ΘΕΜΑ 1ο. Α.1. Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί z 1, z 2. Να αποδείξετε ότι: Μονάδες 5

Transcript

1 ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1ο ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Σ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 15 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ TEXΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) Α.1. Δίοται οι μιγαδικοί αιθμοί z 1, z 2. Να αποδείξετε ότι: 1.z2 z1. z2 z Α.2. Α z 1 = 1 (συθ 1 + iημθ 1 ) και z 2 = 2 (συθ 2 + iημθ 2 ) δύο μιγαδικοί αιθμοί σε τιγωομετική μοφή, α γάψετε τα γάμματα της Στήλης Α και δίπλα σε κάθε γάμμα το αιθμό της Στήλης Β έτσι, ώστε α ποκύπτει ισότητα: Στήλη Α Στήλη Β α. z1 z ημ(θ 1 +θ 2 )+iσυ(θ 1 +θ 2 ) β. z 1 z [συ(θ 1 )+iημ(θ 1 )] γ. z συ(θ1 +θ 2 )+iημ(θ 1 - θ 2 ) συ(θ1 - θ 2 )+iημ(θ 1 - θ 2 ) συ(θ 1 +θ 2 )+iημ(θ 1 + θ 2 ) 6. 1 [ημ(θ 1 )-iσυ(θ 1 )] Μοάδες 7,5 ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

2 ΑΡΧΗ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β.1. Να γάψετε στο τετάδιό σας το γάμμα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση. Δίοται οι μιγαδικοί αιθμοί: 2π 2π z 1 = 2 (συ iημ ) και 3 3 z 2 = συ 5 π 5π iημ. 3 3 z Τότε το πηλίκο 1 είαι ίσο με: z 2 Α:2 Β:2i Γ:-2 Δ:-2i Ε:2(1-i) Μοάδες4,5 B.2. Δίεται ο μιγαδικός αιθμός z = 1 + i. Να υπολογίσετε το z 16. Μοάδες 8 ΘΕΜΑ 2ο Α. Θεωούμε το πίακα Α διάστασης (κ 2-2κ - 1) (κ + 2λ - 3 ) και το πίακα Β διάστασης (λ + 1) (3κ - κ 2 + 2), όπου κ και λ θετικοί ακέαιοι. α. Να βείτε τη σχέση που συδέει τα κ και λ, για α οίζεται το γιόμεο Α Β β. Να βείτε τις τιμές τω κ και λ και τις διαστάσεις τω πιάκω Α και Β, για α οίζοται τα γιόμεα Α Β και Β Α ΤΕΛΟΣ 2ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

3 ΑΡΧΗ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Β. Δίεται ο πίακας Α = αποδείξετε ότι: Να α. Α 2 = -Ι, όπου Ι ο μοαδιαίος 2 2 πίακας. Μοάδες 4 β. 2Α Α Α 1999 = 2 Ι, όπου Ι ο μοαδιαίος 2 2 πίακας. ΤΕΛΟΣ 3ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ Μοάδες 6 ΘΕΜΑ 3ο Δίεται η συάτηση f με τύπο f(x) = x 2-3x 2, x - α όπου α παγματικός αιθμός. α. Να βείτε τη τιμή του παγματικού αιθμού α, ώστε η συάτηση f α έχει κατακόυφη ασύμπτωτη τη ευθεία x = 4. β. Να βείτε τη τιμή του παγματικού αιθμού α, ώστε η εφαπτομέη της γαφικής παάστασης της f στο σημείο Μ(1,0) α διέχεται από το σημείο Α(-2,3). γ. Α α>2, α δείξετε ότι υπάχει αιθμός x 0 (1,2) τέτοιος, ώστε η εφαπτομέη της γαφικής παάστασης της f στο σημείο με τετμημέη x 0 α είαι παάλληλη πος το άξοα x x.

4 ΑΡΧΗ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 4ο Σε έα διαγωισμό εός Ογαισμού για τη πόσληψη ποσωπικού, συγκετώθηκα γαπτά υποψηφίω. Κάθε γαπτό διοθώεται από δύο διαφοετικούς βαθμολογητές. Κάθε βαθμολογητής διοθώει 4 φακέλους τω 25 γαπτώ τη ημέα. Για τη διόθωση κάθε γαπτού ο βαθμολογητής αμείβεται με 200 δαχμές. Τη διόθωση συτοίζου δύο επόπτες που αμείβοται με δαχμές τη ημέα. Στο τέλος της διόθωσης όλω τω γαπτώ, κάθε βαθμολογητής παίει επί πλέο ως επίδομα δαχμές αεξάτητα από το αιθμό τω ημεώ που απασχολήθηκε. α. Να αποδείξετε ότι το κόστος Κ(x) σε χιλιάδες δαχμές για τη διόθωση όλω τω γαπτώ, δίεται από τη συάτηση: 16 Κ(x) = 10 (x ) x όπου x ο αιθμός τω βαθμολογητώ που απασχολούται. Μοάδες 13 β. Πόσοι πέπει α είαι οι βαθμολογητές, ώστε το κόστος της διόθωσης α είαι ελάχιστο; Μοάδες 8 γ. Να βείτε το ελάχιστο κόστος του β. εωτήματος και το αιθμό τω ημεώ που απασχολήθηκα οι βαθμολογητές για τη διόθωση τω γαπτώ. Μοάδες 4 ΤΕΛΟΣ 4ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ

5 ΑΡΧΗ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομέους) 1. Στο τετάδιο α γάψετε μόο τα ποκατακτικά (ημεομηία, κατεύθυση, εξεταζόμεο μάθημα). Τα θέματα α μη τα ατιγάψετε στο τετάδιο. Τα σχήματα που θα χησιμοποιήσετε στο τετάδιο μποού α γίου και με μολύβι. 2. Να γάψετε το οοματεπώυμό σας στο πάω μέος τω φωτοατιγάφω αμέσως μόλις σας πααδοθού. Καμιά άλλη σημείωση δε επιτέπεται α γάψετε. Κατά τη αποχώησή σας α πααδώσετε μαζί με το τετάδιο και τα φωτοατίγαφα, τα οποία και θα κατασταφού μετά το πέας της εξέτασης 3. Να απατήσετε στο τετάδιό σας σε όλα τα θέματα. 4. Κάθε λύση επιστημοικά τεκμηιωμέη είαι αποδεκτή. 5. Διάκεια εξέτασης: Τεις (3) ώες μετά τη διαομή τω φωτοατιγάφω. 6. Χόος δυατής αποχώησης : Μια (1) ώα μετά τη διαομή τω φωτοατιγάφω. KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ ΤΕΛΟΣ 5ΗΣ ΣΕΛΙΔΑΣ