Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών"

Transcript

1 Κεφάλαιο 4 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών Από την οπτική γωνία της θεωρίας πιθανοτήτων οι υδρολογικές διεργασίες είναι στοχαστικές ανελίξεις. Ας πάρουμε για παράδειγμα την παροχή σε μια συγκεκριμένη θέση ενός ποταμού. Σε κάθε χρονική στιγμή t μέσα στο συνεχή χρόνο η παροχή X(t) είναι μια τυχαία μεταβλητή, με την έννοια ότι δεν υπάρχει προσδιοριστική μέθοδος καθορισμού της τιμής της παροχής με πλήρη βεβαιότητα. Έτσι λοιπόν η X(t), σύμφωνα με τον ορισμό που δόθηκε στην ενότητα 2.7, είναι στοχαστική ανέλιξη σε συνεχή χρόνο, ενώ μια σειρά μετρήσεών της σε τακτά χρονικά διαστήματα αποτελεί μια χρονοσειρά. Στο σημείο αυτό θα πρέπει να δώσουμε ορισμένες διευκρινίσεις προκειμένου να αποφευχθούν παρανοήσεις στις οποίες είναι εύκολο να οδηγηθεί κανείς από την εισαγωγή της έννοιας της στοχαστικής ανέλιξης για την περιγραφή μιας φυσικής διεργασίας. Κατ αρχήν, το γεγονός ότι μια φυσική διεργασία περιγράφεται από μια στοχαστική ανέλιξη δεν σημαίνει ότι η πρώτη δεν υπακούει σε κανενός είδους αιτιοκρατία. Αντίθετα, είναι γνωστό ότι τα υδρολογικά μεγέθη εμφανίζουν περιοδικές διακυμάνσεις μέσα στη διάρκεια ενός έτους, οι οποίες προφανώς οφείλονται στην ετήσια κίνηση της γης και στα μετεω-

2 86 4. Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία ρολογικά φαινόμενα που αυτή επισύρει. Αυτές οι περιοδικές διακυμάνσεις αποτελούν την ονομαζόμενη προσδιοριστική συνιστώσα των διεργασιών. Η στοχαστική ανέλιξη X(t) δεν έχει δυσκολία να συμπεριλάβει και να περιγράψει μαθηματικά και αυτή τη συνιστώσα. Συχνά μάλιστα γίνεται διάκριση των δύο συνιστωσών θεωρώντας ότι X(t) = D(t) + Ξ(t) (4.1) όπου D(t) είναι η προσδιοριστική (εν προκειμένω περιοδική) συνιστώσα και Ξ(t) είναι η στοχαστική συνιστώσα. Στο Σχ. 4.1 παρουσιάζεται η μεταβολή της παροχής ενός ποταμού στη διάρκεια δύο ετών, όπου είναι εμφανής η ετήσια περιοδικότητα. Σε πολλά κείμενα υδρολογίας (π.χ. Haan, Kottegoda, 1980) στην προσδιοριστική συνιστώσα συγκαταλέγονται ακόμη οι τάσεις, δηλαδή οι μακροχρόνιες, πολυετείς, βαθμιαίες μεταβολές των μέσων χαρακτηριστικών της X(t), καθώς και τα άλματα, δηλαδή οι απότομες αλλαγές στα μέσα χαρακτηριστικά της X(t), οι οποίες εν συνεχεία διατηρούνται επίσης για μεγάλα χρονικά διαστήματα. Ωστόσο, εκτός από σπάνιες περιπτώσεις, οι μηχανισμοί που προκαλούν αυτές τις τάσεις και τα άλματα δεν είναι γνωστοί. Κατά συνέπεια, δεν είναι προβλέψιμος ο τόπος με τον οποίο θα εξελιχθούν αυτά τα φαινόμενα, αντίθετα με τα φαινόμενα που οφείλονται στην περιοδικότητα της κίνησης της γης, τα οποία είναι βέβαια προβλέψιμα. Με αυτή την έννοια, στο κείμενο αυτό οι τάσεις και τα άλματα θεωρούνται κατά κανόνα ως τυχαίες διακυμάνσεις, παρά ως προσδιοριστικές, οι οποίες όμως συντελούνται σε πολύ μεγαλύτερη χρονική κλίμακα (π.χ. δεκαετιών, αιώνων κοκ.) από την κλίμακα των συνήθων τυχαίων διακυμάνσεων Ειδικότερα, το στοχαστικό μέρος της ανέλιξης δεν είναι πλήρως τυχαίο, αλλά, όπως λέμε, έχει στοχαστική δομή ή μνήμη. Αυτό σημαίνει ότι υπάρχει στοχαστική εξάρτηση των τιμών της ανέλιξης σε γειτονικές χρονικές στιγμές, ή, με την ορολογία του εδαφίου 2.7.2, ισχυρός συντελεστής αυτοσυσχέτισης της ανέλιξης. Για παράδειγμα, αν η τιμή της παροχής ενός ποταμού στο χρόνο t 0 είναι X(t 0 ) = 500 m 3 /s, είναι απίθανο, μετά από ένα μικρό χρονικό διάστημα t π.χ. 1 ώρα, να γίνει X(t 0 + t) = 0.5 m 3 /s. Το πιθανότερο είναι ότι θα κυμανθεί γύρω από μια τιμή κοντά στα 500 m 3 /s.

3 4.4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών 87 Παροχή (m 3 /s) Χρόνος (ημέρες) Σχ. 4.1 Διακύμανση της ημερήσιας παροχής του ποταμού Ευήνου στη θέση Πόρος Ρηγανίου (υδρολογικά έτη και έναρξη χρόνου ). Με διακεκομμένη γραμμή φαίνονται οι υπερετήσιες μέσες τιμές για κάθε μήνα υπολογισμένες από το ιστορικό δείγμα μέχρι Ανελίξεις σε διακριτό χρόνο Η μελέτη της πλήρους ανέλιξης σε συνεχή χρόνο μιας υδρολογικής μεταβλητής X(t) είναι αρκετά δύσκολο πρόβλημα, αλλά και δεν είναι απαραίτητη για τα περισσότερα από τα πρακτικά προβλήματα του μηχανικού. Για το λόγο αυτό ξεφεύγει από τους στόχους αυτού του κειμένου. Θα εντοπίσουμε την προσοχή μας σε ορισμένες παράγωγες ανελίξεις, οι οποίες αναφέρονται σε διακριτό χρόνο και αναλύονται ευκολότερα. Πριν προχωρήσουμε στον ορισμό αυτών των ανελίξεων, ας ορίσουμε δύο χρονικά μεγέθη. Το πρώτο είναι το υδρολογικό έτος, μέσα στο οποίο πραγματοποιείται ένας πλήρης κύκλος περιοδικών υδρολογικών διακυμάνσεων. Η διάρκειά του D ταυτίζεται με τη διάρκεια του ημερολογιακού έτους, συνήθως όμως ξεκινάει όχι στη 1 Ιανουαρίου, αλλά στην αρχή της βροχερής περιόδου του έτους. Έτσι, στην Ελλάδα, κατά σύμβαση, το υδρολογικό έτος ξεκινάει στη 1 Οκτωβρίου. Το δεύτερο είναι το χρονικό βήμα, δηλαδή το χρονικό παράθυρο μέσα από το οποίο βλέπουμε την ανέλιξη. Σε αντίθεση με το υδρολογικό έτος, το χρονικό βήμα δεν είναι στα-

4 88 4. Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία θερό, αλλά εξαρτάται από τη συγκεκριμένο πρόβλημα που αντιμετωπίζουμε. Συνήθως κυμαίνεται από μερικά λεπτά της ώρας μέχρι ένα υδρολογικό έτος. Βοηθητικό για τους ορισμούς που θα ακολουθήσουν είναι το Σχ. 4.2 (σ. 92), στο οποίο ο συνεχής χρόνος t (στον οριζόντιο άξονα) μετριέται σε υδρολογικά έτη, ενώ για σχεδιαστικούς λόγους έχει θεωρηθεί = D/4. Η πρώτη απλοποίηση της πλήρους ανέλιξης X(t) (Σχ. 4.2(1)) αφορά στη διακριτοποίηση του χρόνου (Σχ. 4.2(2)). Το διακριτό χρόνο k τον ορίζουμε χωρίζοντας το συνεχή χρόνο σε διαστήματα μεγέθους. Έτσι οι τιμές k = 1, 2,, αντιστοιχούν στα χρονικά διαστήματα [0, ), [, 2 ), κοκ. Ως τιμή της νέας ανέλιξης X (k) στη χρονική θέση k ορίζουμε το χρονικό μέσο της X(t) στο αντίστοιχο διάστημα, ήτοι k 1 X ( k) : = X() t dt ( k 1) (4.2) Αν για παράδειγμα η X(t) παριστάνει τη στιγμιαία παροχή ποταμού, και το ληφθεί μία ημέρα ή ένας μήνας, τότε η X (k) παριστάνει την ημερήσια (ακριβέστερα: τη χρονικά μέση ημερήσια) ή τη μηνιαία (ακριβέστερα: τη χρονικά μέση μηνιαία) παροχή, αντίστοιχα. Μερικές φορές ως παράγωγο μέγεθος παίρνουμε όχι το χρονικό μέσο αλλά το χρονικό άθροισμα στο αντίστοιχο διάστημα, δηλαδή το μέγεθος * k ( ):= ( ) X k X t dt ( k 1) (4.3) Στο παραπάνω παράδειγμα το μέγεθος X * (k) παριστάνει τον ημερήσιο ή το μηνιαίο όγκο απορροής. Αντίστοιχα αν η X(t) παριστάνει τη στιγμιαία ένταση βροχής σε δεδομένο σημείο μιας λεκάνης απορροής, και το ληφθεί μία ημέρα ή ένας μήνας, τότε η X * (k) παριστάνει το ημερήσιο ή το μηνιαίο ύψος βροχής, αντίστοιχα. Αν και η διακριτοποίηση του χρόνου είναι ένα βήμα προς την απλοποίηση της μελέτης μιας υδρολογικής διεργασίας, η μαθηματική περιγραφή της X (k) ή της X * (k) είναι ακόμη αρκετά πολύπλοκη, γιατί προϋποθέτει την ανάλυση της περιοδικότητας και της ισχυρής αυτοσυσχέτισης της ανέλιξης. Έτσι, η μελέτη και αυτού του τύπου των

5 4.4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών 89 ανελίξεων δεν καλύπτεται από αυτό το εισαγωγικό κείμενο τεχνικής υδρολογίας και ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στους Haan (1977), Kottegoda (1980) Bras and Rodriguez-Iturbe (1985) και Salas et al. (1988). Οι επόμενες απλοποιήσεις είναι αρκετά δραστικότερες και οι ανελίξεις που προκύπτουν είναι πολύ ευκολότερο να μελετηθούν αλλά και είναι πολύ χρησιμότερες στα πρακτικά προβλήματα του μηχανικού. Αν στην ανέλιξη X (k) (ή την X * (k)) θεωρήσουμε χρονικό βήμα ίσο με ένα υδρολογικό έτος ( = D) τότε παίρνουμε την ετήσια ανέλιξη, συμβολικά X * D(τ), όπου χρησιμοποιήσαμε ως σύμβολο του διακριτού χρόνου (που πλέον εκφράζεται σε ακέραιες μονάδες υδρολογικού έτους) το τ αντί του k (Σχ. 4.2(3)). Έτσι έχουμε X D 1 D τd * () τ : = (), ( τ) : = () X t dt X X t dt ( τ 1) D ( τ 1) D D τd (4.4) Σε αυτή την ανέλιξη πλέον έχει εξαλειφθεί τελείως η περιοδικότητα, δεδομένου ότι δεν είναι ορατά χρονικά διαστήματα μικρότερα του έτους, και έχει περιοριστεί η αυτοσυσχέτιση σε μεγάλο βαθμό, λόγω του μεγάλου χρονικού βήματος ολοκλήρωσης. Εξ άλλου η ανέλιξη αυτή, η οποία εκφράζει τη διαδοχή στα διάφορα υδρολογικά έτη μιας συνολικής ετήσιας υδρολογικής ποσότητας, είναι επαρκής για προβλήματα εκτίμησης υδατικού δυναμικού. Ένας τρόπος για να πάμε σε μικρότερο από το ετήσιο χρονικό βήμα, εξαλείφοντας παράλληλα την περιοδικότητα και την αυτοσυσχέτιση, φαίνεται στο Σχ. 4.2(4). Σε κάθε υδρολογικό έτος τ = 1, 2,, παίρνουμε ένα μόνο διάστημα μεγέθους, και συγκεκριμένα το [( τ 1) D+ ( k 1), ( τ 1) D+ k ). Το k εδώ είναι ένας δεδομένος ακέραιος με δυνατές τιμές k = 1, 2,, D/ (στο Σχ. 4.2(4) έχει ληφθεί k = 1). Η προκύπτουσα ανέλιξη είναι: ( τ 1) ( τ ) D+ k ( τ 1) 1 * Y () τ : = X() t dt, Y () τ : = X() t dt 1 D+ ( k 1) ( τ ) D+ k 1 D+ ( k 1) (4.5) Για παράδειγμα αν η X(t) παριστάνει τη στιγμιαία παροχή ποταμού, το ληφθεί ένας μήνας και το k = 1, τότε η Y (τ) είναι η σειρά των (μέσων)

6 90 4. Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία μηνιαίων παροχών του Οκτωβρίου κάθε έτους και η Y * (τ) είναι η σειρά των αντίστοιχων όγκων απορροής Ανελίξεις ακροτάτων Σε πολλά προβλήματα, αντί των χρονικών μέσων ή των αθροιστικών μεγεθών δεδομένης διάρκειας, ενδιαφέρουν τα ακρότατα μεγέθη, δηλαδή τα μέγιστα (για τη μελέτη πλημμυρών) ή τα ελάχιστα (για τη μελέτη ξηρασιών). Για τη μελέτη αυτών των μεγεθών σχηματίζουμε αντίστοιχες ανελίξεις. Έτσι, στο Σχ. 4.2(5) έχει σχηματιστεί η ανέλιξη των στιγμιαίων ετήσιων μεγίστων Z 0 (τ). Σε κάθε υδρολογικό έτος πήραμε μόνο μια τιμή, τη στιγμιαία μέγιστη τιμή που εμφανίζεται κατά τη διάρκεια όλου του υδρολογικού έτους, δηλαδή Z 0 { } ( τ) : max X( t) = < (4.6) τ 1 t τ Με αντίστοιχο τρόπο σχηματίζεται και η ανέλιξη των στιγμιαίων ετήσιων ελαχίστων. Αυτές οι ανελίξεις δεν εμφανίζουν περιοδικότητα (μια τιμή μόνο ανά έτος) ούτε αυτοσυσχέτιση (απομακρυσμένες χρονικά τιμές που προκύπτουν από τελείως διαφορετικά υδρομετεωρολογικά φαινόμενα) και γι' αυτό είναι εύκολο να μελετηθούν. Αν ενδιαφέρει η μέγιστη τιμή του μεγέθους μέσα σε μια δεδομένη διάρκεια, τότε ορίζουμε και μελετούμε αντίστοιχα τις ανελίξεις ετήσιων μεγίστων δεδομένης διάρκειας, ήτοι (Σχ. 4.2(6)) s+ s+ 1 * Z () τ : = max X() t dt, Z ( τ) : = max X() t dt τ < 1 s τ τ < 1 s τ s s (4.7) Ο ορισμός των ανελίξεων αυτών βασίστηκε στη ανέλιξη συνεχούς χρόνου X(t). Εναλλακτικά, αλλά με μικρότερη ακρίβεια, μπορούν να οριστούν από τις ανελίξεις διακριτού χρόνου (Σχ. 4.2(7)) με τις σχέσεις ( τ) ( ) { } ( τ) { ( )} ' '* * k k k k k k Z : = max X k, Z : = max X k όπου ( τ ) (4.8) k1 : = 1 D/ + 1 êáé k2 : = τd/. Στα Σχ. 4.2(6) και Σχ. 4.2(7) είναι εμφανές ότι οι μεταβλητές Z (τ) και Z (τ) δεν ταυτίζονται ούτε ως προς το μέγεθος ούτε ως προς τη χρονική τοποθέτηση, χωρίς πά-

7 4.4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών 91 ντως να διαφέρουν πολύ. Με ανάλογο τρόπο σχηματίζονται και οι ανελίξεις των ετήσιων ελαχίστων δεδομένης διάρκειας. Στα προβλήματα πλημμυρών και ξηρασιών οι τυπικές τιμές του χρονικού βήματος κυμαίνονται από μερικά λεπτά (π.χ. στις καταιγίδες σχεδιασμού δικτύων αποχέτευσης ομβρίων) μέχρι μερικές μέρες ή ακόμη και ένα μήνα (π.χ. στη μελέτη ποιότητας υδάτων ποταμού σε συνθήκες ξηρασίας). Μια τελευταία σειρά μεγίστων που ονομάζεται σειρά υπεράνω κατωφλίου ή σειρά μερικής διάρκειας φαίνεται στο Σχ. 4.2(8). Η σειρά αυτή, όπως και αυτή του Σχ. 4.2(7), προκύπτει από την ανέλιξη διακριτού χρόνου X (k). Αντί όμως να πάρουμε τη μέγιστη τιμή κάθε υδρολογικού έτους, σχηματίζουμε τη σειρά όλων των τιμών που υπερβαίνουν ένα όριο c, ανεξάρτητα από τη θέση των τιμών αυτών στα διάφορα υδρολογικά έτη, δηλαδή { ( ) } ( ) ( ) { } W i, i = 1, 2, : = X k : X k c, k = 1, 2, (4.9) (Αντίστοιχα ορίζεται και η ανέλιξη W * (i) από τη X * (k)). Εδώ η μεταβλητή i που επέχει θέση χρόνου στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύει απλώς τον αύξοντα αριθμό που έχει η κάθε τιμή στη σειρά των χρονικά διαδοχικών τιμών. Το κατώφλι c συνήθως επιλέγεται έτσι ώστε σε κάθε έτος να αντιστοιχεί κατά μέσο όρο μια τιμή μεγαλύτερη από το κατώφλι. Έτσι, στο Σχ. 4.2(8) το κατώφλι που αντιπροσωπεύεται από την οριζόντια διακεκομμένη γραμμή έχει επιλεγεί έτσι ώστε να υπάρχουν τρεις τιμές σε σύνολο τριών υδρολογικών ετών. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα βλέπουμε ότι στο πρώτο υδρολογικό έτος προκύπτουν δύο τιμές πάνω από το κατώφλι, ενώ στο δεύτερο καμιά. Το γεγονός ότι στις σειρές μερικής διάρκειας μπορεί να εμφανίζονται τιμές που αντιστοιχούν σε γειτονικές θέσεις του πραγματικού χρόνου (όπως οι δύο τιμές του πρώτου υδρολογικού έτους του παραδείγματος) ενδέχεται να εισάγει μη αμελητέα στοχαστική εξάρτηση στις διαδοχικές τιμές της ανέλιξης. Αν είναι επιθυμητή η κατασκευή σειράς ανεξάρτητων τιμών θα πρέπει είτε να τεθεί και ένα όριο ελάχιστης χρονικής απόστασης διαδοχικών τιμών, είτε να χρησιμοποιηθούν άλλες εμπειρικές μέθοδοι (βλ. Kottegoda, 1980, σ. 247).

8 92 4. Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία X (t ) (1) Ζ 0 (τ ) (5) t t X D (τ ) X Δ (k) (2) t (3) Ζ Δ (τ ) Ζ Δ (τ ) (6) t (7) t t Y Δ (τ ) (4) (8) c W Δ (i ) t t Σχ. 4.2 Βοηθητικό σκαρίφημα για τον ορισμό των διάφορων τύπων ανελίξεων (βλ. περιγραφή στο κείμενο) Βασικές απλουστευτικές παραδοχές Πιο πάνω διευκρινίσαμε ότι στο εισαγωγικό αυτό κείμενο δεν καλύπτεται ούτε η μελέτη των ανελίξεων συνεχούς χρόνου, ούτε των πλήρων ανελίξεων διακριτού χρόνου. Ορίσαμε, ωστόσο, άλλους έξι τύπους ανελίξεων με τις οποίες θα ασχοληθούμε και στα επόμενα κεφάλαια. Σε

9 4.4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών 93 όλους αυτούς τους τύπους ο χρόνος είναι διακριτός και δεν ταυτίζεται κατ' ανάγκη με τον πραγματικό χρόνο. Επίσης, καθεμιά από τις ανελίξεις περιλαμβάνει ακριβώς μία τιμή ανά έτος, εκτός από την ανέλιξη μερικής διάρκειας που περιλαμβάνει κατά μέσο όρο μία τιμή ανά έτος. Για τη μελέτη μας θα κάνουμε από τώρα τις ακόλουθες παραδοχές: 1. Οι ανελίξεις είναι στάσιμες: η κατανομή κάθε μεταβλητής παραμένει ίδια από έτος σε έτος. 2. Οι ανελίξεις είναι εργοδικές: οι αναμενόμενες τιμές είναι ίσες με τους χρονικούς μέσους. 3. Οι μεταβλητές που αντιστοιχούν σε διαφορετικούς χρόνους είναι στοχαστικά ανεξάρτητες. Για να διαλευκάνουμε το νόημα αυτών των παραδοχών δίνουμε ένα παράδειγμα. Έστω ότι η X(t) αντιπροσωπεύει τη στιγμιαία παροχή στο χρόνο t, οπότε σύμφωνα με τα παραπάνω η X D (τ) είναι η μέση ετήσια παροχή του υδρολογικού έτους τ. Έστω ότι διαθέτουμε μετρήσεις 30 ετών, ξέρουμε δηλαδή τις τιμές x D (1),, x D (30), των τυχαίων μεταβλητών X D (1),, X D (30). Είναι βέβαια προφανές, αλλά ωστόσο τονίζουμε ότι για κάθε μεταβλητή μπορούμε να έχουμε μόνο μια τιμή (δεν μπορούμε να κάνουμε πολλαπλά πειράματα τύχης με διαφορετικές εκβάσεις ώστε να σχηματίσουμε ένα δείγμα πολλαπλών τιμών για την ίδια μεταβλητή, π.χ. την ετήσια παροχή του υδρολογικού έτους με αριθμό 25). Τίθεται τώρα το ερώτημα αν με αυτά τα δεδομένα μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μέση τιμή της παροχής του επόμενου υδρολογικού έτους, του υπ' αριθμόν 31. Η απάντηση είναι αρνητική αν δεν ισχύει η πρώτη από τις παραπάνω παραδοχές. Αν η κατανομή της ετήσιας παροχής είναι διαφορετική κάθε έτος, τότε δεν μπορούμε να συνδέσουμε τα προηγούμενα χρόνια με το τρέχον. Αλλά εξακολουθεί να είναι αρνητική και αν ακόμη ισχύει η πρώτη παραδοχή αλλά όχι η δεύτερη. Στην πραγματικότητα, αυτό που μπορούμε να υπολογίσουμε από τα διαθέσιμα δεδομένα είναι ο χρονικός μέσος όρος, δηλαδή η μέση υπερετήσια παροχή των προηγούμενων τριάντα ετών. Η εργοδικότητα μας εξασφαλίζει ότι αυτός ο χρονικός μέσος τείνει προς τη θεωρητική μέση τιμή της κάθε μεταβλητής. Υπάρχουν πάντως τρόποι να αντιμετωπιστεί η μη στασιμότητα, οι οποίοι ξεφεύγουν από το σκοπό του παρόντος κειμένου.

10 94 4. Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία Έτσι οι δύο πρώτες παραδοχές είναι θεμελιώδεις. Η τρίτη παραδοχή, της ανεξαρτησίας, είναι λιγότερο σημαντική, αλλά βοηθά πολύ σε περιπτώσεις που μας ενδιαφέρει η πιθανότητα διαδοχικών γεγονότων, όπως στο παράδειγμα που ακολουθεί στο τέλος αυτής της ενότητας. Η πρώτη από τις πιο πάνω παραδοχές αποτελεί απλώς μια προσέγγιση, δεδομένου ότι τα υδρομετεωρολογικά φαινόμενα δεν περιγράφονται με αυστηρώς στάσιμες ανελίξεις. Η ορθότητα της δεύτερης παραδοχής συναρτάται σε μεγάλο βαθμό από την ορθότητα της πρώτης. Για την τρίτη παραδοχή έχει ήδη γίνει συζήτηση: οι ανελίξεις ετήσιων τιμών και μέγιστων τιμών μερικής διάρκειας δεν είναι πάντα απαλλαγμένες από στοχαστική εξάρτηση, η οποία πάντως είναι αρκετά μικρή και μπορεί να αγνοηθεί, ιδίως όταν μας ενδιαφέρει η περιθώρια συνάρτηση κατανομής ενός μεμονωμένου μεγέθους. Είναι απαραίτητο πάντως να τονίσουμε ότι στην υδρολογία δεν υπάρχουν γενικά αποδεκτές a priori παραδοχές και γι' αυτό πάντα θα πρέπει να γίνεται έλεγχος των παραδοχών a posteriori Τελικό συμπέρασμα Οι παραδοχές της στασιμότητας, της εργοδικότητας και της ανεξαρτησίας που έγιναν για τις ετήσιες ανελίξεις ετησίων τιμών, μηνιαίων τιμών συγκεκριμένου μήνα, ετήσιων μεγίστων ή ελαχίστων (στιγμιαίων ή δεδομένης διάρκειας) και μεγίστων μερικής διάρκειας, οδηγούν σε μια τελική απλοποίηση που διευκολύνει πολύ τη μελέτη: μπορούμε καθένα απ' αυτά τα μεγέθη να το θεωρήσουμε ως μια απλή τυχαία μεταβλητή και τις τιμές του στα διάφορα υδρολογικά έτη να τις θεωρήσουμε ως διαφορετικές εμφανίσεις αυτής της ίδιας τυχαίας μεταβλητής. Έτσι μπορούμε να αντικαταστήσουμε την έννοια της ανέλιξης με την έννοια της απλής τυχαίας μεταβλητής, και, πράγματι, αυτό θα κάνουμε στις επόμενα κεφάλαια. Για παράδειγμα, στο εξής δεν θα μιλούμε για την ανέλιξη των ετήσιων παροχών αλλά για την τυχαία μεταβλητή της ετήσιας παροχής. Αντίστοιχα, αντί να μιλούμε για τη χρονοσειρά των ετήσιων παροχών θα μιλούμε για το δείγμα της ετήσιας παροχής, αγνοώντας τη χρονική διάταξη των ιστορικών δεδομένων των διαδοχικών υδρολογικών ετών.

11 4.4.1 Πιθανοθεωρητική περιγραφή υδρολογικών διεργασιών 95 Εφαρμογή 4.1 Με βάση τα ιστορικά δεδομένα παροχών ενός ποταμού που διατίθενται για μια μακρά περίοδο, εκτιμήσαμε ότι το ενδεχόμενο να εμφανιστεί ετήσιος όγκος απορροής μικρότερος από 500 hm 3 έχει πολύ μικρή πιθανότητα, ίση με (α) Να υπολογιστεί η πιθανότητα να εμφανιστεί επί πέντε διαδοχικά χρόνια όγκος απορροής μικρότερος από 500 hm 3 (βλ. και Εφαρμογή 2.3). Με την προϋπόθεση ότι ισχύουν οι παραδοχές της στασιμότητας, της εργοδικότητας και της ανεξαρτησίας η ζητούμενη πιθανότητα είναι απλώς (10 2 ) 5 = Πρόκειται βέβαια για εξαιρετικά μικρή πιθανότητα. Ωστόσο έχει παρατηρηθεί ότι στη φύση τέτοια φαινόμενα διαδοχής εξαιρετικά ξηρών ετών δεν είναι τόσο απίθανα. Αν δεν ισχύει η παραδοχή της ανεξαρτησίας, τότε κατά κανόνα η συσχέτιση των τιμών των διαφορετικών ετών (που περιγράφεται από το συντελεστή αυτοσυσχέτισης της ανέλιξης για χρονικό βήμα ένα) είναι θετική. Σε αυτή την περίπτωση η πιθανότητα του υπόψη ενδεχομένου θα είναι μεγαλύτερη από 10 10, αλλά δεν μπορούμε να υπολογίσουμε την τιμή της χωρίς να χρησιμοποιήσουμε προχωρημένες τεχνικές στοχαστικών ανελίξεων. (β) Αν τα προηγούμενα τέσσερα χρόνια έχει εμφανιστεί όγκος απορροής μικρότερος από 500 hm 3, ποια είναι η πιθανότητα να εμφανιστεί και εφέτος το ίδιο ενδεχόμενο; Προφανώς, αν ισχύει η παραδοχή της ανεξαρτησίας, η πιθανότητα που ζητείται είναι Το τι συνέβη τα προηγούμενα χρόνια δεν επηρεάζει το παρόν αν υπάρχει ανεξαρτησία των γεγονότων. Αν δεχτούμε ότι υπάρχει θετική συσχέτιση μεταξύ των διαδοχικών ετών, τότε η πιθανότητα θα είναι μεγαλύτερη, αφού είναι πιθανότερο ένα ξηρό υδρολογικό έτος να ακολουθείται από επίσης ξηρό. Ενδεχομένως, η διαισθητική απάντηση σε αυτό το ερώτημα είναι αντίθετη: η διαίσθηση, παρασυρμένη από την εξαιρετικά μικρότερη πιθανότητα της διαδοχής πέντε διαδοχικών ξηρών ετών, που όπως υπολογίσαμε είναι 10 10, έχει την τάση να αποδώσει πιθανότητα μικρότερη από 10 2, ίσως και Πρόκειται όμως για καθαρή πλάνη. Υπενθυμίζεται ότι η μονάδα hm 3 σημαίνει κυβικά εκατόμετρα (1 hm 3 = (100 m) 3 = m 3 ). Βέβαια δεν είναι η μοναδική πλάνη του κοινού νου γύρω από τις πιθανότητες. Σε τέτοιου είδους φαινομενικά αθώες πλάνες έχουν στηριχτεί πολλές απάτες, ιδίως σε τυχερά παιχνίδια, κληρώσεις κ.ο.κ.

12 96 4. Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία 4.2 Η έννοια της περιόδου επαναφοράς Ο όρος περίοδος επαναφοράς είναι από αυτούς που χρησιμοποιούνται πολύ συχνά στην τεχνική υδρολογία, αλλά έχει τύχει κριτικής ως προς την ευστοχία και την σαφήνειά του. Πράγματι, ο όρος αυτός είναι υπεύθυνος για πολλές παρανοήσεις που θα εκτεθούν παρακάτω προκειμένου να διασαφηνιστεί όσο γίνεται καλύτερα. Αρχικά, η περίοδος επαναφοράς, T, μιας δεδομένης τιμής x της τυχαίας μεταβλητής X (η οποία στην πραγματικότητα αντιπροσωπεύει μια στοχαστική ανέλιξη) ορίζεται ως ο μέσος αριθμός χρονικών διαστημάτων (εν προκειμένω υδρολογικών ετών) που μεσολαβεί μεταξύ δύο διαδοχικών εμφανίσεων της τυχαίας μεταβλητής με μέγεθος μεγαλύτερο ή ίσο της δεδομένης τιμής x. Για παράδειγμα, αν η τιμή 500 m 3 /s της μέγιστης ετήσιας παροχής έχει περίοδο επαναφοράς 50, αυτό σημαίνει ότι κατά μέσο όρο μεσολαβεί ένα διάστημα 50 ετών ανάμεσα σε δύο εμφανίσεις πλημμυρικής παροχής μεγαλύτερης ή ίσης των 500 m 3 /s. Αποδεικνύεται (Kottegoda, 1980, σ. 213) ότι η περίοδος επαναφοράς της τιμής x είναι T = = = P( X > x) F ( x) 1 F x 1 X X ( ) (4.10) δηλαδή η περίοδος επαναφοράς είναι το αντίστροφο της πιθανότητας υπέρβασης. Προϋποθέσεις για να ισχύει η παραπάνω σχέση είναι (α) να είναι συνεχής η τυχαία μεταβλητή και (β) να ισχύει η παραδοχή ανεξαρτησίας της προηγούμενης ενότητας, δηλαδή κάθε εμφάνιση να είναι στοχαστικά ανεξάρτητη από τις προηγούμενες και επόμενές της. Δεδομένου ότι οι προϋποθέσεις αυτές ισχύουν κατά κανόνα για τα μεγέθη που εξετάζουμε σε αυτό το κείμενο, για τις ανάγκες των προβλημάτων των επόμενων κεφαλαίων μπορούμε να θεωρούμε την εξίσωση (4.10) ως ισοδύναμο ορισμό της περιόδου επαναφοράς. Τα παραπάνω ισχύουν κατά βάση για τις περιπτώσεις που ενδιαφέρουν μεγάλες τιμές υδρολογικών μεγεθών, π.χ. πλημμύρες. Κατ' αναλογία ορίζεται η περίοδος επαναφοράς για μικρά μεγέθη, π.χ. για παροχές ξηρασίας. Στην περίπτωση αυτή, στον αρχικό ορισμό θα πρέπει να αντικαταστήσουμε τη φράση μεγαλύτερο ή ίσο με τη φράση μικρότερο ή ίσο ή ισοδύναμα να θεωρήσουμε

13 4.4.2 Η έννοια της περιόδου επαναφοράς 97 T = 1 1 = P( X x) F ( x) X (4.11) Συμπερασματικά λοιπόν, στα πλαίσια αυτού του κειμένου θα θεωρούμε την περίοδο επαναφοράς είτε ως το αντίστροφο της πιθανότητας υπέρβασης, όταν ενδιαφέρει μέγιστο μέγεθος, είτε ως το αντίστροφο της πιθανότητας μη υπέρβασης (συνάρτησης κατανομής) όταν ενδιαφέρει ελάχιστο μέγεθος. Ας έρθουμε τώρα στην κριτική της έννοιας της περιόδου επαναφοράς. Κατ' αρχήν η διττή σημασία της (διαφορετική έννοια για μέγιστα ή ελάχιστα μεγέθη) τείνει να δημιουργήσει σύγχυση. Επίσης ο όρος περίοδος δημιουργεί τον κίνδυνο να εκληφθεί το μέγεθος στο οποίο αναφέρεται ως κυμαινόμενο περιοδικά, πράγμα που είναι τελείως εσφαλμένο αφού αναφέρεται σε τυχαίες μεταβλητές. Για το λόγο αυτό έχει συχνά χρησιμοποιηθεί, χωρίς όμως να επικρατήσει, ο όρος διάστημα επανόδου. Ωστόσο, και εδώ υπάρχει σύγχυση, γιατί ο τελευταίος όρος έχει χρησιμοποιηθεί συχνά και με άλλο νόημα, ήτοι του πραγματικού (και όχι του μέσου) χρόνου ανάμεσα σε διαδοχικές υπερβάσεις μιας τιμής, οπότε έχει την έννοια τυχαίας μεταβλητής (π.χ. στους Chow et al., 1988). Ένα τελευταίο πρόβλημα αφορά στη διάσταση του μεγέθους T. Όπως έχει οριστεί παραπάνω, το μέγεθος είναι αδιάστατο και ως αδιάστατο χρησιμοποιείται σε όλες τις μαθηματικές σχέσεις. Ωστόσο, στην πράξη αποδίδονται στο μέγεθος διαστάσεις χρόνου με μονάδα ίση με το υδρολογικό έτος. Έτσι λέμε π.χ. ότι η (μέγιστη ετήσια) πλημμυρική παροχή των 500 m 3 /s έχει περίοδο επαναφοράς 50 ετών, ή αλλιώς ότι η πλημμύρα 50ετίας είναι 500 m 3 /s. Παρόλα τα παραπάνω προβλήματα η περίοδος επαναφοράς έχει χρησιμοποιηθεί ευρέως στην υδρολογία, γιατί γίνεται αμεσότερα αντιληπτή από την έννοια της πιθανότητας και γιατί η αριθμητική της έκφραση είναι ανετότερη από αυτή της πιθανότητας. Για παράδειγμα είναι αμεσότερη η έκφραση πλημμύρα 50ετίας από την έκφραση πλημμύρα πιθανότητας υπέρβασης Ωστόσο, συνδυάζοντας τους δύο εκφράσεις, θα μπορούσαμε να πούμε ακριβέστερα πλημμύρα πιθανότητας υπέρβασης 1 : 50.

14 98 4. Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία Εφαρμογή 4.2 α. Σε ποια πιθανότητα υπέρβασης και ποια πιθανότητα μη υπέρβασης αντιστοιχούν οι πλημμύρες 2, 5, 10, 20, 50, 100, 500, 1000, και ετών; Με βάση την εξίσωση (4.10) εύκολα βρίσκουμε τις τιμές του Πίν Πίν. 4.1 Αντιστοιχία περιόδου επαναφοράς, πιθανότητας υπέρβασης και πιθανότητας μη υπέρβασης της Εφαρμογής 4.2. Περίοδος επαναφοράς T Πιθανότητα υπέρβασης F 1 (%) Πιθανότητα μη υπέρβασης F (%) β. Σε ποια πιθανότητα υπέρβασης και ποια πιθανότητα μη υπέρβασης αντιστοιχούν οι ξηρασίες των ίδιων περιόδων επαναφοράς, όπως στο ερώτημα α; Η απάντηση δίνεται από τον Πίν. 4.1, αν αντιμετατεθούν αμοιβαία οι στήλες της πιθανότητας υπέρβασης και πιθανότητας μη υπέρβασης. 4.3 Η έννοια της διακινδύνευσης Κατά το σχεδιασμό ενός έργου είναι συνηθέστατη πρακτική να υπολογίζεται με βάση τα διαθέσιμα δεδομένα η τιμή σχεδιασμού ή φόρτιση σχεδιασμού L, αλλά η ικανότητα του έργου C να υιοθετείται μεγαλύτερη, έτσι ώστε να υπάρχει δεδομένο περιθώριο ασφάλειας SM := C L (4.12) ή δεδομένος, μεγαλύτερος από 1, συντελεστής ασφάλειας

15 4.4.3 Η έννοια της διακινδύνευσης 99 SF := C L (4.13) Στο χώρο των κατασκευών πολιτικού μηχανικού το μέγεθος L μπορεί, για παράδειγμα, να είναι το δυσμενέστερο φορτίο λειτουργίας ενός υποστυλώματος, οπότε το C είναι το φορτίο που προκαλεί θραύση του υποστυλώματος. Στο χώρο της τεχνικής υδρολογίας, το L μπορεί να είναι, για παράδειγμα, η παροχή σχεδιασμού ενός υπερχειλιστή φράγματος, οπότε το μέγεθος C είναι η παροχετευτικότητα του υπερχειλιστή, δηλαδή η παροχή που μπορεί να διοδευτεί με ασφάλεια από τον υπερχειλιστή χωρίς κίνδυνο υπερπήδησης του φράγματος. Η υιοθέτηση συγκεκριμένης αριθμητικής τιμής για το συντελεστή ασφάλειας (π.χ. SF = 3) ή το περιθώριο ασφάλειας αποτελεί εμπειρική προσέγγιση στην αντιμετώπιση της αβεβαιότητας που υπάρχει στην εκτίμηση της φόρτισης ενός έργου ή της ικανότητας του. Ωστόσο, αυτή η πρακτική δεν δίνει πολύ σαφές μέτρο της ασφάλειας και μάλιστα δίνει την εσφαλμένη εντύπωση της πλήρους εξάλειψης του κινδύνου αστοχίας του συγκεκριμένου έργου. Αντίθετα, η προσέγγιση της αβεβαιότητας μέσω της θεωρίας πιθανοτήτων αποτελεί τη μόνη ορθολογική απάντηση στην ποσοτικοποίηση του κινδύνου αστοχίας. Σύμφωνα με αυτή την προσέγγιση, τα μεγέθη SM και SF θεωρούνται τυχαίες μεταβλητές και, ως μέτρο του κινδύνου αστοχίας, ορίζεται η διακινδύνευση (ή επικινδυνότητα - risk): ( SF ) ( SM ) R:= P < 1 = P < 0 (4.14) Στην τυπικότερη κατηγορία προβλημάτων της τεχνικής υδρολογίας, τα προβλήματα σχεδιασμού, η ικανότητα του έργου (π.χ. η παροχετευτικότητα ή η αποθηκευτική ικανότητα) μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει δεδομένη τιμή με πλήρη βεβαιότητα (C = c), οπότε δεν θεωρείται ως τυχαία μεταβλητή. Σε αυτή την περίπτωση η διακινδύνευση είναι ( ) ( ) R= P L> c = 1 P L c (4.15) Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται για συνθετότερα προβλήματα, όπου και η ικανότητα είναι τυχαία μεταβλητή, παραπέμπεται στους Chow et al. (1988).

16 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία και οφείλεται μόνο στην ενυπάρχουσα αβεβαιότητα των υδρολογικών διεργασιών. Για το λόγο αυτό μιλούμε για φυσική ή ενυπάρχουσα διακινδύνευση. Το μέγεθος L εξαρτάται από τη μεταβλητότητα της φυσικής διεργασίας που ενδιαφέρει (π.χ. της πλημμυρικής παροχής) καθώς και από τη διάρκεια που θα εκτεθεί το έργο στο φυσικό κίνδυνο, δηλαδή τη διάρκεια ζωής του έργου. Εάν X παριστάνει το μέγιστο μέγεθος της φυσικής διεργασίας σε ετήσια βάση (π.χ. τη μέγιστη ετήσια πλημμύρα) και n είναι η διάρκεια ζωής του έργου, τότε το γεγονός {L c} ισοδυναμεί με n διαδοχικές εμφανίσεις του γεγονότος {X c}. Για να μην έχουμε, δηλαδή, υπέρβαση του μεγέθους c σε όλη τη διάρκεια ζωής του έργου θα πρέπει να μην έχουμε υπέρβαση σε όλα τα n χρόνια αυτής της διάρκειας. Θεωρώντας ότι οι πλημμύρες των διαδοχικών ετών είναι στοχαστικά ανεξάρτητες και εφαρμόζοντας τη σχέση (2.12) παίρνουμε [ ( )] n X ( ) [ ] R = 1 P X c = 1 F c (4.16) όπου F X είναι η συνάρτηση κατανομής του φυσικού μεγέθους που μας ενδιαφέρει, σε ετήσια βάση. Αντικαθιστώντας τη με την αντίστοιχη περίοδο επαναφοράς παίρνουμε την ακόλουθη βασική σχέση, η οποία συνδέει τα τρία βασικά μεγέθη υδρολογικού σχεδιασμού ενός έργου, δηλαδή την περίοδο επαναφοράς, τη διάρκεια ζωής και τη διακινδύνευση: n n R = (4.17) T Γραφική απεικόνιση της (4.17) δίνεται στο Σχ. 4.3 για χαρακτηριστικές περιόδους επαναφοράς. Ισοδύναμη έκφραση της (4.17) είναι η ακόλουθη, η οποία έχει επιλυθεί ως προς την περίοδο επαναφοράς: T 1 = (4.18) 1/ 1 1 R n ( ) n 2 Τέλος, δεδομένου ότι ln( 1 ) ln ( 1 ) ( / 2 ) x = n x = n x x nx, παίρνουμε και την ακόλουθη προσεγγιστική έκφραση του R:

17 4.4.3 Η έννοια της διακινδύνευσης 101 R 1 e nt / (4.19) η οποία ισχύει με σφάλμα < 1% για T T= 2 Διακινδύνευση, R Περίοδος σχεδιασμού, n Σχ. 4.3 Γραφική απεικόνιση της σχέσης των χαρακτηριστικών μεγεθών υδρολογικού σχεδιασμού (εξίσωση 4.17). Εφαρμογή 4.3 α. Διώρυγα εκτροπής σχεδιάζεται να λειτουργήσει κατά την περίοδο κατασκευής φράγματος, η οποία εκτιμάται σε 5 χρόνια. Ποια πρέπει να είναι η περίοδος επαναφοράς της πλημμύρας σχεδιασμού, ώστε η διακινδύνευση να μην υπερβαίνει το 10%; Από την (4.18) παίρνουμε T 1 1 = = = / 1/ ( R) n 1 ( ) Στρογγυλεύουμε σε T = 50 χρόνια.

18 Ειδικές έννοιες θεωρίας πιθανοτήτων στην υδρολογία β. Πόση είναι η διακινδύνευση αν ένα έργο σχεδιαστεί με περίοδο επαναφοράς ίση με τη διάρκεια ζωής του; Αν δεχτούμε ότι η διάρκεια ζωής του έργου είναι αρκετά μεγάλη ( 50 χρόνια), τότε από την (4.19) παίρνουμε R = 1 e 1 = = 63.2%. Διαφορετικά η διακινδύνευση υπολογίζεται από την (4.17).

Πιθανοθεωρητικές και στατιστικές μέθοδοι στην τεχνική υδρολογία

Πιθανοθεωρητικές και στατιστικές μέθοδοι στην τεχνική υδρολογία Πιθανοθεωρητικές και στατιστικές μέθοδοι στην τεχνική υδρολογία Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο, Ηρώων Πολυτεχνείου 5, 57 Ζωγράφου

Διαβάστε περισσότερα

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος.

Περίπου ίση µε την ελάχιστη τιµή του δείγµατος. 1. Η µέση υπερετήσια τιµή δείγµατος µέσων ετήσιων παροχών Q (m3/s) που ακολουθούν κατανοµή Gauss, ξεπερνιέται κατά µέσο όρο κάθε: 1/0. = 2 έτη. 1/1 = 1 έτος. 0./1 = 0. έτος. 2. Έστω δείγµα 20 ετών µέσων

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 3:Στατιστική και πιθανοτική ανάλυση υδρομετεωρολογικών μεταβλητών- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Σύνδεση τεχνικής υδρολογίας και πιθανοθεωρίας

Κεφάλαιο 1 Σύνδεση τεχνικής υδρολογίας και πιθανοθεωρίας Κεφάλαιο 1 Σύνδεση τεχνικής υδρολογίας και πιθανοθεωρίας Υπάρχουν τρεις τουλάχιστον λόγοι για τους οποίους η πιθανοθεωρία και η στατιστική αποτελούν το βασικό μαθηματικό εργαλείο της τεχνικής υδρολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Φασματική ανάλυση χρονοσειρών Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Αθήνα Επανέκδοση

Διαβάστε περισσότερα

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΟΜΕΑΣ Υ ΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ, Υ ΡΑΥΛΙΚΩΝ ΚΑΙ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΕΡΓΩΝ ΜΑΘΗΜΑ: ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΗ Υ ΡΟΛΟΓΙΑ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2001 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ -----------------------------------------------------------------------------------

Διαβάστε περισσότερα

Μελέτη Προέγκρισης Χωροθέτησης του Μικρού Υδροηλεκτρικού Σταθμού Βαλορέματος. Υδρολογική μελέτη

Μελέτη Προέγκρισης Χωροθέτησης του Μικρού Υδροηλεκτρικού Σταθμού Βαλορέματος. Υδρολογική μελέτη Περιεχόμενα Μελέτη Προέγκρισης Χωροθέτησης του Μικρού Υδροηλεκτρικού Σταθμού Βαλορέματος Υδρολογική μελέτη Εισαγωγή 1 Γενικά χαρακτηριστικά 1 Παραγωγή ημερήσιων παροχών στη θέση Σμίξη 2 Καμπύλες διάρκειας

Διαβάστε περισσότερα

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον

Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον Δρ Μ.Σπηλιώτη Είναι το διάγραμμα ενός διατεταγμένου υδραυλικού μεγέθους συναρτήσει του ποσοστού του χρόνου κατά τον οποίο το μέγεθος αυτό απαντάται με ίση ή μεγαλύτερη τιμή. Για τον υπολογισμό του ποσοστού

Διαβάστε περισσότερα

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος

Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Όµβριες καµπύλες για το οδικό έργο Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος Περιοχή έργου Η µελέτη αυτή εκπονήθηκε στα πλαίσια της υδραυλικής µελέτης αποστράγγισης της οδού Καναβάρι- οµβαίνα-πρόδροµος που ανατέθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 7. ΔΙΟΔΕΥΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 7. ΔΙΟΔΕΥΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ 7. ΔΙΟΔΕΥΣΗ ΠΛΗΜΜΥΡΩΝ 7.1. ΓΕΝΙΚΑ Ένα από τα συνηθέστερα προβλήματα στην επιστήμη της υδρολογίας είναι ο χωροχρονικός προσδιορισμός

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών

ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών ΤΕΧΝΙΚΗ ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Πιθανοτική προσέγγιση των υδρολογικών μεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 9: Μέθοδοι εκτίμησης πλημμύρας σχεδιασμού- Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ του Παν. Λ. Θεοδωρόπουλου 0 Η Θεωρία Πιθανοτήτων είναι ένας σχετικά νέος κλάδος των Μαθηματικών, ο οποίος παρουσιάζει πολλά ιδιαίτερα χαρακτηριστικά στοιχεία. Επειδή η ιδιαιτερότητα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές

Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Στοχαστικές Μέθοδοι στους Υδατικούς Πόρους Τυχαίες μεταβλητές, στοχαστικές ανελίξεις και χρονοσειρές Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος, Σχολή Πολιτικών Μηχανικών, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

Οι καταιγίδες διακρίνονται σε δύο κατηγορίες αναλόγως του αιτίου το οποίο προκαλεί την αστάθεια τις ατμόσφαιρας:

Οι καταιγίδες διακρίνονται σε δύο κατηγορίες αναλόγως του αιτίου το οποίο προκαλεί την αστάθεια τις ατμόσφαιρας: ΑΝΑΛΥΣΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑΣ ΡΑΓΔΑΙΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Καταιγίδα (storm): Πρόκειται για μια ισχυρή ατμοσφαιρική διαταραχή, η οποία χαρακτηρίζεται από την παρουσία μιας περιοχής χαμηλών ατμοσφαιρικών πιέσεων και από ισχυρούς

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών

Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τοµέας Υδατικών Πόρων, Υδραυλικών και Θαλάσσιων Έργων Κασταλία Σύστηµα στοχαστικής προσοµοίωσης υδρολογικών µεταβλητών. Κουτσογιάννης Α. Ευστρατιάδης Φεβρουάριος 2002 Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών

Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης. Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών Σύγχρονα συστήµατα προβλέψεων και µοντελοποίησης Τµήµα Στατιστικής και Αναλογιστικών Χρηµατοοικονοµικών Μαθηµατικών 2 Εργαλεία διαχείρισης Για κάθε µελλοντική εξέλιξη και απόφαση, η πρόβλεψη αποτελεί το

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα

Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΥΔΑΤΙΚΩΝ ΠΟΡΩΝ & ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΟΣ Η επίδραση της δειγματοληπτικής αβεβαιότητας των εισροών στη στοχαστική προσομοίωση ταμιευτήρα Ελένη Ζαχαροπούλου

Διαβάστε περισσότερα

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες

ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Αδρανή 12,00% 10,00% 8,00% 6,00% Ποσοστό % 4,00% 2,00% 0,00% εβδοµάδες ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Ένα σύνολο διαδοχικών δεδοµένων αποτελεί µια σειρά. εδοµένα που σχηµατίζουν σειρές προέρχονται γενικά από την καταγραφή της τιµής µιας µεταβλητής κατά την εξέλιξή της. Χρονοσειρά είναι η καταγραφή

Διαβάστε περισσότερα

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ

2.5.1 ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ .5. ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΠΟΣΟΣΤΙΑΙΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΜΙΑΣ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η μέθοδος κατασκευής διαστήματος εμπιστοσύνης για την πιθανότητα που περιγράφεται στην προηγούμενη ενότητα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή διαστημάτων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman

3.4.1 Ο Συντελεστής ρ του Spearman 3.4. Ο Συντελεστής ρ του Spearma Έστω (, ), (, ),..., (, ) ένα δείγμα παρατηρήσεων πάνω στο τυχαίο διάνυσμα (, ). Έστω ( ) ο βαθμός ή η τάξη μεγέθους της μεταβλητής όταν αυτή συγκρίνεται με τις άλλες Χ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ, ΕΣΠΙ 1 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Η έννοια της συνάρτησης είναι θεμελιώδης στο λογισμό και διαπερνά όλους τους μαθηματικούς κλάδους. Για το φοιτητή είναι σημαντικό να κατανοήσει πλήρως αυτή

Διαβάστε περισσότερα

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών

Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ. Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Υ ΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΚΑΙ ΑΝΑΠΤΥΞΗ Πιθανοτική προσέγγιση υδρολογικών µεταβλητών Νίκος Μαµάσης Εργαστήριο Υδρολογίας και Αξιοποίησης Υδατικών Πόρων Αθήνα ΣΥΛΛΟΓΙΣΜΟΣ-ΕΠΑΓΩΓΗ (DEDUCTION INDUCTION) Ο Αριστοτέλης

Διαβάστε περισσότερα

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες

Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Υδροηλεκτρικά Έργα 8ο εξάμηνο Σχολής Πολιτικών Μηχανικών Υδροηλεκτρικοί ταμιευτήρες Ανδρέας Ευστρατιάδης, Νίκος Μαμάσης, & Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων & Περιβάλλοντος, Εθνικό Μετσόβιο

Διαβάστε περισσότερα

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης

ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα κανονικής εξέτασης 2011-2012 1 ΠΡΩΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΠΑΡΑΛΛΑΓΗ Α Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 5 ο : Απορροή

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία. Κεφάλαιο 7 ο : Διόδευση πλημμυρών. Πολυτεχνική Σχολή Τομέας Υδραυλικών Έργων Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων

Τεχνική Υδρολογία. Κεφάλαιο 7 ο : Διόδευση πλημμυρών. Πολυτεχνική Σχολή Τομέας Υδραυλικών Έργων Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων Πολυτεχνική Σχολή Τομέας Υδραυλικών Έργων Εργαστήριο Υδρολογίας και Υδραυλικών Έργων Τεχνική Υδρολογία Κεφάλαιο 7 ο : Διόδευση πλημμυρών Φώτιος Π. ΜΑΡΗΣ Αναπλ. Καθηγητής ΓΕΝΙΚΑ Ένα από τα συνηθέστερα προβλήματα

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι:

Όριο συνάρτησης στο x. 2 με εξαίρεση το σημείο A(2,4) Από τον παρακάτω πίνακα τιμών και τη γραφική παράσταση του παραπάνω σχήματος παρατηρούμε ότι: Όριο συνάρτησης στο Στα παρακάτω θα προσεγγίσουμε την διαισθητικά με τη βοήθεια γραφικών παραστάσεων και πινάκων τιμών. 4 4 Έστω η συνάρτηση f με τύπο f ) = και πεδίο ορισμού το σύνολο ) ) η οποία μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων

Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Αριθμητική εύρεση ριζών μη γραμμικών εξισώσεων Με τον όρο μη γραμμικές εξισώσεις εννοούμε εξισώσεις της μορφής: f( ) 0 που προέρχονται από συναρτήσεις f () που είναι μη γραμμικές ως προς. Περιέχουν δηλαδή

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 1 ο : Εισαγωγή

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΕΜΠ Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τεχνική Υδρολογία Διαγώνισμα επαναληπτικής εξέτασης 2012-2013 1 ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ-ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ: 30 ΛΕΠΤΑ ΜΟΝΑΔΕΣ: 3 ΚΛΕΙΣΤΑ ΒΙΒΛΙΑ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ Θέμα 1 (μονάδες

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ

1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ ΤΤ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Τ.Ε. ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΤΩΝ ΡΕΥΣΤΩΝ Σκοπός της άσκησης 1 η ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ Σκοπός αυτής της άσκησης είναι η εξοικείωση των σπουδαστών με τα σφάλματα που

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων

ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ. Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις. Καθ. Αθανάσιος Λουκάς. Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας ΥΔΡΟΛΟΓΙΑ Ενότητα 4: Όμβριες Καμπύλες - Ασκήσεις Καθ. Αθανάσιος Λουκάς Εργαστήριο Υδρολογίας και Ανάλυσης Υδατικών Συστημάτων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου

Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου

Διαβάστε περισσότερα

Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου

Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ Tel.: +30 2310998051, Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru ΙΑ ΟΧΙΚΕΣ ΒΕΛΤΙΩΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό.

Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση που περιγράφει το ρυθμό. Βασικές Εξισώσεις Σχεδιασμού (ΣΔΟΥΚΟΣ 2-, 2-) t = n i dn i V n i R και V = n i dn i t n i R Στις εξισώσεις σχεδιασμού υπεισέρχεται ο ρυθμός της αντίδρασης. Επομένως, είναι βασικό να γνωρίζουμε την έκφραση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές

Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή):

ΑΣΚΗΣΗ 2 Στην έξοδο λεκάνης απορροής µετρήθηκε το παρακάτω καθαρό πληµµυρογράφηµα (έχει αφαιρεθεί η βασική ροή): ΑΣΚΗΣΗ 1 Αρδευτικός ταµιευτήρας τροφοδοτείται κυρίως από την απορροή ποταµού που µε βάση δεδοµένα 30 ετών έχει µέση τιµή 10 m 3 /s και τυπική απόκλιση 4 m 3 /s. Ο ταµιευτήρας στην αρχή του υδρολογικού

Διαβάστε περισσότερα

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής

Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ενότητα 2 Διαστήματα εμπιστοσύνης, εκτίμηση ακρίβειας μέσης τιμής Ένας από τους βασικούς σκοπούς της Στατιστικής είναι η εκτίμηση των χαρακτηριστικών ενός πληθυσμού βάσει της πληροφορίας από ένα δείγμα.

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ. Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ Τμήμα Μαθηματικών ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ Σημειώσεις Πανεπιστημιακών Παραδόσεων ΑΛΕΞΑΝΔΡΟΣ ΜΗΛΙΏΝΗΣ ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ 07 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΕΣ- ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. ΚΑΤΗΓΟΡΙΟΠΟΙΗΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. ΟΡΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής

Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Κεφάλαιο 5 Τυπική στατιστική ανάλυση μιας υδρολογικής μεταβλητής Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις αρχές και μεθόδους της στατιστικής, τις οποίες παρουσιάσαμε ήδη στο κεφάλαιο 3, σε ένα από τα πιο τυπικά

Διαβάστε περισσότερα

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής.

2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ. πληθυσµού µε πιθανότητα τουλάχιστον ίση µε 100(1 α)%. Το. X ονοµάζεται κάτω όριο ανοχής ενώ το πάνω όριο ανοχής. 2.6 ΟΡΙΑ ΑΝΟΧΗΣ Το διάστηµα εµπιστοσύνης παρέχει µία εκτίµηση µιας άγνωστης παραµέτρου µε την µορφή διαστήµατος και ένα συγκεκριµένο βαθµό εµπιστοσύνης ότι το διάστηµα αυτό, µε τον τρόπο που κατασκευάσθηκε,

Διαβάστε περισσότερα

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος

Δειγματοληψία στην Ερευνα. Ετος ΓΕΩΠΟΝΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Αγροτικής Οικονομίας & Ανάπτυξης Μέθοδοι Γεωργοοικονομικής και Κοινωνιολογικής Ερευνας Δειγματοληψία στην Έρευνα (Μέθοδοι Δειγματοληψίας - Τρόποι Επιλογής Τυχαίου Δείγματος)

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis)

Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η ΜΕΘΟΔΟΣ PCA (Principle Component Analysis) Η μέθοδος PCA (Ανάλυση Κύριων Συνιστωσών), αποτελεί μία γραμμική μέθοδο συμπίεσης Δεδομένων η οποία συνίσταται από τον επαναπροσδιορισμό των συντεταγμένων ενός

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Πεπερασμένες και Διαιρεμένες Διαφορές Εισαγωγή Θα εισάγουμε την έννοια των διαφορών με ένα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΟΡΙΑ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια του ορίου στο x ο Υπάρχουν συναρτήσεις οι τιμές των οποίων πλησιάζουν ένα πραγματικό αριθμό L, όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΔΕΣΜΕΥΜΕΝΕΣ Ή ΥΠΟ ΣΥΝΘΗΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ Έστω ότι επιθυμούμε να μελετήσουμε ένα τυχαίο πείραμα με δειγματικό χώρο Ω και έστω η πιθανότητα να συμβεί ένα ενδεχόμενο Α Ω Υπάρχουν περιπτώσεις όπου ενώ δεν γνωρίζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα.

Μια από τις σημαντικότερες δυσκολίες που συναντά ο φυσικός στη διάρκεια ενός πειράματος, είναι τα σφάλματα. Εισαγωγή Μετρήσεις-Σφάλματα Πολλές φορές θα έχει τύχει να ακούσουμε τη λέξη πείραμα, είτε στο μάθημα είτε σε κάποια είδηση που αφορά τη Φυσική, τη Χημεία ή τη Βιολογία. Είναι όμως γενικώς παραδεκτό ότι

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις

Τυπικές και εξειδικευµένες υδρολογικές αναλύσεις Προς µια ορθολογική αντιµετώπιση των σύγχρονων υδατικών προβληµάτων: Αξιοποιώντας την Πληροφορία και την Πληροφορική για την Πληροφόρηση Υδροσκόπιο: Εθνική Τράπεζα Υδρολογικής & Μετεωρολογικής Πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G

m + s + q r + n + q p + s + n, P Q R P Q P R Q R F G Λύσεις Θεμάτων Θεμελίων των Μαθηματικών 1. Εστω A, B, C τυχόντα σύνολα. Να δειχθεί ότι A (B C) (A B) (A C). Απόδειξη. Εστω x τυχαίο στοιχείο του A (B C). Εξ ορισμού, το x ανήκει σε ακριβώς ένα από τα A,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να

Διαβάστε περισσότερα

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ

Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων

Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Στοχαστικότητα: μελέτη, μοντελοποίηση και πρόβλεψη φυσικών φαινομένων Δρ. Τακβόρ Σουκισιάν Κύριος Ερευνητής ΕΛΚΕΘΕ Forecasting is very dangerous, especially about the future --- Samuel Goldwyn 1 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

Διαβάστε περισσότερα

Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα

Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα Διημερίδα για τη διαχείριση των υδατικών πόρων στη λίμνη Πλαστήρα Νεοχώρι Καρδίτσας 26-27 Ιανουαρίου 21 Υδρολογική θεώρηση της λειτουργίας του υδροηλεκτρικού έργου Πλαστήρα Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας

Διαβάστε περισσότερα

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις)

Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Τμήμα Δασολογίας & Διαχείρισης Περιβάλλοντος & Φυσικών Πόρων Εργαστήριο Διευθέτησης Ορεινών Υδάτων και Διαχείρισης Κινδύνου Προπτυχιακό Πρόγραμμα Σπουδών Τεχνική Υδρολογία (Ασκήσεις) Κεφάλαιο 2 ο : Κατακρημνίσματα

Διαβάστε περισσότερα

μαθήματος: 120 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής Κατηγορία Ώρες 8 ο διδασκαλίας

μαθήματος: 120 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό Τύπος μαθήματος: Υποχρεωτικό Επιλογής Κατηγορία Ώρες 8 ο διδασκαλίας Γενικές πληροφορίες μαθήματος: Τίτλος Υδρολογική μαθήματος: Προσομοίωση και Πρόγνωση Πιστωτικές μονάδες: Κωδικός μαθήματος: CE08-H07 Φόρτος εργασίας (ώρες): 120 Επίπεδο μαθήματος: Προπτυχιακό Μεταπτυχιακό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑ 16_10_2012 ΙΣΟΥΨΕΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ- ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ 2.1 Απεικόνιση του ανάγλυφου Μια εδαφική περιοχή αποτελείται από εξέχουσες και εισέχουσες εδαφικές μορφές. Τα εξέχοντα εδαφικά τμήματα βρίσκονται μεταξύ

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΛΥΜΕΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟ 2 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1. Έστω συνάρτηση ζήτησης με τύπο Q = 200 4P. Να βρείτε: α) Την ελαστικότητα ως προς την τιμή όταν η τιμή αυξάνεται από 10 σε 12. 1ος τρόπος Αν P 0 10 τότε Q 0 200 410

Διαβάστε περισσότερα

Γιατί μας ενδιαφέρει; Αντιπλημμυρική προστασία. Παροχή νερού ύδρευση άρδευση

Γιατί μας ενδιαφέρει; Αντιπλημμυρική προστασία. Παροχή νερού ύδρευση άρδευση Ζαΐμης Γεώργιος Γιατί μας ενδιαφέρει; Αντιπλημμυρική προστασία Παροχή νερού ύδρευση άρδευση Πλημμύρες Ζημίες σε αγαθά Απώλειες ανθρώπινης ζωής Αρχικά εμπειρικοί μέθοδοι Μοναδιαίο υδρογράφημα Συνθετικά

Διαβάστε περισσότερα

Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου

Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου Από το μεμονωμένο υδραυλικό έργο στο υδροσύστημα: Το παράδειγμα του υδρολογικού σχεδιασμού των έργων Ευήνου Δημήτρης Κουτσογιάννης Τομέας Υδατικών Πόρων Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες

Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες Ορισμός Στατιστική είναι το σύνολο των μεθόδων και θεωριών που εφαρμόζονται σε αριθμητικά δεδομένα προκειμένου να ληφθεί κάποια απόφαση σε συνθήκες αβεβαιότητας. Βασικές έννοιες Η μελέτη ενός πληθυσμού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Ανάλυση τυχαίας μεταβλητής εξαρτημένης από παράμετρο - Όμβριες καμπύλες

Κεφάλαιο 8 Ανάλυση τυχαίας μεταβλητής εξαρτημένης από παράμετρο - Όμβριες καμπύλες Κεφάλαιο 8 Ανάλυση τυχαίας μεταβλητής εξαρτημένης από παράμετρο - Όμβριες καμπύλες Στο κεφάλαιο αυτό θα εφαρμόσουμε τις γνώσεις όλων των προηγούμενων κεφαλαίων σε ένα τυπικό πρόβλημα της τεχνικής υδρολογίας,

Διαβάστε περισσότερα

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)

Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2) Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE

ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ TECHNOLOGICAL EDUCATIONAL INSTITUTE OF WESTERN GREECE ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ: ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ (Πάτρας) Διεύθυνση: Μεγάλου Αλεξάνδρου 1, 263 34 ΠΑΤΡΑ Τηλ.: 2610 369051, Φαξ: 2610 396184, email: mitro@teipat.gr Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών

Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Συνήθεις διαφορικές εξισώσεις προβλήματα οριακών τιμών Οι παρούσες σημειώσεις αποτελούν βοήθημα στο μάθημα Αριθμητικές Μέθοδοι του 5 ου εξαμήνου του ΤΜΜ ημήτρης Βαλουγεώργης Καθηγητής Εργαστήριο Φυσικών

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση

Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση Κυκλώματα με ημιτονοειδή διέγερση ονομάζονται εκείνα στα οποία επιβάλλεται τάση της μορφής: = ( ω ϕ ) vt V sin t όπου: V το πλάτος (στιγμιαία μέγιστη τιμή) της τάσης ω

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο

2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο 2.1 Δραστηριότητα: Εισαγωγή στο όριο συνάρτησης σε σημείο Θέμα της δραστηριότητας Η δραστηριότητα αυτή, με αφορμή τον υπολογισμό της στιγμιαίας ταχύτητας, εισάγει στο όριο συνάρτησης σε σημείο. Στόχοι

Διαβάστε περισσότερα

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n..

Υ: Νόσος. Χ: Παράγοντας Κινδύνου 1 (Ασθενής) 2 (Υγιής) Σύνολο. 1 (Παρόν) n 11 n 12 n 1. 2 (Απών) n 21 n 22 n 2. Σύνολο n.1 n.2 n.. Μέτρα Κινδύνου για Δίτιμα Κατηγορικά Δεδομένα Σε αυτή την ενότητα θα ορίσουμε δείκτες μέτρησης του κινδύνου εμφάνισης μίας νόσου όταν έχουμε δίτιμες κατηγορικές μεταβλητές. Στην πιο απλή περίπτωση μας

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015

Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 Στοχαστικές Ανελίξεις- Φεβρουάριος 2015 ΟΔΗΓΙΕΣ (1) Απαντήστε σε όλα τα θέματα. Τα θέματα είναι ισοδύναμα. (2) Οι απαντήσεις να είναι αιτιολογημένες. Απαντήσεις χωρίς να φαίνεται η απαιτούμενη εργασία

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα

Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21

Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ. (Power of a Test) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 21 Η ΙΣΧΥΣ ΕΝΟΣ ΕΛΕΓΧΟΥ (Power of a Test) Όπως είδαμε προηγουμένως, στον Στατιστικό Έλεγχο Υποθέσεων, ορίζουμε δύο είδη πιθανών λαθών (κινδύνων) που μπορεί να συμβούν όταν παίρνουμε αποφάσεις

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0,

ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, Κεφάλαιο 2 ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ ΥΠΑΡΞΗΣ ΚΑΙ ΜΟΝΑΔΙΚΟΤΗΤΑΣ 2.1 Πρόβλημα αρχικών τιμών Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών (ΑΤ) ẋ = f(x), x = x 0 όταν t = t 0, έχει λύση και μάλιστα μοναδική για

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα