ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Συγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας. ΣΟΛΩΜΟΥ 29 - ΑΘΗΝΑ

Transcript

1 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ Σγγραφή Επιμέλεια: Παναγιώτης Φ. Μοίρας ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

2 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΟΠΤΙΚΗ. Δείκτης διάθλασης - Διασκεδασμός Η θεμελιώδης εξίσωση πο σνδέει τις ιδιότητες της πηγής (σχνότητα κύματος ν) με τις ιδιότητες το μέσο (ταχύτητα διάδοσης κύματος ) εκφράζονται από τη σχέση: =λν ( ) Η ταχύτητα διάδοσης ενός κύματος είναι χαρακτηριστικό μέγεθος το μέσο. Έτσι η ταχύτητα το φωτός στο κενό έχει πάντα την τιμή c και είναι ανεξάρτητη της σχνότητάς το, ενώ μέσα στην ύλη η ταχύτητα το φωτός είναι μικρότερη από την τιμή c και εξαρτάται από τη σχνότητά το. Κατά την μετάβαση μιας φωτεινής ακτίνας από ένα οπτικό μέσο σε άλλο (π.χ. από το κενό στο νερό) η σχνότητα παραμένει αμετάβλητη, αφού εξαρτάται από την πηγή πο παράγει το κύμα ατό και επειδή ο αριθμός των κμάτων πο προσπίπτον στη διαχωριστική επιφάνεια μέσα σε κάποιο χρόνο πρέπει να είναι ίσος με τον αριθμό των κμάτων πο διέρχονται. Το μήκος κύματος λ εκφράζει την απόσταση πο διανύει το κύμα σε χρόνο ίσο με την περίοδο Τ το κύματος και από την ( ) εξάγεται εύκολα το σμπέρασμα ότι ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα έχει διαφορετικά μήκη κύματος σε διαφορετικά μέσα διάδοσης, αφού η σχνότητά το σε ατά παραμένει σταθερή και η ταχύτητά το μεταβάλλεται. Επομένως εφαρμόζοντας την ( ) για μια φωτεινή ακτίνα πο διαδίδεται στο κενό c = λον και σε ένα άλλο οπτικό μέσο = λν προκύπτει: c λο ( ) λ Ο λόγος της ταχύτητας το φωτός c στο κενό προς την ταχύτητά το μέσα σε ένα λικό ονομάζεται δείκτης διάθλασης ενός οπτικού λικού. Δηλαδή: Παρατηρήσεις c ( 3) ) Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού λικού είναι ένα αδιάστατο μέγεθος και είναι πάντα μεγαλύτερο της μονάδας ( > ), αφού η ταχύτητα το φωτός μέσα σε ένα λικό είναι πάντα μικρότερη από την ταχύτητά το στο κενό. Για το κενό είναι =. ) Όταν θα αναφέρεται ο αέρας ως μέσο διάδοσης θα λαμβάνεται ότι ο δείκτης διάθλασης το είναι =, δηλαδή ως κενό. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

3 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ ) Σνδάζοντας τις (-) και (-3) προκύπτει η εξάρτηση το δείκτη διάθλασης ενός οπτικού μέσο από το μήκος κύματος: λ ο ( 4) λ Δηλαδή το μήκος κύματος λ το φωτός σε ένα λικό είναι μικρότερο από το μήκος κύματος λο το ίδιο φωτός στο κενό. Όταν δο φωτεινές ακτίνες διαφορετικών σχνοτήτων άρα και μηκών κύματος στο κενό διαδίδονται σε ένα οπτικό λικό, αποδεικνύεται πειραματικά ότι το λικό δεν παροσιάζει τον ίδιο δείκτη διάθλασης για τις δο ακτίνες. Σγκεκριμένα ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού μέσο είναι αντιστρόφως ανάλογος το μήκος κύματος κι επομένως όσο αξάνεται το μήκος κύματος η τιμή το μειώνεται. Το φαινόμενο της εξάρτησης της ταχύτητας το φωτός σε ένα οπτικό λικό και το δείκτη διάθλασης το λικού από το μήκος κύματος το φωτός λέγεται διασκεδασμός. Στο ακόλοθο σχήμα δείχνεται η μεταβολή το δείκτη διάθλασης με το μήκος κύματος της προσπίπτοσας ακτινοβολίας για δύο διαφορετικά λικά (γαλί, χαλαζίας ).,7,6,5 γαλί χαλαζίας, λ(m) Σχήμα. Λόγω το διασκεδασμού, μια δέσμη λεκού φωτός (το οποίο δεν είναι μονοχρωματικό, δηλαδή δεν έχει μία μόνο σχνότητα αλλά αποτελεί μίγμα όλων των χρωμάτων και έχει πολλές σχνότητες) καθώς προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια δύο λικών (π.χ. ένα πρίσμα) θα αναλθεί σε πολλές δέσμες κατά διάφορες διεθύνσεις. Ατό οφείλεται στο ότι για κάθε μήκος κύματος (χρώμα) ο δείκτης διάθλασης το λικού το πρίσματος είναι διαφορετικός και σνεπώς κάθε χρωματική ακτίνα το λεκού φωτός θα εκτραπεί διαφορετικά. Αν τέλος όλες ατές οι ακτίνες προσπέσον σε λεκό πέταμα δίνον μία έγχρωμη ταινία πο ονομάζεται φάσμα το λεκού φωτός και περιλαμβάνει όλα τα χρώματα πο αντιστοιχούν στα μήκη κύματος το ορατού φάσματος από το ερθρό (700m) έως το ιώδες (400m). Στη σνέχεια δίνεται η σχηματική απεικόνιση το διασκεδασμού το λεκού φωτός πο προκαλείται από ένα πρίσμα. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

4 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Λεκό φως Πρίσμα Σχήμα. Πέτασμα Κόκκινο Πορτοκαλί Κίτρινο Πράσινο Μπλε Ιώδες Παρατήρηση Στα επόμενα όταν θα δίνεται ο δείκτης διάθλασης κάποιο λικού θα αναφέρεται πάντα σε μονοχρωματικό φως ενός σγκεκριμένο μήκος κύματος και σχνότητας. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

5 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ανάκλαση Διάθλαση Όταν μία φωτεινή ακτίνα προσπίπτει στην επιφάνεια πο διαχωρίζει δο οπτικά μέσα (με δείκτες διάθλασης και ) παρατηρείται ότι ατή εν μέρει ανακλάται και εν μέρει διαθλάται, δηλαδή διαδίδεται στο δεύτερο μέσο με τατόχρονη αλλαγή της διεύθνσής της. Προσπίπτοσα Ανακλώμενη θ π θ α θ δ Διαθλώμενη Διαχωριστική επιφάνεια δο οπτικών μέσων Σχήμα.3 Επομένως κατά την διέλεση μιας ακτίνας από ένα μέσο σε ένα άλλο παρατηρούνται τα φαινόμενα της ανάκλασης και της διάθλασης ατής. Πειραματικές μελέτες για τις κατεθύνσεις της προσπίπτοσας, ανακλώμενης και διαθλώμενης ακτίνας στην διαχωριστική επιφάνεια μεταξύ δο οπτικών μέσων οδηγούν στα ακόλοθα σμπεράσματα: ) Το επίπεδο πο ορίζεται από την προσπίπτοσα, την ανακλώμενη και τη διαθλώμενη ακτίνα είναι κάθετο στη διαχωριστική επιφάνεια, δηλαδή όλες κείνται στο ίδιο επίπεδο στο οποίο κείται και η κάθετος προς την διαχωριστική επιφάνεια. ) Η γωνία ανάκλασης θα είναι ίση με τη γωνία πρόσπτωσης θπ για όλα τα μήκη κύματος και για οποιοδήποτε ζεύγος λικών με κοινή διαχωριστική επιφάνεια. Δηλαδή: θ ( 5) α θ π Η σχέση ατή, σε σνδασμό με το γεγονός ότι η προσπίπτοσα, η ανακλώμενη ακτίνα και η κάθετος στη διαχωριστική επιφάνεια κείνται όλες στο ίδιο επίπεδο, αποτελεί το νόμο της ανάκλασης. 3) Για μονοχρωματικό φως και για ένα σγκεκριμένο ζεύγος οπτικών μέσων εκατέρωθεν της κοινής διαχωριστικής επιφάνειας, οι γωνίες πρόσπτωσης θπ και διάθλασης θδ σνδέονται με τος δείκτες διάθλασης και των δύο μέσων μέσω της σχέσης : θπ si θδ si ( 6) Η παραπάνω σχέση, η οποία καθορίζει τις διεθύνσεις της προσπίπτοσας και διαθλώμενης ακτίνας, σε σνδασμό με το ότι ατές και η κάθετος στην διαχωριστική ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

6 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ επιφάνεια κείνται όλες στο ίδιο επίπεδο, αποτελεί το Sell. νόμο της διάθλασης ή νόμο το Παρατηρήσεις ) Προσέξτε ότι όλες οι γωνίες (θπ, θα και θδ) ορίζονται ως προς την κάθετη στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. ) Το φαινόμενο της διάθλασης το φωτός σναντάται σχνά στην καθημερινή μας ζωή, όπως για παράδειγμα το μολύβι μέσα σε ένα ποτήρι νερό πο φαίνεται σπασμένο ή ο πθμένας της θάλασσας πο φαίνεται ψηλότερα από ότι είναι στην πραγματικότητα. 3) Σύμφωνα με το νόμο το Sell ( 6) όταν μία ακτίνα μεταβαίνει από ένα οπτικά αραιότερο σε ένα οπτικά πκνότερο μέσο, δηλαδή όταν < (π.χ. από αέρα σε γαλί) ισχύει ότι: si θπ si θδ siθ δ si θπ Κι επειδή / (αφού < ) είναι siθδ < siθπ ή θδ < θπ. Δηλαδή τότε η γωνία διάθλασης είναι μικρότερη της γωνίας πρόσπτωσης και επομένως η διαθλώμενη ακτίνα κάμπτεται και σγκλίνει προς την κάθετη της διαχωριστικής επιφάνειας. Αντίθετα όταν η ακτίνα διαδίδεται από οπτικώς πκνότερο σε οπτικώς αραιότερο μέσο, δηλαδή αν > (π.χ. από γαλί σε αέρα) τότε από το νόμο το Sell ομοίως προκύπτει ότι επειδή / > είναι siθδ > siθπ και θδ > θπ. Δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα κάμπτεται και αποκλίνει από την κάθετο. Τέλος όταν η προσπίπτοσα ακτίνα είναι κάθετη προς τη διαχωριστική επιφάνεια, δηλαδή όταν θπ=0 είναι siθπ = 0 και ο νόμος το Sell δίνει siθδ = 0 ή αλλιώς θδ = 0. Δηλαδή η διαθλώμενη ακτίνα δεν κάμπτεται καθόλο. Όλα τα παραπάνω σμπεράσματα βασίζονται στη αρχή της αντιστρεπτής πορείας το φωτός, σύμφωνα με την οποία η διαδρομή μιας φωτεινής ακτίνας πο διαδίδεται σε διάφορα οπτικά μέσα δεν μεταβάλλεται αν αλλάξει η φορά της διάδοσης το φωτός. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

7 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Ολική Εσωτερική Ανάκλαση θ δ θδ =90 ο 3 > θ π θ ορ θ>θ ορ 4 Π Σχήμα.4 Έστω μια φωτεινή πηγή Π πο βρίσκεται σε ένα μέσο με δείκτη διάθλασης και οι φωτεινές ακτίνες προσπίπτον στη διαχωριστική επιφάνεια με ένα άλλο μέσο δείκτη διάθλασης, όπο >. Όπως αποδείχθηκε στην προηγούμενη παράγραφο επειδή κάθε ακτίνα διαδίδεται από οπτικώς πκνότερο σε οπτικώς αραιότερο μέσο, οι διαθλώμενες ακτίνες τείνον να απομακρύνονται από την κάθετο. Επομένως πρέπει να πάρχει μία γωνία πρόσπτωσης για την οποία η διαθλώμενη ακτίνα να αναδύεται εφαπτομενικά προς τη διαχωριστική επιφάνεια (ακτίνα 3 το σχήματος). Η γωνία ατή ονομάζεται κρίσιμη ή οριακή γωνία θορ και αντιστοιχεί σε γωνία διάθλασης θδ = 90 ο. Έτσι μέσω το νόμο το Sell μπορεί να πολογιστεί ατή εύκολα: ο si θορ si 90 siθ ορ ( 7) Παρατηρείται ότι η τιμή της οριακής γωνίας εξαρτάται από τος δείκτες διάθλασης των δύο μέσων. Σνεπώς για γωνίες πρόσπτωσης μεγαλύτερες της θορ η ακτίνα δεν μπορεί να εισχωρήσει στο δεύτερο μέσο, αλλά παγιδεύεται στο πρώτο μέσο και ανακλάται εξ ολοκλήρο εσωτερικά στη διαχωριστική επιφάνεια, δηλαδή δεν πάρχει διαθλώμενη ακτίνα αλλά μόνο ανακλώμενη. Το φαινόμενο ατό ονομάζεται ολική εσωτερική ανάκλαση και εκδηλώνεται μόνο στην περίπτωση πο η ακτίνα προσπίπτει από οπτικώς πκνότερο σε οπτικώς αραιότερο μέσο και μόνο όταν η γωνία πρόσπτωσης περβεί την τιμή της οριακής γωνίας. Το φαινόμενο ατό βρίσκει εφαρμογή σε πολλά οπτικά όργανα πο χρησιμοποιούν πρίσματα ολικής ανάκλασης (π.χ. κάλια) και στη σύγχρονη τεχνολογία με την ανάπτξη των οπτικών ινών, πο είναι αγωγοί μεταφοράς σημάτων. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

8 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Μεθοδολογία Σε προβλήματα Γεωμετρικής Οπτικής όπο γίνεται διάδοση ακτίνας φωτός μεταξύ δύο οπτικών μέσων θα πρέπει να προσεχθεί η οπτική πκνότητα των μέσων. Έτσι αν η ακτίνα διαδίδεται από οπτικώς αραιότερο σε οπτικώς πκνότερο μέσο πάντα θα εμφανίζεται διάθλαση της ακτίνας. Ενώ αν η διάδοση της ακτίνας γίνεται από οπτικώς πκνότερο σε οπτικώς αραιότερο μέσο θα πρέπει να πολογίζεται η οριακή γωνία για να ελέγχεται αν παροσιάζεται το φαινόμενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης. ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

9 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ Αρχή το Fermat Ο τρόπος με τον οποίο διαδίδεται το φως από ένα σημείο σε άλλο, καθώς και οι νόμοι της ανάκλασης και της διάθλασης μπορούν να μελετηθούν με τη βοήθεια της αρχής το Fermat. Η αρχή το Fermat διατπώνεται ως εξής: Μια φωτεινή ακτίνα πο διαδίδεται από ένα σημείο σε ένα άλλο, ακολοθεί, ανεξάρτητα από το μέσο πο παρεμβάλλεται, εκείνη τη διαδρομή πο αντιστοιχεί στον χρονικώς σντομότερο οπτικό δρόμο, δηλαδή ο οπτικός δρόμος είναι ελάχιστος. Η αρχή ατή μπορεί να εφαρμοστεί για την απόδειξη των νόμων της ανάκλασης και της διάθλασης. α) Νόμος της ανάκλασης Α Β α θ θ b x C Σχήμα.5 Έστω η πορεία της ακτίνας το σχήματος, πο ξεκινά από ένα σημείο Α και αφού ανακλαστεί σε μία επίπεδη επιφάνεια στο σημείο C καταλήγει στο σημείο Β. Είναι φανερό ότι η σντομότερη πορεία της ακτίνας θα πρέπει να βρίσκεται σε ένα επίπεδο πο περιέχει τα σημεία Α, Β, C και είναι κάθετο στην ανακλαστική επιφάνεια. Η χρονική διάρκεια της διαδρομής AC είναι: t AC α x Ενώ της διαδρομής CB είναι : t C b ( x) όπο α και b οι αντίστοιχες αποστάσεις των σημείων Α και Β από την ανακλαστική επιφάνεια και η ταχύτητα διάδοσης της ακτίνας, η οποία είναι ίδια καθόλη την πορεία της δέσμης ACB, αφού διαδίδεται στο ίδιο μέσο. Άρα η χρονική διάρκεια της ολικής πορείας της ακτίνας ACB είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

10 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ t t t α x b ( x) Σύμφωνα όμως με την αρχή το Fermat η παραπάνω σνάρτηση t(x) θα πρέπει να είναι ελάχιστη. Δηλαδή πρέπει: dt dx x ( x)( ) 0 0 α x b ( x) x x 0 α x b ( x ) Η τελεταία σχέση εύκολα από το σχήμα ανάγεται τριγωνομετρικά στην : si θ si θ 0 si θ si Δηλαδή προκύπτει ο γνωστός νόμος της ανάκλασης. θ θ θ β) Νόμος της διάθλασης Α α θ C x θ b Σχήμα.6 Β Έστω η πορεία της ακτίνας το σχήματος, πο ξεκινά από ένα σημείο Α και αφού διαθλαστεί στο σημείο C της διαχωριστικής επιφάνειας δύο οπτικών μέσων με δείκτες διάθλασης και καταλήγει στο σημείο Β. Είναι φανερό πάλι ότι η χρονικά σντομότερη διαδρομή θα πρέπει να βρίσκεται στο επίπεδο πο περιέχει τα σημεία Α,C,B και είναι κάθετο στη διαθλαστική επιφάνεια. Η χρονική διάρκεια της διαδρομής AC είναι : t AC α x Ενώ της διαδρομής CB είναι: ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ

11 ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ C b ( x) t όπο α και b οι αντίστοιχες αποστάσεις των σημείων Α και Β από τη διαθλαστική επιφάνεια και, οι αντίστοιχες ταχύτητες διάδοσης της ακτίνας στα δύο μέσα. Άρα η χρονική διάρκεια της ολικής πορείας της ακτίνας ACB είναι: t t t b ( α x x) Σύμφωνα όμως με την αρχή το Fermat η παραπάνω σνάρτηση t(x) θα πρέπει να είναι ελάχιστη. Δηλαδή πρέπει: dt dx 0 α x x b x ( x) 0 Με τη βοήθεια της τριγωνομετρίας το σχήματος η τελεταία εύκολα δίνει: siθ siθ 0 siθ siθ Από τον ορισμό το δείκτη διάθλασης των δύο μέσων είναι : c c και Σνεπώς με αντικατάσταση ατών στην προηγούμενη σχέση προκύπτει: si θ si Δηλαδή προκύπτει ο γνωστός νόμος της διάθλασης το Sell. θ c c ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ