ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
|
|
- Βασίλης Παπαντωνίου
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ
2 Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (N. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας. Aπαγορεύεται απολύτως άνευ γραπτής αδείας του εκδότη η κατά οποιονδήποτε τρόπο ή μέσο (ηλεκτρονικό, μηχανικό ή άλλο) αντιγραφή, φωτοανατύπωση και εν γένει αναπαραγωγή, εκμίσθωση ή δανεισμός, μετάφραση, διασκευή, αναμετάδοση στο κοινό σε οποιαδήποτε μορφή και η εν γένει εκμετάλλευση του συνόλουή μέρους του έργου. Εκδόσεις Πατάκη Θετικές επιστήμες Beppo Levi, Διαβάζοντας τον Ευκλείδη Τίτλος πρωτοτύπου: Leyendo a Eyclides Mετάφραση: Ανδρέας Μιχαηλίδης Πρόλογος-Επιμέλεια: Τεύκρος Μιχαηλίδης Yπεύθυνος εκδοτικού τμήματος: Kώστας Γιαννόπουλος Διορθώσεις: Ευαγγελία Σίντου Σελιδοποίηση: Aλέξιος Δ. Mάστορης Φιλμ-μοντάζ: Μαρία Ποινιού Ρένεση Copyright Libros del Zorzal, 2000 Copyright Agone, 2003 for the French translation (En lisant Euclide) Leyendo a Euclides was originally published in Spanish in This translation is published by arrangement with Libros del Zorzal, info@delzorzal.com. Copyright για την ελληνική γλώσσα, Σ. Πατάκης AEΕΔΕ (Eκδόσεις Πατάκη), 2009 Πρώτη έκδοση στην ισπανική γλώσσα από τις εκδόσεις Libros del Zorzal, Μπουένος Άιρες, 2000 Πρώτη έκδοση στην ελληνική γλώσσα από τις Eκδόσεις Πατάκη, Aθήνα, Μάρτιος 2014 Κ.Ε.Τ Κ.Ε.Π. 119/14 ISBN: ΠANAΓH TΣAΛΔAPH (ΠPΩHN ΠEIPAIΩΣ) 38, AΘHNA ΤΗΛ.: , , ΦAΞ: ΚΕNΤΡΙΚΗ ΔΙΑΘΕΣΗ: ΕΜΜ. ΜΠΕNΑΚΗ 16, ΑΘΗNΑ, ΤΗΛ.: ΥΠOΚATAΣTHΜΑ: KOPYTΣAΣ (TEPMA ΠONTOY ΠEPIOXH Β ΚTEO), T.Θ. 1213, KAΛOXΩPI ΘΕΣΣΑΛONΙΚΗΣ, ΤΗΛ.: , ΦAΞ: Web site: info@patakis.gr, sales@patakis.gr
3 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ Ανδρέας Μιχαηλίδης ΠΡΟΛΟΓΟΣ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ Τεύκρος Μιχαηλίδης ΠΡΟΛΟΓΟΣ ΣΤΗ ΓΑΛΛΙΚΗ ΕΚΔΟΣΗ Leopoldo Kulesz ΣΗΜΕΙΩΜΑ ΝΕΑΣ ΕΚΔΟΣΗΣ Laura Levi
4 Επειδή ο συγγραφέας έχει ενσωματώσει στην επιχειρηματολογία του αρκετά ελεύθερες μεταφράσεις αποσπασμάτων του Πλάτωνα, αναπαράγουμε σε υποσημείωση δόκιμες, ακριβείς μεταφράσεις των αντίστοιχων κειμένων στα νέα ελληνικά: Πολιτεία, μετάφραση με εισαγωγή και σχόλια του Ν. Μ. Σκουτερόπουλου, εκδόσεις Πόλις, Θεαίτητος, μετάφραση με εισαγωγή και σχόλια του Β. Τατάκη, εκδόσεις Ι. Ζαχαρόπουλος. Μένων, μετάφραση με εισαγωγή και σχόλια του Ι. Πετράκη, εκδόσεις Πόλις, 2008.
5 ΠEPIEXOMENA Διαβάζοντας τον Ευκλείδη στην Ελλάδα του 21ου αιώνα Τεύκρος Μιχαηλίδης Γιατί Ευκλείδης; Leopoldo Kulesz Σημείωμα νέας έκδοσης Laura Levi Πρόλογος Beppo Levi Η γεωμετρία και η σωκρατική σκέψη Διαβάζοντας τον Ευκλείδη Ι. Ορισμοί, αιτήματα, κοινές έννοιες. Η θεωρία της ισότητας ΙI. Το άθροισμα των γωνιών του τριγώνου και το πέμπτο αίτημα ΙII. H γεωμετρική άλγεβρα και η θεωρία των αναλογιών ΙV. Η μέθοδος της εξάντλησης V. Τα αριθμητικά βιβλία Σημειώσεις Βιβλιογραφικό σημείωμα Κατάλογος προτάσεων από τα Στοιχεία που σχολιάζονται στο βιβλίο
6 ΤΕΥΚΡΟΣ ΜΙΧΑΗΛΙΔΗΣ Διαβάζοντας τον Ευκλείδη στην Ελλάδα του 21ου αιώνα Τα Στοιχεία του Ευκλείδη είναι το αρχαιότερο σωζόμενο ολοκληρωμένο επιστημονικό σύγγραμμα. Σήμερα, χρόνια μετά τη συγγραφή του, εξακολουθεί να αποτελεί το αδιαμφισβήτητο πρότυπο γραφής μαθηματικού, αν όχι και γενικότερα επιστημονικού, κειμένου. Η αξιωματική-παραγωγική μέθοδος δεν έχει ποτέ υποκατασταθεί από κάτι άλλο, ούτε φαίνεται στο ορατό μέλλον κάποια τέτοια προοπτική υποκατάστασης. Αναμφίβολα εκφράστηκαν στο παρελθόν και εξακολουθούν να εκφράζονται διαφορετικές αντιλήψεις ως προς το τι είδους προτάσεις είναι θεμιτό να επιλέγονται ως αξιώματα, ποια είναι η διαδικασία νομιμοποίησης μιας συγκεκριμένης επιλογής αξιωματικού συστήματος, ποιες κατασκευές και ποιες αποδείξεις υπάρξεως είναι αποδεκτές, ακόμα και ποιες μέθοδοι απόδειξης είναι επιτρεπτές. Η βασική δομή, όμως, παρέμεινε πάντοτε η ίδια: Επιλογή ενός συστήματος αξιωμάτων. Επιλογή και διαμόρφωση ενός ιστού θεμελιωδών προτάσεων που αποτελούν τη ραχοκοκαλιά της θεωρίας και στις οποίες αναφέρονται για τη λύση τους όλα τα προβλήματα που διατυπώνονται στα πλαίσιά της. Απόδειξη των παραπάνω θεωρημάτων με βάση τους
7 10 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ αριστοτελικούς κανόνες συναγωγής και με επίκληση, για το καθένα, αποκλειστικά των αξιωμάτων και των θεωρημάτων που η απόδειξή τους έχει προηγηθεί. Και μόνη της η διαπίστωση της οικουμενικότητας του ευκλείδειου προτύπου θα αποτελούσε επαρκές κίνητρο για να διαβάσει κανείς τα Στοιχεία. Ωστόσο, υπάρχουν και πολλοί ακόμη λόγοι: Η Ευκλείδεια γεωμετρία, μας λέει ο μεγάλος Γάλλος μαθηματικός του εικοστού αιώνα René Thom, είναι το πρώτο παράδειγμα μεταγραφής μιας διαδικασίας αναφερόμενης σε δισδιάστατο ή τρισδιάστατο χώρο, στη μονοδιάστατη γλώσσα της γραφής. Αυτή τη μεταγραφή, με πολύ πιο χαλαρό και άτυπο τρόπο, την κάνουμε διαρκώς με τις προφορικές ή γραπτές περιγραφές και αφηγήσεις μέσω των οποίων επικοινωνούμε. Η Ευκλείδεια γεωμετρία είναι λοιπόν μια αυστηρή και ακριβής τυποποίηση του επικοινωνιακού μας κώδικα και αποτελεί κατά κάποιον τρόπο τον διαμεσολαβητή, μοναδικό και αναντικατάστατο, ανάμεσα στην καθημερινή μας γλώσσα και τον μαθηματικό φορμαλισμό. Στην αδιάκοπη προσπάθεια να κατανοήσουμε τον κόσμο γύρω μας, βιώνουμε καθημερινά, μεταξύ άλλων, τον ανταγωνισμό ανάμεσα στο διακριτό και το συνεχές. Η αριθμητική είναι αυτή που μας δίνει τη διαισθητική αντίληψη του διακριτού. Η απαρίθμηση, ο προγραμματισμός και ο απολογισμός ενεργειών είναι δραστηριότητες που βασίζονται με φυσικό τρόπο στην έννοια του διακριτού και άπτονται όλες της αριθμητικής. Αντίθετα, η παρατήρηση του χώρου, η χάραξη, η τοποθέτηση πραγματική ή νοητή επιφανειών και όγκων μέσα σε αυτόν επικαλούνται την αίσθηση του συνεχούς και αναφέρονται στη γεωμετρία.
8 ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΤΟΥ 21ου ΑΙΩΝΑ 11 Όπως απέδειξε με τα περίφημα παράδοξά του ο Ζήνων ο Ελεάτης, καμιά από τις δύο έννοιες δεν είναι σε θέση να περιγράψει από μόνη της με ορθολογικό τρόπο τον κόσμο. Τέσσερα από τα περίπου σαράντα παράδοξα του Ζήνωνα διέσωσε για χάρη μας ο Αριστοτέλης και μέσω αυτών καταδεικνύεται ότι μια επιφανειακή και μεμονωμένη αποδοχή, είτε του συνεχούς είτε του διακριτού, δεν μπορεί να είναι ορθολογική. Είναι χαρακτηριστικό ότι, από τα τέσσερα σωζόμενα παράδοξα, τα δύο καταδεικνύουν τη μη ορθολογική φύση του συνεχούς και τα άλλα δύο την αντίστοιχη του διακριτού. Άλλωστε, η κρίση της ασυμμετρίας που δημιουργήθηκε με την ανακάλυψη της ύπαρξης ομοειδών μεγεθών όπως η πλευρά και η διαγώνιος του τετραγώνου που δεν μπορούν να μετρηθούν με την ίδια μονάδα μετρήσεως, είναι και αυτή μια έκφραση της ανεπάρκειας των εννοιών του διακριτού και του συνεχούς τουλάχιστον στην απλοϊκή εκδοχή τους για την περιγραφή του φυσικού κόσμου. Τα Στοιχεία του Ευκλείδη αποτελούν την πρώτη, στην ιστορία των ιδεών, ολοκληρωμένη, αυστηρά θεωρητική περιγραφή αυτών των δύο εννοιών, αποδίδοντας «τα του Καίσαρος τω Καίσαρει». Οι έννοιες του μεγέθους και του αριθμού, συναφείς αλλά όχι ταυτιζόμενες, αναλύονται κατά τρόπο που να ξεκαθαρίζει πότε μπορεί η μία να υποκαταστήσει την άλλη και πότε η διαφοροποίησή τους είναι ουσιώδης. Η διάκριση ανάμεσα στον λόγο γεωμετρικών μεγεθών και τον λόγο αριθμών αναδεικνύει το βάθος της σκέψης που γεννήθηκε από τους Ίωνες και τους πυθαγόρειους φιλοσόφους και καλλιεργήθηκε στην Ακαδημία του Πλάτωνα και το Λύκειο του Αριστοτέλη.
9 12 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Ο Ευκλείδης κληρονόμησε το μεγαλειώδες έργο του Θαλή, του Πυθαγόρα, του Ιπποκράτη του Χίου, του Θεαίτητου και του Ευδόξου το επεξεργάστηκε, το διαμόρφωσε, του προσέδωσε μια ενιαία δομή και το κληροδότησε σε μας. Ουδέποτε υπήρξε και μέχρι να το δούμε ποτέ δεν πρόκειται να πιστέψουμε ότι μπορεί να υπάρξει, ένα άξιο λόγου σύστημα γεωμετρίας που να αποκλίνει ουσιαστικά (και δεν εννοούμε διορθώσεις, επεκτάσεις ή εξελίξεις) από το πλάνο που διαμόρφωσε ο Ευκλείδης, έγραψε το 1848 ο Augustus De Morgan. Εξήντα χρόνια αργότερα ο Thomas Little Heath έσπευσε να υιοθετήσει και αυτός την ίδια θέση, που πιστεύω πως εξακολουθεί να ισχύει και σήμερα. Πράγματι, τα Στοιχεία είναι, ίσως, το μαθηματικό βιβλίο που μελετήθηκε περισσότερο από οποιοδήποτε άλλο. Το απόσταγμα των μελετών, ερευνών, διορθώσεων και αμφισβητήσεων που διατυπώθηκαν για περισσότερες από δύο χιλιετίες αποτυπώθηκε στο Grundlagen der Geometrie (Θεμέλια της γεωμετρίας) του David Hilbert. Ωστόσο, ακριβώς όπως αναφέρει ο de Morgan, πρόκειται για διορθώσεις και επεκτάσεις που δεν αποκλίνουν ουσιαστικά από το πλάνο του Ευκλείδη. Ανάλογη δουλειά έκανε και ο Richard Dedekind στην αριθμητική όμως το πλάνο και της δικής του εργασίας είναι αυτό που σκιαγραφείται στα Στοιχεία και που οι μελετητές αποδίδουν σε πρωτογενή εργασία του Ευδόξου. Στα τέλη του δέκατου ένατου αιώνα αναπτύχθηκαν οι λεγόμενες μη ευκλείδειες γεωμετρίες. Καθώς όμως καθεμιά από αυτές προέκυψε από τη μερική άρνηση ή τροποποίηση κάποιου ευκλείδειου αιτήματος, θα πρέπει να χα-
10 ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΤΟΥ 21ου ΑΙΩΝΑ 13 ρακτηριστούν ως εξελίξεις στο πλάνο του Ευκλείδη και, συνεπώς, εντάσσονται στην περιγραφή του De Morgan. Αξίζει, λοιπόν, όχι μόνο οι μαθηματικοί αλλά και όσοι ενδιαφέρονται γενικότερα για την ιστορία των ιδεών να μελετήσουν τα Στοιχεία. Μόνο που, χρόνια μετά τη συγγραφή τους, κάτι τέτοιο είναι αρκετά δύσκολο χωρίς κάποια βοήθεια. Μπορεί οι έννοιες να παρέμειναν οι ίδιες, άλλαξαν όμως η γλώσσα (και δεν εννοούμε απλώς τη μετάβαση από τα αρχαία ελληνικά στις σύγχρονες γλώσσες), η διατύπωση, ο συμβολισμός. Το ανά χείρας βιβλίο του Beppo Levi είναι λοιπόν, κατά τη γνώμη μου, ένας απαραίτητος οδηγός, ένας πολύτιμος σύντροφος στην ανάγνωση του Ευκλείδη. Ωστόσο, είναι γραμμένο με τέτοιο τρόπο που θα μπορούσε να διαβαστεί και ανεξάρτητα, προσφέροντας στον αναγνώστη πολύτιμες και ουσιαστικές πληροφορίες και ιδέες. Ερευνητής μαθηματικός πρώτης γραμμής, ο Beppo Levi είναι κυρίως γνωστός για το λήμμα που φέρει το όνομά του και αναφέρεται στα ολοκληρώματα μονότονων ακολουθιών συναρτήσεων. Είχε, ωστόσο, σημαντική συνεισφορά τόσο στη θεμελίωση της θεωρίας των συνόλων όσο και στη μελέτη των αλγεβρικών επιφανειών. Ο Levi γεννήθηκε στο Τορίνο το Σπούδασε όπως και ο μικρότερος αδελφός του Eugenio Elia που σκοτώθηκε στον Α Παγκόσμιο Πόλεμο μαθηματικά στο Πανεπιστήμιο του Τορίνο, απ όπου έλαβε το διδακτορικό του σε ηλικία 21 ετών. Δίδαξε σε διάφορα ιταλικά πανεπιστήμια πριν καταλήξει το 1928 στο φημισμένο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια. Με την εφαρμογή των ρατσιστικών νόμων του φασιστικού καθεστώτος του Μουσολίνι ο Levi έχασε το 1939 τη θέση του στο πανεπιστήμιο και ανα-
11 14 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ γκάστηκε να μεταναστεύσει στην Αργεντινή. Εκεί διορίστηκε στο Πανεπιστήμιο Universidad Nacional del Litoral, όπου τέθηκε επικεφαλής του Μαθηματικού Ινστιτούτου. Πέθανε το 1961 στην Αργεντινή, σε ηλικία 86 ετών. Ο Levi έγραψε το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη το 1947 απευθυνόμενος, όπως αναφέρει και ο ίδιος στον πρόλογό του, στο ευρύ αναγνωστικό κοινό. Πράγματι, το μόνο που απαιτείται για να διαβαστεί είναι το ενδιαφέρον για την ιστορία και τη φιλοσοφία της επιστήμης και μαθηματικές γνώσεις που δεν ξεπερνούν αυτές της τρίτης Γυμνασίου. Παρ όλα αυτά το έργο παρέμεινε στην αφάνεια επί πενήντα χρόνια. Πρόσφατα, με τη φροντίδα της κόρης του Laura, κυκλοφόρησε πρώτα στα ισπανικά και στη συνέχεια στα γαλλικά. Ο Levi εκτός από ερευνητής μαθηματικός ήταν εξαιρετικός δάσκαλος και άνθρωπος με ευρύτατη μόρφωση. Στο Διαβάζοντας τον Ευκλείδη συνδυάστηκαν και οι τρεις αυτές ιδιότητές του με αποτέλεσμα ένα ευανάγνωστο και ταυτόχρονα βαθύ και διεισδυτικό πόνημα. Πρόκειται για ένα εξαιρετικά πρωτότυπο έργο που, ενώ αποτελεί την ιδανική εισαγωγή στο σύγγραμμα του Ευκλείδη, έχει να προσφέρει πολλές καινοτόμες ιδέες ακόμα και στον έμπειρο μελετητή. Ιδιαίτερα χρήσιμο θα φανεί το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη στον εκπαιδευτικό τόσο της μέσης όσο και της ανώτατης εκπαίδευσης. Παρόλο που τα τελευταία χρόνια το μερίδιο της γεωμετρίας στα αναλυτικά προγράμματα έχει συρρικνωθεί σημαντικά, η γεωμετρία παραμένει το σημαντικότερο εργαλείο προσέγγισης της μαθηματικής διαδικασίας. Αν αποδεχθούμε ότι η ουσία των μαθηματικών είναι η απόδειξη, η γεωμετρία αποτελεί το
12 ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ΣΤΗΝ ΕΛΛΑΔΑ ΤΟΥ 21ου ΑΙΩΝΑ 15 καταλληλότερο εργαλείο για την παρουσίασή της. Στα γεωμετρικά προβλήματα ο μαθητής μπορεί εύκολα να μάθει να ξεχωρίζει την υπόθεση (το δεδομένο) από το συμπέρασμα (το αποτέλεσμα που ζητείται να αποδειχθεί). Μπορεί να ασκηθεί στη διάκριση της απλής συνεπαγωγής από την ισοδυναμία (π.χ. αν ένα τετράπλευρο έχει όλες του τις γωνίες ορθές, είναι παραλληλόγραμμο, ενώ το αντίστροφο δεν ισχύει), ενώ από τον πλούτο των εύκολα προσιτών αντιπαραδειγμάτων μπορεί να αντλήσει πολλές χρήσιμες εμπειρίες. Ακόμα, η γεωμετρία, όπως εξηγήσαμε και πιο πάνω, αποτελεί ένα εξαιρετικό εργαλείο για τη μελέτη της γλώσσας, κάτι που δεν είναι αμελητέο ακόμα και για τους μαθητές που στα ενδιαφέροντά τους δεν περιλαμβάνονται τα μαθηματικά. Το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη μπορεί να διαβαστεί άνετα και πολύ ευχάριστα μόνο του, μπορεί όμως και να χρησιμεύσει ως οδηγός για τη μελέτη των ίδιων των Στοιχείων. Τα δυο του μέρη, παρόλο που αλληλοσυμπληρώνονται κατά τρόπο θαυμαστό, μπορούν να διαβαστούν και ανεξάρτητα. Το πρώτο, «Η γεωμετρία και η Σωκρατική σκέψη», εντάσσει το εγχείρημα του Ευκλείδη στο ευρύτερο πνευματικό και φιλοσοφικό κλίμα της εποχής. Ο Levi αναλύει με ιδιαίτερη οξυδέρκεια αποσπάσματα από Πλατωνικούς διαλόγους και συνδυάζοντάς τα με ιστορικά στοιχεία μάς εξηγεί πώς το έργο του Ευκλείδη υπήρξε στην ουσία το προϊόν ερευνών και προβληματισμών των δυο αιώνων που προηγήθηκαν. Το δεύτερο μέρος αναλύει ένα προς ένα τα βασικά δομικά στοιχεία του έργου αποφεύγοντας τις τεχνικές λεπτομέρειες, όπου αυτές δεν παίζουν καθοριστικό ρόλο στην ανάδειξη των βασικών ποιοτικών στοιχείων του βιβλίου.
13 16 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ Αν και ηλικίας άνω των εξήντα ετών, το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη δεν έχει χάσει τίποτα από το νεανικό του σφρίγος. Γλαφυρό, ζωντανό, αναλυτικό όπου χρειάζεται, αλλά και εξαιρετικά επιδέξιο στο να παρακάμπτει τα τετριμμένα και επουσιώδη, είναι ένα έργο χρήσιμο όσο και ευχάριστο. Σεπτέμβρης 2010
14 LEOPOLDO KULESZ Γιατί Ευκλείδης; Το 1999, έναν χρόνο μετά την υποστήριξη της διδακτορικής διατριβής μου στα θεωρητικά μαθηματικά και συγκεκριμένα στη θεωρία αριθμών, διορίστηκα διευθυντής του Ινστιτούτου Εκπαίδευσης Καθηγητών Μαθηματικών στο Πανεπιστήμιο General Sarmiento της Αργεντινής. Στην προσπάθειά της να εκπονήσει ένα πρόγραμμα ενδεδειγμένο για την εκπαίδευση των μελλοντικών καθηγητών μαθηματικών, η ομάδα μας αποφάσισε να επισκεφθεί τα λύκεια της περιοχής για να συζητήσει με τους εκπαιδευτικούς και να μελετήσει σε βάθος τα σχολικά εγχειρίδια και τη διαθέσιμη βιβλιογραφία. Έτσι, διαπιστώσαμε ότι, όσον αφορά στη γεωμετρία, η διδακτέα ύλη της δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης περιεχόταν κατά βάση στα τέσσερα πρώτα βιβλία των Στοιχείων του Ευκλείδη. Δυστυχώς, η σκέψη και οι μέθοδοι του μεγάλου Έλληνα μαθηματικού παρουσιάζονταν με τρόπο συγκεχυμένο και συχνά παραποιημένο, κάτι που αποτελούσε συχνά αιτία παρανοήσεων τόσο για τους μαθητές όσο και για τους ίδιους τους εκπαιδευτικούς. Στην προσπάθειά μας να θεραπεύσουμε την κατάσταση αποφασίσαμε να εισαγάγουμε στην εκπαίδευση των καθηγητών τη μελέτη των Στοιχείων του Ευκλείδη
15 18 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ καθώς και κάποιων έργων άλλων μεγάλων Ελλήνων μαθηματικών όπως ο Απολλώνιος, ο Αρχιμήδης και ο Πάππος. Αυτή η εμπειρία αποτέλεσε για μένα μια σημαντική μαθηματική, επιστημολογική αλλά και θεμελιωδώς παιδαγωγική ανακάλυψη. Τότε ήταν που ανέφερα τις μελέτες μου σχετικά με τους αρχαίους Έλληνες στον Manuel Sadosky, έναν μεγάλο Αργεντινό μαθηματικό και δάσκαλο. «Σε ενδιαφέρουν οι Έλληνες; Διάβασε τότε αυτό» μου είπε δίνοντάς μου μια στοίβα από παλιές φωτοτυπίες που έφεραν τον τίτλο Leyendo a Euclides. Ήταν ένα χειρόγραφο του Beppo Levi. Η ανάγνωση του χειρογράφου υπήρξε για μένα μια συναρπαστική εμπειρία. Ενέταξα το κείμενο στο πρόγραμμα σπουδών των μαθητών μου και αργότερα οι εκδόσεις Zorzal το εξέδωσαν. Σήμερα βλέπω με ιδιαίτερη χαρά ότι εκδίδεται και στα γαλλικά. Αυτή η εργασία αποτελεί για μένα μια πνοή δροσιάς στη διδασκαλία των μαθηματικών, που τις τελευταίες δεκαετίες έχει υποστεί τα πάνδεινα. Ο εικοστός αιώνας γνώρισε σημαντικές αναταράξεις σχετικά με τη μαθηματική γνώση. Με την πρωτοβουλία μιας ομάδας Γάλλων μαθηματικών, που συστήθηκε το 1933 υπό την επωνυμία Nicolas Bourbaki, καθορίστηκαν νέες προτεραιότητες, υιοθετήθηκε μια νέα γλώσσα και σταδιακά, κάποια προβλήματα που έμοιαζαν απρόσιτα άρχισαν να επιλύονται. Παρά την αποτελεσματικότητα αυτών των νέων ιδεών και μεθόδων, το εγχείρημα δεν έγινε ενθουσιωδώς δεκτό από το σύνολο της μαθηματικής κοινότητας που κάποια μέλη της δεν έκρυψαν τον σκεπτικισμό τους. Το 1962 ο Γαλλο-αμερικανός μαθηματικός Serge Lang δημοσίευσε μια πρώτη εκδοχή του
16 ΓΙΑΤΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ; 19 έργου του Diophantine Geometry (Διοφαντική Γεωμετρία) που αποτέλεσε μια πρώτη προσπάθεια «εκμοντερνισμού» της μαθηματικής σύμφωνα με τις αρχές των Bourbaki. Λίγο αργότερα, ο Άγγλος μαθηματικός Louis Mordell του άσκησε μια δριμύτατη κριτική: «Στο σύνολό του σχεδόν, το βιβλίο του Lang κυριολεκτικά δε διαβάζεται εκτός και αν ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος μεταξύ άλλων με το έργο των Bourbaki, τα βιβλία του Lang σχετικά με την αλγεβρική γεωμετρία και τις αβελιανές πολλαπλότητες καθώς και με τα Θεμέλια του Weil για την αλγεβρική γεωμετρία. Ενδεχομένως, ο Lang να απευθύνεται σε αυτό το μοναδικό είδος αναγνώστη [...]. Ας επιχειρήσουμε όμως να φανταστούμε την αντίδραση κάποιου που δεν είναι εξοικειωμένος με την αλγεβρική γεωμετρία κάποιου για τον οποίο κατά πάσα πιθανότητα ο Lang δεν ενδιαφέρεται ο οποίος όμως θα ήθελε να μάθει μερικά πράγματα σχετικά με τη διοφαντική γεωμετρία. Ο τίτλος του βιβλίου υποδηλώνει ότι αυτή η ευκαιρία τού προσφέρεται. Σύντομα θα απογοητευθεί και, αποδυόμενος σε μια τιτάνια μάχη θα χρειαστεί την υπομονή του Ιώβ, το θάρρος του Αχιλλέα και τη δύναμη του Ηρακλή για να κατανοήσει την απόδειξη κάποιων βασικών θεωρημάτων». Η απάντηση του Lang ήταν οργίλη: «Ουδέποτε ισχυρίστηκα ότι το Diophantine Geometry θα ήταν κατανοητό από εσάς ή οποιονδήποτε άλλο δε διαθέτει τις αναγκαίες γνώσεις για να το διαβάσει». Σ αυτό το σημείο επενέβη και ο κορυφαίος Γερμανός μαθηματικός Carl Siegel: «Όταν διάβασα για πρώτη φορά το βιβλίο του Lang ο τρόπος με τον οποίο και οι δικές μου εργασίες παραποιήθηκαν και κατέστησαν ακατανόητες με ενόχλησε βαθύτατα. Το στιλ του συγγραφέα αντιτίθε-
17 20 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ ται στις αρχές της απλότητας και της τιμιότητας που θαυμάζουμε τόσο στο έργο των κορυφαίων της θεωρίας αριθμών. [...] Φοβούμαι ότι αν επικρατήσει αυτή η τάση υπέρμετρης και χωρίς νόημα θεωρητικοποίησης την οποία χαρακτηρίζω ως θεωρία του κενού συνόλου τα μαθηματικά θα εξαφανιστούν πριν από το τέλος του αιώνα». Αυτή η διαμάχη, την οποία περιγράψαμε με βάση ένα συγκεκριμένο παράδειγμα, εγγράφεται στις σύγχρονες τάσεις για τη διδασκαλία των μαθηματικών που επιλέγουν ως σημείο εκκίνησης τις πιο πρόσφατες εξελίξεις της θεωρίας. Οι παρεμβάσεις διανοητών, όπως ο Siegel και ο Mordell, δε στάθηκαν ικανές να αποσταθεροποιήσουν τις επιλογές μιας μαθηματικής κοινότητας που, έκθαμβη από τις επιτυχίες της επιστήμης της, αδυνατούσε να διακρίνει με σαφήνεια ανάμεσα στις προτεραιότητες του ερευνητή και τους, από παιδαγωγική άποψη, επιθυμητούς στόχους. Αυτή η αίσθηση ευφορίας έφτασε με γοργούς ρυθμούς και μέχρι τη δευτεροβάθμια εκπαίδευση όπου σταδιακά απαλείφθηκαν οι τρόποι σκέψης και ανάπτυξης που επικρατούσαν πριν τον 17ο αιώνα επειδή θεωρήθηκαν ξεπερασμένοι. Θα χρειαστεί να αναπτύξουμε περισσότερο αυτά τα προκαταρκτικά σχόλια και κυρίως να εξηγήσουμε την αναγκαιότητα της επιστροφής στην ιστορική στιγμή κατά την οποία το ανθρώπινο πνεύμα τυποποίησε τη γεωμετρία ως την παιδαγωγική μέθοδο που ταιριάζει περισσότερο με το πνεύμα του αρχαρίου. Ωστόσο, αυτές οι επισημάνσεις υπερβαίνουν τους σκοπούς του παρόντος προλόγου. Ας αναφέρουμε απλώς ότι μέσα σε αυτό το πλαίσιο λαμβάνει χώρα η στροφή μας προς την πρωτοβουλία του Beppo Levi ( ), ενός κορυφαίου μα-
18 ΓΙΑΤΙ ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ; 21 θηματικού του 20ού αιώνα, ο οποίος, βρισκόμενος στο απόγειο της μαθηματικής παραγωγής του, επέλεξε να αφιερώσει ένα βιβλίο στο έργο του Ευκλείδη (300 π.χ.). Γεννημένος στο Τορίνο, ο Beppo Levi είναι ένας από τους σημαντικότερους εκπροσώπους της ιταλικής μαθηματικής σχολής που έπαιξε καθοριστικό ρόλο στην ανάπτυξη της αλγεβρικής γεωμετρίας. Εμπνευστής του λήμματος που αναφέρεται στις διαδοχικές ολοκληρώσεις συναρτήσεων, ο Levi είναι επίσης γνωστός για την επίλυση των σημείων ιδιομορφίας* στις αλγεβρικές επιφάνειες, για τη συμβολή του στην αριθμητική των ελλειπτικών καμπυλών και γιατί υπήρξε, σύμφωνα με τον Bourbaki (Eléments d Histoire des Mathématiques Στοιχεία ιστορίας των μαθηματικών), ο πρώτος που επισήμανε, πριν από τον Zermelo, την έμμεση χρήση του αξιώματος της επιλογής στη θεωρία των συνόλων. Όταν το 1939, με τη θέσπιση των ρατσιστικών νόμων του φασιστικού καθεστώτος της Ιταλίας, εκδιώχθηκε από τη θέση του στο Πανεπιστήμιο της Πάρμας, ο Beppo Levi μετανάστευσε στην Αργεντινή. Εγκαταστάθηκε στο Ροζάριο όπου διορίστηκε διευθυντής του μαθηματικού τμήματος στο Universidad del Litoral. Στο Ροζάριο έγραψε, το 1947, το Διαβάζοντας τον Ευκλείδη, έργο για το οποίο ένιωθε ιδιαίτερη υπερηφάνεια επειδή, όπως αναφέρει και στον πρόλογο, φιλοδοξούσε να το απευθύνει σε αναγνώστες που δεν ήταν αναγκαστικά μαθηματικοί. Η παιδαγωγική μας πρακτική μας οδήγησε στη σκέψη ότι η ένταση της διαστρέβλωσης που υφίστανται οι * Παντού στο βιβλίο, χρησιμοποιούμε τον όρο «ιδιομορφία» ως μετάφραση του «singularité». (Σ.τ.Ε.)
19 22 BEPPO LEVI ΔΙΑΒΑΖΟΝΤΑΣ ΤΟΝ ΕΥΚΛΕΙΔΗ φοιτητές που είναι παγιδευμένοι από τις συνέπειες της βουρβαχικής ευφορίας δεν είναι συγκρίσιμη παρά μόνο με την έκσταση που ενδέχεται να βιώσουν ανακαλύπτοντας τα έργα και τις προθέσεις διανοητών όπως ο Θαλής, ο Πυθαγόρας, ο Θεαίτητος, ο Εύδοξος, ο Πλάτων και ο Αριστοτέλης (για να μην αναφέρουμε παρά μόνον τους γνωστότερους) δια μέσου των μαθημάτων δασκάλων, όπως ο Ευκλείδης και ο Beppo Levi. Μέσα από τις σελίδες του έργου, ο αναγνώστης θα απολαύσει την πρόσκληση του Levi να διατρέξει επιμελώς το έργο του Ευκλείδη και να ανακαλύψει μέσα από μια διαρκή έκπληξη το βάθος της σωκρατικής σκέψης. Θα συμμετάσχει ακόμα σε μια συγκινητική απόπειρα διάσωσης της ευκλείδειας σκέψης που έχει σήμερα εξοβελιστεί εν ονόματι ενός υποτιθέμενου μοντερνισμού που υποτιμά τη ρήση του Jorge Luis Borges: «Ως νεωτερισμούς, τα κλασικά». Σεπτέμβριος 2003
Μαθηματικά Β Γυμνασίου
ΦΩΤΗΣ ΚΟΥΝΑ ΗΣ Μαθηματικά Β Γυμνασίου Κριτήρια Αξιολόγησης Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση. «Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΜΠΟΡΕΙ ΕΝΑ ΜΠΙΠ ΝΑ ΣΟΥ ΑΛΛΑΞΕΙ ΤΗ ΖΩΗ!
ΔΩΡΑ ΔΟΡΙΖΑ ΠΩΣ ΜΠΟΡΕΙ ΕΝΑ ΜΠΙΠ ΝΑ ΣΟΥ ΑΛΛΑΞΕΙ ΤΗ ΖΩΗ! Εικονογράφηση Δανάη Κηλαηδόνη Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει
Διαβάστε περισσότεραΕλίζα. ή πώς ένα κορίτσι με τρεις φίλους και έναν παπαγάλο ναυλώνει ένα καράβι για να βρει τον καλό της
Ελίζα ή πώς ένα κορίτσι με τρεις φίλους και έναν παπαγάλο ναυλώνει ένα καράβι για να βρει τον καλό της Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη
Διαβάστε περισσότεραISBN 978-960-456-191-9
Kάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα ISBN 978-960-456-191-9 Copyright, Ιανουάριος 2010, Σέμος Αναστάσιος, Eκδόσεις Zήτη Tο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΤΕΛΗΣ ΚΑΝΑΡΑΚΗΣ ΤΟ ΔΙΛΗΜΜΑ ΤΟΥ ΕΡΜΗ. Εικονογράφηση Βίλλυ Καραμπατζιά
ΠΑΝΤΕΛΗΣ ΚΑΝΑΡΑΚΗΣ ΤΟ ΔΙΛΗΜΜΑ ΤΟΥ ΕΡΜΗ Εικονογράφηση Βίλλυ Καραμπατζιά Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ
ΥΛΗ ΚΑΙ ΟΔΗΓΙΕΣ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ Από το βιβλίο «Ευκλείδεια Γεωμετρία Α και Β Ενιαίου Λυκείου» των Αργυρόπουλου Η., Βλάμου
Διαβάστε περισσότεραΣοφία Κ. Αδάµου. Τα Μαθηµατικά µου. Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας
Σοφία Κ. Αδάµου Τα Μαθηµατικά µου Για παιδιά προσχολικής και σχολικής ηλικίας 1 Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωµάτων πνευµατικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύµβαση. Το παρόν έργο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα. Κεφάλαιο 2 ο (Προτείνεται να διατεθούν 12 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:. -. (Προτείνεται να διατεθούν 5 διδακτικές ώρες).3 (Προτείνεται να διατεθούν
Διαβάστε περισσότεραΑ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I.
Γεωμετρία Α ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΛ I. Εισαγωγή Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι
Διαβάστε περισσότεραΙστορία των Μαθηματικών
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 2: Τα Μαθηματικά στην αρχαία Ελλάδα. Χαρά Χαραλάμπους ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα
Διαβάστε περισσότεραXαράλαμπος Παπαθεοδώρου Φυσική Γ Λυκείου
Xαράλαμπος Παπαθεοδώρου Φυσική Γ Λυκείου Ομάδων Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών και Σπουδών Υγείας Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από τη σύμβαση.
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ FRANCO VOLPI ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΜΥΡΤΩ ΚΑΛΟΦΩΛΙΑ
ΕΙΣΑΓΩΓΗ-ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ FRANCO VOLPI ΜΕΤΑΦΡΑΣΗ ΜΥΡΤΩ ΚΑΛΟΦΩΛΙΑ Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει
Διαβάστε περισσότεραAλγεβρα A λυκείου α Τομος
Aλγ ε β ρ α A Λυ κ ε ί ο υ Α Τό μ ο ς Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή του συγγραφέα Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Άλγεβρα Α Λυκείου, Α Τόμος Παναγιώτης Γριμανέλλης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση,
Διαβάστε περισσότεραΓεωμετρία. I. Εισαγωγή
I. Εισαγωγή Γεωμετρία Η διδασκαλία της Γεωμετρίας στην Α Λυκείου εστιάζει στο πέρασμα από τον εμπειρικό στο θεωρητικό τρόπο σκέψης, με ιδιαίτερη έμφαση στη μαθηματική απόδειξη. Οι μαθητές έχουν έρθει σε
Διαβάστε περισσότεραΤο παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα
Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί και ισχύει σήμερα) και τις διεθνείς συμβάσεις περί πνευματικής ιδιοκτησίας.
Διαβάστε περισσότερααντισταθµίζονται µε τα πλεονεκτήµατα του άλλου, τρόπου βαθµολόγησης των γραπτών και της ερµηνείας των σχετικών αποτελεσµάτων, και
1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Όλα τα είδη ερωτήσεων που αναφέρονται στο «Γενικό Οδηγό για την Αξιολόγηση των µαθητών στην Α Λυκείου» µπορούν να χρησιµοποιηθούν στα Μαθηµατικά, τόσο στην προφορική διδασκαλία/εξέταση, όσο
Διαβάστε περισσότεραΠερί της Ταξινόμησης των Ειδών
Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Φυσικής 541 24 Θεσσαλονίκη Καθηγητής Γεώργιος Θεοδώρου Tel.: +30 2310998051, Ιστοσελίδα: http://users.auth.gr/theodoru Περί της Ταξινόμησης
Διαβάστε περισσότεραΗ ΕΠΙΜΟΝΗ ΑΦΗΓΗΣΗ A993 Kotoula films.indd 3 11/5/2017 5:35:54 µµ
Η ΕΠΙΜΟΝΗ ΑΦΗΓΗΣΗ Δ Η Μ Η Τ ΡΑ Κ ΩΤΟΥΛ Α η επίμονη αφήγηση ΠΟΙΉΜΑΤΑ 2004-2014 Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993 όπως έχει τροποποιηθεί
Διαβάστε περισσότεραΕυρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή
Ευρωπαίοι μαθηματικοί απέδειξαν έπειτα από 40 χρόνια τη θεωρία περί της ύπαρξης του Θεού του Γκέντελ με τη βοήθεια ηλεκτρονικού υπολογιστή Καθηγητή Χάρη Βάρβογλη 1 / 6 Υπάρχει Θεός; Το ερώτημα αυτό απασχολεί
Διαβάστε περισσότερα1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση
1. Η σκοπιμότητα της ένταξης εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας στη Μαθηματική Εκπαίδευση Στη βασική παιδεία, τα μαθηματικά διδάσκονται με στατικά μέσα α) πίνακα/χαρτιού β) κιμωλίας/στυλού γ) χάρτινου βιβλίου.
Διαβάστε περισσότεραΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ & ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ
Γεωργία Τσιφτελίδου Αναστασία Τουλούπη ΝΕΟΕΛΛΗΝΙΚΗ ΓΛΩΣΣΑ & ΛΟΓΟΤΕΧΝΙΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Σύμφωνα με τις νέες οδηγίες διδασκαλίας και αξιολόγησης Θέση υπογραφής δικαιούχων δικαιωμάτων πνευματικής
Διαβάστε περισσότεραΣυνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014. Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση
Συνέδριο Μαθηματικών ΠΠΣ Πνευματικό Κέντρο Δήμου Αθηναίων 11-12 / 4 / 2014 Δημήτρης Μπίρμπας ΠΠΛ Αγίων Αναργύρων Σοφία Παππά ΠΠΛ Ζάννειο Πειραιά Μαθηματικά και ζητήματα πραγματικότητας διάκριση και σύνδεση
Διαβάστε περισσότεραΑνδρέας Αρματάς Γιώργος Σγουρός
Ανδρέας Αρματάς Γιώργος Σγουρός Στην Ελευθερία, που ήρθε από το πουθενά και μας πήρε τα μυαλά Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 2013 2014
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ τάξης Ημερήσιου και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου για το σχολικό έτος 3 4 ΜΕΡΟΣ Α : Άλγεβρα Κεφάλαιο ο (Προτείνεται να διατεθούν διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:.
Διαβάστε περισσότεραμαθηματικά β γυμνασίου
μαθηματικά β γυμνασίου Κάθε αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γυμνάσιο, Θετικές Επιστήμες Μαθηματικά Β Γυμνασίου, Βασίλης Διολίτσης Ιωάννα Κοσκινά Νικολέττα Μπάκου Θεώρηση Κειμένου:
Διαβάστε περισσότεραΗχομόνωση Ηχοπροστασία
Ηχομόνωση Ηχοπροστασία ΤΟΜΟΣ Β Δημήτρης Σκαρλάτος Αν. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εφαρμογές Ηχομόνωσης και Ηχοπροστασίας Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του υποέργου 2 με τίτλο «Ανάπτυξη έντυπου εκπαιδευτικού
Διαβάστε περισσότερα1.6.3 Ιατρικές και βιολογικές θεωρίες στον Πλάτωνα και στον Αριστοτέλη Η αρχαία ελληνική ιατρική µετά τον Ιπποκράτη
1 2 Περιεχόµενα Πρόλογος...5 Εισαγωγή: Οι Απαρχές της Ελληνικής Επιστήµης...8 Κεφάλαιο 1: Η Αρχαία Ελληνική Επιστήµη...24 1.1 Οι φυσικές θεωρίες των Προσωκρατικών φιλοσόφων...25 1.1.1 H πρώιµη ιωνική φιλοσοφική
Διαβάστε περισσότεραΗ ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ
Η ΣΗΜΑΣΙΑ ΤΩΝ ΟΠΤΙΚΩΝ ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ ΣΤΗ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Οι μαθηματικές έννοιες και γενικότερα οι μαθηματικές διαδικασίες είναι αφηρημένες και, αρκετές φορές, ιδιαίτερα πολύπλοκες. Η κατανόηση
Διαβάστε περισσότεραΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ.
2 ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ (Ι) ΤΟ ΓΕΝΙΚΟ ΠΛΑΙΣΙΟ ΤΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ. ΤΙ ΟΝΟΜΑΖΟΥΜΕ ΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΤΗΣ ΓΝΩΣΗΣ; Στο μάθημα «Κοινωνική Θεωρία της Γνώσης (I)» (όπως και στο (ΙΙ) που ακολουθεί) παρουσιάζονται
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ Σπύρου Ν. Πνευµατικού Καθηγητή Μαθηµατικών Πανεπιστηµίου Πατρών ΕΚ ΟΣΕΙΣ Γ. Α. ΠΝΕΥΜΑΤΙΚΟΥ 2005 Σ. Ν. Πνευµατικός Η αναπαραγωγή ολικά ή µερικά ή περιληπτικά, ή η αντιγραφή του
Διαβάστε περισσότεραΕΥΚΛΕΙΔΗΣ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ
ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Η ΖΩΗ ΚΑΙ ΤΟ ΕΡΓΟ ΤΟΥ ΟΜΑΔΑ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Κυριακή Ιορδανίδου, ΠΕ03 Μαθηματικών ΣΧΟΛΕΙΟ 1 ο Γυμνάσιο Χαριλάου Θεσσαλονίκη, 2018 Συνοπτική περιγραφή της ανοιχτής εκπαιδευτικής πρακτικής Σε αυτή την
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΣ: ΚΟΙΝ.: ΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου για το σχολικό έτος
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----
Διαβάστε περισσότεραΔημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας. Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ
Δημήτρης Διαμαντίδης, Γεωργία Ευθυμίου, Αναστάσιος Κουπετώρης, Ιωάννης Σταμπόλας Άλγεβρα Α Λυκείου B ΤΟΜΟΣ Θέση υπογραφής δικαιούχου δικαιωμάτων πνευματικής ιδιοκτησίας, εφόσον η υπογραφή προβλέπεται από
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ
ΑΛΓΕΒΡΑ Α Τάξης Ημερησίου ΓΕΛ ΔΙΔΑΚΤΕΑ ΥΛΗ Ι. Εισαγωγή Το μάθημα «Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων» περιέχει σημαντικές μαθηματικές έννοιες, όπως, της απόλυτης τιμής, των προόδων, της συνάρτησης κ.ά.,
Διαβάστε περισσότεραΓνωστική Ψυχολογία: Οι ανώτερες γνωστικές διεργασίες
Γνωστική Ψυχολογία: Οι ανώτερες γνωστικές διεργασίες ΤΟΠΟΣ Επιστημονικές Εκδόσεις Επιμέλεια-Διόρθωση: Μαρία Αποστολοπούλου Εξώφυλλο: ΜΟΤΙΒΟ Α.Ε. 2014 Εκδόσεις Τόπος & Νίκος Μακρής, Μπετίνα Ντάβου, Θανάσης
Διαβάστε περισσότερα5. Λόγος, γλώσσα και ομιλία
5. Λόγος, γλώσσα και ομιλία Στόχοι της γλωσσολογίας Σύμφωνα με τον Saussure, βασικός στόχος της γλωσσολογίας είναι να περιγράψει τις γλωσσικές δομές κάθε γλώσσας με στόχο να διατυπώσει θεωρητικές αρχές
Διαβάστε περισσότεραΤρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος
Τρεις ενδιαφέρουσες αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Εισαγωγή Είναι γνωστό ότι για το Πυθαγόρειο θεώρημα έχουν
Διαβάστε περισσότεραΙστορία Γυμνασίου. Γυμνάσιο Βεργίνα,
Ιστορία Γυμνασίου Γυμνάσιο Βεργίνα, 2012-2013 Ιστορία «Ιστορία, το φως της αλήθειας κι ο δάσκαλος της ζωής» Κικέρων, Ρωμαίος ρήτορας & πολιτικός Διδάσκουμε Ιστορία Α Γυμνασίου: Κ.Μιλτιάδου, Ν.Κασεττά-
Διαβάστε περισσότεραΚάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη
Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει τη σφραγίδα του εκδότη ΘΩΜΑΣ Α. ΚΥΒΕΝΤΙΔΗΣ Γεννήθηκε το 1947 στο Νέο Πετρίτσι του Ν. Σερρών. Το 1965 αποφοίτησε από το εξατάξιο Γυμνάσιο Σιδηροκάστρου του Ν. Σερρών και εγγράφηκε
Διαβάστε περισσότεραΠανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής. MA Ειδική και Ενιαία Εκπαίδευση
Πανεπιστήμιο Κύπρου Τμήμα Επιστημών της Αγωγής Φιλοσοφία του προγράμματος MA Ειδική και Ενιαία Εκπαίδευση Η Κυπριακή κοινωνία, πολυπολιτισμική εκ παραδόσεως και λόγω ιστορικών και γεωγραφικών συνθηκών
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ Α
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΒΑΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----
Διαβάστε περισσότεραΑνδρέας Ανδρικόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Χίος, 9/04/2014
Ανδρέας Ανδρικόπουλος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Χίος, 9/04/2014 Η επιστήμη είναι ένα συστηματικό πλαίσιο αρχών που εξυπηρετεί την προσπάθειά μας να καταλάβουμε το φυσικό και κοινωνικό μας περιβάλλον.
Διαβάστε περισσότεραΙστοσελίδα: Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις
Ιστοσελίδα: http://www.astro.auth.gr/~varvogli/ Γραφείο: ΣΘΕ, 4 ος όροφος, γραφείο 3 Ώρες: 10.00-12.00 καθημερινά Βιβλίο: Ομότιτλο, εκδόσεις Πλανητάριο, 200 σελίδες Ημερολόγιο μαθήματος Μέθοδος διδασκαλίας:
Διαβάστε περισσότεραΓ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Επιμέλεια Καραβλίδης Αλέξανδρος. Πίνακας περιεχομένων
Γ Γυμνασίου: Οδηγίες Γραπτής Εργασίας και Σεμιναρίων. Πίνακας περιεχομένων Τίτλος της έρευνας (title)... 2 Περιγραφή του προβλήματος (Statement of the problem)... 2 Περιγραφή του σκοπού της έρευνας (statement
Διαβάστε περισσότεραΝα φύγει ο Ευκλείδης;
Να φύγει ο Ευκλείδης; Σωτήρης Ζωιτσάκος Βαρβάκειο Λύκειο Μαθηματικά στα ΠΠΛ Αθήνα 2014 Εισαγωγικά Dieudonné: «Να φύγει ο Ευκλείδης». Douglas Quadling: «Ο Ευκλείδης έχει φύγει, αλλά στο κενό που άφησε πίσω
Διαβάστε περισσότεραΤύπος Εκφώνηση Απαντήσεις
Α/ Α Τύπος Εκφώνηση Απαντήσεις Απλή Αν κάνετε αναζήτηση µιας λέξης σε ένα αρχαιοελληνικό σώµα κειµένων, αυτό που θα λάβετε ως αποτέλεσµα θα είναι: Μια καταγραφή όλων των εµφανίσεων της λέξης στο συγκεκριµένο
Διαβάστε περισσότεραΕθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών
Μάθημα : Εθνικό & Καποδιστριακό Πανεπιστήμιο Αθηνών Φιλοσοφική Σχολή Τμήμα Φ. Π. Ψ. Τομέας Παιδαγωγικής Εισαγωγή στην Παιδαγωγική (ΠΔ 01) (Τμήματα: Ιταλικής Φιλολογίας, Ισπανικής Φιλολογίας, Σλαβικών Σπουδών)
Διαβάστε περισσότεραΜαθήματα Νεοελληνικής Γλώσσας
ΓΙΑΝΝΗΣ Ι. ΠΑΣΣΑΣ Μαθήματα Νεοελληνικής Γλώσσας Τεύχος Γ (για την Γ Λυκείου) ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΑΣΣΑΣ Το παρόν έργο πνευματικής ιδιοκτησίας προστατεύεται κατά τις διατάξεις της ελληνικής νομοθεσίας (Ν. 2121/1993,
Διαβάστε περισσότεραΗΥ Λογική. Διδάσκων: Δημήτρης Πλεξουσάκης Καθηγητής
ΗΥ 180 - Λογική Διδάσκων: Καθηγητής E-mail: dp@csd.uoc.gr Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα, Τετάρτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες φροντιστηρίου: Πέμπτη 4-6 μμ, Αμφ. Β Ώρες γραφείου: Δευτέρα, Τετάρτη 2-4 μμ, Κ.307 Web site:
Διαβάστε περισσότεραΤι να κάνω τι να μην κάνω για να μεγαλώσω σωστά τα παιδιά μου
ΚΑΤΕΡΙΝΑ ΧΑΤΖΗΚΑΛΛΙΑ-ΚΟΥΝΙΑΚΗ Τι να κάνω τι να μην κάνω για να μεγαλώσω σωστά τα παιδιά μου Ένας εικονογραφημένος οδηγός διαπαιδαγώγησης για νέους γονείς ΕΙΚΟΝΟΓΡΆΦΗΣΗ Χλόη Φινν Το παρόν έργο πνευματικής
Διαβάστε περισσότερα1 / 15 «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο για τους µαθητές της 3 ης Γυµνασίου. Μάρτιος 2007
1 / 15 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Έρευνα υποστηριζόµενη από τη Γενική ιεύθυνση Εκπαίδευσης και Πολιτισµού της Ε.Ε., στο πλαίσιο του προγράµµατος Σωκράτης «ΟΙ ΓΛΩΣΣΕΣ ΚΑΙ ΕΓΩ» Ερωτηµατολόγιο
Διαβάστε περισσότερα14 Δυσκολίες μάθησης για την ανάπτυξη των παιδιών, αλλά και της εκπαιδευτικής πραγματικότητας. Έχουν προταθεί διάφορες θεωρίες και αιτιολογίες για τις
ΠΡΟΛΟΓΟΣ Οι δυσκολίες μάθησης των παιδιών συνεχίζουν να απασχολούν όλους όσοι ασχολούνται με την ανάπτυξη των παιδιών και με την εκπαίδευση. Τους εκπαιδευτικούς, οι οποίοι, μέσα στην τάξη τους, βρίσκονται
Διαβάστε περισσότεραΑρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις
Αρχιτεκτονική και Οπτική Επικοινωνία 1 - Αναπαραστάσεις Ενότητα: ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Διδάσκων: Γεώργιος Ε. Λευκαδίτης Τμήμα: Αρχιτεκτόνων Μηχανικών ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ, ΕΙΚΟΝΑ, ΑΝΑΠΑΡΑΣΤΑΣΗ, ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ, ΜΕΘΟΔΟΙ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Οδηγίες για τη διδασκαλία των Μαθηµατικών Γ/σίου και Γεν. Λυκείου.
Να διατηρηθεί µέχρι... ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ENIAIOΣ ΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ /ΝΣΗ ΣΠΟΥ ΩΝ /ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α' Αν. Παπανδρέου 37, 15180 Μαρούσι Πληροφορίες : Αν. Πασχαλίδου Τηλέφωνο
Διαβάστε περισσότεραΕξισώσεις α βαθμού. Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ
Εξισώσεις α βαθμού. Επαρκές Σενάριο Γνωστικό αντικείμενο: Μαθηματικά (ΔΕ) Δημιουργός: ΣΟΦΙΑ ΣΜΠΡΙΝΗ ΙΝΣΤΙΤΟΥΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΗΣ ΠΟΛΙΤΙΚΗΣ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ Σημείωση Το παρόν έγγραφο
Διαβάστε περισσότεραΤα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους. του Σταύρου Κοκκαλίδη. Μαθηματικού
Τα Διδακτικά Σενάρια και οι Προδιαγραφές τους του Σταύρου Κοκκαλίδη Μαθηματικού Διευθυντή του Γυμνασίου Αρχαγγέλου Ρόδου-Εκπαιδευτή Στα προγράμματα Β Επιπέδου στις ΤΠΕ Ορισμός της έννοιας του σεναρίου.
Διαβάστε περισσότεραΣυγκεκριμένα: ΜΕΡΟΣ Β : Ανάλυση. Κεφάλαιο 1ο (Προτείνεται να διατεθούν 37 διδακτικές ώρες) Ειδικότερα:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ, ΕΡΕΥΝΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ ----- ΓΕΝΙΚΗ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ Π/ΘΜΙΑΣ ΚΑΙ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗΣ ΔΙΕΥΘΥΝΣΗ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΟΡΓΑΝΩΣΗΣ Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ ΤΜΗΜΑ Α -----
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ. Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα
Έρευνα-επιλογή: Μαρτίνα Λόος Μετάφραση-επιµέλεια: Βασιλική Καντζάρα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ Εισαγωγή Το παρόν κείµενο περιλαµβάνει ορισµένα µόνο ονόµατα γνωστών µαθηµατικών από την ιστορία της επιστήµης. Η έρευνα
Διαβάστε περισσότεραΗχομόνωση Ηχοπροστασία
Ηχομόνωση Ηχοπροστασία ΤΟΜΟΣ A Δημήτρης Σκαρλάτος Αν. Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Εισαγωγή στις Μεθόδους Ηχομόνωσης και Ηχοπροστασίας Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του υποέργου 2 με τίτλο «Ανάπτυξη
Διαβάστε περισσότεραΣYΛΛOΓH ΣΠOYPΓITAKIA. Tο µακρύ ταξίδι του Aιµίλιου
ΣYΛΛOΓH ΣΠOYPΓITAKIA Tο µακρύ ταξίδι του Aιµίλιου Ο Κώστας Μάγος γεννήθηκε στη Μυτιλήνη και ζει στο Βόλο. Είναι λέκτορας στο Παιδαγωγικό Τµήµα Προσχολικής Εκπαίδευσης του Πανεπιστηµίου Θεσσαλίας. KΩΣTAΣ
Διαβάστε περισσότεραΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ
ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΕΣ ΔΗΜΙΟΥΡΓΙΚΗΣ ΓΡΑΦΗΣ Αλέξανδρος Μιχαήλ Παναγιώτα Παπαδημητρίου Μαίρη Χατζή 1η έκδοση: Θεσσαλονίκη, Νοέμβριος 2018 ISBN: 978-618-5271-65-7 ISBN σετ: 978-618-5271-49-7 Εικονογράφηση: Δωροθέα
Διαβάστε περισσότεραΛέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας. Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο
Λέσχη Ανάγνωσης Μαθηματικής Λογοτεχνίας Εκπαιδευτήριο Το Παγκρήτιον Λύκειο, Αγ.Ιωάννης, Ηράκλειο Πρώτη νύχτα Μονάδα Όνειρα ( εργασία ) Η έννοια του απείρου Φρόυντ Κλάσματα Αριθμητικό σύστημα ( εργασία
Διαβάστε περισσότεραΒ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΔΙΑΧΕΙΡΙΣΗ ΥΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ
ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Β Ημερήσιου και Γ Εσπερινού Γενικού Λυκείου II. Διαχείριση διδακτέας ύλης Κεφάλαιο 7 ο (Προτείνεται να διατεθούν 6 διδακτικές ώρες). 7.1-7.6 Στις παραγράφους αυτές γίνεται πρώτη
Διαβάστε περισσότεραΝίκος Λέκκας Στάθης Μπαρμπούτσης Αλέξανδρος Μιαρίτης Άγγελος Μπούρας
ό ή Νίκος Λέκκας Στάθης Μπαρμπούτσης Αλέξανδρος Μιαρίτης Άγγελος Μπούρας ύ ς ί ς Ο Τεύκρος Μιχαηλίδης γεννήθηκε το 1954 στην Αθήνα και κατάγεται από την Κύπρο. Είναι διδάκτωρ των μαθηματικών του Πανεπιστημίου
Διαβάστε περισσότεραTeachers4europe «ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ»
2 ο ΔΗΜΟΤΙΚΟ ΣΧΟΛΕΙΟ ΝΕΩΝ ΜΟΥΔΑΝΙΩΝ ΧΑΛΚΙΔΙΚΗΣ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟΣ : ΣΤΑΘΩΡΟΥ ΑΓΛΑΪΑ ΤΑΞΗ: Στ 1 ΜΑΘΗΤΕΣ: 20 Teachers4europe 2016-2017 «ΠΡΟΣΩΠΙΚΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ» http://egnosi.wikispaces.com/ Το Στ 1 κατά το
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΟρισμός ιστορική διαδρομή Πληροφοριακή Παιδεία & Βιβλιοθήκες Πληροφορία ηθική των πληροφοριών 9/7/2009 2
9/7/2009 1 Ορισμός ιστορική διαδρομή Πληροφοριακή Παιδεία & Βιβλιοθήκες Πληροφορία ηθική των πληροφοριών 9/7/2009 2 1974 οzarkowski ανέδειξε την μεγάλη επίδραση & την αποτελεσματική χρήση της πληροφορίας
Διαβάστε περισσότεραΗ εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης
Η εφαπτομένη σε σημείο της γραφικής παράστασης συνάρτησης Του ΔΗΜΗΤΡΗ ΝΤΡΙΖΟΥ Σχολικού Συμβούλου Μαθηματικών Τρικάλων και Καρδίτσας ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ Ένα από τα δύο κομβικά ερευνητικά προβλήματα που οι συστηματικές
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΛΗΨΗ ΠΡΟΕΡΓΑΣΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΓΡΑΨΟΥΜΕ ΜΙΑ ΚΑΛΗ ΠΕΡΙΛΗΨΗ
ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η Περίληψη είναι μικρής έκτασης κείμενο, με το οποίο αποδίδεται συμπυκνωμένο το περιεχόμενο ενός ευρύτερου κειμένου. Έχει σαν στόχο την πληροφόρηση των άλλων, με λιτό και περιεκτικό τρόπο, για
Διαβάστε περισσότεραΒασικό εργαλείο αυτοαξιολόγησης Ερωτηματολόγιο για γονείς και κηδεμόνες
Βασικό εργαλείο αυτοαξιολόγησης Ερωτηματολόγιο για γονείς και κηδεμόνες Σημερινή ημερομηνία Παρακαλείσθε όπως συμπληρώσετε. Αριθμός ερωτηματολογίου Συμπληρώνεται από το σχολείο. Αγαπητοί γονείς, αγαπητοί
Διαβάστε περισσότεραΟΥΛΙΤΣ Α ΡΑ Φ 6 ΕΤ. Παναγιώτα Πλησή ΣΙΑ ΓΝΩ ΑΝΑ ΦΙΛ ΖΩΝΗ. Εικονογράφηση: Γιώργος Σγουρός ΟΥ Θ ΓΙΑ ΜΑ. την οικογένεια
ΟΥΛΙΤΣ Α ΡΑ Φ 5-6 ΕΤ Παναγιώτα Πλησή EYEΛΙΚΤΗ ΖΩΝΗ ΦΙΛ ΑΝΑ ΓΝΩ ΣΙΑ ΩΝ ΟΥ ΑΙΝ ΜΕ Θ... ΓΙΑ ΜΑ Εικονογράφηση: Γιώργος Σγουρός την οικογένεια ΤΙΤΛΟΣ ΒΙΒΛΙΟΥ: Ο μπαμπάς που αγαπάει η μαμά μου ΣΥΓΓΡΑΦΕΑΣ: Παναγιώτα
Διαβάστε περισσότεραΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας
ΑΡΗΣ ΑΣΛΑΝΙΔΗΣ Φυσικός, M.Ed. Εκπαιδευτικός-Συγγραφέας Ομιλία με θέμα: ΕΡΕΥΝΗΤΙΚΕΣ ΕΡΓΑΣΙΕΣ & ΦΥΣΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ ΕΝΩΣΗ ΕΛΛΗΝΩΝ ΦΥΣΙΚΩΝ Εκδήλωση αριστούχων μαθητών: Οι μαθητές συναντούν τη Φυσική και η Φυσική
Διαβάστε περισσότεραΑριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας»
Εισαγωγή Επιστημονική μέθοδος Αριστοτέλης (384-322 π.χ) : «Για να ξεκινήσει και να διατηρηθεί μια κίνηση είναι απαραίτητη η ύπαρξη μιας συγκεκριμένης αιτίας» Διατύπωση αξιωματική της αιτίας μια κίνησης
Διαβάστε περισσότεραΠαιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων
Παιδαγωγικές δραστηριότητες μοντελοποίησης με χρήση ανοικτών υπολογιστικών περιβαλλόντων Βασίλης Κόμης, Επίκουρος Καθηγητής Ερευνητική Ομάδα «ΤΠΕ στην Εκπαίδευση» Τμήμα Επιστημών της Εκπαίδευσης και της
Διαβάστε περισσότεραΔιδακτική Απειροστικού Λογισμού
Διδακτική Απειροστικού Λογισμού Ενότητα 2: Προβλήματα σχετικά με τη διδασκαλία του Απειροστικού Λογισμού Ζαχαριάδης Θεοδόσιος Τμήμα Μαθηματικών 2. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΑΠΕΙΡΟΣΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Ο Απειροστικός
Διαβάστε περισσότερατα βιβλία των επιτυχιών
Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από
Διαβάστε περισσότεραΑξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος. Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη. [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων]
Αξιολόγηση του Εκπαιδευτικού Προγράμματος Εκπαίδευση μέσα από την Τέχνη [Αξιολόγηση των 5 πιλοτικών τμημάτων] 1. Είστε ικανοποιημένος/η από το Πρόγραμμα; Μ. Ο. απαντήσεων: 4,7 Ικανοποιήθηκαν σε απόλυτο
Διαβάστε περισσότεραΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την
1 ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑ ΓΝΩΣΤΙΚΗΣ ΣΤΡΑΤΗΓΙΚΗΣ ΓΙΑ ΤΗΝ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗ Δρ. Ζαφειριάδης Κυριάκος Οι ικανοί αναγνώστες χρησιμοποιούν πολλές στρατηγικές (συνδυάζουν την παλαιότερη γνώση τους, σημειώνουν λεπτομέρειες, παρακολουθούν
Διαβάστε περισσότεραΠολεοδοµικός σχεδιασµός και αρχιτεκτονική της πόλης
ioannou first pages: 1 6/6/2014 2:15 1 Πολεοδοµικός σχεδιασµός και αρχιτεκτονική της πόλης εισαγωγή σε βασικές έννοιες ioannou first pages: 1 6/6/2014 2:15 2 ioannou first pages: 1 6/6/2014 2:15 3 ΒΥΡΩΝ
Διαβάστε περισσότεραΚαλές και κακές πρακτικές στη διδασκαλία της ελληνικής ως δεύτερης/ξένης γλώσσας. Άννα Ιορδανίδου ΠΤΔΕ Παν/μίου Πατρών
Καλές και κακές πρακτικές στη διδασκαλία της ελληνικής ως δεύτερης/ξένης γλώσσας Άννα Ιορδανίδου ΠΤΔΕ Παν/μίου Πατρών Οι πρακτικές αναφέρονται σε θέματα κριτηρίων επιλογής κειμένων με βάση το επίπεδο ελληνομάθειας
Διαβάστε περισσότεραΣχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές
Σχεδιάζοντας τη διδασκαλία των Μαθηματικών: Βασικές αρχές Φοιτητής: Σκαρπέντζος Γεώργιος Καθηγήτρια: Κολέζα Ευγενία ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Βασικές θεωρίες σχεδιασμού της διδασκαλίας Δραστηριότητες και κατανόηση εννοιών
Διαβάστε περισσότεραΗ φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια. Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2
Η φιλοσοφία και οι επιστήμες στα Αρχαϊκά χρόνια Μαριάννα Μπιτσάνη Α 2 Τι είναι η φιλοσοφία; Φιλοσοφία είναι η επιστήμη που ασχολείται με: ερωτήματα προβλήματα ή απορίες που μπορούμε να αποκαλέσουμε οριακά,
Διαβάστε περισσότεραΥποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια
Υποθετικές προτάσεις και λογική αλήθεια Δρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος Σχολικός Σύμβουλος κλάδου ΠΕ03 www.p-theodoropoulos.gr Περίληψη Στην εργασία αυτή επιχειρείται μια ερμηνεία της λογικής αλήθειας
Διαβάστε περισσότεραΑΠΘ. Χαρά Χαραλάμπους Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ. Ιστορία των Μαθηματικών Εαρινό Εξάμηνο 2014
Εαρινό εξάμηνο 2014 13.03.14 Χ. Χαραλάμπους Εντονες πυθαγόρειες επιδράσεις. Η Γεωμετρία και τα Μαθηματικά έχουν μια ξεχωριστή ξχ θέση. Ουδείς αγεωμέτρητος εισί Στον κόσμο των ιδεών τα μαθηματικά αντικείμενα
Διαβάστε περισσότεραΜεταξία Κράλλη! Ένα όνομα που γνωρίζουν όλοι οι αναγνώστες της ελληνικής λογοτεχνίας, ωστόσο, κανείς δεν ξέρει ποια
Δευτέρα, Ιουνίου 16, 2014 ΣΥΝΕΝΤΕΥΞΗ ΤΗΣ ΜΕΤΑΞΙΑΣ ΚΡΑΛΛΗ Η Μεταξία Κράλλη είναι ένα από τα δημοφιλέστερα πρόσωπα της σύγχρονης ελληνικής λογοτεχνίας. Μετά την κυκλοφορία του πρώτου της βιβλίου, "Μια φορά
Διαβάστε περισσότεραΟργάνωση και Αλληλεπιδράσεις σε Μοριακό Επίπεδο
Οργάνωση και Αλληλεπιδράσεις σε Μοριακό Επίπεδο + O C O O C O O C O O C O Ιωάννης Καπόλος Καθηγητής ΤΕΙ Πελοποννήσου Γεώργιος Καραϊσκάκης Καθηγητής Πανεπιστημίου Πατρών Τόμος Β Μόρια σε Κίνηση Το έργο
Διαβάστε περισσότεραΥπολογίσιμες Συναρτήσεις
Υπολογίσιμες Συναρτήσεις Σ Π Υ Ρ Ι Δ Ω Ν Τ Ζ Ι Μ Α Σ Δ Τ Ο Μ Ε Α Σ Τ Μ Η Μ Α Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Ω Ν Σ Χ Ο Λ Η Θ Ε Τ Ι Κ Ω Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ω Ν Π Α Ν Ε Π Ι Σ Τ Η Μ Ι Ο Ι Ω Α Ν Ν Ι Ν Ω Ν Υπολογίσιμες Συναρτήσεις
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ
Page1 ΣΧΕΔΙΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 2 Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΕΝΟΤΗΤΑ: 1.1 Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα i. ΔΙΔΑΚΤΙΚΟΙ ΣΤΟΧΟΙ: 1. Προσδιορίζουν το δειγματικό χώρο ενός πειράματος τύχης και ενδεχόμενα
Διαβάστε περισσότεραΟργάνωση και Αλληλεπιδράσεις σε Μοριακό Επίπεδο
Οργάνωση και Αλληλεπιδράσεις σε Μοριακό Επίπεδο Αναδευτήρας Θερμόμετρο Μονωτικό κάλυμμα Μείγμα αντιδρώντων Συσκευή θερμιδομέτρου Δημήτριος Γαβριήλ Λέκτορας Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης Γεώργιος
Διαβάστε περισσότεραEκπαίδευση» ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ. «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια. Άρθρο 1. Νέο Λύκειο
ΠΡΟΤΑΣΗ ΝΟΜΟΥ «Νέο Λύκειο και σύστημα πρόσβασης στην Tριτοβάθμια Eκπαίδευση» Άρθρο 1 Νέο Λύκειο 1. Από το σχολικό έτος 2013-2014 καθιερώνεται ο θεσμός του Νέου Λυκείου και αρχίζει σταδιακά η εφαρμογή του
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ: Διαχείριση διδακτέας - εξεταστέας ύλης των Μαθηματικών Γ τάξης Ημερήσιου. και Δ τάξης Εσπερινού Γενικού Λυκείου, για το σχολικό έτος
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΘΡΗΣΚΕΥΜΑΤΩΝ, ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΑΘΛΗΤΙΣΜΟΥ ----- Βαθμός Ασφαλείας: Να διατηρηθεί μέχρι: Βαθ. Προτεραιότητας: ΕΝΙΑΙΟΣ ΔΙΟΙΚΗΤΙΚΟΣ ΤΟΜΕΑΣ Π/ΘΜΙΑΣ & Δ/ΘΜΙΑΣ ΕΚΠ/ΣΗΣ
Διαβάστε περισσότεραΘ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (2η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων
Σχολικό βιβλίο Άλγεβρα Α' Λυκείου Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Θ. Ξένος: Άλγεβρα Α' Λυκείου (η έκδοση) Απαντήσεις και λύσεις των ερωτήσεων & ασκήσεων Μπορείτε να αντιγράψετε το παρόν
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΚΑΙ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΚΑΙ ΛΥΚΕΙΟΥ Νομοθεσία. Παρατηρήσεις για τα θέματα των προαγωγικών και απολυτήριων εξετάσεων Γυμνασίων και Λυκείων, περιόδου Μαΐου- Ιουνίου 2008. Προτάσεις.
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή. Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο. Πώς να ζήσετε 150 χρόνια µε Υγεία
Εισαγωγή «Όποιος έχει υγεία, έχει ελπίδα. Και όποιος έχει ελπίδα, έχει τα πάντα.» Τόμας Κάρλαϊλ Γιατί είναι χρήσιμο το παρόν βιβλίο Ο πατέρας μου είναι γιατρός, ένας από τους καλύτερους παθολόγους που
Διαβάστε περισσότεραΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ
ΡΟΜΠΟΤΙΚΗ ΚΑΙ ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ Γιατί η Ρομποτική στην Εκπαίδευση; A) Τα παιδιά όταν σχεδιάζουν, κατασκευάζουν και προγραμματίζουν ρομπότ έχουν την ευκαιρία να μάθουν παίζοντας και να αναπτύξουν δεξιότητες Η
Διαβάστε περισσότεραΤα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή
Τα σχέδια μαθήματος 1 Εισαγωγή Τα σχέδια μαθήματος αποτελούν ένα είδος προσωπικών σημειώσεων που κρατά ο εκπαιδευτικός προκειμένου να πραγματοποιήσει αποτελεσματικές διδασκαλίες. Περιέχουν πληροφορίες
Διαβάστε περισσότεραΕπιμέλεια : Πάνου Εμμανουήλ ( )
Επιμέλεια : Πάνου Εμμανουήλ (1054843) Ο όρος «Παιδαγωγική» αφορά την επιστήμη της αγωγής των παίδων κατά την αρμόζουσα ανατροφή και μόρφωση αυτών. Παιδαγωγική παιδί + αγωγή Η Παιδαγωγική ορίζει την αγωγή
Διαβάστε περισσότεραΠΩΣ ΘΑ ΚΑΝΩ ΤΟ ΠΑΙΔΙ ΜΟΥ ΝΑ ΑΓΑΠΗΣΕΙ ΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ;
Ημερομηνία 23/07/2015 Μέσο Συντάκτης Link diavasame.gr Ευμορφία Ζήση http://www.diavasame.gr/page.aspx?itemid=ppg1396_2146 ΠΩΣ ΘΑ ΚΑΝΩ ΤΟ ΠΑΙΔΙ ΜΟΥ ΝΑ ΑΓΑΠΗΣΕΙ ΤΟ ΣΧΟΛΕΙΟ; 23.07.2015 Συντάκτης: Ευμορφία
Διαβάστε περισσότερα