DNA kode za nanoznanosti

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "DNA kode za nanoznanosti"

Transcript

1 Seminar pri predmetu Biofizika DNA kode za nanoznanosti Avtor: Boštjan Jenčič Mentor: prof. dr. Rudolf Podgornik Ljubljana, Maj 2014 Povzetek Molekula DNA ima poleg vloge skladiščenja genetskih informacij tudi vlogo kontroliranja izražanja določenih genov. V zaporedjih gradnikov DNA so namreč vgrajene kode, ki kontrolirajo in prepoznavajo procese na atomski skali, kot je naprimer parjenje baz. Področje nanoznanosti lahko tako s pomočjo molekule DNA poviša zapletenost in učinkovitost samourejanja in samousmerjanja določenih procesov. V seminarju so predstavljene nekatere tovstne lastnosti DNA. 1

2 Kazalo 1 Uvod 2 2 Koda za prepoznavanje parjenja baz na atomski skali Molekularne konstrukcije s pomočjo DNA RNA in PNA Strukturne kode za prepoznavanje DNA na nanoskali Koda oblike molekule DNA Fleksibilnost DNA Posredno branje zaznavanja DNA proteinov Kristalna površina lahko razbere strukturne kode DNA Zaključek 12 1 Uvod Deoksiribonukneinska kislina (DNA ali DNK) je organska molekula, katere glavna naloga je shranjevanje genetskih informacij v živih organizmih in nekaterih virusih. Večina molekul DNA je dvovijačnih, sestojijo torej iz dveh nerazvejanih polimerov. Osnovna enota polimerov molekule DNA je monomer, imenovan nukleotid, ki sestoji iz sladkorja (deoksiriboza ali riboza pri RNA), fosfatne skupine in dušikove baze. V molekuli DNA se nahajajo štiri dušikove baze; adenin, citozin, gvanin in timin, njihovo zaporedje pa določa pomen genetske informacije. Parjenje dušikovih baz na podlagi vodikovih vezi je vzrok za nastanek dvojne vijačnice [1]. Slika 1: Atomska struktura molekule DNA [1] (levo) in njena makrooblika [2](desno). Molekula DNA ni zgolj zakladnica genskih informacij, pač pa ima tudi namen kontroliranja izražanja posameznih genov, ki jih vsebuje [3]. V DNA so torej vsebovane določene kode, ki s prepoznavanjem procesov na atomski in nanoskali določajo, kateri procesi se bodo in kateri se ne bodo izvedli. Termin koda je definiran kot vzorec ali razmerje v nekem zaporedju, 2

3 ki ustreza določeni biološki funkciji ali interakciji. Kode molekule DNA so v večini kemijske narave, saj jih določa komplementarnost dušikovih baz. Zadnja lastnost DNA je zelo zanimiva tudi za nanoznanost, ki lahko s pomočjo molekule DNA uspe zvišati nivo učinkovitosti in kompleksnosti samo-urejevalnih procesov. 2 Koda za prepoznavanje parjenja baz na atomski skali Parjenje komplementarnih baz je pomembno tako za replikacijo, kot tudi za prepisovanje, popravo in translacijo molekule DNA. Specifično parjenje dušikovih baz je torej glavna zakladnica genetske informacije, ki jo vsebuje DNA. Dvovijačna molekula tako potrebuje skoraj popolno zaporedje miljonov parov dušikovih baz, za kar so potrebni kompleksni kontrolni mehanizmi. Le ti delujejo tako, da vsako ne-optimalno parjenje naredijo nestabilno s pomočjo proteinov. Po drugi strani pa evolucija zahteva neko, neničelno razmerje med stabilnostjo molekule in prerazporeditvami. Medsebojno prepoznavanja komplementarnih baz v dvojni vijačnici se vse bolj uporablja v nanoznanosti, saj se z njeno pomočjo lahko generira molekularne konstrukcije narejene bodisi iz DNA ali pa drugih manjših molekul. Prisotnost molekule DNA s svojimi kontroliranimi molekularnimi lastnostmi tako omogoča generacijo predvidljivih struktur, kar vodi do urejenih sistemov. 2.1 Molekularne konstrukcije s pomočjo DNA S pomočjo zaporedij nukleotidov v eno-vijačni molekuli DNA je mogoče dirigirati samoureditvene procese, ter tako ustvarjati makromolekularne strukture. Veliki 1D ali 2D polimeri, ali pa manjši oligomerski ter monomerski objekti se lahko pripravijo s pomočjo ureditve vsaj šestih različnih oligonukleotidov v strukture, ki temeljijo na t.i. Hollidajevem vozlišču (slika 1.a) [4]. Molekula DNA se lahko uporabi denimo kot generator električnih vezij. DNA ima vlogo strukturnega elementa, ki povzroči samoureditev molekul, ki sicer ne bi reagirale, ali pa bi se formirale v neurejen vzorec. Po kemijski pripravi enot, ki naj bi se formirale v hibrid molekule in oligonukleotida, je potrebno poskrbeti še za natančno razmerje komponent (oligonukleotidov in molekul, ki imajo vlogo gradnikov), saj le tako formacija strukture poteče. Metoda formacije vezij vključuje protein RecA (protein, ki se sicer uporablja za popravo DNA), ki se veže na eno-vijačno molekulo DNA. Vezava proteina olajša umestitev enojno vijačne molekule DNA s točno določenim zaporedjem nukleotidov v dvojnovijačno molekulo DNA. Na mestu, kjer je bila vezana enovijačna molekula DNA s proteinom RecA, se novoustvarjena nanožica obnaša kot izolator, katerega dolžina in lokacija je odvisna od zaporedja nukleotidov v enovijačni DNA. Tako je mogoče natančno določiti obliko električnega nanovezja. S pomočjo oligonukleotidov lahko potečejo tudi procesi formacije nanodelcev[5]. Če na zlat nanodelec in na zlato površino vežemo oligonukleotide, bodo komplementarni oligonukleotidi na nanodelcih in površini formirali kratko dvojnovijačno molekulo DNA. V nekaterih primerih oligonukleotida nista komplementarna med seboj, pač pa je eden komplementaren katerikoli polovici tretjega oligonukleotida, ki lahko zamenja vezavo topnih nanodelcev na površino (slika 1.c). Podobno lahko poteka tudi urejena vezava nanodelcev v raztopini, kjer se določeni oligonukleotidno funkcianolizirani nanodelci uredijo zaradi pojava novega oligonukleotida, ki deluje kot lepilo. Njegovi dve polovici sta namreč komplementarni koncema oligonukleotidov dveh delcev, ki se med seboj vežeta (slika 1.b). 3

4 Slika 2: Primeri nanokonstrukcij s pomočjo molekule DNA: a.) Hollidajevo vozlišče je struktura, ki sestoji iz štirih koncev dvovijačne molekule DNA, ki se križajo na stičišču. V naravni obliki Hollidajevega vozlišča, se le to lahko premika zaradi simetričnega zaporedja baznih parov v vsakem koncu. Za potrebe generacije drugih struktur se simetrijo razbije v okolici vozlišča in tako se slednje naredi fiksno. b.) Povezava oligonukleotidno funkcianoliziranih zlatih nanodelcev v vezano strukturo. c.)zlate nanodelce se lahko veže na specifična mesta, ki ustrezajo določenemu oligonukleotidu. d.)priprava segmenta določene dolžine in baznega zaporedja dvojno vijačne DNA molekule s pomočjo metode PCR (polymerase chain reactionmetoda, ki v DNA molekuli poišče in izlušči segment z določenim zaporedjem). Na segment se nato lahko vežeta dva DNA proteinska hibrida e.)proces samoreplikacije treh povezanih oligonukleotidov. [3] Še en primer uporabe DNA kod je predstavljen na sliki 1.e. Neobičajen tri-oligonukleotid v obliki črke Y, ki jih je moč povezati s pomočjo kemijskega elementa, ki veže vse tri oligonukleotide hkrati, se lahko poveže s tremi komplementarnimu oligonukleotidi, ki so raztopljeni v topilu. Le ti se lahko potem z nasprotnimi konci ponovno lahko povežejo še z dvema oligonukleotidoma. V procesu se tako trioligonukleotid replicira. 2.2 RNA in PNA Hramba informacij s pomočjo parjenja baz ni lastnost zgolj molekule DNA, pač pa ima podobno vlogo tudi molekula RNA (ribonukleinska kislina). Nekatere lastnosti molekule RNA so povzročile porast zanimanja v farmacevtski industriji. Kratke dvovijačne molekule RNA (small interfering oz. sirna) se lahko uporabi za preprečevanje izražanja nekaterih genov, če se pojavijo v evkariontskih celicah. Vrsta neizraženega gena je odvisna od zaporedja nukleotidov v molekuli RNA [6]. Peptidne nukleinske kisline (peptic nucleid acids-pna) so sintetični polimerski analogi molekulam DNA in RNA pri katerih so nukleobaze vezane na peptidno hrbtemico.. Oligooeri PNA lahko tvorijo stabilne dvojne vijačnice z komplementarnimi DNA ali RNA oligomeri, hkrati 4

5 pa lastnosti PNA oligomerov zagotavljajo bolj natančno vezavo komplementarnih baz, ker je vez med dvema nekomplementarnima bazama molekul PNA in DNA veliko manj stabilna, kot denimo vezava nekomplementarnih baz dveh molekul DNA. PNA polimere se lahko uporablja za prepoznavanje določenih zaporedij nukleidnih baz znotraj dvojnovijačne molekule DNA brez povzročitve razpada le-te (t.i. molekularni svetilniki). S pomočjo t.i. PNA odpiračev, ki z dehibridizacijo odprejo dvovijačno molekulo DNA, se molekularni svetilniki vstavijo v DNA, ter zaznajo točno določeno zaporedje nukleidov. Uporabljajo se tudi za razlikovanje med komplementarnimi in nekomplementarnimi pari baz. Molekularni svetilniki na osnovi PNA so v primerjavi s tistimi na osnovi DNA bolj efektivni, saj se lahko uporabljajo za analizo nečistih molekul DNA na katere so vezani tudi dodatni proteini. Zaradi električne nevtralnosti hrbtenice polimera PNA je parjenje med enovijačnima molekulama PNA in DNA veliko močnejše kot pri vezavi v dvovijačno molekulo DNA. To lastnost se lahko dodatno uporabi za zagotavljanje natančnosti parjenja baz. 3 Strukturne kode za prepoznavanje DNA na nanoskali Zaporedje baz v molekuli DNA določa tudi dinamiko molekule. Z različnimi metodami opazovanja lahko dobimo jasno sliko glede navidezno kaotične dinamike molekul. Kot je razvidno iz slike 3, nima niti ena od molekul na sliki enake oblike ali konfiguracije, čeprav so vse molekule popolnoma enake kemijske sestave. Vseeno pa navidezno kaotična dinamika molekul ni naključna. Slika 3: AFM (atomic force micoscropy) slika razstopine z identičnimi molekulami DNA (1878 baznih parov). 3.1 Koda oblike molekule DNA Oblika, ki jo molekula DNA zavzame na določenem mestu in ob določenem času je odvisna tudi od termičnih fluktuacij. Povprečna struktura molekule DNA pa je določena samo z zaporednjem nukleotidov. Različna zaporedja baz namreč določajo različne relativne orientacije povprečnih ravnin v katerih se nahajajo pari baz. Take orientacije večinoma označujemo s pomočjo treh parametrov: nagiba, zasuka in upogiba. 5

6 Slika 4: Orientacijski parametri: nagib (ρ), zasuk (τ) in upogib (Ω). Kompozicija teh treh parametrov vzdolž verige nukleotidov se izraža v lokalnih ali globalnih ukrivljenostih molekule. Zanimivo je pogledati, pri katerih vrednostih parametrov, bi za različne pare baz dosegli minimum energije [7]. Tabela 1: Teoretične vrednosti parametrov ρ, τ in Ω pri katerih bi pari danih baz dosegli minimum energije. Teoretične vrednosti se znatno razlikujejo od dejanskih vrednosti. S pomočjo vrednosti v tabeli 1 bi seveda za vsako zaporedje baznih parov lahko določili konformacijo dane molekule. Neničelne vrednosti zasuka ali nagiba povzročijo lokalne upogibe glavne osi dvojne vijačnice. Slednji lahko vodijo do cik-cak vzorca osi, ki v povprečju ostane ravna, če pa se upogib osi ponavlja v fazi z dvojno vijačnico, pa vse skupaj vodi do večjih ukrivljenosti, ki se pojavljajo na Angstromski ali pa celo nanometerski skali [8]. Primer takega ukrivljanja je mogoče najti pri molekuli DNA od živalske vrste Trypanosomatidae Protozoan Crithidia fasciculata. Iz 211 baznih parov sestavljen segment njenega DNA je najbolj ukrivljen dosedaj poznan naraven primer. 6

7 Slika 5: Predvidena struktura ukrivljenega segmenta DNA od vrste Trypanosomatidae Protozoan Crithidia fasciculata. a.)pogled iz ravnine, vzporedne na glavno ravnino. b) Pogled iz ravnine, pravokotne na glavno ravnino. c)zaporedje baz molekule. Za zaporedje baz omenjene molekule so značilna 3 do 6-kratna ponavljanja adeninskih baz, med katerimi je 10 ali 11 drugih baznih parov. Ker je povprečna perioda dvojne vijačnice dolga ravno med 10 in 11 baznih parov, se pojavlja to ukrivljenje osi dvojne vijačnice. 7

8 Slika 6: a.)metoda za določanje lokalne ukrivljenosti molekule DNA. b.)eksperimentalno določena lokalna DNA ukrivljenost vzdolž verige. Povprečna lokalna ukrivljenost C(n, m) (nštevilka zaporednega para) je predstavljena kot funkcija n/n, kjer je N število vseh baznih parov v verigi. c.)graf povprečne lokalne fleksibilnosti SD C(n, m) kot funkcije n/n. Lokalna fleksibilnost je izračunana kot standardna deviacija lokalne ukrivljenosti verige. 3.2 Fleksibilnost DNA Zaporedje baz v molekuli DNA ne določa zgolj njene oblike, pač pa tudi odziv na termične fluktuacije in posledično fleksibilnost njene glavne osi. Le-ta je določena z van der Waalsovimi ter elektrostatskimi interakcijami med posameznimi pari baz. Elektrostatske interakcije dominarajo pri znatnem dipolu para G-C, medtem ko je porazdelitev naboja pri parih A-T bolj difuzna. Tako se A-T pari lahko nalagajo drug na drugega, medtem ko se pri C-G parih sosednji pari zaradi elektrostatskega odboja malenkost odmaknejo, kar vodi do bolj pozitivnega kota nagiba med dotičnima nukleotidoma. Osna fleksibilnost dvojne vijačnice se lahko na nanometerski skali opiše s persistenčno dolžino l p, ki se ponavadi uporablja za določitev upogljivosti polimerov. Persistenčna dolžina je definirana kot razdalja v kateri so korelacije med smermi monomerov zanemarljive. Eksperimentalno določena persistenčna dolžina B-oblike molekule DNA je okoli 50nm [9]. Na velikostni skali koraka med dvema dinukleotidoma, je bila osna upogljivost ocenjena iz 8

9 števila konformacij, ki so jih zasedli specifični bazni koraki v kristilnih strukturah bodisi DNA oligomerov, ali pa DNA-proteinskih struktur. V primeru oligomerov, so deformacije, ki povzročijo lokalno upognitev DNA, posledica strukture kristala. V primeru DNA-proteinskih struktur, pa je bila lokalna upogljivost prikazana s pomočjo zmožnosti proteinov, da upognejo DNA molekulo na mestih vezave baz. Slika 7: Grafi pogostosti dinukleotidnih korakov v verigi dimerskih molekul, katerih ukrivljenost in upogljivost sta prikazani na sliki 6. Upogljivost med dvema nukleidoma pada po vrsti kot: CG>CA(=TG)>TA>CC(=GG)> TC(=GA) > GC> TT(=AA)> GT(=AC) > CT(=AG) >AT. S pomočjo opazovalnih metod, ki omogočajo vizualizacijo trajektorij DNA molekul, lahko vidimo tako lokalno ukrivljenost le-teh, kot tudi lokalne modulacije fleksibilnosti, ki je določena z zaporedjem. Upoštevajoč disperzijo vrednosti ukrivljenosti, lahko generiramo grafe fleksibilnosti za določeno množico molekul DNA. Taki grafi kažejo, da je lokalna fleksibilnost splošno večja tam, kjer je molekula bolj ukrivljena, kar nakazuje, da zaporedje oblikuje konformacijski prostor verige tako, da modulira ukrivljenost in fleksibilnost na podoben način. V molekuli DNA je 16 (4x4) mogočih dinukleotidov, 10 od teh je simetrijsko enakih. Pogostosti korakov vzdolž verige so prikazane na sliki 7. Opaziti je mogoče dobro korelacijo z rezultati za fleksibilnost za AA (=TT), TA in AT korake. Po drugi strani pa je opazna tudi antikorelacija za CG, CA (=TG) in tudi GC korake. Ta rezultat je v nasprotju z rezultati, dobljenimi z eksperimenti, ki so kazali na to, da so CG in CA (=TG) pari najbolj upogljivi. 3.3 Posredno branje zaznavanja DNA proteinov Lastnost DNA je tudi zmožnost branja njenih vezavnih proteinov. Vezavne proteine molekule DNA lahko razvrstimo v dve skupini. V prvo skupino spadajo proteini, ki ohranjajo 9

10 strukturo kromosomov in jih modificirajo tako, kot je zahtevano od genoma. Molekula DNA je zavita okoli takšnih proteinov, vezava pa je povezana z ukrivljenostjo molekule, ki je odvisna od zaporedja baz. Drugo skupino sestavljajo proteini, ki so povezani z regulacijo izražanja genov skozi interakcijo s kontrolnimi elementi DNA. Takšni proteini lahko locirajo specifično točko molekule tako, da se povežejo z molekulo na naključni točki, nato pa dosežejo določeno lokacijo z eno-dimenzionalno difuzijo ali pa intersegmentalnim prenašanjem. Proteini druge skupine prepoznajo njihove tarče s pomočjo prepoznavanja interakcij na atomski skali. Proteini vzorčijo svoje specifične točke bodisi tako, da se poskusijo vezati na vsako mesto DNA molekule (t.i. direktno branje), ali pa se poskusijo vezati zgolj na točke, ki imajo določene lastnosti, denimo tam, kjer se DNA lažje upogne. Slednji način (posredno branje) je veliko bolj učinkovit. Med difuzijo vzdolž molekue DNA protein ves čas upogiba molekulo DNA v svoji okolici, ter tako preizkuša, kako se lahko spreminja konformacija molekule. Tako protein vzorči zaporedja baz v molekuli. 3.4 Kristalna površina lahko razbere strukturne kode DNA Makromolekule imajo izredno dobro kontrolo mnogih rastnih in organizacijskih procesov. V zadnjih letih je bilo opravljenih mnogo raziskav o tem, kako se lahko kombinira organizacijske sposobnosti organskih makromolekul z anorganskimi sistemi v samo ureditvenih procesih. Določeni peptidi imajo tako veliko slektivnost pri vezavi na kovinske in kovinsko oksidne površine. Tako kot peptidi, se lahko tudi molekula DNA prepozna pri organsko-anorganski interakciji. Ravna molekula DNA se lahko rotira okoli svoje osi, ki je pravokotna na ravnino površine, tako da je mogoče veliko različnih orientacij. Kemijske karakteristike so tako povprečene po cilindrični simetriji, četudi je zaradi lokalne ukrivljenosti DNA simetrija manjša. Lokalna ukrivljenost DNA definira tudi povprečno ravnino ukrivljenega segmenta. Ploskvi verige DNA na obeh straneh ravnine sta kemijsko drugačni zaradi drugačnega zaporedja baz. Dober primer je molekula DNA vrste Crithidia fasciculata (slika 4). DNA je v tem primeru zvita tako močno, da njena glavna os skorajda definira ravnino. Ena stran ravnine je močno obogatena z adeninom, medtem ko je druga obogatena s timinom. Taka molekula se lahko veže na določene kristale (silikatne minerale) z obeh strani. Direktno opazovanje z AFM ali EM ne omogoča zaznavanja tega, s katero stranjo se je molekula vezala na kristal. Je pa z določenimi posrednimi metodami to mogoče ugotoviti (slika 8). V tem preprostem primeru je strani tankega objekta mogoče razločiti zgolj po različnih barvah. Prav tako je v molekuli DNA z metodami opazovanja AFM in EM nemogoče določiti smeri zaporedja baz. Če pa sestavimo dva kvadrata v netrivialen lik, kot je prikazano na sliki 8b, potem lahko stran določimo glede na obliko novega lika. S sklopitvijo dveh segmentov molekule DNA Crithidia fasciculata (slika 8c), ki sta povezana bodisi z repom, bodisi z glavo, dobimo dve strukturi, ki ju je prav tako mogoče ločiti zgolj s tovrstno metodo. 10

11 Slika 8: a.)nasprotno obarvani strani tankega kvadrata se ne moreta razločiti. b.)strani dveh skupaj zloženih kvadratov je mogoče razločiti po obliki. c.)strani dimera molekule DNA se lahko loči analogno kot v primeru b. Četudi ne moremo določiti zaporedja baz (=barva kvadrata), lahko ploskve ločimo glede na ukrivljenost, ki se jo da izmeriti. Dimera močno ukrivljenih DNA segmentov imata namreč podobne lastnosti kot pravokoten lik na sliki 8.b. Ker je ena stran dimerov obogatena s timinom, druga pa z adeninom, bo dimer zavzel obliko črke S. Ukrivljenost v eno ali drugo smer zavisi zgolj od tega, ali je dimer položen na površino s stranjo, ki je obogatena s timinom ali pa z adeninom. Z AFM slikanjem je mogoče ugotoviti zgolj, kakšno obliko je zavzela molekula, ter tako indirektno ugotoviti, s katero stranjo se dimera dotikata površine. Eksperimentalno je bilo ugotovljeno, da je preferenčna stran, ki je v kontaktu s silikatnim mineralom, tista, ki je obogatena s timinom (slika 9). Izkaže se [10], da je verjetnost dotikanja timinsko obogatene strani približno 5-9x večja od verjetnosti, da bo na silikatni mineral položena stranica, obogatena z adeninom. Tudi ta pojav se povezuje s prepoznavanjem DNA strukture skozi indirektni prepoznavni mehanizem. Prepoznavanje seveda ne temelji neposredno na zaporedju baz, pač pa se zazna zgolj ukrivljenost molekule. Tovrstni prepoznavni procesi bi lahko bili pomembni pri pred celičnih stadijih evolucije. Neorganske površine so pomagale pri določenih sintezah, hkrati pa so tudi spodbujala samoorganizacijo vedno bolj kompleksnih biostruktur. 11

12 Slika 9: Eksperimentalno izmerjena lokalna DNA ukrivljenost (AFM) vzdolž dimera sestavljenega iz DNA molekule Crithidia fasciculata. Segmenta sta povezana bodisi v smeri reprep (cela črta) ali glava-glava (črtkana črta). Upoštevajoč predznak lokalnih ukrivljenosti je mogoče določiti obliko dimerov (spodaj), ter tako določiti, s katero stranjo se dimer dotika površine silikatnega minerala. 4 Zaključek Molekula DNA ima poleg naloge shranjevanja (genetskih) informacij tudi številne druge lastnosti, ki se jih da koristiti. Komplementarnost nukleotidnih baz je mogoče izkoristiti za pomoč pri urejanju drugih, tudi neorganskih, struktur na nanoskali. Poleg tega je zelo pomembno tudi odkritje, da se DNA superstrukture lahko prepozna s pomočjo kristalnih površih. Slednje bi lahko vodilo do kompleksnega urejevanja nanostruktur, ki bi temeljile na gradnikih molekule DNA. V zadnjem času doživljajo vzpon tudi računalniki, ki namesto na siliciju temeljijo na organskih molekulah, tudi DNA. Takšni računalniki izvajajo račune vzporedno, kar pomeni krajši čas procesiranja in so, za določene specifične matematične probleme, že praktično uporabni. Uporabnost molekule DNA v nanotehnologiji je tako zelo razširjena in v zadnjem desetletju je bil zabeležen velik porast laboratorijev, ki raziskujejo na to temo. Literatura [1] citirano [2] citirano [3] B.Samori and G.Zuccheri, Angew. Chem. Int. Ed., 44, (2005). [4] C. Mao, W. Sun, N. C. Seeman, J. Am. Chem. Soc. 121, (1999). [5] C. A. Mirkin, R. L. Letsinger, R. C. Mucic, J. J. Storhoff, Nature 82, (1996). 12

13 [6] S. M. Elbashir, J. Harborth,W. Lendeckel, A. Yalcin, K.Weber, T. Tuschl, Nature, 411, (2001). [7] P. De Santis, A. Palleschi, M. Savino, A. Scipioni, Biophys. Chem. 32, (1988). [8] M. A. El Hassan, C. R. Calladine, Philos. Trans. R. Soc. London, 355, (1997). [9] T. Berge, N. S. Jenkins, R. B. Hopkirk, M. J. Waring, J. M. Edwardson, R. M. Henderson, Nucleic Acids Res., 30, (2002). [10] B. Sampaolese, A. Bergia, A. Scipioni, G. Zuccheri, M. Savino, B. Samor, P. De Santis, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 99, (2002). 13

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,

Διαβάστε περισσότερα

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2 Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a

Διαβάστε περισσότερα

Tretja vaja iz matematike 1

Tretja vaja iz matematike 1 Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma

Διαβάστε περισσότερα

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK 1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24

Διαβάστε περισσότερα

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena

Διαβάστε περισσότερα

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja

Διαβάστε περισσότερα

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor, Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,

Διαβάστε περισσότερα

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotni funkciji sinus in kosinus Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje

Διαβάστε περισσότερα

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM

Poglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s

Διαβάστε περισσότερα

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1 Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )

Διαβάστε περισσότερα

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.

Διαβάστε περισσότερα

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor

Διαβάστε περισσότερα

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij): 4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n

Διαβάστε περισσότερα

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12 Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola

Διαβάστε περισσότερα

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre

Διαβάστε περισσότερα

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost

Διαβάστε περισσότερα

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:

Διαβάστε περισσότερα

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu. Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.

Διαβάστε περισσότερα

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,

Διαβάστε περισσότερα

Kotne in krožne funkcije

Kotne in krožne funkcije Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete

Διαβάστε περισσότερα

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.

Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. 1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y

Διαβάστε περισσότερα

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.

Διαβάστε περισσότερα

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke

Διαβάστε περισσότερα

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d) Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2

Διαβάστε περισσότερα

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi

Διαβάστε περισσότερα

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva

Διαβάστε περισσότερα

vaja Izolacija kromosomske DNA iz vranice in hiperkromni efekt. DNA RNA Protein. ime deoksirbonukleinska kislina ribonukleinska kislina

vaja Izolacija kromosomske DNA iz vranice in hiperkromni efekt. DNA RNA Protein. ime deoksirbonukleinska kislina ribonukleinska kislina transkripcija translacija Protein 12. vaja Izolacija kromosomske iz vranice in hiperkromni efekt sladkorji deoksiriboza riboza glavna funkcija dolgoročno shranjevanje genetskih informacij prenos informacij

Διαβάστε περισσότερα

Nukleinske kisline. Nukleotidi. DNA je nosilka dednih genetskih informacij.

Nukleinske kisline. Nukleotidi. DNA je nosilka dednih genetskih informacij. Nukleinske kisline DNA je nosilka dednih genetskih informacij. RNA je posrednik, ki omogoča sintezo proteinov na osnovi zapisa na DNA. Nukleotidi Nukleinske kisline so polimeri nukleotidov. OH... RNA ribonukleinska

Διαβάστε περισσότερα

Osnove elektrotehnike uvod

Osnove elektrotehnike uvod Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.

Διαβάστε περισσότερα

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004

POROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Oddelek za konstrkcije Laboratorij za konstrkcije Ljbljana, 12.11.2012 POROČILO št.: P 1100/12 680 01 Presks jeklenih profilov za spščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Naročnik: STEEL

Διαβάστε περισσότερα

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1 Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni

Διαβάστε περισσότερα

8. Diskretni LTI sistemi

8. Diskretni LTI sistemi 8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z

Διαβάστε περισσότερα

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare

Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net

Διαβάστε περισσότερα

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU

MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU I FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Jadranska cesta 19 1000 Ljubljan Ljubljana, 25. marec 2011 MATEMATIČNI IZRAZI V MAFIRA WIKIJU KOMUNICIRANJE V MATEMATIKI Darja Celcer II KAZALO: 1 VSTAVLJANJE MATEMATIČNIH

Διαβάστε περισσότερα

- Geodetske točke in geodetske mreže

- Geodetske točke in geodetske mreže - Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano

Διαβάστε περισσότερα

GEL ELEKTROFOREZA. Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika. Avtorica: Tjaša Parkelj

GEL ELEKTROFOREZA. Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika. Avtorica: Tjaša Parkelj GEL ELEKTROFOREZA Seminar pri predmetu Molekularna Biofizika Avtorica: Tjaša Parkelj Povzetek: V tem seminarju bom predstavila fizikalno ozadje elektroforeze. Začela bom z opisom gibanja nabitega delca

Διαβάστε περισσότερα

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:

Διαβάστε περισσότερα

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II

Transformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.

Διαβάστε περισσότερα

PROCESIRANJE SIGNALOV

PROCESIRANJE SIGNALOV Rešive pisega izpia PROCESIRANJE SIGNALOV Daum: 7... aloga Kolikša je ampliuda reje harmoske kompoee arisaega periodičega sigala? f() - -3 - - 3 Rešiev: Časova fukcija a iervalu ( /,/) je lieara fukcija:

Διαβάστε περισσότερα

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...

1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka

UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET SIGNALI I SISTEMI. Zbirka zadataka UNIVERZITET U NIŠU ELEKTRONSKI FAKULTET Goran Stančić SIGNALI I SISTEMI Zbirka zadataka NIŠ, 014. Sadržaj 1 Konvolucija Literatura 11 Indeks pojmova 11 3 4 Sadržaj 1 Konvolucija Zadatak 1. Odrediti konvoluciju

Διαβάστε περισσότερα

Osnove matematične analize 2016/17

Osnove matematične analize 2016/17 Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja

Διαβάστε περισσότερα

Fazni diagram binarne tekočine

Fazni diagram binarne tekočine Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Praktična Matematika-VSŠ(BO) Komuniciranje v matematiki SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x) Avtorica: Špela Marinčič Ljubljana, maj 2011 KAZALO: 1.Uvod...1 2.

Διαβάστε περισσότερα

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA. Naj bo vektorsko polje R : R 3 R 3 dano s predpisom R(x, y, z) = (2x 2 + z 2, xy + 2yz, z). Izračunaj pretok polja R skozi površino torusa

Διαβάστε περισσότερα

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov

vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov. 6. vaja Kvan*ta*vno določanje proteinov 28. 3. 11 UV- spektrofotometrija Biuretska metoda Absorbanca pri λ=28 nm (A28) UV- spektrofotometrija Biuretska metoda vstopni žarek intenziteta I Lowrijeva metoda Bradfordova metoda Bradfordova metoda

Διαβάστε περισσότερα

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega Izeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega 1. Najosnovnejše o konveksnih funkcijah Definicija. Naj bo X vektorski rostor in D X konveksna množica. Funkcija ϕ: D R je konveksna,

Διαβάστε περισσότερα

1. Trikotniki hitrosti

1. Trikotniki hitrosti . Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca

Διαβάστε περισσότερα

Pripravili: Ana Bernard in Eva Srečnik Dopolnil: Matic Dolinar

Pripravili: Ana Bernard in Eva Srečnik Dopolnil: Matic Dolinar Pripravili: Ana Bernard in Eva Srečnik Dopolnil: Matic Dolinar Študijsko leto 2011/2012 KAZALO: 1. UVOD V BIOKEMIJO 2. PRENOS BIOLOŠKIH INFORMACIJ: CELIČNA KOMUNIKACIJA 3. BIOLOŠKE MOLEKULE V VODI 4. AMINOKISLINE,

Διαβάστε περισσότερα

Splošno o interpolaciji

Splošno o interpolaciji Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo

Διαβάστε περισσότερα

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk )

1. VAJA IZ TRDNOSTI. (linearna algebra - ponovitev, Kroneckerjev δ i j, permutacijski simbol e i jk ) VAJA IZ TRDNOSTI (lnearna algebra - ponovtev, Kroneckerev δ, permutacsk smbol e k ) NALOGA : Zapš vektor a = [, 2,5,] kot lnearno kombnaco vektorev e = [,,,], e 2 = [,2,3,], e 3 = [2,,, ] n e 4 = [,,,]

Διαβάστε περισσότερα

VEKTORJI. Operacije z vektorji

VEKTORJI. Operacije z vektorji VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,

Διαβάστε περισσότερα

Afina in projektivna geometrija

Afina in projektivna geometrija fina in projektivna geometrija tožnice () kiciraj stožnico v evklidski ravnini R, ki je določena z enačbo 6 3 8 + 6 =. Rešitev: tožnica v evklidski ravnini je krivulja, ki jo določa enačba a + b + c +

Διαβάστε περισσότερα

Vaje: Električni tokovi

Vaje: Električni tokovi Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil. Zaporedja števil V matematiki in fiziki pogosto operiramo s približnimi vrednostmi neke količine. Pri numeričnemu računanju lahko npr. število π aproksimiramo s števili, ki imajo samo končno mnogo neničelnih

Διαβάστε περισσότερα

Primeri: naftalen kinolin spojeni kinolin

Primeri: naftalen kinolin spojeni kinolin Primeri: naftalen kinolin spojeni kinolin 3 skupne strani 7 skupnih strani 5 skupnih strani 6 skupnih atomov 8 skupnih atomov 6 skupnih atomov orto spojen sistem orto in peri spojena sistema mostni kinolin

Διαβάστε περισσότερα

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ

1. TVORBA ŠIBKEGA (SIGMATNEGA) AORISTA: Največ grških glagolov ima tako imenovani šibki (sigmatni) aorist. Osnova se tvori s. γραψ TVORBA AORISTA: Grški aorist (dovršnik) izraža dovršno dejanje; v indikativu izraža poleg dovršnosti tudi preteklost. Za razliko od prezenta ima aorist posebne aktivne, medialne in pasivne oblike. Pri

Διαβάστε περισσότερα

DNA in RNA: zgradba in vloga. Velika predavalnica IJS,

DNA in RNA: zgradba in vloga. Velika predavalnica IJS, DNA in RNA: zgradba in vloga Velika predavalnica IJS, 10. 4. 2014 Nukleinske kisline Shranjevanje, prenašanje in izražanje genetske informacije. Dve vrsti nukleinskih kislin: deoksiribonukleinska kislina

Διαβάστε περισσότερα

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9

MERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9 .cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti

Διαβάστε περισσότερα

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013 Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:

Διαβάστε περισσότερα

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov Analiza signalov prof. France Mihelič Vpliv postopka daljšanja periode na spekter periodičnega signala Opazujmo družino sodih periodičnih pravokotnih impulzov

Διαβάστε περισσότερα

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ. Preslikave med množicami Funkcija ali preslikava med dvema množicama A in B je predpis f, ki vsakemu elementu x množice A priredi natanko določen element y množice B. Važno

Διαβάστε περισσότερα

diferencialne enačbe - nadaljevanje

diferencialne enačbe - nadaljevanje 12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne

Διαβάστε περισσότερα

vezani ekstremi funkcij

vezani ekstremi funkcij 11. vaja iz Matematike 2 (UNI) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 ekstremi funkcij več spremenljivk nadaljevanje vezani ekstremi funkcij Dana je funkcija f(x, y). Zanimajo nas ekstremi nad

Διαβάστε περισσότερα

1 Fibonaccijeva stevila

1 Fibonaccijeva stevila 1 Fibonaccijeva stevila Fibonaccijevo število F n, kjer je n N, lahko definiramo kot število načinov zapisa števila n kot vsoto sumandov, enakih 1 ali Na primer, število 4 lahko zapišemo v obliki naslednjih

Διαβάστε περισσότερα

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti Poglavje VII Linearne preslikave V tem poglavju bomo vektorske prostore označevali z U,V,W,... Vsi vektorski prostori bodo končnorazsežni. Zaradi enostavnosti bomo privzeli, da je pripadajoči obseg realnih

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta Matematika Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta 6. november 200 Poglavje 2 Zaporedja in številske vrste 2. Zaporedja 2.. Uvod Definicija 2... Zaporedje (a n ) = a, a 2,..., a n,... je predpis,

Διαβάστε περισσότερα

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1 Mtemtik 1 Gregor Dolinr Fkultet z elektrotehniko Univerz v Ljubljni 2. jnur 2014 Gregor Dolinr Mtemtik 1 Izrek (Izrek o povprečni vrednosti) Nj bo m ntnčn spodnj mej in M ntnčn zgornj mej integrbilne funkcije

Διαβάστε περισσότερα

17. Električni dipol

17. Električni dipol 17 Električni dipol Vsebina poglavja: polarizacija prevodnika (snovi) v električnem polju, električni dipolni moment, polarne in nepolarne snovi, dipol v homogenem in nehomogenem polju, potencial in polje

Διαβάστε περισσότερα

Analiza'3D'struktur'makromolekul'in' modeliranje'

Analiza'3D'struktur'makromolekul'in' modeliranje' Univerza'v'Ljubljani,'Fakulteta'za'kemijo'in'kemijsko'tehnologijo' Univerzitetni%študijski%program%Biokemija,%2.%letnik,%študijsko%leto%2013/2014% Analiza'3D'struktur'makromolekul'in' modeliranje' Miha%Pavšič%

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo IZVODI ZADACI ( IV deo) LOGARITAMSKI IZVOD Logariamskim izvodom funkcije f(), gde je >0 i, nazivamo izvod logarima e funkcije, o jes: (ln ) f ( ) f ( ) Primer. Nadji izvod funkcije Najpre ćemo logarimovai

Διαβάστε περισσότερα

Nukleinske kisline. ribosomska informacijska prenašalna

Nukleinske kisline. ribosomska informacijska prenašalna Nukleinske kisline Nukleinske kisline vloga pri shranjevanju, prenašanju in izražanju genetske informacije: DNA RNA proteini zgradba in delovanje celice 2 osnovni vrsti nukleinskih kislin: deoksiribonukleinska

Διαβάστε περισσότερα

Biokemija I, 25. predavanje 1. del, , A. Videtič Paska. Proteini - splošno

Biokemija I, 25. predavanje 1. del, , A. Videtič Paska. Proteini - splošno Biokemija I, 25. predavanje 1. del, 16. 4. 2012, A. Videtič Paska Proteini - splošno Razdelitev po strukturi in funkciji. Ravni proteinske strukture: - primarna in - sekundarna struktura Sinteza proteinov

Διαβάστε περισσότερα

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70

+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70 KAIFLEX ST Tehnični podatki Material Izjemno fleksibilna zaprtocelična izolacija, fleksibilna elastomerna pena (FEF) Opis Uporaba Temperaturno območje Toplotna prevodnost W/(m K ) pri različnih srednjih

Διαβάστε περισσότερα

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih. TRIGONOMETRIJA (A) Merske enote KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA stopinja [ ] radian [rad] 80 80 0. Izrazi kot v radianih. 0 90 5 0 0 70. Izrazi kot v stopinjah. 5 8 5 (B) Definicija kotnih funkcij

Διαβάστε περισσότερα

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.

3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z. 3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti

Διαβάστε περισσότερα

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor

Διαβάστε περισσότερα

IZVODI ZADACI (I deo)

IZVODI ZADACI (I deo) IZVODI ZADACI (I deo) Najpre da se podsetimo tablice i osnovnih pravila:. C`=0. `=. ( )`= 4. ( n )`=n n-. (a )`=a lna 6. (e )`=e 7. (log a )`= 8. (ln)`= ` ln a (>0) 9. = ( 0) 0. `= (>0) (ovde je >0 i a

Διαβάστε περισσότερα

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25

CM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή

Διαβάστε περισσότερα

( , 2. kolokvij)

( , 2. kolokvij) A MATEMATIKA (0..20., 2. kolokvij). Zadana je funkcija y = cos 3 () 2e 2. (a) Odredite dy. (b) Koliki je nagib grafa te funkcije za = 0. (a) zadanu implicitno s 3 + 2 y = sin y, (b) zadanu parametarski

Διαβάστε περισσότερα

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji

Vaje iz MATEMATIKE 2. Vektorji Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol. l. 06/7 Vaje iz MATEMATIKE. Vektorji Vektorji: Definicija: Vektor je usmerjena daljica. Oznake: AB, a,... Enakost vektorjev: AB = CD: če lahko vektor AB vzporedno premaknemo

Διαβάστε περισσότερα

1 Uvod v biokemijo. Slika. Nekakj spoznanj s področja biokemije.

1 Uvod v biokemijo. Slika. Nekakj spoznanj s področja biokemije. Univerza na Primorskem, Fakulteta za vede o zdravju Prehransko svetovanje - dietetika, 1. stopenjski študij Predmet: Biokemija, 1. letnik Avtorica: Doc. dr. Zala Jenko Pražnikar 1 Uvod v biokemijo Biokemijo

Διαβάστε περισσότερα

Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem

Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem Laboratorijska vaja št. 5: Varjenje polimerov s polprevodniškim laserjem Laserski sistemi - Laboratorijske vaje 1 Namen vaje Spoznati polprevodniške laserje visokih moči Osvojiti osnove laserskega varjenja

Διαβάστε περισσότερα

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Dragi polinom, kje so tvoje ničle? 1 Dragi polinom, kje so tvoje ničle? Vito Vitrih FAMNIT - Izlet v matematično vesolje 17. december 2010 Polinomi: 2 Polinom stopnje n je funkcija p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 +... + a 1 x + a 0, a i R.

Διαβάστε περισσότερα

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri

Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri Betonske konstrukcije 1 - vežbe 3 - Veliki ekscentricitet -Dodatni primeri 1 1 Zadatak 1b Čisto savijanje - vezano dimenzionisanje Odrediti potrebnu površinu armature za presek poznatih dimenzija, pravougaonog

Διαβάστε περισσότερα

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze

SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura

Διαβάστε περισσότερα

Periodičke izmjenične veličine

Periodičke izmjenične veličine EHNČK FAKULE SVEUČLŠA U RJEC Zavod za elekroenergeiku Sudij: Preddiploski sručni sudij elekroehnike Kolegij: Osnove elekroehnike Nosielj kolegija: Branka Dobraš Periodičke izjenične veličine Osnove elekroehnike

Διαβάστε περισσότερα

The Thermal Comfort Properties of Reusable and Disposable Surgical Gown Fabrics Original Scientific Paper

The Thermal Comfort Properties of Reusable and Disposable Surgical Gown Fabrics Original Scientific Paper 24 The Thermal Comfort Properties of Surgical Gown Fabrics 1 1 2 1 2 Termofiziološke lastnosti udobnosti kirurških oblačil za enkratno in večkratno uporabo december 2008 marec 2009 Izvleček Kirurška oblačila

Διαβάστε περισσότερα

ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM

ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM Kemijske lastnosti elementov se periodično spreminjajo z naraščajočo relativno atomsko maso oziroma kot vemo danes z naraščajočim vrstnim številom. Dmitrij I. Mendeljejev,

Διαβάστε περισσότερα

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA 29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,

Διαβάστε περισσότερα

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek.

Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni izrek. DN#3 (januar 2018) 3A Teme, ki jih preverja domača naloga: Kotne funkcije poljubnega kota. Osnovne zveze med funkcijamo istega kota. Uporaba kotnih funkcij v poljubnem trikotniku. Kosinusni in sinusni

Διαβάστε περισσότερα

Osnove sklepne statistike

Osnove sklepne statistike Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja

Διαβάστε περισσότερα

Funkcije več spremenljivk

Funkcije več spremenljivk DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije

Διαβάστε περισσότερα

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23. Ime in priimek: Vpisna št: FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost. kolokvij 3. januar 08 Navodila Pazljivo preberite besedilo naloge, preden se lotite reševanja. Nalog je 6,

Διαβάστε περισσότερα

18. listopada listopada / 13

18. listopada listopada / 13 18. listopada 2016. 18. listopada 2016. 1 / 13 Neprekidne funkcije Važnu klasu funkcija tvore neprekidne funkcije. To su funkcije f kod kojih mala promjena u nezavisnoj varijabli x uzrokuje malu promjenu

Διαβάστε περισσότερα