ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 128

Transcript

1 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 18 Η οµορφιά της φυσικής επιστήµης έγκειται, εν πολλοίς, στην διαρκή αναζήτηση απλών κανόνων που περιγράφουν τη συµπεριφορά πολύ µικρών, απλών φυσικών αντικειµένων. Μόλις οι κανόνες αυτοί διατυπωθούν, συχνά µπορούν να εφαρµοστούν και σε µεγαλύτερη κλίµακα για να περιγράψουν τη συµπεριφορά τεράστιων συστηµάτων του πραγµατικού κόσµου. Κατανοώντας, για παράδειγµα, πως αλληλεπιδρούν δύο µόρια αερίου όταν συγκρούονται και χρησιµοποιώντας τους κατάλληλους µαθηµατικούς υπολογισµούς, οι επιστήµονες µπορούν να βγάλουν συµπεράσµατα για την συµπεριφορά που εµφανίζουν δισεκατοµµύρια δισεκατοµµυρίων µόρια αερίων όπως αυτά που απαρτίζουν την ατµόσφαιρα της γης. Αυτό που τους επιτρέπει να αναλύουν τα συστήµατα των καιρικών φαινοµένων σε παγκόσµια κλίµακα και έτσι να προβλέπουν τον καιρό. Tim Barners Lee «Υφαίνοντας τον παγκόσµιο ιστό» 11 ΚΥΜΑΤΟ ΗΓΟΙ Ενδιαφέρον παρουσιάζει η συµπεριφορά κυµάτων, που δεν διαδίδονται στον ελεύθερο χώρο αλλά η διάδοσή τους περιορίζεται κατά µία ή περισσότερες διευθύνσεις ( Οδηγούµενα κύµατα ). Γραµµή µεταφοράς : Για την καλύτερη κατανόηση της διάδοσης των παραπάνω κυ- µάτων θα µπορούσε να ξεκινήσει κάποιος από τη γραµµή µεταφοράς, η οποία στην απλούστερη περίπτωση αποτελείται από δυο παράλληλα σύρµατα, στο ένα άκρο των οποίων υπάρχει πηγή εναλλασσοµένου ρεύµατος. Η γραµµή µεταφοράς ισοδυναµεί µε ένα σύστηµα χωρητικοτήτων και αυτεπαγωγών στη διάταξη του παρακάτω σχήµατος, όπου τα L o και C o εκφράζουν την αυτεπαγωγή και τη χωρητικότητα της γραµµής ανά µονάδα µήκους. [ Εξηγείστε πως αντιλαµβάνεστε την ισοδυναµία των (α) και (β) ]. Σχήµα 44 Aν το ρεύµα µεταβάλλεται, τότε για µήκος d του αγωγού, η διαφορά δυναµικού θα V είναι V = d, όπου V :είναι ο ρυθµός µεταβολής της τάσης και οφειλόµενη I στην αυτεπαγωγή θα είναι ίση µε την πτώση L d t V d L d I = ή V t,στα άκρα της άρα, I = L (1) t Το φορτίο στο αντίστοιχο τµήµα d θα είναι q = C d V. Αν το ρεύµα υφίσταται µεταβολή µε σταθερό ρυθµό ανά µονάδα µήκους I, τότε η µεταβολή Ι του ρεύ-

2 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 19 µατος στο d θα είναι Ι = I d και θα ισούται µε τη µεταβολή του φορτίου q που είναι το Cd V t.άρα : I d C d V = ή t Επειδή το ρεύµα φορτίζει τον πυκνωτή της γραµµής, η µεταβολή του είναι αρνητική, δηλαδή : I = C V () t ιαφορίζοντας την (1) ως προς t και την () ως προς χ, καταλήγουµε εύκολα στις εξισώσεις : Παρατηρήσεις I C = V t V V = CL (3) t I I = CL (4) t 1. Αµέσως αναγνωρίζουµε ότι η τάση και το ρεύµα διαδίδονται κατά µήκος της γραµµής µεταφοράς σαν ένα κύµα. Η µορφή του κύµατος τάσης θα είναι : V = V f ( ut) + V g ( + ut) (5) 1 Αντίστοιχη θα είναι και η µορφή του κύµατος ρεύµατος : I = I f ( ut) + I g ( + ut) (6). 1 t,. Η ταχύτητα του κύµατος τάσης είναι u= 1 LC. Αν θεωρήσουµε την περίπτωση οµοαξονικής γραµµής µεταφοράς, όπου το ζεύγος των καλωδίων είναι κυλινδρικό και βρίσκονται το ένα µέσα στο άλλο (Σχή- µα), τότε βρίσκουµε ότι : R r L Rr = ln( ) πε c και C πε = ln( Rr) Σχήµα 45 οπότε προκύπτει u = c, δηλαδή το κύµα τάσης ( ή ρεύµατος ) ταξιδεύει µε την ταχύτητα του φωτός. ( Συγκρίνετε την ταχύτητα αυτήν µε την ταχύτητα κίνησης των ηλεκτρονίων µέσα στα σύρµατα και διαπιστώστε ότι η τελευταία είναι πολύ µικρότερη ). 3. Σαν επόµενο βήµα µπορεί κάποιος να αφαιρέσει τον κυλινδρικό αγωγό του οµοαξονικού καλωδίου. Η γραµµή, όπως διαπιστώνεται πειραµατικά, µπορεί να µεταφέρει Ηλεκτροµαγνητική ενέργεια. Αν η διατοµή του εξωτερικού αγωγού θεωρηθεί ορθογώνια, τότε έχουµε την περίπτωση που εξετάζουµε παρακάτω.

3 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 13 Ορθογώνιος Κυµατοδηγός : Θα αναζητήσουµε τη µορφή του Η / Μ κύµατος που διαδίδεται κατά τον z άξονα µέσα σε ένα ορθογώνιο σωλήνα πλάτους α. Σχήµα 46 Θα υποθέσουµε την απλούστερη των περιπτώσεων, όπου το ηλεκτρικό πεδίο Ε είναι κάθετο στον άξονα διάδοσης z, και έχει µόνο µια συνιστώσα, την Ε, δηλαδή Ε χ =. Επίσης η Ε είναι ανεξάρτητη του. Πρόκειται στην ουσία για γραµµικά πολωµένο κύµα στο επίπεδο z. Επειδή στην επιφάνεια του αγωγού οι εφαπτοµενικές συνιστώσες του Ε µηδενίζονται, πρέπει το εν λόγω πεδίο να ισχύει Ε =, για χ = και χ = α. Μια πρώτη προσέγγιση της Ε = Ε (χ), είναι η καµπύλη ( Ι ) του Σχήµατος που µπορεί να αποδοθεί µε µια αρµονική συνάρτηση της µορφής Ε = sin(k ). Προφανώς υπάρχουν άπειρες µορφές της Ε (χ). Άλλη µορφή είναι η καµπύλη (ΙΙ). Η παρακάτω ανάλυση θα περιοριστεί στην ( Ι ). Αν η ταχύτητα διάδοσης των κυµάτων κατά τον άξονα διάδοσης z είναι u και η κυκλική συχνότητα ω, τότε για αρµονικό κύµα θα είναι : Ε (z) = sin (ωt - kz ). Με αυτούς τους συλλογισµούς θα µπορούσε κανείς να ισχυριστεί ότι µια µορφή του κύµατος στον κυµατοδηγό είναι η ψ = ψ(, z) = o sin( k ) sin( ω t kzz) (1) H µορφή αυτή θα είναι δεκτή εφ όσον ικανοποιεί τις εξισώσεις του Mawell στο χώρο του κυµατοδηγού. Καταρχήν, αφού στο εσωτερικό του αγωγού δεν υπάρχουν φορτία, θα πρέπει : V = ή + + = r r z που πραγµατικά ισχύει για την παραπάνω έκφραση του Ε στη σχέση (1). Όσον αφορά στις άλλες εξισώσεις του Mawell, αρκεί το πεδίο να ικανοποιεί την κυµατική εξίσωση ( γιατί ; ) ε µ + + = z t

4 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 131 Επειδή = και c=1 εµ η εξίσωση αυτή γίνεται :, 1 + = z c t και αντικαθιστώντας στην (1) καταλήγουµε στη σχέση : ω k + kz = ωεµ = (3) c Η συνθήκη τώρα, ότι Ε =, για χ = α, εξασφαλίζεται από την k a = n π (4) όπου n : οποιοσδήποτε ακέραιος. Η µορφή ( Ι ) στο προηγούµενο σχήµα αντιστοιχεί στην απλούστερη περίπτωση που διαπραγµατευόµαστε, δηλαδή στην περίπτωση n = 1, οπότε k a = π (5) Από τις (3) και (5) έχουµε : k =± ω z c π (6) α Το πρόσηµο ± έχει προφανώς σχέση µε τη διεύθυνση διάδοσης του κύµατος. Η φασική ταχύτητα κατά τη διεύθυνση διάδοσης z, είναι : u = ω ph k = ω (7) z ω π c α Η παραπάνω ανάλυση ολοκληρώνει τη µελέτη διάδοσης ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στον κυµατοδηγό για την απλή περίπτωση που εξετάζουµε : () 1. Το µαγνητικό πεδίο του κύµατος : Εκτός του ηλεκτρικού πεδίου, που εξετάσαµε παραπάνω, υπάρχει προφανώς και το µαγνητικό πεδίο : r r r r r r B Άσκηση : Χρησιµοποιώντας τις εξισώσεις : V B= εµ, V = t t δείξετε ότι B kz = Β = σταθερό, B ω, z k =. ω ιαπιστώστε ότι το µαγνητικό πεδίο έχει συνιστώσα κατά τη διεύθυνση διάδοσης. Αποδείξτε ότι αν το µαγνητικό πεδίο είναι εγκάρσιο, τότε το ηλεκτρικό πεδίο έχει συνιστώσα κατά τη διεύθυνση του κύµατος µέσα στον κυµατοδηγό. Επειδή Β = σταθερό, το µαγνητικό πεδίο θα είναι συνεχώς παράλληλο στο επίπεδο r r r z. Από τη σχέση B = ε µ συµπεραίνεται πως οι δυναµικές γραµµές του t

5 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 13 r B θα κυκλοφορούν γύρω από τις περιοχές όπου r ma δηλαδή στο t µέσο της απόστασης µεταξύ Ε ma & min. Οπότε οι βρόγχοι του B r θα είναι παράλληλοι στο επίπεδο z εκτεινόµενη µεταξύ του Ε ma & min όπως φαίνεται στο Σχήµα 47. Όταν το κύµα στον κυµατοδηγό έχει εγκάρσια η- λεκτρική συνιστώσα, τότε µιλούµε για τρόπους διάδοσης ΤΕ (Transverse lectric), ενώ για κύµα µε εγκάρσια µαγνητική συνιστώσα οµιλούµε για τρόπους διάδοσης ΤΜ. Σχήµα 47. Συχνότητα αποκοπής : Όταν η συχνότητα ω γίνει αρκετά µεγάλη, τότε από τη σχέση (6) προκύπτει k ω, που είναι η αναµενόµενη τιµή για διάδοση στον ελεύθερο χώρο. Όταν το ω αρχίσει να µικραίνει, διαπιστώνουµε από την (6), ότι υπάρχει z c π c µια κρίσιµη τιµή ω c =, όπου το κ z µηδενίζεται ( το αντίστοιχο κρίσιµο µήκος κύa µατος : λ c = α), ενώ για ακόµη µικρότερες τιµές του ω το k z γίνεται φανταστικός α- ριθµός. Για να δούµε το φυσικό περιεχόµενο του φανταστικού k z αρκεί να θεωρήσουµε τη γενικότερη έκφραση της (1), i( ω t k z = sin( k ) e z ) o π ω Για ω p ω c, k z =± ik' =± i και η έκφραση του Ε γίνεται : α c ± kz ' iω t = o sin( k) e e η οποία αποτυπώνει ένα πεδίο χρονικά µεταβαλλόµενο e iω t e ± kz ' κατά την, µα και χωρικά µεταβαλλόµενο κατά την. Το πρόσηµο (+) πρέπει να αποκλεισθεί. Πράγµατι, θεωρώντας την πηγή των κυµάτων στην αρχή του κυµατοδηγού ( z = ), το πεδίο θα πρέπει να ελαττώνεται καθώς αυξάνει η απόσταση. Συνεπώς είναι αποδεκτός ο όρος e kz ', που εκφράζει ότι το κύµα φθίνει εκθετικά κατά τη διάδοσή του, δηλαδή ουσιαστικά µετά από κάποια απόσταση το κύµα µε ω < ωc παύει να διαδίδεται µέσα στον κυµατοδηγό. Γι αυτό και η ω c λέγεται συχνότητα αποκοπής.

6 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ Φασική και οµαδική ταχύτητα. c uph = ω kz = ω π π Συνδυάζοντας τις σχέσεις,, ωc =, δείξετε ότι kz c α a u c ph = c. ω 1 ω Εξ ορισµού η οµαδική ταχύτητα είναι u g d = ω. dk z είξτε ότι u g c = c ω 1 ω. Περαιτέρω διαπιστώστε ότι uph ug = c. Τι σας θυµίζει αυτή η σχέση ; Άσκηση : είξτε ότι αν λ ο είναι το µήκος κύµατος στον ελεύθερο χώρο ( λ ο = πc / ω ) τότε το µήκος κύµατος λ g µέσα στον κυµατοδηγό µπορεί να δοθεί από την έκφραση λ λ = g λ 1. α

7 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ ΠΟΛΩΣΗ 1.α. Φυσικό Η / Μ κύµα Το ηλεκτρικό πεδίο Ε πάλλεται σε όλα τα δυνατά επίπεδα µε όλες τις δυνατές φάσεις. Σχήµα 48 1.β. Γραµµικά πολωµένο κύµα Το ηλεκτρικό πεδίο Ε πάλλεται συνέχεια µέσα σε ένα επίπεδο. r = cos( kz ωt) οχ r = ocos( kz ωt) r = ocos( kz ωt + ε) ( I) Σχήµα 49 i. ε = ο r r r = + = ($ + $ )cos( kz ω t) o o Το Ε ταλαντούται µέσα σε ένα επίπεδο και έχει σταθερό πλάτος = + o οχ Σχήµα 5

8 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 135 ii. ε =± 18 r r r = + = = ( $ $ ) cos( kz ωt) o o Σχήµα 51 Ι. γ. Κυκλικά πολωµένο κύµα. r = $ kz t cos( ω ) r I = $ cos( kz t+ ) ( ) ω ε i. ε = -9, o = o = v r r = + = [ $ cos( kz ωt) + $ sin( kz ω t) ] R (1) Η σχέση (1) εκφράζει δεξιόστροφο κυκλικά πολωµένο κύµα. ii. ε=9, o = o = r r = + = [ $ cos( kz ωt) $ sin( kz ω t) ] = L () Η σχέση () εκφράζει αριστερόστροφο κυκλικά πολωµένο κύµα. Σχήµα 5 Άσκηση : Ένα γραµµικά πολωµένο κύµα µπορεί να παρασταθεί σαν τη σύνθεση δυο αντιθέτων κυκλικά πολωµένων κυµάτων ίσου πλάτους. Υπόδειξη : (),( 1 ) = $ cos( kz ω t)

9 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ δ. Ελλειπτικά πολωµένο κύµα. r = $ ocos( kz ωt) r = $ ocos( kz ωt + ε), όπου ε : οποιαδήποτε διαφορά φάσης και o = cos( kz ω t), = cos( kz ω t) cosε sin( kz ω t) sinε o o cosε = sin( kz ω t) sinε o o ή ε kz ω t ε [ kz ω t ] ή o o o + o cos = sin ( ) sin = 1 cos ( ) sin ε cosε cosε = sin ε sin ε o o + cosε= sin ε (1) Η σχέση (1) είναι εξίσωση έλλειψης, της οποίας ο µεγάλος άξονας σχηµατίζει γωνία α µε το σύστηµα συντεταγµένων ( Ε χ, Ε ψ ) και ισχύει : o o oo cosε tan( a) = o o ( ) Ε Το άνυσµα Ε του συνισταµένου πεδίου έχει µεταβλητό µήκος και περιστρέφεται. Σε χρόνο µιας περιόδου διαγράφει µία πλήρη έλλειψη. α Σχήµα 53 ιερεύνηση i. α= ε= ± π/ Τούτο σηµαίνει ότι οι άξονες της έλλειψης θα είναι παράλληλοι α- ντίστοιχα προς Ε χ Ε ψ. Τότε από την () 1, + = 1 οικείος τύπος έλλειψης. o o Για o = o = + =, κύκλος.

10 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 137 ii. ε = π, 3π... δηλαδή για ε : περιττό πολλαπλάσιο του π η σχέση δίνει o + ( 1) = o o o ή o + o o = = ευθεία. o iii. ε = π,4π,... δηλαδή για ε : άρτιο πολλαπλάσιο του π, η σχέση (1) δίνει o + o 1= o o ή o o o = = +, ευθεία. o Το γραµµικά πολωµένο κύµα, όπως και το κυκλικά πολωµένο κύµα είναι ειδικές περιπτώσεις του ελλειπτικά πολωµένου κύµατος. Γραµµικά πολωµένο κύµα Σχήµα 54 Κυκλικά πολωµένο κύµα Σχήµα 55

11 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 138 Ελλειπτικά πολωµένο κύµα Σχήµα 56 Άσκηση : Ένα ελλειπτικά πολωµένο κύµα µπορεί να παρασταθεί σαν η σύνθεση δύο αντιθέτων κυκλικά πολωµένων κυµάτων διαφορετικού πλάτους. Υπόδειξη : Θεωρείστε το δεξιόστροφο κυκλικό κύµα [ $sin( ω ) $cos( ω )] = kz t + kz t R or και το αριστερόστροφο κυκλικό κύµα L = ol sin( kz ωt) + cos( kz ω t) µε or ol. ( Προκύπτουν από τις αντίστοιχες εκφράσεις των σελίδων µε στροφή π / ). Η σύνθεσή τους δίνει : = ( )$sin( kz ωt ) + ( + )$cos ( kz ωt ). ol or ol or Σχήµα 57.α. ιαθλαστικό υλικό - Οπτικός άξονας Τα οπτικά ισότροπα υλικά έχουν τον ίδιο δείκτη διάθλασης, δηλαδή την ίδια φασική ταχύτητα προς όλες τις διευθύνσεις. Γενικά οι κρύσταλλοι είναι οπτικά ανισότροποι και τούτο γιατί οι συνδετικές δυνάµεις των ατόµων επί των ηλεκτρονικών νεφρών δεν είναι οι ίδιες προς όλες τις διευθύνσεις. Στο παρακάτω Σχήµα 58 δίνεται ένα µηχανικό µοντέλο όπου φαίνονται τα αρνητικά ηλεκτρονικά νέφη συνδεδεµένα µε τον θετικό πυρήνα µέσω ελατηρίων διαφορετικών σταθερών. Είναι αυτονόητο ότι κύµα διαδιδόµενο προς µία διεύθυνση, διεγείρει τα ηλεκτρόνια να επανακτινοβολήσουν δευτερογενές κύµα. Η φυσική ταχύτητα αυτού του κύµατος εξαρτάται από τη διεύθυνση ταλάντωσης του αρχικού κύµατος. Στο σχήµα 58, ο δείκτης διάθλασης είναι διαφορετικός στις διευθύνσεις, z, γιατί τα αντίστοιχα ελατήρια έχουν διαφορετικές σταθερές. Θεωρώντας συµµετρία κρυστάλλου τέτοια ώστε τα ελατήρια να είναι ίδια κατά τις διευθύνσεις,z, τότε ο χ καλείται οπτικός ά- ξονας. Στο Σχήµα 59 φαίνεται η διάταξη των ατόµων του καλσίτη και η διεύθυνση του οπτικού άξονα.

12 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 139 Σχήµα 58 Σχήµα 59 Ο οπτικός άξονας καθορίζει µια χαρακτηριστική διεύθυνση µέσα στα υλικά αυτά, κατά την οποία το υλικό επιδεικνύει δύο διαφορετικούς δείκτες διάθλασης κατά τη διάδοση του φωτός παράλληλα και κάθετα προς αυτή τη διεύθυνση. Το φαινόµενο καλύπτεται από τον όρο ΙΠΛΟΘΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ (birefringence). Προφανώς κατά το Σχήµα 58, κύµα διαδιδόµενο κατά τον οπτικό άξονα έχει την ίδια ταχύτητα διάδοσης, δηλαδή το ίδιο n, αφού τα ελατήρια στις κάθετες διευθύνσεις είναι ίδια.

13 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 14.β. ιχρωϊσµός Το φαινόµενο αναφέρεται στην επιλεκτική απορρόφηση της µιας εκ των δυο καθέτων συνιστωσών του φυσικού φωτός καθώς προσπίπτει σε διπλοθλαστικό υλικό. Φως µε ηλεκτρικό πεδίο παράλληλο στον οπτικό άξονα διαδίδεται χωρίς ή µε µικρή απορρόφηση, ενώ η συνιστώσα του πεδίου κάθετα στον οπτικό άξονα, απορροφάται ισχυρά - πρακτικά αποκόπτεται. Το αποτέλεσµα είναι ότι το φως εξέρχεται γραµµικά πολωµένο. Το φαινόµενο είναι ανάλογο προς εκείνο που µία µη πολωµένη δέσµη µικροκυµάτων προσπίπτει σε συρµάτινο πλέγµα και το κύµα εξέρχεται πολωµένο κάθετα προς τα σύρµατα. Η ενέργεια της παράλληλης προς τα κύµατα συνιστώσας του κύµατος, α- πορροφάται από τα ηλεκτρόνια που µπορούν να κινηθούν κατ αυτή τη διεύθυνση, και µετατρέπεται σε θερµότητα Joule Σχήµα 6 Σχήµα 61

14 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ α. Πολωτής Υλικά που µετατρέπουν φως που προσπίπτει σε αυτά, σε γραµµικά πολωµένο λέγονται πολωτές. Η διεύθυνση, ή καλύτερα το επίπεδο µέσα στο οποίο ταλαντούται το γραµµικά πολωµένο φως, λέγεται χαρακτηριστικό επίπεδο. 3.β. Αναλυτής - Νόµος του Malus. Σχήµα 6 Ο αναλυτής αποτελείται από το ίδιο υλικό µε τον πολωτή, αλλά τοποθετείται πάντοτε µετά τον πολωτή, µε σκοπό να διαγνώσει γραµµικά πολωµένο φως. Στο παράπλευρο σχήµα, όταν ο πολωτής στρέφεται κατά γωνία θ, ως προς εκείνο τον αναλυτή, τότε αν Ε ο το πλάτος του κύµατος µετά τον πολωτή, θα είναι Ε ο cosθ µετά τον αναλύτη. Αλλά η ένταση του φωτός είναι : I Σχήµα 63 cε c = ε θ = o ( cos ) cos θ cε Για θ =, έχουµε I = I = µέγιστη τιµή. Άρα, Ι = Ι cos θ - Νόµος του Malus. ιαπιστώστε ότι όταν τα χαρακτηριστικά επίπεδα πολωτή και αναλυτή διασταυρώνονται, τότε η ένταση του εξερχοµένου φωτός µηδενίζεται.

15 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 14 4.α. ιπλή διάθλαση. Ακτίνα φυσικού φωτός που, υπό κατάλληλες συνθήκες, προσπίπτει στην επιφάνεια ενός διπλοθλαστικού υλικού, κατά την έξοδο χωρίζεται σε δυο ακτίνες (διπλή διάθλαση). Η µια ακτίνα ακολουθεί τους νόµους της διάθλασης και λέγεται τακτική (Ordinar ra, o - ra) και η άλλη δεν τους ακολουθεί και λέγεται έκτακτη (etraordinar ra, e - ra). Ανώµαλη διάθλαση συµβαίνει όταν ο οπτικός άξονας δεν είναι παράλληλος στην επιφάνεια του κρυστάλλου. Στο Σχήµα (a) το κύµα είναι γραµµικά πολωµένο κάθετα στον οπτικό άξονα. Όταν το φως συναντά στην επιφάνεια του κρυστάλλου, κάθε σηµείο της επιφάνειας γίνεται πηγή δευτερογενών κυµάτων ( αρχή Hugens ), που ταξιδεύουν µέσα στον κρύσταλλο µε ταχύτητα u ( η ταχύτητα του φωτός στον κρύσταλλο µε επίπεδο πόλωσης, κάθετο στον οπτικό άξονα ). Το µέτωπο του κύµατος είναι το εφαπτόµενο επίπεδο στα δευτερογενή σφαιρικά κύµατα, τα ο- ποία διαδίδονται δια µέσου του κρυστάλλου. Αυτή είναι η αναµενό µενη συµπεριφορά και η Σχήµατα 64a, 64b, 64c

16 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 143 εξερχόµενη ακτίνα είναι η τακτική. Στην περίπτωση του Σχήµατος b, το επίπεδο πόλωσης του προσπίπτοντος κύµατος περιλαµβάνει τον οπτικό άξονα. Σε αυτή την περίπτωση τα δευτερογενή κύµατα που δηµιουργούνται στην επιφάνεια του κρυστάλλου, δεν διαδίδονται µέσα στον κρύσταλλο σαν σφαιρικά κύµατα. Κύµατα που ταξιδεύουν κατά µήκος του οπτικού άξονα έχουν ταχύτητα u ( αφού είναι πολωµένα κάθετα στον οπτικό άξονα έχουν ταχύτητα u, ( αφού είναι πολωµένα παράλλη- λα στον οπτικό άξονα ), βλέπε σχήµα C. Για διπλοθλαστικό υλικό όµως, είναι u u, οπότε τα διαδιδόµενα κύµατα είναι ελλειπτικά. Το µέτωπο και η διεύθυνση φαίνονται στο Σχήµα c. Πρέπει να έχουµε συνεχώς υπ όψη ότι : ενώ η u είναι πάντοτε η ταχύτητα της τακτικής ακτίνας, η u είναι η ταχύτητα της έκτακτης ακτίνας µόνο όταν το κύµα ταξιδεύει µε γωνία 9 ως προς τον οπτικό άξονα. Όταν ταξιδεύει κατά µήκος του οπτικού άξονα τακτική και έκτακτη ταλαντούνται κάθετα σε αυτόν και διαδίδονται µε ταχύτητα u. Κατ ακολουθία, η ταχύτητα της έκτακτης ακτίνας κινουµένης σε κάποια ενδιάθετη διεύθυνση, θα έχει τιµή µεταξύ u και u. Όταν ένα µη πολωµένο κύµα πέσει στην επιφάνεια του κρυστάλλου, µπορούµε να το θεωρήσουµε ότι απαρτίζεται από δύο κύµατα, που το ένα είναι κάθετα πολωµένο, και το άλλο είναι παράλληλα πολωµένο στον οπτικό άξονα. Το κάθετα πολωµένο θα δώσει στην έξοδο την τακτική ακτίνα. Το παράλληλα πολωµένο στην έξοδο θα διαθλασθεί - όπως και στην είσοδο του κρυστάλλου - και θα εξέλθει παράλληλα προς το προσπίπτον, αλλά µετατοπισµένο ( έκτακτη ακτίνα ) - βλέπε Σχήµα d. Σχήµα 64d Στο Σχήµα 65 φαίνεται η πρόσπτωση κύµατος σε κρύσταλλο µε επίπεδο ταλάντωσης του κύµατος ι) παράλληλα στον οπτικό άξονα και ιι) κάθετο στον οπτικό άξονα. Σχολιάστε και εξηγείστε τη µορφή των διαδιδόµενων µέσα στον κρύσταλλο κυµάτων. 5.α. Πλακίδια καθυστέρησης φάσης. Έστω η δέσµη γραµµικά πολωµένου φωτός, προσπίπτουσα επί διαθλαστικού πλακιδίου µε παράλληλες έδρες, ώστε η επιφάνειά του να περιέχει τον οπτικό άξονα. Επειδή οι ακτίνες, οι κάθετα πολωµένες προς τον οπτικό άξονα, έχουν διαφορετικό δ.δ., άρα και διαφορετική συχνότητα από τις παράλληλα πολωµένες, συνάγεται ότι

17 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 144 Σχήµα 65 ενώ προσπίπτουν επί του πλακιδίου µε την ίδια φάση, θα εξέρχονται µε διαφορετικές φάσεις. Τέτοια πλακίδια καλούνται πλακίδια καθυστέρησης φάσης. Έστω Ε χ = Ε οχ sin (ωt - kz ) και Ε = o sin (ωt - kz ), µε Ε οχ = Ε ο sinθ, o = o cosθ, οι συνιστώσες γραµµικά πολωµένου κύµατος προσπίπτοντος σε πλακίδιο πάχους d που ο οπτικός άξονας είναι οριζόντιος. Μέσα στο υλικό για κύµα ταλαντούµενο κατά τις διευθύνσεις και αντίστοιχα, θα έχουµε ταχύτητες u c n u c 1 =, = n άρα αντίστοιχους κυµατορυθµούς k ω ω n1 1 = = = k n1 u1 c και k = k n. Σε απόσταση d ( έξοδος πλακιδίου ), τα αντίστοιχα πεδία δίνονται από τις εκφράσεις: Ε χ = Ε οχ sin ( ωt - k z ), - o sin( ωt - k 1 z ) και η διαφορά φάσης ϕ = ( k k ) d = k ( n n ) d = π ( n n ) d λ Το εξερχόµενο κύµα είναι γενικά ελλειπτικά πολωµένο κύµα ( βλέπε σχήµα ). Κατά τη σελίδα 11, οι άξονες της έλλειψης θα είναι παράλληλοι προς τους και π 1 αντίστοιχα. Αν ϕ = θα εί-, λ ναι ( n1 n) d =. 4 Τότε το πλακίδιο καθυστέρησης φάσης λέγεται πλακίδιο λ 4. Προφανώς αν η γωνία θ = 45 ( δηλαδή Εοχ = Εο ), τότε το εξερχόµενο κύµα είναι κυκλικά πολωµένο. Σχήµα 66

18 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 145 Άσκηση : Εξηγείστε τις παρακάτω περιπτώσεις παραγωγής πολωµένων κυµάτων διαφόρων µορφών. Παραγωγή κυκλικά πολωµένου κύµατος Σχήµα 67 Κυκλικά πολω- µένο κύµα, εισερχόµενο σε αναλυτή, εξέρχεται γραµµικά πολωµένο Σχήµα 68 Κυκλικά πολω- µένο κύµα, εισερχόµενο σε πλακίδιο λ/4, ε- ξέρχεται γραµµικά πολωµένο. Σχήµα 69

19 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ α. Οπτική ενεργότητα. Ο όρος οπτική ενεργότητα εκφράζει το φαινόµενο της στροφής του επιπέδου ταλάντωσης γραµµικά πολωµένου φωτός µετά το πέρασµά του µέσα από ορισµένα υλικά. Σχήµα 7 οπτική ενεργότητα κρυστάλλου χαλαζία Το φαινόµενο µπορεί να εξηγηθεί ως εξής : Το γραµµικά πολωµένο φως, όπως είδαµε προηγουµένως, µπορεί να θεωρηθεί σαν το αποτέλεσµα της σύνθεσης δύο κυκλικά πολωµένων κυµάτων - ενός αριστερόστροφου και ενός δεξιόστροφου. Φαντασθείτε τώρα το οπτικά ενεργό υλικό να επιδεικνύει κυκλική διαθλαστικότητα, δηλαδή να έχει διαφορετικό δείκτη διάθλασης για το δεξιόστροφο από ότι για το αριστερόστροφο κύµα. Στην περίπτωση του οπτικά ανενεργού υλικού, το κύµα θα ταλαντούται συνέχεια στο ίδιο επίπεδο. Όµως στην περίπτωση του οπτικά ενεργού υλικού, οι διαφορετικές γωνιακές ταχύτητες µεταξύ δεξιόστροφου και αριστερόστροφου κύµατος επιβάλλουν µια διαφορά φάσης που ο- δηγεί στη στροφή του επιπέδου ταλάντωσης του κύµατος. Προφανώς η γωνία στροφής εξαρτάται από το υλικό και το µήκος της διαδροµής. ι)οπτικά ανενεργό υλικό Σχήµα 71 ιι)οπτικά ενεργό υλικό φ

20 ΚΥΜΑΤΙΚΗ - ΟΠΤΙΚΗ 147 Ασκήσεις 1. Γραµµικά πολωµένο φως περνά µέσα από οπτικά ενεργό υλικό και στρέφεται κατά γωνία α. Κατά την έξοδό του χτυπά κάθετα σε κάτοπτρο και επιστρέφει επανεισερχό- µενο στο υλικό. Η ολική στροφή θα είναι α ή ; Υπόδειξη : Τα µόρια των οπτικά ενεργών υλικών έχουν ελικοειδή κατασκευή και παρουσιάζουν την ίδια φορά κυκλικής περιστροφής είτε από το ένα άκρο είτε από το άλλο. Λόγω της ελικοειδούς κατασκευής το υλικό εµφανίζει διαφορετικούς δείκτες διάθλασης για οδεύοντα κύµατα µε αριστερόστροφη και δεξιόστροφη κυκλική πόλωση. Το γραµµικά πολωµένο κύµα που µπορεί να θεωρηθεί σαν η σύνθεση δύο τέτοιων κυµάτων, θα υφίσταται µια στροφή κατά γωνία α κατά την πρώτη διέλευση, µε αποτέλεσµα η ολική στροφή να είναι α.. Φυσικό φως έντασης Ι περνά διαδοχικά από δυο πολωτές. Ποια η διάταξη των χαρακτηριστικών τους επιπέδων, ώστε η εξερχόµενη ένταση να είναι ι) Ι/ και ιι) Ι/4 Υπόδειξη : Το φυσικό φως δίνει δυο συνιστώσες, µια παράλληλη και µια κάθετη στο χαρακτηριστικό επίπεδο του πολωτή. Άρα, φυσικό φως εξερχόµενο από πολωτή έχει τη µισή ένταση από την αρχική. ι ) ιι) I I/ I/ Τα χαρακτηριστικά επίπεδα των δυο πολωτών πρέπει να είναι παράλληλα θ I I 1 π I I/ I /4 = cos θ cos θ = θ = Στη διάταξη πολωτών του σχήµατος που ακολουθεί, προσδιορίστε την ένταση του φωτός µετά από κάθε πολωτή. π 1 π π 3 Υπόδειξη : π/4 I Ι=; I =; I 3 =; I Μετά τον πρώτο πολωτή : I1 =,µετά το δεύτερο πολωτή: I I π I τον τρίτο πολωτή: I 3 = cos = 4 8 I π = cos = 4 I, µετά 4