HY118- ιακριτά Μαθηµατικά. Μαθηµατική επαγωγή. 11 Επαγωγή

Transcript

1 Επαγωγή HY8- ιακριτά Μαθηµατικά Τρίτη, /03/06 Μαθηµατική Επαγωγή Αντώνης Α. Αργυρός Το υλικό των διαφανειών έχει βασιστεί σε διαφάνειες του Kees van Deemter, από το University of Aberdeen Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρή τεχνική για να αποδεικνύουµε ότι µια πρόταση της µορφής n 0 P(n) είναι αληθής. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: Μαθηµατική επαγωγή Μία ισχυρή τεχνική για να αποδεικνύουµε ότι µια πρόταση της µορφής n 0 P(n) είναι αληθής. Τυπικά, η «πρώτη αρχή της Μαθηµατικής Επαγωγής» ορίζει τον παρακάτω κανόνα εξαγωγής συµπερασµάτων: P(0) k 0 (P(k) P(k+)) n 0 P(n) (βάση της επαγωγής) (επαγωγικό βήµα) 3 P(0) k 0 (P(k) P(k+)) (επαγωγικό βήµα) n 0 P(n) Μοιάζει µε domino! (βάση της επαγωγής) 4 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06

2 Επαγωγή Το Domino Effect Το Domino Effect Βάση της επαγωγής: Το ντόµινο #0 πέφτει. Επαγωγικό βήµα: Για κάθε k N, εάν το ντόµινο #k πέσει, τότε πέφτει και το ντόµινο #k+ Συµπέρασµα: Όλα τα ντόµινο θα πέσουν! Βάση της επαγωγής: Το ντόµινο #0 πέφτει. Επαγωγικό βήµα: Για κάθε k N, εάν το ντόµινο #k πέσει, τότε πέφτει και το ντόµινο #k+ Συµπέρασµα: Όλα τα ντόµινο θα πέσουν! 0 Αυτό ισχύει και για απείρως πολλά ντόµινο! Θυµηθείτε την άµεση απόδειξη: Ορθότητα της επαγωγής Έχουµε υποθέσεις p, θέλουµε να αποδείξουµε το συµπέρασµα q. Βρες ένα s τέτοιο ώστε p s Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s. Μετά, βρές s τέτοιο ώστε s s. Τότε o κανόνας modus ponens δίνει το s.. και τελικά βρίσκουµε ένα s n τ.ω.: s n q. Γιατί το n 0P(n) είναι ένα ορθό συµπέρασµα, εάν η βάση της επαγωγής και η επαγωγική υπόθεση ισχύουν; Θεωρείστε ένα k 0. Το επαγωγικό βήµα k 0 (P(k) P(k+)) σηµαίνει ότι (P(0) P()) (P() P()) (P(k) P(k+)) για κάθε k Η βάση της επαγωγής µας λέει ότι P(0). Μία εφαρµογή του Modus Ponens (σε συνδυασµό µε το ότι (P(0) P())) µας δίνει ότι P(); Άλλη µία µας δίνει ότι P(), και ούτω καθεξής µέχρι την P(k) (χρησιµοποιώντας συνολικά k+ βήµατα Modus Ponens)). Εποµένως, n 0P(n). 7 8 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06

3 Επαγωγή Οι επαγωγικές αποδείξεις έχουν µία συγκεκριµένη δοµή: Γενίκευση της επαγωγής Π.χ., αποδείξτε ότι n 0 P(n) Αν αποδείξουµε τη βάση της επαγωγής και το επαγωγικό βήµα, τότε από την αρχή της µαθηµατικής επαγωγής προκύπτει ότι n 0 P(n). Βάση της επαγωγής: Απόδειξη ότι P(0). Επαγωγικό βήµα: Απόδειξη ότι k P(k) P(k+). Π.χ., µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε άµεση απόδειξη, ως ακολούθως: Υποθέτουµε ότι για τυχαίο k, ισχύει ότι P(k). (επαγωγική υπόθεση = ΕΥ) Με βάση αυτή την υπόθεση, αποδεικνύουµε ότι P(k+). Ο κανόνας µπορεί να χρησιµοποιηθεί για να αποδειχτεί ότι n c P(n) για µία σταθερά c, όπου πιθανά, c 0. Σε αυτή την περίπτωση, το βασικό βήµα είναι η απόδειξη της P(c) αντί της P(0), και το επαγωγικό βήµα συνίσταται στην απόδειξη του ότι k c (P(k) P(k+)). 9 0 Ένα παράδειγµα επαγωγικής απόδειξης Αποδείξτε ότι n>0, n< n. Έστω P(n)=(n< n ) Βάση επαγωγής: P()=(< )=(<)=Αληθές. Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι για κάθε k>0, P(k) P(k+). Υποθέτουµε ότι P(k), δηλαδή ότι, k< k και µε βάση αυτό θα αποδείξουµε ότι k+ < k+. Από την επαγωγική υπόθεση έχουµε ότι k< k =>k+ < k + < k + k (επειδή < k, αφού k>0) = k+ Εποµένως k + < k+, (δηλαδή, P(k+)).ΟΕ Εποµένως, n>0, n< n εύτερο παράδειγµα Αποδείξτε επαγωγικά ότι το άθροισµα των πρώτων n περιττών φυσικών είναι ίσο µε n. ηλαδή αποδείξτε ότι: n n : (i ) = n i= ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 3

4 Επαγωγή να προσθέσεις τον επόµενο περιττό αριθµό» ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 4

5 Επαγωγή ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 5

6 Επαγωγή εύτερο παράδειγµα =7 Αποδείξτε επαγωγικά ότι το άθροισµα των πρώτων n περιττών φυσικών ακεραίων είναι ίσο µε n. ηλαδή αποδείξτε ότι: n n : (i ) = n i= P(n) Επαγωγική απόδειξη Βάση επαγωγής: Έστω n=. Το ζητούµενο άθροισµα είναι ίσο µε, το οποίο ισούται µε. Συνέχεια... Εναλλακτικά το επαγωγικό βήµα... Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k : P(k) P(k+). Έστω k, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+). Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k : P(k) P(k+). Έστω k, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+). i= k k k i k i= + (( + ) ) = ( ) + (( + ) ) k k k+ i i= + + = ( ) k+ ( k+ ) = (i ) i= k k = (i ) k+ k (i ) = (i ) + (( k+ ) ) i= i= 3 4 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 6

7 Επαγωγή Εναλλακτικά το επαγωγικό βήµα... Επαγωγικό βήµα: Αποδ. k : P(k) P(k+). Έστω k, υποθ. P(k), και απόδ. ότι P(k+). k+ k (i ) = (i ) + (( k+ ) ) i= i= Από την επαγωγική υπόθεση P(k) = k + k+ = ( k+ ) Τετράγωνα Έστω P(n) = Αν αφαιρέσεις ένα τετράγωνο από ένα πίνακα τετραγώνων n x n, n>0, τότε µπορείς να καλύψεις τα υπόλοιπα τετράγωνα µε κοµµάτια σχήµατος L που έχουν τρία τετράγωνα το καθένα. 5 6 Τετράγωνα: βάση της επαγωγής Βάση της επαγωγής: n= Πίνακας x. Αν αφαιρέσουµε (µπλέ), τα υπόλοιπα 3 φτιάχνουν ένα σχήµα L µε τρία τετράγωνα (κόκκινο). Εποµένως, η P() ισχύει. Τετράγωνα: επαγωγικό βήµα Επαγωγική υπόθεση: αν αφαιρέσουµε ένα τετράγωνο από ένα πίνακα διαστάσεων k x k, τα υπόλοιπα µπορούν να καλυφθούν µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. Πρέπει να αποδείξουµε ότι αν ισχύει η επαγωγική υπόθεση, τότε, αν αφαιρέσουµε ένα τετράγωνο από ένα πίνακα διαστάσεων k+ x k+, τα υπόλοιπα τετράγωνά του µπορούν να καλυφθούν µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. 7 8 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 7

8 Επαγωγή Απόδειξη επαγωγικού βήµατος Οπτικοποίηση Επαγωγικό βήµα: ( k+ ) x ( k+ ) ισοδύναµο µε ( k ) x ( k ), δηλαδή 4x( k x k ). Αυτό είναι ένα τετράγωνο κατασκευασµένο από 4 τετράγωνα διαστάσεων ( k x k ). Από οποιοδήποτε από τα 4 τετράγωνα, αφαίρεσε ένα. Τότε αυτό, από την επαγωγική υπόθεση µπορεί να καλυφθεί από σχήµατα L τριών τετραγώνων. Τοποθέτησε ένα σχήµα L 3 τετραγώνων µε τρόπο τέτοιο ώστε καθένα από τα τρία τετράγωνά του να ανήκει σε ένα διαφορετικό από τα τρία εναποµείναντα τετράγωνα µεγέθους k x k Σε καθένα από τα 3 αυτά τετράγωνα θα λείπει ακριβώς ένα µικρό τετράγωνο, εποµένως, από την επαγωγική υπόθεση, καθένα από αυτά, θα µπορεί να καλυφθεί µε σχήµατα L τριών τετραγώνων. Εποµένως, από την αρχή της µαθηµατικής επαγωγής, η πρόταση ισχύει για κάθε φυσικό αριθµό n Ποιο είναι το µέγιστο πλήθος σηµείων τοµής n διαφορετικών ευθειών στο επίπεδο; f () = ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 8

9 Επαγωγή f () = f (3) = 3 33 f (4) = 6 f (5) = ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 9

10 Επαγωγή Έχουµε: n =,, 3, 4, 5 f (n) = 0,, 3, 6, 0 Ερώτηση: Ποια είναι η σχέση που συνδέει αυτές τις τιµές; Απάντηση: f (n) = f (n-) + n Ερώτηση: Πως βρίσκουµε µία «κλειστή» σχέση; Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=: Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 0

11 Επαγωγή Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4 4 Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-) f (n) = f (n-3) + n-3 + n + n Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-) f (n) = f (n-3) + n-3 + n + n 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n + n ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06

12 Επαγωγή Απάντηση: Επαναληπτικά, αντικατέστησε τις τιµές για ολοένα και µικρότερες τιµές του n µέχρι το n=:. f (n) = f (n-) + n. Άρα, f (n-) = f (n-) + n 3. Εποµένως: f (n) = f (n-) + n + n 4. Επαναλαµβάνουµε για f (n-) f (n) = f (n-3) + n-3 + n + n 5. Εµφανίζεται η δοµή του προβλήµατος µετά από i φορές: f (n) = f (n-i) + n-i + + n-3 + n + n 6. Για να φτάσουµε στο n =, ας θέσουµε i = n n 7. f (n) = f () n-3 + n + n = 0+ i = i Πόσο είναι αυτό; 45 e e e3 e4 e5 e6 e7 e e e3 e4 e5 e6 e7 46 e e e3 e4 e5 e6 e7 e e e3 e4 e5 e6 e7 47 e e e3 e4 e5 e6 e7 e e e3 e4 e5 e6 e7 48 n n n( n ) x+ n= n x= x= ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06

13 Επαγωγή Επαγωγική απόδειξη Θεώρηµα: Το µέγιστο πλήθος σηµείων τοµής n>0 ευθειών στο επίπεδο είναι n(n-)/. Βάση της επαγωγής: Για n =, υπάρχει µία µόνο ευθεία και εποµένως δεν υπάρχει κανένα σηµείο τοµής. Επίσης για n=, n(n-)/ = 0. Εποµένως, η βάση της επαγωγής ισχύει. Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να αποδείξουµε ότι αν k ευθείες έχουν το πολύ k(k -)/ σηµεία τοµής, τότε οι k+ ευθείες, έχουν το πολύ (k+)k/ σηµεία τοµής Παρατηρούµε ότι η πρόσθεση µίας ευθείας σε k ευθείες, δηµιουργεί το πολύ k νέα σηµεία τοµής. Εποµένως, για k + ευθείες έχουµε k(k-)/ + k = (k(k-)+k)/ =(k +k)/ = k(k+)/. Αυτό αποδεικνύει το επαγωγικό βήµα, κι εποµένως ολοκληρώνει την απόδειξη Επαγωγή και αναδροµή Επαγωγή και αναδροµή Η επαγωγή είναι ένα φυσικό εργαλείο για την απόδειξη ιδιοτήτων αναδροµικά ορισµένων αντικειµένων. Για παράδειγµα, θεωρείστε την ακολουθία Fibonacci: {f n } = 0,,,,3,5,8,3,,34,55, που ορίζεται ως f 0 = 0, f =, και για n> f n = f n- +f n-. Θεώρηµα: Για όλους τους φυσικούς n, f 3n. Απόδειξη. Βάση επαγωγής n = 0. f 3 0 = f 0 = 0 το οποίο διαιρείται ακριβώς µε το b Επαγωγικό βήµα, n > 0: f 3n = f 3n- +f 3n- = (f 3n- +f 3n-3 )+f 3n- = f 3n- +f 3n-3 = f 3n- +f 3(n-) Από την επαγωγική υπόθεση, f 3(n-) εποµένως (f 3n- +f 3(n-) ) κι εποµένως f 3n. 5 5 ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 3

14 Επαγωγή η αρχή της επαγωγής Ισχυρή επαγωγή Χαρακτηρίζεται από ένα άλλο κανόνα: P(c) P αληθής για όλες τις προηγούµενες περιπτώσεις k c: ( i c i k P(i)) P(k+) n c: P(n) Η διαφορά µεταξύ της ης και της ης αρχής της επαγωγής είναι ότι το συµπέρασµα P(k+) του επαγωγικού βήµατος βασίζεται στην ισχυρότερη υπόθεση ότι η P(i) είναι αληθής για κάθε αριθµό i k, και όχι µόνο ότι P(k). Απόδειξη προτάσεων µε βάση τη η αρχή της µαθηµατικής επαγωγής Για να αποδείξουµε την πρόταση n c P(n) κάνουµε το παρακάτω: Αποδεικνύουµε την βάση της επαγωγής, P(c) Θεωρώντας ένα τυχαίο k 0, υποθέτουµε ότι αν i όπου c i k P(i) τότε P(k+) Με βάση την η αρχή της επαγωγής, αυτό αποδεικνύει ότι n c: P(n) Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής ο παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: είξτε ότι κάθε ακέραιος n> µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο p p p s s το πλήθος, πρώτων αριθµών. Έστω P(n)= Ο n µπορεί να γραφεί σαν γινόµενο s το πλήθος, πρώτων αριθµών Βασικό βήµα: n=, έστω s=, p =. Επαγωγικό βήµα: Έστω n. ΕΥ: υποθέτω i i k: P(i). Πρέπει να αποδείξω ότι P(k+). Για τον k+ υπάρχουν περιπτώσεις: O k+ είναι πρώτος. Tότε έστω s=, p =k+. O k+ δεν είναι πρώτος. Tότε υπάρχουν ακέραιοι a και b τέτοιοι ώστε k+=ab, όπου a k and b k. Τότε (από ΕΥ) a=p p p t και b=q q q u. Συνεπώς, k+ = p p p t q q q u, γινόµενο από s=t+u πρώτους. Θεώρηµα: Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των ευρώ µπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4 και 5 Ευρώ. P(n)= ταχ. τέλος n>= ευρώ µπορεί να δηµ. µε γραµµατόσηµα των 4 και 5 ευρώ Βάση επαγωγής: =3 γρ. x 4 Ευρ., 3= γρ. x 4 Ευρ. + γρ. x 5 Ευρ., 4=γρ. x 4 Ευρ. + γρ. x 5 Ευρ., 5=3 γρ. x 5 Ευρ. εποµένως, i i 5, P(i) ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 4

15 Επαγωγή Παράδειγµα ισχυρής επαγωγής Θεώρηµα: Κάθε ταχυδροµικό τέλος µεγαλύτερο ή ίσο των ευρώ µπορεί να δηµιουργηθεί χρησιµοποιώντας γραµµατόσηµα των 4 και 5 Ευρώ. Επαγωγικό βήµα: Έστω k 5, Έστω ότι i ι k P(i). Πρέπει να αποδείξουµε ότι P(k+): Πράγµατι: Ξέρουµε ότι P(k 3), επειδή k 3 k. Αλλά από την P(k 3) προκύπτει άµεσα η P(k+): απλά προσθέστε ένα γραµµατόσηµο των 4 ευρώ! Βρέστε το σφάλµα!!! Θεώρηµα : Όλα τα σύνολα αλόγων είναι οµοιόµορφα, µε την έννοια ότι όλα τα στοιχεία τους έχουν το ίδιο χρώµα (!?!?) Μέθοδος: επαγωγή πάνω στον πληθικό αριθµό του συνόλου P(x): Όλα τα σύνολα µε πληθικό αριθµό x είναι οµοιόµορφα 57 Βρέστε το σφάλµα Απόδειξη : Βασικό βήµα: P() (Τετριµµένο) Επαγωγικό βήµα: Πρέπει να δείξουµε ότι k (P(k) P(k+)) Θεωρείστε ένα σύνολο S= {α,α,,α k+ } από k+ άλογα. Χωρίστε το S στα υποσύνολά του A και B καθένα από τα οποία έχει k στοιχεία: A= {α,α, α k } B= {α,α 3,,α k+ } Και το A είναι οµοιόµορφο και το B είναι οµοιόµορφο. Επιπλέον ισχύει A B, και εποµένως το σύνολο A B είναι οµοιόµορφο. ΟΕ (!?!?!?!?!?) Βρέστε το σφάλµα Στην απόδειξη χρησιµοποιήσαµε το ότι A B, αλλά αυτό *δεν* ισχύει γενικά! (πχ. έστε τι συµβαίνει για Α = Β =...) το πρώτο «ντόµινο» αρνείται να πέσει ιακριτά Μαθηµατικά, Εαρινό εξάµηνο 06 5