Εισαγωγή στην Τοπολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Τοπολογία"

Transcript

1 Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 8 Συνεκτικότητα Συνεκτικοί Χώροι Τοπικά συνεκτικοί χώροι και συνεκτικές συνιστώσες Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 8 Συνεκτικότητα 8.1 Συνεκτικοί Χώροι Ο ορισµός της συνεκτικότητας είναι, µάλλον, ϕυσιολογικός. Θα έλεγε κανείς ότι ένας τοπολογικός χώρος διασπάται, αν µπορεί να εκφραστεί ως ξένη ένωση δύο ανοικτών συνόλων. Αν αυτό είναι αδύνατο, ο χώρος ϑα χαρακτηρίζεται από µία ισχυρή έννοια «συνοχής». Από αυτή την απλή ιδέα καταλήγει κανείς στον τυπικό ορισµό. Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται συνεκτικός αν δεν υπάρχουν δύο µη κενά, ανοικτά, ξένα µεταξύ τους υποσύνολα A, B του X, ώστε X = A B. Ενα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου καλείται συνεκτικό, αν είναι συνεκτικός χώρος µε τη σχετική τοπολογία. Παρατήρηση Είναι σαφές ότι ένας τοπολογικός χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν υπάρχουν δύο µη κενά, κλειστά, ξένα µεταξύ τους υποσύνολα A, B του X, ώστε X = A B. Παρότι ο ορισµός δίνει µία καλή διασθητική προσέγγιση της έννοιας, συχνά δεν είναι εύχρηστος για να ελέγξει κανείς τη συνεκτικότητα ενός τοπολογικού χώρου. Η ακόλουθη Πρόταση µας προσφέρει κάποια επιπλέον κριτήρια. Πρόταση Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (i) Ο X είναι συνεκτικός χώρος. (ii) Τα µόνα υποσύνολα του X που είναι συγχρόνως ανοικτά και κλειστά είναι τα, X. (iii) εν υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση f : X {0,1} (όπου το {0,1} είναι εφοδιασµένο µε τη διακριτή τοπολογία). Απόδειξη: (i) (ii) Εστω ένα A X το οποίο είναι συγχρόνως ανοικτό και κλειστό. Τότε X = A c A, όπου τα A, A c είναι ανοικτά και ξένα µεταξύ τους. Οµως ο X είναι συνεκτικός, άρα πρέπει A = ή A c =. Εποµένως A = ή A = X. (ii) (iii) Αν υπάρχει f : X {0,1} συνεχής και επί συνάρτηση, τότε το σύνολο A = f 1 ({0}) είναι ανοικτό, κλειστό. Αφού η f είναι επί, έχουµε ότι A και A X, πράγµα άτοπο. Εποµένως, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση f. (iii) (i) Αν ο χώρος X δεν είναι συνεκτικός, υπάρχουν µη κενά, ανοικτά και ξένα µεταξύ τους σύνολα A, B X, ώστε X = A B. Τότε, η χαρακτηριστική συνάρτηση του A, χ A : X {0,1}, είναι συνεχής και επί (γιατί;), πράγµα άτοπο. Αρα ο X είναι συνεκτικός. Παραδείγµατα (α) Το σύνολο των ϱητών αριθµών δεν είναι συνεκτικό υποσύνολο του R, αφού Q = (, a) (a,+ ) για κάθε a R \ Q. (ϐ) Ο χώρος του Sierpinski (Παράδειγµα (γ) ) είναι συνεκτικός, αφού δεν υπάρχουν µη κενά, ξένα, ανοικτά υποσύνολα που η ένωσή τους να ισούται µε το χώρο. (γ) Ο χώρος R S δεν είναι συνεκτικός, αφού το σύνολο (, a] είναι συγχρόνως ανοικτό και κλειστό, για κάθε a R. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Θεώρηµα Για κάθε a, b R, µε a b, το κλειστό διάστηµα [a, b] είναι συνεκτικό σύνολο. Απόδειξη: Αν a = b, τότε το διάστηµα [a, b] είναι µονοσύνολο, το οποίο είναι προφανώς συνεκτικό. Εστω ότι a < b. Υποθέτουµε, προς άτοπο, ότι το [a, b] δεν είναι συνεκτικό σύνολο, δηλαδή ότι υπάρχουν µη κενά, κλειστά και ξένα µεταξύ τους σύνολα A, B [a, b], ώστε [a, b] = A B. Το σύνολο A είναι µη κενό. κλειστό και ϕραγµένο, εποµένως υπάρχει το s = sup A A (a s b). Αν υποθέσουµε ότι s b, αφού το A είναι συγχρόνως ανοικτό σύνολο, υπάρχει ένα ε > 0, ώστε (s, s + ε) A. Αυτό όµως είναι αδύνατο, αφού τότε ϑα είχαµε ότι s < s + ε 2 A. Αρα s = b A. Εντελώς ανάλογα, δείχνει κανείς ότι sup B = b B, δηλαδή ότι b A B, πράγµα άτοπο. Εποµένως το σύνολο [a, b] είναι συνεκτικό. Πρόταση Η ένωση κάθε οικογένειας συνεκτικών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου X, µε µη κενή τοµή, είναι συνεκτικό σύνολο. ηλαδή, αν κάθε A i X είναι συνεκτικό σύνολο, για i I, και A i, τότε το σύνολο A i είναι συνεκτικό. i I i I Απόδειξη: Αφού A i, υπάρχει x 0 A i. Εστω µία συνεχής συνάρτηση f : A i {0,1}. i I i I i I Αφού κάθε A i είναι συνεκτικό σύνολο, κάθε f Ai είναι σταθερή και ίση µε f (x 0 ) (αφού x 0 A i, για κάθε i I). Αρα η f είναι σταθερή και κατά συνέπεια, όχι επί. ηλαδή, δεν υπάρχει συνεχής, επί συνάρτηση f : A i {0,1}. Εποµένως το σύνολο A i είναι συνεκτικό. i I i I Ως πόρισµα των παραπάνω, µπορούµε να έχουµε την ταξινόµηση των συνεκτικών υποσυνόλων του R (µε τη συνήθη τοπολογία). Πόρισµα Ο τοπολογικός χώρος R είναι συνεκτικός. Επιπλέον τα συνεκτικά υποσύνολα του R είναι ακριβώς τα διαστήµατα (µε πεπερασµένα ή άπειρα άκρα) 1. Απόδειξη: Ο χώρος R είναι συνεκτικός, αφού R = [ n,n] και n=1 [ n,n] = [ 1,1] (για τη συνεκτικότητα όλων των διαστηµάτων του R εργάζεται κανείς εντελώς ανάλογα). Εστω ένα A R, το οποίο δεν είναι διάστηµα, δηλαδή υπάρχουν x, y A µε x < y και z R µε x < z < y, ώστε z A. Τότε τα σύνολα A 1 = A (, z), A 2 = A (z,+ ) είναι ανοικτά στο A, ξένα, µη κενά (x A 1 και y A 2 ) και A = A 1 A 2. Αρα το σύνολο A δεν είναι συνεκτικό. Εποµένως, κάθε συνεκτικό υποσύνολο του R είναι διάστηµα. Η ακόλουθη Πρόταση µας εξηγεί ότι αν σε ένα συνεκτικό σύνολο προσθέσουµε κάποια από τα οριακά του σηµεία, το σύνολο που προκύπτει εξακολουθεί να είναι συνεκτικό. Πρόταση Εστω X ένας τοπολογικός χώρος και A, B X. n=1 (i) Αν το A είναι συνεκτικό και A B A, τότε και το B είναι συνεκτικό. (ii) Αν το A είναι συνεκτικό, τότε και το A είναι συνεκτικό. Απόδειξη: (i) Εστω µία συνεχής συνάρτηση f : B {0,1}. Αφού το A είναι συνεκτικό, η f A είναι σταθερή. Εποµένως, το f (A) {0,1} είναι µονοσύνολο. Αρα και το f (A) είναι µονοσύνολο. Οµως η f είναι συνεχής, άρα f (B) = f (A) f (A) 1 Υπενθυµίζουµε ότι ένα I, υποσύνολο του R, καλείται διάστηµα αν για κάθε x, y I, µε x y, και z R, µε x < z < y, έπεται ότι z I. Αποτελεί απλή άσκηση να ελέγξει κανείς ότι τα διαστήµατα του R είναι τα σύνολα της µορφής: [a, a] = {a} για a R, [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) για a, b R µε a < b, (a,+ ), [a,+ ) για a R, (, b), (, b] για b R και το R = (,+ ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 (όπου η κλειστότητα του A λαµβάνεται ως προς τη σχετική τοπολογία του B). µονοσύνολο, δηλαδή η f δεν είναι επί. Αρα το B είναι συνεκτικό σύνολο. Συνεπώς, το f (B) είναι (ii) Είναι άµεσο από το (i), για B = A. Παρατήρηση Το αντίστροφο της Πρότασης 8.1.8(ii) δεν είναι αληθές, δηλαδή υπάρχει συνεκτικό σύνολο µε πυκνό, µη συνεκτικό υποσύνολο. Ενα απλό παραδειγµα αποτελεί το µη συνεκτικό σύνολο των ϱητών Q ως υποσύνολο της (συνεκτικής) πραγµατικής ευθείας. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι οι συνεχείς συναρτήσεις µεταξύ τοπολογικών χώρων «σέβονται» τα συνεκτικά σύνολα. Ιδιαίτερα, αν ένας τοπολογικός χώρος X είναι συνεκτικός, τότε κάθε τοπολογικός χώρος οµοιο- µορφικός προς τον X είναι συνεκτικός. Συνέπεια αυτής της ιδιότητας αποτελεί το Θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής. Πρόταση Η εικόνα ενός συνεκτικού τοπολογικού χώρου µέσω µίας συνεχούς συνάρτησης είναι συνεκτικός τοπολογικός χώρος. Απόδειξη: Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι, µε τον X να είναι συνεκτικός. Εστω συνάρτηση f : X Y συνεχής και επί. Υποθέτουµε, προς άτοπο, ότι ο Y δεν είναι συνεκτικός. Αρα ϑα υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση g : Y {0,1}. Τότε η συνάρτηση g f : X {0,1} είναι συνεχής και επί, πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε το ότι ο X είναι συνεκτικός. Εποµένως, ο χώρος Y οφείλει να είναι συνεκτικός. Πόρισµα (Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής). Εστω X συνεκτικός τοπολογικός χώρος και f : X R µία συνεχής συνάρτηση. Η εικόνα f (X) R είναι διάστηµα. Απόδειξη: Από την Πρόταση , η εικόνα είναι συνεκτικό υποσύνολο του R, άρα είναι διάστηµα (Πόρισµα 8.1.7). Είναι ϕυσιολογικό να αναρωτηθεί κανείς για την αλληλεπίδραση της συνεκτικότητας µε το γινόµενο τοπολογικών χώρων. Είναι εµφανές ότι αν το καρτεσιανό γινόµενο µίας οικογένειας τοπολογικών χώρων (X i ) i I είναι συνεκτικός χώρος, τότε κάθε χώρος X i οφείλει να είναι συνεκτικός (αφού η αντίστοιχη προβολή π i είναι συνεχής και επί συνάρτηση). Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές και αποτυπώνεται στο ακόλουθο Θεώρηµα. Θεώρηµα Εστω (X i ) i I µία οικογένεια µη κενών και συνεκτικών τοπολογικών χώρων. Ο χώρος γινόµενο X = i I X i είναι συνεκτικός. Απόδειξη: Αρχικά ϑα δείξουµε το Ϲητούµενο υποθέτοντας ότι το I είναι πεπερασµένο σύνολο. Μάλιστα, αρκεί να το δείξουµε για I = 2 (το Ϲητούµενο για κάθε πεπερασµένο I έπεται στη συνέχεια µε επαγωγή). Εστω X και Y συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι και έστω ένα στοιχείο (x 0, y 0 ) X Y. Για κάθε x X ϑέτουµε το σύνολο A x = ({x} Y ) (X {y 0 }) Τα σύνολα {x} Y, X {y 0 } είναι συνεκτικά (ως συνεχείς εικόνες των X και Y αντίστοιχα) και X {y 0 } ({x} Y ) (X {y 0 }). Εποµένως, το A x είναι συνεκτικό σύνολο. Ακόµη, (x 0, y 0 ) A x και x X X Y = A x. Αρα, ο χώρος X Y είναι συνεκτικός. x X Για τη γενική περίπτωση, επιλέγουµε ένα στοιχείο z = (z i ) i I X και για κάθε J I πεπερασµένο, ϑέτουµε το σύνολο X J = {x = (x i ) i I X : x i = z i για κάθε i I \ J}. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Παρατηρούµε ότι το σύνολο X J είναι οµοιοµορφικό µε το σύνολο i J X i, το οποίο είναι συνεκτικό, ως πεπερασµένο γινόµενο συνεκτικών χώρων. ηλαδή, κάθε X J είναι συνεκτικό. Επίσης, έχουµε ότι z X J για κάθε πεπερασµένο J I, άρα η τοµή των συνόλων X J είναι µη κενή. Εποµένως το σύνολο Y = {X J : J I πεπερασµένο} είναι συνεκτικό. Αλλά το σύνολο Y είναι πυκνό στο X (γιατί;). Από την Πρόταση έχουµε ότι ο X είναι συνεκτικός χώρος. Κλείνουµε αυτή την παράγραφο κάνοντας αναφορά σε µία διαφορετική έννοια συνεκτικότητας, η οποία γενικεύει κατά ουσιαστικό τρόπο τη συνεκτικότητα των διαστηµάτων του R. Ορισµός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X και x, y X. Ενα µονοπάτι του χώρου X, από το x στο y, είναι µία συνεχής συνάρτηση f : [a, b] X, όπου a, b R µε a < b, ώστε f (a) = x και f (b) = y. Ο X καλείται κατά µονοπάτια συνεκτικός αν κάθε δύο σηµεία του χώρου συνδέονται µε κάποιο µονοπάτι στο X. Παρατηρήσεις (α) Αν ένας τοπολογικός χώρος X είναι κατά µονοπάτια συνεκτικός, τότε είναι και συνεκτικός. Πράγµατι, έστω προς άτοπο, ότι υπάρχει µία διάσπαση του χώρου X = A B (όπου τα A, B X είναι ανοικτά µε A B = ). Εστω ένα µονοπάτι στο X, f : [a.b] X. Το f ([a, b]) είναι συνεκτικό υποσύνολο του X, ως συνεχής εικόνα συνεκτικού συνόλου, άρα περιέχεται εξόλοκλήρου είτε στο σύνολο A, είτε στο σύνολο B. Εποµένως, δεν υπάρχει µονοπάτι που να συνδέει σηµεία του A µε σηµεία του B (γιατί;), πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε την υπόθεση ότι ο χώρος είναι κατά µονοπάτια συνεκτικός. (ϐ) Η εικόνα ενός κατά µονοπάτια συνεκτικού τοπολογικού χώρου µέσω µίας συνεχούς συνάρτησης είναι κατά µονοπάτια συνεκτικός τοπολογικός χώρος. Αυτό είναι άµεσο, καθώς η συνεχής εικόνα ενός µονοπατιού είναι µονοπάτι (συµπληρώστε τις λεπτοµέρειες). (γ) Ως πεδίο ορισµού ενός µονοπατιού µπορούµε να ϑεωρήσουµε οποιοδήποτε κλειστό διάστηµα µας εξυπηρετεί (αφού όλα τα κλειστά διαστήµατα του R είναι οµοιοµορφικά µεταξύ τους). Παραδείγµατα (α) Η κλειστή µοναδιαία µπάλα του Ευκλείδιου χώρου R n, B n = B n (0,1) = {x R n : x 2 1} είναι κατά µονοπάτια συνεκτικό σύνολο. Πράγµατι, για x, y B n ορίζουµε τη συνάρτηση f : [0,1] R n µε f (t) = (1 t)x + ty. 2 Η f είναι συνεχής και για κάθε t [0,1] έχουµε ότι f (t) 2 (1 t) x 2 +t y 2 1, άρα f ([0,1]) B n. Εποµένως η f είναι ένα µονοπάτι της B n από το x στο y. Με ανάλογο επιχείρηµα δείχνει κανείς ότι κάθε ανοικτή και κάθε κλειστή µπάλα του R n είναι κατά µονοπάτια συνεκτικό σύνολο. (ϐ) (the topologist s sine curve) Ορίζουµε το υποσύνολο του R 2, S = {(x,ημ( 1 x ) : x (0,1]}. Αφού το σύνολο S είναι συνεχής εικόνα του συνεκτικού συνόλου (0,1], είναι και το ίδιο συνεκτικό σύνολο. Εποµένως, η κλειστότητά του, S R 2 είναι επίσης συνεκτικό σύνολο. Μάλιστα, εύκολα ελέγχει κανείς ότι S = S ({0} [ 1,1]). Θα δείξουµε ότι το σύνολο S δεν είναι κατά µονοπάτια συνεκτικό, άρα το αντίστροφο της Παρατήρησης (α) δεν είναι αληθές. Εστω, προς άτοπο, ότι υπάρχει ένα µονοπάτι f : [a,c] S που να συνδέει την αρχή των αξόνων µε ένα σηµείο του S. Το σύνολο {t [a, c] : f (t) {0} [ 1, 1]} είναι κλειστό και ϕραγµένο, συνεπώς διαθέτει 2 Η συνάρτηση f παραµετρικοποιεί το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τα σηµεία x, y Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 ένα µέγιστο στοιχείο b, µε b < c (γιατί;). Τότε, ο περιορισµός της f στο διάστηµα [b, c] απεικονίζει το σηµείο b σε ένα σηµείο του συνόλου {0} [ 1, 1] και f ((b, c]) S. Για λόγους απλότητας, µπορούµε να υποθέσουµε ότι το διάστηµα [b, c] είναι το διάστηµα [0, 1]. Εχουµε ότι η συνάρτηση f είναι της µορφής f (t) = (x(t), y(t)). Τότε x(0) = 0, x(t) > 0 και y(t) = ημ( 1 x(t) ) για κάθε t > 0. Οµως, αν πάρει κανείς µία ακολουθία (t n ) n N µε t n 0 και y(t n ) = ( 1) n (κατασκευάστε µία τέτοια ακολουθία), ϑα έχουµε ότι η ακολουθία y(t n ) δε συγκλίνει, πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε τη συνέχεια της f. 8.2 Τοπικά συνεκτικοί χώροι και συνεκτικές συνιστώσες Στην περίπτωση που έχουµε ένα µη συνεκτικό τοπολογικό χώρο X, υπάρχει ένας ϕυσιολογικός τρόπος να τον διασπάσουµε σε συνεκτικά (ή κατά µονοπάτια συνεκτικά) υποσύνολά του. Ορισµός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Ορίζουµε µία σχέση στο X ϑέτοντας: x y υπάρχει συνεκτικός υπόχωρος του X που να περιέχει τα x, y. Η είναι µία σχέση ισοδυναµίας στο X (γιατί;) και οι κλάσεις ισοδυναµίας της καλούνται συνεκτικές συνιστώσες του X. Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου περιγράφονται καλύτερα από το ακόλουθο Θεώρηµα. Θεώρηµα Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου X είναι ξένοι συνεκτικοί υπόχωροι του X, τέτοιοι ώστε η ένωσή τους να είναι ο ίδιος ο χώρος X, καθώς και κάθε συνεκτικό υποσύνολο του X να τέµνει ακριβώς µία συνεκτική συνιστώσα. Απόδειξη: Ως κλάσεις ισοδυναµίας, οι συνεκτικές συνιστώσες είναι ξένες και η ένωσή τους είναι ο χώρος X. Εστω ένα τυχόν συνεκτικό A X (µε A ). Τότε, για ένα x A, το A τέµνει τη συνεκτική συνιστώσα που περιέχει το x. Εστω, προς άτοπο, ότι το A τέµνει δύο διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες, έστω C 1, C 2, και έστω σηµεία x 1 A C 1 και x 2 A C 2. Τότε από τον ορισµό της έχουµε ότι x 1 x 2. Συνεπώς C 1 = C 2. ηλαδή, το συνεκτικό σύνολο A τέµνει ακριβώς µία συνεκτική συνιστώσα του X. Μένει να δείξουµε ότι κάθε συνεκτική συνιστώσα του X είναι συνεκτικό σύνολο. Εστω C µία συνεκτική συνιστώσα του X και x 0 C. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x C, x 0 x, εποµένως υπάρχει συνεκτικός υπόχωρος A x του X που να περιέχει τα x 0, x. Οµως κάθε A x τέµνει µονάχα τη συνεκτική συνιστώσα C, δηλαδή A x C. Ετσι έχουµε ότι C = A x. Αφού τα σύνολα A x είναι συνεκτικά και το x 0 περιέχεται x C στην τοµή τους, έχουµε ότι το C είναι συνεκτικό σύνολο. Παρατηρήσεις (α) Το Θεώρηµα µας επιτρέπει να ορίσουµε ισοδύναµα τις συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου X, ως τα µεγιστικά συνεκτικά υποσύνολά του (δηλαδή ένα σύνολο C είναι συνεκτική συνιστώσα του X αν και µόνο αν είναι συνεκτικό και για κάθε συνεκτικό συνολο A, µε C A X, έπεται ότι A = C). (ϐ) Αν ένας χώρος είναι συνεκτικός, τότε προφανώς αποτελείται από µία συνεκτική συνιστώσα. Μία εντελώς ανάλογη κατασκευή µπορεί να ακολουθήσει κανείς για την τοπικά συνεκτική περίπτωση. Ορισµός Σε έναν τοπολογικό χώρο X ορίζουµε µία σχέση ϑέτοντας x p y αν υπάρχει µονοπάτι στο X, από το x στο y. Η σχέση p είναι σχέση ισοδυναµίας και οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας καλούντα κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες του X. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Ας εξετάσουµε ότι η σχέση p είναι πράγµατι µία σχέση ισοδυναµίας στο X. x p x για κάθε x X, αφού το µονοπάτι f : [0,1] X µε f (t) = x για κάθε t [0,1] συνδέει το x µε τον εαυτό του. Εστω x, y X µε x p y. Τότε υπάρχει µονοπάτι f : [0,1] X µε f (a) = x και f (b) = y. Θέτουµε g : [0,1] X µε g(t) = f (1 t). Εύκολα ελέγχει κανείς ότι η g είναι µονοπάτι στο X, απο το y στο x. Εποµένως y p x. Εστω x, y, z X µε x p y και y p z. Τότε υπάρχουν αντίστοιχα µονοπάτια f 1 : [0,1] X, f 2 : [1,2] X µε f 1 (0) = x, f 1 (1) = y = f 2 (1) και f 2 (2) = z. Θέτουµε τη συνάρτηση g : [0,2] X µε { f 1 (t), αν t [0,1] g(t) = f 2 (t), αν t (1,2]. Τότε η g είναι συνεχής (Πρόταση 4.1.6(iv)), g(0) = x και g(2) = z. Εποµένως η g είναι µονοπάτι στο X, από το x στο z, και έτσι, x p z. Θεώρηµα Οι κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου X είναι κατά µονοπάτια συνεκτικά, ξένα υποσύνολα του X, τέτοια ώστε η ένωσή τους να είναι ο ίδιος ο χώρος X, καθώς και κάθε κατά µονοπάτια συνεκτικό υποσύνολο του X να τέµνει ακριβώς µία κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα. Απόδειξη: Είναι ανάλογη µε αυτή του Θεωρήµατος και αφήνεται ως άσκηση. Παρατήρηση Κάθε συνεκτική συνιστώσα ενός τοπολογικού χώρου X είναι κλειστό σύνολο (αυτό έπεται από τη µεγιστικότητα των συνεκτικών συνιστωσών και το ότι η κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι επίσης συνεκτικό σύνολο). Επιπλέον, αν ο X έχει πεπερασµένες στο πλήθος συνεκτικές συνιστώσες, τότε κάθε µία από αυτές είναι και ανοικτό σύνολο (γιατί;). Εν γένει, µία συνεκτική συνιστώσα ενός τοπολογικού χώρου δεν οφείλει να είναι ανοικτό σύνολο. Για παράδειγµα, στο σύνολο Q (µε την επαγόµενη από τη συνήθη τοπολογία του R) κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι µονοσύνολο, εποµένως δεν µπορεί να είναι ανοικτό υποσύνολο του Q. Με το ακόλουθο παράδειγµα γίνεται ϕανερό ότι δεν ισχύουν ανάλογες καλές ιδιότητες για τις κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες. ηλαδή, µία κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα ενός τοπολογικού χώρου δεν οφείλει να είναι ούτε ανοικτό, αλλά ούτε και κλειστό σύνολο. Παράδειγµα Ο χώρος S του παραδείγµατος (ϐ) είναι συνεκτικός αλλά όχι κατά µονοπάτια συνεκτικός. Οι κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα σύνολα {0} [ 1,1] και S. Το S είναι ανοικτό σύνολο στο S αλλά όχι κλειστό, ενώ το {0} [ 1,1] είναι κλειστό αλλά όχι ανοικτό. Η συνεκτικότητα είναι µία χρήσιµη ιδιότητα για έναν τοπολογικό χώρο, αλλά δεν είναι λίγες οι ϕορές που η ιδιότητα που ουσαστικά µας ενδιαφέρει είναι η ικανότητα του χώρου να διαθέτει οσοδήποτε «λεπτές», συνεκτικές περιοχές για τα σηµεία του. Ορισµός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Ο X καλείται (i) τοπικά συνεκτικός στο x X, αν το x διαθέτει ϐάση περιοχών από συνεκτικά σύνολα. (ii) τοπικά συνεκτικός, αν είναι τοπικά συνεκτικός σε κάθε σηµείο του. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 (iii) τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός στο x X, αν το x διαθέτει ϐάση περιοχών από κατά µονοπάτια συνεκτικά σύνολα. (iv) τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός, αν είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός σε κάθε σηµείο του. Παραδείγµατα (α) Κάθε συνεκτικό υποσύνολο του R είναι και τοπικά συνεκτικό σύνολο. (ϐ) Το σύνολο [ 1, 0) (0, 1] R είναι τοπικά συνεκτικό, αλλά όχι συνεκτικό. (γ) Ο χώρος S είναι συνεκτικός, αλλά όχι τοπικά συνεκτικός. (δ) Το σύνολο Q δεν είναι ούτε συνεκτικό, ούτε τοπικά συνεκτικό. Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι τοπικά συνεκτικός αν και µόνο αν για κάθε ανοικτό σύνολο U X, κάθε συνεκτική συνιστώσα του U είναι ανοικτό σύνολο στο X. Απόδειξη: Εστω ότι ο X είναι τοπικά συνεκτικός και έστω ένα ανοικτό U X. Αν C είναι µία συνεκτική συνιστώσα του U και x C, υπάρχει συνεκτική περιοχή V του x, µε V U. Αφού όµως το V είναι συνεκτικό σύνολο, πρέπει V C. Εποµένως η συνεκτική συνιστώσα C είναι ανοικτό σύνολο. Αντίστροφα, έστω ότι οι συνεκτικές συνιστώσες κάθε ανοικτού συνόλου είναι επίσης ανοικτά σύνολα. Εστω ένα x X και U N x. Αν C είναι η συνεκτική συνιστώσα του U που περιέχει το x, τότε το C είναι συνεκτικό και ανοικτό (από την υπόθεση) σύνολο µε x C U. Εποµένως το x διαθέτει ϐάση περιοχών από συνεκτικά σύνολα, δηλαδή ο X είναι τοπικά συνεκτικός χώρος στο x. Αφού το x X ήταν τυχόν, ο X είναι τοπικά συνεκτικός. Ανάλογα αποδεικνύει κανείς την ακόλουθη Πρόταση: Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός αν και µόνο αν για κάθε ανοικτό σύνολο U X, κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του U είναι ανοικτό σύνολο στο X. Η σχέση µεταξύ συνεκτικότητας και κατά µονοπάτια συνεκτικότητας αποτυπώνεται στο ακόλουθο Θεώρηµα: Θεώρηµα Σε έναν τοπολογικό χώρο X, κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα περιέχεται σε µία συνεκτική συνιστώσα του X. Αν επιπλέον ο X είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός, τότε οι συνεκτικές συνιστώσες και οι κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες ταυτίζονται. Απόδειξη: Εστω C µία συνεκτική συνιστώσα του X και έστω ένα x C. Αν P είναι η κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του X που περιέχει το x, αφού η P είναι συνεκτικό σύνολο, έπεται ότι P C. Επιθυµούµε να δείξουµε ότι αν ο X είναι τοπικά κατά µοονοπάτια συνεκτικός, τότε P = C. Εστω, προς άτοπο, ότι P C. Κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του X που τέµνει το C ϑα περιέχεται σε αυτό. Αν ϑέσουµε Q την ένωση ολων αυτών των κατά µονοπάτια συνεκτικών συνιστωσών του X (που περιέχονται στο C) εκτός της P, ϑα έχουµε ότι C = P Q. Αφού ο X είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός, κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του X είναι ανοικτό σύνολο. Εποµένως, η P (ως συνιστώσα) και το Q (ως ένωση κατά µονοπάτια συνεκτικών συνιστωσών) είναι ανοικτά σύνολα (και προφανώς ξένα). Αρα συνιστούν µία διάσπαση του C, γεγονός που έρχεται σε αντίφαση µε τη συνεκτικότητα του C. Συνεπώς, P = C. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 15 3. Το Θεώρηµα των Cayley-Hamilton

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Γραµµική Ανεξαρτησία, Βάσεις και ιάσταση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 4 Γραµµικη Ανεξαρτησια, Βασεις και ιασταση Στο

Διαβάστε περισσότερα

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί

Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Κεφάλαιο 0 Προκαταρκτικές Εννοιες: Σύνολα και Αριθµοί Στο παρόν εισαγωγικό Κεφάλαιο, υπενθυµίζουµε, κατά κύριο λόγο χωρίς αποδείξεις, ϐασικές γνώσεις από : τη στοιχειώδη ϑεωρία συνόλων και απεικονίσεων,

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange

Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange 64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier

L 2 -σύγκλιση σειρών Fourier Κεφάλαιο 7 L -σύγκλιση σειρών Fourier 7.1 Χώροι Hilbert 7.1.1 Χώροι µε εσωτερικό γινόµενο και χώροι Hilbert Ορισµός 7.1.1. Εστω X γραµµικός χώρος πάνω από το K. Μια συνάρτηση, : X X K λέγεται εσωτερικό

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291

Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 2291 ΠΡΩΤΗ ΆΣΚΗΣΗ ΣΤΗΝ ΚΡΥΠΤΟΓΡΑΦΙΑ Όνοµα: Λιβαθινός Νικόλαος 9 Ηµεροµηνία: 3/5/003 Άσκηση ώστε όλες τις υποοµάδες των Z και Ζ 5 * Προκειµένου να δώσουµε τις υποοµάδες θα πρέπει αρχικά να ορίσουµε τα σύνολα

Διαβάστε περισσότερα

4 Συνέχεια συνάρτησης

4 Συνέχεια συνάρτησης 4 Συνέχεια συνάρτησης Σε αυτή την ενότητα ϑα µελετήσουµε την έννοια της συνέχειας συνάρτησης. Πιο συγκεκριµένα πότε ϑα λέγεται µια συνάρτηση συνεχής σε ένα σηµείο το οποίο ανήκει στο πεδίο ορισµού της

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Διακριτά Μαθηματικά Ι Ενότητα 4: Θεωρία Μέτρησης Po lya Μέρος 1 Διδάσκων: Χ. Μπούρας (bouras@cti.gr) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Κεφάλαιο Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές Γνωρίζουµε ότι στο Ÿ κάθε στοιχείο εκτός από το 0 και τα ± γράφεται ως γινόµενο πρώτων αριθµών κατά τρόπο ουσιαστικά µοναδικό Από τη Βασική Άλγεβρα ξέρουµε

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση

Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση 8 Υπολογισµός διπλών ολοκληρωµάτων µε διαδοχική ολοκλήρωση Υπάρχουν δύο θεµελιώδη αποτελέσµατα που µας βοηθούν να υπολογίζουµε πολλαπλά ολοκληρώµατα Το πρώτο αποτέλεσµα σχετίζεται µε τον υπολογισµό ενός

Διαβάστε περισσότερα

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2

= s 2m 1 + s 1 m 2 s 1 s 2 ΑΝΤΙΜΕΤΑΘΕΤΙΚΗ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ, 203 ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΧΑΡΑ ΧΑΡΑΛΑΜΠΟΥΣ ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ, ΑΠΘ Οι σηµειώσεις αυτές είναι ϐασισµένες στις διαλέξεις του µαθήµατος. Καταγράϕηκαν αρχικά ηλεκτρονικά από τη κ.

Διαβάστε περισσότερα

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές.

ι3.4 Παραδείγματα T ) έχει την ιδιότητα Heine-Borel, αν κάθε κλειστό και φραγμένο υποσύνολό του είναι συμπαγές. 6 ι3.4 Παραδείγματα Στην παράγραφο αυτή θα μελετήσουμε κάποια σημαντικά παραδείγματα, για τις εφαρμογές, χώρων συναρτήσεων οι οποίοι είναι τοπικά κυρτοί και μετρικοποιήσιμοι αλλά η τοπολογία τους δεν επάγεται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Όρια και συνέχεια συναρτήσεων Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 2 Ορια και συνέχεια συναρτήσεων 2.1 Πραγµατικές συναρτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση

ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση 44 ιανυσµατικά πεδία Όπως έχουµε ήδη αναφέρει ένα διανυσµατικό πεδίο είναι µια συνάρτηση F : U R R. Για εµάς φυσικά µια τέτοια συνάρτηση θα θεωρείται ότι είναι τουλάχιστον συνεχής και συνήθως C και βέβαια

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων. Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα. Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Γραφημάτων Ενότητα: Συνεκτικότητα και Δισυνεκτικότητα Διδάσκων: Λέκτορας Xάρης Παπαδόπουλος Τμήμα: Μαθηματικών Θεωρία Γραφημάτων Χάρης Παπαδόπουλος 2012, Διάλεξη Κεφαλαίου 2 Περιεχόμενα

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n

Κεφάλαιο 8. Η οµάδα S n. 8.1 Βασικές ιδιότητες της S n Κεφάλαιο 8 Η οµάδα S n Στο κεφάλαιο αυτό ϑα µελετήσουµε την οµάδα µεταθέσεων ή συµµετρική οµάδα S n εφαρµόζοντας τη ϑεωρία που αναπτύχθηκε στα προηγούµενα κε- ϕάλαια. Η σηµαντικότητα της S n εµφανίστηκε

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 10: Ισοδυναμία ντετερμινιστικών και μη ντετερμινιστικών αυτομάτων Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για

Διαβάστε περισσότερα

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί

Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Μιγαδικός λογισμός και ολοκληρωτικοί Μετασχηματισμοί ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΟ ΜΙΓΑΔΙΚΟ ΕΠΙΠΕΔΟ Διδάσκων : Επίκ. Καθ. Κολάσης Χαράλαμπος Άδειες Χρήσης Το

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Γραµµική Αλγεβρα. Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα. Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Αλγεβρα Ενότητα 6 : Ιδιοτιµές & Ιδιοδιανύσµατα Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Κανόνες παραγώγισης ( )

Κανόνες παραγώγισης ( ) 66 Κανόνες παραγώγισης Οι κανόνες παραγώγισης που ισχύουν για συναρτήσεις µιας µεταβλητής, ( παραγώγιση, αθροίσµατος, γινοµένου, πηλίκου και σύνθετων συναρτήσεων ) γενικεύονται και για συναρτήσεις πολλών

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών

ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λογισμός 4. Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Τμήμα Μαθηματικών ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3: Το Θεώρημα του Lebesgue. Μιχ. Γ. Μαριάς Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - I Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 35 7 Η Κανονική Μορφή Jordan - I Στην

Διαβάστε περισσότερα

11 Το ολοκλήρωµα Riemann

11 Το ολοκλήρωµα Riemann Το ολοκλήρωµα Riem Το πρόβληµα υπολογισµού του εµβαδού οποιασδήποτε επιφάνειας ( όπως κυκλικοί τοµείς, δακτύλιοι και δίσκοι, ελλειπτικοί δίσκοι, παραβολικά και υπερβολικά χωρία κτλ) είναι γνωστό από την

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1

ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι. Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΟΜΕΣ Ι Τµηµα Β Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2017/asi2017.html Παρασκευή 10 Μαρτίου 2017 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 3: Σύνολα Συνδυαστική Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων. Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Θεωρία Ομάδων Ενότητα: Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 3 Ευθέα Γινόμενα Ομάδων Για την περαιτέρω ανάπτυξη τής θεωρίας θα χρειαστούμε

Διαβάστε περισσότερα

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών 54 ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών Ένας στέρεος ορισµός της παραγώγισης για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών ανάλογος µε τον ορισµό για συναρτήσεις µιας µεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 10: Αριθμητική υπολοίπων - Κυκλικές ομάδες: Διαιρετότητα - Ευκλείδειος αλγόριθμος - Κατάλοιπα Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3: Συνθήκες Αλυσίδων Μελετάµε εδώ τη συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας υποπροτύπων και τη συνθήκη της φθίνουσας αλυσίδας υποπροτύπων. Αυτές συνδέονται µεταξύ τους µε την έννοια της συνθετικής σειράς

Διαβάστε περισσότερα

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος

Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος Ανάλυση Fourier και Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Πανεπιστήµιο Αθηνών Αθήνα 2015 Περιεχόµενα 1 Μέτρο Lebesgue 3 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue........................... 3

Διαβάστε περισσότερα

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι

Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Επιστηµονικός Υπολογισµός Ι Ενότητα 5 : Επίλυση Γραµµικών Συστηµάτων Ευστράτιος Γαλλόπουλος Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q

ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο. 2= p=q 2 p =2q ΛΥΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο. Υποθέτουµε ότι ο είναι ρητός. ηλαδή, υποθέτουµε p ότι υπάρχουν φυσικοί αριθµοί p και q τέτoιοι ώστε : =, p και q δεν έχουν q κοινούς διαιρέτες. Παρατηρούµε ότι ο άρτιος αριθµός.

Διαβάστε περισσότερα