ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ

Transcript

1 ΑΝΩΤΑΤΟ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΟ ΙΔΡΥΜΑ ΠΕΙΡΑΙΑ Τ.Τ. ΣΧΟΛΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΕΦΑΡΜΟΓΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ Τ.Ε. ΒΙΟΜΗΧΑΝΙΚΟΙ ΕΛΕΓΚΤΕΣ Δρ. Κωνσταντίνος Αλαφοδήμος Μάρτιος 015

2 Βιομηχανικοί Ελεγκτές

3 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΑΝΑΛΟΓΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ 1.0 Εισαγωγή Η αυτοματοποίηση της παραγωγής αποτελεί σήμερα την σπουδαιότερη μέθοδο με την βοήθεια της οποίας οι βιομηχανικές επιχειρήσεις βελτιώνουν την παραγωγικότητα τους, στα πλαίσια ενός εντεινόμενου διεθνούς ανταγωνισμού. Παράλληλα οι βιομηχανικές Επιχειρήσεις ενδιαφέρονται, εξίσου με την μείωση του κόστους για την διεύρυνση της ευελιξίας παραγωγής με σκοπό την ταχύτερη και οικονομικότερη παραγωγή εναλλακτικών τύπων προϊόντων. Η ευελιξία αυτή επιβάλλεται λόγω του εντεινόμενου ανταγωνισμού και των συνεχώς μεταβαλλόμενων απαιτήσεων της αγοράς για νέου είδους προϊόντα ή προδιαγραφές. Σήμερα η αποτελεσματική διαχείριση των βιομηχανικών συστημάτων πληροφορικής καθώς και η εισαγωγή εξελιγμένων συστημάτων αυτοματοποίησης, αποτελούν στρατηγικό όπλο πολλών βιομηχανικών επιχειρήσεων για την απόκτηση ενός συγκριτικού πλεονεκτήματος σε μια παγκόσμια οικονομία. Τα τελευταία χρόνια εμφανίστηκαν νέα ολοκληρωμένα συστήματα αυτοματισμού CIM. Oι Η/Υ της βιομηχανικής μονάδος συνδέονται μεταξύ τους σε δίκτυο, έτσι οι παραγγελίες που εισέρχονται στο τμήμα πωλήσεων αυτόματα ενεργοποιούν τη διεργασία παραγωγής. Μέσω του δικτύου επιβλέπονται όλες οι δραστηριότητες παραγωγής προώθησης υλικών, παραγωγής ανταλλακτικών, συναρμολόγησης, δοκιμαστικός έλεγχος προϊόντων, συσκευασία και αποστολή στους πελάτες. Η επιτυχής ολοκλήρωση τέτοιων ολοκληρωμένων δραστηριοτήτων απαιτεί όλα τα στοιχεία που χρησιμοποιούνται στην παραγωγή να είναι ελεγχόμενα με ακρίβεια και πολύ αξιόπιστα. Επομένως το ολοκληρωμένο σύστημα CIM εξαρτάται στην ποιότητα των ηλεκτρονικών συσκευών που χρησιμοποιούνται για έλεγχο της διεργασίας. Στο βιβλίο αυτό γίνεται μια αναδρομή στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου και στη συνέχεια περιγράφονται οι συσκευές που χρησιμοποιούνται για τη βελτίωση των συστημάτων αυτομάτου ελέγχου. Τέτοιες συσκευές είναι οι ελεγκτές τύπου PID, οι Προγραμματιζόμενοι Λογικοί Ελεγκτές (PLC) και τα αισθητήρια που χρησιμοποιούνται στους βρόγχους ελέγχου για τη συλλογή των μετρήσεων. Βιομηχανικοί Ελεγκτές 3

4 1.1 Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Τα συστήματα αυτομάτου ελέγχου περιλαμβάνουν δύο κύρια μέρη: α) Τη διεργασία η οποία περιγράφεται από μια μαθηματική εξίσωση που ονομάζεται μαθηματικό μοντέλο. Το μαθηματικό μοντέλο αυτό αναλύεται και αξιολογείται προκειμένου να διερευνήσουμε τη συμπεριφορά της διεργασίας. β) Τον ελεγκτή, για μα επιτύχουμε την επιθυμητή συμπεριφορά (απόκριση)της διεργασίας προστίθεται βαθμίδα ελεγκτή. Η κατάλληλη δομή του ελεγκτή επιλέγεται σύμφωνα με τις απαιτήσεις λειτουργίας του συστήματος. Στο βιβλίο αυτό παρουσιάζονται μέθοδοι επιλογής του ελεγκτή που χρησιμοποιείται στα ΣΑΕ. Στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου χρησιμοποιείται ο έλεγχος σε δύο περιπτώσεις. Στην πρώτη περίπτωση η επιθυμητή τιμή (set-point) R(s) θεωρείται είσοδος του συστήματος και η έξοδος C(s) οφείλει να παρακολουθεί την είσοδο. Το σύστημα αυτό αναφέρεται σαν καθοδηγητικός έλεγχος. Η δεύτερη περίπτωση αφορά την απόκλιση της εξόδου από την επιθυμητή τιμή που οφείλεται σε μεταβολές του φορτίου L(s). Τέτοια συστήματα χρησιμοποιούνται σε έλεγχο διεργασιών και αναφέρονται ως σταθεροποιητικός έλεγχος ή έλεγχος απόρριψης διαταραχών. α) Καθοδηγητικός Έλεγχος Στο σύστημα καθοδηγητικού ελέγχου Σχ.1.1 επιθυμητή τιμή R(S) είναι η είσοδος (set point), και εμφανίζεται εσωτερικά στον ελεγκτή. Η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας περιγράφεται από τη G(s) στην οποία συμπεριλαμβάνονται όλες οι απαραίτητες μονάδες όπως ο ενεργοποιητής (actuator) προσαρμογής ισχύος ή διεργασίας, ο μετατροπέας σημάτων (transducer) και ο μεταδότης, ενώ D(s) συμβολίζει τη συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή. Η έξοδος του συστήματος θεωρείται η έξοδος της διεργασίας C(s). set point R(s) + - E(s) D(s) G(s) C(s) Σχ. 1.1 Κλασικό διάγραμμα ΣΑΕ. Το σύστημα υποχρεώνει την έξοδο C(s) να παρακολουθεί πιστά την τιμή της εισόδου R(s) δηλ. το set point. Υποθέτουμε ότι η ενέργεια εισόδου και το Βιομηχανικοί Ελεγκτές 4

5 φορτίο L(s) παραμένουν σταθερά και κατά συνέπεια δεν εμφανίζονται στο μπλοκ διάγραμμα του Σχ Ο ελεγκτής ενεργοποιείται ανάλογα με την παρουσία ή όχι του σήματος σφάλματος e = επιθυμητή τιμή(r) - μεταβλητή διεργασίας (c). Από το μπλοκ διάγραμμα του Σχ. 1.1 παρατηρούμε πως ο ελεγκτής βρίσκεται σε σειρά με το μπλοκ της διεργασίας οπότε: C( s) D( s) G( s) E( s) αλλά () s Rs () Cs () () Οπότε C( s) D( s) G( s)[ R( s) C( s)] C( s) C( s) D( s) G( s) R( s) D( s) G( s) (1) C( s)[1 D( s) G( s)] R( s) D( s) G( s) Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου δίνεται από την εξίσωση: Cs () DsGs () () Rs () Kαι η αντίστοιχη κλειστού βρόγχου είναι: Cs () GsDs () () R() s 1 G() s D() s Για τον υπολογισμό του σφάλματος, σε σύστημα αυτομάτου ελέγχου, με αλγεβρικό τρόπο χρησιμοποιείται το θεώρημα της τελικής τιμής. Υπολογίζεται η τελική τιμή της μεταβλητής εξόδου, στην αποκατάσταση, χωρίς να χρειάζεται η επίλυση της εξίσωσης πραγματικού χρόνου. β) Σταθεροποιητικός Έλεγχος lim ct ( ) lim sc( s) t s 0 Το σύστημα αυτό χρησιμοποιείται για τον έλεγχο της εξόδου C(s). Η χρήση αρνητικής ανάδρασης έχει σαν στόχο να μεταβάλει την ενέργεια εισόδου του συστήματος κατά τέτοιο τρόπο για να εξαλείψει ή να ελαττώσει τις επιδράσεις στην μεταβλητή εξόδου που προκαλούνται από μεταβολές (διαταραχές) στα φορτία της διεργασίας. Εφαρμογές ελέγχου διεργασιών είναι η θέρμανση οικίας, σύστημα ελέγχου στάθμης υγρού, ή έλεγχος ροής. Το κλασικό μπλοκ διάγραμμα συστήματος αυτομάτου ελέγχου δίνεται στο Σχήμα 1.. Η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή δίνεται από τη D(s) και βρίσκεται στην περίπτωση αυτή στο βρόγχο ανάδρασης. Σε λειτουργία Βιομηχανικοί Ελεγκτές 5

6 ανοιχτού βρόγχου C(s)=G(s). L(s). Οι μεταβολές στην είσοδο L(s) επιδρούν απευθείας στην μεταβλητή εξόδου της διεργασίας C(s). L(s) + - A(s) G(s) s C(s) B(s) D(s) Σχ. 1. Μπλοκ Διάγραμμα Συστήματος Αυτομάτου Ελέγχου. Αν κλείσει ο διακόπτης s, έχουμε λειτουργία κλειστού βρόγχου και ο ελεγκτής επιδρά στην L(s), όσο απαιτείται, για να διατηρήσει την έξοδο της διεργασίας C(s) σταθερή. Σε κλειστό βρόγχο: αλλά C(s)=G(s)A(s) (3) Α(s)=L(s)-B(s) (4) και Β(s)=D(s)C(s) (5) αντικαθιστώντας την εξίσωση (5) στην (4) βρίσκουμε: και από την (3) βρίσκουμε : Α(s)=L(s)-D(s)C(s) C(s) = G(s)[L(s)-D(s)C(s)] = G(s)L(s)-G(s)D(s)C(s) C(s) + G(s)D(s)C(s) = G(s)L(s) C(s) [1+G(s)D(s)] = G(s)L(s) Επομένως η συνολική συνάρτηση μεταφοράς με αρνητική ανάδραση δίνεται από την εξίσωση: Cs () Gs () Ls () 1 GsDs () () Στην περίπτωση αυτή πρέπει η C(s) να διατηρήσει την τιμή της σταθερή δηλ. lim Ct ( ) 0 t Βιομηχανικοί Ελεγκτές 6

7 1. Σύστημα αυτομάτου ελέγχου χωρίς αντιστάθμιση Το Μπλοκ διάγραμμα ενός συστήματος αυτομάτου ελέγχου στη πιο απλή του μορφή δίνεται στο Σχήμα 1.3 : R(s) + - E(s) Kp K s( s a) C(s) Σχ. 1.3 Σύστημα Αυτομάτου Ελέγχου Η συνολική συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου είναι : C( s) KK p T( s) R( s) s as KK pk f H εξίσωση αυτή συγκρίνεται με την γενική συνάρτηση μεταφοράς συστήματος ου βαθμού s n s Οπότε βρίσκεται ζωn=α και n KK p K f Από τις δύο σχέσεις συμπεραίνεται ότι n Kf n. a / KK p K όπου ζ είναι ο συντελεστής απόσβεσης και ωn είναι η φυσική συχνότητα. Το σήμα σφάλματος υπολογίζεται από τη σχέση: R( s) s( s a) R( s) Ea( s) 1 G( s) H( s) s( s a) KK K p f f Για είσοδο της μορφής r(t) =At (R(s)=A/s) βρίσκουμε s( s a) A Ea ( s) s ( s( s a) KK p K f ) Από το θεώρημα τελικής τιμής βρίσκεται το σφάλμα του συστήματος στην αποκατάσταση. aa ess KK K p f Βιομηχανικοί Ελεγκτές 7

8 Το σφάλμα της μεταβλητής στην αποκατάσταση πρέπει να είναι μηδέν ή κάτω του % για να είναι αποδεκτό το σύστημα. Σε περίπτωση που το σφάλμα δεν βρίσκεται μέσα στα όρια αυτά πρέπει να προστεθεί βαθμίδα αντιστάθμισης δηλ. ελεγκτής τύπου PID ή φίλτρο. Πολλές φορές η συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας είναι άγνωστη. Στην περίπτωση αυτή χρησιμοποιείται ένα μοντέλο προσομοίωσης 1ου βαθμού και από τη καμπύλη χρονικής απόκρισης, σε βηματική μεταβολή της εισόδου, υπολογίζονται οι παράμετροι του μοντέλου. Στο Σχ1.4 δίνονται οι χρονικές τους αποκρίσεις για μοντέλα 1 ης και ας τάξης. Γενικά ένα σύστημα θεωρείται αποδεκτό όταν το περιθώριο κέρδους είναι περίπου 7dB, το περιθώριο φάσεως περίπου ΡΜ35 ο, το σφάλμα στην αποκατάσταση περίπου 0 (συνήθως μικρότερο του %) και η υπερύψωση που προκαλείται από τη μεταβολή της εισόδου ή την επίδραση διαταραχής να είναι μικρότερη από 10% της τιμής. Επισημαίνεται ότι η προσθήκη ενός αντισταθμιστή σε σύστημα αυτόματου ελέγχου βελτιώνει την απόδοση και την ευστάθεια του. Τα μοντέλα διεργασίας που βρίσκουν εφαρμογή στη βιομηχανία είναι δύο τύπων : α) 1 ου t d s βαθμού G (s) = Ke s 1 β) ου βαθμού G t s Ke d ( s) = ( s 1) ( s 1) T 1 t Ke d s s s 1 Όπου td = χρόνος καθυστέρησης, τ = σταθερά χρόνου του μοντέλου 1 ου βαθμού. Στο μοντέλο ου βαθμού τ = τ1+τ Στις προσομοιώσεις οι όροι χρονικής καθυστέρησης αντικαθίστανται ως εξής: 1 oυ βαθμού td s 1 t e d S td s 1 oυ βαθμού t s t s 6t s 1 e d d d t s 6t s 1 Οι καμπύλες των δύο μοντέλων δίνονται στο Σχ.1.4 d d Βιομηχανικοί Ελεγκτές 8

9 Σχ. 1.4 Καμπύλες απόκρισης 1ου και ου βαθμού. Η συνάρτηση του ZOH στις προσομοιώσεις του ψηφιακού ελέγχου αντικαθίσταται από τη σχέση: st 1 e T T ZOH: GZOH ( s),,... s st st ( st ) Κριτήρια ελέγχου συμπεριφοράς ΣΑΕ 1. Βηματική απόκριση στο διάστημα του χρόνου (χρονική απόκριση) Σφάλμα αποκατάστασης % Χρόνος ανύψωσης,. Υπερύψωση 10%, 100 Βιομηχανικοί Ελεγκτές 9

10 Χρόνος ηρεμίας. Σταθερά απόσβεσης συνήθως 0 1, για σύστημα βαθμού συνήθως Απόκριση Συχνότητας Γίνεται χρήση των διαγραμμάτων BODE η Nyquist τα οποία βρίσκονται από την συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου. Από το διάγραμμα βρίσκονται η συχνότητα θλάσης και το κέρδος. 1 το σύστημα είναι ευσταθές, για 1 το σύστημα είναι ασταθές Περιθώριο κέρδους Περιθώριο φάσεως ό Αποδεκτά όρια 30 και ~ 3 ή 7 Βιομηχανικοί Ελεγκτές 10

11 Διαγράμματα BODE 3. Επιπρόσθετα κριτήρια απόδοσης Απόρριψη διαταραχών και διαίρεση ευστάθειας Εφαρμοζόμενες ενέργειες ελέγχου (προηγμένες μέθοδοι ελέγχου) Ευαισθησία σε αλλαγές παραμέτρων (χρήση μεθόδων προσαρμοστικού ελέγχου) Βιομηχανικοί Ελεγκτές 11

12 1.3 Συστήματα με αρνητική απόκριση Στο Σχ.1.5 δίνεται η απόκριση συστήματος στάθμης υγρού για βηματική είσοδο. Παρατηρείται πως αρχικά η καμπύλη βρίσκεται στην αντίθετη κατεύθυνση από αυτή που τελικά καταλήγει. Τέτοια συμπεριφορά παρατηρείται σε μικρό αριθμό διεργασιών. (α) (β) Σχ (α) Μπλοκ διάγραμμα στάθμης υγρού. (β) Απόκριση εξόδου Tα συστήματα με αρνητική απόκριση απαιτούν ιδιαίτερη προσοχή κατά τον έλεγχο τους. Για ΚΤ1 < Κ1 η συνάρτηση μεταφοράς έχει θετικό μηδέν στο: K s 0 ( K T K1) 1 Η χρονική απόκριση των δύο αντίθετων συστημάτων 1 ου βαθμού δίνεται στο Σχ.1.6. Παρατηρούμε πως αρχικά η διεργασία () αντιδρά πιο γρήγορα από τη διεργασία (1) και προσεγγίζει υψηλότερη τιμή. Τελικά μόλις η (1) προσεγγίσει την τελική της τιμή για Κ1>Κ εξαναγκάζει την συνολική απόκριση του συστήματος να μεταφερθεί προς την αντίθετη κατεύθυνση. (α) (β) Σχ. 1.6 (α) Διάγραμμα δύο αντίθετων συστημάτων 1ου βαθμού. (β) Η συνολική απόκριση Βιομηχανικοί Ελεγκτές 1

13 1.4 Αντιστάθμιση συστημάτων αυτομάτου ελέγχου Το πρώτο βήμα στο σχεδιασμό του ελεγκτή είναι η επιλογή του κατάλληλου αλγόριθμου ή δομής του ελεγκτή για βελτίωση της συμπεριφοράς ενός ΣΑΕ. Αυτό επιτυγχάνεται με την προσθήκη βαθμίδας αντιστάθμισης (ελεγκτής). Στην ενότητα αυτή γίνεται μια σύντομη παρουσίαση μεθόδων αντιστάθμισης που χρησιμοποιούνται στα ΣΑΕ Aντιστάθμιση φάσεως (Phase Compensation) Στην αντιστάθμιση φάσεως εισάγονται δυναμικά στοιχεία στο βρόγχο ελέγχου για να τροποποιηθεί η γωνία φάσεως. Τα τρία κύρια στοιχεία είναι: α) Προπορεία φάσεως (Lead) Η συνάρτηση μεταφοράς είναι : D(s) = 1+sTc/1+asTc=K(s+z)/s+p a<1 Επιτυγχάνεται: (1) Αύξηση της χρονικής απόκρισης () Αύξηση του κέρδους στις υψηλές συχνότητες (3) Αύξηση της σχετικής ευστάθειας (4) Αύξηση του συνολικού εύρους ζώνης BW (5) Μείωση της Τs (xρόνος αποκαταστάσεως) (6) Επηρεάζεται από το θόρυβο Συνήθως χρησιμοποιείται για να αυξηθεί η ταχύτητα απόκρισης του συστήματος. β) Υστερήσεως φάσεως - (Lag) H συνάρτηση μεταφοράς είναι: D(s) = s+z/s+p = 1+1sTc/1+sTc, a<1 Επιτυγχάνεται : 1. Μείωση του σφάλματος αποκατάστασης. Μείωση θορύβου στις υψηλές συχνότητες 3. Μείωση της χρονικής απόκρισης 4. Μείωση σχετικής ευστάθειας 5. Μείωση του Bw του συστήματος Βιομηχανικοί Ελεγκτές 13

14 Γενικά χρησιμοποιείται για επιβράδυνση της απόκρισης του συστήματος. Το στοιχείο Lag πλεονεκτεί έναντι του Lead διότι παρέχει στενό εύρος ζώνης (BW) με αποτέλεσμα, τη μείωση του θορύβου. γ) Προπορεία - Υστέρηση (Lag-Lead) Η συνάρτηση μεταφοράς είναι (1 s/ a)(1 s/ c) Ds () (1 s/ b)(1 s/ d) b/a=c/d >1 Δίνει προπορεία στις υψηλές συχνότητες και καθυστέρηση στις χαμηλές συχνότητες. Γενικά μειώνεται το ess και η Τs και αυξάνεται η χρονική απόκριση δηλ επιτυγχάνεται ένας συνδυασμός των ανωτέρω Ελεγκτές τύπου PID Η προσθήκη του όρου Ι στον ελεγκτή μηδενίζει το σφάλμα σταθερής καταστάσεως ess, ταυτόχρονα όμως μειώνεται σημαντικά η σχετική ευστάθεια του συστήματος. Ενώ αντίθετα, η προσθήκη του όρου διαφόριση D αυξάνει την σχετική ευστάθεια του συστήματος. α) Αναλογία και Ολοκλήρωση (PI) Η προσθήκη ελεγκτή PI σε σειρά επιδρά στο τμήμα των χαμηλών συχνοτήτων της απόκρισης και μειώνει το σφάλμα ess ενώ συγχρόνως μειώνεται η σχετική ευστάθεια του συστήματος. β) Αναλογία και διαφόριση (PD) H προσθήκη του ελεγκτή PD σε ένα σύστημα αυτομάτου ελέγχου επιδρά στο τμήμα των υψηλών συχνοτήτων της απόκρισης αυξάνοντας την γωνία προπορεία - υστέρηση της φάσεως με αποτέλεσμα την αύξηση της ευστάθειας και κατά συνέπεια την ταχύτητα απόκρισης. γ) Ελεγκτής τριών όρων (PID) Η προσθήκη ελεγκτή PID, σε σειρά με τη συνάρτηση μεταφοράς της διεργασίας, δίνει άριστα αποτελέσματα στις περισσότερες περιπτώσεις. Ο όρος I μειώνει το σφάλμα ess και ο όρος D του PID αυξάνει τη σχετική ευστάθεια του Βιομηχανικοί Ελεγκτές 14

15 συστήματος και έτσι αντισταθμίζεται η μείωση που οφείλεται στον όρο Ι. Η εξίσωση του PID έχει την μορφή Ds () K KsK/ s K(11/ Ts Ts) p d i c i d Και η εξίσωση του σήματος στην έξοδο του ελεγκτή (δηλ. στην είσοδο του ενεργοποιητή) έχει ως εξής: utket () () K etdt () Kdet ()/ dt p i d Διόρθωση αναδράσεως (rate feedback) Τοποθετείται φίλτρο ή ελεγκτής στο βρόγχο ανάδρασης με αποτέλεσμα να βελτιώνεται η σχετική ευστάθεια του συστήματος, και με χρήση φίλτρου υψηλών συχνοτήτων διατηρείται το σφάλμα ess σταθερό Αντικατάσταση πόλων ( Pole - cancellation) Μέσω του ελεγκτή επιλέγονται τιμές στις ρίζες του νέου πολυώνυμου του αριθμητή για να εξουδετερωθούν μερικοί ή όλοι οι πόλοι του μοντέλου της διεργασίας (plant) δηλ. αντικαθίστανται από τους πόλους του ελεγκτή (controller). Με τη μέθοδο αυτή στόχος είναι: α) Αντικατάσταση των αργών πόλων με γρηγορότερους για να αυξηθεί η απόκριση του συστήματος. β) Αντικατάσταση του κυρίαρχου πόλου με αργό πόλο για να αυξηθεί η ακρίβεια σταθερής κατάστασης του συστήματος. γ) Αντικατάσταση ζεύγους μιγαδικών πόλων με διαφορετικό μιγαδικό ζεύγος για να τροποποιηθεί η μεταβατική απόκριση. Η μέθοδος αυτή είναι γνωστή σαν Deadbeat και χρησιμοποιείται είτε στο διάστημα της συχνότητας (διάγραμμα Bode ) είτε στο διάστημα του χρόνου (τόπος ριζών) Μοντέλο εσωτερικής κατάστασης (State Space Model) Το σύστημα περιγράφεται από σύστημα εξισώσεων σε μορφή πινάκων. Αυτό επιτυγχάνεται με την αναγνώριση και ανάπτυξη σχέσεων μεταξύ των διαφόρων καταστάσεων ή μεταβλητών του μοντέλου. Επιλέγεται η τιμή κέρδους στον βρόγχο ανάδρασης για την μεταφορά των πόλων του συστήματος Βιομηχανικοί Ελεγκτές 15

16 σε κάποια επιθυμητή θέση στο επίπεδο s ή z. Ελεγκτές εσωτερικής κατάστασης (State controllers) χρησιμοποιούνται για έλεγχο συστημάτων με πολλές μεταβλητές ή καταστάσεις (πολυμεταβλητά συστήματα). Αυτοί οι ελεγκτές δεν υπολογίζονται άμεσα διότι ίσως δεν είναι δυνατό να μετρηθούν όλες οι μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης αλλά χρησιμοποιούνται σε συνδυασμό με εκτιμητές (Observers). Οι ελεγκτές του τύπου αυτού επιτρέπουν λεπτομερειακό έλεγχο της συμπεριφοράς του συστήματος Εκτιμητές (Observer model) Συχνά στα συστήματα ελέγχου, ορισμένες από τις μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης δεν είναι δυνατόν να μετρηθούν. Χρησιμοποιείται, στην περίπτωση αυτή, ένας εκτιμητής (observer ή estimator) για την εκτίμηση των αγνώστων μεταβλητών με την βοήθεια γνωστών μεταβλητών. Oι εκτιμώμενες μεταβλητές και το κατάλληλο κέρδος ανάδρασης μπορούν να χρησιμοποιηθούν στον πλήρη έλεγχο βρόγχου για να τοποθετήσουν τους πόλους σε επιθυμητή θέση. Επομένως χρησιμοποιούνται εκτιμητές σε συνδυασμό με ελεγκτές εσωτερικής κατάστασης στις περιπτώσεις που ορισμένες μεταβλητές εσωτερικής κατάστασης είναι άγνωστες Βέλτιστος Έλεγχος Βέλτιστος Έλεγχος χρησιμοποιείται στις περιπτώσεις που απαιτείται ελαχιστοποίηση συγκεκριμένης απόδοσης ή κριτηρίου κόστους (χρόνος και ενέργεια). Χρησιμοποιώντας το συγκεκριμένο κριτήριο ή συνάρτηση, σχεδιάζεται κατάλληλος κανόνας ελέγχου που υλοποιείται με ελεγκτή που είναι γνωστός σαν τετραπλός γραμμικός ρυθμιστής LQR (Linear Quadratic Regulator) Φίλτρα Κalman Το μοντέλο με παρατηρητή χρησιμοποιείται σε ένα σύστημα που υπάρχει επακριβής μέτρηση εσωτερικών μεταβλητών. Όμως, η παρουσία θορύβου ή αβεβαιότητας στα στοχαστικά συστήματα, κάνει δύσκολη την επακριβή μέτρηση. Επομένως, το φίλτρο Kalman είναι ένα μοντέλο παρατηρητή που χρησιμοποιείται σε στοχαστικά συστήματα με θόρυβο. Βιομηχανικοί Ελεγκτές 16

17 1.4.9 Προσαρμοστικός Έλεγχος Ο προσαρμοστικός έλεγχος χρησιμοποιείται σε συστήματα με ελλειπή πληροφόρηση σχετικά με τις παραμέτρους της διεργασίας με αποτέλεσμα το μαθηματικό μοντέλο (συνάρτηση μεταφοράς) να είναι άγνωστο. Επίσης, χρησιμοποιείται σε συστήματα των οποίων οι παράμετροι της διεργασίας ή του μοντέλου μεταβάλλονται με την πάροδο του χρόνου, με αποτέλεσμα ο ελεγκτής να αδυνατεί να βελτιώσει το σύστημα. Ο προσαρμοστικός έλεγχος λειτουργεί σε πραγματικό χρόνο (real time) και τις μεταβολές του μοντέλου και ξανασχεδιάζει τον ελεγκτή για βέλτιστη απόδοση δηλαδή έχουμε ένα σύστημα βέλτιστου ελέγχου. 1.5 Προδιαγραφές καλής λειτουργίας και σχεδίασης ΣΑΕ Προδιαγραφές καλής λειτουργίας Κύριος στόχος του συστήματος ελέγχου είναι η εξουδετέρωση των διαταραχών και παράλληλα η διατήρηση του συστήματος σε ευστάθεια. Στην πραγματικότητα χωρίς διαταραχές δεν θα υπήρχε ανάγκη για συστήματα με αναδραστικό έλεγχο. Τα κέρδη ανάδρασης σε ένα βρόγχο ελέγχου επενεργούν για εξουδετέρωση των διαταραχών. Για παράδειγμα, αν μία διαταραχή είναι σταθερή τότε η ενέργεια της ολοκλήρωσης θα μηδενίσει το σφάλμα σταθερής κατάστασης. Όμως, αν η διαταραχή είναι άλλης μορφής τότε χρειάζεται να ληφθούν επιπλέον μέτρα. Δηλαδή πρέπει να ληφθεί υπ όψιν η προέλευση της διαταραχής και να αυξηθεί το κέρδος. Αν η διαταραχή ασκείται εκτός βρόγχου ελέγχου και επηρεάζει την είσοδο αναφοράς ή τη μέτρηση, τότε η προσθήκη προσωτροφοδοτικού βρόγχου θα ελαχιστοποιήσει την επίδραση της διαταραχής. Αν η διαταραχή ασκείται μέσα στο βρόγχο και επηρεάζει τη διεργασία, τότε το κέρδος πρέπει να αυξηθεί σε υψηλή τιμή. Πρέπει να ληφθεί ιδιαίτερη προσοχή για ευαισθησία σε μεταβολές των παραμέτρων, ειδικά όταν η διεργασία παρουσιάζει σταδιακά μεταβαλλόμενες παραμέτρους που οφείλονται σε επιδράσεις ή ολισθήσεις (drift). Η ελαχιστοποίηση αυτών των επιδράσεων είναι παρόμοια με αυτή των διαταραχών. Όμως, μερικοί τύποι ελεγκτών π.χ. φίλτρα (deadbeat) που αντικαθιστούν τους πόλους έχουν μεγαλύτερη ευαισθησία στις μεταβολές των παραμέτρων και πρέπει να αποφεύγεται η χρήσης τους. Σε αυτή τη περίπτωση πρέπει να χρησιμοποιηθεί προσαρμοστικός έλεγχος. Μερικές φορές κρίνεται απαραίτητο να μηδενισθεί η ενέργεια ελέγχου ή άλλη παράμετρος του συστήματος. Τεχνικές βέλτιστου ελέγχου μπορούν να Βιομηχανικοί Ελεγκτές 17

18 χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό των κανόνων ελέγχου και την μετακίνηση των πόλων στο σύστημα. Αυτό αναφέρεται σαν βέλτιστος έλεγχος και εκτιμητές καταστάσεων. Γενικά συστήματα με μικρή απόκριση ή μεγάλο εύρος (BW) απαιτούν μεγαλύτερη προσπάθεια ελέγχου. Για τον επιτυχή σχεδιασμό ενός συστήματος ελέγχου, είναι σημαντικό να καθορίζονται πρώτα τα κριτήρια απόδοσης. Η καθιέρωση των προδιαγραφών καλής λειτουργίας δεν είναι μια εύκολη εργασία και συνήθως απαιτεί κάποια εμπειρία. Απ την άλλη μεριά, αν οι προδιαγραφές καλής λειτουργίας είναι υπερβολικά αυστηρές, η πολυπλοκότητα και το κόστος του συστήματος ελέγχου θα γίνει απαγορευτικό. Επίσης εάν οι προδιαγραφές καλής λειτουργίας είναι χαλαρές, το σύστημα ελέγχου δεν είναι δυνατόν να λειτουργήσει ικανοποιητικά. Οι παράγοντες που απαιτούν προσεκτική μελέτη είναι το κόστος, η αξιοπιστία, το μέγεθος και βάρος, η ταχύτητα απόκρισης, η ευστάθεια, η ακρίβεια, και η ευκολία στην λειτουργία και στην συντήρηση. Αυτοί οι παράγοντες συζητούνται εν συντομία παρακάτω. α. Επιλογή hardware Τα συστήματα αναδραστικού ελέγχου μπορεί να χρησιμοποιούν μηχανικό, ηλεκτρικό, υδραυλικό, πνευματικό, ή έναν συνδυασμό εξαρτημάτων για αισθητήρια, ενεργοποιητές, ανιχνευτές λαθών, και για εφαρμογή του κανόνα ελέγχου. Στην ρομποτική και στην αυτοματοποιημένη παραγωγή, οι DC ηλεκτρικοί κινητήρες χρησιμοποιούνται ως ενεργοποιητές όταν οι απαιτήσεις σε ιπποδύναμη είναι μικρές. Όταν όμως η απαιτούμενη ισχύς είναι μεγάλη, υδραυλικοί ενεργοποιητές προτιμούνται λόγω καλύτερης αναλογίας ιπποδύναμης προς βάρος. Λόγω του πλεονεκτήματος αυτού τα ηλεκτροϋδραυλικά συστήματα ελέγχου χρησιμοποιούνται στα αεροσκάφη και στους πυραύλους. Τα πνευματικά συστήματα συνήθως χρησιμοποιούνται στον πετροχημικό έλεγχο διεργασίας λόγω της σχετικής ασφάλειας όσον αφορά τον κίνδυνο πυρκαγιάς και εκρήξεως. Πεπιεσμένος αέρας μπορεί να τροφοδοτηθεί από μια απομακρυσμένη θέση. Τα πνευματικά συστήματα είναι αργής απόκρισης σε σύγκριση με τα ηλεκτρικά και τα υδραυλικά συστήματα, αλλά αυτό δεν αποτελεί σοβαρό μειονέκτημα στον έλεγχο διεργασιών επειδή οι περισσότερες διεργασίες είναι από τη φύση τους αργής απόκρισης. β. Σταθερή λειτουργία με επαρκές όριο σταθερότητας Τα συστήματα αναδραστικού ελέγχου είναι επιρρεπή σε αστάθεια. Στα ενεργά συστήματα ελέγχου, μια συμπληρωματική πηγή ισχύος είναι διαθέσιμη Βιομηχανικοί Ελεγκτές 18

19 σε ένα ή περισσότερα σημεία του συστήματος αναδραστικού ελέγχου έτσι ώστε υπάρχει η πιθανότητα για αστάθεια. Σε έναν ασταθή τρόπο λειτουργίας, μια γρήγορη και καταστρεπτική απόκριση του συστήματος μπορεί να καταστήσει το σύστημα άχρηστο. Σε μερικές περιπτώσεις, μη γραμμικότητες όπως ο κόρος, μπορεί να περιορίζει την ανάπτυξη της ασταθούς απόκρισης και να δίνει εύρος ή αυτοδιεγειρούμενες ταλαντώσεις, οι οποίες καλούνται οριακοί κύκλοι. Γι αυτό, απαιτείται όχι μόνο το σύστημα ελέγχου να λειτουργεί με σταθερό τρόπο, αλλά επίσης πρέπει να καθοριστεί ένα επαρκές όριο σταθερότητας για να προσαρμόσουμε τις μεταβολές των παραμέτρων. γ. Επιτρεπτή μεταβατική απόκριση Στους ρυθμιστές και στους σερβομηχανισμούς, είναι επιθυμητό να συγκρίνουμε το σήμα εισόδου και την απόκριση της ελεγχόμενης εξόδου ως συναρτήσεις του χρόνου για να προσδιορίσουμε την ταχύτητα και την απόκλιση της απόκρισης απ αυτή της εισόδου. Η προδιαγραφή μιας επιτρεπτής μεταβατικής απόκρισης είναι συνήθως βασισμένη σε ένα βηματικό σήμα εισόδου, το σήμα ελέγχου. Τυπικά κριτήρια λειτουργίας που χρησιμοποιούνται για να χαρακτηρίσουν την απόκριση μετάβασης σε μία βηματική είσοδο, περιλαμβάνουν χρονική καθυστέρηση και αύξηση χρόνου για την αρχική ταχύτητα της απόκρισης μέγιστη υπερύψωση για την απόκλιση, και ο απαραίτητος χρόνος αποκατάστασης μέχρι να ηρεμήσει μέσα σε καθορισμένα όρια, επί της τελικής της τιμής στην αποκατάσταση. δ. Προδιαγραφές περιοχής συχνότητας Οι προδιαγραφές στην περιοχή συχνότητας βασίζονται σε ένα ημιτονοειδές σήμα εισόδου, ως σήμα ελέγχου. Τα κριτήρια λειτουργίας που χρησιμοποιούνται για να χαρακτηρίσουν την απόκριση συχνότητας είναι η υπερύψωση και το εύρος ζώνης κορυφής. Η υπερύψωση σχετίζεται με το μέγεθος της μέγιστης υπερύψωσης και του χρόνου ηρεμίας της απόκρισης σε μεταβατική κατάσταση. Το εύρος ζώνης είναι ένα μέτρο ικανότητας του συστήματος να αποβάλλει τον θόρυβο από το σήμα. ε. Απόρριψη διαταραχής Σε έναν ρυθμιστή, μια καλή ιδιότητα απόρριψης διαταραχής αναφέρεται στην ακρίβεια της σταθερής κατάστασης όπου το σφάλμα μεταξύ του σήματος εισόδου και της ελεγχόμενης εξόδου είναι μικρό και βρίσκεται μέσα σε αποδεκτά όρια υπό την επίδραση των διαταραχών. Για παράδειγμα, στην περίπτωση του ρυθμιστή ταχύτητας για ένα αυτοκίνητο, το σφάλμα απαιτείται να είναι μέσα σε επιτρεπτά όρια όταν το αυτοκίνητο ταξιδεύει ανηφορικά ή κατηφορικά. Σε έναν σερβομηχανισμό, η ορθή απόρριψη παρεμβολής, Βιομηχανικοί Ελεγκτές 19

20 αναφέρεται στην ικανότητα του συστήματος να διατηρεί το σφάλμα μικρό όσο το σήμα εισόδου του μεταβάλλεται. Για παράδειγμα, στην καθοδήγηση μιας ρουκέτας, οι επιπτώσεις των παρεμβολών λόγω του αέρα πρέπει να ελαχιστοποιηθούν για να κρατήσουν την ρουκέτα κοντά στην επιθυμητή τροχιά. στ. Ευαισθησία σε μεταβολές των παραμέτρων Η απόδοση ενός συστήματος ελέγχου εξαρτάται από τις τιμές των παραμέτρων του, οι οποίες μπορεί να μεταβάλλονται λόγω φθοράς και γήρανσης των στοιχείων και μεταβολές στο περιβάλλον. Ένας στόχος σχεδιασμού είναι να ελαχιστοποιηθεί η επίδραση από μεταβολές των παραμέτρων. Ένα σύστημα το οποίο έχει πολύ καλή απόρριψη παρεμβολών και χαμηλή ευαισθησία σε μεταβολές των παραμέτρων, ονομάζεται εύρωστο (robust). ζ. Δείκτης απόδοσης Στον σχεδιασμό συστημάτων ελέγχου με την τεχνική του βέλτιστου ελέγχου (optimal control), στόχος είναι να βελτιστοποιήσουμε έναν συντελεστή ποιότητας ο οποίος ονομάζεται δείκτης απόδοσης. Ο δείκτης απόδοσης περιλαμβάνει τις μεταβλητές - κλειδιά του συστήματος ελέγχου που επιθυμούμε να βελτιστοποιήσουμε. Στόχος μπορεί να είναι η ελαχιστοποίηση του χρόνου, των καυσίμων, της ενέργειας ελέγχου, του σφάλματος και συνδυασμού αυτών. Η θεωρία του βέλτιστου ελέγχου είναι ωστόσο, πέρα από τα όρια αυτού του βιβλίου αν και μια γενική περιγραφή, δίνεται στο κεφάλαιο που αναφέρεται στις τεχνικές μοντέρνου ελέγχου Διαδικασία σχεδίασης Η διαδικασία που ακολουθείται στη σχεδίαση με δοκιμή/σφάλμα, της δοκιμής και τροποποίησης έχει σοβαρά μειονεκτήματα και μια αναλυτική διαδικασία σχεδίασης είναι σαφώς προτιμότερη. Μια επισκόπηση της αναλυτικής διαδικασίας για τη σχεδίαση συστημάτων ελέγχου είναι χρήσιμη, πριν εξετάσουμε τις συγκεκριμένες τεχνικές που αναπτύσσονται και παρατίθενται στα επόμενα κεφάλαια. Είναι δύσκολο να περιγράψεις μια μοναδική διαδικασία σχεδίασης. Στην πράξη υπάρχουν πολλές αντιφασκούμενες απαιτήσεις, οι οποίες αν και δεν είναι συμβατές,συνήθως συμβιβάζονται αλλά απαιτείται επανάληψη. Για παράδειγμα, εάν επιθυμείται υψηλή ακρίβεια, τότε το κόστος θα είναι υψηλό. Θα δούμε αργότερα ότι ένα υψηλό περιθώριο ευστάθειας περιορίζει την ικανότητα απόρριψης του θορύβου. Μια προτεινόμενη μέθοδος σχεδίασης δίνεται ως ακολούθως: Βιομηχανικοί Ελεγκτές 0

21 α. Προδιαγραφές καλής απόδοσης Τα κριτήρια καλής απόδοσης μελετούνται πρώτα, και οι αποδεκτές προδιαγραφές καθιερώνονται. Οι συνήθως χρησιμοποιούμενες προδιαγραφές έχουν αναφερθεί πιο πριν. β. Εννοιολογικός σχεδιασμός Τα στοιχεία του συστήματος ελέγχου, όπως ο αισθητήρας, ο ενεργοποιητής, και το hardware για την υλοποίηση του κανόνα ελέγχου, επιλέγονται από ηλεκτρικά, ηλεκτρονικά, υδραυλικά, πνευματικά ή συνδυασμούς αυτών με βάση αυτών που αναφέρθηκαν παραπάνω. Η ακρίβεια, η ανάλυση και το μέγεθος των στοιχείων, απαιτούν προσεκτική μελέτη. Ένα όμως σχηματικό διάγραμμα του εννοιολογικού σχεδίου είναι τώρα έτοιμο. γ. Μαθηματική μοντελοποίηση Ένα μαθηματικό μοντέλο του συνολικού συστήματος ελέγχου, αποκτάται έτσι ώστε το σχηματικό διάγραμμα του εννοιολογικού σχεδίου παριστάνεται από ένα σύνολο εξισώσεων. Διαφορετικοί τύποι μαθηματικών μοντέλων που μπορούν να χρησιμοποιηθούν εξετάζονται λεπτομερειακά στην ελληνική και διεθνή βιβλιογραφία. δ. Εγκυρότητα μοντέλου και αναγνώριση μοντέλων Συνήθως πολλές απλοποιήσεις και υποθέσεις γίνονται για την απόκτηση των μοντέλων. Γι αυτό το λόγο, η πειραματική επαλήθευση και αναγνώριση των τιμών των παραμέτρων είναι απαραίτητη. Η μέθοδος απόκρισης συχνότητας είναι η πιο κατάλληλη για την πειραματική επαλήθευση του μοντέλου και αναγνώριση των παραμέτρων των μοντέλων τα οποία περιγράφονται από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Σ αυτό το στάδιο, το συνολικό σύστημα ελέγχου δεν είναι διαθέσιμο για έλεγχο, αλλά το σύστημα που θα ελεγχθεί, είναι συνήθως γνωστό. Επίσης οι πειραματικές αποκρίσεις συχνότητας των περισσοτέρων στοιχείων είναι συνήθως διαθέσιμες από τους κατασκευαστές τους. ε. Ανάλυση του μαθηματικού μοντέλου Η απόδοση ενός συστήματος ελέγχου αναλύεται χρησιμοποιώντας το μαθηματικό του μοντέλο. Η ευστάθεια και ένα επαρκές περιθώριο ευστάθειας, η ταχύτητα απόκρισης, και η απόρριψη διαταραχών είναι μερικά από τα κριτήρια καλής απόδοσης Βιομηχανικοί Ελεγκτές 1

22 στ. Τροποποίηση και επαναλήψεις Οι ανεξάρτητες παράμετροι βελτιστοποιούνται, ο κανόνας ελέγχου τροποποιείται, και επαναλήψεις εκτελούνται μεταξύ των προηγουμένων βημάτων έως ότου ικανοποιηθούν οι προδιαγραφές και η απόδοση είναι ικανοποιητική. ζ. Κατασκευή και έλεγχος Το τελευταίο βήμα είναι η κατασκευή και η δοκιμή του ολοκληρωμένου συστήματος ελέγχου, ή του προτύπου, για να επιβεβαιωθεί ότι η πραγματική λειτουργία είναι όπως προβλέπεται από το μαθηματικό της μοντέλο. 1.6 Αντισταθμιστής PID σε Σύστημα ου Βαθμού Η βελτίωση της ευστάθειας των Συστημάτων Ελέγχου επιτυγχάνεται με την προσθήκη ειδικών βαθμίδων που ονομάζονται αντισταθμιστές ή ελεγκτές. Προκειμένου να οδηγηθούμε στο τελικό συμπέρασμα ότι η προσθήκη βαθμίδας ελεγκτή σε ένα σύστημα ΣΑΕ πάντοτε βελτιώνει την ευστάθεια, τεκμηριώνεται με ένα γενικό παράδειγμα. Δίνεται η συνάρτηση μεταφοράς συστήματος ου βαθμού της μορφής G( s) s ( s a K1 jb) ( s a και η αντίστοιχη συνάρτηση του PID ελεγκτή jb) D( s) = K p K s i K d K ( s cs d) K ( s e)( s s s s f ) Παρατηρούμε ότι η προσθήκη του ελεγκτή προσθέτει ένα πόλο στο s=0 και δυο μηδέν στα σημεία -e και -f. Επομένως η νέα συνάρτηση μεταφοράς του ανοιχτού συστήματος έχει την μορφή: K1K ( s e) ( s f ) D( s) G( s) s ( s a jb) ( s a jb) Ο τόπος των ριζών της G(s), χωρίς τον ελεγκτή δίνεται στο Σχ.1.7(α) ενώ στο Σχ. 1.7(β) ο τόπος των ριζών ανοιχτού συστήματος G(s)D(s) που περιλαμβάνει και την συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή. Παρατηρούμε ότι υπάρχει μία μετακίνηση των πόλων προς τα αριστερά με αποτέλεσμα να αυξάνεται η ευστάθεια του συστήματος. Επομένως Βιομηχανικοί Ελεγκτές

23 συμπεραίνεται πως η προσθήκη ενός ελεγκτή PID πάντοτε βελτιώνει την συμπεριφορά ενός συστήματος ου Βαθμού. Σχ. 1.7 Τόπος των ριζών : (α) χωρίς αντιστάθμιση (β) με αντιστάθμιση 1.7 Αναλογικοί Ελεγκτές PID Η ενότητα αυτή αναφέρεται στους τύπους ελεγκτών PID που χρησιμοποιούνται στον έλεγχο διεργασιών Στο γενικό περίγραμμα Σ.Α.Ε (Σχ. 1.8) η διαταραχή L(s) (επίσης ονομάζεται και μεταβολή φορτίου) μεταβάλλεται απρόβλεπτα και σκοπός μας είναι να μην μεταβληθεί η έξοδος y αλλά να διατηρηθεί στην επιθυμητή τιμή. Η τιμή ym του αισθητηρίου μέτρησης (έξοδος διεργασίας) συγκρίνεται με την επιθυμητή τιμή ysp και υπολογίζεται το σφάλμα ε = ysp - ym Βιομηχανικοί Ελεγκτές 3

24 L y sp ε(t) Ελεγκτής u(t) Στοιχείο Ελέγχου m(t) Διεργασία y y m Σχ. 1.8 Κλειστός βρόγχος ελέγχου διεργασίας Η τιμή του ε στέλνεται στον ελεγκτή και στη συνέχεια ο ελεγκτής μεταβάλλει το σήμα m στην έξοδο του τελικού στοιχείου ελέγχου ώστε η τιμή της ε να μηδενιστεί. Συνήθως το τελικό στοιχείο ελέγχου είναι μία βαλβίδα ελέγχου. Οι διάφοροι τύποι αναλογικών ελεγκτών διαφέρουν ως προς τον τρόπο που σχετίζεται το ε(t) με το u(t). Το σήμα εξόδου του ελεγκτή μπορεί να είναι πνευματικό για πνευματικούς ελεγκτές ή ηλεκτρικό για ηλεκτρονικούς ελεγκτές. Υπάρχουν τρεις βασικοί τύποι ελεγκτών P(Αναλογία), PI(Αναλογία-Ολοκλήρωση), PID(Αναλογία - Ολοκλήρωση- Διαφόριση) α) Ελεγκτής P (αναλογία) u(t) = Kc ε(t) όπου Kc είναι το κέρδος αναλογίας Επομένως η συνάρτηση D(s) = Kc PB = 100/ Kc όπου 1 PB500 β) Ελεγκτής PI Είναι γνωστός ως ελεγκτής αναλογίας και ολοκλήρωσης t u(t) = Kc ε(t) + Kc /τi ε(t)dt 0 Στοιχείο Μέτρησης όπου τi είναι η σταθερά χρόνου ολοκλήρωσης ή χρόνος αποκατάστασης (reset time). Συνήθως η τιμή της τi κυμαίνεται 0.1 τi50 min Επομένως D(s) = Kc (1 + 1/ τi * s) γ) Ελεγκτής PID Είναι συνήθως γνωστός ως ελεγκτής αναλογίας - ολοκλήρωσης - διαφόρισης. H έξοδος του ελεγκτή c(t) δίνεται από την εξίσωση Βιομηχανικοί Ελεγκτές 4

25 u(t) = Kc ε(t) + Kc /τi t όπου τd η σταθερά χρόνου διαφόρισης Επομένως D(s) = Kp + Ki/s + Kd*s D(s) = Kc (1 + 1/ τi * s + τd* s) 0 de ε(t)dt + Kc * τd dt Οι τιμές των Κc, Τi και Τd υπολογίζονται με διάφορες μεθόδους αναλυτικές ή εμπειρικές που περιγράφονται στη συνέχεια Επιλογή Παραμέτρων Ρυθμιστών (Tuning ρυθμιστών) Το κεντρικό πρόβλημα που αντιμετωπίζει κάποιος, όταν κάνει χρήση PID ρυθμιστών, είναι με ποιον τρόπο θα επιλέξει τις πιο κατάλληλες τιμές για τις παραμέτρους Kc, τi, τd. Υπάρχουν τρεις γενικές κατηγορίες μεθόδων για την προσέγγιση του προβλήματος: 1. Δοκιμή και σφάλμα. Ημι-εμπειρικοί κανόνες, που έχουν θεωρητική δικαιολόγηση, αλλά βασίζονται κυρίως σε επιτυχημένη πρακτική 3. Συστηματικές μέθοδοι, που στηρίζονται κυρίως στην ικανοποίηση και βελτιστοποίηση διαφόρων κριτηρίων Κριτήρια που μπορούν να αποτελέσουν βάση επιλογής είναι: 1. Μηδενισμός ή περιορισμός μόνιμης απόκλισης. Στοιχεία δυναμικής συμπεριφοράς π.χ. υπέρβαση, λόγος απόσβεσης κλπ. 3. Περιθώρια φάσης και ενίσχυσης που σχετίζονται με την ευρωστία της ευστάθειας 4. Αποφυγή κορεσμού τελικού στοιχείου ρύθμισης (συνήθως βάνας) 5. Στοιχεία δυναμικής συμπεριφοράς που αφορούν στη συνολική απόκριση ως προς το χρόνο Στο πέμπτο κριτήριο περιλαμβάνονται τα λεγόμενα ολοκληρωτικά κριτήρια σφάλματος. Τα πιο συνηθισμένα κριτήρια σφάλματος είναι: Ολοκλήρωμα τετραγώνου σφάλματος (ISE) όπου Kp=Kc, Ki=Kp/τi, Kd=Kpτd Είναι το κριτήριο που έχει χρησιμοποιηθεί πιο πολύ μέχρι σήμερα. Ο λόγος είναι ότι είναι πιο εύκολα επεξεργάσιμο από μαθηματική άποψη, χωρίς επί της Βιομηχανικοί Ελεγκτές 5

26 ουσίας να υπερτερεί έναντι των άλλων κριτηρίων. Τιμωρεί μεγάλα σφάλματα και συνήθως οδηγεί σε επιθετική δράση. Ολοκλήρωμα χρόνου επί τετράγωνο σφάλματος (ITSE) Τιμωρεί μεγάλα σφάλματα και σφάλματα που επιμένουν επί μακρόν. Ολοκλήρωμα απόλυτης τιμής σφάλματος(iae) Τιμωρεί το ίδιο μεγάλα και μικρά σφάλματα. Ολοκλήρωμα χρόνου επί απόλυτη τιμή σφάλματος (ITAE) Τιμωρεί σφάλματα που επιμένουν για μεγάλους χρόνους, ακόμα και όταν αυτά είναι μικρά. Σημαντικές Παρατηρήσεις 1. Συνήθως είναι αδύνατο να βρεθούν παράμετροι που ικανοποιούν ταυτόχρονα όλα τα κριτήρια. Υπάρχει επομένως χώρος για υποκειμενική κρίση από την πλευρά του μηχανικού, ανάλογα με τις απαιτήσεις και ιδιαιτερότητες της διεργασίας.. Εκτός από τον υπολογισμό του σφάλματος, για την επιλογή των παραμέτρων του PID ρυθμιστή, σημαντικό ρόλο παίζει και ο τρόπος μεταβολής του σήματος ενεργοποίησης και επομένως και της μεταβλητής χειρισμού. Το ζητούμενο είναι η μεταβολή αυτών των μεταβλητών κατά τη διάρκεια της ρύθμισης να είναι όσο το δυνατόν πιο ομαλή. Αυτή η ομαλότητα προστατεύει το μηχανολογικό εξοπλισμό από υπερβολική φθορά. Επομένως κατά τη διατύπωση της αντικειμενικής συνάρτησης, η οποία πρέπει να ελαχιστοποιηθεί, θα μπορούσε κάποιος να συμπεριλάβει εκτός από το σφάλμα και τη μεταβλητή χειρισμού. Βιομηχανικοί Ελεγκτές 6

27 1.7. Σχεδιασμός ελεγκτών με τη μέθοδο απόκριση συχνότητας Η μέθοδος απόκριση συχνότητας είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για τον σχεδιασμό ελεγκτών ανάδρασης. Δίνεται η δυνατότητα να μελετηθεί η ευστάθεια των συστημάτων κλειστού βρόγχου με τη χρήση των διαγραμμάτων BODE και Nyquist τα οποία βρίσκονται από την συνάρτηση μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου και επίσης να επιλεχθούν οι πιο κατάλληλες τιμές για τις μεταβαλλόμενες τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή. Στην ενότητα αυτή περιγράφονται μόνο τα κριτήρια BODE. Το κριτήριο ευστάθειας BODE είναι μια ορθολογική μέθοδος συντονισμού των ελεγκτών ανάδρασης για την αποφυγή αστάθειας σε ένα κλειστό σύστημα βρόγχου. Από τα διαγράμματα BODE της συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου του συστήματος, που δίνεται στο Σχ. 1.9, βρίσκονται δυο σημαντικά χαρακτηριστικά η συχνότητα θλάσης ωc0 και το σημείο όπου το κέρδος της GΤ(jω) είναι μονάδα δηλ. AR=1. Σχ Περιθώρια κέρδους και φάσης Ένα σύστημα ελέγχου είναι ευσταθές αν η τιμή του μέτρου ΑR της συνάρτησης μεταφοράς ανοιχτού βρόγχου G(jω) του συστήματος, για ω=ωc0, είναι μικρότερο της μονάδας και ασταθές αν το μέτρο είναι μεγαλύτερο της μονάδας. Αν Α είναι η συγκεκριμένη τιμή της ΑR για ω=ωc0 τότε: Βιομηχανικοί Ελεγκτές 7

28 για Α<1 το σύστημα είναι ευσταθές και για Α>1 το σύστημα είναι ασταθές Από τα διαγράμματα του Σχ βρίσκονται επίσης το περιθώριο κέρδους ΠΚ ή GΜ και το περιθώριο φάσεως ΠΦ ή PM Το περιθώριο κέρδους ορίζεται από τη σχέση GM 1 A Για ευσταθές σύστημα πρέπει Α<1 ή GM>1, συνήθως η τιμή GM είναι περίπου -3 ή 8db Το περιθώριο φάσεως ορίζεται από τη σχέση PM=180 ο φ1, όπου 1 GT j Στην πράξη το PM πρέπει να είναι μεγαλύτερο από 30 ο (PM>30 ο ) Τα περιθώρια κέρδους και φάσεως αποτελούν τα κριτήρια ασφαλείας στο σχεδιασμό συστημάτων αυτομάτου ελέγχου. Επομένως για τον υπολογισμό των παραμέτρων του PID ελεγκτή πρώτα επιλέγεται το επιθυμητό περιθώριο φάσεως PM και στη συνέχεια υπολογίζονται οι τιμές των παραμέτρων Μέθοδος Zeigler-Nichols (κλειστού βρόγχου) 1. Γνωστό μοντέλο διεργασίας Η μέθοδος αυτή εφαρμόζεται όταν είναι γνωστή η συνάρτηση μεταφοράς G(s) της διεργασίας. Χρησιμοποιούνται διάφοροι τρόποι υπολογισμού των παράμετρων του PID ελεγκτή και στηρίζονται στις εξισώσεις που αναπτύχθηκαν εμπειρικά από τους Ziegler-Nichols (Ζ-Ν) και περιγράφονται ως εξής: α) Ημιπειραματική μέθοδος Στην περίπτωση αυτή, οι παράμετροι των όρων ολοκλήρωσης και διαφόρισης τοποθετούνται στη χαμηλότερη δυνατή τιμή (δηλαδή τα Τi, Τd) και τo κέρδος Kc αυξάνεται σταδιακά μέχρι να παρατηρηθεί ταλάντωση σταθερού εύρους στην έξοδο (ημιτονοειδής μορφή), Σχ Το κέρδος σε αυτή την περίπτωση ονομάζεται κρίσιμο Κκρισ και η περίοδος Τ0 υπολογίζεται από την κυματομορφή συνήθως με τη βοήθεια παλμογράφου (και όχι μόνο), στη συνέχεια από τις εξισώσεις Ζ-Ν υπολογίζονται οι παράμετροι του PID ελεγκτή. Βιομηχανικοί Ελεγκτές 8

29 PID: Kp = 0.6Kκρ. ή Κc = 0.6Kκρ. Ki = Kp/To Τi = 0.5To=To/ Κd 0.15ΚpTo Td = 0.15To=To/8 PI: Kp = 0.50Kκρ. Κc = 0.50Kκρ. K 1. K / T Ti = 0.83To=To/1. i p o P: Kp = 0.5Kκρ. Σχ Κυματομορφή εξόδου διεργασίας β) Διαγράμματα Bode Οι παράμετροι Κκρισ και Τ0 μπορούν επίσης να υπολογιστούν και από τα διαγράμματα BODE (απόκριση στο πεδίο της συχνότητας) του Σχ Κρίσιμο κέρδος: Κκρ =1/Α ω Κρίσιμη περίοδος: Τ0 = π/ω0 ω Σχ Διαγράμματα Bode. Βιομηχανικοί Ελεγκτές 9

30 Από το διάγραμμα φάσης υπολογίζεται η συχνότητα θλάσης ωo και από την καμπύλη εύρους υπολογίζεται το Α που αντιστοιχεί στο ωo, και βρίσκονται τα Κκρ.= 1/Α και Το=π/ωo. Στη συνέχεια, υπολογίζονται οι τιμές των Κc, Τi και Td από τις εξισώσεις Ζ-Ν. Επισημάνεται πως οι τιμές αυτές χρειάζονται περαιτέρω ρύθμιση για να επιτύχουμε τέλεια απόκριση, αποτελούν όμως ένα πρώτο αποδεκτό ζεύγος τιμών. γ) Αναλυτική μέθοδος Οι τιμές των παραμέτρων του PID ελεγκτή μπορούν επίσης να υπολογιστούν και με αλγεβρικό τρόπο. Αρχικά βρίσκεται η συχνότητα θλάσης ή κρίσιμη συχνότητα ωo που αντιστοιχεί στο σημείο όπου η καμπύλη φάσεως τέμνει ή προσεγγίζει τις -180 ο και δίνεται από την σχέση : -180 ο = G(s) s=jω = G(jω) Επιλέγονται τιμές του ω μέχρις ότου βρεθεί μία και μοναδική τιμή του ω που ονομάνεται ωo και ικανοποιεί την εξίσωση. Από την εξίσωση κερδών της G(s) : 0log A =0log G(s) s=jω,για ω = ωo βρίσκεται η τιμή του Α Στη συνέχεια υπολογίζονται τα Τo και Κκρ από τις σχέσεις : Τo=π/ωo και Κκρ.= 1/Α Τέλος οι τιμές των παραμέτρων του PID υπολογίζονται από τις εξισώσεις Ziegler-Nichols που αναφέρθηκαν προηγουμένως.. Άγνωστο μοντέλο διεργασίας Στην περίπτωση αυτή πρέπει πρώτα να υπολογιστεί η άγνωστος G(s) της διεργασίας και στη συνέχεια βρίσκονται οι παράμετροι του PID ελεγκτή. Το μοντέλο της αγνώστου διεργασίας υπολογίζεται από την καμπύλη απόκρισης στο πεδίο του χρόνου της μεταβλητής εξόδου C(s), σε βηματική μεταβολή της εισόδου R(s) ως εξής: (α) Εφαρμόζεται βηματική μεταβολή μοναδιαίας τιμής στην είσοδο της διεργασίας και ταυτόχρονα καταγράφεται η μεταβλητή στην έξοδο C(s). Από τις τιμές αυτές σχηματίζεται η καμπύλη απόκρισης στο πεδίο του χρόνου της αγνώστου διεργασίας. (β) Από την χρονική απόκριση ανοιχτού βρόγχου υπολογίζοται, κατά προσέγγιση, οι παράμετροι της αγνώστου συνάρτησης μεταφοράς G(s). Βιομηχανικοί Ελεγκτές 30

31 Συνήθως επιλέγεται μοντέλο προσομοίωσης 1ου βαθμού με καθυστέρηση της K st1 μορφής : G( s) e 1 st (γ) Οι τιμές των παραμέτρων Κ, Τ1, Τ της G(s) βρίσκονται γραφικά από την κυματομορφή βηματικής απόκρισης στο πεδίο του χρόνου που εικονίζεται στο Σχ.1.1 (δ) Οι μέσες τιμές των παραμέτρων του ελεγκτή PID υπολογίζονται αν είναι γνωστές οι Κ, Τ1, Τ της G(s). (ε) Τέλος με ρύθμιση γύρω από τις μέσες τιμές επιλέγονται οι τελικές τιμές για τον έλεγχο της μεταβλητής C. Δy=Κ*Δx y K= x Σχ. 1.1 Βηματική απόκριση ανοιχτού βρόγχου Επομένως με προσομοίωση μοντέλου 1ου βαθμού και για συνάρτηση μεταφοράς του PID 1 D (s) K c ( 1 T d s ) T s Οι παράμετροι του ελεγκτή PID υπολογίζονται από τις εξισώσεις του Zeigler - Nichols που αντιστοιχούν (Πίνακας 1.1). 1 PID PI P όπου S= K T ΠΙΝΑΚΑΣ 1.1 Κc Ti Td 1. ST 1 T1 0.5T1 09. ST 1 3Τ1 1 ST 1 είναι η κλίση της καμπύλης απόκρισης. Βιομηχανικοί Ελεγκτές 31

32 1.7.4 Μέθοδος Cohen Coon (ανοιχτού βρόγχου) Οι Cohen-Coon ανέπτυξαν μια μέθοδο παραπλήσια αυτής των Zeigler - Nichols για τον υπολογισμό του μοντέλου αγνώστου διεργασίας. Η προσομοίωση με μοντέλο 1ου βαθμού χρησιμοποιείται είτε η συνάρτηση μεταφοράς είναι γνωστή είτε είναι άγνωστος. Το σύστημα ελέγχου του διαγράμματος Σχ ανοίγεται στο σημείο 1 και εισάγεται η βηματική διέγερση A/s στον ανοιχτό βρόγχο του υπόλοιπου διαγράμματος δηλ. εισάγεται στην είσοδο της βαλβίδος, και συγχρόνως καταγράφεται η έξοδος. Επιλέγεται το άνοιγμα του βρόγχου στο σημείο 1 για να μην συμπεριλαμβάνεται η συνάρτηση μεταφοράς D(s) του ελεγκτή που προκαλεί ημιτονοειδή απόκριση. Η καμπύλη που σχηματίζεται από τις τιμές συναρτήσει του χρόνου ονομάζεται βηματική απόκριση του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. R(s) A/s D(s) G βαλβ. (s) G(s) L(s) Β(s) ή Υ(s) Σχ Κύκλωμα ανοιχτού βρόγχου Υποθέτουμε ένα κατ εκτίμηση μοντέλο προσομοίωσης πρώτου βαθμού με -t K e d s συνάρτηση μεταφοράς της μορφής G ( s) s 1 Οι παράμετροι του μοντέλου κέρδος (K), σταθερά απόκρισης (td) και σταθερά της διεργασίας (τ) υπολογίζονται με δύο τρόπους: α) Από την καμπύλη απόκρισης στο πεδίο του χρόνου του Σχ.1.14 η οποία ονομάζεται και καμπύλη εκτίμησης υπολογίζονται οι παράμετροι του μοντέλου προσομοίωσης Κ, td και τ. B A, όπου Β είναι η τελική τιμή της εξόδου στην αποκατάσταση και A το H(s) αντίστοιχο σήμα στην είσοδο 1 που προκαλεί τη μεταβολή. s tan 1 B t είναι η κλίση της καμπύλης Βιομηχανικοί Ελεγκτές 3

33 τ = S B = C T B t όπου td η σταθερά καθυστέρησης Ορίζεται α = td/τ Β Oι παράμετροι του ελεγκτή PID υπολογίζονται από τις εξισώσεις του πίνακα 1.. Δt Σχ Βηματική απόκριση β) Εναλλακτικά, οι παράμετροι Κ, τ και td του μοντέλου μπορούν επίσης να υπολογιστούν και από την χρονική καμπύλη απόκρισης C του Σχ.1.15 που σχηματίζεται από μοναδιαίας τιμής βηματική μεταβολή στην είσοδο του ενεργοποιητή ή της διεργασίας (Σχ. 1.13). Στη συνέχεια, από την καμπύλη βηματικής απόκρισης στο πεδίο του χρόνου της διεργασίας, υπολογίζονται οι παράμετροι Κ, td και τ της διεργασίας, για συνάρτηση μεταφοράς 1 ου βαθμού, t d s Ke G s από τις εξισώσεις: s 1, 1.5 t C K m 1 t , t d 1.5 t0.8 t0. 63, 3 t a d Βιομηχανικοί Ελεγκτές 33

34 Σχ Βηματική απόκριση Cohen-Coon Στη συνέχεια υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή με τη βοήθεια των εξισώσεων του πίνακα 1.. Παρατηρήσεις: 1. Οι υπολογιζόμενες τιμές του ελεγκτή με τη βοήθεια των εξισώσεων του Πίνακα 1. στηρίζονται στην προϋπόθεση ότι το υποτιθέμενο μοντέλο 1 ης τάξης περιγράφει ικανοποιητικά την απόκριση ανοιχτού βρόγχου της διεργασίας. Αν η περιγραφή είναι κακή,τότε οι τιμές του Cohen-Coon αποτελούν μία πρώτη εκτίμηση και απαιτείται περαιτέρω διόρθωση.. Η απόκριση ανοιχτού βρόγχου έχει σχεδόν πάντοτε τη μορφή της κυματομορφής του Σχ ή 1.15 (underdamped) διότι σχεδόν όλες οι φυσικές διεργασίες υγρών περιγράφονται ικανοποιητικά από σύστημα 1 ης τάξεως. Η απόκριση φθίνουσα ταλάντωση (underdamped) προκαλείται κυρίως από την παρουσία αναδραστικού ελεγκτή στο μπλοκ διάγραμμα. Επομένως το άνοιγμα του βρόγχου επιλέγεται σε σημείο που τίθεται εκτός ο ελεγκτής D(s) Σχ Από τις εξισώσεις του Πίνακα 1. που δίνουν τις τιμές του Kc για τους τρείς ελεγκτές P, PI, PID παρατηρούνται τα εξής: α) Το κέρδος του PI ελεγκτή είναι μικρότερο από το αντίστοιχο του P ελεγκτή διότι ο όρος ολοκλήρωσης κάνει το σύστημα πιο ευαίσθητο και επομένως η τιμή του Κc πρέπει να είναι πιο μικρή. β) Η προσθήκη του όρου D στον ελεγκτή κάνει το σύστημα πιο σταθερό και έτσι επιτρέπεται η χρήση υψηλότερων τιμών στον όρο Kc του PID ελεγκτή (υψηλότερη από τις αντίστοιχες των P και PI ) Μέθοδος κλειστού βρόγχου ή τροποποίησης (modified method) Στην περίπτωση αυτή μεταβάλλεται το κέρδος Kc μέχρι η έξοδος να έχει τη μορφή φθίνουσας ταλάντωσης (Σχ. 1.16) με εύρος στη δεύτερη περίοδο ίση με το 1/4 του εύρους της πρώτης. Υπολογίζονται το κέρδος Α και η περίοδος Τ0. Από τις εξισώσεις υπολογίζονται οι παράμετροι: Βιομηχανικοί Ελεγκτές 34

35 Κc = 1 /A, Ti = To/1.5, Td = To/6 Σχ Καμπύλη Τροποποίησης. Στον Πίνακα 1. αναφέρονται συγκεντρωτικά οι εξισώσεις όλων των παραπάνω περιπτώσεων που χρησιμοποιούνται στον υπολογισμό των παραμέτρων των ελεγκτών P, PI, PID. Βιομηχανικοί Ελεγκτές 35

36 ΠΙΝΑΚΑΣ 1. Εξισώσεις Συντονισμού των Παραμέτρων PID Τύπος ελεγκτή Ziegler- Nichols Original Method Mέθοδος τροποποίησης Cohen-Coon Method a t d Αναλογία (Proportion al) Kc=0.5Kκρ. Προσαρμόζεται το κέρδος για να έχουμε στη δεύτερη περίοδο το 1/4 του εύρους που αντιστοιχεί στη πρώτη περίοδο. K c 1 1 ( 0.333) K a Αναλογία και Ολοκλήρω ση (Proportion al & Integral) PID Proportion al, Integral, derivative Kc=0.50Kκρ. Ti=To/1. (min) Κc = 0.6 Kκρ. Ti=To/ (min) Td=To/8 (min) Προσαρμόζεται το κέρδος για να έχουμε στη δεύτερη περίοδο το 1/4 του εύρους που αντιστοιχεί στη πρώτη περίοδο. Ti =To(min) Προσαρμόζεται το κέρδος για να έχουμε στη δεύτερη περίοδο το 1/4 του εύρους που αντιστοιχεί στη πρώτη περίοδο. Ti =To /1.5 (min) Td = To /6 (min) Kc 0.08 K Τi 1. K Τ Τ i d c K.5a 0.5a 1 0.6a 0.37a 1 0.a Βιομηχανικοί Ελεγκτές 36

37 1.7.6 Εναλλακτικές Μέθοδοι Περίπτωση 1 Εκτός από τους τύπους του Πίνακα έχουν διατυπωθεί και άλλοι εναλλακτικοί. Για παράδειγμα οι Tyreus και Lyuben (1997) συστήνουν τους τύπους του Πίνακα 1.3 που οδηγούν σε πιο συντηρητικές τιμές για τα Kc, τi, τd. Πίνακας 1.3 Kc τi τd PI 0.31Kκρ.Το - PID 0.45Kκρ.Το Το/6.3 Περίπτωση Μια παραλλαγή της μεθόδου Ziegler-Nichols που χρησιμοποιείται συχνά, είναι η μέθοδος relay auto-tuning (Åström και Hägglund, 1995). Στην περίπτωση αυτή ο ρυθμιστής αντικαθίσταται προσωρινά από ένα ρυθμιστή που παράγει σήματα ενεργοποίησης, τα οποία με τη σειρά τους προκαλούν μεταβολές της μεταβλητής χειρισμού σαν αυτές που φαίνονται στο πάνω μέρος του Σχήματος Αυτά τα σήματα της μεταβλητής χειρισμού προκαλούν διακυμάνσεις της ρυθμιζόμενης μεταβλητής που φαίνονται στο κάτω μέρος του Σχήματος 1.18 Οι Åström και Hägglund ανέπτυξαν την παρακάτω προσεγγιστική έκφραση για το Kκρ. 4 όπου είναι το επιλεγόμενο εύρος μεταβολής του σήματος της h χειριζόμενης μεταβλητής α είναι το εύρος ταλάντωσης της ρυθμιζόμενης μεταβλητής Η περίοδος της ταλάντωσης της ρυθμιζόμενης μεταβλητής θεωρούμε ότι προσεγγίζει τη ζητούμενη κρίσιμη περίοδο Το. Τα Kκρ, Το που παίρνουμε τα χρησιμοποιούμε με βάση τους τύπους του πίνακα των Ziegler-Nichols. Η τεχνική αυτή αποφεύγει τη χρονοβόρα διαδικασία δοκιμής και σφάλματος, όπως επίσης αποφεύγει να φέρει το βρόχο ρύθμισης στην επισφαλή κατάσταση της οριακής ευστάθειας. Σε αρκετά εμπορικά προϊόντα (ρυθμιστές) η μέθοδος αυτή έχει ενσωματωθεί ως αυτοματοποιημένη διαδικασία επιλογής παραμέτρων (auto-tuning). Βιομηχανικοί Ελεγκτές 37

38 1.7.7 Ανάλυση με περιγραφική συνάρτηση Η ανάλυση συστημάτων με μη γραμμικά στοιχεία στο βρόχο, επιτυγχάνεται με τη χρήση της περιγραφικής συνάρτησης (describing function). Η περιγραφική συνάρτηση Ν(α) του ηλεκτρονόμου (ή οποιουδήποτε άλλου μη γραμμικού στοιχείου), είναι μια γραμμική προσέγγιση του και χρησιμοποιείται σαν να ήταν η συνάρτηση μεταφοράς του. ysp e ρελέ u process G(s) y - e(t)=αημ(ωt) h Η έξοδος του ηλεκτρονόμου είναι τετραγωνικός παλμός (Σχ. 1.18) πλάτους h και περιόδου T όπως δείχνει το σχήμα x.x και περιγράφεται μαθηματικά ως: -h u(t)= [ημ(ωt)] h, 0 t T ut T h, tt Σχ Σήματα Εισόδου-Εξόδου του ηλεκτρονόμου Βιομηχανικοί Ελεγκτές 38

39 Σαν περιοδικό σήμα μπορεί να αναπτυχθεί σε σειρά Fourier και να εκφραστεί σαν άθροισμα ημιτόνων και συνημιτόνων στη θεμελιώδη συχνότητα. Περιττή συμμετρία επομένως Αποκόπτονται οι αρμονικές συχνότητες και επιτρέπεται η διέλευση της θεμελιώδους συχνότητας. Ο λόγος εξόδου/εισόδου μόνο για την πρώτη αρμονική έχει ως εξής για Ω Ω ω : N ut et 4 α 4h πα k Αυτορυθμιζόμενος PID με ηλεκτρονόμο Το διάγραμμα βαθμίδων μιας παραγωγικής διεργασίας με αυτορυθμιζόμενο ελεγκτή με PID χρησιμοποιώντας τη μέθοδο ρελέ παρουσιάζεται στο σχήμα. ysp - e ρελέ PID 1 u process G(s) y Σχ Αυτορυθμιζόμενο PID με ηλεκτρονόμο Η θέση του διακόπτη επιλέγει μια από τις δύο καταστάσεις του συστήματος. Την κατάσταση ρύθμισης των παραμέτρων του ελεγκτή ή την κανονική κατάσταση ελέγχου της διεργασίας με PID. Στην πρώτη περίπτωση ο ελεγκτής αποκόπτεται στιγμιαία και τη θέση του παίρνει το ρελέ. Το σύστημα αρχίζει ταλαντώσεις οι οποίες σταθεροποιούνται σε αμείωτες ταλαντώσεις μικρού πλάτους γνωστές σαν οριακοί κύκλοι (limit cycle). Η περίοδος και το πλάτος των ταλαντώσεων του συστήματος δίνουν τη κρίσιμη περίοδο (Το) και το κρίσιμο κέρδος (Κκρ) του συστήματος αντίστοιχα. Συνεπώς το κρίσιμο κέρδος είναι: Βιομηχανικοί Ελεγκτές 39

40 Κ GjΩ 1 K 1 GjΩ Κ 4h πα και η κρίσιμη περίοδος είναι Το=Τ. Οι παράμετροι του PID μπορούν τώρα να υπολογιστούν σύμφωνα με τον Πίνακα 1.. Στη συνέχεια ο PID ενημερώνεται με τις νέες τιμές των παραμέτρων του και ο διακόπτης μεταφέρεται στη δεύτερη θέση για κανονική λειτουργία της διαδικασίας με PID έλεγχο. Η μονή παράμετρος που πρέπει να είναι εκ των προτέρων γνωστή για την αυτόματη ρύθμιση του PID είναι το πλάτος του ηλεκτρονόμου (h). Είναι επιθυμητό, το πλάτος αυτό του ηλεκτρονόμου να κρατηθεί σε χαμηλά επίπεδα έτσι ώστε η έξοδος του συστήματος (y) να έχει ταλαντώσεις με πλάτος σε ανεκτά όρια για την ασφάλεια του συστήματος. Παράδειγμα 5 To Είσοδος h Έξοδος h 0.75, a 1.5 K 4h 40,75 πα π , T Από τις εξισώσεις Z-N βρίσκονται: Βιομηχανικοί Ελεγκτές 40