. Σήματα και Συστήματα
|
|
- ᾍιδης Κολιάτσος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/16
2 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Σήματα και Συστήματα 2/16
3 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
4 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
5 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2 4t + 4) + 4t 10]u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
6 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2 4t + 4) + 4t 10]u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2) 2 + 4(t 2) 2]u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
7 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της ακόλουθης συνάρτησης { t x(t) = 2, 0 < t < 2 6, t > 2 Λύση: Εκφράζουμε την x(t) ως συνδυασμό γνωστών συναρτήσεων των οποίων ο ML μπορεί να βρεθεί εύκολα x(t) = [t 2 u(t) t 2 u(t 2)] + 6u(t 2) = t 2 u(t) (t 2 6)u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2 4t + 4) + 4t 10]u(t 2) = t 2 u(t) [(t 2) 2 + 4(t 2) 2]u(t 2) = t 2 u(t) (t 2) 2 u(t 2) 4(t 2)u(t 2) + 2u(t 2) Σήματα και Συστήματα 2/16
8 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 146) Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά: με Re(s) > 0 X(s) = 2 s 3 e 2s 2 s 3 4e 2s 1 s 2 + 2e 2s 1 s Σήματα και Συστήματα 3/16
9 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Σήματα και Συστήματα 4/16
10 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Λύση: Σήματα και Συστήματα 4/16
11 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Λύση: Το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor γύρω από το 0 της e t είναι e t = ( 1) n t n n=0 n! Σήματα και Συστήματα 4/16
12 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Να υπολογιστεί ο ML της συνάρτησης x(t) = 1 e t t Λύση: Το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor γύρω από το 0 της e t είναι e t = ( 1) n t n n=0 Επομένως η x(t) μπορεί να γραφτεί ως n! x(t) = 1 e t t ( 1) n 1 t n 1 = n! n=1 Σήματα και Συστήματα 4/16
13 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ζητήθηκαν οι πράξεις στην προηγούμενη σχέση 1 e t t = 1 ( 1) n t n n=0 n! t = t 1 ( 1) n t n ( n! n=0 ( 1) n 1 t n 1 = n! n=1 = t 1 t 1 ( 1) n t n n! 1) = t 1 n=0 n=1 ( 1) n t n n! Σήματα και Συστήματα 5/16
14 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Σήματα και Συστήματα 6/16
15 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της γραμμικότητας ότι { ( 1) k t k } L{x(t)} = L (k + 1)! k=0 Σήματα και Συστήματα 6/16
16 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της γραμμικότητας ότι { ( 1) k t k } L{x(t)} = L = (k + 1)! k=0 k=0 ( 1) k (k + 1)! L{tk } Σήματα και Συστήματα 6/16
17 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Ορίζοντας τη μεταβλητή k = n 1, η παραπάνω έκφραση γίνεται x(t) = k=0 ( 1) k t k (k + 1)! Παίρνοντας το ML των δύο πλευρών έχουμε τελικά εκμεταλλευόμενοι την ιδιότητα της γραμμικότητας ότι { ( 1) k t k } L{x(t)} = L = (k + 1)! k=0 k=0 ( 1) k (k + 1)! L{tk } Σύμφωνα με τον πίνακα 31 (σελ 113) του βιβλίου έχουμε L{t k } = k!, Re(s) > 0 sk+1 Σήματα και Συστήματα 6/16
18 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Συνεπώς ( 1) k L{x(t)} = (k + 1)! k=0 k! s k+1 Σήματα και Συστήματα 7/16
19 Πρόβλημα 2 (βιβλίο σελίδα 146) Συνεπώς L{x(t)} = ( 1) k k! (k + 1)! s k+1 = k=0 k=0 ( 1) k k s k+1 Το τελευταίο, όμως, άθροισμα είναι το ανάπτυγμα σε σειρά Taylor γύρω από το μηδέν της συνάρτησης ln(1 + ω) με ω = 1/s Αυτό ορίζεται για ω <, δηλαδή s 0 Τελικά: L{x(t)} = ln(1 + 1 ), Re(s) > 0 s Σήματα και Συστήματα 7/16
20 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Re(s) > 2 Σήματα και Συστήματα 8/16
21 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Re(s) > 2 Λύση: Υπολογίζουμε το ανάπτυγμα της X(s) σε μερικά κλάσματα X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Σήματα και Συστήματα 8/16
22 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 Re(s) > 2 Λύση: Υπολογίζουμε το ανάπτυγμα της X(s) σε μερικά κλάσματα X(s) = 5s2 15s + 7 (s + 1)(s 2) 3 = A s B s 2 + C (s 2) 2 + D (s 2) 3 Σήματα και Συστήματα 8/16
23 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 Σήματα και Συστήματα 9/16
24 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 1 B = lim s 2 (3 1)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 Σήματα και Συστήματα 9/16
25 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 Σήματα και Συστήματα 9/16
26 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 D = lim s 2 1 (3 3)! [(s 2)3 X(s)] = 1 Σήματα και Συστήματα 9/16
27 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D Άρα A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 D = lim s 2 1 (3 3)! [(s 2)3 X(s)] = 1 X(s) = 3 s s (s 2) 2 1 (s 2) 3 Σήματα και Συστήματα 9/16
28 Πρόβλημα 3 (βιβλίο σελίδα 147) Στη συνέχεια θα υπολογίσουμε τις σταθερές A,B,C και D Άρα οπότε A = lim (s + 1)X(s) = 3 s 1 B = 1 lim s 2 (3 1)! C = 1 lim s 2 (3 2)! d 2 ds 2 [(s 2)3 X(s)] = 1 d ds [(s 2)3 X(s)] = 2 D = lim s 2 1 (3 3)! [(s 2)3 X(s)] = 1 X(s) = 3 s s (s 2) 2 1 (s 2) 3 x(t) = ( 3e t + e 2t + 2te 2t t2 2 e2t) u(t) Σήματα και Συστήματα 9/16
29 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Σήματα και Συστήματα 10/16
30 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Λύση: Υπάρχουν 2 τρόποι με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε την άσκηση Σήματα και Συστήματα 10/16
31 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Λύση: Υπάρχουν 2 τρόποι με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε την άσκηση Ο 1ος τρόπος είναι να υπολογίσουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του παρονομαστή παραγοντοποιείται ως s 2 + 2s + 2 = (s j)(s + 1 j) Σήματα και Συστήματα 10/16
32 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ML της συνάρτησης 2s 2 + 6s + 6 X(s) = (s + 2)(s 2 Re(s) > 2 + 2s + 2) Λύση: Υπάρχουν 2 τρόποι με τους οποίους μπορούμε να λύσουμε την άσκηση Ο 1ος τρόπος είναι να υπολογίσουμε ότι ο δευτεροβάθμιος παράγοντας του παρονομαστή παραγοντοποιείται ως s 2 + 2s + 2 = (s j)(s + 1 j) Έτσι, η συνάρτηση X(s) αναλύεται ως εξής: X(s) = A s B s j + C s + 1 j Σήματα και Συστήματα 10/16
33 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 Σήματα και Συστήματα 11/16
34 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s j)x(s)] = j s 1 j j + 1 Σήματα και Συστήματα 11/16
35 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s j)x(s)] = j s 1 j C = lim [(s + 1 j)x(s)] = j s 1+j j + 1 j 1 Σήματα και Συστήματα 11/16
36 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s j)x(s)] = j s 1 j C = lim [(s + 1 j)x(s)] = j s 1+j Το ανάπτυγμα της X(s) γίνεται έτσι: X(s) = 1 s j + 1 j 1 j 1 j + 1 s j + j 1 j 1 s + 1 j Σήματα και Συστήματα 11/16
37 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) όπου οι σταθερές A, B, C υπολογίζονται από τις σχέσεις A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 B = lim [(s j)x(s)] = j s 1 j C = lim [(s + 1 j)x(s)] = j s 1+j Το ανάπτυγμα της X(s) γίνεται έτσι: X(s) = 1 s Ο αντίστροφος ML της συνάρτησης είναι j + 1 j 1 j 1 j + 1 s j + j 1 j 1 s + 1 j x(t) = L 1 {X(s)} Σήματα και Συστήματα 11/16
38 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
39 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) [ e 2t + e t( j j + 1 e jt + j j 1 ejt)] u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
40 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = = = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) [ e 2t + e t( j j + 1 e jt + j j 1 ejt)] u(t) [ ( j e 2t + e t 2Re j + 1 e jt)] u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
41 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) x(t) = = = [ e 2t + j j + 1 e (1+j)t + j j 1 e (1 j)t] u(t) [ e 2t + e t( j j + 1 e jt + j j 1 ejt)] u(t) [ ( j e 2t + e t 2Re j + 1 e jt)] u(t) = [e 2t + e t (cos t + sin t)]u(t) Σήματα και Συστήματα 12/16
42 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Ο εναλλακτικός τρόπος λύσης είναι να κρατηθούν οι συζυγείς μιγαδικοί παράγοντες και να γίνει η εξής ανάλυση: X(s) = A s Bs + C s 2 + 2s + 2 Σήματα και Συστήματα 13/16
43 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Ο εναλλακτικός τρόπος λύσης είναι να κρατηθούν οι συζυγείς μιγαδικοί παράγοντες και να γίνει η εξής ανάλυση: X(s) = Το A βρίσκεται εύκολα όπως και πριν A s Bs + C s 2 + 2s + 2 A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 Σήματα και Συστήματα 13/16
44 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Ο εναλλακτικός τρόπος λύσης είναι να κρατηθούν οι συζυγείς μιγαδικοί παράγοντες και να γίνει η εξής ανάλυση: X(s) = Το A βρίσκεται εύκολα όπως και πριν A s Bs + C s 2 + 2s + 2 A = lim [(s + 2)X(s)] = 1 s 2 Τα B και C μπορούν με τη σειρά τους να υπολογιστούν με δύο τρόπους Σήματα και Συστήματα 13/16
45 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Σήματα και Συστήματα 14/16
46 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Bs + C s 2 + 2s + 2 = 2s 2 + 6s + 6 (s + 2)(s 2 + 2s + 2) 1 s + 2 Σήματα και Συστήματα 14/16
47 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Bs + C s 2 + 2s + 2 2s 2 + 6s + 6 = (s + 2)(s 2 + 2s + 2) 1 s + 2 = 2s2 + 6s + 6 s 2 2s 2 (s + 2)(s 2 + 2s + 2) Σήματα και Συστήματα 14/16
48 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Εξίσωση ομοβάθμιων όρων Bs + C s 2 + 2s + 2 2s 2 + 6s + 6 = (s + 2)(s 2 + 2s + 2) 1 s + 2 = 2s2 + 6s + 6 s 2 2s 2 = και συνεπώς B = 1 και C = 2 (s + 2)(s 2 + 2s + 2) s + 2 s 2 + 2s + 2 Σήματα και Συστήματα 14/16
49 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Σήματα και Συστήματα 15/16
50 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 Σήματα και Συστήματα 15/16
51 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = = 2 Σήματα και Συστήματα 15/16
52 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = = 2 Για να βρούμε και το B, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη του αναπτύγματος της X(s) με s και παίρνουμε το όριο καθώς το s : Σήματα και Συστήματα 15/16
53 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = = 2 Για να βρούμε και το B, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη του αναπτύγματος της X(s) με s και παίρνουμε το όριο καθώς το s : sa lim sx(s) = lim s s s lim s Bs + 2 s s 2 + 2s + 2 = A + B Σήματα και Συστήματα 15/16
54 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Αντικατάσταση τιμών στο ανάπτυγμα Θέτουμε s = 0 X(0) = A 2 + C 2 άρα C = 2X(0) A = = 2 Για να βρούμε και το B, πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη του αναπτύγματος της X(s) με s και παίρνουμε το όριο καθώς το s : sa lim sx(s) = lim s s s lim s Bs + 2 s s 2 + 2s + 2 = A + B Συνεπώς B = 1 Σήματα και Συστήματα 15/16
55 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Με βάση τις τιμές για τα A,B,C, μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα της X(s) Σήματα και Συστήματα 16/16
56 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Με βάση τις τιμές για τα A,B,C, μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα της X(s) X(s) = 1 s s + 2 s 2 + 2s + 2 = 1 s s + 1 (s + 1) (s + 1) Σήματα και Συστήματα 16/16
57 Πρόβλημα 4 (βιβλίο σελίδα 148) Με βάση τις τιμές για τα A,B,C, μπορούμε να γράψουμε το ανάπτυγμα της X(s) X(s) = 1 s s + 2 s 2 + 2s + 2 = 1 s s + 1 (s + 1) (s + 1) Από την οποία έχουμε x(t) = [e 2t + e t (cos t + sin t)]u(t) Σήματα και Συστήματα 16/16
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 13: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Laplace 1. Επίλυση Γραμμικών
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 12: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός aplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού aplace 1. Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότερα. Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/17 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 93) Να αποδειχθεί ότι: α) Κάθε
Διαβάστε περισσότερα. Σήματα και Συστήματα
Σήματα και Συστήματα Βασίλειος Δαλάκας & Παναγιώτης Ριζομυλιώτης Τμήμα Πληροφορικής & Τηλεματικής Χαροκόπειο Πανεπιστήμιο Σήματα και Συστήματα 1/14 Πρόβλημα 1 (βιβλίο σελίδα 27) Να υπολογιστεί η βασική
Διαβάστε περισσότεραe 5t (sin 5t)u(t)e st dt e st dt e 5t e j5t e st dt s j5 j10 (s + 5 j5)(s j5)
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς ιδάσκων : Α. Μουχτάρης Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς-Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων 7/5/ Λύσεις 4ης Σειράς Ασκήσεων
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 6: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 9: Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μελέτη ΓΧΑ Συστημάτων με τον Μετασχηματισμό Fourier 1. Μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Μετασχηµατισµός Laplace. Εστω
Διαβάστε περισσότεραΜετασχηματισμοί Laplace
Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Fourier Στο κεφάλαιο αυτό θα εισάγουμε και θα μελετήσουμε
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 11: Μετασχηματισμός Laplace. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη : Μετασχηματισμός Laplace Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής Μετασχηματισμός Laplace. Μαθηματικός ορισμός μετασχηματισμού Laplace 2. Η περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότερα. (1) , lim να υπάρχουν και να είναι πεπερασμένα, δηλαδή πραγματικοί αριθμοί.
O μετασχηματισμός Laplace αποτελεί περίπτωση ολοκληρωτικού μετασχηματισμού, κατά τον οποίο κατάλληλη συνάρτηση (χρονικό σήμα) μετατρέπεται σε συνάρτηση της «συχνότητας» μέσω της σχέσης. (1) Γενικότερα
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 2013 ιδάσκων : Π.
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 203 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Λύσεις Πέµπτης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης : 23/05/203 Ηµεροµηνία
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z x y 2xyi. Re z x y. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι. z z zz. zz zz z z 1 0 z z 1 (1)
Αριθμός Εξέτασης 7 α.α) ος τρόπος: Έστω z i. Τότε ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ z i και Re z. Θα δείξουμε ότι για τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει ότι z z,ισχύει επίσης ότι. Είναι z z z z z z z z z z z
Διαβάστε περισσότερα2.1 2.2 ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΕΝΟΤΗΤΕΣ :.... ΕΝΝΟΙΑ ΤΟΥ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΤΩΝ ΜΙΓΑΔΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ & ΦΑΝΤΑΣΤΙΚΟ ΜΕΡΟΣ ΜΙΓΑΔΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ Έστω ένας μιγαδικός αριθμός,
Διαβάστε περισσότερα() min. xt δεν έχει μετασχηματισμό LAPLACE () () () Αν Λ= το σήμα ( ) Αν Λ, έστω σ. Το σύνολο μιγαδικών αριθμών. s Q το ολοκλήρωμα (1) υπάρχει.
Έστω xt : Ο (αμφίπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : X: L { xt} : X xt e dt = = μιγαδική συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής = σ+ j Ο (μονόπλευρος) μετασχηματισμός LAPLACE ορίζεται : L { xt } :
Διαβάστε περισσότεραwebsite:
Αλεξάνδρειο Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ιδρυμα Θεσσαλονίκης Τμήμα Μηχανικών Αυτοματισμού Μαθηματική Μοντελοποίηση Αναγνώριση Συστημάτων Μαάιτα Τζαμάλ-Οδυσσέας 6 Μαρτίου 2017 1 Εισαγωγή Κάθε φυσικό σύστημα
Διαβάστε περισσότεραΟ αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : + +
Μετασχηματισμός aplace ορίζεται ως εξής : t X() [x( t)] xte () dt = = Ο αντίστροφος μετασχηματισμός aplace ορίζεται από το μιγαδικό ολοκλήρωμα : t x(t) = [ X()] = X() e dt π j c C είναι μία καμπύλη που
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ
Pierre-Simn Laplace ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE ΑΝΑΛΥΣΗ στο πεδίο των ΣΥΧΝΟΤΗΤΩΝ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ /4 Τι περιλαμβάνει Ορισμοί Μετασχ. Laplace απλών σημάτων Ιδιότητες Εφαρμογή στη λύση ΔΕ Μετασχηματισμένο
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 8: Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 1. Ιδιότητες του Μετασχηματισμού ourier 2. Θεώρημα
Διαβάστε περισσότεραLCs 2 + RCs + 1. s 1,2 = RC ± R 2 C 2 4LC 2LC. (s 2)(s 3) = A. = 4 s 3 s=2 s + 2 B = (s 2)(s 3) (s 3) s=3. = s + 2. x(t) = 4e 2t u(t) + 5e 3t u(t) (2)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 06-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λύσεις Εβδοµης Σειράς Ασκήσεων Ηµεροµηνία Ανάθεσης
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Μετασχηματισμός Laplace 1. Ο μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 8. Να βρείτε την τιμή της παράστασης:
Μιγαδικοί αριθμοί Σελ 10 ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 104 Ασκήσεις με παραστάσεις της μορφής συγκεκριμένοι μιγαδικοί z 1 z με z 1,z i Εξετάζουμε μήπως οι μιγαδικοί συνδέονται με σχέση της μορφής z i 1 z ii Αντικάθιστούμε
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ #9 Ιδιοτιμές και ιδιοσυναρτήσεις συστημάτων Απόκριση ΓΧΑ συστημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Συνάρτηση μεταφοράς Ανάλυση Σημάτων/Συστημάτων με βασικά σήματα Συχνά
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού Fourier Ο μετασχηματισμός Fourier
Διαβάστε περισσότερα20-Φεβ-2009 ΗΜΥ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier
ΗΜΥ 429 8. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier 1 Μετασχηματισμός Fourier 4 κατηγορίες: Μετασχηματισμός Fourier: σήματα απεριοδικά και συνεχούς χρόνου Σειρά Fourier: σήματα περιοδικά και συνεχούς χρόνου Μετασχηματισμός
Διαβάστε περισσότεραΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 12) ΕΡΓΑΣΙΑ 3 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 12 Ιανουαρίου 2009
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Ιανουαρίου 009 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: Φεβρουαρίου 009. Πριν
Διαβάστε περισσότεραΜΜ803 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ
ΜΜ83 ΑΥΤΟΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εαρινό εξάµηνο 8 Λύσεις εργασίας # Λύση άσκησης : Για την πρώτη συνάρτηση ισχύει ότι sin( ωt+ θ) sinωtcosθ + cosωtsinθ άρα L[sin( ωt+ θ)] L[sin ωtcosθ + cosωtsin θ] cos θ L[sin ωt]
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 3: Μετασχηματισμός Laplace: Συνάρτηση μεταφοράς
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής Σειρά Fourier Ορθοκανονικές Συναρτήσεις Στοεδάφιοαυτόθαδιερευνήσουμεεάνκαικάτωαπό
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 7: Μετασχηματισμός Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Fourier 1. Ορισμός του Μετασχηματισμού Fourier 2. Φυσική Σημασία του Μετασχηματισμού
Διαβάστε περισσότεραAPEIROSTIKOS LOGISMOS I
APEIROSTIKOS LOGISMOS I ΟΛΟΗΜΕΡΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ Λύσεις ασκήσεων φυλλαδίου 4. Άσκηση : Υπολογίστε, αν υπάρχουν, τα παρακάτω όρια. Αν χρειάζεται, υπολογίστε τα αντίστοιχα πλευρικά όρια. + 4 3 + +,
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc164.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
Έντυπο Υποβολής Αξιολόγησης Γ.Ε. O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ 1 Συναρτήσεις Όταν αναφερόμαστε σε μια συνάρτηση, ουσιαστικά αναφερόμαστε σε μια σχέση ή εξάρτηση. Στα μαθηματικά που θα μας απασχολήσουν, με απλά λόγια, η σχέση
Διαβάστε περισσότερα7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ z
7 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ Ο μετασχηματισμός είναι ο αντίστοιχος Laplace για σήματα διακριτού χρόνου και αποτελεί γενίκευση του μετασχηματισμού Fourier διακριτού χρόνου. Σκοπός του Κεφαλαίου είναι να ορίσει
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ. Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΘΕΜΑ 1 Δίνεται ο πίνακας: 1) Να
Διαβάστε περισσότεραΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. lim( x 3 1) 0. = δηλαδή το όριο είναι της. . Θα προσπαθήσουμε να βγάλουμε κοινό παράγοντα από αριθμητή και ( ) ( )( )
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΟΡΙΟ - ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΝΝΟΙΑ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΠΛΕΥΡΙΚΑ ΟΡΙΑ ΣΤΟ R - ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΟΡΙΟΥ ΣΤΟ R - ΟΡΙΟ ΚΑΙ ΔΙΑΤΑΞΗ - ΟΡΙΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ [Κεφ 4: Όριο Συνάρτησης
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου 1 Ενότητα # 8: Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace Εφαρμογή σε απόκριση συστήματος: Σύστημα 1 ης τάξης Δ. Δημογιαννόπουλος,
Διαβάστε περισσότερα( y = 2, x R) και ( y = 0, x R ) ή ισοδύναμα πάνω στην ευθεία z = 2
ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΚΑΙ ΟΛΟΚΛ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΘΕΜΑ ΓΡΑΠΤΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ α) Η f ( ) έχει πραγματικό μέρος uxy (, ) = ycosxκαι φανταστικό μέρος vxy (, ) = y sinx, όπου = x+ iy
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 2: Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Στοιχειώδη Σήματα Συνεχούς Χρόνου 1. Μοναδιαία Βηματική Συνάρτηση 2. Κρουστική Συνάρτηση ή
Διαβάστε περισσότεραΜέθοδοι ολοκλήρωσης. Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι
Μέθοδοι ολοκλήρωσης Ολοκληρωτικός Λογισμός μιας μεταβλητής Ι (A) Μέθοδος Αντικατάστασης f ( g( )) g '( ) d = f ( u) du Βήμα 1 ο : Αντικαθιστώ u u=g() & du=g ()d ψάχνω το f(u)du Βήμα ο : Ολοκληρώνω ως προς
Διαβάστε περισσότεραΑρµονικοί ταλαντωτές
Αρµονικοί ταλαντωτές ΦΥΣ 131 - Διαλ. 31 Εκκρεµή - Απλό εκκρεµές θ l T mg r F Αυτή η εξίσωση είναι δύσκολο να λυθεί. Δεν µοιάζει µε τη γνωστή εξίσωση Για µικρές γωνίες θ µπορούµε όµως να γράψουµε Εποµένως
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα : Μετασχηματισμός LAPLACE (Laplace Tranform) Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑ Α A1 Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f, η οποία είναι ορισμένη σε ένα κλειστό διάστημα. τέτοιος ώστε: f x.
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΕΤΑΡΤΗ 3 ΑΠΡΙΛΙΟΥ 6 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ & ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΣΥΝΟΛΟ
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (Θ.Ε. ΠΛΗ 1) 4 η ΓΡΑΠΤΗ ΕΡΓΑΣΙΑ Ημερομηνία Ανάρτησης 14 Φεβρουαρίου 014 Ημερομηνία Παράδοσης της εργασίας από τον Φοιτητή 14 Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραz k z + n N f(z n ) + K z n = z n 1 2N
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Εφαρμοσμένα Μαθηματικά 6..5 Λύσεις Σειράς Ασκήσεων Άσκηση (α) Έστω z το όριο της ακολουθίας z n, δηλ. για κάθε ɛ > υπάρχει N(ɛ) ώστε z n z < ɛ για n > N. Για n > N(ɛ), είναι z n
Διαβάστε περισσότεραΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2011 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
[] ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Δείτε στις «Σημειώσεις Μιγαδικού Λογισμού» σελ β) Ας είναι ux (, ) = x+ cos( π ) και vx (, ) = cos( π x) το πραγματικό και το φανταστικό μέρος
Διαβάστε περισσότεραAΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. z z 0 που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα. 2 Re z 4Im z R. x 2 y x y 2
AΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α Βλ σχολ βιβλίο σελ 5 Α Βλ σχολ βιβλίο σελ Α Σ Σ Σ 4 Σ 5 - Λ ΘΕΜΑ Β Β Η εξίσωση () z ισοδυναμεί με την z z που είναι τριώνυμο με διακρίνουσα 4 διότι 4 Άρα οι ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικές
Διαβάστε περισσότεραΚλασσική Θεωρία Ελέγχου
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 5: Ο μετασχηματισμός Laplace Νίκος Καραμπετάκης Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative
Διαβάστε περισσότεραΟ μετασχηματισμός Fourier
Ο μετασχηματισμός Fourier είναι από τα διαδεδομένα εργαλεία μετατροπής δεδομένων και συναρτήσεων (μιας ή περισσοτέρων διαστάσεων) από αυτό που ονομάζεται περιοχή χρόνου (time domain) στην περιοχή συχνότητας
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΛΕΥΤΑΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΑΝΑΛΥΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΜΙΧΑΛΗΣ ΜΑΓΚΟΣ . ΔΙΑΒΑΖΩ ΤΗ ΘΕΩΡΙΑ ΑΠΟ ΤΟ ΣΧΟΛΙΚΟ ΒΙΒΛΙΟ Σελ.303: Ορισμός (Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα) Σελ.304: Απόδειξη του
Διαβάστε περισσότερα3. Κεφάλαιο Μετασχηματισμός Fourier
3 Κεφάλαιο 3 Ορισμοί Ο μετασχηματισμός Fourir αποτελεί την επέκταση των σειρών Fourir στη γενική κατηγορία των συναρτήσεων (περιοδικών και μη) Όπως και στις σειρές οι συναρτήσεις θα εκφράζονται με τη βοήθεια
Διαβάστε περισσότεραf(z) 1 + z a lim f (n) (0) n! = 1
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 3η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση. Υποθέτουμε ότι η f : C C είναι ακέραια συνάρτηση και ότι το όριο Αποδείξτε ότι η f είναι σταθερή.
Διαβάστε περισσότερα0 f(t)e st dt. L[f(t)] = F (s) =
Α. Δροσόπουλος 3 Ιανουαρίου 29 Περιεχόμενα Μετασχηματισμοί Laplace 2 Αντιστάσεις, πυκνωτές και πηνία 2 3 Διέγερση βαθμίδας σε L κυκλώματα 5 3. Φόρτιση.....................................................
Διαβάστε περισσότερα~ 1 ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2013 ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ
~ ~ ΜΙΓΑΔΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ & ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΛΥΣΕΙΣ ΤΩΝ ΘΕΜΑΤΩΝ ΘΕΜΑ α) Μια συνάρτηση f ( ) u( x, y) iv( x, y ) έχει παράγωγο σε ένα σημείο x iy αν ικανοποιούνται
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι Βασικές Έννοιες Σήματα Κατηγορίες Σημάτων Συνεχούς/ Διακριτού Χρόνου, Αναλογικά/ Ψηφιακά Μετασχηματισμοί Σημάτων Χρόνου: Αντιστροφή, Κλιμάκωση, Μετατόπιση Πλάτους Βασικά
Διαβάστε περισσότεραΤεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών. Σήματα. και. Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Άσκηση η Να υπολογιστεί η έξοδος του συστήματος με κρουστική απόκριση h()=u()-u(-4) και είσοδο x()=u(-) u(-3)
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ 3 Ιουλίου 2010
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗ ΤΕΛΙΚΗ ΕΞΕΤΑΣΗ Ιουλίου Θέμα ( μονάδες) 4 Θεωρούμε τον Ευκλείδειο χώρο και τον υποχώρο του V που παράγεται
Διαβάστε περισσότεραv y = 12x 2 y + 4y v(x, y) = 6x 2 y 2 + y 4 + y + c(x). f(z) = u(z, 0) + iv(z, 0) = z + i(z 4 + c), f(z) = iz 4 + z i.
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Εξετάσεις στη Μιγαδική Ανάλυση ΟΜΑΔΑ: Α 0 Ιουλίου, 0 Θέμα. (αʹ) Να βρεθεί η τιμή του a R για την οποία η συνάρτηση u(x, y) ax 3 y +4xy
Διαβάστε περισσότεραHMY 220: Σήματα και Συστήματα Ι
HMY 22: Σήματα και Συστήματα Ι ΔΙΑΛΕΞΗ # Αναπαράσταση περιοδικών σημάτων με μιγαδικά εκθετικά σήματα: Οι σειρές Fourier Υπολογισμός συντελεστών Fourier Ανάλυση σημάτων σε μιγαδικά εκθετικά σήματα Είδαμε
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΚυκλώματα, Σήματα και Συστήματα
Κυκλώματα, Σήματα και Συστήματα Μάθημα 7 Ο Μετασχηματισμός Z Βασικές Ιδιότητες Καθηγητής Χριστόδουλος Χαμζάς Ο Μετασχηματισμός Ζ Γιατί χρειαζόμαστε τον Μετασχηματισμό Ζ; Ανάγει την επίλυση των αναδρομικών
Διαβάστε περισσότεραΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT
ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΥΣΗ FOURIER ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Διακριτός Μετασχηματισμός Fourier DFT Διακριτός μετασχηματισμός συνημιτόνου DCT discrete cosine transform Η σχέση αποτελεί «πυρήνα»
Διαβάστε περισσότεραΨηφιακή Επεξεργασία Σημάτων
Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων Ενότητα 8: Μετασχηματισμός Ζ Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Μετασχηματισμός Z Μετασχηματισμός Ζ (Ζ-Transform) Χρήσιμα Ζεύγη ΖT και Περιοχές Σύγκλισης (ROC) Ιδιότητες
Διαβάστε περισσότεραΠαράδειγμα 14.2 Να βρεθεί ο μετασχηματισμός Laplace των συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Μετασχηματισμός aplace 4. Μετασχηματισμός aplace της εκθετικής συνάρτησης e Είναι Άρα a a a u( a ( a ( a ( aj F( e e d e d [ e ] [ e ] ( a e (c ji, με a (4.9 a a a [ e u( ] a, με a (4.3 Η σχέση
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Τμήμα Φαρμακευτικής ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ Λυμένες Ασκήσεις & Λυμένα Θέματα Εξετάσεων ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 014 ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ & ΘΕΜΑΤΑ: ΓΕΝΙΚΑ
Διαβάστε περισσότεραf (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 2 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε Σχολικό βιβλίο σελίδα 76 A2 Βλέπε Σχολικό βιβλίο
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-25: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 26-7 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Μετασχ. Laplace και Συστήµατα
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΣήματα και Συστήματα. Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier. Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής
Σήματα και Συστήματα Διάλεξη 6: Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier Δρ. Μιχάλης Παρασκευάς Επίκουρος Καθηγητής 1 Ανάλυση Σημάτων σε Ανάπτυγμα Σειράς Fourier 1. Ανάπτυγμα σήματος σε Σειρά Fourier
Διαβάστε περισσότερα[Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] x είναι συνεχής στο σαν άθροισμα συνεχών συναρτήσεων. για x. άρα g(x) 0 και αφού είναι συνεχής
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ 3 ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ (Κεφάλαιο ) [Κεφάλαιο 1 Μέρος Β' του σχολικού βιβλίου] ΘΕΜΑ
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ»
ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο «ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ» Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο : ΟΡΙΟ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Α ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Πεδίο
Διαβάστε περισσότεραΈντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ
Έντυπο Yποβολής Αξιολόγησης ΓΕ O φοιτητής συμπληρώνει την ενότητα «Υποβολή Εργασίας» και αποστέλλει το έντυπο σε δύο μη συρραμμένα αντίγραφα (ή ηλεκτρονικά) στον Καθηγητή-Σύμβουλο. Ο Καθηγητής-Σύμβουλος
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή η ρητή συνάρτηση είναι πηλίκο δύο ακέραιων πολυωνύμων. Επομένως, το ζητούμενο ολοκλήρωμα είναι της μορφής
D ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων Το θέμα μας στην ενότητα αυτή είναι η ολοκλήρωση ρητών συναρτήσεων. Ας θυμηθούμε πρώτα ποιες συναρτήσεις ονομάζονται ρητές. Ορισμός: Μία συνάρτηση ονομάζεται ρητή όταν μπορεί
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ. D x D / h x D δηλαδή. ισχύει για x 1, e ln x 1 e. e ln x e ln x e ln x e ln x 1 e ln x 1 f x f x
Λύση (ΘΕΜΑ ο ) Γ. Έστω οι συναρτήσεις : h ln με D 0, h f με D, h h h με 3 0, 0, ln h h D D / h D δηλαδή h3 h h ή D 0, h h h με 4 f,, h 3 D D / h D δηλαδή h4 h h ή D, Έτσι η εξίσωση h ln h f h 4 ισχύει
Διαβάστε περισσότεραE = 1 2 k. V (x) = Kx e αx, dv dx = K (1 αx) e αx, dv dx = 0 (1 αx) = 0 x = 1 α,
Μαθηματική Μοντελοποίηση Ι 1. Φυλλάδιο ασκήσεων Ι - Λύσεις ορισμένων ασκήσεων 1.1. Άσκηση. Ενα σωμάτιο μάζας m βρίσκεται σε παραβολικό δυναμικό V (x) = 1/2x 2. Γράψτε την θέση του σαν συνάρτηση του χρόνου,
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΗΜΟΚΡΑΤΙΑ ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙKΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 6 η Ηµεροµηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Mαίου 8 Ηµεροµηνία Παράδοσης της Εργασίας από
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΣΤΗΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: 5 Φεβρουαρίου 008 Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 4 Μαρτίου 008
Διαβάστε περισσότεραΓια την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση x 0
5 Όριο συνάρτησης Α ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Για την τοπική μελέτη μιας συνάρτησης f ενδιαφέρον έχει η συμπεριφορά της συνάρτησης γύρω απο κάποια θέση (δηλαδή όταν το βρίσκεται πολύ κοντά στο ) ή στο
Διαβάστε περισσότεραΔιάλεξη 4 - Σημειώσεις
Διάλεξη 4 - Σημειώσεις Απροσδιόριστες μορφές και ο κανόνας l'hôpital Έστω ότι ζητούμε το όριο () της συνάρτησης () = () () η οποία δίνεται ως το πηλίκο δύο συναρτήσεων (), (). Τότε, () () () = () = ()
Διαβάστε περισσότεραα) () z i z iz i Αν z i τότε i( yi) i + + y y y ( y) i i y + 4y + 4, y y 4. Άρα z i. 4 β) ( z) z i z z i z ( i) z, οπότε ( z ) i z z Άρα z z γ) Αν z τ
Λυμένα θέματα στους Μιγαδικούς αριθμούς. Δίνονται οι μιγαδικοί z, w και u z w. α) Να αποδείξετε ότι ο μιγαδικός z είναι φανταστικός αν και μόνο αν ισχύει z z. β) Αν για τους z και w ισχύει: z + w z w,
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά. Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης. Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής
Μαθηματικά Ενότητα 6: Ασκήσεις Ορίων Συνάρτησης Σαριαννίδης Νικόλαος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ. Μετασχηµατισµός-Z. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
ΘΕΩΡΙΑ ΣΗΜΑΤΩΝ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Μετασχηµατισµός-Z Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μετασχηµατισµός - Ιδιότητες Μετασχηµατισµού- Γραµµικότητα Χρονική Ολίσθηση Κλιµάκωση
Διαβάστε περισσότεραΕισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑIΟΥ & ΑΕΙ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. Τμήματα Ναυτιλίας και Επιχειρηματικών Υπηρεσιών & Μηχ. Αυτοματισμού ΤΕ Εισαγωγή στην Τεχνολογία Αυτοματισμού Ενότητα # 4: Αποκρίσεις χαρακτηριστικών συστημάτων με
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΗ 1. εξισώσεις x= π 3, x= π 2. ΑΣΚΗΣΗ 2 Δίνονται οι συναρτήσεις : f (x)= 1. 1 u 2 x. du και g(x)= 1 f (t )dt
ΑΣΚΗΣΗ Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο: f (x)= ημ x, x (0,π). α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα. β) Να βρείτε της ασύμπτωτες της γραφικής παράστασης της f. γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών
Διαβάστε περισσότεραΔομή της παρουσίασης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΕΙΡΑΙΩΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΩΝ ΤΜΗΜΑ ΨΗΦΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΤΗΛΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες Διάλεξη η Τα Σήματα στις Τηλεπικοινωνίες
Διαβάστε περισσότερα7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα 7 ο ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ενότητα: ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Aναστασία Βελώνη Τμήμα Η.Υ.Σ Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
Διαβάστε περισσότεραΑ. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ - -. Πράξεις με πραγματικούς αριθμούς Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους. Αν + y = -, να βρείτε τις τιμές των παραστάσεων: α A = + y + ( + y β B = ( - y -( y γ Γ = -(
Διαβάστε περισσότερα= 1. z n 1 = z z n = 1. f(z) = x 0. (0, 0) = lim
ΣΧΟΛΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ & ΦΥΣΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ 1η Σειρά Ασκήσεων στη Μιγαδική Ανάλυση 1. Να λυθεί η εξίσωση: 4 1 + 3i. Λύση. Επειδή 1 + 3i e πi/3, οι λύσεις της εξίσωσης 4 1 + 3i
Διαβάστε περισσότεραf (x ) f (x ) f (x )f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) f (x ) 1 f (x )f (x )
o ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 26: ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ ΚΑΙ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΣΠΟΥΔΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ο ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ A Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΤετραγωνικά μοντέλα. Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1. Παράδειγμα τετραγωνικού μοντέλου #1
Τετραγωνικό μοντέλο συνάρτησης Τετραγωνικά μοντέλα Δ. Γ. Παπαγεωργίου Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Πανεπιστήμιο Ιωαννίνων dpapageo@cc.uoi.gr http://pc64.materials.uoi.gr/dpapageo Για συνάρτηση μιας
Διαβάστε περισσότεραη απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: P, P, , P, P, ( 2) ,
Λύσεις Ασκήσεων ου Κεφαλαίου 45 και επειδή d x x = / = 7.5649 > η απόσταση d γίνεται ελάχιστη. Τα αντίστοιχα σημεία των καμπυλών είναι: και ( x ) = ( x x ) = P P, P,.58975,.478 x =.58975 x =.58975 ( x
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι
ΣΗΜΑΤΑ ΚΑΙ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Ι Εκθετική Ορισμοί & Ιδιότητες Επιμέλεια: Αθανάσιος Ν. Σκόδρας, Καθηγητής Γεώργιος Α. Βασκαντήρας, Υπ. Διδάκτορας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης
Διαβάστε περισσότεραΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ 1) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 Ηµεροµηνία αποστολής στον φοιτητή: 18 Φεβρουαρίου 005. Τελική ηµεροµηνία αποστολής από τον φοιτητή: Μαρτίου
Διαβάστε περισσότεραΜ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ
Μ Α Θ Η Μ Α Τ Ι Κ Α Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΖΕΡΒΟΣ ΜΑΝΟΛΗΣ 1 ΜΕΡΟΣ Α ΚEΦΑΛΑΙΟ 1 Ο ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ 1.1 ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ Α. Οι πραγματικοί αριθμοί και οι πράξεις τους 1. ΕΡΩΤΗΣΗ Τι ονομάζουμε
Διαβάστε περισσότεραΓια την κατανόηση της ύλης αυτής θα συμβουλευθείτε επίσης το: βοηθητικό υλικό που υπάρχει στη
ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥΔΩΝ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Ι (ΘΕ ΠΛΗ ) ΕΡΓΑΣΙΑ 4 η Ημερομηνία Αποστολής στον Φοιτητή: Φεβρουαρίου Ημερομηνία παράδοσης της Εργασίας: 6 Μαρτίου Πριν από την λύση κάθε άσκησης καλό είναι να
Διαβάστε περισσότερα