«Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;»
|
|
- Ἔβέρ Ηλιόπουλος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 «Μουσικό διάστημα: Μήκος ή λόγος μηκών;» Η έννοια «διάστημα» ως σχέσεως δύο αριθμών προς αλλήλους. Η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στη Πυθαγόρειο θεωρία της Μουσικής και σ αυτήν ακόμη την Κατατομή Κανόνος του Ευκλείδου εκαλείτο «διάστημα». Κάπως αργότερα η σχέση μεταξύ δύο αριθμών στην Αριθμητική και τη Γεωμετρία πήρε το όνομα «λόγος». Κατά την Πυθαγόρειο άποψη το κάθε μουσικό διάστημα ορίζεται από δύο αριθμούς. Δύο σχόλια του Πορφυρίου στην περί της αρμονίας διδασκαλία του Πτολεμαίου άναφέρουν «καὶ τῶν κανονικῶν δὲ καὶ πυθαγορείων οἱ πλείους τὰ διαστήματα ἀντὶ τῶν λόγων λέγουσιν» και «τὸν λόγον καὶ τὴν σχέσιν τῶν πρὸς ἀλλήλους ὅρων τὸ διάστημα καλοῦσι» γεγονός που σημαίνει ότι στην Πυθαγόρειο μουσική θεωρία οι έννοιες «διάστημα» και «λόγος (αριθμητική σχέση ή αναλογία)» είναι ταυτόσημες. Αιωρείται η απορία για το πώς κατέληξαν οι Πυθαγόρειοι να εκφράζουν τα διαστήματα με αριθμητικές σχέσεις και μάλιστα με αριθμητικές σχέσεις μηκών. Υπάρχει ένας ισχυρισμός του Θέωνα του Σμυρναίου ότι άλλοι Πυθαγόρειοι θέλουν να υπολογίζουν τις αριθμητικές σχέσεις των συμφωνιών με βάρη, άλλοι με μεγέθη, άλλοι με την κίνηση και άλλοι με τα δοχεία. Σχετικά πειράματα παρουσιάζονται στην εικόνα. Δηλαδή καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι η μουσική θεωρία των αρχαίων Ελλήνων δημιουργήθηκε βάσει εμπειριών και πειραμάτων, που πραγματοποιήθηκαν επάνω σε έγχορδα όργανα, μονόχορδα ή πολύχορδα. Λογικόν είναι, λοιπόν, τα μουσικά διαστήματα να τα εκφράζουν με σχέσεις μηκών ηχούντων τμημάτων χορδής.
2 Εικόνα. Από το εξώφυλλο του βιβλίου του F. Gafurio «Theorica Musicae» (49). Ξυλογραφία που παριστάνει πειράματα του Πυθαγόρα (το πείραμα στο Χαλκοτυπείο με τα σφυριά, πείραμα με καμπάνες, πείραμα με ηχητικούς σωλήνες, πείραμα με χορδές και αυλούς)
3 Η έννοια «διάστημα» ως αποστάσεως δύο σημείων ή «ευθυγράμμου τμήματος». Ο Αριστόξενος τον 4 ο αιώνα π.χ. σε αντίθεση προς τον Πυθαγόρα ονομάζει μουσικό διάστημα την απόσταση ανάμεσα σε δύο φθόγγους διαφορετικού μουσικού ύψους. Με άλλα λόγια το διάστημα παρουσιάζεται ως μια διαφορά μουσικού ύψους. Όσο μεγαλύτερη είναι η διαφορά του μουσικού ύψους, τόσο μεγαλύτερο είναι το διάστημα. Κατά τον Κλεονίδη μουσικό διάστημα είναι η απόσταση που περιλαμβάνεται ανάμεσα σε δύο φθόγγους διαφορετικούς στο ύψος και στο βάθος. Τον ίδιο ορισμό δίνει και ο Βακχείος. Ο Ανώνυμος του Bellermann λέει ότι διάστημα είναι εκείνο που περιλαμβάνεται ανάμεσα σε δύο φθόγγους (ή περικλείεται από δύο φθόγγους) διαφορετικούς στο ύψος, από τους οποίους ο ένας είναι υψηλότερος και ο άλλος χαμηλότερος. Σ ένα απόσπασμα χειρογράφου 3 βρίσκουμε τον εξής ορισμό για το διάστημα: Διάστημα είναι η έκταση της φωνής, που περιέχεται ανάμεσα σε δύο φθόγγους. Ο Νικόμαχος γράφει «διάστημα δ ἐστὶ δυοῖν φθόγγων μεταξύτης», όπου με τον όρο μεταξύτης εννοεί «ό,τι περιέχεται ή ό,τι βρίσκεται ανάμεσα». Ο W. Burkert 4 αναφέρει κάτι απλό μεν, αλλά πολύ σημαντικό, όπως θα φανεί στην πορεία «Για μας (τους μουσικούς της Ευρωπαϊκής μουσικής) και λόγω της μουσικής σημειογραφίας και λόγω του πληκτρολογίου του πιάνου καθίσταται ιδιαίτερα καταληπτή η έννοια του μουσικού διαστήματος ως αποστάσεως, ως ευθυγράμμου τμήματος. Αλλά το ίδιο συνέβαινε προηγουμένως και με τους αρχαίους Έλληνες, όπως προκύπτει από τον όρο διάστημα» Άρα, λοιπόν, η λέξη «διάστημα» στη μουσική θεωρία είχε διττή δημασία, διότι εσήμαινε «απόσταση μεταξύ δύο σημείων ή μεταξύ δύο φθόγγων», αλλά και «λόγο δύο αριθμών (αριθμητική σχέση ή αναλογία)». Η έννοια του ευθυγράμμου τμήματος είναι συνδεδεμένη με το όνομα του Αριστόξενου, η δε διδασκαλία σχετικά με την αναλογία είναι συνδεδεμένη με το όνομα του Πυθαγόρα και εν γένει των Πυθαγορείων. (Εισαγ., C.v.J. 79, Mb ) (Bell. 30, ) 3 (Vincent Notices 34) 4 Στο βιβλίο του Weisheit und Wissenschaft, σελ
4 Πυθαγόρειο πείραμα Ακουστικής κατά Γαυδέντιο. Εικόνα : Σύγχρονο εργαστηριακό μονόχορδο για τη μελέτη των νόμων των χορδών. Ο Γαυδέντιος (4ος αιώνας μ.χ.) αναφέρει ένα πείραμα Ακουστικής, σωστό από άποψη Φυσικής 5, με το οποίο ο Πυθαγόρας εφεύρε τις αριθμητικές σχέσεις των μουσικών συμφωνιών. Κατεσκεύασε ένα μονόχορδο τεντώνοντας μια χορδή επί ενός κανόνος (χάρακα) διηρημένου και αριθμημένου σε ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ( μονάδες μήκους) και στη συνέχεια το μισό μήκος αυτής ( μονάδα μήκους) με τη βοήθεια ενός κινητού καβαλάρη, του υπαγωγέα, (Εικόνα 3). Σε πηγές των τελευταίων χρόνων της αρχαιότητος αποδίδονται στον Πυθαγόρα ακουστικές παρατηρήσεις και ακουστικά πειράματα, τα οποία από την άποψη της Φυσικής είναι λανθασμένα π.χ. το πείραμα με τα σφυριά των σιδεράδων και τις χορδές, που αναφέρει ο Ιάμβλιχος (3ος αιώνας μ.χ.) στο «βίος Πυθα γορικός». 5 4
5 Εικόνα 3: Απόδοση του διαστήματος της δια πασών επί του κανόνος. Διεπίστωσε ότι από τους παραχθέντες δύο ήχους σχηματίσθηκε η διαπασών συμφωνία. Κατόπιν διήρεσε κι αρίθμησε ολόκληρο το μήκος του κανόνος σε 3 ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής (3 μονάδες μήκους) και στη συνέχεια τα 3 του μήκους αυτής ( μονάδες μήκους) (Εικόνα 4). 5
6 Εικόνα 4: Απόδοση του διαστήματος δια πέντε επί του κανόνος. Διεπίστωσε ότι από τους παραχθέντες δύο ήχους σχηματίσθηκε η δια πέντε 3 συμφωνία. Τέλος, διήρεσε κι αρίθμησε ολόκληρο το μήκος του κανόνος σε 4 ίσα τμήματα. Έθεσε σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής (4 μονάδες μήκους) και στη συνέχεια τα 4 3 του μήκους αυτής (3 μονάδες μήκους) (Εικόνα 5). 6
7 Εικόνα 5: Απόδοση του διαστήματος δια τεσσάρων επί του κανόνος. Διεπίστωσε ότι από τους παραχθέντες δύο ήχους σχηματίσθηκε η δια τεσσάρων 4 συμφωνία. 3 Σ αυτό το τριπλό πείραμα ΠΑΝΤΟΤΕ ετίθετο σε ταλάντωση πρώτα ολόκληρο το μήκος της χορδής (ΒΑ) και στη συνέχεια ένα τμήμα αυτής (ΓΑ). Αυτό σημαίνει ότι ένα τμήμα (ΓΑ) της χορδής επάλλετο και παρήγε ήχο («ηχούν» τμήμα της χορδής), ενώ το υπόλοιπο (ΒΓ) τμήμα της ηρεμούσε και, ως εκ τούτου, παρέμενε «βωβό» («μη ηχούν» τμήμα της χορδής). Το παραπάνω πείραμα αφενός μεν απαιτεί την ύπαρξη τριών διαφορετικού μήκους υποδιαιρέσεων του κανόνος,,, αφετέρου επιτρέπει μόνον 3 4 την παραγωγή μεμονωμένων μουσικών συμφωνιών και όχι και των τριών πλην της τελευταίας περιπτώσεως στην οποίαν με τον κινητό καβαλάρη στις θέσεις 4 και 3 παράγεται η δια τεσσάρων συμφωνία, στις θέσεις 3 και παράγεται η δια πέντε συμφωνία και στις θέσεις 4 και παράγεται η δια πασών συμφωνία. Πρέπει να επισημανθεί ότι μόνον μ αυτή την αλληλουχία θέσεων του κινητού καβαλάρη και με καμιά άλλη παράγονται οι τρεις μουσικές συμφωνίες. Αξιοσημείωτο είναι ότι το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής καθορίζεται στην περίπτωση της δια πασών με τους αριθμούς 4 και του κανόνος, στην περίπτωση της δια τεσσάρων συμφωνίας με τους αριθμούς 4 και 3 και στην περίπτωση της δια πέντε συμφωνίας με τους αριθμούς 3 και. Βλέπουμε ότι Γεωμετρικά στη συγκεκριμένη περίπτωση το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στην περίπτωση της δια πασών συμφωνίας ισούται με το 7
8 άθροισμα των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής στην περίπτωση της δια τεσσάρων συμφωνίας και στην περίπτωση της δια πέντε συμφωνίας, επαληθεύοντας τη ρήση του Φιλολάου ότι "ἁρμονίας (=διὰ πασῶν) δὲ μέγεθός ἐστι συλλαβὰ καὶ δι' ὀξειᾶν". Είναι πολύ πιθανόν με τέτοια πειράματα Ακουστικής επάνω σε αρχέγονο κανόνα υποδιηρημένο σε τέσσερα μόνο μέρη να δημιουργήθηκε η μυθική σημασία της ιεράς τετρακτύος των Πυθαγορείων. Οι πηγές μας αναφέρουν τη διαίρεση του κανόνος σε ίσα μέρη, όπου είναι το Ε.Κ.Π. των αριθμών, 3 και 4 (Εικόνα 6). Εικόνα 6: Ο εις ίσα μέρη διηρημένος και αριθμημένος κανών για την απόδοση των συμφωνιών δια πασών, δια πέντε και δια τεσσάρων. Με τον κανόνα στα είναι δυνατόν να παραχθούν και οι τρεις συμφωνίες δια πασών, δια τεσσάρων και δια πέντε θέτοντας τον κινητό καβαλάρη (υπαγωγέα) στις θέσεις (, 6), (, 9) και (, 8), αντίστοιχα. Από εδώ βλέπουμε ότι το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στην περίπτωση της δια τεσσάρων συμφωνίας περιορίζεται μεταξύ των αριθμών και 9, στην περίπτωση της δια πέντε συμφωνίας περιορίζεται μεταξύ των αριθμών και 8, ενώ στην περίπτωση της διαπασών συμφωνίας περιορίζεται μεταξύ των αριθμών και 6 6. Τούτο σημαίνει ότι η διαφορά των εν λόγω δύο μηκών των μη ηχούντων 6 Στην περίπτωση αυτή αναφέρεται η παρενθετική πρόταση από την Επινομίδα 99 Α του Πλάτωνος: "ἐν μέσῳ δὲ τοῦ ἕξ πρὸς τὰ δώδεκα συνέβη τό τε ἡμιόλιον καὶ τὸ ἐπίτριτον", που σημαίνει ότι ανάμεσα στη διπλάσια σχέση (τοῦ ἕξ πρὸς τὰ δώδεκα) που εκφράζει τη διαπασών, εμπεριέχονται οι σχέσεις ἡμιόλιον και ἐπίτριτον, που εκφράζουν το δια πέντε και το δια τεσσάρων διάστημα, αντίστοιχα. 8
9 τμημάτων της χορδής περιορίζεται μεταξύ των αριθμών 9 και 8 (Εικόνα 7). Αυτό άλλωστε αναφέρει και το η θεώρημα της Κατατομής Κανόνος του Ευκλείδου: "Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον". Γενικά θα μπορούσαμε να πούμε ότι «διάστημα» ήταν αυτό καθαυτό το μουσικό διάστημα το σχηματιζόμενο από δύο φθόγγους προερχομένους από την ταλάντωση δύο διαφορετικού μήκους τμημάτων χορδής και το οποίο αφενός μεν μπορούσε να γίνει αντιληπτό και να καθορισθεί ακουστικά, αφετέρου δε να καταστεί και ορατό επάνω στον Κανόνα ως η διαφορά των μηκών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής των εν λόγω δύο φθόγγων. Εικόνα 7: Απόδοση των συμφωνιών δια πασών, δια τεσσάρων και δια πέντε επάνω στον εις ίσα μέρη διηρημένο και αριθμημένο κανόνα. Πρέπει να τονισθεί το γεγονός ότι αυτή και μόνον η Πλατωνική πρόταση απορρίπτει την άποψη ότι τον 5 ο και 4 ο αιώνα π.χ. δεν υπήρχε το όργανο Κανών. 9
10 Σχήμα : Προσδιορισμός των αριθμητικών σχέσεων των μουσικών συμφωνιών στο μονόχορδο. Υποπολλαπλάσιες σχέσεις αριθμών (μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής):( μήκος του ηχούντος τμήματος της χορδής), Πολλαπλάσιες κι Επιμόριες σχέσεις αριθμών ( μήκος ολοκλήρου της χορδής):( μήκος του ηχούντος τμήματος της χορδής). Ολόκληρο το μήκος της χορδής ισούται με το μήκος του παλλομένου (ηχούντος) τμήματος συν το μήκος του μη ηχούντος (ακινήτου) τμήματος αυτής. Ή (μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής)=(ολικό μήκος χορδής)-(μήκος ηχούντος τμήματος χορδής). 0
11 Στις μουσικές συμφωνίες ισχύει η σχέση: (μήκος ηχούντος τμήματος χορδής)- k (μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής)=0, k N ως αποτέλεσμα της Ευκλειδίου Ανθυφαιρέσεως, δηλαδή των πολλαπλών αφαιρέσεων πάντοτε του μικρού από το μεγάλο μέχρι να προκύψει υπόλοιπο ίσο με το μηδέν. Στη διαπασών συμφωνία το ηχούν και το μη ηχούν τμήμα της χορδής είναι ισομήκη, οπότε (μήκος ηχούντος τμήματος χορδής)- (μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής)=0. Άρα το ολικό μήκος της χορδής είναι διπλάσιο του ηχούντος τμήματος της χορδής, εξού ο όρος «διπλάσιον διάστημα». Στη δια πέντε συμφωνία το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι το μισό του μήκους του ηχούντος τμήματος, οπότε (μήκος ηχούντος τμήματος χορδής)- (μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής)=0. Άρα το μήκος ολοκλήρου της χορδής είναι ολόκληρο και το ½ του μήκους του ηχούντος τμήματος της χορδής, εξού ο όρος «ημιόλιος». Στη δια τεσσάρων συμφωνία το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι το /3 του μήκους του ηχούντος τμήματος αυτής, οπότε (μήκος ηχούντος τμήματος χορδής)- 3 (μήκος μη ηχούντος τμήματος χορδής)=0. Άρα το μήκος ολοκλήρου της χορδής είναι ολόκληρο και το /3 του μήκους του ηχούντος τμήματος της χορδής, εξού ο όρος «επίτριτος». Πράξεις μεταξύ των διαστημάτων Εάν διασαφηνισθεί το πώς η έννοια «διάστημα» ήταν δυνατό να σημαίνει συγχρόνως «απόσταση μεταξύ δύο σημείων ή μεταξύ δύο φθόγγων», αλλά και «λόγο δύο αριθμών (αριθμητική σχέση ή αναλογία)» θα έχουν ισχύ όλα όσα διδάσκονται στην Άλγεβρα των μουσικών διαστημάτων και ιδιαιτέρως ο ορισμός του μουσικού διαστήματος ως λόγου συχνοτήτων.. Πρόσθεση δύο διαστημάτων. Έστω ότι μας δίδονται δύο σημεία, τα Α και Β. Τα σημεία αυτά μπορεί να θεωρηθούν ότι είναι τα πέρατα ενός ευθυγράμμου τμήματος, του ΑΒ και ότι με την απόστασή τους ορίζουν το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ. Όταν δίδονται οι θέσεις του υπαγωγέα επάνω στον κανόνα με αριθμούς, τότε το μη ηχούν τμήμα της χορδής θα το συμβολίζουμε ως διατεταγμένο ζεύγος αριθμών πρώτα ο μεγαλύτερος αριθμός και μετά ο μικρότερος- η διαφορά των οποίων αριθμών θα δίδει το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής, που αντιπροσωπεύει κατά Αριστόξενο το συγκεκριμένο διάστημα. Ο λόγος των δύο δοθέντων αριθμών μεγαλύτερος/μικρότερος- θα δίδει τη σχέση των μηκών των ηχούντων τμημάτων της χορδής, η οποία αντιπροσωπεύει κατά τον Πυθαγόρα το συγκεκριμένο διάστημα.
12 Εικόνα 8: Πρόσθεση διαστημάτων επάνω στον εις ίσα μέρη διηρημένο και αριθμημένο κανόνα. Έστω ότι στον κανόνα της εικόνας 8, που είναι διηρημένος και αριθμημένος σε ίσα τμήματα, θέτω σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ, που είναι μονάδες μήκους. Στη συνέχεια τοποθετώ τον κινητό καβαλάρη στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) και θέτω σε ταλάντωση το τμήμα της χορδής ΑΔ, μήκους 8 μονάδων μήκους. Το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ, μήκους 4 μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια πέντε διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΔ (κατά Αριστόξενο), ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από το λόγο των ΒΑ μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής = (κατά Πυθαγόρα). Α 8 Ακολούθως, εκτελώ ως προς αυτό ένα συνημμένο διάστημα δια τεσσάρων. Προς τούτοις με τον κινητό καβαλάρη στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΔΑ της χορδής και μετά, αφού μετατοπίσω τον καβαλάρη στη θέση Γ (υποδιαίρεση 6 του κανόνα), θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΓΑ της χορδής, που έχει μήκος 6 μονάδων μήκους. Το μη ηχούν τμήμα της χορδής τώρα είναι το ΔΓ και έχει μήκος μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια τεσσάρων διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΔΓ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων Α 8 τμημάτων της χορδής =. ΓΑ 6
13 Τέλος, εκτελώ το διάστημα δια πασών θέτοντας σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ του κανόνα, μήκους μονάδων και το τμήμα ΓΑ της χορδής, μήκους 6 μονάδων μήκους. Το μη ηχούν τμήμα της χορδής τώρα είναι το ΒΓ και έχει μήκος 6 μονάδων μήκους. Αυτό το μουσικό διάστημα (δια πασών) ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΓ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από το λόγο των μηκών των ΒΑ δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής =. ΓΑ 6 Παρατηρώ ότι το άθροισμα των μηκών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής στα διαστήματα δια πέντε και δια τεσσάρων ισούται με το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στο διάστημα της δια πασών, δηλαδή ΒΓ=ΒΔ+ΔΓ. Πράγματι η δια πασών είναι το άθροισμα του δια πέντε και του δια τεσσάρων ή, όπως λέει ο Φιλόλαος "ἁρμονίας (=διὰ πασῶν) δὲ μέγεθός ἐστι συλλαβὰ καὶ δι' ὀξειᾶν". Εάν στη θέση των μηκών αυτών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής, που αντιπροσωπεύουν τα διαστήματα κατά τον Αριστόξενο, τοποθετήσω τους αντιστοίχους λόγους των μηκών των ηχούντων τμημάτων χορδής, που αντιπροσωπεύουν τα διαστήματα κατά τον Πυθαγόρα, οδηγούμαι στη διαδικασία της προσθέσεως των μουσικών διαστημάτων ως λόγων μεγεθών, δηλαδή ΑΒ ΑΒ Α =. Η σχέση αυτή για να υφίσταται ως αληθής, θα πρέπει η ΑΓ Α ΑΓ διαδικασία, η συμβολιζομένη με το σύμβολο, να συμπίπτει με τη διαδικασία του γνωστού πολλαπλασιασμού. (, 8)+(8, 6)=(, 6) κατά τον Αριστόξενο. 8 8 = = κατά τον Πυθαγόρα Συμπερασματικά λέμε ότι: α. για να προσθέσουμε συνημμένα διαστήματα, που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με διαδοχικά μήκη μη ηχούντων τμημάτων της χορδής (Αριστόξενος), προσθέτουμε αυτά τα διαδοχικά μη ηχούντα τμήματα της χορδής, οπότε το άθροισμά τους δίδει το μηκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής για το ολικό διάστημα. β. για να προσθέσουμε συνημμένα διαστήματα, που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με λόγους ηχούντων τμημάτων της χορδής (Πυθαγόρας), πολλαπλασιάζουμε αυτούς τους λόγους των ηχούντων τμημάτων της χορδής και βρίσκουμε το λόγο των ηχούντων τμημάτων της χορδής για το ολικό διάστημα.. Αφαίρεση δύο διαστημάτων 3
14 Εικόνα 9: Αφαίρεση διαστημάτων επάνω στον εις ίσα μέρη διηρημένο και αριθμημένο κανόνα. Έστω ότι στον κανόνα της εικόνας 9 που είναι διηρημένος και αριθμημένος σε ίσα τμήματα θέτω σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ, που είναι μονάδες μήκους. Στη συνέχεια τοποθετώ τον κινητό καβαλάρη στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) και θέτω σε ταλάντωση το τμήμα της χορδής ΔΑ, μήκους 8 μονάδων μήκους. Το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΔ, μήκους 4 μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια πέντε διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΔ (Αριστόξενος), ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από το λόγο των μηκών ΒΑ των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής = (Πυθαγόρας). Α 8 Στη συνέχεια θέτω σε ταλάντωση ολόκληρο το μήκος της χορδής ΒΑ, που είναι μονάδες μήκους. Μετά τοποθετώ τον κινητό καβαλάρη στη θέση Γ (υποδιαίρεση 9 του κανόνα) και θέτω σε ταλάντωση το τμήμα της χορδής ΓΑ, μήκους 9 μονάδων μήκους. Το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής είναι ίσο με το ευθύγραμμο τμήμα ΒΓ, μήκους 3 μονάδων μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το δια τεσσάρων διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΒΓ (Αριστόξενος), ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται από το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων ΒΑ της χορδής = (Πυθαγόρας). ΓΑ 9 4
15 Ακολούθως, θα εκτελέσω το επόγδοο διάστημα. Προς τούτοις με τον κινητό καβαλάρη στη θέση Δ (υποδιαίρεση 8 του κανόνα) θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΔΑ της χορδής και μετά, αφού μετατοπίσω τον καβαλάρη στη θέση Γ (υποδιαίρεση 9 του κανόνα), θέτω σε ταλάντωση το τμήμα ΓΑ της χορδής, που έχει μήκος 9 μονάδων μήκους. Το μη ηχούν τμήμα της χορδής τώρα είναι το ΓΔ=ΒΔ-ΒΓ και έχει μήκος μονάδα μήκους. Από την ταλάντωση των δύο διαφορετικού μήκους ηχούντων τμημάτων της χορδής ακούσθηκε το επόγδοον διάστημα. Αυτό το μουσικό διάστημα ως μήκος μεν χαρακτηρίζεται από το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής ΓΔ, ως σχέση αριθμών δε χαρακτηρίζεται ΓΑ 9 από το λόγο των μηκών των δύο ηχούντων τμημάτων της χορδής =. Α 8 Παρατηρώ ότι η διαφορά των μηκών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής στα διαστήματα δια πέντε και δια τεσσάρων ισούται με το μήκος του μη ηχούντος τμήματος της χορδής στο επόγδοον διάστημα, δηλαδή ΓΔ=ΒΔ-ΒΓ. Πράγματι, όπως άλλωστε αναφέρει και το η θεώρημα της Κατατομής Κανόνος του Ευκλείδου: "Ἐὰν ἀπὸ ἡμιολίου διαστήματος ἐπίτριτον διάστημα ἀφαιρεθῇ, τὸ λοιπὸν καταλείπεται ἐπόγδοον". Εάν στη θέση των μηκών αυτών των μη ηχούντων τμημάτων της χορδής, που αντιπροσωπεύουν τα διαστήματα κατά τον Αριστόξενο, τοποθετήσω τους αντιστοίχους λόγους των μηκών των ηχούντων τμημάτων χορδής, που αντιπροσωπεύουν τα διαστήματα κατά τον Πυθαγόρα, οδηγούμαι στη διαδικασία της αφαιρέσεως των μουσικών διαστημάτων ως λόγων μεγεθών, δηλαδή ΓΑ ΒΑ ΒΑ =. Η σχέση αυτή για να υφίσταται ως αληθής, θα πρέπει η Α Α ΓΑ διαδικασία, η συμβολιζομένη με το σύμβολο, να συμπίπτει με τη διαδικασία της γνωστής διαιρέσεως. (, 8)-(, 9)=(9, 8) κατά τον Αριστόξενο. 9 9 = = : = κατά τον Πυθαγόρα Συμπερασματικά λέμε ότι: Α. για ν αφαιρέσουμε δύο διαστήματα που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με δύο μήκη μη ηχούντων τμημάτων της χορδής, που έχουν κοινή αρχή, αφαιρούμε αυτά τα δύο μη ηχούντα τμήματα της χορδής και βρίσκουμε το μη ηχούν τμήμα της χορδής του διαστήματος της διαφοράς. Β. για ν αφαιρέσουμε δύο διαστήματα, που αντιπροσωπεύονται στον κανόνα με λόγους ηχούντων τμημάτων της χορδής, διαιρούμε το λόγο του μειωτέου δια του λόγου του αφαιρετέου και βρίσκουμε το λόγο των ηχούντων τμημάτων της χορδής για το διάστημα της διαφοράς. 5
16 Στα μέσα του 9 ου αιώνα οι Φυσικοί Ernst Weber και Gustaf Fechner κατέληξαν σε έναν ψυχοφυσικό νόμο, που λέει ότι το αίσθημα είναι ανάλογο του δεκαδικού λογαρίθμου του ερεθίσματος, που το προκαλεί. Δηλαδή Αίσθημα = k log(ερέθισμα) Το k είναι μια σταθερά αναλογίας που, κατά περίπτωση, λαμβάνει κάποια τιμή. Από δύο δοθέντα ομοειδή ερεθίσματα ε και ε τα προκαλούμενα αισθήματα α και α, αντίστοιχα, είναι: α =k log(ε ) α =k log(ε ) H διαφορά α -α των δύο προκαλουμένων αισθημάτων εκφράζεται από τη σχέση: α - α = k log(ε ) - k log(ε ε ) = k log ε Βλέπει κανείς ότι στη σχέση αυτή εισάγεται ο λογάριθμος του λόγου των δύο μεγεθών ε και ε. Είναι σε όλους μας γνωστό το ψυχοφυσικό μέγεθος του μουσικού ύψους (pitch) με βάση το οποίο οι ήχοι μπορούν να διαταχθούν επάνω σε μια μουσική κλίμακα και οι διακυμάνσεις του συνιστούν τη μελωδία. Το μουσικό ύψος ενός ήχου σχετίζεται με το ρυθμό της επαναλήψεώς του και στην απλή περίπτωση του ημιτονοειδούς κύματος σχετίζεται με τη συχνότητα. Για κάθε συχνότητα (ερέθισμα) αντιλαμβανόμαστε ένα μουσικό ύψος (αίσθημα). Δύο συχνότητας, οι f και f, με τα αντίστοιχά τους μουσικά ύψη, υ και υ συνδέονται, σύμφωνα με τα προηγούμενα, με τη σχέση: f υ = = - υ k log (f) - k log (f ) k log f όπου υ > υ, επειδή f > f. Οι συχνότητες, όμως στην περίπτωση πακτωμένων κατά τα δύο άκρα χορδών, είναι αντιστρόφως ανάλογες του μήκους των ηχούντων τμημάτων των χορδών. Οπότε η προηγούμενη σχέση παίρνει τη μορφή: f l υ - υ = k log(f) - k log(f ) = k log = k log f l Και επειδή κατά Πυθαγόρα ο λόγος των ηχούντων τμημάτων των χορδών ονομάζεται διάστημα, δια τούτο σήμερα στη Μουσική Ακουστική τον λόγο των δύο συχνοτήτων, που παράγονται από τα ηχούντα τμήματα δύο χορδών ονομάζεται διάστημα και κατ επέκτασιν μουσικό διάστημα ονομάζουμε το λόγο δύο συχνοτήτων. Τη δε διαφορά των αντιστοίχων μουσικών υψών ( υ - υ ) την ονομάζομε μέγεθος του μουσικού διαστήματος. 6
Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος
Ο δυισμός του μουσικύ διαστήματος 1 Εισαγωγή Ο Νικόμαχος ο Γερασηνός στην πραγματεία του «Αριθμητική Εισαγωγή» αναφέρει ότι χαρακτηριστικά γνωρίσματα των όντων είναι το πλήθος και το μέγεθος. Το ορισμένο
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη
ΑΠΟ ΤΟΥΣ : Γιάννης Πετσουλας-Μπαλής Στεφανία Ολέκο Χριστίνα Χρήστου Βασιλική Χρυσάφη Ο ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ (572-500 ΠΧ) ΗΤΑΝ ΦΟΛΟΣΟΦΟΣ, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΤΗΣ ΜΟΥΙΣΚΗΣ. ΥΠΗΡΞΕ Ο ΠΡΩΤΟΣ ΠΟΥ ΕΘΕΣΕ ΤΙΣ ΒΑΣΕΙΣ
Διαβάστε περισσότεραΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Κατασκευή: Το μονόχορδο του Πυθαγόρα 2005-2006 Τόλιας Γιάννης Α1 Λ Υπεύθυνη Καθηγήτρια: Α. Τσαγκογέωργα Περιεχόμενα: Τίτλος Εργασίας Σκοπός Υπόθεση (Περιγραφή Κατασκευής) Ορισμός Μεταβλητών
Διαβάστε περισσότεραΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ
ΜΟΥΣΙΚΕΣ ΣΧΟΛΕΣ ΚΑΤΆ ΤΗΝ ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΑΡΧΑΙΟΤΗΤΑ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΠΥΘΑΓΟΡΕΙΑ ΣΧΟΛΗ ΑΡΙΣΤΟΞΕΝΕΙΑ ΣΧΟΛΗ Στον τομέα της μουσικής η έρευνα του Αριστόξενου ήταν επαναστατική. Παραμέρισε τις έρευνες των πυθαγορείων
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; Το άθροισμα ενός φυσικού αριθμού με το 0 ισούται με τον ίδιο αριθμό. α+0=α Αντιμεταθετική ιδιότητα. Με βάση την οποία
Διαβάστε περισσότερα2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ
2. ΤΟ ΠΛΕΟΝΕΚΤΗΜΑ ΤΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΟΣ SYNTHESIS ΣΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΤΩΝ ΙΑΣΤΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ Η ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ΤΟΥ Tο σύστηµα γραφής που χρησιµοποιεί ο χρήστης στο πρόγραµµα Synthesis προσφέρει αρκετές από τις δυνατότητες
Διαβάστε περισσότεραΜουσική και Μαθηματικά!!!
Μουσική και Μαθηματικά!!! Η μουσική είναι ίσως από τις τέχνες η πιο δεμένη με τα μαθηματικά, με τη μαθηματική σκέψη, από την ίδια τη φύση της. Η διατακτική δομή μπορεί να κατατάξει τα στοιχεία ενός συνόλου,
Διαβάστε περισσότερα7.Αριθμητική παράσταση καλείται σειρά αριθμών που συνδέονται με πράξεις μεταξύ τους. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής παράστασης ονομάζεται τιμή της.
ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Α.1.2 1. Οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών αριθμών είναι οι εξής : Αντιμεταθετική ιδιότητα π.χ. α+β=β+α Προσετεριστική ιδιότητα π.χ. α+β+γ=(α+β)+γ=α+(β+γ) 2.Η πραξη της αφαίρεσης
Διαβάστε περισσότερα66 Γεωμετρία Σχήμα 11.1: Το ΜΝ είναι κοινό μέτρο των και ΓΔ. τόσο ανατρεπτική που απαγόρευσαν να διαδοθεί αυτή η γνώση. Οταν μάλιστα ο *** παρέβει την
Κεφάλαιο 11 Αναλογίες, Ομοιότητα Η έννοια του λόγου ορίζεται στο πέμπτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη ως εξής: Λόγος εστί δύο μεγεθών ομογενών η κατά πηλικότητά ποια σχέσις Λόγον έχειν προς άλληλα
Διαβάστε περισσότερα1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση
1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου
Α λ γ ε β ρ ι κ έ ς π α ρ α σ τ ά σ ε ι ς 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) A. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Διδακτικοί στόχοι Θυμάμαι ποιοι αριθμοί λέγονται
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.
ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ. Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ 1)Ποιοι αριθμοί ονομάζονται άρτιοι και ποιοι περιττοί ; Άρτιοι αριθμοί ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται με το 2 και περιττοί εκείνοι που δεν διαιρούνται
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα.
Μαθηματικά Α' Γυμ. - Ερωτήσεις Θεωρίας 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ (1) Ποιοι είναι οι φυσικοί αριθμοί; Γράψε τέσσερα παραδείγματα. (2) Ποιοι είναι οι άρτιοι και ποιοι οι περιττοί αριθμοί; Γράψε από τρία παραδείγματα.
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις: 1. Να αναγνωρίσετε και να ονομάσετε γεωμετρικά σχήματα στα παραπάνω στερεά.
1. ΑΝΑΓΝΩΡΙΣΗ, ΟΝΟΜΑΣΙΑ ΚΑΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΧΗΜΑΤΩΝ a. Αναγνώριση και ονομασία Δραστηριότητα 1 1. Ας κατασκευάσουμε όσο το δυνατόν περισσότερες γραμμές μπορούμε να σκεφτούμε. 2. Έχουμε ξανασυναντήσει
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά A Γυμνασίου
Μαθηματικά A Γυμνασίου ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Μέρος Α - Άλγεβρα 1. Ποιες είναι οι ιδιότητες της πρόσθεσης των φυσικών; (σελ. 15) 2. Πως ορίζεται η πράξη της αφαίρεσης στους φυσικούς και πότε αυτή μπορεί να
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5. 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ: Γνωριμία με την ΑΚΟΥΣΤΙΚΗ 1 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΘΕΩΡΙΑ 5 1 ος ΘΕΜΑΤΙΚΟΣ ΑΞΟΝΑΣ: ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ 7 Προσδοκώμενα αποτελέσματα 8 1.1. Περιοδική κίνηση Περιοδικά φαινόμενα 9 1.2. Ταλάντωση - Ταλαντούμενα
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούνται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς, τους φυσικούς και τους ακέραιους αριθμούς. Δηλαδή είναι το μεγαλύτερο σύνολο αριθμών που μπορούμε
Διαβάστε περισσότεραΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ
Αναστασία Πέτρου Κωνσταντίνος Χρήστου Β 3 ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ - ΑΣΥΜΜΕΤΡΑ ΜΕΓΕΘΗ Ο Πυθαγόρας ο Σάμιος, υπήρξε σημαντικός Έλληνας φιλόσοφος, μαθηματικός, γεω μέτρης και θεωρητικός της μουσικής. Είναι ο κατεξοχήν
Διαβάστε περισσότεραΣημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία η έννοια του σημείου μεταξύ δύο άλλων σημείων και η έννοια της ισότητας δύο σχημάτων.
ΜΑΘΗΜΑ 1 αόριστες έννοιες Έννοιες που είναι τόσο απλές και οικείες από την εμπειρία μας, ώστε δεν μπορούμε να βρούμε πιο απλές με τη βοήθεια των οποίων να τις περιγράψουμε Σημείο Επίπεδο ο χώρος η ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια: Σπυρίδων Τζινιέρης-ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ ΓΙΑ ΤΗΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Τι είναι κλάσμα; Κλάσμα είναι ένα μέρος μιας ποσότητας. ΘΕΩΡΙΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κλάσμα είναι ένας λόγος δύο αριθμών(fraction is a ratio of two whole numbers) Πως εκφράζετε συμβολικά ένα κλάσμα; Εκφράζετε
Διαβάστε περισσότεραΆλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο ... ν παράγοντες
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται δύναμη α ν με βάση τον πραγματικό αριθμό α και εκθέτη το φυσικό αριθμό >1; H δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα φυσικό αριθμό ν, συμβολίζεται
Διαβάστε περισσότεραΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ
ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΕΥΡΙΠΙΔΟΥ 80 ΝΙΚΑΙΑ ΝΕΑΠΟΛΗ ΤΗΛΕΦΩΝΟ 0965897 ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ ΒΡΟΥΤΣΗ ΕΥΑΓΓΕΛΙΑ ΜΠΟΥΡΝΟΥΤΣΟΥ ΚΩΝ/ΝΑ ΑΥΓΕΡΙΝΟΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Η έννοια του μιγαδικού
Διαβάστε περισσότερα«Η διαίρεση του τόνου»
ΣΧΟΛΗ ΒΥΖΑΝΤΙΝΗΣ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΑΓΙΑΣ ΜΑΡΙΝΗΣ ΑΝΩ ΙΛΙΣΙΩΝ Γ ΗΜΕΡΙΔΑ ΨΑΛΤΙΚΗΣ «Θέματα Θεωρίας της Ψαλτικής» «Η διαίρεση του τόνου» Μιχαήλ Φράγκος Σάββατο 23 Μαΐου 2015 ΜΙΧΑΗΛ ΦΡΑΓΚΟΣ Η διαίρεση του τόνου Ο προσδιορισμός
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία Βˊ Λυκείου. Κεφάλαιο 9 ο. Μετρικές Σχέσεις
Γεωμετρία Β Λυκείου Κεφάλαιο 9 Γεωμετρία Βˊ Λυκείου Κεφάλαιο 9 ο Μετρικές Σχέσεις ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 ο ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΕ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Μετρικές σχέσεις ονομάζουμε τις σχέσεις μεταξύ των μέτρων των στοιχείων
Διαβάστε περισσότεραΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΩΜΑΤΙΟ Ή ΥΛΙΚΟ ΣΗΜΕΙΟ Ή ΣΗΜΕΙΑΚΟ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ
«Μπορούμε να παρομοιάσουμε τις έννοιες που δεν έχουν καμιά θεμελίωση στη φύση, με τα δάση εκείνα του Βορρά όπου τα δένδρα δεν έχουν καθόλου ρίζες. Αρκεί ένα φύσημα του αγέρα, ένα ασήμαντο γεγονός για να
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η
Τ Ν Ο Π Σ Ι Κ Η Τ Λ Η ΑΛΓΕΒΡΑ Τα ςημαντικότερα ςημεία τησ θεωρίασ Ερωτήςεισ εμπζδωςησ- απαντήςεισ Μεθοδολογία αςκήςεων Προτεινόμενεσ αςκήςεισ του βιβλίου - διεξοδική ανάλυςη των λφςεων (ςκζψη-βήματα-επεξήγηςη
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8
ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ. Από προηγούμενες τάξεις γνωρίζουμε ότι το τετράγωνο οποιουδήποτε πραγματικού αριθμού
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΈΝΝΟΙΑ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΣΥΖΥΓΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΚΑΙ ΤΟΥ i ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότερααριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί;
Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Βασικές ασκήσεις Βασική θεωρία Ρητοί και άρρητοι αριθμοί. α) Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: iii) φυσικοί; ii) ακέραιοι; iii) ρητοί; iv) άρρητοι; v) πραγματικοί; β) Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΠ.χ. Ιδιότητα Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός. Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα. Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) + γ α(βγ) = (αβ)γ
Η θεωρία της Γ Γυμνασίου 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί αριθμοί είναι όλοι οι αριθμοί που γνωρίσαμε στις προηγούμενες
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί
ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΙΩΝ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Α ΤΑΞΗΣ Κεφάλαιο 7 ο : Θετικοί και Αρνητικοί αριθμοί Α. 7. 1 1. Τι είναι τα πρόσημα και πως χαρακτηρίζονται οι αριθμοί από αυτά; Τα σύμβολα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις επί των ρητών αριθµών
Σελ. 1 Ερωτήσεις επί των ρητών αριθµών 1. Ποια είναι τα πρόσηµα των ακεραίων αριθµών; Ζ={... -3,-2,-1,0,+1,+2,+3,... } 2. Ποιοι αριθµοί λέγονται θετικοί και ποιοι αρνητικοί; Γράψε από έναν. 3. Στον άξονα
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΜΕΡΟΣ Α.5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ-ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ 9. 5 ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ- ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Α. ΔΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΙ Εάν έχουμε δύο πραγματικούς αριθμούς α και β τότε λέμε ότι ο α είναι μεγαλύτερος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες.
Μαθηματικά A Γυμνασίου Κεφάλαιο 1 ο. Βασικές γεωμετρικές έννοιες. 1. Τι λέμε σημείο; Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές ενός σχήματος, η μύτη μιας βελόνας, μας δίνουν την έννοια του σημείου. 2. Τι λέμε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΜετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό.
Μετατόπιση, είναι η αλλαγή (μεταβολή) της θέσης ενός κινητού. Η μετατόπιση εκφράζει την απόσταση των δύο θέσεων μεταξύ των οποίων κινήθηκε το κινητό. Η ταχύτητα (υ), είναι το πηλίκο της μετατόπισης (Δx)
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Πίνακας περιεχομένων Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 2 Κεφάλαιο 2 ο - ΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ... 6 Κεφάλαιο 3 ο - ΔΕΚΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ... 10 ΣΩΤΗΡΟΠΟΥΛΟΣ ΝΙΚΟΣ 1 Κεφάλαιο 1 - ΟΙ ΦΥΣΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου
Web page: www.ma8eno.gr e-mail: vrentzou@ma8eno.gr Η αποτελεσματική μάθηση δεν θέλει κόπο αλλά τρόπο, δηλαδή ma8eno.gr Συνοπτική Θεωρία Μαθηματικών Α Γυμνασίου Αριθμητική - Άλγεβρα Γεωμετρία Άρτιος λέγεται
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
Ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΟΡΕΣΤΙΑΔΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Διάνυσμα ορίζεται ένα ευθύγραμμο τμήμα στο οποίο έχει ορισθεί ποια είναι η αρχή, ή σημείο εφαρμογής του
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρικές Παραστάσεις
Αλγεβρικές Παραστάσεις 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) 1 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (Επαναλήψεις-συμπληρώσεις) Α Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους Πραγματικοί
Διαβάστε περισσότεραΕυκλείδεια Γεωμετρία
Ευκλείδεια Γεωμετρία Γεωμετρία Γεω + μετρία Γη + μετρώ Οι πρώτες γραπτές μαρτυρίες γεωμετρικών γνώσεων ανάγονται στην τρίτη με δεύτερη χιλιετία π.χ. και προέρχονται από τους λαούς της αρχαίας Αιγύπτου
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ - Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α': ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: Αλγεβρικές παραστάσεις Παράγραφος A..: Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς (επαναλήψεις συμπληρώσεις) Β: Πράξεις με μονώνυμα Τα σημαντικότερα σημεία
Διαβάστε περισσότεραΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ. Σύμφωνα με τα παραπάνω, για μια αριθμητική πρόοδο που έχει πρώτο όρο τον ...
ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ Ορισμός : Μία ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν ο κάθε όρος της, δημιουργείται από τον προηγούμενο με πρόσθεση του ίδιου πάντοτε αριθμού. Ο σταθερός αριθμός που προστίθεται
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς
Κεφάλαιο 2: Διανυσματικός λογισμός συστήματα αναφοράς 2.1 Η έννοια του διανύσματος Ο τρόπος που παριστάνομε τα διανυσματικά μεγέθη είναι με τη μαθηματική έννοια του διανύσματος. Διάνυσμα δεν είναι τίποτε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό
Διαβάστε περισσότεραΟι Φυσικοί Αριθμοί. Παρατήρηση: Δεν στρογγυλοποιούνται αριθμοί τηλεφώνων, Α.Φ.Μ., κωδικοί αριθμοί κλπ. Πρόσθεση Φυσικών αριθμών
Οι Φυσικοί Αριθμοί Γνωρίζουμε ότι οι αριθμοί είναι ποσοτικές έννοιες και για να τους γράψουμε χρησιμοποιούμε τα αριθμητικά σύμβολα. Οι αριθμοί μετρούν συγκεκριμένα πράγματα και φανερώνουν το πλήθος της
Διαβάστε περισσότεραΨΗΦΙΑΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΒΟΗΘΗΜΑ «ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ» 3 o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ 2019: ΘΕΜΑΤΑ
ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER - ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Στις προτάσεις Αα έως Α4β να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της πρότασης και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ. Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος
Μαθηματικά Γ Γυμνασίου Εισαγωγή στα Πρότυπα Τεστ Πειραματικά Λύκεια ΕΠΕΣ Π.Π. ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής Συντάκτης Λυγάτσικας Ζήνων ΠΕ 03 Χρόνος 0 λεπτά Βαθμολογία Το διαγώνισμα είναι βαθμολογημένο με άριστα
Διαβάστε περισσότεραΦυσική Γ Θετ. και Τεχν/κης Κατ/σης ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ
ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ Στάσιμο κύμα ονομάζεται το αποτέλεσμα της συμβολής δύο κυμάτων της ίδιας συχνότητας και του ίδιου πλάτους που διαδίδονται στο ίδιο μέσο με αντίθετες κατευθύνσεις. Συνήθως προκύπτουν από
Διαβάστε περισσότερα1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΦΥΛΛΑ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ Α.1.2. ΠΡΑΞΕΙΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 12+ 7 = 19 Οι αριθμοί 12 και 7 ονομάζονται ενώ το 19 ονομάζεται.. 3+5 =, 5+3 =...
Διαβάστε περισσότεραAB. Αν το διάνυσμα AB έχει μέτρο 1, τότε λέγεται
ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Στη Γεωμετρία το διάνυσμα ορίζεται ως ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ως ένα ευθύγραμμο τμήμα του οποίου τα άκρα θεωρούνται διατεταγμένα Αν η αρχή και το πέρας ενός διανύσματος
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Το σύνολο των πραγματικών αριθμών Υπενθυμίζουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών αποτελείται από τους ρητούς και τους άρρητους αριθμούς και παριστάνεται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ. 3 2 x. β)
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x. Να λυθούν οι εξισώσεις: α) 3x x 3 3 5x x β) 4 3 x x x 0
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ
Ο ΓΕΛ ΣΤΑΥΡΟΥΠΟΛΗΣ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 015-016 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 9 Ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΟΡΘΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ Το τμήμα ΒΔ λέγεται προβολή του.. πάνω στην Το τμήμα
Διαβάστε περισσότεραΟ μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει:
Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει: Να αναγνωρίζει πότε μια αλγεβρική παράσταση της πραγματικής μεταβλητής x, είναι πολυώνυμο και να διακρίνει τα στοιχεία του: όροι, συντελεστές, σταθερός
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α
ΘΕΜΑ Α 1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Μηχανικό ονομάζεται το κύμα στο οποίο: α. Μεταφέρεται ύλη στον χώρο κατά την κατεύθυνση διάδοσης του κύματος. β. Μεταφέρεται ορμή και ενέργεια στον χώρο κατά την
Διαβάστε περισσότεραΣε τρίγωνο ΑΒΓ το τετράγωνο πλευράς απέναντι από οξεία γωνία ισούται με το άθροισμα των τετραγώνων των άλλων δύο πλευρών ελαττωμένο κατά το διπλάσιο τ
ΚΥΠΡΙΑΝΟΣ ΕΥΑΓΓΕΛΟΣ ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΟΡΘΟΓΩΝΙΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Το τετράγωνο μιας κάθετης πλευράς είναι ίσο με την υποτείνουσα επί την προβολή της πλευράς στην υποτείνουσα. ΑΒ 2 = ΒΓ ΑΔ ή ΑΓ 2 = ΒΓ ΓΔ Σε κάθε
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ Τμήμα Φυσικής Σημειώσεις Ανάλυσης Ι (ανανεωμένο στις 5 Δεκεμβρίου 2012) Τμήμα Θ. Αποστολάτου & Π. Ιωάννου 1 Σειρές O Ζήνων ο Ελεάτης (490-430 π.χ.) στη προσπάθειά του να υποστηρίξει
Διαβάστε περισσότερα2ογελ ΣΥΚΕΩΝ 2ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β Λυκει(ου ο ΓΕΛ ΣΥΚΕΩΝ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ογελ ΣΥΚΕΩΝ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ -4 ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: ΧΑΛΑΤΖΙΑΝ ΠΑΥΛΟΣ
Διαβάστε περισσότερα1.3 ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΕΝΟΤΗΤΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΑΡΙΘΜΟΥ ΜΕ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμός : αν λ πραγματικός αριθμός με 0 και μη μηδενικό διάνυσμα τότε σαν γινόμενο του λ με το ορίζουμε ένα διάνυσμα
Διαβάστε περισσότεραΑ ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ. Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
Α ΜΕΡΟΣ - ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. Ποιοι αριθμοί ονομάζονται: α) ρητοί β) άρρητοι γ) πραγματικοί;
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ
ΣΥΝΘΕΤΙΚΕΣ ΑΡΧΕΣ ΕΙΚΟΝΩΝ ΤΙ ΡΩΤΑΜΕ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΤΙ ΜΑΣ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΠΩΣ ΜΑΣ ΤΟ ΑΦΗΓΕΙΤΑΙ ΜΙΑ ΕΙΚΟΝΑ ; ΣΥΝΘΕΣΗ: Οργάνωση ενός συνόλου από επιμέρους στοιχεία σε μια ενιαία διάταξη Αρχική ιδέα σύνθεσης
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΘΕΜΑΤΑ Α Α. ΚΙΝΗΣΗ - ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΧΡΟΝΟΣ ΤΑΧΥΤΗΤΑ Στις ακόλουθες προτάσεις να διαλέξετε την σωστή απάντηση: 1. Ένα σημειακό αντικείμενο κινείται σε ευθύγραμμο δρόμο ο οποίος
Διαβάστε περισσότερα4.6 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ
174 46 Η ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΔΙΟΦΑΝΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ Εισαγωγή Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν κάποιες δεδομένες σχέσεις Με σύγχρονη ορολογία
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Μαθηματικών 1
Σημειώσεις Μαθηματικών 1 Διανύσματα Ραφαήλ Φάνης Μαθηματικός 1 Κεφάλαιο 3 Διανύσματα 3.1 Έννοια διανύσματος Ορισμός 1 Ονομάζουμε Διάνυσμα ΑΒ ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με αρχή το Α και πέρας
Διαβάστε περισσότερα1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική
Διαβάστε περισσότεραΚίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Α. 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΕΡΟΣ Α ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών. Ονομάζεται αλγεβρική παράσταση μια παράσταση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
Διαιρετότητα Μαθαίνω Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού α είναι όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με όλους τους φυσικούς αριθμούς, δηλαδή οι αριθμοί: 0, α, 2 α, 3 α, 4 α,... Το μηδέν
Διαβάστε περισσότεραΟι γωνίες και που ονομάζονται «εντός εναλλάξ γωνίες» και είναι ίσες. «εντός-εκτός και επί τα αυτά μέρη γωνίες» και είναι ίσες.
ΠΡΟΤΥΠΟ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΝΑΒΡΥΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΓΙΑ ΤΟΝ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟ «ΘΑΛΗΣ» ΤΑΞΗ Α ΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ 1. Μεσοκάθετος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ ονομάζεται η ευθεία που είναι κάθετη
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων - Φλώρινα Μάθημα: Μαθηματικά Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών (1 ο, 2 ο, 3 ο Κεφάλαιο) 11-10-2017, 18-10-2017 Διδάσκουσα: Αριστούλα Κοντογιάννη ΩΡΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ
Διαβάστε περισσότεραΣημειώσεις Ανάλυσης Ι. Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς
Σημειώσεις Ανάλυσης Ι 1. Οι ρητοί αριθμοί Θεωρούμε γνωστούς τους φυσικούς αριθμούς 1, 2, 3, και τις πράξεις (πρόσθεση - πολλαπλασιασμό)μεταξύ αυτών. Οι φυσικοί αριθμοί είναι επίσης διατεταγμένοι με κάποια
Διαβάστε περισσότερα1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1.
1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ενότητα 1. Διανύσματα Ισότητα διανυσμάτων Πρόσθεση διανυσμάτων Ερωτήσεις 1. Τ ι ονομάζουμε διάνυσμα;. Τι λέμε μέτρο ενός διανύσματος ;. Τι λέμε μηδενικό διάνυσμα; 4. Τι λέμε φορέα διανύσματος;
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ B ΓΥΝΜΑΣΙΟΥ. 1. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις :
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ. Να λυθούν οι εξισώσεις και οι ανισώσεις : α) γ) x x 3x 7x 9 4 5 0 x x x 3 6 3 4 β) δ) 3x x 3 x 4 3 5 x x. 4 4 3 5 x 4x 3 x 6x 7. Να λυθεί στο Q, η ανίσωση :. 5 8 8 3. Να λυθούν
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου
Μαθηματικά προσανατολισμού Β Λυκείου Συντεταγμένες Διανύσματος wwwaskisopolisgr wwwaskisopolisgr Συντεταγμένες στο επίπεδο Άξονας Πάνω σε μια ευθεία επιλέγουμε δύο σημεία Ο και Ι, έτσι το διάνυσμα i OI
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 11.3 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 Ο ΜΕΤΡΗΣΗ ΚΥΚΛΟΥ 113 ΕΓΓΡΑΦΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΚΑΝΟΝΙΚΩΝ ΠΟΛΥΓΩΝΩΝ ΣΕ ΚΥΚΛΟ ΚΑΙ ΤΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ Θα ασχοληθούμε με την εγγραφή μερικών βασικών κανονικών πολυγώνων σε κύκλο και θα υπολογίσουμε
Διαβάστε περισσότεραΜιγαδικοί Αριθμοί. Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση. Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση
Μιγαδικοί Αριθμοί Μαθηματικά Γ! Λυκείου Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Υποδειγματικά λυμένες ασκήσεις Ασκήσεις προς λύση ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Υποδειγματικά Λυμένες Ασκήσεις Άλυτες Ασκήσεις ΛΑ Να βρείτε
Διαβάστε περισσότεραΣυνοπτική θεωρία. Οι σημαντικότερες αποδείξεις. Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου. Ασκήσεις. Διαγωνίσματα
Γ Ε Ω Μ Ε Τ Ρ Ι Α Β Λ Υ Κ Ε Ι Ο Υ Συνοπτική θεωρία Οι σημαντικότερες αποδείξεις Ερωτήσεις αντικειμενικού τύπου Ασκήσεις Διαγωνίσματα Μαθηματικός Περιηγητής 1 ΚΕΦΑΙΑΟ 9 ο : ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
ΠΑΡΑΓΡΑΦΟΣ 1. 2 ΠΡΟΣΘΕΣΗ ΑΦΑΙΡΕΣΗ ΚΑΙ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΑΘΡΟΙΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΦΑΙΡΕΣΕΙΣ ( 1 ) Να υπολογίσετε τις παραστάσεις Α = 3 + 23 + 19 Β = 8 +13 +45-7 Γ = 3 + 0 Α = 3+23 +19 =
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι η Ευκλείδια διαίρεση; Είναι η διαδικασία κατά την οποία όταν δοθούν δύο φυσικοί αριθμοί Δ και δ, τότε βρίσκουμε άλλους δύο φυσικούς αριθμούς π και υ,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Α Γυμνασίου. Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας
Μαθηματικά Α Γυμνασίου Επαναληπτικές ερωτήσεις θεωρίας Επαναληπτικές Ερωτήσεις Θεωρίας 1. Τι ονομάζεται Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο ή περισσότερων αριθμών; Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) δύο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Ο : Εξισώσεις - Ανισώσεις 1 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΟΡΙΣΜΟΙ Μεταβλητή
Διαβάστε περισσότερατον αριθμητή 8 την κλασματική γραμμή τον παρανομαστή
ΤΑΞΗ: ΣΤ ΔΙΑΘΕΣΙΜΟ ΣΤΗ: http //blogs.sch.gr/anianiouris ΥΠΕΥΘΥΝΟΣ: Νιανιούρης Αντώνης (email: anianiouris@sch.gr) «Η έννοια του Κλάσματος και οι πράξεις του» Κλασματικός είναι ένας αριθμός ο οποίος εκφράζει
Διαβάστε περισσότεραΚλινική χρήση των ήχων
Κλινική χρήση των ήχων Ήχοι και ακουστότητα Κύματα υπερήχων Ακουστικά κύματα, Ήχοι, Είδη ήχων Ήχους υπό την ευρεία έννοια καλούμε κάθε κύμα πίεσης που υπάρχει και διαδίδεται στο εσωτερικό των σωμάτων.
Διαβάστε περισσότεραΙωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός
1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις
Διαβάστε περισσότεραΑ Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα
Α Γυμνασίου, Μέρο Α : Αριθμητική Άλγεβρα, Κεφάλαιο 2 - Κλάσματα Μαθηματικά Α Γυμνασίου Μέρο Α - Κεφάλαιο 2 Α. 2.1. Όταν ένα μέγεθο ή ένα σύνολο ομοειδών αντικειμένων χωρισθεί σε ν ίσα μέρη, το κάθε ένα
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ
ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΑΤΕΡΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΡΟΟΔΟΣ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ακολουθία ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου. Άλγεβρα...
Ερωτήσεις θεωρίας για τα Μαθηματικά Γ γυμνασίου Άλγεβρα 1.1 Β: Δυνάμεις πραγματικών αριθμών. 1. Πως ορίζεται η δύναμη ενός πραγματικού αριθμού ; Η δύναμη με βάση έναν πραγματικό αριθμό α και εκθέτη ένα
Διαβάστε περισσότερα9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων
4ο Κεφάλαιο 9 Πολυώνυμα Διαίρεση πολυωνύμων Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισμοί Μονώνυμο του x ονομάζουμε κάθε παράσταση της μορφής ν αx όπου α R, * ν N και x μια μεταβλητή που μπορεί να πάρει οποιαδήποτε
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΑΝΔΡΕΣΑΚΗΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.1.1. Σημείο - Ευθύγραμμο τμήμα - Ευθεία - Ημιευθεία - Επίπεδο - Ημιεπίπεδο. ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ / / 1. Σχεδιάστε το ευθύγραμμο τμήμα Α και το ευθύγραμμο τμήμα ΓΔ A B Γ Δ 2.
Διαβάστε περισσότερα6 Γεωμετρικές κατασκευές
6 Γεωμετρικές κατασκευές 6.1 Γενικά Στα σχέδια εφαρμόζουμε γεωμετρικές κατασκευές, προκειμένου να επιλύσουμε προβλήματα που απαιτούν μεγάλη σχεδιαστική και κατασκευαστική ακρίβεια. Τα γεωμετρικά - σχεδιαστικά
Διαβάστε περισσότεραΑριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση & Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Υπολογισμοί και Σφάλματα Παράσταση Πραγματικών Αριθμών Συστήματα Αριθμών Παράσταση Ακέραιου
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ - ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ 10 ΕΠΑΝΑΛΗΨΕΙΣ ΑΠΟ ΠΡΟΗΓΟΥΜΕΝΕΣ ΤΑΞΕΙΣ α ) Ταυτότητες 1. (a-β)(a+β)=a - b. (a ± b ) = a ± ab + b 3 3 3 3. (a ± b ) = a ± 3a b + 3ab
Διαβάστε περισσότερα