έτος 200 τεύχη 01-4 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός

Transcript

1 Κώστας Δόρτσιος Μαθηματικός Ξεκίνησε να δημοσιεύεται κάθε Τετάρτη στην Εφημερίδα ''Γραμμή '' της Κοζάνης το 006 καθ όλη τη διάρκεια του έτους. Ένα μεγάλο μέρος της έχει φιλοξενηθεί στην ιστοσελίδα του Παραρτήματος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Κοζάνης, η οποία για αντικειμενικούς λόγους πλέον δεν λειτουργεί. Στην συνέχεια την φιλοξένησε το ηλεκτρονικό περιοδικό ''Όπερ Έδει Δείξαι'' των Γιάννη Απλακίδη και Νίκο Ζανταρίδη, επειδή η διεύθυνσή του ''πιστεύει ότι παρουσιάζει ενδιαφέρον για κάθε ένα που ασχολείται με τα Μαθηματικά καθώς και με την Ιστορία των Μαθηματικών''. Φιλοξενεί ασκήσεις και γενικότερα ιδέες από αξιόλογους συναδέλφους μαθηματικούς καθώς και επιλεγμένες ασκήσεις από την ελληνική και ξένη βιβλιογραφία. επικοινωνίας έτος 00 τεύχη 01-4

2 Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 8 Φεβρουαρίου 006 1/ Η Στήλη των μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ.Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:1 ο Γενικά Όπως ανακοινώθηκε από την περασμένη Τετάρτη από τον πρόεδρο του Παραρτήματος της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας (Ε.Μ.Ε.) κ. Σάββα Αμαραντίδη, Μαθηματικό και Δ/ντή του ου Ενιαίου Λυκείου της Κοζάνης, η στήλη αυτή θα φιλοξενεί απόψεις και προτάσεις, που έχουν σχέση με τα Μαθηματικά, καθώς επίσης θα ενημερώνει τους αναγνώστες για ό,τι έχει σχέση με το Πανελλήνιο Συνέδριο της Ε.Μ.Ε. το οποίο, όπως ανακοινώθηκε, θα πραγματοποιηθεί στην Δυτική Μακεδονία και συγκεκριμένα στην πόλη της Κοζάνης. Η διαδρομή μέχρι το Νοέμβριο του 007 είναι μακρά και επίπονη για όσους θα εργαστούν και θα αναλώσουν δυνάμεις και χρόνο. Ελπίζουμε στην προσπάθεια αυτή να συστρατευθούν συνάδελφοι μαθηματικοί αλλά και όσοι αγαπούν τα Μαθηματικά, ώστε να προκύψει το καλύτερο αποτέλεσμα. Πράγματι, το Νοέμβριο του 007, «η καρδιά όλης της Μαθηματικής οικογένειας της χώρας μας θα χτυπά στην Κοζάνη». Από ένα τέτοιο γεγονός είναι φανερό ότι προκύπτουν πάρα πολλά στοιχεία που θα ωφελήσουν όχι μόνο αυτούς που θα συμμετάσχουν ως σύνεδροι αλλά και την τοπική κοινωνία. Το 4ο Συνέδριο ελπίζουμε να αποτελέσει ένα γεγονός το οποίο θα προβάλει τον τόπο και θα αφήσει τα ίχνη του στην συνολική πορεία της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Θα είναι μια επιστημονική συνάντηση και ένας μαθηματικός διάλογος, μια συζήτηση πάνω σε σύγχρονους προβληματισμούς για την διδασκαλία, τη μύηση και γενικά τη μάθηση των Μαθηματικών. Τέλος, θα είναι και ένα μεγάλο κοινωνικό, πολιτιστικό και οικονομικό γεγονός. Η σπουδαιότητα εκτιμάται και από το ενδιαφέρον το οποίο δείχνουν πολλές περιοχές της χώρας μας για την ανάληψη και πραγματοποίησή του. Η ταυτότητα και το έργο της Ε.Μ.Ε. Η Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία ιδρύθηκε το έτος Από την εποχή εκείνη μέχρι και σήμερα έχει προσφέρει πάρα πολλά στον τομέα της ανάπτυξης των Μαθηματικών ως επιστήμη, αλλά και στον τομέα της διδακτικής και της αφύπνισης του ενδιαφέροντος των μαθητών όλης της χώρας για τα Μαθηματικά. Σε όλη της την πορεία η Ε.Μ.Ε. δεν αποτέλεσε μια κλειστή και ελιτίστικη ομάδα αλλά εξακτίνωσε με τον καλύτερο τρόπο τη δράση της μέχρι και το πιο επαρχιακό σχολείο. Θα θυμούνται ίσως οι περισσότεροι, τα διάφορα περιοδικά της Εταιρείας που σε κάποιους καιρούς, για τους περισσότερους ήταν οι μοναδικές πηγές άντλησης μαθηματικής παιδείας και αυτό, γιατί σε πολλά Γυμνάσια(εξατάξια), κυρίως στην επαρχία υπήρχε ουσιαστικά έλλειψη καθηγητών για να διδάξουν Αριθμητική, Άλγεβρα ή Γεωμετρία. Αλλά και σήμερα με τον ίδιο τρόπο και μάλιστα πολύ πιο σύγχρονο η Ε.Μ.Ε. αγωνίζεται με ένα πλούσιο εκδοτικό έργο να ενθαρρύνει και να προωθήσει μεταξύ των μαθητών τη μαθηματική σκέψη, η οποία θεωρείται από την εποχή του Πλάτωνα, σαν το θεμέλιο πάνω στο οποίο μπορεί να οικοδομηθεί οποιαδήποτε άλλη επιστήμη.

3 Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 8 Φεβρουαρίου 006 / Οι διαγωνισμοί που ακούραστα πραγματοποιεί κάθε χρόνο έχουν επιτύχει όχι μόνο την άμιλλα μεταξύ των μαθητών, αλλά έχουν αναδείξει και τις ιδιαίτερες ικανότητες και κλίσεις των μαθητών, πάντα με θετικό αποτέλεσμα. Πρόσφατα η Ε.Μ.Ε. διοργάνωσε την λεγόμενη Διεθνή Μαθηματική Ολυμπιάδα και μάλιστα με μεγάλη επιτυχία. Συγκεκριμένα τον Ιούλιο του 004 πραγματοποιήθηκε στην Αθήνα η Δ.Μ.Ο. στην οποία συμμετείχαν 85 χώρες από όλο τον κόσμο και στην οποία διακρίθηκαν, όπως άλλωστε και σε άλλες παρόμοιες εκδηλώσεις, και μαθητές από τη χώρα μας. Επίσης το παράρτημα της Ε.Μ.Ε. της γειτονικής μας πόλης, της Βέροιας, διοργάνωσε την Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα νέων στην οποία συμμετείχαν νέοι από όλες τις χώρες της Βαλκανικής και του Καζακτστάν(εκτός συναγωνισμού). Όλα αυτά είναι στοιχεία που πάντα έχουν στόχο την βελτίωση των σχέσεων με τους νέους, τους μαθητές και γενικότερα αυτούς που ασχολούνται με τα μαθηματικά. Ελπίδα μας και όνειρο αποτελεί η σωστή πραγματοποίηση του 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου και στην πορεία προς αυτό καλούμε όλους εκείνους που τους αγγίζει παρόμοιο όραμα. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Από τη στήλη αυτή θα γράφουμε και κάτι που μπορεί να έχει και ειδικότερο ενδιαφέρον με τα σχολικά Μαθηματικά και όχι μόνο. Όσοι λύνουν αυτές τις προκλήσεις μπορούν να τις στέλνουν στην διεύθυνση: Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr Ας ξεκινήσουμε λοιπόν με τις τρεις επόμενες ασκήσεις προκλήσεις. 1. Για να μαζέψει λίγα χρήματα ένας σύλλογος αποφάσισε να πουλήσει βασιλόπιτες. Αγοράζει 100 βασιλόπιτες προς 3 ευρώ την καθεμία και τις μεταπωλεί σε πακέτα που περιέχουν 1,, ή 3 βασιλόπιτες με τιμή 5, 9, και 13 ευρώ αντίστοιχα. Γνωρίζοντας ότι πούλησε όλες τις βασιλόπιτες σε 67 πακέτα, μπορείτε να βρείτε το κέρδος αυτής της πώλησης;. Παρατηρείστε ότι: 15+1=4, =34, =334 κλπ. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι ο αριθμός : Α= είναι τέλειο τετράγωνο. 3. Να λυθεί στο R η ανίσωση: Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

4 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Φεβρουαρίου 006 1/ Η Στήλη των μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ.Σύμβουλο Μαθηματικών Ν: ο Τα Περιοδικά «Ευκλείδης» της Ε.Μ.Ε. Όπως αναφέραμε και στις προηγούμενες στήλες το εκδοτικό έργο της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας είναι πολύχρονο και σημαντικό. Θα αναφερθούμε σήμερα στα τρία περιοδικά που απευθύνονται κυρίως στους μαθητές και είναι ότι καλύτερο για την συμπλήρωση της Μαθηματικής Παιδείας που παίρνουν από το σχολείο. Σήμερα η Ε.Μ.Ε. εκδίδει τρία περιοδικά με τους εξής τίτλους: 1. Ο μικρός Ευκλείδης. Ευκλείδης Α 3. Ευκλείδης Β Τα περιοδικά αυτά περιέχουν ύλη Μαθηματικών η οποία είναι προσεγμένη και προσαρμοσμένη στις απαιτήσεις των σύγχρονων δεδομένων της Επιστήμης των Μαθηματικών αλλά και στα δεδομένα της Παιδαγωγικής, Διδακτικής, Ψυχολογίας και νέων τεχνολογιών πληροφορικής και αντίστοιχων λογισμικών. Ο «Μικρός Ευκλείδης» απευθύνεται στους μαθητές του Δημοτικού Σχολείου και άρχισε να εκδίδεται από το καλοκαίρι του 004. Ο στόχος του, όπως διατυπώνεται στο πρώτο τεύχος του από το Διοικητικό Συμβούλιο της Ε.Μ.Ε., είναι: «Ελπίζουμε ότι θα αποτελέσει βήμα συλλογιστικής των μαθητών του Δημοτικού Σχολείου, των εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, των καθηγητών των Μαθηματικών και όσων ενδιαφέρονται για τα Μαθηματικά. Θα είναι εργαλείο προσέγγισης των Μαθηματικών με νέες ιδέες και ευρηματικότητα και θα βοηθήσει να κατανοούν καλύτερα και να αγαπήσουν όλοι τα Μαθηματικά». Ο «Ευκλείδης Α» απευθύνεται στους μαθητές του Γυμνασίου και περιέχει ύλη η οποία βοηθάει το μαθητή της ηλικίας αυτής να «μυηθεί» στα Μαθηματικά. Τον προκαλεί με κατάλληλα άρθρα και ασκήσεις αλλά και τον προσκαλεί στον όμορφο κόσμο των Μαθηματικών ο οποίος σήμερα αποτελεί τη βάση και την αφετηρία για κάθε έρευνα και αναζήτηση. Ο «Ευκλείδης Β» είναι το περιοδικό που απευθύνεται στο μαθητή του Λυκείου. Η ύλη του είναι διαθρωμένη κατά τάξεις, όπως άλλωστε συμβαίνει και στον «Ευκλείδη Α», περιέχει όμως και άρθρα που μπορεί να τα διαβάσει κανείς ενιαία. Όλα αυτά τα περιοδικά εκδίδονται κάθε τρίμηνο, δηλαδή τέσσερα τεύχη το χρόνο για το καθένα και μπορούν οι μαθητές σε συνεργασία με τον καθηγητή των Μαθηματικών να το παραγγείλει μεμονωμένα ή ομαδικά στην τάξη του. Για την ιστορία αναφέρουμε ότι αυτά τα τρία περιοδικά είναι

5 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Φεβρουαρίου 006 / μετεξέλιξη του παλαιότερου περιοδικού της Ε.Μ.Ε. που είχε την ονομασία: «Παράρτημα του Δελτίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας», το οποίο κυκλοφορούσε μεταξύ των μαθητών παλαιότερα και ήταν ένα βήμα μαθηματικού διαλόγου και μια πηγή γνώσης και παιδείας. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγουμέων προκλήσεων - ασκήσεων 1. Για να μαζέψει λίγα χρήματα ένας σύλλογος αποφάσισε να πουλήσει βασιλόπιτες. Αγοράζει 100 βασιλόπιτες προς 3 ευρώ την καθεμία και τις μεταπωλεί σε πακέτα που περιέχουν 1,, ή 3 βασιλόπιτες με τιμή 5, 9, και 13 ευρώ αντίστοιχα. Γνωρίζοντας ότι πούλησε όλες τις βασιλόπιτες σε 67 πακέτα, μπορείτε να βρείτε το κέρδος αυτής της πώλησης; Λύση : Θέτουμε x,ψ,z τις μεταβλητές που εκφράζουν το πλήθος των πακέτων που περιέχουν 1,,ή 3 βασιλόπιτες αντίστοιχα. Μπορεί κανείς τότε να γράψει τις ακόλουθες εξισώσεις: x+ψ+z=67 (1) x+ψ+3z=100 () τότε το κέρδος από την πώληση αυτή θα είναι: B(x,ψ,z)=5x+9ψ+13z-300 (3) Η εξίσωση (1) δίνει : x=67-ψ-z και στη συνέχεια η () γίνεται : 67-ψ-z+ψ+3z=100 ψ=33-z (4). Υποθέτουμε ότι: z=k, k Z Άρα : x=34+k ψ=33-k k Z z=k Η συνάρτηση του κέρδους Β(χ,ψ,z) (3) δίνει : B(x,ψ,z)=5x+9ψ+13z-300 = 5(34+k)+9(33-k)+13k-300 = 170+5k+97-18k+13k-300 = 167 ( ανεξάρτητη των x,ψ,z) άρα B=167 Ευρώ. Σημείωση: Αν ρωτήσει κανείς, πόσα πακέτα που περιέχουν 1,, ή 3 βασιλόπιτες πουλήθηκαν, τι θα του απαντούσαμε; Για παράδειγμα, μια περίπτωση είναι, να πούλησε ο σύλλογος αυτός 35 πακέτα της 1 βασιλόπιτας, 31 πακέτα των βασιλόπιτων και ένα πακέτο των 3 βασιλόπιτων. Πόσοι τέτοιοι συνδυασμοί υπάρχουν; Για την επόμενη φορά 4. Συμπληρώστε τον πέμπτο όρο της ακολουθίας 3, 14, 36, 80, 5. Συμπληρώστε τον όρο που λείπει: 0,1, 64, 43, 56, 15,, 7, 1 Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

6 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Φεβρουαρίου 006 1/ Η Στήλη των μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ.Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:3 ο Οι Μαθητικοί διαγωνισμοί της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας Από το 1934, χρονιά κατά την οποία οργανώθηκε ο πρώτος Πανελλήνιος Μαθητικός Διαγωνισμός (Π.Μ.Δ.) από την Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία, μέχρι και το έτος 1951 διενεργήθηκαν επτά συνολικά τέτοιοι μαθητικοί διαγωνισμοί. Από τότε μέχρι σήμερα διενεργούνται κανονικά κάθε χρόνο μεταξύ των μαθητών όπως και στις περισσότερες αναπτυγμένες χώρες του εξωτερικού πανελλήνιοι διαγωνισμοί στα Μαθηματικά. «Σκοπός των διαγωνισμών αυτών είναι να κεντρίσουν το ενδιαφέρον των νέων για τη μελέτη της Μαθηματικής Επιστήμης. Δεν πρέπει στους διαγωνισμούς αυτούς να καλλιεργείται ο πρωταθλητισμός και το κυνηγητό των επάθλων, πράγμα αντιπαιδαγωγικό, αντίθετα να δημιουργείται στην ψυχή των μαθητών η ανάγκη της αυστηρής μαθηματικής σκέψης, η άνθιση της λογικής και της πειθαρχημένης φαντασίας, πάντοτε με ευγενική άμιλλα» ( από το βιβλίο: «Ε.Μ.Ε , Τα πρώτα εβδομήντα χρόνια» του Γ. Ωραιόπουλου. Έκδοση της Ε.Μ.Ε.). Οι διαγωνισμοί αυτοί ακόμα στοχεύουν στην ανάδειξη και προώθηση νέων μαθηματικών ταλέντων. Ακόμα στη συμμετοχή και στην επιτυχία τους σε διάφορους Διεθνείς Μαθηματικούς Διαγωνισμούς. Η σημερινή μορφή των διαγωνισμών αυτών έχει ως εξής: «Θαλής». Είναι ο πρώτος διαγωνισμός και διενεργείται συνήθως στο τρίτο δεκαήμερο του Οκτωβρίου. Συμμετέχουν μαθητές όλων των τάξεων των Λυκείων και των Β και Γ τάξεων του Γυμνασίου. «Ευκλείδης». Είναι ο δεύτερος διαγωνισμός και διενεργείται στο δεύτερο δεκαήμερο του Δεκεμβρίου. Συμμετέχουν όσοι μαθητές συγκέντρωσαν βαθμολογία πάνω από τη βάση στο διαγωνισμό «Θαλής» «Αρχιμήδης». Στον τρίτο αυτό μαθητικό διαγωνισμό που διενεργείται συνήθως τέλη Φεβρουαρίου, συμμετέχουν όσοι πέτυχαν στο δεύτερο διαγωνισμό «Ευκλείδης» Όσοι τελικά επιτυγχάνουν στον τρίτο και τελικό αυτό διαγωνισμό αποτελούν την Ολυμπιακή Ομάδα, η οποία αντιπροσωπεύει τη χώρα μας σε Διεθνείς Διαγωνισμούς. Αξίζει τέλος να σημειωθεί ότι σε όλους αυτούς τους διαγωνισμούς συμμετέχουν στους διάφορους ρόλους μέλη της Εταιρείας και των Παραρτημάτων της χωρίς καμία χρηματική αμοιβή. Επιτυχίες μαθητών της περιοχής μας Η Δυτική Μακεδονία και ειδικότερα η Κοζάνη, έχει σ αυτούς τους διαγωνισμούς τη δική της παράδοση. Θα μας δοθεί η ευκαιρία μέσα από τη στήλη αυτή να ανακαλέσουμε στη μνήμη την ιστορία αυτή. Πάντως για φέτος οι νέοι των σχολείων της Κοζάνης έδωσαν το δικό τους παρών. Διαγωνίστηκαν και ξεχώρισαν με την επίδοσή τους: 1. Λαμπριανίδης Αριστείδης, μαθητής της Β τάξης του 1ου Ενιαίου Λυκείου Πτολεμαΐδας,. Δοσοπούλου Φανή, μαθήτρια της Γ τάξης του 3ου Ενιαίου Λυκείου Κοζάνης,

7 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Φεβρουαρίου 006 / 3. Τσιώγκα Αναστασία, μαθήτρια της Γ τάξης του ου Ενιαίου Λυκείου Κοζάνης, 4. Μαύρου Παρασκευή, μαθήτρια της Γ τάξης του ου Ενιαίου Λυκείου Φλώρινας, 5. Αδρακτάς Κων/νος, μαθητής της Α τάξης του Ενιαίου Λυκείου Δεσκάτης Γρεβενών και 6. Γκίτσος Θεόδωρος, μαθητής της Γ τάξης του 1ου Γυμνασίου Καστοριάς. Τα παιδιά αυτά επέτυχαν μέχρι τώρα να διακριθούν με επιτυχία στους διαγωνισμούς «Θαλής» και «Ευκλείδης» και στις 6 Φεβρουαρίου 006 θα συμμετάσχουν στον τρίτο και τελικό διαγωνισμό «Αρχιμήδης». ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ! Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγουμέων προκλήσεων - ασκήσεων. Παρατηρείστε ότι: 15+1=4, =34, =334 κλπ. Στη συνέχεια αποδείξτε ότι ο αριθμός : Α= είναι τέλειο τετράγωνο Λύση: Τον αριθμό Α μπορούμε να τον αναλύσουμε στο δεκαδικό σύστημα αρίθμησης ως εξής: Α = (10 ν ν ν +510 ν ν )+1= = 10 ν (10 ν ν- + +1)+5(10 ν ν- + +1) + 1= = (10 ν +5)( 10 ν ν- + +1) + 1=(10 ν +5)(10 ν -1)/(10-1) + 1= (10 5) (10 1) = (10 ) 10 5 = 1 9 = (10 ) (10 ) 10 (10 ) Άρα: Α = δηλαδή τέλειο τετράγωνο. 3 Σημείωση:Φαίνεται ότι ο αριθμός Α είναι ένας ακέραιος θετικός,, ενώ ο ίσος με αυτόν 10 έχει μορφή κλασματικού. Άρα θα πρέπει ο αριθμός 3 να διαιρεί τον 10 ν +. 3 δηλαδή κερδίσαμε μια ακόμη πρόταση: «Να αποδειχθεί ότι ο αριθμός 3 διαιρεί τον 10 ν +, για κάθε φυσική τιμή του ν» (1) Ερώτημα: μπορεί η ανωτέρω πρόταση (1) να δειχθεί και με άλλο τρόπο; Για την άλλη φορά 6. Αν διαθέτεις ένα δοχείο των 5 λίτρων και ένα ακόμα των 3 λίτρων, πως θα μπορέσεις να βάλεις από τη βρύση 4 λίτρα νερό στο μεγάλο δοχείο; Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

8 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 1 Μαρτίου 006 1/3 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ.Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:4 ο Προσυνεδριακές Εκδηλώσεις 1. Ημερίδα στα Γρεβενά Με επιτυχία πραγματοποιήθηκε στα Γρεβενά η πρώτη ημερίδα η οποία εντάσσεται στον ευρύτερο κύκλο των προσυνεδριακών εκδηλώσεων, του 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας. Ουσιαστικά λοιπόν το ξεκίνημα αυτό έγινε την Τρίτη 1 Φεβρουαρίου και ώρα 1.00 στην μεγάλη αίθουσα πολλαπλών χρήσεων του Νέου Διοικητηρίου των Γρεβενών. Το θέμα της ημερίδας αυτής ήταν: «Πλάτωνας και Μαθηματικά» και ο στόχος του ήταν να αναδειχθεί όσο γίνεται η προσφορά του μεγάλου αυτού Έλληνα φιλοσόφου του 4ου π.χ. αιώνα στα Μαθηματικά. Την εκδήλωση στήριξε η Νομαρχιακή Αυτοδιοίκηση των Γρεβενών, η Δ/ση της Β/θμιας Εκπ/σης Γρεβενών και φορείς που ανέλαβαν τη διοργάνωση ήταν το Τοπικό Παράρτημα της Ελληνικής Μαθηματικής Εταιρείας καθώς και ο Σύνδεσμος Φιλολόγων Γρεβενών. Το πρόγραμμα της ημερίδας αυτής ήταν: 1. «Πλάτωνας: ο άνθρωπος και το έργο του» Εισηγητής: Πουρνάρας Στέργιος, φιλόλογος του 1ου Ενιαίου Λυκείου, Υπεύθυνος Πολιτιστικών θεμάτων Δ.Ε. Νομού Γρεβενών. «Προσέγγιση στο Μαθηματικό έργο του Πλάτωνα» Εισηγητής: Δόρτσιος Κων/νος, Σχολικός Σύμβουλος Μαθηματικών 3. «Διαθεματική προσέγγιση των Μαθηματικών μέσα από κείμενα Αρχαίων Ελλήνων» Εισηγητής: Μπαλής Στέφανος, Καθηγητής Μαθηματικών του Αριστοτελείου Πανεπιστημίου Θεσσαλονίκης. Την εκδήλωση τίμησαν με την παρουσία τους καθώς και με χαιρετισμό ο Νομάρχης Γρεβενών κ. Ρίγγος Δημήτριος, ο Δήμαρχος Γρεβενών κ. Ζιώγας Αθανάσιος, ο Δ/ντής της Περιφερειακής Εκπ/σης Δυτικής Μακεδονίας κ. Δάρδας Αναστάσιος, ο πρόεδρος του Παραρτήματος της Ε.Μ.Ε. Κοζάνης κ. Αμαραντίδης Σάββας και ο πρόεδρος του Παραρτήματος της Ε.Μ.Ε. Καστοριάς κ. Παρλαπάνης Κώστας. Το πλήθος των συναδέλφων μαθηματικών και φιλολόγων που παρακολούθησε τις τρεις εισηγήσεις καθώς και οι υπόλοιποι που συμμετείχαν, έμειναν ικανοποιημένοι και παρέμειναν μέχρι και την τελευταία φάση των εργασιών της ημερίδας κατά την οποία διατύπωσαν τις απορίες και τις παρατηρήσεις των. Σε ότι αφορά τώρα την προσφορά του Πλάτωνα στα Μαθηματικά θα μπορούσαμε να αναφέρουμε τα ακόλουθα: Είναι φανερή η Πυθαγόρεια τοποθέτησή του καθώς επίσης ήταν μεγάλος ο θαυμασμός του προς τα μαθηματικά και ιδιαίτερα προς τη Γεωμετρία. Με την ακαδημία που ίδρυσε στην Αθήνα και η οποία λειτούργησε παραπάνω από 8 αιώνες, συνέβαλε στην ανάπτυξη των μαθηματικών, ιδιαίτερα με τα έργα μεγάλων μαθηματικών που δίδαξαν στη σχολή αυτή, όπως οι σύγχρονοί του Θεαίτητος, Μέναιχμος και Εύδοξος.

9 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 1 Μαρτίου 006 /3 Σύγχρονοι μελετητές της εποχής αυτής τον χαρακτηρίζουν κυρίως φιλόσοφο και όχι μαθηματικό. Η προσφορά του όμως στα μαθηματικά θεωρείται ότι ήταν αξιόλογη και αυτό γιατί προέτρεπε τους μαθηματικούς να ερευνούν καθολικές μαθηματικές αλήθειες, και γενικά να καλλιεργούν τα μαθηματικά τα οποία θεωρούσε ότι διαθέτουν τεράστια εκπαιδευτική αξία. Η προτροπή αυτή φαίνεται, εκτός των άλλων, και στις απόψεις του ότι τα μαθηματικά είναι «δόσις θεών εις ανθρώποις» και ότι «οδηγούν έντονα την ψυχή προς το θείο».. Συνέλευση Μαθηματικών Την Πέμπτη 3 Φεβρουαρίου και ώρα πραγματοποιήθηκε συνέλευση των Μαθηματικών του Νομού Κοζάνης στο «Κοβεντάρειο» με θέμα την συγκρότηση των διαφόρων ομάδων εργασίας καθώς και γενικότερα τον σχεδιασμό της διαδρομής και πραγμάτωσης του 4ου Πανελλήνιου Συνεδρίου της ΕΜΕ το Νοέμβριο του 007. Η συγκέντρωση έγινε σε συνεννόηση με τη Δ/ση της Β/θμιας Εκπ/σης Κοζάνης και σύμφωνα με έγγραφο του Δ/ντή της κ. Δημητρίου Αγνάντου οι καθηγητές των μαθηματικών μπόρεσαν και παρακολούθησαν τροποποιώντας ίσως το σχολικό πρόγραμμα και χωρίς να διαταραχθεί η λειτουργία των σχολείων. Η συμμετοχή των καθηγητών υπήρξε ενθουσιώδης και με διάθεση προσφοράς έργου προς την κατεύθυνση αυτή. Αρκετοί ήταν αυτοί που δήλωσαν τη συμμετοχή τους στις ομάδες Τύπου, Διαχείρισης, Γραμματείας, Οργάνωσης, Υποδοχής και δεξιώσεων, Τεχνολογικής και ηλεκτρονικής στήριξης κλπ. Στη σύσκεψη ήλθαν και συνάδελφοι από το Παράρτημα της ΕΜΕ Καστοριάς οι οποίοι συμπαρίστανται στη προσπάθεια αυτή. Από πλευράς Δήμου της Κοζάνης συμμετείχε ο κ. Παφίλης Μανώλης ο οποίος δήλωσε την αμέριστη στήριξη του συνεδρίου αυτού. Την ίδια πρόθεση εξέφρασε και ο πρόεδρος της ΕΛΜΕ Κοζάνης κ. Φώτης Κεχαγιάς. Από το ΤΕΙ Κοζάνης παρών ήταν ο κ. Αντώνης Μπίσμπας Αναπληρωτής Καθηγητής των Μαθηματικών. Τέλος στη συνέλευση συμμετείχαν και συνάδελφοι μαθηματικοί οι οποίοι εργάζονται στην Ιδιωτική Εκπ/ση γιατί η ΕΜΕ είναι η εταιρεία στην οποία έχουν λόγο και δικαίωμα συμμετοχής όλοι οι Μαθηματικοί. Το παράρτημα της ΕΜΕ Κοζάνης ευχαριστεί όλους αυτούς που έδωσαν το παρών στο κάλεσμα αυτό και πιστεύει πως μαζί τους θα πορευτεί μέχρι την πραγμάτωση του στόχου αυτού. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγούμενων προκλήσεων ασκήσεων Να λυθεί στο R η ανίσωση: 0 (1) Λύση: Πρέπει αρχικά να ισχύει: χ0. Πολ/ζοντας στη συνέχεια και τα δύο μέλη της (1) με τη θετική ποσότητα χ προκύπτει η σχέση: () στόχος μας είναι να παραγοντοποιήσουμε το πρώτο μέλος της (). 3 3 Άρα θα διασπάσουμε τον όρο 3 σε και 3. Έτσι η () γίνεται: (3)

10 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 1 Μαρτίου 006 3/3 ή ακόμα: 3 ( 3 ) 3 ( ( ) ( ) ( ) ( ( )( ) και τέλος ( ) ( ( ) 0 δηλαδή: ( ) ( ) 0 (4) ο δεύτερος παράγοντας της τελευταίας αποτελεί τριώνυμο ως προς χ με διακρίνουσα Δ= β 3 3-4αγ= ( ) 4 ( ) = 3 (3 ) άρα έχει ρίζες τα 3 1 και άρα το τριώνυμο αναλύεται στη μορφή: 3 ( ) = ( ) ( ) άρα η ανισότητα (4) γίνεται: 3 ( ) ( 3 ) 0 (5) η ανισότητα (5) είναι ισοδύναμη με την αρχική και την χ0. Αν θεωρήσουμε τώρα ότι και 3 τότε η (5) ισοδυναμεί με την δηλαδή. Τελικά η λύση είναι όλα τα χ που ικανοποιούν τους περιορισμούς: 3 ( ) 0 3 3, χ0 και 3 Σημείωση ερώτημα: Μήπως η ανάλυση της σχέσης () θα μπορούσε να γίνει και με άλλο τρόπο εκτός αυτής που αναφέραμε δηλαδή ανάλυση κατά ομάδες και εφαρμογή της θεωρίας του τριωνύμου; Για την άλλη φορά 7. «Κάθε τρίγωνος αριθμός αν πολλαπλασιασθεί με το 8 και προστεθεί το 1, γίνεται τετράγωνος» (πρόταση του Πλάτωνα). Τρίγωνος αριθμός είναι εκείνος που οι μονάδες του μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο. Για παράδειγμα ο 6 σχηματίζει τρίγωνο με τη μορφή: Αντίστοιχα ορίζεται ο τετράγωνος. Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

11 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 8 Μαρτίου 006 1/3 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ.Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:5 ο Η σπουδαιότητα των Μαθηματικών «Μηδείς αγεωμέτρητος εισίτω» «δεν επιτρέπεται να μπεί μέσα κάποιος που δεν γνωρίζει γεωμετρίά» (Πλάτωνας, Ακαδημία 4ος αιώνας π.χ.) «Γεωμετρήσων εισίτω ου κωλύω, τω μη θέλοντι συζυγήσω τας θύρας» «Δεν εμποδίζω να μπει, σ αυτόν που γνωρίζει Γεωμετρία, όμως σ εκείνον που δεν θέλει να τη μάθει θα του κλείσω την πόρτα». (Ευγένιος Βούλγαρης, Μεγάλη Σχολή του Γένους 18ος αιώνας) Είναι φανερό ότι η σπουδαιότητα των Μαθηματικών είναι μεγάλη και σημαντική στην όλη συμπεριφορά και διαμόρφωση της προσωπικότητας του ανθρώπου και γενικότερα της κοινωνίας. Σε όλη την ιστορική της διαδρομή η μαθηματική παιδεία αποτέλεσε σημείο μελέτης και διερεύνησης από τους φιλοσόφους και γενικά τους σκεπτόμενους ανθρώπους. Τα Μαθηματικά και ιδιαίτερα η γεωμετρία πέρα από χρηστικό εργαλείο μέτρησης ποσοτήτων και επίλυσης καθημερινών προβλημάτων έγιναν από την Ελληνική κυρίως αρχαιότητα η βάση

12 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 8 Μαρτίου 006 /3 ευρύτερου στοχασμού και το πλαίσιο ερμηνείας του φυσικού και πραγματικού κόσμου. Ακόμα τα Μαθηματικά έγιναν μέχρι και σήμερα αντικείμενο βασικής παιδείας και μόρφωσης, γι αυτό και τα αναλυτικά προγράμματα των σχολείων σ ολόκληρο τον κόσμο περιέχουν το μάθημα των Μαθηματικών. Σήμερα στα μαθηματικά στηρίζεται η ελπίδα όλων για την παραπέρα μελέτη και διερεύνηση όχι μόνο του μικρόκοσμου αλλά και του μακρόκοσμου. Ο έλεγχος των περιοχών του πυρήνα και του ζωικού κυττάρου, η μοντελοποίηση και η μελέτη των χαοτικών φαινομένων της ατμόσφαιρας, καθώς και η ανίχνευση της γεωμετρίας που διέπει το απέραντο σύμπαν έχουν ως βάση και ως αφετηρία τα Μαθηματικά. Ποια όμως Μαθηματικά; Τα Μαθηματικά από την αρχαιότητα μέχρι και σήμερα διέγραψαν μια μεγάλη και εξελικτική πορεία η οποία είναι άμεσα συνδεδεμένη με όλες τις φιλοσοφικές, κοινωνιολογικές, θρησκευτικές και οικονομικές ιδέες και σκέψεις που επικράτησαν κάθε φορά. Πέρα από τη θεμελιώδη μορφή και δομή που είχαν κατά την αρχαιότητα με τη μορφή της Γεωμετρίας και Αριθμητικής σήμερα η έκταση και το ανάγλυφο των Μαθηματικών κλάδων είναι τεράστιο και ελπιδοφόρο. Το δίδυμο που αποτελείται από τα Εφαρμοσμένα Μαθηματικά και τα Θεωρητικά Μαθηματικά ανατροφοδοτείται και εξελίσσεται διαθεματικά και διεπιστημονικά ώστε τείνει να συμπεριλάβει όλο και περισσότερους τομείς μελέτης και έρευνας. Από την άλλη μεριά, η κατάκτηση της Νέας Τεχνολογίας των Ηλεκτρονικών Υπολογιστών και η ταχύτατη εξέλιξή τους, συνεπικουρεί στη ελπίδα της Μαθηματικής έρευνας και όχι μόνο. Από την πλατωνική σημασία των Μαθηματικών, σύμφωνα με την οποία τα Μαθηματικά λειτουργούν ώστε ο άνθρωπος να μπορέσει να μεταβεί από τον αισθητό κόσμο στον κόσμο των ιδεών, της αρετής και της τελείωσης, μέχρι σήμερα, ο στόχος των Μαθηματικών εμπλουτίζεται από τις νέες ανάγκες και τις νέες προοπτικές που προκύπτουν. Από την Ευκλείδεια Γεωμετρία, τα Μαθηματικά οδηγήθηκαν, στις μη Ευκλείδειες Γεωμετρίες (σφαιρικές, ελλειπτικές κ.ά.) για να ερμηνεύσουν φαινόμενα όπως αυτά της θεωρίας της σχετικότητας και σήμερα στις Γεωμετρίες των μικρών κομματιών δηλαδή των Φράκταλς. Επίσης τα Μαθηματικά της Θεωρίας του Χάους αναζητούν σήμερα τον τρόπο που θα μελετήσουν την μακρινή περιοχή του σύμπαντος και την έξοδο από την μοναχικότητα της του ηλιακού μας συστήματος! Ο πίνακας είναι έργο του Ιταλού ζωγράφου της Αναγέννησης Ραφαήλ, ονομάζεται «Η σχολή των Αθηνών» και βρίσκεται στο ανάκτορο του Βατικανού. Ο Ραφαήλ ζωγράφισε τον πίνακα αυτόν τα έτη και παρουσιάζει τα σημαντικότερα πρόσωπα της Ελληνικής Αρχαιότητας. Συμβολίζει την αναζήτηση της αλήθειας από την ανθρώπινη λογική. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγουμέων προκλήσεων ασκήσεων 4 Συμπληρώστε τον πέμπτο όρο της ακολουθίας 3, 14, 36, 80, Λύση: Παρατηρούμε ότι το 14=3+11 επίσης: 36=14+ καθώς και 80=36+44 άρα κάθε φορά προσθέτουμε στο αποτέλεσμα το διπλάσιο του 11 του κ.ο.κ. θα έχουμε λοιπόν για τον επόμενο όρο 80+88=168

13 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 8 Μαρτίου 006 3/3 ( για μεθεπόμενο όρο θα έχουμε τον =344) 5 Συμπληρώστε τον όρο που λείπει: 0,1, 64, 43, 56, 15,, 7, 1 Λύση: Τους αριθμούς αυτούς τους γράφουμε με την ακόλουθη μορφή: 0 8, 1 7, 6, 3 5, 4 4, 5 3,, 7 1, 8 0 αμέσως γίνεται αντιληπτό ότι οι βάσεις αυξάνονται κατά ένα από το 0 ως το 8 και οι εκθέτες ελαττώνονται από το 8 ως το 0. Άρα ο όρος που αναζητούμε είναι ο 6 = 36, γιατί από το μεσαίο όρο και μετά οι βάσεις γίνονται εκθέτες και οι εκθέτες βάσεις! Για την άλλη φορά 8. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση: 9(x + y +1) + (3xy + ) = 005 (Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων, Βέροια, Ιούνιος 006) Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

14 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 006 1/5 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Ν:6 ο Οι απαρχές των Μαθηματικών Τα μαθηματικά είναι η επιστήμη εκείνη η οποία εμφανίζεται με τα πρώτα βήματα του ανθρώπου πάνω στη γη και αποτελεί το μέσο επίλυσης των διαφόρων προβλημάτων από τα πιο απλά μέχρι και τα πλέον σύνθετα. Από την παρατήρηση οδηγούμαστε στη σύγκριση και από τη σύγκριση στην αξιολόγηση και τέλος από την αξιολόγηση φθάνουμε στην απόφαση. Η διαδρομή αυτή δηλαδή από την παρατήρηση μέχρι και την απόφαση είναι μακρά και επίπονη. Ο άνθρωπος προσπαθώντας κάθε φορά να αξιοποιήσει καλύτερα τις συνθήκες κάτω από τις οποίες ζούσε, έφθασε έως τα σήμερα να έχει αναπτύξει τον σημερινό πολιτισμό. Έναν πολιτισμό, ο οποίος κατά ένα μεγάλο μέρος στηρίζεται στα Μαθηματικά. Όλοι οι λαοί που έζησαν πριν από την εποχή του Πυθαγόρα (6ος π.χ. αιώνας) έχουν αναπτύξει μαθηματικές ιδέες αρκετά σημαντικές και πολύτιμες για την παραπέρα πορεία. Όμως οι πληροφορίες που έχουμε είναι λιγοστές και γιαυτό πολύτιμες. Οι σπουδαιότερες πηγές για τα Μαθηματικά των λαών αυτών είναι οι παρακάτω: 1. Η πινακίδα του Σενκερέχ Είναι ένα κειμήλιο που χρονολογείται στην περίοδο π.Χ. και περιέχει πληροφορίες σχετικά με τις γνώσεις των λαών που κατοικούσαν στις όχθες του Ευφράτη. Το κείμενο αυτό είναι γραμμένο σε σφηνοειδή γραφή και περιέχει μεταξύ άλλων το αριθμητικό σύστημα των Βαβυλωνίων, που είχε βάσεις το 10 και το 60. Στο κείμενο αυτό υπάρχουν τα τετράγωνα των αριθμών 1,,,60 και οι κύβοι των αριθμών 1,,,30. Μέσα από τους πίνακες αυτούς διευκολύνονταν οι ιερείς που ασχολούνταν με αστρολογικές μελέτες να πραγματοποιήσουν τις αντίστροφες πράξεις εξαγωγής της τετραγωνικής και κυβικής ρίζας.

15 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 006 /5 Ο πάπυρος του Rhind Τις πληροφορίες σχετικά με τα Μαθηματικά των Αιγυπτίων, τις αντλούμε από τον πάπυρο του Rhind, που χρονολογείται μεταξύ 1788 και 1580π.Χ. και φυλάσσεται στο Βρετανικό Μουσείο του Λονδίνου. Είναι γραμμένος σε ιερογλυφική και ιερατική γραφή από το γραφέα Ahmes. Μαζί με τον πάπυρο του Rhind ανακαλύφθηκε και ο δερμάτινος κύλινδρος (ΒΜ 1050) το ξετύλιγμα του οποίου υπήρξε επίτευγμα της σύγχρονης χημείας. Ο κύλινδρος αυτός περιέχει απλές σχέσεις μεταξύ κλασμάτων.. Η πινακίδα του Plimpton Βρίσκεται στο Πανεπιστήμιο της Κολούμπια των Ηνωμένων Πολιτειών της Αμερικής και μας δίνει πληροφορίες για τα Μαθηματικά των Βαβυλωνίων.

16 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 006 3/5 Χρονολογείται στα 1900 και 1600 π.χ. Η πινακίδα αυτή είναι αντίγραφο της αρχικής που έχει χαθεί. Διαβάστηκε για πρώτη φορά από τους Neugebauer και Sachs το Παρουσιάζει ουσιαστικά σχέσεις πλευρών του ορθογωνίου τριγώνου. Πώς οι Βαβυλώνιοι κατάφεραν να υπολογίσουν πυθαγόρειες τριάδες; Το ερώτημα παραμένει μέχρι σήμερα. 4. Ο πάπυρος της Μόσχας. Στον πάπυρο αυτό υπάρχει ένα ξεχωριστό επίτευγμα των αιγυπτιακών μαθηματικών που είναι ο ακριβής υπολογισμός του όγκου της κόλουρης πυραμίδας με τετραγωνική βάση. 5. Η πινακίδα με σφηνοειδές κείμενο(ybc 789) από τη Βαβυλωνιακή Συλλογή του Πανεπιστημίου του Yale, στην οποία υπολογίζεται η διαγώνιος τετραγώνου. 6. Το βιβλίο «Sulvasutra» ή «κανόνας της χορδής» των Αρχαίων Ινδών είναι γραμμένο μεταξύ του 8ου και 6ου αιώνα π.χ. Σ αυτό περιέχονται πολλές μαθηματικές γνώσεις των λαών που ζούσαν στις όχθες του Ινδού ποταμού. Στο βιβλίο αυτό δίνονται οδηγίες για την κατασκευή βωμών και ιερών κτισμάτων με συγκεκριμένες διαστάσεις. Εκεί εμφανίζονται πυθαγόρειες τριάδες και αξιόλογοι υπολογισμοί. 7. το Ιερό Βιβλίο της Αριθμητικής το οποίο θεωρείται ότι γράφηκε στην περίοδο 11-5π.Χ. επί της ΙΙΙ δυναστείας της Κίνας μας πληροφορεί για τα μαθηματικά των αρχαίων Κινέζων. Τέλος πολλές αναφορές αρχαίων Ελλήνων και Αράβων συγγραφέων μας δίνουν πολύτιμες πληροφορίες για τα Μαθηματικά όλων αυτών των λαών. Τα μαθηματικά βέβαια αυτά σύμφωνα με τις απόψεις σύγχρονων μελετητών ήταν μαθηματικά με περίπλοκους υπολογισμούς όμως δεν προχώρησαν σε ανώτερες αποδεικτικές διαδικασίες όπως έγινε στη συνέχεια από τους Έλληνες Μαθηματικούς της Αρχαιότητας. Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγουμένων προκλήσεων ασκήσεων 6. Αν διαθέτεις ένα δοχείο των 5 λίτρων και ένα ακόμα των 3 λίτρων, πως θα μπορέσεις να βάλεις από τη βρύση 4 λίτρα νερό στο μεγάλο δοχείο; Λύση: Σχηματικά λύνεται στις παρακάτω 7 φάσεις. 5 λίτρα 3 λίτρα 1η φάση 3 λίτρα 3 λίτρα η φάση

17 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 006 4/5 3 λίτρα 3 λίτρα 3η φάση λίτρα 3 λίτρα 1 λίτρο 4η φάση 1 λίτρο 5η φάση 3 λίτρα 1 λίτρο 6η φάση 3 λίτρα 1 λίτρο 7η φάση Σημείωση Αν υπήρχε ένα τρίτο μεγάλο δοχείο τότε:θα ρίξουμε δύο φορές με το δοχείο των 5 λίτρων στο μεγάλο δοχείο και θα αδειάσεις δύο φορές με το δοχείο των 3 λίτρων. Έτσι μέσα στο μεγάλο δοχείο θα μείνουν Χ5-Χ3=10-6=4 λίτρα. Για την άλλη φορά 9. Μία συνάντηση άρχισε ανάμεσα στις 3 και 4μ.μ. και τέλειωσε μεταξύ τις 6 και 7μ.μ. Στη συνάντηση αυτή οι δείκτες του ρολογιού τις στιγμές της έναρξης και της λήξης αντάλλαξαν θέση. Τι ώρα άρχισε η συνάντηση; 10. Θεωρούμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R καθώς και εγγεγραμμένο τρίγωνο ΑΒΓ σ αυτόν. Φέρουμε τη διάμετρο ΒΒ. Να αποδείξετε ότι:

18 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 15 Μαρτίου 006 5/5 α) Αν Η το ορθόκεντρο του τριγώνου τότε: ΑΗ = Β Γ β) Το τμήμα ΗΒ διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΑΓ. γ) ΑΗ = RσυνΑ Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

19 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Μαρτίου 006 1/4 Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων «Η ιστορία των Μαθηματικών δεν πρέπει να διαχωρίζεται από τη γενική ιστορία του πολιτισμού. Τα Μαθηματικά είναι ένα πεδίο πνευματικής δραστηριότητας, που συνδέεται στενά όχι μόνο με την αστρονομία και τη μηχανική, αλλά, επίσης, με την αρχιτεκτονική και την τεχνολογία, τη φιλοσοφία, ακόμη δε και με τη θρησκεία(πυθαγόρας!) Οι πολιτικές και κοινωνικές συνθήκες παίζουν πολύ σημαντικό ρόλο στην άνθηση και τον χαρακτήρα της επιστήμης». (από τον πρόλογο του βιβλίου: Η αφύπνιση της Επιστήμης, του B.L. Van der Waerden. Πανεπιστημιακές εκδόσεις Κρήτης, Επιμέλεια Γιάννη Χριστιανίδη) Προσωκρατική περίοδος Θα περάσουν περισσότερα από χίλια χρόνια από την εποχή που γράφτηκαν τα παλαιο-βαβυλωνιακά μαθηματικά κείμενα και ο αιγυπτιακός πάπυρος του Rhind, ώσπου να χαράξει μια νέα εποχή στην ιστορία της επιστήμης, η εποχή της ελληνικής επιστήμης. Μιλούμε για την εποχή του 6ου και 5ου π.χ. αιώνα και πριν το θάνατο του Σωκράτη (399 π.χ.) καθώς και για την πρώιμη ελληνική επιστήμη που αναπτύχθηκε από πληθυσμούς που κατοικούσαν στην Ιωνία, στα δυτικά παράλια της Μικράς Ασίας και στη Μεγάλη Ελλάδα (Σικελία και Κάτω Ιταλία). Κατά τους σύγχρονους μελετητές αυτήν την περίοδο δύο πράγματα πρωτοεμφανίζονται με τους προσωκρατικούς φιλοσόφους και τους διαχωρίζουν από όλους τους προηγούμενους στοχαστές Έλληνες και μη. Τα χαρακτηριστικά αυτά είναι: Η ανακάλυψη της φύσης και έξωση του υπερφυσικού από τις ερμηνείες Ν:7 ο των φυσικών φαινομένων, Η πρακτική της δημόσιας αντιπαράθεσης απόψεων και της ορθολογικής κριτικής. Έτσι αρχίζει για πρώτη φορά να διακρίνεται το φυσικό από το υπερφυσικό. Και όταν πρόκειται για το φυσικό, αρχίζει να θεωρείται αυτό ως αποτέλεσμα μιας αιτίας και να κατηγοριοποιούνται τα φαινόμενα και να γίνονται αντικείμενο μελέτης. Αρχίζει με άλλα λόγια να θεμελιώνεται η λογική αιτιολόγηση δηλαδή η μελέτη της σχέσης του «αίτιο και αποτέλεσμα» της οποίας η ολοκλήρωση θα διαρκέσει μέχρι και το 18ο αιώνα. Το σπουδαιότερο που συντελείται την εποχή αυτή είναι η έξωση των θεοτήτων από την ερμηνεία των φυσικών φαινομένων. Για παράδειγμα αναφέρουμε την περίπτωση των σεισμών που μέχρι την περίοδο εκείνη τους απέδιδαν στην οργή των θεών και κυρίως του Ποσειδώνα. Όμως ο Θαλής και η Μιλήσια Σχολή της σκέψης δεν αρνήθηκαν βέβαια την ύπαρξη του Ποσειδώνα, αλλά δεν τη χρησιμοποίησαν στην ερμηνεία που έδωσαν στο φαινόμενο των σεισμών. Οι Μιλήσιοι άφησαν τους Θεούς απέξω. Ο θυμός ή οι έρωτες του Δία ή του Ποσειδώνα, οι οποίοι στον Όμηρο και στον Ησίοδο αποτελούσαν αιτίες της συμπεριφοράς της

20 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Μαρτίου 006 /4 φύσης για τους Μιλήσιους παύουν να παίζουν αυτό το ρόλο. Αυτό για την πορεία της ανθρώπινης σκέψης υπήρξε ουσιαστικό. Το δεύτερο στοιχείο που συντελείται την εποχή της προσωκρατικής περιόδου έχει χαρακτήρα κοινωνικής διάστασης και μόνο μέσα από αυτή μπορεί να αξιολογηθεί. Η δημόσια κριτική και η συζήτηση των απόψεων στο πλαίσιο της πόλης αποτέλεσε τη βάση ώστε ο κάθε φιλόσοφος που έλεγε και διατύπωνε μια άποψη έπρεπε να την υποστηρίξει και να επιχειρηματολογήσει για να πείσει τους απέναντι συμπολίτες του. Η δημόσια αποδοχή ή απόρριψη των ιδεών για τη φύση και τον υλικό κόσμο αποτελούσαν μέρος της διαδικασίας για τη νομιμοποίησή τους, δηλαδή συνιστούσαν απαραίτητο όρο για να γίνουν ευρύτερα αποδεκτές. Ρωτάει ένας σύγχρονος μελετητής: Γιατί οι Έλληνες ανάπτυξαν τα Μαθηματικά; Και απαντάει: διότι συζητούσαν και διαφωνούσαν πολλές φορές. Για το λόγο αυτό έπρεπε να βρίσκουν επιχειρήματα μέσα από τα οποία σιγά σιγά άρχισε να διατυπώνεται η διαδικασία της «απόδειξης». Το πυθαγόρειο θεώρημα ήταν γνωστό σχεδόν σε όλους του λαούς όπως αναφέραμε σε προηγούμενη στήλη, όμως γιατί συμβαίνει η σχέση αυτή να μην απασχόλησε κανέναν; Μόνο ο Πυθαγόρας βρέθηκε στην ανάγκη να το αποδείξει. Οι συνθήκες της εποχής απαιτούσαν αλήθειες οι οποίες να στηρίζονται σε άλλες που προηγουμένως είχαν δεχθεί ή είχαν αποδείξει. Κατά την περίοδο αυτή έχουμε γενικά τρεις σχολές. Αυτές είναι: Η σχολή της Ιωνίας με κύριο εκπρόσωπό της το Θαλή το Μιλήσιο (64-547π.Χ.) Η σχολή των Πυθαγορείων με κύριο εκπρόσωπο τον Πυθαγόρα τον Σάμιο (57-497π.Χ.) και Η σχολή της Χίου με κύριο εκπρόσωπο τον Ιπποκράτη τον Χίο ( περίπου στα π.χ.) Οι πληροφορίες για την εποχή αυτή και για τα μαθηματικά κυρίως είναι αποσπασματικές. Κανένα κείμενο δεν διασώζεται ακέραιο(εκτός από: ένα κείμενο που αφορά στους μηνίσκους του Ιπποκράτη και ένα κείμενο του Αρχύτα για το διπλασιασμό του κύβου) και οι πληροφορίες προέρχονται από συγγραφείς που έζησαν έως και 1000 χρόνια αργότερα. Τις περισσότερες πληροφορίες τις αντλούμε από την επισκόπηση της ιστορίας της γεωμετρίας που περιέλαβε ο Νεοπλατωνικός φιλόσοφος Πρόκλος στο σχόλιό του, στο πρώτο βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη. Αν και ο Πρόκλος έζησε τον 5ο μ.χ. αιώνα η επισκόπηση του θεωρείται αρκετά αξιόπιστη, γιατί βασίζεται σε μεγάλο βαθμό στη χαμένη σήμερα Ιστορία της γεωμετρίας που είχε γράψει ο μαθητής του Αριστοτέλη Εύδημος, δηλαδή ένας συγγραφέας που έζησε σε μια εποχή αρκετά κοντινή προς την περίοδο αυτή.( αναφορά από τον Πρόκλο στις πυθαγόρειες τριάδες του Πλάτωνα). Άλλη πηγή πληροφόρησης επίσης, για την εποχή αυτή, είναι ο Ιάμβλιχος ο οποίος ανήκει στους Νεοπλατωνικούς φιλοσόφους (3ος -4ος αιώνας). Κατά την εποχή αυτή έζησαν σπουδαίοι μαθηματικοί και φιλόσοφοι όπως: ο Αναξίμανδρος ( π.χ.), οι πυθαγόρειοι Ίππασος και Φιλόλαος, Οινοπίδης ο Χίος, συνεχιστής του έργου του Πυθαγόρα, Αναξαγόρας( π.χ.), Αντιφών (5ος π.χ.), Ζήνων ο Ελεάτης, Δημόκριτος ( π.Χ.), Θεόδωρος ο Κυρηναίος (5ος π.χ.) ο οποίος διδάσκει μαθηματικά στον Πλάτωνα, Ιππίας ο Ηλείος(δεύτερο μισό του 5ου π.χ.αιώνα), Βρύσων και άλλοι.

21 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Μαρτίου 006 3/4 Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγουμένων προκλήσεων ασκήσεων 7. Κάθε τρίγωνος αριθμός αν πολλαπλασιασθεί με το 8 και προστεθεί το 1, γίνεται τετράγωνος» (πρόταση του Πλάτωνα). Τρίγωνος αριθμός είναι εκείνος που οι μονάδες του μπορούν να σχηματίσουν τρίγωνο. Για παράδειγμα ο 6 σχηματίζει τρίγωνο με τη μορφή: Αντίστοιχα ορίζεται ο τετράγωνος. Απόδειξη Έστω Α ένας τρίγωνος αριθμός τότε αυτός θα έχει τη μορφή: Α= ( 1) Α= ν = γιατί το άθροισμα των μονάδων ενός τρίγωνου αριθμού είναι: ( 1) ( ως άθροισμα ν πρώτων όρων αριθμητικής προόδου) άρα: ( 1) ( 1) ( ) ( ) 11 ( 1) δηλαδή ο αριθμός 8Α+1 είναι τετράγωνος. Παράδειγμα: Ο τρίγωνος αριθμός 1 αν πολ/σθεί με το 8 γίνεται 168 και αν αυξηθεί κατά μια μονάδα γίνεται 169 δηλαδή 13 άρα τετράγωνος. 8. Να βρεθούν όλοι οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την εξίσωση: 9(x + y +1) + (3xy + ) = 005 (Βαλκανική Μαθηματική Ολυμπιάδα Νέων, Βέροια, Ιούνιος 006) Λύση: Η εξίσωση (1) ισοδυναμεί με τις: 9 (x y) xy 1 6xy (x y) 18xy 9 6xy (x y) 1xy 199 Στο σημείο αυτό εφαρμόζουμε τη γνωστή ταυτότητα: (x y) (x y) xy 4 άρα η τελευταία από τις προηγούμενες γίνεται: (x y) (x y) 9(x y) η οποία μετά από πράξεις καταλήγει στην: (x y) (x y) 664 () θέτουμε

22 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη Μαρτίου 006 4/4 x y k και x y άρα 664 (3) από την (3) συμπεραίνουμε ότι το λ πρέπει να είναι άρτιος, άρα και το λ άρτιος. Αν υποθέσουμε ότι λ=ρ, από την (3) θα προκύψει: 33 (4) και με την ίδια συλλογιστική θα πρέπει το κ να είναι άρτιος. Έστω πάλι ότι κ=μ, άρα η (4) θα δώσει: 166 (5) από την οποία θα είναι ρ=θ, και θα ικανοποιεί την 83 (6) Στο σημείο αυτό παρατηρούμε ότι ο αριθμός 83 αναλύεται με μοναδικό τρόπο σε άθροισμα δύο όρων εκ των οποίων ο ένας να είναι τέλειο τετράγωνο και ο άλλος να είναι διπλάσιο τετραγώνου. Δηλαδή 83=9 +.1 Άρα μ=9 και θ=1 ή θ=-1(γιατί;). Αφού το μ=9 τότε το κ=18, δηλαδή το x y 18 (7) Επίσης αν θ=1 τότε το ρ= και το λ=4 δηλαδή το x y 4 (8) Λύνοντας το σύστημα των (7) και (8) βρίσκουμε τις μοναδικές λύσεις των x και y οι οποίες είναι: x = 11 και y = 7 Αν θ =-1 θα προκύψει με την ίδια σκέψη και η άλλη λύση: x=7 και y = 11 Για την άλλη φορά 11. Έστω η συνάρτηση f : R R, παραγωγίσιμη στο R, με f(1)=3 και f()=5 και η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f '( ) tf (t) f (c) e dt με cr μια σταθερή τιμή. Να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης f. (Προτάθηκε από τον συνάδελφο Μπαζούκη Γεώργιο, Μαθηματικό Γυμνασίου Καπνοχωρίου) 1. Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με γωνία Α=100 ο, ΑΒ=ΑΓ=β και ΒΓ=α. Να δειχθεί ότι: α 3 +β 3 = 3αβ (Προτάθηκε από το συνάδελφο Αναστασιάδη Γεώργιο του ου Λυκείου Φλώρινας) 0 Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr

23 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Μαρτίου 006 1/4 Ν:8 ο Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Η σχολή της Ιωνίας - Θαλής ο Μιλήσιος Ο νεοπλατωνικός φιλόσοφος Πρόκλος (5ος μ. Χ. αι.) στην επισκόπησή του, παραθέτει με χρονολογική σειρά τα ονόματα των επιφανέστερων Ελλήνων μαθηματικών που έζησαν πριν από τον Ευκλείδη. Ο κατάλογος αυτός των γεωμετρών αρχίζει με το Θαλή ( π.χ.). Ο Θαλής ο Μιλήσιος έχει χαράξει τη μνήμη του στους αιώνες που ακολούθησαν και αποτελεί μέχρι σήμερα αντικείμενο έρευνας αλλά και θαυμασμού. Ο Θαλής αν και δεν έγραψε ποτέ κανένα «βιβλίο», εν τούτοις η παράδοση, μας έχει μεταφέρει πολλά από τα επιτεύγματά του. Έτσι στο Θαλή αποδίδονται τα παρακάτω: 1. Η πρόβλεψη της έκλειψης του ηλίου το έτος 585 π.χ.(για την πρόβλεψη αυτή ο Θαλής συγκαταλέχθηκε στους επτά σοφούς της Ελλάδας, επί αρχοντείας Δαμασίου π.χ.). Η εφαρμογή του κριτηρίου «γωνία πλευρά γωνία» της ισότητας των τριγώνων.(μαρτυρία του Ευτόκιου) 3. Η ανακάλυψη των θεωρημάτων για την ισότητα των παρά τη βάση γωνιών ενός ισοσκελούς τριγώνου. ισότητα των κατά κορυφή γωνιών.(πρόκλος 0, 1-δ F) 4. Η κατασκευή του περιγεγραμμένου κύκλου σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο 5. Η απόδειξη ότι η διάμετρος χωρίζει τον κύκλο σε δύο ίσα μέρη.(μαρτυρία του Πρόκλου157,10-11F που την αντλεί από τον Εύδημο) 6. Η πρόταση: «Κάθε γωνία εγγεγραμμένη σε ημικύκλιο είναι ορθή.(μαρτυρία της Παμφύλης, συγγραφέα από την Επίδαυρο, η οποία έζησε στη Ρώμη επί εποχής του Νέρωνα) 7. Ο υπολογισμός του ύψους της πυραμίδας του Χέοπα.(Μαρτυρία του Πλουτάρχου, ΣυμπόσιοVII 147A, καθώς και μαρτυρία του Ιερώνυμου του Ρόδιου την οποία διέσωσε ο Διογένης ο Λαέρτιος) 8. Η Κατασκευή σφαίρας(μαρτυρία του Κικέρωνα) 9. Η μέτρηση της απόστασης ενός πλοίου από το λιμένα. Βέβαια πρέπει να αναφερθεί ότι δεν γίνεται λόγος για αληθινές αποδείξεις των ανωτέρω γεωμετρικών προτάσεων(,9) από το Θαλή. Την εποχή αυτή έλειπαν τόσο το λογικό υπόβαθρο όσο και η αξιωματική συγκρότηση που κάνουν δυνατή μια μαθηματική απόδειξη. Ας μη ξεχνάμε βέβαια ότι η εποχή από το 1100 π.χ. μέχρι και το 750 π.χ. χαρακτηρίζεται ως «ελληνικός μεσαίωνας» με ό,τι αυτό συνεπάγεται. Είναι η εποχή των μεγάλων μετακινήσεων, κατά τις οποίες οι Δωριείς και οι Ίωνες κατέλαβαν την περιοχή Θαλής ο Μιλήσιος

24 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Μαρτίου 006 /4 όπου κάποτε είχε διεισδύσει και είχε επικρατήσει απόλυτα ο μινωικός και ο μυκηναϊκός πολιτισμός. Επομένως η συμβολή του Θαλή δεν πρέπει να αναζητηθεί στο αν και κατά πόσο απέδειξε τις προτάσεις που αναφέραμε. Τότε όμως πού θα πρέπει να την αναζητήσουμε; Αν εξετάσει κανείς τις παραπάνω προτάσεις, θα διαπιστώσει ότι σχεδόν όλες περιστρέφονται γύρω από τις έννοιες της συμμετρίας και της ισότητας των γωνιών. Άρα θα είχε δίκιο κάποιος αν ισχυρίζονταν ότι τα θέματα που μελέτησε ο Θαλής ήταν: 1. Η ομοιότητα μερικών απλών σχημάτων με ίσες γωνίες. Οι συνθήκες κάτω από τις οποίες μια ομοιότητα μετατρέπεται σε ισότητα και 3. Οι ιδιότητες μερικών συμμετρικών σχημάτων. Και μόνο αυτά αρκούν για να θεωρηθεί η συμβολή του Θαλή και γενικότερα των Ιώνων γεωμετρών του 6ου π.χ. αιώνα εξαιρετικά σημαντική. Δεν είναι όμως μόνον αυτό. Εκείνο που γίνεται την εποχή αυτή είναι ότι στο γεωμετρικό σχήμα προσδίδεται μια καινούργια διάσταση μελέτης, ένας ρόλος και μια λειτουργία άγνωστη μέχρι τότε. Τα γεωμετρικά σχήματα που συναντάμε στους αιγυπτιακούς παπύρους και στις βαβυλωνιακές πινακίδες έχουν ρόλο εντελώς επουσιώδη, αφού χρησίμευαν απλά και μόνο για να σημειώνονται σε αυτά αριθμητικές τιμές των δεδομένων του εκάστοτε προβλήματος. Με τους Ίωνες το σχήμα γίνεται για πρώτη φορά στην ιστορία αντικείμενο μελέτης και μαθηματικού στοχασμού. Η χάραξη του σχήματος, η παρατήρηση των ιδιοτήτων που έχει και στη συνέχεια η δικαιολόγηση του ισχυρισμού προς τον «απέναντι» συνομιλητή, είναι μερικά από τα αρχικά στάδια της εξέλιξης της γεωμετρίας που μπορούμε να τα αποδώσουμε στο Θαλή και στη σχολή της Ιωνίας. Αυτό είναι ίσως και η σημαντικότερη προσφορά της σχολής αυτής στην ιστορία των μαθηματικών. Ο Θαλής θεωρείται αρχηγός της σχολής της Μιλήτου και γενικότερα της σχολής της Ιωνίας όχι γιατί συγκέντρωσε γύρω του μια ομάδα ακροατών, αλλά γιατί οι ευρύτερες φιλοσοφικές του ιδέες υιοθετήθηκαν και αναπτύχθηκαν στη συνέχεια από αρκετούς συμπατριώτες του, των οποίων η ιστορία διατήρησε την ανάμνηση. Μεταξύ αυτών αναφέρουμε τον Αναξίμανδρο και τον Αναξιμένη, οι οποίοι συνέχισαν τις βασικές αρχές του φιλοσοφικού συστήματος του Θαλή ο οποίος θεωρούσε τη γη να πλέει πάνω στα νερά. Έτσι η κοσμολογία του Θαλή, όπως είναι γνωστή μέχρι σήμερα στηρίζεται στο βασικό συστατικό το οποίο είναι το νερό. Δηλαδή: «το ύδωρ αποτελεί την πηγή πάντων». Η κοσμολογία του Αναξίμανδρου προχωρά και στηρίζεται στην έννοια του «απείρου». Όσο και αν φαίνεται δυσνόητο αυτό, η έννοια του απείρου αρχίζει να απασχολεί την ανθρώπινη διανόηση από την εποχή των Ιώνων φιλοσόφων και ειδικότερα η μαθηματική του διερεύνηση έχει μεγάλη διαδρομή η οποία φθάνει μέχρι και σήμερα. Τέλος η αντίληψη του Αναξιμένη, ο οποίος ήταν μαθητής του Αναξίμανδρου, σχετικά με τον κόσμο είναι ότι ο κόσμος αυτός στηρίζεται στον «αέρα». «Ωσπερ και Θαλήν αστρονομούντα, ώ Θεόδωρε, και άνω βλέποντα, πεσόντα εις φρέαρ, Θράττα τις εμμελής και χαρίεσσα θεραπαινίς αποσκώψαι λέγεται ως τα μεν εν ουρανώ προθυμοίτο ειδέναι τα δ έμπροσθεν αυτού και παρά πόδας λανθάνοι αυτόν» «Ο Πλάτων διηγείται ότι ο Θαλής, ενώ κοιτούσε τα άστρα, έπεσε μέσα σε ένα πηγάδι και μια χαριτωμένη νεαρή σκλάβα από τη Θράκη τον ειρωνεύτηκε λέγοντας: «όσα είναι στον ουρανό επιθυμεί διακαώς να τα μάθει, όσα όμως είναι μπροστά του και μέσα στα πόδια του δεν τα βλέπει». (Πλάτωνος, Θεαίτητος, 174a)

25 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Μαρτίου 006 3/4 Μαθηματικές προκλήσεις προσκλήσεις - ασκήσεις Λύσεις προηγουμένων προκλήσεων ασκήσεων 9. Μία συνάντηση άρχισε ανάμεσα στις 3 και 4μ.μ. και τέλειωσε μεταξύ τις 6 και 7μ.μ. Στη συνάντηση αυτή οι δείκτες του ρολογιού τις στιγμές της έναρξης και της λήξης αντάλλαξαν θέση. Τι ώρα άρχισε η συνάντηση; Λύση: Στο πρώτο ρολόι, δεξιά, το οποίο δείχνει 1 11 τη στιγμή της έναρξης της συνάντησης, 1 υποθέτουμε ότι ο μικρός δείκτης(ωροδείκτης) βρίσκεται στη θέση των Χ 0 μοιρών 10 και ο μεγάλος δείκτης(λεπτοδείκτης) βρίσκεται στη θέση των Ψ 0 μοιρών, σύμφωνα με τα 9 δεδομένα του προβλήματος. 3 Είναι γνωστό ότι η γωνιακή ταχύτητα του X 0 ωροδείκτη είναι: 8 ω h = 0,5 μοίρες/λεπτό 4 και η αντίστοιχη του λεπτοδείκτη είναι 7 ω m = 6 μοίρες/λεπτό. 5 Ψ 0 6 Τότε θα ισχύει: Χ 0 = 0,5t 1 και Ψ =6t 1, (1) όπου t 1 η στιγμή της έναρξης της συνάντησης. Από τις σχέσεις της (1) θα έχουμε: t1 0 και t1 και κατά 0,5 6 συνέπεια Άρα 1Χ 0 -Ψ 0 =3360 () Στο δεύτερο ρολόι, δεξιά, το οποίο δείχνει τη στιγμή της λήξης της συνάντησης, ισχύουν τα αντίστοιχα κατωτέρω: Χ =6t και Ψ 0 =0,5t, (3) Όπου t είναι η στιγμή της λήξης της συνάντησης. Από τις σχέσεις της (3) όμοια θα προκύψουν οι σχέσεις: t και t 0 6 0,5 και συνεπώς: X Ψ 0 6 άρα: Χ 0-1Ψ 0 =-6360 (4) Λύνοντας τώρα το σύστημα των εξισώσεων () και (4) θα έχουμε τη λύση:

26 Η Στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 9 Μαρτίου 006 4/4 Χ 0 105,73 και Ψ 0 188,76 (μοίρες) και αν μετατραπούν σε λεπτά της ώρας θα έχουμε: Έναρξη συνάντησης: t 1 105,73/0,5=11,46 λεπτά = 3ώρ. 31λ. και 1δ. Λήξη της συνάντησης:t 188,76/0,5=377,5 λεπτά =6ώρ. 17λ. και 31δ. 10. Θεωρούμε κύκλο με κέντρο Ο και ακτίνα R καθώς και εγγεγραμμένο τρίγωνο ΑΒΓ σ αυτόν. Φέρουμε τη διάμετρο ΒΒ. Να αποδείξετε ότι: α) Αν Η το ορθόκεντρο του τριγώνου τότε: ΑΗ = Β Γ β) Το τμήμα ΗΒ διέρχεται από το μέσο της πλευράς ΑΓ. γ) ΑΗ = RσυνΑ Λύση: α) Είναι γνωστό ότι το περίκεντρο Ο, το βαρύκεντρο G και το ορθόκεντρο Η δηλαδή τα τρία σημεία Ο, G, Η είναι συνευθειακά και αποτελούν τη γνωστή ευθεία του Euler καθώς επίσης ότι το βαρύκεντρο G χωρίζει το τμήμα ΗΟ σε λόγο :1, δηλαδή ισχύει ότι: ΗG=GΟ.(1) Άρα από την ομοιότητα των τριγώνων ΑΗG και GΜΟ προκύπτει ότι ΑΗ=ΟΜ (), όπου ΟΜ ΒΓ (3). Επίσης στο ορθογώνιο τρίγωνο ΒΒ Γ είναι Β Γ = ΟΜ (4), γιατί η ΟΜ συνδέει τα μέσα των πλευρών ΒΒ και ΒΓ. Και ακόμα ΑΗ//ΟΜ//Β Γ (5) ως κάθετες στη ΒΓ. Από τις () και (4) προκύπτει ότι: Β ΑΗ =// Β Γ (6) β) Από την (6) προκύπτει ότι το τετράπλευρο ΑΗΓΒ έχει τις δύο απέναντι πλευρές του ίσες και παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο και συνεπώς οι διαγώνιες του διχοτομούνται. Δηλαδή η ΗΒ διέρχεται από το μέσο της ΑΓ. γ) Πάλι στο τρίγωνο ΒΒ Γ ισχύει: συνβ = (Β Γ)/(ΒΒ ), και επειδή ˆ ˆ (γιατί βλέπουν προς την κοινή χορδή ΒΓ και είναι εγγεγραμμένες στο ίδιο κύκλο), Β Γ = ΑΗ και ΒΒ = R, άρα τελικά ισχύει: συνα = (ΑΗ)/(R) δηλαδή: ΑΗ = RσυνΑ. Για την άλλη φορά 13. Αν d 1, d, d 3 είναι οι αποστάσεις του περικέντρου Ο από τις πλευρές του τριγώνου ΑΒΓ, τότε να δείξετε ότι: d 1 + d + d 3 = R+ρ, όπου R και ρ οι ακτίνες του περιγεγραμμένου και εγγεγραμμένου κύκλου αντίστοιχα του τριγώνου ΑΒΓ. (Θεώρημα του Carnot) Παράρτημα της Ε.Μ.Ε. ο Εν.Λύκειο Κοζάνης Κάλβου Κοζάνη ή ηλεκτρονικά: emekozanis@yahoo.gr Δ Η Α G M Ε Ο N Σχήμα 1 Γ B`

27 Η στήλη των Μαθηματικών. Τετάρτη 5 Απριλίου 006 1/5 Ν:9 ο Η Στήλη των Μαθηματικών Από τον Κώστα Δόρτσιο, Σχ. Σύμβουλο Μαθηματικών Τα Μαθηματικά των Αρχαίων Ελλήνων Η σχολή της Ιωνίας - Αναφορά στο έργο του Θαλή Γενικά Συνεχίζοντας την αναφορά μας στη σχολή της Ιωνίας και στον πρώτο Έλληνα μαθηματικό και φιλόσοφο, το Θαλή, θα αναφερθούμε πιο αναλυτικά σε μερικά επιτεύγματα, απόψεις και ιδέες που αποδίδονται σ αυτόν και τη σχολή του, τα οποία είναι γνωστά κυρίως από την παράδοση καθώς και από ιστορικούς που έζησαν πολύ αργότερα από την εποχή του. Ως γνωστό η Μίλητος στις αρχές του 6ου π.χ. αιώνα υπήρξε ένα από τα πλέον ανθηρά εμπορικά κέντρα στα παράλια της Μικράς Ασίας, και ήταν ο τόπος όπου συντελέστηκαν οι καρποφόρες επαφές μεταξύ Ανατολής και Δύσης. Στο «μεταθανάτιο»» διάλογό του με τίτλο Επινομίς, ο Πλάτων περιγράφει τη σχέση Ελλήνων με τους αρχαίους ανατολικούς πολιτισμούς με τον εξής εντυπωσιακό τρόπο: «οτιδήποτε παραλάμβαναν οι Έλληνες από τους ξένους, το μετατρέπουν τελικώς σε κάτι καλύτερο» (987e). Εξάλλου δεν είναι τυχαίο ότι οι Ίωνες ήταν οι πρώτοι λαμπαδηφόροι του ελληνικού πολιτισμού. Επί πολλά χρόνια υπήρξαν υπήκοοι των βασιλέων της Λυδίας και της Περσίας. Έτσι επηρεάστηκαν από τον ανατολικό πολιτισμό. Το ίδιο συμβαίνει και με τη σχέση των Ιώνων με τον Αιγυπτιακό πολιτισμό. Ο Θαλής και ο Πυθαγόρας, ο Δημόκριτος και ο Εύδοξος αναφέρεται ότι ταξίδεψαν όλοι στην Αίγυπτο και στη Βαβυλώνα. Ο Θαλής υπήρξε πνεύμα καθολικό και φιλοσοφικό. Διαδραμάτιζε ενεργό ρόλο στην έντονη πολιτικοοικονομική ζωή στην Ιωνία της εποχής του. Αναφέρεται ότι απέκτησε μεγάλη περιουσία από το εμπόριο του λαδιού και ότι διάνοιξε νέα κοίτη σε ένα ποταμό για να διευκολύνει τη διάβαση του στρατού του Κροίσου(Ηρόδοτος Ι,75). Συμβούλευε, ωστόσο, τους συμπολίτες του να μην συμμαχήσουν με τον Κροίσο αργότερα μάλιστα επιχείρησε να ιδρύσει μια συνομοσπονδία των ιωνικών πόλεων με πρωτεύουσα την πόλη Τέω(Ηρόδοτος Ι, 170). Η πρόβλεψη της έκλειψης του Ηλίου το 585 π.χ. Το 61 π.χ. οι Μήδοι κατέστρεψαν τη Νινευή. Όταν επιχείρησαν να προωθηθούν μακρύτερα προς τη δύση, ο Αλυάτης βασιλιάς της Λυδίας έσπευσε να τους συναντήσει με ίωνες στρατιώτες. Η μάχη στον ποταμό Άλυν διακόπηκε απότομα εξαιτίας της έκλειψης ηλίου το 585 π.χ., που είχε προβλέψει ο Θαλής ο Μιλήσιος. «Την ημέραν εξαπίνης νύκτα γενέσθαι», γράφει ο Ηρόδοτος(Ιστορίαι Α 74,). Οι στρατιώτες τρόμαξαν από το γεγονός αυτό και ήταν απρόθυμοι να συνεχίσουν τη μάχη και έτσι, οι αντιμαχόμενες δυνάμεις, στις οποίες περιλαμβάνονταν η Κιλικία και η Βαβυλώνα, συνήψαν συνθήκη. Από την εποχή αυτή και μετά υπήρχε ισορροπία ανάμεσα στις τρεις μεγάλες αυτοκρατορίες, τη Λυδία, τη