Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων.

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων. Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων."

Transcript

1 Στατιστική Ι Ενότητα: MέθοδοιΠεριγραφικής Στατιστικής Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Χ. Εμμανουηλίδης, Θεματολογία Παρουσίαση δεδομένων με Πίνακες Πίνακας (κατανομή) συχνοτήτων(απόλυτες, σχετικές, % συχνότητες) Παρουσίαση δεδομένων με Γραφήματα Ραβδόγραμμα, κυκλικό διάγραμμα, ιστόγραμμα πολύγωνο συχνοτήτων Ομαδοποίηση ποσοτικών δεδομένων Περιγραφικά μέτρα θέσης, διασποράς, και μορφής Κεντρική τάση: Μέσος, διάμεσος, επικρατούσα τιμή Μη-κεντρική τάση: ποσοστιαία σημεία, τεταρτημόρια Διασπορά: Εύρος, διακύμανση, τυπική απόκλιση, ενδοτεταρτημοριακό εύρος Σχετική διασπορά (συντελεστής μεταβλητότητας) Εμπειρικός κανόνας για καμπανοειδείς κατανομές Μορφή: Λοξότητα και κύρτωση Ανίχνευση ακραίων τιμών Σύνοψη πέντε αριθμών Θηκόγραμμα Χ. Εμμανουηλίδης, Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων Πίνακες Πίνακες συχνοτήτων Γραφήματα Ραβδόγραμμα Κυκλικό διάγραμμα Χ. Εμμανουηλίδης, 3 Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων Πίνακας (κατανομή) συχνοτήτων πίνακας που καταγράφει τη συχνότητα (απόλυτη, σχετική ή ποσοστιαία) των δεδομένων με τιμές σε καθεμιά κατηγορία ή κλάση. Συμβολισμοί: = τιµές της Χ, =,...,, = πλήθος κατηγοριών f = απόλυτες συχνότητες f = σχετικές συχνότητες F = αθροιστικές συχνότητες Χ. Εμμανουηλίδης, 4 Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων Παράδειγμα με τοspss (Statstcs Pacage for the Socal Sceces) Εκπαιδευτικό επίπεδο (Χ) =6400 ατόμων Αθροιστική συχνότητα Παράδειγμα με τοspss Γραφήματα Ραβδόγραμμα Συχνότητες % Συχνότητες Συχνότητα Ποσοστιαία συχνότητα = σχετική συχνότητα 00 κατηγοριών Χ. Εμμανουηλίδης, 5 Χ. Εμμανουηλίδης, 6 Χ. Εμμανουηλίδης, PDF processed wth CutePDF evaluato edto

2 Περιγραφή ποιοτικών δεδομένων Παράδειγμα με τοspss Γραφήματα Κυκλικό διάγραμμα %Συχνότητα Χ. Εμμανουηλίδης, 7 Πίνακες Πίνακες συχνοτήτων(μετά από ομαδοποίηση) Γραφήματα Ιστόγραμμα(με πολύγωνο ή προσαρμοσμένη καμπύλη συχνοτήτων) Oμαδοποίηση σε τάξεις ίσου εύρους Εμπειρικός κανόνας για το πλήθος και το εύρος των τάξεων = cel( l ) ( ) c cel ma m Χ. Εμμανουηλίδης, 8 Παράδειγμα με το SPSS Ηλικία (σε έτη, =50) { } = Παράδειγμα με το SPSS Ηλικία (σε έτη, =50) { } = Πώς µπορούµε να περιγράψουµε την κατανοµή των δεδοµένων; ιάταξη των δεδοµένων σε αύξουσα σειρά m = 5, = 8 ma Χ. Εμμανουηλίδης, 9 Χ. Εμμανουηλίδης, 0 Παράδειγμα με το SPSS Ηλικία (σε έτη, =50) { } = Χ. Εμμανουηλίδης, m = 5, = 8 ma Παράδειγμα με τοspss Πίνακες συχνοτήτων(μετά από ομαδοποίηση) Ηλικία (σε έτη, =50) = 50, = cel( l 50) = 7 ma = 8, m = 5 c = cel ( ma m ) = 0 «άγκυρα» όρια τάξεων Ως άγκυρα µπορεί να οριστεί οποιαδήποτε τιµή, έστω α για την οποία a και + c m a ma Χ. Εμμανουηλίδης, Χ. Εμμανουηλίδης,

3 Παράδειγμα με τοspss Γραφήματα (μετά από ομαδοποίηση) Ηλικία (σε έτη, =50) = 50, = cel( l 50) = 7 ma = 8, m = 5 c = cel ( ma m ) = 0 Παράδειγμα με τοspss Γραφήματα (μετά από ομαδοποίηση) Ηλικία (σε έτη, =50) = 50, = cel( l 50) = 7 ma = 8, m = 5 c = cel ( ma m ) = 0 Πολύγωνο συχνοτήτων Χ. Εμμανουηλίδης, 3 Χ. Εμμανουηλίδης, 4 Επίδραση πλήθους τάξεων () Μηνιαίες πωλήσεις 50 καταστημάτων Επίδραση πλήθους τάξεων () Μηνιαίες πωλήσεις 50 καταστημάτων Για = 6 η κατανοµή φαίνεται µονόκορφη 5 0 Για = 8 η κατανοµή φαίνεται δίκορφη sales Εμμανουηλίδης, Χ sales Χ. Εμμανουηλίδης, 6 Επίδραση πλήθους τάξεων () Μηνιαίες πωλήσεις 50 καταστημάτων 0 Χαρακτηριστικά ποσοτικών δεδομένων Θέση (κεντρική τάση) f()/ Για = 0η κατανοµή συνεχίζει να κυριαρχείται από δύο κορυφές. Πιθανά µια υποψία τρίτης κορυφής; Μεταβλητότητα (διασπορά) f()/ sales Χ. Εμμανουηλίδης, 7 Χ. Εμμανουηλίδης, 8 Χ. Εμμανουηλίδης, 3

4 Χαρακτηριστικά ποσοτικών δεδομένων Σχήμα κατανομής Λοξότητα Κύρτωση (+) Θετική (δεξιά) (0) Μηδενική (Συµµετρία) (-) Αρνητική (αριστερή) (+) Λεπτόκυρτη (0) Μεσόκυρτη (Κανονική) (-) Πλατύκυρτη Γενικές µορφές λοξότητας Γενικές µορφές κύρτωσης Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης Κεντρική τάση η τάση των δεδομένων να συγκεντρώνονται γύρω από συγκεκριμένες αριθμητικές τιμές Συνήθη μέτρα κεντρικής τάσης: Αριθμητικός μέσος Διάμεσος Επικρατούσα τιμή ή τύπος Χ. Εμμανουηλίδης, 9 Χ. Εμμανουηλίδης, 0 Αριθμητικός μέσος Το «κέντρο βάρους» των δεδομένων Δειγματικός μέσος = =, = µέγ. δείγµατος Μέσος πληθυσμού Ν = µ =, N = µέγ. πληθυσµού Ν Χ. Εμμανουηλίδης, Επαναλαμβανόμενες τιμές (παράδειγμα) Αριθµός παιδιών (=00) { } = Τιµή Συχνότητα Κατανοµή συχνοτήτων f Άθροισµα 00 Χ. Εμμανουηλίδης, Επαναλαμβανόμενες τιμές (παράδειγμα) Αριθµός παιδιών (=00) Τιµή Συχνότητα f f Άθροισµα 00 9 f = 9 = = =.9 00 f = Επαναλαμβανόμενες τιμές Κ : πλήθος διαφορετικών τιµών (Κ ) {,,, Κ } : το σύνολο των διαφορετικών τιµών { f, f,, f Κ } : συχνότητες των διαφορετικών τιµών Μέσος f = = f = = = f Χ. Εμμανουηλίδης, 3 Χ. Εμμανουηλίδης, 4 Χ. Εμμανουηλίδης, 4

5 Ομαδοποιημένα δεδομένα (παράδειγμα) Ηλικία (σε έτη, =50) Τάξεις f Άθροισµα 50 Ποιος είναι ο αριθµητικός µέσος; Χ. Εμμανουηλίδης, 5 Ομαδοποιημένα δεδομένα (παράδειγμα) Ηλικία (σε έτη, =50) Τάξεις f f Άθροισµα 50 5 f = 5 = = = f Χ. Εμμανουηλίδης, 6 = Τιµή από τα µη οµαδοποιηµένα δεδοµένα: = 44.3 Ομαδοποιημένα δεδομένα Κ : πλήθος τάξεων (Κ ) {,,, Κ } : κεντρικές τιµές των τάξεων { f, f,, f Κ } : συχνότητες των τάξεων Μέσος f = = f = = = f Ομαδοποιημένα δεδομένα (παράδειγμα) Χρεώσεις υπηρεσιών κινητής τηλεφωνίας (=50) Χρέωση ( ) Συχνότητα Τάξεις f Άθροισµα 50 Ποιος είναι ο αριθµητικός µέσος; Χ. Εμμανουηλίδης, 7 Χ. Εμμανουηλίδης, 8 Ομαδοποιημένα δεδομένα (παράδειγμα) Χρεώσεις υπηρεσιών κινητής τηλεφωνίας (=50) Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου Εγκλεισμός Έστω παρατηρήσεις {,,, }. Ισχύει: Χρέωση ( ) Συχνότητα Κεντρ. Τιµή Τάξεις f f Άθροισµα f = 3940 = = = f = m ma Γραμμικός μετασχηματισμός α, β = σταθερές = α + β = α + β Χ. Εμμανουηλίδης, 9 Χ. Εμμανουηλίδης, 30 Χ. Εμμανουηλίδης, 5

6 Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου Γραμμικός μετασχηματισμός παράδειγμα Σε κατηγορία μισθωτών οι καθαρές μέσες μηνιαίες αποδοχές ανέρχονται στα 00. Με την εφαρμογή προγράμματος περικοπών, οι αποδοχές μειώθηκαν για κάθε μισθωτό κατά 0% και επιβλήθηκε μηνιαία έκτακτη εισφορά 00. Ποιές είναι οι νέες καθαρές μέσες μηνιαίες αποδοχές στην κατηγορία; Πόσο μεταβλήθηκαν ποσοστιαία; (Απάντηση: 760, μεταβλήθηκαν περίπου κατά -36.7%) Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου Το άθροισμα των αποστάσεων (αποκλίσεων) των τιμών από τον μέσο είναι μηδέν = ( ) = 0 Απόδειξη: Αναπτύξτε τη σχέση και χρησιμοποιήστε τον ορισμό του μέσου Χ. Εμμανουηλίδης, 3 Χ. Εμμανουηλίδης, 3 Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου Το άθροισμα των τετραγωνικών αποκλίσεων των τιμών από τον μέσο είναι ελάχιστο a R, ( ) ( a) = = Το άθροισµα τωντετραγωνικών αποκλίσεων µετρά πόσο απέχει συνολικάη κεντρική τιµή από όλες τις τιµές των δεδοµένων δίνοντας µεγαλύτερη βαρύτητα στις µεγάλες αποκλίσεις απ ότι στις µικρές. Απόδειξη: Βρείτε το ελάχιστο της συνάρτησης ( ) ( ), = f a = a a R Χ. Εμμανουηλίδης, 33 Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου Ο αριθμητικός μέσος αριθμητικών μέσων είναι γραμμικός συνδυασμός των μέσων Έστω σύνολα με πλήθος παρατηρήσεων σε κάθε σύνολο ίσο με, =,,,. Αν ο αριθμητικός μέσος των παρατηρήσεων σε κάθε σύνολο είναι, τότε o μέσος όλων των δεδομένων είναι: = = = =, όπου = = = Χ. Εμμανουηλίδης, 34 Ιδιότητες του αριθμητικού μέσου Αριθμητικός μέσος μέσων παράδειγμα Βιομηχανικός κλάδος απαρτίζεται από 300 επιχειρήσεις οι οποίες κατανέμονται σε 3 υπο-κλάδους με αναλογίες 0.6, 0.5, και 0.5 αντίστοιχα. Οι μέσες ετήσιες πωλήσεις σε κάθε υπο-κλάδο είναι (σε εκατομ. ) 0, 55, και 80 αντίστοιχα. Ποιες είναι οι μέσες ετήσιες πωλήσεις στον κλάδο; (Απάντηση: 00.5 εκατομ. ) Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του αριθμητικού μέσου Πλεονεκτήματα Λαμβάνει υπόψη όλα τα δεδομένα Είναι εκτιμητής όλων των τιμών των δεδομένων Είναι καλός εκτιμητής της μέσης τιμής του πληθυσμού Μειονεκτήματα Είναι ευαίσθητος στην παρουσία ακραίων τιμών Είναι ανεπαρκές μέτρο θέσης σε έντονα ασύμμετρες κατανομές Χ. Εμμανουηλίδης, 35 Χ. Εμμανουηλίδης, 36 Χ. Εμμανουηλίδης, 6

7 Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του αριθμητικού μέσου Παράδειγμα επηρεασμού από μια ακραία τιμή ' 0 (ακραία τιμή = άτυπα μεγάλη ή μικρή τιμή) { } { } εδοµένα:,, 3, 4,5, 6, 7,8,9,0 = 0, = 5.5 Ακραία τιµή: = = = 00, τότε = 4.5 Αν υπάρχει µια ακραία τιµή, ο µέσος έλκεται γραµµικά προς αυτήν Χ. Εμμανουηλίδης, = = + = 0 Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα του αριθμητικού μέσου Παράδειγμα ανεπάρκειας σε έντονα ασύμμετρες κατανομές Συµµετρική κατανοµή Έντονα ασύµµετρη κατανοµή µέσος (είναι αντιπροσωπευτικός του συνόλου των δεδοµένων) µέσος (δεν είναι αντιπροσωπευτικός του συνόλου των δεδοµένων) Χ. Εμμανουηλίδης, 38 Διάμεσος Η μεσαία τιμή των δεδομένων όταν αυτά διαταχθούν σε αύξουσα ή φθίνουσα σειρά Συμβολίζεται ως m Υπολογίζεται ως + η παρατήρηση όταν το είναι περιττός ο μέσος της και παρατηρήσεων αν το + είναι άρτιος Επικρατούσα τιμή ή τύπος (τ) Η τιμή με τη μεγαλύτερη συχνότητα εμφάνισης Ένα σύνολο δεδομένων μπορεί να έχει περισσότερες από μια επικρατούσες τιμές (δηλ. η κατανομή τους περισσότερες από μια κορυφές) Ομαδοποιημένα δεδομένα έχουν επικρατούσα τάξη την τάξη με τη μεγαλύτερη συχνότητα Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές Έχει νόημα και για ποιοτικά δεδομένα Χ. Εμμανουηλίδης, 39 Χ. Εμμανουηλίδης, 40 Παράδειγμα: Mέσος = Διάμεσος η δηλ η5 η παρατήρηση, 8 Επικρατούσα τιμή = = = 9 9 = = Χ. Εμμανουηλίδης, 4 7 Επαναλαμβανόμενες τιμές (παράδειγμα) Αριθµός παιδιών (=00) Τιµή Συχνότητα Aθρ. Συχν f F Άθροισµα 00 Επικρατούσα τιµή: τ = 0 ιάµεσος: m = = = η παρατ., = Χ. Εμμανουηλίδης, η παρατ., = 5 Χ. Εμμανουηλίδης, 7

8 Ομαδοποιημένα δεδομένα (παράδειγμα) Χρεώσεις υπηρεσιών κινητής τηλεφωνίας (=50) Ομαδοποιημένα δεδομένα (παράδειγμα) Χρεώσεις υπηρεσιών κινητής τηλεφωνίας (=50) Χρέωση ( ) Συχνότητα Αθρ. Συχν. Τάξεις f F Άθροισµα 50 Επικρατούσα τάξη: ιάµεσος: = = 5.5 ανάµεσα στην 5η και 6η παρατ. δηλ. στην = 3 τάξη Χρέωση ( ) Συχνότητα Αθρ. Συχν. Τάξεις f F Άθροισµα 50 ιάµεσος: = 3 Ως την τιµή L = 70 έχουµε F - = 5 παρατ. Ως την / = 5η παρ. αποµένουν / - F = 5 5 = 0 παρ. - Χ. Εμμανουηλίδης, 43 Χ. Εμμανουηλίδης, 44 Ομαδοποιημένα δεδομένα (παράδειγμα) Χρεώσεις υπηρεσιών κινητής τηλεφωνίας (=50) Ομαδοποιημένα δεδομένα - Διάμεσος f κ =f 3 =6παρατηρήσεις Χρέωση ( ) Συχνότητα Αθρ. Συχν. Τάξεις f F Άθροισµα 50 ιάµεσος: = 3 L = 70 F - = 5 / = 5 / - F = 0 - η η 3η 0η 70 5η 6η 80 / - F κ- =0 παρατηρήσεις Χ. Εμμανουηλίδης, 45 Χ. Εμμανουηλίδης, 46 Οµαδοποιηµένα δεδοµένα - ιάµεσος f κ =f 3 =6παρατηρήσεις που καθεµιά καταλαµβάνει εύρος c/f κ =0/6=0.65 και υποθέτουµε ότι βρίσκεται στο µέσο του αντίστοιχου διαστήµατος η η 3η 0η η 6η / - F κ- =0 παρατηρήσεις m= =76.5 Χ. Εμμανουηλίδης, 47 Ομαδοποιημένα δεδομένα - Διάμεσος f κ =f 3 =6παρατηρήσεις εύρους c/f κ =0/6=0.65 m=76.5 η η 3η 0η 70 5η 6η 80 / - F κ- = 0 παρατηρήσεις c 0 50 m = L + ( Fκ- ) = 70 + ( 5) = 76.5 f 6 κ Χ. Εμμανουηλίδης, 48 Χ. Εμμανουηλίδης, 8

9 Ομαδοποιημένα δεδομένα Διάμεσος Μέθοδος γραμμικής παρεμβολής: Υποθέτοντας ομοιόμορφη κατανομή των τιμών μέσα στο ταξικό διάστημα που περιέχει τη διάμεσο, τότε c m = L + ( F ), f = η πρώτη τάξη της οποίας η F / L = κάτω όριο του ταξικού διαστήµατος που περιέχει τη διάµεσο c = εύρος ταξικού διαστήµατος f = συχνότητα ταξικού διαστήµατος F = αθροιστική συχνότητα του προηγούµενου ταξικού διαστήµατος Χ. Εμμανουηλίδης, 49 Ιδιότητες της διαμέσου Tο άθροισμα των απόλυτων αποκλίσεων των τιμών από τη διάμεσο είναι ελάχιστο. a R, m a = = Το άθροισµα τωναπόλυτων αποκλίσεων µετρά το πόσο απέχει συνολικάη υποψήφια κεντρική τιµή από όλες τις τιµές των δεδοµένων. Χ. Εμμανουηλίδης, 50 Ιδιότητες της διαμέσου Ένας γραμμικός μετασχηματισμός των δεδομένων συνεπάγεται τον αντίστοιχο γραμμικό μετασχηματισμό της διαμέσου. α, β = σταθερές = α + β m = α + β m Δε μπορούμε να την χειριστούμε αλγεβρικά: από τις διαμέσους μερών των δεδομένων δε μπορεί να προκύψει η διάμεσος του συνόλου Χ. Εμμανουηλίδης, 5 Πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της διαμέσου Πλεονεκτήματα Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές Μπορεί να χρησιμοποιηθεί και για διατακτικά δεδομένα Είναι καλός εκτιμητής της διαμέσου του πληθυσμού Μειονεκτήματα Δε μπορούμε να την χειριστούμε αλγεβρικά: από τις διαμέσους μερών των δεδομένων δε μπορεί να προκύψει η διάμεσος του συνόλου. Επηρεάζεται από διακυμάνσεις δειγματοληψίας περισσότερο από τον μέσο και συνεπώς δεν είναι τόσο ικανοποιητική ως εκτιμητής της κεντρικής θέσης. Χ. Εμμανουηλίδης, 5 Σύγκριση μέσου και διαμέσου Σύγκριση μέσου και διαμέσου Ανθεκτικότητα σε ακραίες τιμές Οι ακραίες τιμές είναι μη τυπικές και δε βοηθούν στην αναγνώριση κεντρικών τιμών. Επομένως θέλουμε η εκτίμηση κεντρικής θέσης να μην είναι πολύ ευαίσθητη σε ακραίες τιμές. Ακρίβεια εκτίμησης Υποθέστε έναν πληθυσμό που είναι συμμετρικός. Τότε, ο μέσος (μ) ταυτίζεται με την διάμεσο (Μ) 50% 50% Σύγκριση:Όταν υπάρχουν λίγες ακραίες τιμές, ο μέσος μπορεί να μην είναι αντιπροσωπευτικός (ιδιαίτερα όταν οι ακραίες τιμές συγκεντρώνονται σε μια πλευρά της διάταξης) σε αντίθεση με τη διάμεσο που είναι ανθεκτικότερη. Χ. Εμμανουηλίδης, 53 Είναι πιθανότερο η διάμεσος ή ο μέσος σε ένα τυχαίο δείγμα να είναι πιο κοντά στην πραγματική τυπική τιμή του πληθυσμού; Χ. Εμμανουηλίδης, 54 Χ. Εμμανουηλίδης, 9

10 Σύγκριση μέσου και διαμέσου Ακρίβεια εκτίμησης Υπολογισμός της πιθανότητας αυτής με προσομοίωση: Σύγκριση μέσου και διαμέσου. Επιλέγουμε με τυχαίο τρόπο μεγάλο αριθμό δειγμάτων συγκεκριμένου μεγέθους () από τον πληθυσμό. Υπολογίζουμε σε καθένα από αυτά το μέσο και τη διάμεσο 3. Κατασκευάζουμε τα αντίστοιχα ιστογράμματα σχετικών συχνοτήτων, τα οποία εκτιμούν τις κατανομές πιθανότητας του δειγματικού μέσου και διαμέσου αντίστοιχα. Αυτές ονομάζονται κατανομές δειγματοληψίαςτου μέσου και της διαμέσου αντίστοιχα. Χ. Εμμανουηλίδης, 55 Κατανοµή δειγµατικών µέσων Κατανοµή δειγµατικών διαµέσων από 000δείγµατα µεγέθους =5από κανονικό πληθυσµό Ν(µ=70,σ =8) Χ. Εμμανουηλίδης, 56 Σύγκριση μέσου και διαμέσου Ακρίβεια εκτίμησης Συμπέρασμα Και οι δύο κατανομές έχουν τον ίδιο μέσο (70), ίδιον με αυτόν του πληθυσμού Όμως, η κατανομή του δειγματικού μέσου έχει μικρότερη διασπορά, που σημαίνει ότι είναι πιθανότερο ο δειγματικός μέσος να είναι πιο κοντά στην τυπική τιμή του πληθυσμού απ ότι η δειγματική διάμεσος. Χ. Εμμανουηλίδης, 57 Σύγκριση μέσου και διαμέσου Ακρίβεια εκτίμησης Συμπέρασμα Ο μέσος είναι πιο συχνά ακριβέστερος από τη διάμεσο, όταν δεν υπάρχουν ακραίες τιμές Αυτό οφείλεται στο ότι η διάμεσος χρησιμοποιεί λιγότερη πληροφορία από τον μέσο: Η διάμεσος είναι ένας μέσος όρος μιας ή το πολύ δύο μεσαίων παρατηρήσεων, ενώ ο μέσος είναι ο μέσος όρος όλων των παρατηρήσεων. Χ. Εμμανουηλίδης, 58 Χαρακτηριστικά ποσοτικών δεδομένων Σχήμα κατανομής Λοξότητα Κύρτωση (+) Θετική (δεξιά) (0) Μηδενική (Συµµετρία) (-) Αρνητική (αριστερή) (+) Λεπτόκυρτη (0) Μεσόκυρτη (Κανονική) (-) Πλατύκυρτη Γενικές µορφές λοξότητας Γενικές µορφές κύρτωσης Χ. Εμμανουηλίδης, 59 Μορφή κατανομών δεδομένων Λοξότητα συντελεστής λοξότητας όπου ( ) m G = 3 3/ m m = ( ) r = Χ. Εμμανουηλίδης, 60 r η κεντρική ροπή r-τάξης Αν G > 0 δεξιά λοξότητα G = 0 συµµετρία (απουσία λοξότητας) G < 0 αριστερή λοξότητα Χ. Εμμανουηλίδης, 0

11 Μορφή κατανομών δεδομένων Λοξότητα κατανομών και μέτρα θέσης Συμμετρική κατανομή = m = τ Δεξιά (θετική) λοξότητα > m > τ Αριστερή (αρνητική) λοξότητα < m < τ < m < τ > m > τ = m = τ Μορφή κατανομών δεδομένων Λοξότητα κατανομών και μέτρα θέσης Παράδειγμα: Χρέωση πελατών σε Χρέωση ( ) Συχνότητα Αθρ. Συχν. Τάξεις f F Άθροισµα 50 Μέτρα θέσης : = 78.8 m = 76.5 τ 75 Χ. Εμμανουηλίδης, 6 Χ. Εμμανουηλίδης, 6 Συχνότητα Μορφή κατανομών δεδομένων Λοξότητα κατανομών και μέτρα θέσης Παράδειγμα: Χρέωση πελατών σε τ < m < δεξιά λοξότητα G = G > 0 δεξιά λοξότητα Χρέωση ( ) Χ. Εμμανουηλίδης, 63 Μορφή κατανομών δεδομένων Λοξότητα κατανομών και μέτρα θέσης Παρατήρηση: Για διακριτές κατανομές (με έναν τύπο) οι προηγούμενες σχέσεις διάταξης δεν ισχύουν πάντοτε. Υπάρχουν διακριτές κατανομές με λοξότητα κάποιου είδους για τις οποίες οι αντίστοιχη σχέση διάταξης για τα μέτρα θέσης δεν ισχύει Χ. Εμμανουηλίδης, 64 Μορφή κατανομών δεδομένων Λοξότητα κατανομών και μέτρα θέσης Παρατήρηση: Για διακριτές κατανομές (με έναν τύπο) οι προηγούμενες σχέσεις διάταξης δεν ισχύουν πάντοτε Παράδειγμα 0 Μέτρα θέσης : =.8 m =.0 τ =.0 Η λοξότητα είναι δεξιά αλλά δεν ισχύει η σχέση > m > τ διότι έχουµε πολλές επαναλαµβανόµενες τιµές (α) ίσες µε την τιµή της διαµέσου, και (β) µικρότερες από αυτή 3 4 umber of ds 5 Στατιστική Τμήμα ΑΠΘ Εμμανουηλίδης, Ι, Ο.Ε. Χ. 65 Μορφή κατανομών δεδομένων Κύρτωση συντελεστής κυρτότητας όπου Αν m 4 G = f, m f (.) δηλώνει συνάρτηση των ορισµάτων στην παρένθεση G > 0 θετική κύρτωση (λεπτόκυρτη) G = 0 µηδενική κύρτωση (µεσόκυρτη) G < 0 αρνητική κύρτωση (πλατύκυρτη) Χ. Εμμανουηλίδης, 66 Χ. Εμμανουηλίδης,

12 Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Ποσοστιαία σημεία Για ένα σύνολο δεδομένων σε αύξουσαή φθίνουσα διάταξη, τοp-ποσοστιαίο σημείοείναι η τιμή για την οποία το πολύ p% των δεδομένων έχουν τιμή μικρότερη ή ίση από αυτήνκαι τουλάχιστοντο(00-p)% των δεδομένων έχουν τιμή μεγαλύτερη από αυτήν p% (00-p)% p-ποσοστιαίο σηµείο εδοµένα Χ. Εμμανουηλίδης, 67 Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Τεταρτημόρια Το5 ο (συμβολίζεται Q), το50 ο (η διάμεσος, ή αλλιώςq), και το75 ο (συμβολίζεται Q3) ποσοστιαίο σημείο Χωρίζουν το διατεταγμένο σύνολο τιμών σε τέσσερα ισομεγέθη υποσύνολα 5% 5% 5% 5% εδοµένα Q Q Q 3 Χ. Εμμανουηλίδης, 68 Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Υπολογισμός ποσοστιαίων σημείων (ένας από τους δυνατούς τρόπους) Στα διατεταγμένα δεδομένα, υπολογίζουμε τη θέση του p-ποσοστιαίου σημείου = ( + ) p /00 Με γραμμική παρεμβολή, υπολογίζουμε την τιμή του p-ποσοστιαίου σημείου Αν = ακέραιος : Αν = δεκαδικός : p-ποσοστιαίο σηµείο = p-ποσοστιαίο σηµείο = ( t( )( ) t( ) + ) t( ) + t( ) Χ. Εμμανουηλίδης, 69 Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Παράδειγμα Ηλικία σε δείγμα =50ατόμων (σε έτη) αύξουσα διάταξη Να υπολογιστούν τα τεταρτημόρια (Q, Q, Q3) Χ. Εμμανουηλίδης, 70 η 3η Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Παράδειγμα Για το ο τεταρτημόριο (Q) : = ( + ) p /00 = 5 5 /00 = ( t( ))( + ) Q = + t( ) t( ) t( ) 3 ( ) ( ) = = = 34.5 Χ. Εμμανουηλίδης, 7 5η 6η Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Παράδειγμα Για το ο τεταρτημόριο (m ή Q) : = ( + ) p /00 = 5 50 /00 = ( t( ))( + ) Q = + t( ) t( ) t( ) ( ) ( ) = = = Χ. Εμμανουηλίδης, 7 Χ. Εμμανουηλίδης,

13 38η 39η Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Παράδειγμα Για το 3ο τεταρτημόριο (m ή Q3) : = ( + ) p /00 = 5 75 /00 = ( t( ))( + ) Q = + 3 t( ) t( ) t( ) ( ) ( ) = = = Χ. Εμμανουηλίδης, 73 Μέτρα μη-κεντρικής τάσης Παρατήρηση: Όταν το πλήθος των παρατηρήσεων είναι μικρό, δεν είναι δυνατόν να επιτευχθούν ακριβώς τα ονομαστικά ποσοστά κάλυψης των ποσοστιαίων σημείων. Π.χ. στο παράδειγμα της ηλικίας Κάλυψη Q= 00 /50 =4% (< 5%) Κάλυψη Q= 00 5/50 =50% (O) Κάλυψη Q3= 00 38/50 =76% (> 75%) Χ. Εμμανουηλίδης, 74 Μεταβλητότηταείναιη διασπορά των δεδομένων γύρω από ένα μέτρο κεντρικής τάσης Συνήθη μέτρα μεταβλητότητας (ή διασποράς): Εύρος Διακύμανση και τυπική απόκλιση Ενδοτεταρτημοριακό εύρος Χρησιμότητα Παρέχουν πληροφορία για το πόσο αντιπροσωπευτικά για τα δεδομένα είναι τα μέτρα θέσης Είναι χρήσιμα για τη σύγκριση συνόλων δεδομένων Είναι μέτρα της αβεβαιότητας που περιέχουν τα δεδομένα Χ. Εμμανουηλίδης, 75 Εύρος Η διαφορά ανάμεσα στη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή R = ma - m Τείνει να αυξάνει όταν το αυξάνει Ευαίσθητο σε ακραίες τιμές(δηλ. ασυνήθιστα μεγάλες ή μικρές τιμές) Δε λαμβάνει υπόψη την κατανομή των δεδομένων Χ. Εμμανουηλίδης, 76 Διακύμανση N ( µ ) Διακύμανση πληθυσμού = σ = N Είναι η μέση τετραγωνική απόκλιση των δεδομένων από το μέσο τους Δειγματική διακύμανση Είναι ευαίσθητη σε ακραίες τιμές = ( ) Χ. Εμμανουηλίδης, 77 s = Δειγματική διακύμανση ( ) = s = O παρονομαστής είναι -αντί για, ώστε η δειγματική διακύμανση να είναι αμερόληπτος εκτιμητής της διακύμανσης του πληθυσμού Αμερόληπτος εκτιμητής = σε πολύ μεγάλο αριθμό (έστω ν στο πλήθος)τυχαίων δειγμάτων μεγέθους, o μέσος όρος των υπολογισμένων δειγματικών διακυμάνσεων ταυτίζεται με την διακύμανση του πληθυσμού v s = σ = lm v v Χ. Εμμανουηλίδης, 78 Χ. Εμμανουηλίδης, 3

14 Δειγματική διακύμανση Αν χρησιμοποιήσουμε ως παρονομαστή το, τότε η s θα υποεκτιμάσυστηματικά την σ (δηλ. η s θα είναι και τις περισσότερες φορές μικρότερη από την σ, αλλά και η μέση τιμή της θα είναι μικρότερη από την σ ) Παράδειγμα Υπολογιστικό πείραμα: Ο πληθυσμός είναι οι ακέραιοι Μέσος: µ = 50 Διακύμανση: σ = 850 N { } { } = 0,,,...,00, N = 0 = Χ. Εμμανουηλίδης, 79 Δειγματική διακύμανση Παράδειγμα Υπολογιστικό πείραμα: Θα πάρουμε ν=00,000 τυχαία δείγματα μεγέθους =5 Θα υπολογίσουμε σε κάθε δείγμα τη διακύμανση με παρονομαστή (α) -και (β). Θα καταγράψουμε την κατανομή των υπολογισμένων διακυμάνσεων με τους τρόπους (α) και (β) Θα υπολογίσουμε -τις μέσες τιμές των δύο αυτών κατανομών και -πόσες φορές ο τρόπος (α) οδηγεί σε εκτιμήσεις που απέχουν λιγότερο από το σ σε σχέση με τον τρόπο (β) Χ. Εμμανουηλίδης, 80 Δειγματική διακύμανση Παράδειγμα Υπολογιστικό πείραμα: Τρόπος α (-) s = 850 σ Τρόποςβ() =5 s = 650 < σ Παρατήρηση: 650 = 850 Ο τρόπος (α) είναι ακριβέστερος του τρόπου (β) στο 60% των δειγµάτων (δηλ. µε πιθανότητα 0.6) Probablty desty σ = 850 varace s Τρόπος β () Τρόπος α (-) Χ. Εμμανουηλίδης, Τυπική απόκλιση = ιακύµανση Μετράται με τιςίδιες μονάδες με τα δεδομένα, και συνεπώς είναι συγκρίσιμη με τον μέσο Εμπειρικός κανόνας για«καμπανοειδείς» κατανομές Περίπου 68%, 95%, και 99.7% των δεδομένων βρίσκονται μεταξύ,, και 3 τυπικών αποκλίσεων γύρω από τον μέσο αντίστοιχα Χ. Εμμανουηλίδης, 8 Εμπειρικός κανόνας για«καμπανοειδείς» κατανομές Εναλλακτικός τύπος υπολογισμού διακύμανσης s = Προκύπτει από τον ορισμό και τη σχέση ( ) = Χ. Εμμανουηλίδης, 83 Χ. Εμμανουηλίδης, 84 Χ. Εμμανουηλίδης, 4

15 Υπολογισμός διακύμανσης από την κατανομή συχνοτήτων επαναλαμβανόμενες τιμές Έστω οι τιμές {,,, } που εμφανίζονται με συχνότητες { f, f,, f }.Τότε: s ( ) f f = = = = Παράδειγμα: Έτη σε συνεχή απασχόληση Έτη 0 f 5 f 0 0 f Άθροισμα f = 569 = = = f = s = = (3.) 3.89 = = 8 8 Χ. Εμμανουηλίδης, 85 Χ. Εμμανουηλίδης, 86 Υπολογισμός διακύμανσης από την κατανομή συχνοτήτων ομαδοποιημένες τιμές Χρησιμοποιείται η ίδια σχέση, όπου οι κεντρικές τιμές και f οι συχνότητες των τάξεων s ( ) f f = = = = Χ. Εμμανουηλίδης, 87 Παράδειγμα: Χρέωση πελατών Χρέωση ( ) Τάξεις ( ) f f f f Άθροισµα ( ) f f = 3940 = 9378 = = = 78.8, s = = = Χ. Εμμανουηλίδης, 88 Ιδιότητες της διακύμανσης Αν όλες οι τιμές είναι ίσες μεταξύ τους, τότε Γραμμικός μετασχηματισμός Παρατήρηση: αν s = 0 α, β = σταθερές = α + β s = β s β = s = s Ιδιότητες της διακύμανσης Γραμμικός μετασχηματισμός παράδειγμα Σε κατηγορία μισθωτών οι καθαρές μέσες μηνιαίες αποδοχές ανέρχονται στα 00 και η διακύμανσή τους σε Με την εφαρμογή προγράμματος περικοπών, οι αποδοχές μειώθηκαν για κάθε μισθωτό κατά 0% και επιβλήθηκε μηνιαία έκτακτη εισφορά 00. Πόση είναι η διακύμανση των νέων καθαρών μηνιαίων αποδοχών στην κατηγορία; (Απάντηση: 96 ) Χ. Εμμανουηλίδης, 89 Χ. Εμμανουηλίδης, 90 Χ. Εμμανουηλίδης, 5

16 Ιδιότητες της διακύμανσης Hδιακύμανση διακυμάνσεων είναι γραμμικός συνδυασμός των διακυμάνσεων: Έστω σύνολαμε πλήθος παρατηρήσεων σε κάθε σύνολο ίσο με, =,,,. Αν ο μέσος και η διακύμανση των παρατηρήσεων σε κάθε σύνολο είναι και s αντίστοιχα, τότε η διακύμανση του ενιαίου συνόλου είναι: s s = ( ) + = όπου ο αριθµητικός µέσος του ενιαίου συνόλου και το µέγεθος του ενιαίου συνόλου Χ. Εμμανουηλίδης, 9 Ιδιότητες της διακύμανσης Δηλαδή, = =, = = = s s = ( ) + = Χ. Εμμανουηλίδης, 9 Σχετική διασπορά Ο συντελεστής σχετικής διασποράς ορίζεται ως s cv = και δηλώνει πόσο μεγάλη είναι η τυπική απόκλιση σχετικά με τον μέσο. Χρησιμοποιείται για τη σύγκριση της μεταβλητότητας ανάμεσα σε δύο ή περισσότερα σύνολα παρατηρήσεων, όταν: Οι παρατηρήσεις στα σύνολα εκφράζονται στις ίδιες μονάδες αλλά οι αριθμητικοί μέσοι διαφέρουν σημαντικά Οι παρατηρήσεις στα σύνολα δεν εκφράζονται στις ίδιες μονάδες Ο μέσος πρέπει να είναι σημαντικά διαφορετικός του μηδενός Παράδειγμα Σχετική διασπορά Σε κατηγορία μισθωτών οι καθαρές μέσες μηνιαίες αποδοχές ανέρχονται στα 00 και η διακύμανσή τους σε Με την εφαρμογή προγράμματος περικοπών, οι αποδοχές μειώθηκαν για κάθε μισθωτό κατά 0% και επιβλήθηκε μηνιαία έκτακτη εισφορά 00. Μεταβλήθηκε η σχετική διασπορά των καθαρών μηνιαίων αποδοχών στην κατηγορία; Χ. Εμμανουηλίδης, 93 Χ. Εμμανουηλίδης, 94 Σχετική διασπορά Παράδειγμα Πριν τις περικοπές: A = 00, sa = 4400 = 0 0 cva = = Μετά τις περικοπές: = 760, s = 96 = cvb = = Η σχετική διασπορά αυξήθηκε B Χ. Εμμανουηλίδης, 95 B Ενδοτεταρτημοριακό εύρος (Η ή IQR) Η διαφορά ανάμεσα στο3 ο και στο ο τεταρτημόριο H = Q3 Q Είναι το εύρος του μεσαίου 50%των διατεταγμένων δεδομένων Δεν επηρεάζεται από ακραίες τιμές (είναι μέτρο «ανθεκτικό σε ακραίες τιμές») Χ. Εμμανουηλίδης, 96 Χ. Εμμανουηλίδης, 6

17 Παράδειγμα Ηλικία σε δείγμα =50ατόμων (σε έτη) αύξουσα διάταξη Να υπολογιστεί το ενδοτεταρτημοριακό εύρος (Η) Χ. Εμμανουηλίδης, 97 Παράδειγμα Ηλικία σε δείγμα =50ατόμων (σε έτη) αύξουσα διάταξη Q = 34.5, Q = H = Q Q = = Χ. Εμμανουηλίδης, 98 Αναγνώριση ακραίων τιμών Ακραία τιμή μια ασυνήθιστα μεγάλη ή μικρή τιμή των δεδομένων Αιτίες: Λάθος στη μέτρηση Λάθος στην καταγραφή των τιμών Σπάνιο(τυχαίο)γεγονός χαρακτηριστικό του πληθυσμού Ανίχνευση Θηκόγραμμα Χ. Εμμανουηλίδης, 99 Θηκόγραμμα Βασίζεται στη σύνοψη των 5 αριθμών Ανίχνευση ακραίων τιμών {, Q, Q, Q, } m 3 ma Πιθανή ακραία τιμή «Μύστακες» Εσωτερικός φράκτης: [Q-.5Η, Q3+.5Η] όχι στο σχήμα Εξωτερικός φράκτης: : [Q-3Η, Q3+3Η] όχι στο σχήμα Φέρουμε γραμμές («μύστακες»)μέχρι τις τιμές των δεδομένων εντός του εσωτερικού φράκτη που είναι πιο κοντάστα όριά του Χ. Εμμανουηλίδης, 00 Q 3 Διάμεσος Q Ανίχνευση ακραίων τιμών Θηκόγραμμα Πιθανή ακραία τιμή «Μύστακες» Κανόνας τιμές ανάμεσα στον εσωτερικό και εξωτερικό φράκτη είναι ύποπτες για ακρότητα και σημειώνονται συνήθως με ο τιμές εκτός του εξωτερικού φράκτη θεωρούνται ακραίες και σημειώνονται συνήθως με * Χ. Εμμανουηλίδης, 0 Q 3 Διάμεσος Q Θηκόγραμμα - Χρησιμότητα Αποκαλύπτει ακραίες ή ύποπτες τιμές για ακρότητα Προσδιορίζει τη θέση των δεδομένων με την απεικόνιση της διαμέσου Προσδιορίζει τη διασπορά των δεδομένων με το μήκος του παραλληλογράμμου (ενδοτεταρτημοριακόεύρος) και των γραμμών («μύστακες») Προσδιορίζει τη λοξότητα της κατανομής: Αν το μέρος του παραλληλογράμμου αριστερά της διαμέσου είναι μεγαλύτερο από το μέρος δεξιά ή/και η αριστερή γραμμή μεγαλύτερη από αυτήν δεξιά, τότε η κατανομή έχει αριστερή λοξότητα και αντίστροφα. Χ. Εμμανουηλίδης, 0 Χ. Εμμανουηλίδης, 7

18 Τέλος ενότητας Χ. Εμμανουηλίδης, 03 Χ. Εμμανουηλίδης, 8

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΜΕΤΡΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Στατιστικά περιγραφικά μέτρα Τα στατιστικά περιγραφικά μέτρα είναι αντιπροσωπευτικές τιμές οι οποίες περιγράφουν με τρόπο ποσοτικό την κατανομή μιας μεταβλητής. Λειτουργούν

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2013-2014 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό ή ιδιότητα που μπορεί να πάρει διαφορετικές τιμές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Α.Ν.) Εισαγωγή στη Στατιστική ΜΕΡΟΣ ΙΙ-ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΔΙΑΣΠΟΡΑ-ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ ΤΥΠΙΚΗ ΑΠΟΚΛΙΣΗ ΡΟΠΕΣ ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ-ΚΥΡΤΩΣΗ II.1

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως. Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 2: Στατιστικά Μέτρα Διασποράς Ασυμμετρίας - Κυρτώσεως Δρ. Γεώργιος Κοντέος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Διαβάστε περισσότερα

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309

Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Βιοστατιστική ΒΙΟ-309 Χειμερινό Εξάμηνο Ακαδ. Έτος 2015-2016 Ντίνα Λύκα lika@biology.uoc.gr 1. Εισαγωγή Εισαγωγικές έννοιες Μεταβλητότητα : ύπαρξη διαφορών μεταξύ ομοειδών μετρήσεων Μεταβλητή: ένα χαρακτηριστικό

Διαβάστε περισσότερα

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων

Ελλιπή δεδομένα. Εδώ έχουμε 1275. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 1275 ατόμων Ελλιπή δεδομένα Στον πίνακα που ακολουθεί δίνεται η κατά ηλικία κατανομή 75 ατόμων Εδώ έχουμε δ 75,0 75 5 Ηλικία Συχνότητες f 5-4 70 5-34 50 35-44 30 45-54 465 55-64 335 Δεν δήλωσαν 5 Σύνολο 75 Μπορεί

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς )

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΟΙ ΠΙΝΑΚΕΣ. ΓΕΝΙΚΟΙ (περιέχουν όλες τις πληροφορίες που προκύπτουν από μια στατιστική έρευνα) ΕΙΔΙΚΟΙ ( είναι συνοπτικοί και σαφείς ) Πληθυσμός (populaton) ονομάζεται ένα σύνολο, τα στοιχεία του οποίου εξετάζουμε ως προς τα χαρακτηριστικά τους. Μεταβλητές (varables ) ονομάζονται τα χαρακτηριστικά ως προς τα οποία εξετάζουμε έναν πληθυσμό.

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 9/10/009 ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Emal: gasl@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gasl

Διαβάστε περισσότερα

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων

2) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων ) Περιγραφή ιακριτών Ποσοτικών εδοµένων Για να περιγράψουµε διακριτά ποσοτικά δεδοµένα µε λίγες τιµές ( σε περίπτωση πολλών τιµών τα θεωρούµε ως συνεχή) κάνουµε: Πίνακας συχνοτήτων Ραβδόγραµµα, Κυκλικό

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ Η/Υ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 4o ΜΑΘΗΜΑ Ι ΑΣΚΩΝ ΒΑΣΙΛΕΙΑ ΗΣ ΓΕΩΡΓΙΟΣ Email: gvasil@math.auth.gr Ιστοσελίδα Μαθήματος: users.auth.gr/gvasil

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδομένων Εβδομάδα 5 η 6 η Παιδαγωγικό Τμήμα ημοτικής Εκπαίδευσης ημοκρίτειο Πανεπιστήμιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2013-2014 Εμπειρικές Στατιστικές Κατανομές Τα προβλήματα που

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr

Στατιστική Ι. Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Στατιστική Ι Μέτρα Διασποράς (measures of dispersion) Δρ. Δημήτρης Σωτηρόπουλος e-mail: dgs@eap.gr Παρασκευή, 30 Νοεμβρίου 2012 Στατιστική Ι Έννοιες - Κλειδιά Μεταβλητότητα Εύρος (range) Εκατοστημόρια

Διαβάστε περισσότερα

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός.

ν ν = 6. όταν είναι πραγµατικός αριθµός. Συνάρτηση: ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ λέγεται µια διαδικασία µε την οποία κάθε στοιχείο ενός συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο κάποιου άλλου συνόλου Β. Γνησίως αύξουσα: σε ένα διάστηµα του πεδίου

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες:

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ. ν 1 + ν ν κ = v (1) Για τη σχετική συχνότητα ισχύουν οι ιδιότητες: Συχνότητα v i O φυσικός αριθμός που δείχνει πόσες φορές εμφανίζεται η τιμή x i της εξεταζόμενης μεταβλητής Χ στο σύνολο των παρατηρήσεων. Είναι φανερό ότι το άθροισμα όλων των συχνοτήτων είναι ίσο με το

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : ,

Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η : , Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Στατιστική II Διάλεξη 1 η : Εισαγωγή-Επανάληψη βασικών εννοιών Εβδομάδα 1 η :1-0-017, 3-0-017 Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Σκοπός του μαθήματος Η παρουσίαση

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Χειμερινό εξάμηνο 2010-2011 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ.Μ. 436 Περιγραφική Στατιστική Ι users.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής

Διαβάστε περισσότερα

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς

Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Ποιοτική & Ποσοτική Ανάλυση εδοµένων Εβδοµάδα 5 η 6 η είκτες Κεντρικής Τάσης και ιασποράς Παιδαγωγικό Τµήµα ηµοτικής Εκπαίδευσης ηµοκρίτειο Πανεπιστήµιο Θράκης Αλεξανδρούπολη, 2014-2015 Εµπειρικές Στατιστικές

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική

Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη. MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Ποσοτικές Μέθοδοι Δρ. Χάϊδω Δριτσάκη MSc Τραπεζική & Χρηματοοικονομική Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Δυτικής Μακεδονίας Western Macedonia University of Applied Sciences Κοίλα Κοζάνης 50100 Kozani GR

Διαβάστε περισσότερα

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis

Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Διερευνητική Ανάλυση Δεδομένων Exploratory Data Analysis Περιλαμβάνει ένα σύνολο αριθμητικών και γραφικών μεθόδων, που μας επιτρέπουν να αποκτήσουμε μια πρώτη εικόνα για την κατανομή των τιμών της μεταβλητής

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης

Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ

Είδη Μεταβλητών Κλίμακα Μέτρησης Οι τεχνικές της Περιγραφικής στατιστικής ανάλογα με την κλίμακα μέτρησης Οι τελεστές Π και Σ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρμοσμένες Επιστήμες Στατιστικός Πληθυσμός και Δείγμα Το στατιστικό

Διαβάστε περισσότερα

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους.

Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ. Πληθυσμός: Το συνόλου του οποίου τα στοιχεία εξετάζουμε ως προς ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά τους. 1 Κεφάλαιο. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Α. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Στατιστική: ένα σύνολο αρχών και μεθοδολογιών για: το σχεδιασμό της διαδικασίας συλλογής δεδομένων τη συνοπτική και αποτελεσματική παρουσίασή τους την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Nα χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακλουθούν γράφοντας στο τετράδιο σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας.

Περιεχόμενα της Ενότητας. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας. Περιεχόμενα της Ενότητας Στατιστική Ι Ενότητα 5: Συνεχείς Κατανομές Πιθανότητας Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Επίκουρος Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης. Συνεχείς Τυχαίες Μεταβλητές. Συνεχείς

Διαβάστε περισσότερα

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής

Τάση συγκέντρωσης. Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης. Μέτρα Διασποράς. Τάση διασποράς. Σχήμα της κατανομής Τάση συγκέντρωσης Μέτρα Κεντρικής Τάσης και Θέσης Τάση διασποράς Μέτρα Διασποράς Σχήμα Σχήμα της κατανομής Αριθμητικός Μέσος Γεωμετρικός Μέσος Μέτρα Κεντρικής Τάσης Αρμονικός Μέσος Διάμεσος ή Κεντρική

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί)

ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ. Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) ΤΕΣΤ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΩΡΓΙΚΟΥ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΣΜΟΥ Τεστ 1 ο Κατανοµή Συχνοτήτων (50 βαθµοί) Α. Ερωτήσεις πολλαπλών επιλογών.(11 βαθµοί) (1:3 βαθµοί, 2-9:8 βαθµοί) 1. ίνεται ο πίνακας: Χ

Διαβάστε περισσότερα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα

I2. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα I. Αριθμητικά περιγραφικά μέτρα Μέτρα θέσης ή κεντρικής τάσης (cetral tedecy) Χρήσιμα για την περιγραφή της θέσης της κατανομής από την οποία προέρχονται. Δημοφιλέστερα: Μέση τιμή, κορυφή και διάμεσος.

Διαβάστε περισσότερα

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου

Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Για το Θέμα 1 στα Μαθηματικά Γενικής Παιδείας Γ Λυκείου Διαφορικός Λογισμός 1. Ισχύει f (g())) ) f ( = f (g())g () όπου f,g παραγωγίσιµες συναρτήσεις 2. Αν µια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιµη σε ένα διάστηµα

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Κ. Μ. 436 A εξάμηνο 2009-2010 Περιγραφική Στατιστική Ι users.att.sch.gr/abouras abouras@sch.gr sch.gr abouras@uth.gr Μέτρα θέσης Η θέση αντιπροσωπεύει τη θέση της κατανομής κατά

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Κεφάλαιο Τέσσερα Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Copyright 2009 Cengage Learning 4.1 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής Δείκτες Κεντρικής Θέσης [Αριθμητικός] Μέσος, Διάμεσος, Επικρατούσα

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ. Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ Ενότητα 2: ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΙΙ (2/4). Επίκ. Καθηγητής Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons.

Διαβάστε περισσότερα

Περιγραφική Στατιστική

Περιγραφική Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Κώστας Γλυκός Ασκήσεις για ΑΕΙ και ΤΕΙ σε Περιγραφική Στατιστική τεχνικές 3 ασκήσεις Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 3 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 3 / 0 / 0 6 εκδόσεις Καλό

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΚΟΙΝΟΙ ΥΠΟΨΗΦΙΟΙ Εισαγωγή Όπως αναφέρθηκε στο Κεφάλαιο 1 υπάρχουν 154 υποψήφιοι που έχουν συµµετάσχει στις εξετάσεις των ετών 01 και 02. Για αυτούς γίνεται στο Κεφάλαιο 6 ξεχωριστή συγκριτική

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ. για τα οποία ισχύει y f (x) , δηλαδή το σύνολο, x A, λέγεται γραφική παράσταση της f και συμβολίζεται συνήθως με C Επιμέλεια: Κ Μυλωνάκης ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζεται πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α; Έστω Α ένα υποσύνολο του R Ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α μια διαδικασία

Διαβάστε περισσότερα

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr

Ποσοτικές Μέθοδοι., Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης, MBA, Ph.D. Candidate,, e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Ποσοτικές Μέθοδοι Εισηγητής: Ν.Κυρίτσης MBA Ph.D. Candidate e-mail: kyritsis@ist.edu.gr Εισαγωγή στη Στατιστική Διδακτικοί Στόχοι Μέτρα Σχετικής Διασποράς Κατανομές Πιθανοτήτων Η Κανονική Κατανομή Η Τυποποιημένες

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ

Διαβάστε περισσότερα

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ.

Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. Μ Ε Τ Ρ Α Δ Ι Α Σ Π Ο Ρ Α Σ. π.χ. Βαθμολογία διαγωνίσματος σε τμήματα: Α : 7, 11,16, 16,,. Β : 11, 13, 16, 16, 17, 17. Παρατήρηση : Για τέτοιους λόγους χρειάζεται και η εξέταση κάποιων μέτρων διασποράς

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο : ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ 1. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; (ΓΕΛ 2005) 2. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; (ΓΕΛ 2005,2014) 3. Τι ονοµάζεται απόλυτη

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ. Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό - Λάθος» 1. Το χρώμα κάθε αυτοκινήτου είναι ποιοτική μεταβλητή. Σ Λ 2. Ο αριθμός των ανθρώπων που παρακολουθούν μια συγκεκριμένη τηλεοπτική εκπομπή είναι διακριτή

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένη Στατιστική

Εφαρμοσμένη Στατιστική ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Περιγραφική Στατιστική Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε

Διαβάστε περισσότερα

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική

Μάθηµα 3 ο. Περιγραφική Στατιστική Μάθηµα 3 ο Περιγραφική Στατιστική ΗΣτατιστικήείναι Μια τυποποιηµένη σειρά αναλυτικών µεθόδων, οι οποίες χρησιµοποιούνται από τον εκάστοτε ερευνητή για την ανάλυση των διαθέσιµων δεδοµένων. Υπάρχουν δύο

Διαβάστε περισσότερα

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ www.frotstra-eap.gr e-mal: frotstra_eap@yahoo.gr Τηλ:10.93..50 ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΔΕΟ 13 ΤΟΜΟΣ Δ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΗ ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ () ΑΘΗΝΑ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 013 1 www.frotstra-eap.gr e-mal: frotstra_eap@yahoo.gr

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΑΚΑ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΟΛΛΙΝΤΖΑ Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής Συντάκτης: Δημήτριος Κρέτσης 1. Ο κλάδος της περιγραφικής Στατιστικής: α. Ασχολείται με την επεξεργασία των δεδομένων και την ανάλυση

Διαβάστε περισσότερα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα

Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων. Παράδειγμα Δύο κύριοι τρόποι παρουσίασης δεδομένων Παράδειγμα Με πίνακες Με διαγράμματα Ονομαστικά δεδομένα Εδώ τα περιγραφικά μέτρα (μέσος, διάμεσος κλπ ) δεν έχουν νόημα Πήραμε ένα δείγμα από 25 άτομα και τα ρωτήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ)

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ( ΜΕΤΡΑ ΘΕΣΗΣ ΚΑΙ ΔΙΑΣΠΟΡΑΣ) ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Μέτρα θέσης και διασποράς (Εισαγωγή) Μέση τιμή Διάμεσος Σταθμικός μέσος Επικρατούσα τιμή Εύρος Διακύμανση Τυπική απόκλιση Συντελεστής μεταβολής Κοζαλάκης

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Περιγραφικοί παράµετροι ή περιγραφικά µέτρα Τα περιγραφικά µέτρα διακρίνονται σε: µέτρα θέσης των στατιστικών δεδο- µένων ή παράµετροι κεντρικής τάσης µέτρα διασποράς µέτρα ή συντελεστές

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1

Στατιστική Επιχειρήσεων Ι. Περιγραφική Στατιστική 1 Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Περιγραφική Στατιστική 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική)

28/11/2016. Στατιστική Ι. 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) Στατιστική Ι 9 η Διάλεξη (Περιγραφική Στατιστική) 1 2 Πληθυσμός ή στατιστικός πληθυσμός Ονομάζεται η κατανομή των τιμών μιας τ.μ., δηλαδή η κατανομή των τιμών που παίρνει ένα χαρακτηριστικό μιας ομάδας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Γ. ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ - ΘΕΜΑ Ο Έστω η συνάρτηση f( ) =, 0 ) Να αποδείξετε ότι f ( ). f( ) =. ) Να υπολογίσετε το όριο lm f ( )+ 4. ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική

ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ. 2. Περιγραφική Στατιστική ΑΝΑΛΥΣΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ 2. Περιγραφική Στατιστική Βασικά είδη στατιστικής ανάλυσης 1. Περιγραφική στατιστική: περιγραφή του συνόλου των δεδοµένων (δείγµατος) 2. Συµπερασµατολογία: Παραγωγή συµπερασµάτων για τα

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3

Στατιστική Ι Ασκήσεις 3 Διάλεξη 3: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω το δείγμα μεγέθους n = 5 με παρατηρήσεις 10, 0, 1, 17 και 16. Υπολογίστε τον αριθμητικό μέσο και τη διάμεσο. Υπολογίστε το εύρος και το ενδοτεταρτημοριακό εύρος. Υπολογίστε

Διαβάστε περισσότερα

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραµµα Σπουδών: ΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεµατική Ενότητα: ΕΟ-3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδηµαϊκό Έτος: 003- ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ

Διαβάστε περισσότερα

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ.

03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς. Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. 6_Στατιστική στη Φυσική Αγωγή 03 _ Παράμετροι θέσης και διασποράς Γούργουλης Βασίλειος Καθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Παράμετροι θέσης όταν θέλουμε να εκφράσουμε μια μεταβλητή με έναν αριθμό π.χ.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα.

ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. ΑΣΥΜΜΕΤΡΙΑ Ας υποθέσουμε, ότι κατά την μελέτη της κατανομής δύο μεταβλητών, καταλήγουμε στα παρακάτω ιστογράμματα. Στα παραπάνω ιστογράμματα, παρατηρούμε, ότι αν και υπάρχει διαφορά στη διασπορά των τιμών

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ

ΜΕΤΡΑ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΤΑΣΗΣ Μέτρα Περιγραφικής Στατιστικής Πληθυσμιακοί παράμετροι: τα αριθμητικά μεγέθη που εκφράζουν τις στατιστικές ιδιότητες ενός πληθυσμού (που προσδιορίζουν / περιγράφουν τη φυσιογνωμία και τη δομή του) Στατιστικά

Διαβάστε περισσότερα

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

Ποιο από τα δύο τµήµατα είχε καλύτερη επίδοση; επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε µε τη χρήση µιας εικοσαβάθµιας κλίµακας) παρουσιάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής;

ΚΕΦΑΛΑΙΟ. 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; Μαθηµατικά και Στοιχεία Στατιστικής ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο 1 : ιαφορικός Λογισµός 1. α. Tι ονοµάζεται συνάρτηση από το σύνολο Α στο σύνολο Β; β. Tι ονοµάζεται πραγµατική συνάρτηση πραγµατικής µεταβλητής; 2. Έστω µια

Διαβάστε περισσότερα

www.oleclassroom.gr Α. Τα δεδομένα της άσκησης είναι αταξινόμητα δηλαδή δεν είναι τοποθετημένα σε τάξεις εύρους δ όπως θα δούμε στο υποερώτημα (β). www.oleclassroom.gr Πριν τους υπολογισμούς κατασκευάζουμε

Διαβάστε περισσότερα

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος

Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Παρατηρήσεις για τη χρήση ενός κυκλικού διαγράμματος Χρησιμοποιείται μόνο όταν οι τιμές της μεταβλητής έχουν ένα σταθερό άθροισμα (συνήθως 100%, όταν μιλάμε για σχετικές συχνότητες) Είναι χρήσιμο μόνο

Διαβάστε περισσότερα

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $)

Παράδειγμα. Χρονολογικά δεδομένα. Οι πωλήσεις μιας εταιρείας ανά έτος για το διάστημα (σε χιλιάδες $) Χρονολογικά δεδομένα Ένα διάγραμμα που παριστάνει την εξέλιξη των τιμών μιας μεταβλητής στο χρόνο χρονόγραμμα (ή χρονοδιάγραμμα). Κύρια μέθοδος παρουσίασης χρονολογικών δεδομένων είναι η πολυγωνική γραμμή

Διαβάστε περισσότερα

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ

2.3. Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 100 104 Α ΟΜΑ ΑΣ .3 Ασκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας 00 04 Α ΟΜΑ ΑΣ. Έξι διαδοχικοί άρτιοι αριθµοί έχουν µέση τιµή. Να βρείτε τους αριθµούς και τη διάµεσό τους. Αν είναι ο ποιο µικρός άρτιος τότε οι ζητούµενοι αριθµοί θα είναι

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα

Στατιστική: Δειγματοληψία X συλλογή δεδομένων. Περιγραφική στατιστική V πίνακες, γραφήματα, συνοπτικά μέτρα ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΜΕΡΟΣ Α Δημήτρης Κουγιουμτζής e-mail: dkugiu@auth.gr Ιστοσελίδα αυτού του τμήματος του μαθήματος: http://users.auth.gr/~dkugiu/teach/civiltrasport/ide.html Στατιστική: Δειγματοληψία

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4

Στατιστική Ι (ΨΥΧ-1202) ιάλεξη 4 (ΨΥΧ-1202) Λεωνίδας Α. Ζαμπετάκης Β.Sc., M.Env.Eng., M.Ind.Eng., D.Eng. Εmail: statisticsuoc@gmail.com ιαλέξεις: ftp://ftp.soc.uoc.gr/psycho/zampetakis/ ιάλεξη 4 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ ΤΜΗΜΑ ΨΥΧΟΛΟΓΙΑΣ Ρέθυμνο,

Διαβάστε περισσότερα

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε

Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Ασκηση Περιγραφικής Στατιστικής Κουτσουμανής Κ. Τομέας Επιστήμης και Τεχνολογίας Τροφίμων Σχολή Γεωπονίας, Α.Π.Θ Μοντέλα στην Επιστήμη Τροφίμων 532Ε Στέλνουμε την άσκηση

Διαβάστε περισσότερα

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50

Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Ενδεικτικές ασκήσεις ΔΙΠ 50 Άσκηση 1 (άσκηση 1 1 ης εργασίας 2009-10) Σε ένα ράφι μιας βιβλιοθήκης τοποθετούνται με τυχαία σειρά 11 διαφορετικά βιβλία τεσσάρων θεματικών ενοτήτων. Πιο συγκεκριμένα, υπάρχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΛΗΘΥΣΜΟΙ ΔΕΙΓΜΑΤΑ ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ Περιγραφική Στατιστική Με τις στατιστικές μεθόδους επιδιώκεται: - η συνοπτική αλλά πλήρης και κατατοπιστική παρουσίαση των ευρημάτων μιας

Διαβάστε περισσότερα

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής

ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ. Κεφάλαιο 4 Αριθμητικές Μέθοδοι Περιγραφικής Στατιστικής ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΔΥΤΙΚΗΣ ΕΛΛΑΔΑΣ ΤΜΗΜΑ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΠΑΤΡΑΣ Εργαστήριο Λήψης Αποφάσεων & Επιχειρησιακού Προγραμματισμού Καθηγητής Ι. Μητρόπουλος ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΤΩΝ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3.

ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. .. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1 Τί λέγεται πληθυσμός τι άτομα και τι μεταβλητή ενός πληθυσμού 2. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποιοτικές ή κατηγορικές; 3. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; 4. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή

Διαβάστε περισσότερα

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς

Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς Διασπορά Μέτρηση Έστω 3 πενταμελείς ομάδες φοιτητών με βαθμολογίες: Ομάδα 1: 6,7,5,8,4 Ομάδα 2: 7,5,6,5,7 Ομάδα 3: 8,6,2,4,10 Παρατηρούμε ότι και οι τρεις πενταμελείς ομάδες έχουν μέση βαθμολογία 6. συνέχεια

Διαβάστε περισσότερα

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΗΜΟΣΘΕΝΕΙΟ ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΠΑΙΑΝΙΑΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ () Χρησιµοποιώντας τον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων που δίνει την κατανοµή συχνοτήτων 0 οικογενειών ως προς τον αριθµό των παιδιών τους, να βρεθεί ο αριθµός

Διαβάστε περισσότερα

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις

Θέμα Α. Θέμα Β. ~ 1/9 ~ Πέτρος Μάρκου. % σχεδιάζουμε το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων τοις 01 Θέμα Α Α1. Θεωρία (απόδειξη), σελίδα 31 σχολικού βιβλίου Α. Θεωρία (ορισμός), σελίδα 18-19 σχολικού βιβλίου Α3. Θεωρία, (ορισμός), σελίδα 96 σχολικού βιβλίου Α. α) Λάθος β) Σωστό γ) Λάθος δ) Σωστό ε)

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Περιγραφική Στατιστική 2: Αριθμητικά Μεγέθη

Ενότητα: Περιγραφική Στατιστική 2: Αριθμητικά Μεγέθη Τίτλος Μαθήματος: Στατιστική Ι Ενότητα: Περιγραφική Στατιστική 2: Αριθμητικά Μεγέθη Διδάσκων: Επίκ. Καθ. Αθανάσιος Λαπατίνας Τμήμα: Οικονομικών Επιστημών Διάλεξη 3: ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Έστω το δείγμα μεγέθους

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες. Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών

Στατιστική Ι. Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες. Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Στατιστική Ι Ενότητα 1: Βασικές Έννοιες Δρ. Κοντέος Γεώργιος Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Γρεβενών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό

Διαβάστε περισσότερα

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος.

Α) Αν η διάμεσος δ του δείγματος Α είναι αρνητική, να βρεθεί το εύρος R του δείγματος. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΣΥΛΛΟΓΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ου ΚΕΦΑΛΑΙΟΥ Άσκηση 1 (Προτάθηκε από Χρήστο Κανάβη) Έστω CV 0.4 όπου CV ο συντελεστής μεταβολής, και η τυπική απόκλιση s = 0. ενός δείγματος που έχει την ίδια

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝ. ΠΑΙΔΕΙΑΣ - Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ A A. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο, να αποδείξετε ότι f g f g,. Μονάδες 7 Α. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. B. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής. μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν x > 0 και πώς, αν ΘΕΜΑ 1o ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5)

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 8 ΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΡΧΕΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Εισαγωγή Στο Κεφάλαιο 8 υπολογίζονται και συγκρίνονται τα ποσοστά επιλογής του µαθήµατος στους ετήσιους πληθυσµούς, ανά φύλο και κατεύθυνση. Υπολογίζεται

Διαβάστε περισσότερα

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας

Οι δείκτες διασποράς. Ένα παράδειγµα εργασίας Κεφάλαιο 5 Οι δείκτες διασποράς 1 Ένα παράδειγµα εργασίας Ένας καθηγητής µαθηµατικών έδωσε σε δύο τµήµατα µιας τάξης του σχολείου του το ίδιο τεστ. Η επίδοση των µαθητών του κάθε τµήµατος (όπως µετρήθηκε

Διαβάστε περισσότερα

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά

ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ. Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας. Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗΣ Επικ. Καθ. Στέλιος Ζήμερας Τμήμα Μαθηματικών Κατεύθυνση Στατιστικής και Αναλογιστικά Χρηματοοικονομικά Μαθηματικά 2015 Πληθυσμός: Εισαγωγή Ονομάζεται το σύνολο των χαρακτηριστικών που

Διαβάστε περισσότερα

Εισαγωγή στη Στατιστική

Εισαγωγή στη Στατιστική Εισαγωγή στη Στατιστική Μετεκπαιδευτικό Σεμινάριο στην ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΗ ΑΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗ ΨΥΧΟΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΘΕΡΑΠΕΥΤΙΚΕΣ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΕΙΣ Δημήτρης Φουσκάκης, Επίκουρος Καθηγητής, Τομέας Μαθηματικών, Σχολή Εφαρμοσμένων

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου

Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΚΡΗΤΗΣ Τμήμα Λογιστικής & Χρηματοοικονομικής Στατιστική Επιχειρήσεων 1 Μάθημα του A Εξαμήνου Περιεχόμενα-Ύλη του Μαθήματος Περιγραφική Στατιστική: Είδη δεδομένων, Μετασχηματισμοί,

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ .Φουσκάκης- Περιγραφική Στατιστική ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Οι µεταβλητές µιας στατιστικής έρευνας αποτελούνται συνήθως από ένα µεγάλο πλήθος στοιχείων που αφορούν τον πληθυσµό που µας ενδιαφέρει. Για να

Διαβάστε περισσότερα

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ

ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ 9 ο ΜΑΘΗΜΑ ΟΜΑΔΟΠΟΙΗΣΗ ΤΩΝ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΩΝ Πότε κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων; Όταν το πλήθος των τιμών μιας μεταβλητής είναι αρκετά μεγάλο κάνουμε ομαδοποίηση των παρατηρήσεων. Αυτό συμβαίνει είτε

Διαβάστε περισσότερα

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες

Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική Εισαγωγικές Έννοιες Στατιστική: η επιστήµη που παρέχει µεθόδους και εργαλεία για την οργάνωση, συστηµατική περιγραφή και περιληπτική παρουσίαση δεδοµένων, καθώς και για την ανάλυση της πληροφορίας

Διαβάστε περισσότερα

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική

Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Μεθοδολογία των Επιστημών του Ανθρώπου: Στατιστική Ενότητα 1: Βασίλης Γιαλαμάς Σχολή Επιστημών της Αγωγής Τμήμα Εκπαίδευσης και Αγωγής στην Προσχολική Ηλικία Περιεχόμενα ενότητας Παρουσιάζονται βασικές

Διαβάστε περισσότερα

Χ. Εμμανουηλίδης, 1

Χ. Εμμανουηλίδης, 1 Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,

Διαβάστε περισσότερα

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9

γ. Η διακύμανση είναι μέτρο διασποράς και είναι καθαρός αριθμός, δηλαδή δεν έχει μονάδες. Μονάδες 9 ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥΜΟ:........................................... ΤΜΗΜΑ:....... ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ:.... / 0 / 20 ΘΕΜΑ A. Έστω μεταβλητή Χ, με τιμές x, x 2,...., x k, που αφορά τα άτομα ενός δείγματος μεγέθους ν, με k,

Διαβάστε περισσότερα

Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ

ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Μ.Ν. Ντυκέν, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. Ε. Αναστασίου, Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τ.Μ.Χ.Π.Π.Α. ΔΙΑΛΕΞΗ 04 ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Βόλος, 015-016 1 . Διερευνητική Ανάλυση Μέτρα

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Γ ΙΕΥΘΥΝΣΗ ΑΘΗΝΑΣ - 5 Ο ΓΡΑΦΕΙΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ 2000-2001 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΥΣ Το τµήµα αυτό της έρευνας αναφέρεται στην Γ τάξη όλων των Ενιαίων Λυκείων του

Διαβάστε περισσότερα

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 22 ΜΑΪΟΥ 2008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 008 ΘΕΜΑ o ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ ΜΑΪΟΥ 008 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

Διαβάστε περισσότερα

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου

επ. Κωνσταντίνος Π. Χρήστου 1 2 3 1 2 2 0 3 3 4 6 5 10 6 11 7 7 8 6 9 3 10 2 4 Εάν έχουµε οµαδοποιηµένη µεταβλητή τότε είναι το σηµείο τοµής των ευθυγράµµων τµηµάτων τα οποία ορίζονται από α) ΑΒ, όπου Α το άνω δεξί άκρο της κλάσης

Διαβάστε περισσότερα

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ

1) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ ΧΕΙΜΕΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 205-206 ΔΙΔΑΣΚΟΝΤΕΣ ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΚΑΛΛΙΒΩΚΑΣ, ΘΑΝΑΣΗΣ ΚΑΖΑΝΑΣ ) ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ - ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΤΑ ΔΕΔΟΜΕΝΑ ΑΣΚΗΣΗ Τα παρακάτω δεδομένα αναφέρονται στη

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ

ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2012 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο R, να αποδείξετε ότι (f() + g() )=f ()+g (), R Μονάδες 7 Α. Σε

Διαβάστε περισσότερα

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας)

δεδομένων με συντελεστές στάθμισης (βαρύτητας) ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΘΕΜΑΤΩΝ-1 ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ, 26 ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ 2016 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ

Διαβάστε περισσότερα

2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3)

2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3) Τμήμα Οργάνωσης και Διαχείρισης Αθλητισμού 2 ο Εξάμηνο του Ακαδημαϊκού Έτους 2015-2016 ΟΔ 055 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΓΙΑ ΤΙΣ ΚΟΙΝΩΝΙΚΕΣ ΕΠΙΣΤΗΜΕΣ Διδασκαλία: κάθε Τετάρτη 12:00-15:00 Ώρες διδασκαλίας (3) Αντώνης Κ.

Διαβάστε περισσότερα