Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα. Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 2010, Θεσσαλονίκη"

Transcript

1

2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ , ISBN Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Απρίλιος 010, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.11/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως η άνευ γραπτής άδειας του εκδότη και συγγραφέα κατά οποιοδήποτε τρόπο ή μέσο αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή (ηλεκτρονική, μηχανική ή άλλη) και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλου ή μέρους του έργου. Φωτοστοιχειοθεσία Eκτύπωση Βιβλιοδεσία Π. ZHTH & Σια OE 18 ο χλμ Θεσσαλονίκης - Περαίας T.Θ Περαία Θεσσαλονίκης T.K Tηλ.: Fax: BIBΛIOΠΩΛEIO ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ - KENTPIKH ΔIAΘEΣH: Aρμενοπούλου Θεσσαλονίκη Tηλ.: Fax BIBΛIOΠΩΛEIO AΘHNΩN - ENΩΣH EKΔOTΩN BIBΛIOY ΘEΣΣAΛONIKHΣ: Στοά του Bιβλίου (Πεσμαζόγλου 5) AΘHNA Tηλ.-Fax: AΠOΘHKH AΘHNΩN - ΠΩΛHΣH XONΔPIKH: Aσκληπιού 60 - Eξάρχεια , Aθήνα Tηλ.-Fax: ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟΠΩΛΕΙΟ:

3 Πρόλογος Τ ο βιβλίο αυτό απευθύνεται σε φοιτητές θετικών επιστημών, σε καθηγητές μαθηματικών και σε συμμετέχοντες σε διαγωνισμούς ΑΣΕΠ και Ολυμπιάδων. Είναι ένα πλήρες σύγγραμμα της κλασικής Θεωρίας Αριθμών. Η θεωρία αναπτύσσεται διεξοδικά και πλαισιώνεται με πλήθος παραδειγμάτων και εφαρμογών, που αποσαφηνίζουν με κάθε λεπτομέρεια όλες τις έννοιες. Περιέχει τα παρακάτω οκτώ κεφάλαια. 1) Ευκλείδεια διαίρεση ακεραίων ) Διαιρετότητα ακεραίων 3) Μέγιστος κοινός διαιρέτης - Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο 4) Πρώτοι αριθμοί 5) Ισοτιμίες 6) Αριθμητικές και πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις 7) Πολυωνυμικές ισοτιμίες και τετραγωνικά υπόλοιπα 8) Διοφαντικές εξισώσεις. Σε κάθε κεφάλαιο προτείνεται για λύση ένας μεγάλος αριθμός ασκήσεων κλιμακούμενης δυσκολίας, για τις οποίες, στο τέλος του βιβλίου, δίνονται σύντομες λύσεις ή υποδείξεις για τη λύση τους. Απρίλιος 010 Θανάσης Ξένος

4 Περιεχόμενα Εισαγωγή...7 Κεφάλαιο 1: Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων...11 Προτεινόμενες Ασκήσεις...0 Κεφάλαιο : Διαιρετότητα Ακεραίων...3 Προτεινόμενες Ασκήσεις...34 Κεφάλαιο 3: Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο Μέγιστος κοινός διαιρέτης δύο ακεραίων Μέγιστος κοινός διαιρέτης πολλών ακεραίων Ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο...48 Προτεινόμενες Ασκήσεις...59 Κεφάλαιο 4: Πρώτοι Αριθμοί Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί Το κόσκινο του Ερατοσθένη Ιδιότητες των πρώτων αριθμών Η ανάλυση ενός ακεραίου σε γινόμενο πρώτων παραγόντων...68 Προτεινόμενες Ασκήσεις...84 Κεφάλαιο 5: Ισοτιμίες Η έννοια της ισοτιμίας και βασικές ιδιότητες Το σύνολο w των κλάσεων ισοτιμιών Γραμμικές ισοτιμίες Συστήματα γραμμικών ισοτιμιών Προτεινόμενες Ασκήσεις Κεφάλαιο 6: Αριθμητικές και Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις Η συνάρτηση φ του Euler Η συνάρτηση μ του Möbius...137

5 6 Περιεχόμενα 6.4. Το θεώρημα των Fermat - Euler Προτεινόμενες Ασκήσεις Κεφάλαιο 7: Πολυωνυμικές Ισοτιμίες και Τετραγωνικά Υπόλοιπα Πολυωνυμικές ισοτιμίες Πολυωνυμικές ισοτιμίες με μέτρο πρώτο βαθμό Το θεώρημα Wilso Πολυωνυμικές ισοτιμίες με μέτρο σύνθετο αριθμό Αρχικές ρίζες modulo Δείκτες ως προς μια βάση modulo Τετραγωνικά υπόλοιπα Το σύμβολο Legedre Το σύμβολο Jacobi Προτεινόμενες Ασκήσεις Κεφάλαιο 8: Διοφαντικές Εξισώσεις Γραμμικές διοφαντικές εξισώσεις Διοφαντικές εξισώσεις δευτέρου βαθμού Ειδικές διοφαντικές εξισώσεις... 9 Προτεινόμενες Ασκήσεις Προτεινόμενες ασκήσεις απ όλα τα κεφάλαια Σύντομες Λύσεις των Ασκήσεων Κεφάλαιο 1: Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων Κεφάλαιο : Διαιρετότητα Ακεραίων Κεφάλαιο 3: Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο... 5 Κεφάλαιο 4: Πρώτοι Αριθμοί Κεφάλαιο 5: Ισοτιμίες Κεφάλαιο 6: Αριθμητικές και Πολλαπλασιαστικές συναρτήσεις Κεφάλαιο 7: Πολυωνυμικές Ισοτιμίες και Τετραγωνικά Υπόλοιπα... 8 Κεφάλαιο 8: Διοφαντικές Εξισώσεις Προτεινόμενες ασκήσεις απ όλα τα κεφάλαια Βιβλιογραφία Ευρετήριο Όρων

6 Εισαγωγή 7 Εισαγωγή Θεωρία Αριθμών είναι ο κλάδος των Μαθηματικών που μελετά τις ιδιότητες και κυρίως τη διαιρετότητα των θετικών ακέραιων αριθμών. Πολλά προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών μελετήθηκαν από τους αρχαίους Έλληνες. Οι Πυθαγόρειοι (γύρω στο 500 π.χ.) μελέτησαν τους πρώτους αριθμούς, ανέλυσαν σύνθετους αριθμούς σε γινόμενο πρώτων παραγόντων και ανέπτυξαν αλγόριθμους για την εύρεση του ΜΚΔ και του ΕΚΠ δύο ακέραιων αριθμών. Το πρώτο μαθηματικό βιβλίο στην αρχαία Ελλάδα είναι τα Στοιχεία του Ευκλείδη (γύρω στο 300 π.χ.), που αποτελείται από 13 βιβλία. Στο 7 ο, 8 ο, και 9 ο βιβλίο αναπτύσσεται η Θεωρία Αριθμών. Μεταξύ των άλλων, περιέχονται προτάσεις για την εύρεση του Μ.Κ.Δ., το μονοσήμαντο της ανάλυσης φυσικού αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων, απόδειξη της ύπαρξης άπειρων πρώτων αριθμών (ένα αριστούργημα της μαθηματικής σκέψης) και μια μέθοδος προσδιορισμού τέλειων αριθμών. Ένας αριθμός ονομάζεται τέλειος, αν ισούται με το άθροισμα των γνήσιων διαιρετών του, όπως π.χ. ο 6= ). Ο Ερατοσθένης (γύρω στο 30 π.χ.) επινόησε μέθοδο κατασκευής πρώτων α- ριθμών (κόσκινο του Ερατοσθένη). Ο Διόφαντος ο Αλεξανδρινός (γύρω στο 50 μ.χ.) στο έργο του Αριθμητικά μελέτησε την εύρεση των ακέραιων λύσεων μιας εξίσωσης (Διοφαντική εξίσωση). Μέχρι το Μεσαίωνα, οι αριθμοθεωρητικές γνώσεις των αρχαίων Ελλήνων διαφυλάχτηκαν από τους Άραβες, αφού πολλά έργα μεταφράστηκαν στην αραβική γλώσσα. Ιδρυτής της σύγχρονης Θεωρίας Αριθμών θεωρείται ο Fermat ( ), Γάλλος νομικός και μαθηματικός. Χαρακτηριστικά αναφέρουμε: p 1 i) To Θεώρημα Fermat, α - 1(modp), όπου p πρώτος και α μη διαιρετός με το p και

7 8 Θεωρία Αριθμών ii) την εικασία Fermat (που αποδείχθηκε το 1995), ότι η διοφαντική εξίσωση x + y = z με 3 δεν έχει θετικές ακέραιες λύσεις. Μεγάλη συνεισφορά στην ανάπτυξη της Θεωρίας Αριθμών είχαν ο Euler ( ) και ο Gauss ( ) που χαρακτήρισε τη Θεωρία Αριθμών ως τη βασίλισσα των Μαθηματικών. Αναφέρουμε μερικά από τα άλυτα προβλήματα (εικασίες) της Θεωρίας Αριθμών. α) Η εικασία Goldbach Κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών. β) Η εικασία των δίδυμων πρώτων αριθμών Υπάρχουν άπειρα ζεύγη δίδυμων πρώτων αριθμών. (Δύο πρώτοι αριθμοί που διαφέρουν κατά ονομάζονται δίδυμοι πρώτοι αριθμοί). γ) Οι αριθμοί του Mersee p Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής - 1, όπου P πρώτος. Οι αριθμοί αυτοί ονομάζονται αριθμοί του Mersee, αφού ο Γάλλος μοναχός και μαθηματικός Μερσέν ( ) ήταν ο πρώτος που ασχολήθηκε με τους αριθμούς αυτούς. Σημειώνουμε εδώ ότι, αν ο - 1 είναι πρώτος, τότε και ο είναι πρώτος. Το αντίστροφο δεν αληθεύει, αφού για = 11 είναι 11-1 = 047 = Ο μεγαλύτερος γνωστός αριθμός Mersee είναι ο p - 1 με p = που έχει ψηφία και ανακαλύφθηκε τον Αύγουστο του 008). δ) Οι αριθμοί Fermat Υπάρχουν άπειροι πρώτοι αριθμοί της μορφής + 1, Œk. Οι πρώτοι αριθμοί της μορφής + 1 ονομάζονται αριθμοί του Fermat. O Fermat, που ασχολήθηκε με τους αριθμούς αυτούς, πίστευε ότι για κάθε o α- ριθμός + 1 είναι πρώτος. Για = 0,1,,3,4 προκύπτουν πρώτοι αριθμοί. 3 Για = 5, όμως, όπως απέδειξε ο Euler, o αριθμός + 1 είναι σύνθετος, αφού έχει διαιρέτη τον αριθμό 641. k Σημειώνουμε, ακόμη ότι αν ο + 1 είναι πρώτος, τότε ο k είναι δύναμη του.

8 Εισαγωγή 9 ε) Η εικασία των τέλειων αριθμών Όλοι οι τέλειοι αριθμοί είναι άρτιοι. Οι τέλειοι αριθμοί είναι εξαιρετικά σπάνιοι. Μέχρι σήμερα έχουν ανακαλυφθεί 43 τέλειοι αριθμοί. Η τελευταία πρόταση στο 9 ο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη αναφέρει ότι: 1 Αν ο αριθμός - 1 είναι πρώτος, τότε ο αριθμός - ( - 1) είναι τέλειος. 3 5 Έτσι, π.χ. από τους πρώτους αριθμούς 3= - 1, 7= - 1, 31 = - 1, = - 1 και 8191 = - 1 προκύπτουν οι τέλειοι αριθμοί 6, 8, 496, 818 και Ο 10 ος τέλειος αριθμός είναι ο τεράστιος αριθμός

9 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 11 1 ο Kεφάλαιο Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων Οποιοδήποτε μη κενό υποσύνολο του συνόλου k = {0, 1,, 3, } των φυσικών αριθμών έχει ελάχιστο στοιχείο. Η πρόταση αυτή είναι γνωστή ως αρχή της καλής διάταξης και ενώ δείχνει απλοϊκή, έχει δύσκολη απόδειξη. Θεώρημα 1.1 Κάθε μη κενό υποσύνολο του k έχει ελάχιστο στοιχείο. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι υπάρχει μη κενό υποσύνολο Α του k, το οποίο δεν έχει ελάχιστο στοιχείο. Θα αποδείξουμε ότι για οποιοδήποτε στοιχείο α του Α ισχύει α, για κάθε Œk. Για = 0 έχουμε α 0 για κάθε αœ Α. Υποθέτουμε ότι για κάποιον φυσικό = m ισχύει α m για κάθε αœ Α. Αν mœ A, τότε το m θα ήταν ελάχιστο στοιχείο του Α, που είναι άτοπο. Επομένως, mœ A και αφού α> m, θα είναι α m+ 1. Σύμφωνα, λοιπόν, με την αρχή της μαθηματικής επαγωγής ισχύει α, για κάθε Œk. (1) Αν τώρα στην (1) θέσουμε όπου το φυσικό α+ 1, θα έχουμε α α+ 1, που είναι άτοπο. Άρα, κάθε μη κενό υποσύνολο του k έχει ελάχιστο στοιχείο. Σχόλιο: Για φυσικούς αριθμούς m και ισχύει: m> fim + 1 Θα αποδείξουμε το παρακάτω θεώρημα, που είναι γνωστό ως Θεώρημα της Ευκλείδειας διαίρεσης.

10 1 Κεφάλαιο 1 Θεώρημα 1. Αν δοθούν δύο ακέραιοι α και β με βπ 0, τότε υπάρχουν μοναδικοί ακέραιοι κ και υ έτσι, ώστε να ισχύει α = κβ+ υ με 0 υ< β Απόδειξη i) Θεωρούμε το σύνολο των ακεραίων της μορφής α- βx με x Œw, δηλαδή το σύνολο A = {α-βx x Œw }. Για x = α και β< 0, ο αριθμός α- β α είναι φυσικός. Επίσης, για x =- α και β> 0, ο αριθμός α+ β α είναι φυσικός. Έτσι, το σύνολο Α περιέχει φυσικούς αριθμούς. Έστω υ ο ελάχιστος φυσικός αριθμός του Α. Υπάρχει ακέραιος κ με υ= α- βκ, δηλαδή α = βκ + υ με υ 0. Θα αποδείξουμε, τώρα, ότι υ< β, δηλαδή υ- β < 0. Για β > 0 είναι υ- β = υ- β= α-βκ- β= α -(κ+ 1)β= α- xβ, με x = κ+ 1. Για β < 0 είναι υ- β = υ+ β= α- βκ+ β= α -(κ- 1)β= α- xβ, με x = κ- 1. Επομένως, υ- β Œ A. Αν υ- β 0, τότε υ- β υ (αφού υ το ελάχιστο στοιχείο του Α), δηλαδή β 0, που είναι άτοπο (αφού β π 0 ). Άρα, υ- β < 0. ii) Θα αποδείξουμε ότι οι ακέραιοι κ και υ είναι μοναδικοί. Υποθέτουμε ότι και για τους ακέραιους κ και υ ισχύει α = βκ + υ με 0 υ < β. Τότε βκ + υ = βκ + υ ή β(κ - κ ) = υ -υ. Αν κ π κ, τότε κ-κ 1, οπότε υ - υ = β κ-κ β. Από τις ανισότητες 0 υ< β και 0 υ < β, έχουμε - β <- υ 0 και 0 υ < β. Με πρόσθεση αυτών έχουμε - β < υ - υ< β, δηλαδή υ - υ < β και η ανισότητα υ -υ β που βρήκαμε παραπάνω δεν ισχύει. Άρα, κ = κ και η ισότητα β(κ - κ ) = υ -υ δίνει υ = υ. Η διαδικασία εύρεσης των ακεραίων κ και υ ονομάζεται ευκλείδεια ή αλγοριθμική διαίρεση του α με τον β. Ο κ ονομάζεται πηλίκο και ο υ υπόλοιπο της διαίρεσης α : β. Αν υ= 0, τότε η διαίρεση α : β ονομάζεται τέλεια. Έστω ότι οι α, β είναι θετικοί ακέραιοι και ισχύει

11 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 13 α = κβ+ υ, κ Œk και 0< υ< β. i) Επειδή α = (-κ) ( - β) + υ, η διαίρεση α: (- β) δίνει πηλίκο - κ και υπόλοιπο υ. ii) Ισχύει - α = -κβ- υ= -κβ- β+ β- υ= β ( -κ- 1) + (β- υ) και 0 < β - υ < β. Άρα, η διαίρεση (- α): β δίνει πηλίκο -κ- 1 και υπόλοιπο β - υ. iii) Ομοίως, επειδή - α = (- β)(κ + 1) + (β - υ), η διαίρεση (-α): (- β) δίνει πηλίκο κ+ 1 και υπόλοιπο β - υ. iv) Aν α < β, επειδή α = 0 β + α και 0 < α < β, η διαίρεση α:β δίνει πηλίκο 0 και υπόλοιπο α. Αν διαιρέσουμε τον ακέραιο α με το φυσικό αριθμό β π 0, τότε ισχύει α = κβ+ υ με κ Œw και υ= 0,1,, º,β- 1. Επομένως, ο α παίρνει μία από τις μορφές κβ, κβ + 1, κβ +, º, κβ + (β - 1). Στην ειδική περίπτωση β =, οι μορφές του α είναι α = κ (άρτιος) και α = κ+ 1 (περιττός). Επίσης, αν θεωρήσουμε τη διαίρεση α : 3, τότε ο α παίρνει μία από της μορφές 3κ, 3κ + 1, 3κ + (κ Œw ). Σχετικά με τους άρτιους και τους περιττούς ακέραιους, αναφέρουμε ορισμένες βασικές ιδιότητες. α) Το άθροισμα, η διαφορά και το γινόμενο δύο άρτιων αριθμών είναι άρτιος. Το άθροισμα και η διαφορά δύο περιττών είναι άρτιος, ενώ το γινόμενο δύο περιττών είναι περιττός. Το γινόμενο ενός άρτιου και ενός περιττού είναι περιττός. Για παράδειγμα, αν οι α, β είναι περιττοί, τότε α = κ+ 1 και β= λ+ 1, όπου κ, λ Œw και ισχύει α + β = (κ + 1) + (λ + 1) = κ + λ + = (κ + λ + 1) =άρτιος αβ = (κ+ 1)(λ + 1) = 4κλ+ κ+ λ+ 1= (κλ + κ+ λ) + 1=περιττός. β) Το γινόμενο δύο διαδοχικών ακεραίων είναι άρτιος αριθμός, επειδή ο ένας από τους δύο είναι άρτιος και ο άλλος περιττός. ( + 1) = κ, κ Œw

12 14 Κεφάλαιο 1 γ) Αν α Œw και Œk, τότε ισχύουν οι ισοδυναμίες: i) α άρτιος ii) α περιττός α άρτιος α περιττός Απόδειξη -1 i) Αν α = κ, κœw, τότε α = (κ) = κ = ( κ ) = άρτιος. ii) Αν α = κ+ 1, κœw, τότε α = (k + 1)(κ + 1) º (κ + 1) = μ + 1 =περιττός (μ Œw ). Αντιστρόφως: i) Έστω α = άρτιος. Αν ο α ήταν περιττός, τότε ο άτοπο. Άρα, α = άρτιος. ii) Ομοίως, αν ο α είναι περιττός, τότε και ο α είναι περιττός. α θα ήταν κι αυτός περιττός, δ) Το τετράγωνο κάθε περιττού αριθμού παίρνει τη μορφή 8κ + 1, κ Œw. ( + 1) = 8κ + 1, κ Œw. Πράγματι, (+ 1) = = 4(+ 1) + 1= 4 κ+ 1= 8κ+ 1. ε) Το άθροισμα και η διαφορά δύο ακεραίων είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί. Αν α, β ακέραιοι, τότε ισχύει: i) α+ β=άρτιος α - β = άρτιος ii) α+ β=περιττός α- β= περιττός Οι ισοδυναμίες αυτές προκύπτουν από το γεγονός ότι ο αριθμός (α + β) -(α - β) ισούται με β και είναι άρτιος, οπότε οι αριθμοί α + β, α - β είναι και οι δύο άρτιοι ή και οι δύο περιττοί. στ) Κάθε άρτιος φυσικός γράφεται ως γινόμενο μιας δύναμης του και ενός περιττού. Εφαρμογή 1.1 Αν διαιρεθούν διαδοχικοί θετικοί ακέραιοι με τον, τότε μόνον μία από τις διαιρέσεις αυτές είναι τέλεια.

13 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 15 Απόδειξη Θεωρούμε τους θετικούς ακέραιους α+ 1, α+, º., α+ και θα αποδείξουμε ότι μόνον μία από τις διαιρέσεις (α + 1) :, (α + ) :, º, (α + ) : δίνει υπόλοιπο 0. Υποθέτουμε ότι τα πηλίκα των διαιρέσεων αυτών είναι οι φυσικοί αριθμοί κ,κ, 1 º,κ και τα υπόλοιπα είναι υ,υ, 1 º,υ αντίστοιχα. Τα υπόλοιπα ανήκουν στο σύνολο {0, 1,, º, - 1}. Θεωρούμε δύο οποιεσδήποτε από τις διαιρέσεις αυτές, τις (α + λ) : και (α + μ) : με λ π μ. Ισχύουν οι ισότητες α λ κ υ α+ μ = κ + υ () + = λ + λ (1) και μ μ Αν υλ = υμ, με αφαίρεση των (1), () κατά μέλη, έχουμε λ- μ = (κ - κ ) λ μ και αυτό σημαίνει ότι ο λ - μ είναι πολλαπλάσιο του, που είναι άτοπο, αφού 0π λ- μ<. Έτσι, υλ π υμ. Τα υπόλοιπα, λοιπόν υ,υ, 1 º,υ είναι ανά δύο διαφορετικά, έχουν πλήθος και ανήκουν στο σύνολο {0, 1,, º, - 1}. Άρα, πρόκειται για τους ακέραιους 0, 1,, º, - 1 κι επομένως μόνον μία από τις παραπάνω διαιρέσεις δίνει υπόλοιπο 0. Εφαρμογή 1. Να αποδειχθεί ότι μια δύναμη του, με εκθέτη θετικό ακέραιο, δε γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι ο αριθμός δηλαδή, Œk γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών, = λ + (λ + 1) + (λ + ) + º + (λ + κ), λ, κ Œk και κ π 0. (1) Το δεύτερο μέλος της (1) είναι άθροισμα κ+ 1 όρων αριθμητικής προόδου και ι- σούται με κ+ 1 1 [λ + (λ + κ)] = (κ + 1)(λ + κ) Έτσι, η (1) γράφεται

14 16 Κεφάλαιο = (κ+ 1) (λ+ κ) με κ+ 1> 1 και λ + κ 1 () i) Αν κ = 1, η () γράφεται περιττός, ενώ ο άρτιος. λ + 1 =, που είναι άτοπο, επειδή ο λ + 1 είναι ii) Αν κ > 1, τότε λ + κ > 1. Για να ισχύει η (), πρέπει να υπάρχουν θετικοί ακέραιοι μ και ρ, για τους οποίους ισχύουν μ κ+ 1= και ρ λ + κ =. Τότε ο κ θα είναι περιττός, οπότε ο λ + κ θα είναι κι αυτός περιττός, ενώ ο είναι άρτιος. Συμπεραίνουμε, λοιπόν, ότι ο αριθμός, Œk δε γράφεται ως άθροισμα διαδοχικών φυσικών αριθμών. (Σημειώνουμε ότι για = 0 ισχύει Εφαρμογή = 1= 0+ 1). Αν α, β Œk με α > β, να αποδειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με τον β είναι μικρότερο του α. ρ Απόδειξη Έστω ότι η διαίρεση του α με τον β δίνει πηλίκο κ και υπόλοιπο υ. Τότε ισχύει α = κβ+ υ, κœw και 0 υ< β. α Θα αποδείξουμε ότι υ < ή υ < α ή υ < κβ + υ ή υ < κβ. Επειδή υ < β, αρκεί να αποδειχθεί ότι β κβ ή κ 1 (αφού β > 0 ). Πράγματι, επειδή α > β και α, β > 0 το πηλίκο της διαίρεσης α:β είναι κ 1. Σχόλια: i) Aν α= β, τότε κ= 1 και υ= 0. ii) Αν α < β, τότε κ = 0 και υ = α. Εφαρμογή 1.4 Αν οι α, β, γ είναι θετικοί περιττοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός Α = αβ+ βγ+ γα δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Απόδειξη Αν θέσουμε α = κ+ 1, β = λ + 1 και γ = μ + 1, όπου κ, λ, μ Œk, τότε

15 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 17 Α = 4(κλ+ λμ+ μκ+ κ+ λ+ μ) + 3= 4+ 3, όπου = κλ+ λμ+ μκ+ κ+ λ+ μœk. Υποθέτουμε ότι ο αριθμός Α = 4+ 3 είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή ότι υπάρχει θετικός ακέραιος ρ με = ρ. Επειδή ο είναι περιττός, ο ρ θα είναι κι αυτός περιττός, οπότε ο ρ παίρνει τη μορφή 8α + 1, α Œk. Έτσι, η ισότητα = 8α + 1 γράφεται 4α - = 1 και είναι αδύνατη, αφού ο αριθμός 4α - είναι άρτιος. Άρα, ο αριθμός δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Σχόλια: 1) Ένα τέλειο τετράγωνο είναι φυσικός αριθμός που λήγει σε 0 ή 1 ή 4 ή 5 ή 6 ή 9. Έτσι, π.χ. ο αριθμός 10 +, Œk δεν είναι τέλειο τετράγωνο, επειδή λήγει σε. ) Αν ένας φυσικός αριθμός βρίσκεται ανάμεσα στα τετράγωνα δύο διαδοχικών ακεραίων, τότε δεν είναι τέλειο τετράγωνο. ( κ < < (κ+ 1) fi κ< < κ+ 1fi œk fi όχι τέλειο τετράγωνο). 3) Οι μόνοι διαδοχικοί φυσικοί αριθμοί που είναι και οι δύο τέλεια τετράγωνα είναι το 0 και το 1. Πράγματι, αν = κ και + 1= λ με, κ, λ Œk, τότε λ - κ = 1 ή (λ - κ)(λ + κ) = 1. Επομένως, λ- κ= 1 και λ+ κ= 1, δηλαδή λ= 1, κ= 0 και = 0. Εφαρμογή 1.5 S = 1! +! + º +! είναι τέ- Για ποιες τιμές του θετικού ακεραίου, ο αριθμός λειο τετράγωνο; Λύση Είναι: 1 S = 1! = 1, S = 1! +! = 3, S3 = 1! +! + 3! = 9= 3 και S4 = 33. Για 5 ισχύει S = 33 + (5! + 6! + º +!) = κ, κ Œk, αφού καθένας από τους αριθμούς 5!, 6!, º,! είναι πολλαπλάσιο του 10 (5! = 10 κ.λπ.). Επειδή ο αριθμός 10κ λήγει σε 0, το άθροισμα S = κ λήγει σε 3 και δεν μπορεί να είναι τέλειο τετράγωνο. Άρα, ο αριθμός 1! +! + º +! είναι τέλειο τετράγωνο μόνον για = 1 και = 3.

16 18 Κεφάλαιο 1 Εφαρμογή 1.6 Αν η διαίρεση του ακεραίου α με το 3 δεν είναι τέλεια, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 3, όπου Œk. Λύση Το υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το 3 είναι 1 και, οπότε ο α παίρνει τη μορφή 3κ + 1 ή 3κ +, όπου κ ακέραιος. i) Aν α = 3κ+ 1, τότε ʈ -1 Ê ˆ α = 3κ+ 1) = (3κ) + Á (3κ) + º + 3κ+ 1= 3μ+ 1 Ë1 Á Ë-1, μ Œw κι επομένως η διαίρεση του α με το 3 δίνει υπόλοιπο 1. ii) Aν α = 3κ+, τότε α = (3κ+ ) = 3μ+, μ Œw. Αν = ρ, ρœk, τότε ρ ρ = 4 = (3+ 1) = 3λ+ 1, λ Œw και οπότε η διαίρεση α : 3 δίνει πάλι υπόλοιπο 1. α = 3(μ+ λ) + 1, ρ+ 1 ρ ρ Αν = ρ+ 1, ρœk, τότε = = 4 = (3+ 1) = 3λ+, λ Œw και η διαίρεση α : 3 δίνει υπόλοιπο. Σχόλιο: To ανάπτυγμα του (α + β), Œk δίνεται από τον τύπο Ê ˆ Ê (α β) α α β ˆ Ê α β ˆ Ê α β ˆ + = + Á + +º+ +º+ αβ + β Ë1 Á Ë Á Ëκ Á Ë κ κ -1, ʈ! όπου το σύμβολο Áκ = είναι το πλήθος των συνδυασμών των ανά κ. Ë κ!(-κ)! Στην περίπτωση που οι α, β είναι ακέραιοι, από το παραπάνω ανάπτυγμα, έχουμε το συμπέρασμα: (α + β) = κα + β = λβ + α με κ, λ Œw. Για παράδειγμα, αν η διαίρεση του α με το β δίνει υπόλοιπο 1, τότε α= κβ+ 1, κœw και που σημαίνει ότι και η διαίρεση του α = (κβ + 1) = λβ + 1 = λβ + 1, λ Œw, α με το β δίνει υπόλοιπο 1.

17 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 19 Εφαρμογή 1.7 Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός log είναι άρρητος. Απόδειξη Υποθέτουμε ότι ο αριθμός log είναι ρητός, δηλαδή είναι κάποιο ανάγωγο κλάσμα κ με κ, λ Œw και λ 0 λ π. Επειδή log1 < log < log10, θα είναι > κ. θετικούς ακεραίους τους κ, λ και λ κ Η ισότητα log = σημαίνει ότι λ κ λ κ 5 = -, που είναι αδύνατο, αφού ο Άρα, λοιπόν, ο αριθμός log είναι άρρητος. κ 0< < 1, οπότε μπορούμε να θεωρήσουμε λ κ 10 λ = ή κ λ 10 = ή κ 5 είναι περιττός και ο λ κ κ κ λ 5 = ή - είναι άρτιος. Εφαρμογή 1.8 Αν δοθούν δύο θετικοί ακέραιοι α και β, τότε υπάρχει θετικός ακέραιος με α > β. Απόδειξη i) Αν α > β, τότε για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει α α > β. ii) Aν α β, τότε υπάρχουν φυσικοί αριθμοί κ και υ με β= ακ+ υ, 0 υ< α. Επομένως, ακ + α > ακ + υ δηλαδή (κ + 1)α > β. Άρα, για = κ+ 1, όπου κ το πηλίκο της διαίρεσης β:α, ισχύει α > β. Σχόλια: 1) H πρόταση που αποδείξαμε είναι μερική περίπτωση μιας γενικότερης ιδιότητας, που είναι γνωστή ως Θεώρημα του Αρχιμήδη και λέει ότι: Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί, τότε υπάρχει φυσικός αριθμός με α > β. ) Σύμφωνα με τα παραπάνω, κατάλληλο πολλαπλάσιο ενός θετικού ακεραίου, είναι μεγαλύτερο από οποιονδήποτε θετικό ακέραιο. 3) Μια απλούστερη πρόταση από το Θεώρημα του Αρχιμήδη είναι η εξής: Aν δοθεί ένας πραγματικός αριθμός α, τότε υπάρχει φυσικός αριθμός > α, που δείχνει ότι το σύνολο k των φυσικών αριθμών δεν είναι φραγμένο άνω.

18 0 Κεφάλαιο 1 Εφαρμογή 1.9 Να βρεθούν οι θετικοί ακέραιοι για τους οποίους ο αριθμός τέλειο τετράγωνο. 3 α = - 3 είναι Λύση Επειδή α = (- 3), αρκεί ο αριθμός - 3 να είναι τέλειο τετράγωνο, δηλαδή να υπάρχει θετικός ακέραιος κ με - 3 = κ. Ο - 3 είναι περιττός, οπότε και ο κ πρέπει να είναι περιττός. Έτσι, με κ = μ+ 1, μ Œk, έχουμε - 3 = 4μ + 4μ + 1, δηλαδή = (μ + μ+ 1), μœk. Προτεινόμενες ασκήσεις στο 1 ο Κεφάλαιο 1. Αν κ είναι ένας ακέραιος αριθμός, να βρεθεί το υπόλοιπο των διαιρέσεων α) (5κ - 1) : 5, β) (3κ + 1) : 6 και γ) (κ - 5) : 8.. Αν η διαίρεση ενός ακεραίου α με το 5 δίνει υπόλοιπο, να βρεθεί το υπόλοιπο των διαιρέσεων α) α : 5, β) 3 α : 5 και γ) 10 α : Να βρεθεί το υπόλοιπο των διαιρέσεων α) : 5, β) : 7 και γ) m + με, m (6 5 ) : 10 Œk. 4. Αν οι, m είναι θετικοί ακέραιοι, να εξετασθεί αν ο αριθμός + 1 γράφεται ως άθροισμα m περιττών αριθμών. 5. Να εξετασθεί αν υπάρχει ακέραιος αριθμός x, που επαληθεύει την εξίσωση κ+ 1 x + x = (m+ 1), όπου, m, κ φυσικοί αριθμοί. 6. Να εξετασθεί αν έχει ακέραιη λύση η εξίσωση 10 x(x- 1) + (x- 1)(x+ 1) + x(x+ 1) + 3x = 10, Œk. 7. Αν ένας άρτιος αριθμός είναι άθροισμα τετραγώνων δύο ακεραίων, να αποδειχθεί ότι συμβαίνει το ίδιο και με το μισό του. 8. Δίνονται δύο θετικοί ακέραιοι α και β με απ β. Να αποδειχθεί ότι οι ευκλείδειες διαιρέσεις α:(α- β) και β:(α- β) δίνουν το ίδιο υπόλοιπο, ενώ τα πηλίκα τους διαφέρουν κατά 1.

19 Ευκλείδεια Διαίρεση Ακεραίων 1 9. Δίνονται οι ακέραιοι α,α, 1 º,α και β με βπ 0 και έστω υ κ το υπόλοιπο της διαίρεσης α κ : β, για κ = 1,, º,. Να αποδειχθεί ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του α1+ α + º + α με το β ισούται με το υπόλοιπο της διαίρεσης του υ1+ υ + º + υ με το β. 10. Να βρεθούν όλοι οι ακέραιοι αριθμοί, για τους οποίους ο αριθμός 1 ( ) είναι ακέραιος Να βρεθεί το πλήθος των στοιχείων του συνόλου όταν διαιρεθούν με το 10 δίνουν υπόλοιπο 3. 3 A = {7, 7, 7, º,7 }, που 1. Να εξετασθεί αν έχει ακέραιες λύσεις η εξίσωση x = 4y Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 3x - 1 = y δεν έχει ακέραιες λύσεις. 14. Αν οι αριθμοί α, β, γ είναι ακέραιοι με αβ = γ + 1, να βρεθεί το υπόλοιπο της διαίρεσης του αριθμού α + β με το, το 4 και το Αν η διαίρεση του ακεραίου α με τον ακέραιο βπ 0 δίνει πηλίκο κ και υπόλοιπο υ, να βρεθεί ο μεγαλύτερος ακέραιος x, για τον οποίο η διαίρεση του (α + x) με τον β δίνει το ίδιο πηλίκο. 16. Να αποδειχθεί ότι μόνο για ένα φυσικό αριθμό, o αριθμός α = (+ ) είναι ακέραιος. 17. Αν πάρουμε στην τύχη ένα από τα στοιχεία του συνόλου με Œk, ποια είναι η πιθανότητα να είναι τέλειο τετράγωνο; A = {1,,3, º,10 }, 18. Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών θετικών ακεραίων είναι πολλαπλάσιο του 8 και δεν είναι τέλειο τετράγωνο. 19. Να βρεθεί τετραψήφιος αριθμός της μορφής ααββ, που είναι τέλειο τετράγωνο. 0. Να βρεθεί η τετραγωνική ρίζα του αριθμού α = 111º 1 º 5, όπου το ψηφίο 1 επαναλαμβάνεται φορές, ενώ το ψηφίο επαναλαμβάνεται + 1 φορές. 1. α) Αν Œk, να βρεθεί το τελευταίο ψηφίο του αριθμού β) Να εξετασθεί αν έχει θετικές ακέραιες λύσεις η εξίσωση x + x+ 1= 015y.

20 Κεφάλαιο 1. Αν οι α, β, γ είναι περιττοί αριθμοί, να αποδειχθεί ότι η εξίσωση αx + βx + γ = 0 δεν έχει καμιά ρητή ρίζα. 3. Αν διαιρέσουμε 000 διαδοχικούς ακεραίους με το 000, να αποδειχθεί ότι μόνον ένας απ αυτούς δίνει υπόλοιπο α) Να αποδειχθεί ότι για κάθε ακέραιο α υπάρχει ακέραιος κ με 16κ + 1. β) Να εξετασθεί αν έχει ακέραιες λύσεις η εξίσωση 4 α = 16κ ή x + y + z + w = Αν α είναι ένας περιττός ακέραιος, να αποδειχθεί ότι η διαίρεση του α με τον, όπου ακέραιος με >, δίνει υπόλοιπο έναν από τους αριθμούς 1, 9, 17, 5,, Αν η διαίρεση ενός άρτιου ακεραίου α με το 3 δίνει υπόλοιπο 1, να βρεθεί υπόλοιπο της διαίρεσης του α με το α) Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο δύο διαδοχικών θετικών ακεραίων δεν είναι τέλειο τετράγωνο. β) Να αποδειχθεί ότι το γινόμενο τριών διαδοχικών θετικών ακεραίων δεν είναι τέλειος κύβος. 8. Αν ο θετικός ακέραιος α γράφεται ως γινόμενο τεσσάρων διαδοχικών ακεραίων, να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 4 α δεν είναι ακέραιος.

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ

4.2 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ 14 4 ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο της διαίρεσης του με τον Σύμφωνα με το γνωστό αλγόριθμο της διαίρεσης, το πηλίκο θα είναι ένας ακέραιος κ, τέτοιος,

Διαβάστε περισσότερα

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων

Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ISBN 978-960-456-259-6 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο της θεωρίας αριθμών θα πρέπει να είναι σε θέση: Να γνωρίζει: την αποδεικτική μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για την οποία πρέπει να γίνει κατανοητό ότι η αλήθεια

Διαβάστε περισσότερα

ISBN 978-960-456-191-9

ISBN 978-960-456-191-9 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011

Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2011 Βοβός - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ISBN 978-96-46-28-9 Copyright: Βοβός Α. Νικόλαος, Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 211 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις του Eλληνικού νόμου (N.2121/1993

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-314-2 Copyright: Ψωμόπουλος Ευάγγελος, Eκδόσεις Zήτη, Γ έκδοση: Μάρτιος 2012, Θεσσαλονίκη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται

Διαβάστε περισσότερα

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ

4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ 174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ - 11 - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΡΧΗ ΤΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΠΑΓΩΓΗΣ Έστω Ρ(ν) ένας ισχυρισµός, ο οποίος αναφέρεται στους θετικούς ακέραιους Αν: i) o ισχυρισµός είναι αληθής για τον ακέραιο 1,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν

Διαβάστε περισσότερα

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν.

1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. Σ Λ 2. * Οι αριθμοί 2ν και 2ν + 2 είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» ν 1. * Ο αριθμός, ν Ν, είναι ανάγωγο κλάσμα για κάθε ν Ν. 3 Σ Λ. * Οι αριθμοί ν και ν + είναι διαδοχικοί άρτιοι για κάθε ν Ν. 3. * Αν ένας

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη

Κωνσταντίνος Μαντζουκίδης, Ιανουάριος 2012, Θεσσαλονίκη Διεύθυνση επικοινωνίας: Μαντζουκίδης Κωνσταντίνος Πτυιούος Τμήματος Χημείας Α.Π.Θ. Τ.Θ. 1373, Τ.Κ. 57500, Τρίλοφος Θεσσαλονίκης Τηλ: 390 6489 6974 995091 e-mail : costasmantz@gmail.com Το μεγαλύτερο και

Διαβάστε περισσότερα

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή

4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 4.1 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ. Εισαγωγή 4 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ 41 Η ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ Εισαγωγή Η Θεωρία Αριθμών, δηλαδή η μελέτη των ιδιοτήτων των θετικών ακεραίων, έθεσε από πολύ νωρίς τους μαθηματικούς μπροστά στο εξής πρόβλημα: Κάποια πρόταση

Διαβάστε περισσότερα

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις

Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις wwwzitigr Πρόλογος Το βιβλίο αυτό αποτελεί τον πρώτο τόμο των Μαθηματικών Γʹ Λυκείου για τις ομάδες προσανατολισμού: ç Θετικών σπουδών ç Οικονομίας και Πληροφορικής Αναπτύσσονται διεξοδικά τα κεφάλαια:

Διαβάστε περισσότερα

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ 1 4.2 4.3 ΕΥΚΛΕΙ ΕΙΑ ΙΑΙΡΕΣΗ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΘΕΩΡΙΑ 1. Θεώρηµα Αν α, β ακέραιοι µε β 0, τότε υπάρχουν µοναδικοί ακέραιοι κ και υ, έτσι ώστε α = κβ + υ µε 0 υ < β. 2. Τέλεια διαίρεση Αν το υπόλοιπο υ της Ευκλείδειας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΩΝ EΞΙΣΩΣΕΙΣ...47 ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ... 9 1 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ...11 1.1 Βασικές θεωρητικές γνώσεις... 11 1.. Λυμένα προβλήματα... 19 1. Προβλήματα προς λύση... 4 1.4 Απαντήσεις προβλημάτων Πραγματικοί αριθμοί... 0 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ 234 Κεφάλαιο 4ο: ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Απαντήσεις στις ερωτήσεις «Σωστό - Λάθος» 1. Λ 17. Σ 32. Σ 47. Σ 62. Σ 2. Σ 18. Σ 33. Λ 48. Λ 63. Σ 3. Λ 19. Λ 34. Σ 49. Σ 64. Λ 4.

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις

Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο. Ασκήσεις Εισαγωγή στη Θεωρία Αριθµών για το Λύκειο Σηµειώσεις Προετοιµασίας για Μαθηµατικούς ιαγωνισµούς Ασκήσεις Αλέξανδρος Γ. Συγκελάκης ags@math.uoc.gr Νοέµβριος 2012 1 Ασκησεις στη Θεωρια Αριθµων 1 Μαθηµατική

Διαβάστε περισσότερα

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων

Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων Χαρακτήρες διαιρετότητας ΜΚΔ ΕΚΠ Ανάλυση αριθμού σε γινόμενο πρώτων παραγόντων TINΑ ΒΡΕΝΤΖΟΥ www.ma8eno.gr www.ma8eno.gr Σελίδα 1 Ορισμός Ευκλείδεια διαίρεση ονομάζεται η πράξη κατά την οποία ένας αριθμός

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...

KΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,... KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π.

Aπάντηση Απόλυτη τιμή αριθμού είναι η απόσταση του αριθμού από το 0. Συμβολίζεται με 3 = 3-3 = 3 + και και είναι πάντα θετικός αριθμός. Π. ΜΕΡΟΣ Α : Α Λ Γ Ε Β ΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και πράξεις τους 1. Γράψε τα βασικότερα σύνολα τιμών: Aπάντηση Ν{0,1,,,4,5,6,..+

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-353-1 Copyright: Π. Δ. Τσαχαγέας, Eκδόσεις ZHTH, Θεσσαλονίκη, 2012 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Επανάληψης. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Ασκησεις - Επανάληψης ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt015b/nt015b.html Πέµπτη 1 Ιανουαρίου 016 Ασκηση 1. (1) Να λυθεί

Διαβάστε περισσότερα

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.

1. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. Κεφάλαιο Πραγματικοί αριθμοί. Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους Κατανόηση εννοιών - Θεωρία. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος και να δικαιολογήσετε την απάντησή

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...

Διαβάστε περισσότερα

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα :

ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ. 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΠΑΓΩΓΗ 1. Η μέθοδος της μαθηματικής επαγωγής αποτελείται από δυο βήματα : Βήμα 1 ο : Δείχνουμε ότι η πρόταση Ρ( ν ) είναι αληθής για το μικρότερο φυσικό για τον οποίο ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x.

ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 2. ίνεται το Ρ(x) αν το ρ είναι ρίζα Ρ(2x) 2x τότε το ρ είναι ρίζα του Ρ( Ρ(2x)) 2x. ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ίνονται τα πολυώνυµα Ρ (x), Ρ (x), Ρ (x) αν τα πολυώνυµα Ρ (x) και Ρ (x) δεν έχουν κοινή ρίζα και ισχύει : ( Ρ (x)) + (Ρ (x)) = (Ρ (x)) για κάθε x R να δείξετε ότι το Ρ (x) δεν έχει πραγµατική

Διαβάστε περισσότερα

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ

Δ/νση Β /θµιας Εκπ/σης Φλώρινας Κέντρο ΠΛΗ.ΝΕ.Τ. Πολυώνυµα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΑΚΕΡΑΙΑ ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΜΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Ορισµός Ονοµάζουµε ακέραιο πολυώνυµο του x κάθε έκφραση της µορφής : α ν x ν + α ν-1 x ν-1 + α ν-2 x ν-2 + +α 1 x + α 0 όπου α ν, α ν-1, α ν-2,, α 1, α 0 C και

Διαβάστε περισσότερα

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει

7. Αν υψώσουμε και τα δύο μέλη μιας εξίσωσης στον κύβο (και γενικά σε οποιαδήποτε περιττή δύναμη), τότε προκύπτει 8 7y = 4 y + y ( 8 7y) = ( 4 y + y) ( y) + 4 y y 4 y = 4 y y 8 7y = 4 y + ( 4 y) = ( 4 y y) ( 4 y) = 4( 4 y)( y) ( 4 y) 4( 4 y)( y) = 0 ( 4 y) [ 4 y 4( y) ] = 4 ( 4 y)( y + 4) = 0 y = ή y = 4) 0 4 H y

Διαβάστε περισσότερα

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς :

1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ 1. Να σημειώσετε το σωστό (Σ) ή το λάθος (Λ) στους παρακάτω ισχυρισμούς : 1. Αν μια πρόταση Ρ(ν) αληθής για ν = 3 και με την υπόθεση ότι Ρ(ν) είναι αληθής αποδείξουμε ότι και η Ρ(ν+1)

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους

Περιεχόμενα ΑΡΙΘΜΟΙ ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ. Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Περιεχόμενα ΠΡΟΛΕΓΟΜΕΝΑ 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΑΡΙΘΜΟΙ Κεφάλαιο Πρώτο Οι φυσικοί αριθμοί και η αναπαράστασή τους Οι φυσικοί αριθμοί Η σχέση της ισότητας και της ανισότητας των φυσικών αριθμών Η αναπαράσταση των

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις

2.3 Πολυωνυμικές Εξισώσεις . Πολυωνυμικές Εξισώσεις η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις που μας ζητούν να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση.. Να λυθούν οι εξισώσεις: i. + + + 6 = 0 ii. 7 = iii. ( + ) + 7 = 0 iv. 8 + 56 = 0 i. + + + 6 = 0 (

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ;

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 8. Πότε το γινόμενο δύο ή περισσοτέρων αριθμών παραγόντων είναι ίσο με το μηδέν ; ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ( ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ) ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : Το κεφάλαιο αυτό περιέχει πολλά θέματα που είναι επανάληψη εννοιών που διδάχθηκαν στο Γυμνάσιο γι αυτό σ αυτές δεν θα επεκταθώ αναλυτικά

Διαβάστε περισσότερα

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς

Σημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,...

Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν α 1 x+α 0 =0,με α 0,α 1,... 3 0 ΛΥΚΕΙΟ ΚΕΡΑΤΣΙΝΙΟΥ Λ. ΒΟΥΛΓΑΡΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Πολυωνυμική εξίσωση βαθμού ν ονομάζεται κάθε εξίσωση της μορφής α ν x ν +α ν-1 x ν-1 +...+α

Διαβάστε περισσότερα

Επαναληπτικές Ασκήσεις

Επαναληπτικές Ασκήσεις Επαναληπτικές Ασκήσεις Έστω ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης ενός πολυωνύμου ( x ) α Να γράψετε την ταυτότητα της διαίρεσης β Να βρείτε τα 0 και Ρ γ Αν το πολυώνυμο ( x) είναι x να βρείτε: x + x είναι 3x

Διαβάστε περισσότερα

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5

Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Ιγνάτιος Ιωαννίδης Χρήσιμες Γνώσεις 5 Α Σύνολα αριθμών Για τα σύνολα των αριθμών γνωρίζουμε ότι N Z Q R. ) Το N= { 0,,,,... } είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών. ) Το Z = { 0, ±, ±, ±,... } είναι το σύνολο

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα

Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Θεωρια Αριθµων Προβληµατα Μιχάλης Κολουντζάκης Τµήµα Μαθηµατικών και Εφαρµοσµένων Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Κρήτης Βούτες 700 3 Ηράκλειο 6 Απριλίου 205 Πολλές από τις παρακάτω ασκήσεις είναι από το ϐιβλίο

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δ.Π.Θ. - Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2016-2017 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ : ΔΟΜΗΜΕΝΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457.

2. Να γράψετε έναν αριθμό που είναι μεγαλύτερος από το 3,456 και μικρότερος από το 3,457. 1. Ένα κεφάλαιο ενός βιβλίου ξεκινάει από τη σελίδα 32 και τελειώνει στη σελίδα 75. Από πόσες σελίδες αποτελείται το κεφάλαιο; Αν το κεφάλαιο ξεκινάει από τη σελίδα κ και τελειώνει στη σελίδα λ, από πόσες

Διαβάστε περισσότερα

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης

Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων. Κρυπτογραφία. Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές. Χρήστος Ξενάκης Πανεπιστήμιο Πειραιά Τμήμα Ψηφιακών Συστημάτων Κρυπτογραφία Θεωρία αριθμών Αλγεβρικές δομές Χρήστος Ξενάκης Το σύνολο των ακεραίων Ζ = {..., -2, -1, 0, 1, 2,...} Το σύνολο των φυσικών Ν = {0, 1, 2,...}

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 0 ΘΕΩΡΙΑ ΜΕΘΟΔΟΙ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Βαγγέλης Α Νικολακάκης Μαθηματικός . ΠΡΑΞΕΙΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ. ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΟΜΟΣΗΜΩΝ- ΕΤΕΡΟΣΗΜΩΝ Σε ομόσημους κάνω πρόσθεση και βάζω το κοινό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου

Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 30.348.086, e-mail: thanasisxenos@yahoo.gr ISBN 978-960-456-3- Copyright, 0, Eκδόσεις ZHTH, Θανάσης Ξένος Tο παρόν

Διαβάστε περισσότερα

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1

β) 3 n < n!, n > 6 i i! = (n + 1)! 1, n 1 i=1 Κεφάλαιο 2: Στοιχεία Λογικής - Μέθοδοι Απόδειξης 1. Να αποδειχθεί ότι οι λογικοί τύποι: (p ( (( p) q))) (p q) και p είναι λογικά ισοδύναμοι. Θέλουμε να αποδείξουμε ότι: (p ( (( p) q))) (p q) p, ή με άλλα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2 ΓΥΜΝΑΣΙΟ ΥΜΗΤΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΙΑ ΠΡΟΕΤΟΙΜΑΣΙΑ ΓΙΑ ΤΙΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ - Σελίδα 1 από 6 - 1. Η ΔΟΜΗ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Στις εξετάσεις του Μαίου-Ιουνίου µας δίνονται δύο θέµατα θεωρίας και

Διαβάστε περισσότερα

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος

Aλγεβρα A λυκείου α Τομος Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,

Διαβάστε περισσότερα

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ

2.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που έχει ή μπορεί να πάρει τη μορφή κλάσματος, όπου, είναι ακέραιοι με 0. Ρητοί αριθμοί : Q /, 0. Έτσι π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση»

Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» 1 2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΚΑΙ ΟΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ Ιδιότητες των πράξεων Στους πραγματικούς αριθμούς ορίστηκαν οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού και με την οήθειά τους η αφαίρεση και η διαίρεση. Για

Διαβάστε περισσότερα

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση:

1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΙΚΟΥ ΤΥΠΟΥ Ερωτήσεις συµπλήρωσης 1. Συµπλήρωσε τον πίνακα µε την κατάλληλη µαθηµατική έκφραση: Φυσική γλώσσα Μαθηµατική γλώσσα ύο αριθµοί x, y διαφέρουν κατά και έχουν γινόµενο x (x

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!

ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)! ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι

Διαβάστε περισσότερα

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.

7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της. ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα

ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ. Λυμένα Παραδείγματα ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ Λυμένα Παραδείγματα. Να βρεθούν οι τιμές του λ R για τις οποίες το πολυώνυμο Ρ () = (4λ -9) +(λ -λ-) +λ- είναι το μηδενικό. Το Ρ () θα είναι το μηδενικό πολυώνυμο, για εκείνες τις τιμές του λ

Διαβάστε περισσότερα

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή

4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή 49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών... 37 3.1 Αριθμητικά σύνολα... 37 3.2 Ιδιότητες... 37 3.3 Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος... 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις... 5. Τέσσερις πράξεις... 5. Σύστημα πραγματικών αριθμών... 5. Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών... 6.4 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ. 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 324 416 ασκήσεις για λύση. 20 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 118 ερωτήσεις θεωρίας με απάντηση 34 416 ασκήσεις για λύση ερωτήσεις κατανόησης λυμένα παραδείγματα 0 συνδυαστικά θέματα εξετάσεων Π Ε Ρ Ι Ε Χ Ο Μ Ε Ν Α Εισαγωγική ενότητα Το λεξιλόγιο

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ Γυμνασίου Κεφάλαιο ο Αλγεβρικές Παραστάσεις ΛΕΜΟΝΙΑ ΜΠΟΥΤΣΚΟΥ Γυμνάσιο Αμυνταίου ΜΑΘΗΜΑ Α. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) ) Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε στην κατακόρυφη στήλη

Διαβάστε περισσότερα

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες

Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΓΙΩΡΓΟΣ Α. ΚΑΡΕΚΛΙΔΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ τη ΘΕΩΡΙΑ με τις απαραίτητες διευκρινήσεις ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη

Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 2008, Θεσσαλονίκη Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Με το συγγραφέα επικοινωνείτε: Tηλ. 10.8.086, e-mail: thanasisxenos@yahoo.gr ISBN 978-960-56-08- Copyright: Ξένος Θ., Eκδόσεις Zήτη, Ιανουάριος 008,

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...

ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ... ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται

Διαβάστε περισσότερα

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές

Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές 0 Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Εξισώσεις και ανισώσεις που ανάγονται σε πολυωνυμικές Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για να λύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 (ή μια πολυωνυμική ανίσωση P(x)

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ C ΣΕΙΡΑ 1 η Δημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανικών Παραγωγής & Διοίκησης Ακαδ. έτος 2015-2016 Τομέας Συστημάτων Παραγωγής Εξάμηνο Β Αναπληρωτής Καθηγητής Στέφανος Δ. Κατσαβούνης ΜΑΘΗΜΑ :

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ

ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ

ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΒΑΣΙΛΗΣ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ Οι Πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι είναι οι πραγματικοί αριθμοί ; Ποιοι είναι οι

Διαβάστε περισσότερα

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή.

Ποιος νοµίζετε ότι θα είναι ο αριθµός των διαγωνίων ενός πολυγώνου µε ν πλευρές; Να αποδειχθεί η σχέση που συµπεράνατε µε µαθηµατική επαγωγή. Ερωτήσεις ανάπτυξης 1. * Παρατηρούµε ότι: 1 11 ( + = 1 ) 1+ = ( + 1) 1 3 33 ( + + + = 1 ) Ποιο νοµίζετε ότι θα είναι το άθροισµα 1 + + 3 +... + ν; Αποδείξτε την ισότητα που συµπεράνατε µε επαγωγή.. * Μετράµε

Διαβάστε περισσότερα

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις

Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις 4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Πολυώνυµα - Πολυωνυµικές εξισώσεις Ορισµός πολυωνύµου Ονοµάζoυµε ΠΟΛΥΩΝΥΜΟ του κάθε παράσταση της µορφής α ν ν +α ν- ν- + +α +α 0, ν ΙΝ και α 0, α,, α ν-, α ν ΙR. Παρατηρήσεις α. Τα α ν ν, α

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες...

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 3 Οι ιδιότητες των αριθμών Αριθμητικά σύνολα Ιδιότητες Περισσότερες ιδιότητες... Περιεχόμενα Πρόλογος 5 Κεφάλαιο Βασικές αριθμητικές πράξεις 5 Τέσσερις πράξεις 5 Σύστημα πραγματικών αριθμών 5 Γραφική αναπαράσταση πραγματικών αριθμών 6 Οι ιδιότητες της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού

Διαβάστε περισσότερα

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό.

Ο Υπολογισμός του π από τον Αρχιμήδη. Οι πιο σημαντικές συνεισφορές του Αρχιμήδη στα Μαθηματικά ανήκουν στον Ολοκληρωτικό Λογισμό. Αρχιμήδης ο Συρακούσιος Ο μεγαλύτερος μαθηματικός της αρχαιότητας και από τους μεγαλύτερους όλων των εποχών. Λέγεται ότι υπήρξε μαθητής του Ευκλείδη, ότι ταξίδεψε στην Αίγυπτο, σπούδασε στην Αλεξάνδρεια

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Α Γ Υ Μ Ν Α Σ Ι Ο Υ 1 Συνοπτική θεωρία Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα 2 ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ-ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ 1. Πότε ένας φυσικός αριθμός λέγεται άρτιος; Άρτιος

Διαβάστε περισσότερα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα

Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα 2 Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-263-3 Copyright: Καρανικόλας Ν., Εκδόσεις Ζήτη, Α έκδοση: Ιανουάριος 2004, Β έκδοση βελτιωμένη: Ιανουάριος 2011 Tο παρόν έργο πνευματικής

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει

( ) ( ) Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή x. αντικ σταση στο που = α. [ ο αριθµ ός πουτο µηδεν ίζει μέρος πρώτο v v 1 v 1 Γενική μορφή πολυωνύμου: ( ) 1 1 Όροι του ( ) v v v P = a v + av 1 + av +... + a + a 1 + a, ν Ν, α ν R Τοα R σημαίνει ότι οι συντελεστές δεν περιέχουν την μεταβλητή. P : a, a, a,...,

Διαβάστε περισσότερα

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων

Επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων ΜΕΡΟΣ Α. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ 69. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Ορισμός Ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού με έναν άγνωστο κάθε ισότητα που έχει την μορφή α +β+ γ = 0 με α 0 (ο είναι ο άγνωστος της εξίσωσης,

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι

Αριθμοθεωρητικοί Αλγόριθμοι Αλγόριθμοι που επεξεργάζονται μεγάλους ακέραιους αριθμούς Μέγεθος εισόδου: Αριθμός bits που απαιτούνται για την αναπαράσταση των ακεραίων. Έστω ότι ένας αλγόριθμος λαμβάνει ως είσοδο έναν ακέραιο Ο αλγόριθμος

Διαβάστε περισσότερα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα

1ο Κεφάλαιο: Συστήματα ο Κεφάλαιο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα i. Ποια εξίσωση λέγεται γραμμική; ii. Πως μεταβάλλεται η ευθεία y, 0 ή 0 για τις διάφορες τιμές των α,β,γ; iii. Τι ονομάζεται λύση μιας γραμμικής εξίσωσης; iv.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα

Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Τάξη A Μάθημα: Άλγεβρα Ερωτήσεις Θεωρίας Θέματα Εξετάσεων Επαναληπτικά Θέματα Επαναληπτικά Διαγωνίσματα Περιεχόμενα Α. Θεωρία - Αποδείξεις.. Σελ. Β. Θεωρία-Ορισμοί. Σελ.16 Γ. Ερωτήσεις Σωστού Λάθους...

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 11: Αριθμητική υπολοίπων-δυνάμεις Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις

Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις 2 ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΜΕΡΟΣ Α -- ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 o Εξισώσεις - Ανισώσεις Α. 1 1 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ

ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ 3ο κεφάλαιο: Εξισώσεις ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟΣΤΟΛΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ) Copyright 2014 Αποστόλου Γιώργος Αποστόλου Γεώργιος apgeorge2004@yahoo.com άδεια χρήσης 3η Εκδοση, Αύγουστος 2014 Περιεχόµενα 1

Διαβάστε περισσότερα

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ

(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.

ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος. ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ

Διαβάστε περισσότερα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα

Οι φυσικοί αριθμοί. Παράδειγμα Οι φυσικοί αριθμοί Φυσικοί Αριθμοί Είναι οι αριθμοί με τους οποίους δηλώνουμε πλήθος ή σειρά. Για παράδειγμα, φυσικοί αριθμοί είναι οι: 0, 1,, 3,..., 99, 100,...,999, 1000, 0... Χωρίζουμε τους Φυσικούς

Διαβάστε περισσότερα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα

Δύο λόγια από τη συγγραφέα Δύο λόγια από τη συγγραφέα Τα μαθηματικά ή τα λατρεύεις ή τα μισείς! Για να λατρέψεις κάτι πρέπει να το κατανοήσεις, για τη δεύτερη περίπτωση τα πράγματα μάλλον είναι λίγο πιο απλά. Στόχος αυτού του βιβλίου

Διαβάστε περισσότερα

a b b < a > < b > < a >.

a b b < a > < b > < a >. Θεωρια Δακτυλιων και Modules Εαρινο Εξαμηνο 2016 17 Διάλεξη 1 Ενότητα 1. Επανάληψη: Προσθετικές ομάδες, δακτύλιοι, αντιμεταθετικοί δακτύλιοι, δακτύλιοι με μοναδιαίο στοιχείο, παραδείγματα. Συμφωνήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

τα βιβλία των επιτυχιών

τα βιβλία των επιτυχιών Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από

Διαβάστε περισσότερα

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί

Πρόλογος. Κ. Τζιρώνης Θ. Τζουβάρας Μαθηματικοί Πρόλογος Το βιβλίο αυτό περιέχει όλη την ύλη των Μαθηματικών της Β Γυμνασίου, χωρισμένη σε ενότητες, όπως ακριβώς στο σχολικό βιβλίο. Κάθε ενότητα περιλαμβάνει: Τη θεωρία Λυμένες ασκήσεις Χρήσιμες παρατηρήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ

Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Α Γ Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ (Α ΜΕΡΟΣ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ) Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Φ1: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φ: ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΓΙΑΝΝΗΣ ΧΡΑΣ 0-0 ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ Α - ΘΕΩΡΙΑ - ΣΩΣΤΟ-ΛΑΘΟΣ - ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ - ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΗΣΗΣ - ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ-ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΘΕΜΑ Β - ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,

Διαβάστε περισσότερα