Ένα πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης αναπαρίσταται από... 10
|
|
- Στέφανος Κομνηνός
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 1 Επιχειρησιακή Έρευνα Δικτυωτή Ανάλυση. Μέρος Ι Νίκος Τσάντας Διατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος Εισαγωγή 2 1 Ένα πρόβλημα δικτυωτής ανάλυσης αναπαρίσταται από Κόμβους Ακμές Τιμή στις Ακμές
2 2 Εισαγωγή Σπουδαιότητα της Δικτυωτής Ανάλυσης Πολλά καθημερινά προβλήματα επιλύονται με τη βοήθεια της δικτυωτής ανάλυσης. Λόγω της ειδικής μαθηματικής φύσης τους, οι βέλτιστες λύσεις αυτών των προβλημάτων είναι ακέραιες χωρίς απαιτούνται ιδιαίτεροι περιορισμοί προκειμένου να εξασφαλιστεί κάτι τέτοιο. Οι αλγόριθμοι επίλυσης των διαφόρων μοντέλων είναι ιδιαίτερα αποτελεσματικοί, ακόμη και για προβλήματα μεγάλων διαστάσεων. Δικτυωτή Ορολογία Ροή η ποσότητα που ρέει από τον κόμβο i προς τον κόμβο j, μέσω της ακμής που τους συνδέει. Χρησιμοποιούνται οι παρακάτω συμβολισμοί: X ij = ποσότητα ροής U ij = άνω φράγμα της ροής L ij = κάτω φράγμα της ροής Προσανατολισμένες / Μη Προσανατολισμένες Ακμές όταν η ροή επιτρέπεται μόνο προς μία κατεύθυνση αυτή είναι προσανατολισμένη (βέλος). Όταν η ροή επιτρέπεται και προς τις δύο κατευθύνσεις αυτή είναι μη προσανατολισμένη.
3 3 Δικτυωτή Ορολογία Μονοπάτι / Συνεκτικό Δίκτυο Μονοπάτι: μια ακολουθία συνεχόμενων ακμών. Συνεκτικό Δίκτυο: Όταν για ένα (υπο)δίκτυο υπάρχει τουλάχιστον ένα μονοπάτι που συνδέει κάθε δυάδα κόμβων του, τότε έχουμε ένα συνεκτικό (υπο)δίκτυο. Κύκλος / Δέντρο / Ζευγνύον Δέντρο Κύκλος: ένα μονοπάτι αποτελεί ένα κύκλο όταν μπορούμε να επιστρέψουμε στον κόμβο που ξεκινήσαμε χωρίς να περάσουμε από την ίδια ακμή. Δέντρο: ένα (υπο)δίκτυο χωρίς κύκλους. Ζευγνύον Δέντρο: ένα δέντρο που συνδέει όλους τους κόμβους ενός δικτύου (αποτελείται από n -1 ακμές). Πρόβλημα Μεταφοράς Συνήθως, το πρόβλημα της μεταφοράς δημιουργείται στις περιπτώσεις που θέλουμε να αποστείλουμε αγαθά προερχόμενα από διάφορες προελεύσεις πηγές σε διάφορους προορισμούς με τον οικονομικότερο δυνατό τρόπο.
4 4 Πρόβλημα Μεταφοράς - Υπάρχουν m πηγές. Η i-πηγή έχει προσφορά S i. Υπάρχουν n προορισμοί. Η ζήτηση του j-προορισμού είναι D j. Σκοπός: Ελαχιστοποίηση του συνολικού κόστους μεταφοράς των ζητουμένων ποσοτήτων στους προορισμούς από το διαθέσιμο απόθεμα των πηγών. CARLTON PHARMACEUTICALS Η Carlton Pharmaceuticals παράγει σειρά φαρμακευτικών ειδών. Έχει τρία εργοστάσια: Cleveland (1), Detroit (2), Greensboro (3). Έχει τέσσερις αποθήκες: Boston (1), Richmond (2), Atlanta (3), St. Louis (4). Η διοίκηση της Carlton επιθυμεί να μεταφέρει κιβώτια με κάποιο εμβόλιο όσο το δυνατόν οικονομικότερα.
5 5 Δεδομένα CARLTON PHARMACEUTICALS Μοναδιαίο κόστος μεταφοράς, προσφορά, ζήτηση Προς Από Boston (1) Richmond (2) Atlanta (3) St. Louis (4) Προσφορά Cleveland (1) $ Detroit (2) Greensboro (3) Ζήτηση Υποθέσεις Τα μοναδιαία κόστη μεταφοράς παραμένουν σταθερά. Όλες οι μεταφορές γίνονται ταυτόχρονα. Επιτρεπτή είναι μόνο η μεταφορά από τις πηγές προς τους προορισμούς. Η συνολική ζήτηση ισούται με τη συνολική προσφορά. Πηγές CARLTON PHARMACEUTICALS Δίκτυο Προορισμοί 1 Boston D 1 =1100 Cleveland S 1 = Richmond 2 D 2 =400 Detroit 2 S 2 =1000 Atlanta 3 D 3 =750 Greensboro S 3 = St.Louis D 4 =750
6 6 CARLTON PHARMACEUTICALS Μοντέλο Γραμμικού Προγραμματισμού Δομή του μοντέλου: Minimize Συνολικό Κόστος Μεταφοράς ST [Ποσότητα που μεταφέρεται από πηγή] [Διαθέσιμη ποσότητα πηγής] [Ποσότητα που καταλήγει σε προορισμό] = [Ζήτηση του προορισμού] Μεταβλητές Απόφασης X ij = οι ποσότητες που θα μεταφερθούν από το i-εργοστάσιο στη j- αποθήκη. όπου: i=1 (Cleveland), 2 (Detroit), 3 (Greensboro) j=1 (Boston), 2 (Richmond), 3 (Atlanta), 4(St.Louis) Προσφορά από Cleveland X11+X12+X13+X14 < 1200 Περιορισμοί προσφοράς Προσφορά από Detroit X21+X22+X23+X24 < 1000 Προσφορά από Greensboro X31+X32+X33+X34 < 800 X11 Cleveland 1 X12 S 1 =1200 X13 X21 X14 X22 2 Detroit X31 X32 S 2 =1000 X23 X24 X33 Boston 1 D 1 =1100 Richmond 2 3 D 2 =400 Atlanta D 3 =750 Greensboro S 3 = X34 Τι γίνεται με τους περιορισμούς της ζήτησης?? 4 St.Louis D 4 =750
7 7 CARLTON PHARMACEUTICAL Το πλήρες γραμμικό μοντέλο Minimize 35X11+30X12+40X13+ 32X14 +37X21+40X22+42X23+25X24+ 40X31+15X32+20X33+38X34 ST Supply constrraints: Το συνολικό φορτίο από μια πηγή δεν μπορεί να ξεπερνά την προσφορά της πηγής. X11+ X12+ X13+ X X21+ X22+ X23+ X X31+ X32+ X33+ X Demand constraints: X11+ X21+ X31 = 1000 X12+ X22+ X32 = 400 X13+ X23+ X33 = 750 X14+ X24+ X34 = 750 All Xij are nonnegative Το συνολικό φορτίο που φτάνει σ έναν προορισμό πρέπει να ισούται με τη ζήτηση του. CARLTON PHARMACEUTICALS Γραμμικό Μοντέλο (winqsb)
8 8 CARLTON PHARMACEUTICALS Βέλτιστη Λύση Κόστος ευκαιρίας Το μοναδιαίο κόστος μεταξύ Cleveland και Atlanta πρέπει να ελαττωθεί τουλάχιστον κατά $5, προκειμένου να γίνει οικονομικά συμφέρουσα η χρήση αυτής της διαδρομής. Εάν αυτή η διαδρομή χρησιμοποιηθεί, το συνολικό κόστος θα αυξηθεί κατά $5 για κάθε φορτίο που θα μεταφέρεται μεταξύ των δύο πόλεων. CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Allowable Increase/Decrease Εύρος Αριστότητας. Το μοναδιαίο κόστος μεταξύ Cleveland και Boston μπορεί να αυξηθεί μέχρι $2 ή να ελαττωθεί μέχρι $5 χωρίς να σημειωθεί καμία αλλαγή στο βέλτιστο σχέδιο μεταφοράς.
9 9 CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Δυικές τιμές Για τα εργοστάσια, οι δυικές τιμές παριστούν το ποσό που θα εξοικονομείται για κάθε επιπλέον κιβώτιο που θα παράγεται. Για κάθε επιπλέον μονάδα που θα είναι διαθέσιμη στο Cleveland το συνολικό κόστος θα ελαττώνεται κατά $2. CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Δυικές τιμές Για τις αποθήκες, οι δυικές τιμές παριστούν το ποσό που θα εξοικονομείται για κάθε λιγότερο κιβώτιο που ζητείται. Για κάθε λιγότερη μονάδα που θα ζητείται στο Boston, το συνολικό κόστος θα ελαττώνεται κατά $37.
10 10 CARLTON PHARMACEUTICALS Αλγόριθμος «Ανακατανομής Εκχωρήσεων» CARLTON PHARMACEUTICALS Tableau Προβλήματος Μεταφοράς
11 11 CARLTON PHARMACEUTICALS Τελικό Tableau CARLTON PHARMACEUTICALS Βέλτιστη Λύση
12 12 CARLTON PHARMACEUTICALS Ανάλυση Ευαισθησίας Τροποποιήσεις στο πρόβλημα μεταφοράς Περιπτώσεις που τροποποιούν το βασικό μοντέλο. Blocked routes shipments along certain routes are prohibited Maximum Minimum shipment Maximum shipment Total supply is not equal to total demand
13 13 Limitations of Transportation Problem One commodity ONLY: any one product supplied and demanded at multiple locations. Invalid for multiple commodities (UNLESS transporting any one of the multiple commodities is completely independent of transporting any other commodity and hence can be treated by itself alone). Fixed-cost: transportation usually involves fixed charges. For example, the cost of truck rental (or cost of trucking in general) consists of a fixed charge that is independent of the mileage and a mileage charge that is proportional to the total mileage driven. Such fixed charges render the objective function NON-LINEAR and CONCAVE and make the problem much more difficult to solve. Πρόβλημα Μεταφόρτωσης Μερικές φορές η μεταφορά προς τους σταθμούς προορισμού γίνεται μέσω σταθμών μεταφόρτωσης. Οι κόμβοι μεταφόρτωσης μπορεί να είναι Ενδιάμεσοι ανεξάρτητοι κόμβοι χωρίς ζήτηση ή προσφορά. Κόμβοι ζήτησης ή προσφοράς. Η μεταφορά μέσω των ακμών συνήθως φράζεται από δοσμένες ποσότητες.
14 14 Πρόβλημα Μεταφόρτωσης Γραμμικό μοντέλο: Ροή πάνω στις ακμές μεταβλητές απόφασης Ελαχιστοποίηση κόστους αντικειμενική συνάρτηση Περιορισμοί για τους κόμβους: Πηγή Μεταφόρτωση Προορισμός : η ροή από τον κόμβο δεν ξεπερνά την παραγωγή : η ροή προς τον κόμβο ισούται με τη ροή από τον κόμβο : η ροή προς τον κόμβο ισούται με τη ζήτηση Περιορισμοί για τις ακμές: η ροή δεν μπορεί να ξεπερνά τη δυναμικότητα της ακμής DEPOT MAX Depot Max έχει έξι καταστήματα στην Κεντρική Μακεδονία και Θράκη.
15 15 DEPOT MAX The stores in towns E and F (nodes 5 and 6) are running low on the Arcadia workstation. DATA: 5-12 E 6-13 F DEPOT MAX The stores in towns A and B (nodes 1 and 2) have an access of 25 units. DATA: +10 A E +15 B F
16 16 DEPOT MAX DATA: The stores in towns C and F (nodes 3 and 4) are transshipment nodes with no excess supply or demand of their own. +10 A 1 3 C 5-12 E Depot Max wishes to transport the available workstations to E and F at minimum total cost. +15 B 2 4 D 6-13 F DEPOT MAX The possible routes and the shipping unit costs are shown. There are also upper limits (capacities) for quantities shipped to various routes DATA: A C E B D F
17 17 Παρατηρούμε ότι DEPOT MAX υπάρχουν διαφορετικά μοναδιαία κόστη μεταφοράς για τις διάφορες διαδρομές. υπάρχουν άνω φράγματα για τις ποσότητες που μπορούν να μεταφερθούν στις διάφορες διαδρομές. οι κόμβοι μεταφόρτωσης δεν έχουν ζήτηση ή προσφορά. δεν μπορεί να υπερβεί η προσφορά. η ζήτηση πρέπει να ικανοποιηθεί. Supply nodes: [Net flow out of the node] < [Supply at the node] 3 1 DEPOT MAX Είδη περιορισμών X 12 + X 13 + X 15 - X 21 < 10 (Node 1) X 21 + X 24 - X 12 < 15 (Node 2) Demand nodes: [Net flow into the node] = [Demand for the node] X 15 + X 35 +X 65 - X 56 = 12 (Node 5) X 46 +X 56 - X 65 = 13 (Node 6) Intermediate transshipment nodes: Capacity Constraints [Total flow out of the node] = [Total flow into the node] [Flow to any direction] [Flow Capacity] X 34 +X 35 = X 13 (Node3) X X 46 = X 24 + X 34 (Node 4) (Node1 to Node 5) X 12 3 (Node1 to Node 2) 6 X 35 8 (Node 3 to Node 5) a.s.o
18 18 DEPOT MAX Γραμμικό Μοντέλο Min 5X X X X X X X X X X 65 S.T. 10 X 12 + X 13 + X 15 X 21 - X 12 + X 21 + X X 13 + X 34 + X 35 = 0 X 24 X 34 + X 46 = 0 X 15 + X 35 X 56 + X 65 = 12 X 46 + X 56 X 65 = 13 X 12 3; X 15 6; X 21 7; X 24 10; X 34 8; X 35 8; X 46 17; X 56 7; X 65 5 All variables are non-negative DEPOT MAX Βέλτιστη Λύση NODE INPUT ARC INPUT SOLUTION TOTAL COST= 645 NODE NAME NODE # SUPPLY DEMAND FROM TO COST CAPACITY FROM TO FLOW SLACK 100 Alexandria Chevy Chase Fairfax Georgetown Falls Church Betheda
19 DEPOT MAX LINDO model DEPOT MAX - LINDO Solution LP OPTIMUM FOUND AT STEP 5 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X X X X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 5 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X INFINITY X X INFINITY RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY INFINITY
20 20 DEPOT MAX Δίκτυο Πρόβλημα Μεταφόρτωσης The following steps describe how the optimal solution to a transshipment problem can be found by solving a transportation problem. Step1. If necessary, add a dummy demand point (with a supply of 0 and a demand equal to the problem s excess supply) to balance the problem. Shipments to the dummy and from a point to itself will be zero. Let s= total available supply. Step2. Construct a transportation tableau as follows: A row in the tableau will be needed for each supply point and transshipment point, and a column will be needed for each demand point and transshipment point.
21 21 Πρόβλημα Μεταφόρτωσης Each supply point will have a supply equal to it s original supply, and each demand point will have a demand to its original demand. Let s= total available supply. Then each transshipment point will have a supply equal to (point s original supply)+s and a demand equal to (point s original demand)+s. This ensures that any transshipment point that is a net supplier will have a net outflow equal to point s original supply and a net demander will have a net inflow equal to point s original demand. Although we don t know how much will be shipped through each transshipment point, we can be sure that the total amount will not exceed s. Πρόβλημα Εκχώρησης Ορισμός n εργασίες πρέπει να γίνουν από n εργαζόμενους Υπάρχει ένα μοναδιαίο κόστος (ή κέρδος) C ij εάν ο i- εργάτης πραγματοποιήσει τη j-εργασία. Ελαχιστοποιούμε το συνολικό κόστος (ή μεγιστοποιούμε το συνολικό κέρδος) της εκχώρησης των εργασιών στους εργαζόμενους, έτσι ώστε σε κάθε εργαζόμενο να εκχωρηθεί μία εργασία, και κάθε εργασία να υλοποιηθεί.
22 22 Πρόβλημα Εκχώρησης The Air Force has used this for assigning thousands of people to jobs This is a classical problem. Research on the assignment problem predates research on LPs. Very efficient special purpose solution techniques exist (10 years ago, Yusin Lee and J. Orlin solved a problem with 2 million nodes and 40 million arcs in ½ hour). BALLSTON ELECTRONICS Five different electrical devices produced on five production lines (A E), are needed to be inspected. The inspection cost for finished goods depends on both the production line and the inspection lab (1-5). Management wishes to designate a separate inspection lab to inspect the products such that the total cost minimized.
23 23 BALLSTON ELECTRONICS Data: Inspection cost for each combination of assembly line and inspection lab. Assembly line A B C D E Inspection Lab BALLSTON ELECTRONICS In general an assignment problem is balanced transportation problem in which all supplies and demands are equal to 1.
24 24 Inspection Areas BALLSTON ELECTRONICS- Δίκτυο Assembly Line S 1 =1 1 A D 1 =1 S 2 =1 2 B D 2 =1 S 3 =1 3 C D 3 =1 S 4 =1 4 D D 4 =1 S 5 =1 5 E D 5 =1 Πρόβλημα Εκχώρησης For the Ballston Electronics model on the define: X ij =1 if lab (worker) i is assigned to meet the demands of assembly line (job) j X ij =0 if lab (worker) i is not assigned to meet the demands of assembly line (job) j
25 25 Πρόβλημα Εκχώρησης In general, the LP formulation is given as Minimize n i 1 j 1 n j 1 n i 1 x ij n ij ij x 1, i 1,, n ij x 1, j 1,, n ij cx 0 or 1, ij Each supply is 1 Each demand is 1 BALLSTON ELECTRONICS Γραμμικό Μοντέλο Min 10X X X X 55 S.T. X 11 + X 12 + X 13 + X 14 + X 15 = 1 X 21 + X 22 + X 23 + X 24 + X 25 = 1 X 31 + X 32 + X 33 + X 34 + X 35 = 1 X 41 + X 42 + X 43 + X 44 + X 45 = 1 X 51 + X 52 + X 53 + X 54 + X 55 = 1 X 11 + X 21 + X 31 + X 41 + X 51 = 1 X 12 + X 22 + X 32 + X 42 + X 52 = 1 X 13 + X 23 + X 33 + X 43 + X 53 = 1 X 14 + X 24 + X 34 + X 44 + X 54 = 1 X 15 + X 25 + X 35 + X 45 + X 55 = 1 All variables are non-negative
26 26 BALLSTON ELECTRONICS Γραμμικό Μοντέλο (winqsb) BALLSTON ELECTRONICS Γραμμικό Μοντέλο (winqsb)
27 27 Πρόβλημα Εκχώρησης There are n! ways of assigning n resources to n tasks. That means that as n gets large, we have too many trials to consider. Πρόβλημα Εκχώρησης Rates of Growth n log(n) n n 2 e n n! E E+12
28 28 Πρόβλημα Εκχώρησης
29 29 1. Find the minimum entry in each row and subtract it from each row 2. Find the minimum entry in each column and subtract it from each column Resulting matrix is nonnegative 5. Determine the smallest entry not covered by any line. Subtract this entry from all uncovered entries Add it to all doublecovered entries Return to Step 3.
30 30 BALLSTON ELECTRONICS Ουγγρικός Αλγόριθμος
31 31 BALLSTON ELECTRONICS Βέλτιστη Λύση Assembly line A B C D E Inspection Lab Τροποποιήσεις στο πρόβλημα εκχώρησης Μη ισορροπημένο πρόβλημα. Απαγορευμένες εκχωρήσεις. A maximization assignment problem.
Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 2) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 1) Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Ασκήσεις. Επιχειρησιακή Έρευνα
Επαναληπτικές Ασκήσεις Επιχειρησιακή Έρευνα 2016-17 1 η Άσκηση Έστω το παρακάτω πρόγραμμα γραμμικού προγραμματισμού: min 6A + 4B subject to 2Α + Β 12 Α + Β 10 Β 4 Α, Β, 0 1. Διατυπώστε την τυπική μορφή
Διαβάστε περισσότεραΠόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)
1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΠόρος Προϊόν 1 Προϊόν 2 Διαθέσιμη ποσότητα πόρου Απαιτούμενη ποσότητα πόρου ανά μονάδα προϊόντος. Γάλα (λίτρα)
1 ο Ερώτημα Έστω μια βιομηχανική επιχείρηση γαλακτοκομικών προϊόντων. Στην προσπάθειά της να διεισδύσει ακόμα περισσότερο στην αγορά γιαουρτιού παράγει μεταξύ άλλων δύο νέα προϊόντα σε οικογενειακή συσκευασία,
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3)
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής Γραμμικός Προγραμματισμός και Βελτιστοποίηση (Εργαστήριο 3) Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Επίκουρος Καθηγητής Μάρτιος 2015 Δρ. Δημήτρης Βαρσάμης Γραμμικός Προγραμματισμός (E 3) Μάρτιος
Διαβάστε περισσότεραΕνδιαφερόμαστε να μεγιστοποιήσουμε το συνολικό κέρδος της εταιρείας που ανέρχεται σε: z = 3x 1 + 5x 2 (εκατοντάδες χιλιάδες χ.μ.)
Μια εταιρεία χημικών προϊόντων παρασκευάζει μεταξύ των άλλων και δύο διαλύματα, ΔΛ, ΔΛ2. Η γραμμή παραγωγής διαχωρίζεται χοντρικά σε δύο στάδια, αυτό της μίξης κι εκείνο του καθαρισμού. Μια σχετική μελέτη
Διαβάστε περισσότεραΟ ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ
Ο ΗΓΙΕΣ ΓΙΑ ΤΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO ΚΑΙ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ Το LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) είναι ένα πολύ γνωστό λογισµικό για την επίλυση προβληµάτων γραµµικού,
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο)
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (2 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ Παραδείγματα 3 5 : Προβλήματα μεταφοράς (transportation problems)... 3 Παράδειγματα 3-5: Linear Programming
Διαβάστε περισσότεραmaximize z = 50x x 2 κάτω από τους περιορισμούς (εβδομαδιαίο κέρδος, χρηματικές μονάδες)
Ένας κοσμηματοπώλης, κατασκευάζει μπρασελέ και κολιέ αναμειγνύοντας ασήμι με κάποιο άλλο μέταλλο. Το μοντέλο π.γ.π. που ανέπτυξε για την εύρεση της εβδομαδιαίας παραγωγής (x 1 μπρασελέ και x 2 κολιέ) η
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο)
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ Η/Υ (3 ο Φυλλάδιο) ΙΩΑΝΝΗΣ ΝΤΖΟΥΦΡΑΣ (C) 2002 ΧΙΟΣ Παράδειγμα 8: Πρόβλημα ελαχίστης Διαδρομής (Shortest path problem)... 4 LINDO: Integer Linear
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο. Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum Cost Flow Networks)
Προβλήματα Ελάχιστου Κόστους Ροής σε Δίκτυο Ορισμοί Παραδείγματα Δικτυακή Simplex (προβλήματα με και χωρίς φραγμούς). Δίκτυα Ροής Ελάχιστου Κόστους (Minimum ost Flow Networks) Ένα δίκτυο μεταφόρτωσης αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ο : Για το μοντέλο του π.γ.π. που ακολουθεί maximize z = x
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 19/5/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις να αναφερθούν στη σχετική ερώτηση. Όλα τα αρχεία που αναφέρονται στα προβλήματα βρίσκονται στον ίδιο φάκελο με το εκτελέσιμο
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ
ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΙΟΥΝΙΟΣ 2012 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ο Σ Π Ρ Ο Γ Ρ Α Μ Μ Α Τ Ι Σ Μ Ο Σ ΘΕΜΑ ΠΡΩΤΟ: Θεωρήστε το π.γ.π.: maximize z(θ) = (10 4θ)x 1 +
Διαβάστε περισσότεραNumerical Analysis FMN011
Numerical Analysis FMN011 Carmen Arévalo Lund University carmen@maths.lth.se Lecture 12 Periodic data A function g has period P if g(x + P ) = g(x) Model: Trigonometric polynomial of order M T M (x) =
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 24/3/2007
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Όλοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα μικρότεροι του 10000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Αν κάπου κάνετε κάποιες υποθέσεις
Διαβάστε περισσότερα2 Composition. Invertible Mappings
Arkansas Tech University MATH 4033: Elementary Modern Algebra Dr. Marcel B. Finan Composition. Invertible Mappings In this section we discuss two procedures for creating new mappings from old ones, namely,
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) 1
Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Complex ) http://users.uom.gr/~acg 1 Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simplex (simplex table, simplex
Διαβάστε περισσότεραPhys460.nb Solution for the t-dependent Schrodinger s equation How did we find the solution? (not required)
Phys460.nb 81 ψ n (t) is still the (same) eigenstate of H But for tdependent H. The answer is NO. 5.5.5. Solution for the tdependent Schrodinger s equation If we assume that at time t 0, the electron starts
Διαβάστε περισσότεραΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ 4/29/2009
ΤΣΑΝΤΑΣ ΝΙΚΟΣ /9/9 Επιχειρησιακή Έρευνα ικτυωτή Ανάλυση. Μέρος ΙI Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών Τμήμ. Μαθηματικών Μαθηματικά των Υπολογιστών και των Αποφάσεων Ακαδημαϊκό έτος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 8η: Producer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Firm Behavior GOAL: Firms choose the maximum possible output (technological
Διαβάστε περισσότεραTMA4115 Matematikk 3
TMA4115 Matematikk 3 Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet Trondheim Spring 2010 Lecture 12: Mathematics Marvellous Matrices Andrew Stacey Norges Teknisk-Naturvitenskapelige Universitet
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 10η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 0η: Basics of Game Theory part 2 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Best Response Curves Used to solve for equilibria in games
Διαβάστε περισσότεραSection 8.3 Trigonometric Equations
99 Section 8. Trigonometric Equations Objective 1: Solve Equations Involving One Trigonometric Function. In this section and the next, we will exple how to solving equations involving trigonometric functions.
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 23: Κλασική Ανάλυση Ευαισθησίας, Βασικές Έννοιες Γραφημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραEE512: Error Control Coding
EE512: Error Control Coding Solution for Assignment on Finite Fields February 16, 2007 1. (a) Addition and Multiplication tables for GF (5) and GF (7) are shown in Tables 1 and 2. + 0 1 2 3 4 0 0 1 2 3
Διαβάστε περισσότεραHOMEWORK 4 = G. In order to plot the stress versus the stretch we define a normalized stretch:
HOMEWORK 4 Problem a For the fast loading case, we want to derive the relationship between P zz and λ z. We know that the nominal stress is expressed as: P zz = ψ λ z where λ z = λ λ z. Therefore, applying
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 7η: Consumer Behavior Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί
Διαβάστε περισσότερα1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model
1) Formulation of the Problem as a Linear Programming Model Let xi = the amount of money invested in each of the potential investments in, where (i=1,2, ) x1 = the amount of money invested in Savings Account
Διαβάστε περισσότεραΠροβλήματα Μεταφορών (Transportation)
Προβλήματα Μεταφορών (Transportation) Παραδείγματα Διατύπωση Γραμμικού Προγραμματισμού Δικτυακή Διατύπωση Λύση Γενική Μέθοδος Simplex Μέθοδος Simplex για Προβλήματα Μεταφοράς Παράδειγμα: P&T Co ΗεταιρείαP&T
Διαβάστε περισσότεραΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO
ΤΜΗΜΑΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟΠΑΤΡΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ2011-2012 ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕΣΩ LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ LINDO Το
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΙΤΟΥΜΕΝΟΣ ΧΡΟΝΟΣ (hr) στο. Στάδιο Α Στάδιο Β (ανά) τρακτέρ 10 20 (ανά) γερανό 15 10
2. Βασικές Έννοιες Γραμμικού Προγραμματισμού 89 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 2.10 Η TRACPRO, γνωστή αυτοκινητοβιομηχανία, προσπαθεί να εντοπίσει το εβδομαδιαίο σχέδιο παραγωγής τρακτέρ και γερανών με τα μεγαλύτερα κέρδη:
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 2 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Μεταξύ δύο περιορισμών, ο ένας πρέπει να ισχύει Έστω ότι για την κατασκευή ενός προϊόντος
Διαβάστε περισσότεραFractional Colorings and Zykov Products of graphs
Fractional Colorings and Zykov Products of graphs Who? Nichole Schimanski When? July 27, 2011 Graphs A graph, G, consists of a vertex set, V (G), and an edge set, E(G). V (G) is any finite set E(G) is
Διαβάστε περισσότεραk A = [k, k]( )[a 1, a 2 ] = [ka 1,ka 2 ] 4For the division of two intervals of confidence in R +
Chapter 3. Fuzzy Arithmetic 3- Fuzzy arithmetic: ~Addition(+) and subtraction (-): Let A = [a and B = [b, b in R If x [a and y [b, b than x+y [a +b +b Symbolically,we write A(+)B = [a (+)[b, b = [a +b
Διαβάστε περισσότεραCapacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference
Capacitors - Capacitance, Charge and Potential Difference Capacitors store electric charge. This ability to store electric charge is known as capacitance. A simple capacitor consists of 2 parallel metal
Διαβάστε περισσότεραΜοντέλα Διανομής και Δικτύων
Μοντέλα Διανομής και Δικτύων 10-03-2017 2 Πρόβλημα μεταφοράς (1) Τα προβλήματα μεταφοράς ανακύπτουν συχνά σε περιπτώσεις σχεδιασμού διανομής αγαθών και υπηρεσιών από τα σημεία προσφοράς προς τα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΚανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης
http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)
Διαβάστε περισσότεραNowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in
Nowhere-zero flows Let be a digraph, Abelian group. A Γ-circulation in is a mapping : such that, where, and : tail in X, head in : tail in X, head in A nowhere-zero Γ-flow is a Γ-circulation such that
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΟΣ ΣΥΝΔΕΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY 21 ος ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ Δεύτερος Γύρος - 30 Μαρτίου 2011
Διάρκεια Διαγωνισμού: 3 ώρες Απαντήστε όλες τις ερωτήσεις Μέγιστο Βάρος (20 Μονάδες) Δίνεται ένα σύνολο από N σφαιρίδια τα οποία δεν έχουν όλα το ίδιο βάρος μεταξύ τους και ένα κουτί που αντέχει μέχρι
Διαβάστε περισσότεραΚΥΠΡΙΑΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ CYPRUS COMPUTER SOCIETY ΠΑΓΚΥΠΡΙΟΣ ΜΑΘΗΤΙΚΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 6/5/2006
Οδηγίες: Να απαντηθούν όλες οι ερωτήσεις. Ολοι οι αριθμοί που αναφέρονται σε όλα τα ερωτήματα είναι μικρότεροι το 1000 εκτός αν ορίζεται διαφορετικά στη διατύπωση του προβλήματος. Διάρκεια: 3,5 ώρες Καλή
Διαβάστε περισσότεραExercises 10. Find a fundamental matrix of the given system of equations. Also find the fundamental matrix Φ(t) satisfying Φ(0) = I. 1.
Exercises 0 More exercises are available in Elementary Differential Equations. If you have a problem to solve any of them, feel free to come to office hour. Problem Find a fundamental matrix of the given
Διαβάστε περισσότεραCHAPTER 25 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS
CHAPTER 5 SOLVING EQUATIONS BY ITERATIVE METHODS EXERCISE 104 Page 8 1. Find the positive root of the equation x + 3x 5 = 0, correct to 3 significant figures, using the method of bisection. Let f(x) =
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραInstruction Execution Times
1 C Execution Times InThisAppendix... Introduction DL330 Execution Times DL330P Execution Times DL340 Execution Times C-2 Execution Times Introduction Data Registers This appendix contains several tables
Διαβάστε περισσότεραStatistical Inference I Locally most powerful tests
Statistical Inference I Locally most powerful tests Shirsendu Mukherjee Department of Statistics, Asutosh College, Kolkata, India. shirsendu st@yahoo.co.in So far we have treated the testing of one-sided
Διαβάστε περισσότεραStrain gauge and rosettes
Strain gauge and rosettes Introduction A strain gauge is a device which is used to measure strain (deformation) on an object subjected to forces. Strain can be measured using various types of devices classified
Διαβάστε περισσότεραReminders: linear functions
Reminders: linear functions Let U and V be vector spaces over the same field F. Definition A function f : U V is linear if for every u 1, u 2 U, f (u 1 + u 2 ) = f (u 1 ) + f (u 2 ), and for every u U
Διαβάστε περισσότεραAreas and Lengths in Polar Coordinates
Kiryl Tsishchanka Areas and Lengths in Polar Coordinates In this section we develop the formula for the area of a region whose boundary is given by a polar equation. We need to use the formula for the
Διαβάστε περισσότεραΚανονική μορφή μοντέλου μεγιστοποίησης
http://users.uom.gr/~acg Η μέθοδος SIMPLEX (Both Simple and Comple ) Αλγεβρική Μέθοδος Επίλυσης Γραμμικών Μοντέλων Η μέθοδος SIMPLEX Χρησιμοποιείται ο λεγόμενος πίνακας simple (simple table, simple tableαu)
Διαβάστε περισσότεραSCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES G11LMA Linear Mathematics Examination Solutions
SCHOOL OF MATHEMATICAL SCIENCES GLMA Linear Mathematics 00- Examination Solutions. (a) i. ( + 5i)( i) = (6 + 5) + (5 )i = + i. Real part is, imaginary part is. (b) ii. + 5i i ( + 5i)( + i) = ( i)( + i)
Διαβάστε περισσότεραThe Simply Typed Lambda Calculus
Type Inference Instead of writing type annotations, can we use an algorithm to infer what the type annotations should be? That depends on the type system. For simple type systems the answer is yes, and
Διαβάστε περισσότεραΑπόκριση σε Μοναδιαία Ωστική Δύναμη (Unit Impulse) Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο. Απόστολος Σ.
Απόκριση σε Δυνάμεις Αυθαίρετα Μεταβαλλόμενες με το Χρόνο The time integral of a force is referred to as impulse, is determined by and is obtained from: Newton s 2 nd Law of motion states that the action
Διαβάστε περισσότεραΠρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής
Πρόβλημα 1: Αναζήτηση Ελάχιστης/Μέγιστης Τιμής Να γραφεί πρόγραμμα το οποίο δέχεται ως είσοδο μια ακολουθία S από n (n 40) ακέραιους αριθμούς και επιστρέφει ως έξοδο δύο ακολουθίες από θετικούς ακέραιους
Διαβάστε περισσότεραApproximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude
Approximation of distance between locations on earth given by latitude and longitude Jan Behrens 2012-12-31 In this paper we shall provide a method to approximate distances between two points on earth
Διαβάστε περισσότεραOther Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests
Other Test Constructions: Likelihood Ratio & Bayes Tests Side-Note: So far we have seen a few approaches for creating tests such as Neyman-Pearson Lemma ( most powerful tests of H 0 : θ = θ 0 vs H 1 :
Διαβάστε περισσότερα3. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation )
3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 3. ΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ ( Transportation ) Σε αυτή την ενότητα θα ασχοληθούμε με προβλήματα που αφορούν τη μεταφορά αγαθών από διαφορετικά σημεία παραγωγής ή κεντρικής αποθήκευσης
Διαβάστε περισσότεραHomework 8 Model Solution Section
MATH 004 Homework Solution Homework 8 Model Solution Section 14.5 14.6. 14.5. Use the Chain Rule to find dz where z cosx + 4y), x 5t 4, y 1 t. dz dx + dy y sinx + 4y)0t + 4) sinx + 4y) 1t ) 0t + 4t ) sinx
Διαβάστε περισσότεραMatrices and Determinants
Matrices and Determinants SUBJECTIVE PROBLEMS: Q 1. For what value of k do the following system of equations possess a non-trivial (i.e., not all zero) solution over the set of rationals Q? x + ky + 3z
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ. Ψηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 6η: Basics of Industrial Organization Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 6η: Basics of Industrial Organization Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools Firms - Basics
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραPractice Exam 2. Conceptual Questions. 1. State a Basic identity and then verify it. (a) Identity: Solution: One identity is csc(θ) = 1
Conceptual Questions. State a Basic identity and then verify it. a) Identity: Solution: One identity is cscθ) = sinθ) Practice Exam b) Verification: Solution: Given the point of intersection x, y) of the
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτική Ανάλυση Επιχειρηματικών Αποφάσεων Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων. Μέρος B
Ποσοτική Ανάλυση Επιχειρηματικών Αποφάσεων Προγραμματισμός ιαχείριση Έργων. Μέρος B Νίκος Τσάντας ιατμηματικό Πρόγραμμα Μεταπτυχιακών Σπουδών στη ιοίκηση Επιχειρήσεων Πανεπιστήμιο Μακεδονίας, Ακαδημαϊκό
Διαβάστε περισσότεραD Alembert s Solution to the Wave Equation
D Alembert s Solution to the Wave Equation MATH 467 Partial Differential Equations J. Robert Buchanan Department of Mathematics Fall 2018 Objectives In this lesson we will learn: a change of variable technique
Διαβάστε περισσότεραSection 7.6 Double and Half Angle Formulas
09 Section 7. Double and Half Angle Fmulas To derive the double-angles fmulas, we will use the sum of two angles fmulas that we developed in the last section. We will let α θ and β θ: cos(θ) cos(θ + θ)
Διαβάστε περισσότεραPartial Differential Equations in Biology The boundary element method. March 26, 2013
The boundary element method March 26, 203 Introduction and notation The problem: u = f in D R d u = ϕ in Γ D u n = g on Γ N, where D = Γ D Γ N, Γ D Γ N = (possibly, Γ D = [Neumann problem] or Γ N = [Dirichlet
Διαβάστε περισσότεραMatrices and vectors. Matrix and vector. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = b 1 b 2. b m. R m n, b = = ( a ij. a m1 a m2 a mn. def
Matrices and vectors Matrix and vector a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = a m1 a m2 a mn def = ( a ij ) R m n, b = b 1 b 2 b m Rm Matrix and vectors in linear equations: example E 1 : x 1 + x 2 + 3x 4 =
Διαβάστε περισσότεραFinite Field Problems: Solutions
Finite Field Problems: Solutions 1. Let f = x 2 +1 Z 11 [x] and let F = Z 11 [x]/(f), a field. Let Solution: F =11 2 = 121, so F = 121 1 = 120. The possible orders are the divisors of 120. Solution: The
Διαβάστε περισσότεραPg The perimeter is P = 3x The area of a triangle is. where b is the base, h is the height. In our case b = x, then the area is
Pg. 9. The perimeter is P = The area of a triangle is A = bh where b is the base, h is the height 0 h= btan 60 = b = b In our case b =, then the area is A = = 0. By Pythagorean theorem a + a = d a a =
Διαβάστε περισσότεραω ω ω ω ω ω+2 ω ω+2 + ω ω ω ω+2 + ω ω+1 ω ω+2 2 ω ω ω ω ω ω ω ω+1 ω ω2 ω ω2 + ω ω ω2 + ω ω ω ω2 + ω ω+1 ω ω2 + ω ω+1 + ω ω ω ω2 + ω
0 1 2 3 4 5 6 ω ω + 1 ω + 2 ω + 3 ω + 4 ω2 ω2 + 1 ω2 + 2 ω2 + 3 ω3 ω3 + 1 ω3 + 2 ω4 ω4 + 1 ω5 ω 2 ω 2 + 1 ω 2 + 2 ω 2 + ω ω 2 + ω + 1 ω 2 + ω2 ω 2 2 ω 2 2 + 1 ω 2 2 + ω ω 2 3 ω 3 ω 3 + 1 ω 3 + ω ω 3 +
Διαβάστε περισσότεραChapter 6: Systems of Linear Differential. be continuous functions on the interval
Chapter 6: Systems of Linear Differential Equations Let a (t), a 2 (t),..., a nn (t), b (t), b 2 (t),..., b n (t) be continuous functions on the interval I. The system of n first-order differential equations
Διαβάστε περισσότεραΜεταπτυχιακή διατριβή. Ανδρέας Παπαευσταθίου
Σχολή Γεωτεχνικών Επιστημών και Διαχείρισης Περιβάλλοντος Μεταπτυχιακή διατριβή Κτίρια σχεδόν μηδενικής ενεργειακής κατανάλωσης :Αξιολόγηση συστημάτων θέρμανσης -ψύξης και ΑΠΕ σε οικιστικά κτίρια στην
Διαβάστε περισσότεραInverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. ------------------ ----------------------------- -----------------
Inverse trigonometric functions & General Solution of Trigonometric Equations. 1. Sin ( ) = a) b) c) d) Ans b. Solution : Method 1. Ans a: 17 > 1 a) is rejected. w.k.t Sin ( sin ) = d is rejected. If sin
Διαβάστε περισσότεραHomework 3 Solutions
Homework 3 Solutions Igor Yanovsky (Math 151A TA) Problem 1: Compute the absolute error and relative error in approximations of p by p. (Use calculator!) a) p π, p 22/7; b) p π, p 3.141. Solution: For
Διαβάστε περισσότεραANSWERSHEET (TOPIC = DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION #2. h 0 h h 0 h h 0 ( ) g k = g 0 + g 1 + g g 2009 =?
Teko Classes IITJEE/AIEEE Maths by SUHAAG SIR, Bhopal, Ph (0755) 3 00 000 www.tekoclasses.com ANSWERSHEET (TOPIC DIFFERENTIAL CALCULUS) COLLECTION # Question Type A.Single Correct Type Q. (A) Sol least
Διαβάστε περισσότερα[1] P Q. Fig. 3.1
1 (a) Define resistance....... [1] (b) The smallest conductor within a computer processing chip can be represented as a rectangular block that is one atom high, four atoms wide and twenty atoms long. One
Διαβάστε περισσότεραSrednicki Chapter 55
Srednicki Chapter 55 QFT Problems & Solutions A. George August 3, 03 Srednicki 55.. Use equations 55.3-55.0 and A i, A j ] = Π i, Π j ] = 0 (at equal times) to verify equations 55.-55.3. This is our third
Διαβάστε περισσότεραC.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions
C.S. 430 Assignment 6, Sample Solutions Paul Liu November 15, 2007 Note that these are sample solutions only; in many cases there were many acceptable answers. 1 Reynolds Problem 10.1 1.1 Normal-order
Διαβάστε περισσότεραPARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities
PARTIAL NOTES for 6.1 Trigonometric Identities tanθ = sinθ cosθ cotθ = cosθ sinθ BASIC IDENTITIES cscθ = 1 sinθ secθ = 1 cosθ cotθ = 1 tanθ PYTHAGOREAN IDENTITIES sin θ + cos θ =1 tan θ +1= sec θ 1 + cot
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός
Γραμμικός Προγραμματισμός Άλλες μορφές ΓΠ Αναθεωρημένη SIMPLEX Interior Point Approach Sensitivity Analysis (Παράδειγμα) Η Μέθοδος Simple Η μέθοδος υποθέτει ότι το πρόβλημα είναι διατυπωμένο στην τυπική
Διαβάστε περισσότεραThe challenges of non-stable predicates
The challenges of non-stable predicates Consider a non-stable predicate Φ encoding, say, a safety property. We want to determine whether Φ holds for our program. The challenges of non-stable predicates
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 24: Ειδικές Περιπτώσεις του Προβλήματος Ροής Ελαχίστου Κόστους Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότερα6.3 Forecasting ARMA processes
122 CHAPTER 6. ARMA MODELS 6.3 Forecasting ARMA processes The purpose of forecasting is to predict future values of a TS based on the data collected to the present. In this section we will discuss a linear
Διαβάστε περισσότεραSCITECH Volume 13, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION Published online: March 29, 2018
Journal of rogressive Research in Mathematics(JRM) ISSN: 2395-028 SCITECH Volume 3, Issue 2 RESEARCH ORGANISATION ublished online: March 29, 208 Journal of rogressive Research in Mathematics www.scitecresearch.com/journals
Διαβάστε περισσότερα3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS. NOTE: cos(α+β) cos α + cos β cos(α-β) cos α -cos β
3.4 SUM AND DIFFERENCE FORMULAS Page Theorem cos(αβ cos α cos β -sin α cos(α-β cos α cos β sin α NOTE: cos(αβ cos α cos β cos(α-β cos α -cos β Proof of cos(α-β cos α cos β sin α Let s use a unit circle
Διαβάστε περισσότεραΕργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων. Εξάμηνο 7 ο
Εργαστήριο Ανάπτυξης Εφαρμογών Βάσεων Δεδομένων Εξάμηνο 7 ο Procedures and Functions Stored procedures and functions are named blocks of code that enable you to group and organize a series of SQL and PL/SQL
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ»
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΜΣ «ΠΡΟΗΓΜΕΝΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ» ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ «ΕΥΦΥΕΙΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΕΣ ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΣ ΑΝΘΡΩΠΟΥ - ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΗ» ΜΕΤΑΠΤΥΧΙΑΚΗ ΙΑΤΡΙΒΗ ΤΟΥ ΕΥΘΥΜΙΟΥ ΘΕΜΕΛΗ ΤΙΤΛΟΣ Ανάλυση
Διαβάστε περισσότερα2. THEORY OF EQUATIONS. PREVIOUS EAMCET Bits.
EAMCET-. THEORY OF EQUATIONS PREVIOUS EAMCET Bits. Each of the roots of the equation x 6x + 6x 5= are increased by k so that the new transformed equation does not contain term. Then k =... - 4. - Sol.
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Οικονομία. Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Διάλεξη 11η: Markets and Strategic Interaction in Networks Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Course Outline Part II: Mathematical Tools
Διαβάστε περισσότερα4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(1,1)
84 CHAPTER 4. STATIONARY TS MODELS 4.6 Autoregressive Moving Average Model ARMA(,) This section is an introduction to a wide class of models ARMA(p,q) which we will consider in more detail later in this
Διαβάστε περισσότεραST5224: Advanced Statistical Theory II
ST5224: Advanced Statistical Theory II 2014/2015: Semester II Tutorial 7 1. Let X be a sample from a population P and consider testing hypotheses H 0 : P = P 0 versus H 1 : P = P 1, where P j is a known
Διαβάστε περισσότεραΗΜΥ 220: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδημαϊκό έτος Εαρινό Εξάμηνο Κατ οίκον εργασία αρ. 2
ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΥΠΡΟΥ ΗΜΥ 220: ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Ακαδημαϊκό έτος 2007-08 -- Εαρινό Εξάμηνο Κατ οίκον εργασία αρ. 2 Ημερομηνία Παραδόσεως: Παρασκευή
Διαβάστε περισσότεραIf we restrict the domain of y = sin x to [ π, π ], the restrict function. y = sin x, π 2 x π 2
Chapter 3. Analytic Trigonometry 3.1 The inverse sine, cosine, and tangent functions 1. Review: Inverse function (1) f 1 (f(x)) = x for every x in the domain of f and f(f 1 (x)) = x for every x in the
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 10: Το πρόβλημα μεταφοράς: μαθηματικό μοντέλο και μεθοδολογία επίλυσης Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤο Πρόβλημα Μεταφοράς
Το Πρόβλημα Μεταφοράς Αφορά τη μεταφορά ενός προϊόντος από διάφορους σταθμούς παραγωγής σε διάφορες θέσεις κατανάλωσης με το ελάχιστο δυνατό κόστος. Πρόκειται για το πιο σπουδαίο πρότυπο προβλήματος γραμμικού
Διαβάστε περισσότεραΈνα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας.
Ένα πρόβλημα κατάρτισης προγράμματος εργασίας. Έστω ένα πλήθος πληρωμάτων I, σε καθένα από τα οποία ανατίθεται καθημερινά κάποιο καθήκον (εργασία, βάρδια), από ένα συνολικό πλήθος Κ εργασιών. Ο στόχος
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Οικονομία Άσκηση αυτοαξιολόγησης 4 Mαρίνα Μπιτσάκη Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών CS-593 Game Theory 1. For the game depicted below, find the mixed strategy
Διαβάστε περισσότερα