Μετασχηµατισµοί. Μετασχηµατισµοί είναι πράξεις (Τελεστές) που επιδρούν πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα M(V)
|
|
- Μέλισσα Κρεστενίτης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Μετασχηµατισµοί Μετασχηµατισµοί είναι πράξεις (Τελεστές) που επιδρούν πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα V M(V) 2.1
2 Αναπαράσταση 3Δ µοντέλων Κάθε 3Δ µοντέλο αποτελείται από κορυφές (vertices) Κάθε κορυφή καθορίζεται από τη θέση της (x,y,z) στο χώρο Για να µετασχηµατίσουµε το µοντέλο αλλάζουµε τις θέσεις των κορυφών (x,y,z)
3 (x 1,y 1,z 1 ) (x 4,y 4,z 4 ) (x 2,y 2,z 2 ) (x 3,y 3,z 3 )
4
5 Χρήση µετασχηµατισµών " Μεταβολή γεωµετρικών σχηµάτων (2D/3D) " Πλοήγηση (Αλλαγή θέσης ενός εικονικού παρατηρητή µέσα στον «κόσµο» των σχηµάτων) " Δηµιουργία πολύπλοκων παραστάσεων (Σκηνικά) από απλά σχήµατα (2D/3D) " Προβολή Σχηµάτων στην οθόνη/εικόνα
6 Διανύσµατα Διάνυσµα στο τριδιάστατο χώρο: Y! (x,y,z)! a! Z! X! Βασικές ιδιότητες διανυσµάτων (a,b διανύσµατα, λ,µ αριθµοί) a + b = b + a αντιµεταθετική a + (b + c) = (a + b) + c λ(a + b) = λa + λb (λ + µ)a = λa + µa (λµ)a = λ(µa) προσεταιριστική επιµερισµός πολλ/µού ως προς πρόσθεση επιµερισµός πρόσθεσης ως προς πολλ/µό προσεταιριστική Μήκος διανύσµατος : a = x 2 +y 2 +z 2 Μοναδιαίο διάνυσµα: έχει µήκος 1
7 Διανύσµατα Εσωτερικό γινόμενο διανυσμάτων a(a x,a y,a z ) και b(b x,b y,b z )" a * b = a x b x + a y b y + a z b z το αποτέλεσμα είναι αριθμός" Ιδιοτητες εσωτερικου γινομένου" a * a >= 0" a * b = 0 τότε το a είναι κάθετο στο b" Μήκος διανύσματος a = a*a" " a * b = a b cosφ" b! a*b! a! Εξωτερικό γινόµενο διανυσµάτων a(a x,a y,a z ) και b(b x,b y,b z ) a x b = c(a y b z -a z b y, a z b x -a x b z, a x b y -a y b x ) το αποτέλεσµα είναι διάνυσµα οποίο είναι κάθετο και στο a και στο b a x b! b! a! Το εσωτερικό και εξωτερικό γινόµενο είναι πολύ σηµαντικά στην δηµιουργία γραφικών: Το εσωτερικό γινόµενο εκφράζει το ποσοστό του φωτός που ανακλάται από µια επιφάνεια, και το εξωτερικό γινόµενο χρησιµοποιείται για να καθοριστεί η «πάνω κατεύθυνση» µιας κάµερας.
8 Ένα σηµαντικό διάνυσµα Το ποιο σηµαντικό ίσως διάνυσµα στα γραφικά είναι το µοναδιαίο, κάθετο στην επιφάνεια, διάνυσµα (normal, συµβολίζεται n). Το normal ορίζει κατεύθυνση επιφάνειας (δηλαδή προς τα πού βλέπει) n! n! Έχει πολλές εφαρµογές: στο υπολογισµό φωτός που πέφτει σε µια επιφάνεια στην διαγραφή µη ορατών τριγώνων στην εφαρµογή υφών στην επιφάνεια (texturing)
9 Πίνακες Ένας πίνακας Μ περιγράφεται από mxn αριθμούς διατεταγμένους σε m γραμμές και n στήλες : [ m ij ] 0 i m-1, 0 j n-1." m 00! m 01! m 02! M =! m 10! m 11! m 12! m 20! m 21! m 22! m=3, n=3! Πράξεις πινάκων Πρόσθεση πινάκων Μ + Ν = [ m ij ] + [ n ij ] = [ m ij + n ij ] : πρέπει οι πίνακες να έχουν το ίδιο µέγεθος Πολ/σµός αριθµού µε πίνακα am = a [ m ij ] = [ am ij ]
10 Πράξεις πινάκων Πίνακες Πολλαπλασιασµός πινάκων. Αν Μ είναι µέγεθος pxq και ο Ν µέγεθος qxr τότε ο Τ= ΜΝ θα είναι µεγέθους pxr m 00! m 01! m 02! n 00! n 01! n 02! t 00! t 01! t 02! m 10! m 11! m 12! m 20! m 21! m 22! n 10! n 11! n 12! n 20! n 21! n 22! =! t 10! t 11! t 12! t 20! t 21! t 22! t 00 = m 00 *n 00 + m 01 *n 10 + m 02 n 20! Βασιζόµενοι στο εσωτερικό γινόµενο : t ij = m i *n j Ιδιότητες πολ/µού L(MN) = (LM)N (L+M)N = LN + MN MN NM προσεταιριστική επιµεριστική η αντιµετάθεση γενικά δεν ισχύει
11 Ανάστροφος πίνακα! Είναι ο πίνακας Ν όπου: " Πίνακες Ν = Μ Τ = [ m ji ] οι στήλες του αρχικού πίνακα γίνονται γραμμές και οι γραμμές στήλες" Ιδιότητες" (aμ) T = am T" (M+N) T =M T +N T" (MN) T =N T M T" (M T ) T = M" Αντίστροφος πίνακα Είναι ο πίνακας Ν όπου: ΜΝ = ΝΜ = Ι. Ν = Μ -1 o Μ πρέπει να είναι τετράγωνος πίνακας (mxm) και η ορίζουσα του πρέπει να είναι µη µηδενική (M -1 ) T = (M T ) -1 (MN) -1 = N -1 M -1 : σηµαντική ιδιότητα για όταν θα πρέπει να αντιστρέψουµε µετασχηµατισµούς! Αν u = Mv και ο M -1 υπάρχει, τότε v=m -1 u : µε την χρήση του αντίστροφου µπορούµε να αναστρέψουµε τα αποτελέσµατα ενός µετασχηµατισµού.
12 Μετασχηµατισµοί; Τι εννοούµε µε τον όρο «µετασχηµατισµός»; Μετασχηµατισµός είναι ένας µηχανισµός (ή πράξη ή τελεστής) που µετατρέπει µια ποσότητα σε µια άλλη. Παράδειγµα: χρησιµοποιούµε ένα µετασχηµατισµό για να µετατρέψουµε τα ευρώ σε δολάρια: 10 ευρώ = 15 δολάρια. (ο µετασχηµατισµός εδώ είναι ο πολλαπλασιασµός µε 1,5) Στην δική µας περίπτωση ο µετασχηµατισµός είναι συνήθως ο πολλαπλασιασµός µε ένα πίνακα που επιδρά πάνω στις συντεταγµένες των σηµείων που απαρτίζουν ένα γεωµετρικό σχήµα
13 Μετασχηµατισµοί; Γιατί ενδιαφερόµαστε για τους µετασχηµατισµούς; Γιατί µε την βοήθεια τους µπορούµε εύκολα να τοποθετήσουµε, να περιστρέψουµε, να αλλάξουµε το σχήµα, να κινήσουµε τα αντικείµενα, τα φώτα και την κάµερα στην σκηνή µας. Μπορούµε επίσης να κατασκευάσουµε σύνθετες σκηνές από πολλά αντικείµενα
14 Παράδειγµα µετασχηµατισµού Έστω ένα σηµείο P στο επίπεδο και ένας µετασχηµατισµός Μ. Εφαρµόζοντας τον µετασχηµατισµό πάνω στις συντεταγµένες του σηµείου P θα λάβουµε ένα νέο σηµείο P σε άλλη θέση του επιπέδου P Συµβολικά: P = M(P) M P
15 Είδη µετασχηµατισµών Υπάρχουν 2 βασικές κατηγορίες µετασχηµατισµών: Συσχετισµένοι (γραµµικοί affine ) Οι γραµµικοί µετασχηµατισµοί διατηρούν τις ευθείες και το λόγο των αποστάσεων µεταξύ σηµείων Παραµορφωτικοί (µη γραµµικοί) Όλοι οι βασικοί µετασχηµατισµοί που χρησιµοποιούµε στα γραφικά είναι γραµµικοί. Πλεονέκτηµα: δεν χρειάζεται να µετασχηµατίσουµε κάθε σηµείο ενός ευθύγραµµου τµήµατος παρά µόνο τα άκρα του.
16 Βασικοί µετασχηµατισµοί Οι βασικοί µετασχηµατισµοί που χρησιµοποιούµε στα γραφικά είναι οι εξής: Περιστροφή γύρω από ένα άξονα (rotation) κατά γωνία θ : R Μετακίνηση (translation) : Τ Αλλαγή κλίµακας (scaling) : S Στρέβλωση (shearing) : H
17 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Μετακίνηση Αν υποθέσουµε ένα σηµείο P = [ x y ] Τ στο επίπεδο και ότι θέλουµε να το µετακινήσουµε κατά διάνυσµα t = [ t x t y ] Τ. Θα έχουµε: P (x+t x, y+t y ) P' = x y + t x t y = x + t x y + t y t y P t x
18 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Μετακίνηση P' = P + t όπου P = x y, P' = x ' y ', t = t x t y Y ty (x + tx, y + ty) (x, y) tx X
19 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Περιστροφή Αν υποθέσουµε ένα σηµείο P = [ x y ] Τ στο επίπεδο και ότι θέλουµε να το περιστρέψουµε αριστερόστροφα κατά γωνία θ, στο σηµείο P = [ x y ] Τ. Υποθέτουµε επίσης ότι η απόσταση των P,P από το την αρχή των αξόνων είναι l. P x' = l cos(θ + ϕ) = x cosθ ysinθ y' = l sin(θ + ϕ) = xsinθ ycosθ l θ l φ P P' = cosθ sinθ sinθ cosθ x y R θ = cosθ sinθ sinθ cosθ
20 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Περιστροφή Ο τελεστής της περιστροφής έχει ως ουδέτερο σηµείο το (0,0). Άρα:! Η περιστροφή γίνεται ως προς την αρχή των αξόνων Y Y X X
21 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Κλίµακα Η αλλαγή κλίμακας αλλάζει το συνολικό μέγεθος ενός αντικειμένου πολλαπλασιάζοντας κάθε συντεταγμένη σε κάθε διάσταση με ένα αριθμό s" P (x*s x, y*s y ) P' = s x 0 0 s y x y = x s x y s y P (x, y) Μετασχηµατισµός κλίµακας : S xy = s x 0 0 s y Αν s x =s y ο µετασχηµατισµός ονοµάζεται οµοιόµορφος.
22 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Κλίµακα Y Y (3, 7) (2, 5) (4, 5) (4, 2.5) (6, 3.5) (8, 2.5) (2, 2) (4, 2) X (4, 1) (8, 1) X
23 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Στρέβλωση Ο µετασχηµατισµός στρέβλωσης H xy εξηγείται καλύτερα µε ένα παράδειγµα. Στρέβλωση κατά α στο άξονα Χ θα έχει το εξής αποτέλεσµα: 1! P (x, y)! α 1! H x 1! 1! Pʼ(x+y*α, y)! Ο µετασχηµατισµός δεν επιδρά στην y-συντεταγµένη. Για την x συντεταγµένη έχουµε: x = x + y*α, που έχει ως αποτέλεσµα να «γέρνει» το σχήµα. = =
24 Βασικοί µετασχηµατισµοί: Στρέβλωση Y (4, 12) Y Y (2, 8) (4, 10) b=2 α=2 (2, 6) X (2, 4) (4, 4) (2, 2) (4, 2) X (6, 2) (10, 4) (12, 4) (8, 2) X
25 Βασικοί µετασχηµατισµοί σε 3 διαστάσεις Οι βασικοί µετασχηµατισµοί που είδαµε ως τώρα δρουν στις 2 διαστάσεις (επίπεδο). Η επέκταση τους στις 3 διαστάσεις γίνεται απλά λαµβάνοντας και το z-άξονα υπόψη. Παράδειγµα: Μετασχηµατισµός κλίµακας : S xyz = Μετασχηµατισµός µετακίνησης : P = P + Περιστροφή γύρω από τον X : R x (θ) =
26 Οµογενείς συντεταγµένες Οι βασικοί µετασχηµατισµοί εκφράζονται από ένα 3x3 πίνακα και εφαρµόζονται στα σηµεία της γεωµετρίας µε ένα απλό πολ/σµό σηµείου µε πίνακα. Όχι όλοι! Η µετακίνηση δεν µπορεί να εφαρµοστεί µε πολ/σµό µε πίνακα! Πρέπει να εξετάζουµε την µετακίνηση σαν ειδική περίπτωση µετασχηµατισµού; Υπάρχει λύση στο πρόβληµα αυτό και ονοµάζεται οµογενείς συντεταγµένες: Επεκτείνουµε την διάσταση των πινάκων κατά ένα από 3x3 σε 4x4, και οι συντεταγµένες των σηµείων/διανυσµατων κερδίζουν ένα επιπλέον στοιχείο [ x y z w ] T Γενική µορφή µετασχηµατισµού Γενική µορφή σηµείου
27 Μετασχηµατισµοί σε οµογενείς συντεταγµένες Μετακίνηση Τ Κλίµακα S xyz Στρέβλωση Η st Περιστροφή R x Περιστροφή R y Περιστροφή R z
28 Σύνθεση µετασχηµατισµών Σε οµογενείς συντεταγµένες η σύνθεση µετασχηµατισµών γίνεται µε απλό πολ/σµό των πινάκων τους: P = Μ 3 Μ 2 Μ 1 P Η εφαρµογή των µετασχηµατισµών γίνεται από τα δεξιά προς τα αριστερά (δηλαδή στο παράδειγµα θα πολ/στει πρώτα ο M 1 µε το σηµείο P. H σειρά που θα εφαρµοστούν οι µετασχηµατισµοί παίζει ρόλο και γενικά Μ 1 Μ 2 Μ 2 Μ 1
29 Σύνθεση µετασχηµατισµών Πχ. Περιστροφή γύρω από δεδοµένο σηµείο: Ζητούµενο: p R θ, p p Απάντηση: R θ, p = T p R θ T p -p R θ
30 Σύνθεση µετασχηµατισµών Ζητούµενο: A 2 B 4 B 3 A 3 Α Β Α Β A 1 A 4 B 1 B 2 Διερεύνηση: A) Να βρεθεί η γωνία στροφής του Α ώστε οι πλευρές να συµπέσουν B) Να περιστραφεί κατάλληλα το σχήµα A Γ) Να µεταφερθεί το Α έτσι ώστε τα σηµεία A 1 και Β 1 να συµπέσουν
31 Σύνθεση µετασχηµατισµών B 4 A 2 Α θ Α B 1 θ Β Β A 1 Α) Εύρεση της γωνίας στροφής: Η διαφορά στην κλίση των δύο σχηµάτων δίνεται από τη διαφορά των γωνιών: θ = θ Α - θ Β θ A = tan 1 θ B = tan 1 A 2 y A 1y A 2x A 1x B 4 y B 1y B 4x B 1x Η ζητούµενη περιστροφή πρέπει να γίνει κατά -θ
32 Σύνθεση µετασχηµατισµών B) Στροφή 1 2 Α -θ Β Β Α Β A 1 Α -A 1 -θ Γ) Τελική µεταφορά Β Α A = T B 1 R θ T A1 Β 1
33 Σύνθεση οµοειδών µετασχηµατισµών Η σύνθεση οµοειδών µετασχηµατισµών µπορεί να γίνει µε οποιαδήποτε σειρά (η αντιµετάθεση ισχύει) R θ R φ = R φ R θ Επιπλέον ισχύουν µερικές βελτιστοποιήσεις που είναι σηµαντικές για γρήγορους υπολογισµούς µετασχηµατισµών R θ R φ = R θ+φ T t T u = T t+u S ax,ay S bx,by = S ax+bx,ay+by H αποφυγή ενός πολ/µού πίνακα ανά σηµείο (vertex) αντικειµένου κάνει πολύ µεγάλη διαφορά όταν πρέπει να µετασχηµατίσουµε αντικείµενα µερικών δεκάδων χιλιάδων τριγώνων!
34 Αντιστροφή µετασχηµατισµών Είναι δυνατόν να αναιρέσουµε την επίδραση ενός µετασχηµατισµού πάνω σε ένα αντικείµενο. Αν πρόκειται για ένα µετασχηµατισµό ή µια οµάδα βασικών µετασχηµατισµών αλλάζουµε την σειρά τους και το πρόσηµο των παραµέτρων Μ = R x (θ)r y (φ)t(t) => Μ -1 = T(-t)R y (-φ)r x (-θ) αρκετά γρήγορο Αν πρόκειται για µετασχηµατισµό περιστροφής (ή γινόµενο µετασχηµατισµών περιστροφής) Μ = R x (θ)r y (φ) => Μ -1 = Μ Τ πολύ γρήγορο! Αν δεν γνωρίζουµε τίποτα για τον µετασχηµατισµό τότε πρέπει να υπολογίσουµε το αντίστροφο Μ -1 µε µια από τις διαθέσιµες µεθόδους της Γραµµικής Άλγεβρας σχετικά αργό
35 Συστήµατα Ένα αντικείµενο σε µια σκηνή περνάει µε µια σειρά µετασχηµατισµών (transforms) από διάφορα συστηµάτων (coordinate spaces) µέχρι να φτάσει την οθόνη: αντικειµένου (object space) κόσµου (world space) κάµερας (camera/view space) προβολής (projection/clip space) οθόνης (screen space) κόσµου κάµερας προβολής οθόνης
36 κόσµου Το κόσµου (world space) είναι ένα καθολικό σύστηµα που περιλαµβάνει όλα τα αντικείµενα της σκηνής τοποθετηµένα στις αντίστοιχες θέσεις τους. Κάθε αντικείµενο µεταφέρεται στο σύστηµα αυτό µε ένα µετασχηµατισµό αντικειµένου (model transform). y Κατεύθυνσ η κάμερας! x κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός αντικειμένου"
37 κόσµου Για να µεταφέρουµε ένα αντικείµενο στο σύστηµα κόσµου (να το τοποθετήσουµε στην σκηνή µας δηλαδή) χρησιµοποιούµε µια σειρά βασικών µετασχηµατισµών όπως περιστροφές, µετακινήσεις, κλίµακα κλπ. πχ P w = T(t)R x (φ)r y (θ) P Κατά κανόνα, ο µετασχηµατισµός αντικειµένου είναι µοναδικός για κάθε αντικείµενο (πχ κάθε αντικείµενο έχει διαφορετική θέση και κατεύθυνση) κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός αντικειμένου"
38 κάµερας Η κάµερα είναι ένα αντικείµενο στην σκηνή µε θέση και κατεύθυνση. Για να κάνουµε την «φωτογράφηση» της σκηνής ευκολότερη, µεταφέρουµε όλα τα αντικείµενα της σκηνής στο σύστηµα της κάµερας στο οποίο η κάµερα είναι στην αρχή τον αξόνων και να δείχνει προς έναν άξονα. Κάθε αντικείµενο µεταφέρεται στο σύστηµα αυτό µε ένα µετασχηµατισµό κάµερας (camera/view transform). y y x x κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός κάμερας"
39 κάµερας Πώς µεταφέρουµε όλα τα αντικείµενα της σκηνής στο σύστηµα της κάµερας; Αντιστρέφοντας τον µετασχηµατισµό που χρησιµοποιήσαµε για να τοποθετήσουµε την κάµερα στο σύστηµα κόσµου (σκηνή) Ας υποθέσουµε ότι χρησιµοποιήσαµε τον µετασχηµατισµό Μ = Τ xyz R z R y R x O αντίστροφος θα είναι M -1 = R x -1 R y -1 R z -1 T xyz -1 Μετασχηµατίζοντας την κάµερα µε τον πίνακα αυτό θα την τοποθετήσουµε στην αρχή των αξόνων. Μαζί µε την κάµερα, µετασχηµατίζουµε και ΟΛΑ τα αντικείµενα της σκηνής. Έτσι οι σχετικές αποστάσεις και γωνίες των αντικειµένων µε την κάµερα διατηρούνται. Ο µετασχηµατισµός κάµερας είναι ο ίδιος για όλα τα αντικείµενα. κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός κάμερας"
40 Μετασχηµατισµός Προβολής Μέχρι στιγµής όλοι οι µετασχηµατισµοί που εφαρµόσαµε στη σκηνή µας επέστρεφαν τα σηµεία (vertices) στις 3 διαστάσεις. Με τον µετασχηµατισµό προβολής (projection transform) προβάλλουµε τα σηµεία στο διδιάστατο επίπεδο ώστε να σχηµατίσουµε την τελική εικόνα. Χρησιµοποιούµε συνήθως 2 ειδών µετασχηµατισµούς προβολής Την ορθογραφική προβολή (orthographic projection) Οι παράλληλες γραµµές παραµένουν παράλληλες. Η αναλογία µεταξύ ευθύγραµµων τµηµάτων διατηρείται Την προβολή µε προοπτική (perspective projection) Τα µακρινά αντικείµενα φαίνονται πιο µικρά Οι παράλληλες γραµµές συγκλίνουν σε ένα σηµείο φυγής 3 διαστάσεις" 2 διαστάσεις" κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός προβολής"
41 Μετασχηµατισµός Προβολής Ορθογραφική προβολή (orthographic projection) Δεν φαίνεται ρεαλιστικό το αποτέλεσµα Κατάλληλο για ακριβής µετρήσεις µήκους ευθύγραµµων τµηµάτων Χρησιµοποιείται για αρχιτεκτονικά σχέδια (και µερικά παλιά παιχνίδια) Προβολή µε προοπτική (perspective projection) Μιµείται τον τρόπο που βλέπει το ανθρώπινο µάτι (αντικείµενα που είναι πιο µακριά φαίνονται πιο µικρά) Παράλληλες γραµµές συγκλίνουν Περισσότερο ρεαλιστική απεικόνιση Χρησιµοποιείται σε σχεδόν όλες τις εφαρµογές τριδιάστατων γραφικών
42 Η ορθογραφική κάµερα από κοντά Μετασχηµατισµός Προβολής Απόσταση µπροστά επιπέδου αποκοπής y x Πίσω επίπεδο αποκοπής Μπροστά επίπεδο αποκοπής Μπροστά επίπεδο αποκοπής: Ότι βρίσκεται µπροστά από αυτό δεν θα συµπεριληφθεί στην σκηνή Πίσω επίπεδο αποκοπής: Ότι βρίσκεται πίσω από αυτό δεν θα συµπεριληφθεί στην σκηνή. Τα δυο αυτά επίπεδα αποκοπής µαζί µε τα τµήµατα που τα ενώνουν ορίζουν το χώρο που «βλέπει» η κάµερα. Η προβολή στο µπροστά επίπεδο αποκοπής γίνεται µε απλή απαλοιφή της z συντεταγµένης κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός προβολής"
43 Η προοπτική κάµερα από κοντά Μετασχηµατισµός Προβολής Απόσταση µπροστά επιπέδου αποκοπής y x Πίσω επίπεδο αποκοπής Μπροστά επίπεδο αποκοπής Μπροστά επίπεδο αποκοπής: Ότι βρίσκεται µπροστά από αυτό δεν θα συµπεριληφθεί στην σκηνή Πίσω επίπεδο αποκοπής: Ότι βρίσκεται πίσω από αυτό δεν θα συµπεριληφθεί στην σκηνή. Τα δυο αυτά επίπεδα αποκοπής µαζί µε τα τµήµατα που τα ενώνουν ορίζουν το χώρο που «βλέπει» η κάµερα (view frustum). Η προβολή στο εµπρός επίπεδο αποκοπής γίνεται µε διαίρεση των κάθε σηµείου µε το z κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός προβολής"
44 Μετασχηµατισµός Προβολής Για να διευκολυνθεί η διαγραφή τμημάτων της σκηνής που δεν είναι ορατά από την κάμερα, το οπτικό πεδίο της κάμερας (frustum) προβάλλεται σε ένα κανονικοποιημένο κύβο με ακμή μήκους 2 τοποθετημένο στην αρχή των αξόνων (αυτό γίνεται και με την ορθογραφική κάμερα)" y y x x -1 κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός προβολής"
45 Μετασχηµατισµός Προβολής Τι γίνεται µε την z συντεταγµένη (βάθος σκηνής); Το βάθος σκηνής κάθε σηµείου είναι µια πολύ σηµαντική παράµετρος που διατηρούµε κατά τον µετασχηµατισµό προβολής. Αργότερα θα το χρησιµοποιήσουµε για να βρούµε τη σειρά που πρέπει να ζωγραφίσουµε κάθε pixel στην οθόνη ώστε να έχουµε σωστή επικάλυψη. κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός προβολής"
46 οθόνης Ο τελευταίος µετασχηµατισµός στην ουρά παίρνει την 2διάστατη κανονικοποιηµένη εικόνα από το προηγούµενο βήµα, την µετακινεί και αλλάζει την κλίµακα ώστε να χωράει σε ένα δεδοµένο παράθυρο στην οθόνη (viewport) y x -1 κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Μετασχηματισμός οθόνης"
47 Περιληπτικά αντικειµένου κόσµου κάµερας προβολής οθόνης Το µοντέλο µας στο χώρο του, µη µετασχηµατισµένο Το µοντέλο µας στη σκηνή µε την σωστή τοποθεσία και κατεύθυνση Το µοντέλο µας στο χώρο της κάµερας, στο οπτικό της πεδίο Το µοντέλο µας στον κανονικοποιηµένο κύβο Το µοντέλο µας στο παράθυρο της οθόνης σε 2 διαστάσεις
2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων
2ο Μάθημα Μετασχηματισμοί 2Δ/3Δ και Συστήματα Συντεταγμένων Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Σύνοψη του σημερινού μαθήματος 1 Εισαγωγή 2 Επανάληψη 3 Συσχετισμένοι 4 Γραμμικοί
Διαβάστε περισσότεραΑπαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε 2Δ συσκευές. Θέση παρατηρητή. 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Προβολές Προβολές Απαραίτητες αφού 3Δ αντικείμενα απεικονίζονται σε Δ συσκευές. Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3Δ Μαθηματικά Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 &3
Μετασχηµατισµοί &3 Περιγράφονται σαν σύνθεση βασικών: µετατόπιση, αλλαγή κλίµακας,περιστροφή, στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling transformations)
Μετασχηματισμοί Δ Μετασχηματισμοί Μοντελοποίησης (modeling trnformtion) Καθορισμός μετασχηματισμών των αντικειμένων Τα αντικείμενα περιγράφονται στο δικό τους σύστημα συντεταγμένων Επιτρέπει την χρήση
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές
Μετασχ. Γραφικά Παρατήρησης Υπολογιστών και Προβολές Μετασχηματισμοί Παρατήρησης και Προβολές Γ. Γ. Παπαϊωάννου, - 2008 Στάδια Προβολής στο Επίπεδο Περνάμε από WCS στοτοπικόσύστημα συντεταγμένων του παρατηρητή
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΩΝ Εισαγωγή /4 Το σχήμα και το μέγεθος των δισδιάστατων αντικειμένων περιγράφονται με τις καρτεσιανές συντεταγμένες x, y. Με εφαρμογή γεωμετρικών μετασχηματισμών στο μοντέλο
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά με υπολογιστές. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Διαλέξεις #11-#12
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διαλέξεις #-# Σύνθεση Δ Μετασχηματισμών Ομογενείς Συντεταγμένες Παραδείγματα Μετασχηματισμών
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικό υπόβαθρο. Κεφάλαιο 3. Μαθησιακοί στόχοι. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Σημεία και διανύσματα
Κεφάλαιο 3 Μαθηματικό υπόβαθρο Μαθησιακοί στόχοι Μετά την ολοκλήρωση αυτού του κεφαλαίου, ο αναγνώστης θα είναι σε θέση: Να γνωρίζει τις βασικές ιδιότητες και να πραγματοποιεί πράξεις των σημείων και των
Διαβάστε περισσότεραΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;
ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται
Διαβάστε περισσότεραα) Κύκλος από δύο δοσµένα σηµεία Α, Β. Το ένα από τα δύο σηµεία ορίζεται ως κέντρο αν το επιλέξουµε πρώτο. β) Κύκλος από δοσµένο σηµείο και δοσµένο ευ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ SKETCHPAD ΜΕΡΟΣ Α Μιλώντας για ένα λογισµικό δυναµικής γεωµετρίας καλό θα ήταν να διακρίνουµε αρχικά 3 οµάδες εργαλείων µε τα οποία µπορούµε να εργαστούµε µέσα στο συγκεκριµένο περιβάλλον.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία μετασχηματισμών
Μήτρα Μετασχηματισμού Η γεωμετρία ενός αντικειμένου μπορεί να παρουσιαστεί από ένα σύνολο σημείων κατανεμημένων σε διάφορα επίπεδα. Έτσι λοιπόν ένα πλήθος δεδομένων για κάποιο αντικείμενο μπορεί να αναπαρασταθεί
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη #10. Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς. Γραφικά με υπολογιστές. Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο.
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmlonas@ionio.gr Διάλεξη # Δ Μετασχηματισμοί (γενικά) Γραμμικοί Μετασχηματισμοί Απλοί Συσχετισμένοι
Διαβάστε περισσότερα4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης
4ο Μάθημα Προβολές και Μετασχηματισμοί Παρατήρησης Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Προοπτική Προβολή Παράλληλη Προβολή Ορθογραφικές Προβολές Πλάγιες Παράλληλες
Διαβάστε περισσότεραιάνυσµα ονοµάζεται το µαθηµατικό µέγεθος που περιγράφεται από µιατριάδαστοιχείων: το
Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2008-9 1/44 1. Ορισµοί 2. Είδη διανυσµάτων 3. Πράξεις διανυσµάτων 4. Εσωτερικό, εξωτερικό και µικτό γινόµενο
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηµατισµοί 2 & 3
Μετασχηµατισµοί & 3 Περιγράφονται σαν σύνεση βασικών: µετατόπιση αλλαγή κλίµακαςπεριστροφή στρέβλωση Χωρίζονται σε γεωµετρικούς (εδώ) και αξόνων (αντίστροφοι) Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Κεφάλαιο. Για να δημιουργήσουμε τρισδιάστατα αντικείμενα, που μπορούν να παρασταθούν στην οθόνη του υπολογιστή ως ένα σύνολο από γραμμές, επίπεδες πολυγωνικές επιφάνειες ή ακόμη και από ένα συνδυασμό από
Διαβάστε περισσότεραΑντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
Αντικείμενα και γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Τα βασικά γεωμετρικά αντικείμενα και οι μεταξύ τους σχέσεις μπορούν να περιγραφούν με τρεις βασικές γεωμετρικές οντότητες: σημεία, βαθμωτά μεγέθη, διανύσματα
Διαβάστε περισσότεραισδιάστατοι μετασχηματισμοί ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί Πολλά προβλήματα λύνονται μέσω δισδιάστατων απεικονίσεων ενός μοντέλου. Μεταξύ αυτών και τα προβλήματα κίνησης, όπως η κίνηση ενός συρόμενου μηχανισμού.
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσµατα στο επίπεδο
Διανύσµατα στο επίπεδο Ένα διάνυσµα v έχει αρχικό και τελικό σηµείο. Χαρακτηρίζεται από: διεύθυνση (ευθεία επί της οποίας κείται φορά (προς ποια κατεύθυνση της ευθείας δείχνει µέτρο (το µήκος του, v ή
Διαβάστε περισσότεραΧωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί
Χωρικές Περιγραφές και Μετασχηµατισµοί Νίκος Βλάσσης Τµήµα Μηχανικών Παραγωγής και ιοίκησης Πολυτεχνείο Κρητης Ροµποτική, 9ο εξάµηνο ΜΠ, 2007 Ροµπότ SCR 1 Περιεχόµενα Στοιχεία γραµµικής άλγεβρας Χωρικές
Διαβάστε περισσότεραΡοµποτική. είτε µε το ανυσµατικό άθροισµα. όπου x = αποτελούν τα µοναδιαία ανύσµατα του
Ροµποτική Ο χειρισµός αντικειµένων και εργαλείων από ένα ροµποτικό βραχίονα σηµαίνει ότι το ροµπότ πρέπει να είναι ικανό να τοποθετεί και να προσανατολίζει κατάλληλα το άκρο του στο χώρο εργασίας π.χ.
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΓΡΑΦΙΚΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ Διδάσκων: Ν. ΝΙΚΟΛΑΙΔΗΣ 1 η Σειρά Ασκήσεων Πλαίσια, γεωμετρικοί μετασχηματισμοί και προβολές 1. Y B (-1,2,0) A (-1,1,0) A (1,1,0)
Διαβάστε περισσότεραΜηχανισµοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασµό Μηχανών Ακαδηµαϊκό έτος: Ε.Μ.Π. Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 3.
ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ - 3.1 - Cpright ΕΜΠ - Σχολή Μηχανολόγων Μηχανικών - Εργαστήριο υναµικής και Κατασκευών - 2012. Με επιφύλαξη παντός δικαιώµατος. All rights reserved. Απαγορεύεται
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ. Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί
ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΟΛΥΜΕΣΩΝ & ΓΡΑΦΙΚΩΝ Γ Ρ Α Φ Ι Κ Α Τρισδιάστατοι γεωμετρικοί μετασχηματισμοί εξιόστροφο σύστημα Θετικές περιστροφές ως προς τους άξονες συντεταγμένων x, y, z Αριστερόστροφο Σύστημα Αναπαράσταση
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Προβολικοί Μετασχηματισμοί Προβολικοί Μετασχηματισμοί Γενικός Ορισμός Μετασχηματισμός των σημείων ενός σημειακού χώρου διάστασης n σε σημεία
Διαβάστε περισσότεραΕπίλυση Γραµµικών Συστηµάτων
Κεφάλαιο 3 Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων 31 Εισαγωγή Αριθµητική λύση γενικών γραµµικών συστηµάτων n n A n n x n 1 b n 1, όπου a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A [a i j, x a n1 a n2 a nn x n, b b 1 b 2 b n
Διαβάστε περισσότεραΣχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Σχεδίαση με Ηλεκτρονικούς Υπολογιστές Ενότητα # 2: Μετασχηματισμοί συντεταγμένων στις 2 διαστάσεις Καθηγητής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα
Διαβάστε περισσότεραx 2 = b 1 2x 1 + 4x 2 + x 3 = b 2. x 1 + 2x 2 + x 3 = b 3
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 008-9 ΛΥΣΕΙΣ = 1 (Ι) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα 6 40 1 0 A 4 1 1 1 (ΙΙ) Εστω b 1, b, b 3 στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 1 x 1 + 4x + x 3 = b x 1 + x + x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΕιδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή
Διαβάστε περισσότεραΔιαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός Παράλληλης Προβολής Υπολογισμός Προοπτικής Προβολής Παραδείγματα
Ιόνιο Πανεπιστήμιο Τμήμα Πληροφορικής Χειμερινό εξάμηνο Γραφικά με υπολογιστές Διδάσκων: Φοίβος Μυλωνάς fmylonas@ionio.gr Διαλέξεις #13-#14 Εισαγωγικά στοιχεία Προοπτική, Παράλληλη, Πλάγια Υπολογισμός
Διαβάστε περισσότεραΘέση και Προσανατολισμός
Κεφάλαιο 2 Θέση και Προσανατολισμός 2-1 Εισαγωγή Προκειμένου να μπορεί ένα ρομπότ να εκτελέσει κάποιο έργο, πρέπει να διαθέτει τρόπο να περιγράφει τα εξής: Τη θέση και προσανατολισμό του τελικού στοιχείου
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 14 Διανύσματα. 1 Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα
ΦΥΕ 4 Διανύσματα Περιγραφή διανυσμάτων στο χώρο Γεωμετρική περιγραφή: Τα διανύσματα περιγράφονται σαν προσανατολισμένα ευθύγραμμα τμήματα Δύο διανύσματα θα θεωρούμε ότι είναι ίσα, εάν έχουν το ίδιο μήκος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο M3. Διανύσµατα
Κεφάλαιο M3 Διανύσµατα Διανύσµατα Διανυσµατικά µεγέθη Φυσικά µεγέθη που έχουν τόσο αριθµητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούµε µε τις µαθηµατικές πράξεις των
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ
Παρουσίαση ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Παρουσίαση η Κάθετες συνιστώσες διανύσµατος Παράδειγµα Θα αναλύσουµε το διάνυσµα v (, ) σε δύο κάθετες µεταξύ τους συνιστώσες από τις οποίες η µία να είναι παράλληλη στο α (3,) Πραγµατικά
Διαβάστε περισσότεραΟµάδα Ασκήσεων #1-Λύσεις
Οµάδα Ασκήσεων #-Λύσεις Πρόβληµα # (α) (β) Τουλάχιστον Β.Ε. (Βαθµοί Ελευθερίας) χρειάζονται για αυθαίρετη τοποθέτηση στο χώρο (x,y,z) και επιπλέον Β.Ε. απαιτούνται για αυθαίρετο προσανατολισµό (στη δεδοµένη
Διαβάστε περισσότερα1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός.
1)Βρείτε την εξίσωση για το επίπεδο που περιέχει το σηµείο (1,-1,3) και είναι παράλληλο προς το επίπεδο 3x+y+z=a όπου a ένας αριθµός. ( Καρτεσιανή ) επιλέχθηκε για το σχήµα. Ο αριθµός a δεν επιρρεάζει
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης. Γραφικά Υπολογιστών ΣΤ Εξάμηνο. Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕΙ Ανατολικής Μακεδονίας και Θράκης ΣΤ Εξάμηνο Δρ Κωνσταντίνος Δεμερτζής η Μετασχηματισμοί kdemertz@fmenr.duth.gr Μετασχηματισμοί Κατά τον σχηματισμό του εικονικού κόσμου
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότερα13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
ETION 1 13 ΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 13.1 Ορισµοί Μεγέθη Μια ποσότητα που εκφράζεται από ένα µόνο πραγµατικό αριθµό καλείται βαθµωτό µέγεθος. Μια ποσότητα που εκφράζεται από περισσότερους από έναν πραγµατικούς
Διαβάστε περισσότεραΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1. Τελεστές και πίνακες. 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά. Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο.
ΤΕΤΥ Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 1 Τελεστές και πίνακες 1. Τελεστές και πίνακες Γενικά Τι είναι συνάρτηση? Απεικόνιση ενός αριθμού σε έναν άλλο. Ανάλογα, τελεστής είναι η απεικόνιση ενός διανύσματος σε ένα
Διαβάστε περισσότεραΕπίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων. Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58
Φρ. Κουτελιέρης Επίκουρος Καθηγητής Παν/µίου Ιωαννίνων Τηλ. 26410741964196 E-mail fkoutel@cc.uoi.gr ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ Μαθηµατικά Ι Ακαδ. Έτος 2009-10 1/58 Γραµµική άλγεβρα...... είναι τοµέας
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανυσματικοί Χώροι Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διανυσματικός Χώρος επί του F Αλγεβρική δομή που αποτελείται
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ. 3ο Μάθημα Αποκοπή. Γραφικα. Ευάγγελος Σπύρου
Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε 3Δ Γραφικα Τμήμα Πληροφορικής Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Ακ Έτος 2016-17 Εισαγωγή Αποκοπή ευθείας σε 2Δ Αποκοπή πολυγώνου σε 2Δ Αποκοπή σε
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=
Διαβάστε περισσότεραΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ
ΕΝΝΟΙ ΤΟΥ ΙΝΥΣΜΤΟΣ Όπως είναι γνωστό από τη φυσική, τα διάφορα µεγέθη διακρίνονται σε βαθµωτά και διανυσµατικά. αθµωτά είναι τα µεγέθη τα οποία χαρακτηρίζονται µόνο από το µέτρο τους. Τέτοια µεγέθη είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΓραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D
1 ΤΕΙ Θεσσαλονίκης Τμήμα Πληροφορικής Γραφικά Υπολογιστών: Θέαση στις 3D Πασχάλης Ράπτης http://aetos.it.teithe.gr/~praptis praptis@it.teithe.gr 2 Περιεχόμενα Σήμερα θα δούμε τα παρακάτω θέματα: Μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότεραx y z d e f g h k = 0 a b c d e f g h k
Σύνοψη Κεφαλαίου 3: Προβολική Γεωμετρία Προοπτική. Εάν π και π 2 είναι δύο επίπεδα που δεν περνάνε από την αρχή O στο R 3, λέμε οτι τα σημεία P στο π και Q στο π 2 βρίσκονται σε προοπτική από το O εάν
Διαβάστε περισσότεραcos ϑ sin ϑ sin ϑ cos ϑ
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 33 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Νοε 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-33 Νοε 2014 1 / 11 Μετασχηματισμοί του επιπέδου Πολλοί μετασχηματισμοί
Διαβάστε περισσότεραΤι είναι βαθμωτό μέγεθος? Ένα μέγεθος που περιγράφεται μόνο με έναν αριθμό (π.χ. πίεση)
TETY Εφαρμοσμένα Μαθηματικά Ενότητα ΙΙ: Γραμμική Άλγεβρα Ύλη: Διανυσματικοί χώροι και διανύσματα, μετασχηματισμοί διανυσμάτων, τελεστές και πίνακες, ιδιοδιανύσματα και ιδιοτιμές πινάκων, επίλυση γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ. 4.1 Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΥΡΕΣΗΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ι ΙΟΤΙΜΩΝ 4. Γραµµικοί µετασχηµατισµοί-ιδιοτιµές-ιδιοδιανύσµατα Εστω R είναι ο γνωστός -διάστατος πραγµατικός διανυσµατικός χώρος. Μία απεικόνιση L :
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμός Παρατήρησης
Μετασχηματισμός Παρατήρησης Παγκόσμιο Σύστημα Συντεταγμένων Σύστημα Συντεταγμένων Παρατηρητή. Σύνθεση βασικών μετασχηματισμών. Καθορίζει όρια αποκοπής & παραμέτρους προβολής Θα εξετάσουμε ΜΠ Ι και Θέσεις
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 1
Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή
Κεφάλαιο 8. Οπτικοποίηση Απαλοιφή Oι οπτικές επιδράσεις, που μπορεί να προκαλέσει μια εικόνα στους χρήστες, αποτελούν ένα από τα σπουδαιότερα αποτελέσματα των λειτουργιών γραφικών με Η/Υ. Τον όρο της οπτικοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός Ax μπορεί να ειδωθεί σαν μετασχηματισ
Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Μετασχηματισμοί στον R 2 Μπορούν να παρασταθούν (και να υλοποιηθούν) με πολλαπλασιασμό πινάκων Ο πολλαπλασιασμός
Διαβάστε περισσότεραΠροβολές. Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε 2 συσκευές.
ροβολές Απαραίτητες αφού 3 αντικείµενα απεικονίζονται σε συσκευές. Θέσεις αντικειµένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3 Μαθηµατικά Μοντέλα ΣΣΑ 3 Μετασχ/σµοί Μοντέλου ΣΣ (WCS) 3 Μετασχ/σµός αρατήρησης
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ Διάνυσμα Θέσης ενός σημείου Αν θεωρήσουμε ένα οποιοδήποτε σημείο Ο του επιπέδου ως σημείο αναφοράς (ακόμα
Διαβάστε περισσότεραΟδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender
Οδηγίες σχεδίασης στο περιβάλλον Blender Στον πραγματικό κόσμο, αντιλαμβανόμαστε τα αντικείμενα σε τρεις κατευθύνσεις ή διαστάσεις. Τυπικά λέμε ότι διαθέτουν ύψος, πλάτος και βάθος. Όταν θέλουμε να αναπαραστήσουμε
Διαβάστε περισσότερα( ) 10 ( ) εποµ ένως. π π π π ή γενικότερα: π π. π π. π π. Άσκηση 1 (10 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i.
http://elern.mths.gr/, mths@mths.gr, Τηλ: 697905 Ενδεικτικές απαντήσεις ης Γραπτής Εργασίας ΠΛΗ 00-0: Άσκηση (0 µον) Θεωρούµε το µιγαδικό αριθµό z= i. α) (5 µον) Βρείτε την τριγωνοµετρική µορφή του z.
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Πίνακες Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Πίνακες Μητρώα Πίνακας: Ορθογώνια διάταξη αριθμών σε γραμμές και στήλες
Διαβάστε περισσότεραΓραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα
Γραμμική Άλγεβρα και Μαθηματικός Λογισμός για Οικονομικά και Επιχειρησιακά Προβλήματα Ενότητα: Διανυσματικοί Χώροι και Υπόχωροι: Βάσεις και Διάσταση Ανδριανός Ε Τσεκρέκος Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής
Διαβάστε περισσότερα1 Οι πραγµατικοί αριθµοί
1 Οι πραγµατικοί αριθµοί 1.1 Σύνολα αριθµών Το σύνολο των ϕυσικών αριθµών N = {1, 2, 3,...} Το σύνολο των ακεραίων Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Οι ακέραιοι διαµερίζονται σε άρτιους και περιττούς
Διαβάστε περισσότερα(2) Θεωρούµε µοναδιαία διανύσµατα α, β, γ R 3, για τα οποία γνωρίζουµε ότι το διάνυσµα
Πανεπιστηµιο Ιωαννινων σχολη θετικων επιστηµων τµηµα µαθηµατικων τοµεας αλγεβρας και γεωµετριας αναλυτικη γεωµετρια διδασκων : χρηστος κ. τατακης υποδειξεις λυσεων των θεµατων της 7.06.016 ΘΕΜΑ 1. µονάδες
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα συντεταγμένων
Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή
Κλασσική παρατήρηση & παρατήρηση με υπολογιστή Πολλέςαπότιςεργασίεςσχεδίασης (αρχιτεκτονικό, μηχανολογικό σχέδιο, κινούμενα σχέδια) γίνονται με υπολογιστή Ο χρήστης θα πρέπει να μπορεί να παράξει «κλασικές»
Διαβάστε περισσότεραΣυναφείς µετασχηµατισµοί:
Μετασχηµατισµοί Μετασχηµατισµός: απεικόνιση ενός σηµείου ή διανύσµατος σε άλλο σηµείο ή διάνυσµα Q=T(P), v=r(u) Οµογενείς συντεταγµένες: ενιαίος ορισµός q=f(p) Γενική περίπτωση: υπολογισµός για κάθε σηµείο
Διαβάστε περισσότεραΓραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 1 : Εισαγωγή στη Γραµµική Αλγεβρα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.
Διαβάστε περισσότερα( AB) + ( BC) = ( AC).
ΜΕΜ 102 Γεωμετρία και Γραμμική Άλγεβρα Διάλεξη 3 Προβολή, εσωτερικό γινόμενο Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης Σεπ 2014 Χ.Κουρουνιώτης (Παν.Κρήτης) ΜΕΜ 102-3 Σεπ 2014 1 / 12 Άξονας, αλγεβρική τιμή
Διαβάστε περισσότερα1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
Διαβάστε περισσότεραΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q
ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.
Διαβάστε περισσότεραΠεριεχόµενα ενότητας
Προβολές Περιεχόµενα ενότητας Μετασχηµατισµός αλλαγής οπτικής γωνίας Επίπεδο προβολής - Μητρώο προβολής Παράλληλη προβολή Πλάγια παράλληλη προβολή Προοπτική προβολή Πλάγια προοπτική προβολή Μετασχηµατισµός
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ MATLAB- SIMULINK ρ. Γεώργιος Φ. Φραγκούλης Καθηγητής Ver. 0.2 9/2012 ιανύσµατα & ισδιάστατοι πίνακες Ένα διάνυσµα u = (u1, u2,, u ) εισάγεται στη MATLAB ως εξής : u=[ u1, u2,, un ] ή u=[ u1
Διαβάστε περισσότεραa 11 a 1n b 1 a m1 a mn b n
Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Διάλεξη 13 Χρήστος Κουρουνιώτης Πανεπιστήμιο Κρήτης 28/4/2014 ΧΚουρουνιώτης (ΠανΚρήτης) Διάλεξη 13 28/4/2014 1 / 14 Πίνακες πάνω από σώμα K Πίνακες πάνω από σώμα K Το σύνολο των m n
Διαβάστε περισσότεραΔιανύσματα. (α) μέτρο, (β) διεύθυνση και. (γ) φορά. (κατεύθυνση=διεύθυνση+φορά).
Διανύσματα Βαθμωτή Ποσότητα: αυτή που μπορεί να οριστεί πλήρως με έναν αριθμό και μια μονάδα. Ο αριθμός και η μονάδα συνιστούν το μέτρο της βαθμωτής ποσότητας. Διάνυσμα: είναι η ποσότητα που έχει (α) μέτρο,
Διαβάστε περισσότεραΚλασικη ιαφορικη Γεωµετρια
Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Σχολη Θετικων Επιστηµων, Τµηµα Μαθηµατικων, Τοµεας Γεωµετριας Κλασικη ιαφορικη Γεωµετρια Πρώτη Εργασία, 2018-19 1 Προαπαιτούµενες γνώσεις και ϐασική προετοιµασία
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2 Πίνακες - Ορίζουσες
Κεφάλαιο Πίνακες - Ορίζουσες Βασικοί ορισμοί και πίνακες Πίνακες Παραδείγματα: Ο πίνακας πωλήσεων ανά τρίμηνο μίας εταιρείας για τρία είδη που εμπορεύεται: ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο 3 ο Τρίμηνο ο Τρίμηνο Είδος
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4
Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml
Διαβάστε περισσότεραAB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος
Διαβάστε περισσότεραΕφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ
Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ Διανύσματα Ευθείες - Επίπεδα Ιωάννης Λυχναρόπουλος Μαθηματικός, MSc, PhD Διάνυσμα ή Διανυσματικό μέγεθος (Vector) Μέγεθος που
Διαβάστε περισσότεραΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και
Διαβάστε περισσότεραΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6. = + tβ r. zk και εξισώνουµε τις συνιστώσες των διανυσµάτων x(t) = 1+ 2t, y(t) = 1+ 3t, z(t) = 4 + t
ΦΥΕ 10, Γ. ΚΟΡ ΟΥΛΗΣ, ιανύσµατα 1/6 ) Ευθεία Ευθεία διέρχεται από το σηµείο Α µε διάνυσµα θέσης = i j+ 4k το διάνυσµα β = 2i + 3j + k. και είναι παράλληλη προς Α = + tβ α β ιανυσµατική εξίσωση: Εισάγουµε
Διαβάστε περισσότεραΜάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης
Μάθημα 1 ο : Εντολές κίνησης Στο πρώτο µάθηµα θα εξοικειωθείς µε τις βασικές εντολές του Scratch που βρίσκονται στην παλέτα κίνηση. Θα µάθεις να µετακινείς ένα αντικείµενο, να το περιστρέφεις και να το
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο
Διαβάστε περισσότερα0 + a = a + 0 = a, a k, a + ( a) = ( a) + a = 0, 1 a = a 1 = a, a k, a a 1 = a 1 a = 1,
I ΠΙΝΑΚΕΣ 11 Σώμα 111 Ορισμός: Ενα σύνολο k εφοδιασμένο με δύο πράξεις + και ονομάζεται σώμα αν ικανοποιούνται οι παρακάτω ιδιότητες: (Α (α (Προσεταιριστική ιδιότητα της πρόσθεσης (a + b + c = a + (b +
Διαβάστε περισσότεραΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΤΜΗΜΑ ΔΙΕΘΝΟΥΣ ΕΜΠΟΡΙΟΥ ΒΟΗΘΗΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΣΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΕΦΑΛΑΙΑ: ) ΠΙΝΑΚΕΣ ) ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ) ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 4) ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ ΜΑΡΙΑ ΡΟΥΣΟΥΛΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΠΙΝΑΚEΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ Πίνακας
Διαβάστε περισσότεραΜήτρες Ειδικές μήτρες. Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας
Μήτρες Ειδικές μήτρες Στοιχεία Γραμμικής Άλγεβρας Το διάνυσμα ως μήτρα Είδαμε ότι ένα διάνυσμα u = (u 1, u 2, u 3 ) μπορεί να γραφεί και ως μήτρα 3x1, δηλ. μήτρα με 3 γραμμές x 1 στήλη: 1 η γραμμή 2 η
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι
Κεφάλαιο 4 ιανυσµατικοί Χώροι 4 ιανυσµατικοί χώροι - Βασικοί ορισµοί και ιδιότητες ιανυσµατικοί Χώροι Ένας ιανυσµατικός Χώρος V (δχ) είναι ένα σύνολο από µαθηµατικά αντικείµενα (αριθµούς, διανύσµατα, πίνακες,
Διαβάστε περισσότεραΤα ρομπότ στην βιομηχανία
Τεχνολογικό Eκπαιδευτικό Ίδρυμα Kρήτης Διατμηματικό Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα "Προηγμένα συστήματα παραγωγής, αυτοματισμού και ρομποτικής" Βιομηχανική Ρομποτική «Κινηματική στερεών σωμάτων» Δρ. Φασουλάς Γιάννης
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2. Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων
Κεφάλαιο 2 Διανύσματα και Συστήματα Συντεταγμένων Διανύσματα Διανυσματικά μεγέθη Φυσικά μεγέθη που έχουν τόσο αριθμητικές ιδιότητες όσο και ιδιότητες κατεύθυνσης. Σε αυτό το κεφάλαιο, θα ασχοληθούμε με
Διαβάστε περισσότερααπό t 1 (x) = A 1 x A 1 b.
Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από
Διαβάστε περισσότεραΕνότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Διαβάστε περισσότερα5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας
5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Θεώρηµα Κάθε ευθεία έχει εξίσωση της µορφής: Ax + By +Γ= 0, µε Α 0 ηβ 0 () και αντιστρόφως κάθε εξίσωση της µορφής () παριστάνει ευθεία γραµµή.
Διαβάστε περισσότεραΜηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή. Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών
Μηχανολογικό Σχέδιο με τη Βοήθεια Υπολογιστή Γεωμετρικός Πυρήνας Γεωμετρικός Πυρήνας Αφφινικοί Μετασχηματισμοί Αναπαράσταση Γεωμετρικών Μορφών Γεωμετρικός Πυρήνας Εξομάλυνση Σημεία Καμπύλες Επιφάνειες
Διαβάστε περισσότεραΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ
Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 ΜΗΧΑΝΙΣΜΟΙ & ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΟ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟ ΜΗΧΑΝΩΝ -A.1 - Μηχανισμοί & Εισαγωγή στο Σχεδιασμό Μηχανών Ακαδημαϊκό έτος: 214-215 Copyright ΕΜΠ
Διαβάστε περισσότερααριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΗ διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering)
Υφή Η διαδικασία Παραγωγής Συνθετικής Εικόνας (Rendering) Θέσεις αντικειμένων και φωτεινών πηγών Θέση παρατηρητή 3D Μοντέλα 3Δ Μετασχ/σμοί Μοντέλου 3Δ Μετασχ/σμός Παρατήρησης Απομάκρυνση Πίσω Επιφανειών
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότερα[A I 3 ] [I 3 A 1 ].
ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΗΣ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟ ΟΥ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 9 (α) Να ϐρεθεί ο αντίστροφος του πίνακα A = 6 4 (ϐ) Εστω b, b, b στο R Να λύθεί το σύστηµα x = b 6x + x + x = b x
Διαβάστε περισσότερα6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
6. ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΙΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 6. Διανυσματικοί χώροι παραμέτρων και μετρήσεων. Θα δανειστούµε για µία ακόµη φορά έννοιες της Γραµµικής Άλγεβρας προκειµένου να δούµε πως µπορούµε να χειριστούµε
Διαβάστε περισσότερα