METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar"

Transcript

1 METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15

2 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

3 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

4 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Jednačine ravnoteže koje se odnose na posmatrani računski model linijskog nosača (u ravni) imaju oblik K q = S (1) Matrica koeficijenata K uz nepoznati vektor q je globalna matrica krutosti sistema štapova Vektor slobodnih članova S je vektor opterećenja koji je posledica spoljašnjih sila koje su koncentrisane u čvorovima nosača, kao i opterećenja koje deluje duž pojedinih štapova i koje je zamenjeno ekvivalentnim čvornim opterećenjem

5 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Matrica koeficijenata K može da bude redukovana matrica krutosti, dobijena posle izbacivanja vrsta i kolona koje odgovaraju sprečenim pomeranjima oslonačkih čvorova, ili transformisana matrica krutosti, dobijena kada se elementima glavne dijagonale koji odgovaraju sprečenim pomeranjima oslonačih čvorova dodaju jako veliki brojevi U svakom slučaju, matrica koeficijenata K je regularna matrica i sistem uslovnih jednačina ravnoteže (1) može da se reši (postoji inverzna matrica)

6 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Osnovne osobine matrice koeficijenata u jednačinama (1) su sledeće: 1 matrica koeficijenata je simetrična 2 matrica koeficijenata je retka matrica trakaste strukture (ima puno elemenata koji su = 0, a širina trake zavisi od strukture nosača i od usvojene numeracije čvorova i štapova) 3 matrica koeficijenata je pozitivno definitna Ove osobine su značajne i uslovljavaju način rešavanja dobijenih jednačina Računski modeli formirani primenom MKE mogu da budu jako veliki (n 10 6 nepoznatih), pa je način rešavanja jednačina osnovni problem

7 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Neka je data kvadratna matrica A = [a ij ], (i, j = 1, 2,..., n), kao i vektor x = {x i } reda n, sa elementima u skupu realnih brojeva Matrica A je simetrična ukoliko važi: A = A T ili a ij = a ji (2) Matrica A je pozitivno definitna ukoliko važi: x T A x > 0 ili a ij x i x j > 0 (3) za bilo koji vektor x 0 i j

8 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Kvadratna matrica koja je simetrična i pozitivno definitna naziva se normalna matrica Rešenje jednačina (1) dobija se (formalno napisano) kao K q = S q = K 1 S (4) Inverzna matrica kvadratne regularne matrice A definisana je relacijom A A 1 = A 1 A = I gde je I jedinična matrica reda n

9 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Inverzna matrica može da se dobije kao A 1 = 1 deta adja Sa adja i deta označeni su adjungovana matrica matrice A i determinanta matrice A Međutim, osim izuzetno, jednačine ravnoteže ne rešavaju se određivanjem inverzne matrice i njenim množenjem sa vektorom opterećenja, prema (4)

10 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Postupci za rešavanje linearnih algebarskih jednačina dele se na dve generalne grupe: 1 direktni postupci rešavanja jednačina 2 iterativni postupci rešavanja jednačina Za rešavanje linearnih algebarskih jednačina normalne veličine (to je rastegljiv pojam!) efikasniji su direktni postupci Za nesimetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupak LU dekompozicije (u varijantama Crout-a ili Doolittle-a) Nesimetrične matrice koeficijenata (matrice krutosti ) javljaju se u analizi fluida i problemima interakcije fluida i konstrukcija

11 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Za simetričnu matricu koeficijenata najefikasniji je postupak Čoleskog (Cholesky method - varijanta LU dekompozicije za simetrične matrice) Iterativni postupci rešavanja linearnih algebarskih jednačina (razne varijante gradijentnih postupaka) efikasniji su za jako velike sisteme jednačina Osnovne varijante gradijentnih iterativnih postupaka rešavanja linearnih algebarskih jednačina su: - metoda najmanjeg pada - metoda konjugovanih gradijenata

12 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE LU dekompozicija matrice znači da se regularna kvadratna matrica A transformiše u obliku proizvoda dve matrice: A = L U (5) gde su L i U donja i gornja trougaona matrica, redom Donja trougaona matrica L je kvadratna matrica kod koje su svi elementi iznad glavne dijagonale jednaki nuli Slično, gornja trougaona matrica U je kvadratna matrica kod koje su svi elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli

13 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Ako se izvrši LU dekompozicija (5) matrice koeficijenata sistema jednačina Ax = b, dakle kada je A = LU, dobija se L U x = b Ovakva jednačina može da se posmatra kao dva povezana sistema jednačina: Ly = b Ux = y Oba sistema se trivijalno rešavaju, jer su matrice koeficijenata trougaone strukture

14 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Prvi sistem jednačina, po privremeno nepoznatom vektoru y, rešava se zamenom unapred, polazeći od prve jednačine, pa zatim redom: y 1 = b 1 α 11 y i = 1 i 1 (b i α ij y j ) (i = 2, 3,..., n) α ii j=1

15 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Pri tome su sa α ij obeleženi elementi matrice L: α α 21 α L = α n1 α n2 α n3... α nn

16 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Sa dobijenim rešenjem za y i jednačine Ux = y rešavaju se zamenom unazad (polazeći od poslednje jednačine): x n = y n β nn x i = 1 β ii (y i n j=i+1 β ij x j ) (i = n 1, n 2,..., 1)

17 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Sa β ij obeleženi su elementi gornje trougaone matrice U: β 11 β 12 β β 1n 0 β 22 β β 2n U = β nn

18 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE U LU dekompoziciji za nesimetričnu regularnu matricu Crout-ov algoritam je tako formulisan da se elementi α ij i β ij efikasno određuju bez dodatnih memorijskih zahteva ( operacije u mestu ) Algoritam Čoleski za simetrične matrice je još efikasniji i tu se usvaja da je (zbog simetrije matrice A) L = U T Ako su elementi matrice koeficijenata A označeni sa a ij, pri čemu je matrica simetrična: a ij = a ji, onda se u metodi Čoleskog dobijaju sledeći izrazi za elemente β ij matrice U

19 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE elementi prvog reda matrice U β 11 = a 11, β 1j = a 1j β 11 (j = 2, 3,..., n) ostali elementi (za i = 2, 3,..., n) i 1 β ii = aii k=1 k=1 β 2 ki β ij = 1 i 1 (a ij β ki β kj ) (j = i + 1, i + 2,..., n) β ii

20 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Prema tome, ako broj nepoznatih u jednačinama nije suviše veliki, jednačine ravnoteže se lako reše i dobija se vektor nepoznatih generalisanih pomeranja u globalnom sistemu q Iz dobijenog vektora pomeranja q izdvajaju se vektori generalisanih pomeranja za svaki štap: q j, izraženi u globalnom sistemu Izdvajanje čvornih pomeranja pojedinih štapova iz ukupnog vektora čvornih pomeranja za ceo nosač vrši se analogno procesu sabiranja matrica krutosti, samo u suprotnom smeru

21 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Čvorna pomeranja pojedinih štapova u lokalnom sistemu dobijaju se iz čvornih pomeranja štapa u globalnom sistemu prema relaciji q j = T j q j gde je T j matrica transformacije za štap j Najzad, čvorne sile na krajevima štapova, izražene u lokalnom sistemu, dobijaju se na osnovu osnovne jednačine opterećenog štapa R j = K j q j Q j

22 Analiza linijskih nosača Primeri ulaza i izlaza Konvencije o pozitivnim smerovima - sile na krajevima štapa R j pozitivne su prema konvenciji u matričnoj analizi (u + smerovima lokalnih osa) - sile na krajevima štapa N, T, M imaju drugu konvenciju o pozitivnim smerovima

23 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Imajući u vidu: - dobijene sile na krajevima štapova, - relacije između sila R j i sila u preseku N, T, M na krajevima, - moguće spoljašnje opterećenje duž ose štapa za svaki štap mogu da se odrede sile u preseku i nacrtaju odgovarajući dijagrami sila u preseku Čvorna generalisana pomeranja q su osnovne nepoznate u posmatranoj matričnoj analizi nosača Sile u presecima prikazane u vidu dijagrama sila u preseku pretstavljaju glavne nepoznate u analizi nosača Takođe, raspodela ugiba (pomeranja upravno na osu nosača) duž svakog od štapova posmatranog nosača pretstavljaju željeni rezultat analize

24 Primeri ulaza i izlaza Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Imajući sve ovo u vidu osnovne faze matrične analize konstrukcija (odn. osnovne faze MKE) su 1 unos podataka i defnisanje računskog modela (pre-processing) 2 formiranje i rešavanje sistema jednačina (solution) 3 obrada dobijenih rezultata (post-processing) Prvi računarski programi kojima je implementirana matrična analiza konstrukcija (napisani u Fortran-u) imali su tekstuelnu ulaznu datoteku i tekstualnu izlaznu datoteku Najbolji takav program bio je STRESS (napravljen na MIT-u) za statičku analizu linijskih nosača u ravni i prostoru

25 Primeri ulaza i izlaza Generalna struktura programa na bazi MKE Unos podataka Rešavanje jednačina Obrada rezultata

26 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

27 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS STRU PRIMER PRORACUNA RAVNOG OKVIRA TYPE PLANE FRAME NUMB OF JOINT 8 NUMB OF MEMB 9 NUMB OF SUPP 2 NUMB OF LOAD 4 JOINT COOR S S

28 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS MEMB PROP PRISM 1 THRU 3 AX 0. 1 IZ THRU 7 AX 0. 2 IZ THRU 9 AX 0. 3 IZ MEMB INCI

29 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS MEMB RELE 1 END MOME Z 2 START MOME Z END MOME Z 4 END MOME Z 5 START MOME Z CONST E ALL TABU ALL LOAD 1 OPTERECENJE MEMB LOAD 4 FORCE X UNIF FORCE Y UNIF FORCE X UNIF FORCE Y UNIF 6.4 JOINT LOAD 8 FORCE Y 50. MOME Z 100.

30 Program STRESS Primeri ulaza i izlaza Primer ulazne datoteke za program STRESS LOAD 2 POMERANJE OSLONCA JOINT DISPL 2 DISPL Y 0.02 LOAD 3 TEMPERATURNA PROMENA MEMB TEMP CHAN THRU LOAD 4 TEMPERATURNA RAZLIKA MEMB END LOAD 3 START MOME Z END MOME Z 100. SOLVE PROBLEM CORRECTLY SPECIFIED, EXECUTION TO PROCEED

31 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Analiza LInijskih Nosača (MKE) Program ALIN za analizu linijskih nosača zasnovan na MKE (napisan u jeziku C++) Namena (osnovne mogućnosti) programa ALIN: - analiza linijskih nosača u ravni i u prostoru - vrsta analize: statička, dinamička, stabilnost - statička analiza: Teorija I reda i Teorija II reda - analiza stabilnosti: određivanje kritičnog opterećenja - dinamička analiza: problem svojstvenih vrednosti i odgovor za dinamičku pobudu - dinamička pobuda: vremenska funkcija opterećenja ili zadati akcelerogram

32 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Analiza LInijskih Nosača (MKE) Vrste (linijskih) konačnih elemenata implementiranih u program ALIN: - rešetkasti nosači (Truss) - puni nosači (Beam) - tankozidni nosači (TWBeam) - kablovski nosači (Cable) Predefinisane karakteristike materijala za Beton i Čelik Mogućnost automatskog unošenja sopstvene težine Neki oblici poprečnih preseka: pravougaoni, kružni, I, T, opšti presek

33 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Deo jedne od datoteka: Enums.h // g e n e r a l enum SPACE {s2d = 2, s3d = 3 } ; enum ANALYSIS {STATIC, DYNAMIC, STABILITY } ; enum OBJECT {SIMPLE, CST_BRIDGE, BUILDING, TOWER} ; // dynamics enum DYNA_TYPE {EIGEN, RESPONSE} ; enum DYNA_SOLU {MODAL, DIRECT } ; enum DYNA_LOAD {TIME_FORCE, ACCELEROGRAM} ; // s t a b i l i t y enum STAB_ANAL {SECOND, CRITICAL, POSTCRIT } ; enum STAB_STIFF {EXACT, GEOMETRIC} ; enum STAB_LOAD {FIXED, VARIABLE } ;

34 Program ALIN - MKE Primeri ulaza i izlaza Deo jedne od datoteka: Enums.h // s t r u c t u r e and f i n i t e e l e m e n t s enum STRUCTURE {TRUSS, FRAME, TWBEAM, CABLE, MIXED } ; enum ELEMENTS {TRUSS_ELE, BEAM_ELE, TWBEAM_ELE, CABLE_ELE, MIXED_E enum PLANE_STIFF {FOUR, SIX } ; // m a t e r i a l and c r o s s s e c t i o n s enum MATERIAL {CONCRETE, STEEL, OTHER, MIXED_MAT} ; enum SECTION {FULL, THIN_WALLED, BOTH} ; enum FULL_SECTION {RECT, CIRC, T_SEC, I_SEC, GEN_SEC, MIXED_SEC} ; enum TW_SECTION {OPENED, CLOSED, CLOSED_OPENED} ; // c a b l e s t a y e d b r i d g e enum INIT_SHAPE {LINEAR, NONLINEAR } ; enum AFTER_ISHAPE {NO, ADD_LOAD, DYNAMIC_EIG, DYNAMIC_RESP} ; enum TYPE_CABLE {BAR, ERNST, KAROUMI, BAR_SW, ERNST_SW, KAROUMI_SW

35 Primeri ulaza i izlaza Okvir u ravni - Teorija II reda: Program ALIN Analiza obostrano uklještenog dvospratnog okvira po Teoriji II reda

36 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

37 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

38 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

39 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo ulazne datoteke

40 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

41 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

42 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

43 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

44 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Program ALIN: deo izlazne datoteke

45 Okvir u ravni - Teorija II reda Primeri ulaza i izlaza Poređenje dobijenih rezultata

46 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede Materijal: beton MB30 (E = kpa), Presek: 10/10cm (J = m 4 )

47 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

48 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

49 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

50 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Stabilnost proste grede - ulazni podaci

51 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Primeri ulaza i izlaza Deo izlazne datoteka: Ojler-1.txt

52 Stabilnost - Prvi Ojlerov slučaj Stabilnost proste grede - kritična sila Primeri ulaza i izlaza Kao što se vidi, dobijen parametar opterećenja je λ = Kako je sila pritiska definisana kao P = 150 kn, to je kritična sila P cr jednaka P cr = λ P = = kn Tačna vrednost Ojlerove kritične sile za prostu gredu je P cr,eu = π2 π2 EJ = l = kn Dobijena relativna greška je = P cr P cr,eu 100 = 0.38% P cr,eu

53 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

54 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Linijski nosač je prostorni nosač: - ukoliko se štapovi nosača nalaze u 3D prostoru - ako nosač pripada jednoj ravni, ali postoji opterećenje koje je na ravan nosača Ako se posmatra linijski nosač u 3D prostoru razumno je da se globalni kordinatni sistem OXY Z usvoji na standardni način Na primer, da XY ravan bude horizontalna, a osa Z vertikalna, sa smerom na gore Na taj način smer gravitacije je jasno definisan, odn. sopstvena težina nosača može lako da se automatski uzme u obzir

55 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Prostorni nosači, slično kao i nosači u ravni, mogu da budu rešetkasti i/ili puni, u zavisnosti od načina veze štapova u čvorovima Kod rešetkastih 3D nosača sve veze u čvorvima su zglobne, a sve spoljašnje veze i spoljašnje sile deluju samo u čvorovima (odn. zglobovima) Kod punih 3D nosača mora da postoji barem jedan čvor sa krutom vezom, a opterećenje može da deluje proizvoljno duž štapova

56 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Analiza nosača u prostoru pretstavlja generalizaciju razmatranja nosača u ravni Osnovne relacije za štap, transformacije iz lokalnog u globalni koordinatni sistem, način formiranja jednačina za sistem štapova, kao i unošenje graničnih uslova i rešavanje jednačina ravnoteže, formalno su isti kao i za nosače u ravni Razlika je u povećanju dimenzije prostora, a time i povećanje broja statičko-kinematičkih veličina koje ulaze u analizu

57 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza nosača u prostoru Linijski nosači u 3D prostoru Sa povećanjem broja nepoznatih u čvorovima štapa (konačnog elementa) povećavaju se dimenzije matrica krutosti i vektora Time se i ukupan broj nepoznatih veličina povećava (naravno, zavisi od složenosti računskog modela) U zavisnosti od problema koji se posmatra: linearan / nelinearan, statički / dinamički, samo rešavanje sistema algebarskih jednačina ili problema svojstvenih vrednosti može da bude prilično zahtevno po pitanju vremena rada procesora i memorijskih zahteva

58 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

59 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Štap nosača u prostoru (linijski element u 3D) ima dva čvora na svojim krajevima (dve čvorne tačke), označene sa ik U svakom čvoru nepoznate veličine su komponente vektora pomeranja i vektora rotacije čvora Za prostorni nosač svaki od ovih vektora ima po 3 koordinate Prema tome, broj nepoznatih generalisanih pomeranja u svakom čvoru je 3+3=6 Ukupan broj nepoznath veličina za jedan štap (gredni element) je 6+6=12

60 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Vektori čvornih pomeranja i čvornih sila izražavaju se u odnosu na lokalni koordinatni sistem xyz Lokalni koordinatni sistem xyz štapa ima početak u čvoru i, a osa x je u pravcu štapa, sa smerom i k Lokalne ose yz su u ravni poprečnog preseka i one su glavne centralne ose inercije poprečnog preseka Komponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru i, u odnosu na lokalni koordinatni sistem, date su sa: u i ϕ xi u i = v i ϕ i = ϕ yi (6) w i ϕ zi

61 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Komponente vektora pomeranja i rotacije u čvoru k, u odnosu na lokalni koordinatni sistem, date su slično: u k ϕ xk u k = v k ϕ k = ϕ yk (7) w k ϕ zk Ukupan vektor generalisanih pomeranja za čvor i čine vektori pomeranja i rotacije: q T i = { ui ϕ i } T = { u i v i w i ϕ xi ϕ yi ϕ zi } (8)

62 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor generalisanih pomeranja za čvor k je, analogno,: q T k = { uk ϕ k } T = { u k v k w k ϕ xk ϕ yk ϕ zk } (9) tako da je ukupan vektor generalisanih pomeranja za štap dat sa { } T q T qi = = { } u i ϕ zi u k ϕ zk (10) q k

63 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Slično su date i komponente vektora sila i spregova u čvoru i, u odnosu na lokalni koordinatni sistem: N i M xi F i = T yi M i = M yi (11) T zi M zi odnosno u čvoru k: F k = N k T yk T zk M k = M xk M yk M zk (12) Momenti M xi, odn. M xk su momenti torzije M ti, odn. M tk

64 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor čvornih sila za čvor i čine vektori sila i spregova: R T i = { Fi M i Slično je i za čvor k: R T k = { Fk M k } T = { N i T yi T zi M xi M yi M zi } T = { N k T yk T zk M xk M yk M zk } (13) } (14)

65 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ukupan vektor čvornih sila R za ceo štap je dat kao vektor sa 12 elemenata { } T R T Ri = = { } N i M zi N k M zk R k (15) Prema tome, gredni element u prostoru ima dve čvorne tačke i 12 čvornih nepoznatih veličina

66 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru - lokalne koordinate

67 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Kao i u slučaju grednih elemenata u ravni, veza između čvornih sila i čvornih pomeranja, odn. osnovna relacija neopterećenog štapa, data je sa R = Kq (16) gde je K matrica krutosti štapa Matrica krutosti štapa u prostoru je kvadratna, simetrična, singularna matrica reda 12 Elementi matrice krutosti prostornog štapa mogu da se odrede na isti način kao i za štap u ravni (jedino je to znatno složenije i teže)

68 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Međutim, u linearnoj teoriji štapa matrica krutosti prostornog štapa može da se (relativno) lako odredi primenom principa superpozicije Na osnovu principa superpozicije, koji važi u linearnoj teoriji, opšti slučaj prostornog naponskog stanja štapa može da se razdvoji na: - aksijalno naprezanje (u pravcu ose x) - savijanje u ravni xy (oko ose z) - savijanje u ravni xz (oko ose y) - torziju (oko ose x) Za vektore čvornih sila, pomeranja i matrice krutosti koji se odnose na pojedinačna naponska stanja koriste se oznake (indeksi), redom: a, sz, sy, t

69 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Aksijalna matrica krutosti Veza (16) za izdvojeno aksijalno naprezanje može da se prikaže kao R a = K a q a (17) Matrica krutosti za aksijalno naprezanje K a data je sa K a = E F [ ] 1 1 l 1 1 (18) dok su vektori čvornih sila i pomeranja dati sa { } { } Ni ui R a = q a = N k u k (19)

70 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za savijanje u ravni xy U izrazu (18) za matricu krutosti K a sa E, F i l označeni su modul elastičnosti materijala, površina poprečnog preseka i dužina štapa Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xy (oko ose z) data je sa R sz = K sz q sz (20) Matrica krutosti za savijanje u ravni xy K sz data je sa 12 6l 12 6l K sz = E J z 6l 4l 2 6l 2l 2 l l 12 6l (21) 6l 2l 2 6l 4l 2

71 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xy Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za savijanje u ravni xy dati su sa T yi v i M R sz = zi ϕ q T sz = zi (22) yk v k M zk ϕ zk U izrazu (21) E i l su modul elastičnosti i dužina štapa, dok je J z moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka y

72 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za savijanje u ravni xz Veza (16) za izdvojeno savijanje u ravni xz (oko ose y) data je sa R sy = K sy q sy (23) Matrica krutosti za savijanje u ravni xz K sy data je sa K sy = E J y l l 12 6l 6l 4l 2 6l 2l l 12 6l 6l 2l 2 6l 4l 2 (24)

73 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Čvorne sile i pomeranja za savijanje u ravni xz Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za savijanje u ravni xz dati su sa T zi w i M R sy = yi ϕ q T sy = yi (25) zk w k M yk ϕ yk U izrazu (24) J y je moment inercije oko glavne centralne ose inercije preseka z

74 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Čvorne sile i pomeranja za torziju Posmatra se torzija štapa (slobodna, neograničena torzija) Parametri pomeranja u čvorovima štapa su uglovi rotacije oko ose štapa ϕ xi i ϕ xk Štap ima dva stepena slobode, po jedan u svakom čvoru (kao i aksijalno naprezanje) Generalisane sile u čvorovima su momenti torzije M xi i M xk

75 Torziono napregnut štap Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa u prostoru za slučaj torzije

76 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za torziju Za štap izložen slobodnoj torziji (Saint Venant-ova torzija) veza između momenta torzije i ugla obrtanja štapa data je sa M x = G J l ϕ (26) gde su - G... modul klizanja materijala štapa - J... torziona konstanta poprečnog preseka štapa Matrica krutosti pri torziji dobija se na osnovu veze (26) i značenja koeficijenata matrice krutosti (reakcije veza obostrano uklještenog štapa za jedinična generalisana pomeranja)

77 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za torziju Dobija se sledeća matrica krutosti za torziju štapa: K t = G J [ ] 1 1 l 1 1 (27) Vektori čvornih sila i čvornih pomeranja za torziju dati su sa { } { } Mxi ϕxi R t = q t = (28) M zk ϕ xk

78 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Torziona konstanta J Torziona konstanta J zavisi od oblika poprečnog preseka štapa U tehničkoj teoriji štapa torziona konstanta se određuje uz pretpostavku o slobodnoj Saint Venant-ovoj torziji To znači da se zanemaruje deplanacija poprečnog preseka tokom torzije Kod tankozidnih štapova takva pretpostavka ne važi

79 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Torziona konstanta J Za štap sa kružnim poprečnim presekom, sa prečnikom d, torziona konstanta jednaka je polarmom momentu inercije preseka: J = π d4 32 Za štapove pravougaonog preseka, sa širinom t i sa visinom h, torziona konstanta može da se odredi prema izrazu: [ J = h t t ( ) ] t 5 3 h (h t) (29) h

80 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Torziona konstanta J Izraz (29) može da se piše u obliku J = h t3 3 β gde je β koeficijent koji se izračunava za različite odnose h/t i može da se tabuliše Kada je pravougaoni presek dovoljno uzan, odn. u graničnom slučaju h/t, dobija se izraz za torzionu konstantu J = 1 3 h t3

81 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrica krutosti za torziju Matrica krutosti štapa opterećenog na torziju po strukturi je ista kao i matrica krutosti za aksijalno naprezanje Dovoljno je da se E F u matrici K a zameni sa G J i dobija se matrica krutosti K t Vektor ekvivalentnog opterećenja za slučaj torzije određuje se slično kao i vektor ekvivalentog opterećenja za aksijalno naprezanje Razlika je, naravno, u različitom značenju elemenata ovih vektora (momenti torzije i aksijalne sile na krajevima štapa)

82 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Za svako od nezavisnih naponskih stanja odgovarajuća matrica krutosti, odn. submatrica ukupne matrice krutosti štapa, određuje se posebno, tako da veza (16) može da se prikaže u obliku: R a R sz R sy R t = K a K sz K sy K t q a q sz q sy q t Međutim, takav redosled i grupisanje čvornih sila i pomeranja nije praktičan (30)

83 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica krutosti punih nosača u 3D Ovakav kvazidijagonalan oblik matrice krutosti štapa u prostoru je pogodan i kompaktan Međutim, to je matrica krutosti u lokalnom sistemu, a prilikom transformacije iz lokalnog u globalni sistem takav oblik se gubi Zato se generalisane sile i generalisana pomeranja prikazuju u drugačijem redosledu: prvo za čvor i, pa zatim za čvor k To dovodi do odgovarajuće promene položaja pojedinih vrsta i kolona u matrici krutosti datoj sa (30)

84 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Generalisane sile i pomeranja na krajevima štapa Generalisane sile ili pomeranja na krajevima štapa u prostoru - lokalne koordinate u pogodnom redosledu

85 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Položaj vrsta/kolona submatrica krutosti u ukupnoj matrici krutosti štapa u prostoru

86 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Elementi matrice krutosti štapa u prostoru

87 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Elementi matrice krutosti štapa u prostoru

88 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za aksijalno naprezanje Statičko značenje elemenata matrice krutosti K a za aksijalno naprezanje

89 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za savijanje u xy ravni Statičko značenje elemenata matrice krutosti K sz za savijanje u ravni xy

90 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za savijanje u xz ravni Statičko značenje elemenata matrice krutosti K sy za savijanje u ravni xz

91 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Submatrice krutosti štapa u prostoru Matrica krutosti za torziono naprezanje Statičko značenje elemenata matrice krutosti K a za torziono naprezanje

92 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Vektori ekvivalentnog opterećenja Vektor ekvivalentnog opterećenja Q kod nosača u 3D prostoru jednak je negativnim vrednostima reakcija oslonaca obostrano uklještenog štapa Vektor ekvivalentnog opterećenja kod nosača u 3D prostoru određuje se, u principu, na isti način kao i kod nosača u ravni - posebno za svaki slučaj opterećenja: - aksijalno - savijanje u xy ravni - savijanje u xz ravni - torzija Koriste se isti izrazi kao i za nosač u ravni, uz odgovarajuće momente inercije

93 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača Matrična analiza punih nosača u prostoru Vektori ekvivalentnog opterećenja Kao i kod nosača u ravni, vektor ekvivalentnog opterećenja pretstavlja vektor ekvivalentnih sila u čvorovima koje u potpunosti zamenjuju spoljašnje opterećenje duž štapa Osnovna jednačina opterećenog štapa data je, po formi, isto kao i kod nosača u ravni: R = Kq Q (31) Razlika u odnosu na štap u ravni je u veličini matrica i vektora: u ravni 6, u prostoru po 12 elemenata Relacija (31) je u lokalnom sistemu štapa

94 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

95 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Kao i kod nosača u ravni, osnovne relacije o štapu izvode se u lokalnom koordinatnom sistemu xyz koji je definisan u odnosu na štap: osa x je u pravcu ose štapa, sa smerom i k, dok su ose yz glavne centralne ose poprečnog preseka U sistemu štapova koji čini posmatrani nosač u prostoru položaj svakog štapa određen je u odnosu na globalni koordinatni sistem XY X Koordinatni početak globalnog sistema je pogodno izabrana tačka O(0, 0, 0), dok je koordinatni početak lokalnog sistema za svaki štap definisan u kraju štapa koji je usvojen za čvor i

96 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru U određivanju relacija između vektora prikazanih u lokalnom ili u globalnom sistemu, posmatra se slučaj kada se koordinatni počeci lokalnog i globalnog sistema poklapaju Ortovi osa globalnog sistema XY Z su, redom, I, J, K Ortovi osa lokalnog sistema xyz su, redom, označeni sa ı, j, k Neka su uglovi između osa globalnog i lokalnog sistema dati sa γ ij (i, j = 1, 2, 3)

97 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Štap (gredni konačni element) određen je u prostoru sa svoje tri tačke: - tačka P i... početak štapa i - tačka P k... kraj štapa k - tačka P m... bilo koja tačka u lokalnoj ravni štapa xy Koordinate ovih tačaka date su u globalnom sistemu XY Z: P i (X i, Y i, Z i ) P k (X k, Y k, Z k ) P m (X m, Y m, Z m ) Jedinični vektor lokalne ose x određen je sa tačkama P i i P k : ı = P i P k P i P k = cos γ 11 I + cos γ12 J + cos γ13 K

98 Lokalni sistem štapa u prostoru Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Štap (gredni element) u prostoru Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke i, j, k (odn. i, k, m)

99 Lokalni sistem štapa u prostoru Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Štap (gredni element) u prostoru Položaj štapa u prostoru određen sa tri tačke 1, 2, 3 (odn. i, k, m)

100 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Jedinični vektor e im u lokalnoj ravni xy određen je sa tačkama P i i P m : P i P m e im = P i P m Jedinični vektor k lokalne ose z određen je sa vektorskim proizvodom k = ı eim Najzad, jedinični vektor j lokalne ose y određen je vektorskim proizvodom j = k ı

101 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Prema tome, ortovi osa lokalnog sistema štapa određeni su u odnosu na globalni koordinatni sistem sa tri navedene tačke: početak štapa, kraj štap i bilo koja (pomoćna) tačka u lokalnoj glavnoj ravni štapa xy Koordinate ortova lokalnih osa date su sa kosinusima uglova koje zaklapaju sa osama globalnog sistema Takve relacije mogu da se prikažu u matričnom obliku ı cos γ 11 cos γ 12 cos γ 13 I j = cos γ 21 cos γ 22 cos γ 23 J k cos γ 31 cos γ 32 cos γ 33 K (32)

102 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Matrica u relacijama (32) naziva se matrica rotacije λ λ = cos γ 11 cos γ 12 cos γ 13 cos γ 21 cos γ 22 cos γ 23 cos γ 31 cos γ 32 cos γ 33 Matrica rotacije je ortogonalna matrica: λ 1 = λ T (33) Položaj sistema xyz u odnosu na sistemxy Z određen je, prema tome, matricom rotacije λ

103 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Relacije između ortova dva sistema (32) mogu da se napišu u obliku ı I j = [λ] J (34) k K Kako je matrica rotacije ortogonalna, onda važi I J K = [λ]t ı j k (35)

104 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Posmatra se proizvoljan vektor R koji može da se izrazi ili u globalnom sistemu ili u lokalnom sistemu U globalnom sistemu vektor R označava se sa gornjim indeksom () Prikazano u matričnom obliku, isti vektor može da se prikaže u jednom ili u drugom sistemu, čiji su ortovi povezani međusobno matricom rotacije λ - u globalnom sistemu - u lokalnom sistemu R T = {R 1, R 2, R 3} R T = {R 1, R 2, R 3 }

105 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Napisano u vektorskom obliku, isti vektor u dva prikaza R i R može da se napiše - u globalnom sistemu - u lokalnom sistemu R T = R 1 I + R 2 J + R 3 K (36) R T = R 1 ı + R 2 j + R 3 k (37)

106 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Imajući u vidu relacije između jediničnih vektora lokalnog i globalnog sistema date sa (34), odn, (35), između različitih prikaza istog vektora (36) i (37) mogu da se uspostave relacije - vektor u lokalnom sistemu prikazan preko vektora u globalnom sistemu R = λ T R (38) - vektor u globalnom sistemu prikazan preko vektora u lokalnom sistemu R = λ R (39)

107 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Proizvoljan vektor u dva prikaza R i R može da bude vektor sila F ili vektor momenata M u čvoru i ili u čvoru k Takođe, to može da bude vektor pomeranja u ili vektor rotacije ϕ u čvoru i ili k Prema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu u lokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije - Čvorne sile (za čvor i ili k) { } [ ] { } Fi,k λ T F = i,k M i,k λ T Mi,k (40)

108 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Prema tome, između ovih vektora, koji mogu da se prikažu u lokalnom ili globalnom sistemu, mogu da se uspostave relacije (nastavak) - Čvorna pomeranja (za čvor i ili k) { } [ ] { } ui,k λ T u = i,k (41) ϕ i,k λ T ϕ i,k Relacije (40) i (41) mogu da se prikažu skraćeno u obliku R i,k = t T R i,k q i,k = t T q i,k (42)

109 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru U relacijama (42) uvedene su oznake { } { } Fi,k ui,k R i,k = q i,k = M i,k ϕ i,k [ t T λ T = Ako se napišu relacije za oba čvora i i k, dobija se λ T ] (43) R = T T R q = T T q (44) gde je T matrica transformacije reda 12 [ ] t T = t (45)

110 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Analogno, i za vektor ekvivalentog opterećenja Q važi ista transformacija: Q = T T Q (46) Kako je matrica rotacije ortogonalna, to je i matrica transformacije takođe ortogonalna matrica, pa važe relacije R = T R q = T q Q = T Q (47) Relacije (44) i (46) pretstavljaju transformaciju iz globalnog u lokalni sistem, dok su relacije (47) transformacija iz lokalnog u globalni sistem

111 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Generalisane sile (pomeranja) u lokalnom i u globalnom sistemu

112 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

113 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Osnovna jednačina opterećenog štapa Posmatra se osnovna jednačina opterećenog štapa (31) R = Kq Q (48) U jedn. (48) unosi se (44) za vektor q, pa se zatim jednačina množi sa leve strane sa matricom T : T R = T KT T q T Q Imajući u vidu relacije (47), dobija se R = K q Q (49)

114 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Matrična analiza punih nosača u prostoru Formiranje jednačina u globalnom sistemu Relacija (49) je osnovna jednačina opterećenog štapa u globalnom koordinatnom sistemu Matrica K je globalna matrica krutosti štapa u prostoru, reda 12 K = T KT T (50) Kao i u slučaju štapa u ravni, matrica krutosti štapa u globalnim koordinatama je kvadratna, simetrična i singularna matrica Sabiranje matrica krutosti K štapova nosača u prostoru vrši se, načelno, isto kao i kod nosača u ravni

115 Analiza nosača u prostoru Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu Formiranje jednačina u globalnom sistemu Kao rezultat, dobija se jednačina ravnoteže sistema, u globalnom koordinatnom sistemu K q = S (51) Matrica K je matrica krutosti sistema štapova, vektor q je vektor pomeranja čvorova nosača, dok je S vektor opterećenja (vektor slobodnih članova u jednačinama) U jednačinu ravnoteže (51) unose se granični uslovi redukcijom, ili, bolje, transformacijom matrice krutosti Smatra se da su već uneti granični uslovi, tako da je matrica K u jedn. (51) regularna matrica

116 Sadržaj Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Redukcija matrice krutosti i vektora Q 1 Rešavanje jednačina ravnoteže u MKE Primeri ulaza i izlaza 2 Linijski nosači u 3D Matrica krutosti punih nosača 3 Lokalni i globalni sistem Formiranje jednačina u globalnom sistemu 4 Redukcija matrice krutosti i vektora Q

117 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Kod nosača u prostoru, ukoliko nisu u pitanju prostorne rešetke, štapovi su obično kruto vezani na oba kraja (štapovi tipa k ) Međutim, moguće je da su neke od veza na jednom kraju (ili ba oba) ukinute, odn. moguće je da su jedna ili više čvornih sila jednake nuli U takom slučaju mora da se koriguje matrica krutosti u lokalnom sistemu

118 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Posmatra je osnovna jednačina opterećenog štapa (48) R = Kq Q (52) Za štap u prostoru vektori i matrica u jedn.(52) su reda n = 12 Jednačina (52) može da se prikaže u skalarnom obliku: n R i = k ij q j Q i (i = 1, 2,..., 12) (53) j=1 gde su k ij elementi matrice krutosti štapa K

119 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Neka je element broj k vektora čvornih sila jednak nuli (ukunuta je veza broj k): R k = n k ij q j Q k = 0 j=1 Iz ovog uslova dobija se čvorno pomeranje broj k u obliku q k = 1 k kk n j=1,j k k kj q j + 1 k kk Q k (54)

120 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Relacije (53), odn. komponente čvornih sila na krajevima mogu da se napišu i u obliku R i = n j=1,j k k ij q j + k ik q k Q i (i = 1, 2,..., 12) (55) Ako je čvorna sila broj k jednaka nuli, R k = 0, u jedn. (55) unosi se čvorno pomeranje q k prema (54): R i = n j=1,j k k ij q j k ik k kk n j=1,j k k kj q j Q i + k ik k kk Q k (56)

121 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Jednačine (56) mogu da se napišu u obliku R i = gde je (za i = 1, 2,..., n), n j=1,j k k r ij q j Q r i (57) k r ij = k ij k ik k kj k kk (j = 1, 2, k 1, k + 1,..., n) (58) kao i Q r i = Q i k ik k kk Q k (i = 1, 2,..., n) (59)

122 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Gornji indeks r ukazuje na redukovane elemente matrice krutosti i vektora ekvivalentnih sila U izrazu za redukovan element matrice krutosti (58) dobija se za j = k: k r ik = k ik k ik k kk k kk = 0 (i = 1, 2,..., n) (60) Prema tome, u jednačine (57) može da se uključi i član sa indeksom j = k, tako da se dobija R i = n kij r q j Q r i (61) j=1

123 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q U jednačini (61) redukovani elementi matrice krutosti dati su sa k r ij = k ij k ik k kj k kk (i, j = 1, 2,..., n) (62) Kao što se vidi, red lokalne matrice krutosti ostaje n = 12, pri čemu su elementi u redu i koloni matrice krutosti koji odgovaraju broju k ukinute čvorne sile, R k = 0, jednaki nuli Redukovan vektor ekvivalentnih čvornih sila dat je sa (59)

124 Analiza nosača u prostoru Redukcija matrice krutosti i vektora Q Za svako oslobađanje veza na krajevima vrši se redukcija koeficijenata matrice krutosti štapa u lokalnom sistemu, prema (62), kao i redukcija elemenata vektora ekvivalentnog opterećenja prema (59) Za štap u prostoru kod koga je izvršeno oslobađanje nekih veza na krajevima, osnovna jednačina opterećenog štapa data je sa R = K r q Q r (63)

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar

METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar METODA KONAČNIH ELEMENATA Osnovne akademske studije, VI semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj Matrična analiza linijskih

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I

4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I 4. PREDAVANJE ČISTO PRAVO SAVIJANJE OTPORNOST MATERIJALA I Čisto pravo savijanje Pod čistim savijanjem grede podrazumeva se naprezanje pri kome su sve komponente unutrašnjih sila jednake nuli, osim momenta

Διαβάστε περισσότερα

Proračun nosivosti elemenata

Proračun nosivosti elemenata Proračun nosivosti elemenata EC9 obrađuje sve fenomene vezane za stabilnost elemenata aluminijumskih konstrukcija: Izvijanje pritisnutih štapova; Bočno-torziono izvijanje nosača Izvijanje ekscentrično

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Proračunski model - pravougaoni presek

Proračunski model - pravougaoni presek Proračunski model - pravougaoni presek 1 ε b 3.5 σ b f B "" ηx M u y b x D bu G b h N u z d y b1 a1 "1" b ε a1 10 Z au a 1 Složeno savijanje - VEZNO dimenzionisanje Poznato: statički uticaji za (M i, N

Διαβάστε περισσότερα

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I

5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I 5. PREDAVANJE ČISTO KOSO SAVIJANJE EKCENTRIČNO NAPREZANJE OTPORNOST MATERIJALA I ČISTO KOSO SAVIJANJE Pod pravim savijanjem podrazumeva se slučaj kada se ravan savijanja poklapa sa jednom od glavnih ravni

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio

Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa. 9. dio Geometrijske karakteristike poprenih presjeka nosaa 9. dio 1 Sile presjeka (unutarnje sile): Udužna sila N Poprena sila T Moment uvijanja M t Moment savijanja M Napreanja 1. Normalno napreanje σ. Posmino

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2)

1 RАVANSKE REŠETKE (1.2) 1 RАVNSKE REŠETKE Rešetkasti nosači predstavljaju sistem sačinjen od lakih krutih štapova međusobno zglobno vezanih svojim krajevima. Zglobne veze krajeva štapova se nazivaju čvorovi. Rešetke su opterećene

Διαβάστε περισσότερα

Konvencija o znacima za opterećenja grede

Konvencija o znacima za opterećenja grede Konvencija o znacima za opterećenja grede Levo od preseka Desno od preseka Savijanje Čisto savijanje (spregovima) Osnovne jednačine savijanja Savijanje silama Dimenzionisanje nosača izloženih savijanju

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora

Matematika I. Elvis Baraković, Edis Mekić. 4. studenog Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Matematika I Elvis Baraković, Edis Mekić 4. studenog 2011. 1 Analitička geometrija 1.1 Pojam vektora. Sabiranje i oduzimanje vektora Skalarnom veličinom ili skalarom nazivamo onu veličinu koja je potpuno

Διαβάστε περισσότερα

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A

Pismeni ispit iz OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A Psmen spt z OTPORNOSTI MATERIJALA I - grupa A 1. Kruta poluga ABC se oslanja pomoću dvje špke BD CE kao na slc desno. Špka BD, dužne 0.5 m, zrađena je od čelka (E AB 10 GPa) ma poprečn presjek od 500 mm.

Διαβάστε περισσότερα

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET

PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA PRESECI SA PRSLINOM - VELIKI EKSCENTRICITET ODREĐIVANJE MOMENTA LOMA - PRAVOUGAONI PRESEK Moment loma za pravougaoni presek prikazan na skici odrediti za slučajeve:. kada

Διαβάστε περισσότερα

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON

AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON AKSIJALNO NAPREZANJE LINEARNO STANJE NAPREZANJA HUKOV ZAKON Gredni nosač može biti spoljnim silama napregnut na razne načine, pa tako postoji aksijalno naprezanje, čisto savijanje, savijanje silama, torzija,

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d

Proračun štapova na zatezanje i pritisak. Osnova za proračun je zadovoljenje nejednačine σ σ, σ d Proračun štapova na zatezanje i pritisak Osnova za proračun je zadovojenje nejednačine, max d gde je max maksimum apsoutne vrednosti normanog napona štapa a d je dozvojeni normani napon Ovakva nejednakost

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone.

Matrica se definiše kao niz brojeva (ili algebarskih simbola) smještenih u redove i kolone. Matrice Uvod u matrice i vektore Pretpostavite da ste odgovorni za iznajmljivanje automobila zaposlenicima svoje firme Sedmični najmovi za različite veličine automobila su: kompaktni 9KM, srednji 60KM,

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar

PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar PREDNAPREGNUTE I SPREGNUTE KONSTRUKCIJE Osnovne akademske studije, VII semestar Prof dr email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D

Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Predstavljanje orijentacije i rotacije u 3D Orijentacija Još jednom: Orijentacija i pravac - isto ili ne? Pravac je određen vektorom, ali rotacija vektora oko samog sebe nema daljeg uticaja. Orijentacija

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina

OTPORNOST MATERIJALA. Geometrijske karakteristike ravnih površina OTPORNOST MTERJL Geometrijske karakteristike ravnih površina GEOMETRJSKE KRKTERSTKE RVNH POVRŠN POVRŠN POPREČNOG PRESEK STTČK MOMENT POPREČNOG PRESEK MOMENT NERJE POPREČNOG PRESEK GEOMETRJSKE KRKTERSTKE

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi

Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja. Osnovni pojmovi Osnovni pojmovi, spoljašnje i unutrašnje sile, definicije napona i deformacije, vrste naprezanja Osnovni pojmovi Kruto telo Rastojanje ma koje tačke je stalno, ne menja se, telo se ne deformiše predmet

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu

OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA. Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu OSNOVI AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA PROCESIMA Vežba br. 6: Dinamika sistema u frekventnom domenu u MATLABu I Definisanje frekventnih karakteristika Dinamički modeli sistema se definišu u vremenskom, Laplace-ovom

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD

35(7+2'1,3525$&8195$7,/$GLPHQ]LRQLVDQMHYUDWLOD Predmet: Mašinski elementi Proraþun vratila strana 1 Dimenzionisati vratilo elektromotora sledecih karakteristika: ominalna snaga P 3kW Broj obrtaja n 14 min 1 Shema opterecenja: Faktor neravnomernosti

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI STTIČKI ODREĐENI SUSTVI SVOJSTV SUSTV Kod statički određenih nosača rješenja za reakcije i unutrašnje sile su jednoznačna. F C 1. F x =0 C 2. M =0 3. F y =0 Jednoznačno rješenje

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

Linearni operatori. Stepenovanje matrica

Linearni operatori. Stepenovanje matrica Linearni operatori Stepenovanje matrica Nea su X i Y vetorsi prostori nad istim poljem salara K Presliavanje A : X Y zovemo operator Za operator A ažemo da je linearan ao je istovremeno 1 aditivan: A(u

Διαβάστε περισσότερα

Linearna algebra. skripta. Januar 2013.

Linearna algebra. skripta. Januar 2013. Linearna algebra skripta Januar 3 Reč autora Ovaj tekst je nastao od materijala sa kursa Linearna algebra i analitička geometrija za studente Odseka za informatiku, Matematičkog fakulteta Univerziteta

Διαβάστε περισσότερα

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F

ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. p q r F ANALIZA SA ALGEBROM I razred MATEMATI^KA LOGIKA I TEORIJA SKUPOVA. Istinitosna tablica p q r F odgovara formuli A) q p r p r). B) q p r p r). V) q p r p r). G) q p r p r). D) q p r p r). N) Ne znam. Date

Διαβάστε περισσότερα

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su

Celi brojevi su svi nerazlomljeni brojevi, pozitivni, negativni i nula. To su Poglavlje 1 Brojevi i brojni sistemi Cvetana Krstev 1.1 O brojevima Prirodni brojevi su brojevi sa kojima se broji, uključujući i nulu: 0, 1, 2, 3,.... Pojam pozitivnih i negativnih brojeva nije definisan

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Induktivno spregnuta kola

Induktivno spregnuta kola Induktivno spregnuta kola 13. januar 2016 Transformatori se koriste u elektroenergetskim sistemima za povišavanje i snižavanje napona, u elektronskim i komunikacionim kolima za promjenu napona i odvajanje

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11.

Dijagrami: Greda i konzola. Prosta greda. II. Dijagrami unutarnjih sila. 2. Popre nih sila TZ 3. Momenata savijanja My. 1. Uzdužnih sila N. 11. Dijagrami:. Udužnih sia N Greda i konoa. Popre nih sia TZ 3. Momenata savijanja My. dio Prosta greda. Optere ena koncentriranom siom F I. Reaktivne sie:. M A = 0 R B F a = 0. M B = 0 R A F b = 0 3. F =

Διαβάστε περισσότερα

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА

МАТРИЧНА АНАЛИЗА КОНСТРУКЦИЈА Београд, 21.06.2014. За штап приказан на слици одредити најмању вредност критичног оптерећења P cr користећи приближан поступак линеаризоване теорије другог реда и: а) и један елемент, слика 1, б) два

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1)

BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) UNIVERZITET U NOVOM SADU 2012 03 FAKULTET TEHNIČKIH NAUKA datum: 07. April 2012 DEPARTMAN ZA GRAĐEVINARSTVO I GEODEZIJU BETONSKE KONSTRUKCIJE (1) pismeni ispit (str. 1) Zadatak 1 (100%) - eliminatorni

Διαβάστε περισσότερα

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ

KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA 2011/2012 VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ KVANTNA MEHANIKA SKRIPTA UZ I DEO KURSA ŠKOLSKA GODINA / VITOMIR MILANOVIĆ JELENA RADOVANOVIĆ SADRŽAJ. SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. NESTACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA JEDNAČINA.. STACIONARNA SCHRÖDINGER-OVA

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar

BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar BETONSKE KONSTRUKCIJE 1 Osnovne akademske studije, V semestar Prof dr Stanko Brčić email: stanko@np.ac.rs Departman za Tehničke nauke, GRAÐEVINARSTVO Državni Univerzitet u Novom Pazaru 2014/15 Sadržaj

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Matematički modeli sistema

Matematički modeli sistema Matematički modeli sistema U analizi i sintezi SAU se koriste kvantitativni matematički modeli koji opisuju fiziku sistema. Generalno, dinamika sistema je opisana običnim diferencijalnim jednačinama. lasa

Διαβάστε περισσότερα

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost:

1. Skicirati sledeće površi i ispitati njihovu regularnost: Geometrija 3, drgi kolokvijm Prezime i ime, broj indeksa, grpa Skicirati sledeće površi i ispitati njihov reglarnost: a f, v sh cos v, sh sin v,,, v [ π, π]; b g, v, 3, v,, v R a b Rešenje a Iz oblika

Διαβάστε περισσότερα

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova

Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Grafičko prikazivanje atributivnih i geografskih nizova Biserka Draščić Ban Pomorski fakultet u Rijeci 17. veljače 2011. Grafičko prikazivanje atributivnih nizova Atributivni nizovi prikazuju se grafički

Διαβάστε περισσότερα

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike

PREDMET: Upravljanje sistemima. Frekvencijske karakteristike Osnovne akademske studije PREDMET: Upravljanje sistemima TEMA: Frekvencijske karakteristike Predmetni nastavnik: Prof. dr Milorad Stanojević Asistent: mr Marko Đogatović Kompleksna funkcija prenosa Ukoliko

Διαβάστε περισσότερα

7.5. KOORDINATNI SISTEMI

7.5. KOORDINATNI SISTEMI - 84-75 KOORDINATNI SISTEMI 75 Dekartov desni pravougli koordinatni sistem U paragrafu 73 definisali smo desni pravougli koordinatni sistem (O;i, j, k) gdje su: (a) koordinatni početak ili ishodište O

Διαβάστε περισσότερα

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE

LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE LANCI & ELEMENTI ZA KAČENJE 0 4 0 1 Lanci za vešanje tereta prema standardu MSZ EN 818-2 Lanci su izuzetno pogodni za obavljanje zahtevnih operacija prenošenja tereta. Opseg radne temperature se kreće

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

ROŽNJAČE. Rožnjače

ROŽNJAČE. Rožnjače 1 ROŽNJAČE 2 Rožnjače Opšte 3 Rožnjače primaju i prenose opterećenje sa krovne površine na glavne nosače. Leže u krovnoj ravni i pružaju se paralelno sa podužnom osom hale. Raspon l: od 4,0 do 18,0 m (uobičajeno

Διαβάστε περισσότερα

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu

Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Racionalne krive i površi u geometrijskom dizajnu Tijana Šukilović Matematički fakultet, Univerzitet Beograd May 2, 2011, Beograd Sadržaj 1 Racionalne Bézier-ove krive Polinomijalne Bézier-ove krive Algoritam

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama

UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA. Prof. dr. sc. NEDIM SULJIĆ, dipl.ing.građ. Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama UVOD U GRADITELJSTVO 6. NOSIVI ELEMENTI GRAĐEVINA Sadržaj poglavlja: -općenito o nosivim konstrukcijama -odnos stanja naprezanja u nosivim elementima -linijski nosivi elementi (prosta greda; kontinualna

Διαβάστε περισσότερα

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu

Mate Vijuga: Rijeseni zadaci iz matematike za srednju skolu 7. KOMPLEKSNI BROJEVI 7. Opc pojmov Kompleksn brojev su sastavljen dva djela: Realnog djela (Re) magnarnog djela (Im) Promatrajmo broj a+ b = + 3 Realn do jednak je Re : Imagnarna jednca: = - l = (U elektrotehnc

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

Otvorene mreže. Zadatak 1

Otvorene mreže. Zadatak 1 Otvorene mreže Zadatak Na slici je data otvorena mreža u kojoj je rocesor centralni server. Prosečan intenzitet ulaznog toka rocesa u sistem iznosi X rocesa/sec. Posle rocesorske obrade, roces u % slučajeva

Διαβάστε περισσότερα

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima

UVOD. Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima UVOD Ovi nastavni materijali namijenjeni su studentima u svrhu lakšeg praćenja i boljeg razumijevanja predavanja iz kolegija matematika. Ovi materijali čine suštinu nastavnog gradiva pa, uz obaveznu literaturu,

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA

MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA MERENJE, GREŠKE MERENJA I OBRADA REZULTATA MERENJA 1 Merenje Svaki eksperimentalni rad u fizici praćen je merenjem neke fizičke veličine. Izmeriti neku fizičku veličinu znači uporediti je sa standardnom

Διαβάστε περισσότερα

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1.

Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija. f(x + 1) x f(x) + 1. 09.0200 Prvi razred A kategorija Ako je n prirodan broj, dokazati da 3n 2 + 3n + 7 nije kub nijednog prirodnog broja. U trouglu ABC je ABC = 60. Neka su D i E redom preseqne taqke simetrala uglova CAB

Διαβάστε περισσότερα

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor

dužina usmjerena (orijentirana) dužina (zna se koja je točka početna, a koja krajnja) vektor I. VEKTORI d. sc. Min Rodić Lipnović 009./010. 1 Pojm vekto A B dužin A B usmjeen (oijentin) dužin (n se koj je točk početn, koj kjnj) A B vekto - kls ( skup ) usmjeenih dužin C D E F AB je epeentnt vekto

Διαβάστε περισσότερα

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji

Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Osnovne veličine, jedinice i izračunavanja u hemiji Pregled pojmova veličina i njihovih jedinica koje se koriste pri osnovnim izračunavanjima u hemiji dat je u Tabeli 1. Tabela 1. Veličine i njihove jedinice

Διαβάστε περισσότερα