ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ. Α Γυµνασίου

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Ν. ΗΜΑΘΙΑΣ ος Ηµθιώτικος Μθητικός ιγωνισµός στ Μθηµτικά «Η ΥΠΑΤΙΑ» Θέµ 1ο Σάτο 1 Νοεµρίου 009 Α Γυµνσίου Ο ρίσκετι σε έν κινηµτογράφο όπου όλες οι σειρές έχουν κριώς τον ίδιο ριθµό κθισµάτων. Πρτήρησε ότι µπροστά του ρισκότν 1 σειρές κθισµάτων, πίσω του 8, ριστερά 6 κι δεξιά 8. Ν υπολογίσετε πόσ κθίσµτ είχε ο κινηµτογράφος. Η ίθουσ του κινηµτογράφου είχε συνολικά 1 σειρές κθισµάτων. (1 σειρές µπροστά πό τον Mr.Math + 8 σειρές πίσω του +1 η σειρά που κθότν ο ίδιος). Η κάθε σειρά είχε πό 15 κθίσµτ (6 κθίσµτ ριστερά + 8 δεξιά του + 1 υτό που κθότν ο ίδιος) Εποµένως η ίθουσ συνολικά είχε 1Χ15= 315 κθίσµτ.

2 Θέµ ο Η µεγάλη µθηµτικός της ρχιότητς ΥΠΑΤΙΑ γεννήθηκε στην Αλεξάνδρει της Αιγύπτου το 370 µ.χ. εν πρόλε ν γεράσει. ολοφονήθηκε κθώς επέστρεφε σπίτι της. Τ χρόνι που έζησε είνι ένς ριθµός που διιρείτι µε το 3 κι το 5, ενώ ν διιρεθεί µε το 7 φήνει υπόλοιπο 3. Ν ρείτε πόσ χρόνι έζησε η ΥΠΑΤΙΑ κι ποι χρονιά πέθνε; Τ χρόνι που έζησε η Υπτί, είνι ένς ριθµός που διιρείτι µε το 3 κι το 5. Εποµένως είνι κοινό πολλπλάσιο των ριθµών 3 κι 5. Άρ είνι πολλπλάσιο του 15. ηλδή είνι κάποιος πό τους ριθµούς 15, 30, 45, 60, 75, 90, 105,.. Τ υπόλοιπά των διιρέσεων των ριθµών υτών µε το 7 είνι ντίστοιχ: 1,, 3, 4, 5, 6, 0,.. (Πρτήρηση: ο επόµενος ριθµός που είνι πολλπλάσιο του 15 κι ότν διιρείτι µε το 7 φήνει υπόλοιπο 3 είνι ο 150. Αυτός όµως πορρίπτετι πό τ δεδοµέν.. εν πρόλε ν γεράσει.) Άρ η Υπτί έζησε 45 χρόνι κι πέθνε το 514 µ.χ. (370+45=415).

3 Θέµ 3ο Στο πρκάτω σχήµ δίνοντι 3 ηµικύκλι. Τ άκρ των ηµικυκλίων πέχουν πό το σηµείο Α τις ποστάσεις που είνι σηµειωµένες στο σχήµ. Χωρίζουµε την περιοχή νάµεσ στο µεσίο κι το µεγλύτερο ηµικύκλιο σε 7 ίσ µέρη κι ονοµάζουµε κάθε εµδόν. Χωρίζουµε επίσης την περιοχή νάµεσ στο µικρό κι το µεσίο ηµικύκλιο σε 4 ίσ µέρ κι ονοµάζουµε κάθε εµδόν. Ν ρείτε ποιο πό τ δύο εµδά ή είνι µεγλύτερο κι ν ιτιολογήστε το συµπέρσµά σς. Α Πρτηρούµε ότι τ 3 ηµικύκλι είνι οµόκεντρ (έχουν το ίδιο κέντρο). Οι ντίστοιχες κτίνες τους είνι: 3,, 1 (πό το µεγλύτερο προς το µικτότερο) Γνωρίζουµε ότι ν ένς κύκλος έχει κτίν, τότε το εµδόν του είνι : E = π ρ 3,14 ρ. Άρ το εμδόν του ημικύκλιου (μισός κύκλος) θ είνι : 3,14 ρ = 1,57 ρ. Γι ν ρούμε το εμδόν των 7 τμημάτων (), στον εξωτερικό ημιδκτύλιο, θ φιρέσουμε πό το εμδόν του εξωτερικού ημικυκλίου που έχει κτίν 3, το εμδόν του εσωτερικού ημικυκλίου, που έχει κτίν. Έχουμε : Εμδόν εξωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 3 = 1,57 9 = 14,13 Εμδόν εσωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 = 1,57 4 = 6, 8

4 Επομένως το συνολικό εμδών των 7 τμημάτων () είνι: 14,13 6,8 = 7,85. Άρ το εμδόν κάθε τμήμτος () θ είνι 7,85 7 (). 1,1 Με νάλογο τρόπο ρίσκουμε το εμδόν του κάθε τμήμτος Δηλδή θ φιρέσουμε πό το εμδόν του εξωτερικού ημικυκλίου που έχει κτίν, το εμδόν του εσωτερικού ημικυκλίου, που έχει κτίν 1. Έχουμε : Εμδόν εξωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 = 1,57 4 = 6, 8 Εμδόν εσωτ. ημικ. = 1,57 ρ = 1,57 1 = 1,57 1 = 1,57 Επομένως το συνολικό εμδών των 4 τμημάτων () είνι: 6,8 1,57 = 4,71. Άρ το εμδόν κάθε τμήμτος () θ είνι 4,71 4 1,17 Άρ το εμδόν του τμήμτος () είνι μεγλύτερο πό το εμδόν του τμήμτος ().

5 Θέµ 4ο Η τηλεφωνική Ετιρεί YPATIAPHONE προσφέρει δύο προγράµµτ γι τη σχολική χρονιά στους µθητές που συµµετέχουν στο διγωνισµό ΥΠΑΤΙΑ που διενεργεί το Πράρτηµ της Ελλην. Μθηµτικής Ετιρείς της Ηµθίς γι τους µθητές της Α Γυµνσίου. Τ προγράµµτ ονοµάζοντι «009» κι «010». Το πρόγρµµ «009» προσφέρει γι τη διάρκει της σχολικής χρονιάς, 009 δωρεάν µηνύµτ Τ επιπλέον µηνύµτ χρεώνοντι 7 λεπτά το κθέν. Κάθε κλήση χρεώνετι προς 8 λεπτά. Το πρόγρµµ «010» προσφέρει 010 δωρεάν κλήσεις, ενώ οι επιπλέον κλήσεις χρεώνοντι προς 13 λεπτά κάθε µι. Κάθε µήνυµ χρεώνετι προς 7 λεπτά. Ο Υπάτιος που συµµετέχει στο διγωνισµό υπολογίζει ότι θ κάνει 500 κλήσεις κι θ στείλει 500 µηνύµτ. Ποιο πρόγρµµ του συµφέρει περισσότερο σύµφων µε τους υπολογισµούς του; Ν ιτιολογήσετε την πάντησή σς. Το πρόγρµµ «009» γι 500 κλήσεις κι 500 µηνύµτ θ έχει το εξής κόστος: Κόστος µηνυµάτων: ( ) 0,07 = 491 0,07 = 34,37 Κόστος κλήσεων : 500 0,08 = 00. Άρ το συνολικό κόστος γι το πρόγρμμ «010» είνι : 34,37+ 00= 34,37 Το πρόγρµµ «010» γι 500 κλήσεις κι 500 µηνύµτ θ έχει το εξής κόστος: Κόστος µηνυµάτων: 500 0,07 = 175 Κόστος κλήσεων :. ( ) 0,13 = 490 0,13 = 63,7 Άρ το συνολικό κόστος γι το πρόγρμμ «009» είνι : ,7= 38,7 Συνεπώς ο Υπάτιος θ πρέπει ν επιλέξει το πρόγρµµ «009».