Πολλαπλασιάζοντας και τα δύο µέλη επί x& και ολοκληρώνοντας ως προς t φθάνουµε στη σχέση. dv dx
|
|
- Μαρδοχαῖος Δυοβουνιώτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΗ 1- ΙΑΣΤΑΣΗ.1 Συντηρητικές δυνάµεις Έστω σώµα (µε την έννια τυ σωµατιδίυ) κινύµεν επί ευθείας γραµµής την πία ταυτίζυµε µε τν άξνα x, υπό την επίδραση της δύναµης F(x). Τότε η εξίσωση κίνησης τυ σώµατς είναι, m & x = F(x). (1) Πλλαπλασιάζντας και τα δύ µέλη επί x& και λκληρώνντας ως πρς t φθάνυµε στη σχέση dv x& = F(x)xdt & = F(x)dx = dx = V(x) cnst. () dx 1 m + όπυ έχυµε χρησιµπιήσει τν ρισµό της δυναµικής ενέργειας τυ σώµατς, x V (x) V(x ) = F(x)dx (3) x και x είναι µια σταθερά λκλήρωσης. Τ πρώτ µέρς της () είναι η κινητική ενέργεια τυ σώµατς, T = &, (4) 1 mx πότε φθάνυµε από την () στ νόµ διατήρησης της ενέργειας, Ε = Τ + V = σταθερά. (5) Η δύναµη λιπόν η πία εξαρτάται µόν από τ x λέγεται συντηρητική, και τ κινό χαρακτηριστικό των δυνάµεων αυτών είναι η διατήρηση της ενέργειας (τυ σώµατς). Από τν νόµ διατήρησης (5) µπρύµε να πάρυµε χρήσιµες πληρφρίες σχετικά µε την κίνηση τυ σώµατς, χωρίς να χρειαστεί να λκληρώσυµε την εξίσωση κίνησής τυ. Πράγµατι, η εξίσωση (5) γράφεται, x& = E V(x) (6) 1 m και επειδή τ πρώτ µέρς της (6) είναι θετικό, θα πρέπει να ισχύει: E V(x). Έστω ότι η συνάρτηση V(x) έχει την µρφή τυ Σχήµατς 1, πυ συνεπάγεται ότι η κίνηση τυ σώµατς περι- Σχήµα 1 Συνάρτηση δυναµικύ ρίζεται στa διαστήµατα x 1 x x και x x 3 όπυ Τ>0. Η ταχύτητα µηδενίζεται στα σηµεία x 1, x και x 3 (πυ λέγνται και σηµεία καµπής), όπυ V(x)=E. Έτσι, αν τ σωµατίδι ξεκινήσει από την Chap. 4
2 ηρεµία στ σηµεί x 1, θα κινηθεί πρς τα δεξιά αρχικά µε αυξανόµενη ταχύτητα και στη συνέχεια µε ελαττύµενη ταχύτητα µέχρι να φθάσει στ σηµεί x, όπυ ηρεµεί πρς στιγµήν και µετά αντιστρέφεται η κίνησή τυ, δηλ. τ σώµα εκτελεί ταλάντωση µεταξύ των σηµείων (x 1, x ). Αν όµως αρχικά τ σώµα ξεκινά από τ σηµεί x 3, τότε θα κινηθεί πρς τ + µε αυξανόµενη ταχύτητα, µέχρι ότυ διαφύγει έξω από τ πεδί δυναµικύ, όπυ V(x)=0. Ας θεωρήσυµε ένα πι συγκεκριµέν δυναµικό όπως τ πηγάδι δυναµικύ τυ Σχήµατς. Σχήµα Πηγάδι δυναµικύ Αν η λική ενέργεια Ε=Ε 1 <0, τότε τ σωµατίδι (όπως και στη πρηγύµενη συζήτηση) περιρίζεται µέσα σε µια πεπερασµένη περιχή τυ χώρυ και ταλαντύται µεταξύ των σηµείων όπυ V(x)=E. Αν όµως η ενέργεια τυ σωµατιδίυ είναι Ε=Ε >0, τότε αν αρχικά τ σωµατίδι βρίσκεται έξω από τ πεδί έλξης (όπυ V(x)=0) τ σωµατίδι εισέρχεται στη περιχή τυ πεδίυ επιταχυνόµεν µέχρι τυ σηµείυ x=0 (τ κέντρ τυ πεδίυ έλξης), στη συνέχεια επιβραδύνεται και εξέρχεται από τ πεδί µε ταχύτητα τελικά ίση µε την αρχική. Η κίνηση αυτή είναι απεριδική. Τ αντίθετ συµβαίνει στ φράγµα δυναµικύ τυ Σχήµατς 3. Τ δυναµικύ αυτό Σχήµα 3 Φράγµα δυναµικύ αντιστιχεί σε απωστική δύναµη. Εδώ είναι δυνατά δύ είδη κίνησης. Αν αρχικά τ σωµατίδι ξεκινήσει από τα αριστερά µε ενέργεια Ε=Ε 1, τότε επιβραδύνεται µέχρι τυ σηµείυ x 1, όπυ E=V(x). Στ σηµεί x 1 αντιστρέφεται η κίνησή τυ και ξεφεύγει τελικά στ -. Τ ίδι συµβαίνει και από την δεξιά πλευρά τυ φράγµατς. Αν όµως Ε=Ε, τότε τ σωµατίδι επιβραδύνεται µέχρι να φθάσει στ κέντρ τυ πεδίυ άπωσης (σηµεί x=0) και στη συνέχεια (χωρίς να σταµατήσει) επιταχύνεται και ξεφεύγει στ + µε τελική ταχύτητα ίση µε την αρχική, ως να µην είχε συναντήσει τ πεδί δυναµικύ. Chap. 5
3 . Κίνηση κντά στη θέση ισρρπίας Για να ισρρπεί ένα σώµα θα πρέπει η δύναµη πυ ασκείται σ αυτό να ισύται µε µηδέν ή dv F = = 0, πυ σηµαίνει ότι η εφαπτόµενη της δυναµικής ενέργειας στη θέση ισρρπίας να dx είναι ριζόντια. Χωρίς να χάνεται η γενικότητα, διαλέγυµε στ σηµεί ισρρπίας ως x=0. Για µικρές απµακρύνσεις από τη θέση ισρρπίας µπρύµε να αναπτύξυµε τη δυναµική ενέργεια σε σειρά Taylr γύρω από τ σηµεί ισρρπίας x=0, 1 V(x) = V(0) + xv' (0) + x V' '(0) +... (7) Θέτυµε V(0)=0 (στάθµη αναφράς) και εφόσν στ σηµεί ισρρπίας F=-V (0)=0, καταλήγυµε από την (7) στη πρσέγγιση, V (x) = 1 kx (8) όπυ k= V (0). (Η πρσέγγιση (8) έχει την ίδια µρφή µε την δυναµική ενέργεια τυ αρµνικύ ταλαντωτή, π.χ. µια µάζα m πρσδεδεµένη στ άκρ ενός ελατηρίυ). Οπότε από την (8) υπλγίζυµε τη δύναµη F = - kx, (9) και επµένως, η εξίσωση κίνησης τυ σώµατς ( ς νόµς τυ Νεύτωνα) γράφεται, m & x + kx = 0. (10) Η εξίσωση αυτή είναι γραµµική διαφρική εξίσωση και ι λύσεις της ακλυθύν την αρχή της επαλληλίας, δηλ. αν x 1 (t) και x (t) είναι λύσεις της (10), τότε και γραµµικός συνδυασµός x(t) = α x 1 (t) + β x (t) (11) (όπυ α και β σταθερές) είναι λύση της (10). Πράγµατι, αντικαθιστώντας την (11) στην (10) παίρνυµε & x + kx = α(mx && + kx ) + β(mx & + kx ) 0. m 1 1 = Αν ι λύσεις x 1 (t) και x (t) είναι γραµµικά ανεξάρτητες, τότε η λύση (11) είναι η γενική λύση της εξίσωσης κίνησης (10). Ας βρύµε λιπόν τις δύ γραµµικά ανεξάρτητες λύσεις της (10). (i) Αν k<0, τότε V(x)=max στ σηµεί ισρρπίας x=0. Η εξίσωση κίνησης (10) έχει τη µρφή, & x p x = 0, (1) Chap. 6
4 όπυ p =-k/m και p R. Οι λύσεις της (1) είναι x=e pt και e -pt, άρα η γενική λύση είναι x(t) = A e pt + B e -pt. (13) όπυ Α,Β αυθαίρετες σταθερές. Η λύση (13) είναι ασταθής. Πράγµατι, για t, πρώτς όρς στ µέρς της (13) απκλίνει, πυ σηµαίνει ότι µια µικρή απµάκρυνση από τη θέση ισρρπίας, δηγεί τ σώµα να απµακρύνεται εκθετικά µε τ χρόν από τ αρχικό σηµεί ισρρπίας (σηµεί ασταθύς ισρρπίας) και κατά συνέπεια η πρσέγγιση (7) παύει να ισχύει. (ii) Αν k>0, τότε V(x)=min στ σηµεί ισρρπίας x=0. Η εξίσωση (10) παίρνει τη µρφή, & x + ω x = 0, (14) όπυ ω =k/m και ω R. Οι λύσεις της (14) είναι πρφανώς ι τριγωνµετρικές συναρτήσεις x=csωt και sinωt, άρα η γενική λύση έχει τη µρφή, x(t) = A csωt + B sinωt (15) όπυ Α,Β αυθαίρετες σταθερές, ι πίες µπρύν να πρσδιριστύν από τις αρχικές συνθήκες για x, v. H λύση (15) µπρεί να τεθεί και υπό τη µρφή, x(t) = A cs(ωt+φ) (16) όπυ τώρα (Α, φ) είναι ι νέες αυθαίρετες σταθερές. Η λύση (16) παριστάνει αρµνική ταλάντωση. Η σταθερά Α καλείται πλάτς της ταλάντωσης, η σταθερά φ αρχική φάση, και η σταθερά ω συνήθως αναφέρεται ως γωνιακή συχνότης ταλάντωσης. Να υπενθυµήσω ότι ως κυκλική (ή απλά) συχνότης ν ρίζεται από τη σχέση: ρίζεται ως: Τ=1/ν. ν = ω π, ενώ η περίδς ταλάντωσης Τ.4 Απσβενυµένη ταλάντωση Είδαµε ότι ένα σώµα πυ υφίσταται την επίδραση συντηρητικής δύναµης, µπρεί για µικρές µετατπίσεις από τη θέση ισρρπίας τυ να θεωρηθεί πρσεγγιστικά σαν ένας αρµνικός ταλαντωτής. Όµως σε όλα τα φυσικά συστήµατα επενεργεί και κάπια δύναµη τριβής (λέγνται και δυνάµεις ασωτείας) πυ δηγεί σε απώλεια της ενέργειας. Σαν καλή πρσέγγιση στις περισσότερες περιπτώσεις µπρύµε να υπθέσυµε ότι η δύναµη τριβής είναι ανάλγη της ταχύτητας x&, εφόσν µάλιστα αυτή είναι και η µόνη περίπτωση τριβών για την πίαν µπρύµε να επιλύσυµε την εξίσωση κίνησης αναλυτικά. Συνεπώς, η εξίσωση (10) γράφεται τώρα, Chap. 7
5 m & x = kx bx&. (17) όπυ b είναι µια σταθερά (υπθέτυµε b>0). Η εξίσωση (17) περιγράφει τν απσβυνόµεν αρµνικό ταλαντωτή. Για την επίλυσή της (ως µγενής) δκιµάζυµε εκθετικές λύσεις της µρφής x(t) =A e pt, πότε x& =Ap e pt, και & x& = Ap e pt. Αντικαθιστώντας στην (17) έχυµε, ή A (mp + bp + k) e pt = 0, mp + bp + k = 0. (18) Οι ρίζες τυ τριωνύµυ είναι p b b k = + ( ) και m m m 1 p b b k = ( ) (19) m m m ή θέτντας (19) γράφνται, ω = k και m p1 γ = b m = γ + γ ω και (ω λέγεται ιδισυχνότητα τυ αρµνικύ ταλαντωτή), ι ρίζες p = γ γ ω (0) (a) για µεγάλη απόσβεση γ > ω έχυµε p1,p R, ενώ η τετραγωνική ρίζα στις (0) γράφεται: γ ω = γ ω 1 γ ω γ(1 γ ω ) = γ γ, πότε ω p1 = και γ ω p = γ +. (1) γ Συνεπώς, η γενική λύση της (17) είναι ω t γ ω γt+ t γ x(t) = Ae + Be () Για t, και ι δύ όρι στην () τείνυν εκθετικά πρς τ µηδέν. (b) για µικρή απόσβεση γ < ω, ι ρίζες (0) p1,p είναι µιγαδικές, δηλ. p 1 = γ + iω και p = γ iω (3) Chap. 8
6 όπυ ω = ω γ. Οπότε η γενική λύση της (17) είναι, x(t) = A e -γt+iωt + B e -γt-iωt = α e γt cs(ωt+φ) (4) Η λύση (4) παριστάνει ταλάντωση µε συχνότητα ω = ω γ και µε πλάτς ταλάντωσης αe -γt τ πί µειώνεται εκθετικά µε τ χρόν (Σχήµα 4). O χρόνς τ=1/γ λέγεται χρόνς εφησυχασµύ και παριστάνει τν χρόν πυ απαιτείται για να µειωθεί τ πλάτς στην 1/e της αρχικής τυ τιµής. Μέσα σε µια περίδ τ πλάτς ταλάντωσης µειώνεται κατά: Q καλείται συντελεστής πιότητς. ω = γ e γτ = e γ x/ω e π / Q. Η πσότης Σχήµα 4 Αρµνική ταλάντωση µε µικρή απόσβεση H λική ενέργεια τυ ταλαντωτή στη περίπτωση της µικρής απόσβεσης είναι (παίρνυµε ω ω ), 1 Ε = m x& + kx 1 γt γt 1 mα [ γe cs( ω t + φ) ω e sin( ω t + φ)] + k[ αe cs( ω t + φ )] 1 γt 1 γt 1 γt t m e sin ( t ) k e cs ( t ) k e E e γ α ω ω + φ + α ω + φ α = (5) 1 γt δηλ. η λική ενέργεια µειώνεται εκθετικά στ διπλάσι ρυθµό απ ότι τ πλάτς ταλάντωσης, όπυ E 1 = kα (στη τελευταία ισότητα στην (5) χρησιµπιήσαµε τη σχέση: mω = k ). Σχήµα 5 Αρµνική ταλάντωση (α) µε µεγάλη απόσβεση, (b) µε µικρή απόσβεση, και (c) µε κρίσιµη απόσβεση. Chap. 9
7 (c) για την ριακή τιµή γ=ω (κρίσιµη απόσβεση), ι ρίζες (0) είναι ίσες, δηλ. p 1 =p = γ, πότε η γενική λύση της (17) θα έχει τη µρφή, x(t) = A e -γt + B t e -γt = (A+Bt) e -γt (6) η πία και πάλι τείνει εκθετικά πρς τ µηδέν για t, αλλά σε πι γρήγρ ρυθµό απ ότι της περίπτωσης (a). Στ Σχήµα 5 φαίνεται παραστατικά η επιστρφή στην ηρεµία ενός αρµνικύ ταλαντωτή στις τρεις περιπτώσεις απόσβεσης πυ έχυµε µελετήσει παραπάνω..5 Εξαναγκασµένη ταλάντωση Συχνά ενδιαφέρει να διερευνήσυµε την ανταπόκριση ενός ταλαντύµενυ συστήµατς σε µια χρν-εξαρτώµενη εξωτερική δύναµη (ή διεγέρτης) F(t). Η εξίσωση κίνησης γράφεται τώρα, m & x + bx& + kx = F(t). (7) Όπως γνωρίζυµε, αν x i (t) είναι µια λύση της µη-µγενύς διαφρικής εξίσωσης (7) και x h (t) είναι λύση της αντίστιχης µγενύς, τότε και τ άθρισµά τυς x i (t)+x h (t) θα είναι επίσης λύση της µη-µγενύς (7). Επµένως χρειάζεται να βρύµε µια ειδική (ή µερική) λύση της (7) x i (t), πότε ως γενική λύση θα πάρυµε τ άθρισµα x i (t)+x h (t) (αφύ η λύση x h (t) έχει ήδη βρεθεί στ πρηγύµεν εδάφι). Σε πλλές ενδιαφέρυσες περιπτώσεις, η εξωτερική δύναµη είναι περιδική συνάρτηση τυ χρόνυ. Αν η δύναµη ταλαντύται συν/ηµιτνειδώς µε συχνότητα ω, F(t)=F csωt, τότε η εξίσωση κίνησης είναι, m& x + bx& + kx = F csωt. (8) Από Φυσικής σκπιάς, ι λύσεις πυ µας ενδιαφέρυν πρέπει να είναι ταλαντώσεις µε συχνότητα ω, ίδια µε της εφαρµζόµενης δύναµης, δηλ. της µρφής x(t)=a cs(ωt+φ). (9) Οι σταθερές (Α, φ) υπλγίζνται, αντικαθιστώντας τη λύση (9) στην (8). Πράγµατι, ( mω + k)a cs( ωt + φ) bωasin( ωt + φ) = F csωt. Αναπτύσσυµε τ όρισµα των τριγωνµετρικών συναρτήσεων, cs( ), sin( ): ( mω + k)a(csωt csφ sin ωt sin φ) bωa(sin ωt csφ + csωt sin φ) = F csωt Chap. 10
8 και µαδπιώντας τυς όρυς σε παράγντες των csωt, sinωt έχυµε, [( mω + k)a csφ bωasin φ F ]csωt [( mω + k)a sin φ + bωacsφ]sin ωt = 0 Οι συναρτήσεις csωt, sinωt είναι γραµµικώς ανεξάρτητες, άρα ι συντελεστές τυς µηδενίζνται, συνεπώς πρκύπτυν ι εξισώσεις, ( mω ( mω + k)a cs φ bωa sin φ F + k)a sin φ + bωa cs φ = 0 = 0 (30) ή θέτντας γ = b και m ω = k m, η (30) γράφεται, ( ω ( ω + ω )A cs φ γωa sin φ = F + ω ) sin φ + γωcs φ = 0 / m απ όπυ υπλγίζεται τ πλάτς Α και η φάση φ, F A = / m, tan φ = Z ω γω ω (31) όπυ Z = ( ω ω ) + 4γ ω. Η πσότης Ζ καλείται εµπέδηση. Στ Σχήµα 6 απεικνίζεται τ πλάτς Α σαν συνάρτηση της συχνότητας της εξωτερικής δύναµης µε ή χωρίς τριβές. Σχήµα 6 Τ πλάτς ταλάντωσης σαν συνάρτηση της συχνότητας ω της εξωτερικής δύναµης Παρατηρύµε ότι καθώς η απόσβεση µειώνεται (b 0), τ πλάτς αυξάνεται. Η µεγάλη αύξηση τυ πλάτυς όταν ω ω νµάζεται συντνισµός και η ω συχνότητα συντνισµύ. Τ φαινόµεν τυ συντνισµύ µπρεί να συµβεί σε πιδήπτε ταλαντύµεν σύστηµα πυ διεγείρεται από εξωτερική δύναµη και έχει µεγάλη πρακτική σηµασία, καθόσν αρκετά µικρές δυνάµεις µπρύν Chap. 11
9 να πρκαλέσυν µεγάλες ταλαντώσεις όταν η ι συχνότητές τυς (των δυνάµεων) πλησιάζυν την ιδισυχνότητα τυ συστήµατς ω. Η γενική λύση λιπόν της (8) θα είναι, F / m γt x(t) = cs( ωt + φ) + αe cs( ω1t + θ) Z (3) 1 γ όπυ ω = ω για γ<ω και α,θ αυθαίρετες σταθερές. Ο δεύτερς όρς στην (3) απσβένει εκθετικά και µέσα σε χρόν t 5τ (όπυ τ=1/γ είναι χρόνς απόσβασης) γίνεται αµελητές, γι αυτό και νµάζεται παρδικός (ή µεταβατικός) όρς. Έτσι µετά από ένα µικρό µεταβατικό διάστηµα (t 5τ), η ευσταθής κατάσταση πυ απµένει δεν εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες και η µετατόπιση παρίσταται µόν από τν πρώτ όρ της (3), δηλ. η ταλάντωση δηγείται απκλειστικά από την εξωτερική δύναµη. Στην ευσταθή κατάσταση, ρυθµός πρσφράς έργυ (δηλ. η παρεχόµενη ισχύς) πρς τν ταλαντωτή από την εφαρµζόµενη δύναµη (πυ ισύται µε την απρρφύµενη ισχύ από τν ταλαντωτή) είναι ωf P(t) = υ F(t) = sin( ωt + φ) csωt mz ( υ x& είναι η ταχύτητα). Οπότε, η µέση τιµή της ισχύς µέσα σε µια περίδ Τ είναι, P av = 1 T 0 T ωf P(t) dt = mz 1 T 0 T ωf sin φ F γω sin( ωt + φ) cs ωt dt = = mz m ( ω ω ) + 4γ ω Η απρρφύµενη ισχύς δαπανάται από τις τριβές (όντως, αν γ=0 Ρ av =0). Στ Σχήµα 7 έχει σχεδιαστεί η ισχύς Ρ av σαν συνάρτηση της συχνότητας τυ διεγέρτη ω, για δύ τιµές τυ γ. Η µεγίστη τιµή της µέσης ισχύς Ρ av λαµβάνεται όταν ω=ω, δηλ. όταν συντνίζεται τ ταλαντύµεν σύστηµα µε τν εξωτερικό διεγέρτη. (33) Σχήµα 7 από τν ταλαντωτή Η µέση απρρφύµενη ισχύς Chap. 1
10 .4 Φασικός χώρς Θεωρύµε ένα σύστηµα µε 1 βαθµό ελευθερίας τ πί περιγράφεται από τη εξίσωση κίνησης, & x = f (x), x R (34) Η συνάρτηση f(x) δεν εξαρτάται ρητά από τν χρόν, πότε λέµε ότι τ σύστηµα είναι αυτόνµ. Η διαφρική εξίσωση (34) είναι ισδύναµη µε τ σύστηµα των εξισώσεων, x& = y y& = f (x) (35) r r Αν εισάγµε τα διανύσµατα x = (x, y) και F = (y, f ), τότε η (35) γράφεται ισδύναµα υπό διανυσµατική µρφή, r dx r r = F(x) (36) dt Τ επίπεδ (x,y) καλείται φασικό επίπεδ της εξίσωσης (34). Σηµεία πάνω στ φασικό επίπεδ x καλύνται φασικά σηµεία, µε αντίστιχη φασική ταχύτητα ( x, & y& ). Τ διάνυσµα στ f (x) δεύτερ µέρς της (35) καλείται διανυσµατικό πεδί της φασικής ταχύτητας. Μια λύση της (35) παριστάνει κίνηση (ή απεικόνιση) ενός φασικύ σηµείυ πάνω στ φασικό επίπεδ, ϕ r : R R, τέτια ώστε η ταχύτης τυ κινυµένυ σηµείυ για κάθε χρνική στιγµή t να ισύται µε τη φασική ταχύτητα στ εν λόγω σηµεί τυ φασικύ επιπέδυ. Τ πεδίν τιµών της απεικόνισης ϕ r καλείται φασική καµπύλη ή τρχιά πάνω στ φασικό επίπεδ. Συνεπώς η φασική καµπύλη δίδεται από τις ακόλυθες παραµετρικές εξισώσεις, x = ϕ(t) y = ϕ& (t) (37) Η φασική καµπύλη µπρεί να απτελείται από ένα µόν σηµεί. Τέτι σηµεί καλείται σηµεί ισρρπίας. Η φασική ταχύτης σε ένα τέτι σηµεί είναι µηδέν. Αν η ενέργεια διατηρείται, τότε κάθε φασική καµπύλη περιγράφεται από την εξίσωση Ε(x,y)=c (όπυ c=cnst.). Παράδειγµα 1: Θεωρύµε την εξίσωση κίνησης ενός αρµνικύ ταλαντωτή (σε κατάλληλες µνάδες), x& = y x& y & x = x, ή, ή y& = x = y& x απ όπυ λαµβάνυµε, Chap. 13
11 x x E = & + ή x y E = +. Οι ενεργειακές στάθµες είναι µόκεντρι περιφέρειες και καθεµιά από αυτές απτελεί και µια φασική καµπύλη, όπως φαίνεται στ Σχήµα 8. Τ διάνυσµα της φασικής ταχύτητας στ σηµεί r r (x,y) έχει συνιστώσες υ = (y, x), είναι κάθετ πρς τ διάνυσµα θέσης = (x, y) και είναι ίσυ µέτρυ µε αυτό. Η κίνηση ενός φασικύ σηµείυ πάνω στ επίπεδ των φάσεων είναι µιόµρφς γύρω από τ σηµεί 0, δηλ. x = r cs (φ -t) και y = r sin (φ -t) και φ αρχική φάση. Σχήµα 8 Ενεργειακές στάθµες ενός αρµνικύ ταλαντωτή πάνω στ φασικό επίπεδ Παράδειγµα : Υπθέτυµε ότι η δυναµική ενέργεια δίδεται από την παρακάτω γραφική παράσταση τυ Σχήµατς 9. Θα χαράξυµε τις ικγένειες των ενεργειακών επιπέδων: 1 + V(x) = E. y Σχήµα 9 (a) Τυχύσα δυναµική ενέργεια και (b) µερικές χαρακτηριστικές ενεργειακές στάθµες στ φασικό επίπεδ Κατ αρχήν, θα πρέπει να σηµειώσυµε τα εξής: 1. Τα σηµεία x 1 και x είναι ακρότατα της συνάρτησης V(x).. Τ σηµεί (x 1,0) είναι σηµεί ισρρπίας. (V =0) 3. Κάθε ενεργειακό επίπεδ Ε i είναι µια µαλή καµπύλη στη γειτνική περιχή κάθε σηµείυ πυ δεν είναι σηµεί ισρρπίας. Chap. 14
12 Για να δύµε καλύτερα τ πρόβληµα, ας φανταστύµε ένα µπαλάκι τ πί κυλίεται µέσα στ δυναµικό τυ Σχήµατς 8(a). Η κίνηση πυ θα εκτελεί τ σώµα εξαρτάται από τη ενέργειά τυ, Ε. Αν για παράδειγµα Ε 1 <Ε<Ε 4, τότε τ σώµα αφεθεί µέσα στη περιχή τυ πηγαδιύ (κντά στ σηµεί x 1 ), τότε τ σώµα θα εκτελεί αρµνική ταλάντωση, αν όµως αφεθεί δεξιά τυ φράγµατς (δηλ. πέραν τυ x ), τ σώµα εν γένει θα ανακρυστεί επί τυ φράγµατς και στη συνέχεια θα διαφύγει στ άπειρ. Έχµε ήδη εξετάσει πιτικά τη κίνηση σώµατς µέσα σε τέτι δυναµικό. Γυρνάµε πάλι πίσω στη µαθηµατική θεώρηση τυ πρβλήµατς. Έστω ένα σηµεί Μ στ φασικό επίπεδ τ πί παριστάνει τις αρχικές συνθήκες τυ συστήµατς (35). Υπθέτυµε ότι κάθε λύση µπρεί να εξελιχθεί χρνικά για πρκύπτν σηµεί στ φασικό επίπεδ, πότε t. Η λύση σε t εξαρτάται από τ Μ. Έστω M(t) τ Μ(t) = g t Μ, (38) όπυ g t είναι µια απεικόνιση τυ φασικύ επιπέδυ στν εαυτό τυ, g t : R R. Η απεικόνιση g t είναι αµφιδιαφρίσιµη (diffemrphism, ένα-πρς-ένα διαφρίσιµη απεικόνιση µε την αντίστρφη απεικόνιση επίσης διαφρίσιµη). Επίσης η απεικόνιση g t, t R απτελεί µια µάδα. Η µάδα αυτή επίσης καλείται ρή φάσης πυ δίδεται από τ σύστηµα (35). x& = y Παράδειγµα 1: Έστω η εξίσωση: & x = x, πότε πρκύπτει τ σύστηµα:. Έστω ι αρχικές y& = x συνθήκες: t=0, x=0, y =. Μπρύµε να βρύµε την τρχιά της, Απαλείφµε τ t, άρα, x = φ(t,t ) = e t e -t y = ϕ& (t,t ) = e t + e -t e t = y + x, e -t = y x + 4 = y x y = ± x 4 Στ παρακάτω Σχήµα 10, απεικνίζεται η τρχιά τυ σηµείυ στ φασικό επίπεδ. Σχήµα 10 Η τρχιά πάνω στ φασικό επίπεδ Chap. 15
13 Παράδειγµα : Θεωρύµε την εξίσωση τυ απλύ µαθηµατικύ εκκρεµύς, Θέτντας x=θ πρκύπτει τ σύστηµα, x& = y y& = & g θ + sin θ = 0 L (1) g sin x L g. () x L Σηµεί ισρρπίας είναι: x=y=0. Ζητύνται ι τρχιές της (). Πράγµατι, άρα, dy dx y g L x g = ydy = xdx y L x + = c, (3) ω όπυ ω =L/g. Η (3) είναι η εξίσωση των τρχιών τυ συστήµατς (). Μερικές τρχιές απεικνίζνται παραστατικά στ Σχήµα 11. Σχήµα 11 Ελλειπτικές τρχιές τυ µαθηµατικύ εκκρεµύς πάνω στ φασικό επίπεδ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ: ΣΕΙΡΑ 1 1. Να µελετηθεί η κίνηση σώµατς µάζας m τ πί βρίσκεται µέσα σε δυναµικό πεδί µε δυναµική ενέργεια: x x 4 V (x) = +.. Απλό εκκρεµές αφήνεται από την ηρεµία σε µικρή γωνία φ ως πρς την ανερχόµενη κατακόρυφ. είξετε ότι χρόνς πυ απαιτείται για να δεκαπλασιαστεί η γωνιακή µετατόπιση είναι περίπυ ω ln0, όπυ όπυ g. Υπλγίσετε τν χρόν αυτό για εκκρεµές µε περίδ Τ=sec και βρείτε τη γωνιακή ταχύτητα τυ εκκρεµύς όταν φθάσει τη κατακόρυφ πρς τα κάτω. = L / ω 3. Σώµα µάζας m πέφτει κατακόρυφα υπό την επίδραση της βαρύτητς. Να γράψετε την εξίσωση κίνηση τυ σώµατς, λαµβάνντας υπόψιν και την αντίσταση τυ αέρς, -bυ. Να λκληρώσετε την πρκύπτυσα εξίσωση και να δειχθεί ότι η µεγίστη ταχύτης, αν τ σώµα αφήνεται εκ της ηρεµίας, είναι υ=mg/b. Chap. 16
ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ & ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΘεωρούμε ένα σύστημα με N βαθμούς ελευθερίας, το οποίο θα περιγράφεται από N συντεταγμένες ψ 1 (t), ψ 2 (t),..., ψ N (t).
Kεφ. ΣYΣTHMATA ME ΠOΛΛOYΣ BAΘMOYΣ EΛEYΘEPIAΣ (part, pages - Θεωρύμε ένα σύστημα με N βαθμύς ελευθερίας, τ πί θα περιγράφεται από N συντεταγμένες (t, (t,..., N (t. Oι εξισώσεις κίνησης τυ συστήματς θα έχυν
Διαβάστε περισσότεραEΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ
Kεφ. 3 EΞΑΝΑΓΚΑΣΕΝΕΣ TAΛANTΩΣEIΣ Θα εξετάσυμε τη περίπτση εφαρμγής σ ένα σύστημα μιάς δεδμένης εξτερικής δύναμης η πία να εξαρτάται από τ χρόν (δηλ. τ σύστημα υπβάλλεται σε εξτερική διέγερση. η περίπτση:
Διαβάστε περισσότεραΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ
θ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΗΡΙΑ ΓΕΙΤΟΝΑ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ &ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤ/ΝΣΗΣ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΑΚΗ ΑΣΚΗΣΗ: ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΗΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΔΙΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΚΑΙ ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 www.piras.weebly.c ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΙΚΑ KΥKΛΩMATA.
ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ KΥKΛΩMATA.. HΛΕΚΤΡΙΚΗ ΑΓΩΓΙΜΟΤΗΣ Μεταλλικί αγωγί: τα ελεύθερα φρτία είναι τα ηλεκτρόνια σθένυς τυ µετάλλυ. Πυκνότης ρεύµατς (τ ρεύµα πυ διαπερνά µια κάθετη διατµή τυ αγωγύ ανά µνάδα επιφανείας
Διαβάστε περισσότεραγραπτή εξέταση στο µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
η εξεταστική περίδς από 6/0/ έως 06// γραπτή εξέταση στ µάθηµα ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Γ Λυκείυ Τµήµα: Βαθµός: Ονµατεπώνυµ: Καθηγητές: ΑΤΡΕΙ ΗΣ ΓΙΩΡΓΟΣ ΘΕΜΑ Στις παρακάτω ερωτήσεις να γράψετε
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζουµε τις ιδιότητες των ορίων. Ουσιαστικά κάνουµε αντικατάσταση. lim 3x 4x+ 8 = = =
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Να βρείτε τα παρακάτω όρια: α ( 4 8) + 6 + 8 Απλές περιπτώσεις Εφαρµόζυµε τις ιδιότητες των ρίων Ουσιαστικά κάνυµε αντικατάσταση α 4+ 8 = 4 + 8= + 4+ 8= 9 8 8 = = 4 + 6 = + 6= Αν f( )
Διαβάστε περισσότεραΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΣΙΜΙΣΚΗ & ΚΑΡΟΛΟΥ ΝΤΗΛ ΓΩΝΙΑ THΛ : 7077 594 ΑΡΤΑΚΗΣ Κ. ΤΟΥΜΠΑ THΛ : 99 9494 www.syghrono.gr ΕΠΩΝΥΜΟ:... ΟΝΟΜΑ:... ΤΜΗΜΑ:... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 0--07 ΘΕΜΑ Α Α. Σχλικό Βιβλί σελ.
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΉΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2009 Επιμέλεια: Νεκτάριος Πρωτοπαπάς.
ΑΑΝΤΉΣΕΙΣ ΑΝΕΛΛΗΝΙΩΝ ΕΞΕΤAΣΕΩΝ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 009 Επιμέλεια: Νεκτάρις ρωτπαπάς 1. Σωστή απάντηση είναι η γ. ΘΕΜΑ 1. Σωστή απάντηση είναι η α. Σχόλι: Σε μια απλή αρμνική
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/02/2014
ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: // ΘΕΜΑ ( μνάδες) T κύκλωμα τυ παρακάτω σχήματς λαμβάνει ως εισόδυς τις εξόδυς των αισθητήρων Α και Β. Η έξδς τυ αισθητήρα Α είναι ημιτνικό
Διαβάστε περισσότεραΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ
ΜΙΑ ΚΡΟΥΣΗ ΣΤΟΙΧΕΙΩΔΩΝ ΣΩΜΑΤΙΔΙΩΝ Σωµάτι α (πυρήνας 4 He ) µε µάζα m a και φρτί q a =e και πυρήνας ασβεστίυ 40 Ca 0 µε µάζα mπυρ = 10m a και φρτί Q = 0 e πυρ, βρίσκνται αρχικά σε πλύ µεγάλη απόσταση µεταξύ
Διαβάστε περισσότεραΕάν η εξωτερική περιοδική δύναμη είναι της μορφής F δ =F max ημω δ t, τότε η εφαρμογή του 2 ου Νόμου του Νεύτωνα δίνει: dx b dt
Μία ιστρία στην ΕΞΝΓΚΣΜΕΝΗ ΤΛΝΤΩΣΗ Κατά την περσινή σχλική χρνιά, στα πλαίσια της Π.Δ.Σ. πρσπάησα, αντί να λύσ ασκήσεις πυ μπρεί να υπάρχυν σε πλλά ιαφρετικά εξσχλικά βιβλία, να εάν ι μαητές μυ έχυν πραγματικά
Διαβάστε περισσότεραExουμε βρεί την εξίσωση κύματος: λν = υ, όπου υ = Τ /μ στη περίπτωση της χορδής. Οπότε. υ ν = = λ
Kεφ. (part, pages - Σχέση διασπράς Exυμε βρεί την εξίσωση κύματς: λν = υ, όπυ υ = Τ /μ στη περίπτωση της χρδς. Οπότε υ ν = = λ ω = Τ /μ Τ /μ λ k H σχέση αυτ πυ συνδέει την γωνιακ συχνότητα ω με τν κυματαριθμό
Διαβάστε περισσότεραΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Polaroids)
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 ΠΟΛΩΤΙΚΑ ΦΙΛΤΡΑ (Plarids) Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 94677 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 94677 4. Πόλωση
Διαβάστε περισσότεραροή ιόντων και µορίων
ρή ιόντων και µρίων Θεωρύµε ένα διάλυµα µίας υσίας Α. Αν εξαιτίας της ύπαρξης διαφρών συγκέντρωσης ή ηλεκτρικύ πεδίυ όλες ι ντότητες (µόρια ή ιόντα) της υσίας Α κινύνται µέσα σ αυτό µε την ίδια ριακή ταχύτητα
Διαβάστε περισσότεραΣκοπός του κεφαλαίου είναι η κατανόηση των βασικών στοιχείων μιας στατιστικής έρευνας.
Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σκπός Σκπός τυ κεφαλαίυ είναι η κατανόηση των βασικών στιχείων μιας στατιστικής έρευνας. Πρσδκώμενα απτελέσματα Όταν θα έχετε λκληρώσει τη μελέτη αυτύ τυ κεφαλαίυ θα πρέπει να μπρείτε:
Διαβάστε περισσότεραΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ
8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 Οδηγίες: 1) Τ δκίμι απτελείται από πέντε (5) σελίδες και πέντε (5) θέματα. ) Να απαντήσετε σε όλα τα θέματα
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ 22/06/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΙΑΣ
ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ /6/ ΘΕΜΑ (3 μνάδες) (α) Η αντίσταση ενός D λευκόχρυσυ μετρήθηκε στη θερμκρασία πήξης τυ νερύ και βρέθηκε 8 Ω, ενώ στη συνέχεια μετρήθηκε σε θερμκρασία θ και βρέθηκε 448 Ω Να
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1ο. Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα τ γράμμα πυ αντιστιχεί στη σωστή απάντηση. 1. Αν δείκτης διάθλασης ενός πτικύ υλικύ μέσυ είναι n= 4 3 ακτινβλία
Διαβάστε περισσότεραΤετάρτη 5 Νοεμβρίου 2014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ
Τετάρτη 5 Νεμρίυ 014 ΕΠΙΛΕΓΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΠΟ ΤΗΝ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ Β Β1. Ένα κινητό διέρχεται τη χρνική στιγμή to=0 από τη θέση xo=0 ενός πρσανατλισμένυ άξνα Οx, κινύμεν κατά μήκς τυ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑ 16 1.4 1.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ xo
ΜΑΘΗΜΑ 6.4.5 ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΤΟ R Η έννια τυ ρίυ Όρι ταυττικής σταθερής συνάρτησης Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΩΝ ΟΡΙΩΝ Όρι και διάταξη Όρια και πράξεις Κριτήρι παρεµβλής Τριγωνµετρικά όρια Όρι σύνθετης συνάρτησης Θεωρία
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 3 Ιουνίου 2004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 004 Πέµπτη, 3 Ιυνίυ 004 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Ο Να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό καθεµίας από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα τ γράµµα πυ
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ
Εισαγωγή Ρεύµατα βρόχων ΜΕΘΟ ΟΣ ΡΕΥΜΑΤΩΝ ΒΡΟΧΩΝ Η µέθδς ρευµάτων βρόχων για την επίλυση κυκλωµάτων (ή δικτύων) είναι υσιαστικά εφαρµγή τυ νόµυ τάσεων τυ Kirchhff µε κατάλληλη εκλγή κλειστών βρόχων ρεύµατς.
Διαβάστε περισσότεραγ /ω=0.2 γ /ω=1 γ /ω= (ω /g) v. (ω 2 /g)(x-l 0 ) ωt. 2m.
Μηχανική Ι Εργασία #7 Χειμερινό εξάμηνο 015-016 Ν. Βλαχάκης 1. Σώμα μάζας m και φορτίου q κινείται σε κατακόρυφο άξονα x, δεμένο σε ελατήριο σταθεράς k = mω του οποίου το άλλο άκρο είναι σταθερό. Το σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 6 Ιουνίου 2002 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 Πέµπτη, 6 Ιυνίυ 00 ΘΕΤΙΚΗ και ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ Στις ερωτήσεις - να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθµό της ερώτησης και δίπλα τ γράµµα πυ αντιστιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΗμερομηνία: Τετάρτη 04 Απριλίου 2018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ημερμηνία: Τετάρτη 04 Απριλίυ 018 Διάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ημιτελείς πρτάσεις Α1 Α4 να γράψετε στ τετράδιό σας τν αριθμό της
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 12: ΜΙΚΡΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ Ευστάθεια κοντά στη θέση ισορροπίας
ΚΕΦΛΙΟ : ΜΙΚΡΕΣ ΤΛΝΤΩΣΕΙΣ. Ευστάθεια κντά στη θέση ισρρπίας Θερύµε ένα συντηρητικό σύστηµα µε -βαθµύς ελευθερίας, τ πί περιγράφεται από τις γενικευµένες συντεταγµένες,,. ν τ σύστηµα βρίσκεται σε µια θέση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ
8 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑΔΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 15 Δεκεμβρίυ, 013 Ώρα: 10:00-13:00 ΘΕΜΑ 1 : (Μνάδες 15) Πρτεινόμενες Λύσεις Η πόρτα μάζας Μ = 3m και πλάτυς μπρεί να περιστρέφεται χρίς τριβές
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής
Κεφάλαιο 2 Κίνηση κατά μήκος ευθείας γραμμής Στόχοι 1 ου Κεφαλαίου Περιγραφή κίνησης σε ευθεία γραμμή όσον αφορά την ταχύτητα και την επιτάχυνση. Διαφορά μεταξύ της μέσης και στιγμιαίας ταχύτητας καθώς
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 02/02/2017 ΜΟΝΟ ΓΙΑ ΤΟΥΣ ΕΠΙ ΠΤΥΧΙΩ ΦΟΙΤΗΤΕΣ , (1) R1 R 2.0 V IN R 1 R 2 B R L 1 L
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΕ ΔΙΔΑΣΚΩΝ: Λ ΜΠΙΣΔΟΥΝΗΣ ΛΥΣΕΙΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ «ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΡΗΣΕΩΝ» ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: //7 ΘΕΜΑ ( μνάδες) Οι τιμές των αντιστάσεων και τυ κυκλώματς τυ
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
Παγκόσμι χωριό γνώσης ΕΝΟΤΗΤΑ 3 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΑΡΑΓΩΓΙΣΗΣ ΡΥΘΜΟΙ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ 3 ΜΑΘΗΜΑ Σκπός Σκπός της ενότητας είναι ρισμός της παραγώγυ και τυ ρυθμύ μεταβλής καθώς και
Διαβάστε περισσότεραΑτομικάενεργειακάδιαγράμματα: Θεώρημα μεταβολών: Προσέγγιση Born- Openheimer: Θεωρία μοριακών τροχιακών:
τμικάενεργειακάδιαγράμματα: Χωρικές διαστάσεις ενεργειακές απστάσεις χρνική κλίμακα Καταστάσεις ydg Θεώρημα μεταβλών: Εφαρμγή σε πρόβλημα της ατμικής Πρσέγγιση on- Opnhm: Εφαρμγή στ Η Θεωρία μριακών τρχιακών:
Διαβάστε περισσότεραΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.)
ΗΜΙΤΟΝΙΚΗ ΜΟΝΙΜΗ ΚΑΤΑΣΤΑΣΗ (Η.Μ.Κ.) Ένα κύκλωµα βρίσκεται στην Ηµιτνική Μόνιµη Κατάσταση (Η.Μ.Κ.) όταν : α) Όλες ι πηγές τυ κυκλώµατς είναι ηµιτνειδείς συναρτήσεις τυ χρόνυ Α sin (ωt+φ) ή Α cs (ωt+φ) β)
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Ασκήσεις Πράξης
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΙΙ Καθηγητές: Δ. ΚΑΛΛΙΓΕΡΟΠΟΥΛΟΣ & Δ. ΔΗΜΟΓΙΑΝΝΟΠΟΥΛΟΣ Επιστημνικός Συνεργάτης: Σ. ΒΑΣΙΛΕΙΑΔΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 111 - Διαλ. 38 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ T mg r F τ = r F = mgsinθ τ = I M d θ α, Ι = M dt = Mgsinθ d θ dt = g sinθ θ = g sinθ Διαφορική εξίσωση Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να
Διαβάστε περισσότερα1.0 Βασικές Έννοιες στην Τριγωνομετρία
1.0 Βασικές Έννιες στην Τριγωνμετρία 1 η Μρφή Ασκήσεων: Ασκήσεις όπυ θέλυμε να βρύμε στιχεία ενός γεωμετρικύ σχήματς 1. Στ διπλανό σχήμα να απδείξετε ότι: ΒΓ υ εφω + εφθ. Τ τρίγων ΑΔΒ είναι ρθγώνι στ Δ,
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ. 2.4: Ρυθμός Μεταβολής του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ [Κεφ..4: Ρυθμός Μεταβλής τυ σχλικύ βιβλίυ]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Παράδειγμα 1. Δίνεται η συνάρτηση f() = 3 3. α) Να βρεθεί ρυθμός μεταβλής της
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι 22 Ιανουαρίου, 2019
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Μηχανική Ι Ιανουαρίου, 9 Καλή σας επιτυχία. Πρόβλημα Α Ένα σωματίδιο μάζας m κινείται υπό την επίδραση του πεδίου δύο σημειακών ελκτικών κέντρων, το ένα εκ των οποίων
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ MAXWELL ΘΕΩΡΙΑ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778
Διαβάστε περισσότεραΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
νοεξαρτητοτεπλοεδειξφθινουσεσ ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΑΡΜΟΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ (17-18) Αν το πλάτος μιας ελεύθερης ταλάντωσης συνεχώς μειώνεται, η ταλάντωση ονομάζεται φθίνουσα ή αποσβεννύμενη ταλάντωση. Όλες οι ταλαντώσεις
Διαβάστε περισσότεραV=αβγ (1) µ το πλάτος της δεξαµενής, β= 1
ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ Στην ενότητα αυτή, πιστεύω να καταλάβετε ότι τα Μαθηµατικά έγιναν και αναπτύχθηκαν για να αντιµετωπίζυν καθηµερινά πρβλήµατα. εν χρειάζνται όµως πλλά λόγια, ας πρχωρήσυµε σε παραδείγµατα.
Διαβάστε περισσότερα2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ
2. ΟΡΙΟ & ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 2.1. ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 5 Ο ΜΑΘΗΜΑ 2.1.1. Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών Τ σύνλ των πραγματικών αριθμών, είναι γνωστό και με τα στιχεία τυ δυλέψαμε όλες τις πρηγύμενες τάζεις.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693 946778 ΜΕΘΟΔΟΣ ΕΙΔΩΛΩΝ ΘΕΩΡΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 693 946778 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 693
Διαβάστε περισσότεραOδεύοντα κύματα είναι διαταραχές (που μεταφέρουν ενέργεια και ορμή) που διαδίδονται στον ανοικτό χώρο με ορισμένη ταχύτητα διάδοσης.
Kεφ. 4 OΔEYONTA KYMATA (pges -7 (Trveling Wves Eξετάσυμε ανικτά συστήματα, δηλ. συστήματα χωρίς σύνρα. Oδεύντα κύματα είναι διαταραχές (πυ μεταφέρυν ενέργεια και ρμή πυ διαδίδνται στν ανικτό χώρ με ρισμένη
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα οριζόντιας βολής Η κίνηση που βλέπουμε να πραγματοποιεί το αντικείμενο στο διπλανό σχήμα όταν του προσδώσουμε κάποια οριζόντια ταχύτητα
ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΟΛΗ Οριζόντια βλή είναι η κίνηση π πραγματπιεί ένα σώμα όταν βάλλεται (εκτξεύεται) ριζόντια και από μικρό ύψς, με την επίδραση μόν τ βάρς τ τ πί θεωρείται σταθερό. Παραδείγματα ριζόντιας βλής
Διαβάστε περισσότεραE = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,
Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ. Συστήµατα Αυτοµάτου Ελέγχου ΙΙ. Ασκήσεις Πράξης. . Καλλιγερόπουλος Σ. Βασιλειάδου. Χειµερινό εξάµηνο 2008/09
ΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τµήµα Αυτµατισµύ Συστήµατα Αυτµάτυ Ελέγχυ ΙΙ Ασκήσεις Πράξης. Καλλιγερόπυλς Σ. Βασιλειάδυ Χειµερινό εξάµην 8/9 Ασκήσεις Μόνιµα Σφάλµατα & Κριτήρια ευστάθειας Άσκηση.. ίνεται σύστηµα µε συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ - ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ι ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Ι. ΙΚΑΙΟΣ ΤΣΕΡΚΕΖΟΣ ΕΞΕΙ ΙΚΕΥΣΗ ΕΝΟΣ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟΥ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ . ΒΑΣΙΚΗ ΑΣΚΗΣΗ. Έχετε στην διάθεση σας ( Πίνακας ) στιχεία από
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότερα( ) 11.4 11.7. Μέτρηση κύκλου. α 180. Μήκος τόξου µ ο : Μήκος τόξου α rad : l = αr. Σχέση µοιρών ακτινίων : Εµβαδόν κυκλικού δίσκου : Ε = πr 2
1 11. 11.7 Μέτρηση κύκλυ ΘΩΡΙ Μήκς τόξυ µ : µ 180 Μήκς τόξυ α rad : αr Σχέση µιρών ακτινίων : α π µ 180 µβαδόν κυκλικύ δίσκυ : ( ) µβαδόν κυκλικύ τµέα µ : µ µβαδόν κυκλικύ τµέα α rad : ( ) 1 αr µβαδόν
Διαβάστε περισσότεραΛαμβάνοντας επιπλέον και την βαρύτητα, η επιτάχυνση του σώματος έχει συνιστώσες
Μικρό σώμα μάζας m κινείται μέσα σε βαρυτικό πεδίο με σταθερά g και επιπλέον κάτω από την επίδραση μιας δύναμης με συνιστώσες F x = 2κm και F y = 12λmt 2 όπου κ και λ είναι θετικές σταθερές σε κατάλληλες
Διαβάστε περισσότεραΦθίνουσες ταλαντώσεις
ΦΥΣ 111 - Διαλ.39 1 Φθίνουσες ταλαντώσεις q Οι περισσότερες ταλαντώσεις στη φύση εξασθενούν (φθίνουν) γιατί χάνεται ενέργεια. q Φανταστείτε ένα σύστημα κάτω από μια δύναμη αντίστασης της μορφής F = bυ
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΟΡΜΗ - ΚΡΟΥΣΕΙΣ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.poiras.weebly.o ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΣύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων;
Σύνθεση ή σύζευξη ταλαντώσεων; Σώμα Σ μάζας προσδένεται στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Πάνω στο πρώτο σώμα στερεώνεται δεύτερο ελατήριο σταθεράς,
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ.30 2 Αρµονικοί ταλαντωτές q Μερικά από τα θέµατα που θα καλύψουµε: q Μάζες σε ελατήρια, εκκρεµή q Διαφορικές εξισώσεις: d 2 x dt 2 + K m x = 0 Ø Mε λύση της µορφής:
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ : Θεωρύμε τυς μιγαδικύς αριθμύς α) z(t) + z(t) = z(t)
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΚΑ ΗΜΜ ΠΕΔΙΑ. Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Το έργο που παράγεται από το ηλεκτρικό πεδίο πάνω σ ένα ελεύθερο φορτίο του αγωγού είναι,
Kεφ. 16 (Part III, pages 6-34) ΣΤΤΙΚ ΗΜΜ ΠΕΔΙ Καταναλισκόμενη ισχύς σε ωμικό αγωγό. Τ έργ πυ παράγεται από τ ηλεκτρικό πεδί πάνω σ ένα ελεύθερ φρτί τυ αγωγύ είναι, dw = f dr = qe υdt άρα Ρ = dw dt = qυ
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 13. Περιοδική Κίνηση
Κεφάλαιο 13 Περιοδική Κίνηση Περιοδική Κίνηση Η ταλαντωτική κίνηση είναι σημαντική Είναι μια πάρα πολύ κοινή κίνηση. Βάση για κατανόηση της κυματικής κίνησης Κάθε σύστημα που βρίσκεται σε ευσταθή ισορροπία
Διαβάστε περισσότεραΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΕΥΑΓΓΕΛΙΚΗΣ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ. Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ. D = mω 2
ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΣΧΟΛΗΣ ΣΜΥΡΝΗΣ Φυσική Τεχνολογικής Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΩΝ (Το τυπολόγιο αυτό δεν αντικαθιστά το βιβλίο. Συγκεντρώνει απλώς τις ουσιώδεις σχέσεις του βιβλίου και επεκτείνεται
Διαβάστε περισσότεραΕ Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ
Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Σ Τ Ι Σ Φ Θ Ι Ν Ο Υ Σ Ε Σ Τ Α Λ Α Ν Τ Ω Σ Ε Ι Σ 1. Η σταθερά απόσβεσης σε μια μηχανική ταλάντωση που γίνεται μέσα σε κάποιο μέσο είναι: α) ανεξάρτητη των ιδιοτήτων του μέσου β) ανεξάρτητη
Διαβάστε περισσότεραΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΜΕ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΚΑΙ ΔΙΕΓΕΡΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 1 d x dx Η διαφορική εξίσωση κίνησης ενός ταλαντωτή δίνεται από τη σχέση: λ μx. Αν η μάζα d d του ταλαντωτή είναι ίση με =.5 kg, τότε να διερευνήσετε την κίνηση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ
ΕΝΩΣΗ ΚΥΠΡΙΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ 5 Η ΠΑΓΚΥΠΡΙΑ ΟΛΥΜΠΙΑ Α ΦΥΣΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (Πρώτη Φάση) Κυριακή, 6 Ιανουαρίου, Προτεινόμενες Λύσεις Πρόβλημα - ( μονάδες) Ένα όχημα, μαζί με ένα κανόνι που είναι ακλόνητο πάνω σε αυτό,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις
Κεφάλαιο 5 ΔΙΔΙΑΣΤΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενα αυτόνομο δυναμικό σύστημα δύο διαστάσεων περιγράφεται από τις εξισώσεις ẋ 1 f 1 (x 1 x 2 ) ẋ 2 f 2 (x 1 x 2 ) (501) Το σύστημα αυτό γράφεται σε διανυσματική
Διαβάστε περισσότερα1. Κίνηση Υλικού Σημείου
1. Κίνηση Υλικού Σημείου Εισαγωγή στην Φυσική της Γ λυκείου Τροχιά: Ονομάζεται η γραμμή που συνδέει τις διαδοχικές θέσεις του κινητού. Οι κινήσεις ανάλογα με το είδος της τροχιάς διακρίνονται σε: 1. Ευθύγραμμες
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 2019 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ, 8 Μαρτίου 219 Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα
Διαβάστε περισσότεραιατυπώστε την ιδιότητα αυτή µε τη βοήθεια µεταβλητών.
Μαθηµατικά B υµνασίυ Eρωτήσεις θεωρίας 1. Τι νµάζυµε µεταβλητή;. Τι νµάζυµε αριθµητική παράσταση; 3. Τι νµάζυµε αλγεβρική παράσταση; 4. Πια είναι η επιµεριστική ιδιότητα; 5. Τι συµβαίνει αν και στα δύ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΑ 3,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. k Για E 0, η (1) ισχύει για κάθε x. Άρα επιτρεπτή περιοχή είναι όλος ο άξονας
ΚΕΦΑΛΑΙΑ,4. Συστήµατα ενός Βαθµού ελευθερίας. Να βρεθούν οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης στον άξονα ' O για την απωστική δύναµη F, > και για ενέργεια Ε. (α) Είναι V και οι επιτρεπτές περιοχές της κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΦυσική για Μηχανικούς
Φυσική για Μηχανικούς Απλή Αρμονική Ταλάντωση Εικόνα: Σταγόνες νερού που πέφτουν από ύψος επάνω σε μια επιφάνεια νερού προκαλούν την ταλάντωση της επιφάνειας. Αυτές οι ταλαντώσεις σχετίζονται με κυκλικά
Διαβάστε περισσότεραΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6.1
ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΧΩΡΙΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗ ΑΣΚΗΣΗ 6. Σώμα μάζας gr έχει προσδεθεί στην άκρη ενός ελατηρίου και ταλαντώνεται επάνω σε οριζόντιο δάπεδο χωρίς τριβή. Εάν η σταθερά του ελατηρίου είναι 5N / και το πλάτος
Διαβάστε περισσότερα( ) = Ae + ω t + Be ω t ασταθές σημείο ισορροπίας ( ) = Asin( ωt) + Bcos( ωt) ευσταθής ισορροπία
Ταλαντώσεις ΦΥΣ 211 - Διαλ.20 1 q Για μονοδιάστατο σύστημα το οποίο βρίσκεται σε ισορροπία στο q 0 : V ( q) dv dq q=q0 = 0 B A C q q Αναπτύσοντας γύρω από το q 0, η δυναμική του συστήματος είναι αυτή του
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης
ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 218-219 ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Διδάσκοντες: Βαρσάμης Χρήστος, Φωτόπουλος Παναγιώτης ΘΕΜΑ 1 Διάρκεια εξέτασης 2 ώρες Υλικό σημείο κινείται ευθύγραμμα πάνω στον άξονα x με ταχύτητα,
Διαβάστε περισσότερα2. Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης
Οι νόµοι της κίνησης, οι δυνάµεις και οι εξισώσεις κίνησης Βιβλιογραφία C Kittel, W D Knight, A Rudeman, A C Helmholz και B J oye, Μηχανική (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, 1998) Κεφ, 3 R Spiegel, Θεωρητική
Διαβάστε περισσότεραΕλεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος
Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος Εισαγωγή Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ05-2 Μία κατασκευή λέγεται ότι εκτελεί ελεύθερη ταλάντωση όταν μετακινηθεί από τη θέση στατικής ισορροπίας
Διαβάστε περισσότεραΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον
Διαβάστε περισσότερα1. Κινηµατική. x dt (1.1) η ταχύτητα είναι. και η επιτάχυνση ax = lim = =. (1.2) Ο δεύτερος νόµος του Νεύτωνα παίρνει τη µορφή: (1.
1. Κινηµατική Βιβλιογραφία C. Kittel W. D. Knight M. A. Rueman A. C. Helmholz και B. J. Moe Μηχανική. Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις Ε.Μ.Π. 1998. Κεφ.. {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα Μ1 Παράγωγος} {Μαθηµατικό Συµπλήρωµα
Διαβάστε περισσότερα1. Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα.
Γενικές ασκήσεις Θέματα εξετάσεων από το 1ο κεφάλαιο ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Ένα σώμα m=1kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση και η μεταβολή της επιτάχυνσής του σε συνάρτηση με το χρόνο, φαίνεται στο σχήμα α Να βρείτε
Διαβάστε περισσότερα2.1. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας. 1.i) 1.ii) 1.iii) = 0. f x = x + 1 στο x ο. Να βρείτε την παράγωγο της συνάρτησης ( ) Λύση
. Ασκήσεις σχλικύ βιβλίυ σελίδας 9 A Oµάδας. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D R ( ( ( στ. Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης ( D ( R ( ( ( στ ( ( ( ( ( ( ( (.i Να βρείτε την παράγωγ της συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ. α β γ ΜΑΘΗΜΑ 10. Κεφάλαιο 2o : Τριγωνοµετρία. Υποενότητα 2.4: Νόµος των Ηµιτόνων Νόµος των Συνηµιτόνων. Θεµατικές Ενότητες:
ΜΑΘΗΜΑ 10 Κεφάλαι o : Τριγωνµετρία Υπενότητα.4: Νόµς των Ηµιτόνων Νόµς των Συνηµιτόνων Θεµατικές Ενότητες: 1. Νόµς Ηµιτόνων.. Νόµς Συνηµιτόνων. Α. ΝΟΜΟΣ ΗΜΙΤΟΝΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Τ σηµαντικότερ πρόβληµα στη τριγωνµετρία
Διαβάστε περισσότεραιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Γ έκδοση
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Απλή Αρµονική Ταλάντωση - Κρούσεις Ενδεικτικές Λύσεις - Γ έκδοση Α.1. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωµάτων ισχύει ότι : (δ) η ορµή του συστήµατος των δύο σωµάτων παραµένει
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΕ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΗ Ένα αντικείμενο εκτελεί απλή αρμονική κίνηση με πλάτος 4, cm και συχνότητα 4, Hz, και τη χρονική στιγμή t= περνά από το σημείο ισορροπίας και κινείται προς τα δεξιά. Γράψτε
Διαβάστε περισσότεραΕλεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια)
Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος (συνέχεια) Ελεύθερη Ταλάντωση Μονοβάθμιου Συστήματος: Δ06- Στην περίπτωση που Δ
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ 6 24 Εκφώνηση άσκησης 6. Ένα σώμα, μάζας m, εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχοντας ολική ενέργεια Ε. Χωρίς να αλλάξουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του συστήματος, προσφέρουμε στο σώμα
Διαβάστε περισσότεραpapost/
ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ - ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ - ΣΥΖΕΥΞΗ Δρ. Παντελής Σ. Αποστολόπουλος http://users.uoa.gr/ papost/ papost@phys.uoa.gr, papost@teiion.gr ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟΥ ΕΤΟΥΣ 2018-2019 Απλός Αρμονικός
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
3-0-0 ΘΕΡΙΝ ΣΕΙΡ ΘΕΜ ο ΔΙΓΩΝΙΣΜ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις -4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές Λύσεις. Θέµα Α
ιαγώνισµα Γ Τάξης Ενιαίου Λυκείου Ταλαντώσεις Ενδεικτικές Λύσεις Θέµα Α Α.1. Σε µία ϕθίνουσα ταλάντωση στην οποία το πλάτος µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο : (ϐ) όταν η σταθερά απόσβεσης b µεγαλώνει, το
Διαβάστε περισσότερα1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI).
1. Η απομάκρυνση σώματος που πραγματοποιεί οριζόντια απλή αρμονική ταλάντωση δίδεται από την σχέση x = 0,2 ημ π t, (SI). Να βρείτε: α. το πλάτος της απομάκρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης. β.
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Αγαπητί μαθητές και μαθήτριες, Τα σας πρτείνυν για άλλη μια χρνιά, ένα λκληρωμέν επαναληπτικό υλικό στη Φυσική Θετικής-Τεχνλγικής
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I 2 Σεπτεμβρίου 2010
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Εξέταση στη Μηχανική I Σεπτεμβρίου 00 Απαντήστε και στα 0 ερωτήματα με σαφήνεια και απλότητα. Οι ολοκληρωμένες απαντήσεις εκτιμώνται ιδιαιτέρως. Καλή σας επιτυχία.. Ένας
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ
ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 4// ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΓΡΑΠΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ α) Για δεδομένη αρχική ταχύτητα υ, με ποια γωνία
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ 1. Λύση. V = V x. H θ y O V 1 H/2. (α) Ακίνητος παρατηρητής (Ο) (1) 6 = = (3) 6 (4)
ΘΕΜΑ Ένα αεροπλάνο πετάει οριζόντια σε ύψος h=km µε σταθερή ταχύτητα V=6km/h, ως προς ακίνητο παρατηρητή στο έδαφος. Ο πιλότος αφήνει µια βόµβα να πέσει ελεύθερα: (α) Γράψτε τις εξισώσεις κίνησης (δηλαδή
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 2019
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 019 Κινηματική ΑΣΚΗΣΗ Κ.1 Η επιτάχυνση ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα δίνεται από τη σχέση a = (4 t ) m s. Υπολογίστε την ταχύτητα και το διάστημα που διανύει το σώμα
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1. Κίνηση σε μία διάσταση
Κεφάλαιο 1 Κίνηση σε μία διάσταση Κινηματική Περιγράφει την κίνηση, αγνοώντας τις αλληλεπιδράσεις με εξωτερικούς παράγοντες που ενδέχεται να προκαλούν ή να μεταβάλλουν την κίνηση. Προς το παρόν, θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ
ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ ΑΠΟ ΡΕΥΜΑ Για ευθύγραμμ αγωγό μήκυς l σε μγενές μαγνητικό πεδί πυ σχηματίζει γωνία φ με αυτόν: dl d Ι l φ φ sin ΜΑΓΝΗΤΙΚΗ ΔΥΝΑΜΗ ΠΑΝΩ ΣΕ ΑΓΩΓΟ ΠΟΥ ΔΙΑΡΡΕΕΤΑΙ
Διαβάστε περισσότεραΘέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου 2000 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
Θέµατα Φυσικής Θετικής & Τεχν. Κατ/νσης Γ Λυκείου Ζήτηµα ο ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Στις ερωτήσεις -4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.. Ο πρώτος
Διαβάστε περισσότερα