ΦΥΕ34 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις

Transcript

1 ΦΥΕ4 Λύσεις 6 ης Εργασίας Ασκήσεις ) α)η διακριτική ικανότητα του φράγµατος ορίζεται ως ο όγος, όπου, +δ, δ δύο µήκη κύµατος που µόις διακρίνονται µε γυµνό οφθαµό και δ πού µικρό Αυτό συµβαίνει σύµφωνα µε το κριτήριο του Rayleigh όταν το µέγιστο της µίας γραµµής (του ενός µήκους κύµατος) µόις που πέφτει πάνω στο πρώτο εάχιστο της άης Για το κύµα µήκους το µέγιστο τάξης n ικανοποιεί τη συνθήκη f sinθ = n, όπου f η σταθερά του φράγµατος, ενώ για το κύµα µήκους +δ η αναγκαία συνθήκη είναι f ( sinθ sinθ) n( δ) + = +, από την οποία ανάγεται ότι: ( sinθ ) f = nδ Για να ικανοποιείται το κριτήριο του Rayleigh θα πρέπει να ισχύει ( sinθ ) = Nf όπου Ν ο αριθµός των σχισµών του φράγµατος Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις προκύπτει ότι: δ =Nn που µας δίνει τη διακριτική ικανότητα του περιθαστικού φράγµατος στην τάξη n (εν προκειµένω n=) Αντικαθιστώντας τα αριθµητικά δεδοµένα προκύπτει ότι για να είναι διακριτή η διπή γραµµή νατρίου στην τρίτη τάξη, θα πρέπει ο συνοικός αριθµός των γραµµών του φράγµατος να είναι τουάχιστον 5896 N = n δ = 6 = β) Εφαρµόζοντας τον τύπο που δείξαµε στο ερώτηµα (α), για πρώτη τάξη (n=) έχουµε: δ = = 7 m Nn Πήραµε αυθαίρετα σαν τάξη φάσµατος n=, αφού δεν καθορίζεται από την άσκηση Γενικά πάντως αν είναι δυνατή η παρατήρηση µεγαύτερης φασµατικής τάξης, τότε το δ µειώνεται, για δεδοµένη διακριτική ικανότητα Υπάρχει όµως περιορισµός στη µέγιστη τιµή του n όγω µείωσης της έντασης µε την αύξηση του n

2 ) α) Για να µην ανακάται το µήκος κύµατος, θα πρέπει και L = = 4 4n Z = ZZ () προσοχή: µήκος κύµατος στο κενό, µήκος κύµατος στην επίστρωση Ο δείκτης διάθασης της επίστρωσης προκύπτει από την σχέση 859 σε 8 (Τοµ Β, Μέρος Β) Για τα ηεκτροµαγνητικά κύµατα η σύνθετη αντίσταση είναι αντιστρόφως ανάογη προς τον δείκτη διάθασης (σχέση 84, σε ) Οπότε η () δίνει: n = nn = n () αφού για το κενό n = Z ΗΜ n () Έτσι n = 5 = και το πάχος της επίστρωσης θα είναι L = =, οπότε: 4 4n o o L = 55 Α (4 ) = 7 Α µ β) (όπως πριν, είναι το µήκος κύµατος του πράσινου στο κενό για το οποίο έχουµε πετύχει µη-ανάκαση, ενώ είναι το µήκος κύµατος στο κενό άων χρωµάτων (µπε, κόκκινο, ) Το συνοικό ανακώµενο κύµα στην περιοχή δίνεται από την 857 σε 7, για τυχόν χρώµα ( + ) + ( + ) yανακ R A cos k x ωt R A cos k x k L ωt (4) πρασινο Έχουµε επιτύχει προσαρµογή για το πράσινο, δηαδή L = = 4 4 n (5), όπου n ο δείκτης διάθασης ορατού φωτός (ίδιος για όα τα µήκη κύµατος, δεδοµένο της άσκησης) Z Z n n n n n = = = = Z + Z + n + n n + n n Είναι R Και R ( n ) ( ) Z Z n n n n n = = = = = R Z + Z n + n n+ n n n +

3 Άρα (4) y AR cos( t+ kx) + cos( kx+ tkl) ανακ ω ω (6) Εξάου y Acos( k x ωt) εισερχ = (7) Μπορούµε είτε ( ον ) να χρησιµοποιήσουµε το γεγονός ότι η ένταση Ι είναι ανάογη του τετραγώνου της αντίστοιχής διαταραχής («µετατόπισης»), δηαδή ανακ y, ανακ εισερχ y εισερχ, και να πάρουµε την µέση χρονική τιµή των τετραγώνων των (6) και (7), είτε ( ον ) να χρησιµοποιήσουµε την σχέση 87 µε την σύνθετη αντίσταση και να πάρουµε την µέση τιµή Στη δεύτερη περίπτωση βρίσκουµε διαδοχικά: = Z t Ψ εισερχ από σχέση 87 σε για την διαδιδόµενη ισχύ στη χορδή (ένταση ΗΜ κύµατος στην περίπτωσή µας) Έτσι = ZA ω (8) και Ψανακ sin sin ω sin kx sin = ZAR + + = = ( cos ) ω cos ( ) ( ) ( ) ανακ = Z = Z A R ω k x+ ωt + k x+ ωt k L = t = ZARω + kl = ZAR kl π π είναι όµως k = = και L = (δες (5)) ( στο µεσο ) 4 n n Άρα: ανακ π = ZA Rω sin (9) ανακ π = 4R sin (8),(9), όπου R = n n + γ) Αριθµητικές αντικαταστάσεις (µε n = 5 πάντοτε) για το µπε, = 45 Α, o και για το κόκκινο, = 66 Α o, δίνουν αντίστοιχα: ανακ ( µπε ) = 47 και ανακ ( κoκκ) = 7

4 ) α) Η φασική ταχύτητα ω υ = = δεν εξαρτάται από το k (γραµµική σχέση k ρ διασποράς, όες οι συνιστώσες διαδίδονται µε την ίδια ταχύτητα) Το ίδιο ισχύει και dω για την ταχύτητα οµάδας υg = = Κατά συνέπεια, η ανασύσταση του παµού dk ρ από τις επιµέρους απαράαχτες συχνότητες κάθε στιγµή, δίνει την ίδια µορφή Αυτό βέβαια είναι αναµενόµενο αφού ο παµός ικανοποιεί την χαρακτηριστική διαφορική εξίσωση του κύµατος, η οποία εξ ορισµού περιγράφει κύµατα (χωρίς διασπορά) τα οποία διατηρούν το σχήµα τους αµετάβητο καθώς διαδίδονται ( είτε σχήµα και υποκεφάαιο 4 στο πρώτο κεφάαιο, πρώτο µέρος) π = k = k x ρ ρ π =, αφού k x π ω ρ Είναι ω ω ( ) β) Το πάτος A α κάθε αρµονικής συνιστώσας ω του ανακώµενου κύµατος θα είναι ίδιο αφού ο συντεεστής ανακάσεως δεν εξαρτάται από την συχνότητα, σε σχέση µε το A π της αντίστοιχης προσπίπτουσας είναι: A Z Z R A Z Z α = = = π + (αντιστροφή του ανακώµενου) Για τον διερχόµενο παµό θα έχουµε: Aδ Z ακόµη = = = (χωρίς αντιστροφή), A Z + Z υδ π ' = υ ρ = 4ρ = x π π ω ρ ω ρ γ)προφανώς ( x) = = ( x) και ( x) = = ( x) α π δ π (δεν αάζουν οι συχνότητες µε την ανάκαση ή διάδοση) 4) Η κίνηση της χορδής περιγράφεται ως επαηία των δύο Ψ ( x, t) κυµάτων: ( xt, ) y( xt, ) y( xt, ) Acos( ωt kx δ ) Acos( ωt kx δ ) Ψ = + = Πρώτος τρόπος, χωρίς την χρήση σύνθετης αντίστασης: Το σύνθετο κύµα θα έχει την µορφή: 4

5 ( x, t) Acos( ωt kx δ ) Acos( ωt kx δ ) Ψ = = δ Acos δ δ δ cos ωt kx + + δδ ηαδή, θα είναι ένα όµοιο κύµα µε πάτος Acos και διαφορά φάσεως δ+ δ Άρα: ( ) ( δδ), = ω + cos αφού υ ρ P x t A ρ, = A ρυ = και ( ) ω εύτερος τρόπος P x, t Η φασική ταχύτητα υ φ θα είναι υ φ = µ Η στιγµιαία διαδιδόµενη ισχύς Pxt (, ) για τα οδεύοντα κύµατα θα είναι: Ψ Ψ Ψ Ψ dx Ψ P( x, t) = F υχορδ = ( ) = ( ) = υ x t x x dt x Ψ x Ψ Ψ ή ( ) =+ = Z x t t t, όπου Z ( µ ) υ αντίσταση της χορδής υ φ Ψ = + + t Εποµένως η στιγµιαία διαδιδόµενη ισχύς θα είναι: Αά Aω sin ( ωt kx δ ) Aωsin ( ωt kx δ ) = =, η σύνθετη (, ) = ω sin ( ω + δ ) + sin ( ω + δ ) + sin ( ω + δ ) sin ( ω + δ ) P x t ZA t kx t kx t kx t kx Η µέση διαδιδόµενη ισχύς θα δίνεται ως η µέση χρονικά τιµή της παραπάνω παράστασης + = + = Όµως: sin ( ωt kx δ ) sin ( ωt kx δ ) Ακόµα: sin sin cos cos ( ωt kx+ δ ) ( ωt kx+ δ ) = ( δ δ ) ( ωt kx+ δ + δ ) Εποµένως η µέση τιµή του γινοµένου θα είναι ίση µε cos ( δ δ), αφού η µέση τιµή του συνηµίτονου είναι ίση µε µηδέν Τεικά, η µέση διαδιδόµενη ισχύς στη χορδή θα είναι: φ 5

6 (, ) = ω + cos( δ δ ) P x t Z A 5) Αν y ( x, t) Acos( ωt k x) i =, i =,, τότε: i ωω k k ω+ ω k+ k y+ y = Acos t x cos t x Η περιβάουσα µηδενίζεται, για δεδοµένο t, όταν ωω k k n+ Φ n = t x= π k k Φn+ Φ n = xn+ xn = π () () Για δύο διαδοχικούς µηδενισµούς παίρνουµε ( ) ηαδή αφού << ( + ) π π x = xn+ xn = = = = k k π π +, + x ηαδή εύτερος τρόπος, Απούστερος: k x π ιαδοχικά βρίσκουµε: π x k = k = π k x= π x π x Απαντήσεις ερωτήσεων d ) 5 nm, d=5 nm, a= nm d, 5 a = Το σχήµα θα είναι όπως το σχήµα 86 (γ) στην σείδα 84 είτε και την ερώτηση 84 o Για ακτίνες Χ Α= nm και << ή, καθώς και << d d a Άρα τα φαινόµενα συµβοής και περίθασης δεν είναι εµφανή Άρα, το σχήµα συµβοής και περίθασης θα µοιάζει µε την εικόνα του σχήµατος 75, σείδα 4, για N (στο κάτω µέρος του σχήµατος) όπου κάθε µία από τις φωτεινές γραµµές, σε µεγέθυνση θα µοιάζει µε το σχήµα 8 (γ) στην σείδα 7 6

7 ) Η γωνία εκτροπής εξαρτάται από (το ηµίτονό της είναι ανάογο προς) τον δείκτη διαθάσεως, ο οποίος όγω διασποράς είναι διαφορετικός για διαφορετικά µήκη κύµατος Κατά συνέπεια τα διαφορετικά χρώµατα εκτρέπονται κατά διαφορετική γωνία και η αρχική δέσµη «διασπείρεται», εξ ου και ο όρος διασπορά (δείτε σχήµα) ) Ο φακός ειτουργεί ως εξισωτής των οπτικών δρόµων ακτίνων που εκκινούν από το ίδιο σηµείο Σ και φτάνουν στο σηµείο Σ είτε το σχήµα 859 καθώς και το σχήµα 858 στην σείδα, όπως επίσης και την σύντοµο συζήτηση που συνοδεύει τα δύο σχήµατα 4) Σε ένα οµογενές µέσο (µέσο µε σταθερό δείκτη διαθάσεως) η ευθεία διαδροµή (γραµµή) ως συντοµότερος δρόµος µεταξύ δύο σηµείων, είναι και η διαδροµή που απαιτεί τον συντοµότερο χρόνο (αρχή του Fermat) Η βαθύτερη αιτία σε µικροσκοπική κίµακα είναι ότι τα κύµατα που αντιστοιχούν σε διαφορετικές διαδροµές έχουν µεγάες διαφορές φάσεως και κατά µέσον όρο αηοαναιρούνται Κατά µήκος της ευθείας γραµµής, τα κύµατα ακοουθούν όµοιους οπτικούς δρόµους και έχουν την ίδια φάση µε αποτέεσµα να συµβάουν ενισχυτικά 5) Για να διακρίνονται τα Α και Β θα πρέπει τα είδωά τους Α και Β να έχουν ένα γωνιακό διαχωρισµό θ, όπου D η διάµετρος του διαφράγµατος Είναι D θ d θ d L tan = ή d = 65 cm L L D 7