ΦΙΛΤΡΑ KALMAN. Με έμφαση στη σχέση τους με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων. Δημήτρης Δεληκαράογλου. Βασίλης Μασσίνας (Ασκήσεις)

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΦΙΛΤΡΑ KALMAN. Με έμφαση στη σχέση τους με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων. Δημήτρης Δεληκαράογλου. Βασίλης Μασσίνας (Ασκήσεις)"

Transcript

1 ΦΙΛΤΡΑ KALMAN Με έμφαση στη σχέση τους με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων Δημήτρης Δεληκαράογλου Βασίλης Μασσίνας (Ασκήσεις Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει μια διαδικασία απομάκρυνσης μη επιθυμητών στοιχείων Από το λατινικό όρο felt : το υλικό για το φιλτράρισμα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων: αναλογικά κυκλώματα απομάκρυνσης ανεπιθύμητων ηλεκτρονικών σημάτων Αποδυνάμωση ανεπιθύμητων συχνοτήτων Στις δεκαετίες & 4: Διαχωρισμός του (ανεπιθύμητου θορύβου από το (χρήσιμο σήμα

2 Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε Φιλτράρισμα θορύβου των μετρήσεων - Τα περισσότερα σήματα αισθητήρων επηρεάζονται από κάποιο θόρυβο που μπορεί να ασκήσει αρνητική επίδραση στην απόδοση του αισθητήρα ήστον έλεγχο των μετρήσεων. Με το φιλτράρισμα επιτυγχάνουμε μια αλλαγή στο εύρος των συχνοτήτων ενός σήματος ενδιαφέροντος ή ακόμα και την αποβολή μερικών τμημάτων των συχνοτήτων του σήματος Εκτιμητής φίλτρου Measurement Μέτρηση Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε Αναδημιουργία μημετρημένων στοιχείων - Για πολλές εφαρμογές, σημαντικές δυναμικές διεργασίες που τις επηρεάζουν δεν μετριούνται. Αντ αυτού μοντελοποιούνται με μεθόδους βασισμένες σε μαθηματικά φίλτρα (state estimation tecniques προκειμένου να αναδημιουργηθούν οι ελλιπείς μετρήσεις που με τη σειρά τους χρησιμοποιούνται σε μοντέλα/συστήματα ελέγχου ανατροφοδότησης. HRUSER ALLOCAION CONROLLER SIGNAL PROCESSING FILER

3 Φιλτράρισμα Γιατί, που, πότε Τυφλή πλοήγηση (Dead Reconing. Κάθε είδος εξοπλισμού κάποτε αποτυγχάνει σύμφωνα με κάποιο ποσοστό αποτυχίας. Ή οι μετρήσεις που εκτελούνται με αυτό μπορεί να αστοχήσουν για διάφορους φυσικούς ή ενδογενείς λόγους. Η χρήση των φίλτρων αντικαθιστά απολεσθείσες πρωτογενείς μετρήσεις με αντίστοιχες προβλέψεις για κάποια χρονική περίοδο. Έλλειψη μετρήσεων Εκτιμητής φίλτρου Μαθηματικός (γεν. 9 στην Ουγγαρία Σπούδασε στο MI / Columbia Rudolf E. Kalman Ανέπτυξε τη θεωρία των φίλτρων που φέρουν το όνομα του την περίοδο 96/6 Βασισμένα στη χρήση τεχνικών κατάστασης-χρόνου και επαναλαμβανόμενων αλγόριθμων Απαλοιφή ανεπιθύμητου θορύβου από μετρήσεις Με ευρεία χρήση σε ποικίλες εφαρμογές (π.χ. Από τις πρώτες χρήσεις στις διαστημικές αποστολές Apollo 985, αποδέκτης του Kyoto Price (ιαπωνικό βραβείο Nobel

4 Μέρος της Θεωρίας των Συστημάτων Ελέγχου Control eory Φίλτρα Kalman Ελάχιστα Τετράγωνα Στοχαστικά Συστήματα Θεωρία Πινάκων Θεωρία Πιθανοτήτων Δυναμικά Συστήματα Μαθηματική Υποδομή Τι είναι ένα φίλτρο Kalman; ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ είναι ένας εκτιμητής του λεγόμενου γραμμικού προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων Όπου καλείται κανείς να υπολογίσει τη στιγμιαία κατάσταση (state ενός γραμμικού δυναμικού συστήματος που διαταράσσεται από λευκό θόρυβο (wite noise δηλ., από μετρήσεις που σχετίζονται γραμμικά με τη δυναμική κατάσταση του συστήματος αλλά είναι αλλοιωμένες από λευκό θόρυβο Ο εκτιμητής είναι στατιστικά βέλτιστος ως προς οποιαδήποτε συνάρτηση του τετραγώνου του σφάλματος εκτίμησης ( f (ε min 4

5 Τι είναι ένα φίλτρο Kalman; ΠΡΑΚΤΙΚΑ είναι ένα μοναδικό εργαλείο για τον έλεγχο πολύπλοκων δυναμικών διεργασιών (π.χ. η ροή ενός πλημμυρισμένου ποταμού, οι τιμές χρηματιστηριακών μετοχών ή συστημάτων σε οχήματα, πλοία, αεροσκάφη, δορυφόρους,... Παρέχει ένα πλήρη στατιστικό χαρακτηρισμό ενός δυναμικού προβλήματος, δηλ. λαμβάνει υπόψη τη διανομή των πιθανοτήτων (Probability Distributions γνώση του πραγματικού κόσμου, για όλες τις μεταβλητές που επιφορτίζεται να υπολογίσει Κάνει δυνατή την πρόβλεψη της δυναμικής κατάστασης ενός συστήματος λαμβάνοντας υπόψη την επίδραση όλων των προηγούμενων παρατηρήσεων Χρήση των φίλτρων Kalman Πού και πότε? θόρυβος Κατάσταση συστήματος: Άγνωστοι παράμετροι Μοντέλο Μέτρηση KF? Γνώση του συστήματος θόρυβος 5

6 Τυπικές ανάγκες Τύποι αισθητήρων που χρησιμοποιούνται Οι θέσεις και οι προσανατολισμοί των διαφόρων τύπων αισθητήρων όσον αφορά το εκάστοτε υπό μελέτη σύστημα Τα επιτρεπόμενα χαρακτηριστικά και επίπεδα σφαλμάτων των αισθητήρων Οι μέθοδοι ομαλοποίησης (smooting των θορύβων των αισθητήρων Τα ποσοστά δειγματοληψίας μετρήσεων από κάθε αισθητήρα Επίπεδο απλοποίησης των αναγκαίων μοντέλων, προκειμένου να μειωθούν οι απαιτήσεις υλοποίησης της εκάστοτε εφαρμογής Παραδείγματα εφαρμογής Φίλτρων Kalman 6

7 Χρήση των φίλτρων Kalman Πού και πότε? Y v(sway Μεταβλητές Ελέγχου u Επιδράσεις w Πλοίο Δυναμικό σύστημα Θόρυβος Μετρήσεων v Μετρήσεις y Εκτιμητής δυναμικής κατάστασης X u (surge Z r (yaw Υπολογισμός των δυναμικών επιδράσεων (Χ- σκαμπανέβασμα, Υ-ταλάντευση, Ζ-παρέκκλιση που απαιτείται για να κρατήσει το σκάφος στην επιθυμητή θέση και πορεία π.χ. πλοήγηση σκαφών/αεροσκαφών, με τη χρήση μετρήσεων GPS, INS, γυροπυξίδων,... Βασικό πρόβλημα αποτελεί η εκτίμηση ενός φυσικού μεγέθους του συστήματος (π.χ. η θέση του σκάφους, από τον συνδυασμό n διαφορετικών ενδείξεων z i, i,,, n από διαφόρους αισθητήρες Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Το πρόβλημα περιπλέκεται αν οι μετρήσεις από τους διαφορετικούς αισθητήρες δεν έχουν την ίδια αξιοπιστία 7

8 Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Περίπτωση : Όλες οι μετρήσεις z i μιας μεταβλητής έχουν την ίδια αξιοπιστία και καθεμία είναι αποτέλεσμα μιας στοχαστικής διαδικασίας (Gaussian process με μέση τιμή z m και διασπορά σ i σ σταθ. Η εκτίμηση της παραμέτρου ενδιαφέροντος που προκύπτει από όλες τις μετρήσεις z i υπολογίζεται εύκολα ως Σz Σσ i και i ˆ σ ˆ n n Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Περίπτωση : Οι μετρήσεις z i έχουν διαφορετική αξιοπιστία, δηλαδή για κάθε z i έχουμε διαφορετική διασπορά σ i για τη συνολική εκτίμηση της μεταβλητής, κάθε μέτρηση πρέπει να ληφθεί υπόψη με διαφορετικό βάρος (weigted mean z, σ z ˆ z σˆ σ z Ν( z,σ z z, σ z ˆ? σˆ? 8

9 Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Με την υπόθεση της κανονικής (Gaussian κατανομής, η συνολική βέλτιστη εκτίμηση της μεταβλητής, συμπεριλαμβανομένης και της μέτρησης z υπολογίζεται ως ˆ ˆ K ( z ˆ K σˆ σˆ σz z σˆ σˆ K σˆ σˆ σˆ σ Sensor Fusion Σύνθεση πληροφοριών αισθητήρων Αυτή είναι η βασική δομή ενός αναδρομικού φίλτρου Kalman, για τον αναδρομικό υπολογισμό, σε κάθε χρονική στιγμή, της ανανεωμένης βέλτιστης εκτίμησης της μεταβλητής ενδιαφέροντος και της διασποράς της (δηλ. των στοχαστικών ιδιοτήτων της ˆ ˆ K ( z ˆ Φίλτρο Kalman: αναδρομικός αλγόριθμος σˆ της δυναμικής κατάστασης K ενός συστήματος, σˆ με τη συνδυασμένη σz χρήση ενός γραμμικού μοντέλου της συμπεριφοράς του συστήματος και του μοντέλου των σˆμετρήσεων ˆ ˆ σ Kσ σˆ σˆ σ z 9

10 Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Ήδη από το 795, ο Gauss διαπίστωσε ότι από ένα σύστημα εξισώσεων της μορφής Πίνακας σχεδιασμού Παράμετροι Μετρήσεις ή της μορφής Η χ z Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Είναι δυνατόν να υπολογισθεί ένας εκτιμητής που θα ελαχιστοποιούσε το σφάλμα όπου ˆ Hˆ z Δηλ. η ελάχιστη τιμή λαμβάνεται αν όλες οι παράγωγοι ( ˆ ως προς τις παραμέτρους ά ˆ είναι ε για κ θε ±

11 Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Αυτό επιτυγχάνεται αν (για,,,...,n i-σειρά του πίνακα H επί ˆ z J min -στήλη του πίνακα Η Κριτήριο βελτιστοποίησης Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Αυτό επιτυγχάνεται αν (για,,,...,n Και η ζητούμενη λύση προκύπτει από το γνωστό σύστημα των Κανονικών Εξισώσεων Gramian matri Ν

12 φ(v Βέλτιστη Εκτίμηση Παραμέτρων με Ελάχιστα Τετράγωνα Μαθηµατικ ό µοντέλο Η z Σ φάλµατα µετρήσεων v Ηz J min φ( v Τιμές Παραμέτρων Τιμές Παρατηρήσεων Σφάλματα ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΙΣ Κριτήριο βελτιστοποίησης φ ( v min v Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Το ελάχιστο συνολικό σφάλμα είναι φ ( zhˆ ( zhˆ ( z H( H H H z ( z H( H H H z z ( I H( H H H ( I H( H H H z z I H H H H z z zhˆ ( ( (

13 Το Απλό Μοντέλο Ελαχίστων Τετραγώνων Στη περίπτωση βαρών η λύση προκύπτει ως ˆ ( H PH H Pz Όπου ο πίνακας βαρών και το κριτήριο βελτιστοποίησης εκφράζεται ως φ ( zhˆ Pz ( Hˆ z ( P PH( H PH H Pz P σο z Χρήση των φίλτρων Kalman Περιγραφή της δυναμικής κατάστασης, μοντέλου και μετρήσεων υπό μορφή πινάκων Υπολογισμοί σε διαδοχικά βήματα ime update Πρόβλεψη Διόρθωση Κατάλληλη διαχείριση του θορύβου Measurement update

14 ime update Διακριτά φίλτρα Kalman Πρόβλεψη Διόρθωση Measurement update Το φίλτρο Kalman υπολογίζει μια δυναμική διεργασία με τη χρήση μιας μορφής ελεγχόμενης ανατροφοδότησης Αρχικά υπολογίζει τη δυναμική κατάσταση σε κάποια χρονική στιγμή και έπειτα λαμβάνει την ανατροφοδότηση στη μορφή μετρήσεων που περιέχουν θόρυβο. Ως εκ τούτου, οι εξισώσεις του φίλτρου που υλοποιούν την εν λόγω διαδικασία είναι δύο ειδών Εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών Εξισώσεις αναπροσαρμογών εξ αιτίας των μετρήσεων ˆ / i Συμβολισμοί - Φίλτρα Kalman Η εκτίμηση της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή i %( ˆ ˆ / ( / Η πρόβλεψη της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή - ˆ ˆ ˆ Η ανανεωμένη τιμή της κατάστασης τη χρονική στιγμή χρησιμοποιώντας δεδομένα μέχρι και τη χρονική στιγμή 4

15 Συμβολισμοί - Φίλτρα Kalman Μοντέλο των μετρήσεων z ( v Μη-γραμμικό z H v Γραμμικό Μοντέλο του συστήματος τη χρονική στιγμή Φ (, u w Μη-γραμμικό A Bu w Γραμμικό Φίλτρα Kalman Προσπαθούν να υπολογίσουν τη δυναμική κατάσταση μιας χρονικά ελεγχόμενης διαδικασίας που καθορίζεται από μια (γραμμική στοχαστική εξίσωση της μορφής w - A - B u - με τη μέτρηση z H v Ο πίνακας Α σχετίζει την κατάσταση του συστήματος τη χρονική στιγμή με την κατάσταση στη προηγούμενη στιγμή -, στην απουσία θορύβου. Στη πράξη μπορεί να μεταβάλλεται στο χρόνο, αλλά συνήθως θεωρείται σταθερός. Ο πίνακας Β αφορά προαιρετική πληροφορία u που εισάγεται στο μοντέλο της τρέχουσας κατάστασης Ο πίνακας Η σχετίζει την κατάσταση του συστήματος με τη μέτρηση 5

16 w - A - B u - Επιπλέον Φίλτρα Kalman z H v Ο θόρυβος της δυναμικής διαδικασίας (αβεβαιότητα στο μοντέλο της δυναμικής κατάστασης είναι p(w ~ N(, Q Ο θόρυβος (αβεβαιότητα της μέτρησης είναι p(v ~ N(, R Οι πίνακες συμμεταβλητότητας Q και R στη πράξη μπορεί να μεταβάλλονται στο χρόνο, αλλά συνήθως θεωρούνται σταθεροί Επιδίωξη των Φίλτρων Kalman Να υπολογισθεί μια α posteriori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, ως γραμμικός συνδυασμός της a priori εκτίμησης και της διαφοράς (με κατάλληλο βάρος μεταξύ μιας μέτρησης H ˆ και της πρόβλεψης της μέτρησης Δηλαδή ˆ ˆ K( z H ˆ z ˆ ˆ z H ˆ Πίνακας κέρδους Ανανέωση 6

17 Επιδίωξη των Φίλτρων Kalman Η α priori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, υπολογίζεται από την υπάρχουσα πληροφορία πριν και μέχρι τη χρονική στιγμή Η α posteriori εκτίμηση του διανύσματος κατάστασης, υπολογίζεται από τη διαθέσιμη επιπλέον πληροφορία από τη μέτρηση (ή μετρήσεις στη χρονική στιγμή Με αντίστοιχα σφάλματα και πίνακες συμμεταβλητότητας e ˆ και e ˆ Τ Τ Σ Ε{( e ( e } και Σ Ε{ ee } e ˆ ˆ K( z H ˆ e Πίνακας κέρδους Φίλτρων Kalman Ο πίνακας Κ (διαστάσεων nm επιλέγεται έτσι ώστε να ελαχιστοποιείται η εκτίμηση του a posteriori πίνακα συμμεταβλητότητας (Βέλτιστο κέρδος ανάδρασης που επιτυγχάνεται θέτοντας και επιλύνοντας ως προς K e ˆ ˆ K( z Hˆ Σ Eee { } ˆ dtrace ( Σ dk ˆ E{( ˆ K( z Hˆ ( ˆ K( z Hˆ } K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ 7

18 Πίνακας κέρδους Φίλτρων Kalman Όσο ο θόρυβος των μετρήσεων τείνει στο μηδέν, ο πίνακας Κ δίνει μεγαλύτερο βάρος στην ανανέωση δεδομένου ότι K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K( z H ˆ lim K R H Δηλ. δίνεται μεγαλύτερη εμπιστοσύνη στη μέτρηση και ολοένα λιγότερη στην πρόβλεψή της Πίνακας κέρδους Φίλτρων Kalman Όσο ο πίνακας συμμεταβλητότητας της a priori εκτίμησης των παραμέτρων τείνει στο μηδέν, ο πίνακας Κ δίνει μικρότερο βάρος στην ανανέωση δεδομένου ότι K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K( z H ˆ limk Σ Δηλ. δίνεται μικρότερη εμπιστοσύνη στη μέτρηση και ολοένα μεγαλύτερη στην πρόβλεψη της μέτρησης 8

19 ime update Διακριτά φίλτρα Kalman Πρόβλεψη Διόρθωση Measurement update Οι εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών επεκτείνουν μπροστά στο χρόνο την εκτίμηση της τρέχουσας δυναμικής κατάστασης και του πίνακα συμμεταβλητότητας, προκειμένου να υπολογισθούν οι αντίστοιχες a priori εκτιμήσεις τους για το επόμενο βήμα. ˆ Aˆ Bu Σ A Σ ˆ A Q ˆ ime update Διακριτά φίλτρα Kalman Πρόβλεψη Διόρθωση Οι εξισώσεις αναπροσαρμογών εξ αιτίας των μετρήσεων ενσωματώνουν μια νέα μέτρηση στην a priori εκτίμηση προκειμένου να διαμορφώσουν μια βελτιωμένη a posteriori εκτίμηση των παραμέτρων. K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K ( z H ˆ Σ ( ΙKH Σ ˆ ˆ Measurement update 9

20 ˆ, Σˆ Φίλτρο Kalman: Σύνοψη ˆ Aˆ Bu Σ A Σ ˆ A Q ˆ K Σ H ( HΣ H R ˆ ˆ ˆ ˆ K ( z H ˆ Σ ( ΙKH Σ ˆ ˆ Παράδειγμα Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να εκτιμήσουμε την τιμή μιας τυχαίας μεταβλητής (t σε συγκεκριμένες χρονικές στιγμές t o, t, t, t, (t ικανοποιεί τη εξίσωση του δυναμικού μοντέλου χ(t A(t w(t Για το παράδειγμα, έστω Α.9 w(t αντιπροσωπεύει θόρυβο (τυχαία τιμή, με μέση τιμή και διασπορά Q. Για το παράδειγμα έστω Q. w(t αποκαλείται λευκός θόρυβος, δηλαδή κάθε τυχαία τιμή του δεν σχετίζεται με οποιαδήποτε άλλη τυχαία τιμή και κυρίως δεν σχετίζεται με τις προηγούμενες τιμές

21 Παράδειγμα Το φίλτρο Kalman χρειάζεται μια αρχική τιμή προκειμένου να εφαρμοσθεί ο αναδρομικός αλγόριθμός του Ας υποθέσουμε ότι από μια ανεξάρτητη πηγή έχουμε υπολογίσει ότι t ˆ(, Σ 4 t ˆ( Στη χρονική στιγμή t, θέλουμε να εκτιμήσουμε (t A (t o w(t o Όμως δεν γνωρίζουμε το w(t o, άλλα γνωρίζουμε ότι η μέση τιμή του είναι (αφού ακολουθεί τη κανονική κατανομή p(w ~ N(, Q t ˆ( At (.9 9 o Σ E t t t ˆ( Παράδειγμα Σ ˆ( t {( ( ( } E A t wt Aˆ t {( ( o ( o ( o } E A t t ˆ Ew { ( ( o ( o } { } AE{( t ( t ˆ( * wt ( } Σ t ˆ( A o Σ? t ˆ( Q o o o

22 Παράδειγμα Έστω ότι τη χρονική στιγμή t γίνεται μια μέτρηση yt ( H t ( vt ( Όπου v είναι λευκός θόρυβος, με p(v ~ N(, R Ηείναι γνωστός. Για το παράδειγμα, έστω Η, R και y(t Αν υπολογίζαμε το y(t πριν γίνει ημέτρηση θα ήταν yt ( H t ˆ( 9 9 και η νέα εκτίμηση του (t είναι t ˆ( t ˆ( K( yt ( yt ( Ποια τιμή Κ? (-9 5 K Σ H ( H Σ H R ˆ ˆ Παράδειγμα Κ.7647 Αντίστοιχα t ˆ( t ˆ( K( yt ( yt ( ( Σ Σ t ˆ( ˆ( ( KH t

23 Παράδειγμα Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή και διασπορά σ.. R.. Τιμές φίλτρου Παράδειγμα Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή και διασπορά σ.. R Τιμές φίλτρου Το φίλτρο είναι πιο αργό στη σύγκλισή του

24 Παράδειγμα Έστω 5 μετρήσεις μιας τυχαίας μεταβλητής χ με πραγματική τιμή και διασπορά σ.. R. Τιμές φίλτρου Το φίλτρο εμπιστεύεται τις θορυβώδεις μετρήσεις π.χ. Συνδυασμός μετρήσεων GPS Οι GPS δέκτες παρέχουν πολλαπλούς τύπους ανεξάρτητων μετρήσεων (ψευδοαπόστασης, φάσης, Doppler Αυτόνομος εντοπισμός απαιτεί το συνδυασμό τους Μετρήσεις Ψευδοαπόστασης Θέση ( Μετρήσεις Doppler Ταχύτητα (v & Τυπικές ακρίβειες ( m,.5 m/sec Πολλοί GPS δέκτες παρέχουν υψηλής ακρίβειας μετρήσεις φάσης (και συνεπώς Doppler, άρα μπορούν να βελτιώσουν την εκτίμηση της θέσης 4

25 π.χ. Συνδυασμός μετρήσεων GPS χθέση, vταχύτητα, aεπιτάχυνση, jτράνταγμα (jer, ωθόρυβος y meas meas Μετρήσεις v meas y y v meas y Δυναμικό μοντέλο φίλτρου d dv v, a, dt dt da dj j, ω dt dt Nort East Down ˆ vˆ aˆ Συνδυάζεται με μετρήσεις των γυροσκοπίων Παράδειγμα 5

26 Εκτεταμένα φίλτρα Kalman Παράδειγμα από τη χρήση του GPS στις περιπτώσεις Στατικού εντοπισμού Κινηματικού εντοπισμού Τύποι Μετρήσεων GPS Παρατηρήσεις του κώδικα C/A ή P (L C/A, L : P, L : P Συνδυασμός παρατηρήσεων του κώδικα C/A ή P και παρατηρήσεων Doppler (δηλ. μεταβολή της φάσης του φέροντος κύματος ως αποτέλεσμα της σχετικής κίνησης μεταξύ δορυφόρου και δέκτη του χρήστη Οι εν λόγω παρατηρήσεις GPS εμπεριέχουν σφάλματα διαφόρων τύπων και μεγέθους Τύποι Μετρήσεων GPS Μετριασμός των σφαλμάτων Διορθώσεις μέσω του μηνύματος πλοήγησης Μοντέλα της ιονόσφαιρας και τροπόσφαιρας Διαφορικό GPS Ελαχιστοποίηση όλων των σφαλμάτων εκτός από τα πολυκλαδικά σφάλματα και τους θορύβους των σημάτων GPS Σφάλματα τροχιάς και χρονομέτρων Σφάλμα Ιονόσφαιρας στη συχνότητα L Σφάλμα Τροπόσφαιρας Πολυκλαδικά σφάλματα στις μετρήσεις του κώδικα Θόρυβος στις μετρήσεις του κώδικα Πολυκλαδικά σφάλματα στις μετρήσεις της φάσης Θόρυβος στις μετρήσεις της φάσης. m 7 m. m. 5 m.6 m 5 mm. mm 6

27 Γιατί να χρησιμοποιηθεί ένα φίλτρο Kalman? Μη γραμμικό σύστημα Μοντέλο της φυσικής διαδικασίας των μετρήσεων: f ( -, - w - Μοντέλο των μετρήσεων: z (, v Η μη γραμμικότητα εισέρχεται μέσω των μετρήσεων (μη γραμμικές εξισώσεις παρατήρησης Τα πλεονεκτήματα των Φίλτρων Kalman Μπορούν να προβλέψουν τη κατάσταση του δυναμικού συστήματος σε επόμενες χρονικές στιγμές Παρέχουν ένα απλό τρόπο καθορισμού του βάρους όλων των μετρήσεων σύμφωνα με τις στατιστικές ιδιότητες των σφαλμάτων τους Τα υπόλοιπα των μετρήσεων χρησιμεύουν στην ανίχνευση ξαφνικών ανωμαλιών λειτουργίας των δορυφόρων Εκτεταμένο Φίλτρο Kalman Πρόβλεψη εκτίμησης της κατάστασης ˆ f ( ˆ Πρόβλεψη της μέτρησης zˆ ( ˆ Εξισώσεις για το EΦΚ Φ ( w z zˆ H ( v Ανάπτυγμα κατά aylor της f χρησιμοποιώντας την προηγούμενη εκτίμηση Πίνακας Μετάβασης f (, Φ( ˆ, ˆ Ανάπτυγμα κατά aylor της για την αντίστοιχη προβλεπόμενη θέση (, H( ˆ, ˆ ˆ 7

28 ˆ P ( Πρόβλεψη της κατάστασης ˆ f ( ˆ - ( Πρόβλεψη του πίνακα συμμεταβλητότητας P Φ P Φ Q Εκτεταμένο Φίλτρο Kalman ( Υπολογισμός του πίνακα κέρδους K P H [ H P H R ] ( Ανανέωση της εκτίμησης με τη μέτρηση z ˆ ˆ K ( z zˆ ( Ανανέωση του πίνακα συμμεταβλητότητας P ( I K H P Μοντέλο Συστήματος Μοντέλο Δυναμικής Κατάστασης Η δυναμική κατάσταση περιγράφεται από το διάνυσμα θέσης και ταχύτητας του δέκτη GPS, στο σύστημα WGS 84, και το σφάλμα του χρονομέτρου του δέκτη [ X, X&, Y, Y&, Z, Z&, cδ t, cδ& t] t t t t 8

29 9 Μοντέλο Συστήματος Μοντέλο Δυναμικής Κατάστασης Μοντέλο σταθερής ταχύτητας (Constant velocity model ( χρόνος μετρήσεων V w V w w & && } C w Φ & 4 4 v v C C Q σ σ w λευκός θόρυβος Q, σ v Θόρυβος μοντέλου Μοντέλο Συστήματος Μοντέλο Δυναμικής Κατάστασης Μοντέλο χρονομέτρου Q Q Q Q Q w w c cδt t c t c t c & & δ δ δ 8 ( ( ( c Q c Q c Q π π π Τυπικές τιμές για ατομικά χρονόμετρα χαλαζία

30 Μοντέλο Συστήματος Πίνακες Φ & Q Φ Q Q Q Q z z z z y y y y Q σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ σ Για τις μετρήσεις κώδικα όπου, Για τις μετρήσεις Doppler, που εκφράζουν την ταχύτητα κίνηση του δέκτη και για n δορυφόρους it it it v t c R δ ρ ( ( ( θόρυβος μέτρησης it r it r it r it it R X X Y Y Z Z V t c R Z Z Z Z Y Y Y Y X X X X D it it rt it rt it rt it rt it rt it rt it δ& & & & & & & ] ( ( ( ( ( [( ],...,,,..., [ nt t t nt t t t D D D p p p Z Μοντέλο Συστήματος Εξισώσεις παρατήρησης

31 Πίνακας H υπολογίζεται ως i όπου, H.. Αν χρησιμοποιούνται μόνο μετρήσεις κώδικα: r n i y ρi ( X X i X PR y n y z z n z i y H H H H r.. ρi ( Y Yi Y PR Μοντέλο Συστήματος Εξισώσεις παρατήρησης i n i z y y n y z z n z r ρi ( Z Zi Z PR H i [ ] H Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα εντοπισμού από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Μ. Ελαχίστων τετραγώνων EKF, Code & Doppler EKF, Code LSQ 5 Χ error E ror X y error E ror Y z error E ror Z Error in estimated coordinate GPS ime (sec GPS ime (sec GPS ime (sec

32 EKF, Code & Doppler EKF, Code LSQ 5 Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Error in estimated coordinate E error ror X Χ -5 Er or - Y E ror Z - y error z error GPS ime (sec GPS ime (sec GPS ime (sec Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα εντοπισμού από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Μ. Ελαχίστων τετραγώνων (m r ro E M S R RMS EKF (C &D EKF (Code LSQ EKF C & D EKF Code Only LSQ RMS errors in Position Solution Norting, Easting, Up X (m Y (m Z (m

33 Μοντέλο Συστήματος Αποτελέσματα Στατικού Εντοπισμού Σφάλματα ταχύτητας από ΕΦΚ με μετρήσεις κώδικα & Doppler ΕΦΚ με μόνο μετρήσεις κώδικα Μ. Ελαχίστων τετραγώνων m (c r ro M S E R EKF, C & D EKF, Code LSQ RMS errors in Velocity Solution Norting, Easting, Up Την επόμενη φορά Πως τα φίλτρα Kalman σχετίζονται / είναι ισοδύναμα με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, σε ειδικές περιπτώσεις συνόρθωσης των μετρήσεων, π.χ. Σε διαδοχικά βήματα Σε επιμέρους φάσεις (κατά ομάδες μετρήσεων Με την άθροιση κανονικών εξισώσεων

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο;

Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Kalman Filter Γιατί ο όρος φίλτρο; Συνήθως ο όρος φίλτρο υποδηλώνει µια διαδικασία αποµάκρυνσης µη επιθυµητών στοιχείων Απότολατινικόόροfelt : το υλικό για το φιλτράρισµα υγρών Στη εποχή των ραδιολυχνίων:

Διαβάστε περισσότερα

Φίλτρα Kalman. Μερικά πρακτικά προβλήματα της Γεωδαισίας. Το πρακτικό πλαίσιο βέλτιστης εκτίμησης δυναμικών παραμέτρων. Σημερινή ατζέντα του μαθήματος

Φίλτρα Kalman. Μερικά πρακτικά προβλήματα της Γεωδαισίας. Το πρακτικό πλαίσιο βέλτιστης εκτίμησης δυναμικών παραμέτρων. Σημερινή ατζέντα του μαθήματος Φίλτρα Kalman Γενική επισκόπηση Με έμφαση στη σχέση τους με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Σημερινή ατζέντα του μαθήματος

Διαβάστε περισσότερα

Φίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο

Φίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους με βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του

Διαβάστε περισσότερα

E [ -x ^2 z] = E[x z]

E [ -x ^2 z] = E[x z] 1 1.ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτήν την διάλεξη θα πάμε στο φίλτρο με περισσότερες λεπτομέρειες, και θα παράσχουμε μια νέα παραγωγή για το φίλτρο Kalman, αυτή τη φορά βασισμένο στην ιδέα της γραμμικής

Διαβάστε περισσότερα

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman

Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman 1 Μια εισαγωγή στο φίλτρο Kalman Το 1960, R.E. Kalman δημόσιευσε το διάσημο έγγραφό του περιγράφοντας μια επαναλαμβανόμενη λύση στο γραμμικό πρόβλημα φιλτραρίσματος διακριτών δεδομένων. Από εκείνη τη στιγμή,

Διαβάστε περισσότερα

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ

ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

προβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων

προβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους µε βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής

Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων

Διαβάστε περισσότερα

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ]

E[ (x- ) ]= trace[(x-x)(x- ) ] 1 ΦΙΛΤΡΟ KALMAN ΔΙΑΚΡΙΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Σε αυτό το μέρος της πτυχιακής θα ασχοληθούμε λεπτομερώς με το φίλτρο kalman και θα δούμε μια καινούρια έκδοση του φίλτρου πάνω στην εφαρμογή της γραμμικής εκτίμησης διακριτού

Διαβάστε περισσότερα

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων

Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής

Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων

Διαβάστε περισσότερα

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο

Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation

Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το βασικό µοντέλο LSC Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation

Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Το βασικό µοντέλο LSC Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ

ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΕΛΕΓΧΟΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Ενότητα: Αναγνώριση Διεργασίας - Προσαρμοστικός Έλεγχος (Process Identification) Αλαφοδήμος Κωνσταντίνος

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation

Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη ΜΕΤ Με διαστάσεις -

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 2: Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες

Διαβάστε περισσότερα

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter):

, και. είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (Time Invariant Kalman Filter): 1 ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο

Διαβάστε περισσότερα

Stochastic Signals Class Estimation Theory. Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory

Stochastic Signals Class Estimation Theory. Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory Stochastic Signals Class Estimation Theory Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory 1 Τι ειναι «Εκτιμηση» (Estimation)? Γενικο Πλαισιο: Θεωρια και Πραξη Συμπερασματων

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΛΥΣΕΙΣ AΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΛΥΣΕΙΣ ΣΚΗΣΕΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Άσκηση (α) Οι συνορθωμένες συντεταγμένες του σημείου P είναι: ˆ 358.47 m, ˆ 4.46 m (β) Η a-psteriri εκτίμηση της μεταβλητότητας

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ Δορυφορική Γεωδαισία Σύγχρονα Συστήματα και Εφαρμογές Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών, Τμήμα Τοπογραφίας ΤΕΙ Αθήνας, 26 Μαΐου 2010 ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΟΣ ΕΝΤΟΠΙΣΜΟΣ GNSS/INS: ΑΠΟ ΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ ΣΤΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων

Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 11: Στοχαστικός βέλτιστος έλεγχος γραμμικών συστημάτων με χρήση τετραγωνικών κριτηρίων (LQG Problem) Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων FIR φίλτρα: Ορίζουµε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ

ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός λύσης θέματος 3

Οδηγός λύσης θέματος 3 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Οδηγός λύσης θέματος 3 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ ανά 5 λεπτά ανά 1 λεπτό

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Βέλτιστος Δέκτης Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστος Δέκτης Σύνδεση με τα Προηγούμενα Επειδή το πραγματικό κανάλι είναι αναλογικό, κατά τη διαβίβαση ψηφιακής πληροφορίας, αντιστοιχίζουμε τα σύμβολα σε αναλογικές κυματομορφές

Διαβάστε περισσότερα

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares)

Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares) ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων RLS Rcrsiv Last Sqars 27 iclas sapatslis

Διαβάστε περισσότερα

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη

Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και

Διαβάστε περισσότερα

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων

HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) Εμπειρική συνάρτηση μεταφοράς Ομαλοποίηση (smoothing) Y ( ) ( ) ω G ω = U ( ω) ω +Δ ω γ ω Δω = ω +Δω W ( ξ ω ) U ( ξ) G(

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Identifications)

ΕΛΕΓΧΟΣ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Identifications) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ ΔΙΕΡΓΑΣΙΑΣ ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ (Process Idetificatios) Στο κεφάλαιο αυτό γίνεται παρουσίαση μεθοδολογίας για την ανεύρεση ενός αξιόπιστου μοντέλου πριν ή κατά την λειτουργία της

Διαβάστε περισσότερα

Βιομηχανικοί Ελεγκτές

Βιομηχανικοί Ελεγκτές ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τ.Τ Βιομηχανικοί Ελεγκτές Ενότητα #10: Μοντέρνες Μέθοδοι Αναλογικού Ελέγχου Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Τμήματος Μηχανικών Αυτοματισμού Τ.Ε. Άδειες Χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman

EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalman EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Φίλτρο Kalma Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Ακολουθιακή Επεξεργασία Τα δείγµατα

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 11 Πάτρα 2008 Προσαρμοστικός LQ έλεγχος για μη ελαχίστης

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών. Συμπληρωματικό υλικό. Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού

Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών. Συμπληρωματικό υλικό. Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού Κινητά Δίκτυα Επικοινωνιών Συμπληρωματικό υλικό Προσαρμοστική Ισοστάθμιση Καναλιού Προσαρμοστικοί Ισοσταθμιστές Για να υπολογίσουμε τους συντελεστές του ισοσταθμιστή MMSE, απαιτείται να λύσουμε ένα γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών

Χρονοσειρές, Μέρος Β 1 Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Χρονοσειρές, Μέρος Β Πρόβλεψη Χρονικών Σειρών Ο βασικός σκοπός της μελέτης των μοντέλων για χρονικές σειρές (όπως AR, MA, ARMA, ARIMA, SARIMA) είναι η πρόβλεψη (predicio, forecasig) Η πρόβλεψη των μελλοντικών

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1

Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1 Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό

Διαβάστε περισσότερα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα

Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος , 8ο Εξάμηνο. Ρομποτική II. Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχ/κών και Μηχ/κών Υπολογιστών, Ε.Μ.Π., Ακαδημαϊκό Έτος 009-0, 8ο Εξάμηνο Ρομποτική II Ευφυή και Επιδέξια Ρομποτικά Συστήματα Κων/νος Τζαφέστας Τομέας Σημάτων, Ελέγχου & Ρομποτικής

Διαβάστε περισσότερα

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης

6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης 6. Στατιστικές μέθοδοι εκπαίδευσης Μία διαφορετική μέθοδος εκπαίδευσης των νευρωνικών δικτύων χρησιμοποιεί ιδέες από την Στατιστική Φυσική για να φέρει τελικά το ίδιο αποτέλεσμα όπως οι άλλες μέθοδοι,

Διαβάστε περισσότερα

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500

Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 1: Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Εισαγωγή στα Σήματα 1. Σκοποί της Θεωρίας Σημάτων 2. Κατηγορίες Σημάτων 3. Χαρακτηριστικές Παράμετροι

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων. Διάλεξη 2 HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Θεωρία πιθανοτήτων Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (αντίθετα με τις ντετερμινιστικές μεταβλητές)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ 1) Ποιός είναι ο βασικός ρόλος και η χρησιμότητα των δικτύων στη Γεωδαισία και την Τοπογραφία; 2) Αναφέρετε ορισμένες

Διαβάστε περισσότερα

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης

Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Η Βασική Δομή Συστημάτων Ελέγχου Κίνησης Σύστημα ονομάζουμε ένα σύνολο στοιχείων κατάλληλα συνδεδεμένων μεταξύ τους για να επιτελέσουν κάποιο έργο Είσοδο ονομάζουμε τη διέγερση, εντολή ή αιτία η οποία

Διαβάστε περισσότερα

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Οι τύποι της εκτίμησης, οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1, προσδιορίζονται από τη σχέση των χρονικών στιγμών και k :

Οι τύποι της εκτίμησης, οι οποίοι παρουσιάζονται στον Πίνακα 1.1, προσδιορίζονται από τη σχέση των χρονικών στιγμών και k : ΦΙΛΤΡΑ KALMAN ΚΑΙ ΛΑΪΝΙΩΤΗ 11 1. ΘΕΩΡΙΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ 1.1. ΤΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΚΤΙΜΗΣΗΣ Η θεωρία εκτίμησης (estimation theory) έχει ως αντικείμενο τον υπολογισμό της βέλτιστης εκτίμησης μίας κατάστασης

Διαβάστε περισσότερα

Το Πολυεπίπεδο Perceptron. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων

Το Πολυεπίπεδο Perceptron. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Ιωαννίνων Το Πολυ Perceptron Δίκτυα Πρόσθιας Τροφοδότησης (feedforward) Tο αντίστοιχο γράφημα του δικτύου δεν περιλαμβάνει κύκλους: δεν υπάρχει δηλαδή ανατροφοδότηση της εξόδου ενός νευρώνα προς τους νευρώνες από

Διαβάστε περισσότερα

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2

ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2 013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 16-17 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 5: Προσαρμοστική Επεξεργασία Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Η/Υ και Πληροφορικής Σκοποί ενότητας Παρουσίαση των βασικών εννοιών

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 5

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 5 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 5 Πάτρα 2008 Χρονικά μεταβαλλόμενες παράμετροι Στο πρόβλημα

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος

Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 9

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 9 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 9 Πάτρα 2008 Ρύθμιση ελαχίστης διασποράς Η στρατηγική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ 5 ο εξάμηνο Επιλέξτε μία σωστή απάντηση σε κάθε ένα από τα παρακάτω ερωτήματα. 1) Η χρήση απόλυτων δεσμεύσεων για τη συνόρθωση ενός τοπογραφικού

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός λύσης θέματος 2

Οδηγός λύσης θέματος 2 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Οδηγός λύσης θέματος 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε να κάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 9 : Κανάλι-Σύστημα Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Χωρητικότητα Χ ό καναλιού Το Gaussian κανάλι επικοινωνίας Τα διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Αναπληρωτής Καθηγητής Πανεπιστήμιο Δυτικής Αττικής 3ο εξάμηνο http://eclass.uniwa.gr

Διαβάστε περισσότερα

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση

Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες. Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Ψηφιακές Τηλεπικοινωνίες Πιθανότητα Σφάλματος για Δυαδική Διαμόρφωση Σύνδεση με τα Προηγούμενα Σχεδιάστηκε ο βέλτιστος δέκτης για κανάλι AWGN Επειδή πάντοτε υπάρχει ο θόρυβος, ακόμη κι ο βέλτιστος δέκτης

Διαβάστε περισσότερα

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης

Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Συνόρθωση κατά στάδια και αναδρομικοί αλγόριθμοι βέλτιστης εκτίμησης Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34

Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπισ τήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου /34 Εφαρμοσμένη Στατιστική Δημήτριος Μπάγκαβος Τμήμα Μαθηματικών και Εφαρμοσμένων Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Κρήτης 14 Μαρτίου 018 1/34 Διαστήματα Εμπιστοσύνης. Εχουμε δει εκτενώς μέχρι τώρα τρόπους εκτίμησης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών

HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 12: Δειγματοληψία και ανακατασκευή (IV) Παρεμβολή (Interpolation) Γενικά υπάρχουν πολλοί τρόποι παρεμβολής, π.χ. κυβική παρεμβολή (cubic spline

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ)

Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 18-19 Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύων (μέρος ΙΙ) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Εκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης. "Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα" (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν.

Εκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης. Τεχνητά Νευρωνικά Δίκτυα (Διαφάνειες), Α. Λύκας, Παν. Εκπαίδευση ΤΝΔ με ελαχιστοποίηση του τετραγωνικού σφάλματος εκπαίδευσης Ελαχιστοποίηση συνάρτησης σφάλματος Εκπαίδευση ΤΝΔ: μπορεί να διατυπωθεί ως πρόβλημα ελαχιστοποίησης μιας συνάρτησης σφάλματος E(w)

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

Οδηγός λύσης για το θέμα 2

Οδηγός λύσης για το θέμα 2 Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 218-219 Οδηγός λύσης για το θέμα 2 Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Τι προσπαθούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 007-008 ιδάσκων: Ν. Παπανδρέου (Π.. 407/80) Πανεπιστήµιο Πατρών Τµήµα Μηχανικών Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και Πληροφορικής 1η Εργαστηριακή Άσκηση Αναγνώριση

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση

Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης

Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα. Διγαλάκης Βασίλης Πιθανότητες & Τυχαία Σήματα Διγαλάκης Βασίλης Τυχαία Σήματα Γενίκευση τυχαίων διανυσμάτων Άπειρο σύνολο πιθανά αριθμήσιμο από τυχαίες μεταβλητές Παραδείγματα τυχαίων σημάτων: Τηλεπικοινωνίες: Σήμα πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική

Εφαρμοσμένη Στατιστική: Συντελεστής συσχέτισης. Παλινδρόμηση απλή γραμμική, πολλαπλή γραμμική ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ B Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mal: dkugu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://uer.auth.gr/~dkugu/teach/cvltraport/dex.html Εφαρμοσμένη Στατιστική:

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή)

Στατιστική, Άσκηση 2. (Κανονική κατανομή) Στατιστική, Άσκηση 2 (Κανονική κατανομή) Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέσες παροχές όπως προέκυψαν από μετρήσεις πεδίου σε μια διατομή ενός ποταμού. Ζητείται: 1. Να αποδειχθεί ότι το δείγμα προσαρμόζεται

Διαβάστε περισσότερα

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές

Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Στοχαστικά Σήματα και Τηλεπικοινωνιές Ενότητα 7: Βέλτιστο Φίλτρο Wiener και Γραμμικά Περιορισμένο Φίλτρο Ελάχιστης Διασποράς Εφαρμογή στις Έξυπνες Κεραίες Καθηγητής Κώστας Μπερμπερίδης Πολυτεχνική Σχολή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ ΜΕ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 6. Εισαγωγή 6. Μονομεταβλητές προβλέψεις Βέλτιστη πρόβλεψη και Θεώρημα βέλτιστης πρόβλεψης Διαστήματα εμπιστοσύνης 6.3 Εφαρμογές A. MILIONIS KEF. 6 08 BEA

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ

ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Εφαρμογές Παγκοσμίου

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 4

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 4 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 4 Πάτρα 2008 Ντετερμινιστικά Moving Average Μοντέλα Ισχύει:

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών

Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Θεωρία Στοχαστικών Σηµάτων: Στοχαστικές διεργασίες, Περιγραφή εργοδικών στοχαστικών διεργασιών Βιβλιογραφία Ενότητας Benvento []: Κεφάλαιo Widrow [985]:

Διαβάστε περισσότερα

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017

Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017 Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης

Διαβάστε περισσότερα

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων

HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων HMY 795: Αναγνώριση Προτύπων Διάλεξη 2 Επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Τυχαίες μεταβλητές: Βασικές έννοιες Τυχαία μεταβλητή: Μεταβλητή της οποίας δε γνωρίζουμε με βεβαιότητα την τιμή (σε αντίθεση με τις

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.outras@e.aegea.gr Τηλ: 7035468 Μέθοδος Υπολογισμού

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ Κατανομή Δειγματοληψίας του Δειγματικού Μέσου Ο Δειγματικός Μέσος X είναι μια Τυχαία Μεταβλητή. Καθώς η επιλογή και χρήση διαφορετικών δειγμάτων από έναν

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 2

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 2 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 2 Πάτρα 2008 Εμπειρικός προσδιορισμός συνάρτησης μεταφοράς

Διαβάστε περισσότερα

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης

Ακαδηµαϊκό Έτος , Εαρινό Εξάµηνο ιδάσκων Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ, ΤΜΗΜΑ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΒΕΣ 6: ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΤΙΣ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ Ακαδηµαϊκό Έτος 26 27, Εαρινό Εξάµηνο Καθ.: Νίκος Τσαπατσούλης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Το

Διαβάστε περισσότερα

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για

2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για 2. ΕΠΙΛΟΓΗ ΜΟΝΤΕΛΟΥ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΟΥ ΑΠΟΚΛΕΙΣΜΟΥ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Backward Elimination Procedure) Στην στατιστική βιβλιογραφία υπάρχουν πολλές μέθοδοι για τον καθορισμό του καλύτερου υποσυνόλου από ένα σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv

Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Statisticum collegium iv Σ ΤΑΤ Ι Σ Τ Ι Κ Η i Statisticum collegium iv Στατιστική Συμπερασματολογία Ι Σημειακές Εκτιμήσεις Διαστήματα Εμπιστοσύνης Στατιστική Συμπερασματολογία (Statistical Inference) Το πεδίο της Στατιστικής Συμπερασματολογία,

Διαβάστε περισσότερα

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων

Χρήστος Ξενάκης. Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων ΘΕΩΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΣ Κεφάλαιο 10 : Κωδικοποίηση καναλιού Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιώς, Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Περιεχόμενα Ομιλίας Απόσταση και βάρος Hamming Τεχνικές και κώδικες ανίχνευσης &

Διαβάστε περισσότερα

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:

Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι: Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του

Διαβάστε περισσότερα

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί

Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 11: Ανάλυση αξιοπιστίας δικτύου Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές

Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διδάσκων: Αντώνιος Τζές Πάτρα 2008 Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ)

ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ Η ΣΥΝΟΡΘΩΣΗ ΤΩΝ ΟΡΙΖΟΝΤΙΩΝ ΔΙΚΤΥΩΝ (ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΤΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ) Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης

Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης

Διαβάστε περισσότερα

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος

Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος ΜΑΘΗΜΑ 10 ο Συνολοκλήρωση και μηχανισμός διόρθωσης σφάλματος Η μέθοδος της συνολοκλήρωσης είναι ένας τρόπος με τον οποίο μπορούμε να εκτιμήσουμε τη μακροχρόνια σχέση ισορροπίας που υπάρχει μεταξύ δύο ή

Διαβάστε περισσότερα

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής

Σήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή

Διαβάστε περισσότερα

Το μοντέλο Perceptron

Το μοντέλο Perceptron Το μοντέλο Perceptron Αποτελείται από έναν μόνο νευρώνα McCulloch-Pitts w j x x 1, x2,..., w x T 1 1 x 2 w 2 Σ u x n f(u) Άνυσμα Εισόδου s i x j x n w n -θ w w 1, w2,..., w n T Άνυσμα Βαρών 1 Το μοντέλο

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ONLINE ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ GPS

ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ONLINE ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ GPS ΣΥΓΚΡΙΤΙΚΗ ΜΕΛΕΤΗ ONLINE ΥΠΗΡΕΣΙΩΝ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ GPS ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΕΠΙΒΛΕΠΩΝ: Δ. ΔΕΛΗΚΑΡΑΟΓΛΟΥ ΕΠΙΚΟΥΡΟΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΑΘΗΝΑ, ΙΟΥΛΙΟΣ 2008 ΔΗΜΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΑ ΣΤΟ GPS 4 ομάδες σφαλμάτων

Διαβάστε περισσότερα