ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ

Transcript

1 ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ΤΜΗΜΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΓΙΑ ΤΗΝ ΑΠΟ ΟΣΗ ΟΜΟΛΟΓΩΝ Σταύρος Κων. Αργυριάδης ΕΡΓΑΣΙΑ Που υποβλήθηκε το Τµήµα Στατιτικής του Οικονοµικού Πανεπιτηµίου ΑΘηνών ως µέρος των απαιτήεων για την απόκτηη Μεταπτυχιακού ιπλώµατος Ποοτικές Μέθοδοι την Λήψη Αποφάεων Μερικής Παρακολούθηης P-im Αθήνα Μάιος 0

2

3 ΑΦΙΕΡΩΣΗ Στην γυναίκα µου και την οικογένειά µου.

4

5 ΕΥΧΑΡΙΣΤΙΕΣ Θα ήθελα να ευχαριτήω πρώτα από όλα τον επιβλέποντα καθηγητή της διπλωµατικής µου, τον Καθηγητή του τµήµατος Στατιτικής του Οικονοµικού Πανεπιτηµίου Αθηνών κ. Αθανάιο Γιαννακόπουλο, τους υπόλοιπους καθηγητές του µεταπτυχιακού καθώς επίης και τους υµφοιτητές µου. Ι

6 ΙΙ

7 ΒΙΟΓΡΑΦΙΚΟ ΣΗΜΕΙΩΜΑ Ονοµάζοµαι Αργυριάδης Σταύρος. Γεννήθηκα τις 5 Ιουλίου του 980 τον Χολαργό Αττικής. Είµαι το πρώτο παιδί του Αργυριάδη Κωνταντίνου και της Βαρβάρας Αδαµοπούλου. Η µικρότερη αδελφή µου είναι η Πετρούλα. Στο χολείο πάντα µου άρεαν τα µαθήµατα που είχαν χέη µε τα µαθηµατικά και γενικά µε τις θετικές Επιτήµες. Το 998 µέω των πανελληνίων εξετάεων πέραα το Τµήµα Στατιτικής του Οικονοµικού Πανεπιτηµίου Αθηνών από το οποίο αποφοίτηα τον Σεπτέµβριο του 003. Στη διάρκεια της φοίτηης µου το τµήµα Στατιτικής απόκτηα βαικές γνώεις γύρω από την επιτήµη της Στατιτικής της οποίας αποφάια να διευρύνω µε την υµµετοχή µου το Μεταπτυχιακό µε τίτλο «Ποοτικοί µέθοδοι την λήψη αποφάεων» του τµήµατος Στατιτικής. Στην υγκεκριµένη χρονική τιγµή, παραδίδοντας την εργαία αυτή ολοκληρώνω τις πουδές το µεταπτυχιακό πρόγραµµα θεωρώντας ότι έχω αποκτήει αρκετές γνώεις γύρω από την επιτήµη της τατιτικής και πως αυτή υνδέεται µε πολλούς τοµείς της οικονοµικής δρατηριότητας, όπως ο χρηµατοπιτωτικός τοµέας ή διαχείριη αποθεµάτων. III

8 IV

9 ABSTRACT Svo Agyidi Siic nd Sochic modl of h m c of in My 0 Siic nd ochic modl of m c of in h ic ool fo h concion of yild cv, which i d fom conomic nly o pdic h conomic condiion. Yild cv i h lion wn h in of ond nd h miy of hm fo givn i nd givn cncy in pcific im, i fom cn povid mny lmn fo h f conomy. Vio modl fo in, wih on o mlipl fco, hv n dvlopd fom 977 nil ody. Anly hv n pplying ho modl o foc h co of in which i hm o foml h yild cv. In hi diion w will pn om of h modl nd finlly w will pply l lif d o on of h modl o vify i fncionliy. V

10 VI

11 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Σταύρος Αργυριάδης Στατιτικά και τοχατικά µοντέλα για την απόδοη των οµολόγων Μάιος 0 Τα τατιτικά και τοχατικά µοντέλα για τις αποδόεις αποτελούν το βαικό εργαλείο την κατακευή της καµπύλης αποδόεων των οµολόγων που είναι ένας από τους βαικούς παράγοντες για την πρόβλεψη της πορείας της οικονοµίας από τους οικονοµικούς αναλυτές. Η καµπύλη αποδόεων αποτελεί την γραφική παράταη των αποδόεων οµολόγων διαφορετικών λήξεων ε υγκεκριµένο χρονικό ηµείο και οι µορφές της µπορούν να µας δώουν αρκετά τοιχεία για την πορεία της οικονοµίας το µέλλον. Για τις αποδόεις των οµολόγων από το 977 έως και ήµερα έχουν αναπτυχθεί πολλά µοντέλα είτε µε ένα παράγοντα είτε µε δύο ή περιότερους παράγοντες. Τα µοντέλα αυτά χρηιµοποιούνται από αναλυτές για να προχωρήουν ε προβλέψεις για τις αποδόεις των οµολόγων ε µελλοντικό χρονικό διάτηµα ώτε να χεδιάουν την καµπύλα αποδόεων. Η παρούα εργαία θα παρουιάει διάφορα µοντέλα που έχουν αναπτυχθεί για τις αποδόεις, ενώ το τέλος θα χρηιµοποιήουµε ένα από αυτά για να προβλέψουµε µελλοντικές αποδόεις. VII

12 VIII

13 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΩΝ Σελίδα ΚΕΦ. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΚΕΦ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΟΜΟΛΟΓΩΝ 3. Οριµός οµολόγου 3. Χαρακτηριτικά και κατηγορίες οµολόγων 4.3 Βάεις υπολογιµού 8.4 Τύποι επιτοκίων 0.4. Επιτόκιο καταθέεων και ho 0.4. Spo in 0 ΚΕΦ. 3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ 3 3. Τι είναι η καµπύλη αποδόεων 3 3. Μορφές καµπύλης αποδόεων Κανονική καµπύλη αποδόεων ή µε θετική κλίη Αντίτροφη καµπύλη αποδόεων ή µε αρνητική κλίη Επίπεδη καµπύλη αποδόεων ιαφοροποιήεις την καµπύλη αποδόεων ιάφορες Θεωρίες για την καµπύλη αποδόεων Θεωρία Τµηµατοποίηης Αγοράς Sgmnd Mk Thoy Θεωρία Προδοκιών P Expcion Thoy Θεωρία Προτίµηης Pfd Hi Thoy ΚΕΦ. 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ 3 4. Μοντέλα αποδόεων 3 4. Μοντέλα επιτοκίων µε ένα παράγοντα Μοντέλο Vick Μοντέλο Dohn Μοντέλο Cox,Inoll nd RoCIR Συχετιµένης χρονικής δοµής µοντέλα Affin Tm-Sc Modl Εκθετικό µοντέλο Vick EV Modl 30 IX

14 Σελίδα 4..5 Μοντέλο Ho και L Μοντέλο Hll - Whi επέκταη VickTh Hll -Whi Exndd Vick Modl Κατακευή τριωνυµικού δέντρου για το µοντέλο Hll-Whi Exndd Blck Kinki µοντέλο Blck Dmn nd Toy Μοντέλο Εξέλιξη µοντέλων ενός παράγοντα Μοντέλα δύο παραγόντων Two Addiiv Fco Gin Modl G Λήµµα Θεώρηµα Πόριµα Κατακευή διωνυµικού δέντρου Πλεονεκτήµατα και µειονεκτήµατα µοντέλου G Hll Whi Two Fco Modl Th Bic Two Fco CIR Modl Th Two Addiiv Fco CIR Modl 48 ΚΕΦ. 5 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ Ε ΟΜΕΝΩΝ ΜΕ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ VASICEK ΕΝΟΣ ΠΑΡΑΓΟΝΤΑ 5 5. Στατιτικό µοντέλο 5 5. Εκτίµηη ταθερών Έλεγχος καταλοίπων Προβλέψεις 57 ΚΕΦ.6 ΕΠΙΛΟΓΟΣ 59 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 6 X

15 Πίνακας ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Σελίδα. Βαθµίδες αξιολόγηης 5 3. Καµπύλη απόδοης για Η.Π.Α.,Ευρωζώνη και Μεγάλη Βρετανία τις Τιµές αποδόεων για 30 y ill από έως Εκτιµώµενες τιµές µε Sgphic Αποτελέµατα έλεγχου προαρµογής µοντέλου µε Sgphic Αποτελέµατα εκτίµηης παραµέτρων µε Sgphic Αποτελέµατα ύγκριης χρονολογικών µοντέλων µε ARIMA,0,0 µε το Sgphic Αποτελέµατα ελέγχου τυχαιότητας καταλοίπων µε Sgphic Πραγµατικές τιµές και εκτιµώµενες τιµές µε διατήµατα Εµπιτούνης από το Sgphic 58 XI

16 XII

17 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ Γράφηµα Σελίδα 3. Κανονική καµπύλη αποδόεων 4 3. Αντίτροφη καµπύλη αποδόεων Καµπύλη αποδόεων ελληνικών οµολόγων Επίπεδη καµπύλη αποδόεων Παράλληλη µετατόπιη καµπύλης αποδόεων Μετατόπιη καµπύλης αποδόεων µε αλλαγή της κλίης Μετατόπιη καµπύλης αποδόεων µε αλλαγή της κυρτότητας 9 5. Γραφική παράταη αποδόεων ανά ηµέρα για 30 Ty ill από έως XIIΙ

18 XIV

19 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στη περίοδο που διανύουµε πολλές υζητήεις γίνονται καθηµερινά για τις αποδόεις των οµολόγων, πως αυτές διαµορφώνονται την αγορά και τις ενδείξεις που µας δίνουν για τη µελλοντική πορεία της οικονοµίας. Σκοπός της εργαίας αυτής είναι να παρουιάουµε κάποια τατιτικά και τοχατικά µοντέλα, τα οποία χρηιµοποιούνται την πρόβλεψη των αποδόεων. Αρχικά παρατίθεται ο οριµός των οµολόγων, τα βαικά τους χαρακτηριτικά καθώς και οι κατηγορίες τις οποίες χωρίζονται. Συγκεκριµένα, ένα από τα βαικά χαρακτηριτικά των οµολόγων είναι οι διάφοροι τύποι επιτοκίων, οι οποίοι χρηιµοποιούνται την κατακευή των καµπυλών αποδόεων που αποτελεί το βαικό εργαλείο για την τιµολόγηη των οµολόγων. Κατόπιν, αφού αναφερθούµε τις µορφές της καµπύλης αποδόεων, τι υποδηλώνει η καθεµία και τις θεωρίες που προπαθούν να δώουν εξήγηη ε αυτές, θα προχωρήουµε την παραµετροποίηη των επιτοκίων. Ειδικότερα, η υνεχής προπάθεια των επιτηµόνων για µοντελοποίηη των αποδόεων, ώτε να µπορεί να εκτιµηθεί η φάη του οικονοµικού κύκλου από την οποία θα διέλθει µελλοντικά η οικονοµία, έχει αν αποτέλεµα, την ανάπτυξη τατιτικών και τοχατικών µοντέλων αποδόεων µε έναν ή περιότερους παράγοντες. Σε µερικά από αυτά τα µοντέλα θα αναφερθούµε αναλυτικά την παρούα εργαία. Καταλήγοντας θα ελέγξουµε την αποτελεµατικότητα ενός από αυτά µέω προοµοίωης µε πραγµατικά δεδοµένα.

20

21 ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΟΜΟΛΟΓΩΝ. Οριµός οµολόγου Ένα οµόλογο είναι ένα χρεόγραφο, το οποίο ο εκδότης έχει την υποχρέωη να καταβάλει, την λήξη της ύµβαης, την ονοµατική αξία αυτής και ε τακτά προκαθοριµένα διατήµατα ποό χρηµάτων το κουπόνι. Άλλοι όροι µπορούν επίης να υνδεθούν µε την έκδοη οµολόγου, όπως η υποχρέωη για τον εκδότη να παρέχει οριµένες πληροφορίες τον κάτοχο οµολόγων ή άλλοι περιοριµοί τη υµπεριφορά του εκδότη. Τα οµόλογα εκδίδονται γενικά για ένα καθοριµένης διάρκειας χρονικό διάτηµα η ωριµότητα µεγαλύτερο ενός έτους. Ένα οµόλογο είναι απλώς ένα δάνειο, αλλά υπό µορφή αφάλειας, αν και η ορολογία που χρηιµοποιείται είναι µάλλον διαφορετική. Ο εκδότης είναι ο οφειλέτης, ο κάτοχος οµολόγων ο δανειτής και το κουπόνι είναι ο τόκος. Τα οµόλογα επιτρέπουν τον εκδότη να χρηµατοδοτήει µακροπρόθεµες επενδύεις µε εξωτερικά κεφάλαια. Μπορεί κανείς λοιπόν να διακρίνει ότι τα τοιχεία που προδίδουν ε ένα οµόλογο την ταυτότητά του είναι πρώτον ο εκδότης, δεύτερον το κουπόνι µε βάη το οποίο θα γίνονται οι τακτικές πληρωµές και τρίτον η χρονική διάρκεια της ύµβαης. Χρεόγραφα µε µια ωριµότητα µικρότερη ενός έτος είναι είτε γραµµάτια ή υναλλαγµατικές, και θεωρούνται όργανα της αγοράς χρηµάτων. Τα οµόλογα και οι µετοχές είναι και τα δύο χρεόγραφα, αλλά η διαφορά είναι ότι οι κάτοχοι µετοχών είναι ιδιοκτήτες ενός µέρους της εκδότριας εταιρείας έχουν εταιρικό µερίδιο, ενώ οι κάτοχοι οµολόγων είναι την ουία δανειτές του εκδότη. Επίης τα οµόλογα έχουν υνήθως έναν καθοριµένο χρόνο ή ωριµότητα, και µετά το οµόλογο εξαγοράζεται ενώ οι 3

22 µετοχές µπορούν να είναι, κατά τρόπο, αόριτου χρόνου. Τέλος η πληρωµή του αντίτοιχου κουπονιού ενός οµολόγου προηγείται της απόδοης µερίµατος από την αντίτοιχη εταιρία, ενώ ο κάτοχος του οµολόγου µπορεί, να προβεί την δικαιούνη την περίπτωη, που δεν του αποδοθεί το κουπόνι του, ενώ µε το µέριµα µιας µετοχής δεν ιχύει κάτι τέτοιο.. Χαρακτηριτικά και κατηγορίες οµολόγων Τα χαρακτηριτικά βάει των οποίων ορίζεται ένα οµόλογο την αγορά των οµολόγων είναι τα παρακάτω: Ονοµατική αξία: Η ονοµατική αξία είναι το χρηµατικό ποό που ένας κάτοχος θα ανακτήει µόλις λήξει το οµόλογο, αν αυτό λήξει το 00%. Τοκοµερίδιο: Το τοκοµερίδιο είναι το ποό που θα λάβει ο κάτοχος κατά τη πληρωµή του κουπονιού και είναι ε άµεη εξάρτηη µε το επιτόκιο. Λήξη: Είναι η ηµεροµηνία που ο κάτοχος του οµολόγου θα λάβει την ονοµατική αξία που είχε δεµεύει αρχικά. Εκδότης: Αποτελεί ηµαντικό παράγοντα το ποιος έχει εκδώει ένα οµόλογο γιατί αναλόγως κρίνεται και κατά πόο θα είναι καλή επένδυη το οµόλογο αυτό. Για αυτό το λόγο οι οίκοι αξιολόγηης έχουν τις παρακάτω βαθµίδες για να αξιολογούν τους εκδότες οµολόγων : 4

23 Moody' S&P Fich Long-m Sho-m Long-m Sho-m Long-m Sho-m A P- AAA A- AAA F Pim A AA AA A AA AA A3 AA- AA- A A A- A A A A3 P- A- A- A- B BBB A BBB B P-3 BBB A-3 BBB B3 BBB- BBB- B No pim BB B BB B BB BB B3 BB- BB- B B B B B B B3 B- B- F F F3 B High gd Upp mdim gd Low mdim gd Non-invmn gd pcliv Highly pcliv C CCC C CCC C Snil ik C CCC Exmly pcliv C3 C C CCC- CC C D / DDD / DD / Πίνακας.Βαθµίδες αξιολογήεις πηγή Moody /S&P/Fich D In dfl wih lil popc fo covy / In dfl Οι κατηγοριοποιήεις των οµολόγων ανάλογα µε τα χαρακτηριτικά τους είναι οι παρακάτω: Ανάλογα µε τον εκδότη χωρίζονται ε: Κυβερνητικά Εταιρικά ηµοτικά Υπερεθνικά Ανάλογα µε την διάρκεια του χωρίζονται ε: Μικρής ιάρκειας η διάρκεια τους είναι µε 5 χρόνια Μεαίας ιάρκειας η διάρκεια τους είναι 5 µε χρόνια Μακράς ιάρκειας η διάρκεια τους είναι πάνω από χρόνια Επίης άλλα διαχωριµοί των οµολόγων ανάλογα µε τον είδος πληρωµής και το κουπόνι είναι οι παρακάτω: 5

24 Dicon οµόλογα: Είναι οµόλογα που διαπραγµατεύονται µε έκπτωη από την ονοµατική τους αξία και πραγµατοποιούν µόνο µια καταβολή κεφαλαίου την λήξη του και µπορούν να χωριτούν τα:. Έντοκα γραµµάτια y ill ή dicon ond: Είναι τίτλοι µικρής διάρκειας, οι οποίοι πωλούνται τους επενδυτές ε χαµηλότερη τιµή από την τελική ονοµατική τους αξία και υπάρχουν εκδόεις διάρκειας 3, 6 και 5 εβδοµάδων.. Οµόλογα µηδενικού επιτοκίου Zo copon ond o p dicon ond: Είναι τίτλοι που δεν προβλέπουν ενδιάµεες πληρωµές κουπονιών. Συνήθως έχουν διάρκεια από έως 3 χρόνια και εξαφαλίζουν ε αυτόν που τα έχει ότι τη λήξη τους θα πληρωθεί την ονοµατική αξία. Η τιµή του υµβολαίου τη χρονική τιγµή και όταν η λήξη του είναι τη χρονική τιγµή Τ υµβολίζεται µε Ρ,Τ εποµένως βάει οριµού ΡT,T. Το ότι τα οµόλογα αυτά δεν έχουν ενδιάµεες πληρωµές τα κάνει αρκετά χρήιµα την ανάλυη των αποδόεων. Commcil Pp: Είναι τίτλοι πολύ µικρής χρονικής διάρκειας από µέρα έως 70 µέρες, οι οποίοι εκδίδονται µόνο από εταιρίες µε εγγυηµένη πιτοληπτική ικανότητα και πωλούνται απευθείας τους επενδυτές Copon οµόλογα: Οµόλογα που πραγµατοποιούν πολλές περιοδικές πληρωµές τοκοµεριδίων πριν την λήξη τους και µία τελική πληρωµή κεφαλαίου τα οποία χωρίζονται ε:. Σταθερού επιτοκίουfixd Copon Bond: Είναι τίτλοι µέης και µεγάλης διάρκειας για τους οποίους το επιτόκιο µε βάη το οποίο υπολογίζεται η κάθε πληρωµή, είναι ταθερό για όλη τη διάρκεια ζωής των οµολόγων ανεξάρτητα από τις διακυµάνεις της αγοράς. H τακτικότητα των πληρωµών είναι ανά εξάµηνο ή ανά χρόνο.. Κυµαινόµενου επιτοκίουfloing R Bond: Είναι οµόλογα τα οποία το επιτόκιο κάθε περιόδου από κουπόνι ε κουπόνι 6

25 αναπροαρµόζεται µε βάη κάποιον δείκτη, κάποιο δηλαδή επιτόκιο βάης. Επί του επιτοκίου αυτού υπάρχει υνήθως ένα περιθώριο pd που αντιπροωπεύει ένα είδος αφαλίτρου και εξαρτάται από την πιτοληπτική ικανότητα του εκδότη και την διάρκεια του οµολόγου. H τακτικότητα των πληρωµών, των τοκοµεριδίων οµολόγων κυµαινόµενου επιτοκίου είναι ανά τρίµηνο, ανά εξάµηνο ή ανά χρόνο, ανάλογα µε την υχνότητα του επιτοκίου βάης. Στις ευρωαγορές αν επιτόκιο αναφοράς χρηιµοποιείται υχνά το 6µηνο Eio. Με την αγορά ενός οµολόγου κυµαινόµενου επιτοκίου ο επενδυτής εξαφαλίζει για µια µακροχρόνια επένδυη επιτόκια κοντά τις τρέχουες υνθήκες της αγοράς. 3. Τιµαριθµοποιηµένα οµόλογαinflion Bond: Είναι πιο εξειδικευµένες εκδόεις οµολόγων τα οποία έχουν ταθερό επιτόκιο, αλλά προκειµένου να υπολογιτεί η αξία του τοκοµεριδίου λαµβάνεται υπόψη µια µεταβαλλόµενη ονοµατική αξία. Χρηιµοποιείται γι αυτό κάποιος δείκτης µε βάη τον οποίο αναπροαρµόζεται η αξία επί της οποίας εφαρµόζεται το ταθερό επιτόκιο. Τέτοια κυβερνητικά οµόλογα χρηιµοποιούν υχνά τον δείκτη του πληθωριµού. Έτι παρέχουν προταία τους επενδυτές από µια άνοδο του πληθωριµού ή εξαφαλίζουν µια ελάχιτη ταθερή απόδοη ε περίπτωη αρνητικής µεταβολής αυτού. Εταιρείες εκδίδουν υνήθως οµόλογα υνδεδεµένα µε τον δείκτη τιµών του χρηµατιτηρίου. Οµόλογα που πραγµατοποιούν πολλές περιοδικές πληρωµές τοκοµεριδίων πριν την λήξη τους και µία τελική πληρωµή κεφαλαίου. 4.Οµόλογα µε δικαίωµα ανάκληης ή πρόωρης εξόφληηςclll Bond: Είναι οµόλογα που ενωµατώνουν δικαιώµατα αγοράς τους ανάκληης από τον εκδότη τους πριν την λήξη τους. 5. Οµόλογα µε δικαίωµα πρόωρης αποπληρωµής ή πώληης από τον επενδυτήpl Bond: Είναι οµόλογα που ενωµατώνουν 7

26 δικαιώµατα πώληης από τον κάτοχό τους τον εκδότη πριν τη λήξη τους, ε προκαθοριµένες τιµές και χρονικές τιγµές. 6. Μετατρέψιµα οµόλογαconvil Bond: Είναι οµόλογα που ενωµατώνουν δικαιώµατα µετατροπής των οµολόγων ε άλλα αξιόγραφα υνήθως ε µετοχές ε προκαθοριµένες τιµές και χρονικές τιγµές. 7. οµηµένα οµόλογαscd Bond: Είναι οµόλογα που το επιτόκιο πληρωµής τοκοµεριδίων αλλά και το ποοτό αποπληρωµής της ονοµατικής αξίας την λήξη του οµολόγου εξαρτάται από τιµές κάποιων δεικτών. Στο ηµείο αυτό θα πρέπει να κάνουµε αναφορά ε ένα βαικό χαρακτηριτικό για τον υπολογιµό των τοκοµεριδίων των οµολόγων που είναι οι βάεις υπολογιµού..3 Βάεις υπολογιµού Οι βάεις υπολογιµού τ,τ που χρηιµοποιούνται ώτε να υπολογιτεί ο χρόνος από τη τιγµή έως τη λήξη T. Οι βάεις ποικίλουν ανάλογα µε τον τρόπο που υπολογίζουµε τις ηµέρες περιόδου παρακάτω αναφέρουµε κάποιες χαρακτηριτικές:. 30/360 Η βάη αυτή θεωρεί ότι ο κάθε µήνας έχει 30 µέρες ακόµα και αν κάποιοι µήνες έχουν 3 ηµέρες ενώ αν η περίοδος που µελετάµε αρχίζει ή τελειώνει τις 3 κάποιου µήνα θεωρεί αν ηµεροµηνία υπολογιµού τις 30 του µήνα ή την του επόµενου µήνα. Ενώ για το έτος θεωρεί ότι έχει 360 ήµερες και εποµένως ο παρανοµατής είναι το 360. ιάφορες παραλλαγές της βάης αυτής που διαφέρουν το πως υµπεριφέρονται τις 3 του µηνός και τον υπολογιµό των ηµερών που έχει ο Φεβρουάριος είναι οι 30/360 ISDA, η 30Ε/360, η 30Ε/360,η 30/360 Gmn και η 30/360 ICMA. Χρηιµοποιείται κυρίως τα ταθερού επιτοκίου οµόλογα εκδόεως ε νόµιµα Eo και ε εταιρικά και κυβερνητικά οµόλογα εκδόεως Ηνωµένων Πολιτειών. 8

27 . ACT/ACT ISMA η οποία έχει αν αριθµητή τις πραγµατικές µέρες της περιόδου και παρονοµατή τις πραγµατικές µέρες πολλαπλαιαζόµενες µε την υχνότητα των κουπονιών το έτοςπ.χ. αν είναι εξαµηνιαίο το κουπόνι η υχνότητα είναι. Είναι µια βάη που χρηιµοποιείται ευρέως ε εταιρικά οµόλογα και κυβερνητικά οµόλογα που έχουν εκδοθεί τα τελευταία χρόνια. 3. ACT/ACT ISDA η οποία έχει αν αριθµητή τις πραγµατικές µέρες της περιόδου και παρονοµατή 365 για το χρονικό διάτηµα της περιόδου που πέφτει ε µη δίεκτο έτος και 366 για το χρονικό διάτηµα που πέφτει ε δίεκτο. Χρηιµοποιούταν ε οµόλογα ε Eo παλαιότερης έκδοης 4. ACT/ACT AFB η οποία έχει αν αριθµητή τις πραγµατικές µέρες και παρονοµατή 365 αν χρονική περίοδος δεν περιλαµβάνει τις 9 Φεβρουαρίου ενώ αν την περιλαµβάνει ο παρονοµατής είναι 366. που πέφτει ε µη δίεκτο έτος και 366 για το χρονικό διάτηµα που πέφτει ε δίεκτο Είναι µια βάη που χρηιµοποιείται ευρέως ε κυβερνητικά οµόλογα που έχουν εκδοθεί τα τελευταία χρόνια. Είναι µια βάη που χρηιµοποιείται ευρέως ε κυβερνητικά οµόλογα που έχουν εκδοθεί τα τελευταία χρόνια 5. ACT/360 η οποία έχει αν αριθµητή τις πραγµατικές µέρες της περιόδου και παρονοµατή τον αριθµό 360 που βγαίνει θεωρώντας ότι όλοι οι µήνες έχουν από 30 µέρες και εποµένως το έτος έχει *30360 µέρες. Είναι µια βάη που χρηιµοποιείται ε οµόλογα που έχουν εκδοθεί ε τερλίνες και ε έντοκα γραµµάτιαty Bill 6. ACT/365 Fixd η οποία έχει αν αριθµητή τις πραγµατικές µέρες της περιόδου και παρονοµατή 365 θεωρώντας ότι το έτος έχει 365 και αδιαφορώντας αν είναι δίεκτο ή όχι. Χρηιµοποιείται τις ίδιες περιπτώεις οµολόγων µε τη βάη ACT/360. Παραλλαγή της βάης αυτής αποτελεί η ACT/365NL όπου τις ηµέρες του αριθµητή δεν προµετράτε η 9 Φεβρουαρίου αν περιέχεται την περίοδο. 9

28 .4 Τύποι επιτοκίων Άλλο ένα βαικό χαρακτηριτικό των οµολόγων αποτελούν τα επιτόκια τα οποία θα αναφερθούµε παρακάτω..4.. Επιτόκιο καταθέεων και ho Αρχικά ας αρχίουµε µε τον πιο απλό τύπο επιτοκίου που τον γνωρίζουν οι περιότεροι και αφορά το επιτόκιο του κατατεθικού λογαριαµού τις τράπεζες. Συγκεκριµένα η αξία του ποού B που έχουµε την τράπεζα τη χρονική τιγµή, αν υποθέουµε ότι τη χρονική τιγµή 0 είχε αξία µία χρηµατική µονάδα B0, περιγράφεται από τη χέη: db Bd, όπου ουιατικά το είναι το ποοτό που αυξάνεται ο λογαριαµός ε µια χρονική τιγµή και ονοµάζεται ως «ho». Σε αυτό το ηµείο µπορούµε να ορίουµε το τοχατικό παράγοντα προεξόφληης µεταξύ δύο χρονικών τιγµών και T D,T που είναι ουιατικά το χρηµατικό πόο τη χρονική τιγµή που έχει αξία µία χρηµατική µονάδα τη χρονική Τ. Ο µαθηµατικός τύπος είναι ο : B D, T xp d. B T T.4. Spo in Η πιο διαδεδοµένη µορφή όµως επιτοκίων είναι οι po in. Χωρίζονται ανάλογα µε την τρόπο υώρευης του επιτοκίου. Συγκεκριµένα έχουµε : Επιτόκιο υνεχούς ανατοκιµού το οποίο υµβολίζεται µε R,T και είναι το ταθερό επιτόκιο µε το οποίο µια επένδυη αξίας Ρ,Τ την χρονική τιγµή πρέπει να υωρεύει µε υνεχή ρυθµό ώτε τη λήξη Τ να αποδώει µια χρηµατική µονάδα. Ο µαθηµατικός τύπος που περιγράφει το παραπάνω 0

29 lnp, T R, T P, T τ, T R, T τ, Τ Επιτόκιο ανατοκιµού ανά τακτά χρονικά διατήµατα το οποίο υµβολίζεται µε L,T και είναι το ταθερό επιτόκιο µε το οποίο µια επένδυη αξίας Ρ,Τ την χρονική τιγµή πρέπει να υωρεύει ε αναλογικά διατήµατα ώτε τη λήξη Τ να αποδώει µια χρηµατική µονάδα. Ο µαθηµατικός τύπος που περιγράφει το παραπάνω P, T L T, P, T. τ, TP, T L, T τ,t Χαρακτηριτική επιτόκιο της κατηγορίας αυτής είναι το LIBOR όπου η βάη υπολογιµού που χρηιµοποιείται είναι η ACTUAL/360. Επιτόκιο ετήιου ανατοκιµού το οποίο υµβολίζεται µε Υ,T και είναι το ταθερό επιτόκιο µε το οποίο µια επένδυη αξίας Ρ,Τ την χρονική τιγµή πρέπει να γίνει ώτε επανεπενδύοντας τα αποκτηθέντα ποά µια φορά το χρόνο ώτε τη λήξη Τ να αποδώει µια χρηµατική µονάδα. Ο µαθηµατικός τύπος που περιγράφει το παραπάνω: Y T, P, T. Η βάη /τ/τt τ,t [P,T] Y, T τ,t υπολογιµού που χρηιµοποιείται είναι η ACTUAL/365. Επιτόκιο ανατοκιµου ανά k- φορές το χρόνο που ιχύει τη χρονική τιγµή για λήξη Τ υµβολίζεται µε k Y,T και είναι το ταθερό επιτόκιοε ετήια βάη µε την οποία µια επένδυη αξίας Ρ,Τ την χρονική τιγµή πρέπει να γίνει ώτε επανεπενδύοντας τα αποκτηθέντα ποά k φορές το χρόνο ώτε τη λήξη Τ να αποδώει µια χρηµατική µονάδα. Ο µαθηµατικός τύπος που περιγράφει το παραπάνω: Y k k T, k P, T. /kτ/kt k kττt [P,T] Y, T τ,t/k

30 Με τη βοήθεια των παραπάνω επιτοκίων δηµιουργούµε τη καµπύλη αποδόεων η οποία είναι η καµπύλη οµολόγων µηδενικού επιτοκίου zo copon cv και η οποία είναι το βαικό εργαλείο για την τιµολόγηη των οµολόγων. Συγκεκριµένα οι αποδόεις των οµολόγων διαφορετικής ηµεροµηνίας λήξης χηµατίζουν γραφικά την καµπύλη αποδόεων, η οποία αποτελεί προφίλ των επιτοκίων µιας χώρας. Στο επόµενο κεφάλαιο θα αναφερθούµε αναλυτικά την καµπύλη αποδόεων.

31 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΜΟΡΦΕΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ 3. Τι είναι η καµπύλη αποδόεων Η καµπύλη αποδόεων αποτελεί τη γραφική παράταη της υνάρτηης Τ χρόνος λήξης του οµολόγου η οποία ιούται µε το επιτόκιο ανατοκιµού ανά τακτά χρονικά διατήµατα αν η διαφορά µεταξύ της χρονικής τιγµή Τ που λήγει και της παρούας χρονικής τιγµής είναι µικρότερη ή ίη από ένα έτος. Σε αντίθετη περίπτωη η υνάρτηη Τ ιούται µε το επιτόκιο ετήιου ανατοκιµού. Η µαθηµατική έκφραη της υνάρτηης Τ είναι η παρακάτω: L, T T Υ τ, Τ < T έτη T > έτη Πρόκειται ουιατικά για τη γραφική παράταη, η οποία εκφράζει τη χέη της απόδοης ύψος επιτοκίου χρηµατοοικονοµικών προϊόντων οµολογίες, δάνεια, που βαρύνονται από τον ίδιο κίνδυνο, ε υνάρτηη µε τη χρονική διάρκειά τους. Η καµπύλη χρηιµοποιείται από πολλούς αναλυτές οµολόγων ή χρεογράφων για να βρουν ευκαιρίες κέρδους ενώ οι οικονοµολόγοι τις χρηιµοποιούν για να κατανοήουν τις οικονοµικές υνθήκες που επικρατούν. Παρακάτω θα αναφέρουµε τις µορφές της καµπύλης αποδόεων και τα υµπεράµατα που µπορούµε να εξάγουµε από αυτές 3

32 3. Μορφές καµπύλης αποδόεων Το χήµα της καµπύλης αποδόεων επηρεάζεται από προφορά και τη ζήτηη : για παράδειγµα, εάν υπάρχει µεγάλη ζήτηη για µακροχρόνια οµόλογα, και η ζήτηη αυτή δεν µπορεί να ικανοποιηθεί, τότε οι αποδόεις των οµολόγων αναµένεται να είναι χαµηλές, ανεξάρτητα από τις προβλέψεις των ατόµων που υµµετέχουν την αγορά για το µέλλον. Οι µορφές που µπορεί να έχει η καµπύλη αποδόεων είναι τρεις η κανονική ή µε θετική κλίη, η επίπεδη και η αντίτροφήή αρνητική κλίη. Ειδικότερα: 3... Κανονική καµπύλη αποδόεων ή µε θετική κλίη Η κανονική µορφή poiiv/noml yild cv αποτελεί τη πιο υνηθιµένη µορφή και είναι αυτή που έχει θετική κλίη και την οποία το επιτόκιο για τα οµόλογα που λήγουν ε µικρό χρονικό διάτηµα είναι µικρότερο ε χέη µε αυτά που η λήξη τους είναι ε µεταγενέτερη χρονική τιγµή. Αποτυπώνει ουιατικά τις προδοκίες των επενδυτών για ανάπτυξη της οικονοµίας τα επόµενα χρόνια και αποτελεί εφαρµογή της θεωρίας της Προτίµηης της Ρευτότητας liqidiy pfnc hoy of h m c όπου οι επενδυτές. Γράφηµα 3. Κανονική καµπύλη αποδόεων επιθυµούν ρευτότητα, δηλαδή οι δανειζόµενοι προτιµούν να δανείζονται µακροπρόθεµα, επειδή τα βραχυπρόθεµα δάνεια τους εκθέτουν τον κίνδυνο επιτροφής του δανείου κάτω από αντίξοες υνθήκες και οι 4

33 δανειτές να δανείζουν βραχυπρόθεµα για µικρότερο κίνδυνο απώλειας του κεφαλαίου. Αυτό έχει αν αποτέλεµα την υψηλότερη ζήτηη για βραχυπρόθεµα οµόλογα αλλά και την υψηλότερη προφορά για µακροπρόθεµα οµόλογα. Άρα οι επενδυτές, προκειµένου να δεµεύουν τα κεφάλαια τους για µεγαλύτερο χρονικό διάτηµα, απαιτούν κάποιο πριµ ρευτότητας liqidiy pmim τις αποδόεις των πιο µακροπρόθεµων οµολόγων. Λόγω του πριµ ρευτότητας, οι αποδόεις των µακροπρόθεµων οµολόγων τείνουν να είναι υψηλότερες από των βραχυπρόθεµων. 3.. Αντιτροφή καµπύλη αποδόεων ή µε αρνητική κλίη Η αντίτροφή µορφή invd/ngiv yild cv παρατηρείται όταν όο ο εναποµένων χρόνος µέχρι τη λήξη του χρεογράφου αυξάνεται, τόο λιγότερο ανταµείβονται οι επενδυτές-δανειτές και αντίτοιχα ο δανειµός κεφαλαίων γίνεται φθηνότερος. Παρατηρείται ιχυρή ζήτηη δανειακών κεφαλαίων τη βραχυχρόνια αγορά υγκριτικά µε τη ζήτηη τη µακροχρόνια αγορά, Ο τύπος αυτός της καµπύλης αποδόεων υνήθως υποδηλώνει µια µεγάλη πιθανότητα οικονοµικής ύφεης. Για παράδειγµα, η αντίτροφη καµπύλη απόδοης προηγήθηκε της αµερικάνικης ύφεης του 00. Ενώ µία ακόµη φορά που η καµπύλη απόδοης των αµερικανικών επιτοκίων αντιτράφηκε ήταν τα τέλη του 005. Αυτό προκάλεε ανηυχία, καθώς ήταν ένα ήµα κινδύνου για µία ενδεχόµενη αποδυνάµωη της αµερικανικής οικονοµίας. Γράφηµα 3. Αντίτροφη καµπύλη αποδόεων Σε αυτό το ηµείο αξίζει να αναφερθούµε ότι την καµπύλη αποδόεων των ελληνικών οµολόγων τον Απριλίου του 00 η οποία όπως φαίνεται και το 5

34 χήµα ήταν αρνητική και ουιατικά ήταν ένας προποµπός της ύφεης της ελληνικής οικονοµίας που ακολούθηε. Γράφηµα 3.3 Καµπύλη αποδόεων ελληνικών οµολόγων 00πηγή Finncil Tim 3..3 Επίπεδη καµπύλη αποδόεων Μία επίπεδη καµπύλη αποδόεων fl yild cv δηλώνει ότι οι αποδόεις τα διάφορα χρονικά τµήµατα αυτής είναι χεδόν ίδιες. Παρατηρείται όταν η προφορά και η ζήτηη κεφαλαίων είναι ιορροπηµένη τις δυο αγορές µακροχρόνιες & βραχυχρόνιες αγορές. Ο τύπος αυτός της καµπύλης υποδηλώνει την πιθανότητα οικονοµικής επιβράδυνης. Περιπτώεις που µπορούµε να έχουµε αυτή τη µορφή είναι όταν µία Κεντρική Τράπεζα όπως η FED των ΗΠΑ, προχωρεί ε αύξηη των βραχυπρόθεµων επιτοκίων χωρίς αυτή να µεταφέρεται και τα µακροπρόθεµα, η κίνηη της καµπύλης απόδοης παύει να είναι κανονική. Αν τα βραχυπρόθεµα επιτόκια αυξάνονται ενώ τα µακροπρόθεµα επιτόκια παραµένουν ταθερά, είτε µειώνονται είτε ακόµη και αυξάνονται µε πολύ µικρότερο ρυθµό, η καµπύλη απόδοης µετατοπίζεται ε µία πλάγια κατάταη. Αυτό γιατί η διαφορά µεταξύ των βραχυπρόθεµων και µακροπρόθεµων επιτοκίων γίνεται όλο και µικρότερη. Σε αυτήν την περίπτωη µιλάµε για «Επίπεδη Κίνηη» της καµπύλης απόδοης των οµολόγων. 6

35 Γράφηµα 3.4 Επίπεδη καµπύλη αποδόεων Στο ηµείο και αφού ολοκληρώαµε την παρουίαη των µορφών της καµπύλης αποδόεων αυτό θα παραθέουµε τις καµπύλες αποδόεων τις για τις τρεις µεγαλύτερες οικονοµίες του υτικού κόµου την Ευρωζώνη, την Μεγάλη Βρετανία και τις Η.Π.Α. Πίνακας3. Καµπύλη απόδοης για Η.Π.Α., Ευρωζώνη και Μεγάλη Βρετανία τις Καµπύλη απόδοης για Η.Π.Α., Ευρωζώνη και Μεγάλη Βρετανία Πηγή: Finncil Tim, 9 Jny 0 7

36 3.3 ιαφοροποιήεις την καµπύλη αποδόεων Η καµπύλη αποδόεων µπορεί να διαφοροποιηθεί είτε µέω µιας παράλληλης µετατόπιης ή µε µιας µη παράλληλης µετατόπιης. Συγκεκριµένα η παράλληλη µετατόπιηplll hif που φαίνεται το γράφηµα 3. υµβαίνει όταν η οι αποδόεις των διαφορετικών λήξεων αλλάζουν το ίδιο. Γράφηµα 3.5 Παράλληλη µετατόπιη καµπύλης αποδόεων Όταν δεν έχουµε παράλληλη µετατόπιη non plll hif αυτό ηµαίνει ότι η µεταβολή των αποδόεων για τις διαφορετικές λήξεις δεν είναι οι ίδιες. Μη παράλληλες µετατοπίεις µπορεί να γίνουν είτε µε αλλαγή της κλίης wi in lop είτε µε αλλαγή την κυρτότητα chng in cv. Η αλλαγή την κυρτότητα ονοµάζεται και πεταλούδα fly. Μη παράλληλες µετατοπίεις φαίνονται τα παρακάτω γραφήµατα Γράφηµα 3.6 Μετατόπιη καµπύλης αποδόεων µε αλλαγή της κλίης 8

37 Γράφηµα 3.7 Μετατόπιη καµπύλης αποδόεων µε αλλαγή της κυρτότητας 3.4 ιάφορες Θεωρίες για την καµπύλη αποδόεων Στο κοµµάτι της καµπύλης αποδόεων µε θετική κλίη αναφερθήκαµε τη Θεωρία Προτίµηης Ρευτότητας που είναι όµως µία από τις θεωρίες που προπαθούν να εξηγήουν την καµπύλη αποδόεων καθώς υπάρχουν και η Θεωρία Τµηµατοποίηης Αγοράς, Θεωρία Προδοκιών και η Θεωρία Προτίµηης τις οποίες θα αναφερθούµε παρακάτω Θεωρία Τµηµατοποίηης Αγοράς Sgmnd Mk Thoy Η θεωρία της τµηµατοποίηης της αγοράς πρεβεύει ότι οι υµµετέχοντες την αγορά εκδότες δανείων και επενδυτές έχουν ιχυρές προτιµήεις για δάνεια υγκεκριµένης ωρίµανης, και λειτουργούν µόνο µέα τους χρονικούς ορίζοντες που επιθυµούν ενώ αποτρέφονται και τον κίνδυνο. Έτι λοιπόν ακόµα και αν υπάρχουν αποδόεις υψηλότερες ε οµολογίες διαφορετικού χρονικού ορίζοντα από αυτόν που επιθυµούν οι υµµετέχοντες την αγορά, αυτοί θα προτιµήουν να εξαφαλιτούν από την αβεβαιότητα ταιριάζοντας ουιατικά τον χρονικό ορίζοντα των υποχρεώεών τους µε τον χρονικό ορίζοντα τον απαιτήεών τους. Για παράδειγµα, ένα άτοµο που δανείζεται µε κοπό να αγοράει µια κατοικία θα προτιµούε ένα µακροπρόθεµο δάνειο, ενώ αντίθετα µια εταιρία η οποία δανείζεται για να 9

38 χηµατίει αποθέµατα για τις γιορτές των Χριτουγέννων θα προτιµούε ένα βραχυπρόθεµο δάνειο. Έτι λοιπόν τα βραχυπρόθεµα επιτόκια καθορίζονται από προφορά και ζήτηη S&D βραχυπρόθεµων κεφαλαίων, ενώ τα µακροπρόθεµα επιτόκια καθορίζονται από προφορά και ζήτηη S&D µακροπρόθεµων κεφαλαίων. Η κλίη της καµπύλης αποδόεων δηλαδή εξαρτάται από τις υνθήκες προφοράς και ζήτηης τη µακροπρόθεµη και βραχυπρόθεµη αγορά. Κατά υνέπεια η καµπύλη ε κάποια δεδοµένη ηµεροµηνία να είναι είτε επίπεδη, είτε αύξουα ή φθίνουα. Μια καµπύλη µε αύξουα κλίη µπορεί να παρατηρηθεί όταν υπάρχει µεγάλη προφορά βραχυπρόθεµων κεφαλαίων ε χέη µε τη ζήτηη, αλλά και έλλειψη µακροπρόθεµων κεφαλαίων Θεωρία Προδοκιών P Expcion Thoy Η θεωρία αυτή υποτηρίζει ότι η µορφή της καµπύλης των επιτοκίων καθορίζεται µόνον από τις προδοκίες των επενδυτών για το µελλοντικό επίπεδο των επιτοκίων δηλαδή την πορεία του πληθωριµού. Οι υµµετέχοντες την αγορά είναι ουδέτεροι τον κίνδυνο ik nl και άρα θα επιλέξουν την επένδυη µε την µεγαλύτερη απόδοη. Η Θεωρία Προδοκιών δηλαδή είναι η ακριβώς αντίθετη µε την θεωρία των Θεωρία Τµηµατοποίηης Αγοράς. Οι υποτηρικτές της πιτεύουν ότι η απαιτούµενη απόδοη ενός µακροπρόθεµου οµολόγου ιούται µε την απόδοη µιας ειράς βραχυπρόθεµων οµολόγων: πχ. η απόδοη ενός ετήιου οµολόγου υν την αναµενόµενη απόδοη ενός εξάµηνου οµολόγου αγοραµένου ε έξι µήνες από ήµερα κλπ. Έτι λοιπόν µια ευθεία καµπύλη επιτοκίων ηµαίνει ότι τα επιτόκια αναµένεται να µείνουν ταθερά το µέλλον, ενώ µια ανοδική καµπύλη επιτοκίων ηµαίνει ότι τα επιτόκια αναµένεται να ανέβουν το µέλλον. Τέλος, µια καθοδική καµπύλη επιτοκίων ηµαίνει ότι τα επιτόκια αναµένεται να πέουν το µέλλον. Αυτό υµβαίνει, γιατί οµόλογα ε κυκλοφορία γίνονται πιο ελκυτικά εάν αναµένεται µείωη των επιτοκίων, αφού θα πληρώνεται ταθερός τόκος ακόµα και όταν τα επιτόκια θα είναι χαµηλότερα. Αυτό αυξάνει τη ζήτηη για τα υγκεκριµένα οµόλογα και την αγοραία τιµή τους, µε αποτέλεµα να µειώνει την απόδοη τους και άρα να δηµιουργεί καθοδική καµπύλη αποδόεων. 0

39 3.4.3 Θεωρία Προτίµηης Pfd Hi Thoy Η θεωρία αυτή αποτελεί ουιατικά µια βελτίωη της Προτίµηης της Ρευτότητας και υποτηρίζει ότι οι επενδυτές θα προπαθήουν να ταιριάξουν τη χρονική διάρκεια των τοιχείων του παθητικού τους µε τη χρονική διάρκεια των τοιχείων του ενεργητικού τους ελαχιτοποίηη αβεβαιότητας. Όµως αν οι επενδυτές λάβουν κάποιο πριµ pmim, δηλαδή ανταµοιβή για τον κίνδυνο, θα προτιµήουν και άλλες επενδύεις, και θα αφήουν τον χρονικό ορίζοντα που επιθυµούν για διαφορετικούς χρονικούς ορίζοντες. Σύµφωνα µε τη θεωρία αυτή, πριµ που µπορεί να είναι θετικά ή αρνητικά θα υπάρχουν για χρονικές διάρκειες όπου δεν υπάρχει αρκετή ζήτηη. Ακόµη, εάν δεν ξέρουµε από πριν τι ζήτηη θα υπάρχει για διάφορες µελλοντικές τιγµές, δεν µπορούµε να πάρουµε καµία πληροφορία από την καµπύλη των επιτοκίων. H καµπύλη απόδοης των ελληνικών οµολόγων για το έτος 00 λόγω της άχηµης κατάταης της ελληνικής οικονοµίας και της οικονοµικής ύφεης που διανύει η χώρα, εµφανίζει αρνητική κλίη ε διάφορα ηµεία κατά βάη ε µακροπρόθεµα οµόλογα ωριµότητας µεγαλύτερης των 0 ετών. Η πραγµατικότητα λοιπόν είναι ο υνδυαµός των παραπάνω θεωριών, αφού εάν οι προδοκίες για την πορεία των επιτοκίων ήταν ο µόνος παράγοντας που επηρέαζε το χήµα της καµπύλης αποδόεων, αυτή θα έπρεπε να είναι ξεκάθαρα καθοδική.βλέπε Γράφηµα 3.3 Η ηµαντικότητα της καµπύλης αποδόεως τηv εξαγωγή υµπεραµάτων για την οικονοµική πορεία των εκδοτών των υγκεκριµένων οµολόγων οδήγηε τη µοντελοποίηη της µέω των επιτοκίων από τους επιτήµονες. Με τα διάφορα αυτά µοντέλα θα αχοληθούµε το επόµενο κεφάλαιο

40

41 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΜΟΝΤΕΛΑ ΑΠΟ ΟΣΕΩΝ 4. Μοντέλα αποδόεων Η µοντελοποίηης της παρούας αξίας των οµολόγων που χρηιµοποιείται τη καµπύλη αποδόεων γίνεται µέω του επιτοκίουαπό το ηµείο αυτό και παρακάτω όταν αναφερόµατε τον όρο επιτόκιο εννοούµε την απόδοη του οµολόγου. Συγκεκριµένα η αξία του οµολόγου µηδενικού επιτοκίου λήξης Τ τη χρονική τιγµή δίνεται από το τύπο T P, T E d Εποµένως βρίκοντας την κατανοµή για το T d µέω του µπορούµε να υπολογίουµε την τιµή του P,T. Τα µοντέλα επιτοκίων µπορεί να είναι ενός παράγοντα ή περιοτέρων. Εµείς θα ξεκινήουµε µε την παρουίαη των µοντέλων ενός παράγοντα και το τέλος θα παρουιάουµε µοντέλα µε δύο παράγοντες. 4. Μοντέλα Επιτοκίων µε ένα παράγοντα 4.. Μοντέλο Vick Η πρώτη προπάθεια εκτίµηης των επιτοκίων έγινε το 977 από τον Τέχο µαθηµατικό Oldich Vick µέω της µαθηµατικής διαδικαίας Onin-Uhlnck. Συγκεκριµένα ο µαθηµατικός τύπος είναι ο παρακάτω: d k θ d dw, 0 0 Όπου 0 θ, k και είναι θετικές ταθερές. 3

42 4 Η εξίωη αυτή έχει το πλεονέκτηµα ότι είναι γραµµική και άρα µπορούµε να βρούµε µια λύη µε µεγάλη ακρίβεια και επίης το επιτόκιο ακολουθεί κανονική κατανοµή. Συγκεκριµένα ολοκληρώνοντας την εξίωη για τότε η condiionl on F κατανοµή του είναι κανονική µε υνάρτηη κατανοµής k k k dw θ µέη τιµή: [ ] k k F E θ και διακύµανη: [ ] [ ] k k F V Το πλεονέκτηµα της µεθόδου αυτής αποτελεί η κανονική κατανοµή που ακολουθεί το και αυτό κάνει πιο εύκολη την εξαγωγή υµπεραµάτων. Αλλά η κανονικότητα έχει αν αποτέλεµα το να υπάρχει θετική πιθανότητα το να είναι αρνητικό κάτι που αποτελεί και το µεγαλύτερο µειονέκτηµα της µεθόδου. Το µειονέκτηµα αυτό προπαθούµε να το παρακάµψουµε προπαθώντας το να κινείται κοντά το θ εκµεταλλευόµενη ότι το είναι mn ving δηλαδή έχει την τάη να επιτρέφει ε µια ταθερά που καλείται long n µέος. Χρηιµοποιώντας το µοντέλο του Vick η αξία του µηδενικού κουπονιού οµολόγου λήξης Τ είναι:,,, T B T A T P Όπου, 4,, T B k T T B k T A θ και [ ], T k k T B Οι παραπάνω µαθηµατικοί τύποι περιγράφουν το µοντέλο του Vick τον ουδέτερο τον κίνδυνο κόµο. Ο τύπος που περιγράφει το µοντέλο τον αντικειµενικό κόµο είναι ο παρακάτω:

43 d [ kθ k λ ] d dw 0, 0 0 Όπου λ είναι µια παράµετρος που υµβάλλει την τιµή αγοράς του κινδύνου. Όταν το λ0 τότε οι δύο τύποι υµπίπτουν. Ο εύκολος χειριµός των δύο µοντέλων είναι ηµαντικός γιατί οι µπορούµε να τα χρηιµοποιήουµε υνδυατικά ώτε να υπολογίουµε τις τιµές των παραµέτρων κι αυτό διότι η διάχυη των παραµέτρων είναι ή ίδια τους δύο κόµους. Παραδείγµατι µπορούµε να εκτιµήουµε τη παράµετρο µε τη µέθοδο της µέγιτης πιθανοφάνειας και να βρούµε τις τιµές των παραµέτρων θ και k καλιµπράροντας τις τιµές τους τα δεδοµένα της αγοράς. Στο ηµείο αυτό θα πρέπει να αναφέρουµε ότι το µοντέλο του Vick µπορεί να ερµηνευτεί και αν AR ogiv poc of od, δηλαδή µοντέλο του οποίου η τιµή την χρονική τιγµή εξαρτάται µόνο από την τιµή που είχαµε την χρονική τιγµή -, µε την µορφή d k θ d dw όπου d ενώ o dw ακολουθεί κανονική κατανοµή. Ορίζοντας το d τότε ο παραπάνω τύπος παίρνει την µορφή kθ k dw > kθ k dw το οποίο αν θέουµε kθ και -k και ε dw γράφεται ε Με και ταθερές και τα κατάλοιπα ε ~ N0,d την περίπτωη µας d Επιπλέον αφού το είναι mn ving ιχύει ότι 0<< ενώ το - ονοµάζεται ταχύτητα του mn-vion και µετράει το µέο χρόνο που χρειάζεται η διαδικαία για να επιτρέψει τον long n µέο. 4.. Μοντέλο Dohn Ένα άλλο οµογενής κατά χρόνο µοντέλο είναι το µοντέλο Dohn.Ο Dohn ξεκίνηε από difl γεωµετρική κίνηη Bown για το µοντέλο επιτοκίου το πραγµατικό κόµο του οποίου ο µαθηµατικός τύπος είναι ο παρακάτω: 5

44 6 dw 0 d, 0 0 Όπου 0 και είναι θετικές ταθερές. Και τη υνέχεια δηµιούργηε το µοντέλο για τον ουδέτερο τον κίνδυνό µοντέλο του οποίο ο µαθηµατικός τύπος είναι ο παρακάτω: dw d d α, Όπου α πραγµατική ταθερά. Συγκεκριµένα ολοκληρώνοντας την εξίωη για τότε η κατανοµή condiionl on F κατανοµή του είναι λογαριθµική µε υνάρτηη κατανοµής W W α µέη τιµή: [ ] F E α και διακύµανη: [ ] F V α Η λογαριθµική κατανοµή εξαφαλίζει ότι η υνάρτηη είναι πάντα θετική ενώ η διαδικαία είναι mn ving αν και µόνο αν α<0. Η αξία του µηδενικού κουπονιού οµολόγου λήξης Τ βάη του µοντέλου του Dohn είναι: p z z i p z T z p z f ό K p dzdy yz z f y T P p p Γ Γ,, coh 8 4 xp in inh in, 0 0 π που π όπου K q είναι υνάρτηη Bl δεύτερου είδους και q τάξης.

45 Οι παραπάνω υναρτήεις δείχνουν τη δυκολία να υπολογίουµε τη τιµή µε µαθηµατικό τρόπο και για αυτό πολλές φορές χρηιµοποιούµε ένα προεγγιτικό δέντρο για τη διαδικαία. Σε αυτό το ηµείο πρέπει να αναφερθούµε ε ένα πρόβληµα που παρουιάζει το µοντέλο Dohn αλλά και γενικότερα τα λογαριθµικά µοντέλα. Συγκεκριµένα αν καταθέουµε ε ένα τραπεζικό λογαριαµό µια χρηµατική µονάδα τότε για µικρό χρονικό βάει του µοντέλου θα έχουµε άπειρο κέρδος xploion polm. Ειδικότερα ε µικρό χρονικό διάτηµα η αναµενόµενη τιµή θα είναι: E B E 0 0 d 0 E 0 0 / [ ] Αφού όµως κατανέµεται λογαριθµικά τότε η αναµενόµενη τιµή είναι του τύπου: Ε 0 [xpxpy] όπου το Υ κατανέµεται λογαριθµικά και εποµένως έχουµε: 0 E0 B E0 d 4..3 Μοντέλο Cox,Ingoll nd RoCIR Το 985 οι Cox, Ingoll και Ro πρότειναν µια επέκταη του µοντέλου του Vick όπου προτίθεται τον τύπο και η τετραγωνική ρίζα του επιτοκίου και µε αυτό το τρόπο ξεπερνιέται το βαικό µειονέκτηµα του µοντέλου του Vick που είναι ότι το επιτόκιο µπορεί να πάρει αρνητική τιµή µε θετική πιθανότητα. Συγκεκριµένα ο τύπος είναι: d k θ d dw, 0 0 Όπου 0 θ, k και είναι θετικές ταθερές. Και η υνθήκη που ιχύει είναι για να µπορούµε να δεχτούµε ότι το είναι θετικό είναι η παρακάτω: 7

46 8 kθ> Το παραπάνω µοντέλο που είναι το ουδέτερο τον κίνδυνο ακολουθεί µη κεντρική Χ κατανοµή η οποία έχει την παρακάτω υνάρτηης κατανοµής:,, /, x c P c x P x P X c X τ τ λ λ όπου k k c k k c λ τ θ Συγκεκριµένα η µέη τιµή και η διακύµανη condiionl on F είναι: µέη τιµή: [ ] k k F E θ διακύµανη: [ ] k k k k F V k θ Ενώ η αξία του µηδενικού κουπονιού οµολόγου λήξης Τ είναι:,,, T B T A T P Όπου [ ] [ ], xp / xp, / kθ h h k h T h k h T A [ ] [ ], xp xp, k h h T h k h h T T B

47 Η µετάβαη µας από το µοντέλο για τον ουδέτερο το κίνδυνό µοντέλο ε αυτό για τον πραγµατικό κόµο γίνεται µε το παρακάτω τύπο: dq dq 0 F xp λ d 0 0 λ dw 0 Στον οποίο θεωρούµε ότι τιµή της λ έχει τη µορφή λ λ Η µοντελοποίηη για τον αντικειµενικό κόµο γίνεται χρηιµοποιώντας την διατύπωη d [ kθ k λ ] d dw 0, 0 0 Έτι ώτε το να παραµένει η τετραγωνικής ρίζας διαδικαία Συχετιµένης χρονικής δοµής µοντέλα Affin Tm Sc Modl Τελειώνοντας την αναφορά µας το CIR µοντέλο θα πρέπει να επιηµάνουµε ότι το µοντέλο αυτό καθώς και το µοντέλο του Vick ανήκουν την κατηγορία των µοντέλων υχετιµένης χρονικής δοµής. Συγκεκριµένα τη κατηγορία αυτή ανήκουν τα µοντέλα για τα οποία η αξία του µηδενικού κουπονιού µπορεί να γραφτεί τη µορφή: P,TA,T -B,T Στα µοντέλα αυτά µπορούµε να υπολογίουµε την απόλυτη τιγµιαία αβεβαιότητα των τιγµιαίων fowd επιτοκίων f,t από το τύπο: B, T f, T, dw T 9

48 30 Στη υνέχεια θα αναφερθούµε ε παραλλαγές των τριών µοντέλων που αναφέραµε παραπάνω και κυρίως του µοντέλου του Vick, αρχίζοντας µε το Εκθετικό µοντέλο VickEV Modl 4..4 Εκθετικό µοντέλο VickEV Modl Το εκθετικό µοντέλο Vick δηµιουργήθηκε από την υπόθεη ότι ο λογάριθµος του ακολουθεί µια διαδικαία Onin-Uhlnck κάτω από το ουδέτερο το κίνδυνο µέτρο Q. O µαθηµατικός τύπος είναι ο παρακάτω: ln dw d d θ, Η διαδικαία για κάθε δίνεται ρητά από το τύπο: ] xp[ln dw θ Εποµένως το condiionl on F κατανοµή του είναι λογαριθµοκανονική µε πρώτη και δεύτερη ροπή πρώτη ροπή: [ ] ]} [ 4 xp{ln E α θ δεύτερη ροπή: [ ] ]} [ xp{ ln E α θ Το εκθετικό µοντέλο Vick είναι πάντα mn ving αφού ιχύει: 4 xp } [ lim F E α θ Επίης αν λογαριθµικό µοντέλο το EV παρουιάζει το xploion polm Μοντέλο Ho και L Τα µοντέλα που έχουµε αναφέρει έως τώρα δηµιουργούν ενδογενώς τη δοµή των επιτοκίων η ανάγκη όµως τα µοντέλα να ταυτίζονται µε τις τιµές

49 που παρατηρούµε την αγορά οδήγηε την δηµιουργία εξωγενών µοντέλων. Η πρώτη πρόταη για εξωγενές µοντέλο έγινε από τους Ho και L ο 986 και βαιζότανε την υπόθεη ότι η εξέλιξη της υνολικής χρονικής δοµής των επιτοκίων ελέγχεται από ένα διωνυµικό δέντρο. Το βαικό τους εργαλείο τους ήταν η υπόθεη ότι ε κάθε χρονικό ηµείο µετά το διωνυµικό άλµα αναµένονται δύο εναλλακτικές καµπύλες χρονικής δοµής οι οποίες διαφέρουν µόνο από µια παράλληλη µετατόπιη. Ο µαθηµατικός τύπος που περιγράφει το µοντέλο τον ουδέτερο τον κίνδυνο κόµο είναι ο παρακάτω: d θ d dw, όπου θ είναι ντερτεµινιτική υνάρτηη του χρόνου. Επίης το µοντέλο µπορεί να επεκταθεί και να γίνει και η διακύµανη ντερτεµινιτική υνάρτηη του χρόνου. Ο τύπος για το τον αντικειµενικό κόµο είναι ο παρακάτω: d θ d d dw Μοντέλο Hll Whi επέκταης Vick Th Hll Whi Exndd Vick Modl Ένα ακόµα εξωγενές µοντέλο το οποίο δηµιουργήθηκε µε την προθήκη το µοντέλο Vick µιας µεταβλητής το χρόνο παραµέτρου είναι το µοντέλο Hll Whi. Οι Hll και Whi το 990 αντιλήφθηκαν ότι το ταίριαµα του µοντέλου και χρονικής δοµής των επιτοκίων της αγοράς είναι ιοδύναµο µε το να προπαθείς να λύεις ένα ύτηµα µε άπειρες εξιώεις, µία για κάθε λήξη οµολόγου. Ένα τέτοιο ύτηµα λύνεται µόνο αν ορίουµε άπειρες παραµέτρους ή αν ορίουµε µια ντερτεµινιτική υνάρτηη του χρόνου. Αυτό λοιπόν έκαναν το µοντέλο του Vick. Το µοντέλο υνεπάγεται ότι η διαδικαία των επιτοκίων είναι κανονική κάτι που µας επιτρέπει την παραγωγή αναλυτικών τύπων και την κατακευή αποτελεµατικών διαδικαιών για την τιµολόγηη µιας µεγάλης ποικιλίας προϊόντων παραγώγων. Στον αντίποδα η πιθανότητα για αρνητικό επιτόκιο 3

50 καθώς και ο ενός παράγοντα τύπος κάνει το µοντέλο να µην είναι εφαρµόιµο ε υγκεκριµένα προβλήµατα τιµολόγηης. Ο µαθηµατικός τύπος που περιγράφει το µοντέλο τον ουδέτερο τον κίνδυνο κόµο είναι ο παρακάτω: d [ θ ] d, dw όπου θ, α και είναι ντερτεµινιτικές υναρτήεις του χρόνου. Μια άλλη µορφή του τύπου είναι η παρακάτω: d [ θ ] d, όπου α και είναι θετικές ταθερές και το θ έχει dw επιλεγεί ώτε να ταιριάζει απόλυτα τη χρονική δοµή των επιτοκίων που παρατηρούνται την αγορά. Αν ολοκληρώουµε το παραπάνω τύπο θα καταλήξουµε τον τύπο: dw Όπου f M 0, α µε f M 0, ln 0, P M Από τη παραπάνω υνάρτηη του καταλήγουµε το υµπέραµα ότι η condiionl on F κατανοµή του είναι κανονική µε E F µέη τιµή: [ ] και διακύµανη: V[ F ] [ ] Βάει των παραπάνω η πιθανότητα το επιτόκιο να είναι αρνητικό είναι Q < 0 } Φ [ ] 3

51 4..6. Κατακευή τριωνυµικού δέντρου για το µοντέλο Hll Whi Βαιζόµενοι τη πρόταη από τον Hll και τον Whi θα κατακευάουµε ένα τριωνυµικό δέντρο. Αρχικά ορίζουµε τη διαδικαία x ως εξής: dx x d dw, x0 0 Τότε για κάθε < έχουµε x x dw Εποµένως ο µαθηµατικός τύπος που περιγράφει το µοντέλο τον ουδέτερο τον κίνδυνο κόµο είναι ο παρακάτω µπορεί να γίνει xα για κάθε. Ορίζουµε ένα χρονικό ορίζοντα T τον οποίο χωρίζουµε ε τιγµές 0 < < < N T και ορίζουµε i i - i για κάθε I οι χρονικές διαφορές i δεν πρέπει να είναι ία. Αρχικά κατακευάζουµε ένα τριωνυµικό δέντρο για την διαδικαία x. Ειδικότερα υµβολίζουµε τα κλαδιά του δέντρου µε τους δείκτες i,j όπου i είναι ο δείκτης χρόνου και παίρνει τιµές από 0 έως Ν και το j που είναι ο δείκτης διατήµατος και παίρνει τιµές από κάποιο j -i < 0 ε κάποιο j i > 0. Συµβολίζουµε µε x i,j τη διαδικαία όταν είναι το κλαδί i,j. Αφού ιχύει ότι xα > x α και η διαδικαία όπως αναφέραµε ακολουθεί κανονική κατανοµή, εποµένως και η διαδικαία x ακολουθεί κανονική κατανοµή µε µέη τιµή: i E{ x i x i xij} xij : M ij και διακύµανη: i V { x i x i xij} [ ] : Vi Στη υνέχεια θέτουµε x i,j j x i όπου 33

52 3 i xi Vi 3 [ ] Υποθέτοντας ότι τη χρονική τιγµή i είµατε το κλαδί i,j µε τιµή x i,j η διαδικαία µπορεί να µετακινηθεί τη χρονική τιγµή i τα ακόλουθα κλαδιά x i,k, x i,k ή x i,k- µε πιθανότητες p, p m και p d αντίτοιχα, οι οποίες είναι: p p p m n j, 6V k n j, 3V n j, 6V i k i k i n j, k 3V n j, k 3V i i Ενώ το k ιούται µε τη τρογγυλοποίηη του πηλίκου Μ i,j / x i Οι πιθανότητες p και p d είναι θετικές για κάθε τιµή του n j,k ενώ το p m είναι θετικό αν και µόνο αν n V κάτι το οποίο ιχύει λόγω του οριµού του j, k i k. Το επόµενο βήµα µας είναι να µετατοπίουµε τα κλαδιά του δέντρου ώτε να αποκτήουµε το δέντρο για τη διαδικαία. Αυτό ύµφωνα µε τους Hll και Whi µπορεί να γίνει µε τη µέθοδο η οποία βαίζεται την µετατόπιη η οποία αναπαράγει τέλεια την καµπύλη του zo copon αγοράς τη χρονική τιγµή. Στη υνέχεια θα περιγράψουµε τη διαδικαία. Συµβολίζουµε µε α i την µετατόπιη τη χρονική τιγµή i. Η ποότητα α i υπολογίζεται αριθµητικά έως εξής. Συµβολίζουµε µε Q i.j την παρούα αξία ενός υµβολαίου που πληρώνει αν προεγγίουµε το κλαδί i,j και τίποτα ε διαφορετική περίπτωη. Οι τιµές των α i και Q i.j υπολογίζονται αναδροµικά από το α 0 το οποίο έχουµε θέει ώτε να ανακτήουµε το ωτό dicon M παράγοντα για τη λήξη i για παράδειγµα 0 ln P 0, /. Υπολογίζοντας το α ι οι τιµή του Q i.j υπολογίζεται από το τύπο: 34

53 Q i, j Qi, hq h, jxp i h xi i όπου qh,j είναι η πιθανότητα h να κινηθούµε από το κλαδί i,h το κλαδί i,j και το άθροιµα είναι για όλες τις τιµές του h για τις οποίες η πιθανότητα αυτή δεν είναι µηδέν. Αφού βρούµε τις τιµές για το Q i.j για κάθε j η τιµή του α i υπολογίζεται λύνοντας την παρακάτω εξίωη: P j i 0, i Qi, j xp i j xi i j ji η οποία λύνοντας προς α i µας δίνει i i ln j i j j i Q i, j xp j x P0, i i i Έτι καταλήγουµε ε ένα δέντρο όπου κάθε κλαδί i,j χετίζεται µε τις τιµές i,j x i,j α i Blck Kinki µοντέλο Το επόµενο µοντέλο ενός παράγοντα το οποίο θα αναφερθούµε είναι το µοντέλο Blck Kinki. Οι Blck και Kinki το 99 προπαθώντας να διορθώουνε το πρόβληµα µε τις αρνητικές τιµές που παίρνουν οι αποδόεις το µοντέλο Vick και το µοντέλο Hll-Whi modl προτείνανε το λογαριθµικό τους µοντέλο. O µαθηµατικός τύπος για τον ουδέτερο το κίνδυνο κόµο για το λογάριθµο της τιγµιαίας απόδοης είναι ο παρακάτω: dln [ θ ln ] d dw, 0 0 Όπου οι το 0 είναι θετική ταθερά και οι παράµετροι θ,α και είναι ντερτεµινιτικές υναρτήεις του χρόνου που µπορούµε να τις διαλέξουµε ώτε να ταιριάζουν ακριβώς τη δοµή των αποδόεων. Θεωρώντας τις µεταβλητές α και θετικές ταθερές και τις υµβολίζουµε µε α και αντίτοιχα θεωρώντας ότι το α µας δείχνει την «ταχύτητα» µε την οποία πληιάζει την µακροπρόθεµη της τιµή ο λογάριθµός του και το είναι η τυπική απόκλιη της τιγµιαίας επιτροφής για την απόδοη για κάθε µονάδα χρόνου. Τότε ο τύπος γίνεται: 35

54 36 ] ln [ ln dw d d θ, 0 0 Χρηιµοποιώντας το λήµµα του Io ο παραπάνω τύπος γίνεται ] ln [ dw d d θ, της οποίας η λύη για είναι } xp{ln dw d θ τότε η condiionl on F κατανοµή του είναι λογαριθµοκανονική µε πρώτη ροπή ]} [ 4 xp{ln d E α θ και δεύτερη ροπή ]} [ xp{ ln d E α θ Από τις οποίες προκύπτει ότι η διακύµανη είναι { } [ xp [ xp xpln d V α α θ Το πλεονέκτηµα του µοντέλου αυτού εκτός από το ότι οι αποδόεις είναι πάντα θετικές είναι η πολύ καλή εφαρµογή του τα δεδοµένα αγοράς. Ενώ µειονεκτεί την προοµοίωη αποδόεων που δεν είναι τιγµιαίες. Ενώ όπως όλα τα λογαριθµικά µοντέλα η αναµενόµενη τιµή για την αξία του λογαριαµού την χρηµαταγορά είναι άπειρη ανεξάρτητα από το χρόνο λήξης της επένδυης. Τα δύο αυτά µειονεκτήµατα αντιµετωπίζονται µε τη χρηιµοποίηη αριθµητικών µεθόδων όπως είναι τα δέντρα και η προοµοίωη Mon Clo Blck Dmn nd Toy Μοντέλο Τελειώνοντας την αναφορά µας τα µοντέλα ενός παράγοντα θα αναφερθούµε είναι το µοντέλο Blck Dmn nd Toy. Το µοντέλο αυτό

55 αναπτύχθηκε από τους Fih Blck, Emnl Dmn και Willim Toy το 990.O µαθηµατικός τύπος για τον ουδέτερο το κίνδυνο κόµο για το λογάριθµο είναι ο παρακάτω: / dln [ θ ln ] d dw Όπου οι παράµετροι θ και είναι ντερτεµινιτικές υναρτήεις του χρόνου που µπορούµε να τις διαλέξουµε ώτε να ταιριάζουν ακριβώς τη δοµή των αποδόεων και υµβολίζουν το θ την τιµή των περιουιακών τοιχείων πάνω τα οποία είναι βαιµένο το υµβόλαιο τη λήξη του και το είναι η µεταβλητότητα της τιγµιαίας απόδοης. Θεωρώντας ότι η µεταβλητότητα της τιγµιαίας απόδοης είναι ταθερή και ίη µε. Τότε ο τύπος γίνεται: dln θ d dw, Τα πλεονεκτήµατα του µοντέλου είναι ότι η κατανοµή του είναι η λογαριθµοκανονική και ότι η µονάδα µεταβλητότητας είναι ποοτό το οποίο ουιατικά επιβεβαιώνει τα δεδοµένα της αγοράς. 4.3 Εξέλιξη µοντέλων ενός παράγοντα Στο ηµείο αυτό και αφού αναφερθήκαµε ε αρκετά µοντέλα ενός παράγοντα θα πρέπει να αναφέρουµε τις αδυναµίες που παρουιάζουν το ύνολο τους τα µοντέλα αυτά. Συγκεκριµένα όπως έχουµε αναφέρει ο τύπος που χρηιµοποιούµε για να χεδιάουµε την καµπύλη επιτοκίων είναι ο: T d, T E από όπου γνωρίζοντας την κατανοµή του µέω των P παραπάνω µοντέλων κατακευάζουµε την καµπύλη. Αυτή η εξάρτηη της καµπύλης από το έχει αν αποτέλεµα ένα «φτωχό» µοντέλο για την εξέλιξη του οδηγεί ε φτωχό µοντέλο για την εξέλιξη της καµπύλης. Για να γίνει κατανοητό αυτό όµως ας το δούµε µέω ενός παραδείγµατος το οποίο θα χρηιµοποιήουµε το µοντέλο του Vick. Στο µοντέλο του Vick η εξέλιξη του επιτοκίου δίνεται από το µαθηµατικό τύπο d k θ d dw. Επίης η τιµή των οµολόγων δίνεται από το τύπο P,T A,Txp-B,T τον οποίο αν χρηιµοποιήουµε τον 37

56 υπολογιµό του επιτοκίου υνεχούς ανατοκιµού του οποίου ο τύπος είναι lnp, T R, T, προκύπτει ό παρακάτω τύπος: τ, T ln A, T B, T R, T :, T, T T T Ας θεωρήουµε τους χρόνους T και T 0. Η πληρωµή τότε θα εξαρτάται από την από κοινού κατανοµή επιτοκίου υνεχούς ανατοκιµού του ενός έτους και των δέκα ετών την χρονική τιγµή. Αφού λοιπόν η από κοινού κατανοµή θα χρηιµοποιηθεί ηµαντικό ρόλο θα παίξει η υχέτιη µεταξύ των δύο επιτοκίων. Σύµφωνα µε ο µοντέλο του Vick η υχέτιη µεταξύ των δύο επιτοκίων µπορεί εύκολα να υπολογιτεί και είναι: CoR,T, R,T Co,T,T,T,T Εποµένως ύµφωνα µε το παραπάνω τύπο ε κάθε χρονική τιγµή τα τρέχοντα επιτόκια για όλες τις λήξεις την καµπύλη είναι τέλεια υχετιµένα. Αυτό ηµαίνει ότι οτιδήποτε επηρεάει την καµπύλη επιτοκίων τη χρονική τιγµή θα µεταφερθεί εξίου ε όλες τις λήξεις. Στην πραγµατικότητα όµως τα επιτόκια δεν είναι πλήρως υχετιµένα για αυτό πρέπει να βρούµε πιο αφαλή µοντέλα για την εξέλιξη της καµπύλης όπως είναι τα πολυµεταβλητά µοντέλα. Μία χαρακτηριτική περίπτωη µεταχηµατιµού µοντέλου ενός παράγοντα ε πολυµεταβλητό µοντέλο είναι του Vick το οποίο θα έχει την µορφή: x y dx k θ x d dw x x x dy k y θ y d dw y y µε innoly-cold oc of ndomn dw dw ρd. Χρηιµοποιώντας τα παραπάνω καταλήγουµε τον παρακάτω τύπο: x y P, T A, Txp B, T x B, T y Όπου οι παράγοντες που έχουν άνω δείκτη το x και y δηλώνουν τις ποότητες που αναλογικά θα είχαν προκύψει από το ενός παράγοντα µοντέλο 38

57 είτε µε το x είτε µε το y. Έχοντας αν παραδοχή το παραπάνω τότε η υχέτιη δίνεται από το παρακάτω τύπο: CoR,T, R,T Co x,t x y,t y, x,t x y,t y Ο τύπος δεν ιούται µε το ένα αλλά εξαρτάται ε µεγάλο βαθµό από την υχέτιη µεταξύ των δύο παραγόντων x,y η οποία µε τη ειρά της εξαρτάται από την από την τιγµιαία υχέτιη ρ που δίνεται από την από κοινού dynmic. 4.4 Μοντέλα δύο παραγόντων Ο αριθµός των παραγόντων που θα χρηιµοποιήουµε αποτελεί υνδυαµό της ακριβής αριθµητικά εφαρµογής και της ικανότητας του µοντέλου να παρουιάει ρεαλιτικά δείγµατα υχέτιης και επίης το ταίριαµα του µοντέλου τα δεδοµένα της αγοράς. Εδώ αξίζει να αναφέρουµε ότι η ιτορική ανάλυη της καµπύλης αποδόεων έδειξε ότι τα µοντέλα δύο παραγόντων εξηγούν το 85% µε 90% της διακύµανης της καµπύλης ε αντίθεη µε αυτά µε τον ένα παράγοντα που εξηγούν το 68% µε 76% ενώ το µοντέλο µε τρεις παράγοντες εξηγεί το 93% µε 94% της διακύµανης. Τα πολυµεταβλητά µοντέλα τα οποία θα αναφερθούµε παρακάτω είναι τα µοντέλα δύο παραγόντων λόγω της ευκολότερης επεξεργαίας τους και εφαρµογή τους ειδικά τις περιπτώεις που έχουµε comining lic. Τα µοντέλα που θα χρηιµοποιήουµε είναι της µορφής x y φ όπου φ είναι ντετερµινιττικός παράγοντας που προτέθηκε το µοντέλο ώτε να ταιριάζει ακριβώς την καµπύλη του οµολόγου µηδενικού κουπονιού. Τα δύο κύρια µοντέλα που θα αχοληθούµε θα είναι το Two-Addiiv- Fco Gin Modl G G και το Two-Addiiv-Fco Exndd CIR/LS ModlCIR καθώς και κάποια µοντέλα που µοιάζουν µε τα προηγούµενα δύο. 39