Ανώτερα Μαθηματικά ΙI
|
|
- Ξένα Λύτρας
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
2 ý ýþ ¹ ÁÁ º½ º½º½ ý º½º½ ¹ ½ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë È 0 = (Ü 0 Ý 0 ) È 0 = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ˺ È 0 È 0 (Ü 0 Ý 0 ) È 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) È 0 Áº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ÁÁº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) Ë (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ˺ Öй ØÚ ÜØÖÑÙѵ (Ü 0 Ý 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 )º º½º½ ¹ ¾ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë È 0 = ½
3 ¾ º ýº (Ü 0 Ý 0 ) È 0 = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ˺ È 0 È 0 ÜØÖÑÙѵ Áº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) ÁÁº (Ü Ý) (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü Ý) Ë (Ü Ý Þ) ˺ (Ü 0 Ý 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 )º º º½º½ ¹ ½ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë º ý È 0 = (Ü 0 Ý 0 ) È 0 = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ë ØØÓÒÖÝ ÔÓÒص º ý ý = 2 (Ü 0 Ý 0 ) Ü 2 = 2 (Ü 0 Ý 0 ) = 2 (Ü 0 Ý 0 ) ÜÝ Ý 2 = 2 = ÜÜ ÜÝ ÜÝ ÝÝ º½º½ ¹ ½µ (Ü 0 Ý 0 ) º½º½ ¹ ¾ µº ô (Ü Ý) Ë R 2 Ë Ë º ý (Ü 0 Ý 0 ) Ë (Ü 0 Ý 0 ) Ü = (Ü 0 Ý 0 ) Ý = 0 º½º½ ¹ ¾µ
4 ý Áº 0 º 0 0µ (Ü 0 Ý 0 ) º 0 0µ (Ü 0 Ý 0 ) º ÁÁº 0 º (Ü 0 Ý 0 ) º ÁÁÁº = 0 º º½º½ ¹ ½ µ (511 2) ÖØÐ ØØÓÒÖÝ ÔÓÒØ µ (Ü Ý)º µ (Ü 0 Ý 0 ) (511 1) º º½º½ ¹ ½ ô ( (Ü Ý) = ln Ü 2 + Ý 2) = R 2 (00) (511 2) Ü = ( Ü 2 + Ý 2) Ü Ü 2 + Ý 2 ( = 2Ü Ü 2 Ü 2 + Ý 2 = 0 + Ý 2) Ý Ý = Ü 2 + Ý 2 = 2Ý Ü 2 + Ý 2 = 0 Ü = Ý = 0 È(00) º º½º½ ¹ ½µ È º
5 º ýº º½º½ ¹ ½ º½º½ ¹ ½ º½º½ ¹ ¾ (Ü Ý) = ÜÝ = R 2 º (511 2) Ü = Ü = 0 Ý = Ý = 0 È(00)º ý (511 1) = ÜÜ = 0 = ÜÝ = 1 = ÝÝ = 0 = 1 0 ÁÁµ º½º½ ¹ ¾ È º º½º½ ¹ ¾µº º½º½ ¹ ø (Ü Ý) = Ü 3 + Ý 3 3ÜÝ +4 = R 2 º ý (511 2) Ü = 3Ü 2 3Ý = 0 Ý = 3Ý 2 3Ü = 0
6 ý º½º½ ¹ ¾ º½º½ ¹ ¾ 1 Ý = Ü (Ü 2) 2 ( ) 3Ü = 3Ü Ü 3 1 = 0 Ü = 0 Ü = 1 È 1 (00) È 2 (11) ý (511 1) (Ü Ý) = ÜÜ = 6Ü = ÜÝ = 3 = ÝÝ = 6Ý = 2 = ÜÜ ÜÝ ÜÝ ÝÝ 6Ü 3 = = 36 ÜÝ 9 3 6Ý Á¹ÁÁÁµ º½º½ ¹ ¾ º º½º½ ¹ µ È 1 È1 (00) = 9 0 È 2 È2 (11) = 27 0 È2 (11) = 6 0 (11) = 3º
7 º ýº º½º½ ¹ º½º½ ¹ º (Ü Ý) = Ü 3 + Ý 3 3ÜÝ +4 º½º½ ¹ ø (Ü Ý) = 3Ü 2 Ý + Ý 3 3Ü 2 3Ý 2 +2 = R 2 º ý (511 2) Ü = 6ÜÝ 6Ü = 0 Ý = 3Ü 2 +3Ý 2 6Ý = 0 1 6Ü(Ý 1) = 0 Ü = 0 Ý = 1º 2 Ü = 0 : 3Ý 2 6Ý = 3Ý(Ý 2) = 0 Ý = 0 Ý = 2 Ý = 1 : ( ) 3Ü 2 3 = 3 Ü 2 1 = 0 Ü = 1 Ü = 1
8 ý È 1 (00) È 2 (02) È 3 (11) È 4 ( 11) (511 1) (Ü Ý) = ÜÜ = 6Ý 6 = ÜÝ = 6Ü = ÝÝ = 6Ý 6 = 2 = ÜÜ ÜÝ ÜÝ ÝÝ 6Ý 6 = 6Ü 6Ü 6Ý 6 = 36(Ý 1) 2 36Ü 2 Á¹ÁÁÁµ º½º½ ¹ ¾ º º½º½ ¹ µ È 1 È1 (00) = 36 0 È1 (00) = 6 0 µ (00) = 2 È 2 È2 (02) = 36 0 È2 (02) = 6 0 µ (02) = 2 È 3 È3 (11) = 36 0 È 4 È4 ( 11) = 36 0 º (Ü Ý) ) Ü 2 + ÜÝ + Ý 2 +5Ü 5Ý +3 ) Ü 3 6ÜÝ + Ý 3 ) Ü 3 3Ü+ÜÝ 2 Ú) Ü2 Ý 2 º ý º½º½ ¹ µº ô (Ü Ý Þ) Ë R 3 Ë Ë
9 º ýº º½º½ ¹ º½º½ ¹ º 3Ü 2 Ý + Ý 3 3Ü 2 3Ý 2 +2 º ô È 0 = È 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ë (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ü = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Ý = (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) Þ = 0 º½º½ ¹ µ ý = ÜÜ (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) = = ÜÜ ÜÝ ÜÞ ÝÜ ÝÝ ÝÞ ÞÜ ÞÝ ÞÞ È 0 ÜÜ ÝÜ ÜÝ ÝÝ È 0 º½º½ ¹ µ (Ü Ý Þ) Ë R 3 Áº ÁÁº 0 0 0º
10 ý ø º½º½ ¹ ½ Áµ (511 3) (Ü Ý Þ)º º½º½ ¹ ô (Ü Ý Þ) = Ü 2 + Ý 2 + Þ 2 2Ü 5º (511 3) Ü = 2Ü 2 = 0 Ý = 2Ý = 0 Þ = 2Þ = 0 (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) = (100)º (511 4) = ÜÜ (100) = 2 0 = ÜÜ ÝÜ ÜÝ ÝÝ = 4 0 (100) = ÜÜ ÜÝ ÜÞ ÝÜ ÝÝ ÝÞ ÞÜ ÞÝ ÞÞ = 8 0 (100) ÁÁµ º½º½ ¹ È(100) (100) = 4º (Ü Ý Þ) µ Ü 2 + Ý 2 + Þ 2 2Ü+4Ý 6Þ 11 µ Ü 2 + Ý 2 + Þ 2 +3Þ +1º
11 ½¼ º ýº º½º¾ ý ½ º º½ ÑØÑØÐ ÓÔØÑÞØÓÒµ (Ü Ý) ¾ R 2 º ¹ º ÜØÖÑ ÚÐÙ ØÓÖѵ º½º¾ ¹ ½ ý (Ü Ý) R 2 (Ü 1 Ý 1 ) (Ü 2 Ý 2 ) (Ü 1 Ý 1 ) (Ü 1 Ý 1 ) º º½º¾ ¹ ½ º ÁÁº º ÁÁÁº (Á) (ÁÁ) º ½ º ¾ º½º¾ ¹ ½ R 2 º = [ 11] [02] = [ 11] [02] º º½º¾ ¹ ¾ R 2 º º½º½ ¹ º
12 ý ½½ º½º¾ ¹ ½ (Ü Ý) = Ü 2 +4Ý 2 2Ü 2 Ý +4 º º½º¾ ¹ ½µ = {(Ü Ý) R 2 : 1 Ü 1 1 Ý 1} º º½º¾ ¹ ½ º½º¾ ¹ ½ º½º¾ ¹ ½ µ = {(Ü Ý) R 2 : 1 Ü 1 1 Ý 1} µ (Ü Ý) = Ü 2 +4Ý 2 2Ü 2 Ý +4 (Ü Ý) º Á ý (511 2) Ü = 2Ü 4ÜÝ = 0 Ý = 8Ý 2Ü 2 = 0 2 Ý = Ü2 4 1 Ü 4Ü Ü2 ( 4 = 2Ü Ü3 = Ü 2 Ü 2) = 0 Ü = 0 ± 2
13 ½¾ º ýº Ü = 0º ý Ü = 0 2 Ý = 0º È(00) (00) = 4 ½µ ÁÁ µ Ü = 1 1 Ý 1 (1 Ý) = 1 (Ý) = 4Ý 2 2Ý + 5º 1 (Ý) = 8Ý (Ý) = 0 Ý = 1 4 º ( È ) 4 ( 1 1 ) ( ) 1 = 1 = 475 ¾µ 4 4 µ Ü = 1 1 Ý 1 ( 1 Ý) = 2 (Ý) = 4Ý 2 2Ý+5 = 1 (Ý) ()º µ Ý = 1 1 Ü 1 (Ü1) = 1 (Ü) = 8 Ü 2 º 1 (Ü) = 2Ü 1 1 (Ü) = 0 Ü = 0 º È 2 (01) (01) = 1 (0) = 8 µ Úµ Ý = 1 1 Ü 1 (Ü 1) = 2 (Ü) = 8 + 3Ü 2 º 2 (Ü) = 6Ü 2 Ü = 0 º È 3 (0 1) (0 1) = 2 (0) = 8 µ Úµ 1 ( 1 1) ( 1 1) = 11 2 (1 1) ( 11) = 11 3 (11) (11) = 7 µ 4 ( 11) ( 11) = 7
14 ý ½ ÁÁÁ ý ½µ¹ µ È(00) 4 1 ( 1 1) 2 (1 1) 11 º º½º¾ ¹ ½µº º½º¾ ¹ ¾ ø (Ü Ý) = 2Ü 2 Ý 2 +6Ý = {(Ü Ý) R 2 : Ü 2 + Ý 2 16} º º½º¾ ¹ ½ Á ý (511 2) Ü = 4Ü = 0 Ý = 2Ý +6 = 0 È(03) (03) = 9 ½µ ÁÁ Ü 2 + Ý 2 16 µ Ü 2 +Ý 2 = 16 Ü 2 = 16 Ý 2 ( (Ý) = 2 16 Ý 2) Ý 2 +6Ý = 32 3Ý 2 +6Ý
15 ½ º ýº Ý 4 Ý 4º (Ý) = 6Ý + 6 Ý = 1 Ü 2 = 16 Ý 2 È 1 ( ) ( 151 ) 151 = 35 ( ( ) ¾µ È ) 151 = 35 µ ¹ ¹ [ 44] Ý Ý = ±4 Ü = 0º 1 (0 4) (0 4) = 40 2 (04) (04) = 8 µ ÁÁÁ ý ½µ¹ µ 1 (0 4) 40 È 1 ( 151) È2 ( 151 ) 35 º º½º¾ ¹ ¾µº º½º ý ¹ ÄÖÒ (Ü Ý) º (Ü Ý) (Ü Ý Þ) (Ü Ý) (Ü Ý Þ) ÓÒ¹ ØÖÒØ µ (Ü Ý) = 0 (Ü Ý Þ) = 0 ÓÙÔÐÒ ÕÙ¹ ØÓÒ ÕÙÐØÝ ÓÒ ØÖÒصº
16 ý ½ º½º¾ ¹ ¾ º½º¾ ¹ ¾ (Ü Ý) = 2Ü 2 Ý 2 +6Ý (Ü Ý) º ÓÒØÓÒÐ ÜØÖÑÙѵ º ÄÖÒ ÄÖÒ ÑÙÐØÔÐÖ µº (Ü Ý) (Ü Ý Þ) (Ü Ý) = 0 (Ü Ý Þ) = 0 º½º ¹ ½µ ÄÖÒ ÙÜÐÖÝ ÙÒØÓÒµ (Ü Ý) = (Ü Ý)+ (Ü Ý) º½º ¹ ¾µ (Ü Ý Þ) = (Ü Ý Þ)+ (Ü Ý Þ) º½º ¹ µ ÄÖÒ º º ô ³ (511 1)
17 ½ º ýº Ü = Ü + Ü = 0 Ý = Ý + Ý = 0 Ü = Ü + Ü = 0 Ý = Ý + Ý = 0 º½º ¹ µ º½º ¹ µ Þ = Þ + Þ = 0 ý ¹ Ü = Ü() Ý = Ý() Þ = Þ()º ý (513 1) Ü 0 Ý 0 Ü 0 Ý 0 Þ 0 (513 4) (513 5)º º½º ¹ ½ ø (513 1) R 2 R 3 º½º¾ ¹ ½º È (Ü 0 Ý 0 ) (Ü Ý) (Ü Ý) = 0 È (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü Ý Þ) (Ü Ý Þ) = 0º µ (Ü 0 Ý 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) È º½º ¹ ½ (Ü Ý) = ÜÝ (Ü Ý) = Ü+Ý 1 = 0 º (513 2) ÄÖÒ (Ü Ý) = ÜÝ + (Ü+Ý 1)
18 ý ½ (513 4) Ü = Ý + = 0 Ý = Ü+ = 0 Ý Ü = = ý (Ü Ý) = Ü + Ý 1 = 0 2 = 1 = 1 2 º ) Ü = Ý = 1 2 È ( º½º ¹ ½ ( ) ( ) = º½º ¹ ¾ ø (Ü Ý) = 5Ü 3Ý (Ü Ý) = Ü 2 + Ý = 0 º Þ = (Ü Ý) (Ü Ý) 136º (513 2) ÄÖÒ ( ) (Ü Ý) = 5Ü 3Ý + Ü 2 + Ý (513 4) Ü = 2Ü+5 = 0 Ý = 2Ý 3 = 0 Ü = Ý = 2 ý (Ü Ý) = Ü 2 + Ý = = = 1 16 = ± 1 4
19 ½ º ýº = 1 4 Ü = 10 Ý = 6 È 1 ( 106) = 1 4 Ü = 10 Ý = 6 È 2 (10 6) º½º ¹ ½ È 1 ( 106) : ( 106) = 68 0 È 2 (10 6) : (10 6) = 68 0 º½º ¹ ø (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ (Ü Ý Þ) = Ü+Ý + Þ 1 = 0 Ü Ý Þ 0º º (513 3) ÄÖÒ (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ + (Ü+Ý + Þ 1) (513 5) Ü = ÝÞ + = 0 Ý = ÞÜ+ = 0 Þ = ÜÝ + = 0 ÝÞ = ½µ ÞÜ = ¾µ ÜÝ = µ
20 ý ½ ý ½µ ¾µ ÝÞ = ÞÜ Þ(Ý Ü) = 0 Þ = 0 µ Ý = Ü µ ý µ ½µ ¾µ = 0 µ ÜÝ = 0 Ü = 0 Ý = 0º (Ü Ý Þ) = Ü+Ý + Þ 1 = 0 Þ = 0 Ü = 0 Ý = 1 È 1 (010) µ Þ = 0 Ý = 0 Ü = 1 È 2 (100) µ ý µ µ Ü = Ý = 0º (Ü Ý Þ) = Ü+Ý+Þ 1 = 0 Þ = 1 È 3 (001) µ µ Ü = Ý 0º ¾µ µ ÜÞ = ÜÝ Ü(Þ Ý) = 0 Ü = 0 Ý = Þ Ü 0 Ý = Þº Ü = Ý = Þº (Ü Ý Þ) = Ü+Ý + Þ 1 = 0 3Ü = 1 Ü = 1 ( 1 È ) µ 3 µ¹ µ º½º ¹ ½ (001) = 0 (010) = 0 (100) = 0 ( = 3) 27 = 0º
21 ¾¼ º ýº º½º ¹ 64 Ñ 2 º º ô Ü Ý Þ Ü Ý Þ 0º ÜÝÞ 2(ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ)º (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ (Ü Ý Þ) = ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ 32 = 0 (513 3) ÄÖÒ (Ü Ý Þ) = ÜÝÞ + (ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ 32) (513 5) Ü = ÝÞ + (Ý + Þ) = 0 Ý = ÞÜ+(Þ + Ü) = 0 Þ = ÜÝ + (Ü+Ý) = 0 ÝÞ = (Ý + Þ) ½µ ÞÜ = (Þ + Ü) ¾µ ÜÝ = (Ü+Ý) µ ½µ Ü ¾µ Ý µ Þ ý µ µ ÝÞ = (Ý + Þ) µ ÞÜ = (Þ + Ü) µ ÜÝ = (Ü+Ý) µ (Ý + Þ) = (Þ + Ü) (ÜÞ ÝÞ) = 0
22 ý ¾½ = 0 ÝÞ = 0 Ý = 0 Þ = 0 ÜÞ ÝÞ = 0 Þ 0 Ü = Ý µ ø µ µ Ý = Þ µ Ü = Ý = Þ µ (Ü Ý Þ) = ÜÝ + ÝÞ + ÞÜ 32 = 3Ü 2 32 = 0 Ü Ý Þ 0 Ü 0 = Ý 0 = Þ 0 = 32 3 È (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) (Ü 0 Ý 0 Þ 0 ) º½º ¹ ½ º º½º ¹ ø Ü Ý2 2 + Þ2 2 = 1 º ø (000)º (±Ü±Ý±Þ) Ü Ý Þ 0 Î = 2Ü2Ý2Þ = 8ÜÝÞº (Ü Ý Þ) = 8ÜÝÞ (Ü Ý Þ) = Ü2 2 + Ý2 2 + Þ2 1 = 0 2 (513 3) ÄÖÒ ( Ü 2 ) (Ü Ý Þ) = 8ÜÝÞ Ý2 2 + Þ2 2 1
23 ¾¾ º ýº (513 5) Ü = 8ÝÞ +2 Ü 2 = 0 Ý = 8ÞÜ+ Ý 2 = 0 Þ = 8ÜÝ + Þ 2 = 0 = 4 2 ÝÞ Ü = 42 ÞÜ Ý ÜÝ = 42 Þ Ý 2 2 = Ü 2 2 Þ 2 2 = Ý 2 2 Ü 2 2 = Ý2 2 = Þ2 2 ½µ (Ü Ý Þ) = Ü2 2 + Ý2 2 + Þ2 2 1 = 0 1 = Ü2 2 + Ý2 2 + Þ2 2 = 3 Ü2 2 Ü = ± 3 Ü 0 Ü = ± 3 ½µ ( ) È Î(È) = º ) Ü 2 + Ý 2 Ü 2 + Ý 3 = 1 ) Ü2 + Ý 2 + Þ 2 Ü2 4 + Ý2 9 + Þ2 16 = 1 ) Ü+2Ý Ü 2 + Ý 2 = 5 Ú) cos 2 Ü+cos 2 Ý Ü Ý = 4
24 ý ¾ (Ü Ý Þ) (Ü Ý Þ) = 0 (Ü Ý Þ) = 0 º½º ¹ ¾µ ø Ĺ ÖÒ (Ü Ý Þ) = (Ü Ý Þ)+ (Ü Ý Þ) + (Ü Ý Þ) º½º ¹ ¾µ º ô ³ (511 1) Ü = Ü + Ü + Ü = 0 Ý = Ý + Ý + Ý = 0 º½º ¹ ¾µ Þ = Þ + Þ + Þ = 0 ý Ü = Ü( ) Ý = Ý( ) Þ = Þ( )º ý (513 24) Ü 0 Ý 0 Þ 0 (513 26)º º½º Ü2 sin Ü Ü Ü ºº Ü º ý ºº º º º
25 ¾ º ýº º (Ü) È Ò (Ü) Ò È Ò (Ü) = Ò Ü Ò + Ò 1 Ü Ò º½º ¹ ½µ R = 0 1 Ò È ÌÝÐÓÖ (Ü) È Ò (Ü) = (Ü 0 )+ (Ü 0 ) 1! (Ü Ü 0 )+ + (Ò) (Ü 0 ) Ò! (Ü Ü 0 ) Ò Ü 0 º ¹ Ò ¹ ¹ Ü 0 ¹ Ü Ü 0 ¹ ¹ ºº (Ü) ýº ½ º º½º ¹ ½ ÏÖ ØÖ µº ý [ ] 0 È (Ü) È(Ü) Ü [ ]
26 ý ¾ ص Ë = {(Ü Ý ) = 1 2 Ò} º½º ¹ ¾µ Ü 0 Ü 1 Ü Ò Ò+1 [ ] (Ü) [ ] (Ü ) = 0 1 Òº È Ò Ò (514 1) º º½º ¹ ½µ Áº È Ò (Ü ) = (Ü ) = 0 1 Ò ÔÓÐÝÒÓÑÐ ÒØÖÔÓÐØÓÒµ ÁÁº ¹ Ø ÔÔÖÓÜÑØÓÒ Ø ØØÒµ Ë (514 2)º º ÖØ ÔÔÖÓÜÑØÓÒµº ÁÁ º Á 1 ô Ë (514 2) 1 È 1 (Ü) = È(Ü) = Ü+ º½º ¹ µ º ý (Ü Ý ) Ë Ý Ý = È (Ü ) = Ü + = Ý Ý = Ý (Ü + ) º = Ò = Ý 1 (Ü 1 + ) + + Ý Ò (Ü Ò + ) º½º ¹ µ
27 ¾ º ýº y x º½º ¹ ½ Ë = {(01)(10)(32)(5 1)}º µ 1 ¹ µ 2 ¹ µ = ( ) º (514 4) º (511 2) = 0 = 0 º½º ¹ µ (514 5) º ÖØ Ð Ø ÕÙÖ ÑØÓµ (514 4) = Ò = [Ý 1 (Ü 1 + )] 2 + +[Ý Ò (Ü Ò + )] 2 º½º ¹ µ ô º = Ü1 ÜÒ = 0 = 1 1 = Ò = 0 º
28 ý ¾ º (514 6) Ò = 2 (Ý Ü ) Ü = 0 =1 Ò = 2 (Ý Ü ) = 0 =1 Ò Ü 2 + Ò Ü = =1 =1 Ò {}}{ Ò Ò Ü + Ü 0 = =1 =1 Ò Ü Ý =1 Ò Ý º½º ¹ µ =1 (514 7) ÒÓÖÑÐ ÕÙØÓÒ µ = ( Ò ( Ò )( Ò ) Ò Ü Ý ) Ü Ý =1 =1 =1 ( Ò ) ( Ò ) Ò Ü 2 2 º½º ¹ µ Ü =1 =1 = ( Ò )( Ò ( Ü 2 Ò )( Ò ) Ý ) Ü Ý Ü =1 =1 =1 =1 ( Ò ) ( Ò ) Ò Ü 2 2 º½º ¹ µ Ü =1 =1 º½º ¹ ½ Ü ¹¼º ¼º ¼º ½º Ý ½º¾ ¾º¼ ½º¼ ¹½º¼
29 ¾ º ýº º½º ¹ ½ º½º ¹ ½ Ü Ý Ü Ý Ü 2 ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ º º½º ¹ ½º (514 9) (514 9) = 4 ( 08) 2 (32) 4 (308) 2 2 = (308) (32) ( 08) 2 4 (308) È(Ü) = Ü º º½º ¹ ¾µº ÁÁ ѹ Ë (514 2) ѹ (514 1) È Ñ (Ü) = Ü+ + Ñ Ü Ñ Ñ Ò ¹ ½ º½º ¹ ½¼µ Á 0 1 Ñ = Ò = [Ý 1 È Ñ (Ü 1 )] 2 + +[Ý Ò È Ñ (Ü Ò )] 2 º þ ýº ½ º º
30 ý ¾ 2.0 y x º½º ¹ ¾ º½º ¹ ½º Ý = Ü ø 1 (511 2) = 0 = 0 1 Ñ º½º ¹ ½½µ ý (514 11) Ñ +1 Ñ + 1 Ò 0 Ü 0 Ò + 1 Ü 1 Ò + + Ñ Ü Ñ = =1 =1 =1 Ò 0 Ü 1 Ò + 1 Ü 2 Ò + + Ñ Ü Ñ+1 = =1 =1 =1 Ò Ý Ü 0 =1 Ò Ý Ü 1 =1 (514 11) Ò =0 º Ñ =1 Ü+ º º½º ¹ ½¾µ = 2 Ò =1 ÝÜ + 2 Ñ =0 Ò =1 Ü+ = 0 = Ñ =1 ÝÜ = 0 1 Òº
31 ¼ º ýº Ò 0 Ü Ñ =1 + 1 Ò =1 Ü Ñ+1 Ò + + Ñ =1 Ü 2Ñ = Ò Ý Ü Ñ =1 º ý (514 12) Ü = 12 Ò º º½º ¹ ½ Ë È Ñ (Ü) = Ò =1 3 (514 11) º º º½º ¹ ¾ ¹ 2 º½º ¹ ½º º Ò = 4 (514 10) Ñ Ñ 4 1 Ñ = 2º ô È 2 (Ü) = Ü+ 2 Ü 2 º (514 12) 4 0 Ü 0 =1 4 0 Ü 1 =1 4 0 Ü 2 = Ü 1 = Ü 2 = Ü 3 = Ü 2 = = Ü 3 = = Ü 4 = =1 º½º ¹ ¾ 4 Ý Ü 0 =1 4 Ý Ü 1 =1 4 Ý Ü 2 = = = = 128
32 ý ½ º½º ¹ ¾ º½º ¹ ¾ Ü Ý Ü Ý Ü 2 Ü 3 Ü 4 Ü 2 Ý ¹¼º ½º¾ ¹¼º ¼º¾ ¹¼º½¾ ¼º¼¾ ¼º ¼ ¼º ¾º¼ ¼º ¼º¼ ¼º¼¾ ¼º¼¼½ ¼º½ ¼º ½º¼ ¼º ¼º ¼º ¼º¾¼½ ¼º ½º ¹½º¼ ¹½º ¾º¾ º º¼¾ ¹¾º¾ ¾º¼ º¾ ¹¼º º¼ º¾ º ¾ ¹½º¾ ½¼ º º½º ¹ µ È 2 (Ü) = Ü Ü ½½ ½¼ º ½½ ý º ýº º ¹ÑÐ ÖØ Ó ØØºÖ ÍÊÄ ØØÔ»»Ù Ö ºØغֻÖØ Ó»
33 ¾ º ýº 2.0 y x º½º ¹ º½º ¹ ¾º È 2 (Ü) = Ü Ü º½º ¹ ½µ Ý = Ü
34 þ ½ ýº ¾¼½½µ ýº ý ÁËÆ ß¼ß ½ßߺ ¾ ýº ¾¼¼¾µ ý ýº ý ÁËÆ ¼ß ½ß ß»ß¼ß ½ß ߺ ÒÒÝ Êº ĺ ÓÖÒÓ º ʺ ¾¼¼µ ý ÁËÆ ß¼ß¾ß½ß½ º ÓÒ º ËÙѳ ÇÙØÐÒ ß ÅØÑØ ¾¼¼µ ÁËÆ ß¼ß½ß¼¼¼ßº ËÔРź ÏÖ Êº ¾¼¼µ ý ÁËÆ ¼ß½ß¼ßº ØØÔ»»ÒºÛÔºÓÖ»Û»ÅÒ È ØØÔ»»ÕÛÓÖкÔÑÒغÖÙ»ÒܺØÑ ØØÔ»»ÑØÛÓÖкÛÓÐÖѺÓÑ» ØØÔ»»ÓѺ ÔÖÒÖº»
35 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Τέλος Ενότητας Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.
36 Σημειώματα Σημείωμα Αναφοράς Copyright ΤΕΙ Αθήνας, Αθανάσιος Μπράτσος, Αθανάσιος Μπράτσος. «Ανώτερα Μαθηματικά ΙΙ. Ενότητα 5: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος ΙI». Έκδοση: 1.0. Αθήνα Διαθέσιμο από τη δικτυακή διεύθυνση: ocp.teiath.gr. Σημείωμα Αδειοδότησης Το παρόν υλικό διατίθεται με τους όρους της άδειας χρήσης Creative Commons Αναφορά, Μη Εμπορική Χρήση Παρόμοια Διανομή 4.0 [1] ή μεταγενέστερη, Διεθνής Έκδοση. Εξαιρούνται τα αυτοτελή έργα τρίτων π.χ. φωτογραφίες, διαγράμματα κ.λ.π., τα οποία εμπεριέχονται σε αυτό και τα οποία αναφέρονται μαζί με τους όρους χρήσης τους στο «Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων». [1] Ως Μη Εμπορική ορίζεται η χρήση: που δεν περιλαμβάνει άμεσο ή έμμεσο οικονομικό όφελος από την χρήση του έργου, για το διανομέα του έργου και αδειοδόχο που δεν περιλαμβάνει οικονομική συναλλαγή ως προϋπόθεση για τη χρήση ή πρόσβαση στο έργο που δεν προσπορίζει στο διανομέα του έργου και αδειοδόχο έμμεσο οικονομικό όφελος (π.χ. διαφημίσεις) από την προβολή του έργου σε διαδικτυακό τόπο Ο δικαιούχος μπορεί να παρέχει στον αδειοδόχο ξεχωριστή άδεια να χρησιμοποιεί το έργο για εμπορική χρήση, εφόσον αυτό του ζητηθεί. Διατήρηση Σημειωμάτων Οποιαδήποτε αναπαραγωγή ή διασκευή του υλικού θα πρέπει να συμπεριλαμβάνει: Το Σημείωμα Αναφοράς Το Σημείωμα Αδειοδότησης Τη δήλωση Διατήρησης Σημειωμάτων Το Σημείωμα Χρήσης Έργων Τρίτων (εφόσον υπάρχει) μαζί με τους συνοδευόμενους υπερσυνδέσμους. 2
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 6: Συναρτήσεις πολλών Μεταβλητών Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 8: Τριπλά Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 9: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος ΙΙ Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 4: Διανυσματικές Συναρτήσεις μιας Μεταβλητής Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 6: Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 4: Συναρτήσεις Πολλών Μεταβλητών Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 1: Διαφορικές Εξισώσεις Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά Ι. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά Ι Ενότητα 9: Παράγωγος Συνάρτησης Μέρος Ι Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 10: Μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 1: Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα 1: Μετασχηματισμός aplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 3: Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα 3: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Βιοϊατρικής Τεχνολογίας ΤΕ Το
Διαβάστε περισσότεραΑνώτερα Μαθηματικά ΙI
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Ανώτερα Μαθηματικά ΙI Ενότητα 2: Αναλυτική Γεωμετρία Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Πολιτικών Μηχ.ΤΕ και Μηχ. Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 11: SPLINES. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 11: SPLINES Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙII. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 2: Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙII Ενότητα : Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων. Αθανάσιος Μπράτσος. Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 7: Προσεγγιστική Λύση Εξισώσεων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο του
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού σε κατάσταση Κορεσμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά ΙΙΙ. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων. Αθανάσιος Μπράτσος
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Μαθηματικά ΙΙΙ Ενότητα 8: Προσεγγιστική Λύση Γραμμικών Συστημάτων Αθανάσιος Μπράτσος Τμήμα Μηχανικών Ενεργειακής Τεχνολογίας ΤΕ Το περιεχόμενο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Συνόλων. Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Τα πάντα σύνολα; Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Συνόλων. Ενότητα: Επιλογής επόμενα. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Επιλογής επόμενα Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Διαβάστε περισσότεραΘερμοδυναμική. Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα. Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού. Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες Νερού Υπέρθερμου Ατμού Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 3: Έλεγχοι στατιστικών υποθέσεων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 1: Καταχώρηση δεδομένων Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται
Διαβάστε περισσότεραΑνοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας. Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Βιοστατιστική (Ε) Ενότητα 2: Περιγραφική στατιστική Δρ.Ευσταθία Παπαγεωργίου, Αναπληρώτρια Καθηγήτρια Τμήμα Ιατρικών Εργαστηρίων Το περιεχόμενο του μαθήματος
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 10: Προσφορά και κόστος Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 12: Λογισμός Κόστους (2) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση Συγχώνευση & απαρίθμηση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Συνόλων. Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί. Γιάννης Μοσχοβάκης. Τμήμα Μαθηματικών
Θεωρία Συνόλων Ενότητα: Διατακτικοί αριθμοί Γιάννης Μοσχοβάκης Τμήμα Μαθηματικών Θεωρία Συνόλων Σημειώματα Σημειώμα ιστορικού εκδόσεων έργου Το παρόν έργο αποτελεί την έκδοση 1.1. Εχουν προηγηθεί οι κάτωθι
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 5 η Άσκηση - Συγχώνευση Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 7: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΓΕΘΟΥΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Γ. Ολοκληρωτικός Λογισμός Κεφάλαιο Γ.4: Ολοκλήρωση με Αντικατάσταση Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΙΚΗΣ ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ ΙIΙ ΜΕΤΑΒΑΤΙΚΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΑ ΣΤΑ ΣΗΕ Λαμπρίδης Δημήτρης Κατσανού Βάνα Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 8: Κοστολογική διάρθρωση Κύρια / Βοηθητικά Κέντρα Κόστους. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 15: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ολοκληρώματα Με Ρητές Και Τριγωνομετρικές Συναρτήσεις Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε
Διαβάστε περισσότεραΠΙΝΑΚΕΣ. Θερμοδυναμική 2012 Σελίδα 292
ΠΙΝΑΚΕΣ 2012 Σελίδα 292 Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Πίνακες: Ιδανικά αέρια Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc.
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο Ι
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα # 8: Άτρακτοι και σφήνες Μ. Γρηγοριάδου Μηχανολόγων Μηχανικών Α.Π.Θ. Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 6 η Άσκηση - DFS δένδρα Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο. Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Τμήμα Νομικής Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 10η: Ιερά Σύνοδος της Ιεραρχίας και Διαρκής Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιοικητική Λογιστική
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διοικητική Λογιστική Ενότητα 6: Μέθοδοι ς Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΜεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση
Μεθοδολογία Έρευνας Κοινωνικών Επιστημών Ενότητα 2: ΣΥΓΚΕΝΤΡΩΣΗ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΩΝ ΜΑΡΚΕΤΙΝΓΚ Λοίζου Ευστράτιος Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Kατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 2: Οργάνωση και Διοίκηση Εισαγωγή Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα. Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων
Ενότητα 1 Εισαγωγή στις βάσεις δεδομένων 2 1.1 Βάσεις Δεδομένων Ένα βασικό στοιχείο των υπολογιστών είναι ότι έχουν τη δυνατότητα να επεξεργάζονται εύκολα και γρήγορα μεγάλο πλήθος δεδομένων και πληροφοριών.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 9: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΤΟΠΟΥ ΕΓΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 12: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών. Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Κριτήρια Σύγκλισης Σειρών Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 8: Η Οικονομική πολιτική της Ευρωπαϊκής Ένωσης Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 11: Θεωρία Οργάνωσης & Διοίκησης Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 7: Παράγωγος, ελαστικότητα, παραγώγιση συναρτήσεων (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΒάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Βάσεις Περιβαλλοντικών Δεδομένων Ενότητα 3: Μοντέλα βάσεων δεδομένων Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 4: Κλασσική και Κβαντική Πιθανότητα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Σκοπός της ενότητας
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων.
Λογιστική Κόστους Ενότητα 10: Ασκήσεις Προτύπου Κόστους Αποκλίσεων. Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΙστορία της μετάφρασης
ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Μεταφραστές και πρωτότυπα. Ελένη Κασάπη ΤΜΗΜΑ ΑΓΓΛΙΚΗΣ ΓΛΩΣΣΑΣ ΚΑΙ ΦΙΛΟΛΟΓΙΑΣ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Προσθήκη Διαστάσεων & Κειμένου ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Εντολές προσθήκης διαστάσεων & κειμένου Στο βασική (Home)
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Prim Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 4: Στρατηγικοί προσανατολισμοί Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΜυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης
Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Ενότητα #1: Ερωτήσεις κατανόησης και αυτόαξιολόγησης για τη Δωρεά Κυττάρων Αίματος και Μυελού των Οστών Αλέξανδρος Σπυριδωνίδης Σχολή Επιστημών Υγείας Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΛογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1)
Λογιστική Κόστους Ενότητα 11: Λογισμός Κόστους (1) Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Δομές δεδομένων Άσκηση αυτοαξιολόγησης Παναγιώτα Φατούρου Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών ΗΥ2, Ενότητα : Ασκήσεις και Λύσεις Άσκηση 1 Ενότητα : Υλοποίηση Λεξικών µε
Διαβάστε περισσότεραΔιοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας
Διοίκηση Εξωτερικής Εμπορικής Δραστηριότητας Ενότητα 8: Αξιολόγηση και επιλογή αγορών στόχων από ελληνική εταιρία στον κλάδο παραγωγής και εμπορίας έτοιμου γυναικείου Καθ. Αλεξανδρίδης Αναστάσιος Δρ. Αντωνιάδης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 10η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkstra
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 1η Άσκηση Αλγόριθμος Dijkra Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upara.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Φροντιστήριο 1 Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Email: zaro@ceid.upatras.gr Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΗ Ενότητα 8: ΘΕΩΡΙΑ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΙ ΚΑΤΑΤΜΗΣΗΣ ΚΑΤΑΝΑΛΩΤΙΚΗΣ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότερα1 η Διάλεξη. Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων
1 η Διάλεξη Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 3 2 η Άσκηση... 3 3 η Άσκηση... 3 4 η Άσκηση... 3 5 η Άσκηση... 4 6 η Άσκηση... 4 7 η Άσκηση... 4 8 η Άσκηση... 5 9 η Άσκηση... 5 10
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskal
Εισαγωγή στους Αλγορίθμους Ενότητα 9η Άσκηση - Αλγόριθμος Kruskl Διδάσκων Χρήστος Ζαρολιάγκης Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Πατρών Emil: zro@ei.uptrs.r Άδειες Χρήσης Το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΗλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Αθήνας Ηλεκτροτεχνία Ηλ. Μηχανές & Εγκαταστάσεις πλοίου (Θ) Ενότητα 6: Εναλλασσόμενα τριφασικά κυκλώματα μόνιμης κατάστασης Δ.Ν. Παγώνης Τμήμα Ναυπηγών Μηχανικών ΤΕ
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 10 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5
Διαβάστε περισσότεραΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΗ ΙIΙ Ενότητα 6: 1η εργαστηριακή άσκηση και προσομοίωση με το SPICE Χατζόπουλος Αλκιβιάδης Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και
Διαβάστε περισσότεραΜηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυµα Αθήνας Μηχανές Πλοίου ΙΙ (Ε) Άσκηση 5 Γεώργιος Κ. Χατζηκωνσταντής Επίκουρος Καθηγητής Διπλ. Ναυπηγός Μηχανολόγος Μηχανικός M.Sc. Διασφάλιση Ποιότητας,
Διαβάστε περισσότεραΤίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός
Τίτλος Μαθήματος: Μαθηματική Ανάλυση Ενότητα Β. Διαφορικός Λογισμός Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό Όνομα Καθηγητή: Γεώργιος Ν. Μπροδήμας Τμήμα Φυσικής Γεώργιος Νικ. Μπροδήμας Κεφάλαιο Β.9: Το Διαφορικό 1 Άδειες
Διαβάστε περισσότεραΚβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας
Κβαντική Επεξεργασία Πληροφορίας Ενότητα 12: Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα Σγάρμπας Κυριάκος Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σκοποί ενότητας Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα
Διαβάστε περισσότεραΓενικά Μαθηματικά Ι. Ενότητα 14: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Τμήμα Φυσικής
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 1: Ολοκλήρωση Κατά Παράγοντες, Ολοκλήρωση Ρητών Συναρτήσεων Λουκάς Βλάχος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων
Εισαγωγή στην Διοίκηση Επιχειρήσεων Ενότητα 6: ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΗΣ Μαυρίδης Δημήτριος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τεχνικό Σχέδιο - CAD Ενότητα 7: SketchUp Αντικείμενα Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 9: Άσκηση εμπορικής πολιτικής Παράδειγμα άσκησης εμπορικής πολιτικής Γρηγόριος Ζαρωτιάδης
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Η/Υ. Ενότητα 2β: Αντίστροφο Πρόβλημα. Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών
Εισαγωγή στους Η/Υ Ενότητα 2β: Δημήτρης Σαραβάνος, Καθηγητής Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Μηχανολόγων & Αεροναυπηγών Μηχανικών Σκοποί ενότητας Εύρεση συνάρτησης Boole όταν είναι γνωστός μόνο ο πίνακας αληθείας.
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων
Βέλτιστος Έλεγχος Συστημάτων Ενότητα 7: Βέλτιστος έλεγχος συστημάτων διακριτού χρόνου Καθηγητής Αντώνιος Αλεξανδρίδης Πολυτεχνική Σχολή Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Σημείωμα
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 7η: Ιερά Σύνοδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 11 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5
Διαβάστε περισσότεραΕνδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας
Ενδεικτικές λύσεις ασκήσεων διαχείρισης έργου υπό συνθήκες αβεβαιότητας 1 Περιεχόμενα 1 η Άσκηση... 4 2 η Άσκηση... 7 3 η Άσκηση... 10 Χρηματοδότηση... 12 Σημείωμα Αναφοράς... 13 Σημείωμα Αδειοδότησης...
Διαβάστε περισσότεραΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ ΙΟΝΙΩΝ ΝΗΣΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ενότητα 4: ΠΡΟΕΞΟΦΛΗΣΗ ΜΕ ΑΠΛΟ ΤΟΚΟ Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creave Coons εκτός και αν αναφέρεται διαφορετικά
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Πληροφορικής
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Διδακτική Πληροφορικής Ενότητα 4: Διδακτικός μετασχηματισμός βασικών εννοιών πληροφορικής Το περιεχόμενο του μαθήματος διατίθεται με άδεια Creative Commons
Διαβάστε περισσότεραΈλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη ISO Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας
Έλεγχος και Διασφάλιση Ποιότητας Ενότητα 4: Μελέτη Κουππάρης Μιχαήλ Τμήμα Χημείας Εργαστήριο Αναλυτικής Χημείας ISO 17025 5.9. ΔΙΑΣΦΑΛΙΣΗ ΤΗΣ ΠΟΙΟΤΗΤΑΣ ΤΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ ΔΟΚΙΜΩΝ (1) 5.9.1 Το Εργαστήριο
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Εικόνων
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Ψηφιακή Επεξεργασία Εικόνων Ενότητα # 14: Τμηματοποίηση με χρήση τυχαίων πεδίων Markov Καθηγητής Γιώργος Τζιρίτας Τμήμα Επιστήμης Υπολογιστών Τμηματοποίηση εικόνων
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 11η: Οργανισμοί της Εκκλησίας της Ελλάδος Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Διαβάστε περισσότεραΠρογραμματισμός Η/Υ. Βασικές Προγραμματιστικές Δομές. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος
Προγραμματισμός Η/Υ Βασικές Προγραμματιστικές Δομές ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Δομή Ελέγχου Ροής (IF) Η εντολή IF χρησιμοποιείται όταν
Διαβάστε περισσότεραΤεχνικό Σχέδιο - CAD. Τόξο Κύκλου. Τόξο Κύκλου - Έλλειψη. ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος
Τεχνικό Σχέδιο - CAD Τόξο Κύκλου - Έλλειψη ΤΕΙ Ιονίων Νήσων Τμήμα Τεχνολόγων Περιβάλλοντος Κατεύθυνση Τεχνολογιών Φυσικού Περιβάλλοντος Τόξο Κύκλου Τόξο κύκλου Στην ορολογία του Autocad: Arc Εντολή: arc
Διαβάστε περισσότεραΘεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Θεσμοί Ευρωπαϊκών Λαών Ι 19 ος -20 ος αιώνας Ενότητα 10η: Απεσταλμένοι του Ρωμαίου Ποντίφικα και Ρωμαϊκή Κουρία Κυριάκος Κυριαζόπουλος
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στους Υπολογιστές
Εισαγωγή στους Υπολογιστές Εργαστήριο 2 Καθηγητές: Αβούρης Νικόλαος, Παλιουράς Βασίλης, Κουκιάς Μιχαήλ, Σγάρμπας Κυριάκος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άσκηση 2 ου εργαστηρίου
Διαβάστε περισσότεραΕκκλησιαστικό Δίκαιο
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 8η: Ο νέος αντιρατσιστικός νόμος και ο ν.4301/2014 Κυριάκος Κυριαζόπουλος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 1 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 1. Ιστορική αναδρομή της διδακτικής της
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 3 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 3. Ο ρόλος του εκπαιδευτικού: σχεδιασμός
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση
Εφαρμογές των Τεχνολογιών της Πληροφορίας και των Επικοινωνιών στη διδασκαλία και τη μάθηση Ενότητα: Εργασίες Διδάσκων: Βασίλης Κόμης, Καθηγητής komis@upatras.gr www.ecedu.upatras.gr/komis/ Τμήμα Επιστημών
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Ασκήσεις 1 Ανδριανός Ε. Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Σελίδα 2 1. Σκοποί ενότητας... 5 2.
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Εικόνας & Ήχου ΙΙ (Ε)
Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Αθήνας Φυσική Εικόνας & Ήχου ΙΙ (Ε) Ενότητα 8: Υπολογισμός άγνωστης εστιακής απόστασης θετικού φακού Αθανάσιος Αραβαντινός Τμήμα Φωτογραφίας
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών
Μαθηματικά Διοικητικών & Οικονομικών Επιστημών Ενότητα 11: Διανύσματα (Φροντιστήριο) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων &
Διαβάστε περισσότεραΔιεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Διεθνείς Οικονομικές Σχέσεις και Ανάπτυξη Ενότητα 6: Διαπεριφερειακές διαφορές Γρηγόριος Ζαρωτιάδης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2
Διδακτική των εικαστικών τεχνών Ενότητα 2 Ουρανία Κούβου Εθνικὸ καi Καποδιστριακὸ Πανεπιστήμιο Αθηνών Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Ενότητα 2. Το παιδικό σχέδιο ως γνωστική διεργασία:
Διαβάστε περισσότερα