ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΤΜΗΜΑΕΠΙΧΕΙΡΗΜΑΤΙΚΟΥ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ& ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΑΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΠΡΟΤΥΠΑ ΜΑΘΗΜΑ ΤΕΤΑΡΤΟ-ΠΕΜΠΤΟ ΘΕΩΡΙΑΣ-ΠΟΛΛΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Δρ. Κουνετάς Η Κωνσταντίνος Ακαδημαϊκό Έτος

2 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 1 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Ε ΟΜΕΝΑ ΕΚΤΙΜΗΣΗ ΜΕΘΟ ΟΙ ΕΛΕΓΧΟΣ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΧΡΗΣΗ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑΤΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΞΙΟΛΟΓΗΣΗ ΠΡΟΒΛΕΨΕΙΣ

3 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 2 ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Ας θεωρήσουμε το πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα της μορφής Όπου: Y = β + βx + β X + + β X + ει i 0 1 1i 2 2 i... k ki Υ: ονομάζεταιεξαρτημένηήερμηνευόμενημεταβλητή, Χik: είναιοιανεξάρτητεςήερμηνευτικέςμεταβλητές, εκαλείταιοστοχαστικόςήδιαταρακτικόςόρος, και i: είναιμίααντιπροσωπευτικήαπότιςηπαρατηρήσειςτου δείγματος.

4 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 3 ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΠΟΛΛΑΠΛΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ Ι Ομέσοςτουόρουσφάλματοςείναιμηδέν: E( ε / X ) = 0 i i Ηδιακύμανσηόλωντωνόρωνσφάλματοςείναιηίδια σταθερά 2 Var ( ε / X) = σ i i Ησυνδιακύμανσημεταξύτωνόρωνσφάλματοςείναιμηδέν: Covε ( i, ε j) = 0 Οαριθμόςτωνπαρατηρήσεωνείναιμεγαλύτεροςαπότον αριθμό των ανεξάρτητων μεταβλητών του υποδείγματος.

5 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 4 ΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΤΟΥ ΓΡΑΜΜΙΚΟΥ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΟΣ ΙΙ Οιερμηνευτικέςμεταβλητέςδενείναιστοχαστικές. Δενυπάρχουνακριβείςγραμμικέςσχέσειςανάμεσαστις ερμηνευτικές μεταβλητές Ησυνδιακύμανσητωνόρωνσφάλματοςκαιτων παρατηρήσεων της ανεξάρτητης μεταβλητής είναι πάντα μηδέν: Cov( ε i / Xi ) = 0 2 εi N(0, σ ) Οιόροισφάλματος, ανεξάρτητοιμεταξύτους, ακολουθούντηνκανονικήκατανομή:

6 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 5 ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΥΠΟΔΕΙΓMΑΤΟΣ ΜΕ ΠΙΝΑΚΕΣ Y i Y1 β 1 1 Χ 11 Χ 12...Χ 1Κ ε 1 Y 2 β 2 1 Χ 21 Χ 22...Χ 2Κ ε 2 =., β =., X =., ε =..... Y N β Κ 1 Χ Ν 1 Χ Ν 2...Χ Ν Κ ε N Ε ( εε ) = σ '

7 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 6 Το πολλαπλό γραµµικό υπόδειγµα-μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Yi = β0+ β1x1 i+ β2x2 i βkxki+ ει ˆ ε ˆ ˆ ˆ ˆ i = Yi Yi = Yi β0 β1xi... β κ X κ i Φ n n 2 2 i i 0 1 i i i = 1 i = 1 = min ˆ ε = ( Y β ˆ βx... ˆ β κ X κ ) ΕΛΑΧΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΤΕΤΡΑΓΩΝΩΝ

8 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 7 Το πολλαπλό γραµµικό υπόδειγµα-μέθοδος Ελάχιστων Τετραγώνων Φ ˆ β 0 Φ ˆ β... 1 Φ β ˆk =... = 0 =... = 0 =... = 0 Η λύση του παραπάνω συστήµατος παρέχει τους εκτιµητές της παλινδρόµησης. Οι λύσεις που παρέχονται δίνονται: ˆ 1 β= ( ΧΧ ' ) ( ΧΥ ' ) ˆ 1 ε = Υ Χβ = Υ ΧΧΧ ( ' ) ( ΧΥ ' )

9 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 8 Επίσης Ηεκτιμώμενηγραμμήπαλινδρόμησης διέρχεται από τους δειγματικούς μέσους της εξαρτημένης και των ανεξάρτητων μεταβλητών. Οιεκτιμητέςελαχίστωντετραγώνωνείναι BEST (Best-Linear-Unbiased estimators).τι εκφράζει το καλύτεροι, γραμμικοί αμερόληπτοι εκτιμητές;

10 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 8β βˆ 1. Ένας εκτιµητής µιας παραµέτρου β είναι αµερόληπτος (unbiased) εάν η προσδοκώµενη τιµή του είναι ίση µε την παράµετρο. 2. Ένας εκτιµητής θα καλείται αποτελεσµατικός ( efficient) εάν είναι αµερόληπτος και έχει την µικρότερη δυνατή διακύµανση από κάθε άλλο εκτιµητή. 3. Ένας εκτιµητής θα καλείται γραµµικός εάν αποτελεί γραµµική συνάρτηση των παρατηρήσεων του δείγµατος.

11 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 9 Μερικοί συντελεστές Παλινδρόμησης Οι διαφορετικοί εκτιμητές παριστάνουν την μεταβολή στην μέση τιμή της εξαρτημένης μεταβλητής όταν η ανεξάρτητη μεταβάλλεται κατά μία μονάδα και οι υπόλοιπες μεταβλητές παραμένουν σταθερές. ˆ EY ( t) βi =, i = 1,2,..., n ( X ) t

12 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 10 Ερμηνεία Συντελεστών Παλινδρόμησης Ηπαράμετροςβπαριστάνειτομερικόήοριακό αποτέλεσμα από την αύξηση κατά μια μονάδα της ποσότητας της ανεξάρτητης μεταβλητής X για την εξαρτημένη μεταβλητή Υ διατηρώντας τις επιδράσεις το άλλων μεταβλητών σταθερές(ceteris paribus). Πωςσυνδέεταιμετηνελαστικότητα; Υ X ε = X Y Τι εκφράζει η µερική Παράγωγος;

13 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 11 Θεώρηµα Gauss-Markov Var ( β 0) Cov ( β0, β1)... Cov ( β0, β ) k Cov ( β 1, β0) Var ( β1)... Cov ( β1, βk ) Var ( β) =.. Cov ( β, k β0) Cov ( βk, β1)... Var ( βk ) Στο κλασικό γραµµικό υπόδειγµα οι εκτιµητές των συντελεστών που προκύπτουν από την µέθοδο ελαχίστων τετραγώνων είναι άριστοι, γραµµικοί, αµερόληπτοι και οι διακυµάνσεις και συνδιακυµάνσεις δίνονται από την κάτωθι σχέση.

14 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 12 Σηµαντικότητα-Επεξηγηµατικότητα Έλεγχος Σηµαντικότητας εκτιµητών Συντελεστής Προσδιορισµού- ιορθωµένος Συντελεστής Προσδιορισµού- ιορθωµένος 2 ESS RSS R = = 1, TSS TSS RSS ESS 2 1 N 1 2 R 1 N k k = = = 1 (1 R ) TSS TSS N k N 1 N 1 n n 2 2 ˆ ' ˆ i i ε ι i= 1 i= 1 n i= n1 TSS = Y Y = Y Y ny = ΑΤΠ i= 1 2 ˆ ' ( i ) β ' ESS = Y Y = Χ Υ ny = ΣΤΑ 2 ( i ) ' RSS = ( y y ) = = Y ' Y βx ' Y =ΑΤΚ 2 2 Τι εκφράζουν;

15 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 14 Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας και διάστημα εμπιστοσύνης εκτιμητριών ΔιάστημαΕμπιστοσύνης: Ίδιαγιατοσταθερόόρο. ˆ β ( βˆ ) ± t se i α / 2,( n κ 1) i Έλεγχοςσημαντικότητας εκτιμητώνμέσωτουεξήςελέγχου H : ˆ β = 0, vsh : ˆ β 0 0 i 1 i Ηστατιστικήσυνάρτησηπουχρησιμοποιούμεείναιt = ˆ βi se( ˆ β ) i Εάν t > t α / 2,( n k 1) τότεαπορρίπτεταιημηδενικήυπόθεση.

16 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 15 Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας και διάστημα εμπιστοσύνης εκτιμητριών Κανόνας«2-t»:Εάνοαριθμόςτωνβαθμώνελευθερίαςείναι μεγαλύτερος του 20 και, εάν το επίπεδο σημαντικότητας είναι α=0.05, τότε η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται εάν t < 2 t κατανομήκατά Studentήεναλλακτικάχρησιμοποιώνταςτης τιμή πιθανότητας (p-value) από αντίστοιχα οικονομετρικάστατιστικά προγράμματα.

17 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 16 Έλεγχος στατιστικής σημαντικότητας και διάστημα εμπιστοσύνης εκτιμητριών αρχικήυπόθεση:όλοιοιεκτιμητές(εκτόςτουσταθερούόρου)=0 (στατιστικά µη σηµαντικό υπόδειγµα) Εναλλακτικήυπόθεση: διαφορετικά(στατιστικάσημαντικό) Πηγή Μεταβλητότ ητας Άθροισµα Τετραγών ων Βαθµοί Ελευθερίας Μέσοι Τετραγώ νων F Πρόκειται ακριβώς για αυτόν τον έλεγχο Παλινδρόµησ η ΕSS K ESS/K= A Κατάλοιπα RSS N-K-1 RSS/N- K-1=B Σύνολο TSS N-1 A/B

18 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 17 Συµβολή ανεξάρτητης µεταβλητής-έλεγχος Σε ένα υπόδειγµα µε δυο ή περισσότερες ανεξάρτητες µεταβλητές ποιά συµβάλλει περισσότερο στην τιµή του συντελεστή προσδιορισµού; Αξίζει ή όχι να προστεθεί ή να αφαιρεθεί µια µεταβλητή στο υπόδειγµα; Με ποιον τρόπο θα µπορούσαµε να το εξετάσουµε αυτό; (έλεγχος µε την F-κατανοµή)

19 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 18 Συµβολή ανεξάρτητης µεταβλητής Αποδοχή αρχικής υπόθεσης Η0: όλοι οι εκτιμητές(του αρχικού υποδείγματος=0),vs Η1: διαφορετικά(στατιστικά σημαντικό) Ο έλεγχος που χρησιμοποιείται δίνεται ως εξής: 2 2 ( Ru RR ) F = r 2 (1 Ru ) N K Κάτω από τις κλασσικές υποθέσεις ότι, δηλαδή, τα σφάλµατα κατανέµονται κανονικά, αυτή ηf ακολουθεί την κατανοµήfµε r καιn-κβαθµούς ελευθερίας Απόρριψη αρχικής υπόθεσης

20 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 19 Μερικά κριτήρια επιλογής υποδειγμάτων Τακριτήριααυτάείναιχρήσιμαγιαεπιλογήυποδειγμάτων, και σύγκριση προβλέψεων Τοκριτήριοτου Akaike(AIC): N N Συγκρίνοντας δυο υποδείγματα με το κριτήριο AIC, επιλέγεται εκείνογιατοοποίοητιμήτουκριτηρίουτουaicείναιη μικρότερη. Τοκριτήριοτου Schwarz(SIC): N N ΣυγκρίνονταςδυουποδείγματαμετοκριτήριοSΒC, επιλέγεταιεκείνογιατοοποίοητιμήτουκριτηρίουτουsβc είναι η μικρότερη. ln 2k RSS AIC = + ln k RSS lnsbc = ln( N) + ln

21 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 20 Έλεγχος της κανονικότητας των καταλοίπων Μπορείναπραγματοποιηθείκαιμετηστατιστικήτων Jarque and Bera(JB-statistic): JB = SK n ( KU 3) 24 2 όπου SKείναιοσυντελεστήςασυμμετρίαςκαι KUείναιο συντελεστήςκύρτωσης. Στηνκανονικήκατανομήείναι SK=0 και KU=3. Ηστατιστική JBακολουθείτηνκατανομήχ2 με2 βαθμούς ελευθερίας. Εάν JB > χ2 (2), τότε απορρίπτουμε τη μηδενική υπόθεση ότι, τα κατάλοιπα κατανέμονται κανονικά.

22 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 21 Αλλαγή στην μονάδα μέτρησης Αρκετές φορές οι διάφορες οικονομικές μεταβλητές προκύπτουν ύστερα απο αλλαγές στις μονάδες μέτρησης τους(π.χ ευρώ σε δολάρια ή χιλιάδες σε δις). Οι αλλαγές αυτές επηρεάζουν την εκτίμηση ενός υποδείγματος.

23 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 22 ΑκραίεςΤιμές(outliers) Ηύπαρξητωνακραίωντιμώνσεένα πολυμετάβλητο γραμμικό υπόδειγμα πιθανός να επηρεάσει ορισμένες φορές και την εκτίμηση του. Μιαπιθανήλύσηείναιηαφαίρεσητουςη οποία δεν αποτελεί πάντα πανάκεια.

24 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 23 Ασκήσεις Ναγίνουνοιασκήσειςαπότομάθημα4-5-6 που αναφέρονται στο πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα

25 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 24 T-student Distribution

26 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 25 F Distribution

27 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 26 F Distribution

28 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 27 X square Distribution

29 ΕΠΙΧ Οικονοµετρικά Πρότυπα ιαφάνεια 28 Τιναδιαβάσω; Κεφάλαιο 3οΧρήστου. Σημειώσειςαπότο e-class. Παρουσίαση μαθήματος Οικονομετρικά Πρότυπα Μάθημα Δεύτερο Σημειώσεις με τίτλο«οικονομετρικά Πρότυπα: Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα» ΑσκήσειςΜάθημα 4 ο -5 ο -6 ο ΟικονομετρικάΠρότυπα ΑΠ