Κεφάλαιο 11. Συναρτήσεις με δύο συντελεστές. Συναρτήσεις παραγωγής. τεχνολογικά σύνολα

Transcript

1 Κεφάλαιο Συναρτήσεις παραγωγής Συναρτήσεις παραγωγής Η συνάρτηση παραγωγής μιας επιχείρησης για ένα προϊόν (q) δείχνει τη μέγιστη ποσότητα του αγαθού που μπορεί να παραχθεί με εναλλακτικούς συνδυασμούς κεφαλαίου () και εργασίας ( q f(, Η με περισσότερους συντελεστές παραγωγής (x,,..x n ) q f x,, x ) ( n Συναρτήσεις παραγωγής Ένα προϊόν, ένας συντελεστής παραγωγής Συναρτήσεις παραγωγής τεχνολογικά σύνολα Ένα προϊόν, ένας συντελεστής παραγωγής Προϊόν y y f(x) είναι ησυνάρτηση παραγωγής y f(x ) είναι το μέγιστο επίπεδο προϊόντος που μπορεί να αποκτηθεί με x μονάδες εισροών. προϊόν y Το τεχνολογικό σύνολο y x συντελεστής x 3 x εισροή x 4 Συναρτήσεις παραγωγής τεχνολογικά σύνολα Συναρτήσεις με δύο συντελεστές Ένα προϊόν, ένας συντελεστής παραγωγής προϊόν y y Τεχνικά αποτελεσματικά σχέδια Το τεχνολογικό σύνολο Τεχνικά αναποτελεσματικά σχέδια x εισροή x 5 Έστω ότι έχουμε y f( x, x) x /3 x /3. Με (x, ) (, 8), έχουμε /3 /3 /3 /3 y x 8 4. Με (x, ) (8, 8), έχουμε /3 /3 /3 /3 y x

2 Συναρτήσεις με δύο συντελεστές Οριακό φυσικό προϊόν Διαγραμματικά 7 Για να μελετήσουμε τη μεταβολή ενός συντελεστή, ορίζουμε ως οριακό φυσικό προϊόν το επιπλέον προϊόν που μπορεί να παραχθεί από την απασχόληση μιας επιπλέον μονάδας του συντελεστή, ενώ διατηρούμε τους άλλους συντελεστές σταθερούς. q οριακό φυσικό προϊόν του κεφαλαίου MP f q οριακό φυσικό προϊόν της εργασίας MP l l f l 8 Οριακό φυσικό προϊόν Με n συντελεστές έχουμε τη συνάρτηση y f x,, x ) ( n Το οριακό προϊόν του συντελεστή i είναι MP i y x i 9 Φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα Το οριακό φυσικό προϊόν ενός συντελεστή εξαρτάται από την ποσότητα του συντελεστή χρησιμοποιείται. Γενικά, υποθέτουμε φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα MP f MPl f f f < 0 f < 0 ll f l l 0 Φθίνουσα οριακή παραγωγικότητα Μέσο φυσικό προϊόν Λόγω της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας, ο οικονομολόγος του 9ου αιώνα Thomas Malthus ανησυχούσε για την επίπτωση που θα είχε ο αυξανόμενος πληθυσμός στην παραγωγικότητα της εργασίας Όμως, οι μεταβολές στην οριακή παραγωγικότητα της εργασίας διαχρονικά εξαρτάται και από τις μεταβολές άλλων συντελεστών, όπως π.χ. Το κεφάλαιο Γι αυτό πρέπει να εξετάζουμε το f l το οποίο είναι Η παραγωγικότητα της εργασίας μετράται συνήθως με τη μέση παραγωγικότητα προϊόν q f (, AP l εργασία l l Το AP l εξαρτάται από την απασχολούμενη ποσότητα κεφαλαίου συνήθως θετικό.

3 Συνάρτηση παραγωγής με δύο συντελεστές Συνάρτηση παραγωγής με δύο συντελεστές q f(, 600 l - 3 l 3 ΓιαναβρούμετοMP l και το AP l, πρέπει να υποθέσουμε μια τιμή για το Έστω ότι 0 Η συνάρτηση παραγωγής γίνεται q 60,000l -000l 3 3 Η οριακή παραγωγικότητα είναι MP l q/ l 0,000l l η οποία φθίνει καθώς το l αυξάνει Αυτό συνεπάγεται ότι το q έχει μια μέγιστη τιμή: 0,000l l 0 40l l l 40 Η εισροή εργασίας πάνω από l 40 μειώνει το προϊόν 4 Συνάρτηση παραγωγής με δύο συντελεστές Συνάρτηση παραγωγής με δύο συντελεστές Γιαναβρούμετημέσηπαραγωγικότητα, κρατούμε το 0 και επιλύοντας βρίσκουμε AP l q/l 60,000l - 000l Το AP l είναι μέγιστο όταν AP l / l 60, l 0 l 30 Πράγματι, όταν l 30, τότε το AP l και το MP l είναι ίσα με 900,000 Άρα, όταν το AP l είναι στο μέγιστο του, τότε τα AP l και MP l είναι ίσα 5 6 Χάρτης με καμπύλες ίσου προϊόντος Καμπύλες ίσου προϊόντος με δύο συντελεστές Για να απεικονίσουμε τη δυνατότητα υποκατάστασης ενός συντελεστή με έναν άλλο, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το χάρτη με καμπύλες ίσου προϊόντος. Μια καμπύλη ίσου προϊόντος δείχνει εκείνους του συνδυασμούς των και l που μπορούν να παραγάγουν ένα συγκεκριμένο επίπεδο προϊόντος (q 0 ) Διαγραμματικά f(, q

4 Καμπύλες ίσου προϊόντος με δύο συντελεστές Απεικόνιση προϊόντος με δύο συντελεστές Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (RTS) Ο Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (RTS) δείχνει το λόγο στον οποίο η εργασία μπορεί να υποκαταστήσει το κεφάλαιο, ενώ διατηρούμε το προϊόν σταθερό κατά μήκος μιας καμπύλης ίσου προϊόντος d RTS ( l for ) dl q q0 9 0 Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (RTS) Έστω η συνάρτηση παραγωγής y f( x, x). Μια μικρή μεταβολή (dx, d ) προκαλεί μια μεταβολή στο προϊόν ίση με y dy x dx + y x d. Οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (RTS) y dy x dx + y x d. Κατάμήκοςμιαςκαμπύληςίσουπροϊόντοςdy 0, και άρα y 0 + x dx y x dx. ή y x dx y x dx ή dx y x /. dx y/ x (RTS), Παράδειγμα με συνάρτηση Cobb- Douglas Έστω η συνάρτηση y f( x, x) x a x b Παραγωγίζοντας έχουμε y a b ax και y x bx a x b. x x Ο τεχνικός λόγος υποκατάστασης είναι a b dx y/ x ax x ax dx y x a b bx x bx. / (RTS), Παράδειγμα με συνάρτηση Cobb- Douglas /3 3 / y x ; a andb 3 3 ax x x TRS ( / 3) bx ( / 3) x x 3 x 4 4

5 (RTS), Παράδειγμα με συνάρτηση Cobb- Douglas 8 4 /3 3 / y x ; a andb 3 3 ax TRS bx x (/ 3) x x ( / 3) x 8 x4 5 RTS και οριακή παραγωγικότητα Αςπάρουμετοολικόδιαφορικόμιας συνάρτησης παραγωγής: f f dq dl + d MPl dl + MP l Κατάμήκοςμιαςκαμπύληςίσουπροϊόντοςdq 0, άρα MP dl MP d l d MPl RTS ( l για ) dl MP q q 0 d 6 RTS και οριακή παραγωγικότητα RTS και οριακή παραγωγικότητα Επειδή MP l και MP είναι και τα δύο μη αρνητικά, ο RTS είναι θετικός (ή μηδέν) Γενικά όμως, δεν είναι δυνατό να συναγάγουμε φθίνοντα RTS μόνο από την υπόθεση της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας Για να δείξουμε ότι οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι κυρτές, θα πρέπει να δείξουμε ότι d(rts)/dl < 0 Αφού RTS f l /f drts d( fl / f ) dl dl drts [ f ( f dl ll + f l d / d fl( f ( f ) l + f d / d] 7 8 RTS και οριακή παραγωγικότητα RTS και οριακή παραγωγικότητα Με δεδομένο ότι d/dl -f l /f κατάμήκοςμιαςκαμπύλης ίσου προϊόντος και το θεώρημα του Young (f l f l ) drts dl ( f f f f f ( ll l l 3 f ) + f f l Επειδή έχουμε υποθέσει ότι f > 0, ο παρονομαστής είναι θετικός Επειδή υποθέτουμε ότι τα f ll και f είναι αρνητικά, ο λόγος θα είναι αρνητικός αν το f l είναι θετικό. ) 9 Διαισθητικά, είναι λογικό να υποθέτουμε ότι τα f l f l πρέπει να είναι θετικά Αν οι εργάτες έχουν περισσότερο κεφάλαιο θα είναι πιο παραγωγικοί Ορισμένεςόμωςσυναρτήσειςπαραγωγήςέχουν το f l < 0 για κάποιο διάστημα Όταν υποθέτουμε φθίνοντα RTS, θεωρούμε ότι τα MP l και MP φθίνουν αρκετά γρήγορα για να αντισταθμίσουν κάθε δυνατή αρνητική σταυροειδή επίδραση της παραγωγικότητας 30 5

6 Φθίνων RTS Φθίνων RTS q f(, 600 l - 3 l 3 Γι αυτή τη συνάρτηση παραγωγής MP l f l 00 l -3 3 l MP f 00l -3 l 3 Οι οριακές αυτές παραγωγικότητες θα είναι θετικές για τιμές των και l για τις οποίες ισχύει ότι l < 400 Επειδή f ll l f 00l -6l 3 αυτή η συνάρτηση παραγωγής έχει φθίνουσες οριακές παραγωγικότητες των συντελεστών για επαρκώς μεγάλες τιμές των και l f ll και f < 0 αν l > Φθίνων RTS Φθίνων RTS Σταυροειδής διαφόριση είτε της μιας είτε τηςάλληςσυνάρτησηςοριακής παραγωγικότητας μας δίνει ότι f l f l 400l -9 l που είναι θετική μόνο για l < 66 Έτσι, γι αυτή τη συνάρτηση παραγωγής ο RTS είναι φθίνων για όλο το εύρος των και l που οι οριακές παραγωγικότητες είναι θετικές Για μεγαλύτερες τιμές των και l, οι φθίνουσες οριακές παραγωγικότητες είναι επαρκείς για να ξεπεράσουν την επίδραση μιας αρνητικής τιμής του f l ώστε να διασφαλιστεί η κυρτότητα των καμπυλών ίσης ποσότητας Κυρτότητα καμπύλης ίσου προϊόντος Κυρτότητα καμπύλης ίσου προϊόντος Κυρτότητα: Αν όλοι οι συνδυασμοί εισροών x και x δίνουν y μονάδες προϊόντος, τότε το μείγμα tx + (-t)x δίνει τουλάχιστο y μονάδες προϊόντος, για κάθε 0 < t <. y x x x 36 6

7 Κυρτότητα καμπύλης ίσου προϊόντος Κυρτότητα καμπύλης ίσου προϊόντος x ( tx t x tx t x ) + ( ), + ( ) y 00 x x 37 x ( tx t x tx t x ) + ( ), + ( ) y 0 y 00 x x 38 Κυρτότητα καμπύλης ίσου προϊόντος Αποδόσεις κλίμακας Η κυρτότητα συνεπάγεται ότι ο TRS αυξάνει (γίνεται λιγότερο αρνητικός) καθώς το x αυξάνει. Πώςαντιδράτοπροϊόνσεαυξήσειςόλωντων συντελεστώ μαζί; Έστωότιόλοιοισυντελεστέςδιπλασιάζονται. Θα διπλασιαστεί το προϊόν; Οι αποδόσεις κλίμακας έχουν προκαλέσει το ενδιαφέρον των οικονομολόγων από την εποχή του Adam Smith x x x Αποδόσεις κλίμακας Αποδόσεις κλίμακας ΟΑ. Smith εντοπίζει δύο δυνάμεις που λειτουργούν καθώς οι συντελεστές διπλασιάζονται Μεγαλύτερος καταμερισμός εργασίας και εξειδίκευση Απώλεια αποτελεσματικότητας επειδή η διοίκηση μπορεί να γίνει πιο δύσκολη όσο πιο μεγάλη η κλίμακα λειτουργίας της επιχείρησης 4 Αν η συνάρτηση παραγωγής είναι q f(, και όλες οι εισροές πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο θετικό σταθερό αριθμό (t >), τότε Επίδραση στο προϊόν f(t,t tf(, f(t,t < tf(, f(t,t > tf(, Αποδόσεις κλίμακας Σταθερές Φθίνουσες Αύξουσες 4 7

8 Αποδόσεις κλίμακας Σταθερές αποδόσεις κλίμακας Είναι δυνατό μια συνάρτηση παραγωγής να παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίμακας για κάποια επίπεδα χρήσης συντελεστών και αύξουσες ή φθίνουσες αποδόσεις σε άλλα επίπεδα. Οι οικονομολόγοι αναφέρονται στο βαθμό των αποδόσεων κλίμακας με την έννοια ότι εξετάζεται ένα μικρό μόνο πεδίο μεταβολής στη χρήση των εισροών και του αντίστοιχου επιπέδου του προϊόντος 43 Οι συναρτήσεις παραγωγής με σταθερές αποδόσεις κλίμακας είναι ομογενείς πρώτου βαθμού ως προς τις εισροές. f(t,t t f(, tq Αυτό σημαίνει ότι οι συναρτήσεις οριακής παραγωγικότητας είναι ομογενείς βαθμού μηδέν. Αν μια συνάρτηση είναι ομογενής βαθμού, οι παράγωγοι του είναι συναρτήσεις ομογενείς βαθμού - 44 Σταθερές αποδόσεις κλίμακας Σταθερές αποδόσεις κλίμακας Η οριακή παραγωγικότητα κάθε συντελεστή εξαρτάται από το λόγο κεφαλαίου και εργασίας (όχι τα απόλυτα επίπεδα αυτών των συντελεστών) Ο RTS μεταξύ και l εξαρτάται μόνο από το λόγο του ως προς το l, όχι την κλίμακα λειτουργίας Η συνάρτηση παραγωγής θα είναι ομοθετική Γεωμετρικά. Όλες οι καμπύλες ίσης παραγωγής είναι η κάθε μια επέκταση της άλλης πάνω σε μια ακτίνα Σταθερές αποδόσεις κλίμακας Αποδόσεις κλίμακας Κατά μήκος μιας ακτίνας από την αρχή των αξόνων (σταθερό /, ο RTS είναι ο ίδιος για όλες τις καμπύλες ίσου προϊόντος ανά περίοδο q 3 q q Οι καμπύλες ίσου προϊόντος ισαπέχουν καθώς αυξάνεται το προϊόν Οι αποδόσεις κλίμακας μπορεί να γενικευτούν για μια συνάρτηση με n συντελεστές q f(x,,,x n ) Αν όλοι οι συντελεστές πολλαπλασιαστούν με μια θετική σταθερά t, έχουμε ότι f(tx,t,,tx n ) t f(x,,,x n )t q Αν, έχουμε σταθερές αποδόσεις κλίμακας Αν <, έχουμε φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας Αν >, έχουμε αύξουσες αποδόσεις κλίμακας l ανά περίοδο

9 Αποδόσεις κλίμακας Αποδόσεις κλίμακας Ένας συντελεστής, ένα προϊόν Προϊόν y y f(x) Ένας συντελεστής, ένα προϊόν Προϊόν f(x ) y f(x) y Σταθερές αποδόσεις κλίμακας f(x ) f(x ) Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας x x x Συντελεστής 49 x x x Συντελεστής 50 Αποδόσεις κλίμακας Αποδόσεις κλίμακας Ένας συντελεστής, ένα προϊόν Προϊόν f(x ) Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας y f(x) Ένας συντελεστής, ένα προϊόν Προϊόν Αύξουσες αποδόσεις κλίμακας y f(x) f(x ) f(x ) Φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας x x x Συντελεστής Συντελεστής x 5 5 Ελαστικότητα υποκατάστασης Η Ελαστικότητα υποκατάστασης (σ) μετρά την ποσοστιαία μεταβολή στο /l σε σχέση με την ποσοστιαία μεταβολή στον RTS κατά μήκος μιας καμπύλης ίσου προϊόντος % Δ( / d( / RTS ln( / σ % ΔRTS drts / l lnrts Ητιμήτουσ θα είναι πάντα θετική επειδή /l και RTS κινούνται στην ίδια κατεύθυνση 53 Ελαστικότητα υποκατάστασης Αν σ μεγάλο, ο RTS δεν θ αλλάξει πολύ σε σχέση με το /l Η καμπύλη ίσου προϊόντος θα είναι σχετικά επίπεδη Αν σ μικρό, ο RTS θ αλλάξει πολύ καθώς το /l αλλάζει Η καμπύλη ίσου προϊόντος θα είναι πολύ κυρτή Είναι δυνατό το σ να αλλάζει κατά μήκος μιας καμπύλης ίσου προϊόντος ή καθώς αλλάζει η κλίμακα παραγωγής 54 9

10 Ελαστικότητα υποκατάστασης Γενικεύοντας την ελαστικότητα υποκατάστασης για την περίπτωση με πολλούς συντελεστές δημιουργούνται διάφορες περιπλοκές Αν ορίσουμε την ελαστικότητα υποκατάστασης μεταξύ δύο συντελεστών να είναι η ποσοστιαία μεταβολήστολόγοτωνδύοσυντελεστώνωςπρος την ποσοστιαία μεταβολή στον RTS, πρέπει να κρατήσουμε το προϊόν και τα επίπεδα των άλλων συντελεστών σταθερά Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής Έστω η συνάρτηση παραγωγής q f(, a + bl Αυτή η συνάρτηση παρουσιάζει σταθερές αποδόσεις κλίμακας f(t,t at + btl t(a + b tf(, Όλες οι καμπύλες ίσου προϊόντος είναι ευθείες γραμμές. Ο RTS είναι σταθερός σ Η γραμμική συνάρτηση παραγωγής Σταθερές αναλογίες Κεφάλαιο και εργασία είναι τέλεια υποκατάστατα ανά περίοδο Ο RTS είναι σταθερός καθώς το /l μεταβάλλεται κλίση -b/a σ q min (a, b a,b > 0 Το κεφάλαιο και η εργασία πρέπει να χρησιμοποιούνται πάντα σε σταθερή αναλογία Η επιχείρηση λειτουργεί πάντα κατά μήκος μιας ακτίνας όπου το /l είναι σταθερό Επειδή το /l είναι σταθερό, σ 0 q q q 3 l ανά περίοδο Σταθερές αναλογίες Καμιά υποκατάσταση μεταξύ κεφαλαίου και εργασίας δεν είναι δυνατή /l είναι σταθερό στο b/a ανά περίοδο q 3 /a q q q 3 σ 0 Συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas q f(, A a l b A,a,b > 0 Αυτή η συνάρτηση παραγωγής μπορεί να έχει αποδόσεις κλίμακας f(t,t A(t) a (t b At a+b a l b t a+b Αf(, Αν a + b σταθερές αποδόσεις κλίμακας Αν a + b > αύξουσες αποδόσεις κλίμακας if a + b < φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας q 3 /b l ανά περίοδο

11 Συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas Η συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas, εκφρασμένη λογαριθμικά είναι γραμμική ln q ln A + a ln + b ln l a είναι η ελαστικότητα του προϊόντος σε σχέση με το b είναι η ελαστικότητα του προϊόντος σε σχέση με το l 6 Συνάρτηση παραγωγής CES q f(, [ ρ + l ρ ] γ/ρ ρ, ρ 0, γ > 0 γ > αύξουσες αποδόσεις κλίμακας γ < φθίνουσες αποδόσεις κλίμακας Γι αυτή τη συνάρτηση παραγωγής σ /(-ρ) ρ γραμμική συνάρτηση παραγωγής ρ - συνάρτηση παραγωγής με σταθερές αναλογίες ρ 0 συνάρτηση παραγωγής Cobb-Douglas 6 Γενικευμένη συνάρτηση παραγωγής Leontief Τεχνική πρόοδος q f(, + l + ( 0.5 Οι οριακές παραγωγικότητες είναι f + (/ -0.5 Άρα, fl RTS f f l + (/ ( / + ( / Οι μέθοδοι παραγωγής αλλάζουν διαχρονικά Αν ακολουθήσουμε ανώτερες τεχνικές παραγωγής, το ίδιο επίπεδο προϊόντος μπορεί να παραχθεί με λιγότερες ποσότητες συντελεστών Η καμπύλη ίσου προϊόντος μετατοπίζεται προς τα μέσα 64 Τεχνική πρόοδος Τεχνική πρόοδος q A(t)f(, όπου A(t) αντιπροσωπεύει όλες τις επιδράσεις που προσδιορίζουν το q εκτός από εκείνες των και l Μεταβολές στο A διαχρονικά αντιπροσωπεύουν τεχνική πρόοδο Το A παρουσιάζεται ως συνάρτηση του χρόνου (t) da/dt > 0 Διαφορίζοντας τη συνάρτηση παραγωγής σε σχέση με το χρόνο έχουμε dq da df (, f (, + A dt dt dt dq da q q f d f dl + + dt dt A f (, dt l dt 65 66

12 Τεχνική πρόοδος Τεχνική πρόοδος Διαιρώντας με q παίρνουμε dq / dt da / dt f / d f / l dl + + q A f (, dt f (, dt dq / dt da / dt f d / dt f l dl / dt + + q A f (, l f (, l Για κάθε μεταβλητή x, [(dx/dt)/x] είναι ο ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής του x Ας το συμβολίσουμε με G x Τότε, η πιο πάνω εξίσωση μπορεί να γραφεί ως εξής f f l Gq GA + G + Gl f (, l f (, Τεχνική πρόοδος Τεχνική πρόοδος σε συνάρτηση Cobb- Douglas Αφού f q f (, q f l q l l f (, l q e q, e q, l Gq GA + eq, G + eq, lg l q A(t)f(, A(t) α l -α Αν υποθέσουμε ότι η τεχνική πρόοδος λαμβάνει χώρα κατά ένα σταθερό εκθέτη (θ) τότε A(t) Ae θ-t q Ae θ-t α l -α Τεχνική πρόοδος σε συνάρτηση Cobb- Douglas Αν πάρουμε τους λογαρίθμους και διαφορίσουμε σε σχέση με το t παίρνουμε την εξίσωση lnq lnq q q t / t q t q G q Τεχνική πρόοδος σε συνάρτηση Cobb- Douglas (ln A + θt + αln + ( α)ln Gq t ln lnl θ + α + ( α) θ + αg t t + ( α) G l 7 7

13 Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις Μακροχρόνια είναι η περίπτωση στην οποία η επιχείρηση δεν έχει περιορισμούς στη χρήση των ποσοτήτων όλων των συντελεστών. Μπορεί όμως να υπάρχουν πολλοί περιορισμού. Βραχυχρόνια είναι η περίπτωση στην οποία η επιχείρηση δεν μπορεί να μεταβάλει τις ποσότητες όλων των συντελεστών, αλλά μόνο ενός. Τι συνεπάγονται οι περιορισμοί βραχυχρόνια στην τεχνολογία της επιχείρησης; Έστω ότι ο βραχυχρόνιος περιορισμός σημαίνει το να θεωρηθεί σταθερή η ποσότητα του συντελεστή. Ο συντελεστής είναι επομένως σταθερός συντελεστής βραχυχρόνια. Ο συντελεστής παραμένει μεταβλητός Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις y x x Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις y y x 77 Τέσσερις βραχυχρόνιες συναρτήσεις παραγωγής 78 3

14 Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις /3 /3 y x Είναι η μακροχρόνια συνάρτηση παραγωγής ( x και είναι μεταβλητά). Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν / 3 / 3 / 3 y x x. Η βραχυχρόνια συνάρτηση παραγωγής όταν 0 Βραχυχρόνιες και μακροχρόνιες συναρτήσεις / 3 / 3 y x 0 / 3 / 3 y x 5 / 3 / 3 y x / 3 / 3 y x / 3 / 3 / 3 y x 0 5x Σημεία που πρέπει να προσέξετε Σημεία που πρέπει να προσέξετε Αν όλοι οι συντελεστές, εκτός από ένα, κρατούνται σταθεροί, μπορούμε να συναγάγουμε μια σχέση μεταξύ της μοναδικής μεταβλητής και του προϊόντος Οριακή φυσική παραγωγικότητα είναι η μεταβολή στο προϊόν, που προκύπτει από την αύξηση κατά μια μονάδα της χρήσης του συντελεστή Η παραγωγικότητα αυτή μειώνεται καθώς αυξάνει η χρήση του συντελεστή Η συνάρτηση παραγωγής μπορεί να απεικονιστεί από ένα χάρτη με καμπύλες ίσου προϊόντος Η κλίση της καμπύλης ίσου προϊόντος είναι ο οριακός λόγος τεχνικής υποκατάστασης (RTS) Δείχνει πως ο ένας συντελεστής μπορεί να αντικαταστήσει τον άλλο, ενώ διατηρείται σταθερό το προϊόν. Είναι ο λόγος των οριακών φυσικών παραγωγικοτήτων των δύο συντελεστών 8 8 Σημεία που πρέπει να προσέξετε Σημεία που πρέπει να προσέξετε Οι καμπύλες ίσου προϊόντος υποτίθεται ότι είναι, συνήθως, κυρτές Υπακούουν στην υπόθεση του φθίνοντος RTS Η υπόθεση αυτή δεν μπορεί να εξαχθεί αποκλειστικά από την υπόθεση της φθίνουσας οριακής παραγωγικότητας Πρέπει επίσης να ενδιαφερόμαστε για τις επιδράσεις της μεταβολής ενός συντελεστή στην οριακή παραγωγικότητα των άλλων συντελεστών Οι αποδόσεις κλίμακας που έχει μια συνάρτηση παραγωγής δείχνουν πως το προϊόν αντιδρά στις αναλογικές αυξήσεις όλων των συντελεστών Αν το προϊόν αυξάνει αναλογικά με τους συντελεστές, έχουμε σταθερές αποδόσεις κλίμακας

15 Σημεία που πρέπει να προσέξετε Σημεία που πρέπει να προσέξετε Η ελαστικότητα υποκατάστασης (σ) δίνει ένα μέτρο του πόσο εύκολα μπορούμε να υποκαταστήσουμε στην παραγωγή ένα συντελεστή με έναν άλλο. Υψηλή σ συνεπάγεται σχεδόν ευθείες καμπύλες ίσου προϊόντος Χαμηλή σ συνεπάγεται καμπύλες ίσου προϊόντος με σχήμα L Η τεχνική πρόοδος μετατοπίζει ολόκληρη τη συνάρτηση παραγωγής και το χάρτη καμπυλών ίσου προϊόντος Τεχνικές βελτιώσεις μπορεί να ανακύψουν από τη χρήση πιο παραγωγικών συντελεστών ή καλύτερων μεθόδων οικονομικής οργάνωσης