Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ , ISBN Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 010, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές θετικών επιστημών, σε καθηγητές μαθηματικών και σε συμμετέχοντες σε διαγωνισμούς ΑΣΕΠ και Ολυμπιάδων. Είναι ένα πλήρες σύγγραμμα της κλασικής Θεωρίας Αριθμών. Η θεωρία αναπτύσσεται διεξοδικά και πλαισιώνεται με πλήθος παραδειγμάτων και εφαρμογών, που αποσαφηνίζουν με κάθε λεπτομέρεια όλες τις έννοιες. Περιέχει τα παρακάτω οκτώ κεφάλαια. 1) Ευκλείδεια διαίρεση ακεραίων ) Διαιρετότητα ακεραίων 3) Μέγιστος κοινός διαιρέτης - Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο 4) Πρώτοι αριθμοί 5) Ισοτιμίες 6) Αριθμητικές και πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις 7) Πολυωνυμικές ισοτιμίες και τετραγωνικά υπόλοιπα 8) Διοφαντικές εξισώσεις. Σε κάθε κεφάλαιο προτείνεται για λύση ένας μεγάλος αριθμός ασκήσεων κλιμακούμενης δυσκολίας, για τις οποίες, στο τέλος του βιβλίου, δίνονται σύντομες λύσεις ή υποδείξεις για τη λύση τους. Απρίλιος 010 Θανάσης Ξένος

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή...7 Κεφάλαιο 1: Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων...11 Προτεινόμενες Ασκήσεις...0 Κεφάλαιο : Διαιρετότητα Ακεραίων...3 Προτεινόμενες Ασκήσεις...34 Κεφάλαιο 3: Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων Μέγιστος κοινός διαιρέτης πολλών ακεραίων Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο...48 Προτεινόμενες Ασκήσεις...59 Κεφάλαιο 4: Πρώτοι Αριθμοί Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί Το κόσκινο του Ερατοσθένη Ιδιότητες των πρώτων αριθμών Η ανάλυση ενός ακεραίου σε γινόμενο πρώτων παραγόντων...68 Προτεινόμενες Ασκήσεις...84 Κεφάλαιο 5: Ισοτιμίες Η έννοια της ισοτιμίας και βασικές ιδιότητες Το σύνολο w των κλάσεων ισοτιμιών Γραμμικές ισοτιμίες Συστήματα γραμμικών ισοτιμιών Προτεινόμενες Ασκήσεις Κεφάλαιο 6: Αριθμητικές και Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις Η συνάρτηση φ του Euler Η συνάρτηση μ του Möbius...137

5 6 Περιεχόμενα 6.4. Το θεώρημα των Fermat - Euler Προτεινόμενες Ασκήσεις Κεφάλαιο 7: Πολυωνυμικές Ισοτιμίες και Τετραγωνικά Υπόλοιπα Πολυωνυμικές ισοτιμίες Πολυωνυμικές ισοτιμίες με μέτρο πρώτο βαθμό Το θεώρημα Wilso Πολυωνυμικές ισοτιμίες με μέτρο σύνθετο αριθμό Αρχικές ρίζες modulo Δείκτες ως προς μια βάση modulo Τετραγωνικά υπόλοιπα Το σύμβολο Legedre Το σύμβολο Jacobi Προτεινόμενες Ασκήσεις Κεφάλαιο 8: Διοφαντικές Εξισώσεις Γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις Διοφαντικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού Ειδικές διοφαντικές εξισώσεις... 9 Προτεινόμενες Ασκήσεις Προτεινόμενες ασκήσεις απ όλα τα κεφάλαια Σύντομες Λύσεις των Ασκήσεων Κεφάλαιο 1: Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων Κεφάλαιο : Διαιρετότητα Ακεραίων Κεφάλαιο 3: Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο... 5 Κεφάλαιο 4: Πρώτοι Αριθμοί Κεφάλαιο 5: Ισοτιμίες Κεφάλαιο 6: Αριθμητικές και Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις Κεφάλαιο 7: Πολυωνυμικές Ισοτιμίες και Τετραγωνικά Υπόλοιπα... 8 Κεφάλαιο 8: Διοφαντικές Εξισώσεις Προτεινόμενες ασκήσεις απ όλα τα κεφάλαια Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων

6 Εισαγωγή 7 Εισαγωγή Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες και κυρίως τη διαιρετότητα των θετικών ακέραιων αριθμών. Πολλά προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών μελετήθηκαν από τους αρχαίους Έλληνες. Οι Πυθαγόρειοι (γύρω στο 500 π.χ.) μελέτησαν τους πρώτους αριθμούς, ανέλυσαν σύνθετους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και ανέπτυξαν αλγόριθμους για την εύρεση του ΜΚΔ και του ΕΚΠ δύο ακέραιων αριθμών. Το πρώτο μαθηματικό βιβλίο στην αρχαία Ελλάδα είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη (γύρω στο 300 π.χ.), που αποτελείται από 13 βιβλία. Στο 7 ο, 8 ο, και 9 ο βιβλίο αναπτύσσεται η Θεωρία Αριθμών. Μεταξύ των άλλων, περιέχονται προτάσεις για την εύρεση του Μ.Κ.Δ., το μονοσήμαντο της ανάλυσης φυσικού αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, απόδειξη της ύπαρξης άπειρων πρώτων αριθμών (ένα αριστούργημα της μαθηματικής σκέψης) και μια μέθοδος προσδιορισμού τέλειων αριθμών. Ένας αριθμός ονομάζεται τέλειος, αν ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του, όπως π.χ. ο 6= ). Ο Ερατοσθένης (γύρω στο 30 π.χ.) επινόησε μέθοδο κατασκευής πρώτων α- ριθμών (κόσκινο του Ερατοσθένη). Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός (γύρω στο 50 μ.χ.) στο έργο του Αριθμητικά μελέτησε την εύρεση των ακέραιων λύσεων μιας εξίσωσης (Διοφαντική εξίσωση). Μέχρι το Μεσαίωνα, οι αριθμοθεωρητικές γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων διαφυλάχτηκαν από τους Άραβες, αφού πολλά έργα μεταφράστηκαν στην αραβική γλώσσα. Ιδρυτής της σύγχρονης Θεωρίας Αριθμών θεωρείται ο Fermat ( ), Γάλλος νομικός και μαθηματικός. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε: p 1 i) To Θεώρημα Fermat, α - 1(modp), όπου p πρώτος και α μη διαιρετός με το p και

7 8 Θεωρία Αριθμών ii) την εικασία Fermat (που αποδείχθηκε το 1995), ότι η διοφαντική εξίσωση x + y = z με 3 δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις. Μεγάλη συνεισφορά στην ανάπτυξη της Θεωρίας Αριθμών είχαν ο Euler ( ) και ο Gauss ( ) που χαρακτήρισε τη Θεωρία Αριθμών ως τη βασίλισσα των Μαθηματικών. Αναφέρουμε μερικά από τα άλυτα προβλήματα (εικασίες) της Θεωρίας Αριθμών. α) Η εικασία Goldbach Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. β) Η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών Υπάρχουν άπειρα ζεύγη δίδυμων πρώτων αριθμών. (Δύο πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά ονομάζονται δίδυμοι πρώτοι αριθμοί). γ) Οι αριθμοί του Mersee p Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής - 1, όπου P πρώτος. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται αριθμοί του Mersee, αφού ο Γάλλος μοναχός και μαθηματικός Μερσέν ( ) ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τους αριθμούς αυτούς. Σημειώνουμε εδώ ότι, αν ο - 1 είναι πρώτος, τότε και ο είναι πρώτος. Το αντίστροφο δεν αληθεύει, αφού για = 11 είναι 11-1 = 047 = Ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός Mersee είναι ο p - 1 με p = που έχει ψηφία και ανακαλύφθηκε τον Αύγουστο του 008). δ) Οι αριθμοί Fermat Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής + 1, Œk. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής + 1 ονομάζονται αριθμοί του Fermat. O Fermat, που ασχολήθηκε με τους αριθμούς αυτούς, πίστευε ότι για κάθε o α- ριθμός + 1 είναι πρώτος. Για = 0,1,,3,4 προκύπτουν πρώτοι αριθμοί. 3 Για = 5, όμως, όπως απέδειξε ο Euler, o αριθμός + 1 είναι σύνθετος, αφού έχει διαιρέτη τον αριθμό 641. k Σημειώνουμε, ακόμη ότι αν ο + 1 είναι πρώτος, τότε ο k είναι δύναμη του.

8 Εισαγωγή 9 ε) Η εικασία των τέλειων αριθμών Όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι άρτιοι. Οι τέλειοι αριθμοί είναι εξαιρετικά σπάνιοι. Μέχρι σήμερα έχουν ανακαλυφθεί 43 τέλειοι αριθμοί. Η τελευταία πρόταση στο 9 ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη αναφέρει ότι: 1 Αν ο αριθμός - 1 είναι πρώτος, τότε ο αριθμός - ( - 1) είναι τέλειος. 3 5 Έτσι, π.χ. από τους πρώτους αριθμούς 3= - 1, 7= - 1, 31 = - 1, = - 1 και 8191 = - 1 προκύπτουν οι τέλειοι αριθμοί 6, 8, 496, 818 και Ο 10 ος τέλειος αριθμός είναι ο τεράστιος αριθμός

9 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 11 1 ο Kεφάλαιο Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων Οποιοδήποτε μη κενό υποσύνολο του συνόλου k = {0, 1,, 3, } των φυσικών αριθμών έχει ελάχιστο στοιχείο. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως αρχή της καλής διάταξης και ενώ δείχνει απλοϊκή, έχει δύσκολη απόδειξη. Θεώρημα 1.1 Κάθε μη κενό υποσύνολο του k έχει ελάχιστο στοιχείο. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι υπάρχει μη κενό υποσύνολο Α του k, το οποίο δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Θα αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε στοιχείο α του Α ισχύει α, για κάθε Œk. Για = 0 έχουμε α 0 για κάθε αœ Α. Υποθέτουμε ότι για κάποιον φυσικό = m ισχύει α m για κάθε αœ Α. Αν mœ A, τότε το m θα ήταν ελάχιστο στοιχείο του Α, που είναι άτοπο. Επομένως, mœ A και αφού α> m, θα είναι α m+ 1. Σύμφωνα, λοιπόν, με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής ισχύει α, για κάθε Œk. (1) Αν τώρα στην (1) θέσουμε όπου το φυσικό α+ 1, θα έχουμε α α+ 1, που είναι άτοπο. Άρα, κάθε μη κενό υποσύνολο του k έχει ελάχιστο στοιχείο. Σχόλιο: Για φυσικούς αριθμούς m και ισχύει: m> fim + 1 Θα αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα, που είναι γνωστό ως Θεώρημα της Ευκλείδειας διαίρεσης.

10 1 Κεφάλαιο 1 Θεώρημα 1. Αν δοθούν δύο ακέραιοι α και β με βπ 0, τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ και υ έτσι, ώστε να ισχύει α = κβ+ υ με 0 υ< β Απόδειξη i) Θεωρούμε το σύνολο των ακεραίων της μορφής α- βx με x Œw, δηλαδή το σύνολο A = {α-βx x Œw }. Για x = α και β< 0, ο αριθμός α- β α είναι φυσικός. Επίσης, για x =- α και β> 0, ο αριθμός α+ β α είναι φυσικός. Έτσι, το σύνολο Α περιέχει φυσικούς αριθμούς. Έστω υ ο ελάχιστος φυσικός αριθμός του Α. Υπάρχει ακέραιος κ με υ= α- βκ, δηλαδή α = βκ + υ με υ 0. Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι υ< β, δηλαδή υ- β < 0. Για β > 0 είναι υ- β = υ- β= α-βκ- β= α -(κ+ 1)β= α- xβ, με x = κ+ 1. Για β < 0 είναι υ- β = υ+ β= α- βκ+ β= α -(κ- 1)β= α- xβ, με x = κ- 1. Επομένως, υ- β Œ A. Αν υ- β 0, τότε υ- β υ (αφού υ το ελάχιστο στοιχείο του Α), δηλαδή β 0, που είναι άτοπο (αφού β π 0 ). Άρα, υ- β < 0. ii) Θα αποδείξουμε ότι οι ακέραιοι κ και υ είναι μοναδικοί. Υποθέτουμε ότι και για τους ακέραιους κ και υ ισχύει α = βκ + υ με 0 υ < β. Τότε βκ + υ = βκ + υ ή β(κ - κ ) = υ -υ. Αν κ π κ, τότε κ-κ 1, οπότε υ - υ = β κ-κ β. Από τις ανισότητες 0 υ< β και 0 υ < β, έχουμε - β <- υ 0 και 0 υ < β. Με πρόσθεση αυτών έχουμε - β < υ - υ< β, δηλαδή υ - υ < β και η ανισότητα υ -υ β που βρήκαμε παραπάνω δεν ισχύει. Άρα, κ = κ και η ισότητα β(κ - κ ) = υ -υ δίνει υ = υ. Η διαδικασία εύρεσης των ακεραίων κ και υ ονομάζεται ευκλείδεια ή αλγοριθμική διαίρεση του α με τον β. Ο κ ονομάζεται πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης α : β. Αν υ= 0, τότε η διαίρεση α : β ονομάζεται τέλεια. Έστω ότι οι α, β είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει

11 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 13 α = κβ+ υ, κ Œk και 0< υ< β. i) Επειδή α = (-κ) ( - β) + υ, η διαίρεση α: (- β) δίνει πηλίκο - κ και υπόλοιπο υ. ii) Ισχύει - α = -κβ- υ= -κβ- β+ β- υ= β ( -κ- 1) + (β- υ) και 0 < β - υ < β. Άρα, η διαίρεση (- α): β δίνει πηλίκο -κ- 1 και υπόλοιπο β - υ. iii) Ομοίως, επειδή - α = (- β)(κ + 1) + (β - υ), η διαίρεση (-α): (- β) δίνει πηλίκο κ+ 1 και υπόλοιπο β - υ. iv) Aν α < β, επειδή α = 0 β + α και 0 < α < β, η διαίρεση α:β δίνει πηλίκο 0 και υπόλοιπο α. Αν διαιρέσουμε τον ακέραιο α με το φυσικό αριθμό β π 0, τότε ισχύει α = κβ+ υ με κ Œw και υ= 0,1,, º,β- 1. Επομένως, ο α παίρνει μία από τις μορφές κβ, κβ + 1, κβ +, º, κβ + (β - 1). Στην ειδική περίπτωση β =, οι μορφές του α είναι α = κ (άρτιος) και α = κ+ 1 (περιττός). Επίσης, αν θεωρήσουμε τη διαίρεση α : 3, τότε ο α παίρνει μία από της μορφές 3κ, 3κ + 1, 3κ + (κ Œw ). Σχετικά με τους άρτιους και τους περιττούς ακέραιους, αναφέρουμε ορισμένες βασικές ιδιότητες. α) Το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος. Το άθροισμα και η διαφορά δύο περιττών είναι άρτιος, ενώ το γινόμενο δύο περιττών είναι περιττός. Το γινόμενο ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός. Για παράδειγμα, αν οι α, β είναι περιττοί, τότε α = κ+ 1 και β= λ+ 1, όπου κ, λ Œw και ισχύει α + β = (κ + 1) + (λ + 1) = κ + λ + = (κ + λ + 1) =άρτιος αβ = (κ+ 1)(λ + 1) = 4κλ+ κ+ λ+ 1= (κλ + κ+ λ) + 1=περιττός. β) Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθμός, επειδή ο ένας από τους δύο είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. ( + 1) = κ, κ Œw

12 14 Κεφάλαιο 1 γ) Αν α Œw και Œk, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες: i) α άρτιος ii) α περιττός α άρτιος α περιττός Απόδειξη -1 i) Αν α = κ, κœw, τότε α = (κ) = κ = ( κ ) = άρτιος. ii) Αν α = κ+ 1, κœw, τότε α = (k + 1)(κ + 1) º (κ + 1) = μ + 1 =περιττός (μ Œw ). Αντιστρόφως: i) Έστω α = άρτιος. Αν ο α ήταν περιττός, τότε ο άτοπο. Άρα, α = άρτιος. ii) Ομοίως, αν ο α είναι περιττός, τότε και ο α είναι περιττός. α θα ήταν κι αυτός περιττός, δ) Το τετράγωνο κάθε περιττού αριθμού παίρνει τη μορφή 8κ + 1, κ Œw. ( + 1) = 8κ + 1, κ Œw. Πράγματι, (+ 1) = = 4(+ 1) + 1= 4 κ+ 1= 8κ+ 1. ε) Το άθροισμα και η διαφορά δύο ακεραίων είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί. Αν α, β ακέραιοι, τότε ισχύει: i) α+ β=άρτιος α - β = άρτιος ii) α+ β=περιττός α- β= περιττός Οι ισοδυναμίες αυτές προκύπτουν από το γεγονός ότι ο αριθμός (α + β) -(α - β) ισούται με β και είναι άρτιος, οπότε οι αριθμοί α + β, α - β είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί. στ) Κάθε άρτιος φυσικός γράφεται ως γινόμενο μιας δύναμης του και ενός περιττού. Εφαρμογή 1.1 Αν διαιρεθούν διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι με τον, τότε μόνον μία από τις διαιρέσεις αυτές είναι τέλεια.

13 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 15 Απόδειξη Θεωρούμε τους θετικούς ακέραιους α+ 1, α+, º., α+ και θα αποδείξουμε ότι μόνον μία από τις διαιρέσεις (α + 1) :, (α + ) :, º, (α + ) : δίνει υπόλοιπο 0. Υποθέτουμε ότι τα πηλίκα των διαιρέσεων αυτών είναι οι φυσικοί αριθμοί κ,κ, 1 º,κ και τα υπόλοιπα είναι υ,υ, 1 º,υ αντίστοιχα. Τα υπόλοιπα ανήκουν στο σύνολο {0, 1,, º, - 1}. Θεωρούμε δύο οποιεσδήποτε από τις διαιρέσεις αυτές, τις (α + λ) : και (α + μ) : με λ π μ. Ισχύουν οι ισότητες α λ κ υ α+ μ = κ + υ () + = λ + λ (1) και μ μ Αν υλ = υμ, με αφαίρεση των (1), () κατά μέλη, έχουμε λ- μ = (κ - κ ) λ μ και αυτό σημαίνει ότι ο λ - μ είναι πολλαπλάσιο του, που είναι άτοπο, αφού 0π λ- μ<. Έτσι, υλ π υμ. Τα υπόλοιπα, λοιπόν υ,υ, 1 º,υ είναι ανά δύο διαφορετικά, έχουν πλήθος και ανήκουν στο σύνολο {0, 1,, º, - 1}. Άρα, πρόκειται για τους ακέραιους 0, 1,, º, - 1 κι επομένως μόνον μία από τις παραπάνω διαιρέσεις δίνει υπόλοιπο 0. Εφαρμογή 1. Να αποδειχθεί ότι μια δύναμη του, με εκθέτη θετικό ακέραιο, δε γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι ο αριθμός δηλαδή, Œk γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών, = λ + (λ + 1) + (λ + ) + º + (λ + κ), λ, κ Œk και κ π 0. (1) Το δεύτερο μέλος της (1) είναι άθροισμα κ+ 1 όρων αριθμητικής προόδου και ι- σούται με κ+ 1 1 [λ + (λ + κ)] = (κ + 1)(λ + κ) Έτσι, η (1) γράφεται

14 16 Κεφάλαιο = (κ+ 1) (λ+ κ) με κ+ 1> 1 και λ + κ 1 () i) Αν κ = 1, η () γράφεται περιττός, ενώ ο άρτιος. λ + 1 =, που είναι άτοπο, επειδή ο λ + 1 είναι ii) Αν κ > 1, τότε λ + κ > 1. Για να ισχύει η (), πρέπει να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι μ και ρ, για τους οποίους ισχύουν μ κ+ 1= και ρ λ + κ =. Τότε ο κ θα είναι περιττός, οπότε ο λ + κ θα είναι κι αυτός περιττός, ενώ ο είναι άρτιος. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ο αριθμός, Œk δε γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών. (Σημειώνουμε ότι για = 0 ισχύει Εφαρμογή = 1= 0+ 1). Αν α, β Œk με α > β, να αποδειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με τον β είναι μικρότερο του α. ρ Απόδειξη Έστω ότι η διαίρεση του α με τον β δίνει πηλίκο κ και υπόλοιπο υ. Τότε ισχύει α = κβ+ υ, κœw και 0 υ< β. α Θα αποδείξουμε ότι υ < ή υ < α ή υ < κβ + υ ή υ < κβ. Επειδή υ < β, αρκεί να αποδειχθεί ότι β κβ ή κ 1 (αφού β > 0 ). Πράγματι, επειδή α > β και α, β > 0 το πηλίκο της διαίρεσης α:β είναι κ 1. Σχόλια: i) Aν α= β, τότε κ= 1 και υ= 0. ii) Αν α < β, τότε κ = 0 και υ = α. Εφαρμογή 1.4 Αν οι α, β, γ είναι θετικοί περιττοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Α = αβ+ βγ+ γα δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Απόδειξη Αν θέσουμε α = κ+ 1, β = λ + 1 και γ = μ + 1, όπου κ, λ, μ Œk, τότε

15 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 17 Α = 4(κλ+ λμ+ μκ+ κ+ λ+ μ) + 3= 4+ 3, όπου = κλ+ λμ+ μκ+ κ+ λ+ μœk. Υποθέτουμε ότι ο αριθμός Α = 4+ 3 είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή ότι υπάρχει θετικός ακέραιος ρ με = ρ. Επειδή ο είναι περιττός, ο ρ θα είναι κι αυτός περιττός, οπότε ο ρ παίρνει τη μορφή 8α + 1, α Œk. Έτσι, η ισότητα = 8α + 1 γράφεται 4α - = 1 και είναι αδύνατη, αφού ο αριθμός 4α - είναι άρτιος. Άρα, ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Σχόλια: 1) Ένα τέλειο τετράγωνο είναι φυσικός αριθμός που λήγει σε 0 ή 1 ή 4 ή 5 ή 6 ή 9. Έτσι, π.χ. ο αριθμός 10 +, Œk δεν είναι τέλειο τετράγωνο, επειδή λήγει σε. ) Αν ένας φυσικός αριθμός βρίσκεται ανάμεσα στα τετράγωνα δύο διαδοχικών ακεραίων, τότε δεν είναι τέλειο τετράγωνο. ( κ < < (κ+ 1) fi κ< < κ+ 1fi œk fi όχι τέλειο τετράγωνο). 3) Οι μόνοι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που είναι και οι δύο τέλεια τετράγωνα είναι το 0 και το 1. Πράγματι, αν = κ και + 1= λ με, κ, λ Œk, τότε λ - κ = 1 ή (λ - κ)(λ + κ) = 1. Επομένως, λ- κ= 1 και λ+ κ= 1, δηλαδή λ= 1, κ= 0 και = 0. Εφαρμογή 1.5 S = 1! +! + º +! είναι τέ- Για ποιες τιμές του θετικού ακεραίου, ο αριθμός λειο τετράγωνο; Λύση Είναι: 1 S = 1! = 1, S = 1! +! = 3, S3 = 1! +! + 3! = 9= 3 και S4 = 33. Για 5 ισχύει S = 33 + (5! + 6! + º +!) = κ, κ Œk, αφού καθένας από τους αριθμούς 5!, 6!, º,! είναι πολλαπλάσιο του 10 (5! = 10 κ.λπ.). Επειδή ο αριθμός 10κ λήγει σε 0, το άθροισμα S = κ λήγει σε 3 και δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα, ο αριθμός 1! +! + º +! είναι τέλειο τετράγωνο μόνον για = 1 και = 3.

16 18 Κεφάλαιο 1 Εφαρμογή 1.6 Αν η διαίρεση του ακεραίου α με το 3 δεν είναι τέλεια, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 3, όπου Œk. Λύση Το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 3 είναι 1 και, οπότε ο α παίρνει τη μορφή 3κ + 1 ή 3κ +, όπου κ ακέραιος. i) Aν α = 3κ+ 1, τότε ʈ -1 Ê ˆ α = 3κ+ 1) = (3κ) + Á (3κ) + º + 3κ+ 1= 3μ+ 1 Ë1 Á Ë-1, μ Œw κι επομένως η διαίρεση του α με το 3 δίνει υπόλοιπο 1. ii) Aν α = 3κ+, τότε α = (3κ+ ) = 3μ+, μ Œw. Αν = ρ, ρœk, τότε ρ ρ = 4 = (3+ 1) = 3λ+ 1, λ Œw και οπότε η διαίρεση α : 3 δίνει πάλι υπόλοιπο 1. α = 3(μ+ λ) + 1, ρ+ 1 ρ ρ Αν = ρ+ 1, ρœk, τότε = = 4 = (3+ 1) = 3λ+, λ Œw και η διαίρεση α : 3 δίνει υπόλοιπο. Σχόλιο: To ανάπτυγμα του (α + β), Œk δίνεται από τον τύπο Ê ˆ Ê (α β) α α β ˆ Ê α β ˆ Ê α β ˆ + = + Á + +º+ +º+ αβ + β Ë1 Á Ë Á Ëκ Á Ë κ κ -1, ʈ! όπου το σύμβολο Áκ = είναι το πλήθος των συνδυασμών των ανά κ. Ë κ!(-κ)! Στην περίπτωση που οι α, β είναι ακέραιοι, από το παραπάνω ανάπτυγμα, έχουμε το συμπέρασμα: (α + β) = κα + β = λβ + α με κ, λ Œw. Για παράδειγμα, αν η διαίρεση του α με το β δίνει υπόλοιπο 1, τότε α= κβ+ 1, κœw και που σημαίνει ότι και η διαίρεση του α = (κβ + 1) = λβ + 1 = λβ + 1, λ Œw, α με το β δίνει υπόλοιπο 1.

17 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 19 Εφαρμογή 1.7 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός log είναι άρρητος. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι ο αριθμός log είναι ρητός, δηλαδή είναι κάποιο ανάγωγο κλάσμα κ με κ, λ Œw και λ 0 λ π. Επειδή log1 < log < log10, θα είναι > κ. θετικούς ακεραίους τους κ, λ και λ κ Η ισότητα log = σημαίνει ότι λ κ λ κ 5 = -, που είναι αδύνατο, αφού ο Άρα, λοιπόν, ο αριθμός log είναι άρρητος. κ 0< < 1, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε λ κ 10 λ = ή κ λ 10 = ή κ 5 είναι περιττός και ο λ κ κ κ λ 5 = ή - είναι άρτιος. Εφαρμογή 1.8 Αν δοθούν δύο θετικοί ακέραιοι α και β, τότε υπάρχει θετικός ακέραιος με α > β. Απόδειξη i) Αν α > β, τότε για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει α α > β. ii) Aν α β, τότε υπάρχουν φυσικοί αριθμοί κ και υ με β= ακ+ υ, 0 υ< α. Επομένως, ακ + α > ακ + υ δηλαδή (κ + 1)α > β. Άρα, για = κ+ 1, όπου κ το πηλίκο της διαίρεσης β:α, ισχύει α > β. Σχόλια: 1) H πρόταση που αποδείξαμε είναι μερική περίπτωση μιας γενικότερης ιδιότητας, που είναι γνωστή ως Θεώρημα του Αρχιμήδη και λέει ότι: Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε υπάρχει φυσικός αριθμός με α > β. ) Σύμφωνα με τα παραπάνω, κατάλληλο πολλαπλάσιο ενός θετικού ακεραίου, είναι μεγαλύτερο από οποιονδήποτε θετικό ακέραιο. 3) Μια απλούστερη πρόταση από το Θεώρημα του Αρχιμήδη είναι η εξής: Aν δοθεί ένας πραγματικός αριθμός α, τότε υπάρχει φυσικός αριθμός > α, που δείχνει ότι το σύνολο k των φυσικών αριθμών δεν είναι φραγμένο άνω.

18 0 Κεφάλαιο 1 Εφαρμογή 1.9 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι για τους οποίους ο αριθμός τέλειο τετράγωνο. 3 α = - 3 είναι Λύση Επειδή α = (- 3), αρκεί ο αριθμός - 3 να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή να υπάρχει θετικός ακέραιος κ με - 3 = κ. Ο - 3 είναι περιττός, οπότε και ο κ πρέπει να είναι περιττός. Έτσι, με κ = μ+ 1, μ Œk, έχουμε - 3 = 4μ + 4μ + 1, δηλαδή = (μ + μ+ 1), μœk. Προτεινόμενες ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο 1. Αν κ είναι ένας ακέραιος αριθμός, να βρεθεί το υπόλοιπο των διαιρέσεων α) (5κ - 1) : 5, β) (3κ + 1) : 6 και γ) (κ - 5) : 8.. Αν η διαίρεση ενός ακεραίου α με το 5 δίνει υπόλοιπο, να βρεθεί το υπόλοιπο των διαιρέσεων α) α : 5, β) 3 α : 5 και γ) 10 α : Να βρεθεί το υπόλοιπο των διαιρέσεων α) : 5, β) : 7 και γ) m + με, m (6 5 ) : 10 Œk. 4. Αν οι, m είναι θετικοί ακέραιοι, να εξετασθεί αν ο αριθμός + 1 γράφεται ως άθροισμα m περιττών αριθμών. 5. Να εξετασθεί αν υπάρχει ακέραιος αριθμός x, που επαληθεύει την εξίσωση κ+ 1 x + x = (m+ 1), όπου, m, κ φυσικοί αριθμοί. 6. Να εξετασθεί αν έχει ακέραιη λύση η εξίσωση 10 x(x- 1) + (x- 1)(x+ 1) + x(x+ 1) + 3x = 10, Œk. 7. Αν ένας άρτιος αριθμός είναι άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων, να αποδειχθεί ότι συμβαίνει το ίδιο και με το μισό του. 8. Δίνονται δύο θετικοί ακέραιοι α και β με απ β. Να αποδειχθεί ότι οι ευκλείδειες διαιρέσεις α:(α- β) και β:(α- β) δίνουν το ίδιο υπόλοιπο, ενώ τα πηλίκα τους διαφέρουν κατά 1.

19 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 1 9. Δίνονται οι ακέραιοι α,α, 1 º,α και β με βπ 0 και έστω υ κ το υπόλοιπο της διαίρεσης α κ : β, για κ = 1,, º,. Να αποδειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του α1+ α + º + α με το β ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του υ1+ υ + º + υ με το β. 10. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ο αριθμός 1 ( ) είναι ακέραιος Να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του συνόλου όταν διαιρεθούν με το 10 δίνουν υπόλοιπο 3. 3 A = {7, 7, 7, º,7 }, που 1. Να εξετασθεί αν έχει ακέραιες λύσεις η εξίσωση x = 4y Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3x - 1 = y δεν έχει ακέραιες λύσεις. 14. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ακέραιοι με αβ = γ + 1, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού α + β με το, το 4 και το Αν η διαίρεση του ακεραίου α με τον ακέραιο βπ 0 δίνει πηλίκο κ και υπόλοιπο υ, να βρεθεί ο μεγαλύτερος ακέραιος x, για τον οποίο η διαίρεση του (α + x) με τον β δίνει το ίδιο πηλίκο. 16. Να αποδειχθεί ότι μόνο για ένα φυσικό αριθμό, o αριθμός α = (+ ) είναι ακέραιος. 17. Αν πάρουμε στην τύχη ένα από τα στοιχεία του συνόλου με Œk, ποια είναι η πιθανότητα να είναι τέλειο τετράγωνο; A = {1,,3, º,10 }, 18. Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών θετικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 8 και δεν είναι τέλειο τετράγωνο. 19. Να βρεθεί τετραψήφιος αριθμός της μορφής ααββ, που είναι τέλειο τετράγωνο. 0. Να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α = 111º 1 º 5, όπου το ψηφίο 1 επαναλαμβάνεται φορές, ενώ το ψηφίο επαναλαμβάνεται + 1 φορές. 1. α) Αν Œk, να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού β) Να εξετασθεί αν έχει θετικές ακέραιες λύσεις η εξίσωση x + x+ 1= 015y.

20 Κεφάλαιο 1. Αν οι α, β, γ είναι περιττοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 δεν έχει καμιά ρητή ρίζα. 3. Αν διαιρέσουμε 000 διαδοχικούς ακεραίους με το 000, να αποδειχθεί ότι μόνον ένας απ αυτούς δίνει υπόλοιπο α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο α υπάρχει ακέραιος κ με 16κ + 1. β) Να εξετασθεί αν έχει ακέραιες λύσεις η εξίσωση 4 α = 16κ ή x + y + z + w = Αν α είναι ένας περιττός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι η διαίρεση του α με τον, όπου ακέραιος με >, δίνει υπόλοιπο έναν από τους αριθμούς 1, 9, 17, 5,, Αν η διαίρεση ενός άρτιου ακεραίου α με το 3 δίνει υπόλοιπο 1, να βρεθεί υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το α) Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων δεν είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών ακεραίων δεν είναι τέλειος κύβος. 8. Αν ο θετικός ακέραιος α γράφεται ως γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 4 α δεν είναι ακέραιος.

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα 2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-263-3 Copyright: Καρανικόλας Ν., Εκδόσεις Ζήτη, Α έκδοση: Ιανουάριος 2004, Β έκδοση βελτιωμένη: Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

Mαθηματικά Θετικής - Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. 1 ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Γ. Λυκείου Ανάλυση Κεφ. ο Γ / ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή

Ρητοί αριθμοί λέγονται οι αριθμοί που έχουν ή μπορούν να πάρουν τη μορφή ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΕΙΣΑΓΩΓΗ)-ΘΕΩΡΕΙΑ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμώv αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται

Διαβάστε περισσότερα

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης

3 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης η δεκάδα θεµάτων επανάληψης. Για ποιες τιµές του, αν υπάρχουν, ισχύει κάθε µία από τις ισότητες α. log = log( ) β. log = log γ. log 4 log = Να λυθεί η εξίσωση 4 log ( ) + = 0 6 α) Θα πρέπει > 0 και > 0,

Διαβάστε περισσότερα

Web page: Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία

Web page:    Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Γ Γυμνασίου Γεωμετρία-Τριγωνομετρία Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Άλγεβρα Κανόνας των πρόσημων: (+) (+) = + ( ) ( ) = + (+) ( ) = ( ) (+) = Συνοπτική

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη

Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη 2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 960-431-953-1 Copyright: Κυρατζής Νικόλαος Ευριπίδης, Eκδόσεις Zήτη, Μάρτιος 2005, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10

ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 2014 Θ ΕΩΡΙA 10 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕ ΝΕΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 04 Θ ΕΩΡΙA 0 ΘΕΜΑ A Α Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση τη

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β.

ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. a β a β. ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ε.1 ΤΟ ΛΕΞΙΛΟΓΙΟ ΤΗΣ ΛΟΓΙΚΗΣ Στη παράγραφο αυτή θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της Λογικής, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε στη συνέχεια, όπου αυτό κρίνεται αναγκαίο, για τη σαφέστερη

Διαβάστε περισσότερα

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΚΑΣΤΕΛΛΑΝΩΝ ΜΕΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΠΡΟΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΑ ΑΠΟ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Ομόσημοι Ετερόσημοι αριθμοί Αντίθετοι Αντίστροφοι αριθμοί Πρόσθεση ομόσημων και ετερόσημων ρητών αριθμών Απαλοιφή παρενθέσεων Πολλαπλασιασμός και Διαίρεση ρητών αριθμών

Διαβάστε περισσότερα

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

1.8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 73 8 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ρισμός της συνέχειας Έστω οι συναρτήσεις g h παρακάτω σχήματα των οποίων οι γραφικές παραστάσεις δίνονται στα C h 6 l ( C l g( C g l l (a Παρατηρούμε ότι:

Διαβάστε περισσότερα

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου

Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Βασικές Γνώσεις Μαθηματικών Α - Β Λυκείου Αριθμοί 1. ΑΡΙΘΜΟΙ Σύνολο Φυσικών αριθμών: Σύνολο Ακέραιων αριθμών: Σύνολο Ρητών αριθμών: ακέραιοι με Άρρητοι αριθμοί: είναι οι μη ρητοί π.χ. Το σύνολο Πραγματικών

Διαβάστε περισσότερα

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών»)

Δραστηριότητα για τους µαθητές µε το κόσκινο του Ερατοσθένη:.. (και άσκηση 10 σελ. 219 «Η φύση και η δύναµη των µαθηµατικών») Πρώτοι αριθµοί: Τι µας λέει στο βιβλίο (σελ.25-26): 1. Μου αρέσουν οι πρώτοι αριθµοί, γι αυτό αρίθµησα µε πρώτους τα κεφάλαια. Οι πρώτοι αριθµοί είναι αυτό που αποµένει όταν αφαιρέσεις όλα τα στερεότυπα

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Διαβάστε περισσότερα

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ»

«ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο «ΣΥΝΕΧΗ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ: ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ» ΜΠΙΘΗΜΗΤΡΗ ΒΑΣΙΛΙΚΗ ΣΤΕΛΛΑ Επιβλέπουσα: Αν. Καθηγήτρια

Διαβάστε περισσότερα

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.)

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 6: ΘΕΩΡΗΜΑ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ (Θ.Μ.Τ.) [Θεώρημα Μέσης Τιμής Διαφορικού Λογισμού του κεφ..5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΑΣΚΗΣΕΙΣ Άσκηση. ΘΕΜΑ Β Δίνεται

Διαβάστε περισσότερα

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε

5.1.1 Η θεωρία και τι προσέχουμε Κεφάλαιο 5 Συνέχεια συνάρτησης σε διάστημα Συνέπειες του Θεωρήματος Bolzano 5.. Η θεωρία και τι προσέχουμε Τα κύρια χαρακτηριστικά μιας συνεχούς συνάρτησης f ορισμένης σε ένα διάστημα Δ, είναι: i. Η γραφική

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r.

2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί. q Z, a = b q + r. Κεφάλαιο 2 Θεωρία Αριθμών Κύριες βιβλιογραφικές αναφορές για αυτό το Κεφάλαιο είναι οι Hardy and Wright 1979 και Graham, Knuth, and Patashnik 1994. 2.1 Διαιρετότητα, ισοϋπόλοιποι αριθμοί Θεώρημα 2.1 Αν

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΕΣ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός Αγαπητοί μαθητές. αυτό το βιβλίο αποτελεί ένα βοήθημα στην ύλη της Άλγεβρας Α Λυκείου, που είναι ένα από

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ Γ. Π. Β. ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Γ. Π. Βαξεβάνης (Γ. Π. Β.) (Μαθηματικός) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών»

ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ. «Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών» ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ «Εφαρμογές της Θεωρίας Αριθμών» Μαραγκός Νικόλαος Δ 004 Επιβλέπων καθηγητής: Ευάγγελος Ράπτης Μάιος 04 «Διδακτική και Μεθοδολογία των Μαθηματικών» Εγκρίθηκε την 0-05-04 από Εξεταστική

Διαβάστε περισσότερα

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( )

f( x 1, x ( ) ( ) f x > f x. ( ) ( ) MONOTONIA ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΜΜΕΤΡΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ I MONOTONIA ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΘΕΩΡΙΑ Στο διπλανό σχήµα δίνεται η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f στο α,β Παρατηρούµε ότι διάστηµα [ ] καθώς αυξάνουν οι τιµές του

Διαβάστε περισσότερα

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και

( 2) 1 0,. Αν ρ 1, ρ 2 οι ρίζες της (ε) και ΘΕΜΑ ο Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο : f( x) α Να βρείτε το πεδίο ορισμού της x x x x β Να βρείτε τα σημεία τομής της με τους άξονες αν υπάρχουν γ Αν α, β ρίζες της εξίσωσης: ΘΕΜΑ ο x x f ( x), να δείξετε

Διαβάστε περισσότερα

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ

4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ 1 4.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Εξίσωση µε έναν άγνωστο: Ονοµάζουµε µία ισότητα η οποία περιέχει αριθµούς και ένα γράµµα που είναι ο άγνωστος της εξίσωσης.. Λύση ή ρίζα της εξίσωσης : Είναι ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ i ΛΥΜΕΝΕΣ & ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΝΙΚΟΣ ΑΛΕΞΑΝΔΡΗΣ ΠΤΥΧΙΟΥΧΟΣ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΥ ΑΘΗΝΩΝ (ΕΚΠΑ)

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn

Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn Υπολογισμός της δύναμης z=x b modn 1.Γράφουμε τον εκθέτη b στο δυαδικό σύστημα αρίθμησης i b = b i όπου i= 0 bi {0,1} I==0,1,,l-1.Εφαρμόζουμε έπειτα τον εξής αλγόριθμο: z=1 for I=l-1 downto 0 do z=z modn

Διαβάστε περισσότερα

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου

Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους

Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;

Διαβάστε περισσότερα

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ

Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από

Διαβάστε περισσότερα

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο 1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΛΥΚΕΙΩΝ ΤΗΣ ΡΟΔΟΥ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 1 Ο ΘΕΜΑ 1 ο α) Αν χ 1, χ ρίζες της εξίσωσης αχ +βχ+γ=0, 0 να δείξετε ότι S 1 και P 1 Μον. 10 β) Έστω η συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:. Να μπορεί να βρίσκει απο τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης το πεδίο ορισμού της το σύνολο τιμών της την τιμή της σε ένα σημείο..

Διαβάστε περισσότερα

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός

ςεδς ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ςες ΤΕΤΡΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Βαγγέλης ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Βαγγέλης Νικολακάκης Μαθηματικός ΣΗΜΕΙΩΜΑ Το παραπάνω φυλλάδιο φτιάχτηκε για να προσφέρει λίγη βοήθεια κυρίως στους μαθητές

Διαβάστε περισσότερα

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου

Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β : Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα

Διαβάστε περισσότερα

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών

Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Πρόσθεση, αφαίρεση και πολλαπλασιασμός φυσικών αριθμών Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι

Διαβάστε περισσότερα

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης

Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Mα θ η μ α τ ι κ ά Β Λυ κ ε ί ο υ Θετικής-Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Β Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Λυκείου Θετικής-Τεχνολογικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου].

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ.2.6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 8: ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ [Ενότητα Μονοτονία Συνάρτησης του κεφ..6 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα 1. ΘΕΜΑ Β Να μελετηθούν ως προς την μονοτονία

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Ε.1 I. 1. α 2 = 9 α = 3 ψ p: α 2 = 9, q: α = 3 Σύνολο αλήθειας της p: Α = {-3,3}, Σύνολο αλήθειας της q: B = {3} A B 2. α 2 = α α = 1 ψ p: α 2 = α, q: α = 1 Σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης),

Δ = δπ + υ με υ < δ. (Ταυτότητα της Ευκλείδειας διαίρεσης), ΜΕΡΟΣ Α 1.7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ 19 1. 7 ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΠΟΛΥΩΝΥΜΩΝ Διαίρεση πολυωνύμων Αν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (διαιρετέος) και δ (διαιρέτης) με δ και κάνουμε τη διαίρεση Δ : δ, τότε βρίσκουμε δύο άλλους

Διαβάστε περισσότερα

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες

1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες 1.5 Αξιοσημείωτες Ταυτότητες Ορισμός: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και αληθεύει για όλες τις τιμές των μεταβλητών της λέγεται ταυτότητα. Ταυτότητες που πρέπει να γνωρίζουμε: Τετράγωνο αθροίσματος

Διαβάστε περισσότερα

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ. Να βρείτε το πεδίο ορισµού των παρακάτω συναρτήσεων: ( = g( = + 4 h( = t( = 5 φ( = ln σ( = ln(ln p( = ln m( = λ R λ - λ - k( = ln 4 s( = ηµ. Να εξετάσετε αν για τις παραπάνω συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου. Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Επαναληπτικές Ασκήσεις στο Κεφάλαιο 1: 1.2-1.5 Μονώνυμα - Πολυώνυμα - Ταυτότητες Αλγεβρικές παραστάσεις - Μονώνυμα Πράξεις με μονώνυμα Πολυώνυμα Πρόσθεση και Αφαίρεση πολυωνύμων

Διαβάστε περισσότερα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα

ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ἁλωτά γίγνετ ἐπιμελείᾳ και πόνῳ ἄπαντα ISBN 978-960-456-205-3 Copyright, Μάρτιος 2010, Ε. Λάμπρου, Γ. Πανταζής, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες)

Θέματα. Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Θέματα Θέμα 1 Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (10 μονάδες) Β. Είναι Σωστή ή Λάθος καθεμιά από τις παρακάτω προτάσεις ; Θέμα α. Αν x

Διαβάστε περισσότερα

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150)

Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. Θέμα 2 ο (150) Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα ο (150) -- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος -3- Τράπεζα θεμάτων Άλγεβρας Α Λυκείου Φεργαδιώτης Αθανάσιος ΚΕΦΑΛΑΙΟ

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια

Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Κωνσταντίνος Παπασταματίου Μαθηματικά Γ Λυκείου Κατεύθυνσης Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Συνοπτική Θεωρία Μεθοδολογίες Λυμένα Παραδείγματα Επιμέλεια: Μαθηματικός Φροντιστήριο Μ.Ε. «ΑΙΧΜΗ» Κ. Καρτάλη 8 (με

Διαβάστε περισσότερα

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;

αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ.

Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Μεθοδολογία Επίλυσης Προβλημάτων ============================================================================ Π. Κυράνας - Κ. Σάλαρης Πολλές φορές μας δίνεται να λύσουμε ένα πρόβλημα που από την πρώτη

Διαβάστε περισσότερα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα

Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα 8 Συνέχεια συνάρτησης σε κλειστό διάστημα Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1 Μια συνάρτηση f θα λέμε ότι είναι: i Συνεχής σε ένα ανοιχτό διάστημα (α,β) όταν είναι συνεχής σε κάθε σημείο του διαστήματος (α,β)

Διαβάστε περισσότερα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα

Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Α Λυκείου Άλγεβρα Τράπεζα Θεμάτων Το Δεύτερο Θέμα Θεωρούμε την ακολουθία (α ν ) των θετικών περιττών αριθμών: 1, 3, 5, 7, α) Να αιτιολογήσετε γιατί η (α ν ) είναι αριθμητική πρόοδος και να βρείτε τον εκατοστό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής

Μαθηματικά. Ενότητα 1: Οι Αριθμοί. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Μαθηματικά Ενότητα 1: Οι Αριθμοί Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα

1 Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Η εναλλάσσουσα ομάδα Όπως είδαμε η συνάρτηση g : S { } είναι ένας επιμορφισμός ομάδων. Ο πυρήνας Ke g {σ S / g σ } του επιμορφισμού συμβολίζεται με A περιέχει όλες τις άρτιες μεταθέσεις

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος,

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) είναι πραγματικός, γ) Το 3 είναι άρρητος, . ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Τηλ 0676-7 /0600 Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Να συμπληρωθούν τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη να προκύψει το έτος γέννησης σας : +....= 9.. = ( -

Διαβάστε περισσότερα

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής

Δηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 34 Κεφάλαιο ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ o ΜΕΡΟΣ Απαντήσεις στις ερωτήσεις του τύπου Σωστό-Λάθος. Λ 4. Λ 43. Λ. Σ 5. Λ 44. Σ 3. Λ 6. Λ 45. α) Σ 4. Σ 7. Λ β) Λ 5. Σ 8. Σ

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ

1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ ΜΕΡΟΣ Α. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ- ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΕΙΣ Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Όπως γνωρίζουμε, το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν είναι

Διαβάστε περισσότερα

Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα. Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη

Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα. Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη Κάθε γνήσιο αντίτυπο υπογράφεται από το συγγραφέα ISBN 978-960-456-322-7 Copyright, Απρίλιος 2012, Θ. Κουτρουμανίδης, Ε. Ζαφειρίου, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά

Διαβάστε περισσότερα

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x

O1 ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f x O ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΡΜΗΝΕΙΑ ΤΟΥ ΟΡΙΟΥ lim f ) Εντοπίζω τα σημεία που συναντώνται οι δύο καμπύλες ) Η τεταγμένη y αυτού του σημείου είναι το όριο της f και η τετμημένη η θέση y lim f Πλευρικά όρια lim f λ lim

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν

Α. ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση f και x. του πεδίου ορισμού της. Θα λέμε ότι η f είναι συνεχής στο x., όταν Α ΘΕΩΡΙΑ Εστω μια συνάρτηση και ένα σημείο του πεδίου ορισμού της Θα λέμε ότι η είναι συνεχής στο όταν Για παράδειγμα η συνάρτηση είναι συνεχής στο αφού Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό μια συνάρτηση δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση)

ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ. ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) ΣΧΕ ΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΩΝ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΤΗ ( Κεφάλαιο 4ο : Εκθετική - Λογαριθµ ική Συνάρτηση) Τα κριτήρια αξιολόγησης που ακολουθούν είναι ενδεικτικά. Ο καθηγητής έχει τη δυνατότητα διαµόρφωσής τους σε ενιαία

Διαβάστε περισσότερα