ΤΕΧΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ακαδ. Έτος η Εργασία Προθεσμία υποβολής: Παρ

Transcript

1 ΤΕΧΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ακαδ. Έτος η Εργασία Προθεσμία υποβολής: Παρ Ένας μηχανικός ξεκινάει σήμερα (χρόνος 0) έναν τραπεζικό λογαριασμό καταθέτοντας ποσό Στα επόμενα χρόνια κάνει καταθέσεις ή αναλήψεις, μια κάθε έτος, στο τέλος του έτους. Το υπόλοιπο του λογαριασμού στο τέλος κάθε έτους (κι αφού έχει προηγηθεί η ετήσια κατάθεση ή ανάληψη) φαίνεται στον παρακάτω πίνακα. Τέλος έτους Υπόλοιπο Το επιτόκιο των καταθέσεων είναι κυμαινόμενο και συγκεκριμένα 6% τα πρώτα 3 έτη και 3% τα επόμενα. Να βρεθούν τα ποσά των καταθέσεων-αναλήψεων στα έτη Ένας ιδιώτης λαμβάνει σε χρόνο 0 προσωπικό δάνειο ποσού το οποίο θα αποπληρώσει με ισόποσες ετήσιες δόσεις στο τέλος κάθε έτους. Ο δανειολήπτης επιθυμεί να προσαρμόσει τα χαρακτηριστικά του δανείου (ποσό δόσης Α, επιτόκιο ι, περίοδος αποπληρωμής δανείου Ν) ώστε το συνολικό ποσό αποπληρωμής (Ν Α) να είναι ίσο με το διπλάσιο του ποσού του δανείου που έλαβε (δηλαδή ). Απαντήστε στις παρακάτω ερωτήσεις: α. Αν επιλεγεί ως χρόνος αποπληρωμής του δανείου τα 15 έτη, ποιο είναι το ποσό κάθε δόσης και ποιο το επιτόκιο του δανείου; β. Αν το επιτόκιο του δανείου είναι 5%, ποια είναι η περίοδος του δανείου και ποιο το ποσό κάθε δόσης; γ. Με δεδομένο ότι το ποσό των δόσεων αθροιστικά είναι διπλάσιο του ποσού του δανείου, εξετάστε την τιμή του γινομένου ι Ν στις παραπάνω περιπτώσεις και δείτε αν μπορείτε να καταλήξετε σε έναν εμπειρικό κανόνα για την τιμή του γινομένου αυτού. 3. Μια επιχείρηση λαμβάνει επιχειρηματικό δάνειο σήμερα ποσού το οποίο θα αποπληρώσει σε 20 έτη σε ισόποσες δόσεις Α (όπως περιγράφεται παρακάτω). Υπολογίστε το ποσό της δόσης Α σε κάθε μία από τις ακόλουθες περιπτώσεις: α. Το ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο είναι 24% σε όλη τη διάρκεια του δανείου, ο ανατοκισμός γίνεται ανά έτος και οι δόσεις είναι ετήσιες (στο τέλος κάθε έτους). β. Το ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο είναι 24% σε όλη τη διάρκεια του δανείου, ο ανατοκισμός γίνεται ανά τρίμηνο και οι δόσεις είναι τριμηνιαίες (στο τέλος κάθε τριμήνου). γ. Το ονομαστικό ετήσιο επιτόκιο είναι 30% τα πρώτα 10 χρόνια και 18% τα επόμενα 10 χρόνια, ο ανατοκισμός γίνεται ανά έτος και οι δόσεις είναι ετήσιες (στο τέλος κάθε έτους). δ. Εξηγήστε τη διαφορά στα αποτελέσματα των περιπτώσεων (α) και (β) καθώς και των περιπτώσεων (α) και (γ).

2 4. Ένας μηχανικός προγραμματίζει να καταθέτει 500 στο τέλος κάθε μήνα για 48 μήνες σε έναν λογαριασμό που έχει στο χρόνο 0 υπόλοιπο 700. Επίσης εκτιμά ότι για το δεύτερο χρόνο (δηλ. από τον 13 ο έως και τον 24 ο μήνα) θα είναι σε θέση να καταθέτει επιπλέον 1000 ανά μήνα. Το ετήσιο πραγματικό επιτόκιο είναι 6% με μηνιαίο ανατοκισμό. Ο μηχανικός στοχεύει να αποπληρώσει, από τον συγκεκριμένο λογαριασμό, δάνειο που λαμβάνει σήμερα σε 48 ισόποσες μηνιαίες δόσεις (στο ίδιο διάστημα με τις καταθέσεις), που καταβάλλονται στο τέλος κάθε μήνα, με πραγματικό ετήσιο επιτόκιο δανεισμού 10,03%. Εάν το υπόλοιπο του λογαριασμού στο τέλος του 48 ου μήνα, μετά την αποπληρωμή του δανείου, είναι , ποιο είναι το ποσό του δανείου; 5. Ένας νέος εργαζόμενος σχεδιάζει ένα αποταμιευτικό-συνταξιοδοτικό πρόγραμμα το οποίο θα του εξασφαλίσει εφάπαξ ανάληψη ποσού σε 35 χρόνια από σήμερα (χρόνος 0). Ο εργαζόμενος μπορεί να καταθέτει ετησίως σταθερό ποσό 600 (στο τέλος του αντίστοιχου έτους) με την τελευταία δόση να συμπίπτει με την ανάληψη του συνολικού ποσού, δηλαδή σε 35 χρόνια. Το ετήσιο επιτόκιο των καταθέσεων είναι 6 % στα πρώτα 20 έτη και 3 % μετά τα 20 έτη. (α) Σε ποιο χρόνο θα πρέπει να ξεκινήσει ο εργαζόμενος τις καταθέσεις ώστε σε 35 χρόνια από σήμερα να έχει συγκεντρωθεί το επιθυμητό ποσό (στρογγυλέψτε στον πλησιέστερο ακέραιο); (β) Αν ένα εναλλακτικό πρόγραμμα από ασφαλιστική εταιρία εξασφαλίζει στον εργαζόμενο το ίδιο εφάπαξ ποσό ( σε 35 χρόνια από σήμερα) μέσω ισόποσων ετήσιων ασφαλίστρων 550 στην αρχή κάθε έτους για όλη την περίοδο (πρώτη δόση σε χρόνο 0, τελευταία δόση στο έτος 34 από σήμερα), ποια από τα δύο προγράμματα είναι πιο αποδοτικό για τον εργαζόμενο; Τα χρήματα για την πληρωμή των ασφαλίστρων θα τα αντλεί από τραπεζικό λογαριασμό με τα επιτόκια που αναφέρονται παραπάνω.

3 ΤΕΧΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ακαδ. Έτος η Εργασία Προθεσμία υποβολής: Παρ Λατομείο μαρμάρου προτίθεται να προχωρήσει στην παραγωγή μαρμαρόσκονης, η οποία χρησιμοποιείται στους παραδοσιακούς σοβάδες και στα βιομηχανικά δομικά κονιάματα. Στα πλαίσια της επέκτασης αυτής, η εταιρεία θα πρέπει να προμηθευτεί σπαστηροτριβείο για την παραγωγή της μαρμαρόσκονης. Η εταιρεία έχει να επιλέξει ανάμεσα σε δύο μηχανήματα, τα χαρακτηριστικά των οποίων φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. Κόστος αγοράς ( ) Ετήσιο λειτουργικό κόστος ( ) Ετήσια έσοδα ( ) Υπολειμματική αξία ( ) Διάρκεια ζωής (έτη) Μηχάνημα Α Μηχάνημα Β Τα ετήσια κόστη και τα ετήσια έσοδα λογίζονται στο τέλος του αντίστοιχου έτους, ενώ ο ελάχιστος αποδεκτός ρυθμός απόδοσης που θέτει η επιχείρηση για τέτοιου είδους επενδύσεις είναι 10%. Ακόμη, η παραγωγή της μαρμαρόσκονης προβλέπεται ότι θα γίνεται για πολλά χρόνια. (α) Επιλέξτε το βέλτιστο από οικονομική άποψη μηχάνημα με βάση τα παρακάτω κριτήρια: (i) παρούσα αξία, (ii) ισοδύναμη ετήσια αξία, (iii) μελλοντική αξία, (iv) εσωτερικός ρυθμός απόδοσης, (v) περίοδος αποπληρωμής. (β) Ο μηχανικός παραγωγής της εταιρείας προτείνει τη χρησιμοποίηση ειδικού χαλυβοκράματος στο μηχάνημα Β (πρόσθετο κόστος: ), το οποίο θα επεκτείνει τη διάρκεια ζωής του κατά 2 έτη (συνολική διάρκεια ζωής: 7 έτη), χωρίς να διαφοροποιούνται τα υπόλοιπα χαρακτηριστικά του παραπάνω πίνακα. Πρέπει η εταιρεία να αποδεχθεί την πρόταση του μηχανικού παραγωγής; Τεκμηριώστε την απάντηση σας. 2. Η χρήσιμη ζωή ενός μηχανικού εκφορτωτή είναι 7 χρόνια. Η αγορά ενός σύγχρονου υδραυλικού εκφορτωτή κοστίζει 30% περισσότερο από το κόστος αγοράς του μηχανικού εκφορτωτή. Οι δύο εκφορτωτές έχουν περίπου τα ίδια λειτουργικά έξοδα και μηδενική υπολειμματική αξία με το πέρας της ζωής τους καθώς και την ίδια περίπου απόδοση. Ποιά είναι η διάρκεια ζωής του νέου υδραυλικού εκφορτωτή που θα έκανε το ισοδύναμο ετήσιο κόστος του ίσο με αυτό του μηχανικού εκφορτωτή για ελάχιστο αποδεκτό ρυθμό απόδοσης 12%;

4 3. Μια επιχείρηση εμπορίας δομικών υλικών εξετάζει το ενδεχόμενο να δημιουργήσει μονάδα παραγωγής προκατασκευασμένων στοιχείων οχετών. Η αρχική επένδυση που απαιτείται για την ανάπτυξη της μονάδας εκτιμάται σε χρηματικές μονάδες (χ.μ.) ενώ η περίοδος χρήσης της εκτιμάται σε 20 χρόνια. Το κόστος λειτουργίας της μονάδας (εργατικά, υλικά, λειτουργικά κόστη μηχανημάτων, γενικά έξοδα) εκτιμάται σε 15 χ.μ. ανά παραγόμενο τεμάχιο. Η ετήσια ζήτηση εκτιμάται σε 800 τεμάχια. α. Αν ο επιθυμητός ρυθμός απόδοσης της επένδυσης είναι 8%, ποια θα πρέπει να είναι η ελάχιστη τιμή πώλησης κάθε τεμαχίου ώστε να δικαιολογείται οριακά η επένδυση; β. Αν αποφασιστεί τιμή πώλησης 26 χ.μ. ανά τεμάχιο, ποιά θα πρέπει να είναι η ελάχιστη περίοδος λειτουργίας της μονάδας (σε χρόνια) ώστε να εξασφαλίζεται οριακά ο επιθυμητός ρυθμός απόδοσης της επένδυσης (8%); 4. Μια επιχείρηση εξετάζει τις επενδυτικές προτάσεις Α, Β, Γ και Δ. Η αποδοχή της πρότασης Α προϋποθέτει την αποδοχή της Γ, οι προτάσεις Β και Γ είναι αμοιβαία αποκλειόμενες και η πρόταση Δ ανεξάρτητη από όλες τις υπόλοιπες. α) Αναπτύξτε όλους τους δυνατούς συνδυασμούς προτάσεων που θα πρέπει να εξεταστούν με τη διαδικασία ανάλυσης αμοιβαία αποκλειόμενων προτάσεων. β) Αν οι προτάσεις έχουν κοινή διάρκεια ζωής 4 χρόνων και η αρχική επένδυση είναι 1500, 2000, 2500 και 3500 χρηματικές μονάδες (χ.μ.) για τις προτάσεις Α, Β, Γ και Δ αντίστοιχα, τοποθετείστε τους συνδυασμούς προτάσεων του προηγούμενου ερωτήματος στην κατάλληλη σειρά ώστε να μπορεί να γίνει ανάλυση της πρόσθετης επένδυσης. γ) Αν το ετήσιο έσοδο είναι 500, 700, 900 και 1200 χ.μ. για τις προτάσεις Α, Β, Γ και Δ αντίστοιχα, διατίθεται επαρκές κεφάλαιο για τη χρηματοδότηση οποιουδήποτε συνδυασμού προτάσεων και ο ελάχιστος αποδεκτός ρυθμός απόδοσης είναι 15%, βρείτε το βέλτιστο συνδυασμό. δ) Επαναλάβετε την επίλυση του ερωτήματος (γ) αν το συνολικό διαθέσιμο κεφάλαιο είναι 5000 χρηματικές μονάδες. 5. Χρησιμοποιήστε τις οικονομικές συναρτήσεις του λογισμικού MS-Excel (PV, NPV, PMT, FV, RATE, NPER, IRR) για να υπολογίσετε τα ζητούμενα μεγέθη (παρούσα αξία, ισοδύναμη ετήσια αξία, μελλοντική αξία, εσωτερικός ρυθμός απόδοσης, περίοδος αποπληρωμής) για το μηχάνημα Α της Άσκησης 1. Στη συνέχεια, δημιουργήστε σε στήλη του Excel τη χρηματοροή που προκύπτει από πέντε διαδοχικές αγορές μηχανημάτων Α (για περίοδο 20 ετών). Με βάση αυτή τη χρηματοροή υπολογίστε τα παραπάνω μεγέθη (πλην της περιόδου αποπληρωμής) που αντιστοιχούν στο σύνολο της περιόδου των 20 ετών. Καταγράψτε στις απαντήσεις σας τις συναρτήσεις και τα ορίσματα που χρησιμοποιήσατε σε κάθε περίπτωση, π.χ., για τον υπολογισμό της παρούσας αξίας μιας σειράς 10 ετήσιων δόσεων ποσού 2000 η κάθε μια και με επιτόκιο 5% χρησιμοποιούμε τη συνάρτηση PV(5%,10,2000). Οδηγίες και παραδείγματα για τη χρήση των οικονομικών συναρτήσεων του Excel θα βρείτε στη σελίδα του μαθήματος στην πλατφόρμα eclass.

5 ΤΕΧΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ακαδ. Έτος η Εργασία Προθεσμία υποβολής: Παρ Ένα μηχάνημα αγοράζεται αντί , έχει διάρκεια ζωής 6 χρόνια, τελική υπολειμματική αξία και αποδίδει καθαρό ετήσιο έσοδο (τα ποσά θεωρούμενα στο τέλος κάθε έτους). Να υπολογιστεί η καθαρή απόδοση (εσωτερικός ρυθμός απόδοσης) της επένδυσης στις παρακάτω περιπτώσεις: α. Ο ετήσιος ρυθμός πληθωρισμού είναι μηδενικός. β. Ο ετήσιος ρυθμός πληθωρισμού είναι 6%. γ. Ο ετήσιος ρυθμός πληθωρισμού είναι 4% στα πρώτα 3 χρόνια και 8% στη συνέχεια. 2. Ένα μηχάνημα αγοράστηκε πριν 3 χρόνια αντί για να χρησιμοποιηθεί σε μια παραγωγική διαδικασία. Το μηχάνημα έχει εκτελέσει ικανοποιητικά τη λειτουργία του μέχρι σήμερα, ένα βελτιωμένο μοντέλο όμως μπήκε πρόσφατα στην αγορά και υπόσχεται μειωμένο λειτουργικό κόστος. Το κόστος αγοράς του νέου μηχανήματος είναι ενώ η τρέχουσα αξία του υπάρχοντος μηχανήματος είναι 800. Η διάρκεια ζωής του νέου μηχανήματος είναι 5 χρόνια ενώ η διάρκεια της απομένουσας ζωής του υπάρχοντος μηχανήματος είναι 2 χρόνια. Τα δεδομένα σχετικά με τα λειτουργικά κόστη και τις υπολειμματικές αξίες των δύο μηχανημάτων δίνονται στον πίνακα που ακολουθεί. Οι ζητούμενες αναλύσεις να γίνουν για επιθυμητό ρυθμό απόδοσης 10%. α. Να βρεθεί η διάρκεια της οικονομικής ζωής του νέου μηχανήματος; β. Αν η λειτουργία κάποιου μηχανήματος απαιτείται μόνο για τα επόμενα 5 χρόνια, πότε πρέπει να γίνει η αντικατάσταση του υπάρχοντος μηχανήματος από το νέο; γ. Αν η λειτουργία κάποιου μηχανήματος απαιτείται για μεγάλο διάστημα, πότε πρέπει να γίνει η αντικατάσταση του υπάρχοντος μηχανήματος από το νέο; Υπάρχον μηχάνημα Νέο μηχάνημα Έτος Λειτουργικό Λειτουργικό Τρέχουσα αξία κόστος κόστος Τρέχουσα αξία

6 3. Μια εταιρεία αναμένει ότι μία καινούρια μηχανή θα αποδίδει ωφέλειες ετησίως για 8 χρόνια και θα έχει υπολειμματική αξία στο τέλος της ζωής της. Το κεφάλαιο της εταιρείας αποτελείται κατά 80% από κοινές μετοχές κάθε μία από τις οποίες πωλείται σήμερα αντί 30 (η αξία της έχει παραμείνει σταθερή στα 4 τελευταία χρόνια) και αποδίδει ετήσιο μέρισμα στους κατόχους των από τα κέρδη της εταιρείας 2,7. Το υπόλοιπο 20% του κεφαλαίου προέρχεται από δανεισμό μακράς διάρκειας με μέσο ετήσιο επιτόκιο 12%. Πόσο πρέπει να αγοράσει η εταιρεία τη μηχανή αν επιθυμεί η επένδυση αυτή να αποδώσει με ρυθμό διπλάσιο του κόστους κεφαλαίου; Υπόδειξη : Βρείτε πρώτα το μέσο σταθμισμένο κόστος κεφαλαίου. 4. Εξετάζεται η κατασκευή ανισόπεδης διάβασης σε έναν σημαντικό οδικό κόμβο της πόλης για να μειωθεί η κυκλοφοριακή συμφόρηση που παρατηρείται στο σημείο αυτό. Οι ωφέλειες από την κατασκευή της διάβασης αφορούν κυρίως τη μείωση των καθυστερήσεων και τη βελτίωση της ασφάλειας κίνησης. Εκτιμάται ότι το κόστος κατασκευής θα είναι και το ετήσιο κόστος λειτουργίας και συντήρησης Η διάβαση θα εξυπηρετεί ημερησίως οχήματα με μέση πληρότητα 1,2 επιβάτες ανά όχημα και θα μειώσει το χρόνο διέλευσης ενός οχήματος από τον κόμβο κατά 12 λεπτά κατά μέσο όρο. Το κόστος της καθυστέρησης λόγω της συμφόρησης για κάθε χρήστη είναι 3,0 ανά ώρα αναμονής. Μετρήσεις έδειξαν ότι η συμφόρηση παρατηρείται 250 μέρες το χρόνο. Εκτιμάται επίσης ότι η διάβαση θα μειώσει τον ημερήσιο αριθμό ατυχημάτων κατά 0,6 τις ημέρες του παρατηρείται συμφόρηση. Στατιστικές έχουν δείξει ότι το μέσο κόστος κάθε ατυχήματος σε παρόμοιες θέσεις είναι 400. Η διάρκεια ζωής του έργου είναι 20 χρόνια και η υπολειμματική του αξία μηδενική. Χρησιμοποιώντας την ανάλυση ωφελειών - κόστους και λαμβάνοντας τιμή του επιτοκίου 7%, καθορίστε αν πρέπει να κατασκευαστεί η ανισόπεδη διάβαση. 5. Ένα τμήμα επαρχιακής οδού μήκους 3,84 χιλιομέτρων βρίσκεται σε μια ορεινή διάβαση που συχνά καλύπτεται από ομίχλη με αποτέλεσμα να παρατηρείται αυξημένος αριθμός ατυχημάτων. Σε μια προσπάθεια μείωσης των ατυχημάτων, εξετάζεται η διαπλάτυνση της οδού και η δημιουργία λωρίδας στάθμευσης των οχημάτων. Το κόστος της διαπλάτυνσης είναι ανά χιλιόμετρο και γίνεται η υπόθεση ότι δεν θα απαιτηθεί ετήσια συντήρηση κατά την 20-χρονη διάρκεια ζωής του έργου κι ότι η υπολειμματική αξία του θα είναι μηδενική. Η διαπλάτυνση θα εφαρμοστεί σε συνδυασμό με την εγκατάσταση μεγάλων ηλεκτρονικών πινακίδων στις άκρες του επικίνδυνου τμήματος. Οι πινακίδες θα ελέγχονται από ηλεκτρονικό υπολογιστή ο οποίος θα συνδέεται με συσκευές ανίχνευσης της ομίχλης και θα εμφανίζει στις πινακίδες προτεινόμενες τιμές ταχύτητας ανάλογα με την υφιστάμενη ορατότητα. Η εγκατάσταση του συστήματος πινακίδες - υπολογιστής - συσκευές ανίχνευσης θα κοστίσει , θα απαιτεί ετήσιο κόστος συντήρησης κατά τη διάρκεια της 10-χρονης ζωής του και θα έχει μηδενική υπολειμματική αξία στο τέλος της περιόδου αυτής. Αν το μέσο κόστος ενός ατυχήματος στο επικίνδυνο αυτό τμήμα της οδού είναι 2.385, πόσα ατυχήματα πρέπει να αποφευχθούν ανά έτος με το συνδυασμό των παραπάνω μέτρων ώστε να είναι αποδεκτή η εφαρμογή τους για διάστημα 20 χρόνων; Ο ελάχιστος αποδεκτός ρυθμός απόδοσης για τέτοιου είδους έργα είναι 6%.

7 ΤΕΧΝΙΚΗ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ Ακαδ. Έτος η Εργασία Προθεσμία υποβολής: Παρ Τέσσερα διαφορετικά μηχανήματα με κοινή διάρκεια ζωής 7 χρόνων αγοράστηκαν πριν 4 χρόνια αντί το καθένα. Η λογιστική αξία των μηχανημάτων σήμερα είναι αλλά για καθένα από αυτά έχει χρησιμοποιηθεί διαφορετική μέθοδος υποτίμησης (ευθείας γραμμής, αθροίσματος των ψηφίων, μειούμενου υπολοίπου και εξοφλητικού αποθέματος με επιτόκιο 5%). Να βρεθεί η αναμενόμενη υπολειμματική αξία κάθε μηχανήματος στο τέλος της ζωής του. Στη συνέχεια χρησιμοποιώντας τις συναρτήσεις του Excel SLN, SYD και DB υπολογίστε και καταγράψτε την ετήσια υποτίμηση σε κάθε έτος ζωής των τριών πρώτων μηχανημάτων. Ελέγξτε αν η λογιστική αξία των μηχανημάτων στο 4ο έτος της ζωής τους είναι Μια κατασκευαστική εταιρεία αγόρασε μια μηχανή αξίας με οικονομικό χρόνο ζωής 7 έτη και αξία μεταπώλησης στο τέλος της ζωής της Η υποτίμηση της αξίας της μηχανής γίνεται με τη μέθοδο του μειούμενου υπολοίπου. Η μηχανή προβλέπεται να διατηρηθεί σε λειτουργία για όλη τη διάρκεια ζωής της (7 χρόνια) και θα χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή ενός προϊόντος από το οποίο η εταιρεία θα έχει σταθερό καθαρό ετήσιο έσοδο Τα κέρδη της εταιρίας φορολογούνται με ποσοστό 30%. Να βρεθεί αν η επένδυση για την αγορά και χρήση του μηχανήματος είναι αποδεκτή για ελάχιστο επιθυμητό ρυθμό απόδοσης 12%. Σημείωση: Το φορολογητέο εισόδημα της εταιρείας προκύπτει από το καθαρό ετήσιο έσοδα αν αφαιρεθεί η ετήσια υποτίμηση (η οποία λογίζεται ως κόστος ανάκτησης κεφαλαίου). 3. Το σταθερό κόστος παραγωγής ενός προϊόντος είναι C F = Το άμεσο κόστος δίνεται σαν συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής Ν από τη σχέση V = ,003Ν /τεμάχιο. Η τιμή πώλησης της μονάδας του προϊόντος εξαρτάται από το μέγεθος της παραγωγής και δίνεται από τη σχέση Να καθοριστούν: Ρ = 150-0,001Ν /τεμάχιο. α. τα οριακά (νεκρά) σημεία παραγωγής (για τα οποία το κέρδος είναι μηδενικό), β. το βέλτιστο σημείο παραγωγής και το μέγιστο κέρδος, γ. το μέγεθος παραγωγής που ελαχιστοποιεί το μέσο κόστος παραγωγής.

8 Στη συνέχεια σχεδιάστε τις καμπύλες κόστους, εσόδου και κέρδους σαν συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής (περιοριστείτε στο διάστημα 0 Ν ). Σχεδιάστε επίσης τις καμπύλες μέσου κόστους, μέσου εσόδου και μέσου κέρδους σαν συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής (για το ίδιο διάστημα τιμών Ν). Σχεδιάστε τέλος τις καμπύλες οριακού κόστους, οριακού εσόδου και οριακού κέρδους σαν συνάρτηση του μεγέθους παραγωγής (για το ίδιο διάστημα τιμών Ν). 4. Μια δεξαμενή μεταφοράς υγρών φορτίων έχει κυλινδρική διατομή διαμέτρου D και μήκους L ενώ κάθε άκρο του κυλίνδρου κλείνει με ένα ημισφαίριο (διαμέτρου επίσης D). Το κόστος του περιβλήματος της δεξαμενής είναι 150 ανά τετραγωνικό μέτρο Ο απαιτούμενος όγκος της δεξαμενής είναι 40 μ 3. Βρείτε τις βέλτιστες διαστάσεις της δεξαμενής και το αντίστοιχο κόστος. Το εμβαδό σφαίρας ακτίνας R δίνεται από τη σχέση 4πR 2 και ο όγκος της σφαίρας από τη σχέση 4/3πR Μια οδική γέφυρα πρόκειται να κατασκευαστεί πάνω από το άνοιγμα μιας κοιλάδας. Το άνοιγμα που πρέπει να γεφυρωθεί (επομένως και το συνολικό μήκος της γέφυρας) είναι 200 μέτρα. Η κοιλάδα παρουσιάζει στη θέση της γέφυρας τριγωνική διατομή με μέγιστο βάθος h=50 μέτρα σε απόσταση 120 μέτρων από το ένα άκρο της κοιλάδας. Η γέφυρα θα έχει τρία ανοίγματα και δύο ενδιάμεσα βάθρα. Το κόστος κάθε ανοίγματος είναι 10L i 2 όπου L i το μήκος του ανοίγματος i. Το κόστος κάθε βάθρου είναι 3.000Η j όπου Η j το ύψος του βάθρου j. Να καθοριστούν οι θέσεις και τα ύψη των βάθρων ώστε να ελαχιστοποιηθεί το κόστος κατασκευής της γέφυρας L 1 L 2 L 3 H1 h H 2