ΕΞΑΤΜΙΣΗ ΤΩΝ ΥΓΡΩΝ. (Φυσικ. II 1α,1β )
|
|
- Ἰωήλ Ανδρεάδης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 107 ΕΞΑΜΙΣΗ ΩΝ ΥΓΡΩΝ (Φσικ. II 1,1 ) άση τµών. Μέτρηση κι σηµσί της. Σε θερµοδµµικό κύλινδρο, πο ρίσκετι σε θερµοστάτη µεγάλης θερµοχωρητικότητς, τοποθετείτι ποσότητ γρού. Στην επιφάνει το γρού εφάπτετι το έµολο το κλίνδρο. Αν ψωθεί λίγο το έµολο, ποσότητ γρού εξτµίζετι κι γεµίζει το χώρο πο προσφέρετι. Η εξάτµιση σνεχίζετι µέχρι ο τµός ν ποκτήσει ορισµένη πίη. Μετά την νστολή της εξάτµισης ισχύει δνµική ισορροπί µετξύ τµού κι γρού, δηλ. στη µονάδ το χρόνο ο ριθµός των µορίων το γρού, πο µεττρέποντι σε τµό (εξτµίζοντι), είνι ίσος µε τον ριθµό των µορίων το τµού, πο - γροποιούντι. Στις σνθήκες τές, δηλ. της εµφάνισης της µέγιστης πίης γι τη θερµοκρσί το θερµοστάτη, ο τµός λέγετι «κορµένος» κι η µέγιστη ΠΙΝΑΚΑΣ 13 άσεις διφόρων οσιών σε διάφορες θερµοκρσίες Θερµοκρσί ( 1 C) Νερό Αιθλική Αλκοόλη Οξεικό Οξύ Ασετόνη άσεις τµ ών (mm Hg) Οξεικό Αιθύλιο ετρχλωράνρθκς Χλωροφόρµιο Ανιλίνη Χλωριούχο Βενζόλιο 10 9,1 3,6-115,6 4,8 56,0 100,5-4, ,53 43,9 11,7 184,8 7,8 91,0 159,6-8, ,8 78,8 0,6 8,7 118,7 143,0 46,0-15, ,3 135,3 34,8 41,5 186,3 15,8 366,4-6, ,51, 56,6 61,6 8,3 317,1 56,0,4 41, ,4 353,7 88,9-415,3 450,8 739,6 5,7 65, ,7 54,5 136,0-596,3 6,3-10,6 97, ,1-0, ,0 144, ,8-93, , 08, ,0-471, ,7 9,75 Σηµείο Βρσµού ,3 118,5 56,10 77,15 76,75 60,9 184,1 13 πίη: «τάση κορµένων τµών». Κτά προσέγγιση θεωρείτι ότι κι πάνω κι στη γειτονιά της ε- λεύθερης επιφάνεις γρού πάρχει η τάση των κορµένων τµών. Η τάση τµών µετριέτι πειρµτικά µε δύο κτηγορίες µεθόδων : σττιστικές (άµες) κι δνµικές (έµµες), πο περιγράφοντι στις Εργ. Ασκ. Μεθ. Φσικ. Εφρµ. Ηλεκτρ. Στον πίνκ 13 φίνοντι οι τάσεις τµών διφόρων οσιών σε διάφορες θερµοκρσίες.
2 108 Η γνώση της τάσης των τµών των γρών είνι πολύτιµο στοιχείο π όπο προκύπτον τ κόλοθ σµπεράσµτ: Η γνώση της σε σνάρτηση µε τη θερµοκρσί οδηγεί στον πολογισµό της θερµότητς εξάτµισης κι το σηµείο ρσµού. Με σύγκριση της τάσης των τµών διφόρων γρών στην ίδι θερµοκρσί είνι δντό τ γρά ν κττγούν κτά σειρά πο ξάνει ή ελττώνετι το σηµείο ρσµού τος. ) ( ) Εξάρτηση της τάσης των τµών π τη θερµοκρσί 1. Σηµεί ρσµού κι της τήξης. Εξίσωση Kirchhof Από µετρήσεις της τάσης των τµών ενός γρού σε διάφορες θερµοκρσίες προκύπτει το κόλοθο διάγρµµ (Σχ. 47). Σ τό, η τοµή της κµπύλης της τάσης τµών το στερεού κι το γρού δείχνει το σηµείο τήξης ( η θερµοκρσί, όπο η τάση τµών το γρού ποκτά τιµή ίση µε την εξωτερική πίη Ρ 0, είνι το σηµείο ρσµού το γρού ν η πίη είνι ίση µε την τµοσφιρική, τότε έχοµε το «κνονικό σηµείο ρσµού». Πέρ πό το σηµείο ρσµού δεν ισχύει η κµπύλη, γιτί η εξωτερική πίη µένει στθερή κι η θερµοκρσί δε µετάλλετι. (Η µέτρηση το σηµείο ρσµού γίνετι µε µεθόδος, πο νπτύσσοντι σε Εργ. σκ. µεθ. Φσικ. Ηλεκτρ.). Αν ο χώρος, όπο θερµίνετι το γρό, είνι κλειστός, προσιάζοντι τ ίδι φινόµεν το σχήµτος 45 κι η κµπύλη φτάνει µέχρι το κρίσιµο σηµείο. Γι την πειρµτική κµπύλη Ι ισχύει µε ρκετή προσέγγιση η εµπειρική εξίσωση Kirchhof. Β 1nΡ= Α + C1n (73) όπο Α, ΒκιC : εµπειρικές στθερές νεξάρτητες της θερµοκρσίς εξρτώντι π τη φύση το γρούτ.. Κινητική θεωρί της εξάτµισης. Λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης Γι τ µόρι των γρών ισχύει ό,τι κι γι τ µόρι των ερίων ρίσκοντι δηλ. σε σνεχή άτκτη κίνηση µε διφορετικές τχύτητες το κθέν κι ισχύει κι γι τά η κτνοµή Maxwell των τχτήτων τος κι η κτνοµή Maxwell-Boltzmann των ενεργειών τος. Έτσι σε ορισµένη θερµοκρσί θ πάνε π την γρή κτάστση στην έρι µόνο εκείν τ µόρι, πο έχον ενέργει κτά Ν [πο πιτείτι
3 109 Σχ. 47. Εξάρτηση της τάσης τµών γρού κι στερεού π τη θερµοκρσί. Σηµεί τήξης κι ρσµού Σχ. 48. ιάγρµµ πο δείχνει τον ριθµό των µορίων πο σε θερµοκρσί έχον ενέργει µεγλύτερη πό U κτά Ν κι πηγίνον π την γρή στην έρι κτάστση γι την περνίκηση π τά των δνάµεων σνοχής van der Waals, πο τ σγκρτούν στην γρή κτάστση] µεγλύτερη πό την. Η ενέργει τή, πο πιτείτι γι κάθε µόριο, θ είνι ίση µε τη διφορά ενέργεις µετξύ ερίο κι γρού µορίο (Σχ. 48). U Ν ο ριθµός των µορίων σε 1 ml ενός γρού σε θερµοκρσί T. Κάθε µόριο π τά θ έχει κτά µέσο όρο ενέργει µετξύ Ν κι U δίνετι π την εξίσωση 46: Αντίστοιχ, Ν ο ριθµός των µορίων στη µονάδ το όγκο των τµών γι την ίδι θερµοκρσί ο ριθµός τός Ν = C.e U Κ U. Η σχέση Ν είνι ίσος µε τον ριθµό των µορίων το γρού, πο έχον ενέργει κτά Ν τολάχιστον, µεγλύτερη της κι είνι ίσος (τύπος 46) µε: U U Ν = Ce Κ ( όπο U = U + Ν ) Έτσι το ποσοστό των µορίων ενός γρού, θερµοκρσίς, πο έχον ενέργει κτά µεγλύτερη της U κι πο πάνε στη έρι κτάστση θ είνι: N ( ) ( U U ) Ν Κ NΚ = e = e = e Ν U U N RT Ν [Επειδή R Κ = κι U, U ενέργειες γι κάθε µόριο η Ν γι κάθε γρµµοµόριο]. εκφράζει την ενέργει πο πιτείτι
4 110 Σηµειώνετι ότι όλ τ µόρι, πο έχον µεγλύτερη ενέργει π τή θ εξτµιστούν κι τά κι περιλµάνοντι στον ριθµό Ν Ν, σύµφων µε την έννοι της εξίσωσης 46. Έτσι, ο ριθµός Ν είνι το διγρµµισµένο τµήµ της κµπύλης το σχ. 51. Ο πρπάνω τύπος σχηµτίζετι στον : Ν ln Ν = Επειδή η διστολή το γρού µε τη θερµοκρσί είνι σήµντη σε σχέση µε την διστολή το ερίο, µπορεί ν πρλειφθεί κι ο ριθµός Ν ν θεωρηθεί νεξάρτητος της θερµοκρσίς. Με διφό- ριση το τύπο πέρνοµε: d( lnν ln Ν) = d κι dlnν = d κι σχέσης Αφού το dlnν d = Ν µπορεί ν εκφράζει ριθµό µορίων ή γρµµοµορίων στο ml ή στο lt (εξιτίς της Ν Ν ), είνι ίσο µε Β Ν =, όπο B άρος τος, M: µορικό άρος το γρού κι V: ο ό- ΜV γκος των τµών. Πρά τη µικρή προσέγγιση, πο ισχύει η εξίσωση 4 εδώ, µπορούµε ν την εφρµόσοµε κι πίρνοµε: τιµή Β Ρ = κι επόµεν: Ν VΜ ln Ν στον πρπάνω τύπο, πίρνοµε: dlnρ d dlnρ + = dln d Ρ = ή ln Ν = ln Ρ ln. Αν ντικτστθεί η = κι φού : dln R = = d κι, ν δεχτούµε: + = κι ολοκληρώσοµε (µε την προϋπόθη νεξάρτητο της θερµοκρσίς), πίρνοµε: ολ ln Ρ= + C (74) Ν όπο : η λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης γι κάθε γρµµοµόριο, δηλ. το ολικό ποσό ενέργεις, πο χρειάζετι γι την εξάτµιση ενός γρµµοµορίο γρού. (Γι λέπε κι τύπο 84). 3. Θερµοδνµική της εξάτµισης ) Εσωτερική κι εξωτερική λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης. Ενθλπί, εντροπί, ελεύθερη ενέργει κι ελεύθερη ενθλπί εξάτµισης. Όπως ειπώθηκε, γι την εξάτµιση ενός γρµµοµορίο ενός γρού χρειάζετι η πορρόφηση πό το γρό ποσού θερµότητς Q, πο λέγετι: «λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης». Γι τη θερµότητ τή ισχύει, έι ο πρώτος θερµοδνµικός νόµος: U= Q+ Α, U, Q> 0, Α< 0, γιτί πορρο-
5 111 φάτι ποσό θερµότητς έργο A. Έτσι: Q (είνι θετικό), η ωτερική ενέργει µεγλώνει (θετική) κι πράγετι Εξάτµιση Υγροποίηση Uεξτ. = Ρ V Uγρ. = + ΡDV (75) Ειπώθηκε, ότι. ΡV Ρ V Ρ ( V V ) + = = = = κι U= + Ρ V Ρ V :. = + = +. εξ ( ) U = = U U Ν εξτ. (75) ηλ. η λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης ποτελεί το άθροισµ το ποσού θερµότητς, πο χρειάζετι ν πορροφηθεί πό έν γρµµοµόριο γρού, γι ν νθµιστεί η ωτερική ενέργειά το στην ωτερική ενέργει ενός γρµµοµορίο ερίο της ίδις θερµοκρσίς κι το ποσού θερµότητς, πο χρειάζετι ν πορροφηθεί κτά την εξάτµιση πό έν γρµµοµόριο γρού, γι ν πρχθεί το έργο διστολής το όγκο το γρµµοµορίο το γρού στον όγκο των τµών της ίδις θερµοκρσίς. ο πρώτο ποσό θερµότητς λέγετι «ωτερική λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης» κι είνι ίσο = U U Ν, ενώ το δεύτερο ποσό λέγετι «εξωτερική λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης», µε ( ) κι είνι ίσο µε = Ρ V. εξ Έτσι κτά την εξάτµιση ενός γρµµοµορίο νερού στος 100 C κι γι στθερή πίη 1atm - πορροφούντι = 9714 cal. ο έργο πο πράγετι κτά την εξάτµιση τή είνι ( ) Α= Ρ V V.Ο V = 30,11 lt κι ο V = 1, lt κι Α = 30,094 lt atm = = 78, 4 cal κι U= Ρ V= 8985, 6 cal. ηλ. π το όλο ποσό θερµότητς, πο πορροφάτι γι την εξάτµιση ενός γρµµοµορίο νερού τ 9,5% χρειάζοντι γι την ύξηση της ωτερικής το ενέργεις κι τ 7,5% µόνο γι την πργωγή το εξωτερικού έργο. Αν η εξάτµιση γίνει ντιστρεπτά κι µε στθερή πίη, τότε η λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης ττίζετι µε τη µετολή της ενθλπίς κι γι τό η λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης λέγετι: «ενθλπί εξάτµισης»: ντιστρ.,ρ. ο Η = + (76) Έτσι η µετολή της εντροπίς κτά την εξάτµιση είνι: Εξάτµιση: Υγροποίηση: S S εξ. γρ. Η = = Η = = (77) Η µετολή της ελεύθερης ενέργεις κτά την εξάτµιση είνι :
6 11 ( ) ( ) F= U S F= Ρ V : (τύπος 9). Αλλά: U = Ρ V (τύπος 75) κι: S = (τύπος 77) κι Fεξ. = Ρ V (78) Η µετολή της ελεύθερης ενθλπίς θ είνι: G = ( Η) ( S) S= κι: G= 0 Ρ,, λλά Η = κι, πο δείχνει την ισορροπί, πο πργµτικά πάρχει (τύπος 39) κτά την εξάτµιση, µετά την ντικτάστση της τάσης των τµών: Gεξ. = 0 (79) ) Γρµµοµορικές θερµότητες γρών Ενώ τ έρι κι τ γρά µοιάζον µετξύ τος ως προς τις ιδιότητες τος κι διφέρον κι τ δύο ως προς τη σµπεριφορά τος σε σχέση µε τ στερεά, ως προς τις µορικές θερµότητες τ γρά διφέρον σηµντικά π τ έρι κι πλησιάζον τις ιδιότητες των στερεών. Έτσι, η σχέση (15) δεν ισχύει γι τ γρά κι τ στερεά, επειδή έχον µικρή διστολή κι σµπιτότητ. Γι τό οι είνι µόνο κτά 3% ως το πολύ 10% µεγλύτερες πό τις C v. Εκτός π τό οι τιµές των µορικών θερµοτήτων εξρτώντι ιδιίτερ π τις µοιίες έλξεις των σσττικών µις οσίς κι ενώ τές είνι µικρές στ έρι, είνι έντονες γι τ γρά κι κόµη εντονότερες γι τ στερεά. Ατό φίνετι π το ότι η µορική θερµότητ ενός ερίο είνι το γινό- µενο το ριθµού των θµών ελεθερίς κι το R. Ατό µε την προϋπόθη, όπως σµίνει στ έρι, ότι όλη η ενέργει των µορίων είνι κινητικής φύσης * κι οι κινήσεις κάθε µορίο νεξάρτητες µετξύ τος. σσττικά των γρών κι των στερεών, εξιτίς των έντονων µοιίων έλξεων, έχον κι δνµική ενέργει. Έτσι κάθε θµός ελεθερίς κίνησής τος χρειάζετι διπλάσιο ποσό ενέργεις κι η C v των γρών κι των στερεών σε περιοχές σνηθισµένης θερµοκρσίς είνι περίπο διπλάσι: C =.R, γι τον ίδιο ριθµό θµών ελεθερίς, πό των ερίων. v ολ Ο θεωρητικός πολογισµός της C p κι η εξάρτησή της π τη θερµοκρσί γι τ γρά προκύπτει π τον ντίστοιχο γι τ στερεά κι νπτύσσετι µετά την εισγωγή νέων εννοιών κι την νάπτξη νέων πρίτητων θεωριών. Σχετικά µε τη διφορά µετξύ C κι C, ισχύον οι κόλοθοι δύο τύποι: ή C v CΡ Cv = V Ρ Ρ v ν C C = V Ρ v (80) * Εκτός πό τος θµούς δόνησης (τύπος 60)
7 113 όπο κι : σντελτής θερµικής διστολής γι πίη κι θερµικός σντελτής ύξησης της πίης γι στθερό όγκο ντίστοιχ, V, Ρ, : όγκος, πίη, θερµοκρσί ντίστοιχ. Η προσιζό- µενη δσκολί, γι την εφρµογή τού το τύπο, είνι ότι οι τιµές των σντελτών κι δεν είνι πάντοτε γνωστές στις διάφορες θερµοκρσίες. γ) Η εξίσωση Clausius-Clapeyron. Υπολογισµός της τάσης των τµών, της λνθάνοσς θερµότητς εξάτµισης, της νύψωσης το σηµείο ρσµού µε νύψωση της πίης, της εξάρτησης της π τη θερµοκρσί. Η εξίσωση (74) προκύπτει κι θερµοδνµικά µε εφρµογή το δεύτερο θερµοδνµικού νόµο στο φινόµενο της εξάτµισης. Ατό έγινε πό τος Clausius - Clapeyon (1850) κι γι τό η εξίσωση (74) ονοµάζετι «εξίσωση Clausius - Clapeyron. Γι τη θερµοδνµική εξγωγή της εξίσωσης κολοθείτι ο κύκλος το σχ. 49. Έν γρµµοµόριο γρού εξτµίζετι ισοθερµοκρσικά κι ντιστρεπτά σε θερµοκρσί T κι κάτω πό την ντίστοιχη τάση τµών το P. Κτά τη µετολή τή (Σχ. 49, ΑΒ), το γρµµοµόριο πορροφά τη θερµότητ κι πράγει έργο Ε Ρ V Ρ( V V ) = =. ΑΒ Στη σνέχει (µετολή ΒΓ ) ψύχετι το έριο γρµµοµόριο σε θερµοκρσί d, µε σνέπει ν ελττωθεί η πίή το στην τιµή Ρ dρ. ( Γ ) Στη θερµοκρσί d κι την πίη Ρ dρ το έριο γροποιείτι θερµότητς d κι πορρόφηση έργο Α= ( Ρ dρ)( V V ). d µε πργωγή της Σχ. 49. ιάγρµµ θερµοδνµικής εξγωγής της εξίσωσης Clausius-Clapeyron. Με θέρµνση κτά d το γρό γρίζει στην ρχική το κτάστση πό το δρόµο Α. ποσά της θερµότητς κι τ έργ πο ντλλάσσοντι κτά τις µετολές ΒΓ κι Α είνι σήµντ, έτσι πο ο κύκλος ΑΒΓ Α είνι µε µεγάλη προσέγγιση ισοδύνµος µε τον ΑΒΓ Α. ο έργο πο πράγετι σνολικά πό τον κύκλο είνι: ( ) ( ) ( ) ( ) Α = Ρ V V + Ρ dρ V V = dρ V V ολ κι η θερµική πόδοσή το θ είνι ( τύπος 7):
8 114 Α 1 = ή Q ( ) dρ V V d = Αν ντικτστήσοµε το V V µε το V, εξιτίς το µικρού όγκο το γρού ως προς τον όγκο ίδις ποσότητς ερίο, κι το V Με ολοκλήρωση πίρνοµε:, κτά προσέγγιση µε το Ρ, πίρνοµε: dρ = Ρ d ή dlnρ= d. ln Ρ = d 0 C ή ln Ρ = + C ή lοgρ = +,3,3 γι στθερό µετξύ Ο κι ή Ρ = e r e C= 10,8( τύπος 93δ) (81 74) Με τη µορφή τή η εξίσωση 81, πο προέκψε θερµοδνµικά, ττίζετι µε τη εξίσωση 74, πο προέκψε κινητικά κι επιειώνει την ισχύ της τελετίς. Η εξίσωση Clausius - Clapeyron έχει µεγάλη σηµσί, γιτί µε τη οήθειά της µπορούµε ν πολογίσοµε την τάση τµών οποιοδήποτε γρού σε οποιδήποτε θερµοκρσί, ν γνωρίζοµε την εξάρτηση της Η π τη θερµοκρσί (τύπος 3) ή ν τή είνι στθερή στην περιοχή θερµοκρσιών πο εξετάζοµε µι τιµή της τάσης των τµών σε ορισµένη θερµοκρσί. Η γρφική πράστση της εξίσωσης 81 γι = const σν σνάρτηση της θερµοκρσίς φίνετι στο σχήµ 50. Η κλίση της εθείς είνι 4,57, ενώ το C,3, ποτέµνοσ στον άξον των log Ρ, είνι άγνωστο κι έτσι δεν µπορεί ν εντοπιστεί η εθεί στο επίπεδο πρά µόνο ότν είνι γνωστή η, δηλ. η τιµή της τάσης των τµών γι µι θερµοκρσί. Ρ γι θερµοκρσί Σχ. 50. Γρφική πράστση της ολοκληρωµένης µορφής εξίσωσης Clausius - Clapeyron γι = const.
9 115 Εκτός π τό, ν γνωρίζοµε ζεύγη τιµών Ρ, είνι δντό ν πολογίσοµε τη λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης ( ) το γρού ως κλίση της εθείς: = 4,57 κλίση (81) όπο : 4,57 =,3 R =,3 1,987. Ακόµη µε τη µορφή: = Ρ φίνετι ότι, ν µεγλώσει η εξωτερική πίη ( Ρ> 0), µε- Ρ γλώνει το. Μπορεί έτσι ν πολογιστεί η νύψωση το σηµείο ρσµού ενός γρού ότν µεγλώσει η πίη πο σκείτι πάνω το (Φσικ. II,3), ότν είνι γνωστό το σηµείο ρσµού το σε κάποι πίη Ρ κι η είνι στθερή. Μπορεί κόµη ν ρεθεί κι η ελάττωση το σηµείο ρσµού σε χµηλές πιέσεις. Απ την ίδι εξίσωση φίνετι η εξάρτηση της π την θερµοκρσί: Ρ 1 = Ρ, δηλ. ν µεγλώσει η θερµοκρσί, η λνθάνοσ θερµότητ εξάτµισης µικρίνει. Ατό σµίνει, γιτί, όσο ψηλότερη η θερµοκρσί το γρού, τόσο η διφορά U U = (τύπος 75), είνι µικρότερη γι την ίδι θερµοκρσί τµών, φού µε την ύξηση της θερµοκρσίς κτά µεγλώνει κτά U ενώ η U µεγλώνει κτά, η U C κι η διφορά µηδενίζετι στην κρίσι- µη θερµοκρσί (Σχ. 51). Η = + R κι όπως είδµε το µικρίνει µε ύξηση της θερµοκρσίς, το R όµως µεγλώνει. Ειπώθηκε όµως µε την εκιρί το τύπο 75 ότι το R 0,1 κι η ύξησή το δεν µπορεί ν επηρεάσει την ελάττωση το, πο είνι ίσο µε το 0,9. P T T (81) Σχ. 51. Πορεί της ωτερικής ενέργεις γρού κι ερίο σε σνάρτηση της θερµοκρσίς.
10 116 δ) Ο κνόνς το Trouton Αν στην εξίσωση (81) άλοµε Ρ = 1 lnρ = 0 = RC, όπο : κνονικό σηµείο ρ- σµού (γι 1 atm). Ο routon (1884) προσδιόρισε την τιµή RC γι πολλά γρά κι ρήκε ότι, µε ορισµένες εξιρέσεις, η τιµή το γινοµένο τού είνι η ίδι κι ίση µε 1 1,5 cal.gd : Κνονικά γρά: Σµπύκνωση: (Σύζεξη) ιάσπση: Η = = S = 1,5 cal.gd T T 1,5 T > 1,5 T < Γι P = 1 1 (81γ) ηλ. σχετικά µε την ενθλπί ρσµού, νηγµένη στο κνονικό πόλτο σηµείο ρσµού όλ τ γρά ρίσκοντι σε ντίστοιχες κτστάσεις. Στον πίνκ 14 φίνετι η ισχύς κι οι εξιρέσεις το κνόν. ΠΙΝΑΚΑΣ 14 Ισχύς το κνόν το Trouton Οσί Η Η RC Ήλιο,4 4 5,6 Υδρογόνο , Άζωτο , Οξγόνο ,9 Υδροχλώριο ,3 ιοξείδιο το άνθρκ ,1 Υδρόθειο Αµµωνί ,3 Ασετόνη ,1 Αιθλική λκοόλη ,5 Βενζόλιο ,8 Νερό Υδράργρος ,6 Ψεδάργρος , Απ τον πίνκ φίνετι ότι, όπως πόδειξε γενικά ο Nernst (1916), ο κνόνς το Trouton δεν ισχύει γι γρά µε πολύ ψηλό κι πολύ χµηλό σηµείο ρσµού. εν ισχύει κι γι γρά πο τ µόριά
11 117 τος είνι σµπκνωµέν (πολµερισµέν), ποτελούντι δηλ. πό περισσότερ πό έν πλό µόριο, όπως στην περίπτωση το νερού ( ) ( CΗ5ΟΗ) Η Ο Η Ο + ΟΗ (πρκάτω) κι της ιθλικής λκοόλης 3 +, δηλ. ισχύει γι κνονικά γρά (πο δεν σµπκνώνοντι ούτε δισπώντι). Με τη οήθει το κνόν τού κι της τιµής RC= 1, 5, µπορούµε ν πολογίσοµε την τιµή της στθερής ολοκλήρωσης το τύπο (81): 1,5 1 C= = 10,8gd (81δ) R Επειδή ο κνόνς το Trouton δεν έχει πόλτη ισχύ έγινν προσπάθειες [Hildebrand ( ), Nernst: 9,5 log 0,007 = +, Bingham: = ,011 ] ν ελτιωθεί ο τύπος, χωρίς ιδιίτερ φνερό ποτέλµ.
που έχει αρχή την αρχική θέση του κινητού και τέλος την τελική θέση.
. Εθύγρµµη κίνηση - - ο ΓΕΛ Πετρούπολης. Χρονική στιγμή t κι χρονική διάρκει Δt Χρονική στιγμή t είνι η μέτρηση το χρόνο κι δείχνει πότε σμβίνει έν γεγονός. Χρονική διάρκει Δt είνι η διφορά δύο χρονικών
Διαβάστε περισσότερα36 g. 0.5 atm. P (bar) S ds. = dst. o C) θ ( = dp= P P. P γ. ( g) T T. γ γ. δ δ. Sγ δ. β β β. δ β P T. S α β = =247.
Τµήµ Χηµείς Μάθηµ: Φσικοχηµεί Ι Εξετάσεις: Περίοος Ιονίο 009-0 (8.6.00) Θέµ. 36 g Η Ο θερµοκρσίς 90 C κι πίεσης atm (ρά κτάστση, ) φέρετι σε θερµοκρσί 90 C κι πίεση 0.5 atm (έρι κτάστση, β). Ν πολοισθεί
Διαβάστε περισσότεραΕυθύγραμμες Κινήσεις (Συμπυκνωμένα)
Εθύγρμμες Κινήσεις (Σμπκνωμέν) Χρήση Λελεδάκης Κωστής ( koleygr@gmailcom ) Οι σημειώσεις πεθύνοντι σε κάποιον πο θέλει ν μάθει ή ν θμηθεί τ βσικά στοιχεί των εθύγρμμων κινήσεων (χωρίς πργώγος κι ολοκληρώμτ)
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις Θερµοδυναµικής. Καταστατικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυναµικός Νόµος
Φυσικοχηµεί Ι / Β. Χβρεδάκη Ασκήσεις Θερµοδυνµικής Κτσττικές Εξισώσεις Πρώτος Θερµοδυνµικός Νόµος. Ν ποδειχθεί ότι σε ιδνικό έριο: / κι κ Τ /Ρ όπου ο συντελεστής διστολής κι κ ο ισόθερµος συντελεστής συµπιεστότητς..
Διαβάστε περισσότεραΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE. Αποτελείται από
ΘΕΡΜΟΔΥΝΑΜΙΚΟΣ ΚΥΚΛΟΣ RANKINE Αποτελείτι πό Κυστήρ: Μεττροπή νερού σε υπέρθερμο τμό Ατμοστρόιλο: Μεττρέπει την θερμική ενέργει του τμού σε περιστροφική κίνηση Συμπυκνωτής: Μεττρέπει το μίγμ τμού νερού
Διαβάστε περισσότεραV v= (1) n. i V. = n. (2) i (3) (4) (5) (7) (8) (9) = (6)
Μερικός γρµµοµορικός όγκος Ο όγκος είνι µι κύρι εκττική ιδιότητ θερµοδυνµικών συστηµάτων. Γρµµοµορικός όγκος δηλ. ο όγκος νά γρµµοµόριο είνι η ενττική ιδιότητ συστήµτος ενός συσττικού η οποί ορίζετι πό
Διαβάστε περισσότεραΚεφάλαιο 11 Διαγράμματα Φάσεων
Κεφάλιο 11 Διγράμμτ Φάσεων Συχνά, σε πολλές διεργσίες, νμιγνύουμε δύο ή κι περισσότερ διφορετικά υλικά, κι πρέπει ν πντήσουμε στο ερώτημ: ποιά θ είνι η φύση του υλικού που θ προκύψει πό υτή την νάμιξη:
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 00 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ ο Στις ερωτήσεις -4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ σε κάθε ριθµό το γράµµ που ντιστοιχεί
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ Α. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΦΥΣΙΚΗ A ΛΥΚΕΙΟΥ. ΕΠΝΛΗΠΤΙΚ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ ΣΚΗΣΗ Ο πρκάτω πίνκς περιέχει τ πρόσηµ των λγεβρικών τιµών της τχύτητς κι της επιτάχνσης. Σµπληρώστε τον πρκάτω πίνκ. >, > >, <
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Δίνετι η εκθετική συνάρτηση: f a Γι ποιες τιμές του η ) γνησίως ύξουσ; β) γνησίως φθίνουσ; ( ) είνι:. Δίνοντι οι
Διαβάστε περισσότεραΘέρµανση Ψύξη ΚλιµατισµόςΙΙ
Θέρµνση Ψύξη ΚλιµτισµόςΙΙ Ψυχροµετρί Εργστήριο Αιολικής Ενέργεις Τ.Ε.Ι. Κρήτης ηµήτρης Αλ. Κτσπρκάκης Ξηρόςκιυγρός τµοσφιρικόςέρς Ξηρόςκιυγρόςτµοσφιρικός έρς Ξηρός τµοσφιρικός έρς: ο πλλγµένος πό τους
Διαβάστε περισσότεραΕΚΘΕΤΙΚΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ f (x)=α x,α>0 και α 1 λέγεται εκθετική συνάρτηση
ΔΥΝΑΜΕΙΣ ΜΕ ΕΚΘΕΤΗ ΡΗΤΟ - ΑΡΡΗΤΟ Αν >0, μ κέριος κι ν θετικός κέριος, τότε ορίζουμε: Επιπλέον, ν μ,ν θετικοί κέριοι, ορίζουμε: 0 =0. Πρδείγμτ: 4 4,, 5 5, 4 0 =0. Γενικότερ μπορούμε ν ορίσουμε δυνάμεις
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΑΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΜΕ ΑΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ 1
Υλικό Φσικής-Χηµείς ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΠΛΗΣ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΚΙ ΣΩΣΤΟΥ ΛΘΟΥΣ ΜΕ ΙΤΙΟΛΟΓΗΣΗ ) Στην κάτω άκρη ενός ιδνικού τήριο είνι δεµένο έν σώµ πο έχει µάζ m m κι ισορροπεί. Στην κάτω άκρη ενός άλλο οµοίο τήριο είνι
Διαβάστε περισσότεραΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ. Άσκηση 1.
ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝ Άσκηση 1. Δύο μηχνικά κύμτ ίδις συχνότητς διδίδοντι σε ελστική χορδή. Αν λ 1 κι λ 2 τ μήκη κύμτος υτών των κυμάτων ισχύει: ) λ 1 λ 2 γ) λ 1 =λ 2 Δικιολογήστε την πάντησή
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.
Θεωρί - Αποδείξεις Θεωρί Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν το θροίσμτος των μιδικών κι δ είνι το άθροισμ των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραQ T Q T. pdv. παραγόµενο έργο κατά την εκτόνωση αερίου: Μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας αέρα χωρίς µεταβολή όγκου και παραγωγή έργου.
Ο 1 ος ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΘΕΡΜΟ ΥΝΑΜΙΚΗΣ ΣΤΗΝ ΑΤΜΟΣΦΑΙΡΑ-1 σχετίζει τη µετβολή της θερµοκρσίς ενός ερίου µετηµετφορά ενέργεις µετξύ του ερίου κι του περιβάλλοντός του κι το πργόµενο/ποδιδόµενο έργο Q U W Q * *
Διαβάστε περισσότεραΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ
ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΠΟΛΥΜΕΡΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ ΙΑΓΡAΜΜΑΤΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ ΦΑΣΕΩΝ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΣΤΗΜΑ είνι κάθε ντικείµενο (ή γενικότερ το τµήµ του σύµπντος) που υπόκειτι σε µελέτη. ΣΥΣΤΑΤΙΚΑ ενός συστήµτος υλικών είνι
Διαβάστε περισσότερα1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ÑÏÌÂÏÓ
ΘΕΜ 1ο ΘΕΜΤ ΦΥΣΙΚΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ- ΤΕΧΝΟΛΟΙΚΗΣ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ - 000 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση. 1. Ένς νεµιστήρς
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ B ΛΥΚΕΙΟΥ
Φυσική Κτεύθυνσης Β Λυκείου ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέµ ο κ ΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Α. (Βάλτε σε κύκλο το γράµµ µε τη σωστή πάντηση) Αν υξήσουµε την πόστση µετξύ δύο ετερόσηµων σηµεικών ηλεκτρικών φορτίων,. η δυνµική
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ - ΣΕΙΡΕΣ Το ορισμένο ολοκλήρωμ ή ολοκλήρωμ Riema μις πργμτικής συνάρτησης f με διάστημ ολοκλήρωσης το πεπερσμένο διάστημ [, ], υπάρχει ότν: η f είνι συνεχής στο διάστημ υτό, κθώς
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότεραΘεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές
Θεωρήμτ, Προτάσεις, Εφρμογές Μιγδικοί Ιδιότητες συζυγών: Αν z i κι z γ δi είνι δυο μιγδικοί ριθμοί, τότε: Μέτρο: z z z z z z z z 3 z z z z 4 z z z z Αν z, z είνι μιγδικοί ριθμοί, τότε z z z z z z z z 3
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )
Διαβάστε περισσότερα3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΘΕΩΡΙΑ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΜΕΣ ΘΕΩΡΙ ΘΕΜΤ ΘΕΩΡΙΣ Ποι είνι η εξίσωση του κύκλου με κέντρο το (0,0); ρ (0,0) M(,) C Έστω έν σύστημ συντετγμένων στο επίπεδο κι C ο κύκλος με κέντρο το σημείο (0,0) κι κτίν ρ. Γνωρίζουμε πό
Διαβάστε περισσότεραΣχήµα 1. ιατάξεις πρισµάτων που προσοµοιώνουν τη λειτουργία των φακών. (α) Συγκλίνων. (β) Αποκλίνων
Ο3 Γενικά περί φκών. Γενικά Φκός ονοµάζετι κάθε οµογενές, ισότροπο κι διφνές οπτικό µέσο που διµορφώνετι πό δυο σφιρικές επιφάνειες (ή πό µι σφιρική κι µι επίπεδη). Βσική () () Σχήµ. ιτάξεις πρισµάτων
Διαβάστε περισσότεραΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Σττιστική είνι ο κλάδος των µθηµτικών που συγκεντρώνει στοιχεί τ τξινοµεί κι τ προυσιάζει σε κτάλληλη µορφή ώστε ν µπορούν ν νλυθούν κι ν ερµηνευτούν. Πληθυσµός είνι το σύνολο των
Διαβάστε περισσότεραΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ ο Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις - 4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.. Η ρχή της επλληλίς
Διαβάστε περισσότεραΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ
ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΡΙΤΗ 0 ΜΑΪΟΥ 000 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΧΗΜΕΙΑ ΘΕΜΑ 1 ο Στις ερωτήσεις 1.1 έως 1., ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2000-2008 1. ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -8 ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΘΕΜΑ Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτομένης της γρφικής πράστσης της f στο σημείο Α(,f( ))
Διαβάστε περισσότεραΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους
Λύσεις Θέμ Α Α. Σχοικό ιίο σείδ. Α. Σχοικό ιίο σείδ 9. Α. ) () κάτω, () το σημείο επφής τους ) () Α4. ) Σωστό ) Λάθος γ) Λάθος Θέμ Β ν ( ν κ= f(ξ κ )Δ ), f()d Β. Επειδή τ σημεί Α(,), Β(,) νήκουν στη γρφική
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότερα114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x
Ν εξετάσετε ν είνι ίσες οι συνρτήσεις f() N ποδείξετε ότι f g, ότν γι κάθε Η συνάρτηση f : f,. 4 σκήσεις έν ερώτημ - σε όλη την ύλη ln κι g ln ln ισχύει η σχέση: είνι περιττή κι ισχύει ότι 4 Ν οριστεί
Διαβάστε περισσότεραΑ2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Βθμός: /25 Τεστ Μθημτικών Εξετζόμενος-η: Προσντολισμού, Γ Λυκείου Θεωρί 1 Κθηγητής: Ιορδάνης Χτζηνικολάου Συνρτήσεις Θέμ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων f κι f 1 είνι συμμετρικές
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Σύνολο τιμών της f λέμε το σύνολο που έχει για στοιχεία του τις τιμές της f σε όλα τα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ Β Γενικό μέρος των συνρτήσεων Τι λέμε σύνολο τιμών μις συνάρτησης με πεδίο ορισμού το σύνολο A ; Σύνολο τιμών της λέμε το σύνολο που έχει γι στοιχεί του τις τιμές
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότεραjust ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον
just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ ( ) = +. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x ( ) ( ) ΙΑΜΑΝΤΟΠΟΥΛΟΣ ΘΥΜΙΟΣ 1
ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΥΟ ΣΗΜΕΙΩΝ Υπενθυµίζουµε ότι ν στ σηµεί Α, Β ενός άξον ντιστοιχίζοντι οι πργµτικοί ριθµοί, ντίστοιχ τότε: ( ΑΒ) = Β Α Α Β Σχετικά µε την πόστση δύο σηµείων στο κρτεσινό
Διαβάστε περισσότερα1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ
Γι μθητές Β & Γ Λυκείου ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΧΩΡΙΣ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΤΗΣ ΠΑΡΑΓΩΓΟΥ Πολλές συνρτήσεις μπορούν ν πρστθούν γρφικά, χωρίς τη
Διαβάστε περισσότεραΟδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 15/0/015 ΘΕΜ 1 ο Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτήσεις 1-4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.
Διαβάστε περισσότεραΕ Α Ε Β. Από τα σχήματα βλέπουμε ότι ισχύει :
ΡΧΗ ΗΣ ΣΕΛΙΔΣ ΤΞΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΠΝΤΗΣΕΙΣ ΚΥΡΙΚΗ 4/5/4 - ΕΞΕΤΖΟΜΕΝΟ ΜΘΗΜ: ΦΥΣΙΚΗ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΝΝΙ (9) ΘΕΜ. γ,.,. β, 4. β 5. ) Λ, β) Λ, γ) Σ, δ) Λ, ε) Σ ΘΕΜ. i) Σωστ πάντηση είνι η γ. Γι τις τχύτητες
Διαβάστε περισσότερα3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A
3ο Επνληπτικό διγώνισμ στ Μθημτικά κτεύθυνσης της Γ Λυκείου 17-18 Θέμ A Α1 Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ β ν ποδείξετε ότι: f t dt G β G Α Πότε μι συνάρτηση λέγετι 1-1; Α3 Πότε μι συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέμ o B Λυκείου. Έν δοχείο με διβτικά τοιχώμτ περιέχει μονοτομικό ιδνικό έριο με σχετική μορική μάζ M r κι ενώ κινείτι
Διαβάστε περισσότερα1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.
995 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικοί ριθµοί κ, λ µε κ < λ κι η συνάρτηση f() ( κ) 5 ( λ) µε. Ν ποδείξετε ότι: ) f () f() 5 κ, γι κάθε κ κι λ. λ ) Η συνάρτηση g() ln f() στρέφει τ κοίλ προς τ κάτω στο διάστηµ
Διαβάστε περισσότεραΚαρτεσιανές Συντεταγµένες
Γρφική Πράστση Συνάρτησης Κρτεσινές Συντετγµένες Κρτεσινό σύστηµ συντετγµένων ή ορθογώνιο σύστηµ ξόνων O είνι έν σύστηµ δύο κθέτων ξόνων O κι O ( 0 0) µε κοινή ρχή το σηµείο O,. O Ορθοκνονικό σύστηµ ξόνων
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑ o ΘΕΜΑΤΑ Θεωρούµε τη συνάρτηση ( ) = ( + ) ( + ) µε κι. I. Ν ποδείξετε ότι η γρφική πράστση της δεν έχει σηµεί που ν ρίσκοντι πάνω πό τον άξον. II. Ν ποδείξετε ότι
Διαβάστε περισσότεραη οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.
Εκθετική συνάρτηση Αν θετικός πργμτικός ριθμός, σε κάθε ντιστοιχεί η δύνμη. Έτσι ορίζετι η συνάρτηση : f : με f, 0 η οποί ονομάζετι εκθετική συνάρτηση με βάση. Αν, τότε έχουμε τη στθερή συνάρτηση f. Ας
Διαβάστε περισσότερα, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α
YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΜαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας
Μθηµτικά Κτεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµτ Θεωρίς ΑΠΟΔΕΙΞΕΙΣ. N ποδείξετε ότι οι γρφικές πρστάσεις C κι C των συνρτήσεων κι - είνι συµµετρικές ως προς την ευθεί y που διχοτοµεί τις γωνίες Oy κι Oy Aς πάρουµε µι
Διαβάστε περισσότερα( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΑ Διγώνισμ Θέμ Α Α Ν ποδειχθεί ότι η συνάρτηση f = ln,, είνι πργωγίσιμη στο κι ισχύει f = Μονάδες 7 Α Πότε μί συνάρτηση f λέμε ότι είνι πργωγίσιμη σε έν σημείο του πεδίου ορισμού της; Α Πότε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΤΑΞΗ: ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Γ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότεραΜαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.
Ορισμός συντελεστή διεύθυνσης ευθείς Έστω συνάρτηση κι M, έν σημείο της γρφικής της πράστσης. υπάρχει το κι είνι πργμτικός ριθμός λ, τότε ορίζουμε ως εφπτομένη της στο σημείο M, την ευθεί (ε) που διέρχετι
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: 3 η ΤΑΞΗ ΕΠΑ.Λ. (Β ΟΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ II Ηµεροµηνί: Μ. Τετάρτη Απριλίου ΘΕΜΑ Α ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο, σελίδ 7 την πόδειξη του Θεωρήµτος. Α. Βλέπε Σχολικό Βιβλίο,
Διαβάστε περισσότεραΤα προτεινόμενα θέματα είναι από τις γενικές ασκήσεις προβλήματα του Ι. Δ. Σταματόπουλου αποκλειστικά για το site (δεν κυκλοφορούν στο εμπόριο)
Τ προτεινόμεν θέμτ είνι πό τις γενικές σκσεις προβλμτ το Ι. Δ. Στμτόπολο ποκλειστικά γι το site (δεν κκλοφορούν στο εμπόριο) Θέμ 6 ο Ομογενς σφίρ μάζς m κι κτίνς R, ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότεραPhysics by Chris Simopoulos
ΕΠΙΤΑΧΥΝΟΜΕΝΗ ΚΙΝΗΣΗ Α) Προβλήμτ ευθύγρμμης ομλά επιτχυνόμενης κίνησης. ) Απλής εφρμογής τύπων Ακολουθούμε τ εξής βήμτ: i) Συμβολίζουμε τ δεδομέν κι ζητούμεν με τ ντίστοιχ σύμβολ που θ χρησιμοποιούμε.
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο
996 ΘΕΜΑΤΑ. ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο. Αν οι f κι g έχουν συνεχείς πρώτες πργώγους κι συνδέοντι µετξύ τους µε τις σχέσεις f = g, g = - f τότε ν ποδείξετε ότι:
Διαβάστε περισσότεραE f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.
ΘΕΜΑ Α Α i Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 ii Σχολικό βιβλίο σελίδ 6 Α Σχολικό βιβλίο σελίδ 85 Α3 Ισχύει ότι 7 3 7 ()d ()d ()d () 3 Στο,3 είνι () οπότε το εμβδό του χωρίου Ω που ορίζετι πό την κι τις ευθείες, 3
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
Διαβάστε περισσότεραΠέµπτη, 25 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ
ΕΘΝΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 006 Πέµπτη, 5 Μΐου 006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΜΑ 1 Στις ερωτήσεις 1-4 ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθµό της ερώτησης κι δίπλ το γράµµ, που ντιστοιχεί στη σωστή πάντηση.
Διαβάστε περισσότεραΥΓΡΑ ΓΕΝΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ. α) Ανηγµένη καταστατική εξίσωση van der Waals. Θεώρηµα αντίστοιχων καταστάσεων
101 ΥΓΡΑ ΓΕΝΙΚΟΙ ΝΟΜΟΙ Γενικότητες Παρά την ισχύ της αρχής της συνέχειας της αέριας και υγρής κατάστασης και της οµοιότητας συ- µπεριφοράς των υγρών και των αερίων, η ύπαρξη εντονοτέρων δυνάµεων van der
Διαβάστε περισσότεραVI. ΕΝΙΑΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΡΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ
VI ΕΝΙΑΙΑ ΚΑΘΑΡΑ ΑΣΦΑΛΙΣΤΡΑ ΡΑΝΤΩΝ ΖΩΗΣ Α ΕΙ Η ΡΑΝΤΩΝ ΚΑΙ ΣΥΝΑΦΕΙΣ ΤΜ Οι ράντες ζωής ιφέρον πό τις "βέβιες" ράντες (πο εξετάζοντι στ οιονοµιά µθηµτιά ιότι οι τβολές µις ράντς ζωής εξρτώντι πό την επιβίωση
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Η ΕΛΛΕΙΨΗ ΟΡΙΣΜΟΣ: Έστω Ε κι Ε δύο σημεί του επιπέδου. Έλλειψη με εστίες τ σημεί Ε κι Ε λέγετι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΑνάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων
Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων Κεφάλιο 5: Θεωρήμτ κυκλωμάτων Οι διφάνειες κολουθούν το ιλίο του Κων/νου Ππδόπουλου «Ανάλυση Ηλεκτρικών Κυκλωμάτων» ISN: 9789609371100 κωδ. ΕΥΔΟΞΟΣ: 50657177 5 Θεωρήμτ κυκλωμάτων
Διαβάστε περισσότεραΠαρουσίαση 1 ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ
Προυσίση ΜΕΤΡΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΣΤΑ ΤΡΙΓΩΝΑ Προυσίση. Μετρικές σχέσεις στ τρίγων Α Μετρικές σχέσεις σε ορθογώνιο τρίγωνο Α Προβολή σηµείου σε ευθεί Ορθή προβολή Α ονοµάζετι το ίχνος της κάθετης που φέρνουµε
Διαβάστε περισσότεραsin x F(x) x 2 3 x παραγουσών προσθέτοντας σταθερές. Το καλούμε αόριστο ολοκλήρωμα της f(x) και το παριστάνουμε με: f(x)dx
I. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ.Ορισμένο ολοκλήρωμ.πράγουσ.θεμελιώδες Θεώρημ.Βσικά ολοκληρώμτ 5.Γρμμικότητ 6.Ολοκλήρωση με λλγή μετλητής ή με ντικτάστση 7.Ολοκλήρωση κτά μέρη 8.Ολοκληρώμτ ρητών 9.Ολοκληρώμτ τριγωνομετρικών.γενικευμένο
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότερα* ' 4. Σώµ εκτελεί γ..τ µε συχνότητ f. H συχνότητ µε την οποί µεγιστοποιείτι η δυνµική ενέργει τλάντωσης είνι. f =2f β. f =f/2 γ. f =f δ. f =4f Β. Στη
* '! " # $ # # " % $ " ' " % $ ' " ( # " ' ) % $ THΛ: 270727 222594 THΛ: 919113 949422 ' " % +, Α. Γι τις πρκάτω προτάσεις 1-4 ν γράψετε το γράµµ, β, γ ή δ, που ντιστοιχεί στην σωστή πάντηση 1. Κύκλωµ
Διαβάστε περισσότεραf(x) dx ή f(x) dx f(x) dx
ΓΕΝΙΚΕΥΜΕΝΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Ορισμός. Αν η f είνι ολοκληρώσιμη στο διάστημ [ a, ) ή στο διάστημ (,], τότε ονομάζουμε γενικευμένο ολοκλήρωμ είδους το ολοκλήρωμ της μορφής f() d ή - f() d Ορισμός. Το σημείο
Διαβάστε περισσότεραµε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x
998 ΘΕΜΑΤΑ. Η συνάρτηση f: ικνοποιεί τη σχέση f(f()) +f ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι «έν προς έν». β) Ν λύσετε την εξίσωση f( 3 + ) f(4 ),. 3 () + 3,. ) Έστω, µε f( ) f( ). Τότε f(f( )) f(f( )) κι f 3 (
Διαβάστε περισσότεραΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ
ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Π.Φ. ΜΟΙΡΑ 69 946778 ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΣΥΝΘΕΤΗ ΚΙΝΗΣΗ Σγγρφή Επιμέλει: Πνγιώτης Φ. Μοίρς ΣΟΛΩΜΟΥ 9 - ΑΘΗΝΑ 69 946778 www.pmoiras.weebly.om ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΦΥΣΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ
ΑΠΑΝΤΗΕΙ ΦΥΙΚΗ Ο.Π Β Λ Γ Λ 3/0/09 ΓΙΑΝΝΗ ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗ ΘΕΜΑ Α Οδηγί: Ν γράψετε στο τετράδιό σς τον ριθμό κθεμιάς πό τις πρκάτω ερωτσεις Α-Α4 κι δίπλ το γράμμ που ντιστοιχεί στη σωστ πάντηση. Α. ε ποιο πό
Διαβάστε περισσότερα4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016
wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο
Διαβάστε περισσότεραυ = 0 Νόμοι του Newton
ξιώμτ της Ειδικής θεωρίς της σχετικότητς 1. Οι νόμοι της φσικής είνι ίδιοι γι όλ τ δρνεικά σστήμτ νφοράς 2. Η μετρούμενη τχύτητ το φωτός στο κενό είνι η ίδι νεξάρτητ της κίνησης το πρτηρητή ή της πηγής
Διαβάστε περισσότεραEI.3 ΠΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ 1.Αξία κατανάλωσης 2.Πλεόνασμα καταναλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.Πλεόνασμα προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνασμα
EI.3 ΛΕΟΝΑΣΜΑΤΑ.Αξί κτνάλωσης.λεόνσμ κτνλωτή 3.Κόστος προμηθευτή 4.λεόνσμ προμηθευτή 3.Συνολικό πλεόνσμ. ργμτική ξί (Χρησιμότητ) της κτνάλωσης Η ντίστροφη συνάρτηση ζήτησης: = () έχει κτρχήν την γνωστή
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΆτομα μεταβλητή Χ μεταβλητή Y... Ν XN YN
Ν6_(6)_Σττιστική στη Φυσική Αγωγή 08_Πλινδρόμηση κι συσχέτιση Γούργουλης Βσίλειος Κθηγητής Τ.Ε.Φ.Α.Α. Σ.Ε.Φ.Α.Α. Δ.Π.Θ. Σε ορισμένες περιπτώσεις πιτείτι η νίχνευση της σχέσης μετξύ δύο ποσοτικών μετβλητών
Διαβάστε περισσότεραα β γ δ β γ α α α α α α Α = α α α = α α + α α α α α α α α α D Α
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ β Έστω πίνκς Α Χ = γ δ Σε κάθε τετργωνικό πίνκα ντιστοιχίζοµε ένν πργµτικό ριθµό τον οποίο ονοµάζοµε ορίζουσ του πίνκ κι ορίζετι ως β Α = = δ β γ Η έννοι της ορίζουσς είνι νγκί προκειµένου ν
Διαβάστε περισσότεραΙόνιο Πανεπιστήμιο - Τμήμα Πληροφορικής. Μαθηματικός Λογισμός. Ενότητα: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ.
Ιόνιο Πνεπιστήμιο - Τμήμ Πληροορικής Μθημτικός Λογισμός Ενότητ: ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΠΟΛΛΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ- ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Πνγιώτης Βλάμος Αδειες Χρήσης Το πρόν εκπιδευτικό υλικό υπόκειτι σε άδειες χρήσης Cativ Commo
Διαβάστε περισσότερα2. Τι ονομάζουμε τροχιά ενός κινητού; Πώς διακρίνονται οι κινήσεις με κριτήριο τη μορφή της τροχιάς του κινητού;
ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ 7 ΕΝΟΤΗΤΑ. ΕΥ ΘΥΓΡ ΑΜΜΗ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ. Ν νφέρετε ποι πό τ σώμτ πο φίνοντι στην εικόν κινούντι Α. ως προς τη Γη. Β. ως προς το τοκίνητο. Θ πρέπει ν λάβομε πόψη μς ότι η κίνηση είνι έννοι σχετικ.
Διαβάστε περισσότερα1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότεραολοκληρωτικος λογισμος
γ λυκειου ` κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο κεφλιο ολοκληρωτικος λογισμος επιμελει : τκης τσκλκος 7 ... ρχικη συνρτηση... ορισμενο ολοκληρωμ... η συνρτηση F()= f()d... εμδον επιπεδου χωριου γιτι...
Διαβάστε περισσότεραΓενικές ασκήσεις σελίδας
Γενικές σκσεις σελίδς 9 3. ίνετι η εξίσωση + λ 0 (), όπου λ R. Ν ποδείξετε ότι γι κάθε τιµ του λ, η () πριστάνει κύκλο, του οποίου ζητείτι ν ρεθεί το κέντρο κι η κτίν. (ii) Ν ποδείξετε ότι όλοι οι κύκλοι
Διαβάστε περισσότεραΣΧΕΤΙΚΑ ΜΕ ΤΙΣ ΚΑΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ ΥΠΟΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ ΚΑΙ ΕΙΣΟ ΗΜΑΤΟΣ
ΠΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΜΚΕ ΟΝΙΣ ΤΜΗΜ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΚΘΗΗΤΗΣ ΚΩΣΤΣ ΕΛΕΝΤΖΣ ΣΧΕΤΙΚ ΜΕ ΤΙΣ ΚΜΠΥΛΕΣ ΖΗΤΗΣΗΣ ΚΙ Τ ΠΟΤΕΛΕΣΜΤ ΥΠΟΚΤΣΤΣΗΣ ΚΙ ΕΙΣΟ ΗΜΤΟΣ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ η: Συνρτήσεις ζήτησης κτά arshall Υπόθεση: Το χρηµτικό
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραB Λυκείου. 22 Μαρτίου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων. Θεωρητικό Μέρος Θέµα 1o. 1 mv 2 =nc v Τ (όπου m η µάζα του αερίου) 2. 1 mv 2 m.
Ένωση Ελλήνων Φυσικών ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΟΣ ΙΑΓΩΝΙΣΜΟΣ ΦΥΣΙΚΗΣ 008 Πνεπιστήµιο Αθηνών Εργστήριο Φυσικών Επιστηµών, Τεχνολογίς, Περιβάλλοντος Μρτίου 008 Θεωρητικό Μέρος Θέµ o Λυκείου Συνοπτικές λύσεις των θεµάτων.
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ
ΜΕΡΟΣ Ι ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΞΩΓΕΝΟΥΣ ΟΙΚΟΝΟΜΙΚΗΣ ΜΕΓΕΘΥΝΣΗΣ Κεφάλιο 2 ΤΟ ΝΕΟΚΛΑΣΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ SOOW-SWAN Εισγωγή Η νάλυση της θεωρίς της οικονομικής μεγέθυνσης θ ξεκινήσει νλύοντς το πιο πλό δυνμικό υπόδειγμ
Διαβάστε περισσότερα