GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "GRAFOVI. Ljubo Nedović. 21. februar Osnovni pojmovi 2. 2 Bipartitni grafovi 8. 3 Stabla 9. 4 Binarna stabla Planarni grafovi 12"

Transcript

1 GRAFOVI Ljubo Nedović 21. februar 2013 Sadržaj 1 Osnovni pojmovi 2 2 Bipartitni grafovi 8 3 Stabla 9 4 Binarna stabla 11 5 Planarni grafovi 12 6 Zadaci 13 1

2 2 1 Osnovni pojmovi Iz Vikipedije, slobodne enciklopedije. Teorija grafova je oblast matematike, veoma zastupljena i u informatici, čija je oblast istraživanje osobina grafova. Neformalno govoreći, grafovi su sastavljeni od tačaka, odnosno čvorova (vrhova), i linija me du njima, odnosno grana. Veoma je česta upotreba grafova za opis modela ili struktura podataka. Struktura jedne veb prezentacije se može predstaviti slikovito upotrebom grafa. Čvorovi tog grafa su pojedine stranice a grane grafa su veze kojima se može sa jedne stranice prelaziti na drugu. Proučavanje algoritama koji rešavaju probleme upotrebom grafova predstavlja veoma značajan deo informatičke nauke. Mreže imaju mnogo primena u proučavanju praktičnih aspekata teorije grafova i to se zove analiza mreža. Analiza mreža je posebno značajna za probleme modeliranja i analiziranje mrežnog saobraćaja, recimo interneta. Graf je apstraktni matematički objekat, a crtež koji se sastoji od tačaka i linija je samo geometrijska predstava grafa. Me dutim, uobičajeno je da se takva slika naziva grafom. Pa pošto je graf sastavljen iz tačaka i linija, koje spajaju po dve tačke, onda je odatle moguće izvesti i formalnu definiciju grafa. Ovakva uopštena definicija omogućuje da graf primenjujemo ne samo u matematici, već i u informatici, elektrotehnici i tehnici uopšte, a tako de i u hemiji, lingvistici, ekonomiji i mnogim drugim oblastima. Neka je X neprazan skup i ρ binarna relacija u X. Ure deni par G = (X,ρ) naziva se graf. Elementi skupa X su čvorovi grafa, a elementi skupa ρ grane grafa. Sledi formalna definicija (neorijentisanog) grafa, i orijentisanog grafa. Definicija 1 Neka je X neprazan skup i ρ {{u,v} u,v X}. Ure deni par G = (X,ρ) naziva se graf. Elementi skupa X su čvorovi grafa, a elementi skupa ρ grane grafa. Definicija 2 Neka je X neprazan skup i ρ {(u,v) u,v X}. Ure deni par G = (X, ρ) naziva se orijentisani graf. Elementi skupa X su čvorovi grafa, a elementi skupa ρ grane grafa. Sa G(v) ćemo označavati skup suseda čvora v X. Pojam grafa je moguće generalisati ako prihvatimo da je moguće da postoji više od jedne grane iste orijentacije, odnosno da mogu postojati i višestruke petlje. Takav graf se onda zove multigraf. Običan graf je onda poseban slučaj multigrafa. Sledi definicija takvog multigrafa.

3 OSNOVNI POJMOVI 3 Definicija 3 Neka je X neprazan skup i U jedna kombinacija sa ponavljanjem skupa X 2. Ure deni par G = (X,U) naziva se multigraf. U svakom slučaju, graf je zadat ako su zadata dva skupa, skup čvorova i skup grana. Slede definicije osnovnih pojmova u teoriji grafova. Definicija 4 Graf koji ima konačan broj čvorova se zove konačan graf. Analogno, graf sa beskonačnim brojem čvorova se zove beskonačan graf. Ako je svejedno da li je grana grafa AB isto što i BA i to važi za sve grane grafa, onda je ρ simetrična relacija, a graf je simetričan ili neorijentisan. Kod takvih grafova se izostavljaju strelice na crtežu. Ako sve grane na grafu imaju strelice, odnosno orijentisane su, tada je ceo graf orijentisan ili antisimetričan. Definicija 5 Put dužine k (k 1) grafa G = (V,E) je niz grana oblika kod orijentisanih grafova, odnosno (v 0,v 1 ),(v 1,v 2 ),...,(v k 1,k) {v 0,v 1 },{v 1,v 2 },...,{v k 1,k} kod neorijentisanih grafova. Za ovaj put kažemo da počinje u v 0, a završava se u v k. Čvorovi v 0 i v k su krajnji čvorovi tog puta. Put često označavamo i sa v 0 v 1 v 2... v k. Definicija 6 Elementarni put (ili prost put je put koji kroz svaki svoj čvor prolazi tačno, tj. najviše jednom. Zatvoren put (ili kružni put je put koji se završava u istom čvoru u kojem i počinje. Kontura (ili ciklus dužine n je elementarni kružni put, i označavaćemo je sa C n. Definicija 7 Povezan graf je takav neorijentisani graf kod koga su bilo koja dva čvora povezana putem. Ako postoje dva čvora koja se ne mogu povezati, graf je nepovezan. Grana grafa koja polazi iz jednog čvora i završava u istom čvoru se zove petlja. Nepovezan graf se sastoji od bar dva nepovezana dela. Takvi delovi se zovu komponente povezanosti grafa. Ako se udaljavanjem jednog čvora iz grafa on raspada, odnosno broj komponenata povezanosti se povećava, tada je taj čvor artikulacioni čvor. Ako se udaljavanjem jedne grane graf raspada, grana se zove most grafa. Stepen čvora a grafa je broj grana grafa koji imaju kraj u tom čvoru, i označava se sa deg(a). Ako grana spaja čvor sa samim sobom, onda se ona računa dva puta. Čvor stepena 0 naziva izolovan čvor, a čvor stepena 1 naziva list. U usmerenom grafu, svaka grana ima dva različita kraja, početak, i kraj (crta se kao strelica). Svaki kraj se broji na različit način. Broj grana koje ulaze u neki čvor je ulazni stepen i označava se sa deg + (v), a broj grana koje iz čvora izlaze je izlazni stepen i označava se sa deg (v).

4 4 Totalni stepen grafa je zbir svih stepeni grafa, i jednak je dvostrukom broju grana. Nije moguće nacrtati graf sa neparnim stepenom. Grana koja spaja čvor sa stepenom jedan je viseća grana. Dve (ili više) grane grafa su paralelne ako spajaju dva ista temena. Grana može da spaja vrh sa samim sobom, i tada se naziva petljom. Graf koji nema petlje niti paralelne grane se naziva prostim grafom. Graf je prazan ako nema nijednu granu, a nulti graf nema nijedan vrh. Ako je stepen svakog čvora isti, onda je graf regularan, pri čemu kažemo da je on k-regularan ako svi čvorovi imaju stepen k, i da je on stepena k. Kompletan graf je prost graf, kod koga su svaka dva čvora spojena granom. Ako ima konačno mnogo n čvorova, označavaćemo ga sa K n, a ako ima beskonačno mnogo čvorova, označavaćemo ga sa K. Formula sume stepena tvrdi da u grafu G = (V,E) važi deg(v) = 2 E, jer je svaka grana susedna sa dva čvora. Formula implicira da u svakom ( grafu broj čvorova neparnog stepena mora biti paran. Kompetan graf K n ima grana. n 2) Definicija 8 Planarni grafovi su oni grafovi koji se mogu nacrtati u ravni tako da im se grane ne seku. Preciznije, zahteva se da je graf moguće predstaviti u ravni tako da zajednička tačka dve grane može biti samo čvor koji predstavlja zajedničku krajnju tačku tih grana. Ako je planaran graf predstavljen na opisan način u ravni, on deli ravan na više konačnih zatvorenih oblasti i jednu beskonačnu oblast. Svaka konačna oblast se naziva okce ili ćelija. Ako je graf povezan i ne sadrži artikulacione čvorove, granična linija okca predstavlja konturu grafa. Ponekad se pod okcem podrazumeva, umesto oblasti, upravo ova granična kontura. Pojam grafa može biti proširen dodavanjem osobine težine svakoj grani. Ovakvi grafovi se zovu težinski grafovi i oni su zgodni za predstavljanje nekih problema, na primer mreže puteva gde se težina odnosi na dužinu puta izme du dva čvora. Težinski graf koji je usmeren zove se mreža. Definicija 9 Graf G = (V,E ) je podgraf grafa G = (V,E) ako je skup njegovih čvorova V podskup skupa čvorova V grafa G, a skup njegovih grana E je podskup skupa grana E grafa G. Ako je ovim grafovima skup čvorova jednak, onda se graf G naziva razapinjujućim grafom, ili skeletom. Definicija 10 Komponenta povezanosti grafa G je neki njegov maksimalni povezani podgraf. Definicija 11 Čvor v grafa G je artikulacioni čvor ako se njegovim uklanjanjem povećava broj komponenti povezanosti grafa G. Definicija 12 Grana e grafa G je most ako se njenim uklanjanjem povećava broj komponenti povezanosti grafa G. v V

5 OSNOVNI POJMOVI 5 Definicija 13 Dva grafa G 1 i G 2 su izomorfna ako i samo ako postoji injektivna 1 1 i sirjektivna na funkcija vrhova i grana, tako da se očuvava susednost svih vrhova, tj. da su veze izme du vrhova načinjene na analogan način. Pišemo G 1 G 2. Izomorfizam održava susednost čvorova. Izomorfni grafovi su u stvari isti grafovi, ali različito nacrtani. Obeležavanje čvorova nema značaja za strukturu grafa, tako da se često i ne obeležavaju. Izomorfni grafovi moraju imati isti broj grana, isti broj čvorova, cikluse istih dužina, iste stepene čvorova. Ispitivanje da li su dva grafa izomorfna je složeno pitanje i do danas nemamo egzaktan algoritam za rešavanje ovog problema. Kompletan graf, prost graf, i njegov komplement: Izomorfni i neizomorfni grafovi: Podgraf i skelet: Izomorfni grafovi su od velikog značaja u elektronici, pri konstruisanju štampanih kola, gde grane grafa (strujni vodovi) ne smeju da se seku osim u čvorovima. Zato je bitno da se prona de izomorfan graf željenom grafu, ali takav da mu se grane ne seku. Prvi problem i njegovo rešenje izneseni na način koji je drugačiji u odnosu na prethodne i može se smatrati pretečom teorije grafova jeste rad Leonarda Ojlera pod nazivom Sedam mostova Kenigsberga, objavljen Ovo je prvi rezultat iz oblasti topologije u geometriji, što će reći ne zavisi od neke mere odnosno veličine. Ovo

6 6 prikazuje duboke veze izme du teorije grafova i topologije. Gustav Kirhof je godine objavio nešto što je kasnije nazvano Kirhofov zakon, a odnosilo se na problem računa napona i struje u električnom kolu. Frensis Gutri je godine je izložio problem četiri boje koji postavlja pitanje da li je moguće obojiti zemlje na geografskoj karti sa samo četiri boje, a da se ne pojave dve susedne zemlje obojene istom bojom. Ovaj problem su rešili tek godine Kenet Apel i Volfgang Heken, ali se postavljanje ovog problema smatra ro denjem teorije grafova. Tokom pokušaja rešavanja ovog problema otkrivene su mnoge teoreme i postavljeni mnogi teoretski pojmovi i koncepti. Primer 1 (Problem trgovačkog putnika) Problem trgovačkog putnika je problem iz oblasti diskretne ili kombinatorne optimizacije. Ovaj problem ilustruje klasu problema iz oblasti teorije računske složenosti koji su teški za rešavanje. Postavka problema: Ako je dat odre den broj gradova, cene putovanja od bilo kog grada do bilo kog grada, koja je najjeftinija ruta koja obilazi svaki grad tačno jednom, i vraća se u početni grad? Ekvivalentan problem izražen u terminima teorije grafova bi glasio: dat je kompletan težinski graf (čiji čvorovi predstavljaju gradove, grane predstavljaju puteve, a težine predstavljaju cenu putovanja, ili dužinu puta) - naći Hamiltonov ciklus najmanje težine. Može se pokazati da zahtev da se vrati u početni grad ne menja računsku kompleksnost ovog problema. Rešenje ovog problema je od velikog praktičnog značaja, ne samo u pitanju saobraćaja. Dobar primer u kome je bitno na efikasan način rešiti problem trgovačkog putnika bi mogla da bude organizacija teretne luke: ako se u luci u svakom trenutku nalazi više hiljada kontejnera, naslaganih jedni na druge, i svakodnevno se stotine kontejnera iskrcavaju sa brodova, ili tovare na šlepere, koji je optimalan redosled kretanja kranova za utovar i istovar, i gde postaviti koji kontejner. Računska kompleksnost: Najdirektnije rešenje bi bilo da se isprobaju sve permutacije, i da se vidi koja je najjeftinija (korišćenje metoda grube sile), ali kako je broj permutacija za n gradova n!, ovakvo rešenje vrlo brzo postaje nepraktično. Korišćenjem tehnika dinamičkog programiranja, ovaj problem se može rešiti u vremenu O(2 n ). Mada je ovo vreme eksponencijalno, ipak je mnogo jeftinije od O(n!) (vidi veliko O). U slučaju da se radi o euklidskom problemu trgovačkog putnika, postoje razni vrlo brzi približni algoritmi, koji pronalaze puteve čija dužina je sigurno manja od dvostruke dužine najkraćeg mogućeg puta. Euklidski problem trgovačkog putnika je onaj kod koga izme du gradova važi nejednakost trougla - drugim rečima, izme du svaka dva grada najkraći mogući put je upravo direktan put (put A B V ne može biti kraći od puta A V ).

7 OSNOVNI POJMOVI 7 Izbori reprezentacije Grafovi se u računarstvu predstavljaju na razne načine. Najčešći su lista povezanosti i matrica povezanosti. Lista povezanosti je implementirana tako što predstavlja svaki čvor kao strukturu podataka koja sadrži listu svih susednih čvorova. Matrica povezanosti je matrica, čije vrste i kolone predstavljaju početne i krajnje čvorove, a dati član matrice predstavlja indikaciju da li izme du odgovarajuća dva čvora postoji grana (recimo 0 ako ne postoji, a 1 ako postoji). Liste povezanosti se češće koriste kod retkih grafova, a u suprotnom su matrice povezanosti dobar izbor. Tako de, za vrlo velike grafove koji imaju neku pravilnost što se tiče položaja grana, mogući izbor predstavljanja je simbolički graf. Re de se za predstavljanje grafa koristi matrica incidencije. Vrste ove matrice predstavljaju čvorove, a kolone predstavljaju grane. U svakoj koloni stoje jedinice na mestima koja odgovaraju čvorovima koje spaja odgovarajuća grana (a na ostalim mestima su nule). Pore denje sa drugim strukturama podataka Grafovske strukture podataka su ne-hijerarhijske, i stoga su pogodne za podatke gde su pojedinačni elementi povezani na kompleksne načine. Na primer, simulacija računarske mreže se može sprovesti pomoću grafa. Hijerarhijski skupovi podataka se mogu predstaviti binarnim ili nebinarnim stablom. Stabla se tako de mogu posmatrati i kao grafovi. Operacije Grafovski algoritmi su od velikog značaja u računarstvu. Tipične operacije povezane sa grafovima su nalaženje puta izme du dva čvora, za šta se na primer koriste pretraga grafa u dubinu i pretraga grafa u širinu, i nalaženje najkraćeg puta od jednog do drugog čvora, za šta se može koristiti Dijkstra algoritam. Teorema 1 U neorijentisanom grafu G = (X, E) bez petlji sa barem dva čvora, postoje bar dva čvora istog stepena. Teorema 2 Neka je G = (X, E) neorijentisan graf bez petlji sa n 2 čvorova, dakle X = {v 1,v 2,...,v n }, i m grana. Zbir stepena svih čvora je jednak dvostrukom broju grana, tj. važi G(v 1 ) + G(v 2 ) G(v n ) = 2m. Teorema 3 U neorijentisanom grafu G = (X, E) bez petlji, broj čvorova neparnog stepena je paran. Definicija 14 Ojlerova kontura grafa G = (X, E) je kontura koja sadrži sve grane grafa G. Graf koji ima Ojlerovu konturu je Ojlerov graf. Ojlerov put u grafu G je put koji sadrži sve grane grafa G. Graf koji ima Ojlerov put je poluojlerov graf. Ako je graf Ojlerov, moguće ga je nacrtati iz jednog poteza (bez dizanja olovke sa papira) tako da se kroz svaku granu prolazi tačno jednom - Ojlerov put. Ukoliko ima 0 čvorova neparnog stepena, tada crtanje počinje i završava se u istom (proizvoljnom) čvoru, a ako ima 2 čvora neparnog stepena, tada crtanje počinje u jednom od njih, a završava se u drugom.

8 8 Teorema 4 (Ojlerova teorema) Povezan graf sa bar jednom granom je Ojlerov graf ako i samo ako su mu svi čvorovi parnog stepena. Teorema 5 Povezan graf sa bar jednom granom je poluojlerov graf ako i samo ako sadrži 0 ili 2 čvora neparnog stepena. Teorema 6 Graf ima Ojlerov put ako i samo ako je povezan i sadrži najviše 2 čvora neparanog stepena. Prva dva grafa na narednim slikama su Ojlerovi, dok treći to nije. Ojlerovi putevi su važni za organizaciju poslova u velikom gradu. Na primer, za raznošenje pošte, naplate računa i slično. Poštar ce najracionalnije razneti poštu ako svaku ulicu obide tačno jedanput. Definicija 15 Hamiltonova kontura grafa G = (X, E) je kontura koja sadrži sve čvorove grafa G. Graf koji ima Hamiltonovu konturu je Hamiltonov graf. Hamiltonov put u grafu G je elementaran put koji sadrži sve čvorove grafa G. Graf koji ima Hamiltonov put je poluhamiltonov graf. Primer 2 Kontura C n je i Ojlerov i Hamiltonov graf. Kompletan graf K 4 nije Ojlerov, a jeste Hamiltonov graf. Bipartitni graf K 2,4 jeste Ojlerov, a nije Hamiltonov graf. Hamiltonova kontura se može formirati počev od bilo kog čvora, obilazeći svaki čvor tačno jedanput, što je kod kompletnog grafa moguće jer postoji grana izme du svaka dva čvora. Svaki kompletan graf K n, za n 3 ima Hamiltonovu konturu. Definicija 16 Težinski graf G = (V,E,w) je ure dena trojka gde je V skupova čvorova, E skup grana, a w : E N je težinska funkcija koja svakoj grani dodeljuje težinu. Težinski graf koji je usmeren zove se mreža. 2 Bipartitni grafovi Definicija 17 Bipartitni graf (odnosno bigraf) je ure dena trojka G = (L, R, E) takva da je L R = /0, gde je L R skup čvorova pri čemu je L /0 i R /0, i gde je E {{l,r} l L r R} je skup grana. Pri tome L nazivamo skupom levih, a R skupom desnih čvorova.

9 STABLA 9 Definicija 18 G = (L,R,E) je bipartitni graf ako i samo ako ne sadrži ni jednu konturu neparne dužine. Definicija 19 Svako stablo je bipartitan graf. Definicija 20 Bipartitni graf G = (L,R,E) je kompletan ako za sve l L i r R važi {l,r} E (dakle, ako je svaki čvor skupa L povezan sa svakim čvorom skupa R). Ako skup L ima n, a skup R ima m čvorova, ovak bipartitni graf označavamo sa K m,n. 3 Stabla Definicija 21 U teoriji grafova, stablo je graf u kome su svaka dva čvora povezana tačno jednom stazom. Drugačije rečeno, svaki povezan graf bez ciklova je stablo. Šuma je disjunktna unija stabala. Stabla se izuzetno puno koriste u kao strukture podataka u računarstvu (kao binarna stabla pretrage, hipovi, i slično). Na slici vidimo stablo sa 6 čvorova i 5 grana, gde npr. jedinstvena prosta staza koja povezuje čvorove 2 i 6 je Teorema 7 Stablo je nepovezan prost graf G koji zadovoljava bilo koji od sledećih (ekvivalentnih) uslova: 1. G je povezan i nema prostih ciklova; 2. G nema prostih ciklova, a prost cikl se dobija ako se bilo bilo koja nova grana doda u G; 3. G je povezan, ali ako se bilo koja grana ukloni iz G, više neće biti povezan; 4. G je povezan i kompletan graf od tri čvora, K 3, nije minor od G; 5. bilo koja dva čvora u G su povezana jedinstvenom prostom stazom. Ako G ima konačno mnogo n čvorova, onda su gornji iskazi ekvivalentni sledećim uslovima: 1. G je povezan i ima n 1 grana; 2. G nema prostih ciklova i ima n 1 grana. Teorema 8 Usmereno stablo je usmeren graf koji bi bio stablo ako bi se smerovi grana ignorisali.

10 10 Neki autori ograničavaju ovaj izraz na slučajeve kada su sve grane usmerene prema odre denom čvoru ili od odre denog čvora. Teorema 9 Stablo se naziva korenskim stablom ako se jedan čvor označi kao koren, u kom slučaju grane imaju prirodnu orijentaciju, prema ili od korena. Teorema 10 Svako stablo je bipartitni graf. Teorema 11 Svako stablo sa prebrojivo mnogo čvorova je planaran graf. Teorema 12 Svako neprazno stablo ima bar jedan list, tj. čvor stepena 1. Ako je dato n označenih čvorova, postoji n n 2 različitih načina da se oni povežu u stablo. Prebrojavanje neoznačenih stabala je teži problem. Ne postoji zatvorena formula za broj t (n) stabala sa n čvorova do na izomorfizam grafova. Ričard Oter je dokazao da je t (n) Cα n n 5/2 kada n, gde je C i α 2, Pojam stablo se u programiranju koristi da označi strukturu podataka koja ima razgranatu strukturu, po uzoru na pojam stabla u teoriji grafova. Stablo se često koristi kao glavni oblik nekog spremišta podataka, zbog lakog pisanja odgovarajućeg koda kroz korišćenje rekurzije, brzog upisivanja podataka i brzog pristupa traženim podacima. Najčešće korišćeno stablo je stablo u kojem svaki čvor mora imati tačno dve grane, tj. binarno stablo. U terminologiji stabla kao strukture podataka, koriste se slični pojmovi kao kod običnog stabla. Tako, čvor koji ne sadrži granu nijednog drugog čvora a koji posredno ili neposredno sadrži sve druge čvorove naziva se korijen. Čvorovi koji ne sadrže nijednu granu, tj. nalaze se na vrhu stabla, nazivaju se listovima Tako de, postoji terminologija roditelj-dijete, u kojoj se čvor A koji sadrži čvor B naziva roditeljem čvora B, dok se čvor B naziva detetom čvora A. Stablo se u programiranju ostvaruje korišćenjem pokazivača da bi se usmerilo ka odgovarajućim granama. Naime, svaki čvor se konstruiše tako da poseduje mogućnost čuvanja jedne ili više adresa drugih čvorova, što omogućava prelaženje iz jednog čvora u drugi, tj. kretanje po stablu. Budući da stablo može imati neograničen broj čvorova (uslovno govoreći, zbog ograničene količine memorije na računarskim ure dajima), iterativno rešenje konstrukcije i korišćenja stabla najčešće nije dobro niti lako rešenje. Umjesto toga, pišu se funkcije koje se rekurzivno pozivaju dok jedna od instanci funkcije ne primi traženi čvor kao argument. Tada se izvrši željena radnja (vraćanje rezultata ili stvaranje novog čvora) i rekurzivni lanac se odmotava i završava. Slabost rekurzivnog rješenja leži u situacijama kada je stablo veliko, te dolazi do prenatrpavanja funkcijskog steka procesa što može dovesti do usporenosti ili naglog prekidanja cijelog programa. Dok se binarno stablo u programiranju ostvaruje relativno jednostavno, korišćenjem tačno dva pokazivača, neograničen broj grana po čvoru se implementira na nešto složeniji način. Potrebno je u svakom čvoru čuvati neku strukturu podataka koja podržava neograničen broj pokazivača, što se najčešće čini koristeći liste ili obične nizove koji se proširuju po potrebi.

11 BINARNA STABLA 11 Binarno stablo se najčešće koristi za smeštaj podataka koji moraju biti u ure denom rasporedu, tj. sortirani, kako bi im se moglo brzo pristupati metodom binarne pretrage. Me dutim, za smještaj bilo kakvih podataka čiji čvorovi mogu imati više od jednog deteta potrebno je višestruko stablo. Na primjer, jezik XML po samoj svojoj definiciji zahteva drvoliku strukturu podataka sa neograničenim brojem grana po jednom čvoru. Tako de, datotečni sistem kao drvolika struktura zahteva neograničen broj grana po jednom direktorijumu. U pojedinim implentacijama video igara, lavirinti se tako de implementiraju kao višestruka stabla, pri čemu je svako polje u lavirintu predstavljeno jednim čvorom u stablu, a polja na koja se može preći iz datog polja su predstavljena kao grane odgovarajućeg čvora. Obično rešavanje problema izlaza iz lavirinta se, me- dutim, najčešće ostvaruje upotrebom reda. 4 Binarna stabla Binarno stablo (engleski binary tree ) je u informatici struktura namenjena čuvanju podataka. Njene memorijske jedinice su organizovane po principu piramide. Tačnije, svaka memorijska jedinica (čvor) binarnog stabla može da pokazuje na još najviše dva elementa (njegova deca), dok stablo ima samo jedan elemenat na koga ne pokazuje ni jedan drugi (koren). Od ovog elementa se može doći u bilo koji drugi elemenat stabla. Svaki elemenat stabla može biti i svestan koji elemenat pokazuje na njega (tj. ko mu je roditelj). Čvor stabla je jedna memorijska ćelija stabla. Ona može imati nula, jedan ili dva podčvora. Ista može da nosi dve različite vrednosti. Ključ je najčešće numerička vrednost, po kojoj se neki element raspore duje u binarnom stablu. Vrednost je podatak koji treba zapamtiti. Može se desiti da su vrednost i ključ jedno te isto, tj. da se sortiranje binarnog stabla vrši po samoj vrednosti. Koren stabla je čvor stabla koji nije podčvor nijednog drugog čvora u stablu. List je čvor stabla koji nema ni jedan podčvor. Roditelj nekog čvora je čvor koji pokazuje na njega. Dete nekog čvora je čvor na koji neki drugi čvor pokazuje. Podstablo ili podgrana je skup svih čvorova stabla koji se nalaze levo ili desno od nekog od čvorova stabla. Na sledećoj slici, čvorovi stabla su elementi prikazani krugovima. Upisani brojevi su vrednosti ključeva po kojima se elementi sortiraju. Čvor sa ključem 8 je koren stabla. Njegova deca su čvorovi sa ključevima 3 i 10. Roditelj čvorova sa vrednošću ključeva 3 i 10 je čvor sa ključem 8. Listovi stabla su čvorovi sa ključevima 1, 4, 7 i 13. Iako sortirano, binarno stablo ne garantuje brzinu izvo denja operacija. Traženje ele-

12 12 menta u stablu npr. može da varira od O(logn) u najboljem (kao kod binarne pretrage) do O(n) u najgorem slučaju (kao kod linearne pretrage nesortiranog niza). Slično je i sa ostalim operacijama. Pretraga Pretraga počinje od korena stabla. Sledi jedan od algoritama. 1. Uporedi vrednost traženog ključa sa vrednošću ključa trenutno ispitivanog čvora. 2. Ukoliko je ključ veći, ispitati desno (levo) dete. 3. Ukoliko je ključ manji, ispitati levo (desno) dete. 4. Ukoliko je ključ jednak, trenutno ispitivani čvor je traženi čvor. 5. Ako dete ka kome treba da se nastavi pretraga ne postoji, onda tražena vrednost ključa na postoji u stablu. Dodavanje novog elementa Pretragom se ustanovljava da elementa koji treba dodati u stablu nema. Potom se na mestu deteta koje nije postojalo pravi novi element sa datim ključem i podacima. Brisanje elementa Brisanje elementa iz stabla je najsloženiji od ova tri procesa. U zavisnosti od toga koliko dece ima, deli se u tri slučaja: 1. ukoliko čvor za brisanje nema dece; treba obrisati čvor, a njegovo mesto kod roditelja treba da bude naznačeno kao prazno; 2. ukoliko čvor za brisanje ima jedno dete; čvor treba obrisati, a njegovo mesto kod roditelja zauzima njegovo dete; 3. ukoliko čvor za brisanje ima dvoje dece; čvor treba obrisati, a njegovo mesto i ulogu zauzima ili najlevlji čvor njegove desne podgrane, ili najdesniji čvor njegove leve podgrane; ovi čvorovi mogu imati jedno ili nijedno dete, a treba ih istim ovim algoritmom obrisati sa mesta na kome su bili pre nego što preuzmu novu ulogu u stablu. 5 Planarni grafovi Definicija 22 Planaran graf je graf koji se može nacrtati u ravni, a da mu se grane ne seku, sem u čvorovima. On deli ravan na na više konačnih zatvorenih oblasti i jednu u beskonačnosti. Svaka zatvorena oblast se naziva ćelija. Teorema 13 (Ojlerova teorema) Povezan planarni graf sa v čvorova i e grana deli ravan na f = e v + 2 oblasti. Na primer, kompletni K 5 graf (kompletni pentagraf) i kompletni bipartitni K 3,3 graf (kompletni bitrigraf) nisu planarni grafovi.

13 ZADACI 13 Primer 3 Postavka problema: da li je moguće spojiti 3 zgrade sa 3 bunara, a da se putevi ne ukrštaju, ako od svake kuće vodi po jedna staza do svakog bunara? Rešenje: Prva slika predstavlja problem, u pitanju je kompletan bipartitivni graf K 3,3 sa v = 6 čvorova i e = 9 grana, ali grane ne smeju da mu se seku. Lako se dokazuje da naš graf ima izomorfan, prikazan na drugoj slici. k 3 k 2 k 1 b 3 b 2 b Treba dokazati da taj graf nije planaran. Ako bi pretpostavili da jeste imali bi da je f = e v + 2 = 5. U svakom grafu, za ukupan broj grana imamo 2e g f, gde je g dužina najmanje oblasti (teorijski, kako oblast koju odreduje graf u ravni ima najmanje 3 grane, a svaka grana se dva puta pojavljuje kao granica oblasti, pa je 2e 3 f ). Kod našeg grafa svaka oblast je ograničena sa najmanje 4 grane, (nikoja 3 čvora ne obrazuju trougao, jer od 3 čvora 2 su kuće, a 1 bunar ili obrnuto, a kuće i bunari nisu me dusobno vezani granama), pa je 2e 4 f, odnosno što je nemoguće. 2 6 Zadaci 1. Nacrtati sve neizomorfne grafove sa 4 čvora i bar jednom konturom dužine 3. Rešenje: 2. Nacrtati sve neizomorfne grafove sa 4 čvora i tačno jednom konturom dužine 3. Rešenje: 3. Dokazati da je kompletan K 4 graf planaran. Rešenje: 4. Koliko ima različitih jednostavnih grafova sa n obeleženih čvorova? Rešenje: Granu identifikujemo kao dvočlani potskup skupa vrhova. Svaki dvočlani potskup skupa vrhova ili jeste ili nije grana u grafu. Dakle, za svaki od ( n 2) potskupova imamo dve mogućnosti. Stoga je broj različitih grafova sa n čvorova jednak 2 ( n 2). 5. Nacrtati sve neizomorfne povezane grafove sa 3 čvora. Rešenje: 6. Nacrtati sve neizomorfne povezane grafove sa 4 čvora. Rešenje:

14 14 7. Ispitati za koje n N je kontura C n bipartitan graf. Rešenje: Kontura C n je bipartitan graf ako i samo ako je n paran broj jer tada i samo tada možemo u jednu particiju stavljati svaki drugi čvor sa konture. 8. Nacrtati sva neizomorna binarna stabla sa 5 čvorova. Rešenje: 9. Koliko ima različitih označenih bipartitnih B n,m grafova kod kojih je svaki čvor prve particije koja sadrži n čvorova, stepena tačno 1? Rešenje: m n. 10. Koliko ima različitih označenih bipartitnih B n,m grafova kod kojih je svaki čvor prve particije koja sadrži n čvorova, stepena najviše 1? Rešenje: (m + 1) n. 11. Koliko ima različitih označenih bipartitnih B n,m grafova kod kojih je svaki čvor prve particije koja sadrži n čvorova, stepena tačno 2? Rešenje: ( m) n Koliko ima različitih označenih bipartitnih B n,m grafova kod kojih je svaki čvor prve particije koja sadrži n čvorova, stepena tačno 3? Rešenje: ( m) n Koliko ima neizomorfnih grafova sa 4 čvora i 2 komponente povezanosti? Nacrtati ih. Rešenje: 14. Rešenje: 15. Rešenje: 16. Rešenje: 17. Rešenje: 18. Rešenje: 19. Rešenje: 20. Rešenje: 21. Rešenje: 22. Rešenje: 23. Rešenje: 24. Rešenje:

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

3.1 Granična vrednost funkcije u tački 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 2 3 Granična vrednost i neprekidnost funkcija 3. Granična vrednost funkcije u tački Neka je funkcija f(x) definisana u tačkama x za koje je 0 < x x 0 < r, ili

Διαβάστε περισσότερα

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju RAČUN OSTATAKA 1 1 Prsten celih brojeva Z := N + {} N + = {, 3, 2, 1,, 1, 2, 3,...} Osnovni primer. (Z, +,,,, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: sabiranje (S1) asocijativnost x + (y + z) = (x + y)

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA

SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA SISTEMI NELINEARNIH JEDNAČINA April, 2013 Razni zapisi sistema Skalarni oblik: Vektorski oblik: F = f 1 f n f 1 (x 1,, x n ) = 0 f n (x 1,, x n ) = 0, x = (1) F(x) = 0, (2) x 1 0, 0 = x n 0 Definicije

Διαβάστε περισσότερα

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15

MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 MATRICE I DETERMINANTE - formule i zadaci - (Matrice i determinante) 1 / 15 Matrice - osnovni pojmovi (Matrice i determinante) 2 / 15 (Matrice i determinante) 2 / 15 Matrice - osnovni pojmovi Matrica reda

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα

41. Jednačine koje se svode na kvadratne

41. Jednačine koje se svode na kvadratne . Jednačine koje se svode na kvadrane Simerične recipročne) jednačine Jednačine oblika a n b n c n... c b a nazivamo simerične jednačine, zbog simeričnosi koeficijenaa koeficijeni uz jednaki). k i n k

Διαβάστε περισσότερα

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A.

a M a A. Može se pokazati da je supremum (ako postoji) jedinstven pa uvodimo oznaku sup A. 3 Infimum i supremum Definicija. Neka je A R. Kažemo da je M R supremum skupa A ako je (i) M gornja meda skupa A, tj. a M a A. (ii) M najmanja gornja meda skupa A, tj. ( ε > 0)( a A) takav da je a > M

Διαβάστε περισσότερα

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija

Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Ispitivanje toka i skiciranje grafika funkcija Za skiciranje grafika funkcije potrebno je ispitati svako od sledećih svojstava: Oblast definisanosti: D f = { R f R}. Parnost, neparnost, periodičnost. 3

Διαβάστε περισσότερα

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE

SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE SKUPOVI I SKUPOVNE OPERACIJE Ne postoji precizna definicija skupa (postoji ali nama nije zanimljiva u ovom trenutku), ali mi možemo koristiti jednu definiciju koja će nam donekle dočarati šta su zapravo

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B.

Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Korespondencije Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi. Korespondencija iz skupa A u skup B definiše se kao proizvoljan podskup f Dekartovog proizvoda A B. Pojmovi B pr 2 f A B f prva projekcija od

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu

Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Zadaci sa prethodnih prijemnih ispita iz matematike na Beogradskom univerzitetu Trigonometrijske jednačine i nejednačine. Zadaci koji se rade bez upotrebe trigonometrijskih formula. 00. FF cos x sin x

Διαβάστε περισσότερα

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića

Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće (zadaci) Beleške dr Bobana Marinkovića Verovatnoća i Statistika I deo Teorija verovatnoće zadaci Beleške dr Bobana Marinkovića Iz skupa, 2,, 00} bira se na slučajan način 5 brojeva Odrediti skup elementarnih dogadjaja ako se brojevi biraju

Διαβάστε περισσότερα

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI

III VEŽBA: FURIJEOVI REDOVI III VEŽBA: URIJEOVI REDOVI 3.1. eorijska osnova Posmatrajmo neki vremenski kontinualan signal x(t) na intervalu definisati: t + t t. ada se može X [ k ] = 1 t + t x ( t ) e j 2 π kf t dt, gde je f = 1/.

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz Osnova matematike

Zadaci iz Osnova matematike Zadaci iz Osnova matematike 1. Riješiti po istinitosnoj vrijednosti iskaza p, q, r jednačinu τ(p ( q r)) =.. Odrediti sve neekvivalentne iskazne formule F = F (p, q) za koje je iskazna formula p q p F

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D} Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Neka su D i K bilo koja dva neprazna skupa. Postupak f koji svakom elementu x D pridružuje točno jedan element y K zovemo funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori

Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Geometrija (I smer) deo 1: Vektori Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Vektori i linearne operacije sa vektorima Definicija Vektor je klasa ekvivalencije usmerenih duži. Kažemo

Διαβάστε περισσότερα

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2.

Sume kvadrata. mn = (ax + by) 2 + (ay bx) 2. Sume kvadrata Koji se prirodni brojevi mogu prikazati kao zbroj kvadrata dva cijela broja? Propozicija 1. Ako su brojevi m i n sume dva kvadrata, onda je i njihov produkt m n takoder suma dva kvadrata.

Διαβάστε περισσότερα

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1

Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Građevinski fakultet Univerziteta u Beogradu 3.2.2016. Zavrxni ispit iz Matematiqke analize 1 Prezime i ime: Broj indeksa: 1. Definisati Koxijev niz. Dati primer niza koji nije Koxijev. 2. Dat je red n=1

Διαβάστε περισσότερα

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f 2. Nule i znak funkcije; presek sa y-osom IspitivaƬe

Διαβάστε περισσότερα

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama.

Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. Apsolutno neprekidne raspodele Raspodele apsolutno neprekidnih sluqajnih promenljivih nazivaju se apsolutno neprekidnim raspodelama. a b Verovatno a da sluqajna promenljiva X uzima vrednost iz intervala

Διαβάστε περισσότερα

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k.

(P.I.) PRETPOSTAVKA INDUKCIJE - pretpostavimo da tvrdnja vrijedi za n = k. 1 3 Skupovi brojeva 3.1 Skup prirodnih brojeva - N N = {1, 2, 3,...} Aksiom matematičke indukcije Neka je N skup prirodnih brojeva i M podskup od N. Ako za M vrijede svojstva: 1) 1 M 2) n M (n + 1) M,

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić

OSNOVI ELEKTRONIKE. Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić OSNOVI ELEKTRONIKE Vežbe (2 časa nedeljno): mr Goran Savić savic@el.etf.rs http://tnt.etf.rs/~si1oe Termin za konsultacije: četvrtak u 12h, kabinet 102 Referentni smerovi i polariteti 1. Odrediti vrednosti

Διαβάστε περισσότερα

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... }

Skup svih mogućih ishoda datog opita, odnosno skup svih elementarnih događaja se najčešće obeležava sa E. = {,,,... } VEROVTNOĆ - ZDI (I DEO) U računu verovatnoće osnovni pojmovi su opit i događaj. Svaki opit se završava nekim ishodom koji se naziva elementarni događaj. Elementarne događaje profesori različito obeležavaju,

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola.

KVADRATNA FUNKCIJA. Kvadratna funkcija je oblika: Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije y = ax + bx + c. je parabola. KVADRATNA FUNKCIJA Kvadratna funkcija je oblika: = a + b + c Gde je R, a 0 i a, b i c su realni brojevi. Kriva u ravni koja predstavlja grafik funkcije = a + b + c je parabola. Najpre ćemo naučiti kako

Διαβάστε περισσότερα

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom.

Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. 1 Pravilo 1. Svaki tip entiteta ER modela postaje relaciona šema sa istim imenom. Pravilo 2. Svaki atribut entiteta postaje atribut relacione šeme pod istim imenom. Pravilo 3. Primarni ključ entiteta postaje

Διαβάστε περισσότερα

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost Limes funkcije Neka je 0 [a, b] i f : D R, gdje je D = [a, b] ili D = [a, b] \ { 0 }. Kažemo da je es funkcije f u točki 0 jednak L i pišemo f ) = L, ako za

Διαβάστε περισσότερα

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE

SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE 1 SOPSTVENE VREDNOSTI I SOPSTVENI VEKTORI LINEARNOG OPERATORA I KVADRATNE MATRICE Neka je (V, +,, F ) vektorski prostor konačne dimenzije i neka je f : V V linearno preslikavanje. Definicija. (1) Skalar

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture

Algebarske strukture i operacije Univerzitet u Nišu Prirodno Matematički Fakultet februar 2010 Istraživačka stanica Petnica i operacije Operacije Šta je to algebra i apstraktna algebra? Šta je to algebarska struktura? Cemu

Διαβάστε περισσότερα

radni nerecenzirani materijal za predavanja

radni nerecenzirani materijal za predavanja Matematika 1 Funkcije radni nerecenzirani materijal za predavanja Definicija 1. Kažemo da je funkcija f : a, b R u točki x 0 a, b postiže lokalni minimum ako postoji okolina O(x 0 ) broja x 0 takva da je

Διαβάστε περισσότερα

Zadaci iz trigonometrije za seminar

Zadaci iz trigonometrije za seminar Zadaci iz trigonometrije za seminar FON: 1. Vrednost izraza sin 1 cos 6 jednaka je: ; B) 1 ; V) 1 1 + 1 ; G) ; D). 16. Broj rexea jednaqine sin x cos x + cos x = sin x + sin x na intervalu π ), π je: ;

Διαβάστε περισσότερα

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia.

Iskazna logika 1. Matematička logika. Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia. Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science,, Serbia oktobar 2012 Iskazi, istinitost, veznici Intuitivno, iskaz je rečenica koja je ima tačno jednu jednu istinitosnu

Διαβάστε περισσότερα

Jednodimenzionalne slučajne promenljive

Jednodimenzionalne slučajne promenljive Jednodimenzionalne slučajne promenljive Definicija slučajne promenljive Neka je X f-ja def. na prostoru verovatnoća (Ω, F, P) koja preslikava prostor el. ishoda Ω u skup R realnih brojeva: (1)Skup {ω/

Διαβάστε περισσότερα

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum

Prvi kolokvijum. y 4 dy = 0. Drugi kolokvijum. Treći kolokvijum 27. septembar 205.. Izračunati neodredjeni integral cos 3 x (sin 2 x 4)(sin 2 x + 3). 2. Izračunati zapreminu tela koje nastaje rotacijom dela površi ograničene krivama y = 3 x 2, y = x + oko x ose. 3.

Διαβάστε περισσότερα

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova. Pojam skupa U matematici se pojam skup ne definiše eksplicitno. On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tačke ili prave u geometriji. Suštinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili članova.

Διαβάστε περισσότερα

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva

1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva 1 Aksiomatska definicija skupa realnih brojeva Definicija 1 Polje realnih brojeva je skup R = {x, y, z...} u kojemu su definirane dvije binarne operacije zbrajanje (oznaka +) i množenje (oznaka ) i jedna binarna

Διαβάστε περισσότερα

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa

Algebarske strukture sa jednom operacijom (A, ): Ako operacija ima osobine: zatvorenost i asocijativnost, onda je (A, ) polugrupa Binarne operacije Binarna operacija na skupu A je preslikavanje skupa A A u A, to jest : A A A. Pišemo a b = c. Označavanje operacija:,,,. Poznate operacije: sabiranje (+), oduzimanje ( ), množenje ( ).

Διαβάστε περισσότερα

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota:

ASIMPTOTE FUNKCIJA. Dakle: Asimptota je prava kojoj se funkcija približava u beskonačno dalekoj tački. Postoje tri vrste asimptota: ASIMPTOTE FUNKCIJA Naš savet je da najpre dobro proučite granične vrednosti funkcija Neki profesori vole da asimptote funkcija ispituju kao ponašanje funkcije na krajevima oblasti definisanosti, pa kako

Διαβάστε περισσότερα

4 Numeričko diferenciranje

4 Numeričko diferenciranje 4 Numeričko diferenciranje 7. Funkcija fx) je zadata tabelom: x 0 4 6 8 fx).17 1.5167 1.7044 3.385 5.09 7.814 Koristeći konačne razlike, zaključno sa trećim redom, odrediti tačku x minimuma funkcije fx)

Διαβάστε περισσότερα

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011.

Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika. Monotonost i ekstremi. Katica Jurasić. Rijeka, 2011. Veleučilište u Rijeci Stručni studij sigurnosti na radu Akad. god. 2011/2012. Matematika Monotonost i ekstremi Katica Jurasić Rijeka, 2011. Ishodi učenja - predavanja Na kraju ovog predavanja moći ćete:,

Διαβάστε περισσότερα

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo

FUNKCIJE - 2. deo. Logika i teorija skupova. 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo FUNKCIJE - 2. deo Logika i teorija skupova 1 Logika FUNKCIJE - 2. deo Inverzna korespondencija Neka je data korespondencija f A B. Tada korespondenciju f 1 B A definisanu sa f 1 = {(b, a) B A (a, b) f}

Διαβάστε περισσότερα

Algoritmi i strukture podataka

Algoritmi i strukture podataka Algoritmi i strukture podataka vežbe 5 Mirko Stojadinović 6. novembar 2015 1 1 Grafovi 1.1 Osnovni pojmovi Graf G = (V, E) se sastoji od skupa čvorova V i skupa grana E, pri čemu grane predstavljaju relacije

Διαβάστε περισσότερα

Relacije poretka ure denja

Relacije poretka ure denja Relacije poretka ure denja Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je ➀ refleksivna ➁ antisimetrična ➂ tranzitivna Umesto relacija poretka često kažemo i parcijalno ured enje ili samo ured enje.

Διαβάστε περισσότερα

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak

Matematiqki fakultet. Univerzitet u Beogradu. Domai zadatak Matematiqki fakultet Univerzitet u Beogradu Domai zadatak Zlatko Lazovi 30. decembar 2016. verzija 1.1 Sadraj 1 METRIQKI PROSTORI 2 1 1 METRIQKI PROSTORI a) Neka je (M, d) metriqki prostor i neka je (x

Διαβάστε περισσότερα

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a =

DRUGI KOLOKVIJUM IZ MATEMATIKE 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. je neprekidna za a = x, y, z) 2 2 1 2. Rešiti jednačinu: 2 3 1 1 2 x = 1. x = 3. Odrediti rang matrice: rang 9x + 6y + z = 1 4x 2y + z = 1 x + 2y + 3z = 2. 2 0 1 1 1 3 1 5 2 8 14 10 3 11 13 15 = 4. Neka je A = x x N x < 7},

Διαβάστε περισσότερα

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE

9. GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Geodetski akultet, dr sc J Beban-Brkić Predavanja iz Matematike 9 GRANIČNA VRIJEDNOST I NEPREKIDNOST FUNKCIJE GRANIČNA VRIJEDNOST ILI LIMES FUNKCIJE Granična vrijednost unkcije kad + = = Primjer:, D( )

Διαβάστε περισσότερα

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1;

π π ELEKTROTEHNIČKI ODJEL i) f (x) = x 3 x 2 x + 1, a = 1, b = 1; 1. Provjerite da funkcija f definirana na segmentu [a, b] zadovoljava uvjete Rolleova poučka, pa odredite barem jedan c a, b takav da je f '(c) = 0 ako je: a) f () = 1, a = 1, b = 1; b) f () = 4, a =,

Διαβάστε περισσότερα

Overviev BFS-analiza DFS algoritam. Predstavljanje grafova BFS algoritam. Grafovski algoritmi

Overviev BFS-analiza DFS algoritam. Predstavljanje grafova BFS algoritam. Grafovski algoritmi Predstavljanje grafova BFS algoritam Grafovski algoritmi Mnogi računarski problemi definisani u terminima grafova; Graf G = (V, E); V neprazan skup čije elemente nazivamo čvorovi grafa; E V V skup čije

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih nizova

Granične vrednosti realnih nizova Graiče vredosti realih izova Fukcija f : N R, gde je N skup prirodih brojeva a R skup realih brojeva, zove se iz realih brojeva ili reala iz. Opšti čla iza f je f(), N, i običo se obeležava sa f, dok se

Διαβάστε περισσότερα

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu

Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Osječki matematički list 000), 5 9 5 Više dokaza jedne poznate trigonometrijske nejednakosti u trokutu Šefket Arslanagić Alija Muminagić Sažetak. U radu se navodi nekoliko različitih dokaza jedne poznate

Διαβάστε περισσότερα

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa?

I.13. Koliki je napon između neke tačke A čiji je potencijal 5 V i referentne tačke u odnosu na koju se taj potencijal računa? TET I.1. Šta je Kulonova sila? elektrostatička sila magnetna sila c) gravitaciona sila I.. Šta je elektrostatička sila? sila kojom međusobno eluju naelektrisanja u mirovanju sila kojom eluju naelektrisanja

Διαβάστε περισσότερα

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2.

5 Sistemi linearnih jednačina. a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2. 5 Sistemi linearnih jednačina 47 5 Sistemi linearnih jednačina U opštem slučaju, pod sistemom linearnih jednačina podrazumevamo sistem od m jednačina sa n nepoznatih x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a

Διαβάστε περισσότερα

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na

Ovo nam govori da funkcija nije ni parna ni neparna, odnosno da nije simetrična ni u odnosu na y osu ni u odnosu na . Ispitati tok i skicirati grafik funkcij = Oblast dfinisanosti (domn) Ova funkcija j svuda dfinisana, jr nma razlomka a funkcija j dfinisana za svako iz skupa R. Dakl (, ). Ovo nam odmah govori da funkcija

Διαβάστε περισσότερα

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo:

Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: 2 Skupovi Neka su A i B skupovi. Kažemo da je A podskup od B i pišemo A B ako je svaki element skupa A ujedno i element skupa B. Simbolima to zapisujemo: A B def ( x)(x A x B) Kažemo da su skupovi A i

Διαβάστε περισσότερα

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost

Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost Granične vrednosti realnih funkcija i neprekidnost 1 Pojam granične vrednosti Naka su x 0 R i δ R, δ > 0. Pod δ okolinom tačke x 0 podrazumevamo interval U δ x 0 ) = x 0 δ, x 0 + δ), a pod probodenom δ

Διαβάστε περισσότερα

1 Pojam funkcije. f(x)

1 Pojam funkcije. f(x) Pojam funkcije f : X Y gde su X i Y neprazni skupovi (X - domen, Y - kodomen) je funkcija ako ( X)(! Y )f() =, (za svaki element iz domena taqno znamo u koji se element u kodomenu slika). Domen funkcije

Διαβάστε περισσότερα

Topologija električnih mreža

Topologija električnih mreža Topologija električnih mreža 16. decembar 215 Već je pomenuto da se električna mreža može matematički opisati korištenjem modela (karakteristika) elemenata i modela njihovih veza. Modeli elemenata i načina

Διαβάστε περισσότερα

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije

Glava 1. Realne funkcije realne promen ive. 1.1 Elementarne funkcije Glava 1 Realne funkcije realne promen ive 1.1 Elementarne funkcije Neka su dati skupovi X i Y. Ukoliko svakom elementu skupa X po nekom pravilu pridruimo neki, potpuno odreeni, element skupa Y kaemo da

Διαβάστε περισσότερα

4 Matrice i determinante

4 Matrice i determinante 4 Matrice i determinante 32 4 Matrice i determinante Definicija 1 Pod matricom tipa (formata) m n nad skupom (brojeva) P podrazumevamo funkciju koja preslikava Dekartov proizvod {1, 2,, m} {1, 2,, n} u

Διαβάστε περισσότερα

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije:

POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA. U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: POGLAVLJE 1 BEZUSLOVNA OPTIMIZACIJA U ovom poglavlju proučavaćemo problem bezuslovne optimizacije: min f(x) (1.1) pri čemu nema dodatnih ograničenja na X = (x 1,..., x n ) R n. Probleme bezuslovne optimizacije

Διαβάστε περισσότερα

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Sistemi veštačke inteligencije primer 1 Sistemi veštačke inteligencije primer 1 1. Na jeziku predikatskog računa formalizovati rečenice: a) Miloš je slikar. b) Sava nije slikar. c) Svi slikari su umetnici. Uz pomoć metode rezolucije dokazati

Διαβάστε περισσότερα

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a

Prvi pismeni zadatak iz Analize sa algebrom novembar Ispitati znak funkcije f(x) = tgx x x3. 2. Naći graničnu vrednost lim x a Testovi iz Analize sa algebrom 4 septembar - oktobar 009 Ponavljanje izvoda iz razreda (f(x) = x x ) Ispitivanje uslova Rolove teoreme Ispitivanje granične vrednosti f-je pomoću Lopitalovog pravila 4 Razvoj

Διαβάστε περισσότερα

Skupovi, relacije, funkcije

Skupovi, relacije, funkcije Chapter 1 Skupovi, relacije, funkcije 1.1 Skup, torka, multiskup 1.1.1 Skup Pojam skupa ne definišemo eksplicitno. Intuitivno skup prihvatamo kao konačnu ili beskonačnu kolekciju objekata (ili elemenata)u

Διαβάστε περισσότερα

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi

Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Jankove grupe kao dizajni i jako regularni grafovi Vedrana Mikulić (vmikulic@math.uniri.hr) Odjel za matematiku Sveučilište u Rijeci 9. listopad 2008. Djelovanje grupe na skup Definicija Grupa G djeluje

Διαβάστε περισσότερα

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr

KONVEKSNI SKUPOVI. Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5. Back FullScr KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 KONVEKSNI SKUPOVI Definicije: potprostor, afin skup, konveksan skup, konveksan konus. 1/5 1. Neka su x, y R n,

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš

ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš 1 1. Osnovni pojmovi ELEMENTARNE FUNKCIJE dr Jelena Manojlović Prirodno-matematički fakultet, Niš Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva

Διαβάστε περισσότερα

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18

OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA. () 6. studenog 2011. 1 / 18 OSNOVNI PRINCIPI PREBROJAVANJA () 6. studenog 2011. 1 / 18 TRI OSNOVNA PRINCIPA PREBROJAVANJA -vrlo često susrećemo se sa problemima prebrojavanja elemenata nekog konačnog skupa S () 6. studenog 2011.

Διαβάστε περισσότερα

Matematička logika. novembar 2012

Matematička logika. novembar 2012 Predikatska logika 1 Matematička logika Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Serbia novembar 2012 1 različiti nazivi: predikatska logika, logika prvog

Διαβάστε περισσότερα

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1.

Funkcija gustoće neprekidne slučajne varijable ima dva bitna svojstva: 1. Nenegativnost: f(x) 0, x R, 2. Normiranost: f(x)dx = 1. σ-algebra skupova Definicija : Neka je Ω neprazan skup i F P(Ω). Familija skupova F je σ-algebra skupova na Ω ako vrijedi:. F, 2. A F A C F, 3. A n, n N} F n N A n F. Borelova σ-algebra Definicija 2: Neka

Διαβάστε περισσότερα

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na

OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog fajla, obavezno pogledajte fajl ELEMENTARNE FUNKCIJE, jer se na OBLAST DEFINISANOSTI FUNKCIJE (DOMEN) Prva tačka u ispitivanju toka unkcije je odredjivanje oblasti deinisanosti, u oznaci Pre nego što krenete sa proučavanjem ovog ajla, obavezno pogledajte ajl ELEMENTARNE

Διαβάστε περισσότερα

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu.

Zadatak 2 Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z 3 z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Kompleksna analiza Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu površ, opisati sve grane funkcije f(z) = z z 4 i objasniti prelazak sa jedne na drugu granu. Zadatak Odrediti tačke grananja, Riemann-ovu

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2

MATEMATIKA Pokažite da za konjugiranje (a + bi = a bi) vrijedi. a) z=z b) z 1 z 2 = z 1 z 2 c) z 1 ± z 2 = z 1 ± z 2 d) z z= z 2 (kompleksna analiza, vježbe ). Izračunajte a) (+i) ( i)= b) (i+) = c) i + i 4 = d) i+i + i 3 + i 4 = e) (a+bi)(a bi)= f) (+i)(i )= Skicirajte rješenja u kompleksnoj ravnini.. Pokažite da za konjugiranje

Διαβάστε περισσότερα

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić

Diskretna matematika. Prof. dr Olivera Nikolić Diskretna matematika Prof. dr Olivera Nikolić onikolic@singidunum.ac.rs 1 OSNOVNI POJMOVI MATEMATIČKE LOGIKE 2 1. Diskretna matematika 2. Kontinualna matematika 3 Pojam diskretne matematike Diskretna matematika

Διαβάστε περισσότερα

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( x) ( ) ( ) ( x) ( ) ( x) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Zadatak 08 (Vedrana, maturantica) Je li unkcija () = cos (sin ) sin (cos ) parna ili neparna? Rješenje 08 Funkciju = () deiniranu u simetričnom području a a nazivamo: parnom, ako je ( ) = () neparnom,

Διαβάστε περισσότερα

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA

4. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA . Limesi funkcija (sa svim korekcijama) 69. poglavlje (korigirano) LIMESI FUNKCIJA U ovom poglavlju: Neodređeni oblik Neodređeni oblik Neodređeni oblik Kose asimptote Neka je a konačan realan broj ili

Διαβάστε περισσότερα

8 Funkcije više promenljivih

8 Funkcije više promenljivih 8 Funkcije više promenljivih 78 8 Funkcije više promenljivih Neka je R skup realnih brojeva i X R n. Jednoznačno preslikavanje f : X R naziva se realna funkcija sa n nezavisno promenljivih čiji je domen

Διαβάστε περισσότερα

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija

Ministarstvo prosvete i sporta Republike Srbije Druxtvo matematiqara Srbije OPXTINSKO TAKMIQENjE IZ MATEMATIKE Prvi razred A kategorija 18.1200 Prvi razred A kategorija Neka je K sredixte teжixne duжi CC 1 trougla ABC ineka je AK BC = {M}. Na i odnos CM : MB. Na i sve proste brojeve p, q i r, kao i sve prirodne brojeve n, takve da vaжi

Διαβάστε περισσότερα

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu.

3. razred gimnazije- opšti i prirodno-matematički smer ALKENI. Aciklični nezasićeni ugljovodonici koji imaju jednu dvostruku vezu. ALKENI Acikliči ezasićei ugljovodoici koji imaju jedu dvostruku vezu. 2 4 2 2 2 (etile) viil grupa 3 6 2 3 2 2 prope (propile) alil grupa 4 8 2 2 3 3 3 2 3 3 1-bute 2-bute 2-metilprope 5 10 2 2 2 2 3 2

Διαβάστε περισσότερα

Norme vektora i matrica

Norme vektora i matrica 2 Norme vektora i matrica Pojam norme u vektorskim prostorima se najčešće povezuje sa određenom merom veličine elemenata tog prostora. Tako je u prostoru realnih brojeva R, norma elementa x R najčešće

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA

ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA **** IVANA SRAGA **** 1992.-2011. ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE POTPUNO RIJEŠENI ZADACI PO ŽUTOJ ZBIRCI INTERNA SKRIPTA CENTRA ZA PODUKU α M.I.M.-Sraga - 1992.-2011.

Διαβάστε περισσότερα

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem

KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov i Ramseyev teorem Природно-математички факултет, Универзитет у Нишу, Србија http://www.pmf.ni.ac.yu/mii Математика и информатика 1 (3) (2009), 19-24 KONAČNA MATEMATIKA Egzistencija kombinatornih konfiguracija Dirichlet-ov

Διαβάστε περισσότερα

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO

Matematičke metode u marketingumultidimenzionalno skaliranje. Lavoslav ČaklovićPMF-MO Matematičke metode u marketingu Multidimenzionalno skaliranje Lavoslav Čaklović PMF-MO 2016 MDS Čemu služi: za redukciju dimenzije Bazirano na: udaljenosti (sličnosti) među objektima Problem: Traži se

Διαβάστε περισσότερα

Moguća i virtuelna pomjeranja

Moguća i virtuelna pomjeranja Dnamka sstema sa vezama Moguća vrtuelna pomjeranja f k ( r 1,..., r N, t) = 0 (k = 1, 2,..., K ) df k dt = r + t = 0 d r = r dt moguća pomjeranja zadovoljavaju uvjet: df k = d r + dt = 0. t δ r = δx +

Διαβάστε περισσότερα

Prediktor-korektor metodi

Prediktor-korektor metodi Prediktor-korektor metodi Prilikom numeričkog rešavanja primenom KP: x = fx,, x 0 = 0, x 0 x b LVM α j = h β j f n = 0, 1, 2,..., N, javlja se kompromis izmed u eksplicitnih metoda, koji su lakši za primenu

Διαβάστε περισσότερα

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa:

Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika 2 KOLOKVIJUM 1. Prezime, ime, br. indeksa: Fakultet tehničkih nauka, Softverske i informacione tehnologije, Matematika KOLOKVIJUM 1 Prezime, ime, br. indeksa: 4.7.1 PREDISPITNE OBAVEZE sin + 1 1) lim = ) lim = 3) lim e + ) = + 3 Zaokružiti tačne

Διαβάστε περισσότερα

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije

Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Geometrija (I smer) deo 2: Afine transformacije Srdjan Vukmirović Matematički fakultet, Beograd septembar 2013. Transformacije koordinata tačaka Transformacije koordinata tačaka Pretpostavimo da za bazne

Διαβάστε περισσότερα

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova)

- pravac n je zadan s točkom T(2,0) i koeficijentom smjera k=2. (30 bodova) MEHANIKA 1 1. KOLOKVIJ 04/2008. grupa I 1. Zadane su dvije sile F i. Sila F = 4i + 6j [ N]. Sila je zadana s veličinom = i leži na pravcu koji s koordinatnom osi x zatvara kut od 30 (sve komponente sile

Διαβάστε περισσότερα

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min

( ) π. I slučaj-štap sa zglobovima na krajevima F. Opšte rešenje diferencijalne jednačine (1): min Kritična sia izvijanja Kritična sia je ona najmanja vrednost sie pritisa pri ojoj nastupa gubita stabinosti, odnosno, pri ojoj štap iz stabine pravoinijse forme ravnoteže preazi u nestabinu rivoinijsu

Διαβάστε περισσότερα

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE

POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE **** MLADEN SRAGA **** 011. UNIVERZALNA ZBIRKA POTPUNO RIJEŠENIH ZADATAKA PRIRUČNIK ZA SAMOSTALNO UČENJE SKUP REALNIH BROJEVA α Autor: MLADEN SRAGA Grafički urednik: BESPLATNA - WEB-VARIJANTA Tisak: M.I.M.-SRAGA

Διαβάστε περισσότερα

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1)

2.2 Srednje vrijednosti. aritmetička sredina, medijan, mod. Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 2.2 Srednje vrijednosti aritmetička sredina, medijan, mod Podaci (realizacije varijable X): x 1,x 2,...,x n (1) 1 2.2.1 Aritmetička sredina X je numerička varijabla. Aritmetička sredina od (1) je broj:

Διαβάστε περισσότερα

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova

Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova Četrnaesto predavanje iz Teorije skupova 27. 01. 2006. Kratki rezime prošlog predavanja: Dokazali smo teorem rekurzije, te primjenom njega definirali zbrajanje ordinalnih brojeva. Prvo ćemo navesti osnovna

Διαβάστε περισσότερα

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI

PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI PROSTORNI STATIČKI ODREĐENI SUSTAVI - svi elementi ne leže u istoj ravnini q 1 Z F 1 F Y F q 5 Z 8 5 8 1 7 Y y z x 7 X 1 X - svi elementi su u jednoj ravnini a opterećenje djeluje izvan te ravnine Z Y

Διαβάστε περισσότερα

Sintaksa i semantika u logici

Sintaksa i semantika u logici Sintaksa i semantika u logici PMF Matematički odsjek Sveučilište u Zagrebu 13. listopad 2012., Zadar Sintaksa i semantika u logici 1 / 51 1. Logika sudova 1.1. Sintaksa jezik 1.2. Semantika logike sudova

Διαβάστε περισσότερα

SPEKTRALNO PREPOZNAVANJE GRAFOVA

SPEKTRALNO PREPOZNAVANJE GRAFOVA Univerzitet u Beogradu Matematički fakultet Irena M. Jovanović SPEKTRALNO PREPOZNAVANJE GRAFOVA I MREŽA Doktorska disertacija Beograd, 2014. University of Belgrade Faculty of Mathematics Irena M. Jovanović

Διαβάστε περισσότερα

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012

MATERIJAL ZA VEŽBE. Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić. Asistent: dr Tibor Lukić. Godina: 2012 MATERIJAL ZA VEŽBE Predmet: MATEMATIČKA ANALIZA Nastavnik: prof. dr Nataša Sladoje-Matić Asistent: dr Tibor Lukić Godina: 202 . Odrediti domen funkcije f ako je a) f(x) = x2 + x x(x 2) b) f(x) = sin(ln(x

Διαβάστε περισσότερα

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2

ELEMENTARNA MATEMATIKA 2 ELEMENTARNA MATEMATIKA 1. Osnovni pojmovi o funkcijama Jedan od najvažnijih pojmova u matematici predstavlja pojam funkcije. Definicija 1.1. Neka su X i Y dva neprazna skupa. Funkcija f iz skupa X u skup

Διαβάστε περισσότερα

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE

DIMENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE TEORIJA ETONSKIH KONSTRUKCIJA T- DIENZIONISANJE PRAVOUGAONIH POPREČNIH PRESEKA NAPREGNUTIH NA PRAVO SLOŽENO SAVIJANJE 3.5 f "2" η y 2 D G N z d y A "" 0 Z a a G - tačka presek koja određje položaj sistemne

Διαβάστε περισσότερα

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA

ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Sveučilište u Zagrebu PMF-Matematički odsjek Franka Miriam Brückler, Vedran Čačić, Marko Doko, Mladen Vuković ZBIRKA ZADATAKA IZ TEORIJE SKUPOVA Zagreb, 2009. Sadržaj 1 Osnovno o skupovima, relacijama

Διαβάστε περισσότερα

Dužina luka i oskulatorna ravan

Dužina luka i oskulatorna ravan Dužina luka i oskulatorna ravan Diferencijalna geometrija Vježbe Rješenja predati na predavanjima, u srijedu 9. ožujka 16. god. Zadatak 1. Pokazati da je dužina luka invarijantna pod reparametrizacijom

Διαβάστε περισσότερα