A greedy algorithm for the linear multiple choice knapsack problem with two criteria: profit and equity
|
|
- Ῥαμά Μεταξάς
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» A greedy algorithm for the linear multiple choice knapsack problem with two criteria: profit and equity G. Kozanidis (1) and I. Georgas (2) (1) University of Thessaly, Department of Mechanical & Industrial Engineering, Pedion Areos Volos, gkoz@mie.uth.gr (2) University of Thessaly, Department of Mechanical & Industrial Engineering, Pedion Areos Volos, georgasioannis@yahoo.com Abstract In this paper we study an extension of the Linear Multiple Choice Knapsack Problem that considers two criteria, profit and equity. The model can be used for optimal balanced resource allocation to disjoint sets of activities. The first objective maximizes the profit incurred by the implementation of the considered activities. The second objective seeks a balance on the resource amounts allocated to different sets of activities. We present the mathematical formulation and explore the fundamental properties of the model. Based on these properties, we develop an efficient algorithm that is able to obtain the complete Pareto frontier of the problem. We report computational results which demonstrate the efficiency of the algorithm and provide insight into its behavior. Key Words: Linear Multiple Choice Knapsack Problem, Balanced Resource Allocation, Pareto frontier, Greedy Algorithm
2 Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Γ. Κοζανίδης (1) και Ι. Γεώργας (2) (1) Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας, Πεδίον Άρεως Βόλος, (2) Πανεπιστήµιο Θεσσαλίας, Τµήµα Μηχανολόγων Μηχανικών Βιοµηχανίας, Πεδίον Άρεως Βόλος, Περίληψη Σε αυτή την εργασία µελετάµε µία επέκταση του Γραµµικού Προβλήµατος Σακιδίου Πολλαπλών Επιλογών µε δύο κριτήρια, κέρδος και ισοκατανοµή. Το µοντέλο µπορεί να χρησιµοποιηθεί για βέλτιστη εξισορροπηµένη κατανοµή πόρων σε διακριτά σύνολα δραστηριοτήτων. Το πρώτο κριτήριο µεγιστοποιεί το κέρδος που επιτυγχάνεται από την εφαρµογή των εξεταζόµενων δραστηριοτήτων. Το δεύτερο κριτήριο αναζητά µία ισορροπία στις ποσότητες του πόρου που κατανέµονται σε διαφορετικά σύνολα δραστηριοτήτων. Παρουσιάζουµε τη µαθηµατική µορφοποίηση και εξετάζουµε τις θεµελιώδεις ιδιότητες του µοντέλου. Βάσει αυτών των ιδιοτήτων, αναπτύσσουµε έναν αποτελεσµατικό αλγόριθµο που λαµβάνει το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος. Παρουσιάζουµε υπολογιστικά αποτελέσµατα από πειράµατα που διεξήχθησαν, τα οποία καταδεικνύουν την αποτελεσµατικότητα του αλγορίθµου και παρέχουν βαθύτερη γνώση της συµπεριφοράς του. Λέξεις Κλειδιά: Γραµµικό Πρόβληµα Σακιδίου Πολλαπλών Επιλογών, Εξισορρόπηση Κατανοµής Πόρων, Μέτωπο Pareto, Μυωπικός Αλγόριθµος
3 17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» 1. Εισαγωγή Το πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών αποτελεί µία πολύ συχνή παραλλαγή του κλασσικού προβλήµατος σακιδίου µε πολυάριθµες εφαρµογές. Πολλές από τις τεχνικές επίλυσης που έχουν αναπτυχθεί για το ακέραιο πρόβληµα βασίζονται στην ύπαρξη ενός γρήγορου αλγόριθµου για τη γραµµική χαλάρωση (LMCK), η οποία, συν τοις άλλοις, χρησιµοποιείται και αυτούσια για τη µοντελοποίηση πρακτικών εφαρµογών. Τυπικά παραδείγµατα αποτελούν προβλήµατα χωροθέτησης, παραγωγής και µεταφορών (Lin, 1998). Στην παρούσα εργασία παρουσιάζουµε έναν µυωπικό αλγόριθµο για την επίλυση του γραµµικού προβλήµατος σακιδίου µε περιορισµούς πολλαπλών επιλογών και δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή. Το βασικό πλεονέκτηµα του αλγόριθµου είναι ότι παρέχει το πλήρες Pareto µέτωπο (frontier) του προβλήµατος και όχι µόνο ένα υποσύνολο αυτού, όπως συµβαίνει συνήθως σε παρόµοια προβλήµατα πολυκριτήριας βελτιστοποίησης. Παράλληλα, η υπολογιστική απόδοση του αλγορίθµου είναι εξαιρετική, όπως αποδεικνύεται και από τα αποτελέσµατα των πειραµάτων που διεξήχθησαν. Όπως προκύπτει από την ανάλυση των αποτελεσµάτων αυτών, τα πλεονεκτήµατα από τη χρήση του αλγορίθµου αυξάνονται καθώς το µέγεθος του επιλυόµενου προβλήµατος αυξάνεται. Συµβολίζουµε µε BLMCK (Biobjective Linear Multiple Choice Knapsack) το συγκεκριµένο πρόβληµα και το µορφοποιούµε ως εξής: Max P = k S i Rk p x (1) s.. t i Rk Min f (2) k S i Rk c x b x l, k S L c x U, k S i Rk k U L f (6) x 0, i R, k S (7) k Οι µεταβλητές απόφασης x παριστάνουν συνεχείς δραστηριότητες που ανήκουν σε S διακριτά σύνολα. Το συγκεκριµένο σύνολο στο οποίο ανήκει µία µεταβλητή συµβολίζεται µε τον πρώτο της δείκτη, k. To σύνολο S περιέχει τους (3) (4) (5)
4 Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή δείκτες όλων των διακριτών συνόλων µεταβλητών απόφασης. Για συγκεκριµένη τιµή του k από το S, το σύνολο R k περιέχει τους δείκτες των µεταβλητών απόφασης που ανήκουν στο σύνολο k. Οι θετικές παράµετροι p και c παριστάνουν το κέρδος και το κόστος, αντίστοιχα, που συνεπάγεται η ανά µονάδα µήκους εφαρµογή της δραστηριότητας που παριστάνεται από τη µεταβλητή x. Η παράµετρος b είναι µία θετική ποσότητα που παριστάνει το ύψος του πόρου που είναι διαθέσιµο για την εφαρµογή των εξεταζόµενων δραστηριοτήτων. H αντικειµενική συνάρτηση (1) µεγιστοποιεί το συνολικό κέρδος, ενώ ο περιορισµός (3) εξασφαλίζει ότι η συνολική ποσότητα του πόρου που θα χρησιµοποιηθεί δε θα υπερβεί τη διαθέσιµη ποσότητα, b. Το άθροισµα όλων των µεταβλητών σε κάθε σύνολο, k, περιορίζεται σε µία µέγιστη τιµή l k από τους περιορισµούς (4) που ονοµάζονται περιορισµοί πολλαπλών επιλογών. Οι περιορισµοί (5) ορίζουν τις βοηθητικές µεταβλητές απόφασης L,U µε τέτοιο τρόπο ώστε η συνολική ποσότητα του πόρου που κατανέµεται σε κάθε τµήµα k, να ανήκει στο διάστηµα [L,U]. Η ποσότητα αυτή ονοµάζεται κόστος του συνόλου k. Το εύρος του διαστήµατος [L,U] περιορίζεται σε µία µέγιστη τιµή, f, από τον περιορισµό (6). Η αντικειµενική συνάρτηση (2) ελαχιστοποιεί την τιµή του f. Οι περιορισµοί (7) εξασφαλίζουν τη µη αρνητικότητα των µεταβλητών απόφασης. Το υπόλοιπο της εργασίας δοµείται ως εξής. Στη δεύτερη ενότητα παρουσιάζουµε τον αλγόριθµο που αναπτύχθηκε για την επίλυση του προβλήµατος. Η τρίτη ενότητα περιλαµβάνει την ανάλυση υπολογιστικής πολυπλοκότητας του αλγορίθµου καθώς και τα αποτελέσµατα των πειραµάτων που διεξήχθησαν. Τέλος, στην τέταρτη ενότητα συνοψίζουµε τα κύρια σηµεία της δουλειάς αυτής, καταγράφοντας τα κύρια συµπεράσµατα που προέκυψαν και προτείνοντας κατευθύνσεις για µελλοντική έρευνα. 2. ιαδικασία Επίλυσης 2.1 Ιδιότητες του Προβλήµατος Ο αλγόριθµος που προτείνουµε για την επίλυση του Προβλήµατος BLMCK χωρίζεται σε δύο φάσεις. Στην πρώτη φάση, το δεύτερο κριτήριο αγνοείται και λαµβάνεται η βέλτιστη λύση του Προβλήµατος LMCK. Ξεκινώντας από αυτή τη λύση στη δεύτερη φάση, το κριτήριο ισοκατανοµής εισάγεται και πάλι και λαµβάνεται το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος. Για την επίλυση του Προβλήµατος LMCK στην Φάση Ι, χρησιµοποιούµε τον Αλγόριθµο LMCK (Kozanidis and Melachrinoudis, 2004).
5 17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» Για το Πρόβληµα LMCK υπάρχουν δύο σηµαντικές ιδιότητες (βλ. Kozanidis and Melachrinoudis, 2004), οι οποίες επιτρέπουν την εκ των προτέρων απαλοιφή ορισµένων µεταβλητών απόφασης, οι οποίες έχουν τιµή 0 στη βέλτιστη λύση του προβλήµατος. Με αυτό τον τρόπο µπορούµε να µειώσουµε το µέγεθος του επιλυόµενου προβλήµατος, µε πολύ θετική επίδραση στον υπολογιστικό χρόνο. Οι µεταβλητές ενός συνόλου πολλαπλών επιλογών µπορούν να απεικονιστούν ως σηµεία σε ένα διάγραµµα δύο διαστάσεων, όπου ο x-άξονας παριστάνει το κόστος µιας µεταβλητής και ο y-άξονας το κέρδος της (βλ. Σχ. 1, Kozanidis and Melachrinoudis, 2004). Οι µεταβλητές που δεν απαλοίφονται σχηµατίζουν το αριστερό upper hull του διαγράµµατος αυτού. Μία σηµαντική διαφορά µεταξύ των προβληµάτων LMCK και ΒLMCK είναι ότι οι µεταβλητές που πρέπει να εξαλειφθούν σύµφωνα µε τις παραπάνω ιδιότητες, αλλά ανήκουν στο δεξί upper hull του αντίστοιχου διαγράµµατος πολλαπλών επιλογών, µπορούν να πάρουν θετική τιµή σε µια λύση που ανήκει στo µέτωπο Pareto του Προβλήµατος BLMCK. Εποµένως, για το πρόβληµα αυτό, οι µεταβλητές αυτές δεν πρέπει να εξαλειφθούν. Στη συνέχεια, χρησιµοποιούµε την ορολογία που έχει εισαχθεί από τους Kozanidis et al. (2005). 2.2 Ο Αλγόριθµος Επίλυσης Ας υποθέσουµε ότι το δεύτερο κριτήριο αγνοείται και το LMCK το οποίο προκύπτει επιλύεται χρησιµοποιώντας τον Αλγόριθµο LMCK. Στη λύση που λαµβάνεται, το f ισούται µε τη µέγιστη διαφορά, f a, που παρατηρείται µεταξύ του κόστους δύο οποιωνδήποτε συνόλων και αυτή η τιµή ελαχιστοποιείται από το δεύτερο κριτήριο. Υπάρχουν οι ακόλουθες πέντε κινήσεις για τη µείωση της τιµής του f, οι οποίες απεικονίζονται στο Σχήµα 1. Επιλογή Α: Μείωση του κόστους όλων των ανώτερων συνόλων και αναδιανοµή της ανεκτηµένης ποσότητας του πόρου στο εσωτερικό ή στο κατώτερο σύνολο µε την µέγιστη αύξουσα κλίση (αύξον σύνολο). Επιλογή Β: Μείωση του κόστους του εσωτερικού ή ανώτερου συνόλου µε την ελάχιστη φθίνουσα κλίση (φθίνον σύνολο) και αναδιανοµή της ανεκτηµένης ποσότητας του πόρου στα κατώτερα σύνολα. Επιλογή Γ: Μείωση του κόστους όλων των ανώτερων συνόλων και αναδιανοµή της ανεκτηµένης ποσότητας του πόρου στα κατώτερα σύνολα. Επιλογή : Μείωση του κόστους όλων των ανώτερων συνόλων. Επιλογή Ε: Αύξηση του κόστους όλων των κατώτερων συνόλων (εξετάζεται µόνο εάν µια θετική ποσότητα πόρου είναι διαθέσιµη).
6 Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Eπιλογή A Επιλογή B Επιλογή Γ Επιλογή Επιλογή Ε Κόστος Κόστος Κόστος Κόστος Κόστος w z w f a f a z f a f a f a z w w w Σχήµα 1: Οι πέντε επιλογές µείωσης του f Από αυτές τις κινήσεις, αυτή που επιλέγεται θα πρέπει να είναι αυτή που µας δίνει την ελάχιστη µείωση στο συνολικό κέρδος ανά µονάδα µείωσης του f. Έστω P και f οι διαφορές στο συνολικό κέρδος και στο f, αντίστοιχα, οι οποίες προκύπτουν από την εφαρµογή της καλύτερης επιλογής. Σηµειώνεται ότι, εκ κατασκευής, η τιµή του P είναι µη θετική, ενώ η τιµή του f αυστηρά αρνητική. Η ακόλουθη πρόταση είναι πολύ σηµαντική για την ανάπτυξη του αλγόριθµου για το πρόβληµα BLMCK. Πρόταση 1: Η αρχική λύση που λαµβάνεται χρησιµοποιώντας τον Αλγόριθµο LMCK, είναι Pareto βέλτιστη για το πρόβληµα BLMCK αν και µόνο αν P/ f > 0. Απόδειξη: εδοµένου ότι αυτή η λύση είναι βέλτιστη για το πρόβληµα του ενός κριτηρίου, το αποτέλεσµα προκύπτει από τον ορισµό της Pareto βελτιστότητας και το γεγονός ότι δεν υπάρχει άλλη επιλογή που να καταλήγει σε µικρότερη τιµή του λόγου P/ f. Η κατάσταση απεικονίζεται στο Σχήµα 2, όπου φαίνεται η εφαρµογή της βέλτιστης κίνησης στην αρχική αυτή λύση. Στην πρώτη περίπτωση, η αρχική µαζί µε όλες τις ενδιάµεσες λύσεις κυριαρχείται από την τελευταία λύση (όλες έχουν P=P 1 ). Στη δεύτερη περίπτωση, η αρχική και όλες οι ενδιάµεσες λύσεις είναι Pareto βέλτιστες, δεδοµένου ότι το P µειώνεται αυστηρά καθώς µειώνεται το f. Ο αλγόριθµος επαναλαµβάνει σε κάθε επανάληψη την ακόλουθη διαδικασία. Αρχικά, επιλέγει την κίνηση για την οποία ο λόγος P/ f είναι ελάχιστος. Χρησιµοποιώντας ένα κριτήριο τερµατισµού, καθορίζει έως ποιο σηµείο αυτή η επανάληψη πρέπει να εφαρµοστεί. Η επανάληψη τερµατίζεται είτε όταν ένας ή περισσότεροι από τους λόγους P/ f των πέντε επιλογών αλλάζει, είτε όταν το
7 17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» f γίνεται ίσο µε 0. Στη δεύτερη περίπτωση, ο αλγόριθµος τερµατίζει επειδή σε αυτό το σηµείο το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος έχει αποκτηθεί. Στην πρώτη περίπτωση ο αλγόριθµος τερµατίζει επειδή νέοι λόγοι P/ f πρέπει να υπολογιστούν σε εκείνο το σηµείο και να συγκριθούν για τις πέντε επιλογές. Στη συνέχεια, ο αλγόριθµος για το Πρόβληµα BLMCK που µελετάµε παρουσιάζεται αναλυτικά. Σχήµα 2: Καθορίζοντας αν µια λύση είναι Pareto βέλτιστη Αλγόριθµος BLMCK Φάση Ι (Βέλτιστη λύση του LMCK) Χρησιµοποιώντας την τροποποίηση του Αλγόριθµου LMCK που δεν εξαλείφει µεταβλητές που ανήκουν στο δεξί upper hull κάθε συνόλου, βρες τη βέλτιστη λύση του προβλήµατος που προκύπτει όταν το δεύτερο κριτήριο αγνοείται. Φάση ΙΙ (Επίλυση του ΒLMCK) ενώ ( f > 0) κάνε { επέλεξε κίνηση που να ελαχιστοποιεί το λόγο P/ f βρες το κριτήριο τερµατισµού και υπολόγισε το f επανάλαβε, ενηµέρωσε τη λύση και βρες νέα τιµή του f αν P/ f > 0, πρόσθεσε την αρχική και όλες τις ενδιάµεσες λύσεις αυτής της επανάληψης στο Pareto µέτωπο του προβλήµατος }τέλος Κάθε φορά που εφαρµόζεται µια επανάληψη, ο αλγόριθµος έµµεσα επισκέπτεται έναν άπειρο αριθµό ενδιάµεσων λύσεων που αντιστοιχούν στον άπειρο αριθµό ενδιάµεσων τιµών τις οποίες παίρνει το f µεταξύ της αρχικής και τελικής τιµής. Η Πρόταση 1 σαφώς επεκτείνεται σε κάθε µια από αυτές τις επαναλήψεις. Ως εκ τούτου, υπάρχουν δύο διακριτές περιπτώσεις. Εάν P/ f = 0, τότε η αρχική και όλες οι ενδιάµεσες λύσεις θα κυριαρχούνται από την λύση που θα βρεθεί στο τέλος της τρέχουσας επανάληψης. Αν όχι, όλες εκτός από την τελευταία λύση θα είναι Pareto βέλτιστες. Το κατά πόσο η τελευταία λύση είναι Pareto βέλτιστη ή όχι εξαρτάται από την τιµή του λόγου P/ f που θα
8 Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή υπολογιστεί στην επόµενη επανάληψη, οµοίως όπως ανωτέρω. Για τη λύση µε f = 0 που λαµβάνεται κατά τον τερµατισµό του αλγόριθµου, το ακόλουθο αποτέλεσµα ισχύει, δεδοµένου ότι δεν µπορούµε να βελτιώσουµε κανένα από τα 2 κριτήρια χωρίς να επιδεινώσουµε το άλλο: Πόρισµα 1: Η λύση που λαµβάνεται από τον Αλγόριθµο BLMCK όταν το f µηδενίζεται είναι Pareto βέλτιστη. 3. Υπολογιστική Εµπειρία Σε αυτή την ενότητα εξετάζουµε την πολυπλοκότητα του Αλγόριθµου BLMCK και παρουσιάζουµε τα αποτελέσµατα των υπολογιστικών πειραµάτων που διεξήχθησαν. Εκθέτουµε επίσης τα συµπεράσµατα στα οποία καταλήξαµε από την ανάλυση αυτών των αποτελεσµάτων. 3.1 Ανάλυση Πολυπλοκότητας Έστω r ο αριθµός των συνόλων, N k ο αριθµός των µεταβλητών στο σύνολο k, N = Nk και Nmax = max N k. Όπως προκύπτει από την ανάλυση των k S k S Kozanidis et al. (2005), η πολυπλοκότητα της Φάσης Ι στη χειρότερη περίπτωση είναι Ο(NlogN max ) + Ο(Nlogr) = Ο(Nlogm), όπου m = max(n max,r). Ο χρόνος που απαιτείται σε κάθε επανάληψη της Φάσης ΙΙ για να υπολογιστούν οι λόγοι P/ f για τις πέντε επιλογές, να βρεθεί η βέλτιστη τιµή του f, και να επικαιροποιήσουµε τη νέα λύση που προκύπτει είναι O(r). Ο αριθµός των επαναλήψεων της Φάσης ΙΙ εξαρτάται από το πόσες φορές τα κριτήρια τερµατισµού εφαρµόζονται. Η αναµενόµενη απόδοση του αλγόριθµου εξετάζεται στη συνέχεια από τα υπολογιστικά πειράµατα που διεξήχθησαν. 3.2 Υπολογιστικά Πειράµατα Ο Aλγόριθµος BLMCK κωδικοποιήθηκε σε C/C++ και δοκιµάστηκε σε έναν επεξεργαστή Pentium IV/2.5GHz. Τα αποτελέσµατα που πήραµε παρουσιάζονται στους Πίνακες 1 και 2. ύο τύποι προβληµάτων εξετάστηκαν. Τα προβλήµατα τύπου Α, περιείχαν και εξαλειφόµενες µεταβλητές. Στα προβλήµατα τύπου Β, οι συντελεστές των µεταβλητών δηµιουργήθηκαν τυχαία έτσι ώστε να εξασφαλιστεί ότι δεν υπήρχαν µεταβλητές που έπρεπε να εξαλειφθούν. Ο αλγόριθµος επιδεικνύει υψηλή µεταβλητότητα για τα προβλήµατα τύπου Α. Ως αποτέλεσµα, 50 τυχαία προβλήµατα επιλύθηκαν για κάθε διαφορετικό µέγεθος. Τα αποτελέσµατα που παρουσιάζονται στις στήλες 3-6 του Πίνακα 1
9 17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» είναι ο µέσος και ο µέγιστος χρόνος σε δευτερόλεπτα που χρειάστηκε για την ολοκλήρωση της Φάσης Ι και τον τερµατισµό του αλγόριθµου, αντίστοιχα. Η τελευταία στήλη του πίνακα αυτού παρουσιάζει το ποσοστό των µεταβλητών που εξαλείφονται. Γίνεται σαφές από τη στήλη αυτή ότι η µεγάλη πλειονότητα των αρχικών µεταβλητών εξαλείφεται. Πίνακας 1 : Χρόνοι εκτέλεσης του αλγόριθµου για προβλήµατα τύπου Α Φάση I Ο Πίνακας 2 παρουσιάζει τα ίδια αποτελέσµατα µε τον Πίνακα 1 για τα προβλήµατα τύπου Β. Η µεταβλητότητα που παρουσιάζεται για προβλήµατα ίδιου µεγέθους είναι µικρότερη σε αυτή την περίπτωση και ως αποτέλεσµα µόνο 30 προβλήµατα επιλύθηκαν για κάθε µέγεθος. 3.3 Ανάλυση Αποτελεσµάτων Συνολικός Χρόνος r N k Avg Μax Avg Μax Ποσοστό εξαλειφοµένων µεταβλητών % % % % % % % % % % % % % % % % Για τα προβλήµατα τύπου Α και σταθερό Ν k, το ποσοστό του χρόνου που απαιτείται για την Φάση ΙΙ φαίνεται να αυξάνει καθώς αυξάνεται ο συνολικός αριθµός των συνόλων. Από την άλλη, για σταθερό r, το ποσοστό του συνολικού χρόνου που απαιτείται για την Φάση Ι φαίνεται να αυξάνει καθώς αυξάνεται ο αριθµός των µεταβλητών σε κάθε σύνολο. Την ίδια συµπεριφορά παρατηρούµε και για τα προβλήµατα τύπου Β. Εποµένως, ο αριθµός των µεταβλητών σε κάθε σύνολο έχει µεγαλύτερο αντίκτυπο στην υπολογιστική προσπάθεια της Φάσης Ι, ενώ ο αριθµός των συνόλων στην υπολογιστική προσπάθεια της Φάσης ΙΙ.
10 Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή Αυτό το αποτέλεσµα είναι αναµενόµενο, αφού η κυρίαρχη λειτουργία στην Φάση Ι είναι η ταξινόµηση των µεταβλητών, ενώ στη Φάση ΙΙ, η τακτοποίηση των συνόλων. Πίνακας 2: Χρόνοι εκτέλεσης του αλγόριθµου για προβλήµατα τύπου Β Φάση I Συνολικός Χρόνος r Ν k Avg Max Avg Max Μία ακόµη ενδιαφέρουσα παρατήρηση αφορά τον τρόπο µε τον οποίο ο συνολικός υπολογιστικός χρόνος αλλάζει όταν ο ίδιος αριθµός µεταβλητών απόφασης κατανέµεται σε περισσότερα σύνολα πολλαπλών επιλογών. Για τον ίδιο συνολικό αριθµό µεταβλητών, ο συνολικός χρόνος υπολογιστικής προσπάθειας αυξάνει καθώς αυξάνεται ο αριθµός των συνόλων. Αυτό είναι πιο εµφανές στα προβλήµατα τύπου Α όπου η αύξηση του r οδηγεί σε µία αύξηση των µεταβλητών οι οποίες αναµένεται να µην εξαλειφθούν (Sinha and Zoltners 1979). Από την άλλη, για σταθερό r, ο αριθµός των µεταβλητών που δεν εξαλείφονται δεν αυξάνει σηµαντικά, ακόµα και όταν η τιµή του Ν k αυξάνεται από 150 σε 600. Γι αυτό, ο αριθµός των συνόλων είναι πιο σηµαντικός στην υπολογιστική προσπάθεια που καταβάλλεται για την εύρεση της βέλτιστης λύσης από ότι ο αριθµός των µεταβλητών σε κάθε σύνολο. Συγκρίνοντας την υπολογιστική προσπάθεια που χρειαζόµαστε για την επίλυση των προβληµάτων τύπου Α µε αυτή των προβληµάτων τύπου Β για το ίδιο µέγεθος, παρατηρούµε ότι είναι µικρότερη για τα προβλήµατα τύπου Α. Παρά
11 17 ο Συνέδριο της Ε.Ε.Ε.Ε. «ιαχείριση Κινδύνων» το ότι η µείωση που πρέπει να επιτευχθεί στο f είναι µεγαλύτερη για αυτά τα προβλήµατα, αυτό οφείλεται περισσότερο στο γεγονός ότι στα προβλήµατα τύπου Β καµία µεταβλητή δεν εξαλείφεται µε αποτέλεσµα να απαιτείται µεγαλύτερη υπολογιστική προσπάθεια στη Φάση Ι για την ταξινόµηση των µεταβλητών απόφασης. Από την άλλη, όταν συγκρίνουµε τον καθαρό χρόνο που απαιτείται για την εκτέλεση της Φάσης ΙΙ είναι πολύ µικρότερος στα προβλήµατα τύπου Β απ ότι στα προβλήµατα τύπου Α ίδιου µεγέθους. Για να αποκτήσουµε βαθύτερη γνώση του τρόπου µε τον οποίο το συνολικό κέρδος, P, µεταβάλλεται καθώς το f µεταβάλλεται, κατασκευάσαµε το ιάγραµµα 1. Στο διάγραµµα αυτό, έχουµε σχεδιάσει το πλήρες Pareto µέτωπο ενός προβλήµατος τύπου Α µεγέθους 150X150. Κάθε ζεύγος σηµείων ενώνεται µε µια ευθεία γραµµή, επειδή η µεταβολή του συνολικού κέρδους είναι γραµµική συνάρτηση της µεταβολής του f. Στην γενική περίπτωση το P είναι µια αύξουσα συνάρτηση του f, αλλά στην περίπτωση αυτή, όπως φαίνεται και στο διαγράµµα, είναι γνησίως αύξουσα. Τέλος, πρέπει να σηµειωθεί ότι αυτή η συνάρτηση µπορεί να είναι σε ορισµένα τµήµατα κοίλη ενώ σε άλλα κυρτή. Αυτό φυσικά προκύπτει και εξαρτάται από τις παραµέτρους που ορίζουν την γραµµική σχέση των P και f. ιάγραµµα 1: Το πλήρες Pareto µέτωπο ενός προβλήµατος τύπου Α, µεγέθους 150Χ Συµπεράσµατα Στην εργασία αυτή εξετάσαµε µία επέκταση του γραµµικού προβλήµατος σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια. Παρουσιάσαµε τη µαθηµατική
12 Ένας µυωπικός αλγόριθµος για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών µε δύο κριτήρια: κέρδος και ισοκατανοµή διατύπωση του προβλήµατος και δείξαµε ότι η δοµή αυτή εµφανίζει διάφορες θεµελιώδεις ιδιότητες. Αυτές χρησιµοποιήθηκαν για την ανάπτυξη ενός βέλτιστου µυωπικού αλγόριθµου δύο φάσεων. Στην Φάση Ι, ο αλγόριθµος παραβλέπει αρχικά το δεύτερο κριτήριο και επεκτείνει έναν υπάρχον αλγόριθµο για το γραµµικό πρόβληµα σακιδίου πολλαπλών επιλογών για να βρει µια αρχική λύση. Στη Φάση ΙΙ, ενσωµατώνει και το δεύτερο κριτήριο και λαµβάνει το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος. Τα υπολογιστικά µας αποτελέσµατα καταδεικνύουν την αποτελεσµατικότητα του αλγόριθµου. Μάλιστα, ξεπερνά σε απόδοση οποιοδήποτε εµπορικό πακέτο γραµµικού προγραµµατισµού της αγοράς και η αποτελεσµατικότητά του αυτή αυξάνεται µε την αύξηση του µεγέθους του προβλήµατος. Ο αλγόριθµος αποδίδει πολύ καλά επειδή εκµεταλλεύεται την ειδική δοµή του προβλήµατος. Εστιάζει σε σύνολα πολλαπλών επιλογών αντί σε µεµονωµένες µεταβλητές αποφάσεων. Εάν προσθέσουµε και το γεγονός ότι µπορεί και βρίσκει το πλήρες Pareto µέτωπο του προβλήµατος και όχι µία µόνο λύση, τότε τα πολλαπλά πλεονεκτήµατά του γίνονται προφανή. Η παρούσα εργασία µπορεί να επεκταθεί στο µέλλον µε πολλούς τρόπους. Μία ενδιαφέρουσα επέκταση προκύπτει όταν κάθε σύνολο περιλαµβάνει και διακριτές εκτός από συνεχείς µεταβλητές. Σε αυτή την περίπτωση, το πρόβληµα γίνεται συνδυαστικό και ο παρών αλγόριθµος δεν µπορεί να χρησιµοποιηθεί για την εύρεση του µετώπου Pareto. Πιστεύουµε ότι η βαθιά γνώση που αποκτήθηκε από τη δοµή του προβλήµατος και τα πλεονεκτήµατα του αλγόριθµου θα αποδειχθούν χρήσιµα σε πραγµατικές εφαρµογές οι οποίες περιλαµβάνουν έναν µεγάλο αριθµό µεταβλητών αποφάσεων. Βιβλιογραφία Kozanidis, G. and Melachrinoudis, E. (2004). A branch & bound algorithm for the 0-1 mixed integer knapsack problem with linear multiple choice constraints, Computers & Operations Research, 31, Kozanidis, G., Melachrinoudis E. and Solomon M. (2005). The linear multiple choice knapsack problem with equity constraints, International Journal of Operational Research, 1, Lin, E.Y.-H. (1998). A bibliographical survey on some well known non-standard knapsack problems, INFOR, 36, Sinha, P. and Zolthens, A.A. (1979). The multiple choice knapsack problem. Operations Research, 27,
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΉ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΡΓΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΑΣ ΤΟΜΕΑΣ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ & ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΔΙΠΛΩΜΑΤΙΚΉ ΕΡΓΑΣΙΑ ΓΕΩΡΓΑΣ ΙΩΑΝΝΗΣ ΕΝΑΣ ΜΥΩΠΙΚΟΣ ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1 Βελτιστοποίηση Στην προσπάθεια αντιμετώπισης και επίλυσης των προβλημάτων που προκύπτουν στην πράξη, αναπτύσσουμε μαθηματικά μοντέλα,
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 6. Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού
Κεφάλαιο 6 Μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων ακέραιου προγραμματισμού 1 Γραφική επίλυση Η γραφική μέθοδος επίλυσης μπορεί να χρησιμοποιηθεί μόνο για πολύ μικρά προβλήματα με δύο ή το πολύ τρεις μεταβλητές απόφασης.
Διαβάστε περισσότεραCase 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1)
Case 06: Το πρόβληµα τωνlorie και Savage Εισαγωγή (1) Το εσωτερικό ποσοστό απόδοσης (internal rate of return) ως κριτήριο αξιολόγησης επενδύσεων Προβλήµατα προκύπτουν όταν υπάρχουν επενδυτικές ευκαιρίες
Διαβάστε περισσότεραΠολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός. Συστήματα Αποφάσεων Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων και Διοίκησης
Πολυκριτηριακός Γραμμικός Προγραμματισμός Πολλαπλά κριτήρια στη λήψη απόφασης Λήψη Αποφάσεων με Πολλαπλά Κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών Συνεχές σύνολο επιλογών Πολυκριτηριακή Ανάλυση (ELECTRE, Promethee,
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ακέραιος Προγραμματισμός Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων 2018-2019 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος- Γεωργία Φουτσιτζή Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος
Διαβάστε περισσότεραΆριστες κατά Pareto Κατανομές
Άριστες κατά Pareto Κατανομές - Ορισμός. Μια κατανομή x = (x, x ) = (( 1, )( 1, )) ονομάζεται άριστη κατά Pareto αν δεν υπάρχει άλλη κατανομή x = ( x, x ) τέτοια ώστε: U j( x j) U j( xj) για κάθε καταναλωτή
Διαβάστε περισσότεραΔιαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ
Διαχείριση Εφοδιαστικής Αλυσίδας ΙΙ 1 η Διάλεξη: Αναδρομή στον Μαθηματικό Προγραμματισμό 2019, Πολυτεχνική Σχολή Εργαστήριο Συστημάτων Σχεδιασμού, Παραγωγής και Λειτουργιών Περιεχόμενα 1. Γραμμικός Προγραμματισμός
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 12/01/2017 1 Ακέραιος Γραμμικός Προγραμματισμός Όταν για
Διαβάστε περισσότεραΜοντελοποίηση προβληµάτων
Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Σχεδιασµός Αλγορίθµων Ακέραιος προγραµµατισµός Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Μη Αποδοτικοί Αλγόριθµοι Θεωρία γράφων
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex
Γραµµικός Προγραµµατισµός - Μέθοδος Simplex Η πλέον γνωστή και περισσότερο χρησιµοποιηµένη µέθοδος για την επίλυση ενός γενικού προβλήµατος γραµµικού προγραµµατισµού, είναι η µέθοδος Simplex η οποία αναπτύχθηκε
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΜΕΘΟΔΟΣ SIMPLEX, διαλ. 3 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 29/4/2017 ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Bέλτιστος σχεδιασμός με αντικειμενική συνάρτηση και περιορισμούς
Διαβάστε περισσότεραΠοσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ. Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ & ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Κεφάλαιο 3 Μορφοποίηση Προβλημάτων Ακέραιου Προγραμματισμού 1 Σχέση γραμμικού και ακέραιου προγραμματισμού Ενα πρόβλημα ακέραιου προγραμματισμού είναι
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗΣ Ελαχιστοποίηση κόστους διατροφής Ηεπιχείρηση ζωοτροφών ΒΙΟΤΡΟΦΕΣ εξασφάλισε µια ειδική παραγγελίααπό έναν πελάτη της για την παρασκευή 1.000 κιλών ζωοτροφής, η οποία θα πρέπει
Διαβάστε περισσότεραΚυρτές Συναρτήσεις και Ανισώσεις Λυγάτσικας Ζήνων Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο e-mail: zenon7@otenetgr Ιούλιος-Αύγουστος 2004 Περίληψη Το σχολικό ϐιβλίο της Γ Λυκείου ορίζει σαν κυρτή (αντ κοίλη)
Διαβάστε περισσότεραΓραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ)
Γραµµικός Προγραµµατισµός (ΓΠ) Περίληψη Επίλυση δυσδιάστατων προβληµάτων Η µέθοδος simplex Τυπική µορφή Ακέραιος Προγραµµατισµός Προγραµµατισµός Παραγωγής Προϊόν Προϊόν 2 Παραγωγική Δυνατότητα Μηχ. 4 Μηχ.
Διαβάστε περισσότεραCase 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1)
Case 08: Επιλογή Διαφημιστικών Μέσων Ι ΣΕΝΑΡΙΟ (1) Το πρόβλημα της επιλογής των μέσων διαφήμισης (??) το αντιμετωπίζουν τόσο οι επιχειρήσεις όσο και οι διαφημιστικές εταιρείες στην προσπάθειά τους ν' αναπτύξουν
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων & Αλγόριθμοι
Θέματα Απόδοσης Αλγορίθμων 1 Η Ανάγκη για Δομές Δεδομένων Οι δομές δεδομένων οργανώνουν τα δεδομένα πιο αποδοτικά προγράμματα Πιο ισχυροί υπολογιστές πιο σύνθετες εφαρμογές Οι πιο σύνθετες εφαρμογές απαιτούν
Διαβάστε περισσότερα3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex
3.7 Παραδείγματα Μεθόδου Simplex Παράδειγμα 1ο (Παράδειγμα 1ο - Κεφάλαιο 2ο - σελ. 10): Το πρόβλημα εκφράζεται από το μαθηματικό μοντέλο: max z = 600x T + 250x K + 750x Γ + 450x B 5x T + x K + 9x Γ + 12x
Διαβάστε περισσότεραΣτο στάδιο ανάλυσης των αποτελεσµάτων: ανάλυση ευαισθησίας της λύσης, προσδιορισµός της σύγκρουσης των κριτηρίων.
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η τεχνική αυτή έκθεση περιλαµβάνει αναλυτική περιγραφή των εναλλακτικών µεθόδων πολυκριτηριακής ανάλυσης που εξετάσθηκαν µε στόχο να επιλεγεί η µέθοδος εκείνη η οποία είναι η πιο κατάλληλη για
Διαβάστε περισσότεραii. Αυτόματο σύστημα εμπλουτισμού Βιβλιοθήκης Πανεπιστημίου Θεσσαλίας (Μέρος Ι) #
ii. Αυτόματο σύστημα εμπλουτισμού Βιβλιοθήκης Πανεπιστημίου Θεσσαλίας (Μέρος Ι) # Φ. Ν. ΚΟΥΜΠΟΥΛΗΣ 1 και Γ. Κ. ΛΕΚΑΚΗΣ" Σύνοψη Φεβρουάριος 1998 Στην παρούσα μελέτη αναπτύσσεται αυτόματο σύστημα εμπλουτισμού
Διαβάστε περισσότεραΤ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Τ.Ε.Ι. ΑΝΑΤΟΛΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΑΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΙΣΗΓΗΤΗΣ: Δρ. Ιωάννης Σ. Τουρτούρας Μηχανικός Παραγωγής & Διοίκησης Δ.Π.Θ. Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότερα4.3. Γραµµικοί ταξινοµητές
Γραµµικοί ταξινοµητές Γραµµικός ταξινοµητής είναι ένα σύστηµα ταξινόµησης που χρησιµοποιεί γραµµικές διακριτικές συναρτήσεις Οι ταξινοµητές αυτοί αναπαρίστανται συχνά µε οµάδες κόµβων εντός των οποίων
Διαβάστε περισσότεραmin f(x) x R n b j - g j (x) = s j - b j = 0 g j (x) + s j = 0 - b j ) min L(x, s, λ) x R n λ, s R m L x i = 1, 2,, n (1) m L(x, s, λ) = f(x) +
KΕΦΑΛΑΙΟ 4 Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ανισότητες 4. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΑΝΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότερα9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές
9 εύτερη παράγωγος κι εφαρµογές Εστω ότι η y = f x είναι παραγωγίσιµη σε κάποιο διάστηµα το οποίο περιέχει τον x 0 και ότι η f x η οποία ορίζεται στο διάστηµα αυτό έχει µε την σειρά της παράγωγο στο x
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός
Κεφάλαιο 5ο: Ακέραιος προγραμματισμός 5.1 Εισαγωγή Ο ακέραιος προγραμματισμός ασχολείται με προβλήματα γραμμικού προγραμματισμού στα οποία μερικές ή όλες οι μεταβλητές είναι ακέραιες. Ένα γενικό πρόβλημα
Διαβάστε περισσότεραΧρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ. Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ»
Χρήστος Ι. Σχοινάς Αν. Καθηγητής ΔΠΘ Συμπληρωματικές σημειώσεις για το μάθημα: «Επιχειρησιακή Έρευνα ΙΙ» 2 ΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Προβλήματα ελάχιστης συνεκτικότητας δικτύου Το πρόβλημα της ελάχιστης
Διαβάστε περισσότεραOn line αλγόριθμοι δρομολόγησης για στοχαστικά δίκτυα σε πραγματικό χρόνο
On line αλγόριθμοι δρομολόγησης για στοχαστικά δίκτυα σε πραγματικό χρόνο Υπ. Διδάκτωρ : Ευαγγελία Χρυσοχόου Επιβλέπων Καθηγητής: Αθανάσιος Ζηλιασκόπουλος Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Περιεχόμενα Εισαγωγή
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX
ΒΑΣΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ SIMPLEX Θεμελιώδης αλγόριθμος επίλυσης προβλημάτων Γραμμικού Προγραμματισμού που κάνει χρήση της θεωρίας της Γραμμικής Άλγεβρας Προτάθηκε από το Dantzig (1947) και πλέον
Διαβάστε περισσότεραΓραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex
ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Γραμμικός Προγραμματισμός Μέθοδος Simplex Η παρουσίαση προετοιμάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου Περιεχόμενα Παρουσίασης 1. Πρότυπη Μορφή ΓΠ 2. Πινακοποίηση
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ
(Transportation Problems) Βασίλης Κώστογλου E-mail: vkostogl@it.teithe.gr URL: www.it.teithe.gr/~vkostogl Περιγραφή Ένα πρόβλημα μεταφοράς ασχολείται με το πρόβλημα του προσδιορισμού του καλύτερου δυνατού
Διαβάστε περισσότεραΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ολοκληρωμένη μαθηματική τεχνική βελτιστοποίησης Ευρύτατο φάσμα εφαρμογών Εισαγωγή ακέραιων/λογικών/βοηθητικών μεταβλητών Δυνατότητα γραμμικοποίησης με 0-1 μεταβλητές
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα 1. Εισαγωγή 2. Γραμμικός Προγραμματισμός 1. Μοντελοποίηση 2. Μέθοδος Simplex 1. Αλγόριθμός Simplex
Διαβάστε περισσότεραΒασική Εφικτή Λύση. Βασική Εφικτή Λύση
Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n µεταβλητών και m περιορισµών Εστω πραγµατικοί αριθµοί a ij, b j, c i R µε 1 i m, 1 j n Αλγεβρική Μορφή Γενική Μορφή Γραµµικού Προγραµµατισµού n
Διαβάστε περισσότεραΠληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης. Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού
Πληροφοριακά Συστήματα Διοίκησης Επισκόπηση μοντέλων λήψης αποφάσεων Τεχνικές Μαθηματικού Προγραμματισμού Σημασία μοντέλου Το μοντέλο δημιουργεί μια λογική δομή μέσω της οποίας αποκτούμε μια χρήσιμη άποψη
Διαβάστε περισσότεραΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΗ ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ
Ενότητα 4 Τμήμα Εφαρμοσμένης Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας
Διαβάστε περισσότεραISBN:
Ακριβείς και ευρετικοί αλγόριθμοι μεικτού ακέραιου διεπίπεδου προγραμματισμού για βέλτιστη υποβολή προσφορών σε αγορές ημερήσιου προγραμματισμού ηλεκτρικής ενέργειας Ευτυχία Κωσταρέλου Τμήμα Μηχανολόγων
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Διαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Διαχείριση Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης: Εύρεση
Διαβάστε περισσότεραΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
ΕΝΟΤΗΤΑ III ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Βασικός τελικός στόχος κάθε επιστηµονικής τεχνολογικής εφαρµογής είναι: H γενική βελτίωση της ποιότητας του περιβάλλοντος Η βελτίωση της ποιότητας ζωής Τα µέσα µε τα
Διαβάστε περισσότεραΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη
ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Επιστήμη των Αποφάσεων, Διοικητική Επιστήμη 5 ο Εξάμηνο 4 ο ΜΑΘΗΜΑ Δημήτρης Λέκκας Επίκουρος Καθηγητής dlekkas@env.aegean.gr Τμήμα Στατιστικής & Αναλογιστικών-Χρηματοοικονομικών Μαθηματικών
Διαβάστε περισσότερα2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ
ΑΝΑΠΤΥΞΗ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΣΕ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΤΙΚΟ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΜΑΡΙΑ Σ. ΖΙΩΓΑ ΚΑΘΗΓΗΤΡΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑ 2 ΟΥ και 8 ΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΔΟΜΗ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ 1) Πότε χρησιμοποιείται η δομή επανάληψης
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΒασικές έννοιες και ορισµοί. Ευθεία
Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία a R n, a 0 = {x R n x = λa} Υπερεπίπεδο α R, a R n P = {x R n ax = α} Βασικές έννοιες και ορισµοί Ευθεία
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 15/1/2008
Ασκήσεις Φροντιστηρίου «Υπολογιστική Νοηµοσύνη Ι» 7ο Φροντιστήριο 5//008 Πρόβληµα ο Στα παρακάτω ερωτήµατα επισηµαίνουµε ότι perceptron είναι ένας νευρώνας και υποθέτουµε, όπου χρειάζεται, τη χρήση δικτύων
Διαβάστε περισσότεραm 1 min f = x ij 0 (8.4) b j (8.5) a i = 1
KΕΦΑΛΑΙΟ 8 Προβλήµατα Μεταφοράς και Ανάθεσης 8. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Μια ειδική κατηγορία προβληµάτων γραµµικού προγραµµατισµού είναι τα προβλήµατα µεταφοράς (Π.Μ.), στα οποία επιζητείται η ελαχιστοποίηση του κόστους
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος. Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Τομέας Υδατικών Πόρων και Περιβάλλοντος Τεχνολογία Συστημάτων Υδατικών Πόρων Βελτιστοποίηση Μέρος b: Συμβατικές Μέθοδοι συνέχεια Σύνοψη προηγούμενου μαθήματος Στόχος βελτιστοποίησης:
Διαβάστε περισσότεραΔομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι
Δομές Δεδομένων και Αλγόριθμοι Χρήστος Γκόγκος ΤΕΙ Ηπείρου Χειμερινό Εξάμηνο 2014-2015 Παρουσίαση 9 P vs NP 1 / 13 Δυσκολία επίλυσης υπολογιστικών προβλημάτων Κάποια προβλήματα είναι εύκολα να λυθούν με
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΑΚΕΡΑΙΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Νοέμβριος 006 Αθήνα Κεφάλαιο ο Ακέραιος και μικτός προγραμματισμός. Εισαγωγή Μια από τις
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα I
Επιχειρησιακή Έρευνα I Operations/Operational Research (OR) Κωστής Μαμάσης Παρασκευή 09:00 12:00 Σημειώσεις των Α. Platis, K. Mamasis Περιεχόμενα EE 1&2 Εισαγωγή Μαθηματικός Προγραμματισμός - Γραμμικός
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων. Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος. Ε. Μαρκάκης. Επικ. Καθηγητής
Θεωρία Παιγνίων και Αποφάσεων Ενότητα 5: Εύρεση σημείων ισορροπίας σε παίγνια μηδενικού αθροίσματος Ε. Μαρκάκης Επικ. Καθηγητής Περίληψη Παίγνια μηδενικού αθροίσματος PessimisIc play Αμιγείς max-min και
Διαβάστε περισσότερα( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}
7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]
Διαβάστε περισσότεραΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2. Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017
ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΔΙΑΤΥΠΩΣΗ, Διαλ. 2 Ανωτάτη Σχολή Παιδαγωγικής και Τεχνολογικής Εκπαίδευσης 8/4/2017 Αντικειμενικοί στόχοι Η μελέτη των βασικών στοιχείων που συνθέτουν ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης
Διαβάστε περισσότεραΆπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17)
Άπληστοι Αλγόριθµοι (CLR, κεφάλαιο 17) Στην ενότητα αυτή θα µελετηθούν τα εξής θέµατα: Σχεδιασµός αλγορίθµων µε Άπληστους Αλγόριθµους Στοιχεία άπληστων αλγορίθµων Το πρόβληµα επιλογής εργασιών ΕΠΛ 232
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2. Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής
Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής - Κεφάλαιο 2 Α1. Ο αλγόριθμος είναι απαραίτητος μόνο για την επίλυση προβλημάτων πληροφορικής Α2. Ο αλγόριθμος αποτελείται από ένα πεπερασμένο σύνολο εντολών Α3. Ο αλγόριθμος
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 5: Στρατηγική χωροταξικής διάταξης
K.5.1 Γραμμή Παραγωγής Μια γραμμή παραγωγής θεωρείται μια διάταξη με επίκεντρο το προϊόν, όπου μια σειρά από σταθμούς εργασίας μπαίνουν σε σειρά με στόχο ο κάθε ένας από αυτούς να κάνει μια ή περισσότερες
Διαβάστε περισσότεραΤμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ Η μέθοδος Simplex. Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2016-2017 Η μέθοδος Simplex Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος Simplex είναι μια
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλος προγραμματισμός περιστροφικών αλγορίθμων εξωτερικών σημείων τύπου simplex ΠΛΟΣΚΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ
Παράλληλος προγραμματισμός περιστροφικών αλγορίθμων εξωτερικών σημείων τύπου simplex ΠΛΟΣΚΑΣ ΝΙΚΟΛΑΟΣ Διπλωματική Εργασία Μεταπτυχιακού Προγράμματος στην Εφαρμοσμένη Πληροφορική Κατεύθυνση: Συστήματα Υπολογιστών
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ
ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΣ ΚΙΝΗΣΗΣ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΕΡΓΑΣΙΩΝ ΣΕ ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΑ ΠΕΡΙΒΑΛΛΟΝΤΑ Ηλίας Κ. Ξυδιάς 1, Ανδρέας Χ. Νεάρχου 2 1 Τμήμα Μηχανικών Σχεδίασης Προϊόντων & Συστημάτων, Πανεπιστήμιο Αιγαίου, Σύρος
Διαβάστε περισσότεραΠρόβληµα Μεταφοράς ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ. Επιχειρησιακή Έρευνα
Πρόβληµα Μεταφοράς Η παρουσίαση προετοιµάστηκε από τον Ν.Α. Παναγιώτου ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ Επιχειρησιακή Έρευνα Περιεχόµενα Παρουσίασης 1. Μοντέλο Προβλήµατος Μεταφοράς 2. Εύρεση Μιας Αρχικής Βασικής
Διαβάστε περισσότεραΤεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή
Τεχνητή Νοημοσύνη (ΥΠ23) 6 ο εξάμηνο Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Ουρανία Χατζή raniah@hua.gr 1 Αναζήτηση Δοθέντος ενός προβλήματος με περιγραφή είτε στον χώρο καταστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΑκέραιος Γραµµικός Προγραµµατισµός
Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Μέγιστο Ανεξάρτητο Σύνολο Εφαρµογές : Παράλληλη εκτέλεση εργασιών Χρονοπρογραµµατισµός (scheduling) Ανάθεση πόρων (resource allocation) Πρόβληµα k-ϐασιλισσών Τηλεπικοινωνίες Μέγιστο
Διαβάστε περισσότερααx αx αx αx 2 αx = α e } 2 x x x dx καλείται η παραβολική συνάρτηση η οποία στο x
A3. ΕΥΤΕΡΗ ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ-ΚΥΡΤΟΤΗΤΑ. εύτερη παράγωγος.παραβολική προσέγγιση ή επέκταση 3.Κυρτή 4.Κοίλη 5.Ιδιότητες κυρτών/κοίλων συναρτήσεων 6.Σηµεία καµπής ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ 7. εύτερη πλεγµένη παραγώγιση 8.Χαρακτηρισµός
Διαβάστε περισσότεραQ 12. c 3 Q 23. h 12 + h 23 + h 31 = 0 (6)
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Πολιτικών Μηχανικών Τοµέας Υδατικών Πόρων Μάθηµα: Τυπικά Υδραυλικά Έργα Μέρος 2: ίκτυα διανοµής Άσκηση E0: Μαθηµατική διατύπωση µοντέλου επίλυσης απλού δικτύου διανοµής
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης
Θεωρία Παιγνίων Δρ. Τασσόπουλος Ιωάννης 3 η Διάλεξη-Περιεχόμενα (1/2) Σημείο ή ζεύγος ισορροπίας κατά Nash Λύση ακολουθιακής κυριαρχίας και σημεία ισορροπίας Nash Αλγοριθμική εύρεση σημείων ισορροπίας
Διαβάστε περισσότεραΒέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη
ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Βέλτιστα Ψηφιακά Φίλτρα: Φίλτρα Wiener, Ευθεία και αντίστροφη γραµµική πρόβλεψη 7 Nicolas sapatsoulis Βιβλιογραφία Ενότητας Benvenuto []: Κεφάλαιo Wirow
Διαβάστε περισσότεραCase 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ
Case 10: Ανάλυση Νεκρού Σημείου (Break Even Analysis) με περιορισμούς ΣΕΝΑΡΙΟ Η «OutBoard Motors Co» παράγει τέσσερα διαφορετικά είδη εξωλέμβιων (προϊόντα 1 4) Ο γενικός διευθυντής κ. Σχοινάς, ενδιαφέρεται
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγματα (2 ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος
Παραδείγματα ( ο σετ) Διανυσματικοί Χώροι Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Παράδειγμα Έστω ο υποχώρος W του R 5 που παράγεται από τα διανύσματα v=(,,-,,), v=(,,-,6,8), v=(,,,,6), v=(,,5,,8), v5=(,7,,,9). a)
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού
3ο Πανελλήνιο Επιστημονικό Συνέδριο Χημικής Μηχανικής Αθήνα,, IούνιοςI 200 Σχεδιασμός επέκτασης του συστήματος ηλεκτροπαραγωγής με τη χρήση Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού Γιώργος Μαυρωτάς Δανάη
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών
Διαβάστε περισσότεραΣηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Διαβάστε περισσότεραΣυναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης
Συναρτήσεις Κόστους και η Καμπύλη Προσφοράς της Ανταγωνιστικής Επιχείρησης - Στο εξής, συμβολίζουμε την ποσότητα του καταναλωτικού αγαθού με q. - Έστω ότι η συνάρτηση παραγωγής της επιχείρησης είναι: q=f(k,l),
Διαβάστε περισσότεραΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ
ΘΕΑΝΩ ΕΡΙΦΥΛΗ ΜΟΣΧΟΝΑ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ Πρόβληµα µεταφοράς Η ανάπτυξη και διαµόρφωση του προβλήµατος µεταφοράς αναπτύσσεται στις σελίδες 40-45 του βιβλίου των
Διαβάστε περισσότεραΗ Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου
Η Θεωρία στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου wwwaskisopolisgr έκδοση 5-6 wwwaskisopolisgr ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 5 Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση; Έστω Α ένα υποσύνολο του Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα #3: Ασκήσεις Αθανάσιος Σπυριδάκος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση
Αλγόριθµοι Brute-Force και Διεξοδική Αναζήτηση Περίληψη Αλγόριθµοι τύπου Brute-Force Παραδείγµατα Αναζήτησης Ταξινόµησης Πλησιέστερα σηµεία Convex hull Βελτιστοποίηση Knapsack problem Προβλήµατα Ανάθεσης
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ & ΔΙΚΤΥΑΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Ενότητα 18: Επίλυση Γενικών Γραμμικών Προβλημάτων Σαμαράς Νικόλαος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΚώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας
Κώδικας σχεδίασης Λογισµικής ιαγραµµατικής Οντολογίας Αρχιµήδης ΙΙΙ Υποέργο 18 2013 Ενα µάγµα µπορεί να εξελιχθεί κάτω από την επίδραση τριών ειδών επιρροών. Την εξέλιξη αυτή συµβολίζουµε µε ένα απλό τόξο
Διαβάστε περισσότεραΠρογραµµατιστικές Τεχνικές
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Σχολή Αγρονόµων Τοπογράφων Μηχανικών Προγραµµατιστικές Τεχνικές Βασίλειος Βεσκούκης ρ. Ηλεκτρολόγος Μηχανικός & Μηχανικός Υπολογιστών ΕΜΠ v.vescoukis@cs.ntua.gr Ρωµύλος Κορακίτης
Διαβάστε περισσότεραΕπιχειρησιακή Έρευνα
Επιχειρησιακή Έρευνα Ενότητα 7: Επίλυση με τη μέθοδο Simplex (1 ο μέρος) Μπεληγιάννης Γρηγόριος Σχολή Οργάνωσης και Διοίκησης Επιχειρήσεων Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Αγροτικών Προϊόντων & Τροφίμων (Δ.Ε.Α.Π.Τ.)
Διαβάστε περισσότεραHY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems
HY380 Αλγόριθμοι και πολυπλοκότητα Hard Problems Ημερομηνία Παράδοσης: 0/1/017 την ώρα του μαθήματος ή με email: mkarabin@csd.uoc.gr Γενικές Οδηγίες α) Επιτρέπεται η αναζήτηση στο Internet και στην βιβλιοθήκη
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL
ΠΩΣ ΝΑ ΟΡΙΣΕΤΕ ΚΑΙ ΝΑ ΕΠΙΛΥΣΕΤΕ ΕΝΑ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΥ ΜΕ ΤΟΝ SOLVER ΤΟΥ EXCEL 1. Στο Tools menu, click Solver. 2. Εάν η επιλογή Solver δεν είναι διαθέσιµη στο Tools menu, πρέπει να το
Διαβάστε περισσότεραKΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. { 1,2,3,..., n,...
KΕΦΑΛΑΙΟ ΧΡΗΣΙΜΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Βασικές έννοιες διαιρετότητας Θα συµβολίζουµε µε, τα σύνολα των φυσικών αριθµών και των ακεραίων αντιστοίχως: {,,3,,, } { 0,,,,, } = = ± ± ± Ορισµός Ένας φυσικός αριθµός
Διαβάστε περισσότεραΕλαχιστοποίηση του Κόστους
Ελαχιστοποίηση του Κόστους - H ανάλυση του προβλήματος ελαχιστοποίησης του κόστους παρουσιάζει τα εξής πλεονεκτήματα σε σχέση με το πρόβλημα μεγιστοποίησης του κέρδους: (1) Επιτρέπει τη διατύπωση μιας
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ. 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής
ΕΡΓΑΣΙΕΣ 4 ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ 1 η Ομάδα: Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής 1. Σύμφωνα με το νόμο της προσφοράς: α) Η προσφερόμενη ποσότητα ενός αγαθού αυξάνεται όταν μειώνεται η τιμή του στην αγορά β) Η προσφερόμενη
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΛΟΠΟΝΝΗΣΟΥ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι 22Νοεμβρίου 2015 ΑΥΞΟΥΣΕΣ ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ Αν μια συνάρτηση f ορίζεται σε ένα διάστημα
Διαβάστε περισσότεραΠαράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία. Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006
Παράλληλοι Αλγόριθμοι: Ανάλυση Εικόνας και Υπολογιστική Γεωμετρία Πέτρος Ποτίκας CoReLab 4/5/2006 Επισκόπηση Ετικέτες σε συνιστώσες (Component labelling) Hough μετασχηματισμοί (transforms) Πλησιέστερος
Διαβάστε περισσότεραΑλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα
Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα Ν. Μ. Μισυρλής Τµήµα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών, Πανεπιστήµιο Αθηνών Καθηγητής: Ν. Μ. Μισυρλής () Αλγόριθµοι και Πολυπλοκότητα 15 Ιουνίου 2009 1 / 26 Εισαγωγή Η ϑεωρία
Διαβάστε περισσότεραΠαραδείγµατα συναρτήσεων: f:[0,+ ) IR, f(x)=2+ x f:ir IR: f(x)=
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - 9 - ΚΕΦΑΛΑΙ ΚΕΦΑΛΑΙ ο - ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ.. ρισµός Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σ ένα σύνολο Β είναι ένας κανόνας µε τον οποίο κάθε στοιχείο του Α απεικονίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Το
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους
ΠΜΣ: «Παραγωγή και ιαχείριση Ενέργειας» ιαχείριση Ενέργειας και ιοίκηση Έργων Ανάλυση Χρόνου, Πόρων & Κόστους Επ. Καθηγητής Χάρης ούκας, Καθηγητής Ιωάννης Ψαρράς Εργαστήριο Συστημάτων Αποφάσεων & ιοίκησης
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική. Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3)
ΠΑΝΕΚΦΕ Ευρωπαϊκή Ολυµπιάδα Φυσικών Επιστηµών 2009 Πανελλήνιος προκαταρκτικός διαγωνισµός στη Φυσική 17-01-2009 Σχολείο: Ονόµατα των µαθητών της οµάδας: 1) 2) 3) Επισηµάνσεις από τη θεωρία Πάνω στον πάγκο
Διαβάστε περισσότεραΆσκηση 1 Ένα κεντρικό βιβλιοπωλείο ειδικεύεται στα λογοτεχνικά βιβλία και τα βιβλία τέχνης. Προκειμένου να προωθήσει μια νέα συλλογή λογοτεχνικών βιβλίων και βιβλίων τέχνης, η διεύθυνση του βιβλιοπωλείου
Διαβάστε περισσότεραΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΠΕΡΙΛΗΨΗ. Εισαγωγή
ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ ΤΗΣ ΙΑΤΑΞΗΣ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΚΑΙ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΑΠΟΛΥΤΗΣ ΤΙΜΗΣ ΣΤΟΝ ΑΞΟΝΑ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Αθανάσιος Γαγάτσης Τµήµα Επιστηµών της Αγωγής Πανεπιστήµιο Κύπρου Χρήστος Παντσίδης Παναγιώτης Σπύρου Πανεπιστήµιο
Διαβάστε περισσότεραΗ μέθοδος Simplex. Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα. Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ 2017-2018 Η μέθοδος Simplex Γεωργία Φουτσιτζή-Γκόγκος Χρήστος ΤΕΙ Ηπείρου Επιχειρησιακή Έρευνα τελευταία ενημέρωση: 19/01/2017 1 Πλεονεκτήματα Η μέθοδος Simplex Η μέθοδος
Διαβάστε περισσότεραΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ
Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί
Διαβάστε περισσότεραΕξαντλητική Απαρίθµηση
Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου Υπενθύµιση Χαράκτηρίζουµε τους αλγόριθµους ως προς το χρόνο εκτέλεσης συναρτήσει της εισόδου Ως µέτρο ϑεωρούµε
Διαβάστε περισσότερα