2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja"

Transcript

1 Glava 2 Kinematika Gde god da pogledamo oko nas, možemo da uočimo tela u kretanju (u fizici je uobičajeno a se kaže u stanju kretanja ). Čak i kada smo u stanju mirovanja, naše srce kuca i na taj način tera krv da struji kroz krvne sudove. Proučavanje i razumevanje kretanja je interesantno često iz potpuno praktičnih razloga. Na primer, možemo da se zapitamo gde će fudbalska lopta pasti ako se šutne pod odredjenim uglom u odnosu na horizontalu i nekom početnom brzinom. Osim ovih, praktičih, razloga postoje i drugi zbog kojih se, pre nego što se krene u druge oblasti fizike, mora posvetiti odredjena pažnja upravo kretanju tela. Odredjeni pojmovi, koji se uvode kada se proučava kretanje, kao što je na primer ubrzanje, su osnova za kasnije uvodjenje drugih veličina, recimo sile. 1 Iz svakodnevnog iskustva mi imamo predstavu o kretanju kao o neprekidnoj promeni u položaju nekog tela. Sva kretanja u fizici, možemo da kategorišemo u tri tipa kretanja: translatorno, rotaciono i vibraciono (oscilatorno). Automobil koji se kreće auto putem je primer translatornog kretanja, Zemljina rotacija oko sopstvene ose je primer rotacionog kretanja, a kretanje klatna vibracionog. 2.1 Kinematika jednodimenzionog kretanja Formalno izučavanje fizike stoga obično kreće od oblasti koja se naziva kinematika, koja se može definisati kao oblast fizike koja se bavi proučavanjem 1 Može da se kaže da zapravo postoji odredjeni logički niz pojmova koji se uvode u okviru fizike. 29

2 30 GLAVA 2. KINEMATIKA kretanja, bez uzimanja u obzir masa tela i sila koje deluju medju njima. 2 Proučavanje kretanja tela je nešto što je oduvek zanimalo ljudski rod i svakako je predstavljalo predmet interesovanja i u vremena koje istorija nije zabeležila. Prvi zapisani tragovi posvećeni proučavanju kretanja se odnose na kretanje Sunca i planeta po nebu. Interesovanje koje je pobudjivalo njihovo kretanje je, puno vekova kasnije, dovelo do ideje o postojanju gravitacije i do revolucionarne ideje da Zemlja nije centar Vasione. Pozabavimo se za početak, najprostijim tipom kretanja, translatornim kretanjem po pravoj liniji, odnosno jednodimenzionalnim kretanjem. Pri proučavanju translatornog kretanja koristićemo čestični model, odnosno model materijalne tačke, prema oome se dimenzije tela zanemaruju odnosno tela smatramo geometrijskim tačkama. Ako na primer, opisujemo kretanje Zemlje oko Sunca, i pri tom ne uzimamo u obzir njihove dimenzije već ih tretiramo kao materijalne tačke, mogli bi da pomislimo da na taj način činimo velike greške. Medjutim, rezultati koji se na taj način dobijaju su ipak veoma tačni, a razlog je taj što je poluprečnik Zemljine orbite mnogo veći od dimenzija Zemlje i Sunca. 3 Ukoliko pak proučavamo kretanje tela u blizini Zemljine površine, Zemlju očigledno ne možemo smatrati materijalnom tačkom. Na osnovu ovih primera nameće se zaključak da telo možemo smatrati materijalnom tačkom jedino onda, ukoliko je njegova putanja takva, da se ono kreće po prostoru koji je mnogo veći od dimenzija samog tela Putanja, put i pomeraj Kretanje materijalne tačke se smatra u potpunosti poznatim, ukoliko se zna njen položaj u prostoru za svaki momenat vremena. Da bi medjutim mogli da odgovorimo na ovo pitanje, odnosno da bi mogli da se bavimo opisivanjem promena položaja tela, prvo moramo da budemo u stanju da definišemo sam položaj, odnosno da umemo da definišemo gde se telo, u datom momentu, nalazi. Položaj tela odredjujemo uvek u odnosu na neki referentni sistem. 4 2 Reč kinematika potiče iz grčkog jezika i odnosi se na kretanje, a takodje je ima i u drugim jezicima, na primer engleskom cinema-film, ili pak kinesiology - proučavanje ljudskog kretanja. 3 Drugi primer je posmatranje kretanja molekula gasa koji se nalaze u nekom sudu i objašnjenje pritiska koji se na taj način stvara, kao posledica njihovih udara u zid suda. U ovom prilazu se molekuli gasa tretiraju kao materijalne tačke, iako je reč o molekulima koji imaju odgovarajuću unutrašnju strukturu. Rezultati ovakvog modela su dobroj saglasnosti sa eksperimentom, što i opravdava njegovu primenu. 4 Obično se kaže da se prati promena položaja datog tela u odnosu na neko, takozvano, referentno telo, za koje se a priori pretpostavlja da je nepokretno. Koordinanti sistem koji

3 2.1. KINEMATIKA JEDNODIMENZIONOG KRETANJA 31 Kada proučavamo kretanje tela na Zemlji, najčešće se za nepokretno telo uzima upravo Zemlja i za nju vezuje referentni sistem. Ponekad je zgodnije da se koristi neki drugi referentni sistem, npr, sistem reference vezan za voz koji se kreće po pruzi (slika 2.1). Slika 2.1: Putnik se kreće od prednjeg ka zadnjem kraju vagona. Njegov (relativan) položaj u odnosu na vagon je označen sa x. Pomeraj putnika u odnosu na vagon je - 10 m i predstavljen je strelicom usmerenom ka zadnjem kraju vagona. Ako povežemo niz tačaka u kojima je materijalna tačka bila u datim vremenskim intervalima, dobijamo neprekidnu krivu koja predstavlja putanju ili trajektoriju tela. Deo putanje tela, koji je ono prešlo za posmatrani vremenski interval se naziva put. Ako se neko telo kreće u odnosu na sistem reference (na primer nastavnik koji se na slici kreće na desno u odnosu na Zemlju (slika 2.2) i putnik koji se kreće ka zadnjoj strani vagona (slika 2.1)), to znači da mu se položaj u prostoru menja sa vremenom. Pomeraj se definiše kao promena položaja tela. 5 SI jedinica za pomeraj je metar (m), ali se ponekad, iz praktičnih razloga koristi kilometar (km), ili neke druge jedinice dužine. Ukoliko je se telo iz položaja čija je koordinata x 1 pomerilo u položaj u kome mu je koordinata x 2, pomeraj x je odredjen relacijom 6 x = x 2 x 1. (2.1) Valja primetiti da je pomeraj odredjen i smerom i intenzitetom. Nastavnikovo pomeraj je 2,0 m na desno, a pomeraj putnika je 10 m ka zadsmo postavili tako da je fiksiran (vezan) za to referentno telo se naziva sistem reference. 5 Termin pomeraj implicira da se telo pri promeni položaja u prostoru na neki način kreće ili pomera. 6 Napomenimo da će, skoro uvek, u tekstu ove knjige velikim grčkim slovom biti označena promena neke veličine čiji će simbol biti napisan uz njega. U tom smislu, x znači da je reč o promeni položaja koji je, prilikom kretanja u jednoj dimenziji, odredjen poznavanjem koordinate x.

4 32 GLAVA 2. KINEMATIKA njem delu vagona. Kada je reč o jednodimenzionalnom kretanju, smer će biti odredjen predznakom plus ili minus. Nastavnikov položaj je u početku bio x 1 = 1, 5 m, a konačan x 2 = 3, 5 m, pa je pomeraj x = x 2 x 1 = 3, 5 m 1, 5 m = +2, 0 m. Pomeraj na desno (u pravu pozitivnog dela x ose koja nam služi za odredjivanje položaja tela) je pozitivan, dok je pomeraj na levo negativan. Na sličan način je, ako je početni položaj putnika (u odnosu na vagon) bio x 1 = 12 m, a konačan x 2 = 2, 0 m, njegov pomeraj x = x 2 x 1 = 2, 0 m 12 m = 10 m. Dakle, njegovo kretanje ka zadnjem delu vagona, u sistemu reference vezanom za vagon i sa x osom usmerenom u smeru kretanja vagona, ima negativan pomeraj. Slika 2.2: Nastavnik se kreće na desno dok drži predavanja. Pri ovim razmatranjima je neophodno praviti razliku izmedju predjenog puta i pomeraja tela. To svakako nisu iste veličine a u to se možemo uveriti na sledećem primeru. Kada ujutro krenemo od kuće na fakultet, a uveče se vratimo kući, naš pomeraj je nula (jer smo se vratili u istu polaznu tačku), ali predjeni put svakako nije, već je jednak makar dvostrukom rastojanju kuće i fakulteta Vektori i skalari Veličine koje su odredjene intenzitetom, pravcem i smerom nazivaju se vektori. Pomeraj je takva veličina a drugi primeri su: brzina koja, da bi se potpuno poznavala mora da bude zadata na, recimo sledeći, način - telo se kreće brzinom 90 km/h na istok, sila od 400 N je usmerena na niže, Podsetimo se još jednom da je smer vektora u jednodimenzionalnom kretanju odredjen samo predznakom (koji može biti plus ili minus).

5 2.2. VREME I BRZINA 33 Na slikama 2.2 i 2.1 je prekazano kako vektorske veličine mogu da se predstave strelicom. Strelica imaju dužinu proporcionalnu intenzitetu vektora a pravac i smer im se poklapaju sa pravcem i smerom date fizičke veličine. Za neke fizičke veličine nije potrebno poznavati pravac i smer delovanja jer ih - nemaju. Svaka takva veličina, za čije poznavanje je dovoljno da se zna samo njena brojčana vrednost (ne i pravac i smer) se naziva skalar. Na primer: temperatura vazduha je 20 0 C, visina čoveka je 1,8 m. Primetimo da, iako skalar može da bude negativan (na primer dobro poznate negativne temperature u stepenima Celizijusa), taj predznak ne označava smer date veličine već govori samo o tome gde se na datoj skali nalazi očitana temperatura. 2.2 Vreme i brzina Da bi se u potpunosti poznavalo kretanje nekog tela, nije dovoljno znati njegov pomeraj. Osim pomeraja potrebno je znati koliko dugo i kojom brzinom se telo kretalo pri pomeranju sa jednog mesta na drugo. Na ovakva pitanja ne moě da se odgovori bez uvodjenja novih fizičkih veličina Vreme U vezi vremena postoji mnogo pitanja na koja ne postoje odgovori. Na primer, da li je moguće promeniti mu smer? Da li vreme ima apsolutni početak, a ako ga ima da li ima i kraj? Bez obzira na to što za sada ne postoje zadovoljavajući odgovori na ova pitanja, to ne umanjuje našu sposobnost da sa vremenom operišemo u praktičnom smislu. Svako merenje vremena podrazumeva zapravo merenje promene neke fizičke veličine. To može biti broj na digitalnom satu, otkucaji srca ili pak položaj Sunca na nebu..., odnosno, sve to je izazvano promenama nekih fizičkih veličina koje se ispoljavaju u tim efektima koje uočavamo. 8 SI jedinica za vreme je, kao što je napomenuto u prethodnoj glavi, sekunda (s). Kakva je uloga vremena prilikom kretanja? Obično nas zanima interval 8 Vreme je u fizici povezano sa promenama u sistemu. To iskazuje činjenicu da je nemoguće znati da li vreme prolazi ukoliko se nešto ne menja. Količina proteklog vremena je kalibrisana poredjenjem sa standardima vremena. Na primer, matematičko klatno koje izvrši jednu punu oscilaciju za 0,75 s može da se koristi za merenje vremena tako što se broje njegove oscilacije ili se pak ono poveže na neki satni mehanizam koji bi na brojčaniku pokazao iznos proteklog vremena.

6 34 GLAVA 2. KINEMATIKA proteklog vremena u toku odredjenog kretanja. 9 Da bi našli interval proteklog vremena, mi moramo da odredimo početni i krajnji trenutak i da ih oduzmemo. Na primer, ako čas počinje u 9.00 pre podne i završava se u 9.45 takodje pre podne, interval proteklog vremena je 45 minuta. Formalno, obzirom da koristimo simbol t za vreme, interval vremena t je razlika izmedju krajnjeg vremenskog trenutka t 2 i početnog t 1, odnosno t = t 2 t 1. (2.2) Sve biva znatno prostije ukoliko početni vremenski trenutak proglasimo za nulti, odnosno ako za merenje vremenskog intervala iskoristimo štopericu. Ukoliko je t 1 = 0, vremenski interval se obično zapisuje kao t = t 2 = t Brzina Intuitivno poimanje brzine je praktično istovetno naučnom. Naime, ukoliko telo za male vremenske intervale doživljava velike pomeraje, znači da se kreće velikom brzinom. U tom smislu, jedinica brzine se dobija kada jedinicu za rastojanje podelimo jedinicom vremena (na primer km/h). Kako telo ne mora stalno da se kreće jednakom brzinom na nekom putu, potrebno je uvesti pojam srednje brzine. Srednja brzina, v, se definiše kao pomeraj podeljen intervalom vremena za koji se desio 10 v = x t = x 2 x 1 t 2 t 1. (2.3) Ovakva definicija ukazuje na to da je i brzina vektorska veličina. Ako se početni trenutak nulti, srednja brzina je v = x/t. Ukoliko pretpostavimo da je, u ranije razmatranom primeru (slika 2.1) putniku u vozu bilo potrebno 20 s da dodje do zadnjeg kraja vagona, tada je njegova srednja brzina v = x/t = ( 10 m)/(20 s) = 0, 50 m/s. Minus znak ukazuje na to da je brzina usmerena ka zadnjem kraju vagona. SI jedinica za brzinu je m/s, ali se često koriste i jedinice km/h, cm/s, a u nekim zemljama i mi/h (milja na čas). Poznavanje srednje brzine nije dovoljno za potpuno poznavanje kretanja jer na osnovu njene vrednosti ne možemo reći ništa o tome šta se dešavalo sa telom izmedju početne i krajnje tačke. Da bi se dobila dodatna informacija, potrebno je razmatrati sve manje delove ukupnog pomeraja a onda njih 9 Na primer, može da nas interesuje koliko vremena je potrebno putniku prikazanom na slici 2.1, da ode od prednjeg do zadnjeg kraja vagona. 10 Srednja brzina, kao vektorska veličina, u skladu sa ovom definicijom ima isti pravac i smer kao i pomeraj.

7 2.2. VREME I BRZINA 35 deliti, sve manjim i manjim, intervalima vremena za koje su se desili (slika 2.3). Slika 2.3: Detaljnija slika kretanja putnika kroz vagon (u sistemu reference vezanom za vagon, koja pokazuje manje segmente njegovog puta i odgovarajuće pomeraje. Svaki od tih segmenata ima sopstvenu srednju brzinu. Što su manji ovi segmenti, to je dobijena potpunija slika o kretanju. Ako taj proces nastavimo tako što ćemo intervale smanjiti jako puno, dobijamo takozvani infinitezimalni interval. U tom slučaju srednja brzina postaje trenutna, odnosno odnosi se na neki vremenski trenutak. 11 Tačnije rečeno, trenutna brzina v je srednja brzina za infinitezimalno mali vremenski interval Ubrzanje U svakodnevnoj komunikaciji termin ubrzanje se odnosi na povećanje brzine. Što je veće ubrzanje, to je veća promena u brzini tela za dati interval vremena. Formalna definicija ubrzanja, kao fizičke veličine, je u skladu sa 11 Trenutna brzina kretanja automobila se, na primer, očitava na njegovom brzinomeru. 12 Odredjivanje trenutne brzine v u nekom momentu vremena t se svodi zapravo na izračunavanje granične vrednosti odnosa pomeraja i vremenskog intervala za koji je izvršen.

8 36 GLAVA 2. KINEMATIKA ovom predstavom ali je malo sadržajnija. Ubrzanje je fizička veličina koja pokazuje iznos promene brzine za posmatrani interval vremena. Srednje ubrzanje je, prema tome, ā = v t = v 2 v 1 t 2 t 1. (2.4) Jedinica za ubrzanje direktno proističe iz njegove definicije i iznosi m/s 2. Ubrzanje je vektorska veličina (kao i brzina), i ima isti pravac i smer kao promena brzine v. Medjutim, pošto je brzina vektor, to znači da, osim promene intenziteta, ona može da se menja i po pravcu i smeru. 13 Što je telo naglije promenilo svoju brzinu to je veće ubrzanje. Prema tome, telo poseduje ubrzanje uvek kada se brzina menja, bilo po intenzitetu, bilo po pravcu, ili na oba načina. P r i m e r X. U trci konja na hipodromu, konji ubrzavaju iz stanja mirovanja do brzine 15,0 m/s, za 1.80 s, u smeru istok-zapad. Izračunati srednje ubrzanje. R e š e nj e. Kako se brzina konja menja od 0 do 15,0 m/s, u smeru zapada, promena brzine je jednaka konačnoj brzini, odnosno v = v 2 0 = 15, 0 m/s. Srednje ubrzanje je, prema tome, ā = v t = 15, 0 m/s 1, 80 s = 8, 33 m/s 2, i usmereno je ka zapadu. Napomenimo da ovaj rezultat kazuje da se brzina konja, u proseku, svake sekunde poveća za 8,33 m/s. Uvodjenje srednjeg ubrzanja, slično kao i kada je bilo reči o brzini i njenoj srednjoj vrednosti, ukazuje na to da je reč o fizičkoj veličini koja u realnosti može da varira. P r i m e r X. Grafik ubrzanja u zavisnosti od vremena za slučaj kada se ubrzanje veoma malo menja i u vek je usmereno u isto smeru. Srednja vrednost ubrzanja po celom vremenskom intervalu je približno jednaka ubrzanju u bilo kom momentu vremena. Trenutno ubrzanje a, je ubrzanje u odredjenom trenutku vremena i dobija se na analogan način kao i trenutna brzina, razmatranjem promene brzine u malom - infinitezimalnom intervalu vremena. Da li je, medjutim moguće odrediti trenutno ubrzanje korišćenjem samo algebre? Tačnije da li 13 Kada automobil skrene na raskrsnici ne menjajući intenzitet brzine, ipak postoji ubrzanje jer se brzina tela promenila po pravcu.

9 2.2. VREME I BRZINA 37 Slika 2.4: Slika 2.5: Primer grafika zavisnosti ubrzanja od vremena na osnovu izmerenih vrednosti ubrzanja datih tabelarno.

10 38 GLAVA 2. KINEMATIKA nam je neophodno da ga poznajemo uvek i da li je, makar ponekad, moguće odrediti ga, bez korišćenja metoda više matematike. U tu svrhu je dobro razmotriti primere dva, veoma različita, kretanja čije su zavisnosti ubrzanja od vremena predstavljene na slikama (2.4) i (2.5). Kod prvog kretnja, ubrzanje se veoma malo menja sa vremenom, i njegova srednja vrednost po celom vremenskom intervalu predstavljenom na ovom grafiku, je približnoj jednako trenutnoj vrednosti ubrzanja u bilo kom momentu vremena. Na drugoj slici je prikazan slučaj kada se ubrzanje drastično menja sa vremenom. U takvom slučaju je potrebno da se razmatraju, relativno mali vremenski intervali (reda sekunde), unutar kojih je ubrzanje približno konstantno Pravolinijsko kretanje sa konstantnim ubrzanjem Pretpostavimo sada, da posmatramo kretanje tela konstantnim ubrzanjem. Ako je to tako, znači da nam nije neophodan infinitezimalni račun jer će i srednje i trenutno ubrzanje biti jednaki, odnosno važiće ā = a. (2.5) Uvedimo, kao i ranije, neke pretpostavke koje će uprostiti dalja razmatranja. Neka je, početni vremenski trenutak t 1 = 0 s, odnosno da vremenski intervali merimo štopericom. Tada će vremenski interval t = t 2 t 1 biti predstavljen kao t = t 2 = t, gde je t vreme koje je pokazala štoperica. Ako smo početno vreme definisali kao nulto, onda i početna koordinata i početna brzina imaju u oznakama indekse koji ukazuju na to. Tako je, na primer, početna koordinata x 0 a početna brzina v 0, dok se finalne vrednosti označavaju prosto sa x, v, t. Na osnovu ovih uprošćavanja jednačina (2.3) glasi v = x x 0, t koju, kada rešimo po koordinati x, daje x = x 0 + vt, (2.6) (za konstantno ubrzanje), gde je srednju brzinu moguće odrediti na osnovu izraza v = v 0 + v. (2.7) 2 P r i m e r X. Džoger trči srednjom brzinom 4,00 m/s 2 oko 2,00 minuta. Koja mu je konačna pozicija nakon tog vremena ako se u početku nalazio u koordinatnom početku?

11 2.2. VREME I BRZINA 39 R e š e nj e. Konačni položaj je dat jednačinom (2.6)u kojoj je x 0 = 0, v = 4, 00 m/s 2 a vremenski interval je t = 120 s, tako da je konačna pozicija džogera x = x 0 + vt = 0 + (4, 00 m/s)(120 s) = 480 m. Na sličan način, jednačina (2.4) postaje a = v v 0 t, odakle je v = v 0 + at. (2.8) P r i m e r (Usporavanje aviona pri sletanju) Avion sleće početnom brzinom 70,0 m/s i usporava 1,50 m/s 2 narednih 40,0 s. Kolika mu je konačna brzina na kraju tog vremenskog intervala? R e š e nj e. Konačna brzina aviona nakon navedenog intervala je nalazi na osnovu jednačine (2.8) u koju treba za početnu brzinu v 0 zameniti 70,0 m/s, dok je ubrzanje jednako -1,5 m/s 2, obzirom da avion usporava (što u stvari znači da je ubrzanje suprotno usmereno od brzine), dok je vreme jednako 40 s v = v 0 + at = 70, 0 m/s + ( 1, 50 m/s 2 )(40 s) = 10 m/s. Primetimo da je ova brzina znantno manja od početne ali se avion i nakon isteka 40 s još uvek kreće. 14 Slika 2.6: Avion pri sletanju ima početnu brzinu od 70 m/s i usporava do brzine 10 m/s. Ubrzanje je negativno jer je suprotno usmereno od brzine, odnosno smera kretanja. Kombinovanje jednačina (2.6), (2.7) i (2.8) dovodi do još jedne korisne jednačine na sledeći način. Ako jednačini (2.8) dodamo v 0 sa (to znači da obema stranama jednačine moramo dodati ovu vrednost) i podelimo sa 2, dobija se v 0 + v = v at, 14 Da bi avion nakon sletanja stao, potrebno je ili duže vreme kočenja ili veće ubrzanje (suprotno usmereno od početne brzine). Na osnovu iste relacije može da se izvrši analiza oba načina zaustavljanja aviona, što se ostavlja čitaocu za samostalnu vežbu.

12 40 GLAVA 2. KINEMATIKA pri čemu je (v 0 +v)/2, odredjeno izrazom (2.7) i predstavlja v, što prethodni izraz prevodi u v = v at. Ako se sada ovaj izraz zameni u jednačinu (2.6), dobija se x = x 0 + v 0 t at2. (2.9) Još jedna važna jednačina može da se dobije ako se (2.8) reši po vremenu, i rezultat zameni u jednačinu (2.9) što daje v 2 = v a(x x 0 ), (2.10) koja, važi samo za slučaj kada je ubrzanje konstantno. P r i m e r. Na suvom asfaltu automobil, prilikom kočenja, usporava 7,00 m/s svake sekunde, dok kada je asfalt mokar brzina mu se, kada zakoči, smanjuje 5,00 m/s svake sekunde. Odrediti nakon koliko predjenih metara se, prilikom kočenja, automobil koji se kretao brzinom od 108 km/h, zaustavlja (a) ako se kreće po suvom, (b) ako se kreće po vlažnom kolovozu. R e š e nj e. Domaći Slobodni pad tela u gravitacionom polju Padanje tela u gravitacionom polju je veoma interesantan tip kretanja. Na primer, na osnovu bacanja kamena u dubok bunar i merenja vremena koje mu je potrebno da padne do površine vode, može da se proceni put koji je on pri tome prešao odnosno da se odredi na kojoj se dubini nalazi voda. Primenjujući kinematičke jednačina na ovaj i slične slučajeve, može dosta da se nauči o delovanju gravitacije. Verovatno najznačajnija i možda neočekivana činjenica vezana za pad tela u gravitacionom polju, je da, ako zanemarimo uticaj vazduha na kretanje tela (odnosno trenje koje se pri tome javlja), sva tela koja padaju ka centru Zemlje pri tome imaju isto ubrzanje koje je nezavisno od njihove mase (vidi slike 2.7 i 2.8). 15 Ova eksperimentalno utvrdjena činjenica je bila neočekivana, jer smo mi priviknuti na efekat otpora vazduha i trenja koje se pri tome javlja, tako da 15 Ovo je inače opšta karakteristika gravitacije i nije vezana samo za Zemlju. To je prvi put u praksi provereno na Mesecu, kada je astronaut Dejvid Skot (David R. Scott), izveo ogled koji je pokazao da i pero i čekić na isti način padaju, što znači da pri tome imaju isto ubrzanje koje za Mesec iznosi 1,67 m/s 2. Napomenimo da na Mesecu, s obzirom na to da on skoro da nema atmosferu, otpor padanju tela praktično ne postoji.

13 2.2. VREME I BRZINA 41 Slika 2.7: Padanje knjige, čekića i buketa cveća u vazduhu. Usled postojanja trenja pri kretanju kroz vazduh, za jednake vremenske intervale ova tela neće preći iste puteve. Slika 2.8: Ista tela, u situaciji kada nema otpora vazduha (kada bi se našla u vakuumu) bi za jednake vremenske intervale prešla iste puteve.

14 42 GLAVA 2. KINEMATIKA očekujemo da lakša tela sporije padaju od težih. Za tela koja padaju bez uticaja otpora vazduha, odnosno odgovarajućeg trenja, se kaže da slobodno padaju. Kako padanje tih tela izaziva gravitaciona sila, ubrzanje koje se pri tome javlja se naziva gravitaciono ubrzanje. Ovo ubrzanje je konstantno, što znači da se na slobodni pad mogu primeniti sve kinematičke jednačine dobijene u prethodnoj sekciji. Gravitaciono ubrzanje koje se pri slobodnom padu javlja je toliko značajno da se označava posebnim slovom g. Za dato mesto na Zemlji ono je konstantno a njegova srednja vrednost je 16 g = 9, 80 m/s 2. (2.11) Smer ovog ubrzanja je na dole a njegov pravac nam u stvari služi da definišemo pojam vertikalnosti. 17 Odredjivanje g iz posmatranja padanja tela Ubrzanje Zemljine teže može da se odredi na više načina 18 a ovde će biti opisan jedan od najjednostavnijih. Neko telo, najzgodnije je da to bude metalna lopta za koju je otpor vazduha zanemarljiv se pušta da pada i da, za izmereno vreme, predje neko poznato rastojanje (slika 2.9). Pažljiva merenja vremena potrebnog za ovakvo kretanje mogu da posluže da se ubrzanje Zemljine teže odredi na veoma precizan načina. Neka je posmatrano telo, za 0,45173 s prešlo pri ovakvom kretanju put od 1,000 m (pri čemu pri merenju ovih vrednosti postoji nesigurnost u odredjivanju poslednjih cifara u smislu u kojem je to navedeno u prvoj glavi). 16 Iako g varira od 9,78 do 9,83 m/s 2, u zavisnosti od geografske širine i visine, i u zavisnosti od sastava Zemlje, lokalne topografije, srednja vrednost 9,80 m/s 2 se koristi ako nije drugačije naglašeno. 17 Galileo Galilei ( ), jedan od najvećih naučnika svih vremena, je prvi pokazao da tela koja slobodno padaju imaju isto ubrzanje. Legenda kaže da je Galilej tu karakteristiku gravitacije demonstrirao puštajući tela različitih masa da padaju sa Krivog Tornja u Pizi, mada nema ni jednog istorijskog podatka koji bi to potvrdio. U svakom slučaju on je prvi izvršio u laboratoriji eksperimente koji su pokazali da u vazduhu, pri postojanju otpora odnosno trenja, razna tela padaju na razne načine, u zavisnosti od njihove mase. Medjutim, u uslovima kada su ovi efekti mogli da se zanemare (kada bi vakuumirao cev kroz koju su se kretala tela) sva tela su padala na isti način. Važnije od ovog otkrića u vezi gravitacije je činjenica da je on prvi uveo eksperiment kao osnovni metod za proveru i utvrdjivanje zakonitosti koje vladaju u prirodi. 18 Dva načina za odredjivanje vrednosti g su opisana u Praktikumu eksperimentalnih vežbi iz fizike, navedenom u literaturi. Jedan se zasniva na osnovnim karakteristikama kretanja matematičkog klatna a drugi na osnovu kretanja tela niz Galilejev žleb.

15 2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 43 Slika 2.9: Uzastopni položaji tela pri slobodnom padu u polju Zemljine teže. Jednačina (2.9), za kretanje tela bez početne brzine (v 0 = 0), pri čemu se položaj tela opisuje koordinatom y, je y = y at2. Reši li se ova jednačina po ubrzanju, dobija se a = 2(y y 0) t 2. Kako je početni položaj tela bio na visini y 0 = 1, 0000 m, a konačni na y = 0 m, na osnovu izmerenog vremena padanja tela, za ubrzanje se dobija a = 2( 1, 0000 m) (0, s) 2 = 9, 801 m/s 2. Znak minus koji je dobijen pri izračunavanju gravitacionog ubrzanja ukazuje na njegov smer na dole. 2.3 Kinematika kretanja u dve dimenzije U prirodi se retko srećemo sa, do sada opisivanim, kretanjima duž prave linije. Drugim rečia, mnogo su češća kretanja po krivim linijama. Kretanje

16 44 GLAVA 2. KINEMATIKA tela po krivoj liniji na nekoj ravnoj površi (bilijarska lopta na stolu, klizanje tela po ledu,...) je kretanje u dve dimenzije, i prema tome opisuje se odgovarajućom dvodimenzionalnom kinematikom. Kretanje tela u prirodi, u principu ne moraju da budu ograničena na ravan (na primer automobili koji se kreće putem sa serpentinama, osim kretanja po krivoj liniji, menja i svoju nadmorsku visinu), i u tom slučaju se opisuju trodimenzionalnom kinematikom. 19 U čemu se ogleda glavna razlika kretanja tela u jednoj i dve dimenzije? Da bi odgovorili na ovo pitanje proanalizirajmo neke primere dvodimenzionalnih kretanja. Pretpostavimo da, u gradu koji se sastoji iz identičnih blokova zgrada, kao na slici 2.10 treba da dodjemo iz mesta označenog sa A u drugu mesto, odnosno tačku označenu sa B. Ako bi smo za kretanje koristili helikopter onda bi mogli da iz jedne u drugu tačku dodjemo najkraćim mogućim putem koji bi bio prava linija ( AB). Medjutim ako pešačimo ili idemo atuomobilom, jedna od mogućnosti za kretanje bi mogla da bude ona prikazana na slici 2.10, preko tačke P. Slika 2.10: Da bi pešak došao od tačke A do tačke B preko tačke P treba da prodje = 14 blokova zgrada. Kada bi mogao da ide pravom linijom od tačke A do tačke B prošao bi kraći put. Koliko bi, medjutim, bilo rastojanje koje bi trebalo preći helikopterom 19 I kretanje tela u dve a i u tri dimenzije se može smatrati proširenjem jednodimenzionalne kinematike koja je uvedena u prethodnom poglavlju. Takva generalizacija nam omougućuje da primenimo fizičke zakonitosti na realističnije situacije ali nas takodje dovodi i do nekih novih zaključaka.

17 2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 45 po pravoj liniji 20 od jedne do druge tačke? Ona se može dobiti primenom Pitagorine teoreme na pravougli trougao AP B, što daje = 10, 3 blokova zgrada. Uočavamo da je ovo rastojanje naravno manje od rastojanja koje je prešao pešak a koje iznosi 14 blokova. 21 Proanalizirajmo sada kretanje dve kugle u gravitacionom polju koje sa iste visine počinju kretanje. Pri ovome, jedna slobodno pada (bez početne brzine), a drugoj je saopštena početna brzina u horizontalnom pravcu. 22 Slika 2.11: Skica kretanja dve lopte u polju Zemljine teže. Tamno osenčena počinje da pada iz stanja mirovanja, dok druga ima početnu brzinu u horizontalnom pravcu. Sve sukcesivne pozicije lopti se razlikuju za isti vremenski interval. Ukoliko bi fotografisali položaje lopti pri njihovom istovremenom padu, 20 Odnosno po liniji duž koje je rastojanje od tačke A do tačke B najmanje. 21 Ovaj rezultat je primer generalne karakteristike vektorskih veličina koja se sastoji u tome da se takve veličine, ukoliko nisu istog pravca i smera, ne sabiraju kao obični brojevi. Naime, ova dva pomeraja koja su načinjena pri kretanju na jedan, odnosno drugi, način jesu vektori za koje važi AP + P B = AB. Dužina strelica kojima predstavljamo vektore je proporcionalna njihovoj dužini što je jasno naznačeno na slici Kako je pravac ubrzanja Zemljine teže, g, upotrebljen za definisanje vertikalnog pravca, pravac koji zovemo horizontalnim se nalazi pod pravim uglom u odnosu na pravac gravitacionog ubrzanja.

18 46 GLAVA 2. KINEMATIKA u jednakim vremenskim intervalima, dobili bi niz fotografija koje bi izgledale kao na slici Na prvi pogled iznenadjuje činjenica da su se obe lopte stalno nalazile na istim vertikalnim rastojanjima u jednakim vremenskim intervalima. Medjutim, pošto je to tako, moramo da zaključimo da je vertikalno kretanje nezavisno od horizontalnog (koje nije isto za obe lopte). Razlog je u tome što se obe lopte nalaze u istom gravitacionom polju i što su obe krenule sa istom vertikalnom početnom brzinom (jednakom nuli). I kako pri pradu imaju isto ubrzanje g iz toga proizilazi i da će prelaziti jednake puteve. Kada je reč o kretanju druge lopte u horizontalnom pravcu, merenja horizontalnih pomeraja bi pokazala da su oni jednaki za jednake vremenske intervale. I ovo nije sasvim neočekivana činjenica ako se ima u vidu da je jedino ubrzanje usmereno vertikalno a da je komponenta brzine lopte u horizontalnom pravcu stoga stalno konstantna i jednaka početnoj brzini. Putanja druge lopte nije prava već kriva linija 23 jer je njeno kretanje sastavljeno iz dva nezavisna jednodimenzionalna kretanja Kosi hitac Kada se telo kreće kroz vazduh, nekom početnom brzinom v 0, koja zaklapa ugao θ 0 u odnosu na horizontalu i samo pod uticajem gravitacije, kaže se da se kreće kao kosi hitac. Tipičan primer ovakvog kretanja je kretanje lopte, nakon šutiranja iz slobodnog udarca u fudbalu, let skijaša pri skoku,..., čija putanja je, do njihovog pada na Zemlju, karakteristična kriva linija. Da bi smo uspeli da ovaj tip kretanja dobro proučimo, iskoristićemo činjenicu da su kretanja duž dve uzajamno normalne ose nezavisna. U tom smislu je, početak u u analizi kosog hica, dekomponovanje njegovog kretanja na jedno koje se odvija duž horizontalne i drugo koje se odvija duž vertikalne ose. 25 Uobičajeno je da horizontalna osa bude označena kao x a vertikalna kao y osa. Komponente ubrzanja tela pri ovakvom kretanju su, a x = 0 i a y = g = 9, 80 m/s 2. Obe komponente ubrzanja su konstantne pa se jednačine (2.8) do (2.9) mogu primenjivati i na x i na y komponentu kretanja. Kao što je već napomenuto, prvi korak u analizi krivolinijskog kretanja 23 Ona se može dobiti ako spojimo linijom njene uzastopne položaje. Nije teško pokazati da je ova linija u stvari parabola. 24 U stvari ova dekompozicija kretanja na dva nezavisna, u dva medjusobno ortogonalna pravca, je ključni korak koji se veoma često primenjuje u analizi krivolinijskog kretanja. 25 Ovo je najprirodniji izbor koordinatnih osa jer ubrzanje Zemljine teže u tom slučaju ima pravac vertikalne ose, dok u pravcu horizontalne nema nikakvog ubrzanja.

19 2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 47 Slika 2.12: Parabolična putanja tela izbačenog nekom brzinom v 0 i pod nekim uglom θ 0 u odnosu na horizont. je, njegovo dekomponovanje na dva, pogodno izabrana, uzajamno ortogonalna pravca. U ovom slučaju su to x i y pravac (slika 2.12). Komponente pomeraja duž tih osa će biti takodje označene sa x i y. Komponente brzine v su v x = v cos θ i v y = v sin θ, gde je v intenzitet vektora brzine a θ je ugao koji on zaklapa sa x osom. Početne vrednosti ugla i brzine su označene indeksom 0. Kinematičke jednačine za horizontalnu komponentu kretanja (a x = 0) su prema tome x = x 0 + v x t, v x = v 0x = const. (2.12) dok su za vertikalnu (a y = g) v y = v 0y gt (2.13) y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2 (2.14) v 2 y = v 2 0y 2g(y y 0 ). (2.15) Primetimo da je vreme t u obe grupe jednačina isto jer je reč o istom kretanju koje smo, iz praktičnih razloga, dekomponovali na horizontalno i vertikalno.

20 48 GLAVA 2. KINEMATIKA U skladu sa činjenicom da su ose, kao i komponente brzina pod pravim uglom, ukupni pomeraj r i intenzitet ukupne brzine će biti r = x 2 + y 2 v = vx 2 + vy 2 P r i m e r. Tokom vatrometa, raketa je izbačena u vazduh početnom brzinom od 70 m/s pod uglom od 75 prema horizontu. Fitilj je tako napravljen da, kada raketa dostigne najvišu tačku, eksplodira. Odrediti visinu do koje će raketa doći, kao i vremenski interval izmedju lansiranja rakete i njene eksplozije. R e š e nj e. Ako zanemarimo otpor koji vazduh pruža neeksplodiranoj raketi pri njenom kretanju na više, mogu se primeniti rezultati analize kretanja kosog hica. Koordinatni početak možemo da postavimo u mesto sa koga je poletela raketa pa će onda biti x 0 = y 0 = 0. Slika 2.13: Putanja rakete koja eksplodira na najvećoj visini koju može da dostigne pri kretanju. U najvišoj tački putanje rakete, njena brzina je usmerena horizontalno pa je v y = 0. U skladu sa time, jednačina (2.15) postaje 0 = v 2 0y 2gy, gde je y ima smisao visine h na koju se popela raketa. Kada ovu jednačinu rešimo po y, odnosno h za visinu penjanja rakete se dobija h = v2 0y 2g.

21 2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 49 Da bi iz ove relacije odredili visinu penjanja moramo da znamo y komponentu početne brzine, odnosno v 0y. Ona je data sa v 0y = v 0 sin θ 0, gde je v 0 početna vrednost brzine od 70 m/s a početni ugao je θ 0 = 75, tako da je v 0y = v 0 sin θ 0 = (70 m/s)(sin 75 ) = 67, 6 m/s. Visina penjanja rakete je sada h = (67, 6 m/s)2 2(9, 80 m/s 2 ) = 233 m. Vreme penjanja rakete se može odrediti pomoću jednačine (2.13) koristeći opet činjenicu da je u najvišoj tački putanje veritkalna komponenta brzine nula, tako da je traženo vreme t = v 0y g 67, 6 m/s = 2 = 6, 903 s. 9, 80 m/s P r i m e r. Vulkan Kilauea na Havajima je najpoznatiji neprekidno aktivan vulkan na svetu. Poznato je da vulkani koji su, kao on, veoma aktivni češće iz kratera izbacuju vrelo stenje i lavu nego dim i prašinu. Pretpostavio da je vulkan izbacio veliku stenu početnom brzinom 25,0 m/s i pod uglom 35 u odnosu na horizont. Stena pada na površinu Zemlje koja je na 20,0 m manjoj nadmorskoj visini od vrha kratera. Odrediti vreme potrebno steni da predje ovaj put. Slika 2.14: Putanja stene izbačene iz vulkana Kilauea. R e š e nj e. Nakon izbacivanja iz vulkana, stena se prvo penje u vis, dostiže maksimalnu moguću visinu i zatim pada ka Zemlji. Vreme koje joj je potrebno za prelaženje tog puta može da se nadje iz jednačine y = y 0 + v 0y t 1 2 gt2.

22 50 GLAVA 2. KINEMATIKA Ako je koordinatni početak sistema u mestu izbacivanja stene, to znači da je y 0 = 0 a da je y = 20, 0. Vertikalna komponenta početne brzine je v 0y = v 0 sin θ 0 = (25, 0 m/s)(sin 35 ) = 14, 3 m/s. Zamenjujući ove vrednosti i pišući vreme kao t = t s (to će dovesti do toga da će se sve jedinice skratiti i da ćemo dobiti jednačinu po bezdimenzionoj veličini t), koja nakon sredjivanja može da se zapiše kao 4, 90t 2 14, 3t 20, 0 = 0. Ova jednačina ima formu kvadratne jednačine 26 koja ima dva rešenja t = 3, 96 i -1,03, što znači da je od momenta izbacivanja stene iz vulkana do njenog pada na opisano mesto prošlo t = 3, 96 s, odnosno -1,03 s. Negativna vrednost za vreme bi značila da se to dogodilo pre nego što je kretanje uopšte počelo, tako da je traženo vreme t = 3, 96 s. Primetimo da analiza kretanja kosog hica ilustruje nezavisnost vertikalne i horizontalne komponente kretanja pri čemu se ne sme zaboraviti da je vreme isto i za jednu i za drugu komponentu. Galilej je verovatno bio prvi koji je pravilno razumeo te činjenice i iskoristio ih da odredi domet odnosno horizontalno rastojanje na koje će pasti telo koje se izbaci kao kosi hitac. 27 Kako početna brzina utiče na domet hica? Uglavnom tako da povećanje početne brzine dovodi do povećanja dometa hica (slika 2.15). Početni ugao pod kojim se hitac izbacuje takodje jako utiče na njegov domet (slika 2.16). Za konstantnu početnu brzinu, koju može da saopšti top granatama, maksimalna domet se dobija kada je ugao izbačaja projektila θ 0 = Domet takodje zavisi od intenziteta ubrzanja Zemljine teže g i odredjuje se prema formuli D = v2 0 sin 2θ 0, (2.16) g 26 Kvadratna jednačina, po promenljivoj t, ima opšti oblik at 2 + bt + c = 0 (u ovom slučaju su konstante a = 4, 90, b = 14, 3 i c = 20, 0), sa rešenjem t = b ± b 2 4ac. 2a 27 Galilej i ostali koji su se bavili time su se za domet interesovali pre svega iz čisto vojnih razloga. Pokazalo se, medjutim, da proučavanje dometa projektila može da pomogne u razumevanju drugih interesantnih fenomena, na primer orbita Zemljinih satelita. 28 Interesantno je da za, bilo koji početni ugao osim za ugao od 45, postoje dva ugla za koje hitac ima isti domet. Oni su takvi da njihov zbir iznosi 90.

23 2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 51 Slika 2.15: Veća početna brzina tela za isti početni ugao dovodi do većeg dometa. Slika 2.16: Efekat promene ugla pod kojim se izbacuje telo, Primetimo da je domet hica koji se izbacuje istom početnom brzinom, jednom pod uglom od 15 a drugi put pod uglom od 75 isti, iako visine i trajektorije to nisu.

24 52 GLAVA 2. KINEMATIKA gde je v 0 početna brzina a θ 0 ugao koji vektor brzine zaklapa sa horizontom. Kada smo do sada govorili o dometu kosog hica, smatrali smo da je njegov domet D mnogo manji od obima Zemlje. Ako je, medjutim, domet veliki, površina Zemlje iznad koje se hitac kreće neće biti ravna već zakrivljena te će se i pravac ubrzanja Zemljine teže menjati. U tom slučaju će domet biti veći nego što bi bio ako se računa po jednačini (2.16), jer telo mora da padne niže da bi došlo do (zakrivljene) površine Zemlje nego kada bi površ ispod njega ravna (slika 2.17). Slika 2.17: Izbacivanje satelita kao kosoh hica dovoljno velike brzine. Ako je početna brzina hica dovoljno velika projektil uopšte neće pasti na Zemlju već će početi da se oko nje kreće na odredjenoj visini, odnosno po nekoj orbiti. Ta činjenica je uočena vekovima pre nego što je i ostvarena. Kada se telo nalazi u orbiti, Zemlja i dalje stalno zakrivljuje njegovu putanju na isti način kao i kada ono pada. 29 Ono se, prema tome, nalazi u stalnom padu na Zemlju ali nikada neće dodirnuti njenu površinu Sabiranje brzina Ako čamcem pokušamo da predjemo reku, usmeravajući ga pod pravim uglom u odnosu na tok vode, jasno je da nećemo uspeti da dodjemo direktno na drugu obalu, već će nas vodeni tok odneti nizvodno. Slično, kada avion prilikom leta naidje na jaku vazdušnu struju, neće se kretati tamo gde 29 Prema iznetoj analizi jedina razlika ovakvog kretanja i onoga gde je telo dodirnulo površinu Zemlje je samo u njihovoj početnoj brzini.

25 2.3. KINEMATIKA KRETANJA U DVE DIMENZIJE 53 je usmeren već pravcem koji je odredjen, osim njegovog pravca i smera i, pravcem i smerom duvanja vetra. Slika 2.18: Primer sabiranja brzina. U oba slučaja, telo se kreće u odnosu na sredinu brzinom v t (reka ili vazduh), a data sredina se takodje kreće ali u odnosu na površinu Zemlje brzinom v s. Brzina tela u odnosu na posmatrača koji se nalazi na Zemlji je u tom slučaju vektorski zbir ove dve brzine 30 v = v t + v s. (2.17) Intenzitet ukupne brzine je, kada su one medjusobno normalne, v = vt 2 + v2 s, (2.18) dok joj je pravac odredjen uglom θ koji se može izračunati iz jednačine tan θ = v t v s. (2.19) P r i m e r. Odrediti intenzitet i pravac brzine broda u odnosu na posmatrača na obali, ako je brzina broda, u odnosu na reku 0,750 m/s, brzina reke 1,20 m/s. Pri tome smatrati da su ove dve brzine jedna u odnosu na drugu pod pravim uglom. R e š e nj e. Intenzitet brzine broda u odnosu na posmatrača na obali je, prema jednačini (2.18) v = vt 2 + v2 s = (1, 20 m/s 2 ) + (0, 750 m/s 2 ) = 1, 42 m/s. 30 U dosadašnjem radu smo takodje sabirali brzine, na primer kod kosog hica, ukupna brzina je bila zbir dveju komponenti, horizontalne i vertikalne.

26 54 GLAVA 2. KINEMATIKA Pravac i smer ukupne brzine je odredjen kao θ = arctan ( ) vt v s = arctan ( ) 0, 750 = 32, 0. 1, Relativne brzine i klasična relativnost Videli smo da kada sabiramo brzine, moramo da budemo sigurni u odnosu na koji referentni sistem su one zadate. U tom smislu su sve brzine relativne. 31 Pojam relativnosti brzine je jedan od aspekata relativnosti, koja se bavi time kako različiti posmatrači koji se kreću jedan u odnosu na drugog, mere karakteristične fizičke veličine nekog tela ili procesa koji se na njemu dešavaju. Skoro svako kada čuje reč relativnost, ima asocijaciju na Alberta Ajnštajna 32 koji je izvršio pravu revoluciju u poimanju prostora i vremena. Kada se u ovom poglavlju govori o relativnosti, misli se na klasičnu relatvnost čije su osnovne postavke dali Galilej i Njutn. 33 Klasična relativnost se odnosi na situacije u kojima su brzine tela manje od 1% brzine svetlosti u vakuumu, odnosno manje od km/s. Većina tela koje vidjamo svakog dana se kreću brzinama koje su naravno manje od ove. Da bi bio jasniji značaj pojma (klasične) relativnosti, razmotrimo kako dva različita posmatrača vide jednu istu situaciju koju je još Galilej analizirao. Pretpostavimo da se mornar nalazi na katarci broda koji se kreće nekom brzinom u odnosu na obalu i da je ispustio svoj nož. Da li će on pasti odmah pored jarbola ili će zaostati iza broda, usled njegovog kretanja? Odgovor je da će, ako je otpor vazduha zanemarljiv, nož pogoditi mesto na palubi koje se nalazi ispod tačke u kojoj je on ispušten. Proanalizirajmo sada kako različiti posmatrači vide putanju noža. Neka je jedan od njih na brodu a drugi na obali. Nož nema horizontalnu komponentu brzine u odnosu na brod, odnosno posmatrača na njemu, pa će stoga vertikalno pasti i zabiti se u palubu pored jarbola. Za posmatrača na obali, i nož, ali i brod imaju istu horizontalnu komponentu brzine, te će stoga, za vreme dok nož pada, oba preći jednako rastojanje u horizonatalnom pravcu. Posmatrač sa obale će zato videti da nož ima zakrivljenu putanju (slika 2.19) Na primer kada sedimo i čitamo ovu knjigu naša brzina u odnosu na Zemlju je nula, ali je brzina našeg kretanja po orbiti oko Sunca oko 30 km/h. 32 Albert Einstein ( ), jedan od najvećih fizičara dvadesetog veka. 33 Isaac Newton Brzina broda je, da bi se istakao efekat registrovanja različitih putanja noža, pri crtanju slike smatrana većom nego što je u realnosti.

27 2.4. KINEMATIKA ROTACIONOG KRETANJA 55 Slika 2.19: Bez obzira što različiti posmatrači vide drugačiju putanju noža on će uvek pasti pored jarbola, vertikalno ispod mesta sa koga je ispušten. Svejedno što putanja noža izgleda različito kada se posmatra iz različitih sistema reference, na kraju se dobija isti rezultat, odnosno on pada na brod pored jarbola. Z a d a t a k z a d o m a ć i. Galeb leti brzinom 9,00 m/s u odnosu na vazduh, u susret vetru. Ako mu je potrebno 20,0 minuta da preleti rastojanje od 6,00 km u odnosu na Zemlju, kolika je brzina vetra? Ako se galeb, nakon što preleti tih 6,00 km okrene i počne da leti nazad, koliko vremena će mu trebati da predje isto rastojanje? 2.4 Kinematika rotacionog kretanja Rotaciono kretanje je kretanje prilikom koga se sve tačke tela kreću po kružnim putanjama čiji centri leže na osi rotacije. Ukoliko je, pri ovakvom kretanju, linijska brzina konstantna, kretanje se naziva uniformno kružno kretanje Ugao rotacije i ugaona brzina Ugao rotacije Kada telo rotira oko neke ose - na primer kompakt disk (slika 2.20) koji rotira oko ose koja prolazi vertikalno kroz njegov centar - svaka njegova tačka opisuje kružnu putanju. Ako od centra diska povučemo pravu liniju

28 56 GLAVA 2. KINEMATIKA Slika 2.20: Sve tačke diska opisuju kružne putanje. Za isto vreme t sva udubljenja na disku, koja se nalaze na istoj liniji koja spaja centar diska sa njegovim obodom, zarotiraju se za isti ugao θ. ka obodu, tako da prati poluprečnik diska, svako udubljenje 35 na koje će ta linija naići, pri rotaciji diska, opisuje jednak ugao za jednak vremenski interval. Ugao rotacije se pri ovakvom kretanju koristi da se opiše pomeranje tela za dati interval vremena. Ugao rotacije θ je, kao što se vidi sa slike 2.21, jednak odnosu dužine luka s i poluprečnika krivine r θ = s r. (2.20) Dužina luka s je zapravo jednaka putu koji je tačka diska prešla duž kružne putanje (slika 2.21). Kad posmatrana tačka opiše pun krug, dužina luka je jednaka obimu kružnice poluprečnika r, odnosno 2πr. U tom slučaju je ugao rotacije θ = 2πr = 2π. r Ova formula je osnovna za definisanje jedinice za ugao rotacije u radijanima, jer je 2π rad = 1 pun obrtaj. (2.21) Kada je θ = 2π rad, kompakt disk je napravio jedan pun obrtaj, i svaka njegova tačka se, pri tom, vratila u početni položaj. Kao što je dobro poz- 35 Svako takvo udubljenje služi zapravo za zapis podataka.

29 2.4. KINEMATIKA ROTACIONOG KRETANJA 57 Slika 2.21: Posmatrane tačke su zarotirane za isti ugao θ ali su im putevi različiti, pa prema tome i linijske brzine. nato, to znači da je ugao rotacioje 360 0, pa je veza radijana i stepena 2π rad = 360 0, odakle je 1 rad = π = 57, 30. Ugaona brzina Kojom fizičkom veličinom može da se predstavi brzina tela koje rotira oko neke ose? Ta veličina ne može biti ranije uvedena brzina v date tačke, jer je različita za tačke koje su na različitoj udaljenosti od ose rotacije (što je tačka dalja, njena brzina je veća). Medjutim, svaka tačka će, za isti interval vremena, preći isti ugao, pa zato ima smisla preko ova dve veličine, definisati novu veličinu koja će reprezentovati brzinu rotiranja tela. Ta nova fizička veličina se zove ugaona brzina ω, a definiše se kao odnos ugla rotacije i intervala vremena za koji je ta rotacija izvršena ω = θ t. (2.22) Što je veći ugao rotacije za dati interval vremena, veća je i ugaona brzina. Njena jedinica je radijan u sekundi (rad/s). Ugaona brzina ω je veličina analogna, ranije uvedenoj, takozvanoj linijskoj brzini v. Da bi se dobila direktna veza ove dve veličine, razmotrimo ponovo rotiranje jednog udubljenja na kompakt disku. Ono se kreće po luku dužine s za vreme t, tako da je njegova linijska brzina v = s t.

30 58 GLAVA 2. KINEMATIKA Prema jednačini (2.20), je s = r θ. Zamena ove relacije u prethodni izraz daje v = r θ = rω. (2.23) t Ovu jednačinu možemo da napišemo i u obliku ω = v r. (2.24) Prva od ove dve relacije pokazuje da je linijska brzina v proporcionalna ras- Slika 2.22: Automobil se kreće sa leva na desno brzinom v jer točkovi rotiraju ugaonom brzinom ω. Linijska brzina točka u odnosu na osovinu je takodje v. Pošto je v = rω, što je veća ugaona brzina i što su veći točkovi, automobil se brže kreće. tojanju od centra rotacije, što je tačka za koju je odredjujemo dalja od njega (veće r), veća je njena linijska brzina. Relacija (2.24) se može razumeti ako posmatramo rotiranje točka na kolima (slika 2.22). Ukoliko nema proklizavanja izmedju guma točka i podloge, što se automobil brže kreće, brže je rotiranje točkova oko osovina ω i veća je linijska brzina v, jer su to veličine koje su direktno proporcionalne. Slično, što je veći poluprečnik točka, pri njegovom rotiranju istom ugaonom brzinom, automobil se brže kreće (odnos v/r mora da bude jednak ugaonoj brzini pa povećanje poluprečnika točka dovodi do povećanja linijske brzine). I v i ω, osim intenziteta, imaju i odredjen pravac i smer, jer je reč o brzinama, dakle vektorskim veličinama. Ugaona brzina ima pravac ose rotacije, a smer joj zavisi od smera rotiranja oko nje, u smeru kazaljke na časovniku i obrnuto. Linijska brzina je tangenta na putanju (slika 2.23). P r i m e r. Izračunati ugaonu brzinu automobilskog točka poluprečnika 0,300 m, ukoliko je njegova brzina 15,0 m/s. R e š e nj e. Kako je...

31 2.4. KINEMATIKA ROTACIONOG KRETANJA 59 ω = v r = 15, 0 m/s 0, 300 m = 50, 0 rad/s. Domaći: Prevesti ovaj rezultat u stepene u sekundi Centripetalno ubrzanje Uvek kada se brzina menja sa vremenom, postoji odredjeno ubrzanje. Kako je brzina vektorska veličina, čak iako nema promene brzine po intenzitetu, i sama promena po pravcu znači da postoji neko ubrzanje. U slučaju uniformnog kružnog kretanja, brzina se menja samo po pravcu, što znači da postoji ubrzanje koje će opisivati ovu promenu. Ovo ubrzanje osećamo pri vožnji automobila po zakrivljenoj putanji (okretanje u krivini,...). Ukoliko držimo volan stalno u jednom položaju i ne povećavamo intenzitet brzine, kretaćemo se uniformno po kružnici (zapravo delu kružnice). Ubrzanje koje se pri tom poljavljuje ima pravac normalno na putanju. Što je zakrivljenija putanja (što smo više zakrenuli volan) i što je veća linijska brzina, više osećamo ubrzanje. Slika 2.23 prikazuje telo koje se kreće brzinom kon- Slika 2.23: Brzina je tangenta na putanju. tačke v je usmerena ka centru putanje. Promena brzine izmedju dve stantnog intenziteta po kružnici. Pravac brzine je prikazan u dve proizvoljne tačke na putanji. Ubrzanje je u smeru promene brzine, a kako je ona usmerena ka centru kružnice, i smer ubrzanja je identičan. Ovo je prikazano vektorskim dijagramom na slici. Ubrzanje koje se javlja pri uniformnom kretanju tela po kružnici, zbog svog smera, se naziva centripetalno ubrzanje, a c. Koliki je intenzitet ovog ubrzanja? Primetimo da je trougao koji čine vektori brzine v 1, v 2 i njena promena v (u matematičkom smislu) sličan

32 60 GLAVA 2. KINEMATIKA onom koji čine vektori položaja i njegova promena r (trougao ABC na slici 2.23). Oba su jednakokraka (imaju po dve jednake stranice), jer je zbog uniformnosti kretanja v 1 = v 2. Posledica njihove sličnosti je da važi sledeća jednakost v v = r r. Da bi dobili intenzitet traženog ubrzanje (a c = v/ t), moramo prvo da rešimo gornji izraz po v v = v r r, odakle je ubrzanje v t = v r r t. Kako je r/ t = v, intenzitet centripetalnog ubrzanja je a c = v2 r. Ovo je dakle ubrzanje koje mora da postoji ukoliko želimo da se telo kreće brzinom konstantnog intenziteta v po kružnici poluprečnika r. Centripetalno ubrzanje je, kao što je i očekivano utoliko veće ukoliko je veća brzina kojom se telo, na primer automobil, kreće po kružnoj putanji (ili jednom njenom delu). Novina je to što je ubrzanje a c proporcionalno ne brzini na prvom stepenu, već njenom kvadratu. Posledica toga je, da je na primer, četiri puta taže da, prateći kružnu putanju, skrenemo pri brzini od 80 km/h nego kada je brzina 40 km/h. Oštrija krivina, sa druge strane, ima manji poluprečnik, pa će i centripetalno ubrzanje biti veće, što je već napomenuto. Interesantno je napisati izraz za a c preko ugaone brzine. Zamenjujući v = rω u prethodni izraz on postaje a c = (rω) 2 /r = rω 2, pa se centripetalno ubrzanje može dati u sledeća dva oblika a c = v2 r, a c = rω 2. (2.25) P r i m e r. Koliki je intenzitet centripetalnog ubrzanja potrebnom da se kola voze po kružnom toku poluprečnika 500 m brzinom od 25,0 m/s (slika 2.24)? Uporediti to ubrzanje sa ubrzanjem Zemljine teže. R e š e nj e. Kako su date linijska brzina i poluprečnik zakriveljene putanje, centripetalno ubrzanje je a c = v2 r = (25 m/s)2 500 m = 1, 25 m/s2.

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će

Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će Silu trenja osećaju sva tela koja se nalaze u blizini Zemlje i zbog nje tela koja se puste padaju nadole. Ako pustimo telo da slobodno pada, ono će se bez obzira na masu kretati istim ubrzanjem Zanimljivo

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b)

TAČKA i PRAVA. , onda rastojanje između njih računamo po formuli C(1,5) d(b,c) d(a,b) TAČKA i PRAVA Najpre ćemo se upoznati sa osnovnim formulama i njihovom primenom.. Rastojanje između dve tačke Ako su nam date tačke Ax (, y) i Bx (, y ), onda rastojanje između njih računamo po formuli

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju

Novi Sad god Broj 1 / 06 Veljko Milković Bulevar cara Lazara 56 Novi Sad. Izveštaj o merenju Broj 1 / 06 Dana 2.06.2014. godine izmereno je vreme zaustavljanja elektromotora koji je radio u praznom hodu. Iz gradske mreže 230 V, 50 Hz napajan je monofazni asinhroni motor sa dva brusna kamena. Kada

Διαβάστε περισσότερα

RAD, SNAGA I ENERGIJA

RAD, SNAGA I ENERGIJA RAD, SNAGA I ENERGIJA SADRŢAJ 1. MEHANIĈKI RAD SILE 2. SNAGA 3. MEHANIĈKA ENERGIJA a) Kinetiĉka energija b) Potencijalna energija c) Ukupna energija d) Rad kao mera za promenu energije 4. ZAKON ODRŢANJA

Διαβάστε περισσότερα

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu:

Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: Refleksija S φ u odnosu na pravu kroz koordinatni početak Ako prava q prolazi kroz koordinatni početak i gradi ugao φ [0, π) sa x osom tada je refleksija S φ u odnosu na tu pravu: ( ) ( ) ( ) x cos 2φ

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILNOST KOSINA

10. STABILNOST KOSINA MEHANIKA TLA: Stabilnot koina 101 10. STABILNOST KOSINA 10.1 Metode proračuna koina Problem analize tabilnoti zemljanih maa vodi e na određivanje odnoa između rapoložive mičuće čvrtoće i proečnog mičućeg

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela.

Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela. Prve dve dinamičke jednačine ravnog kretanja krutog tela, u prvoj varijanti, imaju oblik: 1) m & x X, ) m & y = Y. = i i Dok, u drugoj varijanti, njihov

Διαβάστε περισσότερα

Na grafiku bi to značilo :

Na grafiku bi to značilo : . Ispitati tok i skicirati grafik funkcije + Oblast definisanosti (domen) Kako zadata funkcija nema razlomak, to je (, ) to jest R Nule funkcije + to jest Ovo je jednačina trećeg stepena. U ovakvim situacijama

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA

UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA UZDUŽNA DINAMIKA VOZILA MODEL VOZILA U UZDUŽNOJ DINAMICI Zanemaruju se sva pomeranja u pravcima normalnim na pravac kretanja (ΣZ i = 0, ΣY i = 0) Zanemaruju se svi vidovi pobuda na oscilovanje i vibracije,

Διαβάστε περισσότερα

Mehanika. kinematika. * Obaveštenje : računske vežbe odložene

Mehanika. kinematika. * Obaveštenje : računske vežbe odložene Mehanika kinematika * Obaveštenje : računske vežbe 12. 13. 10. odložene 7., 8. i 9. Octobar 2015 Osnovni zadatak fizike (ϕνσιξ - priroda) je izučavanje osnovnih svojstava prirode, a jedno od tih svojstava

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development

Polarne, cilindrične, sferne koordinate. 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarne, cilindrične, sferne koordinate 3D Math Primer for Graphics & Game Development Polarni koordinatni sistem 2D polarni koordinatni sistem ima koordinatni početak (pol), koji predstavlja centar koordinatnog

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

, 81, 5?J,. 1o~",mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pt"en:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M.

, 81, 5?J,. 1o~,mlt. [ BO'?o~ ~Iel7L1 povr.sil?lj pten:nt7 cf~ ~ <;). So. r~ ~ I~ + 2 JA = (;82,67'11:/'+2-[ 4'33.10'+ 7M. J r_jl v. el7l1 povr.sl?lj pt"en:nt7 cf \ L.sj,,;, ocredz' 3 Q),sof'stvene f1?(j'me")7e?j1erc!je b) po{o!.aj 'i1m/' ce/y11ra.[,p! (j'j,a 1lerc!/e

Διαβάστε περισσότερα

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79

TEORIJA BETONSKIH KONSTRUKCIJA 79 TEORIJA BETOSKIH KOSTRUKCIJA 79 Primer 1. Odrediti potrebn površin armatre za stb poznatih dimenzija, pravogaonog poprečnog preseka, opterećen momentima savijanja sled stalnog ( g ) i povremenog ( w )

Διαβάστε περισσότερα

Ispit iz Fizike 1 u februarskom roku (školska 2009/10.) ETF, Beograd,

Ispit iz Fizike 1 u februarskom roku (školska 2009/10.) ETF, Beograd, Ispit iz Fizike 1 u februarskom roku 2010. (školska 2009/10.) ETF, Beograd, 21.2.2010. 1. Telo, koje se može smatrati materijalnom tačkom, bačeno je kao kosi hitac sa neke visine pod nekim početnim elevacionim

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Rad, energija i snaga

Rad, energija i snaga Rad, energija i snaga Željan Kutleša Sandra Bodrožić Rad Rad je skalarna fizikalna veličina koja opisuje djelovanje sile F na tijelo duž pomaka x. = = cos Oznaka za rad je W, a mjerna jedinica J (džul).

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

Konstruktivni zadaci. Uvod

Konstruktivni zadaci. Uvod Svaki konstruktivni zadatak ima četri dijela: 1. Analiza 2. Konstrukcija 3. Dokaz 4. Diskusija Konstruktivni zadaci Uvod U analizi pretpostavimo da je zadatak riješen, i na osnovu slike (skice) rješenja,

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Planimetrija. Sličnost trouglova. GF 000 Dužine stranica trougla su 5cm, cm i 8cm. Dužina najduže stranice njemu sličnog

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

Tehnologija bušenja II

Tehnologija bušenja II INŽENJERSTVO NAFTE I GASA Tehnologija bušenja II 1. Vežba V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 1 of 44 Algebra i trigonometrija V - 1 Tehnologija bušenja II Slide 2 of 44 Jednačine Pitanje: Ako je a = 3b

Διαβάστε περισσότερα

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE

PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE Fakultet Tehničkih Nauka, Novi Sad PROBNI TEST ZA PRIJEMNI ISPIT IZ MATEMATIKE 1 Za koje vrednosti parametra p R polinom f x) = x + p + 1)x p ima tačno jedan, i to pozitivan realan koren? U skupu realnih

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom.

RAVAN. Ravan je osnovni pojam u geometriji i kao takav se ne definiše. Ravan je određena tačkom i normalnim vektorom. RAVAN Ravan je osnovni pojam u geometiji i kao takav se ne definiše. Ravan je odeđena tačkom i nomalnim vektoom. nabc (,, ) π M ( x,, ) y z Da bi izveli jednačinu avni, poučimo sledeću sliku: n( A, B,

Διαβάστε περισσότερα

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa.

Akvizicija tereta. 5660t. Y= masa drva, X=masa cementa. Na brod će se ukrcati 1733 tona drva i 3927 tona cementa. Akvizicija tereta. Korisna nosivost broda je 6 t, a na brodu ia 8 cu. ft. prostora raspoloživog za sještaj tereta pod palubu. Navedeni brod treba krcati drvo i ceent, a na palubu ože aksialno ukrcati 34

Διαβάστε περισσότερα

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum

Matematka 1 Zadaci za drugi kolokvijum Matematka Zadaci za drugi kolokvijum 8 Limesi funkcija i neprekidnost 8.. Dokazati po definiciji + + = + = ( ) = + ln( ) = + 8.. Odrediti levi i desni es funkcije u datoj tački f() = sgn, = g() =, = h()

Διαβάστε περισσότερα

Racionalni algebarski izrazi

Racionalni algebarski izrazi . Skratimo razlomak Racionalni algebarski izrazi [MM.4-()6] 5 + 6 +. Ako je a + b + c = dokazati da je a + b + c = abc [MM.4-()] 5 6 5. Reši jednačinu: y y y + + = 7 4 y = [MM.4-(4)] 4. Reši jednačinu:

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš

O trouglu. mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu mr Radmila Krstić, asistent Prirodno-matematički fakultet, Niš O trouglu 2 O TROUGLU Trougao je nezaobilazna tema kako osnovne tako i srednje škole. O trouglu se skoro sve zna. Navodimo te činjenice.

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

METODA SEČICE I REGULA FALSI

METODA SEČICE I REGULA FALSI METODA SEČICE I REGULA FALSI Zadatak: Naći ulu fukcije f a itervalu (a,b), odoso aći za koje je f()=0. Rešeje: Prvo, tražimo iterval (a,b) a kome je fukcija eprekida, mootoa i važi: f(a)f(b)

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje

Oscilacije. Glava Prosto harmonijsko kretanje Glava 3 Oscilacije Veoma specifična vrsta kretanja se dešava kada na telo deluje sila proporcionalna otklonu tela od ravnotežnog položaja. Ukoliko je ta sila uvek usmerena ka ravnotežnom položaju, uspostavlja

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών

ΣΕΡΒΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ IV. Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Ενότητα 3: Αντωνυμίες (Zamenice) Μπορόβας Γεώργιος Τμήμα Βαλκανικών, Σλαβικών και Ανατολικών Σπουδών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije

5.1 Njutnov zakon univerzalne gravitacije Glava 5 Gravitacija Orbitiranje prirodnih i veštačkih satelita oko Zemlje, planeta oko Sunca, fenomen plime i oseke, prenos toplote strujanjem fluida, visoka temperatura unutrašnjosti planeta, padanje

Διαβάστε περισσότερα

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile

Lijeva strana prethodnog izraza predstavlja diferencijalnu formu rada rezultantne sile RAD SILE Sila se može tokom kretanja opisati kao zavisnost od vremena t ili od trenutnog vektora položaja r. U poglavlju o impulsu sile i količini kretanja je pokazano na koji način se može povezati kretanje

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet.

Glava 1. Vektori. Definicija 1.1. Dva vektora su jednaka ako su im jednaki pravac, smer i intenzitet. Glava 1 Vektori U mnogim naukama proučavaju se vektorske i skalarne veličine. Skalarna veličina je odred ena svojom brojnom vrednošću u izabranom sistemu jedinica. Takve veličine su temperatura, težina

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA

STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Katedra za elektroniku Elementi elektronike Laboratorijske vežbe Vežba br. 2 STATIČKE KARAKTERISTIKE DIODA I TRANZISTORA Datum: Vreme: Studenti: 1. grupa 2. grupa Dežurni: Ocena: Elementi elektronike -

Διαβάστε περισσότερα

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI.

O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI. 1 O DIMENZIONALNOJ ANALIZI U FIZICI Ljubiša Nešić, Odsek za fiziku, PMF, Niš http://www.pmf.ni.ac.yu/people/nesiclj/ Uvod Kao što je poznato, fizičke veličine mogu da imaju dimenzije ili pak da budu bezdimenzionalne.

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

Fizička mehanika i termofizika, junski rok

Fizička mehanika i termofizika, junski rok Fizička mehanika i termofizika, junski rok 5.7.2001. 1. Po strmoj ravni, nagibnog ugla α, kotrlja se bez klizanja masivni šuplji cilindar, mase M i poluprečnika R. Po unutrašnjosti cilindra se kreće pas.

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE):

Repetitorij-Dinamika. F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j. Zakon očuvanja energije (ZOE): Repetitorij-Dinamika Dinamika materijalne točke Sila: F p = m a = lim t 0 t = d p dt m a = i F i Zakon očuvanja impulsa (ZOI): i p i = j p j i p ix = j p jx te i p iy = j p jy u 2D sustavu Zakon očuvanja

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

Determinante. Inverzna matrica

Determinante. Inverzna matrica Determinante Inverzna matrica Neka je A = [a ij ] n n kvadratna matrica Determinanta matrice A je a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n det A = = ( 1) j a 1j1 a 2j2 a njn, a n1 a n2 a nn gde se sumiranje vrši

Διαβάστε περισσότερα

Vektorski prostori. Vektorski prostor

Vektorski prostori. Vektorski prostor Vektorski prostori Vektorski prostor Neka je X neprazan skup i (K, +, ) polje. Skup X je vektorski ili linearni prostor nad poljem skalara K ako ima sledeću strukturu: (1) Definisana je operacija + u skupu

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema:

Koordinatni sistemi. Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Koordinatni sistemi Za određivanje položaja u ravni koriste se dva glavna koordinatna sistema: Kartezijeve koordinate Korištenjem Kartezijevih koordinata položaj tačke u ravni se definiše sa dva broja,

Διαβάστε περισσότερα

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1

3n an = 4n3/2 +2n+ n 5n 3/2 +5n+2 n a 2 n = n 2. ( 2) n Dodatak. = 0, lim n! 2n 6n + 1 Nizovi 5 a = 5 +3+ + 6 a = 3 00 + 00 3 +5 7 a = +)+) ) 3 3 8 a = 3 +3+ + +3 9 a = 3 5 0 a = 43/ ++ 5 3/ +5+ a = + + a = + ) 3 a = + + + 4 a = 3 3 + 3 ) 5 a = +++ 6 a = + ++ 3 a = +)!++)! +3)! a = ) +3

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine

56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA. Sarajevo, godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA SREDNJIH ŠKOLA Sarajevo, 3.04.016. godine 56. TAKMIČENJE MLADIH MATEMATIČARA BOSNE I HERCEGOVINE FEDERALNO PRVENSTVO UČENIKA

Διαβάστε περισσότερα

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1.

l = l = 0, 2 m; l = 0,1 m; d = d = 10 cm; S = S = S = S = 5 cm Slika1. . U zračnom rasporu d magnetnog kruga prema slici akumulirana je energija od,8 mj. Odrediti: a. Struju I; b. Magnetnu energiju akumuliranu u zračnom rasporu d ; Poznato je: l = l =, m; l =, m; d = d =

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi linearnih jednačina

Sistemi linearnih jednačina Sistemi linearnih jednačina Sistem od n linearnih jednačina sa n nepoznatih (x 1, x 2,..., x n ) je a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2, a n1 x 1 + a n2 x 2 +

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα