ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 16/2/2012 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι

Transcript

1 ΑΤΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ/ ΣΤΕΦ 6//0 ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΝΙΚΩΝ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ A ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΗ ΦΥΣΙΚΗ Ι ΕΞΕΤΑΣΤΗΣ: ΒΑΡΣΑΜΗΣ ΧΡΗΣΤΟΣ ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΩΡΕΣ ΑΣΚΗΣΗ Σωματίδιο μάζας m = Kg κινείται ευθύγραμμα και ομαλά στον αρνητικό ημιάξονα x με συνολική ενέργεια ίση με 00 J. Όταν φθάσει στο σημείο x = 0 m ασκείται επιπλέον δύναμη που πηγάζει από τη δυναμική ενέργεια που φαίνεται στο σχήμα, όπου Α και Β σταθερές. α) Να εκφράσετε τη δυναμική ενέργεια συναρτήσει των μεγεθών Α, Β και x. (0.5 μονάδα) β) Να βρείτε τη διάσταση των σταθερών Α και Β. (0.5 μονάδα) U(??) B (0,0) B/A x(m) γ) Το σώμα φθάνει στο σημείο x = Β/Α σε χρόνο t = 0 s. Αν η σταθερά Β = J να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται το σώμα. (.5 μονάδα) δ) Να κάνετε τη γραφική παράσταση της δύναμης, F(x), από x = -B/A μέχρι x = B/A. (0.5 μονάδα) α) Η εξίσωση της ευθείας της U(x) είναι U = B-Ax () β) Ισχύει ότι (θυμηθείτε ότι η μονάδα μέτρησης της ενέργειας Joule = N m = Kg m s - ): [U] = M L T - Επομένως: [Β] = [U] = M L T - και [Α] = M L T -, αφού [Α] = [U] / [x] και [x] = L. γ) Η δύναμη που παράγεται από τη δυναμική ενέργεια της σχέσης () είναι: du F = - = A dx () άρα χρειάζεται να υπολογίσουμε τη σταθερά Α. Η ταχύτητα του σώματος στην ευθύγραμμη ομαλή κίνηση είναι (η ενέργεια του σώματος Ε είναι μόνο κινητική): E 00J m E m (3) m Kg s Αφού η δύναμη που ασκείται στο σώμα από x=0 μέχρι Β/Α είναι σταθερή, το σώμα εκτελεί ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με επιτάχυνση: α = Α/m (4) και η θέση του είναι ίση με (επιλέγουμε αρχικές συνθήκες t = 0, x 0 = 0): A x t t m 0 (5) και για x=b/a έχουμε:

2 A A B / A 0t t t 0t B / A 0 (6) m m Η διακρίνουσα του παραπάνω τριωνύμου είναι: B m με ρίζες: m s 0 t, 0 A / m οπότε αφού η μόνη φυσικά αποδεκτή ρίζα ισούται με 0 s θα έχουμε: m( ) Kg m / s 0 0 t A 0. N A / m t 0s 0 Η ρίζα t οδηγεί σε αρνητικό χρόνο και αποτελεί μη αποδεκτή λύση. A / m δ) Η δύναμη που ασκείται στο σώμα είναι ίση με 0. Ν μόνο μεταξύ x = 0 και x = B/A. Στα υπόλοιπα σημεία είναι μηδενική. Το ζητούμενο γράφημα F(x) είναι: F(N) 0. -B/A (0,0) B/A B/A x(m) ΑΣΚΗΣΗ Δύο σώματα με μάζες m = Kg και m = Kg βρίσκονται σε οριζόντιο και λείο επίπεδο. Αρχικά το σώμα μάζας m είναι ακίνητο ενώ το σώμα μάζας m κινείται με ταχύτητα υ = m/s, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η κρούση των σωμάτων είναι ελαστική. α) Να βρείτε τις ταχύτητες των σωμάτων μετά την κρούση. ( μονάδες) β) Για ποιο λόγο μαζών m /m το σώμα m παραμένει ακίνητο μετά την κρούση; Να τεκμηριώσετε την απάντησή σας. ( μονάδα) m m α) Αφού η κρούση είναι ελαστική ισχύει η διατήρηση της ενέργειας και η διατήρηση της ορμής: υ m mv mv ()

3 m mv mv () όπου V και V οι ταχύτητες των σωμάτων m και m μετά την κρούση. Οι σχέσεις () και () γράφονται ως: m m V m V m ( V )( V ) m V (3) m ( V ) mv (4) Διαιρώντας τις (3) και (4) κατά μέλη παίρνουμε: V V (5) Αντικαθιστώντας το V στη σχέση () έχουμε: (m m ) m m V m ( V ) V m m (6) Αντικαθιστώντας το V στη σχέση () έχουμε: m m (V ) m V V m m m (7) Με βάση τις τιμές της εκφώνησης, m = Kg, m = Kg και υ = m/s βρίσκουμε ότι: V = -/3 m/s και V = 4/3 m/s. β) Το σώμα m παραμένει ακίνητο μετά την κρούση όταν V = 0. Από τη σχέση (6) διαπιστώνουμε ότι αυτό συμβαίνει όταν m = m, δηλαδή ο ζητούμενος λόγος είναι m /m =. ΑΣΚΗΣΗ 3 α) Σε ομογενές τετράγωνο πλευράς L αφαιρείται τετράγωνο πλευράς L/, όπως φαίνεται στο σχήμα. Να βρείτε το κέντρο μάζας του σώματος. ( μονάδες) β) Σώμα μάζας m βρίσκεται στο σημείο (x, 0, 0) και έχει ταχύτητα υ = (υ, 0, 0). Να υπολογίσετε τη στροφορμή του ως προς την αρχή των αξόνων. ( μονάδα) α) Χωρίζουμε το σχήμα σε δύο κομμάτια όπως παρακάτω: L L/

4 y A: (L/4, 3L/4) B:(L/, L/4) Εφόσον το αρχικό τετράγωνο είναι ομογενές, αν το κόκκινο κομμάτι έχει μάζα Μ το μπλε κομμάτι θα έχει μάζα Μ. Τα κέντρα μάζας των δύο αυτών κομματιών θα βρίσκονται στα σημεία Α = (L/4, 3L/4) και Β = (L/, L/4). Επομένως, το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση του κέντρου μάζας δύο σημείων, Α και Β με τις παραπάνω συντεταγμένες, και μάζες Μ και Μ αντίστοιχα. Εφαρμόζοντας τις σχέσεις που μας δίνουν τις συντεταγμένες του κέντρου μάζας, x C και y C, συστήματος που αποτελείται από σημειακές μάζες έχουμε: x x y C C M L / 4 M L / L L / 4 5 L M M 3 M 3L / 4 M L / 4 3L / 4 L / 4 5 L M M 3 β) Η ορμή του σώματος θα είναι p (m,0,0) και το διάνυσμα θέσης του r (x,0,0). Δεδομένου ότι τα διανύσματα θέσης και ορμής είναι παράλληλα, η στροφορμή του, L, ως προς την αρχή των αξόνων, L r p, θα είναι μηδενική. ΑΣΚΗΣΗ 4 Σώμα μάζας Kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η χρονική εξάρτηση της θέσης του απεικονίζεται στο διπλανό σχήμα. α) Να βρείτε τα μεγέθη Α, πλάτος ταλάντωσης, ω, κυκλική συχνότητα και φ, αρχική φάση. ( μονάδα) β) Ποιος είναι ο τύπος της x(t); (0.5 μονάδα) γ) Να σχεδιάσετε τις σχέσεις υ(t) και α(t), όπου υ η ταχύτητα και α η επιτάχυνση, από 0 ως Τ. ( μονάδα) δ) Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις Ε(t), E K (t) και E Δ (t) όπου Ε, Ε Κ και Ε Δ η συνολική, κινητική και δυναμική ενέργεια του σώματος (0.5 μονάδα) (Δίνεται ότι: , π = 9.9) α) Το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Άρα η θέση του, x(t), θα είναι ίση με: x(t) = Asin(ωt + φ) () Προσέξτε ότι επιλέγουμε ημίτονο αυθαίρετα διότι θέλουμε την αρχική φάση να είναι μεταξύ 0 και π/ και αρχικά το x(t) αυξάνει. Από το σχήμα της εκφώνησης έχουμε ότι Α = m. Επίσης, για t = 0 x = m, άρα:

5 = sinφ sinφ = /, δηλαδή φ = 30º ή π/6. Επίσης από το σχήμα της εκφώνησης βρίσκουμε ότι η περίοδος είναι ίση με Τ = s. Άρα, ω = π/τ = π rad/s. β) Με βάση τα παραπάνω αποτελέσματα η σχέση () γίνεται: x(t) = sin( t + / 6) γ) Ισχύει ότι: dx (t) cos( t ), dt 6 d dt 6 (t) sin( t ) Τα γραφήματα είναι: 8 υ(m/s) t(s)

6 0 α( m/s ) 0 0 t(s) δ) Είναι: 6 Ek m m cos ( t ) 6 E m x m sin ( t ) E E E m k