ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ"

Transcript

1 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ. Μ. Παλαιστή. Επεξεργάστηκαν και συµπληρώθηκαν σε αυτή τη µορϕή από την διδάσκουσα. 1. R-modules της Noether Σε προηγούµενη ενότητα ορίσαµε τους δακτυλίους της Noether. Σε αυτήν την ενότητα γενικεύουµε αυτήν την έννοια σε modules. Εστω M ένα R-module. Μία ακολουθία (M i ) από R-υποmodules του M είναι αύξουσα αλυσίδα αν i N ισχύει ότι M i M i+1. Σχηµατικά : M 0 M 1 M 2 Η αύξουσα αλυσίδα γίνεται στατική αν υπάρχει N N έτσι ώστε M N = M N+k, k N. Αν κάθε αύξουσα αλυσίδα από R-υποmodules του M είναι στατική τότε λέµε ότι M ικανοποιεί την αύξουσα συνθήκη αλυσιδών. Ορισµός 1. Το R-module M λέγεται R-module της Noether αν ικανοποιεί την αύξουσα συνθήκη αλυσίδων. Οπως και για τους δακτυλίους της Noether προκύπτει η παρακάτω πρόταση και η απόδειξή της επαϕίεται ως άσκηση. Πρόταση 1. Τα παρακάτω είναι ισοδύναµα : Το R-module M είναι R-module της Noether κάθε R-υποmodule του Μ είναι πεπερασµένα παραγόµενο κάθε µη κενό σύνολο από υποmodules του Μ έχει µέγιστο στοιχείο ως προς τη σχέση εγκλεισµού. Εστω R ένας δακτύλιος της Noether. Είδαµε ότι αν A είναι δακτύλιος και A R τότε A δεν είναι αναγκαστικά δακτύλιος της Noether ενώ αν B R/I όπου I ιδεώδες του R τότε B είναι δακτύλιος της Noether. Αυτά γενικεύονται στο παρακάτω ϑεώρηµα : f g Θεώρηµα 1. Εστω ότι 0 M 1 M 2 M3 0 είναι ϐραχεία ακριβής ακολουθία από R-modules. Τότε M 2 είναι R-module της Noether αν και µόνο αν M 1, M 3 είναι R-modules της Noether. Απόδειξη. Εστω ότι M 2 είναι R-module της Noether. Αν N είναι R-υποmodule του M 1 τότε f (N) είναι R-υποmodule του M 2 και άρα f (N) = f (n 1 ),..., f (n t ) = Rf (n 1 ) + + Rf (n t ). Είναι εύκολο να αποδείξει κανείς ότι N = Rn Rn t, (να κάνετε την απόδειξη, που χρησιµοποιείται ότι f είναι µονοµορϕισµός ;) Αντίστοιχα έστω N ένα R-υποmodule του M 3. Αϕού M 3 M 2 / Ker g έπεται ότι N A/ Ker g όπου A 1

2 2 Χ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ R-υποmodule του M 2 που περιέχει τον πυρήνα Ker g. Εστω ότι A = Rm 1 + Rm n. Τότε είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι N = Rg(m 1 ) + + Rg(m n ). Για την αντίστροϕη κατεύθυνση, έστω ότι M είναι R-υποmodule του M 2. Αϕού g(m) M 3 είναι πεπερασµένα παραγόµενο, υπάρχουν m 1,..., m n M έτσι ώστε g(m) = Rg(m 1 ) + + Rg(m n ). Παρατηρούµε επίσης ότι f 1 (M) = {n M 1 : f (n) M} είναι R-υποmodule του M 1 και είναι πεπερασµένα παραγόµενο, άρα f 1 (M) = Rn 1 + +Rn t. Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι M = Rf (n 1 )+ +Rf (n t )+Rm 1 + +Rm n, (να γίνει η απόδειξη, που χρησιµοποιείται η ακρίβεια της ακολουθίας ;) Εστω R δακτύλιος της Noether. Εχουµε τη παρακάτω ϐραχεία ακριβή ακολουθία 0 R i R 2 π R 0 όπου i : R R 2, r (r, 0) και π : R 2 R, (r, s) s. Σύµϕωνα µε το παραπάνω ϑεώρηµα προκύπτει ότι το ελεύθερο R-module R 2 είναι module της Noether. Γενικότερα, από την ϐραχεία ακριβή ακολουθία 0 R n 1 i R n π R 0 και µε επαγωγή στο n προκύπτει εύκολα το παρακάτω πόρισµα : Πόρισµα 1. Εστω R δακτύλιος της Noether. Τότε R n είναι module της Noether για κάθε n N. Πόρισµα 2. Εστω ότι R είναι δακτύλιος της Noether και M πεπερασµένα παραγόµενο R module. Τότε M είναι R-module της Noether. Απόδειξη. Εστω M = m 1,..., m t. Τότε g : R t M, (r 1,..., r t ) (r 1 m 1,..., r t m t ) είναι επιµορϕισµός R-modules και έχουµε τη ϐραχεία ακριβή ακολουθία 0 Ker g R t M 0. Σύµϕωνα µε Θεώρηµα 1 και το Πόρισµα 1 προκύπτει ότι M είναι R- module της Noether. Παρατήρηση 1. Σύµϕωνα µε το Θεώρηµα Βάσης του Hilbert αν R είναι δακτύλιος της Noether, τότε R[x] είναι δακτύλιος της Noether. Παρατηρούµε ότι R[x] είναι R[x]-module της Noether όχι όµως και ως R module, αϕού το R-module R[x] δεν είναι πεπερασµένα παραγόµενο. Οταν R A είναι εγκλεισµός δύο δακτυλίων και A είναι πεπερασµένα παραγόµενο R-module τότε κάτι πολύ ιδιαίτερο ισχύει όπως προκύπτει από τη παρακάτω πρόταση. Θεώρηµα 2. Εστω ότι R A και ότι A είναι πεπερασµένα παραγόµενο R module. Αν s A τότε υπάρχουν n N, r i R, i = 0,..., n 1 έτσι ώστε s n + r n 1 s n 1 + +r 0 = 0. Απόδειξη. Εστω m 1,..., m t A έτσι ώστε A = m 1,..., m t = Rm Rm t. Αϕού s A, A δακτύλιος, έπεται ότι sm i A, i = 1,..., t. Άρα sm i = a i1 m a it m t, a ij R, για i = 1,..., t και προκύπτει το σύστηµα (s a 11 )m 1 a 12 m 2... a 1t m t = 0 a 21 m 1 (s a 22 )m 2... a 2t m t = 0. a t1 m 1 a t2 m (s a tt )m t = 0 Οπως και στην απόδειξη του Λήµµατος του Nakayama προκύπτει ότι αν B είναι ο προσαρτηµένος πίνακα των συντελεστών του παραπάνω συστήµατος τότε det B A = 0 (s t + r n 1 s t r 0 ) A = 0 όπου r n1,..., r 0 R. Αϕού 1 A προκύπτει ότι (s t + r n 1 s t r 0 ) 1 = 0 s t + r n 1 s t r 0 = 0.

3 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 3 Αν R A και s A είναι ϱίζα ενός µονικού πολυωνύµου f (x) = x n + r n 1 x n r 0 R[x] τότε λέµε ότι s είναι ακέραιο πάνω από το R. Οταν λοιπόν το A είναι πεπερασµένα παραγόµενο R module τότε σύµϕωνα µε το προηγούµενο ϑεώρηµα, κάθε στοιχείο του A είναι ακέραιο πάνω από το R. 2. Πρωταρχικη αναλυση ιδεωδων σε δακτυλιους της Noether Παρακάτω ϑα ορίσουµε ανάγωγα και πρωταρχικά ιδεώδη. Πρώτα για να διευκολύνουµε την σύγκριση εννοιών ϑυµίζουµε ότι αν I Spec R και A, B ιδεώδη του R µε AB I και A I τότε B I. Ισοδύναµα, αν I Spec R και fg I µε f I, τότε g I. Προκύπτει εύκολα ότι αν A, B, P Spec R και A B = P τότε A = P ή B = P. Είδαµε επίσης ότι ισχύει το Θεώρηµα Αποϕυγής Πρώτων Ιδεωδών : αν I ιδεώδες του R, P 1,..., P n Spec R και I P 1... P n, τότε I P j για κάποιο j = 1,..., n. Τέλος rad I = I = {f : n N, f n I}. Αν I Spec R τότε rad I = I. Ορισµός 2. Το γνήσιο ιδεώδες I του R λέγεται ανάγωγο αν I = I 1 I 2, όπου I 1, I 2 ιδεώδη του R και I I 1 τότε I = I 2. Το γνήσιο ιδεώδες I του R λέγεται πρωταρχικό αν fg I και f I, τότε υπάρχει n N, έτσι ώστε g n I. Παρατήρηση 2. Το γνήσιο ιδεώδες I του R είναι ανάγωγο αν και µόνο αν το µηδενικό ιδεώδες του R/I είναι ανάγωγο. Πράγµατι I 1 I 2 = I I 1 /I I 2 /I = I = (0), ενώ I i = I I i /I = I. Πρόταση 2. Το γνήσιο ιδεώδες I του R είναι πρωταρχικό αν και µόνο αν οι διαιρέτες του µηδενός στον δακτύλιο R/I είναι µηδενοδύναµοι. Απόδειξη. Εστω (f + I)(g + I) = I, µε f + I, g + I I, δηλαδή f, g I. Εχουµε fg + I = I fg I. Αϕού το Ι είναι πρωταρχικό και f I, τότε n : g n I, δηλαδή g n + I = (g + I) n = I και g + I είναι µηδενοδύναµο. Θυµίζουµε ότι τα µηδενοδύναµα στοιχεία ενός δακτυλίου ανήκουν σε κάθε πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου, ενώ το σύνολο των διαιρετών του µηδενός ενός δακτυλίου ισούται µε την ένωση όλων των πρώτων ιδεωδών του δακτυλίου. Παραδείγµατα 1. (1) Είναι εύκολο να δει κανείς ότι I Spec R I ανάγωγο. Επίσης είναι άµεσο ότι I Spec R I πρωταρχικό. (2) Εστω k σώµα και I = x 2 k[x]. Αν I = f 1 (x) f 2 (x) τότε είναι εύκολο να δει κανείς ότι f 1 (x) ή f 2 (x) είναι πολλαπλάσια του x 2. Άρα I είναι πρωταρχικό. Είναι επίσης πολύ εύκολο να δει κανείς ότι I είναι πρωταρχικό. Τέλος rad I = x. (3) Εστω τώρα I = x 2 στον k[x, y]. Είναι πάλι εύκολο να δει κανείς ότι I είναι πρωταρχικό και ότι rad I = x. Να αποδείξετε ότι I είναι και ανάγωγο. (4) Εστω I = x 2, xy k[x, y]. Τότε I = x x 2, y και I δεν είναι ανάγωγο. Παρατηρούµε ότι rad I = x. Επίσης I δεν είναι πρωταρχικό αϕού xy I, x I αλλά y n I για n N. (5) Εστω I = x 2, y k[x, y]. Τότε rad I = x, y. Παρατηρούµε ότι k[x, y]/i = k[x]/ x 2 και ότι οι διαιρέτες του µηδενός στον R/I είναι µηδενοδύναµοι. Επεται ότι I είναι πρωταρχικό.

4 4 Χ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ (6) Το ιδεώδες I = x 2, y x, y 2 δεν είναι ανάγωγο. Η τοµή δύο µονωνυµικών ιδεωδών παράγεται από τα ελάχιστα κοινά πολλαπλάσια (ΕΚΠ) των µονωνύµων που παράγουν τα ιδεώδη. Στη περίπτωση αυτή παρατηρούµε ότι ΕΚΠ(x 2, x) = x 2, ΕΚΠ(x 2, y 2 ) = x 2 y 2, ΕΚΠ(x, y) = xy και ΕΚΠ(y, y 2 ) = y 2. Άρα I = x 2, xy, y 2. Ακόµη I = x, y = m maxspec R. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι I είναι πρωταρχικό. Πράγµατι, οι διαιρέτες του µηδενός στον R/I είναι µηδενοδύναµοι αϕού ανήκουν αναγκαστικά στο m/i, το µοναδικό πρώτο ιδεώδες του R/I και (m/i) 2 = m 2 + I/I = I. Παρατηρήσεις 1. (1) Η τοµή δύο ανάγωγων ιδεωδών δεν είναι ανάγωγο ιδεώδες εκτός αν τα δύο ιδεώδη είναι ίσα. (2) Είναι εύκολο να δείξει κανείς ότι I 1 I 2 = I 1 I 2. (3) Εστω ότι I είναι πρωταχικό ιδεώδες του R. Τότε I Spec R. Πράγµατι, έστω fg I και f I. Τότε f n I, n N. Αϕού για κάποιο k N, (fg) k = f k g k I και I είναι πρωταρχικό έπεται ότι (g k ) l I, για κάποιο l N και συνεπώς g I. Από εδώ και στο εξής, ϑα γράϕουµε ότι I είναι P-πρωταρχικό, για να δηλώσουµε ότι I είναι πρωταρχικό και ότι P = rad I Spec R. (4) Αν I Spec R τότε I δεν είναι κατανάγκη πρωταρχικό, όπως στη περίπτωση του x 2, xy. Ασκήσεις 1. (1) Να δείξετε ότι αν I maxspec R τότε I είναι πρωταρχικό ιδεώδες. (2) Να δείξετε ότι αν Q είναι P-πρωταρχικό τότε υπάρχει n N έτσι ώστε P n Q P. Θεώρηµα 3. Αν R είναι δακτύλιος της Noether, τότε κάθε ανάγωγο ιδεώδες του R είναι πρωταρχικό. Απόδειξη. Εστω I ανάγωγο ιδεώδες του R. Εποµένως στον R/I το µηδενικό ιδεώδες είναι ανάγωγο. Παρατηρούµε ότι R/I είναι η επιµορϕική εικόνα ενός δακτυλίου της Noether και είναι δακτύλιος της Noether. Αρκεί λοιπον να δείξουµε ότι κάθε διαιρέτης του µηδενός στον R/I είναι και µηδενοδύναµος. Εστω S = R/I. Θα δείξουµε ότι αν fg = 0 στον S, όπου f 0, τότε g n = 0, για κάποιο n N. Ο µηδενιστής του g στον S είναι το σύνολο ann(g) = {r S : rg = 0} και είναι ιδεώδες του S. Παρατηρούµε ότι ann(g) (0), αϕού f ann(g) και ότι ann(g i ) ann(g i+1 ), i N. αϕού sg i = 0 sg i+1 = 0. Ετσι έχουµε µία αύξουσα ακολουθία (0) ann(g) ann(g 2 ).... Αϕού S είναι δακτύλιος της Noether N N : ann(g N ) = ann(g N+k ), k N. Στη συνέχεια ϑα δείξουµε ότι (f ) (g N ) = (0). Εστω q (f ) (g N ). Αϕού q (f ) q = q 1 f qg = q 1 fg = q 1 0 = 0. Ακόµη, q (g N ) q = q 2 g N 0 = qg = q 2 g N+1 q 2 ann(g N+1 ) = ann(g N ) και συνεπώς q = q 2 g N = 0. Άρα, πράγµατι (f ) (g N ) = (0). Οµως (f ) (0) και το (0) είναι ανάγωγο ιδεώδες στον S, άρα (g N ) = (0), δηλαδή g N = 0. Θεώρηµα 4. Εστω R δακτύλιος της Noether. Κάθε γνήσιο ιδεώδες του R γράϕεται ως πεπερασµένη τοµή αναγώγων ιδεωδών. Απόδειξη. Εστω Σ το σύνολο ιδεωδών που δε γράϕονται κατά αυτόν τον τρόπο, (δηλαδή ως πεπερασµένη τοµή αναγώγων ιδεωδών), και έστω ότι Σ. Αϕού R είναι δακτύλιος της Noether, Σ έχει µέγιστο στοιχείο, έστω I. Το I δεν είναι ανάγωγο, άρα I = I 1 I 2, I I 1, I 2. Άρα I 1, I 2 Σ και εποµένως I 1 = Q 1 Q r και I 2 = P 1 P t, όπου

5 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ 5 Q 1,..., Q r, P 1,..., P t ανάγωγα. Εποµένως I = Q 1 Q r P 1 P t Σ, άτοπο. Θεώρηµα 5. Εστω R δακτύλιος της Noether. Κάθε γνήσιο ιδεώδες του R γράϕεται ως πεπερασµένη τοµή πρωταρχικών ιδεωδών. Πρόταση 3. Εστω ότι I 1, I 2 είναι P-πρωταρχικά. Τότε I 1 I 2 είναι P-πρωταρχικό. Απόδειξη. Θυµίζουµε ότι P = I 1 = I 2. Εχουµε ήδη δει ότι I 1 I 2 = I 1 I 2. Αρκεί λοιπόν να δείξουµε ότι I 1 I 2 είναι πρωταρχικό. Εστω ότι fg I 1 I 2 και f I 1 I 2. Αν f I 1 n : g n I 1 g P, άρα m : g m I 2 και g max{n,m} I 1 I 2. Οµοίως αν f I 2. Ορισµός 3. Εστω ότι I = Q 1 Q 2 Q s, όπου για i, j = 1,..., s, Q i είναι P i - πρωταρχικό, P i P j αν i j και j i Q j I. Τότε λέµε ότι έχουµε µία ελάχιστη ανάγωγη πρωταρχική ανάλυση του I και τα P i λέγονται προσαρτηµένα πρώτα ιδεώδη του I. Το σύνολο όλων των προσαρτηµένων πρώτων ιδεωδών του I συµβολίζεται µε Ass(R/I). Θεώρηµα 6. Εστω R δακτύλιος της Noether. ελάχιστη ανάγωγη επίλυση. Κάθε γνήσιο ιδεώδες του R έχει µία Θα δείξουµε ότι Ass(R/I) είναι πεπερασµένο σύνολο και ότι αν P Ass(R/I) τότε σε κάθε ελάχιστη ανάγωγη πρωταρχική ανάλυση του I υπάρχει ένα πρωταρχικό ιδεώδες µε ϱιζικό P. Θα δείξουµε επίσης ότι ένα πρώτο ιδεώδες P είναι προσαρτηµένο στο I αν και µόνο αν P = (I : f ) για κάποιο f R. Θυµίζουµε ότι µε (I : f ) συµβολίζουµε το ιδεώδες {r R : rf I}. Θα χρειαστούµε τα παρακάτω λήµµατα. Είναι εύκολο να δει κανείς ότι Λήµµα 1. ((I 1 I 2 ) : f ) = (I 1 : f ) (I 2 : f ). Λήµµα 2. Εστω ότι Q είναι P-πρωταρχικό. Αν f Q, τότε (Q : f ) είναι P-πρωταρχικό. Απόδειξη. Πρώτα ϑα δείξουµε ότι Q : f = P. Αν g Q : f g m (Q : f ) fg m Q. Αϕού f Q και Q είναι P-πρωταρχικό, έπεται ότι g P. Άρα Q : f P. Οµως Q (Q : f ) P και παίρνοντας ϱιζικά έπεται ότι P = Q Q : f P = P Q : f = P. Τώρα ϑα δείξουµε ότι (Q : f ) είναι πρωταρχικό. Εστω g 1, g 2 (Q : f ), µε g 1 (Q : f ). Εποµένως g 1 f Q. Αϕού g 1 g 2 f = (g 1 f )g 2 Q έπεται ότι g 2m Q (Q : f ), άρα (Q : f ) είναι πρωταρχικό. Θεώρηµα 7. Εστω I γνήσιο ιδεώδες του R. Τότε Ass(R/I) = { I : f : f R} Spec R. Απόδειξη. Θα δείξουµε πρώτα ότι Ass(R/I) είναι υποσύνολο του { I : f : f R}. Εστω P Ass(R/I). Υπάρχει λοιπόν µία ελάχιστη ανάγωγη πρωταρχική ανάλυση του I, I = Q 1... Q n όπου Q i είναι P i -πρωταρχικό για i = 1,..., n και P 1 = P. Εστω J = j i Q i. Αϕού I J, έπεται ότι Q 1 J J. Άρα υπάρχει f J και f Q1. Εστω ότι j 1. Τότε (Q j : f ) = R αϕού f Q j. Επεται ότι (I : f ) = (Q 1 : f ) (Q 2 : f ) (Q n : f ) = (Q 1 : f ). Αϕού f Q 1 σύµϕωνα µε το Λήµµα 2, έπεται ότι I : f = Q1 : f = P 1. Για τον αντίστροϕο εγκλεισµό, έστω ότι P = I : f Spec R. Εστω I = Q 1 Q n µία ελάχιστη ανάγωγη πρωταρχική ανάλυση του I όπου Q i είναι P i -πρωταρχικό για i = 1,..., n. Παρατηρούµε ότι αν f Q i τότε Q i : f = R, ενώ αν f Q i τότε Qi : f = P i. Ετσι παίρνοντας ϱιζικά του ιδεώδους (I : f ) = (Q 1 : f ) (Q 2 : f ) (Q n : f ), προκύπτει ότι P = Q 1 : f Q 2 : f Q n : f = P i1 P il,

6 6 Χ. ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ όπου {i 1,..., i l } {1,..., n}. Οµως P είναι πρώτο ιδεώδες και άρα P is = P για κάποιο δείκτη s. Παρατηρούµε ότι κατά τη διάρκεια της απόδειξης του δεύτερου εγκλεισµού δείξαµε ότι όλες οι ελάχιστες ανάγωγες αναλύσεις έχουν το ίδιο µήκος και ότι αν P Ass(R/I) τότε P εµϕανίζεται σε κάθε ελάχιστη ανάγωγη ανάλυση του I. Ασκηση 1. (Θέµα Παρουσίασης) Αν I γνήσιο ιδεώδες του R, P Ass(R/I) τότε να δείξετε ότι υπάρχει f R έτσι ώστε (I : f ) = P.

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 2013 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη

Κεφάλαιο 0. Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Κεφάλαιο 0 Μεταθετικοί ακτύλιοι, Ιδεώδη Το κεφάλαιο αυτό έχει προπαρασκευαστικό χαρακτήρα Θα καθιερώσουµε συµβολισµούς και θα υπενθυµίσουµε ορισµούς και στοιχειώδεις προτάσεις για δακτύλιους και ιδεώδη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Στο κεφάλαιο αυτό μελετάμε δακτυλίους του Art χρησιμοποιώντας το ριζικό του Jacobso. Ως εφαρμογή αποδεικνύουμε ότι κάθε δακτύλιος του Art είναι και της Noether. 4.1. Δακτύλιοι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάμε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων Αυτές συνδέονται μεταξύ τους με την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobson ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: Ριζικό του Jacobso Είδαµε στο προηγούµενο κεφάλαιο ότι κάθε ηµιαπλός δακτύλιος είναι δακτύλιος του Art. Επειδή υπάρχουν παραδείγµατα δακτυλίων του Art που δεν είναι ηµιαπλοί, πχ Z 2, > 1, τίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο.

Κεφάλαιο 1 Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο. Κεφάλαιο Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο Ορισμοί και Παραδείγματα Παραδοχές Στo βιβλίο αυτό θα κάνουμε τις εξής παραδοχές Χρησιμοποιούμε προσθετικό συμβολισμό

Διαβάστε περισσότερα

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά

Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες και 30 λεπτά Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικές οµές ΙΙ 1. Εστω ότι R Z 3 [x]. Τελική Εξέταση 10 Φεβρουαρίου 2017 ιάρκεια εξέτασης 2 ώρες 30 λεπτά (αʹ) Να αποδείξετε ότι ο R είναι περιοχή

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z)

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα. x y x z για κάθε x, y, R με την ιδιότητα 1R. x για κάθε x R, iii) υπάρχει στοιχείο 1 R. ii) ( x y) z x ( y z) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1: Πρότυπα Στο κεφάλαιο αυτό θα υπενθυμίσουμε τις βασικές έννοιες που αφορούν πρότυπα πάνω από ένα δακτύλιο Θα περιοριστούμε στα πλέον απαραίτητα για αυτά που ακολουθούν στα άλλα κεφάλαια Η κατευθυντήρια

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις, Άνοιξη 2016 (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλαµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ Περιεχόµενα Κεφάλαιο 1: 3 1.1 Απαρχές της Αντιµεταθετικής Άλγεβρας...................

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών

Αλγεβρικες οµες ΙΙ. ιδάσκουσα : Χ. Χαραλάµπους. Θέµατα προηγουµένων ετών Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων Τµηµα Μαθηµατικων Αλγεβρικες οµες ΙΙ ιδάσκουσα : Θέµατα προηγουµένων ετών 1 Θέµατα Πολλαπλής Επιλογής Στις ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, εάν

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη

Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Κεφάλαιο 10 Πρώτα και Μεγιστοτικά Ιδεώδη Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε ειδικούς τύπους ιδεωδών σε έναν δακτύλιο και την επίδραση που έχουν οι επιπλέον ιδιότητες τις οποίες ικανοποιούν τα ιδεώδη αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Burnside ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8: Εφαρµογή: Το θεώρηµα του Bursde Θα αποδείξουµε εδώ ότι κάθε οµάδα τάξης a q b (, q πρώτοι) είναι επιλύσιµη. Το θεώρηµα αυτό αποδείχτηκε από τον Bursde το 904 ο οποίος χρησιµοποίησε τη νέα τότε

Διαβάστε περισσότερα

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι.

Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη. Τσουκνίδας Ι. Πεπερασμένα σώματα και Κρυπτογραφία Σύμφωνα με τις παραδόσεις του Α. Κοντογεώργη Τσουκνίδας Ι. 2 Περιεχόμενα 1 Εισαγωγή στα πεπερασμένα σώματα 5 1.1 Μάθημα 1..................................... 5 1.1.1

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο

Αλγεβρικές Δομές ΙΙ. 1 Ομάδα I. Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο Αλγεβρικές Δομές ΙΙ 1 Ομάδα I Ά σ κ η σ η 1.1 Έστω R ένας δακτύλιος. Δείξτε ότι το σύνολο C(R) = {a R/ax = xa, για κάθε x R} είναι υποδακτύλιος του R, και λέγεται κέντρο του δακτυλίου R. Ά σ κ η σ η 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες

Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Κεφάλαιο 7 Απλές επεκτάσεις και Αλγεβρικές Θήκες Στο κεφάλαιο αυτό εξετάζουµε τις απλές επεκτάσεις σωµάτων και τις συγκρίνουµε µε τις επεκτάσεις Galois. Επίσης εξετάζουµε τις αλγεβρικά κλειστές επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις

Θεωρητικά Θέµατα. Ι. Θεωρία Οµάδων. x R y ή x R y ή x y(r) [x] R = { y X y R x } X. Μέρος Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 202 Μέρος 4. Θεωρητικά Θέµατα Ι. Θεωρία Οµάδων 1. Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις 1.1. Σχέσεις ισοδυναµίας. Εστω X ένα µη-κενό σύνολο. Ορισµός 1.1. Μια σχέση ισοδυναµίας επί του X είναι ένα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 7 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. Βρείτε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 10 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 16 Ιανουαρίου 2013 Ασκηση

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Herman Weyl

Εισαγωγή. Herman Weyl Εισαγωγή Όσο σηµαντικές και αν είναι οι γενικές έννοιες και προτάσεις που απορρέουν από το σύγχρονο πάθος για αξιωµατική θεµελίωση και γενίκευση, είµαι όµως πεπεισµένος ότι τα ειδικά προβλήµατα µε όλη

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ημιαπλοί Δακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Ημιαπλοί Δακτύλιοι Είδαμε στο κύριο θεώρημα του προηγούμενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισμα απλών προτύπων Εδώ θα χαρακτηρίσουμε όλους

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii2019/laii2019html Παρασκευή 1 Μαρτίου

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5: Τανυστικά Γινόµενα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουµε την έννοια του τανυστικού γινοµένου προτύπων. Θα είµαστε συνοπτικοί καθώς αναπτύσσουµε µόνο εκείνες τις στοιχειώδεις προτάσεις που θα βρουν εφαρµογές

Διαβάστε περισσότερα

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a)

Δακτύλιοι και Πρότυπα Ασκήσεις 3. Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος. N ( a) 11 Δακτύλιοι και Πρότυπα 2016-17 Ασκήσεις 3 Η ύλη των ασκήσεων αυτών είναι η Ενότητα3, Ελεύθερα πρότυπα Στις παρακάτω ασκήσεις κάθε δακτύλιος είναι μη τετριμμένος μεταθετικός δακτύλιος 1 Δείξτε ότι το

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z).

Παράρτηµα Α Εισαγωγή Οµάδες. (x y) z= x (y z). Παράρτηµα Α 11.1 Εισαγωγή Οπως έχει αναφερθεί ήδη προοδευτικά στο δεύτερο µέρος του παρόντος συγγράµµατος χρησιµοποιούνται ϐασικές έννοιες άλγεβρας. Θεωρούµε ότι οι έννοιες αυτές είναι ήδη γνωστές από

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: υϊκοί Χώροι και Χώροι Πηλίκα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 6 υϊκοι Χωροι και Χωροι Πηλικα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L -σύγκλιση σειρών Fourier Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

{x, x y, x + y z, x 2 y 3, xy 2005 z 123x 3 y 24 + z 8 πxyz y 1001 z}

{x, x y, x + y z, x 2 y 3, xy 2005 z 123x 3 y 24 + z 8 πxyz y 1001 z} ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Βάσεις Gröbner Περιεχόμενα 1 Δακτύλιοι Πολυωνύμων, ιδεώδη και αλγεβρικά σύνολα 2 1.1 Ιδεώδη-Πράξεις μεταξύ ιδεωδών....................... 2 1.2 Δακτύλιοι της Noether

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015.

Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. Ε Μέχρι 18 Μαΐου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες άρα

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 7 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό Κεφάαιο 3 Εεύθερα Πρότυπα 3.1 Εεύθερα Πρότυπα Έστω Μ ένα R-πρότυπο. Μια οικογένεια Μ αν ) το σύνοο { Λ} τρόπο ως άθροισµα της µορφής πεπερασµένο πήθος από τα ( e ) στοιχείων του Μ καείται βάση του e παράγει

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 Επαναληπτικες Ασκησεις ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii8/laii8html Παρασκευή 4 Ιουνίου

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ

Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Υπολογιστική άλγεβρα Ενότητα 10: Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους ΙΙΙ Ράπτης Ευάγγελος Σχολή Θετικών επιστημών Τμήμα Μαθηματικών Κεφάλαιο 10 Βάσεις Groebner ενός ιδεώδους 10.1 Τρίτο μέρος Επαναλαμβάνουμε

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Κεφάλαιο 11 ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε διεξοδικά δύο ϐασικές κλάσεις µεταθετικών δακτυλίων : τις περιοχές κυρίων ιδεωδών και τις περιοχές

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση Κεφάλαιο 7: Βάσεις και ιάσταση Σελίδα από 9 Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση n Στο Κεφάλαιο 5 είδαµε την έννοια της βάσης στο και στο Κεφάλαιο 6 µελετήσαµε διανυσµατικούς χώρους. Στο παρόν κεφάλαιο θα ασχοληθούµε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Τάξη στοιχείων και Οµάδων - Κυκλικές (Υπο-)Οµάδες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 222 3.1. ύναµη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 13 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Αφού ϐρείτε την

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Χαρά Χαραλάµπους

ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ. Χαρά Χαραλάµπους ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις (σε εξέλιξη) Χαρά Χαραλάµπους Τµήµα Μαθηµατικών, ΑΠΘ Χ. Χαραλάµπους, Εισαγωγή στην Αντιµεταθετική Άλγεβρα ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Σηµειώσεις

Διαβάστε περισσότερα

a = a a Z n. a = a mod n.

a = a a Z n. a = a mod n. Αλγεβρα Ι Χειμερινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Πράξεις: Πράξεις στο σύνολο S, ο πίνακας της πράξης, αντιμεταθετικές πράξεις. Προσεταιριστικές πράξεις, το στοιχείο a 1 a 2 a n. Η πράξη «σύνθεση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 3 Μαρτίου 2016 Αν (G, ) είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 7 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/linearalgebrai/lai2017/lai2017.html Παρασκευή 22 εκεµβρίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή )

Θεωρία Galois. Πρόχειρες σημειώσεις (εκδοχή ) Θεωρία Galos Πρόχειρες σημειώσεις 0- (εκδοχή -7-0) Περιεχόμενα 0 Υπενθυμίσεις και συμπληρώματα Ανάγωγα πολυώνυμα Ανάγωγα πολυώνυμα και σώματα Χαρακτηριστική σώματος Απλές ρίζες πολυωνύμων Ασκήσεις 0 Επεκτάσεις

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β)

Κεφάλαιο 3β. Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Κεφάλαιο 3β Ελεύθερα Πρότυπα (µέρος β) Ο σκοπός µας εδώ είναι να αποδείξουµε το εξής σηµαντικό αποτέλεσµα. 3.3.6 Θεώρηµα Έστω R µια περιοχή κυρίων ιδεωδών, F ένα ελεύθερο R-πρότυπο τάξης s < και N F. Τότε

Διαβάστε περισσότερα

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}.

X = {(x 1, x 2 ) x 1 + 2x 2 = 0}. Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 4 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 26/2/2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) Διάλεξη 4 26/2/2014 1 / 12 Υποσύνολα ενός διανυσματικού χώρου. Πότε είναι ένα υποσύνολο X ενός

Διαβάστε περισσότερα

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac

(a + b) + c = a + (b + c), (ab)c = a(bc) a + b = b + a, ab = ba. a(b + c) = ab + ac Σημειώσεις μαθήματος Μ1212 Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Χρήστος Κουρουνιώτης ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ 2014 Κεφάλαιο 1 Διανυσματικοί Χώροι Στο εισαγωγικό μάθημα Γραμμικής Άλγεβρας ξεκινήσαμε μελετώντας

Διαβάστε περισσότερα

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων.

Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. Κεφάλαιο 4 Πεπερασµένα σώµατα Στο κεφάλαιο αυτό εφαρµόζουµε τη Θεωρία Galois, όπως αυτή αναπτύχθηκε στα δύο προηγούµενα κεφάλαια, στην περίπτωση των πεπερασµένων σωµάτων. 4.1 Βασικές Εννοιες Εστω F ένα

Διαβάστε περισσότερα

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις

Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Κεφάλαιο 1 Σχέσεις Ισοδυναµίας και Πράξεις Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα αναπτύξουµε τα ϐασικά στοιχεία από τη ϑεωρία σχέσεων µερικής διάταξης, σχέσεων ισοδυναµίας και διαµερίσεων οι οποίες ορίζονται επί ενός

Διαβάστε περισσότερα

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων:

Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων. Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων. Παράδειγµα (1/2) O( g(n) ) είναι σύνολο συναρτήσεων: Ανω Φράγµα στην Τάξη των Συναρτήσεων Ορισµός. Εστω συναρτήσεις: f : N R και g : N R Ρυθµός Αύξησης (Τάξη) των Συναρτήσεων Ορέστης Τελέλης η (τάξη της) f(n) είναι O( g(n) ) αν υπάρχουν σταθερές C και n

Διαβάστε περισσότερα

1 Ανάλυση αλγορίθµων. 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ. 3 Αναδροµικές εξισώσεις

1 Ανάλυση αλγορίθµων. 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ. 3 Αναδροµικές εξισώσεις Γενικό πλάνο Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα 1 Ανάλυση αλγορίθµων Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης 2 Συµβολισµοί O, Ω και Θ Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 3

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ (ΠΕΡΙΤΤΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΙΙ Τµηµα Β (ΠΕΡΙΤΤΟΙ Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebraii/laii18/laii18html Παρασκευή 9 Μαρτίου 18 Ασκηση 1 Θεωρούµε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha.

s G 1 ). = R, Z 2 Z 3 = Z6. s, t G) s t = st. 1. H = G 4. [G : H] = a G ah = Ha. Αλγεβρα ΙΙ Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Ομάδες-Πηλίκο: Κρατήσαμε σταθερή μια ομάδα G με ταυτοτικό το ι και μια υποομάδα H της G. Συμβολίσαμε με G 1 το G/H (το σύνολο των αριστερών συμπλόκων

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Αλγεβρα. Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Πολυώνυµα πολλών µεταβλητών - ο αλγόριθµος της διαίρεσης Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ. Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://www.math.uoi.gr/ abeligia/linearalgebrai/lai.html

Διαβάστε περισσότερα

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί.

,..., v n. W πεπερασμένα παραγόμενοι και dimv. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα f είναι ισομορφιμός. f είναι 1-1. f είναι επί. Γραμμική Άλγεβρα Ι, 07-8 Ασκήσεις7: Γραμμικές Απεικονίσεις Βασικά σημεία Ορισμός και παραδείγματα γραμμικών απεικονίσεων Σύνθεση γραμμικών απεικονίσεων, ισομορφισμοί Κάθε γραμμική απεικόνιση f : V W, όπου

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια. Κεφάαιο Πρότυπα Στο κεφάαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύιο που θα παίξει σηµαντικό ρόο στα επόµενα κεφάαια Στις σηµειώσεις αυτές όοι οι δακτύιοι περιέχουν µοναδιαίο στοιχείο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015.

Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. Ε Μέχρι 31 Μαρτίου 2015. 1 Αντικείμενα: δακτύλιοι Fraleigh, 4.1. Ορισμός έννοιας «δακτυλίου». Χαρακτηρισμοί δακτυλίων και στοιχείων αυτών: Δακτύλιος R Στοιχεία δακτυλίου R / (= δεν έχει μηδενοδιαιρέτες

Διαβάστε περισσότερα

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}.

G 1 = G/H. I 3 = {f R : f(1) = 2f(2) ή f(1) = 3f(2)}. I 5 = {f R : f(1) = 0}. Αλγεβρα ΙΙ, Εαρινο Εξαμηνο 2017 18 Ασκησεις που συζητηθηκαν στο φροντιστηριο Φροντιστήριο 1. 1. Δίνεται η ομάδα G = Z 4 Z 8, το στοιχείο a = (1, 2) της G, και η υποομάδα H =< a > της G. Εστω G 1 = G/H.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηµατικά για Πληροφορική

Μαθηµατικά για Πληροφορική Μαθηµατικά για Πληροφορική 6ο Μάθηµα Ηλίας Κουτσουπιάς, Γιάννης Εµίρης Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Αθηνών 27/11/2008 27/11/2008 1 / 55 Γενικό πλάνο 1 Ανάλυση αλγορίθµων 2 Συµβολισµοί

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 6 Μαρτίου 2013 Ασκηση 1. Βρείτε όλους τους

Διαβάστε περισσότερα

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε

L = F +. Είναι, 1 F, άρα και 1 L. Επεκτείνουµε τις πράξεις του F έτσι ώστε ΕΠΕΚΤΑΣΕΙΣ ΣΩΜΑΤΟΣ Προκαταρκτικά Σώµα = Αντιµεταθετικό σώµα, χαρακτηριστικής µηδενός Τα σώµατα αυτά καλούνται και αριθµητικά σώµατα Θα τα συµβολίζουµε µε τα γράµµατα F, F, L κλπ Έστω ότι κάποια ανάγκη

Διαβάστε περισσότερα

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0}

V (F ) = {(u 1, u 2, u 3 ) P 2 K F (u 1, u 2, u 3 ) = 0} 1 Θεώρημα BEZOU T Ο δακτύλιος K[x 1,..., x n ] είναι περιοχή μονοσήμαντης ανάλυσης. Άρα κάθε πολυώνυμο f K[x 1,..., x n ] (που δεν είναι σταθερά, δηλαδή f / K) αναλύεται σε γινόμενο αναγώγων πολυωνύμων,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Επιλυση Ασκησεων - Φυλλαδιο 2 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 24 Μαρτίου 2017

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός

Εισαγωγή. Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση. υϊσµός Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Εισαγωγή Οπως είδαµε για την εκκίνηση της Simplex χρειαζόµαστε µια Αρχική Βασική Εφικτή Λύση Σε περιπτώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 3 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6: Κεντρικές Απλές Άλγεβρες Χρησιµοποιώντας τανυστικά γινόµενα και εφαρµόζοντας το θεώρηµα των Wedderbur-rt ( 33) θα αποδείξουµε δύο θεµελιώδη θεωρήµατα που αφορούν κεντρικές απλές άλγεβρες *

Διαβάστε περισσότερα

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή )

Βασική Άλγεβρα. Ασκήσεις (εκδοχή ) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις 05-6 (εκδοχή 8--05) Βασική Άλγεβρα Ασκήσεις Υποδείξεις/Απαντήσεις Περιεχόμενα σελίδα Ασκήσεις Διαιρετότητα στους ακέραιους, ισοτιμίες Ασκήσεις Ακέραιοι odulo, Θεώρημα του Euler

Διαβάστε περισσότερα

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας)

Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις σας) Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστηµίου Κρήτης Εξεταστική περίοδος Ιουνίου ακαδηµαϊκού έτους 29-21 Παρασκευή, 1 Ιουνίου 21 Εφαρµοσµένη Άλγεβρα ιδάσκων: Α. Τόγκας Θέµατα ( ικαιολογείστε πλήρως όλες τις απαντήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 5 Γραµµικες Απεικονισεις Στην άλγεβρα, και γενικότερα στα Μαθηµατικά,

Διαβάστε περισσότερα

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί

1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Ι Τµηµα Β (ΑΡΤΙΟΙ) Ασκησεις - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://usersuoigr/abeligia/linearalgebrai/lai218/lai218html Παρασκευή 23 Νοεµβρίου 218 Ασκηση 1

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Μέτρο Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Μέτρο Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις

Θεωρια ακτυλιων. Ασκησεις Θεωρια ακτυλιων Ασκησεις Ακαδηµαϊκο Ετος 2016-2017 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/ringtheory/ringtheory2016/ringtheory2016.html 15 Φεβρουαρίου 2017 2 Περιεχόµενα

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι:

1.3 Ιδεώδη και Περιοχές κυρίων Ιδεωδών 1.3. Ι Π Ι. Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: 13 Ι Π Ι Για το σύμβολο δεχόμαστε ότι n N {0}, < n καθώς και ότι: n N {0}, ( ) + n = = n + ( ) και ( ) + ( ) = (**) Ονομάζουμε επικεφαλής συντελεστή ενός μη μηδενικού πολυωνύμου f, τον συντελεστή f(i)

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ

ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΥΓΧΡΟΝΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Μεταπτυχιακή Διπλωματική Εργασία ΟΜΟΛΟΓΙΑΚΟΣ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟΣ ΟΜΑΛΩΝ (REGURAL) ΔΑΚΤΥΛΙΩΝ ΧΑΡΙΣ Α. ΓΕΩΡΓΟΥΝΤΖΟΥ Επιβλέπων:

Διαβάστε περισσότερα

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης

ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης Κεφάλαιο 10 ακτύλιοι Κυρίων Ιδεωδών και Περιοχές Μονοσήµαντης Ανάλυσης 10.1 Συνοπτική Θεωρία Η παρούσα ενότητα είναι αφιερωµένη στην υπενθύµιση ϐασικών εννοιών και αποτελεσµάτων από τη ϑεωρία περιοχών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2016/asi2016.html Πέµπτη 12 Μαίου 2016 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα