ΤΜΗΜΑ ΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΥ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδειγµα

Transcript

1 Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Μάθηµα Τέταρτο-Πέµπτο-Έκτο Πολλαπλό Γραµµικό Υπόδιγµα Στο παρόν µάθηµα δίνται µ κάποια απλά παραδίγµατα-ασκήσις θέµατα πάνω στην κτίµηση νός πολλαπλού γραµµικού υποδίγµατος. Ζητίται η ρµηνία κτιµητών, η στατιστική σηµαντικότητα και η ύρση στοιχίων όπως ο συντλστής προσδιορισµού καθώς και τα διαφορτικά αθροίσµατα ττραγώνων. Προφανώς το πολλαπλό γραµµικό υπόδιγµα ίναι η πέκταση του απλού γραµµικού υποδίγµατος. Άσκηση 1 Τα καθαρά κέρδη (σ χιλιάδς υρώ) µιας πιχίρησης συνδέονται γραµµικά µ την µταβολή στις πωλήσις (σ χιλιάδς υρώ) µ βάση την Y β+ β1x. Το υπόδιγµα που κτιµήθηκ µ βάση ένα δίγµα 38 πιχιρήσων δίνται ως ξής: Y,5+ 3,5X + µ ( ) ese.. β (4, 1)(1,8),88 και TSS 1. Σχολιάστ τα αποτλέσµατα. (από οικονοµική άποψη). α λέγξτ στατιστικά την σηµαντικότητα των κτιµητών. Αν ο κτιµητής ˆ β της µταβολής των πωλήσων έχι θτική πίδραση πάνω στα καθαρά κέρδη.. α υπολογίστ την λαστικότητα στο σηµίο (Χ5, Υ11) v. α υπολογίστ τα ESS, SS και να κατασκυάστ τον πίνακα ANOVA v. α λγχθί στατιστικά η ισχύς του υποδίγµατος v. Ποιο το πίπδο των καθαρών κρδών άν οι πωλήσις µταβληθούν κατά 5 χιλιάδς υρώ Λύση Απάντηση του ) ρωτήµατος δοµένου ότι οι άλλοι παράγοντς δν πηράζουν το υπόδιγµα, τα καθαρά κέρδη της πιχίρησης θα ίναι,5 χιλιάδς υρώ. Για το σύνολο των πιχιρήσων πριµένουµ πως αυτό το πρόσηµο ίναι θτικό. δοµένου ότι οι άλλοι παράγοντς δν πηράζουν το υπόδιγµα, µία αύξηση κατά µία µονάδα στη µταβολή των πωλήσων θα έχι ως αποτέλσµα αύξησης κατά 3,5 χιλιάδς υρώ στα κέρδη της πιχίρησης. Απάντηση του ) ρωτήµατος : ˆβ (Στατιστικά µη σηµαντικός κτιµητής) ΟΙΚΟΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 1

2 Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ 1: ˆβ (Στατιστικά σηµαντικός κτιµητής) ˆ β,5 4,87 ~ a n ˆ /, ese.. ( ˆ β 4, 1 ) β Παρατηρούµ ότι έχουµ απόρριψη της οπότ ο κτιµητής µου ίναι στατιστικά σηµαντικός : ˆβ 1 (Στατιστικά µη σηµαντικός κτιµητής) 1: ˆβ 1> (έχι θτική πίδραση) Όταν ο έλγχος ίναι µονόπλυρος και χρησιµοποιώ τιµές πιθανότητας συγκρίνουµ το p value µ το πίπδο σηµαντικότητας α. 3,5 Συγκρίνουµ ˆ 1,9 ~ β 1,5,36 1,8 Έχουµ απόρριψη της οπότ ο κτιµητής µου έχι θτική πίδραση πάνω στα καθαρά κέρδη. Απάντηση του ) ρωτήµατος συνάρτηση ζήτησης νός αγαθού δίνται ως ξής: Q a+ βp E d Υ P Ως γνωστό η λαστικότητα σ ένα σηµίο δίνται απο τον προηγούµνο PQ τύπο. Αρα, Y X 5 E 3, 5 1,59. Παρατηρούµ ότι έχουµ λαστική ζήτηση. X Y 11 Υπολογίζουµ τη µταβολή των καθαρών κρδών ως προς τη µταβολή των πωλήσων. ζήτηση ίναι λαστική δηλαδή καθαρά _ κέρδη µταβολή _ πωλήσων > µία καθαρά _ κέρδη µταβολή _ πωλήσων ποσοστιαία µταβολή στη µταβολή των πωλήσων θα πιφέρι µγαλύτρη ποσοστιαία µταβολή στα καθαρά κέρδη. Απάντηση του v) ρωτήµατος TSS ESS+ SS ESS ESS * TSS,88*1 88 άρα SS TSS ΟΙΚΟΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ

3 Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Y ˆ,5+ 3, 5*, 5 8,375 χιλιάδς υρώ c) α υπολογιστούν τα ESS, TSS (Οµοίως µ προηγούµνς ασκήσις). Άσκηση (Άσκηση 11 βιβλίο Χρήστου) Ένας οικονοµολόγος για να προσγγίσι την συµπριφορά των πιχιρήσων σ σχέση µ τις δαπάνς σ πάγιο κφάλαιο χρησιµοποίησ το ακόλουθο υπόδιγµα: Υ β+ β1χ 1+ βχ + β3χ 3+ β4χ 4+ β5χ 5+ όπου: Υ : Ακαθόριστς πνδύσις για το έτος. Χ 1 Καθαρά κέρδη για το έτος - Χ : Μταβολή στις πωλήσις για τα έτη -, -3 Χ 3 : Αποσβέσις για το έτος Χ 4 : Το αντίστροφο του πιτοκίου για το έτος -1 Χ 5 : Λόγος σταθρών προς συνολικών κφαλαίων -1. Για να κτιµήσι µπιρικά το υπόδιγµά του ξτάζι για µια πιχίρηση σ µία πρίοδο 15 τών και κτιµά: Y,78+,58Χ,175 Χ +,3 Χ +,84 Χ +,38 Χ e.s.e.( ˆ1 β ) (,18) (,136) (,77) (,438) (,446) (,379) και,68 ˆ 13,89 Σ Ερωτήµατα 1. Είναι τα πρόσηµα των συντλστών σύµφωνα µ την οικονοµική θωρία;. α λέγξτ τη στατιστική σηµαντικότητα τόσο των κτιµητών όσο και του υποδίγµατός. Θωρίται ότι ο κτιµητής των καθαρών κρδών έχι ορθά θτική πίδραση και γιατί; 3. α κατασκυάστ τον πίνακα ανάλυσης διακύµανσης Anova 4. α υπολογιστί η λαστικότητα για τα καθαρά κέρδη στο σηµίο ( X 1, Y 6) 1 5. α υπολογιστί ο διορθωµένος συντλστής προσδιορισµού 6. Εάν ο µρικός συντλστής συσχέτισης ανάµσα στις ακαθάριστς πνδύσις και στα καθαρά κέρδη ίναι r YX 1,88. α σχολιαστί το αποτέλσµα. ΟΙΚΟΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 3

4 Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Λύση Άσκησης Απάντηση του 1 ου ) ρωτήµατος Ο σταθρός όρος παριστάνι την αυτόνοµη πένδυση οπότ θα πρέπι να ίναι θτικός. Από την άλλη πλυρά οι πνδύσις σχτίζονται θτικά µ τα κέρδη οπότ θα αναµέναµ θτικό πρόσηµο. Επίσης το ίδιο ισχύι και για την µταβολή των πωλήσων καθώς αναµένται να πιδρούν θτικά στις ακαθάριστς πνδύσις αλλά µ χρονική υστέρηση. Οι αποσβέσις µπορούν να θωρηθούν ως το ποσοστό του κφαλαίου που καταναλώνται στην παραγωγική διαδικασία και θα πρέπι να αντικατασταθί. Από την άλλη πλυρά όσο µγαλύτρος ίναι ο συντλστής τόσο µγαλύτρη πίδραση θα έχι κα στις πνδύσις. Τέλος πιδή το πιτόκιο δανισµού πιδρά αρνητικά στις ακαθάριστς πνδύσις το αντίστροφό του θα έχι και την ανάλογη πίδραση. Απάντηση του ου ) ρωτήµατος : ˆβ (Στατιστικά µη σηµαντικός κτιµητής) vs 1: ˆβ (Στατιστικά σηµαντικός κτιµητής) ˆ β ~.179 a n 1 ˆ /, ese.. ( ˆ β.136 1) β Απόρριψη της οπότ ο κτιµητής µου ίναι στατιστικά σηµαντικός Οµοίως απαντάµ και στους υπόλοιπους λέγχους. Απάντηση του 3 ου ) ρωτήµατος Ο πίνακας ANOVA δίνται, Πίνακας Anova Πηγή µταβλητότητας Άθροισµα ττραγώνων Βαθµός λυθρίας Μέσο άθροισµα ττραγώνων Παλινδρόµηση 9,5 Κ4 9,5/47,38 (SS) Υπόλοιπα (ESS) 13,89 -Κ-11 13,89/11,389 Σύνολο (TSS) 43, F 5,313 ΟΙΚΟΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 4

5 Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Απο τα δδοµένα µας παρατηρούµ ότι ˆ 13,89 Σ Γνωρίζουµ ότι TSSESS+SS SS ESS ESS καθώς και ότι 1 TSS TSS 43, 41. Άρα SSTSS- TSS TSS 1 ESS F στατιστική συνάρτηση απαντάι στον έλγχο σηµαντικότητας νός υποδίγµατος (τι σηµαίνι αυτό;) ο έλγχος δίνται ως ξής: : όλοι οι κτιµητές (κτός του σταθρού όρου) : 1 διαφορτικά (στατιστικά σηµαντικό) Συγκρίνουµ λοιπόν την τιµή της στατιστικής F που πήραµ από τον πίνακα ανάλυσης της διακύµανσης µ την F 64, 6 ~ F1,36,5 ν 1 : βαθµοί λυθρίας αριθµητή, ν : βαθµοί λυθρίας παρονοµαστή και α: πίπδο σηµαντικότητας. Από τους πίνακς της στατιστικής F η τιµή για 4,1 και.5 ίναι Παρατηρούµ ότι η παραπάνω τιµή ίναι µικρότρη αυτή του λέγχου F5.313 οπότ έχουµ απόρριψη της αρχικής µας υπόθσης. Συνπώς το υπόδιγµα το οποίο έχουµ κτιµήσι ίναι στατιστικά σηµαντικό. Απάντηση του 4 ου ) ρωτήµατος Ο υπολογισµός της λαστικότητας των καθαρών κρδών στο σηµίο ( X1 1, Y 6) θα γίνι µ βάση τον τύπο Y X 1 E, X Y 6 ζήτηση ίναι ανλαστική. Απάντηση του 5 ου ) ρωτήµατος Ο διορθωµένος συντλστής προσδιορισµού θα υπολογιστί µ βάση τον τύπο ΟΙΚΟΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 5

6 Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ ESS ( N K 1) 1, TSS 3,1 ( N 1) Άρα η τιµή του θα ίναι.551 (α δοθί η ρµηνία του!!) Απάντηση του 6 ου ) ρωτήµατος Ο µρικός συντλστής συσχέτισης µας δίχνι την σχέση που υπάρχι ανάµσα στις ακαθάριστς πνδύσις και στα καθαρά κέρδη. τιµή του r YX 1,88 ίναι αρκτά υψηλή γγονός το οποίο και τονίζι την θτική συσχέτιση που υπάρχι ανάµσα στις µταβλητές πράγµα το οποίο ίναι πιθυµητό. Άσκηση 3 Εξτάζοντας το παραπάνω υπόδιγµα ένας δύτρος οικονοµολόγος κτίµησ (µ τα ίδια στοιχία) τα ξής: Υ,83+, 46Χ 1+,163Χ. e.s.e.( ˆ1 β ) (,13) (,4) (,65).677, 13, Ποιο από τα δύο υποδίγµατα θωρίται ότι ρµηνύι καλύτρα τη συµπριφορά των δαπανών σ πάγια κφάλαια;. α υπολογιστούν οι τιµές των κριτηρίων AIC, SBC. Τι µας δίχνουν; Λύση Άσκησης 3 Απάντηση του 1 ου ) ρωτήµατος Στο συγκκριµένο ρώτηµα ζητίται να ξταστί το γγονός ότι η προσθήκη των µταβλητών Χ 3 και Χ 4 αυξάνι ή όχι την ρµηνυτική δυνατότητα του υποδίγµατος. Αυτό θα µπορούσ να ξταστί µ βάση το παρακάτω έλγχο: β β : 3 4 : ιαφορτικά 1 Ο έλγχος αυτό ουσιαστικά συγκρίνι δύο διαφορτικά υποδίγµατα το πρώτο υπόδιγµα το οποίο και καλούµ ως µη πριορισµένο (unresrced) Υ β+ β1χ 1+ βχ + β3χ 3+ β4χ 4+ β5χ 5+ και το δύτρο υπόδιγµα το οποίο καλούµ πριορισµένο καθώς έχουν αφαιρθί δύο Y ανξάρτητς µταβλητές. β+ β1χ 1+ βχ + β3χ 3+ (). (1) ΟΙΚΟΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 6

7 Α.Τ.Ε.Ι ΠΑΤΡΩ & ΠΛΡΟΦΟΡΙΑΚΩ ΣΥΣΤΜΑΤΩ Ο έλγχος που θα χρησιµοποιήσουµ έχι την ξής µορφή. F ( u ) (1 ) r N K Ο έλγχος έχι τιµή:.3 F.51 και συγκρίνται µ την.3 11 τιµή µιας στατιστικής συνάρτησης F,11, Παρατηρούµ ότι η τιµή ίναι µικρότρη άρα έχουµ αποδοχή της αρχικής µας υπόθσης και συνπώς το µοντέλο (1) ίναι καλύτρο από το (). Απάντηση του ου ) ρωτήµατος Οι τιµές των AIC και SBC θα υπολογιστούν µ βάσις του ξής τύπους για κάθ υπόδιγµα ξχωριστά Για το (1) υπόδιγµα : Κ * 4 AIC log + log K logn SBC log +.8 Για το () υπόδιγµα: Κ AIC log + log K logn SBC log +.16 Από τα δύο υποδίγµατα πιλέγται σαφώς αυτό µ τις µικρότρς τιµές σ AIC και SBC. ΟΙΚΟΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ 7