= m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την

Transcript

1 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση. ΘΕΜΑ Β Δύο σώματα με μάζες m = m και m = m αντίστοιχα, εκτελούν Α.Α.Τ. και έχουν την ίδια γωνιακή συχνότητα. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις για τις σταθερές επαναφοράς D και D αντίστοιχα των δύο συστημάτων είναι σωστή; D α) D =. β) D = D. D = D. γ) Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. π π Αιτιολόγηση: Από την εκφώνηση έχουμε ω =ω = T = T T T (Από τη σχέση m T= π ) D m D m D π = π m D m = D m D = m D m D = m D D = D Άρα σωστή απάντηση είναι η β.

2 Ερώτηση. Στο παρακάτω διάγραμμα απομάκρυνσης-χρόνου φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις για δύο σώματα και τα οποία εκτελούν Α.Α.Τ. Ποιά από τις παρακάτω σχέσεις για τις μέγιστες επιταχύνσεις ταλάντωσης των δύο σωμάτων είναι σωστή; αmax α) α max = β) γ) α =α max max α = α max max Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Αιτιολόγηση: Από το διάγραμμα προκύπτει ότι το σώμα έχει διπλάσια περίοδο από το σώμα. Δηλαδή T = T () Επίσης το σώμα έχει διπλάσιο πλάτος ταλάντωσης από το σώμα. Δηλαδή A = A () Η μέγιστη επιτάχυνση υπολογίζεται από τη σχέση α max =ω A Άρα εφαρμόζoντας ξεχωριστά για το κάθε σώμα και διαιρώντας κατά μέλη καταλήγουμε: α ω A π = ( ω= ) α A T max max ω

3 α α ( ) A max T max π = π ( ) A T (Απλοποιώ και κάνω το σύνθετο κλάσμα απλό) α α T A = max max T A (από τις σχέσεις () και () με αντικατάσταση) α α ( T ) A = max max T A α α max max = α = α max max Άρα σωστή απάντηση είναι η γ. 3

4 Ερώτηση 3. Δύο σώματα και με ίσες μάζες εκτελούν Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα ταχύτητας-χρόνου για τα δύο σώματα. Ο λόγος της μέγιστης δύναμης επαναφοράς του σώματος προς τη μέγιστη δύναμη επαναφοράς του σώματος είναι: α) 3 β) 9 γ) /3 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Από το διάγραμμα προκύπτει ότι T =, 5 T () και ότι u = u () max max Από τη σχέση () έχουμε u = u (u =ω A) max max max π ω A = ω A ( ω= ) T π π A = A T T A T = A T (Λόγω της σχέσης ()) A, 5 T = A T 4 A = A (3) 3 4

5 Άρα επειδή Fmax = m a ή max Fmax m A = ω ή m ( π) F max = A (4) T Εφαρμόζω τη σχέση (4) ξεχωριστά για το κάθε σώμα και διαιρώ κατά μέλη: F F ( π) m / A = max T max ( π) m / A T (Απλοποιούμε και κάνουμε το σύνθετο κλάσμα απλό) F T A = (Από τις σχέσεις () και (3)) F T A max max 4 (, 5 T ) A = F max 3 Fmax T A F F max max = 3 Άρα σωστή απάντηση είναι η α. 5

6 Ερώτηση 4. Σώμα μάζας m εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο Τ και πλάτος Α. Τετραπλασιάζουμε το πλάτος της ταλάντωσής του και διπλασιάζουμε τη μάζα του ενώ διατηρούμε αμετάβλητη τη σταθερά επαναφοράς D. Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις θα: α) τετραπλασιαστεί. β) υποτετραπλασιαστεί. γ) διπλασιαστεί. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Αιτιολόγηση: Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ίσος με τη συνισταμένη δύναμη P F =. Σε μια Α.Α.Τ. η συνισταμένη των δυνάμεων που ασκούνται στο σώμα είναι η t δύναμη επαναφοράς η οποία στις ακραίες θέσεις είναι μέγιστη. Ισχύει για τη μέγιστη δύναμη επαναφοράς η σχέση Fmax = D A. Το D παραμένει σταθερό, το Α τετραπλασιάζεται άρα η μέγιστη δύναμη επαναφοράς τετραπλασιάζεται και επομένως και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής στις ακραίες θέσεις. Άρα σωστή απάντηση είναι η α. 6

7 Ερώτηση 5. Δύο σώματα με μάζες m = m και m = 4m εκτελούν Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις δύναμης επαναφοράς, απομάκρυνσης για τα δύο σώματα. f Ο λόγος των συχνοτήτων ταλάντωσης των δύο σωμάτων f είναι ίσος με: α) β) γ) 4 Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Αιτιολόγηση: Η κλίση της γραφικής παράστασης μας δίνει τη σταθερά της επαναφοράς της ταλάντωσης. Άρα για το σύστημα έχουμε: D F A max = (). Ομοίως για το σύστημα έχουμε: 7

8 D F 4 A max = () Διαιρώντας κατά μέλη τις σχέσεις () και () προκύπτει: D D Fmax = A Fmax 4 A D 8 D = (3) Άρα ο λόγος των συχνοτήτων υπολογίζεται: m π f T T D m D = = = = (Αντικαθιστώντας m = m, m = 4m και f T m m D π T D D 8 D = ) f / 4 m f = = = m/ Άρα σωστή απάντηση είναι η γ. 8

9 Ερώτηση 6. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. με περίοδο T ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι f' ίση με: α) 4Hz β) Hz γ),5hz Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. = 4s. Η συχνότητα μεγιστοποίησης του μέτρου του Σωστή απάντηση είναι η γ. Αιτιολόγηση: Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας είναι η επιτάχυνση. Η επιτάχυνση γίνεται μέγιστη στις ακραίες θέσεις άρα κάθε μισή περίοδο. Άρα ο χρόνος T μεγιστοποίησης του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας είναι T = = s και η αντίστοιχη συχνότητα f = = =,5 Hz Άρα σωστή απάντηση είναι η γ. T 9

10 Ερώτηση 7. Ένας απλός αρμονικός ταλαντωτής ταλαντώνεται, με πλάτος ταχύτητας υ max, πλάτος επιτάχυνσης α max και αρχική φάση φ. Σε ένα τυχαίο σημείο της τροχιάς του έχει ταχύτητα μέτρου υ και επιτάχυνση μέτρου α. Η σχέση που συνδέει τη στιγμιαία ταχύτητα υ με τη στιγμιαία επιτάχυνση α, είναι η: α) υ a + = max a max υ υ a = max a max β) υ υ a γ) υ a = max max Να επιλέξτε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Η χρονική εξίσωση της ταχύτητας σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι: υ = υmaxσυν( ω t + ϕ ) και της επιτάχυνσης: α = αmaxηµ ( ω t + ϕ ). υ Λύνουμε ως προς τους περιεχόμενους τριγωνομετρικούς αριθμούς: συν( ω t + ϕ ) = υ α και ηµ ( ω t + ϕ ) =. α max max Τις υψώνουμε στο τετράγωνο: υ συν ( ω t + ϕ ) = και υ max α ηµ ( ω t + ϕ ) =. α max Τις προσθέτουμε κατά μέλη: υ συν ω +ϕ +ηµ ω +ϕ = + ( t ) ( t ) υmax αmax α. Το ο μέλος, με βάση τώρα την τριγωνομετρική ταυτότητα: ηµ θ + συν θ =, είναι ίσο με τη μονάδα. Έτσι, έχουμε τελικά: υ υ α + =. α max max

11 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και η ταχύτητα μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση u = συν4π t (S.I.). Να υπολογιστεί: α) Η απόσταση των δύο ακραίων θέσεων. β) Η επιτάχυνση όταν η απομάκρυνση του σώματος είναι x = + A. γ) Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t = s. δ) Αν η μάζα του ταλαντούμενου σώματος είναι m =, kg να υπολογιστεί η σταθερά επαναφοράς του συστήματος και ο ρυθμός μεταβολής της ορμής τη χρονική στιγμή κατά A την οποία η απομάκρυνση είναι x =. Δίνεται π συν = και 3 π Από την εξίσωση της ταχύτητας προκύπτει ότι: υ = m/s max ω= 4π rad / s Άρα m rad A 4 A A m s s υ max =ω = π = π α) Επομένως οι δύο ακραίες θέσεις απέχουν d = A = m = m π π β) Όταν είναι x = + A τότε rad a = amax a = ω A a = (4 π ) m a = 8πm/s s π γ) Τη χρονική στιγμή t = s, η ταχύτητα είναι (στο S.I.): υ = συν4π t

12 υ = συν4π π υ = συν 3 υ= = m / s δ) Η σταθερά επαναφοράς υπολογίζεται από τη σχέση: rad N N s m m D = m ω =, kg (4 π ) = 3, = 3 Ο ρυθμός μεταβολής της ορμής είναι ίσος με τη δύναμη επαναφοράς dp N dp 8 = F = D x = 3 ( π m) =+ N dt m dt π

13 Άσκηση. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση επιτάχυνσηςχρόνου: Να υπολογιστούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης. β) Η συχνότητα και η γωνιακή συχνότητα. γ) Να βρεθεί η εξίσωση ταχύτητας-χρόνου και να σχεδιαστεί το αντίστοιχο ποσοτικό διάγραμμα. δ) Να κάνετε το διάγραμμα επιτάχυνσης-απομάκρυνσης (ποσοτικό). Από το διάγραμμα προκύπτει ότι: 3 T,5s T, s 4 = = και a max = π m / s α) ( π) m 4π a max =ω A a max = A π = A A =,m T s (, s) β) f = 5 Hz T =, s = ω= π f = π 5Hz= π rad/s rad υ =ω A = π,m =π m / s s γ) max 3

14 Άρα η εξίσωση της ταχύτητας είναι: υ = υ max συνωt υ = π συνπ t (S.I.) και το αντίστοιχο διάγραμμα είναι: δ) a = a max ηµω t (a max = ω A) a = ω A ηµω t (x = A ηµω t) a = ω x a = ( π ) x a = π x (S.I.) Το διάγραμμα επιτάχυνσης-απομάκρυνσης είναι: 4

15 Άσκηση 3. Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνεται η επιτάχυνση ενός σώματος μάζας m συνάρτηση με το χρόνο, που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. = kg, σε α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω και το πλάτος ταλάντωσης Α. β) Να γράψετε την εξίσωση που δίνει τη φάση της ταλάντωσης φ σε συνάρτηση με το χρόνο t. γ) Να παραστήσετε γραφικά την επιτάχυνση α σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ, σε κατάλληλα βαθμολογημένους άξονες. δ) Να υπολογίσετε την αλγεβρική τιμή της ορμής του σώματος τη χρονική στιγμή t π π 3 = s. Δίνεται ότι: ηµ = και 3 3 π συν =. 3 α) Όπως φαίνεται απ το διάγραμμα, η μέγιστη επιτάχυνση της απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι: Βρίσκουμε τη γωνιακή συχνότητα ω: = π. α max = 5 m/s και η περίοδος T, 4 s π π rad rad T =, 4 π s = ω= rad / s = rad / s ω= 5. ω ω, 4 4 s Από τη σχέση μέγιστης επιτάχυνσης α max πλάτους Α: αmax 5 α max =ω Α Α= = m= m ω 5 5 Α=, m. β) Γνωρίζουμε ότι η φάση μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι η: ϕ=ω t +ϕ, οπότε πρέπει να υπολογίσουμε την αρχική φάση της ταλάντωσης. Από την εξίσωση επιτάχυνσης χρόνου: α = αmaxηµ ( ω t + ϕ ), για t= όπως φαίνεται από το διάγραμμα είναι α = α. Με αντικατάσταση στην εξίσωση επιτάχυνσης α - αρχ max χρόνου t: 5

16 π α max = αmaxηµϕ ηµϕ = ϕ = kπ +. Επειδή η αρχική φάση είναι μεταξύ π και π, θέτουμε k=, οπότε τελικά: ϕ =. π Οπότε η χρονική εξίσωση της φάσης της ταλάντωσης γίνεται: ϕ= 5t + (στο S.I.). γ) Γνωρίζουμε ότι η σχέση επιτάχυνσης α απομάκρυνσης χ, σε μια απλή αρμονική ταλάντωση είναι η: α= ω x α= 5 x, που είναι μια πρωτοβάθμια συνάρτηση με πεδίο ορισμού: A x A, m x, m και κλίση ω. Η γραφική παράσταση φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα: δ) Η ορμή είναι p= m υ, οπότε αρκεί να βρούμε την ταχύτητα τη χρονική στιγμή t π = s. 3 Η εξίσωση της ταχύτητας είναι: υ = υmaxσυν( ω t + ϕ ) = ωασυν( ω t + ϕ) και αντικαθιστώντας έχουμε (S.I.): π π π π π m υ = 5, συν (5 + )m / s = συν ( + )m / s =... = συν ( )m / s = s m m Άρα η αλγεβρική τιμή της ορμής είναι: p = ( )kg p = kg. s s Ημερομηνία τροποποίησης: /7/ 6

17 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ.: ΑΠΛΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (ΕΝΕΡΓΕΙΑΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ, ΑΡΧΙΚΗ ΦΑΣΗ, ΣΥΣΤΗΜΑ ΕΛΑΤΗΡΙΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ, ΟΡΜΗ) ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με αρχική φάση μηδέν. Η γραφική παράσταση δείχνει τις μεταβολές της κινητικής Κ, της δυναμικής U και της ολικής ενέργειας Ε, σε συνάρτηση με το χρόνο. Η κινητική του ενέργεια Κ εξισώνεται με τη δυναμική του ενέργεια U, φορές ανά λεπτό. Η συχνότητα της ταλάντωσης είναι: α) 3 Hz. β) Ηz. γ),5 Hz. Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας Σωστή απάντηση είναι η γ. Όπως φαίνεται απ το κοινό διάγραμμα U t και K t, τα σημεία τομής, είναι οι στιγμές όπου εξισώνονται η κινητική ενέργεια Κ με τη δυναμική ενέργεια U. Αυτό συμβαίνει 4 φορές σε κάθε περίοδο, μιας και στο διάγραμμα έχουμε 4 σημεία τομής ανά περίοδο ταλάντωσης. Άρα το σώμα εκτελεί Nταλ = = 3 ταλαντώσεις ανά λεπτό. 4

18 Επομένως με βάση τον ορισμό της συχνότητας: f Nταλ 3 ταλ 3 ταλ = = = f =,5 Hz t min 6 s

19 Ερώτηση. Σύστημα ελατηρίου σταθεράς k - μάζας m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση περιόδου Τ και συχνότητας f. Αντικαθιστούμε τη μάζα με άλλη της ταλάντωσης: A = A. Α) Για τη συχνότητα f ισχύει: α) f = f. β) f = f. m m = και διπλασιάζουμε το πλάτος 4 γ) f f =. Β) Η ενέργεια της ταλάντωσης E : α) παραμένει η ίδια. β) διπλασιάζεται. γ) τετραπλασιάζεται. Να επιλέξετε τις σωστές απαντήσεις και να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας. Α) Σωστή απάντηση είναι η α. Β) Σωστή απάντηση είναι η γ. Η σταθερά ταλάντωσης D του συστήματος ελατηρίου k - μάζας m, είναι ίση με k, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της μάζας του ταλαντούμενου σώματος και του πλάτους ταλάντωσης. Συνεπώς και στις δύο περιπτώσεις: D = D= k. Α) Η περίοδος μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: m m T = π D = π k και η συχνότητα είναι το αντίστροφο της περιόδου: k f = f =. Όπως φαίνεται απ αυτήν η συχνότητα δεν εξαρτάται από το T π m πλάτος ταλάντωσης. 3

20 Με την αλλαγή της μάζας, η συχνότητα γίνεται: k k 4k f = = = π m π m π m 4. Βγάζουμε το 4 από τη ρίζα και: f k = π m, δηλαδή f = f. Β) Η ενέργεια ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: E = DA E = ka, δηλαδή είναι ανεξάρτητη της μάζας m και ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους. Άρα: E ka k(a) 4 ka =. = = = E 4E 4

21 Ερώτηση 3. Δύο σημειακά σώματα, που έχουν ίσες μάζες (m = m = m), εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων ικανοποιούν τη σχέση f > f και τα πλάτη τη σχέση A < A. Oι ενέργειες ταλάντωσης Ε και Ε των δύο σωμάτων και αντίστοιχα ικανοποιούν τη σχέση: α) E = E. E > E. β) E > E. γ) Να επιλέξετε τις σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η β. Η ολική ενέργεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: E = DA = mωα = m4π f A E = mπ f A. Παρατηρούμε ότι η ολική ενέργεια είναι ανάλογη τόσο του τετραγώνου της συχνότητας όσο και του πλάτους. Άρα αφού η πρώτη ταλάντωση έχει μεγαλύτερη συχνότητα και μεγαλύτερο πλάτος, θα έχει και μεγαλύτερη ενέργεια, δηλαδή: E > E. 5

22 Ερώτηση 4. Σώμα εκτελεί αμείωτη απλή αρμονική ταλάντωση, πλάτους Α. Σε κάποια θέση της τροχιάς του, η κινητική ενέργεια είναι το 5% της ολικής του ενέργειας και η δύναμη επαναφοράς έχει θετική τιμή. Η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας, ισούται με: α) 3 A. β) A. γ) A. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Η ολική ενέργεια Ε μιας αμείωτης απλής αρμονικής ταλάντωσης διατηρείται: K+ U= E K = E U. Εφόσον η κινητική ενέργεια είναι το 5% της ολικής του ενέργειας: 5 K = E= E. Εξισώνοντας τα α μέλη έχουμε: E U= E U= E E U= E. Αλλά E Dx DA = και U Dx = DA και απλοποιώντας έχουμε: =, οπότε η προηγούμενη σχέση δίνει: = =± =±. x A x A x A Γνωρίζουμε ότι η δύναμη επαναφοράς μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης είναι πάντα αντίθετη της απομάκρυνσης (λόγω της συνθήκης της ταλάντωσης: Σ F= D x ). Με βάση το δεδομένο ότι η δύναμη επαναφοράς έχει θετική τιμή, συμπεραίνουμε ότι η απομάκρυνση χ είναι αρνητική. Άρα από τις δύο πιθανές λύσεις της απομάκρυνσης, επιλέγουμε την αρνητική, δηλαδή: x = A 6

23 Ερώτηση 5. Στο σχήμα φαίνεται η γραφική παράσταση της κινητικής ενέργειας Κ ενός σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x από τη Θέση Ισορροπίας του. Η γραφική παράσταση της δυναμικής ενέργειας U σε συνάρτηση με το τετράγωνο της απομάκρυνσης x είναι η: Να επιλέξετε τις σωστή γραφική παράσταση και να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Η κινητική ενέργεια ενός αρμονικού ταλαντωτή, μεγιστοποιείται στη Θέση Ισορροπίας του (x = ). Από το διάγραμμα φαίνεται ότι το σημείο αυτό είναι το σημείο τομής με τον κατακόρυφο άξονα (,5 J), άρα η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι: K max = 5 J. Όμως, με βάση την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας η μέγιστη κινητική ενέργεια είναι ίση και με Κ = U = E τη μέγιστη δυναμική ενέργεια: max max, οπότε: max U = 5 J. Ο μηδενισμός της κινητικής ενέργειας γίνεται στα δύο ακρότατα ( x = A και x = + A). Από το διάγραμμα φαίνεται ότι αυτό συμβαίνει στα σημεία τομής με τον οριζόντιο άξονα 7

24 (,5, ) και ( +,5, ), που είναι τα ακρότατα της ταλάντωσης. Άρα το πλάτος ταλάντωσης είναι: A =,5 m. Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση: D U Dx x = =. Από αυτήν προκύπτει ότι η δυναμική ενέργεια U είναι ανάλογη του τετραγώνου της απομάκρυνσης, άρα η γραφική παράσταση είναι γραμμική. Ο πίνακας τιμών είναι: x (m ) (,5) =, 5 ( +,5) =, 5 U (J) 5 5 Τα παραπάνω αποδίδονται σωστά στη γραφική παράσταση (γ). 8

25 Ερώτηση 6. Σε μία Α.Α.Τ. η κινητική ενέργεια γίνεται ίση με τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης κατά τη διάρκεια μίας περιόδου: α) Δύο φορές. β) Μία φορά. γ) Τέσσερις φορές. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Γνωρίζουμε ότι: K = U. Από την Αρχή Διατήρησης της Ενέργειας Ταλάντωσης προκύπτει: E= K+ U E = U A = x (K= U) E= U+ U D A = D x x + A x = x A = + = A Άρα η κινητική ενέργεια γίνεται ίση με τη δυναμική ενέργεια τέσσερις φορές κατά τη διάρκεια μίας περιόδου. 9

26 Ερώτηση 7. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t = βρίσκεται στη θέση ισορροπίας και η ταχύτητά του έχει αρνητικό πρόσημο. Η αρχική φάση είναι: α). β) π. γ) π. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα είναι στη θέση ισορροπίας δηλαδή x = και η ταχύτητά του είναι αρνητική u <. Από την εξίσωση της απομάκρυνσης για t = και x = προκύπτει: x = A ηµ ( ω t + ϕ) = A ηµϕ ηµϕ = Άρα ϕ = k π+ ή ϕ = k π+π Επειδή ϕ < π προκύπτει ότι: Για την η λύση k π< π άρα για k = το ϕ = Για τη η λύση k π+π< π άρα για k = το ϕ =π Η εξίσωση της ταχύτητας για t = και ϕ = είναι: u = u max συν( ω t + ϕ) u = u max συν ( συν = ) Άρα u > Η εξίσωση της ταχύτητας για t = και ϕ =π είναι: u = u max συν( ω t + ϕ) u = u max συνπ ( συνπ = ) Άρα u < Έτσι καταλήγουμε ότι η αρχική φάση είναι: ϕ =π

27 Ερώτηση 8. Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και στο παρακάτω σχήμα δίνεται το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου. Η αρχική φάση ταλάντωσης είναι: α) 3 π. β) π. γ) π. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η α. Από το διάγραμμα ταχύτητας-χρόνου παρατηρούμε ότι τη χρονική στιγμή t = η ταχύτητα είναι μηδέν. Άρα το σώμα βρίσκεται σε μία από τις δύο ακραίες θέσεις. Επειδή η ταχύτητα μετά από T 4 είναι + umax καταλήγουμε ότι το σώμα τη χρονική στιγμή t = βρίσκεται στο A. Άρα από την εξίσωση της απομάκρυνσης για t = και x = A προκύπτει η αρχική φάση της ταλάντωσης. x = A ηµ ( ω t + ϕ) A = A ηµϕ 3π ηµϕ = ϕ = k π+ 3π Επειδή ϕ < π kπ+ < π 3π Άρα για k = το ϕ =

28 Ερώτηση 9. A Σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. και τη χρονική στιγμή t = βρίσκεται στη θέση x = + όπου A το πλάτος της ταλάντωσης και επιβραδύνεται. Η αρχική φάση της ταλάντωσης είναι: α) 3 π. β) 3π. γ) 6 π. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Σωστή απάντηση είναι η γ. A Τη χρονική στιγμή t = το σώμα βρίσκεται στη θέση x =. Αφού επιβραδύνεται κινείται προς το + A, άρα η ταχύτητά του είναι θετική (u > ). Από την εξίσωση της απομάκρυνσης για t = και A x = + προκύπτει: A x = A ηµ ( ω t + ϕ) + = A ηµϕ ηµϕ =. π π 5π Άρα ϕ = k π+ ή ϕ = k π+ ( π ) = k π Επειδή ϕ < π προκύπτει ότι: π π για την η λύση: k π+ < π άρα για k = το ϕ = 6 6 για τη η λύση: 5π k π+ < π άρα για k = το ϕ = 6 5π 6 π Η εξίσωση της ταχύτητας για t = και ϕ = είναι: 6 π π u = u max συν( ω t + ϕ) u = u max συν ( συν > ) 6 6 Άρα u >

29 5π Η εξίσωση ταχύτητας για t = και ϕ = είναι: 6 5π 5π u = u max συν( ω t + ϕ) u = u max συν( ) ( συν < ) 6 6 Άρα u < π Επομένως ϕ = 6 3

30 Ερώτηση. Να υπολογιστεί η απομάκρυνση σε μια Α.Α.Τ. όταν η δυναμική ενέργεια και η κινητική ενέργεια είναι ίσες. Από τη διατήρηση της ενέργειας ταλάντωσης έχουμε: E= K+ U (όμως K = U) E= U+ U E = U D A = D x x A = + A x = x + A = 4

31 Ερώτηση. Ένα σώμα συνδέεται στο ελεύθερο άκρο ενός ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύστημα εκτελεί Α.Α.Τ. με πλάτος ταλάντωσης A. Η σταθερά επαναφοράς του συστήματος είναι D. Αντικαθιστούμε το σώμα με ένα άλλο τετραπλάσιας μάζας το οποίο εκτελεί επίσης Α.Α.Τ. αλλά με διπλάσιο πλάτος. Η σχέση που συνδέει την ενέργεια ταλάντωσης E του πρώτου σώματος με την αντίστοιχη ενέργεια ταλάντωσης E του δεύτερου σώματος είναι: E = 4E. α) E = 6E. β) γ) E E 4 =. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Για τις ενέργειες E και E των δύο σωμάτων ισχύει: E = D A E = D A Διαιρώ κατά μέλη E E D A = (επειδή D = D = D) D A E A = (επειδή A = A) E (A ) E = E = 4E E 4 Άρα σωστή απάντηση είναι η α. 5

32 Ερώτηση. Δύο σώματα με μάζες m και m συνδέονται στο ελεύθερο κάτω άκρο δύο κατακόρυφων ελατηρίων των οποίων τα πάνω άκρα είναι σταθερά στερεωμένα. Για τις σταθερές των δύο ελατηρίων ισχύει K = 4K. Παρατηρούμε ότι το πρώτο ελατήριο, όταν ισορροπεί το σώμα, έχει επιμηκυνθεί κατά d, ενώ το δεύτερο κατά d = d. Ποια από τις παρακάτω σχέσεις ισχύει για τις συχνότητες ταλάντωσης των δύο σωμάτων (Θεωρούμε ότι και τα δύο σώματα εκτελούν Α.Α.Τ.). α) f = f. f = f. β) γ) f = 4 f. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Η συνθήκη που ισχύει στη θέση ισορροπίας για το κάθε σύστημα είναι: m g = K d () m g = K d () Διαιρώ τις () και () κατά μέλη: m g K d m g K d = (K = 4K και = m 4 K d = m = m Άρα m K d d d ) 6

33 T m = π (3) K T m = π (4) K Διαιρώ τις (3) και (4) κατά μέλη: T T π m K = π m K T m K T m K = (m = m και = K 4K ) T m K T = = = T m 4 K T Άρα T f f = = = T f f f f = Άρα f = f και σωστή απάντηση είναι η α. 7

34 Ερώτηση 3. Ένα σώμα εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγμή t η απομάκρυνση του σώματος από τη θέση A ισορροπίας είναι x = όπου A το πλάτος της ταλάντωσης. Ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t είναι: α). β) 4. γ) 3. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Για να υπολογίσουμε το λόγο εργαζόμαστε ως εξής: K E U = (επειδή E= K+ U K = E U) U U DA Dx K = U Dx D(A x ) K = U Dx K A x A U x = (x = ) A A K = 4 U A 4 3A K = 4 U A 4 K 3 U = 8

35 Άρα σωστή απάντηση είναι η γ. 9

36 Ερώτηση 4. Δύο σώματα με ίσες μάζες m = m εκτελούν Α.Α.Τ. Στο παρακάτω σχήμα φαίνονται τα διαγράμματα U x για τα δύο συστήματα. Ο λόγος των περιόδων ταλάντωσης ίσος με: T T είναι α). β). γ) 4. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. Τα δύο συστήματα έχουν την ίδια ενέργεια ταλάντωσης. Δηλαδή: E = E D A = D A (A = A και A = A) D A D = D 4 A = 4D Άρα ο λόγος των περιόδων υπολογίζεται: T T π m D = π m D

37 T m D (m m T m D = = και D = 4D ) T D = T 4 D T = T Άρα σωστή απάντηση είναι η β.

38 Ερώτηση 5. Μικρό σώμα μάζας m εκτελεί Α.Α.Τ. Τη χρονική στιγμή t = βρίσκεται στη θέση A x = + και επιταχύνεται. Η αρχική του φάση είναι: α) 6 π. β) 5 π. 6 γ) 3 π. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. A Τη χρονική στιγμή t = έχουμε x = + δηλαδή x >. Επειδή το σώμα επιταγχύνεται σημαίνει πως κατευθύνεται προς τη θέση ισορροπίας. Άρα πηγαίνει από το + A στη θέση ισορροπίας και γι'αυτό η ταχύτητα είναι αρνητική, u<. Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: x = A ηµ ( ω t + ϕ ) (για t = και Για ηµϕ = προκύπτει: A x =+ ) + A = A ηµϕ π π 5π ϕ = k π+ ή ϕ = k π+ ( π ) = k π Επειδή ϕ < π προκύπτει ότι k = π Άρα ϕ = ή ϕ = 6 5π 6 Από την εξίσωση της ταχύτητας για t = προκύπτει: u = u max συν( ω t + ϕ) u = u max συνϕ π Άρα αν ϕ = τότε u > 6

39 5π και αν ϕ = τότε u < 6 5π Άρα η αρχική φάση είναι ϕ = και σωστή απάντηση είναι η β. 6 3

40 Ερώτηση 6. Να βρεθεί ο λόγος της κινητικής ενέργειας προς τη δυναμική ενέργεια ταλάντωσης ενός σώματος το οποίο εκτελεί Α.Α.Τ. όταν η ταχύτητά του είναι η μισή της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης. K K = U E K (επειδή E = K + U U = E K) m u K = U m u max m u m u K = U m (u max u ) όμως ( u max u = ) umax K 4 U = u u max max 4 umax K = 4 U 3u max 4 K = U 3 4

41 Πρόβλημα. Σφαίρα μάζας m ελατηρίου σταθεράς k ΘΕΜΑ Δ = kg ισορροπεί δεμένη στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού = 4 N / m, του οποίου το κάτω άκρο είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Ανεβάζουμε τη σφαίρα κατακόρυφα προς τα πάνω και την αφήνουμε ελεύθερη, οπότε αυτή εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α=,5 m. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα ω καθώς και το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας υ max της σφαίρας. β) Να γράψετε τις εξισώσεις της απομάκρυνσης και της ταχύτητας της σφαίρας σε συνάρτηση με το χρόνο. Θεωρήστε θετική φορά την προς τα πάνω και ως χρονική στιγμή t =, η στιγμή που περνά από τη θέση ισορροπίας της με φορά κίνησης προς τα κάτω. γ) Να γράψετε την εξίσωση της δύναμης ελατηρίου στη σφαίρα σε συνάρτηση με την απομάκρυνση χ. Στη συνέχεια να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης ελατηρίου στα δύο ακρότατα της ταλάντωσης. δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της σφαίρας τη χρονική T στιγμή t =. 8 Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = m / s. π D α) Η γωνιακή συχνότητα ω υπολογίζεται απ τη σχέση: ω= =. Επειδή η σφαίρα Τ m εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση δεμένη στο κατακόρυφο ελατήριο, ισχύει ότι: D k 4 rad οπότε: ω= = rad / s ω=. m s = k, Το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης ισούται με: υ max = ω Α = rad / s,5m υ = m s. β) Για να βρω τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης, αρκεί να ξέρω το πλάτος Α, τη γωνιακή συχνότητα ω και την αρχική φάση φ. Γνωρίζοντας ήδη τα Α και ω, αρκεί να βρω την αρχική φάση φ. 5

42 Θέτω στη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης: t= και x αρχ =, οπότε: = A ηµ ( ω + ϕ) ηµϕ = ϕ = ή ϕ =π. Επιπλέον, με βάση την εκφώνηση, η ταχύτητα ( υ = υmaxσυνϕ ) είναι αρνητική. Επειδή υ = υmaxσυν > και υ = υmaxσυνπ <, δεχόμαστε ως αρχική φάση την ϕ =π. Άρα οι ζητούμενες εξισώσεις είναι: x =,5 ηµ (t + π) και υ = συν (t + π ) (και οι δύο στο S.Ι.). γ) Τοποθετούμε τη σφαίρα σε μια τυχαία θέση θετικής απομάκρυνσης χ. Οι δυνάμεις που ασκούνται είναι το βάρος w, που είναι κατακόρυφο προς τα κάτω (άρα έχει αρνητική αλγεβρική τιμή, γιατί θετική φορά είναι η προς τα πάνω) και η F ελ, η οποία τοποθετείται αυθαίρετα στη θετική φορά. Η συνισταμένη τους είναι η δύναμη επαναφοράς και θα ικανοποιεί τη Συνθήκη της απλής αρμονικής ταλάντωσης: Σ F= D x F w = k x F = mg k xκαι αντικαθιστώντας στο S.I.: ελ F = ελ 4 x. ελ Στο κάτω ακρότατο της ταλάντωσης, η σφαίρα έχει απομάκρυνση χ = Α, οπότε αντικαθιστώντας στη σχέση που βρήκαμε, έχουμε: Fελ,( A) = N 4N / m (,5)m = ( + )N Fελ,( A) = + N. Το πρόσημο (+) δείχνει ότι η F ελ έχει φορά προς τα πάνω. Στο πάνω ακρότατο, η σφαίρα έχει απομάκρυνση x = +Α, οπότε αντικαθιστώντας στη σχέση που βρήκαμε, έχουμε: Fελ,( + A) = N 4N / m,5m = ( )N Fελ + = 9 N. Το πρόσημο (-) δείχνει ότι η F ελ έχει φορά προς τα κάτω.,( A) Σχόλιο: Παρατηρήστε ότι και στις δύο περιπτώσεις, η F ελ έχει φορά προς τη Θ.Φ.Μ., όπως αναμέναμε. δ) Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας υπολογίζεται ως εξής: dk dwσ F ΣF dx dx = = =Σ F =ΣF υ= k x υ. dt dt dt dt Αρκεί λοιπόν να υπολογίσω την απομάκρυνση και την ταχύτητα τη χρονική στιγμή t T =. 8 π Τ π Η απομάκρυνση: x =,5 ηµ ( ω t + π ) =,5 ηµ ( + π ) =,5 ηµ ( + π ) =,5 m Τ 8 4 π Τ π και η ταχύτητα: υ = συν( ω t + π ) = συν( + π ) = συν ( + π ) = m / s. Τ 8 4 6

43 Έτσι τη χρονική στιγμή t, dk J = dt s dk = 4N / m (,5 )m ( )m / s dt 7

44 Πρόβλημα. Δίσκος μάζας ελατηρίου σταθεράς k Μ= kg είναι συνδεδεμένος στο πάνω άκρο κατακόρυφου ιδανικού ακλόνητο σημείο του δαπέδου. Από ύψος h = N / m. Το κάτω άκρο του ελατηρίου στερεώνεται σε πέσει ελεύθερο ένα σφαιρίδιο πλαστελίνης μάζας m =,5 m πάνω από το δίσκο αφήνεται να = kg, το οποίο συγκρούεται με το δίσκο μετωπικά και πλαστικά. Το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρείστε την αντίσταση του αέρα και τη διάρκεια της κρούσης αμελητέες. α) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σφαιριδίου ελάχιστα πριν την κρούση. β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος. Δίνεται η g = m / s. γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης επαναφοράς καθώς και το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου στο κατώτερο σημείο της ταλάντωσης του συσσωματώματος. δ) Να γράψετε την εξίσωση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης του συσσωματώματος σε συνάρτηση με το χρόνο. α) Κατά τη διάρκεια της ελεύθερης πτώσης της σφαίρας η Μηχανική της ενέργεια διατηρείται. Θεωρώντας ως θέση () την αρχική, όπου αφήνεται ελεύθερο το σφαιρίδιο (άρα K = ), ως θέση () ελάχιστα πριν κτυπήσει στο δίσκο και ως επίπεδο αναφοράς το δίσκο (άρα U = ), έχουμε: K + U = K+ U + mgh = mυ + mυ = mgh υ = gh υ = gh = m / s,5m υ m = 3. s β) Εφαρμόζω τη Διατήρηση της ολικής Ορμής ( p p ) για την πλαστική κρούση των m M, για να βρω την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση. Θεωρώντας θετική τη φορά προς τα κάτω έχουμε: ολ= mu kg 3m / s 3 m mυ +Μ = (m + M)V V = V = V = m + M kg + kg ολ s 8

45 Ο δίσκος μάζας Μ ισορροπούσε, πριν την κρούση, στη θέση ισορροπίας (ΘΙ ), η οποία απέχει d από τη Θέση Φυσικού Μήκους (ΘΦΜ) του ελατηρίου. Στη θέση αυτή ισχύει η συνθήκη ισορροπίας: Σ F= F Μ g= F =Μg ελ,() ελ,() Mg kg m / s kd d = d = d = m= k N / m =,5 m =Μg Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται μετά την κρούση εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με D=k= N/m γύρω από Νέα Θέση Ισορροπίας (ΘΙ ), η οποία βρίσκεται κάτω απ τη ΘΙ και απέχει απόσταση d από τη ΘΦΜ. Στη Θ.Ι. ισχύει η συνθήκη ισορροπίας: Σ F = F ( Μ+ m)g = F = ( Μ+ m)g kd = ( Μ+ m)g ελ,() ελ,() (m + M) kg m / s d = g = d = m =, m. k N / m Για την αρμονική ταλάντωση του συσσωματώματος, εφαρμόζω τη Διατήρηση της Ενέργειας, εξισώνοντας την κινητική και δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης στη θέση της κρούσης (που είναι η θέση εκκίνησης της ταλάντωσης) με την ολική ενέργεια Ε της ταλάντωσης. Αμέσως μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα απέχει xo = d d = = m, από τη ΘΙ και έχει ταχύτητα V, άρα: U +Κ=Ε kx o + (m + M)V = ka kxo + V (m + M) = ka kx o + (m + M)V kx o (m + M)V A = = + k k k 9

46 3 kg m / s 3 (m +Μ)V A = x 4 + =,5 m + = + m = k N / m = + m = m == m A =, m Σχόλιο: Προσέξτε τη διαφορά στις δυναμικές ενέργειες: Δυναμική ενέργεια ταλάντωσης: U = Dx, όπου το χ μετριέται από τη ΘΙ, Δυναμική ενέργεια ελατηρίου: U ελατηρίου, Βαρυτική δυναμική ενέργεια: U ορισμένο επίπεδο αναφοράς. ελ = βαρ kl, όπου το l μετριέται από τη ΘΦΜ του = mg h, όπου h είναι το ύψος του σώματος από Η Δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης «εμπεριέχει» τη δυναμική ενέργεια ελατηρίου και τη βαρυτική δυναμική ενέργεια. γ) Το μέτρο της δύναμης επαναφοράς δίνεται από τη σχέση: F= D x = k x, (θυμηθείτε ότι στο παράδειγμα, του σχολικού βιβλίου, έχουμε αποδείξει ότι D=k) δηλαδή είναι ανάλογο της απομάκρυνσης χ από τη ΘΙ, συνεπώς γίνεται μέγιστο στα ακρότατα της ταλάντωσης. Έτσι: F max =k A = N / m,m F max = N. H Δύναμη του ελατηρίου έχει μέγιστο μέτρο στη θέση που το ελατήριο εμφανίζει τη μέγιστη απόσταση από τη Θ.Φ.Μ. του, δηλαδή στην κατώτερη θέση της ταλάντωσης. Άρα: ( ) ( ) F =k l =N / m d A m,, N ελ,max max + = +,max Fελ = 4 N. δ) Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης δίνεται από τη σχέση: U = Dx = kx. Συνεπώς, χρειάζεται να βρούμε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης: x = A ηµ ( ω t + ϕ ). Ήδη γνωρίζουμε το πλάτος Α=, m, οπότε πρέπει να βρούμε τη γωνιακή συχνότητα ω και την αρχική φάση φ. Η γωνιακή συχνότητα: D ω= = rad = rad ω= rad. M+ m s s s 3

47 Για την αρχική φάση, θέτω στην χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης: x = A ηµ ( ω t + ϕ ), t = και x =, 5m, επειδή το συσσωμάτωμα κινείται προς τα κάτω πρέπει η ταχύτητα να είναι αρνητική, οπότε:,5 π π π,5 =,ημϕ ημϕ = = ημϕ = ημ ϕ = kπ+ ή ϕ = kπ+π., Επειδή για την αρχική φάση πρέπει να ισχύει: ϕ < π, θα είναι και στις δύο λύσεις 5 το k=, δηλαδή: ϕ = π ή ϕ π π =π = π Η η λύση δίνει για την ταχύτητα: υ = υmaxσυν > και (φυσικά) η η 6 5π 6 υ = υmaxσυν <. Συνεπώς δεχόμαστε τη η λύση: 5π ϕ =. 6 5π Η εξίσωση της απομάκρυνσης είναι: x =, ηµ ( t + ) (στο S.I.) και αντικαθιστώντας 6 στη σχέση της δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης, βρίσκουμε τελικά: 5π 5π 5π U = kx =, ηµ (t + ) = ηµ (t + ) U = ηµ ( t + ) (στο S.I.) Ημερομηνία τροποποίησης: /7/ 3

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Το ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις, με περίοδο Τ. Τη χρονική στιγμή t ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος και το κύκλωμα διαρρέεται από ρεύμα με τη φορά που έχει σχεδιαστεί στο σχήμα. T Τη χρονική στιγμή t = t +, η ένταση του ρεύματος θα είναι: α) μέγιστη με τη φορά του σχήματος. β) μηδέν. γ) μέγιστη με φορά αντίθετη από αυτήν του σχήματος. Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Επειδή τη χρονική στιγμή t, ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος, το ρεύμα στο κύκλωμα είναι μέγιστο. Γνωρίζουμε ότι το ρεύμα μετά από T θα μηδενιστεί. Αμέσως μετά θα αλλάξει φορά και 4 θα μεγιστοποιηθεί σε επιπλέον χρονικό διάστημα T. Έτσι τη χρονική στιγμή 4 T T t = t + = t + η ένταση του ρεύματος γίνεται μέγιστη με φορά αντίθετη της 4 αρχικής. Συνεπώς, Σωστή απάντηση είναι η (γ).

49 Ερώτηση. Ένα ιδανικό κύκλωμα LC () έχει πυκνωτή με χωρητικότητα C και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L, ενώ ένα άλλο ιδανικό κύκλωμα LC () έχει τον ίδιο πυκνωτή, αλλά πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 4L. Φορτίζουμε τον πυκνωτή του κυκλώματος () με πηγή τάσης V και τον πυκνωτή του κυκλώματος () με πηγή τάσης V και τα διεγείρουμε ώστε να εκτελούν αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. I Ο λόγος των πλατών των εντάσεων των ρευμάτων στα δύο κυκλώματα ισούται με: I α). β). γ). Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (β). Γνωρίζουμε ότι το πλάτος έντασης ρεύματος Ι με το πλάτος φορτίου Q, συνδέονται με τη π π σχέση: I= ω Q. Αλλά η γωνιακή συχνότητα ισούται με: ω= = = και το Τ π LC LC πλάτος φορτίου ισούται με: Q CV απ τη σχέση: I =. LC = CV. Έτσι το πλάτος έντασης ρεύματος θα υπολογιστεί CV Εφαρμόζουμε τον τύπο αυτό για κάθε κύκλωμα: I = και LC I C V C V CV CV I = = = =. Άρα I = I και ο ζητούμενος λόγος 4LC LC LC LC I Συνεπώς, Σωστή απάντηση είναι η (β). =.

50 Ερώτηση 3. Στο σχήμα φαίνονται οι γραφικές παραστάσεις των χρονικών εξισώσεων φορτίου q - t, στη χρονική διάρκεια έως t, για δύο ιδανικά κυκλώματα LC. Οι συντελεστές αυτεπαγωγής των πηνίων στα δύο κυκλώματα συνδέονται με τη σχέση L =4L. Η σχέση που συνδέει τις χωρητικότητες των δύο πυκνωτών είναι η: C α) C =. 9 C β) C =. 4 C γ) C =. 3 Ποια είναι η σωστή πρόταση; Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (α). Απ το διάγραμμα φαίνεται (εστιάζοντας στον οριζόντιο άξονα των t) ότι στη διάρκεια t γίνεται μια πλήρης ταλάντωση στο κύκλωμα () και μιάμιση στο κύκλωμα (). Άρα: 3 T = T. Αντικαθιστώντας σ αυτήν την σχέση τον τύπο που δίνει την περίοδο ταλάντωσης( T = π LC ), έχουμε: 3 3 π LC = π LC LC = 4LC. Συνεχίζουμε υψώνοντας στο τετράγωνο: 9 C LC = 4 LC C =. 4 9 Συνεπώς, Σωστή απάντηση είναι η (α). 3

51 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Ιδανικό κύκλωμα περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C=4μF, ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=4mH και διακόπτη, που είναι αρχικά ανοικτός. Φορτίζουμε τον πυκνωτή σε τάση V=V και τη χρονική στιγμή t= κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. α) Να υπολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης. β) Να υπολογίσετε την μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο. γ) Να γράψετε τις εξισώσεις q=f(t) και i=f(t). δ) Να υπολογίσετε την (ολική) ενέργεια της ταλάντωσης. α) Η γωνιακή συχνότητα βρίσκεται από τη σχέση ω= rad / s 5rad / s 6 3 LC = 4 4 ω= β) Γνωρίζουμε ότι I= ω Q 3 = = Q = 4 C 6 Q VC V 4 F Άρα =ω = = 3 I Q 5rad / s 4 C A γ) Επειδή τη χρονική στιγμή t= ο πυκνωτής έχει μέγιστο φορτίο, δεν υπάρχει αρχική φάση. Οπότε οι ζητούμενες σχέσεις θα είναι : q = Qσυνω t = 4 3 συν 5t (SI) i = Iηµω t = ηµ 5t (SI) δ) Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης υπολογίζεται είτε ως μέγιστη ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, είτε ως μέγιστη ενέργεια μαγνητικού πεδίου του πηνίου: 3 LI 4 H A E = = E =, J ή 6 CV 4 F () V UE = = UE =, J 4

52 Άσκηση. Σε ένα ιδανικό ηλεκτρικό κύκλωµα LC το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 4 mh, ενώ ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 6 µ F. Στο κύκλωμα υπάρχει διακόπτης Δ, ο οποίος αρχικά είναι ανοικτός. Ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως και τη χρονική στιγµή t = ο διακόπτης κλείνει, οπότε το κύκλωµα κάνει αµείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Η ολική ενέργεια του κυκλώµατος είναι Να υπολογίσετε: α) Tην περίοδο T της ταλάντωσης. 5 E J =. β) Tη µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα. γ) Tο φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγµή t, κατά την οποία η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται για δεύτερη φορά ίση με την ενέργεια του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο. δ) Tην παραπάνω χρονική στιγµή t. Αρχικά μετατρέπουμε στο SI τα δεδομένα μας: L = 4 mh 3 L = 4 H 6 C 6 F C 6 F = µ = α) Η περίοδος ταλάντωσης υπολογίζεται από τη σχέση T = π LC. Με αντικατάσταση των τιμών, έχουμε: T LC 4 H 6 F 4 6 s = π = π = π = π 4 T 6 s β) Από τον τύπο της ολικής ενέργειας E = LI έχουμε: E J I I I A L 4 H 5 = = = 3 I =, A γ) Αφού οι ενέργειες U E και U B πρέπει να είναι ίσες, θα ισχύει: 5

53 U E = U B Επειδή ψάχνουμε φορτίο q, το οποίο υπάρχει στην εξίσωση της U E και θα αλλάξουμε την U B με E U E U E, θα κρατήσουμε την, από την αρχή διατήρησης της ενέργειας: q Q Q Q Q U = E E U E U = E E q q q C = C = = = q Q = () Από τον τύπο Q E = υπολογίζουμε το πλάτος φορτίου Q: C 5 6 Q = E C = J 6 F = 4 6 C 5 Q 8 C = () Από τις () και (), έχουμε: 5 q = 4 C q 5 8 C = δ) Αν θεωρήσουμε ότι μελετάμε το φορτίο του οπλισμού που τη στιγμή t = ήταν θετικά φορτισμένος, τότε ισχύει: t = q=+ Q και i=. Τότε η εξίσωση q = Q ηµ ( ω t + φ ) γράφεται q Q t i = I συν ω t + φ γράφεται i = I ηµω t. = συνω, ενώ η εξίσωση ( ) Αρχικά υπολογίζουμε τη γωνιακή συχνότητα ω: 4 π π rad 4 T 6 π s 8 s ω= ω= ω=. Από το ερώτημα γ) γνωρίζουμε ότι όταν οι ενέργειες του πυκνωτή πρέπει να είναι ίσο με: U E και Q Q q = q =± U B είναι ίσες, το φορτίο Από τις γραφικές παραστάσεις q t και i t φαίνεται ότι τη στιγμή t κατά την οποία Q UE = UB για η φορά ισχύει ότι: q = i< 6

54 Επομένως, θα έχουμε: Q = Q συνωt συνω t = i < I ηµω t < ηµω t > Η τριγωνομετρική επίλυση δίνει: 3π π 3π 3π T kπt 3πT 3T ω t = kπ+ t = kπ+ t = k π+ t = + t = kt + 4 T 4 4 π π 8π 8 Επειδή βρισκόμαστε στην η περίοδο ταλάντωσης, πρέπει t < T: 3T 3T 3T 3T 5T 3 5 t < T kt + < T kt < T kt < k < Ο μόνος ακέραιος που ικανοποιεί την παραπάνω ανισωτική σχέση είναι: k =. Άρα: 4 3T 3T 3 6 π s t = kt + t = t = t = 6 π s 7

55 Άσκηση 3. Στο κύκλωμα του σχήματος το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = mh, ο = 4µ F, ενώ ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 6 µ F. Αρχικά ο μεταγωγός μ βρίσκεται στη θέση (Α) και το κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με ολική ενέργεια αφόρτιστος. =, ενώ ο πυκνωτής είναι 6 E 8 J Τη χρονική στιγμή t ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος, με τον οπλισμό K να είναι θετικά φορτισμένος. Τη χρονική στιγμή, όπου t 3T 4 = t+, όπου T η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος LC, μεταφέρουμε ακαριαία τον μεταγωγό στη θέση (Β) χωρίς να προκληθεί σπινθήρας και το κύκλωμα LC ξεκινά αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Να υπολογίσετε: α) το πλάτος φορτίου Q στον πυκνωτή. β) το πλάτος της έντασης I στο κύκλωμα LC. γ) τη μέγιστη ΗΕΔ από αυτεπαγωγή στα άκρα του πηνίου στο κύκλωμα LC. Να εξηγήσετε: δ) ποιός από τους οπλισμούς M, N του πυκνωτή φορτίζεται πρώτος θετικά, όταν το κύκλωμα LC ξεκινήσει ηλεκτρική ταλάντωση. Αρχικά μετατρέπουμε στο SI τα δεδομένα μας: L = mh L = H C = 4µ F 6 C = 4 F 6 C = 6 µ F C = 6 F 8

56 α) Από τον τύπο της ολικής ενέργειας Q E = έχουμε: C Q = E C = 8 J 4 F 6 6 = 6 Q 8 C β) Επειδή τη στιγμή t ο πυκνωτής C είναι πλήρως φορτισμένος με θετικό τον οπλισμό Κ, θα ισχύει: χρονική στιγμή φορτίο οπλισμού Κ ένταση ρεύματος t + Q T I t + (δεξιόστροφη) 4 T Q t T + I t = t+ (αριστερόστροφη) 4 3T Επομένως, την στιγμή t 4 κυκλώματος LC βρίσκεται στο πηνίο ώς ενέργεια μαγνητικού πεδίου. = t+ που μετακινείται ο μεταγωγός, όλη η ενέργεια του Αυτή η ενέργεια μεταφέρεται στο κύκλωμα LC και είναι η ολική ενέργεια ταλάντωσης του νέου κυκλώματος. Το κύκλωμα LC ξεκινά με μέγιστη ένταση ρεύματος I, η οποία, λόγω αυτεπαγωγής είναι ίση με την ένταση ρεύματος στο κύκλωμα LC τη στιγμή t που μετακινήθηκε ο μεταγωγός, δηλαδή: I = I ( = I) Το (κοινό) πλάτος έντασης I μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: J E = E = 8 J LI = 8 J I = H I = 4 A γ) Η μέγιστη ΗΕΔ από αυτεπαγωγή ισούται με την μέγιστη τάση V max στα άκρα του πυκνωτή. Ισχύει: 9

57 I Q = C V = C E αυτ max,max, ω I L E = E = I αυτ,max, αυτ,max, C C LC H αυτ,max, 6 E = 4 A 6 F E E 4 αυτ,max, = V αυτ,max, = V 3T δ) Τη χρονική στιγμή t 4 ρεύμα στο πηνίο έχει τη φορά του σχήματος: = t+ κατά την οποία ο μεταγωγός στρέφεται δεξιά, το Λόγω αυτεπαγωγής, το πηνίο διατηρεί στιγμιαία τη φορά και την τιμή της έντασης του ρεύματος. Επειδή η συμβατική φορά ρεύματος δηλώνει φορά κίνησης θετικών φορτίων, ο οπλισμός M θα φορτιστεί πρώτος θετικά.

58 ΘΕΜΑ Δ Πρόβλημα. Πυκνωτής χωρητικότητας C φορτίζεται από ηλεκτρική πηγή συνεχούς τάσης που έχει Ηλεκτρεγερτική Δύναμη Ε=5 V. Στη συνέχεια αποσυνδέουμε την πηγή φόρτισης και συνδέουμε τα άκρα του με αγωγούς μηδενικής αντίστασης σε ιδανικό πηνίο, που έχει συντελεστή αντεπαγωγής L=,5 H, μέσω διακόπτη. Τη χρονική στιγμή t= κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα αρχίζει να εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις συχνότητας 5 f = Hz. π α) Να υπολογίσετε τη χωρητικότητα C του πυκνωτή. β) Να γράψετε τις εξισώσεις του φορτίου του πυκνωτή και της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα σε συνάρτηση με το χρόνο. γ) Να υπολογίσετε τις χρονικές στιγμές που μηδενίζεται η τάση αυτεπαγωγής του πηνίου στο χρονικό διάστημα από έως π -3 s. δ) Να υπολογίσετε την ένταση του ρεύματος τις στιγμές, που το φορτίο του πυκνωτή 5 έχει τιμή 5 3 C και το ρεύμα έχει φορά προς τον αρχικά αρνητικά φορτισμένο οπλισμό του πυκνωτή. α) ω f = = f = C= = C= µ F π π LC 4π LC 4π Lf 5 4π,5H s π 6 4 Q = VCC = EC = 5V F Q = C I=ω Q= πf Q= π 5 s 4 C I, π = Α β) Αφού ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος τη στιγμή t=, η ταλάντωση δεν θα έχει αρχική φάση, άρα οι εξισώσεις του φορτίου και της έντασης του ρεύματος, γράφονται αντίστοιχα: 4 q Q t t = συνω = συν (SI) i = Iηµω t =,ηµ t (SI) γ) Η τάση αυτεπαγωγής στο πηνίο μηδενίζεται τις χρονικές στιγμές στις οποίες μηδενίζεται η τάση στον πυκνωτή, άρα και το φορτίο, αφού τα δύο στοιχεία έχουν κοινά

59 άκρα (V C =V L ). Σε μια ηλεκτρική ταλάντωση χωρίς αρχική φάση αυτό συμβαίνει τις χρονικές στιγμές Τ/4 και 3Τ/4. Η περίοδος υπολογίζεται ως εξής: π T= = T= s f 5 5 π Άρα η τάση αυτεπαγωγής μηδενίζεται τις στιγμές t =,5π -3 s και t =,5π -3 s. δ) Επειδή στην άσκηση δε δίνεται η χρονική στιγμή, αλλά το φορτίο, για να βρούμε την ένταση του ρεύματος θα δουλέψουμε ενεργειακά, δηλαδή θα εφαρμόσουμε τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση: Q q Li Q q Li E= UE + UB = + = C C C i Q q = LC i =ω ( Q q ) i=±ω Q q =± =± 8 8 i, 75 A, 5A Επειδή το ρεύμα έχει φορά προς τον αρχικά φορτισμένο αρνητικά οπλισμό του πυκνωτή, θα έχει αρνητικό πρόσημο. Άρα: i =,5A Μεθοδολογία: Η σχέση i= ±ω Q q δεν υπάρχει στο σχολικό βιβλίο και πρέπει να αποδεικνύεται πριν χρησιμοποιηθεί. Γενικά σε μια άσκηση όταν δε δίνεται η χρονική στιγμή, αλλά το φορτίο, θα δουλεύουμε ενεργειακά για να βρούμε την ένταση του ρεύματος και όχι με τις εξισώσεις i = f(t) και q = f(t).

60 Πρόβλημα. Ιδανικό κύκλωμα περιλαμβάνει πυκνωτή χωρητικότητας C, ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L και διακόπτη, που είναι αρχικά ανοικτός. Φορτίζουμε τον πυκνωτή με φορτίο Q= mc και τη χρονική στιγμή t= κλείνουμε το διακόπτη, οπότε το κύκλωμα π εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις με περίοδο Τ= ms. α) Να βρείτε τη μέγιστη ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα. β) Να υπολογίσετε το φορτίο του πυκνωτή τις στιγμές, που η ένταση του ρεύματος έχει τιμή 3 A. γ) Να βρείτε ποιες χρονικές στιγμές στη διάρκεια της ης περιόδου, η ενέργεια μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι ίση με το 75% της ολικής ενέργειας του κυκλώματος; δ) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της έντασης του ρεύματος di dt χρονική στιγμή t=τ/3. στο κύκλωμα τη π α) I=ωQ= Τ Q= π 3 C I = Α 3 π s β) Eφαρμόζουμε τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση Q q Li Q q Li E= UE + UB = + = C C C Λύνοντας ως προς q βρίσκουμε: i, 75 ω 4π 4π 4π q =± Q =± C q=± C Επειδή ζητά το φορτίο του πυκνωτή, κρατάμε μόνο τη θετική τιμή, άρα: q = 4 π 3 C 3E γ) Ισχύει UB = 4 Άρα, E= UE + UB 3E E E = + = συν ω = συνω = ± E UE UE E t t 3

61 Λύνοντας την τριγωνομετρική εξίσωση βρίσκουμε τέσσερεις λύσεις για την πρώτη περίοδο, ως εξής: π π π T ω t = κπ + t = t = ( κ = ) π 3 Τ 3 6 συνω t = συνω t = συν 3 π π π 5T ω t = κπ t = π t = ( κ= ) 3 Τ 3 6 και π π π T ω t = κπ + t = t = ( κ = ) π 3 Τ 3 6 συνω t = συνω t = συν 3 π π π 4T ω t = κπ t = π t = ( κ= ) 3 Τ 3 6 Έτσι καταλήγουμε στις τέσσερεις απαντήσεις: Τ/6, Τ/6, 4Τ/6 και 5Τ/6, δηλαδή, t = -3 /6 s, t = -3 /3 s, t 3 = -3 /3 s και t 4 =5-3 /6 s. δ) Ισχύει di E = αυτ L di Eαυτ V C q di = = = = ω q () dt dt L L LC dt Το q θα το βρούμε από την εξίσωση του φορτίου με το χρόνο. Επειδή τη χρονική στιγμή t= ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος η ταλάντωση δεν έχει αρχική φάση και η εξίσωση του φορτίου γράφεται q= Qσυνω t ή 3 q = συν π π 3 t. Με αντικατάσταση του t παίρνουμε: π q = C συν π = Cσυν q = C q = C π 3 π 3 π 4π Με αντικατάσταση στην σχέση () παίρνουμε: 3 di di = (πrad / s) C = π A / s dt 4π dt 4

62 Πρόβλημα 3. Στο κύκλωμα του σχήματος η ηλεκτρική πηγή έχει ΗΕΔ Ε= V, ο πυκνωτής χωρητικότητα C= μf και το πηνίο συντελεστή αυτεπαγωγής L=8 mη. ) Αρχικά ο μεταγωγός διακόπτης βρίσκεται στη θέση (). α) Πόση είναι η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα και πόση η τάση στα άκρα του πυκνωτή; β) Να υπολογίσετε την ενέργεια ηλεκτρικού πεδίου που είναι αποθηκευμένη στον πυκνωτή. ) Τη χρονική στιγμή t= μετακινούμε ακαριαία το διακόπτη στη θέση (), χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας (δηλαδή χωρίς απώλεια ενέργειας), οπότε «αποκόπτεται» η ηλεκτρική πηγή και το ιδανικό κύκλωμα L-C αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. α) Να γράψετε τις εξισώσεις του φορτίου q του πυκνωτή καθώς και του ρυθμού μεταβολής του dq σε συνάρτηση με το χρόνο t. dt β) Να υπολογίσετε την απόλυτη τιμή της τάσης στα άκρα του πυκνωτή τη χρονική στιγμή που η ενέργεια στο μαγνητικό πεδίο του πηνίου ισούται με U B =3-4 J. ) α) Επειδή ο πυκνωτής λειτουργεί σαν ανοικτός διακόπτης, ο κλάδος που τον περιέχει δεν διαρρέεται από ρεύμα. Άρα i= και η τάση στα άκρα του πυκνωτή είναι ίση με την ΗΕΔ της πηγής, V=E=V. β) Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή δίνεται από τη σχέση: 6 CV F (V) 4 UE = = UE = 4 J ) α) Οι ζητούμενες εξισώσεις είναι: q=qσυν(ωt+φ ), i=-i ημ(ωt+φ ) 5

63 Το αρχικό (μέγιστο) φορτίο του πυκνωτή υπολογίζεται ως εξής: 6 5 Q = VC = EC = V F Q = 4 C. Η κυκλική συχνότητα ω υπολογίζεται ως εξής: π π ω= = ω= = ω= 5rad / s T 6 3 π LC LC H 8 F Το μέγιστο ρεύμα της ταλάντωσης είναι: Ι=ωQ=5rad/s 4-5 C ή Ι=,Α Τη στιγμή t= ο πυκνωτής είναι πλήρως φορτισμένος και ο πάνω οπλισμός Δ έχει μέγιστο θετικό φορτίο, άρα η ταλάντωση δεν θα έχει αρχική φάση, και οι εξισώσεις του φορτίου και της έντασης του ρεύματος (ισχύει, βέβαια, i=δq/δt), γράφονται αντίστοιχα: 5 q Q t 4 5t = συνω = συν (SI) i = Iηµω t =,ηµ 5t (SI) β) Θα εφαρμόσουμε τη διατήρηση της ενέργειας για την ταλάντωση. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με την ενέργεια του πυκνωτή τη χρονική στιγμή t=, δηλαδή: 4 E = UE(max) = 4 J Έχουμε: 6 4 CV 4 4 V E = UE + UB 4 = + 3 = V = V Ημερομηνία τροποποίησης: 4/7/ 6

64 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΚΑΙ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΦΘΙΝΟΥΣΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Στον πίνακα που ακολουθεί δίνονται οι μέγιστες απομακρύνσεις μιας μηχανικής ταλάντωσης για δύο χρονικές στιγμές. Χρόνος (s) 3 Μέγιστη απομάκρυνση(cm) Α =; Α = Α =9 Α 3 =; Αν γνωρίζουμε ότι η περίοδος της ταλάντωσης είναι s και η δύναμη αντίστασης είναι της μορφής F = bu να συμπληρωθεί ο πίνακας. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση, στην οποία η δύναμη αντίστασης είναι της μορφής F = bu, ο λόγος διαδοχικών μέγιστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση είναι σταθερός, άρα ισχύει Α Α Α Α 9 = = ή = = Α Α Α 9 Α 3 3 (όλα τα μεγέθη είναι σε cm) Από την η ισότητα παίρνουμε Από την η ισότητα παίρνουμε A = = 6cm 9 9 A3 = = 6, 75cm

65 Ερώτηση. Ένα σύστημα ξεκινά φθίνουσες ταλαντώσεις με αρχική ενέργεια J και αρχικό πλάτος Α. Το έργο της δύναμης αντίστασης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι 84J. Άρα το πλάτος ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις είναι: α) A 4. β) A 6. γ) 4A. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή απάντηση είναι η (γ). Μετά από Ν ταλαντώσεις στο ταλαντούμενο σύστημα έχει απομείνει ενέργεια ίση με E = J 84J E = 6J Η αρχική ενέργεια της ταλάντωσης βρίσκεται από τη σχέση Ε = D Α Η ενέργεια της ταλάντωσης μετά από Ν ταλαντώσεις βρίσκεται από τη σχέση Ε= D Α Σχηματίζουμε το πηλίκο των δύο ενεργειών Ε Α Α Α 4 = η = η = η Α= Α Ε Α 6 Α 4 Α Συνεπώς, σωστή απάντηση είναι η (γ).

66 ΘΕΜΑ Γ Άσκηση. Σώμα μάζας kg εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση και το πλάτος μειώνεται με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση A =,e Λt (S.I.). Τη στιγμή t = η ενέργεια της ταλάντωσης του σώματος είναι ίση με J, ενώ τη στιγμή t το πλάτος της ταλάντωσης είναι το μισό του αρχικού. Να βρεθούν: α) Το πλάτος της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t = 4t. β) Η περίοδος Τ της ταλάντωσης. γ) Το ποσοστό % της αρχικής ενέργειας που μετετράπη σε θερμότητα κατά τη διάρκεια της φθίνουσας ταλάντωσης από την αρχή μέχρι τη χρονική στιγμή t = t. α) Από την εξίσωση που δίνει το πλάτος της φθίνουσας ταλάντωσης στο (S.I.) υπολογίζουμε τη σταθερά Λ:, ln = = = = = Λ Λ= t Λt Λt Λt Λt A, e, e e ln lne ln t ln 4t 4 Λ t Λt t 4ln ln A =, e A =, e A =, e A =, e A =, e 4, A =, A = 4 A = m 6 β) E J N E = D A D = D = D = 4 A (,m) m m kg T = π T D = π N 4 m T π = s γ) ln t Λt Λ t t ln ln A =, e A =, e A =, e A =, e A =, e 3

67 , A A =, A = A = m = 4 4 A DA E DA A Π % = E % A A = % = % Π % = 6 % E DA A A 5A = 6 % A Π% = 93, 75% = 5 % 6 4

68 Άσκηση. Το πλάτος μιας φθίνουσας ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη t σχέση A= Ae Λ και υποδιπλασιάζεται σε χρόνο t = 5s. α) Ποια είναι η τιμή της σταθεράς Λ της ταλάντωσης; β) Πόσος χρόνος χρειάζεται ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να μείνει το /8 του αρχικού; γ) Ποιο κλάσμα της αρχικής του ενέργειας χάνει το ταλαντούμενο σύστημα στο χρονικό διάστημα που πρέπει να περάσει για να γίνει το πλάτος το /8 του αρχικού; Δίνεται ln =,7. Για να λύσουμε τις ασκήσεις αυτές χρειάζεται να επιλύσουμε τη λογαριθμική εξίσωση t A= Ae Λ δύο φορές. Συνήθως την πρώτη φορά ως προς Λ και τη δεύτερη ως προς Α ή ως προς t, ανάλογα με τα ζητούμενα της άσκησης. Έτσι, δουλεύουμε ως εξής: α) A A= Ae = Ae = e Λt Λt Λt Εδώ, πριν λογαριθμήσουμε, προτείνεται να κατεβάζουμε το στον παρονομαστή για να παίρνουμε θετικό εκθέτη. Μας διευκολύνει στην λογαρίθμηση. Συνεχίζουμε: t e Λ = t e Λ - Λ =,4s = e Λt ln Λt = ln e ln t =Λ ln ln,7 Λ= = = t 5 5 β) Για να βρούμε τον χρόνο t θα επιλύσουμε τη λογαριθμική εξίσωση δεύτερη φορά, χρησιμοποιώντας το Λ που βρήκαμε προηγουμένως: A= για t Ae Λ A= t Ae Λ A 8 Λt = Ae 8 e = 8 e Λ Λt = t 8= e Λt ln 8 Λt = ln e 3 ln =Λt ln 3ln = t t = 5s 5s Παρατηρούμε ότι ο αριθμός που βρίσκεται μέσα στο λογάριθμο (εδώ το 8), γράφεται ως δύναμη ενός μικρότερου αριθμού (εδώ του ). Αυτή είναι συνηθισμένη πρακτική στις ασκήσεις αυτού του τύπου. γ) Όταν το πλάτος της ταλάντωσης γίνει το /8 του αρχικού, το κλάσμα της αρχικής ενέργειας που έχει χάσει το ταλαντούμενο σύστημα βρίσκεται από τη σχέση: 5

69 A DA DA A E E 63 = = 8 = E DA A 64 Ημερομηνία τροποποίησης: 5/7/ 6

70 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΞΑΝΑΓΚΑΣΜΕΝΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Ερώτηση. Ένα σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση πλάτους Α και συχνότητας f=5ηz. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι 7 Ηz. Αν η συχνότητα του διεγέρτη γίνει 6Ηz τότε το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης: α) θα γίνει μικρότερο από Α. β) θα γίνει μεγαλύτερο από Α. γ) θα παραμείνει Α. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή πρόταση είναι η (β). Γνωρίζουμε ότι καθώς η συχνότητα του διεγέρτη πλησιάζει στην ιδιοσυχνότητα του ταλαντούμενου συστήματος, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης αυξάνεται. Στην περίπτωσή μας η συχνότητα ταλάντωσης αυξάνεται από τα 5Ηz στα 6Ηz, δηλαδή πλησιάζουμε προς την ιδιοσυχνότητα f =7 Ηz. Συνεπώς σωστή πρόταση είναι η (β).

71 Ερώτηση. Ένα σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση συχνότητας f = 3Η z και πλάτους Α. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος είναι 5 Ηz. Αν αυξήσουμε τη σταθερά απόσβεσης b του συστήματος χωρίς να μεταβάλλουμε τη συχνότητα του διεγέρτη, τότε: α) το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα μειωθεί. β) η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα γίνει λίγο μικρότερη από 3Η z. γ) η συχνότητα της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα γίνει λίγο μικρότερη από 5Η z. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση. Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας. Σωστή πρόταση είναι η (α). Η συχνότητα μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης είναι πάντα ίση με τη συχνότητα του διεγέρτη, οπότε και μετά την αλλαγή της σταθεράς απόσβεσης b η συχνότητα ταλάντωσης θα παραμείνει 5Η z. Από το διάγραμμα του πλάτους Α μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης σε συνάρτηση με τη συχνότητα f του διεγέρτη για διάφορες τιμές της b (Σχ..8, σελ. 3, του Σχολικού Βιβλίου), βλέπουμε ότι αύξηση της b προκαλεί μείωση του πλάτους ταλάντωσης. Άρα σωστή πρόταση είναι η (α).