1. Να εξετάσετε αν οποιοδήποτε τετράγωνο είναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να διατυπώσετε τα επιχειρήματά σας.

Transcript

1 ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΑΙ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 ο 1. Να εξετάσετε αν οποιοδήποτε τετράγωνο είναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. Να διατυπώσετε τα επιχειρήματά σας. 2. Να δείξετε με παραδείγματα σχημάτων ορθογωνίων παραλληλογράμμων γιατί τα ορθογώνια παραλληλόγραμμα δεν είναι σε κάθε περίπτωση σχήματα όμοια μεταξύ τους. 1. Το τετράγωνο έχει όλες τις ιδιότητες του ορθογωνίου παραλληλογράμμου και επιπροσθέτως έχει και τις ιδιότητες του ρόμβου. Επομένως, κάθε τετράγωνο είναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο. 2. Τα σχήματα κάτω αποτελούν ενδεικτικές περιπτώσεις σχημάτων ορθογωνίων παραλληλογράμμων τα οποία δεν είναι σχήματα όμοια μεταξύ τους, γιατί το τετράγωνο ΖΗΙΚ είναι ορθογώνιο παραλληλόγραμμο (όπως αναφέραμε προηγουμένως) και ο λόγος των πλευρών του είναι ίσος με την 1, που δεν ισχύει για το ορθογώνιο AB παραλληλόγραμμο ΑΒΓΔ του οποίου ο λόγος των πλευρών του είναι ΒΓ μεγαλύτερος της 1 (ΑΒ> ΒΓ)

2 ΘΕΜΑ 2 ο Δυο μηχανικοί σχεδιάζουν την κατασκευή ενός υπογείου σταθμού METRO στη συμβολή των οδών Συγγρού και Λαγουμιτζή. Αν η ευθεία που αναπαριστά την οδό Συγγρού είναι η y= x, και η ευθεία που αναπαριστά την οδό Λαγουμιτζή είναι η y= - x+13 στο ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων του σχήματος, να απαντήσετε τις παρακάτω ερωτήσεις: 1. Ποιές οι συντεταγμένες x, y του σημείου τομής Β των δυο οδών στον χάρτη; 2. Να αναγνωρίσετε ποια είναι η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β. Αιτιολογήστε την απάντησή σας και διατυπώστε την ιδιότητα που έχει αυτή η ευθεία στο σύστημα συντεταγμένων του σχήματος. 3. Tι τρίγωνο είναι το ΑΒΚ; Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. 1. Για να βρούμε τις συντεταγμένες x, y του σημείου τομής Β των δυο οδών στο χάρτη θα επιλύσουμε το σύστημα των δυο εξισώσεων : - 2 -

3 13 y= x x= - x+13 x= =6,5 2 y= - x y= x y= =6,5 2 Άρα, το σημείο τομής Β έχει συντεταγμένες Β (6,5, 6,5). 2. Η εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από τα σημεία Α, Β είναι η y= x, γιατί διέρχεται από την αρχή των αξόνων. Είναι ακόμα η διχοτόμος της γωνίας που σχηματίζουν οι άξονες xx, yy. Αυτή διέρχεται από τα σημεία Α(0, 0) και Β (6,5, 6,5). Επομένως, τα σημεία της απέχουν εξίσου από τους άξονες xx, yy. 3. Η ευθεία y= - x+13 τέμνει τον άξονα xx στο σημείο Κ (13, 0). Επομένως, η κάθετος από το σημείο Β διέρχεται από το μέσο του τμήματος ΑΚ (αφού η τετμημένη του σημείου Β είναι ίση με 6,5, δηλαδή απέχει από το σημείο Α απόσταση ίση με το μισό της απόστασης του σημείου Α από το σημείο Κ). Επομένως, το τρίγωνο ΑΒΚ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές, γιατί η διάμεσος είναι και ύψος

4 ΘΕΜΑ 3 ο Στο συγκοινωνιακό κόμβο του σχήματος η απόσταση του σημείου Ο από το σημείο Α του δρόμου είναι ίση με ρ και η απόσταση του σημείου Ο από το σημείο Β είναι ίση με R. 1. Αν το τμήμα ΑΒ είναι εφαπτόμενο του κύκλου με κέντρο το Ο και ακτίνα την ΟΑ να εξετάσετε το είδος του τριγώνου ΟΑΒ. Αιτιολογήστε την απάντησή σας. 2. Nα αποδείξετε ότι η απόσταση x είναι ίση με x 2 = α (R+ ρ ) όπου α = R- ρ. 3. Στη συνέχεια να υπολογίσετε την απόσταση x, αν γνωρίζετε ότι R= 50m και α = 5 m. 1. Το τμήμα ΑΒ είναι εφαπτόμενο του κύκλου με κέντρο Ο, επομένως το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο αφού η ακτίνα ΟΑ είναι κάθετη στην εφαπτομένη ΑΒ. 2. x 2 = R 2 - ρ 2 = (R- ρ)(r + ρ) = α (R + ρ) (1) 3. Αφού α = 5 άρα ρ = 50-5 = 45 m - 4 -

5 Με αντικατάσταση στον τύπο (1) έχουμε x 2 = 5 (50+45) x = 21, 8 m. ΘΕΜΑ 4 ο Στη σκηνή της εικόνας επάνω, το τετράπλευρο ΑΒΚΜ έχει σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου και διαστάσεις ΜΚ=14m και ΒΚ=6m. Αν το ύψος της τριγωνικής οροφής σε σχήμα ισοσκελούς τριγώνου είναι άγνωστο και ίσο με το πλάτος της πόρτας ΙΖΒΗ, δηλαδή ΕΝ=ΙΖ=x να απαντήσετε τα παρακάτω ερωτήματα. 1. Να διατυπώσετε την περίμετρο Π(x) της σκηνής ως συνάρτηση του x. 2. Αν η πόρτα ΙΖΒΗ με σχήμα ορθογωνίου παραλληλογράμμου έχει διαστάσεις x και 2x, να διατυπώσετε το εμβαδόν ε(x) του υφάσματος που θα χρειαστεί για το ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ΑΒΚΜ ως συνάρτηση του x, αφαιρουμένου του εμβαδού της πόρτας. 3. Να διατυπώσετε το συνολικό εμβαδόν Ε(x) του συνολικού σχήματος εισόδου της σκηνής ως συνάρτηση του x. 4. Ν υπολογιστεί το Π( 32) και το Ε(3)

6 1. Η περίμετρος Π(x)= 2ΑΕ + 2ΒΚ + ΜΚ γιατί ΑΕ=ΕΒ και ΑΜ=ΒΚ AB MK ΑΕ 2 = x 2 + AN 2 = x 2 + ( ) 2 = x 2 + ( ) 2 = x (ΑΒ=ΜΚ=7, αφού ΑΒΜΚ 2 2 ορθογώνιο παραλληλόγραμμο) 2. ε(x) = (ΑΒΚΜ) ( IZBH)= ΑΒ ΒΚ ( IZBH) ε(x) = 14 6 x 2x ε(x) = 84-2x 2 3. E(x) = E (ισοσκελούς τριγώνου) ΑΕΒ + ε(x) = 4. AB x x 2 = 7x x 2 Π ( 32)=18+ 19=37 Ε(3) = = 87 ΘΕΜΑ 5 ο Κατασκευάζουμε τετράγωνο ΑΒΙΗ και τα μέσα των πλευρών του Ν, Μ, Ζ, Κ. Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία στο εσωτερικό του σχήματος όσες φορές μπορούμε με τα γεωμετρικά μας όργανα. 1. Αν το μήκος της πλευράς του τετραγώνου είναι ίσο με 4cm να υπολογίσετε τα μήκη των τμημάτων ΝΜ, ΝΚ, ΚΖ, ΜΖ. 2. Τι τετράπλευρο είναι το ΝΜΖΚ; Αιτιολογήστε την άποψή σας

7 3. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του τριγώνου ΒΝΜ, ΝΙΚ, ΚΗΖ, ΖΑΜ καθώς και το λόγο των εμβαδών ΑΒΙΗ/ ΒΝΜ. Στη συνέχεια το λόγο των εμβαδών του τετραγώνου ΑΒΙΗ και του ΝΜΖΚ. 4. Πως επαναλαμβάνονται τα εμβαδά των τετραγώνων και τριγώνων στο εσωτερικό του σχήματος. Να διατυπώσετε έναν κανόνα. 1. Με εφαρμογή του Πυθαγορείου θεωρήματος βρίσκουμε το τμήμα ΜΝ. Δηλαδή, ΜΝ 2 = ΝΒ 2 +ΜΒ 2 = = 4+4= 8 άρα ΜΝ =2 2. Ομοίως αποδεικνύεται ότι και ΝΚ= ΚΖ= ΜΖ= 2 2 λόγω της ισότητας των τριγώνων ΒΝΜ, ΑΜΖ, ΙΝΚ, ΚΖΗ. 2. Το τρίγωνο ΒΜΝ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές (αφού ΝΒ=ΜΒ). Επομένως, οι παρά τη βάση γωνίες Ν, Μ του τριγώνου ΒΜΝ είναι ίσες με 45 ο. Τότε η γωνία ΚΝΜ=ΝΜΖ=ΜΖΚ=ΝΚΖ =90 ο. Επομένως, το τετράπλευρο ΝΜΖΚ είναι τετράγωνο, γιατί όλες οι πλευρές του είναι ίσες και όλες οι γωνίες του ορθές. 3. (ΑΒΗΙ) = 4 2 =16 και (ΒΝΜ) = 2. Άρα (ΑΒΗΙ)/(ΒΝΜ) = 8 (ΝΜΖΚ) = ΜΝ 2 = 8 Άρα (ΑΒΙΗ)/( ΝΜΖΚ) = 16/8= 2 4. Γνωρίζουμε ότι τα σχήματα των τετραγώνων είναι όλα όμοια μεταξύ τους. Ο λόγος ομοιότητας των τετραγώνων είναι ίσος με ΑΒ/ ΜΝ= 4/ 2 2= 2 Άρα, ο λόγος των εμβαδών τους είναι ίσος με το τετράγωνο του λόγου ομοιότητάς τους. Δηλαδή, (ΑΒΙΗ)/( ΝΜΖΚ) = 2 Επομένως, ομοίως ( ΝΜΖΚ)/ (ΓΘΔΕ) = 2. Άρα το εμβαδόν του ΓΘΔΕ είναι ίσο με το 1/ 2 του εμβαδού του ΝΜΖΚ και το 1/ 4 του ΑΒΙΗ

8 Επομένως, τα διαδοχικά εμβαδά των τετραγώνων στο εσωτερικό του σχήματος ακολουθούν τον ίδιο κανόνα, δηλαδή: Το εμβαδόν ενός τετραγώνου είναι ίσο με το 1/2 του εμβαδού του προηγουμένου τετραγώνου. Με σχετικούς συλλογισμούς οδηγούμαστε να διατυπώσουμε κανόνα για τον τρόπο που επαναλαμβάνονται τα εμβαδά των ισοσκελών και ορθογωνίων τριγώνων που σχηματίζονται. ΘΕΜΑ 5 ο Η πλατεία με σχήμα τετραγώνου στην εικόνα πρόκειται να καλυφθεί με γκαζόν, αφήνοντας ακάλυπτο ένα τετράγωνο στο εσωτερικό. 1. Να δείξετε ότι το εμβαδόν του σχήματος που θα καλυφθεί με γκαζόν είναι ίσο με Ε= (16- x) (16+ x). 2. Να υπολογίσετε το εμβαδόν αυτό για x = 10m. 1. Ε γκαζόν = Ε εξωτερικού τετραγώνου Ε εσωτερικού τετραγώνου = x 2 2. Εφαρμόζουμε την ταυτότητα (α 2 β 2 ) = (α-β)(α+β) και έχουμε ότι Ε γκαζόν= x 2 = (16- x) (16+ x) 3. Για x = 10m έχουμε Ε γκαζόν = = = 156 m 2-8 -