Μιγαδικοί αριθμοί. Δυνάμεις του i: Το σύνολο των πραγματικών και των φανταστικών Ι={xi/x } είναι υποσύνολα του συνόλου των μιγαδικών C={α+βi/α,β }

Transcript

1

2 Μιγαδικοί αριθμοί Όπως όσο δεν ξέραμε για αρνητικούς αριθμούς δεν μπορούσαμε να λύσουμε την εξίσωση +5=3, αν δεν ξέραμε παρά μόνο τους ακέραιους δε θα μπορούσαμε να λύσουμε την εξίσωση 3=7 κ.τ.λ., έτσι όσο περιοριζόμαστε στους πραγματικούς αριθμούς δεν μπορούμε να λύσουμε εξισώσεις της μορφής =-3, δευτεροβάθμιες εξισώσεις με αρνητική διακρίνουσα κ.τ.λ. Ορίζουμε επομένως τη φανταστική μονάδα i με την ιδιότητα: i =- κι αρχίζουμε το ταξίδι στη φαντασία. Οι αριθμοί αi, με α πραγματικό, λέγονται φανταστικοί, ενώ κάθε σύμπλεγμα πραγματικού και φανταστικού α+βi λέγεται μιγαδικός (comple στα αγγλικά που θα πει σύμπλεγμα, μιγαδικός στα ελληνικά γιατί προέρχεται από την πραγματική και τη φανταστική «φυλή») Δυνάμεις του i: i, i i, i, i 3 i i ν i 4ρυ i υ i - i,,,, αν αν αν αν υ υ υ υ 3 Το σύνολο των πραγματικών και των φανταστικών Ι={i/} είναι υποσύνολα του συνόλου των μιγαδικών C={α+βi/α,β}

3 Στα παρακάτω, αν δε δηλώνεται διαφορετικά, όλα τα ελληνικά γράμματα θα συμβολίζουν πραγματικούς αριθμούς και τα λατινικά μιγαδικούς. Κάθε μιγαδικός z=α+βi, όπου α=re(z) : πραγματικό μέρος και β=ιm(z) : φανταστικό μέρος Ο μιγαδικός z=α+βi αντιστοιχεί στο σημείο (α,β) του μιγαδικού επιπέδου και στο διάνυσμα (α,β). Αν σε κάθε μιγαδικό αριθμό z αντιστοιχίσουμε το διάνυσμα OM z, οι πράξεις της πρόσθεσης, αφαίρεσης μιγαδικών και πολλαπλασιασμού πραγματικού με μιγαδικό «μεταφέρονται» στις πράξεις των αντίστοιχων διανυσμάτων. Ισότητα και πράξεις α+βi=γ+δiα=γ και β=δ (α+βi)±(γ+δi)=(α±γ)+(β±δ)i (α+βi)(γ+δi)=(αβ-γδ)+(αγ+βδ)i α βi αγ γ δi γ βδ βγ αδ i δ γ δ Συζυγής του z=α+βi είναι ο z =α-βi Ιδιότητες z+ z =α, z- z =βiι z z z z, z z z z, ( z) z z z, z z z z z z ν, ( z ν ) ( z)

4 z z zν z z z ν z z... z ν z z... z ν Συνοπτικά και «λαϊκά»: Η «παύλα» πάει παντού, αφήνει τους πραγματικούς αναλλοίωτους, αλλάζει πρόσημα στους φανταστικούς και εξουδετερώνει άλλη παύλα. Σημαντικά κριτήρια: z= z z, z=- z zι Προσοχή: Αν Μ είναι η εικόνα του z, τότε η το συμμετρικό του Μ ως προς τον άξονα y y είναι η εικόνα του συζυγούς του, το συμμετρικό ως προς Ο είναι η εικόνα του -z και το συμμετρικό ως προς είναι η εικόνα του - z Ιδιότητες του μέτρου: Μέτρο του z= OM =d(o,m z )= z α β z-w=d(μ z,μ w ) z z z, z z z, z z z z z z z z z z ν ν, z z, z z =z z Η δυτεροβάθμια εξίσωση με πραγματικούς συντελεστές, όταν Δ< έχει τις μιγαδικές συζυγείς ρίζες: z, β i α Δ Γεωμετρικοί τόποι: z-z =ρ> το σύνολο των εικόνων του z είναι ο κύκλός με κέντρο την εικόνα του z και ακτίνα ρ 3

5 z-z =z-z το σύνολο των εικόνων του z είναι η μεσοκάθετος του ευθύγραμμου τμήματος με άκρα τις εικόνες των z και z. Ανάλογα μπορούμε να ορίσουμε την έλλειψη από την ισότητα z-z +z=z =κατάλληλη σταθερά και την υπερβολή από την z-z -z=z =κατάλληλη σταθερά. Τέλος αν σε μια ισότητα με μεταβλητή μιγαδικό z αντικαταστήσουμε τον z με +yi (,y) μπορεί να προκύψει μια από τις γνωστές εξισώσεις της Αναλυτικής Γεωμετρίας. 4

6 Συναρτήσεις Συνάρτηση f με Πεδίο Ορισμού ένα σύνολο Α και τιμές σε ένα σύνολο Β είναι κάθε διαδικασία με την οποία σε κάθε τιμή του Α αντιστοιχούμε ένα ακριβώς στοιχείο του Β. Η έκφραση f()=y δηλώνει ότι το στοιχείο (ανεξάρτητη μεταβλητή) του Πεδίου Ορισμού Α αντιστοιχεί στο στοιχείο y (εξαρτημένη μεταβλητή) του συνόλου Β. Στην ύλη του Λυκείου περιοριζόμαστε σε συναρτήσεις των οποίων το Πεδίο Ορισμού Α είναι διάστημα ή ένωση διαστημάτων, ενώ το σύνολο Β είναι το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Σύνολο Τιμών μιας συνάρτησης f είναι το υποσύνολο του που περιέχει όλες τις τιμές της συνάρτησης f. Αν το Πεδίο Ορισμού της συνάρτησης είναι το Α, το σύνολο τιμών συμβολίζεται με f(α). Δυο συναρτήσεις f, g είναι ίσες εφόσον έχουν το ίδιο Π.Ο. Α και ισχύει f()=g(), για κάθε Α Οι πράξεις συναρτήσεων, ορίζονται στην τομή των Π.Ο. τους, με εξαίρεση τη διαίρεση που πρέπει επιπλέον να μη μηδενίζεται η δεύτερη συνάρτηση, και έχουν τιμές τις πράξεις των αντίστοιχων τιμών. Τύπος συνάρτησης Οι συναρτήσεις δεν είναι απαραίτητο να έχουν τύπο. Θεωρούνται γνωστές όταν, με οποιονδήποτε τρόπο, μπορούμε για κάθε τιμή του να βρούμε την αντίστοιχη τιμή f(). Μελετάμε τις συναρτήσεις που έχουν κάποιον τύπο, γιατί αυτές μπορούμε να μελετήσουμε. Κάθε επιστημονικός κλάδος προσπαθεί να βρει για τις συναρτήσεις που χρησιμοποιεί έναν τύπο, έστω κι αν αυτός απλώς προσεγγίζει την 5

7 πραγματικότητα. Εξάλλου στις εφαρμοσμένες επιστήμες η απόλυτη ακρίβεια του τύπου δεν είναι τόσο σημαντική, αφού είναι έτσι κι αλλιώς αδύνατη η απόλυτη ακρίβεια στη μέτρηση των σχετικών παραμέτρων και μεταβλητών. Ο τύπος μιας συνάρτησης μπορεί να είναι απλός π.χ. 4, f () ή πολλαπλός, π.χ. f () 3, 4 e ημ, 7 Υπάρχουν φορές που έχουμε μια εξίσωση που συνδέει την ανεξάρτητη με την εξαρτημένη μεταβλητή κι από την οποία μπορούμε να εντοπίζουμε για κάθε τιμή του την αντίστοιχη τιμή f() του y. Π.χ. ημy=, (-,-][,+ ) με π π y, Αν και δεν μπορούμε να «λύσουμε» τον τύπο ως προς y, ξέρουμε ότι σε κάθε αντιστοιχεί μοναδικός y=f() που τον επαληθεύει. Παρ όλα αυτά, όπως θα δούμε π.χ. στο κεφάλαιο των παραγώγων μπορούμε να μελετήσουμε τη συνάρτηση αυτή ως προς αρκετά χαρακτηριστικά. Γραφική παράσταση ή καμπύλη της f σε ένα καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oy λέγεται το σύνολο των σημείων M (,(f ()) για όλα τα A. Επομένως, ένα σημείο M (, y) του επιπέδου των αξόνων ανήκει στην καμπύλη της f, μόνο όταν y f () Χαρακτηριστικά συνάρτησης Μια συνάρτηση f με Π.Ο. Α είναι: Άρτια Για κάθε Α το -Α και f(-)=f() Περιττή Για κάθε Α το -Α και f(-)=-f() 6

8 «-»Για κάθε, Α, αν, τότε f( ) f( )Αν f( )=f( ), τότε = Γνησίως αύξουσαγια κάθε, Α, αν <, τότε f( )<f( ) Γνησίως φθίνουσαγια κάθε, Α, αν <, τότε f( )>f( ) Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α λέμε ότι παρουσιάζει: Μέγιστη τιμή (ολική) στο Ελάχιστη τιμή (ολική) στο Α A, όταν () f ( ) για κάθε Α f A, όταν () f ( ) για κάθε f Τοπικό μέγιστο στο, όταν f () f () για κάθε σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το και τοπικό ελάχιστο στο όταν f () f ( ) για κάθε σε ένα ανοικτό διάστημα που περιέχει το. 7

9 Σύνθεση συναρτήσεων Το Π.Ο. της f g αποτελείται από τα Α g, με g()α f και για κάθε Α f g ισχύει f g()=f(g()) Αντίστροφη συνάρτηση Αν μια συνάρτηση f είναι -, τότε ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση f - : έχει πεδίο ορισμού το σύνολο τιμών f (A) της f, έχει σύνολο τιμών το πεδίο ορισμού Α της f και ισχύει η ισοδυναμία: f () y f Ισχύουν: (y). f () y f (y),α και f(f - (y))=y,yf(α) Οι γραφικές παραστάσεις C και C των συναρτήσεων f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y που διχοτομεί τις γωνίες Oy και Oy 8

10 Το όριο και οι ιδιότητές του Είναι το πιο κοινό των λαθών να θεωρηθεί ότι το όριο της ισχύος της αντίληψής μας είναι επίσης το όριο όλων όσα υπάρχουν για να αντιληφθούμε. ( C.W. Leadbeater) Όριο συνάρτησης στο είναι η τιμή στην οποία «πλησιάζει» η συνάρτηση, όταν ο πλησιάζει στο. Η έκφραση «πλησιάζει» είναι αδόκιμη, αλλά σημαίνει ότι έχουμε πιο κοντινές τιμές από όποια τιμή κι αν σκεφτούμε, ενώ αδιαφορούμε για το ίδιο το. Φαντάσου ότι όριο είναι η τιμή που θα έπαιρνε η συνάρτηση, αν ο μπορούσε να φτάσει στο, στις περιπτώσεις που ο τύπος δεν το επιτρέπει. Στα πλευρικά όρια ο πλησιάζει το μόνο από αριστερά ή δεξιά του. Ισχύει: lim f (), αν και μόνο αν lim f () lim f () οι ιδιότητες των πράξεων των ορίων είναι προφανείς, θα κάνουμε απλώς κάποια πολύ σημαντικά σχόλια: Επειδή α) Για να εφαρμόσουμε έναν κανόνα πράξεως πρέπει να γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τα όρια των επιμέρους συναρτήσεων. β) Ένας κανόνας πράξεων μπορεί να οδηγεί σε απροσδιόριστη μορφή (,, ). Αυτό σημαίνει απλώς ότι δεν είχαμε το, δικαίωμα να χρησιμοποιήσουμε τον κανόνα της πράξης που εφαρμόσαμε. Το να γράψουμε «απροσδιοριστία» και να σταματήσουμε, είναι σαν να λέμε: «Να ένας τρόπος με τον οποίο δε λύνεται η άσκηση»! Τι κάνουμε λοιπόν; Μετασχηματίζουμε την παράσταση, ώστε να οδηγηθούμε σε ιδιότητα που μπορεί να εφαρμοστεί ή εφαρμόζουμε το θεώρημα De l Hospital. 9

11 γ) Μερικές μορφές δεν είναι απροσδιοριστίες παρ ότι θυμίζουν κάτι τέτοιο. Τέτοιες είναι οι μορφές και. Μετατρέπονται σε μορφές που υπολογίζονται με τους κανόνες των πράξεων, αν γράψουμε το f κλάσμα στη μορφή f g g

12 Όρια και ανισότητες α) Αν f()g() κοντά στο και υπάρχουν τα όρια των f, g στο, τότε θα ισχύει lim f () lim g() Σχόλια: Αν δε γνωρίζουμε ότι υπάρχουν τα όρια των f, g στο, δεν μπορούμε να εφαρμόσουμε το σχετικό τύπο. Έστω κι αν στην υπόθεση δεν έχουμε ίσον στο συμπέρασμα θα έχουμε, γατί μπορεί οι συναρτήσεις να είναι γνησίως άνισες, αλλά τα όριά τους να είναι ίσα! β) Πρόσημο ορίου και συνάρτησης (ΠΟΣ) Αν lim f () Αν lim f (), τότε f()> κοντά στο, τότε f () κοντά στο Σχόλια: Έχει πολύ μεγάλη χρησιμότητα. Μας βοηθάει να αποδείξουμε ότι το πρόσημο της συνάρτησης είναι σταθερό κοντά στο. Για παράδειγμα μπορούμε, όταν αναζητούμε όριο στο, να απαλλαγούμε από μια απόλυτη τιμή, αν το περιεχόμενό της έχει στο θετικό ή αρνητικό όριο. γ) Κριτήριο παρεμβολής Αν h() f () g() κοντά στο και lim h() lim g(), τότε lim f ( ). Σχόλια: Είναι το τελευταίο καταφύγιό μας, αν δε βλέπουμε άλλον τρόπο να βρούμε ένα όριο. Έχει αποφασιστική σημασία όταν αναζητούμε όριο γινομένου δυο συναρτήσεων από τις οποίες η μια(π.χ. f) έχει όριο μηδέν και η άλλη (π.χ. g) είναι φραγμένη κοντά

13 στο, δηλαδή παίρνει τιμές ανάμεσα σε δυο πραγματικούς αριθμούς. Συνήθως η φραγμένη είναι ένα ημίτονο ή συνημίτονο. Δες πώς εργαζόμαστε στο παράδειγμα: Να βρεθεί το lim( Αποδεικνύουμε ότι g()κ, οπότε f()g()κf() 3 ) 3 ημ 3 ημ 3 ημ 3+=4,άρα ( 3 ) 3 ημ = = ( 3 ) 3 ημ ( 3 ) 4 Εφαρμόζουμε την ιδιότητα των απόλυτων τιμών: θ-θθ Με θ=κf() Εφαρμόζουμε το Κριτήριο lim ( Kf ()) lim(kf ()) άρα lim f () Αν f η συνάρτηση της οποίας ζητάμε το όριο, θα είναι - ( 3 ) 4 f() 4( 3 ) lim 4( 3 ) και lim 4( 3 ) άρα, limf ()

14 Αλλαγή μεταβλητής (ΑΜ) lim f (g()) g() u uu lim u u lim f (u) υπάρχει το όριο του δεύτερου μέλους! Τα βήματα εφαρμογής είναι:. Επιλογή της ΑΜ. με την απαραίτητη προϋπόθεση ότι. Εύρεση του ορίου της που θα παίξει το ρόλο του u. 3. Εκφράζουμε τα υπόλοιπα συναρτήσει του u. Σχόλιο: Χρησιμοποιείται για να εμφανίσουμε ένα γνωστό από τη θεωρία ή την εκφώνηση όριο ή για να αλλάξουμε το ή για να απλουστεύσουμε απλώς τον τύπο της συνάρτησης. ημ συν Γνωστά όρια: lim, lim, και μην ξεχνάς ότι αν ξέρεις την παράγωγο μιας συνάρτησης στο είναι σαν να ξέρεις το όριο του λόγου μεταβολής της! Εύρεση ορίου στο. Πρώτη μας προσπάθεια όταν ζητάμε ένα όριο στο είναι να προσπαθήσουμε να εφαρμόσουμε τους κανόνες των πράξεων. Αυτό δεν είναι εφικτό στις περιπτώσεις που προκύπτει απροσδιόριστη μορφή ή που κάποιο από τα επιμέρους όρια δεν υπάρχει. Τότε προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε την παράσταση με σκοπό να προκύψει νέα στην οποία να εφαρμόζονται οι κανόνες των πράξεων ή εφαρμόζουμε τους κανόνες De L Hospital. Πάντα είναι πιθανό το όριο να βρίσκεται αν εμφανίσουμε ένα άλλο, γνωστό, όριο με ή χωρίς ΑΜ. 3

15 4 Οι κυριότερες μορφές. α) Με κανόνες De L Hospital β) Με απλοποίηση του παράγοντα που μηδενίζεται σε παρονομαστή και αριθμητή. γ) Με αναγωγή σε γνωστό όριο. Στην προσπάθεια β) πιθανώς να μας δυσκολεύουν ρίζες ή απόλυτες τιμές. Για να απαλλαγούμε από τις ρίζες (Προσοχή: μόνο αν υπάρχει λόγος να απαλλαγούμε απ αυτές και όχι αμέσως μόλις δούμε ρίζες), πολλαπλασιάζουμε με τη συζυγή παράσταση ή (είναι ουσιαστικά το ίδιο) χρησιμοποιούμε τους τύπους: B A B A B A B A B A B A 3 3 B AB A B A B A 3 3 B AB A B A B A ν ν ν ν ν B... B A A B A B A Για να απαλλαγούμε από τις απόλυτες τιμές: Ή επιλέγουμε κατάλληλο διάστημα εργασίας ή εντοπίζουμε τι πρόσημο έχουν τα περιεχόμενα κοντά στο π.χ. με το ΠΟΣ.

16 . α Στηρίζεται στους εξής κανόνες:,αν f () κοντά στο lim,αν f () κοντά στο f () Δεν υπάρχει, αν η f αλλάζει πρόσημο «πράξεις» με το που είναι προφανείς: και στις Για το λόγο αυτό στόχος κατά κανόνα είναι να γράφουμε τη συνάρτηση σε μορφή γινομένου επί μια συνάρτηση που έχει f () θετικό ή αρνητικό όριο (που δε θα μηδενίζεται ο παρονομαστής). f α> α< α> α< g fg Απρ Απρ f α α - - g f+g - - Απρ. Απρ. Πάντως, αν ξέρουμε το πρόσημο της συνάρτησης κοντά στο, η απάντηση είναι άμεση: + ή -. 5

17 Όριο στο άπειρο Βασική ιδιότητα: lim f () Βασικά όρια: lim,αν n n lim α, αν α, Άλλα σημαντικά όρια: lim α, αν αν α,,αν lim f () lim α lim α, αν α, α lim ln, lim ln Βασική ιδέα: Εφόσον με τις ιδιότητες των ορίων προκύπτει απροδιοριστία, πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε τη συνάρτηση ή τον αριθμητή και τον παρονομαστή της, ώστε οι διαιρέσεις να δίνουν μόνο σταθερές και μηδενικές συναρτήσεις και να μένει εκκρεμότητα μόνο μεταξύ των όρων με τους οποίους έχουμε πολλαπλασιάσει. Πιο συγκεκριμένα: Στις ρητές και άρρητες παραστάσεις με πολυώνυμα πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με το μεγιστοβάθμιο. Π.χ. lim 3 lim ( ) 3 ( ) 6

18 ( ) lim 3 ( ) ( ) lim 3 ( ) ( ) ( ) lim ( 3 ( ) ) Όταν έχουμε εκθετικούς όρους και πολλαπλασιάζουμε και διαιρούμε με τους «μεγιστοβάσιους» εκθετικούς όρους. π.χ. lim ( 3 ) lim 3 ( 3 ) Σε περίπτωση που και αυτό το τέχνασμα οδηγεί σε απροσδιοριστία, εκτελούμε άλλα τεχνάσματα, με κυριότερο, όταν έχουμε ρίζες, τον πολλαπλασιασμό με συζυγή παράσταση. Δίνεται ένα όριο και ζητάμε ένα άλλο όριο (σε ασκήσεις που περιέχουν συναρτήσεις των οποίων δε δίνεται ο τύπος) Αν στο δεδομένο και στο ζητούμενο όριο οι άγνωστες συναρτήσεις έχουν το ίδιο όρισμα () και ίδια, τότε στο ζητούμενο όριο προσπαθούμε να εμφανίσουμε το δεδομένο με τα τέχνασμα της προσθαφαίρεσης και του πολλαπλασιασμού ή διαίρεσης. Ακόμη μπορούμε να ονομάσουμε π.χ. g() τη συνάρτηση της οποίας δίνεται 7

19 το όριο, να λύσουμε ως προς την άγνωστη συνάρτηση και να αντικαταστήσουμε στο ζητούμενο όριο. Αν όμως σε ζητούμενο - δεδομένο όριο έχουμε διαφορές στο όρισμα ή στο κάνουμε Αλλαγή Μεταβλητής. Αξίζει να σημειωθεί ότι αν lim f () g() lim f () lim l και lim g() αποδεικνύουμε : f () g() g() l Συνέχεια συνάρτησης f συνεχής στο εφόσον lim f () f ( ) f συνεχής σε σύνολο Α εφόσον είναι συνεχής σε κάθε σημείο του Α. Δεδομένου ότι οι πράξεις συνεχών συναρτήσεων, οι απόλυτες τιμές συνεχών συναρτήσεων, οι ρίζες συνεχών συναρτήσεων, η σύνθεση συνεχών συναρτήσεων και όλες οι βασικές γνωστές συναρτήσεις που υπάρχουν στη σχολική ύλη (πολυωνυμικές, τριγωνομετρικές, εκθετικές λογαριθμικές) είναι συνεχείς όπου ορίζονται, άξια ελέγχου ως προς τη συνέχεια είναι τα σημεία αλλαγής τύπου μιας συνάρτησης και οι συναρτήσεις των οποίων δε δίνεται ο τύπος. 8

20 Θεωρήματα συνεχών συναρτήσεων:. Θεώρημα Bolzano Αν f συνεχής στο [ α,β] και f (α) f (β), τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (α,β) τέτοιο, ώστε f ().. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ και δε μηδενίζεται σ αυτό, τότε διατηρεί σταθερό πρόσημο στο διάστημα Δ. 3. Θεώρημα Ενδιάμεσης Τιμής Αν f συνεχής στο [ α,β] και f (α) f (β) τότε, για κάθε αριθμό η μεταξύ των f (α) και f (β) υπάρχει ένας, τουλάχιστον (α,β) τέτοιος, ώστε f ( ) η 4. Η εικόνα f (Δ) ενός διαστήματος Δ μέσω μιας συνεχούς και μη σταθερής συνάρτησης f είναι διάστημα. 5. Αν f είναι συνεχής συνάρτηση στο [ α,β], τότε η f παίρνει στο [ α,β] μια μέγιστη τιμή Μ και μια ελάχιστη τιμή m 6. Το σύνολο τιμών μιας συνεχούς και μονότονης συνάρτησης σε διάστημα Δ βρίσκεται σύμφωνα με τον πίνακα: Δ [α,β] (α,β) [α,β) (α,β] αύξο υσα φθίν ουσα [f(α),f(β)] (Α,Β) [f(α),β) (Α,f(β)] [f(β),f(α)] (Β,Α) (Β,f(α)] [f(β),α) 9

21 όπου Α= lim f (), Β= lim f () α β (Για εύκολη απομνημόνευση παρατήρησε ότι από την πλευρά των Α,Β έχουμε ανοικτό και ότι στη φθίνουσα αντιστρέφεται η διάταξη των άκρων.)

22 Παράγωγος Λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο του Π.Ο. και συμβολίζουμε f ( ) την παράγωγό της στο σημείο αυτό το f () f ( ) f ( ) lim εφόσον υπάρχει και είναι πραγματικός αριθμός. Ισχύει στην περίπτωση αυτή ότι f ( f ( h) f () ) lim h h Προσοχή: Αν f παραγωγίσιμη, τότε είναι και συνεχής, αλλά το αντίστροφο δεν ισχύει. Η παράγωγος στο ισούται με το συντελεστή διεύθυνσης της εφαπτομένης του διαγράμματος στο σημείο (,f( )), ενώ η φυσική της ερμηνεία είναι ότι παριστάνει το «ρυθμό μεταβολής» του μεγέθους y=f() ως προς το μέγεθος, όταν =. Όταν μια f είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο ενός διαστήματος Δ λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη στο Δ ορίζοντας έτσι την παράγωγο (συνάρτηση) που συμβολίζεται f.

23 ( c) ( ) ρ ( ) ρ ρ ( ) ( ημ) συν ( συν) ημ (εφ) = συν (σφ) = ημ ( e ) e (α ) = α lnα ( n) ( cf ()) cf () ( f () g()) f () g() ( f ()g()) f ()g() f ()g() f () f ()g() f ()g() g() (g()) f (g()) f (g()) g() Θεώρημα Rolle Αν μια συνάρτηση f είναι: συνεχής στο κλειστό διάστημα [ α, β] παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (, ) και f ( ) f ( ) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε: f ( )

24 Θεώρημα Μέσης Τιμής (ΘΜΤ) Αν μια συνάρτηση f είναι: ορισμένη στο [α,β] συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και παραγωγίσιμη στο ανοικτό διάστημα (α,β) f (β) f (α) τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, ξ τέτοιο, ώστε: f (ξ) β α Συνέπειες ΘΜΤ Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. ) Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f ( ) για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι σταθερή σε όλο το διάστημα Δ. ) Αν οι f,g είναι συνεχείς στο Δ και f () g() για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f=g+c στο διάστημα Δ. 3) Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ. 4) Αν η f είναι συνεχής στο Δ και f () για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα Δ Ο πίνακας προσήμου της παραγώγου της συνάρτησης μας βοηθάει να κατασκευάσουμε τον πίνακα μονοτονίας της. ΘΕΩΡΗΜΑ (Fermat) Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σ ένα διάστημα Δ και ένα εσωτερικό σημείο του Δ. Αν η f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο και είναι παραγωγίσιμη στο σημείο αυτό, τότε: f ( )= Σχόλια: Οι πιθανές θέσεις των τοπικών ακροτάτων μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: 3

25 . Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η παράγωγος της f μηδενίζεται.. Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται. 3. Τα άκρα του Δ (αν ανήκουν στο πεδίο ορισμού της). Τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f δεν παραγωγίζεται ή η παράγωγός της είναι ίση με το μηδέν, λέγονται κρίσιμα σημεία της f στο διάστημα Δ. Σημαντική εφαρμογή: Αν δίνεται μια ανισότητα που μπορεί να πάρει τη μορφή f() κ για κάθε Δ, f παραγωγίσιμη, και ο κ μπορεί να γραφτεί ως f(ξ) με ξ στο εσωτερικό του Δ, τότε f (ξ)= Ο εντοπισμός των τοπικών ακροτάτων γίνεται εύκολα από τον πίνακα μονοτονίας της συνάρτησης. Αρκεί να προσθέσουμε στον πίνακα τις ρίζες της f ή τις ακραίες τιμές όριά της Για παράδειγμα στον πίνακα - ½ + f() - + f() Πρόσημο f Απλώς «παρακολουθήστε» την «πορεία» της f από τα βέλη της μονοτονίας και τη θέση του ως προς αυτά! Σε κάποιες περιπτώσεις μας βοηθάει το εξής: ΘΕΩΡΗΜΑ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (, ) και ένα σημείο του (, ) στο οποίο η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη. Αν f ( ) και f ( ), τότε το f ( ) είναι τοπικό μέγιστο. 4

26 Αν f ( ) και f ( ), τότε το f ( ) είναι τοπικό ελάχιστο. Κοίλα και σημεία καμπής Έστω μία συνάρτηση f συνεχής σ ένα διάστημα Δ και παραγωγίσιμη στο εσωτερικό του Δ. Θα λέμε ότι: Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα άνω ή είναι κυρτή στο Δ, αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο εσωτερικό του Δ. Η συνάρτηση f στρέφει τα κοίλα προς τα κάτω ή είναι κοίλη στο Δ, αν η f είναι γνησίως φθίνουσα στο εσωτερικό του Δ. Ο Πίνακας προσήμου της δεύτερης παραγώγου μας βοηθάει να βρούμε τα κοίλα της συνάρτησης. ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη σ ένα διάστημα ( α, β), με εξαίρεση ίσως ένα σημείο του. Αν η f είναι κυρτή στο ( α, ) και κοίλη στο (, β), ή αντιστρόφως, και η C f έχει εφαπτομένη στο σημείο A(,f ( )), τότε το σημείο A(,f ( )) ονομάζεται σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f. ΘΕΩΡΗΜΑ Αν το A(,f ( )) είναι σημείο καμπής της γραφικής παράστασης της f και η f είναι δυο φορές παραγωγίσιμη, τότε f ( ). 5

27 Όπως στην περίπτωση του θεωρήματος Fermat, δεν ισχύει αντίστροφα. Η δεύτερη παράγωγος μηδενίζεται και σε σημεία στα οποία δεν παρουσιάζει καμπή η συνάρτηση. Οι πιθανές θέσεις σημείων καμπής μιας συνάρτησης f σ ένα διάστημα Δ είναι: i) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία η f μηδενίζεται, και ii) τα εσωτερικά σημεία του Δ στα οποία δεν υπάρχει η f Ο πίνακας μεταβολών της συνάρτησης μας βοηθάει να εντοπίσουμε και τα σημεία καμπής εκεί που αλλάζουν τα κοίλα της συνάρτησης. Ασύμπτωτες. Αν ένα τουλάχιστον από τα όρια lim f (), lim f () είναι ή, τότε η ευθεία λέγεται κατακόρυφη ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f.. Αν lim f () (αντιστοίχως lim f () ), τότε η ευθεία y λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο (αντιστοίχως στο ). 3. Η ευθεία y λέγεται ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, αντιστοίχως στο, αν αντιστοίχως lim [ f ( ) ( λ β)], lim [ f ( ) ( λ β)]. 6

28 Η ευθεία y είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο, αντιστοίχως στο, αν και μόνο αν f () lim! και αντιστοίχως f () lim! και Όρια - συμπλήρωση. Κανόνες de l Hospital lim [f () λ] β!, lim [f () λ] β!., f () f () lim lim,, g() g () με την προϋπόθεση ότι υπάρχει το όριο του δεύτερου μέλους.. Η μορφή ( ) γίνεται μορφή de l Hospital αν γράψουμε το fg σε f μορφή g 3. Τα όρια συναρτήσεων της μορφής f g υπολογίζονται με τη βοήθεια του τύπου: f g =e glnf 7

29 Ολοκληρώματα ΑΟΡΙΣΤΟ f ()d F() c όπου F ΟΡΙΣΜΕΝΟ f ()d μια παράγουσα (αρχική) της f σε διάστημα Δ και c σταθερά. α F μια παράγουσα της f που μπορεί να εντοπιστεί και από το αόριστο ολοκλήρωμα. Συνάρτηση Παράγουσα Συνάρτηση Παράγουσα c α,α - α α ln β 8 β F() F(β) F(α) ημ -συν συν ημ συν εφ ημ α -σφ e e α α ln α f ()d f () c β α f ()d f (β) f (α) f ()d f ()d f ()d f ()d ( ( ) g( )) d f ( ) d f g( ) d (f() g())d f()d g()d

30 9 f ()d, f ()d f ()d f ()d f ()d f ()d Παραγοντική Ολοκλήρωση f()g()d f()g() f ()g()d f()g()d [f()g()] f ()g()d Αλλαγή Μεταβλητής u f (g())g ()d f (u)du, f (g())g ()d f (u)du u u=g(), du=g ()d u,u οι αντίστοιχες στα α,β τιμές της g. Βασικές ιδέες:. Όταν ένας παράγοντας είναι αριθμητικό πολλαπλάσιο ενός άλλου παράγοντα, δοκιμάζουμε να θέσουμε u αυτόν τον άλλον παράγοντα. Π.χ. e d Παρατηρούμε ότι... οπότε u θέτοντας =u, έχουμε e du e c. Όταν έχουμε γινόμενο μιας τριγωνομετρικής ή μιας εκθετικής ή μιας λογαριθμικής συνάρτησης επί άλλη συνάρτηση κατά κανόνα εφαρμόζουμε παραγοντική ολοκλήρωση. Εξαίρεση έχουμε όταν ικανοποιείται η προηγούμενη προϋπόθεση. 3. Στα ολοκληρώματα με ρίζες συνήθως θέτουμε στην αλλαγή μεταβλητής τη ρίζα =u. Όμως όταν η υπόρριζη ποσότητα είναι της μορφής α - (σε ορισμένο u ολοκλήρωμα) θέτουμε =ασυνu, u(,π). π/ Π.χ. 4 d θέτοντας =συνu, u(,π) έχουμε d=-ημudu, νέα άκρα,π/ κι επειδή 4-4συν u=4ημ u το

31 ολοκλήρωμα γίνεται: π 4ημ udu = κ.τ.λ. 4. Στα ορισμένα ολοκληρώματα με παρονομαστή +α η ΑΜ π π =αεφu, u, είναι συχνά καταλυτική. 3 π π Π.χ. d Θέτουμε u=3εφ,,, τα άκρα γίνονται 9 και, ενώ d=3(+εφ u)du και το ολοκλήρωμα γίνεται: ( εφ u)du 9 9εφu 9 5. Στα ολοκληρώματα γινομένου με μόνους παράγοντες ημ, συν, εφόσον ένας από τους δύο τριγωνομετρικούς παράγοντες έχει περιττό εκθέτη ονομάζουμε u τον άλλο. συν Π.χ. d Επειδή το ημ έχει περιττό εκθέτη, θέτουμε u=συν. ημ Τότε du=-ημd. Το du εμφανίζεται με πολλαπλασιασμό και διαίρεση με -ημ: συν ( ημ)d Μένει να εκφραστούν όλα συναρτήσει του u, ημ αλλά αυτό είναι απλό, αφού ημ =-συν =-u. 6. Στα ολοκληρώματα γινομένου με μόνους παράγοντες ημ, συν, εφόσον και οι δύο έχουν άρτιους εκθέτες, χρησιμοποιούμε τους συνα συνα τύπους ημ α, συν α, ημασυνα=/ ημα Επίσης, επειδή εφ (εφ), μπορεί να χρησιμοποιηθεί συν η ΑΜ: u=εφ. 3

32 Ολοκλήρωμα και ανισότητες α β f ( ) d (Προσοχή: α<β!) εφόσον η f είναι μη αρνητική και δεν είναι παντού στο διάστημα [α,β] Άμεσα προκύπτει ότι αν f() g() για κάθε στο [α,β] χωρίς οι δύο συναρτήσεις να είναι ίσες στο [α,β], τότε η f=g ικανοποιεί τις β β υποθέσεις του θεωρήματος, άρα: f ()d g()d α α Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής στο [, ], τότε υπάρχει ένα, τουλάχιστον, (, ) τέτοιο, ώστε Ο αριθμός f ()d f ( )( ) f ()d f ( ) λέγεται μέση τιμή της συνάρτησης f στο [, ] και συμβολίζεται με f Συνάρτηση οριζόμενη από ολοκλήρωμα Η συνάρτηση της f στο Δ, δηλαδή: f (t)dt f () a α F() f ( t) dt, Δ (διάστημα) είναι μια παράγουσα Σχόλια:. Το α είναι σταθερά και για το ολοκλήρωμα και για το αποτέλεσμα, δηλαδή για τη συνάρτηση F. To για μεν το ολοκλήρωμα είναι σταθερά, για δε το αποτέλεσμα, δηλ. την F είναι ανεξάρτητη μεταβλητή. 3

33 Τέλος το t για μεν το ολοκλήρωμα είναι η μεταβλητή ολοκλήρωσης, για δε το αποτέλεσμα, απλώς δεν υπάρχει!. g() f (t)dt a f (g())g () 3. a a 4. f (t)dt f (t)dt f () g() g() h () h( ) f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (g())g () g(h())h () Ιδιαίτερη προσοχή απαιτείται όταν μέσα στο ολοκλήρωμα περιέχεται η μεταβλητή παραγώγισης. Δεν μπορούμε να παραγωγίσουμε αν δεν πετύχουμε να «βγει» το από το ολοκλήρωμα. Αυτό είναι σχετικά απλό όταν το δεν περιέχεται σε σύνθετη συνάρτηση, αφού το είναι για το ολοκλήρωμα σταθερά. Προσοχή όμως: Στη φάση της παραγώγισης και το ολοκλήρωμα και το είναι συναρτήσεις πλέον, οπότε θα χρειαστούν οι ιδιότητες παραγώγισης των πράξεων. Π.χ. f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt f (t)dt +f() Όταν όμως το περιέχεται σε σύνθετη συνάρτηση (μαζί με το t) πρέπει να κάνουμε Αλλαγή Μεταβλητής: 3

34 F()= F()= α α Εμβαδά f (t)dt, >α> u=t, du=dt f (t) dt α t u α α f (u) du, άρα F ()= f (u)du α = Το Εμβαδόν του χωρίου Ω που περιέχεται ανάμεσα στον άξονα, τη γρ. παρ. της (συνεχούς) f και τις ευθείες =α, =β (α<β) είναι: E(Ω) β α f () d Το Εμβαδόν του χωρίου Ω που περιέχεται ανάμεσα στις γρ. παρ. των (συνεχών) f,g και τις ευθείες =α, =β (α<β) είναι: E(Ω) β α f () g() d Για πιο σύνθετες περιπτώσεις χρειάζεται πρόχειρη γραφική παράσταση στην οποία αρκεί να φαίνονται τα κοινά σημεία των διάφορων γραμμών, καθώς και το ποια συνάρτηση είναι μεγαλύτερη ανάμεσα στα κοινά αυτά σημεία. 33

35 β Ε= [h() f ()]d [g() f ()]d α γ β 34

36 Μερικά σημαντικά είδη ασκήσεων εφ όλης της ύλης Θα παρουσιάσουμε τους τρόπους σκέψης για αντιμετώπιση μερικών δύσκολων θεμάτων. Για να «κυνηγήσουμε» το τέταρτο ζήτημα, τα παραδείγματα θα είναι δύσκολα.. Να λυθεί η εξίσωση. Για παράδειγμα να λυθούν οι εξισώσεις:. f (t)dt, f συνάρτηση συνεχής στο και. 4 =4, >e η μέθοδος Σχηματίζουμε (βοηθητική) συνάρτηση φ οι ρίζες της οποίας να συμπίπτουν με τις ρίζες της εξίσωσης. Μελετάμε τη συνάρτηση φ ως προς τη μονοτονία για να βρούμε το πλήθος των ριζών της. Μαντεύουμε τόσες ρίζες όσες υπολογίσαμε ότι Η εξίσωση γράφεται: f (t)dt ( ) φ()= 35, οπότε η συνάρτηση: f (t)dt ( ) έχει ίδιες ρίζες με την εξίσωση. φ()=f ()+=[f ()+] - + φ() - + φ() Η φ έχει το πολύ δύο ρίζες Η «μαντεψιά» δεν είναι τελείως τυφλή. Ο «πολυπλοκότερος» προσθετέος, δηλαδή το ολοκλήρωμα, μηδενίζεται όταν τα άκρα του γίνουν

37 έχει η συνάρτηση. ίσα. Αυτό συμβαίνει όταν = ή =-. Εύκολα πλέον παρατηρούμε ότι φ(-)=φ()=, άρα οι ρίζες της εξίσωσης είναι ± η μέθοδος Προσπαθούμε να φέρουμε τα δύο μέλη σε μορφή «τιμών» της ίδιας συνάρτησης, μιας συνάρτησης που εμείς θα δημιουργήσουμε. Μελετάμε την f με την ελπίδα να είναι «-» (π.χ. γν. αύξουσα, ή φθίνουσα), οπότε απλουστεύουμε την εξίσωση ή βρίσκουμε αμέσως τη λύση. 4 =4 ln ln 4 4ln=ln4 4 f()=f(4), αν θεωρήσουμε συνάρτηση f με f()= ln,>e ln f () και προφανώς για >e είναι αρνητική, άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα οπότε =4 είναι η λύση της εξίσωσης.. Να λυθεί η ανίσωση Οι τρόποι είναι ανάλογοι με των εξισώσεων. Ή βρίσκουμε συνάρτηση από το πρόσημο της οποίας προκύπτει η λύση της ανίσωσης ή φέρουμε την ανίσωση σε μορφή f(φ())>f(σ()) από τη μονοτονία της οποίας απλουστεύεται η ανίσωση. Για παράδειγμα η ανίσωση 4 >4, >e ανάγεται στην f()>f(4) που επειδή είναι γνησίως φθίνουσα ισοδυναμεί με την <4 και λόγω του περιορισμού τελικά e<<4. Έστω τώρα ότι θέλουμε να επιλύσουμε την ανίσωση: e e Η αντίστοιχη συνάρτηση f () e ( e) έχει παράγωγο f () ( )(e ) με πίνακα προσήμων: - ½ + f() - + f() 36

38 Αν και γενικά ο εντοπισμός του προσήμου επιβάλλει να βρούμε την τιμή της f στο ½ και τα όριά της στο, αρκεί πάντως να εντοπίσουμε ρίζες της στα διαστήματα μονοτονίας. Δοκιμάζοντας τους κοντινότερους στο ½ ακέραιους και βρίσκουμε f()==f() - ½ + f() - + f() Γίνεται από τον πίνακα φανερό ότι η συνάρτηση είναι αρνητική στο διάστημα (,+ ) που είναι η λύση της ανίσωσης. 3. Απόδειξη ανισότητας: α) Με εφαρμογή του ΘΜΤ β) Με εύρεση του προσήμου της συνάρτησης γ) Όπως στον ο τρόπο της επίλυσης ανίσωσης. 4. Να βρεθεί μια συνάρτηση από κάποια δεδομένα Μορφή εκφώνησης Μέθοδος αντιμετώπισης Δίνεται ισότητα συναρτήσεων Φέρνω την ισότητα σε μορφή στις οποίες περιλαμβάνεται η (...)'= ή (...)'=(...)' και παράγωγος της ζητούμενης: α. εφαρμόζω τις συνέπειες του Θ.Μ.Τ., Αν η συνάρτηση βρίσκεται μέσα σε τότε παραγωγίζουμε ολοκλήρωμα με μεταβλητό άκρο Αν η συνάρτηση βρίσκεται μέσα σε τότε υπολογίζουμε το ολοκλήρωμα ολοκλήρωμα με σταθερά άκρα, Αν η συνάρτηση βρίσκεται μέσα σε ολοκλήρωμα με σταθερά άκρα, αλλά μέσα στη συνάρτηση περιέχεται κι άλλη μεταβλητή εκτός από τη μεταβλητή ολοκλήρωσης Δίνονται ή βρίσκονται (λύνοντας ως προς τη συνάρτηση) όλες οι τιμές εκτός μίας 37 με αλλαγή μεταβλητής εμφανίζουμε ολοκλήρωμα με μεταβλητό άκρο και παραγωγίζουμε Μήπως είναι συνεχής; Η τιμή της ισούται με το όριο της. Μήπως εφαρμόζοντας κάποια δεδομένη ισότητα για κατάλληλη

39 Θ. Bolzano για την ίδια τη συνάρτηση Θ. Rolle για μια παράγουσά της Σύνολο τιμών ή γενικότερα μελέτη μονοτονίας Θ.Μ.Τ. ολοκληρωτικού λογισμού. 38 τιμή προκύπτει έμμεσα η ζητούμενη τιμή; 5. τουλάχιστον ρίζα σε ένα διάστημα Προσοχή: Επιλογή διαστήματος: Δεν αποκλείεται τα άκρα του να προκύπτουν από προηγούμενη εφαρμογή κάποιου υπαρξιακού θεωρήματος (Rolle, Bolzano, ΘΜΤ) Επιλογή συνάρτησης: Ίσως να είναι συνάρτηση οριζόμενη από ολοκλήρωμα! 6. το πολύ ρίζα σε ένα διάστημα Μελέτη μονοτονίας: Η γνησίως μονότονη συνάρτηση έχει το πολύ ρίζα. Με άτοπο με τη βοήθεια του Θ. Rolle 7. Προβλήματα πραγματικών καταστάσεων Όταν αντιμετωπίζουμε πρόβλημα που αναφέρεται σε πραγματικές καταστάσεις, πρώτη προσπάθεια είναι να εκφράσουμε τα μεταβλητά μεγέθη του προβλήματος συναρτήσει μίας μόνο μεταβλητής. Αυτό συνήθως επιτυγχάνεται αν ονομάσουμε όλα τα μεταβλητά του προβλήματος, εκφράσουμε το ζητούμενο συναρτήσει αυτών και από τα δεδομένα απαλείψουμε όλες τις μεταβλητές πλην μιας. Αν αυτό δεν είναι εφικτό, αρκούμαστε σε συναρτησιακή ισότητα που περιέχει το μέγεθος που μελετάμε και άλλα μεγέθη για τα οποία γνωρίζουμε όλα τα απαραίτητα στοιχεία (το ρυθμό μεταβολής τους ή τις τιμές που παίρνουν στις συνθήκες του προβλήματος) Τότε για να βρούμε τη μέγιστη ή ελάχιστη τιμή που παίρνει κάποιο μέγεθος, αρκεί να μελετήσουμε την αντίστοιχη συνάρτηση. Για να βρούμε το ρυθμό μεταβολής ενός μεγέθους βρίσκουμε την παράγωγο του Αν δίνεται ο ρυθμός μεταβολής ενός μεγέθους ως συνάρτηση (Q(), τότε με τον τύπο f () f ( ) Q(t)dt βρίσκουμε όποια τιμή του μεγέθους ζητάμε.