvoda dve matrice: A = L U (5) gde su L i U donja i gornja trougaona matrica, redom Donja trougaona matrica L je kvadratna matrica kod koje su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli Slično, gornja trougaona matrica U je kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli

13 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Ako se izvrši LU dekompozicija (5) matrice koeficijenata sistema jednačina Ax = b, dakle kada je A = LU, dobija se L U x = b Ovakva jednačina može da se posmatra kao dva povezana sistema jednačina: Ly = b Ux = y Oba sistema se trivijalno rešavaju, jer su matrice koeficijenata trougaone strukture

14 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Prvi sistem jednačina, po privremeno nepoznatom vektoru y, rešava se zamenom unapred, polazeći od prve jednačine, pa zatim redom: y 1 = b 1 α 11 y i = 1 i 1 (b i α ij y j ) (i = 2, 3,..., n) α ii j=1

15 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Pri tome su sa α ij obeleženi elementi matrice L: α α 21 α L = α n1 α n2 α n3... α nn

16 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Sa dobijenim rešenjem za y i jednačine Ux = y rešavaju se zamenom unazad (polazeći od poslednje jednačine): x n = y n β nn x i = 1 β ii (y i n j=i+1 β ij x j ) (i = n 1, n 2,..., 1)

17 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Sa β ij obeleženi su elementi gornje trougaone matrice U: β 11 β 12 β β 1n 0 β 22 β β 2n U = β nn

18 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE U LU dekompoziciji za nesimetričnu regularnu matricu Crout-ov algoritam je tako formulisan da se elementi α ij i β ij efikasno određuju bez dodatnih memorijskih zahteva ( operacije u mestu ) Algoritam Čoleski za simetrične matrice je još efikasniji i tu se usvaja da je (zbog simetrije matrice A) L = U T Ako su elementi matrice koeficijenata A označeni sa a ij, pri čemu je matrica simetrična: a ij = a ji, onda se u metodi Čoleskog dobijaju sledeći izrazi za elemente β ij matrice U

19 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE elementi prvog reda matrice U β 11 = a 11, β 1j = a 1j β 11 (j = 2, 3,..., n) ostali elementi (za i = 2, 3,..., n) i 1 β ii = aii k=1 k=1 β 2 ki β ij = 1 i 1 (a ij β ki β kj ) (j = i + 1, i + 2,..., n) β ii

20 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Prema tome, ako broj nepoznatih u jednačinama nije suviše veliki, jednačine ravnoteže se lako reše i dobija se vektor nepoznatih generalisanih pomeranja u globalnom sistemu q Iz dobijenog vektora pomeranja q izdvajaju se vektori generalisanih pomeranja za svaki štap: q j, izraženi u globalnom sistemu Izdvajanje čvornih pomeranja pojedinih štapova iz ukupnog vektora čvornih pomeranja za ceo nosač vrši se analogno procesu sabiranja matrica krutosti, samo u suprotnom smeru

21 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Čvorna pomeranja pojedinih štapova u lokalnom sistemu dobijaju se iz čvornih pomeranja štapa u globalnom sistemu prema relaciji q j = T j q j gde je T j matrica transformacije za štap j Najzad, čvorne sile na krajevima štapova, izražene u lokalnom sistemu, dobijaju se na osnovu osnovne jednačine opterećenog štapa R j = K j q j Q j

22 Analiza linijskih nosača Primeri ulaza i izlaza Konvencije o pozitivnim smerovima - sile na krajevima štapa R j pozitivne su prema konvenciji u matričnoj analizi (u + smerovima lokalnih osa) - sile na krajevima štapa N, T, M imaju drugu konvenciju o pozitivnim smerovima

23 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Imajući u vidu: - dobijene sile na krajevima štapova, - relacije između sila R j i sila u preseku N, T, M na krajevima, - moguće spoljašnje opterećenje duž ose štapa za svaki štap mogu da se odrede sile u preseku i nacrtaju odgovarajući dijagrami sila u preseku Čvorna generalisana pomeranja q su osnovne nepoznate u posmatranoj matričnoj analizi nosača Sile u presecima prikazane u vidu dijagrama sila u preseku pretstavljaju glavne nepoznate u analizi nosača Takođe, raspodela ugiba (pomeranja upravno na osu nosača) duž svakog od štapova posmatranog nosača pretstavljaju željeni rezultat analize

24 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Imajući sve ovo u vidu osnovne faze matrične analize konstrukcija (odn. osnovne faze MKE) su 1 unos podataka i defnisanje računskog modela (pre-processing) 2 formiranje i rešavanje sistema jednačina (solution) 3 obrada dobijenih rezultata (post-processing) Prvi računarski programi kojima je implementirana matrična analiza konstrukcija (napisani u Fortran-u) imali su tekstuelnu ulaznu datoteku i tekstualnu izlaznu datoteku Najbolji takav program bio je STRESS (napravljen na MIT-u) za statičku analizu linijskih nosača u ravni i prostoru

25 Primeri ulaza i izlaza Generalna struktura programa na bazi MKE Unos podataka Rešavanje jednačina Obrada rezultata

26 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

27 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS STRU PRIMER PRORACUNA RAVNOG OKVIRA TYPE PLANE FRAME NUMB OF JOINT 8 NUMB OF MEMB 9 NUMB OF SUPP 2 NUMB OF LOAD 4 JOINT COOR S S

28 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS MEMB PROP PRISM 1 THRU 3 AX 0. 1 IZ THRU 7 AX 0. 2 IZ THRU 9 AX 0. 3 IZ MEMB INCI

29 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS MEMB RELE 1 END MOME Z 2 START MOME Z END MOME Z 4 END MOME Z 5 START MOME Z CONST E ALL TABU ALL LOAD 1 OPTERECENJE MEMB LOAD 4 FORCE X UNIF FORCE Y UNIF FORCE X UNIF FORCE Y UNIF 6.4 JOINT LOAD 8 FORCE Y 50. MOME Z 100.

30 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS LOAD 2 POMERANJE OSLONCA JOINT DISPL 2 DISPL Y 0.02 LOAD 3 TEMPERATURNA PROMENA MEMB TEMP CHAN THRU LOAD 4 TEMPERATURNA RAZLIKA MEMB END LOAD 3 START MOME Z END MOME Z 100. SOLVE PROBLEM CORRECTLY SPECIFIED, EXECUTION TO PROCEED

31 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Analiza LInijskih Nosača (MKE) Program ALIN za analizu linijskih nosača zasnovan na MKE (napisan u jeziku C++) Namena (osnovne mogućnosti) programa ALIN: - analiza linijskih nosača u ravni i u prostoru - vrsta analize: statička, dinamička, stabilnost - statička analiza: Teorija I reda i Teorija II reda - analiza stabilnosti: određivanje kritičnog opterećenja - dinamička analiza: problem svojstvenih vrednosti i odgovor za dinamičku pobudu - dinamička pobuda: vremenska funkcija opterećenja ili zadati akcelerogram

32 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Analiza LInijskih Nosača (MKE) Vrste (linijskih) konačnih elemenata implementiranih u program ALIN: - rešetkasti nosači (Truss) - puni nosači (Beam) - tankozidni nosači (TWBeam) - kablovski nosači (Cable) Predefinisane karakteristike materijala za Beton i Čelik Mogućnost automatskog unošenja sopstvene težine Neki oblici poprečnih preseka: pravougaoni, kružni, I, T, opšti presek

33 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Deo jedne od datoteka: Enums.h // g e n e r a l enum SPACE {s2d = 2, s3d = 3 } ; enum ANALYSIS {STATIC, DYNAMIC, STABILITY } ; enum OBJECT {SIMPLE, CST_BRIDGE, BUILDING, TOWER} ; // dynamics enum DYNA_TYPE {EIGEN, RESPONSE} ; enum DYNA_SOLU {MODAL, DIRECT } ; enum DYNA_LOAD {TIME_FORCE, ACCELEROGRAM} ; // s t a b i l i t y enum STAB_ANAL {SECOND, CRITICAL, POSTCRIT } ; enum STAB_STIFF {EXACT, GEOMETRIC} ; enum STAB_LOAD {FIXED, VARIABLE } ;

34 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Deo jedne od datoteka: Enums.h // s t r u c t u r e and f i n i t e e l e m e n t s enum STRUCTURE {TRUSS, FRAME, TWBEAM, CABLE, MIXED } ; enum ELEMENTS {TRUSS_ELE, BEAM_ELE, TWBEAM_ELE, CABLE_ELE, MIXED_E enum PLANE_STIFF {FOUR, SIX } ; // m a t e r i a l and c r o s s s e c t i o n s enum MATERIAL {CONCRETE, STEEL, OTHER, MIXED_MAT} ; enum SECTION {FULL, THIN_WALLED, BOTH} ; enum FULL_SECTION {RECT, CIRC, T_SEC, I_SEC, GEN_SEC, MIXED_SEC} ; enum TW_SECTION {OPENED, CLOSED, CLOSED_OPENED} ; // c a b l e s t a y e d b r i d g e enum INIT_SHAPE {LINEAR, NONLINEAR } ; enum AFTER_ISHAPE {NO, ADD_LOAD, DYNAMIC_EIG, DYNAMIC_RESP} ; enum TYPE_CABLE {BAR, ERNST, KAROUMI, BAR_SW, ERNST_SW, KAROUMI_SW

35 Primeri ulaza i izlaza Okvir u ravni - Teorija II reda: Program ALIN Analiza obostrano uklještenog dvospratnog okvira po Teoriji II reda

36 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

37 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

38 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

39 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

40 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

41 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

42 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

43 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

44 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

45 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Poređenje dobijenih rezultata

46 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede Materijal: beton MB30 (E = kpa), Presek: 10/10cm (J = m 4 )

47 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

48 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

49 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

50 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

51 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Deo izlazne datoteka: Ojler-1.txt

52 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Stabilnost proste grede - kritična sila Primeri ulaza i izlaza Kao što se vidi, dobijen parametar opterećenja je λ = Kako je sila pritiska definisana kao P = 150 kn, to je kritična sila P cr jednaka P cr = λ P = = kn Tačna vrednost Ojlerove kritične sile za prostu gredu je P cr,eu = π2 π2 EJ = l = kn Dobijena relativna greška je = P cr P cr,eu 100 = 0.38% P cr,eu

53 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

54 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Linijski nosač je prostorni nosač: - ukoliko se štapovi nosača nalaze u 3D prostoru - ako nosač pripada jednoj ravni, ali postoji opterećenje koje je na ravan nosača Ako se posmatra linijski nosač u 3D prostoru razumno je da se globalni kordinatni sistem OXY Z usvoji na standardni način Na primer, da XY ravan bude horizontalna, a osa Z vertikalna, sa smerom na gore Na taj način smer gravitacije je jasno definisan, odn. sopstvena težina nosača može lako da se automatski uzme u obzir

55 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Prostorni nosači, slično kao i nosači u ravni, mogu da budu rešetkasti i/ili puni, u zavisnosti od načina veze štapova u čvorovima Kod rešetkastih 3D nosača sve veze u čvorvima su zglobne, a sve spoljašnje veze i spoljašnje sile deluju samo u čvorovima (odn. zglobovima) Kod punih 3D nosača mora da postoji barem jedan čvor sa krutom vezom, a opterećenje može da deluje proizvoljno duž štapova

56 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Analiza nosača u prostoru pretstavlja generalizaciju razmatranja nosača u ravni Osnovne relacije za štap, transformacije iz lokalnog u globalni koordinatni sistem, način formiranja jednačina za sistem štapova, kao i unošenje graničnih uslova i rešavanje jednačina ravnoteže, formalno su isti kao i za nosače u ravni Razlika je u povećanju dimenzije prostora, a time i povećanje broja statičko-kinematičkih veličina koje ulaze u analizu

57 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Sa povećanjem broja nepoznatih u čvorovima štapa (konačnog elementa) povećavaju se dimenzije matrica krutosti i vektora Time se i ukupan broj nepoznatih veličina povećava (naravno, zavisi od složenosti računskog modela) U zavisnosti od problema koji se posmatra: linearan / nelinearan, statički / dinamički, samo rešavanje sistema algebarskih jednačina ili problema svojstvenih vrednosti može da bude prilično zahtevno po pitanju vremena rada procesora i memorijskih zahteva

58 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

59 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Štap nosača u prostoru (linijski element u 3D) ima dva čvora na svojim krajevima (dve čvorne tačke), označene sa ik U svakom čvoru nepoznate veličine su komponente vektora pomeranja i vektora rotacije čvora Za prostorni nosač svaki od ovih vektora ima po 3 koordinate Prema tome, broj nepoznatih generalisanih pomeranja u svakom čvoru je 3+3=6 Ukupan broj nepoznath veličina za jedan štap (gredni element) je 6+6=12

60 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila izražavaju se u odnosu na lokalni koordinatni sistem xyz Lokalni koordinatni sistem xyz štapa ima početak u čvoru i, a osa x je u pravcu štapa, sa smerom i k Lokalne ose yz su u ravni poprečnog preseka i one su glavne centralne ose inercije poprečnog preseka Komponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru i, u odnosu na lokalni koordinatni sistem, date su sa: u i ϕ xi u i = v i ϕ i = ϕ yi (6) w i ϕ zi

61 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Komponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru k, u odnosu na lokalni koordinatni sistem, date su slično: u k ϕ xk u k = v k ϕ k = ϕ yk (7) w k ϕ zk Ukupan vektor generalisanih pomeranja za čvor i čine vektori pomeranja i rotacije: q T i = { ui ϕ i } T = { u i v i w i ϕ xi ϕ yi ϕ zi } (8)

62 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor generalisanih pomeranja za čvor k je, analogno,: q T k = { uk ϕ k } T = { u k v k w k ϕ xk ϕ yk ϕ zk } (9) tako da je ukupan vektor generalisanih pomeranja za štap dat sa { } T q T qi = = { } u i ϕ zi u k ϕ zk (10) q k

63 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Slično su date i komponente vektora sila i spregova u čvoru i, u odnosu na lokalni koordinatni sistem: N i M xi F i = T yi M i = M yi (11) T zi M zi odnosno u čvoru k: F k = N k T yk T zk M k = M xk M yk M zk (12) Momenti M xi, odn. M xk su momenti torzije M ti, odn. M tk

64 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor čvornih sila za čvor i čine vektori sila i spregova: R T i = { Fi M i Slično je i za čvor k: R T k = { Fk M k } T = { N i T yi T zi M xi M yi M zi } T = { N k T yk T zk M xk M yk M zk } (13) } (14)

65 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor čvornih sila R za ceo štap je dat kao vektor sa 12 elemenata { } T R T Ri = = { } N i M zi N k M zk R k (15) Prema tome, gredni element u prostoru ima dve čvorne tačke i 12 čvornih nepoznatih veličina

66 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru - lokalne koordinate

67 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Kao i u slučaju grednih elemenata u ravni, veza između čvornih sila i čvornih pomeranja, odn. osnovna relacija neopterećenog štapa, data je sa R = Kq (16) gde je K matrica krutosti štapa Matrica krutosti štapa u prostoru je kvadratna, simetrična, singularna matrica reda 12 Elementi matrice krutosti prostornog štapa mogu da se odrede na isti način kao i za štap u ravni (jedino je to znatno složenije i teže)

68 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Međutim, u linearnoj teoriji štapa matrica krutosti prostornog štapa može da se (relativno) lako odredi primenom principa superpozicije Na osnovu principa superpozicije, koji važi u linearnoj teoriji, opšti slučaj prostornog naponskog stanja štapa može da se razdvoji na: - aksijalno naprezanje (u pravcu ose x) - savijanje u ravni xy (oko ose z) - savijanje u ravni xz (oko ose y) - torziju (oko ose x) Za vektore čvornih sila, pomeranja i matrice krutosti koji se odnose na pojedinačna naponska stanja koriste se oznake (indeksi), redom: a, sz, sy, t

69 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Aksijalna matrica krutosti Veza (16) za izdvojeno aksijalno naprezanje može da se prikaže kao R a = K a q a (17) Matrica krutosti za aksijalno naprezanje K a data je sa K a = E F [ ] 1 1 l 1 1 (18) dok su vektori čvornih sila i pomeranja dati sa { } { } Ni ui R a = q a = N k u k (19)

70 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za savijanje u ravni xy U izrazu (18) za matricu krutosti K a sa E, F i l označeni su modul elastičnosti materijala, površina poprečnog preseka i dužina štapa Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xy (oko ose z) data je sa R sz = K sz q sz (20) Matrica krutosti za savijanje u ravni xy K sz data je sa 12 6l 12 6l K sz = E J z 6l 4l 2 6l 2l 2 l l 12 6l (21) 6l 2l 2 6l 4l 2

71 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xy Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za savijanje u ravni xy dati su sa T yi v i M R sz = zi ϕ q T sz = zi (22) yk v k M zk ϕ zk U izrazu (21) E i l su modul elastičnosti i dužina štapa, dok je J z moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka y

72 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za savijanje u ravni xz Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xz (oko ose y) data je sa R sy = K sy q sy (23) Matrica krutosti za savijanje u ravni xz K sy data je sa K sy = E J y l l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (24)

73 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xz Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za savijanje u ravni xz dati su sa T zi w i M R sy = yi ϕ q T sy = yi (25) zk w k M yk ϕ yk U izrazu (24) J y je moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka z

74 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Čvorne sile i pomeranja za torziju Posmatra se torzija štapa (slobodna, neograničena torzija) Parametri pomeranja u čvorovima štapa su uglovi rotacije oko ose štapa ϕ xi i ϕ xk Štap ima dva stepena slobode, po jedan u svakom čvoru (kao i aksijalno naprezanje) Generalisane sile u čvorovima su momenti torzije M xi i M xk

75 Torziono napregnut štap Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru za slučaj torzije

76 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za torziju Za štap izložen slobodnoj torziji (Saint Venant-ova torzija) veza između momenta torzije i ugla obrtanja štapa data je sa M x = G J l ϕ (26) gde su - G... modul klizanja materijala štapa - J... torziona konstanta poprečnog preseka štapa Matrica krutosti pri torziji dobija se na osnovu veze (26) i značenja koeficijenata matrice krutosti (reakcije veza obostrano uklještenog štapa za jedinična generalisana pomeranja)

77 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za torziju Dobija se sledeća matrica krutosti za torziju štapa: K t = G J [ ] 1 1 l 1 1 (27) Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za torziju dati su sa { } { } Mxi ϕxi R t = q t = (28) M zk ϕ xk

78 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Torziona konstanta J Torziona konstanta J zavisi od oblika poprečnog preseka štapa U tehničkoj teoriji štapa torziona konstanta se određuje uz pretpostavku o slobodnoj Saint Venant-ovoj torziji To znači da se zanemaruje deplanacija poprečnog preseka tokom torzije Kod tankozidnih štapova takva pretpostavka ne važi

79 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Torziona konstanta J Za štap sa kružnim poprečnim presekom, sa prečnikom d, torziona konstanta jednaka je polarmom momentu inercije preseka: J = π d4 32 Za štapove pravougaonog preseka, sa širinom t i sa visinom h, torziona konstanta može da se odredi prema izrazu: [ J = h t t ( ) ] t 5 3 h (h t) (29) h

80 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Torziona konstanta J Izraz (29) može da se piše u obliku J = h t3 3 β gde je β koeficijent koji se izračunava za različite odnose h/t i može da se tabuliše Kada je pravougaoni presek dovoljno uzan, odn. u graničnom slučaju h/t, dobija se izraz za torzionu konstantu J = 1 3 h t3

81 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za torziju Matrica krutosti štapa opterećenog na torziju po strukturi je ista kao i matrica krutosti za aksijalno naprezanje Dovoljno je da se E F u matrici K a zameni sa G J i dobija se matrica krutosti K t Vektor ekvivalentnog opterećenja za slučaj torzije određuje se slično kao i vektor ekvivalentog opterećenja za aksijalno naprezanje Razlika je, naravno, u različitom značenju elemenata ovih vektora (momenti torzije i aksijalne sile na krajevima štapa)

82 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Za svako od nezavisnih naponskih stanja odgovarajuća matrica krutosti, odn. submatrica ukupne matrice krutosti štapa, određuje se posebno, tako da veza (16) može da se prikaže u obliku: R a R sz R sy R t = K a K sz K sy K t q a q sz q sy q t Međutim, takav redosled i grupisanje čvornih sila i pomeranja nije praktičan (30)

83 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ovakav kvazidijagonalan oblik matrice krutosti štapa u prostoru je pogodan i kompaktan Međutim, to je matrica krutosti u lokalnom sistemu, a prilikom transformacije iz lokalnog u globalni sistem takav oblik se gubi Zato se generalisane sile i generalisana pomeranja prikazuju u drugačijem redosledu: prvo za čvor i, pa zatim za čvor k To dovodi do odgovarajuće promene položaja pojedinih vrsta i kolona u matrici krutosti datoj sa (30)

84 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa Generalisane sile ili pomeranja na krajevima štapa u prostoru - lokalne koordinate u pogodnom redosledu

85 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Položaj vrsta/kolona submatrica krutosti u ukupnoj matrici krutosti štapa u prostoru

86 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Elementi matrice krutosti štapa u prostoru

87 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Elementi matrice krutosti štapa u prostoru

88 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za aksijalno naprezanje Statičko značenje elemenata matrice krutosti K a za aksijalno naprezanje

89 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za savijanje u xy ravni Statičko značenje elemenata matrice krutosti K sz za savijanje u ravni xy

90 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za savijanje u xz ravni Statičko značenje elemenata matrice krutosti K sy za savijanje u ravni xz

91 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za torziono naprezanje Statičko značenje elemenata matrice krutosti K a za torziono naprezanje

92 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Vektori ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja Q kod nosača u 3D prostoru jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostrano uklještenog štapa Vektor ekvivalentnog opterećenja kod nosača u 3D prostoru određuje se, u principu, na isti način kao i kod nosača u ravni - posebno za svaki slučaj opterećenja: - aksijalno - savijanje u xy ravni - savijanje u xz ravni - torzija Koriste se isti izrazi kao i za nosač u ravni, uz odgovarajuće momente inercije

93 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Vektori ekvivalentnog opterećenja Kao i kod nosača u ravni, vektor ekvivalentnog opterećenja pretstavlja vektor ekvivalentnih sila u čvorovima koje u potpunosti zamenjuju spoljašnje opterećenje duž štapa Osnovna jednačina opterećenog štapa data je, po formi, isto kao i kod nosača u ravni: R = Kq Q (31) Razlika u odnosu na štap u ravni je u veličini matrica i vektora: u ravni 6, u prostoru po 12 elemenata Relacija (31) je u lokalnom sistemu štapa

94 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

95 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Kao i kod nosača u ravni, osnovne relacije o štapu izvode se u lokalnom koordinatnom sistemu xyz koji je definisan u odnosu na štap: osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i k, dok su ose yz glavne centralne ose poprečnog preseka U sistemu štapova koji čini posmatrani nosač u prostoru položaj svakog štapa određen je u odnosu na globalni koordinatni sistem XY X Koordinatni početak globalnog sistema je pogodno izabrana tačka O(0, 0, 0), dok je koordinatni početak lokalnog sistema za svaki štap definisan u kraju štapa koji je usvojen za čvor i

96 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru U određivanju relacija između vektora prikazanih u lokalnom ili u globalnom sistemu, posmatra se slučaj kada se koordinatni počeci lokalnog i globalnog sistema poklapaju Ortovi osa globalnog sistema XY Z su, redom, I, J, K Ortovi osa lokalnog sistema xyz su, redom, označeni sa ı, j, k Neka su uglovi između osa globalnog i lokalnog sistema dati sa γ ij (i, j = 1, 2, 3)

97 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Štap (gredni konačni element) određen je u prostoru sa svoje tri tačke: - tačka P i... početak štapa i - tačka P k... kraj štapa k - tačka P m... bilo koja tačka u lokalnoj ravni štapa xy Koordinate ovih tačaka date su u globalnom sistemu XY Z: P i (X i, Y i, Z i ) P k (X k, Y k, Z k ) P m (X m, Y m, Z m ) Jedinični vektor lokalne ose x određen je sa tačkama P i i P k : ı = P i P k P i P k = cos γ 11 I + cos γ12 J + cos γ13 K

98 Lokalni sistem štapa u prostoru Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Štap (gredni element) u prostoru Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke i, j, k (odn. i, k, m)

99 Lokalni sistem štapa u prostoru Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Štap (gredni element) u prostoru Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke 1, 2, 3 (odn. i, k, m)

100 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Jedinični vektor e im u lokalnoj ravni xy određen je sa tačkama P i i P m : P i P m e im = P i P m Jedinični vektor k lokalne ose z određen je sa vektorskim proizvodom k = ı eim Najzad, jedinični vektor j lokalne ose y određen je vektorskim proizvodom j = k ı

101 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Prema tome, ortovi osa lokalnog sistema štapa određeni su u odnosu na globalni koordinatni sistem sa tri navedene tačke: početak štapa, kraj štap i bilo koja (pomoćna) tačka u lokalnoj glavnoj ravni štapa xy Koordinate ortova lokalnih osa date su sa kosinusima uglova koje zaklapaju sa osama globalnog sistema Takve relacije mogu da se prikažu u matričnom obliku ı cos γ 11 cos γ 12 cos γ 13 I j = cos γ 21 cos γ 22 cos γ 23 J k cos γ 31 cos γ 32 cos γ 33 K (32)

102 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica u relacijama (32) naziva se matrica rotacije λ λ = cos γ 11 cos γ 12 cos γ 13 cos γ 21 cos γ 22 cos γ 23 cos γ 31 cos γ 32 cos γ 33 Matrica rotacije je ortogonalna matrica: λ 1 = λ T (33) Položaj sistema xyz u odnosu na sistemxy Z određen je, prema tome, matricom rotacije λ

103 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Relacije između ortova dva sistema (32) mogu da se napišu u obliku ı I j = [λ] J (34) k K Kako je matrica rotacije ortogonalna, onda važi I J K = [λ]t ı j k (35)

104 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Posmatra se proizvoljan vektor R koji može da se izrazi ili u globalnom sistemu ili u lokalnom sistemu U globalnom sistemu vektor R označava se sa gornjim indeksom () Prikazano u matričnom obliku, isti vektor može da se prikaže u jednom ili u drugom sistemu, čiji su ortovi povezani međusobno matricom rotacije λ - u globalnom sistemu - u lokalnom sistemu R T = {R 1, R 2, R 3} R T = {R 1, R 2, R 3 }

105 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Napisano u vektorskom obliku, isti vektor u dva prikaza R i R može da se napiše - u globalnom sistemu - u lokalnom sistemu R T = R 1 I + R 2 J + R 3 K (36) R T = R 1 ı + R 2 j + R 3 k (37)

106 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Imajući u vidu relacije između jediničnih vektora lokalnog i globalnog sistema date sa (34), odn, (35), između različitih prikaza istog vektora (36) i (37) mogu da se uspostave relacije - vektor u lokalnom sistemu prikazan preko vektora u globalnom sistemu R = λ T R (38) - vektor u globalnom sistemu prikazan preko vektora u lokalnom sistemu R = λ R (39)

107 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Proizvoljan vektor u dva prikaza R i R može da bude vektor sila F ili vektor momenata M u čvoru i ili u čvoru k Takođe, to može da bude vektor pomeranja u ili vektor rotacije ϕ u čvoru i ili k Prema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu u lokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije - Čvorne sile (za čvor i ili k) { } [ ] { } Fi,k λ T F = i,k M i,k λ T Mi,k (40)

108 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Prema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu u lokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije (nastavak) - Čvorna pomeranja (za čvor i ili k) { } [ ] { } ui,k λ T u = i,k (41) ϕ i,k λ T ϕ i,k Relacije (40) i (41) mogu da se prikažu skraćeno u obliku R i,k = t T R i,k q i,k = t T q i,k (42)

109 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru U relacijama (42) uvedene su oznake { } { } Fi,k ui,k R i,k = q i,k = M i,k ϕ i,k [ t T λ T = Ako se napišu relacije za oba čvora i i k, dobija se λ T ] (43) R = T T R q = T T q (44) gde je T matrica transformacije reda 12 [ ] t T = t (45)

110 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Analogno, i za vektor ekvivalentog opterećenja Q važi ista transformacija: Q = T T Q (46) Kako je matrica rotacije ortogonalna, to je i matrica transformacije takođe ortogonalna matrica, pa važe relacije R = T R q = T q Q = T Q (47) Relacije (44) i (46) pretstavljaju transformaciju iz globalnog u lokalni sistem, dok su relacije (47) transformacija iz lokalnog u globalni sistem

111 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Generalisane sile (pomeranja) u lokalnom i u globalnom sistemu

112 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

113 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Osnovna jednačina opterećenog štapa Posmatra se osnovna jednačina opterećenog štapa (31) R = Kq Q (48) U jedn. (48) unosi se (44) za vektor q, pa se zatim jednačina množi sa leve strane sa matricom T : T R = T KT T q T Q Imajući u vidu relacije (47), dobija se R = K q Q (49)

114 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Formiranje jednačina u globalnom sistemu Relacija (49) je osnovna jednačina opterećenog štapa u globalnom koordinatnom sistemu Matrica K je globalna matrica krutosti štapa u prostoru, reda 12 K = T KT T (50) Kao i u slučaju štapa u ravni, matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama je kvadratna, simetrična i singularna matrica Sabiranje matrica krutosti K štapova nosača u prostoru vrši se, načelno, isto kao i kod nosača u ravni

115 Analiza nosača u prostoru Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Formiranje jednačina u globalnom sistemu Kao rezultat, dobija se jednačina ravnoteže sistema, u globalnom koordinatnom sistemu K q = S (51) Matrica K je matrica krutosti sistema štapova, vektor q je vektor pomeranja čvorova nosača, dok je S vektor opterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama) U jednačinu ravnoteže (51) unose se granični uslovi redukcijom, ili, bolje, transformacijom matrice krutosti Smatra se da su već uneti granični uslovi, tako da je matrica K u jedn. (51) regularna matrica

116 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Redukcija matrice krutosti i vektora Q 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

117 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Kod nosača u prostoru, ukoliko nisu u pitanju prostorne rešetke, štapovi su obično kruto vezani na oba kraja (štapovi tipa k ) Međutim, moguće je da su neke od veza na jednom kraju (ili ba oba) ukinute, odn. moguće je da su jedna ili više čvornih sila jednake nuli U takom slučaju mora da se koriguje matrica krutosti u lokalnom sistemu

118 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Posmatra je osnovna jednačina opterećenog štapa (48) R = Kq Q (52) Za štap u prostoru vektori i matrica u jedn.(52) su reda n = 12 Jednačina (52) može da se prikaže u skalarnom obliku: n R i = k ij q j Q i (i = 1, 2,..., 12) (53) j=1 gde su k ij elementi matrice krutosti štapa K

119 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Neka je element broj k vektora čvornih sila jednak nuli (ukunuta je veza broj k): R k = n k ij q j Q k = 0 j=1 Iz ovog uslova dobija se čvorno pomeranje broj k u obliku q k = 1 k kk n j=1,j k k kj q j + 1 k kk Q k (54)

120 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Relacije (53), odn. komponente čvornih sila na krajevima mogu da se napišu i u obliku R i = n j=1,j k k ij q j + k ik q k Q i (i = 1, 2,..., 12) (55) Ako je čvorna sila broj k jednaka nuli, R k = 0, u jedn. (55) unosi se čvorno pomeranje q k prema (54): R i = n j=1,j k k ij q j k ik k kk n j=1,j k k kj q j Q i + k ik k kk Q k (56)

121 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Jednačine (56) mogu da se napišu u obliku R i = gde je (za i = 1, 2,..., n), n j=1,j k k r ij q j Q r i (57) k r ij = k ij k ik k kj k kk (j = 1, 2, k 1, k + 1,..., n) (58) kao i Q r i = Q i k ik k kk Q k (i = 1, 2,..., n) (59)

122 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Gornji indeks r ukazuje na redukovane elemente matrice krutosti i vektora ekvivalentnih sila U izrazu za redukovan element matrice krutosti (58) dobija se za j = k: k r ik = k ik k ik k kk k kk = 0 (i = 1, 2,..., n) (60) Prema tome, u jednačine (57) može da se uključi i član sa indeksom j = k, tako da se dobija R i = n kij r q j Q r i (61) j=1

123 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q U jednačini (61) redukovani elementi matrice krutosti dati su sa k r ij = k ij k ik k kj k kk (i, j = 1, 2,..., n) (62) Kao što se vidi, red lokalne matrice krutosti ostaje n = 12, pri čemu su elementi u redu i koloni matrice krutosti koji odgovaraju broju k ukinute čvorne sile, R k = 0, jednaki nuli Redukovan vektor ekvivalentnih čvornih sila dat je sa (59)

124 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Za svako oslobađanje veza na krajevima vrši se redukcija koeficijenata matrice krutosti štapa u lokalnom sistemu, prema (62), kao i redukcija elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja prema (59) Za štap u prostoru kod koga je izvršeno oslobađanje nekih veza na krajevima, osnovna jednačina opterećenog štapa data je sa R = K r q Q r (63)

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje

Osnovne vrste naprezanja: Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje. Savijanje. Izvijanje Osnovne vrste napreanja: ksijalno napreanje Smicanje Uvijanje Savijanje Ivijanje 1 SVIJNJE GREDE SI Greda je opterećena na desnom kraju silom paralelno jednoj od glavnih centralnih osa inercije (y osi).

Διαβάστε περισσότερα

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd

Teorija betonskih konstrukcija 1. Vežbe br. 4. GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 Vežbe br. 4 GF Beograd Teorija betonskih konstrukcija 1 1 "T" preseci - VEZANO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji (M G,Q ) sračunato kvalitet materijala (f cd, f

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar

OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar OTPORNOST MATERIJALA 2 Osnovne akademske studije, III semestar Prof dr Stanko Br i email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehni ke nauke Drºavni Univerzitet u Novom Pazaru 2015/16 Sadrºaj 1 Sloºeno naprezanje

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače

Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Zadatak 4b- Dimenzionisanje rožnjače Rožnjača je statičkog sistema kontinualnog nosača raspona L= 5x6,0m. Usvaja se hladnooblikovani šuplji profil pravougaonog poprečnog preseka. Raster rožnjača: λ r 2.5m

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole

Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije elastična linija kod proste grede elastična linija kod konzole Izvođenje diferencijalne jednačine elastične linije Elastična linija, čija je jednačina y(z), je krivolinijski oblik ose nosača izazvan opterećenjem. Koordinatni sistem ćemo uvek uzimati tako da je koordinatni

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA

SILE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA SIE U PRESEKU GREDNOG NOSAČA DEFINICIJE SIA U PRESECIMA Projektovanje bilo kog konstruktivnog elemenata podrazumeva određivanje unutrašnjih sila u tom elementu da bi se obezbedilo da materijal od koga

Διαβάστε περισσότερα

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA)

PROSTA GREDA (PROSTO OSLONJENA GREDA) ROS GRED (ROSO OSONJEN GRED) oprečna sila i moment savijanja u gredi y a b c d e a) Zadana greda s opterećenjem l b) Sile opterećenja na gredu c) Određivanje sila presjeka grede u presjeku a) Unutrašnje

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru

Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru Osnovne definicije i rezultati iz Uvoda u linearnu algebru (0.01) Simetrije Neka je A = [a ij ] kvadratna matrica (matrica oblika n n). a) Za A kažemo da je simetrična matrica kadgod je A = A, tj. kadgod

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI

CENTRIČNO PRITISNUTI ELEMENTI 3/7/013 CETRIČO PRITISUTI ELEMETI 1 Primeri primene 1 3/7/013 Oblici poprečnih presea 3 Specifičnosti pritisnutih elemenata ivijanje Konrola napona u poprečnom preseu nije dovoljan uslov a dimenionisanje;

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

P z. =1.1MN/m _ =0.68MNm/m. k b =460.0MN/m 3 z. Dispozicija opterećenja grupe šipova preko krute naglavnice

P z. =1.1MN/m _ =0.68MNm/m. k b =460.0MN/m 3 z. Dispozicija opterećenja grupe šipova preko krute naglavnice BROJNI PRIMER - 9 Na slici 9.1 je orečni resek trakastog temelja obalnog zida. Temelj zida je kruta naglavnica na šiovima. Oterećenje otornog zida je redukovano u težište naglavnice. Podužno rastojanje

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C)

PRILOG. Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) PRILOG Tab. 1.a. Dozvoljena trajna opterećenja bakarnih pravougaonih profila u(a) za θ at =35 C i θ=30 C, (θ tdt =65 C) Tab 3. Vrednosti sačinilaca α i β za tipične konstrukcije SN-sabirnica Tab 4. Minimalni

Διαβάστε περισσότερα

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca

30 kn/m. - zamenimo oslonce sa reakcijama oslonaca. - postavimo uslove ravnoteže. - iz uslova ravnoteže odredimo nepoznate reakcije oslonaca . Za zadati nosač odrediti: a) Statičke uticaje (, i T) a=.50 m b) Dimenzionisati nosač u kritičnom preseku i proveriti normalne, smičuće i uporedne napone F=00 k F=50 k q=30 k/m a a a a Kvalitet čelika:

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA

ISPIT GRUPA A - RJEŠENJA Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga AB oslonjena je na dva čelična štapa u A i B i opterećena trouglastim opterećenjem, kao na slici desno. Ako su oba štapa iste dužine L,

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJ ETONSKIH KONSTRUKCIJ 1 PRESECI S PRSLINO - VELIKI EKSCENTRICITET ČISTO SVIJNJE - VEZNO DIENZIONISNJE Poznato: - statički ticaji za pojedina opterećenja ( i ) - kalitet materijala (f, σ ) - dimenzije

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a.

Determinante. a11 a. a 21 a 22. Definicija 1. (Determinanta prvog reda) Determinanta matrice A = [a] je broj a. Determinante Determinanta A deta je funkcija definirana na skupu svih kvadratnih matrica, a poprima vrijednosti iz skupa skalara Osim oznake deta za determinantu kvadratne matrice a 11 a 12 a 1n a 21 a

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm

20 mm. 70 mm i 1 C=C 1. i mm MMENT NERJE ZDTK. Za površinu prema datoj slici odrediti: a centralne težišne momente inercije, b položaj glavnih, centralnih osa inercije, c glavne, centralne momente inercije, d glavne, centralne poluprečnike

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA

ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA ČVRSTOĆA 13. GEOMETRIJSKE KARAKTERISTIKE RAVNIH PRESJEKA ŠTAPA STATIČKI MOMENTI I MOMENTI INERCIJE RAVNIH PLOHA Kao što pri aksijalnom opterećenju štapa apsolutna vrijednost naprezanja zavisi, između ostalog,

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA

LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA LINEARNA ALGEBRA I ANALITIČKA GEOMETRIJA Predrag Tanović February 11, 211 {WARNING: Sadržaj ovog materijala NI U KOM SLUČAJU NE MOŽE ZAMENITI UDŽBENIK: radi se o prepravljanim slajdovima predavanja. Reference

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 2 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske transformacije

Geometrijske transformacije Računarstvo i informatika Računarska grafika Geometrijske transformacije Prof. Dr Slobodanka Đorđević - Kajan Katedra za računarstvo Elektronski fakultet Niš 1 Ciljevi Upoznati osnovne 2D geometrijske

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα