Εισαγωγή στην Τοπολογία

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Εισαγωγή στην Τοπολογία"

Transcript

1 Ενότητα: Συνεκτικότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών

2 Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ϱητώς. Χρηµατοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδηµαϊκά Μαθήµατα στο Πανεπιστήµιο Αθηνών» έχει χρηµατοδοτήσει µόνο τη αναδιαµόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράµµατος «Εκπαίδευση και ια Βίου Μά- ϑηση» και συγχρηµατοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταµείο) και από εθνικούς πόρους. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 2

3 Περιεχόµενα ενότητας 8 Συνεκτικότητα Συνεκτικοί Χώροι Τοπικά συνεκτικοί χώροι και συνεκτικές συνιστώσες Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 3

4 8 Συνεκτικότητα 8.1 Συνεκτικοί Χώροι Ο ορισµός της συνεκτικότητας είναι, µάλλον, ϕυσιολογικός. Θα έλεγε κανείς ότι ένας τοπολογικός χώρος διασπάται, αν µπορεί να εκφραστεί ως ξένη ένωση δύο ανοικτών συνόλων. Αν αυτό είναι αδύνατο, ο χώρος ϑα χαρακτηρίζεται από µία ισχυρή έννοια «συνοχής». Από αυτή την απλή ιδέα καταλήγει κανείς στον τυπικό ορισµό. Ορισµός Ενας τοπολογικός χώρος X καλείται συνεκτικός αν δεν υπάρχουν δύο µη κενά, ανοικτά, ξένα µεταξύ τους υποσύνολα A, B του X, ώστε X = A B. Ενα υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου καλείται συνεκτικό, αν είναι συνεκτικός χώρος µε τη σχετική τοπολογία. Παρατήρηση Είναι σαφές ότι ένας τοπολογικός χώρος X είναι συνεκτικός αν δεν υπάρχουν δύο µη κενά, κλειστά, ξένα µεταξύ τους υποσύνολα A, B του X, ώστε X = A B. Παρότι ο ορισµός δίνει µία καλή διασθητική προσέγγιση της έννοιας, συχνά δεν είναι εύχρηστος για να ελέγξει κανείς τη συνεκτικότητα ενός τοπολογικού χώρου. Η ακόλουθη Πρόταση µας προσφέρει κάποια επιπλέον κριτήρια. Πρόταση Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Τα ακόλουθα είναι ισοδύναµα: (i) Ο X είναι συνεκτικός χώρος. (ii) Τα µόνα υποσύνολα του X που είναι συγχρόνως ανοικτά και κλειστά είναι τα, X. (iii) εν υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση f : X {0,1} (όπου το {0,1} είναι εφοδιασµένο µε τη διακριτή τοπολογία). Απόδειξη: (i) (ii) Εστω ένα A X το οποίο είναι συγχρόνως ανοικτό και κλειστό. Τότε X = A c A, όπου τα A, A c είναι ανοικτά και ξένα µεταξύ τους. Οµως ο X είναι συνεκτικός, άρα πρέπει A = ή A c =. Εποµένως A = ή A = X. (ii) (iii) Αν υπάρχει f : X {0,1} συνεχής και επί συνάρτηση, τότε το σύνολο A = f 1 ({0}) είναι ανοικτό, κλειστό. Αφού η f είναι επί, έχουµε ότι A και A X, πράγµα άτοπο. Εποµένως, δεν υπάρχει τέτοια συνάρτηση f. (iii) (i) Αν ο χώρος X δεν είναι συνεκτικός, υπάρχουν µη κενά, ανοικτά και ξένα µεταξύ τους σύνολα A, B X, ώστε X = A B. Τότε, η χαρακτηριστική συνάρτηση του A, χ A : X {0,1}, είναι συνεχής και επί (γιατί;), πράγµα άτοπο. Αρα ο X είναι συνεκτικός. Παραδείγµατα (α) Το σύνολο των ϱητών αριθµών δεν είναι συνεκτικό υποσύνολο του R, αφού Q = (, a) (a,+ ) για κάθε a R \ Q. (ϐ) Ο χώρος του Sierpinski (Παράδειγµα (γ) ) είναι συνεκτικός, αφού δεν υπάρχουν µη κενά, ξένα, ανοικτά υποσύνολα που η ένωσή τους να ισούται µε το χώρο. (γ) Ο χώρος R S δεν είναι συνεκτικός, αφού το σύνολο (, a] είναι συγχρόνως ανοικτό και κλειστό, για κάθε a R. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 4

5 Θεώρηµα Για κάθε a, b R, µε a b, το κλειστό διάστηµα [a, b] είναι συνεκτικό σύνολο. Απόδειξη: Αν a = b, τότε το διάστηµα [a, b] είναι µονοσύνολο, το οποίο είναι προφανώς συνεκτικό. Εστω ότι a < b. Υποθέτουµε, προς άτοπο, ότι το [a, b] δεν είναι συνεκτικό σύνολο, δηλαδή ότι υπάρχουν µη κενά, κλειστά και ξένα µεταξύ τους σύνολα A, B [a, b], ώστε [a, b] = A B. Το σύνολο A είναι µη κενό. κλειστό και ϕραγµένο, εποµένως υπάρχει το s = sup A A (a s b). Αν υποθέσουµε ότι s b, αφού το A είναι συγχρόνως ανοικτό σύνολο, υπάρχει ένα ε > 0, ώστε (s, s + ε) A. Αυτό όµως είναι αδύνατο, αφού τότε ϑα είχαµε ότι s < s + ε 2 A. Αρα s = b A. Εντελώς ανάλογα, δείχνει κανείς ότι sup B = b B, δηλαδή ότι b A B, πράγµα άτοπο. Εποµένως το σύνολο [a, b] είναι συνεκτικό. Πρόταση Η ένωση κάθε οικογένειας συνεκτικών υποσυνόλων ενός τοπολογικού χώρου X, µε µη κενή τοµή, είναι συνεκτικό σύνολο. ηλαδή, αν κάθε A i X είναι συνεκτικό σύνολο, για i I, και A i, τότε το σύνολο A i είναι συνεκτικό. i I i I Απόδειξη: Αφού A i, υπάρχει x 0 A i. Εστω µία συνεχής συνάρτηση f : A i {0,1}. i I i I i I Αφού κάθε A i είναι συνεκτικό σύνολο, κάθε f Ai είναι σταθερή και ίση µε f (x 0 ) (αφού x 0 A i, για κάθε i I). Αρα η f είναι σταθερή και κατά συνέπεια, όχι επί. ηλαδή, δεν υπάρχει συνεχής, επί συνάρτηση f : A i {0,1}. Εποµένως το σύνολο A i είναι συνεκτικό. i I i I Ως πόρισµα των παραπάνω, µπορούµε να έχουµε την ταξινόµηση των συνεκτικών υποσυνόλων του R (µε τη συνήθη τοπολογία). Πόρισµα Ο τοπολογικός χώρος R είναι συνεκτικός. Επιπλέον τα συνεκτικά υποσύνολα του R είναι ακριβώς τα διαστήµατα (µε πεπερασµένα ή άπειρα άκρα) 1. Απόδειξη: Ο χώρος R είναι συνεκτικός, αφού R = [ n,n] και n=1 [ n,n] = [ 1,1] (για τη συνεκτικότητα όλων των διαστηµάτων του R εργάζεται κανείς εντελώς ανάλογα). Εστω ένα A R, το οποίο δεν είναι διάστηµα, δηλαδή υπάρχουν x, y A µε x < y και z R µε x < z < y, ώστε z A. Τότε τα σύνολα A 1 = A (, z), A 2 = A (z,+ ) είναι ανοικτά στο A, ξένα, µη κενά (x A 1 και y A 2 ) και A = A 1 A 2. Αρα το σύνολο A δεν είναι συνεκτικό. Εποµένως, κάθε συνεκτικό υποσύνολο του R είναι διάστηµα. Η ακόλουθη Πρόταση µας εξηγεί ότι αν σε ένα συνεκτικό σύνολο προσθέσουµε κάποια από τα οριακά του σηµεία, το σύνολο που προκύπτει εξακολουθεί να είναι συνεκτικό. Πρόταση Εστω X ένας τοπολογικός χώρος και A, B X. n=1 (i) Αν το A είναι συνεκτικό και A B A, τότε και το B είναι συνεκτικό. (ii) Αν το A είναι συνεκτικό, τότε και το A είναι συνεκτικό. Απόδειξη: (i) Εστω µία συνεχής συνάρτηση f : B {0,1}. Αφού το A είναι συνεκτικό, η f A είναι σταθερή. Εποµένως, το f (A) {0,1} είναι µονοσύνολο. Αρα και το f (A) είναι µονοσύνολο. Οµως η f είναι συνεχής, άρα f (B) = f (A) f (A) 1 Υπενθυµίζουµε ότι ένα I, υποσύνολο του R, καλείται διάστηµα αν για κάθε x, y I, µε x y, και z R, µε x < z < y, έπεται ότι z I. Αποτελεί απλή άσκηση να ελέγξει κανείς ότι τα διαστήµατα του R είναι τα σύνολα της µορφής: [a, a] = {a} για a R, [a, b], (a, b], [a, b), (a, b) για a, b R µε a < b, (a,+ ), [a,+ ) για a R, (, b), (, b] για b R και το R = (,+ ). Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 5

6 (όπου η κλειστότητα του A λαµβάνεται ως προς τη σχετική τοπολογία του B). µονοσύνολο, δηλαδή η f δεν είναι επί. Αρα το B είναι συνεκτικό σύνολο. Συνεπώς, το f (B) είναι (ii) Είναι άµεσο από το (i), για B = A. Παρατήρηση Το αντίστροφο της Πρότασης 8.1.8(ii) δεν είναι αληθές, δηλαδή υπάρχει συνεκτικό σύνολο µε πυκνό, µη συνεκτικό υποσύνολο. Ενα απλό παραδειγµα αποτελεί το µη συνεκτικό σύνολο των ϱητών Q ως υποσύνολο της (συνεκτικής) πραγµατικής ευθείας. Αξίζει να σηµειώσουµε ότι οι συνεχείς συναρτήσεις µεταξύ τοπολογικών χώρων «σέβονται» τα συνεκτικά σύνολα. Ιδιαίτερα, αν ένας τοπολογικός χώρος X είναι συνεκτικός, τότε κάθε τοπολογικός χώρος οµοιο- µορφικός προς τον X είναι συνεκτικός. Συνέπεια αυτής της ιδιότητας αποτελεί το Θεώρηµα ενδιάµεσης τιµής. Πρόταση Η εικόνα ενός συνεκτικού τοπολογικού χώρου µέσω µίας συνεχούς συνάρτησης είναι συνεκτικός τοπολογικός χώρος. Απόδειξη: Εστω X,Y τοπολογικοί χώροι, µε τον X να είναι συνεκτικός. Εστω συνάρτηση f : X Y συνεχής και επί. Υποθέτουµε, προς άτοπο, ότι ο Y δεν είναι συνεκτικός. Αρα ϑα υπάρχει συνεχής και επί συνάρτηση g : Y {0,1}. Τότε η συνάρτηση g f : X {0,1} είναι συνεχής και επί, πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε το ότι ο X είναι συνεκτικός. Εποµένως, ο χώρος Y οφείλει να είναι συνεκτικός. Πόρισµα (Θεώρηµα Ενδιάµεσης Τιµής). Εστω X συνεκτικός τοπολογικός χώρος και f : X R µία συνεχής συνάρτηση. Η εικόνα f (X) R είναι διάστηµα. Απόδειξη: Από την Πρόταση , η εικόνα είναι συνεκτικό υποσύνολο του R, άρα είναι διάστηµα (Πόρισµα 8.1.7). Είναι ϕυσιολογικό να αναρωτηθεί κανείς για την αλληλεπίδραση της συνεκτικότητας µε το γινόµενο τοπολογικών χώρων. Είναι εµφανές ότι αν το καρτεσιανό γινόµενο µίας οικογένειας τοπολογικών χώρων (X i ) i I είναι συνεκτικός χώρος, τότε κάθε χώρος X i οφείλει να είναι συνεκτικός (αφού η αντίστοιχη προβολή π i είναι συνεχής και επί συνάρτηση). Το αντίστροφο είναι επίσης αληθές και αποτυπώνεται στο ακόλουθο Θεώρηµα. Θεώρηµα Εστω (X i ) i I µία οικογένεια µη κενών και συνεκτικών τοπολογικών χώρων. Ο χώρος γινόµενο X = i I X i είναι συνεκτικός. Απόδειξη: Αρχικά ϑα δείξουµε το Ϲητούµενο υποθέτοντας ότι το I είναι πεπερασµένο σύνολο. Μάλιστα, αρκεί να το δείξουµε για I = 2 (το Ϲητούµενο για κάθε πεπερασµένο I έπεται στη συνέχεια µε επαγωγή). Εστω X και Y συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι και έστω ένα στοιχείο (x 0, y 0 ) X Y. Για κάθε x X ϑέτουµε το σύνολο A x = ({x} Y ) (X {y 0 }) Τα σύνολα {x} Y, X {y 0 } είναι συνεκτικά (ως συνεχείς εικόνες των X και Y αντίστοιχα) και X {y 0 } ({x} Y ) (X {y 0 }). Εποµένως, το A x είναι συνεκτικό σύνολο. Ακόµη, (x 0, y 0 ) A x και x X X Y = A x. Αρα, ο χώρος X Y είναι συνεκτικός. x X Για τη γενική περίπτωση, επιλέγουµε ένα στοιχείο z = (z i ) i I X και για κάθε J I πεπερασµένο, ϑέτουµε το σύνολο X J = {x = (x i ) i I X : x i = z i για κάθε i I \ J}. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 6

7 Παρατηρούµε ότι το σύνολο X J είναι οµοιοµορφικό µε το σύνολο i J X i, το οποίο είναι συνεκτικό, ως πεπερασµένο γινόµενο συνεκτικών χώρων. ηλαδή, κάθε X J είναι συνεκτικό. Επίσης, έχουµε ότι z X J για κάθε πεπερασµένο J I, άρα η τοµή των συνόλων X J είναι µη κενή. Εποµένως το σύνολο Y = {X J : J I πεπερασµένο} είναι συνεκτικό. Αλλά το σύνολο Y είναι πυκνό στο X (γιατί;). Από την Πρόταση έχουµε ότι ο X είναι συνεκτικός χώρος. Κλείνουµε αυτή την παράγραφο κάνοντας αναφορά σε µία διαφορετική έννοια συνεκτικότητας, η οποία γενικεύει κατά ουσιαστικό τρόπο τη συνεκτικότητα των διαστηµάτων του R. Ορισµός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X και x, y X. Ενα µονοπάτι του χώρου X, από το x στο y, είναι µία συνεχής συνάρτηση f : [a, b] X, όπου a, b R µε a < b, ώστε f (a) = x και f (b) = y. Ο X καλείται κατά µονοπάτια συνεκτικός αν κάθε δύο σηµεία του χώρου συνδέονται µε κάποιο µονοπάτι στο X. Παρατηρήσεις (α) Αν ένας τοπολογικός χώρος X είναι κατά µονοπάτια συνεκτικός, τότε είναι και συνεκτικός. Πράγµατι, έστω προς άτοπο, ότι υπάρχει µία διάσπαση του χώρου X = A B (όπου τα A, B X είναι ανοικτά µε A B = ). Εστω ένα µονοπάτι στο X, f : [a.b] X. Το f ([a, b]) είναι συνεκτικό υποσύνολο του X, ως συνεχής εικόνα συνεκτικού συνόλου, άρα περιέχεται εξόλοκλήρου είτε στο σύνολο A, είτε στο σύνολο B. Εποµένως, δεν υπάρχει µονοπάτι που να συνδέει σηµεία του A µε σηµεία του B (γιατί;), πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε την υπόθεση ότι ο χώρος είναι κατά µονοπάτια συνεκτικός. (ϐ) Η εικόνα ενός κατά µονοπάτια συνεκτικού τοπολογικού χώρου µέσω µίας συνεχούς συνάρτησης είναι κατά µονοπάτια συνεκτικός τοπολογικός χώρος. Αυτό είναι άµεσο, καθώς η συνεχής εικόνα ενός µονοπατιού είναι µονοπάτι (συµπληρώστε τις λεπτοµέρειες). (γ) Ως πεδίο ορισµού ενός µονοπατιού µπορούµε να ϑεωρήσουµε οποιοδήποτε κλειστό διάστηµα µας εξυπηρετεί (αφού όλα τα κλειστά διαστήµατα του R είναι οµοιοµορφικά µεταξύ τους). Παραδείγµατα (α) Η κλειστή µοναδιαία µπάλα του Ευκλείδιου χώρου R n, B n = B n (0,1) = {x R n : x 2 1} είναι κατά µονοπάτια συνεκτικό σύνολο. Πράγµατι, για x, y B n ορίζουµε τη συνάρτηση f : [0,1] R n µε f (t) = (1 t)x + ty. 2 Η f είναι συνεχής και για κάθε t [0,1] έχουµε ότι f (t) 2 (1 t) x 2 +t y 2 1, άρα f ([0,1]) B n. Εποµένως η f είναι ένα µονοπάτι της B n από το x στο y. Με ανάλογο επιχείρηµα δείχνει κανείς ότι κάθε ανοικτή και κάθε κλειστή µπάλα του R n είναι κατά µονοπάτια συνεκτικό σύνολο. (ϐ) (the topologist s sine curve) Ορίζουµε το υποσύνολο του R 2, S = {(x,ημ( 1 x ) : x (0,1]}. Αφού το σύνολο S είναι συνεχής εικόνα του συνεκτικού συνόλου (0,1], είναι και το ίδιο συνεκτικό σύνολο. Εποµένως, η κλειστότητά του, S R 2 είναι επίσης συνεκτικό σύνολο. Μάλιστα, εύκολα ελέγχει κανείς ότι S = S ({0} [ 1,1]). Θα δείξουµε ότι το σύνολο S δεν είναι κατά µονοπάτια συνεκτικό, άρα το αντίστροφο της Παρατήρησης (α) δεν είναι αληθές. Εστω, προς άτοπο, ότι υπάρχει ένα µονοπάτι f : [a,c] S που να συνδέει την αρχή των αξόνων µε ένα σηµείο του S. Το σύνολο {t [a, c] : f (t) {0} [ 1, 1]} είναι κλειστό και ϕραγµένο, συνεπώς διαθέτει 2 Η συνάρτηση f παραµετρικοποιεί το ευθύγραµµο τµήµα που συνδέει τα σηµεία x, y Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 7

8 ένα µέγιστο στοιχείο b, µε b < c (γιατί;). Τότε, ο περιορισµός της f στο διάστηµα [b, c] απεικονίζει το σηµείο b σε ένα σηµείο του συνόλου {0} [ 1, 1] και f ((b, c]) S. Για λόγους απλότητας, µπορούµε να υποθέσουµε ότι το διάστηµα [b, c] είναι το διάστηµα [0, 1]. Εχουµε ότι η συνάρτηση f είναι της µορφής f (t) = (x(t), y(t)). Τότε x(0) = 0, x(t) > 0 και y(t) = ημ( 1 x(t) ) για κάθε t > 0. Οµως, αν πάρει κανείς µία ακολουθία (t n ) n N µε t n 0 και y(t n ) = ( 1) n (κατασκευάστε µία τέτοια ακολουθία), ϑα έχουµε ότι η ακολουθία y(t n ) δε συγκλίνει, πράγµα που έρχεται σε αντίφαση µε τη συνέχεια της f. 8.2 Τοπικά συνεκτικοί χώροι και συνεκτικές συνιστώσες Στην περίπτωση που έχουµε ένα µη συνεκτικό τοπολογικό χώρο X, υπάρχει ένας ϕυσιολογικός τρόπος να τον διασπάσουµε σε συνεκτικά (ή κατά µονοπάτια συνεκτικά) υποσύνολά του. Ορισµός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Ορίζουµε µία σχέση στο X ϑέτοντας: x y υπάρχει συνεκτικός υπόχωρος του X που να περιέχει τα x, y. Η είναι µία σχέση ισοδυναµίας στο X (γιατί;) και οι κλάσεις ισοδυναµίας της καλούνται συνεκτικές συνιστώσες του X. Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου περιγράφονται καλύτερα από το ακόλουθο Θεώρηµα. Θεώρηµα Οι συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου X είναι ξένοι συνεκτικοί υπόχωροι του X, τέτοιοι ώστε η ένωσή τους να είναι ο ίδιος ο χώρος X, καθώς και κάθε συνεκτικό υποσύνολο του X να τέµνει ακριβώς µία συνεκτική συνιστώσα. Απόδειξη: Ως κλάσεις ισοδυναµίας, οι συνεκτικές συνιστώσες είναι ξένες και η ένωσή τους είναι ο χώρος X. Εστω ένα τυχόν συνεκτικό A X (µε A ). Τότε, για ένα x A, το A τέµνει τη συνεκτική συνιστώσα που περιέχει το x. Εστω, προς άτοπο, ότι το A τέµνει δύο διαφορετικές συνεκτικές συνιστώσες, έστω C 1, C 2, και έστω σηµεία x 1 A C 1 και x 2 A C 2. Τότε από τον ορισµό της έχουµε ότι x 1 x 2. Συνεπώς C 1 = C 2. ηλαδή, το συνεκτικό σύνολο A τέµνει ακριβώς µία συνεκτική συνιστώσα του X. Μένει να δείξουµε ότι κάθε συνεκτική συνιστώσα του X είναι συνεκτικό σύνολο. Εστω C µία συνεκτική συνιστώσα του X και x 0 C. Γνωρίζουµε ότι για κάθε x C, x 0 x, εποµένως υπάρχει συνεκτικός υπόχωρος A x του X που να περιέχει τα x 0, x. Οµως κάθε A x τέµνει µονάχα τη συνεκτική συνιστώσα C, δηλαδή A x C. Ετσι έχουµε ότι C = A x. Αφού τα σύνολα A x είναι συνεκτικά και το x 0 περιέχεται x C στην τοµή τους, έχουµε ότι το C είναι συνεκτικό σύνολο. Παρατηρήσεις (α) Το Θεώρηµα µας επιτρέπει να ορίσουµε ισοδύναµα τις συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου X, ως τα µεγιστικά συνεκτικά υποσύνολά του (δηλαδή ένα σύνολο C είναι συνεκτική συνιστώσα του X αν και µόνο αν είναι συνεκτικό και για κάθε συνεκτικό συνολο A, µε C A X, έπεται ότι A = C). (ϐ) Αν ένας χώρος είναι συνεκτικός, τότε προφανώς αποτελείται από µία συνεκτική συνιστώσα. Μία εντελώς ανάλογη κατασκευή µπορεί να ακολουθήσει κανείς για την τοπικά συνεκτική περίπτωση. Ορισµός Σε έναν τοπολογικό χώρο X ορίζουµε µία σχέση ϑέτοντας x p y αν υπάρχει µονοπάτι στο X, από το x στο y. Η σχέση p είναι σχέση ισοδυναµίας και οι αντίστοιχες κλάσεις ισοδυναµίας καλούντα κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες του X. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 8

9 Ας εξετάσουµε ότι η σχέση p είναι πράγµατι µία σχέση ισοδυναµίας στο X. x p x για κάθε x X, αφού το µονοπάτι f : [0,1] X µε f (t) = x για κάθε t [0,1] συνδέει το x µε τον εαυτό του. Εστω x, y X µε x p y. Τότε υπάρχει µονοπάτι f : [0,1] X µε f (a) = x και f (b) = y. Θέτουµε g : [0,1] X µε g(t) = f (1 t). Εύκολα ελέγχει κανείς ότι η g είναι µονοπάτι στο X, απο το y στο x. Εποµένως y p x. Εστω x, y, z X µε x p y και y p z. Τότε υπάρχουν αντίστοιχα µονοπάτια f 1 : [0,1] X, f 2 : [1,2] X µε f 1 (0) = x, f 1 (1) = y = f 2 (1) και f 2 (2) = z. Θέτουµε τη συνάρτηση g : [0,2] X µε { f 1 (t), αν t [0,1] g(t) = f 2 (t), αν t (1,2]. Τότε η g είναι συνεχής (Πρόταση 4.1.6(iv)), g(0) = x και g(2) = z. Εποµένως η g είναι µονοπάτι στο X, από το x στο z, και έτσι, x p z. Θεώρηµα Οι κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες ενός τοπολογικού χώρου X είναι κατά µονοπάτια συνεκτικά, ξένα υποσύνολα του X, τέτοια ώστε η ένωσή τους να είναι ο ίδιος ο χώρος X, καθώς και κάθε κατά µονοπάτια συνεκτικό υποσύνολο του X να τέµνει ακριβώς µία κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα. Απόδειξη: Είναι ανάλογη µε αυτή του Θεωρήµατος και αφήνεται ως άσκηση. Παρατήρηση Κάθε συνεκτική συνιστώσα ενός τοπολογικού χώρου X είναι κλειστό σύνολο (αυτό έπεται από τη µεγιστικότητα των συνεκτικών συνιστωσών και το ότι η κλειστότητα ενός συνεκτικού συνόλου είναι επίσης συνεκτικό σύνολο). Επιπλέον, αν ο X έχει πεπερασµένες στο πλήθος συνεκτικές συνιστώσες, τότε κάθε µία από αυτές είναι και ανοικτό σύνολο (γιατί;). Εν γένει, µία συνεκτική συνιστώσα ενός τοπολογικού χώρου δεν οφείλει να είναι ανοικτό σύνολο. Για παράδειγµα, στο σύνολο Q (µε την επαγόµενη από τη συνήθη τοπολογία του R) κάθε συνεκτική συνιστώσα είναι µονοσύνολο, εποµένως δεν µπορεί να είναι ανοικτό υποσύνολο του Q. Με το ακόλουθο παράδειγµα γίνεται ϕανερό ότι δεν ισχύουν ανάλογες καλές ιδιότητες για τις κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες. ηλαδή, µία κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα ενός τοπολογικού χώρου δεν οφείλει να είναι ούτε ανοικτό, αλλά ούτε και κλειστό σύνολο. Παράδειγµα Ο χώρος S του παραδείγµατος (ϐ) είναι συνεκτικός αλλά όχι κατά µονοπάτια συνεκτικός. Οι κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες του είναι τα σύνολα {0} [ 1,1] και S. Το S είναι ανοικτό σύνολο στο S αλλά όχι κλειστό, ενώ το {0} [ 1,1] είναι κλειστό αλλά όχι ανοικτό. Η συνεκτικότητα είναι µία χρήσιµη ιδιότητα για έναν τοπολογικό χώρο, αλλά δεν είναι λίγες οι ϕορές που η ιδιότητα που ουσαστικά µας ενδιαφέρει είναι η ικανότητα του χώρου να διαθέτει οσοδήποτε «λεπτές», συνεκτικές περιοχές για τα σηµεία του. Ορισµός Εστω ένας τοπολογικός χώρος X. Ο X καλείται (i) τοπικά συνεκτικός στο x X, αν το x διαθέτει ϐάση περιοχών από συνεκτικά σύνολα. (ii) τοπικά συνεκτικός, αν είναι τοπικά συνεκτικός σε κάθε σηµείο του. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 9

10 (iii) τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός στο x X, αν το x διαθέτει ϐάση περιοχών από κατά µονοπάτια συνεκτικά σύνολα. (iv) τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός, αν είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός σε κάθε σηµείο του. Παραδείγµατα (α) Κάθε συνεκτικό υποσύνολο του R είναι και τοπικά συνεκτικό σύνολο. (ϐ) Το σύνολο [ 1, 0) (0, 1] R είναι τοπικά συνεκτικό, αλλά όχι συνεκτικό. (γ) Ο χώρος S είναι συνεκτικός, αλλά όχι τοπικά συνεκτικός. (δ) Το σύνολο Q δεν είναι ούτε συνεκτικό, ούτε τοπικά συνεκτικό. Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι τοπικά συνεκτικός αν και µόνο αν για κάθε ανοικτό σύνολο U X, κάθε συνεκτική συνιστώσα του U είναι ανοικτό σύνολο στο X. Απόδειξη: Εστω ότι ο X είναι τοπικά συνεκτικός και έστω ένα ανοικτό U X. Αν C είναι µία συνεκτική συνιστώσα του U και x C, υπάρχει συνεκτική περιοχή V του x, µε V U. Αφού όµως το V είναι συνεκτικό σύνολο, πρέπει V C. Εποµένως η συνεκτική συνιστώσα C είναι ανοικτό σύνολο. Αντίστροφα, έστω ότι οι συνεκτικές συνιστώσες κάθε ανοικτού συνόλου είναι επίσης ανοικτά σύνολα. Εστω ένα x X και U N x. Αν C είναι η συνεκτική συνιστώσα του U που περιέχει το x, τότε το C είναι συνεκτικό και ανοικτό (από την υπόθεση) σύνολο µε x C U. Εποµένως το x διαθέτει ϐάση περιοχών από συνεκτικά σύνολα, δηλαδή ο X είναι τοπικά συνεκτικός χώρος στο x. Αφού το x X ήταν τυχόν, ο X είναι τοπικά συνεκτικός. Ανάλογα αποδεικνύει κανείς την ακόλουθη Πρόταση: Πρόταση Ενας τοπολογικός χώρος X είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός αν και µόνο αν για κάθε ανοικτό σύνολο U X, κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του U είναι ανοικτό σύνολο στο X. Η σχέση µεταξύ συνεκτικότητας και κατά µονοπάτια συνεκτικότητας αποτυπώνεται στο ακόλουθο Θεώρηµα: Θεώρηµα Σε έναν τοπολογικό χώρο X, κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα περιέχεται σε µία συνεκτική συνιστώσα του X. Αν επιπλέον ο X είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός, τότε οι συνεκτικές συνιστώσες και οι κατά µονοπάτια συνεκτικές συνιστώσες ταυτίζονται. Απόδειξη: Εστω C µία συνεκτική συνιστώσα του X και έστω ένα x C. Αν P είναι η κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του X που περιέχει το x, αφού η P είναι συνεκτικό σύνολο, έπεται ότι P C. Επιθυµούµε να δείξουµε ότι αν ο X είναι τοπικά κατά µοονοπάτια συνεκτικός, τότε P = C. Εστω, προς άτοπο, ότι P C. Κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του X που τέµνει το C ϑα περιέχεται σε αυτό. Αν ϑέσουµε Q την ένωση ολων αυτών των κατά µονοπάτια συνεκτικών συνιστωσών του X (που περιέχονται στο C) εκτός της P, ϑα έχουµε ότι C = P Q. Αφού ο X είναι τοπικά κατά µονοπάτια συνεκτικός, κάθε κατά µονοπάτια συνεκτική συνιστώσα του X είναι ανοικτό σύνολο. Εποµένως, η P (ως συνιστώσα) και το Q (ως ένωση κατά µονοπάτια συνεκτικών συνιστωσών) είναι ανοικτά σύνολα (και προφανώς ξένα). Αρα συνιστούν µία διάσπαση του C, γεγονός που έρχεται σε αντίφαση µε τη συνεκτικότητα του C. Συνεπώς, P = C. Εργο: Κεντρικό Μητρώο Ελληνικών Ανοικτών Μαθηµάτων Σελίδα 10

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Συµπάγεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπολογικοί χώροι Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Τοπικές έννοιες Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Κατασκευή νέων τοπολογικών χώρων Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Σύγκλιση και Συνέχεια Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι

6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι 36 6 Συνεκτικοί τοπολογικοί χώροι Έστω R διάστημα και f : R συνεχής συνάρτηση τότε, όπως γνωρίζουμε από τον Απειροστικό Λογισμό, η f έχει την ιδιότητα της ενδιάμεσου τιμής. Η ιδιότητα αυτή δεν εξαρτάται

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Το ϑεώρηµα παρεµβολής του Riesz και η ανισότητα Hausdorff-Young Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι R διάστηµα και f : Ι R συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f (

Διαβάστε περισσότερα

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα. 4 Συνεκτικά σύνολα Έστω, Ι διάστηµα και f : Ι συνεχής, τότε η f έχει την ιδιότητα της ενδιαµέσου τιµής, δηλαδή, η f παίρνει κάθε τιµή µεταξύ δύο οποιονδήποτε διαφορετικών τιµών της, συνεπώς το f ( Ι )

Διαβάστε περισσότερα

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος

R ισούται με το μήκος του. ( πρβλ. την ιστορική σημείωση 3.27 στο τέλος 73 3. Συμπαγείς χώροι 3. Συμπαγείς χώροι και βασικές ιδιότητες Οι συμπαγείς χώροι είναι μια από τις πιο σημαντικές κλάσεις τοπολογικών χώρων. Η κλάση των συμπαγών χώρων περιλαμβάνει τα κλειστά διαστήματα,b

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στην Τοπολογία

Εισαγωγή στην Τοπολογία Ενότητα: Μετρικοποιησιµότητα Γεώργιος Κουµουλλής Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Υπερεπίπεδα στήριξης και διαχωριστικά ϑεωρήµατα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές»

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Το σύνολο των πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας) α)

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Σχέσεις Ισοδυναµίας, ιαµερίσεις, και Πράξεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 202 Μέρος 4. Θεωρητικά

Διαβάστε περισσότερα

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν.

ή κανονικός ( regular ), αν για κάθε x και κάθε κλειστό αντιπαραδείγματα με τα οποία αποδεικνύεται ότι οι αντίστροφες συνεπαγωγές δεν ισχύουν. 93 4 Διαχωριστικά αξιώματα Στο κεφάλαιο αυτό εισάγουμε τα λεγόμενα διαχωριστικά αξιώματα και εξετάζουμε τις βασικές ιδιότητές τους. Ένα από αυτά το έχουμε ήδη εισαγάγει δηλαδή το αξίωμα Husdorff ( ορισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος.

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Ενότητα: Συνδυαστικά ϑεωρήµατα για κυρτά σύνολα στον Ευκλείδειο χώρο - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών

Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων

Διαβάστε περισσότερα

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών

Θεωρία Τελεστών. Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές. Αριστείδης Κατάβολος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϕασµατικό ϑεώρηµα για αυτοσυζυγείς τελεστές Αριστείδης Κατάβολος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creatve Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: L p Σύγκλιση. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: L p Σύγκλιση Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creaive Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα

Ανοικτά και κλειστά σύνολα 5 Ανοικτά και κλειστά σύνολα Στην παράγραφο αυτή αναπτύσσεται ο µηχανισµός που θα µας επιτρέψει να µελετήσουµε τις αναλυτικές ιδιότητες των συναρτήσεων πολλών µεταβλητών. Θα χρειαστούµε τις έννοιες της

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ακραία σηµεία - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και

Y είναι τοπολογία. Αυτή περιέχει το και 8.3 Σχετική τοπολογία και υπόχωροι. Ορισμός.37. Έστω X, τ.χ. Αν U : U X, τότε η οικογένεια είναι μια τοπολογία στο σύνολο, η οποία ονομάζεται η σχετική ( ή επαγόμενη ) τοπολογία του. Ο χώρος, ονομάζεται

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Ορίζουσα Gram και οι Εφαρµογές της Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 65 11 Η Ορίζουσα Gram και

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Εισαγωγικές Εννοιες Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: ιανυσµατικοί χώροι Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης.

Παράρτηµα Α. Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης. Παράρτηµα Α Στοιχεία θεωρίας µέτρου και ολοκλήρωσης Α Χώροι µέτρου Πέραν της «διαισθητικής» περιγραφής του µέτρου «σχετικά απλών» συνόλων στο από το µήκος τους (όπως πχ είναι τα διαστήµατα, ενώσεις/τοµές

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Παραγοντοποιήσεις Πινάκων και Γραµµικών Απεικονίσεων Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 82 13 Παραγοντοποιήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Προσεγγίσεις της µονάδας και Αθροισιµότητα Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον.

ονομάζεται τότε χώρος πηλίκο. διατηρεί τα συμπληρώματα συνόλων, ένα σύνολο F είναι είναι κλειστό στον. 67 2.3 Χώροι πηλίκο και τοπολογία πηλίκο Στην παρούσα παράγραφο θα δείξουμε πως μπορούμε μέσω μιας απεικόνισης ενός δεδομένου τοπολογικού χώρου επί ενός συνόλου να εισαγάγουμε τοπολογία στο σύνολο, την

Διαβάστε περισσότερα

ii

ii Σημειώσεις Γενικής Τοπολογίας Σημειώσεις Μ. Γεραπετρίτη από τις παραδόσεις (διορθώσεις, 2016) Τμήμα Μαθηματικών Πανεπιστήμιο Αθηνών Αθήνα, 2013 ii Περιεχόμενα 1 Τοπολογικοί Χώροι 3 1.1 Ανοικτά σύνολα,

Διαβάστε περισσότερα

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012

ιδασκοντες: x R y x y Q x y Q = x z Q = x z y z Q := x + Q Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 ιδασκοντες: Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 1 Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 10 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Τετάρτη 17 Οκτωβρίου 2012 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt014/nt014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Σταθµητοί Χώροι και Ευκλείδειοι Χώροι Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 59 Μέρος 2. Ευκλείδειοι

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ελάχιστο Πολυώνυµο Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 20 4. Ελάχιστο Πολυώνυµο Στην παρούσα παράγραφο

Διαβάστε περισσότερα

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή

1. στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι αβελιανή οµάδα, δηλαδή KΕΦΑΛΑΙΟ ΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ιατεταγµένα σώµατα-αξίωµα πληρότητας Ένα σύνολο Σ καλείται διατεταγµένο σώµα όταν στο σύνολο Σ έχει ορισθεί η πράξη της πρόσθεσης ως προς την οποία το Σ είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη 7 Φεβρουαρίου 03 Ασκηση. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό

V x, y W x, y, y συνιστούν προφανώς ένα ανοικτό 81 3.2 Το θεώρημα Tychooff. Στην παράγραφο αυτή θα ασχοληθούμε με το θεώρημα Tychooff, δηλαδή ότι ένα αυθαίρετο καρτεσιανό γινόμενο συμπαγών χώρων είναι, με την τοπολογία γινόμενο, συμπαγής χώρος. Το θεώρημα

Διαβάστε περισσότερα

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο : Ακολουθίες πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας α Κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Τριγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 7 2 Τριγωνοποίηση 21 Ανω Τριγωνικοί Πίνακες και

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 2 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδες Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi2014/asi2014.html, https://sites.google.com/site/maths4edu/home/algdom114

Διαβάστε περισσότερα

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο.

Υπόδειξη. (α) Άµεσο αφού κάθε υποσύνολο µηδενικού συνόλου είναι µετρήσιµο. Κεφάλαιο 2 Ολοκλήρωµα Lebesgue 2.1 Οµάδα Α 1. Αν η f : (a, b) R είναι παραγωγίσιµη, τότε η f είναι µετρήσιµη. Υπόδειξη. Θεωρούµε την ακολουθία f : (a, b) R µε f (x) = [f(x + 1/) f(x)]. Εφόσον, η f είναι

Διαβάστε περισσότερα

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος).

Όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης γράφουμε συνήθως ο τοπολογικός χώρος X και χρησιμοποιούμε την σύντμηση τ.χ. (= τοπολογικός χώρος). 4 Τοπολογικοί χώροι. Στοιχειώδεις έννοιες της τοπολογίας Στην παράγραφο αυτή εισάγουμε τις βασικές έννοιες της τοπολογίας, δηλαδή αυτές του ανοικτού και κλειστού συνόλου, της κλειστότητας και του εσωτερικού

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 4 ιδασκοντες: Ν Μαρµαρίδης - Α Μπεληγιάννης Βοηθος Ασκησεων: Χ Ψαρουδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://wwwmathuoigr/ abeligia/linearalgebrai/laihtml

Διαβάστε περισσότερα

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A

2 n N: 0, 1,..., n A n + 1 A Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 5: Τεχνικές απόδειξης & Κλειστότητα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemann και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Riemnn και ολοκλήρωµα Lebesgue - Ασκήσεις Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Cretive Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους

5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους 121 5 Σύγκλιση σε τοπολογικούς χώρους Στο κεφάλαιο αυτό πρόκειται να μελετήσουμε την έννοια της σύγκλισης σε γενικούς τοπολογικούς χώρους, πέραν των μετρικών χώρων. Όπως έχουμε ήδη διαπιστώσει ( πρβλ.

Διαβάστε περισσότερα

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0) Όρια συναρτήσεων 5 Ορισµός Έστω, : Α συνάρτηση συσσώρευσης του Α και b σηµείο Λέµε ότι η έχει ως όριο το διάνυσµα b καθώς το τείνει προς το και συµβολίζουµε li ή b b αν και µόνο αν, για κάθε ε > υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( )

Παράρτηµα Β. Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης [ ) ( ) Παράρτηµα Β Στοιχεία Θεωρίας Τελεστών και Συναρτησιακής Ανάλυσης Β1 Χώροι Baach Βάσεις Schauder Στο εξής συµβολίζουµε µε Z,, γραµµικούς (διανυσµατικούς) χώρους πάνω απ το ίδιο σώµα K = ή και γράφουµε απλά

Διαβάστε περισσότερα

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( ) Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής

Διαβάστε περισσότερα

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]}

( ) = inf { (, Ρ) : Ρ διαµέριση του [, ]} 7 ΙΙΙ Ολοκληρωτικός Λογισµός πολλών µεταβλητών Βασικές έννοιες στη µια µεταβλητή Έστω f :[ ] φραγµένη συνάρτηση ( Ρ = { t = < < t = } είναι διαµέριση του [ ] 0 ( Ρ ) = Μ ( ) όπου sup f ( t) : t [ t t]

Διαβάστε περισσότερα

Καλώς ήρθατε στην Τοπολογία! http://eclass.uoa.gr/courses/math451/ Χειμερινό Εξάμηνο 2015-16 Υπενθύμιση: Η τοπολογία της ομοιόμορφης σύγκλισης Εστω K ένα σύνολο (π.χ. K = [a,b]) και f n,f : K R φραγμένες

Διαβάστε περισσότερα

Οι πραγµατικοί αριθµοί

Οι πραγµατικοί αριθµοί Οι πραγµατικοί αριθµοί Προλεγόµενα Η ανάγκη απαρίθµησης αντικειµένων, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των φυσικών αριθµών Η ανάγκη µέτρησης µεγεθών, οδήγησε στην εισαγωγή του συνόλου των ρητών αριθµών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Κανονική Μορφή Fitting Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 26 5. Κανονική Μορφή Fitting Εστω A M n

Διαβάστε περισσότερα

1.2 Βάσεις και υποβάσεις.

1.2 Βάσεις και υποβάσεις. . Βάσεις και υποβάσεις. Το «καθήκον» του ορισμού μιας τοπολογίας διευκολύνεται αν είμαστε σε θέση να περιγράψουμε αρκετά ανοικτά σύνολα τα οποία να παραγάγουν όλα τα ανοικτά σύνολα. Ορισμός.9. Έστω X,

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 31 6. Ταυτόχρονη ιαγωνοποίηση 6.1. Ταυτόχρονη

Διαβάστε περισσότερα

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα. Αριστοτελειο Πανεπιστηµιο Θεσσαλονικης Τµηµα Μαθηµατικων Εισαγωγή στην Αλγεβρα Τελική Εξέταση 15 Φεβρουαρίου 2017 1. (Οµάδα Α) Εστω η ακολουθία Fibonacci F 1 = 1, F 2 = 1 και F n = F n 1 + F n 2, για n

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1)

Κεφάλαιο 4. Ευθέα γινόµενα οµάδων. 4.1 Ευθύ εξωτερικό γινόµενο οµάδων. i 1 G 1 G 1 G 2, g 1 (g 1, e 2 ), (4.1.1) Κεφάλαιο 4 Ευθέα γινόµενα οµάδων Στο Παράδειγµα 1.1.2.11 ορίσαµε το ευθύ εξωτερικό γινόµενο G 1 G 2 G n των οµάδων G i, 1 i n. Στο κεφάλαιο αυτό ϑα ασχοληθούµε λεπτοµερέστερα µε τα ευθέα γινόµενα οµάδων

Διαβάστε περισσότερα

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών

Γραµµική Αλγεβρα Ι. Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις. Ευάγγελος Ράπτης. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Γραµµικές απεικονίσεις Ευάγγελος Ράπτης Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πινάκες και Γραµµικές Απεικονίσεις Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 7 Πινακες και Γραµµικες Απεικονισεις Στα προηγούµενα

Διαβάστε περισσότερα

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0 Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 5: Παράγωγος Α Οµάδα. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε πλήρως την απάντησή σας). (α) Αν η f είναι παραγωγίσιµη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης

Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Σηµειώσεις Γενικής Τοπολογίας Θέµης Μήτσης Τµηµα Μαθηµατικων Πανεπιστηµιο Κρητης Περιεχόµενα 1. Τοπολογικοί Χώροι - Βάσεις - Υποβάσεις 4 2. Κλειστότητα και Εσωτερικό 7 3. Σύγκλιση 10 4. Συνέχεια 13 5.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt01b/nt01b.html Πέµπτη 1 Οκτωβρίου 01 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Ανάλυση Ι

Μαθηματική Ανάλυση Ι Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής & Τηλεπικοινωνιών Μαθηματική Ανάλυση Ι Ενότητα 1: Σύνολα, Πραγματικοί αριθμοί Επίκ. Καθηγητής Θ. Ζυγκιρίδης e-mail: tzygiridis@uowm.gr Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ. Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος. Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Απειροστικός Λογισμός ΙΙΙ Ενότητα: Ο Ευκλείδειος Χώρος Διδάσκων: Ιωάννης Γιαννούλης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Ο Ευκλείδειος χώρος R n 1.1 Αλγεβρική δοµή Ο Ευκλείδειος χώρος R n είναι

Διαβάστε περισσότερα

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν

Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysohn, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν 3 4.3 Τελείως κανονικοί χώροι ( ). 3 2 Έχοντας υπόψιν το Λήμμα του Urysoh, είναι φυσικό να θέσουμε το ακόλουθο ερώτημα: Αν κανονικός χώρος, x και κλειστό ώστε x. Υπάρχει τότε συνεχής συνάρτηση f :, ώστε

Διαβάστε περισσότερα

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/

e-mail: s97130@math.aegean.gr soviet@teivos.samos.aegean.gr http://iris.math.aegean.gr/software/kerkis/ A Π α ν ε π ι ς τ ή µ ι ο Α ι γ α ί ο υ Σ χ ο λ ή Θ ε τ ι κ ώ ν Ε π ι ς τ η µ ώ ν Τ µ ή µ α Μ α θ η µ α τ ι κ ώ ν Πτυχιακή εργασία Εκπονητής Χουσαΐνοβ Αλέξανδρος Α.Μ. 311/1997130 Σάµος, 2002 Τίτλος : Θεωρία

Διαβάστε περισσότερα

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Κυρτή Ανάλυση. Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Το ϑεώρηµα του Dvoretzky Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2015/nt2015.html Παρασκευή 29 Μαίου 2015 Ασκηση 1.

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 1 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt016/nt016.html Πέµπτη 13 Οκτωβρίου 016 Ασκηση 1. είξτε ότι

Διαβάστε περισσότερα

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 Αλγεβρικες οµες Ι Ασκησεις - Φυλλαδιο 5 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/algebraicstructuresi/asi.html Παρασκευή 16 & Τετάρτη 21 Νοεµβρίου

Διαβάστε περισσότερα

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει.

< 1 για κάθε k N, τότε η σειρά a k συγκλίνει. +, τότε η η σειρά a k αποκλίνει. Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» Κεφάλαιο 3: Σειρές πραγµατικών αριθµών Α Οµάδα. Εστω ( ) µια ακολουθία πραγµατικών αριθµών. Εξετάστε αν οι παρακάτω προτάσεις είναι αληθείς ή ψευδείς (αιτιολογήστε

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 12 Ιανουαρίου 2017 Ασκηση 1. Εστω

Διαβάστε περισσότερα

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ 4. Ορισµοί KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ Ορισµός 4.. Μία συνάρτηση : µε πεδίο ορισµού το σύνολο των φυσικών αριθµών και τιµές στην πραγµατική ευθεία καλείται ακολουθία πραγµατικών αριθµών.

Διαβάστε περισσότερα

f I X i I f i X, για κάθεi I.

f I X i I f i X, για κάθεi I. 47 2 Πράξεις σε τοπολογικούς χώρους 2. Η τοπολογία γινόμενο Σε προηγούμενη παράγραφο ορίσαμε την τοπολογία γινόμενο στο καρτεσιανό γινόμενο Y δύο τοπολογικών χώρων Y, ( παράδειγμα.33 () ). Στην παρούσα

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Η Κανονική Μορφή Jordan - II Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 52 9 Η Κανονική Μορφή Jordan - II

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Ταξινόµηση Κυκλικών Οµάδων και των Υποοµάδων τους Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 236 5. Ταξινόµηση

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 18: Λήμμα Άντλησης για ΓΧΣ Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

Διαβάστε περισσότερα

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ Κασαπίδης Γεώργιος Μαθηµατικός Στο άρθρο αυτό µελετάµε την πιο χαρακτηριστική ιδιότητα του συνόλου R των πραγµατικών αριθµών. ΟΡΙΣΜΟΣ 1 Ένα σύνολο Α από πραγµατικούς

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Οι Οµάδες τάξης pq, p, q: πρώτοι αριθµοί Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 246 6. Οι Οµάδες τάξης

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 3 ιδασκοντες: Ν. Μαρµαρίδης - Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2014/nt2014.html https://sites.google.com/site/maths4edu/home/14

Διαβάστε περισσότερα

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών

Αρµονική Ανάλυση. Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue. Απόστολος Γιαννόπουλος. Τµήµα Μαθηµατικών Ενότητα: Ολοκλήρωµα Lebesgue Απόστολος Γιαννόπουλος Τµήµα Μαθηµατικών Αδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commos. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 9: Εσωτερική πράξη και κλάσεις ισοδυναμίας - Δομές Ισομορφισμοί Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative

Διαβάστε περισσότερα

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ

Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύ Θεωρία Υπολογισμού Ενότητα 4: Ισοδυναμία, διάταξη, άπειρα σύνολα Τμήμα Πληροφορικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες,

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι

Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Τίτλος Μαθήματος: Συνήθεις Διαφορικές Εξισώσεις Ι Ενότητα: Θεώρημα ύπαρξης και μοναδικότητας της λύσης του Π.Α.Τ.: y = f ( x, y), y( x ) (Θεώρημα Picard) ' Όνομα Καθηγητή: Χρυσή Κοκολογιαννάκη Τμήμα: Μαθηματικών

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά

Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Υπολογιστικά & Διακριτά Μαθηματικά Ενότητα 8: Σχέσεις - Πράξεις Δομές Στεφανίδης Γεώργιος Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό,

Διαβάστε περισσότερα

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν Ακοουθίες στον.4. Ορισµός Έστω ( ) ακοουθία διανυσµάτων στον 9, θα έµε ότι η ακοουθία ( ) συγκίνει στο θα γράφουµε, li = ή αν η ακοουθία πραγµατικών 0 Ισοδύναµα: li ( ε) + 0 0 : 0 = για κάθε ε > 0 υπάρχει

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Αλγεβρικές Δομές Ι Ενότητα: Υποοµάδες και το Θεώρηµα του Lagrange Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 210 2. Υποοµάδες και το Θεώρηµα

Διαβάστε περισσότερα

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue

Μέτρο Lebesgue. Κεφάλαιο Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Κεφάλαιο 1 Μέτρο Lebesgue 1.1 Εξωτερικό µέτρο Lebesgue Θα ϑέλαµε να ορίσουµε το «µήκος» κάθε υποσυνόλου A του R, δηλαδή να αντιστοιχίσουµε σε κάθε A R έναν µη αρνητικό αριθµό λ(a) (ή το + ). Είναι λογικό

Διαβάστε περισσότερα

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών ΜΑΣ 02. Απειροστικός Λογισµός Ι Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών Ορισµός.. Ονοµάζουµε ακολουθία πραγµατικών αριθµών κάθε απεικόνιση του συνόλου N των ϕυσικών αριθµών, στο σύνολο R των πραγµατικών

Διαβάστε περισσότερα

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα ΙΙ Ενότητα: Ισοµετρίες Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης Τμήμα: Μαθηματικών 78 12 Ισοµετρίες 121 Χαρακτηρισµός Ισοµετριών Εστω

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2: Ηµιαπλοί ακτύλιοι Είδαµε στο κύριο θεώρηµα του προηγούµενου κεφαλαίου ότι κάθε δακτύλιος διαίρεσης έχει την ιδιότητα κάθε πρότυπο είναι ευθύ άθροισµα απλών προτύπων. Εδώ θα χαρακτηρίσουµε όλους

Διαβάστε περισσότερα

B = F i. (X \ F i ) = i I

B = F i. (X \ F i ) = i I Κεφάλαιο 3 Τοπολογία μετρικών χώρων Ομάδα Α 3.1. Εστω (X, ρ) μετρικός χώρος και F, G υποσύνολα του X. Αν το F είναι κλειστό και το G είναι ανοικτό, δείξτε ότι το F \ G είναι κλειστό και το G \ F είναι

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8 ιδασκοντες: Α. Μπεληγιάννης - Σ. Παπαδάκης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt.html Τετάρτη Μαΐου 013 Ασκηση 1. Βρείτε τις τάξεις των

Διαβάστε περισσότερα

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j

f x = f a + Df a x a + R1 x, a, x U και από τον ορισµό της 1 h f a h f a h a h h a R h a i i j Το θεώρηµα Tor στις πολλές µεταβλητές Ο σκοπός αυτής της παραγράφου είναι η απόδειξη ενός θεωρήµατος τύπου Tor για συναρτήσεις πολλών µεταβλητών Το θεώρηµα για µια µεταβλητή θα είναι ειδική περίπτωση του

Διαβάστε περισσότερα

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher

1 Το ϑεώρηµα του Rademacher Το ϑεώρηµα του Rademacher Νικόλαος Μουρδουκούτας Περίληψη Σε αυτήν την εργασία ϑα αποδείξουµε το ϑεώρηµα του Rademacher, σύµφωνα µε το οποίο κάθε Lipschiz συνάρτηση f : R m είναι διαφορίσιµη σχεδόν παντού.

Διαβάστε περισσότερα

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών

Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι. Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα. Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης. Τμήμα: Μαθηματικών Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Βαθµίδα Πίνακα Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 8 Βαθµιδα Πινακα Στο παρόν Κεφάλαιο ϑα µελετήσουµε την ϐαθµίδα ενός πίνακα

Διαβάστε περισσότερα

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος;

ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; αλφάβητου επιγραµµισµένα µε βέλος. για παράδειγµα, Τι ονοµάζουµε µέτρο διανύσµατος; ΙΝΥΣΜΤ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Τι ονοµάζουµε διάνυσµα; AB A (αρχή) B (πέρας) Στη Γεωµετρία το διάνυσµα ορίζεται ως ένα προσανατολισµένο ευθύγραµµο τµήµα, δηλαδή ως ένα ευθύγραµµο τµήµα του οποίου τα άκρα θεωρούνται

Διαβάστε περισσότερα