Σωστό - Λάθος Επαναληπτικές
|
|
- Ευδώρα Ζάχος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΟΛΩΝ ΤΩΝ ΕΤΩΝ ημιτελές(veron ) ΠΡΟΣΟΧΗ! Επισημαίω ότι οι λύσεις ούτε πλήρεις είαι ούτε έχου διπλοελεγχθεί τουλάχιστο μέχρι τώρα.ετσι ο ααγώστης πρέπει α έχει υπόψη του ότι μπορεί α υπάρχου ελλείψεις ή αι λάθη αι α χρησιμοποιεί τις σημειώσεις με διή του ευθύη ΘΕΜΑ ο Α. Aς υποθέσουμε ότι,2,,k είαι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους, όπου k, μη μηδειοί φυσιοί αριθμοί με k. α. Τι οομάζεται απόλυτη συχότητα, που ατιστοιχεί στη τιμή, =,2,,k; Μοάδες 3 β. Τι οομάζεται σχετιή συχότητα f της τιμής, =,2,,k; Μοάδες 3 γ. Να αποδείξετε ότι: ) 0 f για =,2,,k ) f + f2 + + fk =. Μοάδες 4 Απάτηση: α. Στη τιμή ατιστοιχίζεται η απόλυτη συχότητα, δηλαδή ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. β. Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα (relatve frequency) f της τιμής, δηλαδή: f = =, 2,..., 0 γ. ) Αφού 0 0 f ) f+ f f = = = = Επααληπτιές Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr
2 2003 Γ. Να δώσετε το ορισμό της διαμέσου (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω. Μοάδες 6 Απάτηση: Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός. Σχόλιο: σχολιό σ α. Το εύρος είαι μέτρο θέσης. Σχόλιο: σχολιό σ. 92.Το ορθό είαι ότι είαι μέτρο διασποράς β. Η διαύμαση εφράζεται με τις ίδιες μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις. Σχόλιο: σχολιό σ. 95 ε. Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόο για τη γραφιή παράσταση τω ποσοτιώ μεταβλητώ. Σχόλιο: σχολιό σ Επααληπτιές Γ. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. Μέτρο θέσης εός συόλου δεδομέω είαι : α. το εύρος β. η διάμεσος γ. η διαύμαση δ. η τυπιή απόλιση. Μοάδες 5 Απάτηση: β. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 2
3 Δ. Να ορίσετε το συτελεστή μεταβολής εός συόλου παρατηρήσεω. Μοάδες 6 Απάτηση: Ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας (coeffcent of varaton),ορίζεται ως: > = α 0 = α < 0 Αποτελεί έα μέτρο με το οποίο μας βοηθά στη σύγριση ομάδω τιμώ, που ) είτε εφράζοται σε διαφορετιές μοάδες μέτρησης ) είτε εφράζοται στη ίδια μοάδα μέτρησης, αλλά έχου σηματιά διαφορετιές μέσες τιμές, είαι ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ο οποίος ορίζεται από το λόγο: Ο συτελεστής μεταβολής εφράζεται επί τοις εατό, είαι συεπώς αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης αι παριστάει έα μέτρο σχετιής διασποράς τω τιμώ αι όχι της απόλυτης διασποράς, Εφράζει, δηλαδή, τη μεταβλητότητα τω δεδομέω απαλλαγμέη από τη επίδραση της μέσης τιμής. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 3
4 2004 Γ. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε άθε πρόταση. α. Η συχότητα της τιμής μιας μεταβλητής Χ είαι αρητιός αριθμός. β. Στη αοιή αταομή το 95% τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα (, + ), όπου είαι η μέση τιμή τω παρατηρήσεω αι η τυπιή τους απόλιση. γ. Α διαιρέσουμε τη συχότητα μιας μεταβλητής Χ με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα f της τιμής. Μοάδες Επααληπτιές - στ. Το μέτρο διασποράς εύρος ισούται με τη διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση. Μοάδες 2 Σχόλιο: Aυτό που περιγράφει είαι το εύρος ή ύμαση (range) (σχολιό σ92) 2005 Β. α. Ποιες μεταβλητές λέγοται ποσοτιές; Μοάδες 3 Απάτηση: Ποσοτιές λέγοται οι μεταβλητές, τω οποίω οι τιμές είαι αριθμοί. β. Πότε μια ποσοτιή μεταβλητή οομάζεται διαριτή αι πότε συεχής; Μοάδες 4 Απάτηση: ) Μια ποσοτιή μεταβλητή οομάζεται διαριτή, ότα παίρει μόο μεμοωμέες τιμές. Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης (με τιμές,2, ), το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού (με τιμές,2,,6) τλ. ) Μια ποσοτιή μεταβλητή οομάζεται συεχής, ότα μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ (α, β). Παραδείγματα συεχώ μεταβλητώ είαι το ύψος αι το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρεια μιας τηλεφωιής συδιάλεξης τλ. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 4
5 - γ. Η διαύμαση είαι μέτρο θέσης. Μοάδες 2 Σχόλιο: Είαι μέτρο διασποράς (σχολιό σ.93) 2005 Επααληπτιές (επίσης 2008, 202 αι 205) Α3. Πώς ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, α > 0 αι πώς, α < 0 ; Μοάδες 4 Απάτηση: Ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ορίζεται ως: = α > 0 < = α 0 - Β. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα, το οποίο ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. α. Οι ποιοτιές μεταβλητές διαρίοται σε διαριτές αι συεχείς. Μοάδες 2 γ. Στη περίπτωση τω ποσοτιώ μεταβλητώ, ετός από τις συχότητες f αι v, χρησιμοποιούται αι οι λεγόμεες αθροιστιές συχότητες F, N. Μοάδες 2 (σχολιό σ.66) δ. Τα σπουδαιότερα μέτρα διασποράς μιας μεταβλητής είαι η μέση τιμή αι η διάμεσος αυτής. Μοάδες 2 Σχόλιο: Είαι μέτρα θέσης αι όχι διασποράς Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 5
6 2006 δ. Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση μόο ποσοτιώ δεδομέω. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό σ Επααληπτιές γ. Ο συτελεστής μεταβλητότητας () είαι αεξάρτητος από τις μοάδες μέτρησης τω δεδομέω. Μοάδες 2 δ. Η διάμεσος δ είαι μέτρο διασποράς. Μοάδες β. Να δώσετε το ορισμό της διαμέσου (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω, ότα ο είαι άρτιος αριθμός. Μοάδες 3 Απάτηση Διάμεσος (δ) εός δείγματος αρτίω παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά είαι ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω. (σχολιό σ.87) - Γ. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που ατιστοιχεί σε άθε πρόταση τη λέξη, α η πρόταση είαι σωστή, ή, α η πρόταση είαι λαθασμέη. α. Στη περίπτωση τω ποσοτιώ μεταβλητώ, οι αθροιστιές σχετιές συχότητες F εφράζου το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. Μοάδες 2 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 6
7 2007 Επααληπτιές Γ. Να χαρατηρίσετε τις προτάσεις που αολουθού, γράφοτας στο τετράδιό σας τη λέξη ή δίπλα στο γράμμα, το οποίο ατιστοιχεί στη άθε πρόταση. α. Έστω ότι έχουμε έα δείγμα μεγέθους αι ότι f, =,2,,, είαι οι ατίστοιχες σχετιές συχότητες τω τιμώ μιας μεταβλητής. Α α είαι το ατίστοιχο τόξο εός υλιού τμήματος στο υλιό διάγραμμα συχοτήτω, τότε: α = 360, για =,2,,. Μοάδες 2 f 2008 (επίσης 2005 αι 202 αι 205) Α3. Πώς ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, α > 0 αι πώς, α < 0 ; Μοάδες 4 Απάτηση: Συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ορίζεται ως: = α > 0 < = α 0 β. Η διάμεσος δ εός δείγματος παρατηρήσεω t, t2,, t είαι πάτοτε μία από τις παρατηρήσεις αυτές. Μοάδες 2 Σχόλιο: Είαι σωστό μόο α το πλήθος τω παρατηρήσεω είαι περιττός αριθμός. σχολιό βιβλίο σ. 87 ε. Στο ιστόγραμμα συχοτήτω ομαδοποιημέω δεδομέω, το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Μοάδες 2 Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 74 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 7
8 2008 Επααληπτιές B. α. Να δώσετε το ορισμό της διαύμασης τω παρατηρήσεω t, t2,, t μιας μεταβλητής X. Μοάδες 3 Aπάτηση Η διαύμαση ή διασπορά (varance) ορίζεται ως ο μέσος όρος τω τετραγώω τω απολίσεω τω παρατηρήσεω t, t 2,... t μια μεταβλητής Χ από τη μέση τιμή τους.δηλαδή ορίζεται από τη σχέση: 2 = t = ( ) 2. Ο τύπος αυτός αποδειύεται ότι μπορεί α πάρει τη ισοδύαμη μορφή: = 2 2 t = 2 t = 2 η οποία διευολύει σηματιά τους υπολογισμούς υρίως ότα η μέση τιμή δε είαι αέραιος αριθμός. Οτα έχουμε πίαα συχοτήτω ή ομαδοποιημέα δεδομέα, η διαύμαση ορίζεται από τη σχέση: 2 = = ( ) 2 ή τη ισοδύαμη μορφή: = 2 2 = = 2 όπου, 2,..., οι τιμές της μεταβλητής (ή τα έτρα τω λάσεω) με ατίστοιχες συχότητες, 2,..., - α. Γειά δεχόμαστε ότι έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής είαι ομοιογεές, εά ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος δε ξεπερά το 0%. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό: σ.97 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 8
9 ε. Το διάγραμμα συχοτήτω χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό: σ B. Α,2,, είαι οι τιμές μιας μεταβλητής X που αφορά τα άτομα εός δείγματος μεγέθους ( ), α ορίσετε τη σχετιή συχότητα f της τιμής, =,2,,. Μοάδες 5 Απάτηση: f = - δ. Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτιής μεταβλητής. Μοάδες 2 Σχόλιο: Σχολιό σ.87.για τις ποιοτιές έχουμε το διάγραμμα συχοτήτω. ε. Η μέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω είαι έα μέτρο θέσης. Μοάδες Επααληπτιές - γ. Η διάμεσος εός δείγματος παρατηρήσεω είαι η τιμή για τη οποία το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μιρότερες από αυτή αι το πολύ 50% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες από τη τιμή αυτή. Μοάδες 2 Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 88 δ. Α η αμπύλη συχοτήτω για έα χαρατηριστιό είαι αοιή ή περίπου αοιή με τυπιή απόλιση αι εύρος R, τότε ισχύει 6R Μοάδες 2 Σχόλιο: Το ορθό είαι R σχολιό σ. 95 τελευταίες δύο γραμμές Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 9
10 200 Α. Έστω t,t2,...,t οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εός δείγματος μεγέθους, που έχου μέση τιμή Σχηματίζουμε τις διαφορές t, t 2,..., t Να αποδείξετε ότι ο αριθμητιός μέσος τω διαφορώ αυτώ είαι ίσος με μηδέ. Μοάδες 7 ( ) ( ) ( ) Απάτηση: t + t t t+ t t = = = 0 Α2. Α,2,, είαι οι παρατηρήσεις μιας ποσοτιής μεταβλητής X εός δείγματος μεγέθους αι w,w2,...,w είαι οι ατίστοιχοι συτελεστές στάθμισης (βαρύτητας), α ορίσετε το σταθμιό μέσο της μεταβλητής Χ. Μοάδες 4 O σταθμιός μέσος βρίσεται από το τύπο: Απάτηση: w + w w = = w 2 2 = w+ w w w = - ε) Η διάμεσος είαι έα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις αραίες παρατηρήσεις. 200 Επααληπτιές γ) Σε μια ομαδοποιημέη αταομή με λάσεις ίσου πλάτους οι διαδοχιές ετριές τιμές τω λάσεω διαφέρου μεταξύ τους όσο αι το πλάτος άθε λάσης. δ) Σε μια ομαδοποιημέη αταομή με λάσεις ίσου πλάτους το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 0
11 20 Α3. Τι εφράζει η σχετιή συχότητα f μιας παρατήρησης εός δείγματος. Μοάδες 4 Απάτηση: Α διαιρέσουμε τη συχότητα με το μέγεθος του δείγματος, προύπτει η σχετιή συχότητα (relatve frequency) f της τιμής, δηλαδή f = Εφράζει τι λάσμα τω παρατηρήσεω έχει τιμή. α) Η διαύμαση εφράζεται στις ίδιες μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις. Μοάδες 2 (σ. 95 σχολιού) Ιδιο με θέμα 205 β) Σε μία αοιή αταομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6. Μοάδες 2 Σχόλιο: σ.95 v) σχολιό.το σωστό είαι 6 τυπιές απολίσεις δηλαδή R 6. δ) Πάτοτε έα μεγαλύτερο δείγμα δίει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από έα μιρότερο δείγμα. Μοάδες 2 Σχόλιο: σ.60 σχολιό.δε παίζει ρόλο μόο το μέγεθος του δείγματος αλλά αι πόσο ατιπροσωπευτιό του πληθυσμού είαι. ε) Έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής είαι ομοιογεές, α ο συτελεστής μεταβλητότητας δε ξεπερά το 0%. Μοάδες 2 Σχόλιο: σ.97 σχολιό Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr
12 20 επααληπτιές - γ) Η αθροιστιή συχότητα Ν μίας αταομής εφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής. Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.66 δ) Στη αοιή αταομή το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα (, + ), όπου η μέση τιμή αι η τυπιή απόλιση. Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.95.το ορθό είαι 68% ε) Η διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω, οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά, ορίζεται πάτα ως η μεσαία παρατήρηση. Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.87.ισχύει μόο για περιττό πλήθος παρατηρήσεις. 202 (ίδιο με 205) Α3. Πώς ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, α > 0 αι πώς, α < 0 ; Μοάδες 4 Απάτηση: Συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας ορίζεται ως: = α > 0 = α < 0 α) Το υλιό διάγραμμα χρησιμοποιείται μόο για τη γραφιή παράσταση ποσοτιώ δεδομέω (μοάδες 2). Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.70 δ) Το εύρος, η διαύμαση αι η τυπιή απόλιση τω τιμώ μιας μεταβλητής είαι μέτρα διασποράς (μοάδες 2). Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.9-95 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 2
13 202 (Επααληπτιές) Α2. Α t, t2,..., tv είαι οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής X εός δείγματος μεγέθους, τότε α ορίσετε τη μέση τιμή τω παρατηρήσεω. Μοάδες 4 Απάτηση: Μμέση τιμή εός συόλου παρατηρήσεω ορίζεται ως το άθροισμα τω παρατηρήσεω διά του πλήθους τω παρατηρήσεω. Ότα σε έα δείγμα μεγέθους οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι t,t2,...,tv, τότε η μέση τιμή συμβολίζεται με αι δίεται από τη σχέση: t + t t t 2 = = = = t = όπου το σύμβολο t παριστάει μια συτομογραφία του αθροίσματος t+t2+...+tv αι διαβάζεται = άθροισμα τω t από = έως. Συχά, ότα δε υπάρχει πρόβλημα σύγχυσης, συμβολίζεται αι ως t ή αόμα πιο απλά με t Σε μια αταομή συχοτήτω, α, 2,..., είαι οι τιμές της μεταβλητής Χ με συχότητες v,v2,...,v ατίστοιχα, η μέση τιμή ορίζεται ισοδύαμα από τη σχέση: = = = = = = Η παραπάω σχέση ισοδύαμα γράφεται: = = f = = α) Α f είαι η σχετιή συχότητα της τιμής μιας μεταβλητής Χ, τότε ισχύει: 0 f Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.65. Tέθηε η ίδια αι το 205 β) Α είαι η τιμή μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ, τότε η αθροιστιή σχετιή συχότητα F εφράζει το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες της τιμής Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ.65. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 3
14 203 Α3. Να δώσετε το ορισμό της διαμέσου (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω. Μοάδες 4 Απάτηση: Διάμεσος (δ) εός δείγματος παρατηρήσεω οι οποίες έχου διαταχθεί σε αύξουσα σειρά ορίζεται ως η μεσαία παρατήρηση, ότα το είαι περιττός αριθμός, ή ο μέσος όρος (ημιάθροισμα) τω δύο μεσαίω παρατηρήσεω ότα το είαι άρτιος αριθμός. (σχολιό σ.87) - γ) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφιή παράσταση τω τιμώ μιας ποσοτιής μεταβλητής. (μοάδες 2) Σχόλιο.σ.87 σχολιό.το ορθό είαι ποιοτιής μεταβλητής δ) Η διάμεσος είαι έα μέτρο θέσης, το οποίο επηρεάζεται από τις αραίες παρατηρήσεις. (μοάδες 2) Σχόλιο.σ.87 σχολιό.το ορθό είαι ότι δε επηρεάζεται. 203 Επααληπτιές Α2. Να ορίσετε το μέτρο διασποράς εύρος ή ύμαση. (Μοάδες 4) Απάτηση: Eύρος ή ύμαση (range) (R), που ορίζεται ως η διαφορά της ελάχιστης παρατήρησης από τη μέγιστη παρατήρηση, δηλαδή: Εύρος R = Μεγαλύτερη παρατήρηση-μιρότερη παρατήρηση Σχόλιο.σ.92 σχολιό γ) Σε μια ποσοτιή μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω. (μοάδες 2) Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 69 δ) Έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής Χ χαρατηρίζεται ομοιογεές, ότα ο συτελεστής μεταβολής ξεπερά το 0% (μοάδες 2) Σχόλιο: σχολιό βιβλίο σ. 97 Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 4
15 204 Α3. Πότε μια ποσοτιή μεταβλητή λέγεται διαριτή αι πότε συεχής; Μοάδες 4 Απάτηση: Διαριτή λέγεται η ποσοτιή μεταβλητή που παίρει μόο «μεμοωμέες» τιμές. Τέτοιες μεταβλητές είαι, για παράδειγμα, ο αριθμός τω υπαλλήλω μιας επιχείρησης (με τιμές,2, ), το αποτέλεσμα της ρίψης εός ζαριού (με τιμές,2,,6) τλ. Συεχής λέγεται μια ποσοτιή μεταβλητή ότα μπορεί α πάρει οποιαδήποτε τιμή εός διαστήματος πραγματιώ αριθμώ (α, β) Τέτοιες μεταβλητές είαι το ύψος αι το βάρος τω μαθητώ της Γ Λυείου, ο χρόος που χρειάζοται οι μαθητές α απατήσου στα θέματα μιας εξέτασης, η διάρεια μιας τηλεφωιής συδιάλεξης τλ. γ) Σε μια αοιή ή περίπου αοιή αταομή το 95% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσοται στο διάστημα (, + ), όπου η μέση τιμή αι η τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ.95 σχολιού.το ορθό είαι 68% δ) Α είαι τιμή μιας ποσοτιής μεταβλητής X, τότε η αθροιστιή συχότητα N εφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες της τιμής. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ.66 σχολιό Eφράζει το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μιρότερες ή ίσες της τιμής ε) Το υλιό διάγραμμα είαι έας υλιός δίσος χωρισμέος σε υλιούς τομείς, τα εμβαδά ή, ισοδύαμα, τα τόξα τω οποίω είαι αάλογα προς τις ατίστοιχες συχότητες v ή τις σχετιές συχότητες f τω τιμώ της μεταβλητής. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ.70 σχολιό Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 5
16 204 Επααληπτιές Α3. Τι οομάζεται (απόλυτη) συχότητα v της τιμής μιας μεταβλητής X ;Μοάδες 4 Απάτηση: Eίαι ο φυσιός αριθμός που δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή της εξεταζόμεης μεταβλητής Χ στο σύολο τω παρατηρήσεω. Σχόλιο: σ. 65 σχολιό - α) Σε μια αοιή ή περίπου αοιή αταομή το 99,7% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσεται στο διάστημα ( 2, + 2), όπου η μέση τιμή αι η τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ. 95 σχολιό.σε αυτό το διάστημα βρίσεται το 95% περίπου τω παρατηρήσεω. β) Σε ομαδοποιημέα δεδομέα το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα είαι πάτοτε ίσο με έα. (μοάδες 2) Σχόλιο: σ. 74 σχολιό.το σωστό είαι ότι το εμβαδό είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος. Ισο με έα είαι το εμβαδό που ορίζεται από το πολύγωο σχετιώ συχοτήτω αι το οριζότιο άξοα. Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 6
17 205 Απάτηση: w + w w = = w 2 2 = w+ w w w = Σχόλιο: σχολιό σ γ) Η διαύμαση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτιής μεταβλητής Χ εφράζεται με τις ίδιες μοάδες με τις οποίες εφράζοται οι παρατηρήσεις. (σ. 95 σχολιού) δ) Α για τους συτελεστές μεταβολής τω δειγμάτω αι ισχύει B> A, τότε λέμε ότι το δείγμα Β εμφαίζει μεγαλύτερη ομοιογέεια από το δείγμα Α. σ σχολιό (όσο πιο μιρός είαι ο συτελεστής μεταβολής τόσο πιο ομοιογεές είαι το δείγμα) Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 7
18 205 Επααληπτιές (το ίδιο 202) Απάτηση: Συτελεστής μεταβολής ή συτελεστής μεταβλητότητας = α > 0 < = α (Ξαατέθηε το 202 επααληπτιές) γ) Για τη σχετιή συχότητα f της τιμής μιας μεταβλητής X, ισχύει ότι 0 Σχόλιο: Δες σ.65 σχολιού.εξήγηση: Eίαι f f = αι δεδομέου ότι δ) Η τυπιή απόλιση τω παρατηρήσεω μιας ποσοτιής μεταβλητής X είαι μέτρο θέσης. Σχόλιο : Είαι μέτρο διασποράς (σ.9 αι σ. 95 σχολιού) f Αθαασίου Δημήτρης (Μαθηματιός) aepfreedom@yahoo.gr pera.gr 8
Πληθυσμός μιας έρευνας λέγεται το σύνολο των αντικειμένων που εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά.
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστιή λέγεται ο λάδος τω Μαθηματιώ ο οποίος συγετρώει στοιχεία που ααφέροται σε έα σύολο ατιειμέω, τα ταξιομεί, αι τα παρουσιάζει σε ατάλληλη μορφή ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού.
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γενικές έννοιες
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Γειές έοιες Στατιστιή είαι ο λάδος τω μαθηματιώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους αι τη παρουσίασή τους σε ατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού α ααλυθού αι α ερμηευθού
Διαβάστε περισσότερα78 Ερωτήσεις Θεωρίας Στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας
Στα Μαθηματιά Γειής Παιδείας Tι οομάζουμε συάρτηση Tι οομάζουμε παραγματιή συάρτηση πραγματιής μεταβλητής Μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α πεδίο ορισμού ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο
Διαβάστε περισσότεραΓ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η. Μαθηματικά Γενικής Παιδείας. Γ Λυκείου
Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μαθηματιά Γειής Παιδείας Γ Λυείου Δημήτρης Αργυράης Γεράσιμος Κουτσαδρέας Μαθηματιά Γειής Παιδείας Στατιστιή Γ. Λυείου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ
Διαβάστε περισσότεραείναι οι τιμές μιας μεταβλητής Χ, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους v,. Συχνότητα (απόλυτη) νi
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός λέγεται έα σύολο που θέλουμε α εξετάσουμε τα στοιχεία του ως προς έα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους Μεταβλητές λέγοται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ
ΑΝΩΤΑΤΟ ΣΥΜΒΟΥΛΙΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΤΡΑΠΕΖΑΣ ΤΗΣ ΕΛΛΑΔΟΣ ΕΤΟΥΣ 007 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΕΠΙΤΡΟΠΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΥ ΚΑΤΗΓΟΡΙΑ: ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ Απογευματιή εξέταση στα μαθήματα: «. Άλγεβρα» «.5
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ
Παγόσμιο χωριό γώσης 0 ο ΜΑΘΗΜΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2.3. ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΜΕΤΡΑ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ Σοπός: Στη εότητα αυτή παρουσιάζοται τα μέτρα θέσης αι τα μέτρα διασποράς. Ο ορισμός τους αι διάφοροι μέθοδοι υπολογισμού. Γίεται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Τι οομάζεται συάρτηση Συάρτηση uncton είαι μια διαδιασία με τη οποία άθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα αριβώς στοιχείο άποιου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Οδηγός Επιβίωσης 0 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Διαφοριός Λογισμός ΚΕΦΑΛΑΙΟ : Στατιστιή Οδηγός Επιβίωσης Περιλαμβάνει: Ερωτήσεις Θεωρίας Όλες τις Αποδείξεις Χρήσιμο Τυπολόγιο ΑΜΕΡΙΚΑΝΙΚΗ
Διαβάστε περισσότεραΣ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ / ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Σ Τ Α Τ Ι Σ Τ Ι Κ Η Μέτρα Θέσης. Ποιους ορισμούς πρέπει α ξέρω; Τι οομάζουμε αι πώς συμβολίζεται: η επιρατούσα τιμή μιας μεταβλητής ; Οομάζεται η τιμή της μεταβλητής, που παρουσιάζει
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Τι οοµάζεται συάρτηση ; Είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β.. Ποιες είαι οι κυριότερες γραφικές παραστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013 Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ Α.. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος της συάρτησης f ( ), για κάθε R. Α.. Α.. (
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Ρωτήσαμε 50 μαθητές μιας τάξης για το αριθμό τω αδελφώ τους Οι απατήσεις που πήραμε είαι: 0,,,,4,5 Α v, v, v, v4, v5, v 6 είαι οι ατίστοιχες συχότητες τους
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 015 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΙγνάτιος Ιωαννίδης. Στατιστική Όριο - Συνέχεια συνάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα
Ιγάτιος Ιωαίδης Στατιστική Όριο - Συέχεια συάρτησης Παράγωγοι Ολοκληρώματα Περιέχει: Συοπτική Θεωρία Μεθοδολογία Λύσης τω Ασκήσεω Λυμέα Παραδείγματα Ασκήσεις με τις απατήσεις τους ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗ Το βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. ευτέρα, 17 Μα ου 2010 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης. Επιµέλεια:
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 00 ευτέρα, 7 Μα ου 00 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
- ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΣΕ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ -ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Tι ονομάζουμε συνάρτηση ; Tι ονομάζουμε πραγματιή συνάρτηση πραγματιής μεταβλητής; Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β είναι
Διαβάστε περισσότεραc f(x) = c f (x), για κάθε x R
(http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραc f(x) = c f (x), για κάθε x R
ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΣΠΕΡΙΝΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Δ ΤΑΞΗΣ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικό Διαγώνισμα Μαθηματικών Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου
Επααληπτικό Διαγώισμα Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Θέμα A Α.α) Τι οομάζουμε συάρτηση και τι οομάζουμε πραγματική συάρτηση πραγματικής μεταβλητής; β) Τι λέγεται τιμή μιας συάρτησης f στο χ ; γ)
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4
(http://edu.klmaka.gr) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 014 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικών της Ώθησης
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιµέλεια: Οµάδα Μαθηµατικώ της Ώθησης ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 0 Τετάρτη, 3 Μα ου 0 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΜΑ Α Α. Α οι συαρτήσεις f, g είαι παραγωγίσιμες στο
Διαβάστε περισσότεραΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΘΕΜΑ Α ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ» 2 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2013: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) ΘΕΜΑ Α 1. α) Απόλυτη συχότητα οομάζεται ο φυσικός αριθμός που μας δείχει πόσες φορές εμφαίζεται η τιμή
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α Α1. Έστω t 1,t 2,...,t ν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, που έχουν
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΠΑΛ (ΟΜΑ Α Β ) ΕΥΤΕΡΑ 7 MAΪΟΥ 00 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ
Διαβάστε περισσότερα2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
- 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη Μαθηματικά Γεικής Παιδείας γ Ασκήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης http://users.sch.gr/mpapagr 4 ο Γεικό Λύκειο Χαίω ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ 95 ΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΘΟΥΝ ΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΚάνουμε πρώτα διαλογή και κατασκευάζουμε τον πίνακα συχνοτήτων: και επίσης κατασκευάζουμε το ραβδόγραμμα: Αυτοκίνητο Τραμ Τρόλεϊ Μετρό Λεωφορείο
.Στη ερώτηση με ποιο μέσο πηγαίετε στη δουλειά σας 0 άτομα απάτησα: αυτοκίητο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τραμ, αυτοκίητο, λεωφορείο, τραμ, τρόλεϊ, αυτοκίητο, τραμ, αυτοκίητο, μετρό, τρόλεϊ,
Διαβάστε περισσότεραΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ
ΑΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΕΥΤΕΡΑ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 0 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις στη Στατιστική
Σχολείο: ο ΓΕΛ Κοµοτηής Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: Ασκήσεις στη Στατιστική 5 0, 3 0 0 Σύολο F % F % Να συµπληρώσετε το παρακάτω πίακα: F % F % 0 0 0 0,5 30 0,0 0 6 50 Σύολο 3 Να συµπληρώσετε το
Διαβάστε περισσότεραΠανελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γενικης Παιδειας
ΘΕΜΑ Α. Παελλαδικες Εξετασεις Γ Λυκειου Μαθηµατικα Γεικης Παιδειας Θέµατα-Εδεικτικές Λύσεις Νικόλαος. Κατσίπης 17 Μαϊου 2010 Α1. Εστω t 1, t 2,..., t οι παρατηρήσεις µιας ποσοτικής µεταβλητής X εός δείγµατος
Διαβάστε περισσότεραΣτατιστική. μονάδα και ισχύει: i. ν ν. = ή ως ποσοστό % οπότε % = i fi
Στατιστική "Υπάρχου τα μικρά ψέματα, τα μεγάλα ψέματα και οι στατιστικές" Μαρκ Τουαί Σε κάθε πρόβλημα της Στατιστικής υπάρχει έας «πληθυσμός» Ω τα στοιχεία του οποίου (άτομα) εξετάζοται ως προς έα χαρακτηριστικό
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Στατιστική είαι ο κλάδος τω μαθηματικώ, ο οποίος ως έργο έχει τη συγκέτρωση στοιχείω, τη ταξιόμησή τους και τη παρουσίασή τους σε κατάλληλη μορφή, ώστε α μπορού
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. φυσικός αριθµός, που δείχνει πόσες φορές εµφανίζεται η τιµή x i της µεταβλητής αυτής. Σ Λ
2o Κεφάλαιο ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος». * Το χρώµα κάθε αυτοκιήτου είαι ποιοτική µεταβλητή. Σ Λ 2. * Ο αριθµός τω αθρώπω που παρακολουθού µια συγκεκριµέη τηλεοπτική εκποµπή είαι διακριτή
Διαβάστε περισσότερα(c f (x)) = c f (x), για κάθε x R
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 30 ΜΑΪΟΥ 04 - ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α. Α η συάρτηση f είαι
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 0 Ε_.ΜλΓ(α) ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηία: Κυριακή 7 Απριλίου 0 ιάρκεια Εξέτασης: ώρες Α.. Σχολικό βιβλίο Σελίδες
Διαβάστε περισσότερα2.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ. 1. Μέση τιµή x = Σταθµικός Μέσος x = 3. ιάµεσος (δ) ενός δείγµατος ν παρατηρήσεων, οι οποίες έχουν διαταχθεί σε
.3 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΙΑΣΠΟΡΑΣ ΘΕΩΡΙΑ. Μέση τιµή x = x = x = + + + t t... t = x + x +... + x + +... + x κ κ = f x κ t κ κ = κ κ x = κ x. Σταθµικός Μέσος x = xw + x w +... + x w w + w +... + w = x w w όπου
Διαβάστε περισσότεραΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΣΤΗΝ ΥΛΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
Περιοδικό ΕΥΚΕΙΔΗ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 7) ΕΡΩΤΗΕΙ ΚΑΤΑΝΟΗΗ ΓΙΑ ΜΙΑ ΕΠΑΝΑΗΨΗ ΤΗΝ ΥΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗ ΠΑΙΔΕΙΑ Α) Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις με () α είαι σωστές και με () α είαι λάθος, αιτιολογώτας
Διαβάστε περισσότεραBIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. ιδάσκων: Τριανταφύλλου Ιωάννης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ
BIOΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ιδάσκω: Τριαταφύλλου Ιωάης Τ.Ε.Ι. ΑΘΗΝΑΣ Αιγάλεω 04 Που και πως θα µας φαεί χρήσιµη??? Για α περιγράψουµε έα δείγµα παρατηρήσεω ως προς τα χαρακτηριστικά του Παράδειγµα Κατά τη διόρθωση 00
Διαβάστε περισσότερα4.7 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
174 47 ΙΣΟΫΠΟΛΟΙΠΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το ζήτημα της διαιρετότητας τω αεραίω είαι υρίαρχο θέμα στη Θεωρία τω Αριθμώ Μια έοια που βοηθάει στη μελέτη αι επίλυση προβλημάτω διαιρετότητας είαι η έοια τω ισοϋπόλοιπω αριθμώ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:
Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι x 1,x,,x k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους, όπου
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ
Παρουσίαση ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ Παρουσίαση.4 Μέτρα θέσης Στη συέχεια θα περιγράψουµε κάποια µέτρα, τα οοµαζόµεα µέτρα θέσης. Τα µέτρα θέσης µίας καταοµής, είαι κάποια αριθµητικά µεγέθη που δίου τη θέση του κέτρου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1ο Α. Aς υποθέσουµε ότι 1,,, k είαι οι τιµές µιας µεταβλητής Χ, που αφορά Β.1. τα άτοµα εός δείγµατος µεγέθους,
Διαβάστε περισσότερα5. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότερα5. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Στατιστική (Κωδ. 05) Διδάσκω: Γιώργος Κ. Παπαδόπουλος 5. Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πληθυσμός (ή στατιστικός πληθυσμός) Τυχαίο δείγμα και πραγματοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 2860) 1. Περιγραφική Στατιστική
Μάθημα: Γεωργικός Πειραματισμός-Βιομετρία (Κωδ. 860). Περιγραφική Στατιστική Σύτομη αασκόπηση βασικώ εοιώ, προτάσεω και τύπω Πείραμα τύχης - Η έοια του τυχαίου Δειγματικός χώρος Ω εός πειράματος τύχης
Διαβάστε περισσότεραΤυπολόγιο Σχετική συχότητα: = = κ f,,..., Αθροιστική συχότητα: Ν = και Ν, 2... = Ν + = κ Αθροιστική σχετική συχότητα: Ν F = f και F = F + f, = 2,...,
Μετά το τέλος της µελέτης του 2ου κεφαλαίου, ο µαθητής θα πρέπει α γωρίζει: Τις βασικές έοιες της στατιστικής όπως πληθυσµός, δείγµα κ.λ.π. καθώς και τις κατηγορίες τω µεταβλητώ. Τους ορισµούς της απόλυτης,
Διαβάστε περισσότεραΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )
Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.
Διαβάστε περισσότερα{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]
Σημειώσεις στις Πιθαότητες Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
.Να συμπληρώσετε το παρακάτω πίακα. f N F f 0 0 F 0 0 8 0,4 0 5 4 0,9 5 0 Σύολο. Οι μαθητές του Γ για το μήα Νοέμβρη απουσίασα από το σχολείο τους έως τέσσερις μέρες σύμφωα με το παρακάτω πίακα. ) Να συμπληρωθεί
Διαβάστε περισσότερατις διαφορετικές μεταξύ τους τιμές της Y ( λ ν )
Διδιάστατες Καταομές Διδιάστατες Καταομές Πίαας συοτήτω διδιάστατης αταομής Θεωρούμε δύο τυαίες μεταβητές X, Y αι ζεύγη παρατηρήσεω,,,,,, από δείγμα μεγέθους Τόσο τα,,, όσο αι τα,,, δε είαι απαραιτήτως
Διαβάστε περισσότερα2010-2011. 4 o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας. Ασκήσεις για λύση
00-0 4 o Γενιό Λύειο Χανίων Γ τάξη Μαθηματιά Γενιής Παιδείας γ Ασήσεις για λύση Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράης http://users.sch.gr/mipapagr 4 ο Γενιό Λύειο Χανίων 00 0 ΣΥΝΔΙΑΣΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
Διαβάστε περισσότερα2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ
1 2.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΚΛΑΣΜΑΤΟΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Κλάσµα : Είαι το µαθηµατιό σύµβολο το οποίο δηλώει σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε το όλο αι πόσα µέρη πήραµε Κλάσµα : πόσα µέρη πήραµε σε πόσα ίσα µέρη χωρίσαµε : αριθµητής
Διαβάστε περισσότεραστους μιγαδικούς αριθμούς
Πράξεις στους μιγαδικούς αριθμούς Πρόσθεση μιγαδικώ αριθμώ Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία α) ) Πώς γίεται η πρόσθεση δύο μιγαδικώ αριθμώ; ) Ποια είαι η γεωμετρική ερμηεία του αθροίσματος δύο μιγαδικώ;
Διαβάστε περισσότερα{[ 140,150 ),[ 160,170 ),...,[ 200, 210]
Σημειώσεις στη Πληροφορική ΙΙΙ 1. Πείραμα τύχης και πιθαότητα Έα φυσικό φαιόμεο με χαρακτηριστικά που δε μπορούμε α τα προβλέψουμε, οομάζεται στοχαστικό ή τυχαίο. Για παράδειγμα το ύψος τω κυμάτω στη θάλασσα,
Διαβάστε περισσότεραΕ 1. Διαφορικός λογισμός (Κανόνες παραγώγισης)
Ε Διαφορικός λογισμός Καόες παραγώγισης Σελίδα από Πότε μια συάρτηση λέγεται παραγωγίσιμη στο σημείο του πεδίου ορισμού της ; Μια συάρτηση λέμε ότι είαι παραγωγίσιμη σ έα σημείο του πεδίου ορισμού της,
Διαβάστε περισσότερα2.2 ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Σύμφωα με το ορισμό του R, η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δύο μιγαδικώ αριθμώ γίοται όπως ακριβώς και οι ατίστοιχες πράξεις με διώυμα α + βx στο, όπου βέβαια ατί για
Διαβάστε περισσότεραΘέματα. Α1. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)=P(A)-P( A B) (9 μονάδες)
Θέματα Θέμα Α Α. Να αποδείξετε ότι για δύο ενδεχόμενα Α αι Β ενός δειγματιού χώρου Ω, ισχύει P(A-B)P(A)-P( A B) (9 μονάδες) Α. Να διατυπώσετε το νόμο των μεγάλων αριθμών. (6 μονάδες) Α. Να χαρατηρίσετε
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να γωρίζει τη έοια της ακολουθίας, τους τρόπους που ορίζεται, τις διαφορές της από μία συάρτηση. Να γωρίζει τους ορισμούς της αριθμητικής και γεωμετρικής
Διαβάστε περισσότεραΔυνάμεις πραγματικών αριθμών
Κεφάλαιο 1 ο 45 Β. Δυάμεις πραγματικώ αριθμώ Α έχουμε έα γιόμεο της μορφής (-) (-) (-) (-) όπου κάθε παράγοτας είαι (δηλαδή ο ίδιος ο αριθμός) μπορούμε α το συμβολίσουμε με μια πιο απλή μορφή : (-) 4.
Διαβάστε περισσότεραΣυνδυαστική Ι. Περιληπτική Θεωρία Τμήμα κ. Οικονόμου. Χατζηδάκης Αλέξανδρος
Συδυαστιή Ι Περιληπτιή Θεωρία Τμήμα. Οιοόμου Χατζηδάης Αλέξαδρος Παεπιστήμιο Αθηώ - Τμήμα Μαθηματιώ Χειμεριό Εξάμηο 2009-2010 # μεταθέσεω! # μη επααλ. Διατάξεω ()! ( )! # επααλ. Διατάξεω # μη επααλ. Συδυασμώ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ
ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συνδυασμός ν στοιχείων ανά κ είναι μια μη διατεταγμένη συλλογή κ στοιχείων από τα ν.
13/10/2010 ΣΥΝΔΥΑΣΜΟΙ Ορισμός Συδυασμός στοιχείω αά κ είαι μια μη διατεταγμέη συλλογή κ στοιχείω από τα. Παράδειγμα 1 Οι συδυασμοί τω τριώ γραμμάτω Α,Β,Γ αά έα είαι οι εξής τρεις: Α, Β, Γ. Οι συδυασμοί
Διαβάστε περισσότερα+ + = + + α ( β γ) ( )
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Αριθµητική παράσταση Αριθµητική παράσταση λέγεται µια σειρά αριθµώ που συδέοται µεταξύ τους µε πράξεις. Η σειρά τω πράξεω σε µια αριθµητική παράσταση είαι η εξής: 1. Υπολογίζουµε
Διαβάστε περισσότεραiii. Ακόμα, αλλάζουμε πρόσημα (όλα!) όποτε θέλουμε : α α, α β β α
. ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ Ετός από τις λασσιές, θυμηθείτε υρίως τις δύο παραάτω : α β α β α αβ β α β α β α αβ β, αλλά αι τη γειότητα: α β α β α α β α β... αβ β, α,β,.. ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ (ορισμοί σχέσεις συμπεράσματα)
Διαβάστε περισσότεραΓ Λυκείου Μαθηματικά Γενικής Παιδείας o Γενικό Λύκειο Χανίων Γ τάξη. Γενικής Παιδείας Ασκήσεις για λύση. M. Παπαγρηγοράκης 1 11.
Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας 0-0 4 o Γεικό Λύκειο Χαίω Γ τάξη γ Μαθηματικά Γεικής Παιδείας.09 Ασκήσεις για λύση M. Παπαγρηγοράκης.09 Γ Λυκείου Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Επιμέλεια: Μ. Ι. Παπαγρηγοράκης
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
Διαβάστε περισσότερα) είναι παράλληλη προς στον άξονα x x τότε: α. Να βρείτε την f ( x)
taeeolablogspotcom Άσκηση η Δίεται η συάρτηση f() S + +, R όπου η μέση τιμή και S > η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος μεγέθους Α η εφαπτομέη της καμπύλης f στο σημείο της A(,f ( ) ) είαι παράλληλη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά κατεύθυνσης Γ Λυκείου. Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις των πανελλαδικών εξετάσεων. Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς
Μαθηματικά κατεύθυσης Γ Λυκείου Όλη η θεωρία και οι ασκήσεις τω παελλαδικώ εξετάσεω Στέλιος Μιχαήλογλου Δημήτρης Πατσιμάς wwwaskisopolisgr Η θεωρία τω παελλαδικώ εξετάσεω [] [] Ορισμοί ) Πότε μια συάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑ. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
Διαβάστε περισσότεραΛΥΚΕΙΟ ΜΕΤΑΜΟΡΦΩΣΗΣ 2014 ΒΑΣΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
1. Τι λέγεται δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης. Το σύολο τω δυατώ αποτελεσμάτω λέγεται δειγματικός χώρος (sample space) και συμολίζεται συήθως με το γράμμα Ω. Α δηλαδή ω 1,ω 2,...,ω κ είαι τα δυατά
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ του Κώστα Βακαλόπουλου ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στο άρθρο αυτό θα παρουσιάσουμε μια μικρή συλλογή ασκήσεω οι οποίες καλύπτου τις έοιες που μάθαμε στο κεφάλαιο της Στατιστικής. Σε
Διαβάστε περισσότεραΕπίπεδο εκπαίδευσης πατέρα 2
Περιγραφική Στατιστική Όπως, ήδη έχουμε ααφέρει, στόχος της Περιγραφικής Στατιστικής είαι, «η αάπτυξη μεθόδω για τη συοπτική και τη αποτελεσματική παρουσίαση τω δεδομέω» Για το σκοπό αυτό, έχου ααπτυχθεί,
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C
Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία
Διαβάστε περισσότεραΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ( ) Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ν ισχύει : ! + 2 2! + 3 3! + +ν ν! = (ν + 1)!
ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Να αποδείξετε ότι για κάθε θετικό ακέραιο ισχύει : 1 + 1 1! +! +! + +! = ( + 1)!. Να αποδείξτε ότι 6 10 [ ( 1) ] = ( + 1) ( + ) ( + ) (), για κάθε θετικό ακέραιο.. Να αποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραi μιας μεταβλητής Χ είναι αρνητικός αριθμός
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακoλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε
Διαβάστε περισσότερα5 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 41.
ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 5 η ΕΚΑ Α 4. Έστω Ω { ω, ω, ω, ω 4 } ο δειγµατικός χώρος εός πειράµατος τύχης και τα εδεχόµεα Α {ω, ω }, Β {ω, ω 4 } + Α είαι P(A B) και Ρ( Β Α ), όπου θετικός ακέραιος τότε + 4 Να αποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ. Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟ ΜΑΘΗΤΗ Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Η διαίρεση στους φυσικούς αριθμούς 12 Διερεύηση 1. 1. Έας χώρος στάθμευσης έχει 21 σειρές, καθεμιά από τις οποίες έχει 8 θέσεις.
Διαβάστε περισσότερα4.3 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ. Εισαγωγή
49 43 ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Εισαγωγή Στα Στοιχεία του Ευκλείδη, βιβλία VII, VIII και IX (περίπου 300 πχ), οι θετικοί ακέραιοι παριστάοται ως ευθύγραμμα τμήματα και η έοια της διαιρετότητας συδέεται άμεσα με τη
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Θεωρία - Μέθοδοι
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχολογική Κατεύθυση Θεωρία - Μέθοδοι ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Μάθημα ο ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Η εξίσωση x δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ, αφού
Διαβάστε περισσότεραΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Αρχικά, με τη έοια στατιστική θεωρούσαμε τη απαρίθμηση και καταγραφή τω μετρήσεω. Οι παρατηρήσεις αυτές ή οι μετρήσεις ααφέροται σε συγκεκριμέο ατικείμεο ή γεγοός.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γενικής Παιδείας Γˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 2 ο. Στατιστική
Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γ Λυκείου Κεφάλαιο Μαθηματικά Γεικής Παιδείας Γˊ Λυκείου Κεφάλαιο ο Στατιστική ΘΕΩΡΙΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Στατιστική είαι έα σύολο αρχώ και μεθοδολογιώ για: το σχεδιασμό της
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη
Διαβάστε περισσότερα1. [0,+ , >0, ) 2. , >0, x ( )
Σελίδα 1 από 5 ΝΙΟΣΤΕΣ ΡΙΖΕΣ ΤΑ ΣΥΜΒΟΛΑ α, α ΣΧΕΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ του Ατώη Κυριακόπουλου 1 ΡΙΖΕΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ R = [, ) Θεώρηµα και ορισµός οθέτος, εός πραγµατικού αριθµού α και εός φυσικού αριθµού >, υπάρχει έας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. =, όπου x A και g( x) 0.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Ορισµός: Συάρτηση (functon) είαι µια διαδικασία µε τη οποία κάθε στοιχείο εός συόλου Α ατιστοιχίζεται σε έα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συόλου Β Πράξεις µε Συαρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεων
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θεωρία Άλυτες Ασκήσεις Θέματα εξετάσεω 1 Α. ΜΕΡΟΣ :ΘΕΩΡΙΑ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ C ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ Γωρίζουμε ότι η δευτεροβάθμια εξίσωση με αρητική διακρίουσα δε έχει λύση στο σύολο R τω πραγματικώ
Διαβάστε περισσότεραβ± β 4αγ 2 x1,2 x 0.
Ορισµοί, ισότητα, µέτρο, άθροισµα µιγαδικώ αριθµώ Μιγαδικό επίπεδο Γεωµετρική παράσταση του αθροίσµατος µιγαδικώ αριθµώ ax 3 + β x + γ x+ δ = 0 Η προσπάθεια επιλύσεως εξισώσεω 3 ου βαθµού ( ) και δευτεροβαθµίω
Διαβάστε περισσότερα2 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Εισαγωγή Ο όρος Στατιστική εδεχομέως α προέρχεται από τη λατιική λέξη status (πολιτεία, κράτος) η οποία, χρησιμοποιήθηκε αρχικά για το χαρακτηρισμό αριθμητικώ δεδομέω που ααφέροται κυρίως στο
Διαβάστε περισσότεραΠεριγραφική Στατιστική
Περιγραφική Στατιστική Παναγιώτα Λάλου. Βασικές έννοιες Ορισμός: Στατιστικός πληθυσμός ονομάζεται το σύνολο των πειραματικών μονάδων π.χ άνθρωποι, ζώα, επιχειρήσεις κ.λπ, οι οποίες συμμετέχουν στην έρευνα
Διαβάστε περισσότεραΕπιτρέπεται η χ ρήση του εκπαιδευτικού υλικού εντός του φροντιστηρίου
Θεωρία Θ Ε Ω Ρ Ι Α Παελλαδικώ εξετάσεω Βασίλης Γατσιάρης ωρεά υποστηρικτικό υλικό Θεωρία Στο βιβλίο αυτό, για πρακτικούς λόγους χρησιµοποιούµε τα πιο κάτω σύµβολα, για τις διάφορες κατηγορίες τω θεµάτω
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ. Κριτήρια διαιρετότητας
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ε ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΤΕΤΡΑΔΙΟ ΕΡΓΑΣΙΩΝ Κριτήρια διαιρετότητας 11 Κριτήρια διαιρετότητας 11 1η Άσκηση Να βρεις ποιοι από τους φυσικούς αριθμούς που είαι αάμεσα από το 120 και το 140 διαιρούται με: το
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ. Εισαγωγή
Μέρος πέµπτο ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ Εισαγωγή Στα προηγούµεα κεφάλαια είδαµε τις διάφορες µεθόδους συλλογής και επεξεργασίας του βιοµετρικού υλικού. Κάθε βιοµετρική επεξεργασία όµως έχει
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α' ΛΥΚΕΙΟΥ. Η ΕΞΙΣΩΣΗ αx+β=0
Η ΕΞΙΣΩΣΗ α+β=0 εξισώσεις πρώτου βαθμού. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: α) 5 ( ) = ( ) β) 8( ) ( ) = ( + ) 5(5 ) γ) (5 ) ( ) = ( + ) δ) (-)-(-)=7( -)-(+). Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: 5 α) β) 8
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ µε ΑΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ µε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΚΑΙ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Αιστάι 3 Αµφιάλη 4389-43
Διαβάστε περισσότερα(πολλδ β) = πολλδ + ( 1) ν β ΕΥΣΤΡΑΤΙΟΣ ΚΩΣΤΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΜΕΘΟ ΙΚΟ ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ
ΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑ Ορισµός: Λέµε ότι ο ακέραιος β 0διαιρεί το ακέραιο α και γράφουµε β/α, ότα η διαίρεση του α µε το β είαι τέλεια, δηλαδή υπάρχει κ Z τέτοιος ώστε α = κ β. Συµβολίζουµε ότι α = πολβ. Α ο β δε
Διαβάστε περισσότερα1. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών
Το σύολο τω μιγαδικώ αριθμώ Γωρίζουμε ότι η εξίσωση δε έχει λύση στο σύολο τω πραγματικώ αριθμώ Για α ξεπεράσουμε αυτή τη αδυαμία «μεγαλώσαμε» το σύολο και δημιουργήσαμε το σύολο, έτσι, ώστε α έχει τις
Διαβάστε περισσότερα