Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Gradimir V. Milovanović MATEMATIČKA ANALIZA I"

Transcript

1 Gradimir V. Milovanović Radosav Ž. D ord ević MATEMATIČKA ANALIZA I

2 Predgovor Ova knjiga predstavlja udžbenik iz predmeta Matematička analiza I koji se, počev od školske 2004/2005. godine, studentima Elektronskog fakulteta u Nišu predaje u II semestru. Knjiga je nastala na osnovu više puta objavljivanih udžbenika istih autora, pod naslovom : Matematika za studente tehničkih fakulteta, I deo i Matematika za studente tehničkih fakulteta, II deo. Udžbenik Matematička analiza I sastoji se iz šest glava, od kojih poslednja glava (Teorija redova) nije predvidjena nastavnim programom pomenutog predmeta. Ova oblast se inače predaje u okviru matematičkih kurseva na drugoj godini studija na Elektronskom fakultetu u Nišu. U glavi Realne funkcije i njihove osnovne osobine izložen je prvo sâm pojam funkcije, posebno pojam realne funkcije realne promenljive, a zatim i osnovne osobine realnih funkcija jedne realne promenljive, kao što su: parnost i neparnost, periodičnost, monotonost, konveksnost, pojam inverzne funkcije, kao i pojmovi funkcije zadate parametarski i implicitno zadate funkcije, ali i pojmovi elementarnih i neelementarnih funkcija. U drugom delu ove glave ukazano je na pojam metrike i metričkih prostora, kao i na neke osnovne topološke pojmove. Glava Nizovi sastoji se iz dela u kojem je definisan pojam niza i pojam njegove granične vrednosti, u kojem su izložene osnovne osobine konvergentnih nizova i navedene neke granične vrednosti nizova u R, kao i iz dela u kojem je ukazano na pojam Cauchyevog niza i na pojam kompletnog prostora. Funkcije jedne realne promenljive je glava u kojoj su izloženi: pojam graničnih vrednosti realnih funkcija, osobine graničnih vrednosti, pojam neprekidnosti funkcija, kao i osobine neprekidnih funkcija. Isto tako, u ovoj glavi je ukazano i na neke osobine monotonih funkcija, na mogućnost upored ivanja funkcija med u sobom, na simbole o i O, kao i na ravnomernu neprekidnost realnih funkcija. U glavi Diferenciranje funkcija jedne realne promenljive izloženi su pojmovi izvoda i diferencijala funkcije prvog i višeg reda, osnovne teoreme diferencijalnog računa, kao i njihova primena na ispitivanje osnovnih osobina realnih funkcija. Isto tako, u ovoj glavi su definisane i osobene tačke krivih, kao i pojmovi asimptota krivih i krivine krivih, a ukazano je takod e i na pojam dodira krivih. Na kraju ove glave ukazano je i na grafičko predstavljanje funkcija. Glava Integracija funkcija jedne realne promenljive obuhvata: neodred eni integral, metode integracije i integraciju elementarnih funkcija, kao i pojam odred enog integrala, njegove osobine i primenu odred enog integrala.

3 vi I na kraju, u glavi Teorija redova izloženi su numerički i fukcionalni redovi, vrste konvergencije, kao i kriterijumi za konvergenciju numeričkih i stepenih redova. Posebno su izloženi trigonometrijski i Fourierovi redovi i njihova primena. Svaka glava je podeljena na poglavlja, a poglavlja na odeljke. Numeracija objekata (formula, teorema, definicija i sl.) u okviru jednog odeljka izvršena je pomoću tri broja od kojih prvi ukazuje na poglavlje, drugi na odeljak i treći na redni broj tog objekta u posmatranom odeljku. Tako, na primer, teorema predstavlja četvrtu teoremu u drugom odeljku trećeg poglavlja odgovarajuće glave. Na ovaj način je uspostavljena jednoznačna numeracija objekata u okviru jedne glave. Sva teorijska izlaganja propraćena su odgovarajućim primerima. Na kraju svake glave nalazi se poglavlje Zadaci za vežbu, čiji je cilj da korisnicima ove knjige omogući samostalno uvežbavanje prethodno izložene teorije. Kako je knjiga pisana u skladu sa najnovijim planom i programom studija na Elektronskom fakultetu u Nišu, ona je, pre svega, namenjena studentima računarstva i informatike, telekomunikacija, elektronike i elektrotehnike, ali i studentima drugih tehničkih fakulteta, kao i studentima matematike i fizike na prirodnomatematičkim fakultetima. Niš, 3. januara G. V. Milovanović / R. Ž. D ord ević

4 Sadržaj I G L A V A Osnovi matematičke analize II. REALNE FUNKCIJE.. Pojam funkcije i oblast definisanosti.2. Grafik funkcije 9.3. Parne i neparne funkcije.4. Periodične funkcije 2.5. Monotone funkcije 3.6. Konveksne funkcije 5.7. Inverzne funkcije 7.8. Krive i funkcije u parametarskom obliku 9.9. Implicitno definisane funkcije 2.0. Elementarne funkcije METRIČKI PROSTORI I TOPOLOŠKI POJMOVI Metrički prostori i neke osnovne nejednakosti Osnovni topološki pojmovi 3 Nizovi 3. ZADACI ZA VEŽBU 35 G L A V A. NIZOVI I KONVERGENCIJA NIZOVA 37.. Niz i granična vrednost niza Osnovne osobine konvergentnih nizova Granične vrednosti nekih nizova u R Delimični nizovi 6 2. CAUCHYEV NIZ I KOMPLETNI PROSTORI Cauchyev niz Kompletni prostori ZADACI ZA VEŽBU 69

5 viii SADRŽAJ III G L A V A Funkcije jedne realne promenljive IV. GRANIČNE VREDNOSTI FUNKCIJA 7.. Pojam granične vrednosti 7.2. Jednostrane granične vrednosti Osobine graničnih vrednosti Primeri graničnih vrednosti NEPREKIDNOST FUNKCIJA Pojam neprekidnosti funkcija Vrste prekida i neprekidno produženje Neke osobine neprekidnih funkcija Osobine monotonih funkcija Upored ivanje funkcija Simboli o i O Ravnomerna neprekidnost ZADACI ZA VEŽBU 4 G L A V A Diferenciranje funkcija jedne realne promenljive. IZVOD I DIFERENCIJAL FUNKCIJE 7.. Izvod funkcije i diferencijabilnost 7.2. Diferencijal funkcije Neke primene diferencijala funkcije 3.4. Teoreme o izvodima Izvod inverzne funkcije Izvod složene funkcije Tablice izvoda elementarnih funkcija Izvod funkcije u parametarskom obliku Izvodi višeg reda Diferencijali višeg reda 5.. Osnovne osobine diferencijabilnih funkcija Taylorova formula ISPITIVANJE FUNKCIJA Opšte i lokalne osobine funkcija Monotonost Lokalni ekstremumi funkcija Konveksnost i prevojne tačke Asimptote 96

6 SADRŽAJ ix V 2.6. Krivina krive i poluprečnik krivine Dodiri krivih Glatke krive, prelomne i povratne tačke Grafičko predstavljanje funkcija ZADACI ZA VEŽBU 232 G L A V A Integracija funkcija jedne realne promenljive. NEODRED ENI INTEGRAL Primitivna funkcija i neodred eni integral Tablica integrala METODI INTEGRACIJE Metod uvod enja nove promenljive Metod parcijalne integracije Metod rekurzivnih formula Metod neodred enih koeficijenata INTEGRACIJA ELEMENTARNIH FUNKCIJA Integracija racionalnih funkcija Integracija iracionalnih funkcija Integracija trigonometrijskih funkcija Napomene o integraciji u konačnom obliku pomoću elementarnih funkcija ODRED ENI INTEGRAL Definicija odred enog integrala Egzistencija Riemannovog integrala Klase integrabilnih funkcija Osobine odred enog integrala Integracija i diferenciranje Newton-Leibnitzova formula Nesvojstveni integrali Glavna vrednost nesvojstvenog integrala PRIMENE ODRED ENOG INTEGRALA Površina ravne figure Dužina luka krive Zapremina obrtnog tela Površina obrtnog tela ZADACI ZA VEŽBU 324

7 x SADRŽAJ VI G L A V A Teorija redova. NUMERIČKI REDOVI Osnovni pojmovi Redovi sa nenegativnim članovima Kriterijumi za konvergenciju redova sa nenegativnim članovima Redovi sa članovima koji menjaju znak i alternativni redovi FUNKCIONALNI REDOVI Konvergencija funkcionalnih redova Uniformna konvergencija funkcionalnih redova Osobine uniformno konvergentnih redova na [a, b] Stepeni redovi Analitičke funkcije Razvoj nekih funkcija u Taylorov red TRIGONOMETRIJSKI REDOVI Ortogonalnost trigonomatrijskog sistema Osobine trigonometrijskog reda i Fourierov red Kompleksni oblik Fourierovog reda Fourierov red na proizvoljnom segmentu Periodičko produženje funkcije i konvergencija Fourierovog reda Gibbsov efekat Fourierov integral Fourierova transformacija Z transformacija ZADACI ZA VEŽBU 409 Literatura 4 Indeks imena 43 æ

8 I G L A V A Osnovi matematičke analize. REALNE FUNKCIJE.. Pojam funkcije i oblast definisanosti U algebri, a posebno u teoriji algebarskih struktura, uobičajeno je da se pojam funkcije uvodi pomoću pojmova: relacija i preslikavanje (Videti, na primer, knjigu [5], str ). Iako to nije predmet ovog udžbenika, ukratko ćemo ukazati na ova dva pojma. Ako su X i Y dva neprazna skupa, tada se za svaki podskup ρ skupa X Y kaže da je relacija ρ u skupu X Y. Dakle, svaka relacija ρ u skupu X Y je skup izvesnih ured enih parova (x, y), takvih da je x X i y Y, tj. uvek je (x, y) X Y, ali su samo neki (x, y) ρ. Sve relacije koje ćemo ovde razmatrati odnose se na skupove X Y, gde su X i Y podskupovi skupa realnih brojeva R. Pri tome, ako su neprazni skupovi X i Y (X, Y R) posmatraćemo samo one relacije ρ X Y koje imaju osobinu da za svaki element x X postoji samo jedan element y Y takav da (x, y) ρ. Za svaku takvu relaciju ρ govorićemo da je preslikavanje ili funkcija sa skupa X u skup Y, a umesto (x, y) ρ uobičajeno je da se ta činjenica označava sa y = ρ(x). Štaviše, umesto ρ najčešće se koristi oznaka ) f. Isto tako, činjenicu da je neka relacija f X Y preslikavanje, tj. funkcija, označavaćemo sa f: X Y ili sa X f Y, govoreći da se element x preslikava u element y = f(x) Y. To ćemo simbolizovati i sa x y = f(x) ili kraće x f(x). Element x zovemo original, dok za element y = f(x) koristimo termin slika elementa x pri preslikavanju f ili vrednost funkcije u tački x. U slučaju kada x predstavlja proizvoljan element iz X kažemo da je x argument ili nezavisno promenljiva, a y (= f(x)) zavisno promenljiva. Skup slika svih elemenata x X obeležavamo sa f(x). Očigledno je da je f(x) Y. ) Oznaka f dolazi od reči funkcija (function na engleskom jeziku). U upotrebi su, takod e, i oznake g, h,..., ϕ, ψ,..., itd.

9 2 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE Skup X koji preslikavamo zovemo oblast definisanosti ili domen funkcije f, a skup slika f(x) nazivamo skup vrednosti ili kodomen funkcije f. Ponekad se oblast definisanosti funkcije f označava sa D(f), a skup njenih vrednosti sa R(f). Na osnovu prethodnog možemo dati formalnu definiciju funkcije: Definicija... Za relaciju f X Y kažemo da je funkcija f: X Y ako () ( x X) ( y Y ) (x, y) f, (2) (x, y) f (x, z) f y = z. Osobina () poznata je pod imenom definisanost, a osobina (2) jednoznačnost. Primer... Neka je A = {, 2,3} i B = {a, b, c, d} i neka je ρ relacija {(, a),(2, b),(3, c)} A B. Relacija ρ je funkcija koja preslikava elemente skupa A u skup B. Oblast definisanosti ove funkcije je skup A, a skup vrednosti funkcije je skup {a, b, c} B. 2 Neka je A = {0,, 2} i X = A 2 = {(x, y) x, y A}. Relacija ((0,0),0),((0,),), ((0,2),4), ((,0), ),((,), 2),((,2),5), ((2,0),4),((2,),5),((2,2),8) X R je funkcija koja preslikava elemente skupa X = A 2 u skup R. Ovo preslikavanje f: A 2 R se može izraziti simbolički, na primer, pomoću (x, y) f((x, y)) = x 2 + y 2. Oblast definisanosti funkcije f je skup A 2, a skup vrednosti funkcije f je skup f(a 2 ) = {0,,2, 4,5, 8} R. 3 Neka je dat segment S = [0,], X = S 3 = {(x,y, z) x, y, z S}, Y = R 2. Relacija f S 3 R 2, definisana pomoću f((x,y, z)) = (x 2 + y 2 + z 2, 3xyz) (x, y, z S), je funkcija sa S 3 u R 2, pri čemu, svakoj ured enoj trojki (x,y, z) ( S 3 ) se pridružuje ured eni par (x 2 + y 2 + z 2,3xyz) ( R 2 ). Napomena... Ako je c Y, tada za preslikavanje f: X Y, definisano pomoću f(x) = c za svako x X, kažemo da je konstantno preslikavanje. Takod e, kaže se i da je funkcija f konstanta. Ako je Y = X tada se preslikavanje f: X X, definisano pomoću f(x) = x za svako x X, naziva identičko preslikavanje u X.

10 REALNE FUNKCIJE 3 Definicija..2. Za dve funkcije f:x Y i g:u V kažemo da su jednake ako je X = U i Y = V i ako je (..) ( x X) f(x) = g(x). Ako je, med utim, X U i ako važi (..), reći ćemo da je f suženje ili restrikcija funkcije g (sa skupa U na skup X), tj. da je g proširenje ili ekstenzija funkcije f (sa skupa X na skup U). Primer..2. Neka su funkcije f: R R i g: N R, definisane redom pomoću f(x) = x 2 i g(x) = x 2. Iako su ove dve funkcije definisane istim analitičkim izrazom, one nisu med u sobom jednake funkcije jer su im domeni različiti skupovi. S obzirom na inkluziju N R, tj. D(g) D(f), zaključujemo da je funkcija g ekstenzija funkcije f, kao i da je funkcija f restrikcija funkcije g. 2 Neka je dat segment S = [0,2] i funkcija g: S 2 R, definisana pomoću z = g((x, y)) = x 2 + y 2. Ova funkcija predstavlja ekstenziju funkcije f: A 2 R iz primera.. (videti 2 ). Za funkciju g kažemo da je funkcija od dve promenljive x i y i umesto g((x, y)) pišemo jednostavno g(x, y). Skup Γ(f) = {(x,f(x)) x X} X Y naziva se grafik funkcije f. Ako su X R i f(x) R, grafik funkcije se može predstaviti kao skup tačaka u Dekartovoj 2) ravni 3) Oxy. Primer..3. Deo grafika funkcije f: R R, definisane pomoću y = f(x) = x 2 (videti slučaj u primeru..2), predstavljen je na slici... Na istoj slici.., prikazan je i deo grafika funkcije g: N R (takod e videti primer..2), koji se sastoji iz niza tačaka. Naime, na slici su prikazane samo prve četiri tačke, tj. deo grafika {(,), (2,4),(3,9),(4,6)} Γ(g). 2 Funkcija od dve promenljive (videti slučaj 2 u primeru..2), definisana na [0, 2] [0, 2] pomoću z = g(x, y) = x 2 + y 2, može se, takod e, grafički prikazati. Njen grafik je dat na slici..2, zajedno sa grafikom njene restrikcije f iz primera.. (videti slučaj 2 ). Primetimo da se grafik funkcije f sastoji iz devet tačaka. 2) René Descartes Cartesius)( ), veliki francuski filozof i matematičar. 3) Za ovaj način predstavljanja grafika funkcije dovoljno je znanje iz srednje škole. Inače, Dekartov pravougli koordinatni sistem, kao i neki drugi koordinatni sistemi, detaljno su tretirani u predmetu Linearna algebra.

11 4 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE y x 8 z x 2 0 y 2 Sl... Sl...2 Napomena..2. Funkcije f: X Y sa kojima se najčešće srećemo su realne, tj. takve da je Y = R, a X R n, gde je n. Kada je n = imamo slučaj realnih funkcija jedne realne promenljive, čije će osnovne osobine biti razmatrane u narednim odeljcima. Slučaj n > dovodi nas do tzv. realnih funkcija više promenljivih, tačnije realnih funkcija n promenljivih. Dakle, ured enoj n-torki (x,..., x n ) X pridružuje se vrednost y = f((x,..., x n )) R, pri čemu pišemo jednostavno y = f(x,..., x n ). Kod preslikavanja f: X Y razlikovaćemo sledeća dva moguća slučaja: f(x) = Y i f(x) Y. U prvom slučaju kažemo da je skup X preslikan na skup Y, a u drugom da je skup X preslikan u skup Y. Postoje, dakle, sa tog stanovišta dve vrste preslikavanja: preslikavanje na skup i preslikavanje u skup. Za preslikavanje na skup kaže se da je surjekcija ili surjektivno preslikavanje. Ako je preslikavanje f:x Y takvo da iz jednakosti f(x ) = f(x 2 ) sleduje x = x 2, kaže se da je f injekcija ili injektivno preslikavanje. Prema tome, kod ovog preslikavanja, ukoliko su slike jednake moraju biti jednaki i originali. Za ovo preslikavanje koristimo i termin preslikavanje. Za svako preslikavanje koje je istovremeno surjekcija i injekcija kaže se da je bijekcija ili bijektivno preslikavanje. Takod e, za takvo preslikavanje kažemo da je biunivoko ili obostrano jednoznačno preslikavanje. Definicija..3. Neka su X, Y i Z neprazni skupovi i neka su data preslikavanja f:x Y i g:y Z. Funkciju h = g f, tj. funkciju h:x Z definisanu pomoću ( x X) h(x) = (g f)(x) = g(f(x)) zovemo složena funkcija od funkcija f i g ili kompozicija preslikavanja f i g.

12 REALNE FUNKCIJE 5 U stvari, složena funkcija h = g f preslikava elemente x skupa X u elemente z = h(x) skupa Z posredno, pomoću funkcija f i g, na sledeći način: prvo elemente x skupa X funkcijom f preslikava u elemente y = f(x) skupa Y, a zatim tako dobijene elemente y = f(x) Y funkcijom g preslikava u elemente z = g(y) = g(f(x)) skupa Z. Preslikavanja f i g su, u stvari, med upreslikavanja. Naravno, jedno složeno preslikavanje može biti realizovano i sa više med upreslikavanja. Ponekad se kaže da sva ta med upreslikavanja čine lanac preslikavanja, a ona sâma su karike lanca. Napomenimo: ako su sva med upreslikavanja jednog složenog preslikavanja biunivoka preslikavanja, tada je i složeno preslikavanje biunivoko. Bez dokaza 4) navodimo sledeće tvrd enje: Teorema... Neka su X, Y, Z, W neprazni skupovi i neka f:x Y, g:y Z, h:z W, tj. X f Y g Z h Z. Tada je (..2) (h g) f = h (g f). Primer..4. Funkcija x log(sin x + ) je složena funkcija. Čine je preslikavanja: (a) y log y i x y = sin x +, (b) z log z, y z = y + i x y = sin x. 2 Preslikavanje x 2sin(3x 2 + ) je složeno preslikavanje. Čine ga, na primer, sledeća preslikavanja: (a) y 2sin y i x y = 3x 2 +, (b) z 2sin z, y z = y + i x y = 3x 2. Iz ovih primera se vidi da lanac jednog složenog preslikavanja nije jednoznačno odred en. Ali, iz jednog lanca složenog preslikavanja jednoznačno se dobija složeno preslikavanje. Primetimo da složena preslikavanja f g i g f ne moraju biti jednaka. Primer..6. Za funkcije g: R R i f: R R, date pomoću imamo g(x) = x 2 3x + 2 i f(x) = x 2, (g f)(x) = g(f(x)) = f(x) 2 3f(x) + 2 = (x 2 ) 2 3(x 2 ) + 2 = x 4 5x ) Dokazi teorema koje navodimo u ovom odeljku mogu se naći u knjizi [5].

13 6 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE i (f g)(x) = f(g(x)) = (x 2 3x + 2) 2 = x 4 6x 3 + 3x 2 2x + 3. Očigledno, (g f)(x) (f g)(x). Primer..7. Neka su funkcije f: R + 0 f(x) = x i g(x) = x 2. Kompozicija funkcija f i g, tj. (g f): R + 0 R i g: R R definisane pomoću R, odred ena je sa ( x R + 0 ) (g f)(x) = g(f(x)) = ( x) 2 = x. Kako je skup slika g(r) = R + 0 ( R), funkciju g možemo tretirati kao preslikavanje R na skup R + 0, pa je onda moguće definisati i kompoziciju funkcija g i f, tj. ( x R) (f g)(x) = f(g(x)) = x 2 = x. Dakle, funkciju x x dobili smo kao kompoziciju funkcija x x 2 i x x. Primetimo da se oblasti definisanosti kompozicija g f i f g razlikuju. Funkcija f g je ekstenzija funkcije g f. Važi sledeće tvrd enje: Teorema..2. Neka je f:x Y biunivoko preslikavanje. Tada postoji jedno i samo jedno biunivoko preslikavanje f:y X, za koje važi (..3) ( x X) ( f f ) (x) = x i (..4) ( y Y ) ( f f) (y) = y. Primetimo da uslovi (..3) i (..4) pokazuju da su kompozicije f f i f f identička preslikavanja u X i Y, respektivno. Na osnovu prethodnog moguće je dati definiciju inverzne funkcije: Definicija..4. Neka je f:x Y biunivoko preslikavanje. Za preslikavanje f :Y X, za koje je f f identičko preslikavanje u X i f f identičko preslikavanje u Y, kažemo da je inverzno preslikavanje za f. Dakle, preslikavanja f:x Y i f :Y X su biunivoka i za njih važi f (f(x)) = x, f(f (y)) = y (x X, y Y ).

14 REALNE FUNKCIJE 7 Ukazaćemo sada na neke osnovne osobine realnih funkcija jedne realne promenljive. Neka je, dakle, data funkcija f:x R, čija je oblast definisanosti (domen) X R. Oblast definisanosti jedne realne funkcije f:x R može biti bilo koji neprazan podskup od R: interval (a, b), segment [a, b], polusegmenti [a, b) i (a, b], unije bilo kojih od ovih skupova, uključujući, eventualno, i izolovane tačke. U posebnom slučaju, kada je funkcija f zadata,,analitički, tj. formulom, od interesa je naći tzv. prirodnu oblast definisanosti takve funkcije. To je, u stvari, skup svih realnih brojeva x R za koje takva formula ima smisla, tj. za koje je f(x) R. Primer..8. Funkcija x x definisana je za x 0, tj. njena oblast definisanosti je X = [0,+ ). Skup vrednosti funkcije je takod e skup [0,+ ). 2 Logaritamska funkcija x log x definisana je za x > 0. Ovde je oblast definisanosti X = (0,+ ), a skup njenih vrednosti je (,+ ). Primer..9. Oblast definisanosti funkcije x x 2 je X = (, ] [, + ). 2 Za funkciju x log(5+4x x 2 ) oblast definisanosti je interval X = (,5). 3 Funkcija x x 2 log(5 + 4x x 2 ) ima oblast definisanosti X = [,5), što predstavlja presek oblasti definisanosti funkcija iz i 2. Primer..0. Funkcija f: Q R, definisana pomoću f(x) =, ima za oblast definisanosti skup svih racionalnih brojeva, dok se skup vrednosti funkcije sastoji samo od jedne tačke f(q) = {}. Primer... Oblast definisanosti funkcije x log(sin x) je unija intervala (2kπ, (2k + )π), k = 0, ±, ±2,.... Primer..2. Posmatrajmo tzv. stepenu funkciju x f(x) = x α (α R). Odredićemo oblast definisanosti ove funkcije u zavisnosti od α. Ako je α bilo koji realan broj, tada se funkcija f definiše pomoću f(x) = e α log x, odakle zaključujemo da je oblast definisanosti ove funkcije X = (0, + ); 2 Ako je α ceo ili racionalan broj oblika α = p/q, gde je q neparan broj, stepena funkcija x x α ima smisla, kao realna funkcija, i za negativno x. Tada je oblast definisanosti X = R ako je α > 0 i X = R \ {0} ako je α < 0. Primer..3. Ukazaćemo na tri interesantne funkcije, koje se često koriste i na koje ćemo se u daljem tekstu, povremeno, pozivati. Funkcija najveće celo od x, u oznaci [x], definisana je sa x [x] = n (n x < n +, n Z).

15 8 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE 2 Funkcija razlomljeni deo od x, u oznaci (x), definisana je sa x (x) = x [x] (x R). 3 Funkcija znak od x, u oznaci sgn(x), definisana je sa 8 ><, ako je x < 0, sgn(x) = 0, ako je x = 0, >:, ako je x > 0. Primetimo da za x 0 važi sgn(x) = x /x. Često se umesto funkcije f:x R posmatra njena restrikcija na neko D ( X) (videti definiciju..2). Ako ne može doći do zabune, restrikciju f :D R označavaćemo jednostavno sa f:d R. Definicija..5. Za funkciju f:x R kažemo da ima infimum (supremum) ako postoji infimum (supremum) skupa f(x). Ako funkciju f tretiramo kao preslikavanje u prošireni skup realnih brojeva R (= R {,+ }), tada infimum i supremum u R uvek postoje tako da imamo m = inf f(x) = inf f(x) i M = sup f(x) = supf(x). x X x X Za brojeve m i M koriste se i termini donja i gornja med a funkcije na X. Ako je m konačan broj, za funkciju f kažemo da je ograničena odozdo. Isto tako, ako je M konačan broj, kažemo da je funkcija f ograničena odozgo. Ako u X postoji tačka ξ takva da je f(ξ) = m, tada kažemo da je m minimum funkcije f na X. Slično se definiše maksimum funkcije na X. Definicija..6. Za funkciju f: X R (X R) kažemo da je ograničena ako je skup vrednosti funkcije R(f) ograničen skup. Za funkciju koja nije ograničena, kažemo da je neograničena. Drugim rečima, funkcija f je ograničena na X ako je a neograničena ako je < inf f(x) sup f(x) < +, x X x X inf f(x) = ili/i sup f(x) = +. x X x X

16 REALNE FUNKCIJE 9 Definicija..7. Neka je funkcija x f(x) ograničena na X. Za broj Ω(f) = M m = sup f(x) inf f(x) x X x X kažemo da je oscilacija funkcije f na X. Primer..4. Funkcija x f(x) = x 2 `x (,) je ograničena na (, ) jer je skup [0, ) ograničen. Minimum ove funkcije na (,) je m = 0, dok je M = supremum funkcije na intervalu definisanosti. Oscilacija funkcije na (, ) je Ω(f) = M m =. Napomenimo da je f restrikcija stepene funkcije x x 2 sa R na (, ). 2 Funkcija x f(x) = (x) (x R) je ograničena jer je 0 (x) <. 3 Funkcija x f(x) = /x `x (0,) nije ograničena jer skup vrednosti funkcije f, tj. skup (,+ ), nije ograničen. Ovde je inf f(x) = i sup f(x) = +. x (0,) x (0,) Očigledno, funkcija f je ograničena odozdo, a neograničena odozgo..2. Grafik funkcije Neka je X ( R) oblast definisanosti funkcije f:x R. Kao što smo videli u odeljku., skup Γ(f) = {(x,y) R 2 y = f(x), x X} zove se grafik funkcije f i on se može predstaviti kao skup tačaka u ravni Oxy. Taj skup tačaka geometrijski u nekim delovima (ili u celosti) može predstavljati liniju i/ili neki skup izolovanih tačaka (videti primer..3). Kada je u pitanju linija, za grafik funkcije f kažemo da predstavlja krivu y = f(x). Primer.2.. Grafici funkcija iz primera..3 su dati na slici.2.. Sl..2.

17 0 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE Umesto pravouglog koordinatnog sistema, za predstavljanje grafika funkcije može se koristiti i neki drugi koordinatni sistem, na primer, polarni koordinatni sistem, koji ćemo uvesti na sledeći način: U ravni R izaberimo tačku O i poluosu Ox za koje kažemo da su pol i polarna osa. Proizvoljna tačka M u ravni R može se potpuno opisati pomoću rastojanja izmed u tačaka O i M i ugla ϕ koji zaklapa duž OM sa polarnom osom uzet u smeru suprotnom kretanju kazaljke na časovniku (videti sliku.2.2). Za brojeve i ϕ kažemo da su polarne koordinate tačke M u ravni R. Broj se naziva polarni radijus, a ϕ polarni ugao. Moguće vrednosti polarnih koordinata su, dakle, 0 < +, 0 ϕ < 2π. Pol O se predstavlja samo jednom koordinatom = 0. Za polarni ugao pola O kažemo da nije odred en. Sl..2.2 Sl..2.3 Napomena.2.. Za polarni ugao ϕ mogu se uzeti vrednosti iz intervala ( π, +π]. Ako na polarnu osu Ox u ravni R postavimo pod pravim uglom osu Oy, dobijamo Dekartov pravougli koordinatni sistem u ravni R (slika.2.3). Veza izmed u polarnih koordinata (,ϕ) i pravouglih (x,y) data je sa x = cos ϕ, y = sinϕ, odnosno = x 2 + y 2, cos ϕ = x, sin ϕ = y. Kako je 0, u polarnom koordinatnom sistemu ima smisla posmatrati samo funkcije ϕ = f(ϕ), gde je f(ϕ) 0.

18 REALNE FUNKCIJE Sl..2.4 Sl..2.5 Primer.2.2. Neka je = f(ϕ) = a( + cos ϕ), a > 0. Uzmimo da se polarni ugao ϕ menja u granicama od π do π (videti napomenu.2.). Kako je cos( ϕ) = cos ϕ, dovoljno je razmatrati slučaj kada je 0 ϕ π. U tabeli su date koordinate nekih tačaka grafika ove krive koja je, inače, poznata kao kardioida. ϕ 0 π/3 π/2 2π/3 π 2a 3a/2 a a/2 0 Kriva je simetrična u odnosu na polarnu osu (slika.2.4). Napomena.2.2. Iako se polarna osa poklapa sa pozitivnim delom x-ose, treba razlikovati grafik funkcije ϕ f(ϕ) u polarnom sistemu od grafika funkcije x f(x) u pravouglom koordinatnom sistemu jer se radi o različitim skupovima tačaka. Na primer, kriva = a( + cos ϕ) predstavlja kardioidu u polarnom sistemu, a kriva y = a( + cos x) transliranu sinusoidu (slika.2.5) u pravouglom koordinatnom sistemu..3. Parne i neparne funkcije Neka je X ( R) takav da ako je x X sleduje da je i x X. Za takav skup kažemo da je simetričan skup. Moguća su sledeća tri slučaja: Za svako x X važi f( x) = f(x); 2 Za svako x X važi f( x) = f(x); 3 Ne važi ni ni 2, sem, možda, za neke x X. Definicija.3.. Ako za svako x X važi f( x) = f(x), kažemo da je funkcija x f(x) parna funkcija. Definicija.3.2. Ako za svako x X važi f( x) = f(x), kažemo da je funkcija x f(x) neparna funkcija. Primer.3.. Funkcija x x 2, definisana za x X = (, ), je parna jer je f( x) = f(x) za svako x X.

19 2 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE 2 Funkcija x sin x, definisana za x R, je neparna jer je f( x) = f(x) za svako realno x. 3 Funkcija x e x, definisana za x R, nije ni parna ni neparna jer za svako x 0 važi f( x) ±f(x). 4 Za funkciju x x 2, definisanu na X = (, 2), nema smisla postavljati pitanje parnosti ili neparnosti jer skup X nije simetričan. Teorema.3.. Svaka funkcija x f(x), definisana na simetričnom skupu X ( R), može se predstaviti kao zbir jedne parne i jedne neparne funkcije. Dokaz. Posmatrajmo funkcije x ϕ(x) i x ψ(x) (x X), odred ene sa ϕ(x) = ( ) f(x) + f( x) i ψ(x) = ) f(x) f( x). 2 2( Nije teško proveriti da je ϕ parna, a ψ neparna funkcija. Med utim, očigledno je f(x) = ϕ(x) + ψ(x). Napomenimo da se činjenica da je neka funkcija parna ili neparna može iskoristiti kod skiciranja njenog grafika. Naime, kako su tačke M(x,f(x)) i N( x,f(x)) simetrične u odnosu na y-osu, zaključujemo da je grafik parne funkcije x f(x) simetričan u odnosu na osu Oy koordinatnog sistema Oxy. Isto tako, grafik neparne funkcije x f(x) je simetričan u odnosu na koordinatni početak O jer su tačke M(x, f(x)) i N( x, f(x)) simetrične u odnosu na tačku O..4. Periodične funkcije Posmatrajmo funkciju f: R R. Definicija.4.. Ako postoji pozitivan broj τ takav da je za svako x R f(x + τ) = f(x), kažemo da je funkcija x f(x) periodična funkcija, a da je τ njen period. Ako je T najmanji od svih takvih brojeva τ, kažemo da je T osnovni period periodične funkcije f. Primetimo da za periodičnu funkciju f, takod e, važi f(x τ) = f(x). Iz definicije.4. neposredno sleduje sledeće tvrd enje: Teorema.4.. Ako je T period periodične funkcije x f(x) i k N, tada je i kt period funkcije f.

20 REALNE FUNKCIJE 3 Teorema.4.2. Ako je λ 0 i x f(x) periodična funkcija sa osnovnim periodom T, tada je i funkcija x f(λx) periodična sa osnovnim periodom T/ λ. Dokaz. Definišimo funkciju ϕ pomoću ϕ(x) = f(λx). Tada je ( ϕ x + T ) ( = f λx + T λ ) = f ( λx + T sgn λ ) = f(λx) = ϕ(x). λ λ Dakle, osnovni period funkcije x f(λx) = ϕ(x) je T/ λ. Primer.4.. Funkcija x a( + cos x) (x R) je periodična funkcija sa osnovnim periodom T = 2π (slika.2.5). 2 Funkcija x x [x] je periodična sa osnovnim periodom T =. 3 Funkcija x tan5x je periodična sa osnovnim periodom T = π/5. Primer.4.2. Za Dirichletovu 5) funkciju x χ(x), odred enu sa j, ako je x Q, χ(x) = 0, ako je x I, važi χ(x + τ) = χ(x), za svako racionalno τ. Med utim, ova funkcija nema osnovni period T jer ne postoji najmanji pozitivan racionalan broj. Saznanje da je x f(x) periodična funkcija može koristiti kod skiciranja njenog grafika. Naime, dovoljno je skicirati ga samo na segmentu dužine T. Napomenimo na kraju da iz periodičnosti funkcije x g(x) sleduje periodičnost složene funkcije x f(g(x)). Na primer, funkcija x log( sin x ) je periodična sa osnovnim periodom T = π..5. Monotone funkcije Neka je data funkcija f:x R i neka je D X R. Definicija.5.. Funkcija f je neopadajuća na D ako za svaki par različitih vrednosti x,x 2 D važi implikacija: x < x 2 f(x ) f(x 2 ). U slučaju stroge nejednakosti kažemo da je f rastuća funkcija na D. Definicija.5.2. Funkcija f je nerastuća na D ako za svaki par različitih vrednosti x,x 2 D važi implikacija: x < x 2 f(x ) f(x 2 ). U slučaju stroge nejednakosti kažemo da je f opadajuća funkcija na D. 5) Peter Gustav Lejeune Dirichlet ( ), francuski matematičar.

21 4 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE Napomenimo da implikacijama u prethodnim definicijama odgovaraju nejednakosti: (x x 2 ) ( f(x ) f(x 2 ) ) 0 i (x x 2 ) ( f(x ) f(x 2 ) ) 0. Primer.5.. Funkcija x [x] je neopadajuća na R jer za svaki par realnih brojeva x < x 2 sleduje [x ] [x 2 ] (videti grafik ove funkcije na slici.2.). 2 Funkcija x x 2 je rastuća na D = [0, + ) jer je x 2 < x 2 2 za x < x 2 (x, x 2 D). 3 Neka je x f(x) = x x (x R). Kako je 8 ><, x < 0, f(x) = 2x +, 0 x <, >:, x, zaključujemo da je f nerastuća funkcija na R. 4 Funkcija x /x je opadajuća na D = (0,+ ) jer za svaki par različitih vrednosti x, x 2 D važi (x x 2 ) = (x x 2 ) 2 < 0. x x 2 x x 2 Definicija.5.3. Za funkcije odred ene definicijama.5. i.5.2 kažemo da su monotone funkcije na D. Iz ovih definicija neposredno sleduju sledeća tvrd enja: Teorema.5.. Ako je funkcija x f(x) neopadajuća, rastuća, nerastuća ili opadajuća na D, tada je funkcija x f(x), respektivno, nerastuća, opadajuća, neopadjuća ili rastuća na D. Važi, dakle, dualizam: (ne)rastuća (ne)opadajuća. Isto tako, važe sledeća tvrd enja: Teorema.5.2. Ako su funkcije x f(x) i x g(x) neopadajuće na D, takva je i funkcija x f(x) + g(x). Teorema.5.3. Ako je x f(x) neopadajuća na D i ako je α > 0, tada je i funkcija x αf(x) neopadajuća na D. Teorema.5.4. Ako su x f(x) i x g(x) nenegativne opadajuće funkcije na D, takva je i funkcija x f(x)g(x).

22 REALNE FUNKCIJE 5 Teorema.5.5. Ako je x f(x) pozitivna i neopadajuća funkcija na D, tada je funkcija x /f(x) nerastuća na D. Naravno, važe i njima dualna tvrd enja koja nećemo navoditi. Za neke klase funkcija moguće je jednostavnije ispitati njihovu monotonost na D korišćenjem pojma izvoda funkcije, o čemu će biti reči u IV glavi ove knjige..6. Konveksne funkcije Neka je data funkcija f:x R i D = [a,b] X R. Definicija.6.. Za funkciju x f(x) kažemo da je konveksna u Jensenovom 6) smislu ili da je J-konveksna na D ako za svaki par vrednosti x i x 2 iz D važi nejednakost ( x + x ) 2 (.6.) f f(x ) + f(x 2 ). 2 2 Ako u (.6.) važi striktna nejednakost, funkcija f je striktno J-konveksna na D. Primer.6.. Funkcija x x 2 (x R) je J-konveksna jer se nejednakost x + x 2 2 x 2 + x 2 2, 2 2 koja karakteriše J-konveksnost posmatrane funkcije, svodi na (x x 2 ) 2 0, a ona je tačna za bilo koje vrednosti x, x 2 R. Definicija.6.2. Za funkciju x f(x) kažemo da je (striktno) konkavna u Jensenovom smislu ili da je (striktno) J-konkavna na D ako je funkcija x f(x) (striktno) J-konveksna na D. Napomena.6.. Funkcija x f(x) je konkavna u Jensenovom smislu na D ako za svaki par vrednosti x i x 2 iz D važi nejednakost x + x f 2 f(x ) + f(x 2 ). 2 2 Primer.6.2. Funkcija x log x (x > 0) je konkavna u Jensenovom smislu jer se nejednakost x + x log (log x + log x 2 ), svodi na nejednakost (x x 2 ) 2 0. Pored konveksnosti u Jensenovom smislu, postoje i drugi tipovi konveksnosti. Navešćemo neke od njih. 6) Johan Ludwig William Valdemar Jensen ( ), danski matematičar.

23 6 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE Definicija.6.3. Za funkciju x f(x) kažemo da je konveksna na D ako je (.6.2) f ( λx + ( λ)x 2 ) λf(x ) + ( λ)f(x 2 ), za svaki par vrednosti x i x 2 iz D i za sve realne brojeve λ [0,]. Ako u (.6.2) važi striktna nejednakost, funkcija x f(x) je striktno konveksna na D. Nejednakost (.6.2) može se predstaviti u obliku (.6.3) f ( px + qx ) 2 p + q pf(x ) + qf(x 2 ), p + q gde smo stavili: λ = p/(p + q); p,q 0; p + q > 0. Teorema.6.. Svaka konveksna funkcija je J-konveksna. Dokaz. Ako u (.6.2) stavimo λ = /2, dobijamo nejednakost koja je, u stvari, nejednakost (.6.). Teorema.6.2. Funkcija x f(x) je konveksna na D ako i samo ako je, za bilo koje tri tačke x,x 2,x 3 iz D (x < x 2 < x 3 ), (.6.4) (x 3 x 2 )f(x ) + (x x 3 )f(x 2 ) + (x 2 x )f(x 3 ) 0. Dokaz. Neka je f konveksna funkcija na D, tj. neka za bilo koji par vrednosti x,y D važi nejednakost (.6.5) f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y). Pretpostavimo da je x < y, što ne umanjuje opštost razmatranja. Ako stavimo x = x i y = x 3, nejednakost (.6.5) postaje (.6.6) f ( λx + ( λ)x 3 ) λf(x ) + ( λ)f(x 3 ). Kako je x < x 3, uvek postoji x 2 D tako da je x < x 2 < x 3. Postoji, dakle, x 2 tako da je 0 < x 3 x 2 < x 3 x, tj. da važi 0 < (x 3 x 2 )/(x 3 x ) <. Stavljajući u (.6.6) λ = (x 3 x 2 )/(x 3 x ) dobijamo f(x 2 ) x 3 x 2 x 3 x f(x ) + x 2 x x 3 x f(x 3 ),

24 REALNE FUNKCIJE 7 tj. (.6.4). Dakle, ako je funkcija f konveksna funkcija, onda ona zadovoljava nejednakost (.6.4). Obrnuto, ako stavimo x = x, x 3 = y, x 2 = λx + ( λ)x 3 = λx + ( λ)y, gde je x < y, imamo x 3 x 2 = λ(y x), x x 3 = (y x), x 2 x = ( λ)(y x), pa nejednakost (.6.4) postaje ( λ)f(x) f ( λx + ( λ)y ) + λf(y) 0, tj. (.6.5). Prema tome, ako funkcija f zadovoljava nejednakost (.6.4), onda je ona konveksna funkcija. Napomena.6.2. Nejednakost (.6.4) može se predstaviti i u obliku f(x ) (x x 2 )(x x 3 ) + f(x 2 ) (x 2 x 3 )(x 2 x ) + f(x 3 ) (x 3 x )(x 3 x 2 ) 0, što se dobija deljenjem (.6.4) sa (x 2 x )(x 3 x )(x 3 x 2 ) > 0 (x < x 2 < x 3 ). Napomena.6.3. Nejednakostima koje su suprotne nejednakostima (.6.2), (.6.3) i (.6.4) definišu se odgovarajuće konkavnosti posmatranih funkcija..7. Inverzne funkcije U odeljku. uveli smo pojam inverzne funkcije i pokazali da samo biunivoka preslikavanja imaju sebi inverzna preslikavanja i da za njih važi (.7.) f (f(x)) = x, f(f (y)) = y (x X, y Y ). Ovde je X = D(f) i Y = R(f) = f(x). Sledeća teorema se odnosi na strogo monotone (rastuće ili opadajuće) funkcije na X. Teorema.7.. Neka je f:x R strogo monotona funkcija na X( R). Tada f ima inverznu funkciju f, definisanu na Y = f(x), koja je strogo monotona na Y. Dokaz. Ne umanjujući opštost, pretpostavimo da je f rastuća funkcija na X, tj. da je f(x ) < f(x 2 ) kada je x < x 2 (x,x 2 X). Ovo znači da je f

25 8 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE tzv. preslikavanje ili injekcija (videti odeljak.4). Štaviše, preslikavanje f:x f(x) je preslikavanje na, pa zaključujemo da je ono, u stvari, biunivoko preslikavanje. Zato postoji inverzno preslikavanje f, definisano na Y = f(x). Dokazaćemo sada da je ovo preslikavanje rastuća funkcija na Y, tj. da je f (y ) < f (y 2 ) kada je y < y 2 (y,y 2 Y ). Zaista, kada bi bilo obrnuto, tj. f (y ) f (y 2 ), imali bismo da je f ( f (y ) ) f ( f (y 2 ) ) jer je funkcija f rastuća. Na osnovu (.7.), poslednja nejednakost se svodi na y y 2, što je u suprotnosti sa pretpostavkom y < y 2. Dakle, mora važiti f (y ) < f (y 2 ). Potpuno analogno se dokazuje slučaj kada je f opadajuća funkcija na X. Tada se dokazuje da je funkcija f opadajuća na Y = f(x). Primer.7.. Funkcija x x 3 je rastuća na R i preslikava R na R. Na osnovu prethodne teoreme, postoji njena inverzna funkcija y 3 y koja raste na R. 2 Funkcija f: R R, definisana sa f(x) = x 2, nema inverznu funkciju jer f nije preslikavanje. Med utim, restrikcije ove funkcije na [0, + ), odnosno na (, 0], imaju svoje inverzne funkcije. Zaista, funkcija x x 2, definisana na X = [0,+ ), je rastuća na X i preslikava X na X. Ovo znači da ona ima inverznu funkciju y y, definisanu na [0, + ), koja je rastuća na [0, + ). Slično, restrikcija f na X = (,0] je opadajuća na X i preslikava X na X. Njena inverzna funkcija y y preslikava X na X i opada na X. Na kraju ovog odeljka dajemo jednu geometrijsku interpretaciju koja se odnosi na grafike funkcija f i f. Neka je a X. Nije teško proveriti da su, u koordinatnom sistemu Oxy, tačke M ( a,f(a) ) i M ( f(a),a ) simetrične u odnosu na pravu y = x. Kako je a = f ( f(a) ), tačka M je, u stvari, tačka M ( f(a),f ( f(a) )). Prema tome, M je tačka grafika funkcije x f (x). Ovo znači da su grafici funkcija x f(x) i x f (x), u koordinatnom sistemu Oxy, simetrični u odnosu na pravu y = x. Dakle, krive y = f(x) i y = f (x) simetrične su u odnosu na pravu y = x. Naravno, ovu činjenicu moguće je korisno upotrebiti za skiciranje grafika funkcije x f (x) ako je poznat grafik krive y = f(x) i obrnuto.

26 REALNE FUNKCIJE 9.8. Krive i funkcije u parametarskom obliku Jednačinama oblika (.8.) x = ϕ(t), y = ψ(t), (α t β), moguće je definisati izvesnu krivu Γ u ravni, gde je t parametar. Naime, neka su date dve funkcije t x = ϕ(t) i t y = ψ(t) koje preslikavaju [α,β] u neke skupove X ( R) i Y ( R), respektivno. Za dato t [α,β], ured enom paru (x, y) pridružićemo tačku M (= M(t)) sa odgovarajućim koordinatama x i y u Dekartovoj ravni Oxy. Kao što smo videli u odeljku 2.2, u izvesnim slučajevima, skup tačaka (.8.2) Γ = {(x,y) x = ϕ(t), y = ψ(t) (α t β)} može predstavljati krivu. Za krivu (.8.2) kažemo da je definisana parametarski pomoću jednačina (.8.). Ponekad, eliminacijom t iz jednačina (.8.) moguće je naći eksplicitnu vezu izmed u x i y. Primer.8.. Neka je (.8.3) x = a cos t, y = b sin t (a, b > 0; t R). Zbog periodičnosti funkcija t cos t i t sin t dovoljno je razmatrati samo slučaj kada t [0, 2π). Kako je x a 2 + y b 2 = cos 2 t + sin 2 t =, zaključujemo da je jednačinama (.8.3) definisana elipsa u ravni Oxy x 2 a 2 + y2 b 2 =. Ovim su, u stvari, definisane dve funkcije: x b r x2 a 2, x b r x2 a 2 ( a x a). Pretpostavimo da je na nekom segmentu T = [t,t 2 ] (α t < t 2 β) jedna od funkcija ϕ ili ψ strogo monotona. Neka je to, na primer, funkcija

27 20 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE ϕ. Tada, na osnovu teoreme.7., postoji njena inverzna funkcija ϕ definisana na ϕ(t). U tom slučaju, iz (.8.) sleduje y = ψ ( ϕ (x) ), gde x [ϕ(t ),ϕ(t 2 )] ili x [ϕ(t 2 ),ϕ(t )], u zavisnosti da li je funkcija ϕ rastuća ili opadajuća na T. Ovim smo, dakle, odredili funkciju x f(x) = (ψ ϕ )(x) = ψ ( ϕ (x) ) (x ϕ(t)), čiji je grafik deo krive Γ koji odgovara parametru t T. Za funkciju f kažemo da je parametarski zadata pomoću x = ϕ(t), y = ψ(t) (t t t 2 ). Dakle, u definiciji funkcije f bitnu ulogu je imala egzistencija inverzne funkcije ϕ. Slično, ako funkcija ψ ima inverznu funkciju ψ, definisanu na ψ(t), tada se, na osnovu (.8.), može definisati funkcija g pomoću y g(y) = (ϕ ψ )(y) = ϕ ( ψ (y) ) (y ψ(t)). Primer.8.2. Funkcijama t x = t 2 i t y = t 4 + (t 0) definisana je funkcija x y = x 2 + (x 0). 2 Funkcije t x = e t + i t y = log t (t > 0) odred uju funkciju x y = log`log(x ) (x > 2). Primer.8.3. Neka su date parametarske jednačine cikloide (.8.4) x = a(t sin t), y = a( cos t) (a > 0; t R). To je, u stvari, kriva (slika.8.) koja se dobija kao trajektorija jedne fiksirane tačke A kruga, sa centrom u tački C i poluprečnika a, koji se kotrlja bez klizanja po datoj pravoj p. Na slici.8.2 prava p je identifikovana sa x-osom. Sl..8.

28 REALNE FUNKCIJE 2 Sl..8.2 Posmatrajmo funkciju t ψ(t) = a( cos t) (a > 0) na segmentu T = [0, π]. Kako je ona rastuća i preslikava T na [0, 2a], zaključujemo da postoji njena inverzna funkcija ψ :[0, 2a] T, koja je data pomoću y t = arccos( y/a) (y [0, 2a]). Na osnovu (.8.4) nalazimo (.8.5) y x = g(y) = a arccos( y/a) p y(2a y). Grafik ove funkcije u pravouglim koordinatama je prva polovina luka cikloide (0 y 2a, 0 x aπ). Ovde je očigledna prednost parametarskih jednačina (.8.4) nad (.8.5). Napomenimo da se svaka funkcija x f(x) (x X) može predstaviti kao funkcija u parametarskom obliku, na primer, stavljajući x = t i y = f(t) ili x = t i y = f(t ). Kako, očigledno, ima više načina za uvod enje parametara, to za zadatu funkciju njeno predstavljanje u parametarskom obliku nije jednoznačno..9. Implicitno definisane funkcije Neka su X, Y, Z neprazni podskupovi skupa R pri čemu 0 Z i neka je na skupu X Y definisano preslikavanje F:X Y Z. Ako postoje skupovi D x X i D y Y takvi da za svako fiksirano x D x jednačina F(x,y) = 0 ima jedinstveno rešenje y D y, tada se na D x može definisati preslikavanje f:d x D y koje svakom elementu x D x stavlja u korespondenciju element y D y, koje je, u stvari, rešenje jednačine F(x,y) = 0. Za takvu funkciju f kažemo da je implicitno definisana pomoću preslikavanja F. Primer.9.. Neka je na skupu R R definisano preslikavanje (x, y) F(x, y) = x e y + 3. Kako za svako x > 3 jednačina (.9.) F(x,y) = x e y + 3 = 0

29 22 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE ima jedinstveno rešenje y = log(x + 3), zaključujemo da je pomoću (.9.) implicitno definisana funkcija x f(x) = log(x + 3) koja preslikava ( 3,+ ) na R. Napomenimo da smo u ovom primeru imali X = Y = Z = R, D x = ( 3, + ) i D y = R. Primer.9.2. Neka je na skupu R R dato preslikavanje Ovde je X = Y = R i Z = [, + ). (x, y) F(x,y) = x 2 + y 2 2. Iz jednačine F(x,y) = x 2 + y 2 = 0, tj. y 2 = x 2, zaključujemo da ima smisla razmatrati samo slučaj kada je D x = [, ]. Kako ova kvadratna jednačina ima dva rešenja y = ± x 2, razmotrićemo dva slučaja s obzirom na izbor skupa D y R: Neka je D y = [0, ]. Tada, za svako x D x, jednačina F(x,y) = 0 ima jedinstveno rešenje u skupu D y dato sa y = x 2. Dakle, imamo funkciju f : D x D y odred enu sa f (x) = x 2. 2 Uzmimo sada da je D y = [, 0]. U tom slučaju dobijamo funkciju f 2 : D x D y odred enu sa f 2 (x) = x 2. Dakle, pomoću jednačine F(x,y) = 0 implicitno su definisane dve funkcije: p p x f (x) = + x 2 i x f 2 (x) = x 2 (x [, ]). U nekim slučajevima pogodno je jednačinu F(x,y) = 0 prevesti na polarne koordinate i tada razmatrati krivu u polarnom koordinatnom sistemu. Primer.9.3. Neka je data jednačina (x 2 + y 2 ) 2 = a 2 (x 2 y 2 ), gde je a > 0. Stavljajući x = cos ϕ i y = sin ϕ dobijamo 2 = a 2 cos 2ϕ, tj. (.9.2) = f(ϕ) = a p cos 2ϕ. Sl..9. Kako je f parna funkcija, dovoljno je razmotriti samo slučaj kada ϕ [0, π]. Iz uslova cos 2ϕ 0 sleduje da je f definisano za ϕ [0, π/4] [3π/4, π]. Kriva definisana sa (.9.2) naziva se lemniskata (slika.9.).

30 .0. Elementarne funkcije REALNE FUNKCIJE 23 Definicija.0.. Pod osnovnim elementarnim funkcijama podrazumevaju se sledeće funkcije: Konstanta : x const ; 2 Stepena funkcija: x x α (α R); 3 Eksponencijalna funkcija: x a x (a > 0); 4 Logaritamska funkcija: x log a x (a > 0, a ); 5 Trigonometrijske funkcije: x sinx, x cos x, x tan x, x cot x; 6 Inverzne trigonometrijske (ciklometrijske) funkcije: x arcsin x, x arccos x x arctan x, x arccot x. Napomenimo da su funkcije x arcsin x i x arccos x definisane na skupu X = [,], dok je oblast definisanosti funkcija x arctan x i x arccot x skup R. Definicija.0.2. Za funkcije koje se dobijaju konačnom primenom aritmetičkih operacija i konačnim brojem kompozicija nad osnovnim elementarnim funkcijama kažemo da su elementarne funkcije. Primer.0.. Elementarne su funkcije, na primer: x sin 2x (x R), 2 x 2e 3x + log(x + ) (x > ), 3 x x 3 + 3cos2x (x R), 4 x log sin 3x e arctan x `x R + \ {kπ/3 k N}, 5 x 2sin(x + ) log x e x + x 2 + (x > 0). Elementarne funkcije mogu se podeliti na algebarske i transcendentne. Od algebarskih funkcija navodimo sledeće: () Polinomi. To su funkcije oblika x P(x) = a 0 x n + a x n + + a n x + a n (x R), gde su a k (k = 0,,...,n) realni brojevi, koji se nazivaju koeficijenti polinoma. Broj n ( N 0 ) naziva se stepen polinoma. Polinom čiji je stepen nula je konstanta (elementarna funkcija navedena pod u definiciji.0.).

31 24 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE (2) Racionalne funkcije. Neka su x P(x) i x Q(x) polinomi stepena n i m, respektivno, i neka je Z(Q) skup svih tačaka x R za koje je Q(x) = 0. Tada se na skupu X = R \ Z(Q) može definisati tzv. racionalna funkcija x R(x) pomoću R(x) = P(x) Q(x) = a 0x n + a x n + + a n x + a n b 0 x m + b x m + + b m x + b m. (3) Iracionalne funkcije. Konačnom primenom aritmetičkih operacija i konačnim brojem kompozicija nad konstantom i stepenom funkcijom sa racionalnim izložiocem, dobijamo iracionalne funkcije. Na primer, funkcija x je iracionalna funkcija. x x + x x + + 4x 2 x 5 x + 2 U stvari, u opštem slučaju, za svaku funkciju x y = f(x) koja zadovoljava bar jednu jednačinu oblika P 0 (x)y n + P (x)y n + + P n y + P n (x) = 0, gde su x P k (x) (k = 0,,...,n) neki polinomi, kažemo da je algebarska funkcija. Za sve elementarne funkcije koje nisu algebarske kažemo da su transcendentne funkcije. Takve su, na primer: x sinx, x x 2 + arctan x, x a x, x log a x. Sada ćemo posebno definisati jednu klasu transcendentnih funkcija, poznatu kao hiperboličke funkcije. To su funkcije: () Sinus hiperbolički : x sinh x = ex e x (x R); 2 (2) Kosinus hiperbolički : x cosh x = ex + e x (x R); 2 (3) Tangens hiperbolički : x tanh x = ex e x e x + e x (x R); (4) Kotangens hiperbolički : x coth x = ex + e x e x e x (x R \ {0}).

32 METRIČKI PROSTORI I TOPOLOŠKI POJMOVI 25 Nazivi ovih funkcija su uzeti zbog izvesnih sličnosti sa trigonometrijskim funkcijama. Na primer, važe sledeće formule: cosh 2 x sinh 2 x =, tanh x = sinhx cosh x, sinh2x = 2sinh xcosh x, cosh 2x = cosh 2 x + sinh 2 x. Primer.0.2. Kako je x sinh x rastuća na R i preslikava R na R, zaključujemo da postoji njena inverzna funkcija koju ćemo označavati sa arsinh. Pokazaćemo sada da se ona može izraziti pomoću logaritamske funkcije. Iz y = sinh x = (e x e x )/2 sleduje e 2x 2ye x = 0, odakle je e x = y ± p y 2 +, tj. x = log`y + p y 2 +, pri čemu uzimamo znak + jer je e x > 0. Dakle, imamo arsinh y = log`y + p y 2 + (y R). 2 Slično, funkcija x tanh x je rastuća i preslikava R na (, ). Zato postoji njena inverzna funkcija data sa y artanhy = 2 log + y y (y (,)). Primer.0.3. Funkcija x cosh x koja preslikava R u R nema inverznu funkciju jer nije preslikavanje. Med utim, njene restrikcije na (, 0] i [0, + ) imaju inverzne funkcije, slično kao kod funkcije x x 2 (videti primer.7. pod 2 ). U slučaju restrikcije na [0,+ ), inverzna funkcija je y arcosh y = log`y + p y 2 (y [, + )). Kada je reč o restrikciji na (,0] inverzna funkcija je y arcosh y = log`y + p y 2 (y [,+ )) jer je y p y 2 = /`y + p y 2. Napomena.0.. Sve ostale funkcije koje nisu elementarne su neelementarne funkcije. 2. METRIČKI PROSTORI I TOPOLOŠKI POJMOVI 2.. Metrički prostori i neke osnovne nejednakosti Neka je X neprazan skup čiji su elementi x,y,z,.... Da bismo mogli, pre svega, da tretiramo problem konvergencije niza tačaka u X, neophodno je definisati rastojanje izmed u proizvoljnih tačaka skupa X. U tom cilju posmatrajmo preslikavanje d:x 2 [0,+ ).

33 26 OSNOVI MATEMATIČKE ANALIZE Definicija 2... Ako preslikavanje d:x 2 [0,+ ) ispunjava uslove d(x,y) = 0 x = y, 2 d(x,y) = d(y,x), 3 d(x,y) d(x,z) + d(z,y), za svako x,y,z X, onda kažemo da je d rastojanje ili metrika u skupu X. Za skup X snabdeven metrikom d kažemo da je metrički prostor i to označavamo sa (X, d). Dakle, metrički prostor čine skup X i uvedena metrika d. Uvek kada je poznata metrika d i kada ne može doći do zabune, umesto (X,d) pišemo kraće X. Osobina u definiciji 2.. ukazuje da je rastojanje izmed u dve tačke x i y uvek pozitivno sem u slučaju kada je x = y. Druga osobina, koja se inače naziva osobina simetričnosti, kazuje da je rastojanje izmed u tačke x i tačke y jednako rastojanju izmed u tačke y i tačke x. Najzad, osobina 3 predstavlja analogon dobro poznate nejednakosti za trougao da jedna stranica trougla nikad nije veća od zbira druge dve stranice. Zato se ova osobina i naziva nejednakost trougla. Primer 2... Neka je X = R i d(x,y) = x y. Kako je x y > 0 (x y) i x y = 0 x = y, 2 x y = y x, 3 x y = (x z) + (z y) x z + z y, za svako x, y, z R, zaključujemo da je (R, d) metrički prostor. Pre nego što primerima ilustrujemo još neke metričke prostore, dokazaćemo sledeća tri tvrd enja: Teorema 2... Ako je p > i /p + /q =, za svako a,b > 0 važi nejednakost (2..) ab p ap + q bq. Znak jednakosti važi ako i samo ako je a p = b q. Dokaz. Posmatrajmo funkciju x y = x m za x 0 i 0 < m <. Kako ordinate krive y = x m nisu veće od odgovarajućih ordinata njene tangente u tački x =, važi nejednakost (2..2) x m + m(x ) (x 0, 0 < m < ).

34 METRIČKI PROSTORI I TOPOLOŠKI POJMOVI 27 Naravno, u (2..2) važi jednakost ako i samo ako je x =. Ako u (2..2) stavimo m = /p (p > ) i x = a p /b q, dobijamo (2..), gde znak jednakosti važi ako i samo ako je a p = b q. Teorema Neka su a k i b k (k =,2,...,n) realni ili kompleksni brojevi i neka je /p + /q = (p > ). Tada važi nejednakost (2..3) n ( n a k b k a k p) /p( n b k q) /q. k= k= k= Dokaz. Uvedimo oznake A = n k= a k p i B = n k= b k q. Ako u (2..) stavimo a = a k /A /p i b = b k /B /q dobijamo nejednakosti a k A b k /p B /q p a k p A + q b k q B (k =,2,...,n). Sabiranjem ovih nejednakosti za k =, 2,..., n dobijamo n a k b k k= A /p B /q p tj. nejednakost (2..3). n a k p k= n + a k p q k= n b k q k= n = b k q p + q =, Nejednakost (2..3) je u matematičkoj literaturi poznata pod imenom Hölderova 7) nejednakost. Za p = 2, (2..3) se svodi na nejednakost k= (2..4) n ( n a k b k a k 2) /2( n b k 2) /2, k= k= k= koja je poznata kao Bunjakowsky 8) Cauchy 9) Schwarzova 0) nejednakost. 7) Otto Ludwig Hölder ( ), nemački matematičar. 8) Viktor Jakovlevič Bunjakowsky ( ), ruski matematičar. 9) Augustin Luis Cauchy ( ), veliki francuski matematičar. 0) Karl Hermann Amandus Schwarz (843 92), nemački matematičar.

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Eksponencijalna i logaritamska funkcija

Eksponencijalna i logaritamska funkcija 16 1. UVOD U ANALIZU Rešenje. Kako je ovo neprava funkcija, deljenjem nalazimo da je (11) f() = 1 + 5 6 + 1 3 5 + 6 = 1 + 5 6 + 1 ( )( 3). Prema postupku navedenom u teoremi 1.7, važi razlaganje odnosno

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije

4 Funkcije. 4.1 Pojam funkcije 4 Funkcije 4.1 Pojam unkcije Neka su i neprazni skupovi i pravilo koje svakom elementu skupa pridružuje točno jedan element skupa. Tada se uredena trojka (,, ) naziva preslikavanje ili unkcija sa skupa

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Elementarne funkcije

4.1 Elementarne funkcije . Elementarne funkcije.. Polinomi Funkcija f : R R zadana formulom f(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 gdje je n N 0 te su a n, a n,..., a, a 0 R, zadani brojevi takvi da a n 0 naziva se polinom

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

Neodred eni integrali

Neodred eni integrali Neodred eni integrali Definicija. Za funkciju F : I R, gde je I interval, kažemo da je primitivna funkcija funkcije f : I R ako je za svako I. F () f() Teorema 1. Ako je F : I R primitivna funkcija za

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

1. Funkcije više promenljivih

1. Funkcije više promenljivih 1. Funkcije više promenljivih 1. Granične vrednosti funkcija više promenljivih Definicija 1. Funkcija f : D( R n R ima graničnu vrednost u tački (x 0 1, x 0 2,..., x 0 n D i jednaka je broju α R ako važi

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001.

Milan Merkle. Matematička analiza. Pregled teorije i zadaci. Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje. Beograd, 2001. Milan Merkle Matematička analiza Pregled teorije i zadaci Treće izmenjeno i dopunjeno izdanje Beograd, 2001. Sadržaj Obavezno pročitati................................................... xi 1 Uvod u analizu........................................................

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo.

Kompleksni brojevi. Algebarski oblik kompleksnog broja je. z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo. Kompleksni brojevi Algebarski oblik kompleksnog broja je z = x + iy, x, y R, pri čemu je: x = Re z realni deo, y = Im z imaginarni deo Trigonometrijski oblik kompleksnog broja je z = rcos θ + i sin θ,

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1. P r e d a v a n j a z a d e v e t u s e d m i c u n a s t a v e (u akademskoj 2009/2010. I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A Verba volant, scripta manent. [Riječi odlijeću, pisano ostaje. Ono što se kaže lako je zaboraviti, ali ono što je napisano ne može se poreći.] ( Latinska izreka

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE

ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE Nada Miličić Miloš Miličić ELEMENTI VISE ˇ MATEMATIKE II deo II izdanje Akademska misao Beograd, 2011 Dr Nada Miličić, redovni profesor Dr Miloš Miličić, redovni profesor ELEMENTI VIŠE MATEMATIKE II DEO

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx.

Odred eni integrali. Osnovne osobine odred enog integrala: f(x)dx = 0, f(x)dx = f(x)dx + f(x)dx. Odred eni integrli Osnovne osobine odred enog integrl: fx), fx) fx) b c fx), fx) + c fx), 4 ) b αfx) + βgx) α fx) + β gx), 5 fx) F x) b F b) F ), gde je F x) fx), 6 Ako je f prn funkcij fx) f x), x R ),

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne

Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne Funkcije Sadržaj: Pojam funkcije, svojstva, operacija s funkcijama, zadavanje funkcije Pregled osnovnih elementarnih funkcija: Polinomi Racionalne funkcije Iracionalne funkcije Potencije Eksponencijalne

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0.

y x = k = const, gde je x bilo koja promena veličine x, a y odgovarajuća promena y. Ako je = k za svako x i svako h 0. 73 7 Diferenciranje 7. Marginalna funkcija i izvod Ako su dve veličine, y i x, povezane linearnom funkcijom, y = f(x) = kx + n, onda se y menja ravnomerno u odnosu na x, tj. važi formula (43) y x = k =

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

SADRŽAJ 8. LITERATURA...

SADRŽAJ 8. LITERATURA... SADRŽAJ 1. UVOD 2. Polinomi. 3. Racionalne funkcije. 4. Stepene funkcije... 5. Logaritamske funkcije... 6. Trigonometrijske funkcije.. 7. Inverzne fukcije. 8. LITERATURA... 1 UVOD Elementarne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu

UPUTSTVO: Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu Elektrotehnički fakultet Univerziteta u Sarajevu P R I P R E M N I Z A D A C I za DRUGI PARCIJALNI ISPIT IZ PREDMETA INŽENJERSKA MATEMATIKA 1 Š.G. 005 / 006. UPUTSTVO: 1. Za svaki od prva četiri zadatka

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković

MATEMATIKA II. Dr Boban Marinković MATEMATIKA II VEŽBE Dr Boban Marinković 1 Neodredjeni integral dx = x + C, dx x = ln x + C, dx = arcsin x + C, 1 x 2 a x dx = ax ln a + C, cos x dx = sin x + C, dx x 2 a = 1 2 2a ln x a x + a + C, dx x2

Διαβάστε περισσότερα

KURS IZ MATEMATIKE I

KURS IZ MATEMATIKE I UČITELJSKI FAKULTET U SOMBORU dr Aleksandar Petojević KURS IZ MATEMATIKE I TEORIJA I REŠENI ZADACI Sombor, 2003. Glava 1 Matematička logika 1.1 Teorija Definicija 1. Iskazi su one rečenice o kojima ima

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja...

1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA Zadaci Rešenja SKUPOVI Zadaci RELACIJE Zadaci Rešenja... Sadržaj 1 ISKAZNA I PREDIKATSKA LOGIKA 3 1.1 Zadaci............................... 6 1.2 Rešenja.............................. 8 2 SKUPOVI 13 2.1 Zadaci............................... 16 2.2 Rešenja..............................

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije

Glava 1. Z transformacija. 1.1 Pojam z transformacije Glava 1 Z transformacija 1.1 Pojam z transformacije U elektrotehnici se vrlo često susrećemo sa signalima koji su diskretnog tipa. To znači da je radimo sa signalima koji su zadati svoji vrednostima samo

Διαβάστε περισσότερα

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma

INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma INTEGRALI Zadaci sa kolokvijuma ragan ori Sadrжaj Neodređeni integral Određeni integral 6 Nesvojstveni integral 9 4 vojni integral 5 Redovi 5 Studentima generacije / (grupe A9, A i A) Ovo je jox jedna

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016.

Funkcije. Helena Kmetić. 6. srpnja 2016. Funkcije Helena Kmetić 6. srpnja 016. Sadržaj 1 Uvod 1.1 Klasifikacija realnih funkcija pomoću grafa............. 3 1. Apsolutna vrijednost i udaljenost.................. 4 Funkcije 6.1 Linearne funkcije...........................

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα