Κεφάλαιο 5 Η διαγωγή των συμβατικών πλοίων

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Κεφάλαιο 5 Η διαγωγή των συμβατικών πλοίων"

Transcript

1 Κεφάλαιο 5 Η διαγωγή των συμβατικών πλοίων Σύνοψη Σε αντίθεση με την εγκάρσια κλίση, η διαγωγή των συμβατικών πλοίων σχετίζεται περισσότερο με την φόρτωση παρά με την ευστάθειά τους. Οι υπολογισμοί της διαμήκους κλίσης αφορούν κυρίως τα βυθίσματα για συγκεκριμένη φόρτωση, όπως επίσης το εκτόπισμα και τη διαμήκη θέση του κέντρου βάρους όταν τα βυθίσματα είναι γνωστά. Το βασικό εργαλείο που χρησιμοποιείται κατά την επίλυση αυτών των προβλημάτων είναι οι καμπύλες εμβαδών και ροπών εγκάρσιων επιφανειών (καμπύλες onjean), που είναι αντίστοιχες σε σπουδαιότητα με τις καμπύλες ευστάθειας. Ο καμπύλες onjean είναι και αυτές συναρτήσεις της εξωτερικής γεωμετρίας του πλοίου. Επειδή όμως δεν παράγουν εξίσου άμεσα αποτελέσματα, αλλά απαιτούν ενδιάμεσες αριθμητικές ολοκληρώσεις, σε πολλές πρακτικές εφαρμογές χρησιμοποιούνται με καλή προσέγγιση τα διαγράμματα διαγωγής, που είναι παράγωγά τους. Όλες οι συναφείς μεθοδολογίες περιγράφονται σε αυτό το κεφάλαιο. Προαπαιτούμενη γνώση Κεφάλαια 1, και 3 στο παρόν, εισαγωγή στη ναυπηγική τεχνολογία. 5.1 Καμπύλες εμβαδών και ροπών εγκάρσιων τομών (καμπύλες onjean) Όπως οι καμπύλες ευστάθειας, έτσι και καμπύλες των εμβαδών των εγκάρσιων τομών (curves o transverse areas, onjean Curves) εξαρτώνται αποκλειστικά από τη γεωμετρία του πλοίου και χρησιμοποιούνται ευρύτατα στους υπολογισμούς της διαμήκους ισορροπίας (iran, 003 Rawson and Tupper, 001). Από τις καμπύλες onjean, μπορούν να βρεθούν κάτω από οποιαδήποτε ίσαλο με μηδενική εγκάρσια κλίση: (α) το εκτόπισμα του πλοίου και (β) οι συντεταγμένες του κέντρου άντωσης K (VC) και x (C). Για κάθε εγκάρσια τομή (νομέα) ενός πλοίου, υπολογίζεται το εμβαδόν της ως συνάρτηση του βυθίσματος Ti(i = 1,, N) μέχρι το ανώτατο στεγανό κατάστρωμα. Παράλληλα, υπολογίζεται και η ροπή της επιφάνειας που αντιστοιχεί στο βύθισμα T i ως προς το βασικό επίπεδο. Στο Σχήμα 5.1 απεικονίζονται οι δύο καμπύλες (η διακεκομμένη αντιστοιχεί στις ροπές επιφανειών) που περιέχουν τα σημεία και C των αντίστοιχων βυθισμάτων. Οι τετμημένες ΑΒ είναι υπό κλίμακα ίσες με το εμβαδόν της τομής A X μέχρι τα βυθίσματα T A και οι τετμημένες AC ίσες με την αντίστοιχη ροπή M. Vx Σχήμα 5.1 Καμπύλες εμβαδών (ΑΒ) και ροπών (ΑC) ως προς το βύθισμα σε μια εγκάρσια τομή

2 Αν υποθέσουμε ότι ζητούνται τα στοιχεία της άντωσης κάτω από μια οποιαδήποτε κεκλιμένη ίσαλο W, τότε απαιτούνται οι υπολογισμοί για τα ολοκληρώματα: = A dx, M = M dx, M = xa dx x V Vx mid x (5.1) όπου τώρα A x και M Vx είναι οι τιμές του εμβαδού και της πρώτης ροπής της εγκάρσιας τομής στη θέση (x), η οποία ορίζεται κάτω από το σημείο A της τομής της W με την κατακόρυφη που ορίζει το νομέα στο σχέδιο του περιγράμματος του πλοίου, δηλαδή στο βύθισμα T x. Αν έχουν χαραχτεί οι καμπύλες onjean σε κάθε νομέα, όπως φαίνεται στο διάγραμμα του Σχήματος 5., τότε οι αποστάσεις (A) και (AC) θα δίνουν υπό κλίμακα το εμβαδόν A x και τη ροπή M Vx (Λουκάκης και Πέρρας, 198). Επομένως, για Ν εγκάρσιες τομές, έχουμε κατά Simpson: δ x 1( 0) 4( 1) 4( 1) 1( ) 3 A + A AN + AN δ x M 1 AC + 4 AC AC + 1 AC 3 ( ) ( ) ( ) ( ) V 0 1 N 1 N δ x N 1 N 1 N 1 Mmid 1 A0 4 1 A AN (5.) Επομένως, υπολογίζουμε τις συντεταγμένες του κέντρου άντωσης από τις σχέσεις: K M V =, C = M mid (5.3) Σχήμα 5. Καμπύλες onjean εμβαδών και ροπών εγκάρσιων τομών κατά μήκος του πλοίου

3 5. Υπολογισμοί διαγωγής Τα δύο βασικά προβλήματα με τα οποία έχουν σχέση οι υδροστατικοί υπολογισμοί των διαμήκων κλίσεων είναι (Λουκάκης και Πέρρας, 198): (α) ο υπολογισμός του πρωραίου T και πρυμναίου βυθίσματος T A, όταν είναι δεδομένα το βάρος του πλοίου W και η θέση του κέντρου βάρους CG, KG και (β) το αντίστροφο πρόβλημα, δηλαδή η εκτίμηση του εκτοπίσματος του πλοίου και η θέση του κέντρου βάρους του όταν είναι γνωστά το πρωραίο και το πρυμναίο βύθισμά του. Και στις δύο περιπτώσεις, χρησιμοποιείται το υδροστατικό διάγραμμα και οι καμπύλες onjean του πλοίου, που θεωρούνται δεδομένα. Οι υπολογισμοί μπορούν να γίνουν είτε με τη θεώρηση των μικρών μεταβολών (όταν επιτρέπεται) είτε με αριθμητικές ολοκληρώσεις. (α) Υπολογισμός ισάλου και βυθισμάτων Σχήμα 5.3 Υδροστατική ισορροπία πλοίου σε κεκλιμένη ίσαλο. Εάν είναι γνωστό το βάρος του πλοίου και το κέντρο βάρους του, τότε υπολογίζεται, αρχικά, από το υδροστατικό διάγραμμα η θέση του κέντρου άντωσης κάτω από την ισοβύθιστη ίσαλο εκτοπίσματος Δ = W και βυθίσματος (Σχήμα 5.3). Τότε, η αρχική διαμήκης θέση x ή C του Β στο σωματοπαγές σύστημα αξόνων του πλοίου δεν συμπίπτει, εν γένει, με τη διαμήκη θέση x G ή CG του κέντρου βάρους του πλοίου. Αν θεωρήσουμε ότι στην κατακόρυφη διά του και στο σημείο G' ( ώστε KG = KG') ασκούνται οι δύο αντίθετες δυνάμεις, W και W, τότε το ισοδύναμο πρόβλημα της μηχανικής αναλύεται σε δύο επιμέρους καταστάσεις: (α) στα σημεία και G', εξασκούνται οι δυνάμεις Δ και W και (β) στα σημεία G' και G εξασκούνται οι δυνάμεις W (= Δ) και W, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.4. Οι δύο πρώτες δυνάμεις (α) βρίσκονται, προφανώς, σε υδροστατική ισορροπία και δεν δημιουργούν διαγωγή, σε αντίθεση με τη ροπή του ζεύγους (β), που εκφράζει μια διαμήκη ροπή κλίσης. Επομένως, η τελική κατάσταση ισορροπίας (σε σχέση με την υποθετική ισοβύθιστη (α)) προκύπτει ως αποτέλεσμα αυτής της ροπής που μπορεί εναλλακτικά, να θεωρηθεί ότι δημιουργείται λόγω της μετακίνησης του βάρους W από το αρχικό σημείο G' στο τελικό G. Στην τελική κλίση που θα αποκτήσει το πλοίο, όλες οι δυνάμεις είναι κατακόρυφες, δηλαδή κάθετες στο επίπεδο της τελικής ισάλου και, επομένως, η τελική ροπή κλίσης, κατ αντιστοιχία με τη σχέση (4.13) των εγκάρσιων κλίσεων, ισούται με: ( ) M = x x cosθ G (5.4) όπου θ είναι η τελική γωνία της διαγωγής (θετικές ροπές αυξάνουν τα βυθίσματα στα θετικά του x). Επίσης, στην τελική κατάσταση ισορροπίας, το τελικό κέντρο άντωσης θα βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο με το κέντρο βάρους και, όπως προκύπτει από το Σχήμα 5.5, θα ισχύει ότι: G ( ) x x = KG K tanθ (5.5)

4 όπου τα πρόσημα είναι συνεπή προς τη φορά του συστήματος των συντεταγμένων (xz). Η σχέση (5.5) είναι η ακριβής συνθήκη ισορροπίας που συνδέει τις τελικές αποστάσεις στο σωματοπαγές σύστημα αξόνων με τη διαμήκη γωνία θ. Όταν η γωνία θ είναι μικρή μπορεί να απλοποιηθεί στην x G = x. Σχήμα 5.4 Ανάλυση των δυνάμεων βάρους (W) και άντωσης () κατά το διάμηκες επίπεδο. Σχήμα 5.5 Ισορροπία των δυνάμεων βάρους (W) και άντωσης () κατά το διάμηκες επίπεδο. Όταν ισχύουν οι υποθέσεις της θεωρίας των μικρών μεταβολών για ένα συμβατικό πλοίο με >>, τότε η γωνία διαγωγής (ή διαμήκους κλίσης) βρίσκεται από τη γενίκευση της σχέσης (.77): G ( ) ( ) Myz Myz xg x xg x tanθ = = = γi γi MT1 yy yy (5.6) όπου είναι το χαρακτηριστικό μήκος του πλοίου για το οποίο ορίζεται το μέγεθος MT1. Το MT1, η διαμήκης θέση x του κέντρου άντωσης και η διαμήκης θέση x του κέντρου πλευστότητας, διαβάζονται από το

5 υδροστατικό διάγραμμα για το βύθισμα Τ της ισοβύθιστης αρχικής κατάστασης W 0, που, με βάση τη θεωρία των μικρών μεταβολών, παραμένει σταθερό μόνο στο. Από το Σχήμα 5.3, προκύπτει ότι τα δύο βυθίσματα του πλοίου υπολογίζονται ως εξής: t T = TC + x tanθ = TC + x t TA = TC + x tanθ = TC + x (5.7) όπου t = T T A είναι η διαγωγή του πλοίου. Στην περίπτωση που, λόγω συμμετρίας, το κέντρο πλευστότητας βρίσκεται στον μέσο νομέα, η (5.7) απλοποιείται στην: T = T + t/ = T + t/ C M T = T t/ = T t/ A C M (5.8) Όταν δεν ισχύει η υπόθεση των μικρών μεταβολών, γίνεται χρήση του διαγράμματος των καμπυλών onjean σε συνδυασμό με μία επαναληπτική μέθοδο, η οποία απαιτεί την χρήση Η/Υ. Αρχικά, σε πρώτη προσέγγιση, βρίσκονται τα βυθίσματα από τις σχέσεις (5.7) και, στη συνέχεια, σχεδιάζεται η ίσαλος W 1 στο σχέδιο των καμπυλών onjean (Σχήμα 5.6). Σχήμα 5.6 Υπολογισμός άντωσης και διαμήκους θέσης κέντρου άντωσης από τις καμπύλες onjean. Με τη βοήθεια των onjean, το εκτόπισμα 1 και η θέση του κέντρου άντωσης (x 1, K 1 ) στο σωματοπαγές σύστημα υπολογίζονται από τις γενικές σχέσεις (5.): MV M = Adx, x 1= γ,k 1 =, x1 = mid (5.9) Επίσης, σύμφωνα με τη σχέση (5.5), η ορθή τιμή του x υπολογίζεται ως x = x G (KG K 1 ) tanθ. Προφανώς, η τιμή αυτή είναι συνάρτηση του δεδομένου x G και του ΚΒ 1 που υπολογίζεται στο τρέχον επαναληπτικό βήμα. Αν 1 ή/και x 1 x, τότε η ίσαλος W 1 μεταβάλλεται, εφαρμόζοντας μια παράλληλη μεταφορά δτ και μια στροφή δθ (προσημασμένη, κατά τα ισχύοντα), που ορίζονται από τις σχέσεις: - 1 δt = γ A W δ M δθ = MT1 (5.10)

6 όπου το μέγεθος γa W είναι το γνωστό TP1, που προκύπτει από το υδροστατικό διάγραμμα για το αρχικό Τ. Σε όλη την υπόλοιπη διαδικασία, θεωρείται σταθερό, όπως και το MT1. Η ροπή δμ προκύπτει από τη σχέση: ( ) δm x x 1 (5.11) Η στροφή πραγματοποιείται πάντοτε γύρω από το σημείο τομής της εκάστοτε ισάλου με την W O. Υπολογίζεται η νέα ίσαλος και η διαδικασία συνεχίζεται μέχρι να συγκλίνουν οι τιμές του Δ 1 και x 1. Συνήθως, οι σχέσεις (5.10) πολλαπλασιάζονται με συντελεστές υποχαλάρωσης (< 1), ώστε να επιταχυνθεί ο ρυθμός και να επιτευχθεί σύγκλιση της μεθόδου. (β) Υπολογισμός εκτοπίσματος και διαμήκους θέσης κέντρου βάρους από τα βυθίσματα Όταν είναι γνωστά τα βυθίσματα του πλοίου (T, T A ), τότε είναι γνωστή και η γωνία διαμήκους διαγωγής, γιατί tanθ = (T T A )/. Αν απαιτούνται ακριβείς υπολογισμοί, χρησιμοποιούνται οι καμπύλες onjean, στο σχετικό διάγραμμα των οποίων σχεδιάζεται η κεκλιμένη ίσαλος. Οπότε, το εκτόπισμα Δ και το x βρίσκονται από τα ολοκληρώματα: = dxdydz = ( ) A x dx xdxdydz xdx dydz xaxdx M = = = Ax C = zdxdydz MVxdx M K = V = = (5.1α) (5.1β) (5.1γ) Στη συνέχεια, το ζητούμενο x G υπολογίζεται από τη σχέση (5.5). Όταν ισχύουν οι προϋποθέσεις των μικρών μεταβολών και υπάρχουν τα υδροστατικά στοιχεία του πλοίου, ακολουθούνται τα εξής βήματα: (1) Υπολογίζεται το μέσο βύθισμα, T M = (T +T A )/, και θεωρείται ότι T C = T M. () Για το T C = T M, υπολογίζεται, από το υδροστατικό διάγραμμα, το εκτόπισμα Δ ΤΜ. (3) Για το T C, υπολογίζονται, από το υδροστατικό διάγραμμα το TP1 = γa W και η θέση του κέντρου πλευστότητας x ως προς το σωματοπαγές σύστημα (π.χ. ως προς τον μέσο νομέα). (4) Υπολογίζεται το νέο εκτόπισμα, από τη σχέση: T T A = TM + TP1 x (5.13) (5) Για το νέο εκτόπισμα Δ της σχέσης (5.13), βρίσκεται από το υδροστατικό διάγραμμα, το T C. (6) Τα βήματα 3-5 επαναλαμβάνονται, μέχρι η διαδικασία να συγκλίνει

7 Η σχέση (5.13) προκύπτει από τη γνωστή θεώρηση των μικρών μεταβολών, όπου οι ισόογκες μεταβολές έ- χουν πάντοτε κοινό σημείο το κέντρο πλευστότητας (Σχήμα 5.7). Σχήμα 5.7 Υπολογισμός εκτοπίσματος από τα βυθίσματα στην πλώρη και την πρύμνη. Κάτω από τη γνωστή κεκλιμένη ίσαλο W, το εκτόπισμα είναι ίσο με αυτό που αντιστοιχεί κάτω από την ισοβύθιστη ίσαλο W 1, όταν οι δύο ίσαλοι τέμνονται στο κέντρο πλευστότητας της W 1. Η ίσαλος W O, που συμβολίζει την ισοβύθιστη κατάσταση μέσου βυθίσματος T M, έχει, προφανώς, διαφορετικό εκτόπισμα, αφού οι δύο ίσαλοι, W O και W 1, διαφέρουν κατά δt. Η διαφορά αυτή του εκτοπίσματος είναι: δ = γ A δt = TP1 δt W (5.14) Από το Σχήμα 5.7, είναι προφανές ότι: δt = x tanθ = x (T T A )/. Οπότε, αποδεικνύεται η σχέση (5.13). Συνήθως, αντικαθιστούμε τη διαγωγή (T T A ) με το γνωστό σύμβολο t. Για τον τελικό προσδιορισμό του εκτοπίσματος πρέπει να λάβουμε υπόψη μας και το βέλος κάμψης που εμφανίζει το πλοίο όταν πλέει σε ήρεμο νερό, λόγω της στατικής φόρτισης της κατασκευής του. Μπορεί να έχουμε στο μέσο του πλοίου βύθισμα μικρότερο του μέσου βυθίσματος που υπολογίζεται από το πρωραίο και το πρυμναίο (sagging), ή μεγαλύτερο (hogging). Η επίδραση αυτή του βέλους κάμψης υπολογίζεται προσεγγιστικά, με ικανοποιητική ακρίβεια, αν αυξομειώσουμε το φαινομενικό μέσο βύθισμα κατά 0,8f, όπου το f είναι το μέγιστο βέλος κάμψης, που αντιστοιχεί στην εξεταζόμενη κατάσταση φόρτωσης του πλοίου. Υπάρχουν και διάφορες άλλες εμπειρικές σχέσεις που χρησιμοποιούνται για τη διόρθωση του εκτοπίσματος. Γενικότερα, ενώ όλα τα πλοία παρουσιάζουν ελαστικές παραμορφώσεις της μεταλλικής τους κατασκευής κατά τη φόρτωση, το φαινόμενο αυτό αμελείται κατά τους υπολογισμούς. Ενδιαφέρει όμως, από πρακτική άποψη, τους πλοιάρχους που πρέπει να γνωρίζουν κάθε φορά με ακρίβεια το φορτίο του εκτοπίσματος. Το λάθος, αν αγνοηθεί η επίδραση του βέλους κάμψης, είναι, συνήθως, της τάξης του 0,5%. 5.3 Τα διαγράμματα διαγωγής Τα διαγράμματα διαγωγής (Trim Diagrams) κατασκευάζονται με τη βοήθεια των καμπύλων onjean και είναι ιδιαίτερα χρήσιμα, γιατί λύνουν ταχύτατα και με πολύ καλή προσέγγιση τα προβλήματα της Ενότητας 5. (Scheltema de Heere and akker, 1969). Για την παραγωγή των διαγραμμάτων, λαμβάνεται ένα επαρκές σύνολο μέσων βυθισμάτων Τ Μi, σύμφωνα με το Σχήμα 5.8. Για κάθε μέσο βύθισμα, δημιουργείται ένα σμήνος Ν + 1 ισάλων, που χαρακτηρίζονται από τη γωνία διαμήκους διαγωγής θ, η οποία παίρνει τις τιμές ( θ Ν,..., θ 1, 0, θ 1,... θ Ν ), σύμφωνα με τα πρόσημα του σωματοπαγούς συστήματος του Σχήματος 5.8. Στη συνέχεια, για κάθε ίσαλο που χαρακτηρίζεται από τα στοιχεία (Τ Μi, θ), υπολογίζονται από τις καμπύλες onjean: (1) το εκτόπισμα γ. () η ροπή του εκτοπίσματος ως προς τον μέσο νομέα M = γx. (3) η ροπή του εκτοπίσματος ως προς το βασικό επίπεδο M = γ z. yz xy

8 Σχήμα 5.8 Ορισμός βυθισμάτων και γωνιών. Με παράμετρο τώρα τη γωνία θ, κατασκευάζονται τα διαγράμματα (5.9α), (5.9β) και (5.9γ), στα ο- ποία συσχετίζεται το πρυμναίο βύθισμα Τ Α με τα τρία παραπάνω μεγέθη. Τα βυθίσματα στην πρυμναία και πρωραία κάθετο υπολογίζονται απλώς από τον ορισμό της γωνίας διαγωγής στο δεδομένο σωματοπαγές σύστημα, όπου το εγκάρσιο συντεταγμένο επίπεδο (Oyz) ταυτίζεται με τον μέσο νομέα: T = T 05, tanθ ν A Mi T = T + 05, tanθ = T + tan θ Mi A (5.15) (5.16) Αντί του εκτοπίσματος και των ροπών του, είναι ορθότερο να χρησιμοποιούνται ο όγκος και οι ροπές του όγκου, ώστε τα τελικά διαγράμματα να είναι ανεξάρτητα του εκάστοτε ειδικού βάρους του νερού. Τότε, το ειδικό βάρος του νερού θα πρέπει να λαμβάνεται υπόψη, για να μετατρέψει τις ροπές των βαρών του πλοίου σε ισοδύναμες ροπές όγκων. Η μετατροπή αυτή είναι προφανής στη μεθοδολογία των διαγραμμάτων διαγωγής, που περιγράφεται στη συνέχεια. Σχήμα 5.9α Πρυμναίο βύθισμα ως συνάρτηση του εκτοπίσματος και της γωνίας διαγωγής

9 Σχήμα 5.9β Πρυμναίο βύθισμα ως συνάρτηση της ροπής του εκτοπίσματος και της γωνίας διαγωγής. Σχήμα 5.9γ Πρυμναίο βύθισμα ως συνάρτηση της ροπής του εκτοπίσματος ως προς το βασικό επίπεδο και της διαγωγής. Με τη βοήθεια των διαγραμμάτων 5.9.α και 5.9.β, κατασκευάζεται το βασικό διάγραμμα διαγωγής 5.10, που συνδέει τα βυθίσματα στην πλώρη και στην πρύμνη με το εκτόπισμα και τη ροπή εκτοπίσματος ως προς τον μέσο νομέα. Οι καμπύλες του σταθερού εκτοπίσματος παράγονται από το Σχήμα 5.9α, αν θεωρήσουμε διάφορες τιμές Δ = σταθ. και αν, για το σύνολο των γωνιών διαγωγής, υπολογίσουμε γραφικά τα βυθίσματα Τ Α, ενώ τα Τ δίνονται από την (5.16), με δεδομένα τα T A και θ. Με τον ίδιο τρόπο, χρησιμοποιώντας το διάγραμμα του Σχήματος 5.9β, παράγονται και οι καμπύλες σταθερής ροπής. Το διάγραμμα διαγωγής χρησιμοποιείται για την άμεση επίλυση των δύο βασικών προβλημάτων της διαγωγής, που συνοψίζεται στην ακόλουθη διαδικασία: 1) καταγράφουμε τα βυθίσματα Τ Α, Τ για μια αρχική κατάσταση Α του πλοίου (Σχήμα 5.10). ) από το διάγραμμα διαγωγής, βρίσκουμε, με παρεμβολή, το εκτόπισμα Δ και η ροπή x Δ. 3) θεωρώντας ότι η γωνία θ είναι μικρή, ισχύει η σχέση x = x G και η ροπή του βάρους στο σωματοπαγές G σύστημα είναι ίση με τη ροπή του εκτοπίσματος, δηλαδή M = M. 4) υποθέτουμε ότι στο πλοίο προστίθενται (ή/και αφαιρούνται) Ν φορτία P i σε γνωστές θέσεις και υπολογίζουμε το νέο εκτόπισμα και τη νέα ροπή: yz yz

10 = + Pi N G G yz yz i i N (M ) = M + Px yz G yz (M ) = (M ) (5.17) (5.18) (5.19) 5) με παρεμβολή, ως προς τις καμπύλες εκτοπίσματος και σταθερής διαγωγής, από τις (5.17) και (5.18), βρίσκουμε το σημείο Β στο διάγραμμα διαγωγής 5.10 και, γραφικά, τα νέα βυθίσματα Τ Α, Τ. Σχήμα 5.10 Διάγραμμα διαγωγής (βυθίσματα ως συναρτήσεις του εκτοπίσματος και της διαμήκους ροπής του). Η γραμμική παρεμβολή είναι η απλούστερη που μπορεί να χρησιμοποιηθεί στα διαγράμματα διαγωγής. Με δεδομένα το εκτόπισμα και τη ροπή του σημείου Β στο Σχήμα 5.11, υπολογίζουμε τα βυθίσματα στα σημεία C και D στις καμπύλες σταθερής ροπής από τις σχέσεις: T T T = T + ( ) C D T T T = T + ( ) (5.30) Και στη συνέχεια, παρεμβάλλουμε ως προς τη ροπή:

11 T T T T (x -(x [ ) ) ] D C = C + Β 1 (x ) (x ) 1 (5.31) Η παρεμβολή (5.31) ισχύει και για το πρωραίο και για το πρυμναίο βύθισμα. Όταν είναι γνωστά τα βυθίσματα του σημείου Β, τότε η παρεμβολή γίνεται γραφικά. Για παράδειγμα, αν χαράξουμε το ευθύγραμμο τμήμα (CD), τότε η ροπή στο Β βρίσκεται από τη γραμμική σχέση: (C) (D) (x ) = (x ) + (x ) Β 1 ( CD ) C ( CD ) (5.3) Σχήμα 5.11 Παρεμβολές στο διάγραμμα διαγωγής για τον υπολογισμό των βυθισμάτων. Όταν η γωνία διαγωγής είναι μεγάλη, πρέπει να ικανοποιείται η ακριβής συνθήκη (5.5), που, ισοδύναμα, γράφεται: G ( ) x = x KG K tanθ G T TA M yz = M yz ( KG K) G G T TA Myz = M yz (Mxy M xy ) (5.33) Η σχέση (5.33) χρησιμοποιείται όταν είναι γνωστή η κατανομή των βαρών στο πλοίο. Αρχικά, προσεγγίζονται τα βυθίσματα, όπως προηγουμένως, υποθέτοντας ότι η διαγωγή είναι αμελητέα. Στη συνέχεια, υπολογίζεται η ροπή της άντωσης ως προς το βασικό επίπεδο αναφοράς από το διάγραμμα του Σχήματος 5.1. Το διάγραμμα αυτό προκύπτει από το Σχήμα 5.9γ, ακριβώς όπως και το διάγραμμα σταθερών διαμήκων ροπών

12 στο Σχήμα Με γνωστά τα βυθίσματα του σημείου Β, η ροπή υπολογίζεται από τη σχέση γραμμικής παρεμβολής: 1 1 (M xy ) (M xy ) 1 xy = xy + 1 A A TA TA (M ) (M ) (T T ) (5.34) Εννοείται ότι η παρεμβολή γίνεται στην κάθετη που διέρχεται από το γνωστό πρωραίο βύθισμα. Αν εισαγάγουμε αυτήν τη ροπή στο δεύτερο μέλος της (5.33), τότε υπολογίζουμε με καλύτερη προσέγγιση τη ροπή της άντωσης ως προς τον μέσο νομέα και επαναπροσδιορίζουμε από το διάγραμμα διαγωγής τα βυθίσματα. Η διαδικασία συνεχίζεται, μέχρι να συγκλίνει. Συνήθως, δεν χρειάζονται περισσότερες από τρεις επαναλήψεις. Σχήμα 5.1 Υπολογισμός ροπής άντωσης ως προς το βασικό επίπεδο. Βιβλιογραφικές αναφορές iran, A. (003), Ship Hydrostatics and Stability, Oxford: utterworth Heinemann. Rawson, K.J. and Tupper, E.C. (001), asic Ship Theory, Vols. 1-, Oxford: utterworth Heinemann (original work published 1968). Scheltema de Heere, IR.R.. and akker, A.R. (1969), uoyancy and Stability of Ships, Culemborg: Technical Publications H. Stam. Λουκάκης, Θ.Α. και Πέρρας, Π.Τ. (198), Υδροστατική και ευστάθεια πλοίου, Σελλούντος, Αθήνα. Προτεινόμενη βιβλιογραφία arrass, C.. and Derrett, E.R. (006), Ship Stability for Masters and Mates, Oxford: utterworth Heinemann (original work published 1964). axter,. (1967), Naval Architecture. Examples and Theory, ondon: Charles Griffin & Co

13 Comstock, J.P. (Εd.) (1968), Principles of Naval Architecture, New York: The Society of Naval Architects and Marine Engineers (SNAME). Semyonov-Tyan-Shansky, V. (004), Statics and Dynamics of the Ship, San rancisco: University Press of the Pacific (original work published by MIR). Κολλινιάτης, Ι.Ε. (1997), Ευστάθεια-Φόρτωση, Ίδρυμα Ευγενίδου, Αθήνα. Σανούδος, Α. (008). Φορτώσεις και ευστάθεια πλοίων, Ίων, Αθήνα. Τζαμπίρας, Γ. (010). Υδροστατική και ευστάθεια πλοίου Ι (ευστάθεια άθικτου πλοίου), Σημειώσεις, τόμ. 1-, Θωμαΐδειο Ίδρυμα ΕΜΠ, Αθήνα. Παράδειγμα 5.1 Λυμένα παραδείγματα Πλοίο μήκους 100m πλέει αρχικά ισοβύθιστο με βύθισμα Τ = 6 m σε θαλασσινό νερό, με γ = 1,05 t/m 3. Στον Πίνακα Π5.1 δίνονται σε πέντε ισαπέχοντες νομείς: τα εμβαδά των εγκάρσιων τομών και τα ημιπλάτη της ίσαλου πλεύσης, και τα κέντρα των εγκάρσιων επιφανειών ως προς το βασικό επίπεδο αναφοράς. Ζητείται να υπολογιστεί το πρωραίο και το πρυμναίο βύθισμα του πλοίου, όταν εισέλθει σε περιοχή με ειδικό βάρος νερού γ = 1 t/m 3. Η απόσταση του κέντρου βάρους του πλοίου από το βασικό επίπεδο είναι KG = 7 m. Noμέας 1(AP) 3 4 5(P) A(m ) / (m) Kb Πίνακας Π5.1. Εμβαδά εγκάρσιων τομών, ημιπλάτη ισάλου και κατακόρυφες αποστάσεις κέντρων επιφανειών. Λύση Τα δεδομένα του προβλήματος επιτρέπουν την επίλυσή του με τη βοήθεια της θεωρίας των μικρών μεταβολών. Υπολογίζουμε τα αρχικά γεωμετρικά στοιχεία της προβολής της ισάλου και των στοιχείων της γάστρας με αριθμητικές ολοκληρώσεις κατά Simpson: Ισαπόσταση νομέων δx = 100/4 = 5 m Εμβαδόν προβολής ίσαλου επιφάνειας (σχέση 3.45) Α W = 5/3 [ ] = 1.566,67 m Πρώτη ροπή επιφάνειας ως προς τον μέσο νομέα (σχέση 3.46) M xx = 5/3 [1 ( 50) ( 5) (5) ( 50)] = 1.666,67 m 3 Διαμήκης θέση κέντρου πλευστότητας x = M xx /A W = 1,063 m Εγκάρσια ροπή αδράνειας (σχέση 3.48) I yy = 5/3 [1 ( 50) + 4 ( 5) (5) 9 +1 (50) 0] = ,3 m 4 Εγκάρσια ροπή αδράνειας ως προς το κέντρο πλευστότητας I yy = I yy A W x = , m

14 Όγκος εκτοπίσματος (σχέση 3.30) =5/3 [ ] = 7.416,667 m 3 Εκτόπισμα (γ = 1,05 t/m 3 ) = γ = 7.60,08 t Ροπή όγκου ως προς τον μέσο νομέα (σχέση 3.41) M YZ = 5/3 [1 ( 50) ( 5) (5) (50) 0] = 5.000,00 m 4 Διαμήκης θέση του κέντρου όγκου x = M YZ / = 3,371 m Ροπή όγκου ως προς το βασικό επίπεδο αναφοράς (σχέση 3.37) Μ ΧΥ = Μ VX dx = 5/3 [1 (4) (3) 90 + (3) (4) ] = m 4 Απόσταση κέντρου όγκου από το βασικό επίπεδο K = M XY / = 3,371 m Μετά την είσοδο του πλοίου σε περιοχή με νερό διαφορετικού ειδικού βάρους, το βάρος του θα παραμείνει σταθερό, αλλά θα αλλάξει ο όγκος εκτοπίσματος: = γ = γ 1 1 1=γ/γ 1 = 1, ,667 = 7.60,084 t Η διαφορά των όγκων της γάστρας ισοδυναμεί με παράλληλη βύθιση: δτ = ( 1 )/Α W = 185,414/1.566,67 = 0,118 m Το κέντρο όγκου αυτής της διαφοράς της άντωσης μεταξύ της αρχικής και της νέας, υποθετικά, ισοβύθιστης ισάλου έχει συντεταγμένες: x ως προς τον μέσο νομέα και T + δτ/ ως προς το βασικό επίπεδο αναφοράς. Οι συντεταγμένες αυτές είναι άμεση συνέπεια των μικρών μεταβολών, όπου η προβολή της ισάλου παραμένει σταθερή και, συνεπώς, ο πρόσθετος όγκος σχηματίζει ένα γενικευμένο πρίσμα, με βάση την επιφάνεια Α W, δηλαδή είναι ίσος με δτ Α W. Υπό αυτές τις προϋποθέσεις, οι συντεταγμένες του κέντρου του νέου συνολικού όγκου της γάστρας προκύπτουν από την εφαρμογή του θεωρήματος των ροπών, όπου η πρώτη συνιστώσα είναι ο παλαιός όγκος και η δεύτερη ο πρόσθετος μεταξύ των παράλληλων ισάλων: x = x + (A δt) x 1 1 W 7416, 667 ( 3, 371) , 67 0, 118 ( 1, 063) x 1 = = 3, 395 m 7416, K1 = K + ( AW δt ) (T + δt / ) 7416, 667 3, , 67 0, 118 6, 059 K 1 = = 3, 5 m 7416,

15 Το κέντρο βάρος του πλοίου παραμένει αμετάβλητο. Επειδή στην αρχική κατάσταση το πλοίο ήταν ισοβύθιστο, θα ισχύει ότι x G = x. Επομένως, στη νέα κατάσταση και σύμφωνα με τη σχέση (5.6), η γωνία διαμήκους κλίσης υπολογίζεται ως εξής: (xg x 1) (x x 1) 7. 60, 08 ( 3, , 395) tan θ = = = =, γi γi 1, , yy yy 4 Ή, αν χρησιμοποιήσουμε τη θεωρητικά ακριβέστερη σχέση: (x x ) (x x ) ( 3, , 395) tan θ, 1 10 G 1 1 = = = = GM K1 + γ I yy / KG 3, 5 + 1, , / 760, Τότε, τα δύο ζητούμενα βυθίσματα υπολογίζονται από τις σχέσεις: T = T + δt + ( / x )tan = +, + ( +, ), =, 4 ϑ m T = T + δt + ( / x )tan = +, + ( +, ), =, 4 ϑ m Παράδειγμα 5. Η καμπύλη εμβαδών εγκάρσιων τομών ενός πλοίου μήκους 100 m περιγράφεται από τη σχέση: E(x) = ( 0, 008x + 0 ) T(x) όπου το x = 0 αντιστοιχεί στον μέσο νομέα του πλοίου και Τ(x) είναι το βύθισμα στη θέση x. Να υπολογιστούν τα βυθίσματα του πλοίου όταν το εκτόπισμα του είναι 5.15 t και η διαμήκης θέση του κέντρου βάρους του βρίσκεται 1m προς την πρύμνη από τον μέσο νομέα. Λύση Η ίσαλος προβάλλεται στο διάμηκες επίπεδο συμμετρίας σε μια ευθεία. Επομένως, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι το βύθισμα αναπαριστάται από την εξίσωση: T(x)= Ax + Σύμφωνα με τα δεδομένα, ο όγκος της γάστρας είναι: = /γ = 5.15/1,05 = m 3 Το ολοκλήρωμα του όγκου της γάστρας γράφεται ως εξής: / 50 = E( x )dx = γ ( 0, 008x + 0 ) ( Ax + )dx = / 50 3 = ( 0, 008Ax 0, 008x + 0Ax + 0 )dx = 4 3 = 0, 008Ax / 4 0, 008x / 3+ 0Ax / + 0x = = ,

16 Και, επομένως, η σταθερά Β υπολογίζεται από τη σχέση: 1.333,34 = = 3,750 Η ροπή του όγκου της γάστρας ως προς τον μέσο νομέα είναι: / 50 / M = E( x )xdx = γ ( 0, 008x + 0 ) ( Ax + x )dx = YZ = ( 0, 008Ax 0, 008x + 0Ax + 0x )dx = = 0, 008Ax / 5 0, 008x / 4 + 0Ax / 3+ 0x / = = , 67A Συνεπώς, η σταθερά Α προκύπτει από το δεύτερο δεδομένο του προβλήματος: x = M YZ / = ,67A/5.000 =-1 A = 0,0075 Σύμφωνα με τις τιμές των σταθερών Α και Β που αναπαριστούν την ευθεία της ισάλου, τα βυθίσματα στην πλώρη και στην πρύμνη υπολογίζονται από τις σχέσεις: T = A(/) + = 0, ,75 = 3,375 m T A = A( /) + = 0,0075 ( 50) + 3,75 = 4,15 m

Κεφάλαιο 6 Η επίδραση των ελεύθερων επιφανειών

Κεφάλαιο 6 Η επίδραση των ελεύθερων επιφανειών Κεφάλαιο 6 Η επίδραση των ελεύθερων επιφανειών Σύνοψη Όταν σε ένα πλωτό σώμα υπάρχουν δεξαμενές ή χώροι φορτίου που περιέχουν υγρά με κάποιο βαθμό πληρότητας, η επιφάνειά τους θα παραμείνει οριζόντια σε

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 8 Δεξαμενισμός και καθέλκυση πλοίων

Κεφάλαιο 8 Δεξαμενισμός και καθέλκυση πλοίων Κεφάλαιο 8 Δεξαμενισμός και καθέλκυση πλοίων Σύνοψη Ο δεξαμενισμός και η καθέλκυση των πλοίων αφορούν καταστάσεις δυσμενούς καταπόνησης της μεταλλικής κατασκευής τους και αποτελούν ειδικές κατηγορίες του

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 Το υδροστατικό διάγραμμα

Κεφάλαιο 3 Το υδροστατικό διάγραμμα Κεφάλαιο Το υδροστατικό διάγραμμα Σύνοψη Η θεωρία των μικρών μεταβολών που περιγράφεται στο Κεφάλαιο 1 βρίσκει άμεση εφαρμογή σε πολλές περιπτώσεις φόρτωσης συμβατικών πλοίων, όταν μελετώνται αντίστοιχα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙ ΗΣ ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2010-2011 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Για αποκλειστική χρήση από τους φοιτητές

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΤΡΑΡΤΗΜΑ Α Λυμένες ασκήσεις

ΠΑΤΡΑΡΤΗΜΑ Α Λυμένες ασκήσεις ΠΑΤΡΑΡΤΗΜΑ Α Λυμένες ασκήσεις - 6 - Άσκηση 1η Η καμπύλη του μοχλοβραχίονα στατικής ευστάθειας ενός πλοίου εκτοπίσματος 1.000 t προσεγγίζεται αναλυτικά από τη σχέση: GZ = sin ϕ m. Να υπολογιστεί η μέγιστη

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 10 Υπολογισμοί κατάκλυσης

Κεφάλαιο 10 Υπολογισμοί κατάκλυσης Κεφάλαιο 0 Υπολογισμοί κατάκλυσης Σύνοψη Η κατάκλυση ενός τμήματος των εσωτερικών χώρων ενός πλοίου λόγω βλάβης έχει δυσμενείς επιπτώσεις στην ευστάθεια τόσο των πλοίων, όσο και των πλωτών κατασκευών.

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης

Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ενότητα: Διαμήκης Αντοχή Πλοίου- Ορθές τάσεις λόγω κάμψης Α. Θεοδουλίδης Η αντοχή του πλοίου Διαμήκης αντοχή Εγκάρσια αντοχή Τοπική αντοχή Ανάλυση του σύνθετου εντατικού πεδίου Πρωτεύουσες,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ

Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΒΟΛΗ ΚΕΝΤΡΟΥ ΑΝΤΩΣΗΣ ΚΑΙ ΜΕΤΑΚΕΝΤΡΟΥ ΛΟΓΩ ΕΓΚΑΡΣΙΑΣ ΚΛΙΣΗΣ Σύνοψη Αυτό το κεφάλαιο έχει επίσης επαναληπτικό χαρακτήρα. Σε πρώτο στάδιο διερευνάται η μορφή της καμπύλης την οποία γράφει το

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 9 Ευστάθεια πλοίων σε κύμα

Κεφάλαιο 9 Ευστάθεια πλοίων σε κύμα Κεφάλαιο 9 Ευστάθεια πλοίων σε κύμα Σύνοψη Πολλές φορές, υπό εξαιρετικά δυσμενείς καταστάσεις, η ευστάθεια των πλοίων μειώνεται δραστικά και μπορεί να οδηγήσει ακόμα και στην απώλειά τους. Δυστυχώς, δεν

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Άλυτες ασκήσεις

ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Άλυτες ασκήσεις ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β Άλυτες ασκήσεις - 434 - Άσκηση 1η Ποντόνι σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου πλέει αρχικά ισοβύθιστο, όταν βάρος 5 t, που βρίσκεται πάνω του, μετακινείται κατά: Δx = 15 m (κατά τον διαμήκη

Διαβάστε περισσότερα

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ. Ασκήσεις 1 έως 12

ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ. Ασκήσεις 1 έως 12 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΑΝΑΠΛΗΡΩΤΗΣ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 2008-2009 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ασκήσεις 1 έως 12 Για αποκλειστική

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1 Γενικευμένη Υδροστατική

Κεφάλαιο 1 Γενικευμένη Υδροστατική Κεφάλαιο 1 Γενικευμένη Υδροστατική Σύνοψη Σε αυτό το κεφάλαιο εξετάζονται οι εξισώσεις υδροστατικής ισορροπίας τυχαίων σωμάτων που επιπλέουν. Αρχικά, με τη βοήθεια θεωρημάτων του διανυσματικού λογισμού,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 2 Η θεωρία των μικρών μεταβολών

Κεφάλαιο 2 Η θεωρία των μικρών μεταβολών Κεφάλαιο Η θεωρία των μικρών μεταβολών Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι εξισώσεις οι οποίες διέπουν την κατάσταση ισορροπίας ενός σώματος και καταλήγουν σε σχέσεις που προσδιορίζουν την τελική

Διαβάστε περισσότερα

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου

Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου Παράρτηµα Β Υπολογισµός των υδροστατικών δυνάµεων που ασκούνται στη γάστρα του πλοίου 1. Πρόγραµµα υπολογισµού υδροστατικών δυνάµεων Για τον υπολογισµό των κοµβικών δυνάµεων που οφείλονται στις υδροστατικές

Διαβάστε περισσότερα

0,875. Η κατακόρυφη ανύψωση h του κέντρου βάρους του μεταφερθέντος λιπαντικού από το σημείο g στο g 1 είναι:

0,875. Η κατακόρυφη ανύψωση h του κέντρου βάρους του μεταφερθέντος λιπαντικού από το σημείο g στο g 1 είναι: AEN ΑΣΠΡΟΠΥΡΓΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β Εξαμήνου ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΛΥΜΕΝΕΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Καθηγητής : Κ. Τατζίδης. Οι συντελεστές όγκου ενός πλοίου είναι 0,70 και 0,80. Ποιος από τους δύο είναι ο συντελεστής γάστρας και ποιος

Διαβάστε περισσότερα

[0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) εφθ : [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 R f : W C f A S GM

[0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) εφθ : [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 R f : W C f A S GM ΑΕΝ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2016-17 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ημερομηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυμο Όνομα ΑΓΜ Εξάμηνο ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 2 / 16 Περιγράψτε τους παρακάτω

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 4 Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων

Κεφάλαιο 4 Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων Κεφάλαιο 4 Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων Σύνοψη Η εγκάρσια κλίση των συμβατικών πλοίων έχει ιδιαίτερη σημασία στη ναυπηγική, καθώς σχετίζεται άμεσα με την ασφάλειά τους. Η πιθανότητα βύθισης ή

Διαβάστε περισσότερα

εφθ : R f : C f A S GM [0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2

εφθ : R f : C f A S GM [0,4] εφθ = (w * d) /(W * GM) [0,4] R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 ΑΕΝ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2016-17 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ημερομηνία 03./02/2017 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυμο Όνομα Βαθμολογία γραπτού ολογράφως ΑΓΜ Εξάμηνο ΝΑΥΠΗΓΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ

ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ AE 0 9 19 30 40 50.98 61 7 8 93.86 104 116 16 138 148.105 160 171 18 19 03 11 0.069 31 ΤΟ ΠΛΟΙΟ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ Διαγράμματα διατμητικών δυνάμεων και καμπτικών ροπών Έστω πλοίο σε ισορροπία σε ήρεμο νερό,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2015 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 015 3. Δοκοί (φορτία NQM) Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 3. Δοκοί (φορτία NQΜ)/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής με τα διάφορα είδη φορτίων.

Διαβάστε περισσότερα

EHP είναι R t είναι V είναι 6080/(550X3600) είναι. είναι. είναι

EHP είναι R t είναι V είναι 6080/(550X3600) είναι. είναι. είναι ΑΕΝ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2011-12 Εξεταστική περίοδος Σεπτεμβρίου 2012 Ημερομηνία 07 / 09 / 2012 ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 Επώνυμο ΑΓΜ Όνομα Εξάμηνο Βαθμολογία γραπτού ολογράφως EHP

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 017 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 016 3. Διαγράμματα NQM Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr Α3. Διαγράμματα NQΜ/ Μηχανική Υλικών 1 Σκοποί ενότητας Να εξοικειωθεί ο φοιτητής

Διαβάστε περισσότερα

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,3] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3.

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,3] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3. ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2012-13 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 9 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Τρείς λάθος απαντήσεις σε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩ Η ΠΑΡΑ ΕΙΓΜΑΤΑ ΧΡΗΣΗΣ ΤΟΥ ΣΧΕ ΙΟΥ ΝΑΥΠΗΓΙΚΩΝ ΓΡΑΜΜΩΝ ΣΧΕ ΙΑΣΜΟΣ ΠΑΡΙΣΑΛΩΝ ΜΕ ΕΓΚΑΡΣΙΑ ΚΛΙΣΗ Έστω ένα πλοίο το οποίο επιπλέει µε µια εγκάρσια κλίση που παριστάνεται µε το επίπεδο π. Σχήµα 1 Ζητείται

Διαβάστε περισσότερα

[0,4] [0,9] V 2 : [0,4]

[0,4] [0,9] V 2 : [0,4] ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2015-16 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο ΑΓΜ ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 2 / 11 Περιγράψτε τους παρακάτω τύπους αναλύοντας

Διαβάστε περισσότερα

Ύψος εξάλων ονομάζεται. Βύθισμα κατασκευής είναι. Διαγωγή ονομάζεται

Ύψος εξάλων ονομάζεται. Βύθισμα κατασκευής είναι. Διαγωγή ονομάζεται Καθ. Γ. Γκοτζαμάνης σελ. 2 / 5 Επώνυμο Όνομα ΑΓΜ Εξάμηνο Βαθμολογία γραπτού ολογράφως Ύψος εξάλων ονομάζεται Βύθισμα κατασκευής είναι Διαγωγή ονομάζεται Η κάθετη απόσταση μεταξύ της πρωραίας και πρυμναίας

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2015-16 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται η καµπύλη, Τι

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2014-15 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται η καµπύλη,

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-14 Εξεταστική περίοδος Φεβρουαρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 10 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται η καµπύλη,

Διαβάστε περισσότερα

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,5] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3.

R f C f S V 2. R f = C f χ S χ V 2. w : d : W : GM : εφθ = (w x d) / (W x GM) [0,5] R ts = R fs + (R tm R fm ). λ 3. ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2012-13 Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Τρείς λάθος απαντήσεις σε

Διαβάστε περισσότερα

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM :

R f : C f : S : [0,4] V 2 : w : w x d W x GM. d : [0,4] W : GM : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2013-14 Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου Ηµεροµηνία 05/09/2014 ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 11 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως πως ονοµάζεται

Διαβάστε περισσότερα

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΙΣΟΣΤΑΤΙΚΑ ΠΛΑΙΣΙΑ ΜΕ ΣΥΝΔΕΣΜΟΥΣ Υπολογισμός αντιδράσεων και κατασκευή Μ,Ν, Q Γραμμές επιρροής Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Ισοστατικά πλαίσια με συνδέσμους (α) (β) Στατική επίλυση ισοστατικών πλαισίων

Διαβάστε περισσότερα

0,4 0,3 0,4 0,2 0,3 0,4 0,2 0,4 0,1Χ52 0,8 0,8 0,6. R f : C f : A S : [0,4] V 2 : [0,3]

0,4 0,3 0,4 0,2 0,3 0,4 0,2 0,4 0,1Χ52 0,8 0,8 0,6. R f : C f : A S : [0,4] V 2 : [0,3] ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2014-15 Εξεταστική περίοδος Σεπτεµβρίου Ηµεροµηνία 14/09/2015 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 12 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως 0,4 0,3 0,4

Διαβάστε περισσότερα

0,4 0,4 0,2 0,4 0,2 0,4 0,3 0,3 52Χ 0,8 0,8 0,6. R f : C f : R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 [0,4] A S : V :

0,4 0,4 0,2 0,4 0,2 0,4 0,3 0,3 52Χ 0,8 0,8 0,6. R f : C f : R f = C f * Α S * (ρ/2) * V 2 [0,4] A S : V : ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2015-16 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία 22/06/2016 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως 0,4 0,4 0,2 0,4

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 BM L = I CF / V. Rts είναι Rfs είναι Rtm είναι Rfm είναι λ 3. είναι

ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 BM L = I CF / V. Rts είναι Rfs είναι Rtm είναι Rfm είναι λ 3. είναι ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2012-13 Εξεταστική περίοδος ΙΟΥΝΙΟΥ Ηµεροµηνία ΝΑΥΠΗΓΙΑ Β ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 8 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Τρεις λάθος απαντήσεις σε ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Βασικές διαστάσεις πλοίου Τομές πλοίου Γραμμές πλοίου Πίνακες offsets Συντελεστές σχήματος Προσεγγιστικοί κανόνες ολοκλήρωσης Το σχέδιο του πλοίου αποτελεί μία τρισδιάστατη

Διαβάστε περισσότερα

W Για σώματα με απλό γεωμετρικό σχήμα τα κέντρα βάρους φαίνονται παρακάτω :

W Για σώματα με απλό γεωμετρικό σχήμα τα κέντρα βάρους φαίνονται παρακάτω : Κέντρο βάρους σώματος Το κέντρο βάρους ενός σώματος είναι το σημείο στο οποίο εφαρμόζεται το βάρος του σώματος. Έστω το ομογενές σώμα του σχήματος. Αν το διαιρέσουμε σε στοιχειώδη όμοια τμήματα καθένα

Διαβάστε περισσότερα

BM L = I CF / V [0,2]

BM L = I CF / V [0,2] ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2014-15 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία 19/06/2015 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 12 Επώνυµο ΑΓΜ Όνοµα Εξάµηνο ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 2 / 12 εφθ : Βαθµολογία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 07 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 07 ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 2016 ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙΔΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΣΕΠΤΕΜΒΡΙΟΥ 016

Διαβάστε περισσότερα

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α

ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Α ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 1: ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση θεωρίας 1 ΘΕΜΑ Α Τι ονομάζουμε πραγματική συνάρτηση

Διαβάστε περισσότερα

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης

Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων. Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Γεωμετρικές Μέθοδοι Υπολογισμού Μετακινήσεων Εισαγωγή ΜέθοδοςΔιπλήςΟλοκλήρωσης Εισαγωγή Παραμορφώσεις Ισοστατικών Δοκών και Πλαισίων: Δ22-2 Οι κατασκευές, όταν υπόκεινται σε εξωτερική φόρτιση, αναπτύσσουν

Διαβάστε περισσότερα

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ

Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Πλωτάρχης (Μ) Γ. Γκουγκουλίδης ΠΝ Το GM θεωρείται ως μέτρο ευστάθειας μόνο για την αρχική ευστάθεια πλοίου Ισχύει μέχρι 10 Για μεγάλες γωνίες κλίσεις θα πρέπει να χρησιμοποιείται το GZ Εμπειρικός τύπος

Διαβάστε περισσότερα

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών

6. Κάμψη. Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 6. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας Ακτίνα καμπυλότητας 2 Εισαγωγή (1/2) Μελετήσαμε

Διαβάστε περισσότερα

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14

Περιεχόμενα. Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Περιεχόμενα Κεφάλαιο 1 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΜΙΑ ΕΥΘΕΙΑ... 13 1.1 Οι συντεταγμένες ενός σημείου...13 1.2 Απόλυτη τιμή...14 Κεφάλαιο 2 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΩΝ ΣΕ ΕΝΑ ΕΠΙΠΕΔΟ 20 2.1 Οι συντεταγμένες

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας

ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή. Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας ΕΠΙΛΥΣΗ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ Μέθοδος Castigliano Ελαστική γραμμή Διδάσκων: Γιάννης Χουλιάρας Επίλυση υπερστατικών φορέων Για την επίλυση των ισοστατικών φορέων (εύρεση αντιδράσεων και μεγεθών έντασης) αρκούν

Διαβάστε περισσότερα

Βασική ορολογία που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των πλοίων

Βασική ορολογία που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των πλοίων Διάλεξη 3η Βασική ορολογία που χρησιμοποιείται στην περιγραφή των πλοίων Στις επόμενες σελίδες καταγράφονται οι όροι που χρησιμοποιούνται συχνότερα στην περιγραφή των πλοίων και θα αναφέρονται συχνά στην

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές, ΘΕΜΑ Β ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : Η ΕΥΘΕΙΑ ΣΤΟ ΕΠΙΠΕΔΟ ΒΑΣΙΚΗ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ. Ένα σημείο Μ(x,y) ανήκει σε μια γραμμή C αν και μόνο αν επαληθεύει την εξίσωσή της. Π.χ. :

Διαβάστε περισσότερα

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΔΟΜΟΣΤΑΤΙΚΗΣ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΥΠΕΡΣΤΑΤΙΚΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ ΤΩΝ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ Κ. Β. ΣΠΗΛΙΟΠΟΥΛΟΣ Καθηγητής ΕΜΠ Πορεία επίλυσης. Ευρίσκεται

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ

ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΕΡΓΟ Το έργο, εκφράζει την ενέργεια που μεταφέρεται από ένα σώμα σ ένα άλλο ή που μετατρέπεται από μια μορφή σε μία άλλη. Για σταθερή δύναμη δίνεται από τη σχέση W F Δx Είναι μονόμετρο μέγεθος και η μονάδα

Διαβάστε περισσότερα

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1

Δρ. Μηχ. Μηχ. Α. Τσουκνίδας. Σχήμα 1 Σχήμα 1 Η εντατική κατάσταση στην οποία βρίσκεται μία δοκός, που υποβάλλεται σε εγκάρσια φόρτιση, λέγεται κάμψη. Αμφιέριστη δοκός Πρόβολος Κατά την καταπόνηση σε κάμψη αναπτύσσονται καμπτικές ροπές, οι

Διαβάστε περισσότερα

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER

4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER 4. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ FOURIER Σκοπός του κεφαλαίου είναι να παρουσιάσει μερικές εφαρμογές του Μετασχηματισμού Fourier (ΜF). Ειδικότερα στο κεφάλαιο αυτό θα περιγραφούν έμμεσοι τρόποι

Διαβάστε περισσότερα

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ

ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΠΙΝΑΚΑΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ ΠΡΟΛΟΓΟΣ..... 13 ΣΥΝΤΜΗΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΥΜΒΟΛΑ.......... 15 ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 - Η ΠΛΕΥΣΤΟΤΗΤΑ ΤΟΥ ΠΛΟΙΟΥ...... 19 1. Η πίεση του νερού.... 19 2. Η Αρχή του Αρχιμήδη......

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ- 2018 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα

Διαβάστε περισσότερα

ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΚ. ΕΤΟΣ 2017-18 Εξεταστική περίοδος Ιουνίου Ηµεροµηνία 21/06/18 ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ σελ. 1 / 16 Επώνυµο ΑΓΜ Όνοµα Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως ΝΑΥΠΗΓΙΑ II Γ ΕΞΑΜΗΝΟΥ

Διαβάστε περισσότερα

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων

Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Π. Ασβεστάς Γ. Λούντος Τμήμα Τεχνολογίας Ιατρικών Οργάνων Χρήσιμοι Σύνδεσμοι Σημειώσεις μαθήματος: http://medisp.bme.teiath.gr/eclass/ E-mail: gloudos@teiath.gr ΚΑΤΑΝΕΜΗΜΕΝΕΣ ΔΥΝΑΜΕΙΣ Κέντρο βάρους μάζας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις)

ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) 6 ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 6.1 ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ (Επαναλήψεις-Συμπληρώσεις) Η εξίσωση αx βy γ Στο Γυμνάσιο διαπιστώσαμε με την βοήθεια παραδειγμάτων ότι η εξίσωση αx βy γ, με α 0 ή β 0, που λέγεται γραμμική εξίσωση,

Διαβάστε περισσότερα

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2017 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 23 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 3h00 (12:00-15:00)

ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 2017 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ 23 ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ ΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 3h00 (12:00-15:00) ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΣΧΟΛΗ ΝΑΥΠΗΓΩΝ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΘΑΛΑΣΣΙΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ Μ. ΣΑΜΟΥΗΛΙ ΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗ ΣΤΟ ΜΑΘΗΜΑ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ 5 ου ΕΞΑΜΗΝΟΥ ΕΞΕΤΑΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΟ ΟΣ ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΥ 017 ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 1ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες 2ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανύσματα, Ευθείες Επίπεδα, Επιφάνειες ου βαθμού Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Βρείτε το διάνυσμα με άκρα το Α(3,-,5) και Β(5,,-) ΑΒ=< 5 3, ( ), 5 >=

Διαβάστε περισσότερα

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η

ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιάλεξη 7 η, 8 η και 9 η Ανάλυση Ισοστατικών οκών και Πλαισίων Τρίτη,, 21, Τετάρτη,, 22 και Παρασκευή 24 Σεπτεµβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 2012 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 3 Ιουλίου 202 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ( η περίοδος

Διαβάστε περισσότερα

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ και ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΠΛΟΙΟΥ. Γιώργος Τζαμπίρας

ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ και ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΠΛΟΙΟΥ. Γιώργος Τζαμπίρας ΥΔΡΟΣΤΑΤΙΚΗ και ΕΥΣΤΑΘΕΙΑ ΠΛΟΙΟΥ Γιώργος Τζαμπίρας ΓΙΩΡΓΟΣ ΤΖΑΜΠΙΡΑΣ Καθηγητής ΕΜΠ Υδροστατική και Ευστάθεια Πλοίου I Υδροστατική και Ευστάθεια Πλοίου Συγγραφή Γιώργος Τζαμπίρας Κριτικός αναγνώστης Γιώργος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2016 Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Α Βασικές έννοιες Στατική υλικού σημείου Αξιωματικές αρχές Νόμοι Νεύτωνα Εξισώσεις

Διαβάστε περισσότερα

Συστήματα συντεταγμένων

Συστήματα συντεταγμένων Συστήματα συντεταγμένων Χρησιμοποιούνται για την περιγραφή της θέσης ενός σημείου στον χώρο. Κοινά συστήματα συντεταγμένων: Καρτεσιανό (x, y, z) Πολικό (r, θ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Οι άξονες

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΤΩΝ ΥΛΙΚΩΝ 2017 Β5. Κάμψη Κώστας Γαλιώτης, καθηγητής Τμήμα Χημικών Μηχανικών galiotis@chemeng.upatras.gr 1 Περιεχόμενα ενότητας Ανάλυση της κάμψης Κατανομή ορθών τάσεων Ουδέτερη γραμμή Ροπές αδρανείας

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 2011 Διδάσκων: Τριαντ. Κόκκινος, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης 2:15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΑΘΗΝΑΣ ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ Τμήμα Πολιτικών Έργων Υποδομής Μάθημα: Στατική ΙΙ 9 Φεβρουαρίου 011 Διδάσκων:, Ph.D. Διάρκεια εξέτασης :15 ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΓΡΑΠΤΗ ΕΞΕΤΑΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας

Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία Εξίσωση ευθείας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου Ασκήσεις από την Τράπεζα θεμάτων Ευθεία - 1-1. 2-18575 Εξίσωση ευθείας Δίνονται τα σημεία Α(1,2) και Β (5,6 ). α) Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από

Διαβάστε περισσότερα

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ

2.2 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ 63 ΓΕΝΙΚΗ ΜΟΡΦΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ Η Εξίσωση Αx + Βy + Γ = 0, με Α 0 ή Β 0 Έστω ε μια ευθεία στο καρτεσιανό επίπεδο Αν η ευθεία ε τέμνει τον άξονα yy στο σημείο Σ (, 0 β ) και έχει συντελεστή διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

Καθ. Γ. Γκοτζαµάνης σελ. 1 / 5

Καθ. Γ. Γκοτζαµάνης σελ. 1 / 5 ΑΕΝ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΙΟΥΝΙΟΣ 2015 ΑΚ. ΕΤΟΣ 2014-15 ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΝΑΥΠΗΓΙΑ I Α ΕΞΑΜΗΝΟΥ Καθ. Γ. Γκοτζαµάνης σελ. 1 / 5 Επώνυµο Όνοµα ΑΓΜ Εξάµηνο Βαθµολογία γραπτού ολογράφως Απαντήστε σταυρώνοντας τα γράµµατα

Διαβάστε περισσότερα

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές

Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Ολοκλήρωση Εισαγωγή Έστω ότι η f είναι μία φραγμένη συνάρτηση στο πεπερασμένο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ

ΘΕΜΑ 1. Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο. (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ Ε4 ΘΕΜΑ 1 Α. Να δείξετε ότι η ευθεία ε: αx + βy + γ = 0, ( α + β 0), είναι παράλληλη στο δ = ( β, α). (Μονάδες: 5) Β. ΣΩΣΤΟ ΛΑΘΟΣ 1. Η απόσταση του 0(0,0) από την x + y + = 0 είναι.. Η εξίσωση y = xy παριστάνει

Διαβάστε περισσότερα

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων

1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων 3 1.1 Διανύσματα 1.1.1 Εσωτερικό και Εξωτερικό Γινόμενο Διανυσμάτων ΑΣΚΗΣΗ 1.1 Να βρεθεί η γωνία που σχηματίζουν τα διανύσματα î + ĵ + ˆk και î + ĵ ˆk. z k i j y x Τα δύο διανύσματα που προκύπτουν από

Διαβάστε περισσότερα

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

3.7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ : ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 7 EΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ 68 Να γράψετε τον τύπο που δίνει το εμβαδόν του χωρίου Ω που ορίζεται από τη γραφική παράσταση της, τις ευθείες, και τον άξονα, όταν για κάθε

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΤΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Διανύσματα Πολλαπλασιασμός αριθμού με διάνυσμα ο Θέμα _8603 Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ και σημεία Δ και Ε του επιπέδου τέτοια, ώστε 5 και

Διαβάστε περισσότερα

Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων

Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων ΔΙΑΜΗΚΗΣ ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ Ενότητα: Υπολογισμός διατμητικών τάσεων Α. Θεοδουλίδης Υπολογισμός διατμητικών τάσεων Η ύπαρξη διατμητικών τάσεων οφείλεται στην διατμητική δύναμη Q(x): Κατανομή διατμητικών τάσεων

Διαβάστε περισσότερα

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β

1ο τεταρτημόριο x>0,y>0 Ν Β ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ( 6.2 ) Καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων ονομάζεται ένα επίπεδο εφοδιασμένο με δύο κάθετους άξονες οι οποίοι έχουν κοινή αρχή Ο και είναι αριθμημένοι με τις ίδιες μονάδες μήκους.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΡΧΙΚΗΣ ΕΚ ΟΣΗΣ Συγγραφική ομάδα: Ανδρεαδάκης Στυλιανός Κατσαργύρης Βασίλειος Παπασταυρίδης Σταύρος Πολύζος Γεώργιος Σβέρκος Ανδρέας Καθηγητής Πανεπιστημίου Αθηνών Καθηγητής

Διαβάστε περισσότερα

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1

ιαλέξεις Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, Πέτρος Κωµοδρόµος Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι 1 ΠΠΜ 220: Στατική Ανάλυση των Κατασκευών Ι ιαλέξεις 13-15 Εισαγωγή στις Παραµορφώσεις και Μετακινήσεις Τρίτη, 5, και Τετάρτη, 6 και Παρασκευή 8 Οκτωβρίου,, 2004 Πέτρος Κωµοδρόµος komodromos@ucy.ac.cy http://www.ucy.ac.cy/~petrosk

Διαβάστε περισσότερα

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ

ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ ΤΕΧΝΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι ΚΕΝΤΡΑ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΩΝ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΒΑΡΟΥΣ ΕΠΙΠΕ ΗΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΣ Για τους βασικούς ορισμούς σχετικά με το κέντρο βάρους θα γίνεται αναφορά στην επόμενη εικόνα, η οποία απεικονίζει

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ & ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΕΠΑΛ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ Επιμέλεια : Παλαιολόγου Παύλος Μαθηματικός ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ : ΠΑΡΑΓΟΥΣΕΣ ΟΡΙΣΜΟΣ Έστω συνάρτηση : R, όπου Δ διάστημα

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο 2.1: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗ [Κεφάλαιο.: Πρόβλημα εφαπτομένης του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα. ΘΕΜΑ Β Έστω μια παραγωγίσιμη στο συνάρτηση, τέτοια ώστε για κάθε x

Διαβάστε περισσότερα

14/2/2008 1/5 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ

14/2/2008 1/5 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 14//008 1/5 ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΓΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΗΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ 007-008 Το τυπολόγιο έχει παραχθεί αποκλειστικά για χρήση κατά την εξέταση του μαθήματος ΑΝΤΟΧΗ ΠΛΟΙΟΥ ΚΑΜΨΗ ΣΕ ΗΡΕΜΟ ΝΕΡΟ Διόρθωση

Διαβάστε περισσότερα

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι:

Έστω μια ΓΜ η οποία περιγράφεται από ένα δίθυρο κύκλωμα με γενικευμένες παραμέτρους ABCD, όπως φαίνεται στο Σχήμα 5.1. Οι σταθερές ABCD είναι: 5 Κεφάλαιο ΗΛΕΚΤΡΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΓΡΑΜΜΩΝ ΜΕΤΑΦΟΡΑΣ 5.1 Εισαγωγή Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζονται οι βασικές σχέσεις για τον υπολογισμό της ενεργού και άεργου ισχύς στα δύο άκρα μιας γραμμής μεταφοράς (ΓΜ),

Διαβάστε περισσότερα

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν:

π (α,β). Έστω τα διανύσματα π (α,β) να βρεθούν: ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Β ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 1. Για τα διανύσματα α, β δίνεται ότι α =1, β = και u α β, v α - β.να υπολογίσετε: π (α,β). Έστω τα διανύσματα α. το εσωτερικό γινόμενο α β β. τα μέτρα u, v των διανυσμάτων

Διαβάστε περισσότερα

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014)

ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου. 4 ο ΘΕΜΑ. Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων. Έκδοση 1 η (19/11/2014) ΤΡΑΠΕΖΑ ΘΕΜΑΤΩΝ Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Γενικού Ημερησίου Λυκείου 4 ο ΘΕΜΑ Εκφωνήσεις Λύσεις των θεμάτων Έκδοση η (9//4) Θέματα 4 ης Ομάδας Μαθηματικά Προσανατολισμού Β Λυκείου GI_V_MATHP_4_866 [παράγραφος

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ:

ΕΠΩΝΥΜΟ :... ΟΝΟΜΑ :... ΒΑΘΜΟΣ: ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ Μάθημα : Ανάλυση Γραμμικών Φορέων με Μητρώα ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ Διδάσκων: Μ. Γ. Σφακιανάκης ΤΜΗΜΑ ΠΟΛ/ΚΩΝ ΜΗΧ/ΚΩΝ Εξέταση : 8-9-, :-: ΤΟΜΕΑΣ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΕΠΩΝΥΜΟ :......... ΟΝΟΜΑ :......

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος )

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ( α μέρος ) Ερωτήσεις Θεωρίας Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε

Διαβάστε περισσότερα

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b.

από t 1 (x) = A 1 x A 1 b. Σύνοψη Κεφαλαίου 2: Ομοπαραλληλική Γεωμετρία Γεωμετρία και μετασχηματισμοί 1. Μία ισομετρία του R 2 είναι μία απεικόνιση από το R 2 στο R 2 που διατηρεί αποστάσεις. Κάθε ισομετρία του R 2 έχει μία από

Διαβάστε περισσότερα

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ

1.1 ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ . ΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ Α. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ : ΕΥΡΕΣΗ ΠΕΔΙΟΥ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΠΡΑΞΕΙΣ ΜΕ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΣ P Q Q v P P ln P P P P, P P, Q P P Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΗ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΙΙ ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΤΜΗΜΑ ΦΥΣΙΚΗΣ ΤΟΜΕΑΣ ΑΣΤΡΟΝΟΜΙΑΣ ΑΣΤΡΟΦΥΣΙΚΗΣ ΚΑΙ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΣΠΟΥΔΑΣΤΗΡΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΝΑΛΥΤΙΚΗΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ( Μεθοδολογία- Παραδείγματα ) Κλεομένης Γ. Τσιγάνης

Διαβάστε περισσότερα

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ

ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 77 Κεφάλαιο 4 ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΑΣΕΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΕΩΝ 4.1 Εισαγωγή Στα προηγούμενα κεφάλαια υπολογίσαμε τάσεις και παραμορφώσεις που αναπτύσσονται σε ένα σημείο (σε μια πολύ μικρή περιοχή ) ενός δομικού

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο

Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Κεφάλαιο 5. Το Συμπτωτικό Πολυώνυμο Σύνοψη Στο κεφάλαιο αυτό παρουσιάζεται η ιδέα του συμπτωτικού πολυωνύμου, του πολυωνύμου, δηλαδή, που είναι του μικρότερου δυνατού βαθμού και που, για συγκεκριμένες,

Διαβάστε περισσότερα

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd

Η συνάρτηση y = αχ 2. Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd Η συνάρτηση y = αχ Βρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος: «Σπουδές στην εκπαίδευση» ΜEd 1 Η συνάρτηση y = αχ με α 0 Μια συνάρτηση της μορφής y = α + β + γ με α 0 ονομάζεται τετραγωνική συνάρτηση.

Διαβάστε περισσότερα