Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda

Transcript

1 Glava 2 Odzivi u kolima prvog i drugog reda Prilikom modelovanja elekričnih kola najčešeće se korise diferencijalne jednačine da opišu elemene sa memorijoom, j. elemene koji mogu da skladiše energiju. ješavanjem diferencijalnih jednačina uz počene uslove koji su poznai u nekom vremenskom renuku, može se odredii sanje elekričnog kola u bilo kojem narednom renuku. Od velikog prakičnog značaja su elekriča kola prvog i drugog reda, j. kola koja sadrže najviše dva nezavisna elemena sa memorijom. U ovoj glavi će bii opisani meodi za analizu akvih kola, u jednosavnijim slučajevima i u slučajevima eksiacije proizvoljnog vremenskom oblika. 23

2 2.1. UVOD 2.1 Uvod U eoriji elekričnih kola odziv presavlja pojavu sruja i napona u elekričnim kolima, uslijed dejsva akumulisane energije u odre denom renuku ili dejsva eksiacije, j. srujnih ili naponskih generaora. Kao šo se fizičkim elemenima elekričnih kola pridružuju maemaički modeli, naponi i sruje se u vremenskom domenu analiziraju ako šo im se pridruži odgovarajuća maemaičnka funkcija. Analiza elekričnih kola predsavlja nalaženje analiičkih izraza za sve napone i sruje koji se javljaju kao posljedica akumulisane energije ili djelovanja generaora. U opšem slučaju, iz Kirhofovih zakona i linearnih veza izme du sruja i napona na elemenima kola, formira se diferencijalana jednačina koja daje relaciju izme du ulaza, j. eksiacije i izlaza koji predsavlja ražena sruja ili napon u elekričnom kolu. ješenje diferencijalne jednačine, koja predsavlja relacija izme du ulaza i izlaza UI), daje analiički izraz za izlaznu veličinu. Ukoliko se analiziraju linearna i vremenski invarijanna elekrična kola, šo je najčešći slučaj u eoriji elekričnih kola, odziv na akumulisanu energiju i odziv na eksiaciju se mogu posmarai odvojeno. Komplean odziv predsavlja zbir odziva na akumulisanu energiju i odziva na eksiaciju. Već je napomenuo da odziv vremenski oblik izlaznog napona, ili izlazne sruje) predsavlja rješenje diferencijalne jednačine, koja predsavlja relaciju izme du ulaza i izlaza. U opšem slučaju, radi se o nehomogenoj diferencijalnoj jednačini, pa rješenje predsavlja zbir opšeg rješenja odgovarajuće homogene diferencijalne jednačine, Sopsveni odziv i jednog parikularnog rješnja nehomogene diferencijalne jednačine. Prakična inerpreacija, prehodno opisanog maemaičkog rješenja, može da razdvaja odziv na akumulisanu energiju i odziv na eksiaciju. Ukoliko ražimo odziv na akumulisanu energiju, zanemarujemo uicaj generaora, pa rješavamo samo homogenu diferencijalnu jednačinu, j. odziv na akumulisanu energiju predsavlja opše rješenje homogene diferencijalne jednačine, koje je linearna kombinacija svih parikularnih rješenja homogene diferencijalne jednačine. Ako nemamo eksiaciju, prinudno rješenje je jednako nuli. Ukoliko posmaramo odziv na eksiaciju, pored sopsvenog odziva, pojavljuje se i Prinudni odziv, odnosno dio koji se odnosi na parikularno rješenje diferencijalne jednačine. Sopsveni odziv predsavlja prirodnu reakciju kola na bilo koju vrsu eksiacije. Sopsveni odziv ima isi oblik za svaku izlaznu veličinu u kolu svaku sruju ili napon), jer dio diferencijalne jednačine lijevo od znaka jednakosi, ima isi oblik za svaku izlaznu veličinu. Prinudni odziv svake izlazne veličine ima isi oblik kao i eksiacija. Npr. ukoliko je eksiacija generaor isosmjernog napona, nakon presanka prelaznog režima, svi odzivi, j. sve sruje i naponi u kolu će imai nepromjenljive vrijednosi. Ako je eksiacija prosoperiodični generaor kružne učesanosiω, sve sruje i naponi u kolu će nakon presanka prelaznog režima bii prosoperiodične funkcije kružne učesanosi ω. 24

3 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA Diferencijalna jednačina UI se formira ako šo se posave sve jednavcine po prvom i drugom Kirhofovom zakonu i sve linearne veze izme du sruja i napona na elemenima kola. Iz og skupa jednačina se eliminišu sve promjenljive koje nisu izlazna promjenljiva, izvod izlazne promjenljive prvog ili višeg reda, eksiacija ili izvod eksiacije prvog ili višeg reda. Ukoliko se raži odziv na akumulisanu energiju u jednačini UI se ne pojavljuje eksiacija nii izvod eksiacije. eakivni elemeni elekričnih kola mogu da akumulišu odre denu količinu energije, pa se nazivaju i elemeni sa memorijom. Broj linearno nezavisnih reakivnih elemenaa definiše red kola. Od velikog prakičnog značaja su kola prvog i drugog reda, jer se kola višeg reda mogu realizovai kombinacijom kola prvog i drugog reda. 2.2 Odziv na akumulisanu energiju Zadaak 13. Za kolo sasavljeno od redne veze kondenzaora kapaciivnosi C i opornika provodnosi G, koje je prikazano na Slici 2.1a, odredii sve sruje i napone za. Pozna je napon na kondenzaoru u renuku = i iznosi u c )=U. Skicirai vremenske oblike svih napona i sruja u kolu. i C i G C, U C u a) Paralelna veza kondenzaora i opornika. b) Paralelna veza kondenzaora i opornika sa usaglašenima referennim smjerovima. Slika 2.1 ješenje. U skladu sa referennim smjerovima sruja i napona prikazanim na Slici 2.1b, mogu se napisai jednačine po prvom i drugom Kirhofovom zakonu, kao i veze izme du napona i sruja svih elemenaa u kolu: u C )=u G )=u) i C )i G )= i C )=C du C) = C du) 2.1a) 2.1b) 2.1c) 25

4 2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENEGIJU i G )=Gu G )=Gu) 2.1d) Kombinovanjem jednačina 2.1), uvršavanjem 2.1c) i 2.1d) u 2.1b) i 2.1a), dobija se diferencijalna jednačina po naponu u): du) G u)=, 2.2) C Diferencijalne jednačina 2.2) je linearna diferencijalna jednačina sa konsannim koeficijenima čije se parikularno rješenje raži u obliku: u)=ke s 2.3) gdje je K konsana koja se odre duje počenim uslovima, odnosno akumulisanom energijom u kolu u renuku =. Paramear s je, u opšem slučaju, kompleskan broj, koji ima dimenziju učesanosi i naziva se sopsvena učesanos. ješenje u obliku daom sa 2.3) mora da zadovolji diferencijalnu jednačinu 2.2), pa se uvršavanjem dobija: šo zapravo predsavlja jednačinu: Kse s G C Kes = 2.4) s G C = 2.5) Jednačina 2.5) je linearna algebarska jednačina koja predsavlja karakerisičnu jednačinu ili karakerisični polinom za dao elekrično kolo. ješenje jendnačine 2.5) odre duje sopsvenu učesanos elekričnog kola. Sopsvena učesanos odre duje oblik sopsvenog odziva kola. U slučaju da se raži odziv na akumulisanu energiju, sopsvena učesanos je paramear koji odre duje oblik i dinamiku promjene odziva na akumulisanu energiju. Za zadano kolo, sopsvena učesanos je jednaka: s 1 = G C pa je rješenje diferencijalne jednačine 2.2) dao sa: 2.6) u)=ke G C, 2.7) Vrijednos paramera K se može odredii iz bilo koje poznae vrijednosi napona daog jednačinom 2.7), j. ukoliko je pozna napon za neki renuak iz inervala [, ). U posavci zadaka je zadana vrijednos u C ), ali ukoliko su ispunjeni uslovi iz eoreme o neprekidnosi napona na kondenzaoru, vrijednos napona u renuku = ce bii isa kao i vrijednos napona u renuku =. Napon na 26

5 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA kondenzaoru će bii neprekidna funkcija vremena, ukoliko je sruja kroz kondenzaor ograničena. Pošo je kondenzaor redno vezan sa opornikom, koji ograničava sruju, uslov iz eoreme je ispunjen, pa je: Uvršavanjem počenog uslova 2.8) u 2.7), dobija se: Traženi napon je: u )=u C )=u C ) 2.8) u )=Ke G C = K 2.9a) K= U 2.9b) u)=u e G C, 2.1) Kada se odredi analiički izraz za jednu izlaznu veličinu, izrazi za osale izlazne veličine se mogu odredii preko jednačina veza izme du odgovarajućih veličina. Sruja kroz kondenzaor se dobija uvršavanjem 2.1) u 2.1c), i iznosi: i C )= GU e G C, 2.11) Vremenska konsana iznosi τ = C/G i predsavlja vremenski inerval koji je poreban da se napon na kondenzaoru smanji na U/e. U praksi se može usvojii da je vrijeme porebno za pražnnjenje ili punjenje kondenzaora jednako 3 5 vremenskih konsani. Sruja kroz opornik odre dena vezom 2.1a): i G )=GU e G C, 2.12) Napon na kondenzaoru 2.1), sruja kroz kondenzaor 2.11) i sruja kroz opornik 2.12) su prikazani na Slikama 2.2a, 2.2b i 2.2c, respekivno. Na Slici 2.2a je pored alasnog oblika napona na kondenzaoru prikazana i grafička inerpreacija vremenske konsanne. Difrencijalnu jednačinu, koja predsavlja relaciju izme du ulaza i izlaza UI), je moguće posavii i prema osalim izlazim veličinama. Npr. ukoliko se kombinovanjem 2.1c) i 2.1d) eliminiše napon, pa se rezulujuća jednačina uvrsi u 2.1b), dobija se: di G ) G C i G)=, 2.13) Slično, ako se kombinovanjem 2.1b) i 2.1c) eliminiše sruja opornika, pa se rezulujuća jednačina diferencira, uvršavanjem 2.1d) se dobija: di C ) G C i c)=, 2.14) 27

6 2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENEGIJU u) i C ) i G ) U GU GU τ a) Napon na kondenzaoru. b) Sruja kroz kondenzaor. c) Sruja kroz opornik. Slika 2.2 Pore denjem jednačina 2.2), 2.13) i 2.14) može se zaključii da difrenecijalne jednačine sopsvenog odziva, j. odziva na akumulisanu energiju, imaju isi oblik za svaku izlaznu promjenljivu, pa je karakerisična jednačina jedinsvena za svako elekrično kolo. Zadaak 14. Za elekrično kolo, formirano od redne veze kalema indukivnosi L i kondenzaora kapaciivnosi C, prikazano na Slici 2.3a, odredii napone i sruje za. Poznai su počeni uslovi u C )=U i i L )=I. i C, U L, I u C C, U L, I u L i L a) Paralelna veza kondenzaora i kalema. b) Paralelna veza kondenzaora i kalema sa usaglašenima referennim smjerovima. Slika 2.3 ješenje. Usvojićemo zajedničku sruju, kao šo je prikazano na slici 2.3b, pa zaim posavii jednačine po Kirhofovim zakonima i karakerisične jednačine elemenaa kola: i)=i C )=i L ) 2.15a) u L )u C )= b)

7 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA u L )=L di L) 2.15c) i C )=C du C) 2.15d) Uvršavanjem jednačine 2.15d) u 2.15c), pa kombinovanjem rezulujuće jednačine sa 2.15b) se dobija: d 2 u C ) 2 1 LC u C)=, 2.16) Uvo denjem smjeneω 2 = 1 LC i preposavkom parcijalnog rješenja homogene diferencijalne jednačine u eksponencijalnom obliku 2.3), dobija se karakerisična jendačina: s 2 ω 2 = 2.17) pa su sopsvene učesanosi kola jednake: s 1/2 =± jω 2.18) S obzirom da su sopsvene učesanosi čiso imaginarne, rješenje diferencijalne jednačine 2.16) je dao sa: u C )=K 1 cos ω ) K 2 sin ω ), 2.19) Opše rješnenje homogene linearne digerencijalne jednačine je linearna kombinacija svih parikularnih rješenja homogene linearne diferencijalne jednačine u C )= Ae jω Be jω. Primjenom Ojlerove formule e jω = cos ω ) j sin ω ) se dobija izraz 2.19). Konsane K 1 i K 2 se odre duju iz počenih uslova u C ) i du C )/, me- duim, kako su poznae vrijednosi napona na kondenzaoru i sruje kroz kalem u renuku =, porebno je provjerii da li važe uslovi iz eorema o neprekidnosi Zadaak 6 i Zadaak 7). Pošo je sruja kroz kondenzaor odre dena srujom kalema, koja je ograničena, napon na kondenzaoru će bii neprekidna funkcija vremena, a slično se može zaključii i da je sruja kroz kalem neprekidna funkcija vremena. Soga, može se usvojii da je i L )=i L )=I i u C )=u C )=U, šo predsavlja prvi počeni uslov. Drugi počeni uslov se dobija iz jednačine 2.15d): du C ) = i L) C = du C ) = i L ) C = I C Uvršavanjem počenih uslova u jednačinu 2.19) se dobija: u C )=K 1 = U 2.2) 2.21a) 29

8 2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENEGIJU du C ) = K 2 ω = K 2 = I ω C 2.21b) Uvršavanjem vrijednosi 2.21) u jednačinu 2.16), dobija se vremenski oblik napona na kondenzaoru: u C )=U cos ω ) I ω C sin ω ), 2.22) Kao šo vidimo iz 2.22), napon na kondenzaoru je linearna kombinacija dvije prosoperiodične funkcije vremena, pa ga je moguće odredii u obliku: u C )=U M cos ω θ), 2.23) asavljanjem kosinusa zbira 2.23) i pore denjem sa 2.22) se dobija: )) u C )= U 2 I2 I ω 2 cos ω arcan C2 ω CU 2.24) Iz jednačina 2.15b) i 2.24) dobijamo izraz za napon na kalemu, u skladu sa definisanim referennim smjerom: u L )= )) U 2 I2 I ω 2 cos ω π arcan C2 ω CU a sruja u kolu se dobija kombinacijom 2.15d) i 2.24): 2.25) )) i)=ω C U 2 I2 I ω 2 sin ω π arcan C2 ω CU 2.26) Bilans energija. Ukupna energija u kolu zavisi od počenih uslova, j. akumulisane energije u renuku posmaranja odziva, i opologije kola, j. elemenaa kola i načina na koji su vezani. Trenuna količina energije koja je akumulisana u elekričnom polju kondenzaora iznosi: w C )= 1 2 Cu2 C = 1 2 CU2 M cos2 ω θ) 2.27) dok je renuna energija akumulisana u magnenom polju kalema jednaka: w L )= 1 2 Li2 L = 1 2 Lω2 C2 U 2 M sin2 ω θ) 2.28) 3

9 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA Ukupna energija u kolu je jednaka zbiru energija 2.27) i 2.28), ali korišenjem smjeneω 2 = 1 LC, izraz za ukupnu energiju se može uprosii: w)=w C )w L )= 1 2 CU2 M cos2 ω θ) 1 2 Lω2 C2 U 2 M sin2 ω θ) 2.29a) odnosno, ukupna energija je jednaka: w)= 1 2 CU2 M = 1 2 C U2 I2 ω 2 C2 2.29b) w)= 1 2 CU2 1 2 L2 2.3) Dakle, energija u ovom elekričnom kolu je konsanna i jednaka zbiru akumulisane energije kondenzaora i akumulisane energije kalema. ežim kola. U ovom elekričnom kolu nema eksiacija, a odzivi na akumulisanu energiju su prosoperiodični. Prosoperiodični režim nasupa jer u kolu posoji odre dena količina energije, ali nema ermogenog opornika, koji bi vršio nepovranu konverziju elekrične u ermogenu energiju. Soga se akumulisana energija nepresano razmjenjuje izme du reakivnih elemenaa, kalema i kondenzaora. Zadaak 15. Za redno LC kolo, sa usaglašenim referenim smjerovima prikazanim na Slici 2.4, odredii napon kondenzaora i sruju u kolu za, ako je u C )=U i i L )=I. u u L u C i L, I C, U Slika 2.4 edno LC kolo sa usaglašenim referennim smjerovima. ješenje. Pošo se radi o rednoj vezi elemenaa kola, j. sruja je zajednička za sve elemene kola, prema usvojenim referennim smjerovima se mogu posavii sljedeće jednačine: u )u L )u C )= 2.31a) u )=i) b)

10 2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENEGIJU u L )=L di) 2.31c) i)=c du C) 2.31d) Kombinovanjem jednačina 2.31b) i 2.31d), kao i kombinovanjem 2.31c) i 2.31d), se dobijaju jednakosi: u )=C du C) i u L )=LC d2 u C ) ) Uvršavanjem jednavcine 2.32) u 2.31a) se dobija diferencijalna jednačina po naponu kondenzaora: d 2 u C ) 2 L du C ) 1 LC u C)=, 2.33) Jednačina 2.33) je linearna homogena diferencijalna jednačina, drugog reda, sa konsannim koeficijenima. ed diferencijalne jednačine je odre den brojem nezavisnih elemenaa kola sa memorijom. Uvo denjem smjene 2.3) i skraćivanjem se dobija karakerisična jednačina: s 2 L s 1 LC = 2.34) Uvo denjem smjenaα= 2L iω2 = 1 LC, jednačina dobija oblik s2 2αsω 2 = čiji su korijeni: s 1/2 = α± α 2 ω ) Pošo su ispunjeni uslovi o neprekidnosi sruje kroz kalem i napona na kondenzaoru 1, počeni uslovi se mogu odredii slično kao u Zadaku 14) i imaju vrijednosi: u C )=u C )=U 2.36a) i )=C du C ) = du C ) = I 2.36b) C U zavisnosi od vrijednosi elemenaa kola, jednačina 2.34) može imai rješenja u ri moguća slučaja: Aperiodičan režim Diskriminana karakerisične jednačine 2.34) je veća od nule, posoje dva realna i različia korijena, pa je sopsevni odziv linearna kombinacija dvije eksponencijalne funkcije. Da bi s 1 i s 2 bili realni i različii, pokorijena veličina u 2.35) mora bii veća od nule, j. mora biiα 2 >ω 2. Ovaj 1 Sruja kroz kalem je ograničena opornikom, a napon na kalemu predsavlja algebarski zbir pada napona na oporniku, koji je konačan i napona na kondenzaoru, pa je i on ograničen. 32

11 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA uslov je ekvivalenan izrazu: >2 L/C. Uvo denjem smjene β, dobijamo realne sopsvene vrijednosi kola: s 1 = αβ=σ 1 s 2 = α β=σ 2 α 2 ω 2 = 2.37a) 2.37b) S obzirom na 2.37) rješenje diferencijalne jednačine 2.33), u aperiodičnom režimu ima oblik: u C )=K 1 e σ 1 K 2 e σ 2, ) Uvršavanjem počenih uslova 2.36) u jednačinu 2.38) dobija se: u C )=K 1 K 2 = U du C ) = K 1 σ 1 K 2 σ 2 = I C pa se sre divanjem dobijaju se vrijednosi: K 1 = K 2 = 1 I ) σ 1 σ 2 C U σ 2 1 I ) σ 2 σ 1 C U σ 1 Sruja u kolu se dobija kombinovanjem jednačina 2.31d) i 2.38): 2.39a) 2.39b) 2.4a) 2.4b) i)=σ 1 CK 1 e σ 1 σ 2 CK 2 e σ 2, 2.41) Aperiodičan režim karakeriše posojanje velikih ermogenih gubiaka, koji sprječavaju razmjenu akumulisane energije izme du kalema i kondenzaora. Kriičan režim: Diskriminana karakerisične jednačine 2.34) je jednaka nuli, pa su korijeni realni i jednaki. Ovaj režim predsavlja granicu izme du aperiodičnog i pseudoperiodičnog slučaja. Da bi diskriminana bila jednaka nuli mora bii ispunjen uslov =2 L/C. Ova opornos se ponekad obilježava sa c i naziva kriična opornos. U ovom slučaju, sopsvene vrijednosi su jednake: s 1/2 = α=σ 2.42) 2 Vidimo da sopsvene vrijednosiσ 1 iσ 2 ne mogu imai vrijednosi veće od nule, jer bi u om slučaju sopsveni odziv eksponencijalno rasao sa vremenom. 33

12 2.2. ODZIV NA AKUMULISANU ENEGIJU a rješenje diferencijalne jednačine 2.33) ima oblik: u C )=K 1 K 2 ) e σ, 2.43) Uvršavanjem počenih uslova 2.36) u jednačinu 2.42) dobija se: Sre divanjem se dobija: du C ) u C )=K 1 = U = K 1 σ 1 K 2 = I C K 1 = U 2.44a) 2.44b) 2.45a) K 2 = I C U σ 2.45b) Tako de, sruja u kolu se dobija kombinovanjem jednačina 2.31d) i 2.43): i)=c K 1 σk 2 K 2 σ) e σ, 2.46) Pseudoperiodičan režim: Diskriminana karakerisične jednačine 2.34) je manja od nule, pa njena rješenja čini par konjugovno-kompleksnih brojeva. Vremenski oblik signala je prigušena periodična funkcija vremena. Da bi diskriminana bila manja od nule reba da bude ispunjen uslov <2 L/C. Uvo denjem smjene ω 2 α2 =ω 1, dobijamo kompleksne sopsvene vrijednosi: s 1 = α jω a) s 2 = α jω b) pa je u ovom slučaju rješenje diferencijalne jednačine 2.33) se moeže svesi na oblik: u C )= K 1 e α cos ω 1 ) K 2 e α sin ω 1 ), 2.48) Uvršavanjem počenih uslova 2.36) u jednačinu 2.48) dobija se: du C ) u C )=K 1 = U = αk 1 ω 1 K 2 = I C 2.49a) 2.49b) Sre divanjem se dobija K 1 = U, a K 2 = I ω 1 C αu ), pa se uvršavanjem dobija napon na kondenzaoru: ) u C )=U e α I cos ω 1 ) ω 1 C αu e α sin ω 1 ), 2.5) 34

13 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA Napon na kondenzaoru se, ako de, može predsavii u obliku: u C )=U M e α cos ω 1 θ) 2.51) Pore denjem jednačina 2.5) i 2.51) mogu se odredii slijedeći odnosi: U M = K 2 1 K2 2,θ= arcan K 2 K ) Kombinovanjem jednačina 2.31d) i 2.51), dobija se izraz za sruju u slučaju pseudoperiodičnog režima: i)=ω CU M e α cos ω 1 θ arcan ω 1 α ), 2.53) Pseudoperiodičan režim je odre den razmjenom energije izme du reakivnih elemenaa, prigušenom ermogenim gubicima na oporniku. Smanjivanjem gubiaka u kolu, ovaj režim u graničnom slučaju prelazi u prosoperiodičan režim. u C ) U u C ) U u C ) U a) Napon na kondenzaoru za aperiodičan režim. b) Napon na kondenzaoru za kriičan režim. Slika 2.5 c) Napon na kondenzaoru za pseudoperiodičan režim. 2.3 Odziv na eksiaciju Zadaak 16. edna veza opornika opornosi i kondenzaora kapaciivnosi C je priključena na naponski generaor u g )=Uh). U renuku = u kolu nema akumulisane energije. Odredii napon na kondenzaoru i sruju generaora za. Napisai izraz za indicionu funkciju napona na kondenzaoru. 35

14 2.3. ODZIV NA EKSITACIJU u u g ) u g ) C i u C a) Serijska veza naponskog generaora, opornika i kondezaora. b) Vremenski oblik naponskog generaora. Slika 2.6 ješenje. Posavljamo jednačine Kirhofovih zakona prema usvojenim referennim smjerovima sruja i napona Slika 2.6a), i jednačine linearnih veza izme du napona i sruja na elemenima: u g )=u C )u ) 2.54a) u )=i) i)=c du C) 2.54b) 2.54c) Kombinovanjem jednačina 2.54) se dobijaju diferencijalne jednačine koje povezuju izlazne veličine i eksiacije, j. UI jednačine. Uvršavanjem 2.54b) u 2.54a), diferencijarenjm dobijene jednačine, pa kombinovanjem sa 2.54c) se dobija UI jednačina po sruji: di) 1 C i)= 1 du g ), 2.55) Me duim, ako uvsrimo 2.54c) u 2.54b), pa rezulujuću jednačinu u 2.54a), dobija se: du C ) 1 C u C)= 1 C u g), 2.56) Pore denjem 2.55) i 2.56), vidimo da lijeve srane jednačina, šo se odnosi na sopsveni odziv, imaju isi oblik. Kao šo je već naglašeno, režim se odnosi na kolo, pa lijeva srana UI jednačine mora bii isa za svaku izlaznu veličinu. Me duim, desna srana 2.55) sadrži izvod funkcije u g ), dok u jednačini 2.56), og izvoda nema, šo omogućava njeno jednosavnije rješavanje. Bez obzira, koja se izlazna veličina raži, uvijek je preporučljivo posavii i rješii UI jednačine po naponu na kondenzaoru ili sruji kroz kalem, pa zaim naći 36

15 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA raženu izlaznu veličinu, preko jednačina Kirhofovih zakona ili njihovih linearnih kombinacija. ješenje nehomogene linearne diferencijalne jednačine 2.56) se dobija kao zbir opšeg rješenja homogenog djela diferencijalne jednačine i jednog parikularnog rješenja. Parikularno rješenje je odre deno oblikom eksiacije, za >, j. parikularno rješenje predsavlja prinudni odziv, koji se usposavlja kada pro du prelazni režimi odre deni sopsvenim odzivom. Soga, napon na kondenzaoru možemo napisai u obliku u C )=u Cs )u Cp ), 2.57) ješenje homogene jednačine predsavlja sopsveni odziv i obilježava se sa u Cs. Parikularno rješenje homognene diferencijalne jednačine se preposavlja u obliku 2.3). Kada se raži odziv na akumulisanu energiju, homogena diferencijalna jednačina ima isi oblik kao u slučaju kada je prisuna eksiacija. azlika je u ome šo počeni uslovi nisu odre deni akumulisanom energijom u kolu, već naponima i srujama generaora u renuku =. Parikularno rješenje u Cp preposavljamo u obliku eksiacije i predsavlja prinudni odziv kola usljed eksiacije. U ovom slučaju, parikkularno rješenje preposavljamo u obliku konsane U p, s obzirom da je napon generaora konsanan za >. Pošo parikularno rješenje mora da zadovoljava diferencijalnu jednačinu, uvršavanjem u Cp )=U p u 2.56) se dobija U p = U. Dakle, nakon presanka prelaznog režima, kondenzaor se napunio na napon odre den generaorom, pa nema više sruje u kolu i nema pada napona na oporniku. Na osnovu prehodne diskusije, napon na kondenzaoru je odre den sa: u C )=Ke C U, 2.58) Pošo je sruja kroz kondenzaor ograničena serijski vezanim opornikom, važi uslov iz eoreme o neprekidnosi napona na kondenzaoru, pa je u C )=u C )=. Uvršavanjem u 2.58) se dobija: u C )=K U=,= K= U 2.59) Pošo do renuka djelovanja generaora nije bilo akumulisane energije u kolu, napon na kondenzaoru se može analiički predsavii kao: u C )=U1 e C )h) 2.6) Vremenski oblik napona na kondenzaoru je prikazan na Slici 2.7a. Na osnovu jednačina 2.6) i 2.54c), sruja kroz kolo se može izrazii kao: i)= U e C h) 2.61) 37

16 2.3. ODZIV NA EKSITACIJU Vremenski oblik sruje u kolu je prikazan na Slici 2.7b. Indiciona funkcija se definiše kao odnos odziva na Hevisajdovu eksiaciju i skoka Hevisajdove eksiacije u renuku =, j. kao odziv na jediničnu Hevisajdovu eksiaciju, uz nule počene uslove. Indiciona funkcija napona na kondenzaoru je: f uc )=1 e C )h) 2.62) Ukoliko posmaramo linearna i vremenski invarijanna kola, poznavanje indicione funkcije odre dene izlazne veličine, moguće je odredii odziv na eksiaciju koja se sasoji od bilo koje kombinacije vremenski pomjerenih Hevisajdovih funkcija. u) U i) U a) Napon na kondenzaoru. τ b) Vremenski oblik sruje u kolu. Slika 2.7 Zadaak 17. Za elekrično kolo prikazano na Slici 2.6a odredii Grinovu funkciju za napon na kondenzaoru. Odredii napon na kondenzaoru za ako je napon generaora je u g ) = Φδ). U renuku uključenja generaora u kolu nije bilo akumulisane energije. ješenje. Prema usvojenim referennim smjerovima, jednačine Kirhofovih zakona i linearnih veza izme du sruja i napona na elemenima kola su: u g )=u )u C ) 2.63a) u )=i) i)=c du C) 2.63b) 2.63c) Kombinovanjem jednačina 2.63) se dobija UI jednačina za napon na kondenzaoru: du C ) 1 C u C)= 1 C u g), 2.64) 38

17 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA Pošo diferencijalna jednačina 2.64) sadrži Dirakovu funkciju sa desne srane znaka jednakosi 3, nije moguće naći prinudni odziv na način prikazan u Zadaku 16. Pošo je zadano elekrično kolo linearno, odziv se može naći posredno, priključivanjem Hevisajdovog generaora i odre divanjem indicione funkcije za izlaznu veličinu. Dalje, poznaa je veza izme du indicioni i Grinove funkcije i poznao je da je odziv na Dirakovu funkciju jačine udara Φ jednak umnošku e jačine udara i Grinove funkcije, ukoliko u kolu nije bilo akumulisane energije. Kada se odredii vremenski oblik odgovarajuće indicione funkcije, Grinova funkcija se na de kao izvod indicione funkcije, pa je raženi odziv jednak proizvodu jačine udara Φ i Grinove funkcije. Preposavka Hevisajdove eksiacije: Preposavljajući da je u g )=Uh), relacija UI će bii: du Ch ) 1 C u Ch)= 1 Uh), 2.65) C Jednačinu 2.65) možemo da rješavamo na način prikazan u Zadaku 16, odakle se dobija napon na kondenzaoru, koji je odziv na preposavljenu Hevisajdovu eksiaciju: u Ch )=U1 e C )h) 2.66) Indiciona funkcija za napon na kondenzaoru jednaka: f )=1 e C )h) 2.67) Grinova funkcija je jednaka izvodu indicione funkcije, ali reba naglasii da je funkciju 2.67) reba obavezno reirai kao prozvod dvije funkcije vremena. Tražena Grinova funkcija je: šo je jednako: g)= f )= 1 ) C e C h) 1 e C δ) 2.68) g)= 1 C e C h) 2.69) S obzirom da je poznaa Grinova funkcija za napon na kondenzaoru, odziv na eksiaciju oblika u g )=Φδ) se dobija kaoφg): u C )= Φ C e C h) 2.7) 3 U odre denom vremenskom renuku eksiacija ima beskonačnu vrijednos. 39

18 2.3. ODZIV NA EKSITACIJU u) Φ C i) Φ C = a) Napon na kondenzaoru. Φ 2C = b) Vremenski oblik sruje u kolu. Slika 2.8 Neregularna komuacija. Kao šo se vidi iz jednačine 2.7) vrijednos napona na kondenzaoru u renuku = je jednaka u C )= Φ C, pa je u C ) u C ), šo je u supronosi sa eoremom o neprekidnosi napona na kondenzaoru. Sruja kroz kondenzaor je odre dena sa: i)=c du C) = Φ 2 C e C Φ h) δ) 2.71) C Vidimo da sruja kroz kondenzaor sadrži Dirakovu funkciju, j. nije ograničena, pa nisu ispunjeni uslovi iz eoreme o koninuieu. Soga, napon na kondenzaoru u ovom slučaju nije neprekidna funkcija vremena. Drugim riječima, dolazi do pojave neregularne komuacije prilikom priključivanja generaora. Zadaak 18. Na krajevima redne veze opornika opornosi i kalema indukivnosi L priključen je naponski generaor Slika 2.9a) čiji je vremenski oblik prikazan na Slici 2.9b. Odredii jačinu udara impulsne eksiacijeφ, ako da u renuku sruja kroz kolo porase na dvosruku vrijednos. ješenje. Napon generaora se može izrazii kao u g )=Uh)Φδ T ), pa se može iskorisii osobina linearnosi kola da se na de raženi odziv. Za počeak, iako je eksiacija kombinacija Hevisajdove i Dirakove funkcije, preposavlja se da je eksiacija samo Hevisajdova funkcija. Iz odziva se mogu naći indiciona i Grinova funkcija, pa je raženi odziv odgovarajuća linearna kombinacija e dvije funkcije. Komplean sisem linearnih jednačina, koje opisuju kolo je da sa: u g )=u )u L ) u )=i) u L )=L di) 2.72a) 2.72b) 2.72c) 4

19 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA u i u g ) U Φ u g ) L u L T a) Serijska veza naponskog generaora, opornika i kalema. b) Vremenski oblik naponskog generaora. Slika 2.9 Kombinovanjem jednačina 2.72) se dobija diferencijalna jednačina UI za sruju kroz elekrično kolo: di) L i)= 1 L u g), 2.73) Preposavka Hevisajdove eksiacije: Preposavimo da je eksiacija u obliku Uh), šo daje odziv u obliku: i h )= U 1 e L ) h) 2.74) Indiciona funkcija za sruju kroz kolo je: f )= 1 1 e ) L h) 2.75) dok je Grinova funkcija: g)= 1 L e L h) 2.76) Odziv na eksiaciju u g ) može izrazii kao: i)=u f )Φg T ) 2.77) pa je odziv na zadanu eksiaciju: i)= U 1 e L ) h) Φ L e L T ) h T ) 2.78) koji je prikazan na Slici 2.1. Porebno je naći jačinu udaraφako da inenzie sruje u renuku =T bude dva pua veći nego u renuku =T. Pošo je: it )= U ) 1 e L T ht )= U 1 e L ) T 2.79) 41

20 2.3. ODZIV NA EKSITACIJU i) it ) it ) T Slika 2.1 Sruja kroz kolo. it )= U ) 1 e L T ht ) Φ L e L T T) ht T ) 2.8a) Iz uslova zadaka je: 2 U pa je ražena jačina udara: it )= U 1 e L T ) Φ L 1 e L ) T U = 1 e L ) T Φ L Φ= UL 1 e L T ) 2.8b) 2.81) 2.82) Zadaak 19. Na krajeve paralelne L i C veze je vezan naponski generaor vremenskog oblika prikazanog na slici. Odredii sruju generaora za. ješenje. S obzirom da se L i C grane napajaju isim naponskim generaorom, razlika poencijala na krajevima ih grana je isa, pa sruja kroz jednu granu ne uiče na sruju kroz drugu granu. Dakle, moguće je odredii posebno sruje kroz dvije grane, posmarajući ih odvojeno, pa zaim odredii sruju generaora kao zbir sruje kroz L granu i sruje kroz C granu. Tako de, reba primjeii da je alasni oblik naponskog generaora moguće napisai kao linearnu kombinaciju dvije Hevisajdove funkcije: u g )=Uh) Uh T) 2.83) pa se ražena sruja može izračunai kao: i)=u f ) Uf T) 2.84) 42

21 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA i u g ) u g ) L C U T a) Paralelna veza L i C veze. b) Vremenski oblik naponskog generaora. Slika 2.11 i 1 i 2 u u u g ) L u L u g ) C u C a) L grana i naponski generaor. b) C grana i naponski generaor. Slika 2.12 Indicionu funkciju za sruju generaora ćemo odredii kao zbir sruja i 1 ) Slika 2.12a) i i 2 ) Slika 2.12b), pod preposavkom Hevisajdove eksiacije. Preposavka Hevisajdove eksiacije: Za kolo sa Slike 2.12a, kombinovanjem jednačina posavljenih po Kirhofovim zakonima se dobija diferencijalna jednačina po sruji i 1 : C di 1) Pošo je u g )=Uh), može se pisai da je: C di 1) i 1 )=C du g), 2.85) i 1 )=Qδ) 2.86) gdje je Q=CU. Dakle, sruja i 1, kao izlazna veličina vidi ulazni generaor kao impulsnu eksiaciju sa jačinom udara Q. Diferencijalnu jednačinu 2.86) možemo 43

22 2.4. KOMPLETAN ODZIV riješii raženjem indicione funkcije, pa zaim računanjem Grinove funkcije. Dakle, ope preposavljamo Hevisajdovu kesiaciju: C di 1) Dobija se Grinova funkcija za sruju i 1 u obliku: i 1 )=Ih) 2.87) g)= Q C e C h) ) pa je sruja i 1 ) jednaka: i 1 )= U e C h) 2.89) Za kolo sa Slike 2.12b, kombinovanjem jednačina posavljenih po Kirhofovim zakonima se dobija diferencijalna jednačina po sruji i 2 : di 2 ) čijim se rješavanjem dobija sruja i 2 ): L i 2)= 1 L u g), 2.9) i 2 )= U 1 e L ) 2.91) Na osnovu prehodne analize možemo zaključii da je indiciona funkcija koja odgovara sruji generaora i) jednaka: f )= 1 ) 1 e L e C h) 2.92) Kombinovanjem jednačina 2.84) i 2.92) dobija se ražena sruja generaora: i)= U ) 1 e L e C U h) ) 1 e L T) e T C h T) 2.93) 2.4 Komplean odziv Zadaak 2. U kolu prikazanom na Slici 2.13, poznaa je indukivnos kalema L, kapaciivnos kondenzaora C, opornos opornika = L/C i vremenski oblik napona generaora u g )=Uh). Prekidač P je ovoren dovoljno dugo da se usposavi prinudni režim. U jednom od renuaka, kada je napon na kondenzaoru maksimalan, prekidač P se zavara. Odredii Grinovu funkciju napona na kondenzaoru, kada je prekidač ovoren, kao i sruju kroz opornik i,. 4 Preporučuje se da se sruja i 1 na de posredno preko napona kondenzaora. 44

23 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA i u g ) L C u C P Slika 2.13 Elekrično kolo uz primjer sa komplenim odzivom. ješenje. Dok je prekidač ovoren Slika 2.14a), opornik opornosi ne operećuje generaor, jer kroz njega ne proiče sruja. Soga, dok je prekidač ovoren, važe sljedeće jednačine: u g )=u L )u C ) 2.94a) i)=c du C) u L )=L di) 2.94b) 2.94c) u L u L i u g ) i L C u C u g ) i L L C i C u C u a) Kolo prije zavaranja prekidača. b) Kolo nakon zavaranja prekidača. Slika 2.14 Iz jednačina 2.94) se kombinovanjem dobija diferencijalna jednačina UI za napona na kondenzaoru: d 2 u C ) 2 1 LC u C)= 1 LC u g), 2.95) ješenje diferencijalne jednačine 2.95) se dobija kao zbir sopsvenog i parikularnog odziva. S obzirom da je karakerisična jednačina kola oblika s 2 ω 2 =, gdje jeω 2 = 1/LC) sopsveni režim kola je prosoperiodičan: u Cs )=K 1 cos ω ) K 2 sin ω ) 2.96) 45

24 2.4. KOMPLETAN ODZIV Prinudni odziv se preposavlja u obliku eksiacije za >, a pošo eksiacija ima oblik Hevisajdove funkcije, preposavlja se da je prinudni odziv konsanan za i iznosi npr. U p. Uvršavanjem u 2.95), dovbija se da je U p = U, pa je napon na kondenzaoru jednak: u C )=K 1 cos ω ) K 2 sin ω )U, 2.97) Grinova funkcija se može izračunai kao izvod indicione funkcije, koju je jednosavno naći s obzirom da je naponski generaora Hevisajdova funkcija. Za računanje indicione funkcije porebno je preposavii da u kolu nema akumulisane energije prilikom uključenja generaora, j. da je u C )= i da je i )=. Pošo su ispunjeni uslovi iz eorema o neprekidnosi napona na kondenzaoru i sruje kroz kalem, počeni uslovi su jednaki: u C )= 2.98a) du C ) = i ) C = 2.98b) Kombinovanjem 2.97) i 2.98), dobija se napon na kondenzaoru prije uključenja opornika u kolo: u C )=U 1 cos ω )) h) 2.99) Vidimo da je napon na kondenzaoru jednak zbiru jedne nepromjenljive komponene U, koja je posljedica dejsva generaora, i jedne naizmjenične komponene Ucos ω ), koja je posljedica razmjene energije izme du kalema i kondenzaora, uložene u kolo u renuku uključenja generaora. Indiciona funkcija napona na generaoru je: f )=1 cos ω )) h) 2.1) pa je ražena Grinova funkcija jednaka: g)=ω sin ω ) h) 2.11) Vidimo da je Grinova funkcija prosoperiodična funkcija vremena, šo daje dodani argumen za zaključke o režimu kola. Oblik Grinove funkcije povr duje da će se uloženi kvan energije razmjenjivai izme du kondenzaora i kalema. Odre divanje renuka uključenja opornika u kolo: Od renuka =, u kolu djeluje generaor nepromjenljivog napona U, a iz jednačine 2.99) ćemo odredii jedan od renuaka npr. 1 ) kada je napon na kondenzaoru maksimalan. u C 1 )=U max cos ω 1 )= a) 46

25 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA u C ) 2U 1 Slika 2.15 Vremenski oblik napona na kondenzaoru prije uključenja opornika u kolo.. ω 1 = 2k1)π, k=, 1, 2, b) pa je za k= jednako 1 =π/ω. Nakon uključenja opornika u kolo Slika 2.14b), dolazi do promjene sopsvenog režima rada kola, pa je porebno odredii kolika je akumulisana energija u kolu neposredno prije zavaranja prekidača. Napon na kondenzaoru je jednak u C 1 )=2U, a sruja kroz kalem iznosi i 1 )=C du C1 ) =. S obzirom da su i dalje ispunjeni uslovi iz eorema o neprekidnosi napona na kondenzaoru i sruje kroz kalem, važi da je u C 1 )=2U i i 1 )=. Nakon uključenja opornika u kolo, važe sljedeće linearne jednačine: u g )=u L )u C ) 2.13a) i C )=C du C) u L )=L di) i L )=i C )i ) u C )=i ) 2.13b) 2.13c) 2.13d) 2.13e) Kombinovanjem jednačina 2.13), dobija se diferencijalna jednačina UI za sruju kroz opornik: d 2 i ) 2 1 di ) 1 C LC i )= 1 LC u g), ) Karakerisični polinom elekričnog kola je s 2 2αsω 2 =, gdje jeα=1/2c), aω 2 = 1/LC. Pošo je L=2 C kolo je u pseudoperiodičnom režimu, gdje je ω 1 = 3α. Komplean odziv je: i )=K 1 e α cos ω 1 )K 2 e α sin ω 1 ) U, ) 47

26 2.5. SUPEPOZICIONI INTEGAL Počeni uslovi su: i 1 )= u C 1 ) = 2U 2.16a) di 1 ) = 1 du C 1 ) = 1 C i C 1 )= 1 il 1 C 1 )) = 2U 2 C 2.16b) Kombinovanjem jednačina 2.14) i 2.16), dobija se sruja kroz opornik: i )= U 1e α 1 ) cos ω 1 1 )) 3e α 1) sin ω 1 1 )) ) h 1 ) 2.17) Komplean odziv se razlikuje od odziva na akumulisanu energiju i odziva na eksiaciju po načinu odre divanja počenih uslova. Ukoliko je eksiacija Hevisajdovog alasnog oblika, komplean odziv se može naći na način opisan u ovom zadaku. Me duim, ukoliko imamo eksiaciju proizvoljnog alasnog oblika, odziv na eksiaciju se može naći preko suporepozicionog ili konvolucionog inegrala. U om slučaju, odziv na akumulisanu energiju reba odredii posebno. Komplean odziv je zbir odziva na akumulisanu energiju i odziva na eksiaciju. 2.5 Superpozicioni inegral Superpozicioni inegral se korisi da se na de odziv na eksiaciju proizvoljnog alasnog oblika. Ukoliko sa e) označimo eksiaciju, sa o), raženi odziv i sa f ) odgovarajuću indicionu funkciju, superpozicioni inegral se može korisii u jednom od čeiri oblika: o)=e) f ) o)=e) f ) o)=e) f ) o)=e) f ) e τ) f τ)dτ e τ) f τ)dτ eτ) f τ)dτ e τ) f τ)dτ 2.18a) 2.18b) 2.18c) 2.18d) 48

27 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA pri čemu se srogo mora vodii računa o ome da li je funkcija čiji izvod ražimo prekidna ili neprekidna funkcija vremena. Zadaak 21. Paralelno C kolo se napaja srujnim generaorom, čiji je alasni oblik prikazan na Slici. Ako je T= C, odredii napon na krajevima generaora za. U renuku = u kolu nije bilo akumulisane energije. u g ) i g ) u C U T a) Paralelna Paralelno C kolo i srujni generaor b) Vremenski oblik naponskog generaora. Slika 2.16 ješenje. Talasni oblik eksiacije nije pogodan za klasično rješavanje diferencijalne jednačine koja daje realciju izme du ulaza i izlaza, pošno je eksiacija prekidna funkcija vremena i nije jednosavno preporsavii oblik prinudnog rješenja. Da bismo našli raženi napon, porebno je izračunai odgovarajuću indicionu funkciju i odabrai jedan od oblika superpozicionog inegrala 2.18). Da bismo izračunali indicionu funkciju, porebno je samo preposavii Hevisajdovu eksiaciju, s obzirom da su zadani nuli počeni uslovi. Posavljanjem sisema jednačina po Kirhofovim zakonima i sisema jednačina linearnih veza izme du sruja i napona na svim elemenima kola, dobija se popun sisem jednačina, koji je dovoljan za odre divanje relacije izme du srujnog generaora i raženog napona: du) 1 C u)= 1 C i g), 2.19) Pošo je eksiacija prekidna funkcija vremena, j. njen alasni oblik je različi za različie vremenske inervale, nije moguće preposavii jedinsveno parikularno rješenje, pa prvo ražimo indicionu funkciju. Preposavka Hevisajdove eksiacije: Ukoliko preposavimo da je i g )=Ih), difrencijalna jednačina 2.19) dobija oblik: du) 1 C u)= I h), 2.11) C 49

28 2.5. SUPEPOZICIONI INTEGAL čijim se rješavanjem dobija napon: u)=i 1 e C pa je indiciona funckija za napon srujnog generaora jednaka: ) h) 2.111) f )= 1 e C) h) 2.112) Posmarajući sva čeiri oblika superpozicionog inegrala, vidimo da e formule predsavljaju jednačine za računanje renune vrijednosi odziva. Da bi ilusrovali značaj izbora ipa superpozicionog inegrala, zadaak će bii rješen na dva načina. Prvi način: Ukoliko korisimo superpozicioni inegral oblika 2.18c), reba da ražimo odziv za različie inervale posebno, jer je eksiacija prekidna funkcija vremena. Inerval <T: Tokom ovog vremenskog inervala je: pa superpozicioni inegral dobija oblik: u)=i g ) f ) sre divanjem se dobija: i g )= I T, f τ)= τ e C 2.113) T i g τ) f τ)dτ= u)= I T 2 e C Iτ τ e C T 2 dτ 2.114) τe τ C dτ 2.115) Inegral 2.115) se rješava parcijalnom inegracijom i nakon sre divanja se dobija: ) u)=i T 1e C 2.116) Inerval T < 2T: Tokom ovog vremenskog inervala je: i g )= I T 2T), f τ)= T pa superpozicioni inegral dobija oblik: u)= T Iτ τ e C T 2 dτ T 5 e τ C 2.117) I τ τ 2T)e C T 2 dτ 2.118)

29 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA ačunanjem i sre divanjem izraza 2.118) se dobija: u)=i 12e) e T T 3 ) 2.119) Inerval 2T: Tokom ovog vremenskog inervala je: pa superpozicioni inegral dobija oblik: u)= T i g )=, f τ)= τ e C 2.12) T 2T Iτ τ I τ e C T 2 dτ τ 2T)e C T 2 dτ τ e C dτ 2.121) T T 2T ačunanjem i sre divanjem izraza 2.121) se dobija: u)=ie T 12e e 2 ) 2.122) Drugi način: Ukoliko korisimo superpozicioni inegral oblika 2.18a), porebno je posebno obraii pažnju na prekidnos eksiacije s obzirom da se raži njen izvod. Inerval < T: Tokom ovog vremenskog inervala je: i g)= I T, f τ)= ) 1 e τ T 2.123) pa superpozicioni inegral dobija oblik: u)=i g ) f ) i g τ) f τ)dτ= I T τ ) 1 e T dτ 2.124) ješenje inegrala 2.124) je: ) u)=i T 1e C 2.125) Inerval T < 2T: Tokom ovog vremenskog inervala je: i g)= I T, f τ)= ) 1 e τ T 2.126) 51

30 2.6. KONVOLUCIONI INTEGAL Pošo funkcija i g ima prekid prve vrse u renuku =Tpa superpozicioni inegral dobija oblik: u)= T I T τ ) 1 e T dτ ig T ) i g T ) ) ačunanjem i sre divanjem izraza 2.127) se dobija: u)=i 12e) e T ) T 3 T I T τ ) 1 e T dτ 2.127) 2.128) Inerval 2T: Tokom ovog vremenskog inervala je: i g )=, f τ)= 1 e τ T ) 2.129) pa superpozicioni inegral dobija oblik: u)= T ) I τ T 1 e T dτ ig T ) i g T ) ) 2T ) I τ T 1 e T dτ 2T ) 2.13) 1 e τ T dτ T ačunanjem i sre divanjem izraza 2.13) se dobija: u)=ie T 12e e 2 ) 2.131) ješenja prema prvom i drugom načinu rješavanja su jednaka, me duim, vidimo da ukoliko izaberemo inegral oblika 2.18a) inegrali koji reba da se računaju su jednosavniji nego kada korisimo inegral oblika 2.18c). 2.6 Konvolucioni inegral Konvolucioni inegral se korisi da se na de odziv na eksiaciju proizvoljnog alasnog oblika. Ukoliko sa e) označimo eksiaciju, sa o), raženi odziv i sa g) odgovarajuću Grinovu funkciju, konvolucioni inegral se može korisii u jednom od dva oblika: o)= o)= eτ)g τ)dτ e τ)gτ)dτ 2.132a) 2.132b) 52

31 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA Zadaak 22. Na krajevima redne veze kalema indukivnosi L i opornika opornosi Slika 2.17a), priključen je naponski generaor čiji je alasni oblik prikazan na Slici 2.17b. Odredii analiički izraz za sruju kroz kolo pomoću konvolucionog inegrala. U renuku = u kolu nije bilo akumulisane energije. i u g ) u g ) L U T a) L kolo i naponski generaor b) Vremenski oblik naponskog generaora. Slika 2.17 ješenje. Posavljanjem jednačina po Kirhofovim zakonima i linearnih veza izme du napona i sruja na elemenima kola, može se dobii relacija izme du eksiacije i odziva: di) L u)= 1 L u g), 2.133) Da bi našli odziv pomoću konvolucionog inegrala porebno je naći Grinovu funkciju za sruju. Preposavljanjem eksiaciju Hevisajdovog oblika, možemo naći indicionu funkciju. Grinova funkcija se bobija kao izvod indicione funkcije: g)= 1 L e L h) 2.134) Sruju kroz kolo dobijamo rješavanjem jednog od inegrala 2.132: Inerval <T: Tokom ovog inervala, napon naponskog generaora je konsanan i ima vrijednos U, pa je: i)= U L e L τ) dτ= U 1 e ) L 2.135) Inerval T: Tokom ovog inervala, napon naponskog generaora je jednak nuli, 53

32 2.6. KONVOLUCIONI INTEGAL pa je sruja jednaka: i)= T U L e L τ) dτ= U e L e L T 1 ) 2.136) Zadaak 23. Napon na prisupnim krajevima elekričnog kola sa jednim prisupom Slika 2.18a) se analiički može opisai sa u) = 2 [V] Slika 2.18b). Taj napon predsavlja odziv na impulsnu srujnu eksiaciju jačine udara Φ = 1. Ako se na prisupne krajeve og kola priključi Hevisajdov srujni generaor i h )=h), odredii napon na prisupnim krajevima og kola. u) i g ) u E.K. 2 2 a) Kolo sa jednim prisupom isrujni generaor. b) Vremenski oblik odziva na impulsnu srujnu eksiaciju. Slika 2.18 ješenje. Pošo je napon sa Slike 2.18b odziv na impulsnu srujnu eksiaciju jačine udara Φ = 1, a funkcija zapravo predsavlja Grinovu funkciju za napon na ulazu kola sa jednim prisupom. Poznavajući Grinovu funkciju izlazne veličine, pomoću konvolucionog inegrala je moguće naći odziv na eksiaciju proizvoljnog alasnog oblika. Grafička inerpreacija konvolucionog inegrala: Ukoliko posmaramo konvolucioni inegral: u)= i g τ)g τ)dτ 2.137) vidimo da se renuna vrijednos napona u) računa kao odre deni inegral proizvoda funkcije eksiacije iτ) i reflekovane Grinove funkcije pomjerene u aj renuak, obilježene sa g τ). Treba napomenui da je vremenska osa obilježena saτ, dok je fiksirani renuak u kojem se raži odziv. 54

33 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA gτ) 2 g τ) 2 2 a) Originalna Grinova funkcija. g1 τ) 2 τ 2 τ b) eflekovana Grinova funkcija. g2 τ) τ c) eflekovana Grinova funkcija pomjerena za =1. 2 τ d) eflekovana Grinova funkcija pomjerena za =2. Slika 2.19 Na Slici 2.19 vidimo kakav efeka imaju refleksija i pomjeranje na Grinovu funkciju. efleksija funkcije predsavlja simerično preslikavanje u odnosu na ordinau Slika 2.19b). Može se zaključii da funkcija g τ) predsavlja reflekovanu Grinovu funkciju pomjerenu u renuak. Podinegralna funkcija u jednačini 2.137) je proizvod pomjerene reflekovane Grinove funkcije i eksiacije. Trenuna vrijednos napona u renuku je inegral og proizvoda u granicama od do. Trenuna vrijednos napona predsavljena jednačinom 2.137) se računa kao površina ispod funkcije proizvoda hτ)g τ). Pošo je Hevisajdova funkcija jednaka jedinici zaτ, u ovom slučaju renuna vrijednos napona je jednaka inegralu pomjerene reflekovane Grinove funkcije u granicama od do. Sa Slike 2.2 vidimo da će se renuna vrijednos napona u) povećavai sve dok je pomjeraj u vremenu manji od = 2. Nakon og renuka, proizvod hτ)g τ) je konsanan, pa napon u) ima nepromjenljivu vrijednos za 2. Analiičko rješenje konvolucionog inegrala: Da bi povrdili prehodnu analizu, odziv će bii izračuna direkno rješavanjem konvolucionog inegrala. 55

34 2.6. KONVOLUCIONI INTEGAL u gτ)g.5 τ)dτ u gτ)g1 τ)dτ τ a) Pomjerena reflekovana Grinova funkcija i eksiacija u renuku = τ b) Pomjerena reflekovana Grinova funkcija i eksiacija u renuku =1. u gτ)g1.5 τ)dτ u gτ)g2.5 τ)dτ τ c) Pomjerena reflekovana Grinova funkcija i eksiacija u renuku = τ d) eflekovana Grinova funkcija pomjerena za =2.5. Slika 2.2 Inerval <2: Tokom ovog ineravla je: pa je napon jednak: i g τ)=1, g τ)=2 τ 2.138) u)= 2 τ) dτ= ) 2τ τ τ2 = ) Inerval 2: Tokom ovog ineravla je: i g τ)=1, g τ)=2 τ 2.14) me duim, donja granica inegrala je 2 jer je prije og momena g τ) jednaka nuli. U ovom slučaju napon je: u)= 2 2 τ) dτ= ) 2τ τ τ2 = )

35 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA 2.7 Odziv u kolima sa konrolisanim generaorima Zadaak 24. U elekričnom kolu prikazanom na slici je usposavljeno sacionarno sanje. U renuku =, ovara se prekidač P. Pokazai da je moguće odredii ranskondukansu γ srujnog generaora konrolisanog naponom, ako da napon u 2 ), poslije ovaranja prekidača bude prosoperiodična funkcija vremena, a zaim odredii napon u 2 ) za. P C 1 γu 2 ) 1 2 C 2 u 2 U Slika 2.21 Elekrično kolo sa konrolisanim generaorom i prekidačem. ješenje. Zadano elekično kolo sadrži naponski konrolisan srujni generaor i prekidač pomoću kojeg se u kolo može uključii ili isključii grana sa generaorom. Naponski konrolisan srujni generaor može da predsavlja model MOSFET ranzisora, a pošo je porebno odredii paramear konrolisanog srujnog generaora, ako da režim kola bude prosoperiodičan, zadano kolo je zapravo ekvivalenna šema oscilaora. Za <, preposavlja se da je proeklo dovoljno vremena da se završe svi prelazni procesi, j. svi kondenzaori su napunjeni i predsavljaju prekid Slika 2.22a). Počeni uslovi su naponi na krajevima kondenzaoru u renuku = : u 1 )= 2U 1 γ 1), u 2 )= 2U 2.142) 2 2 Već su izvedeni uslovi Zadaak 14) da elekrično kolo bez eksiacije bude u prosoperiodičnom režimu. Porebno je da u nekom vremenskom renuku kolo ima akumulisanu energiju i da ima karakerisični polinom oblika s 2 ω 2 =. Nakon ovaranja prekidača P, imamo elekrično kolo prikazano na Slici 2.22b. Jednačine za čvorove 1 i 2 posavljene po prvom Kirhofovom zakonu glase: γu 2 )= 1 1 u 1 )u 2 )) C 1 du 1 ) 2.143a) C 1 du 1 ) = u 2) 2 57 C 2 du 2 ) 2.143b)

36 2.7. ODZIV U KOLIMA SA KONTOLISANIM GENEATOIMA u 1 γu 2 ) 1 2 u 2 U a) Kolo prije ovaranja prekidača u sacionarnom sanju. u γu 2 ) i 1 1 C 1 2 i 2 C 2 u 2 b) Kolo nakon zavaranja prekidača sa označenim referennim smjerovima. Slika 2.22 Kombinovnanjem jednačina 2.143) dobijamo diferencijalnu jednačinu po izlaznom naponu u 2 ) za : d 2 u 2 ) C 1 1 C 2 1 γ 1 )) 1 du2 ) 2 u 2 ) 1 2 C 1 C 2 = 2.144) Da bi prehodna jednačina odgovarala opšem obliku diferencijalne jednačine za prosoperiodičan režim porebno je da realni dio sopsvene učesanosi bude jednak nuli, odnosno reba da bude: α= C 1 1 C 2 1 γ 1 )) 1 = 2.145) 2 Dakle, da bi kolo radilo kao oscilaor ranskondukansaγ reba da bude: γ= 1 C2 ) C ) 58

37 GLAVA 2. ODZIVI U KOLIMA PVOG I DUGOG EDA Ukoliko je ispunjen uslov 2.146), diferencijalna jednačina 2.144) se svodi na: d 2 u 2 ) u 2 ) 2 =, 2.147) 1 2 C 1 C 2 čije opše rješenje možemo preposavii u obliku: u 2 )=K 1 cos ω )K 2 sin ω ), 2.148) S obzirom da su ispunjeni uslovi iz eoreme o neprekidnosi napona na kondenzaoru, iz jednačina 2.142) se dobijaju počeni uslovi: u 2 )= 2U 2 du 2 ) U = C 2 2 ) 2.149a) 2.149b) Kombinovanjem jednačine 2.147) i počenih uslova 2.149) dobija se raženi napon: u 2 )= U ω 2 cos ω arcan C2 2 1 ω C 2 2 ) 2.15) 2.8 Teorema neprekidnosi Odziv u vremenskom domenu se u opšem obliku raži kao rješenje diferencijalne jednačine koja daje relaciju izme du eksiacije i izlazne promjenljive. U zavisnosi od broja nezavisnih elemenaa sa memorijom koji se nalaze u kolu i načina njihovog me dusobnog povezivanja, ova diferencijalne jednačina će imai odre deni red. U prehodnim poglavljima je dealjno izloženo nekoliko meoda za nalaženje odziva na akumulisanu energiju i eksiaciju u slučaju da red UI jednačine ne prelazi dva. U slučaju da ovaj uslov nije zadovoljen, direkno rješavanje diferencijalne jednačine se usložnjava. Me duim, pošo se Teorija elekričnih kola ograničava na linearna i vremenski invarijanna kola, diferencijalna jednačina će uvijek bii sa konsannim poziivnim koeficijenima. Već je pokazano da je dio diferencijalne jednačine lijevo od znaka jednakosi svojsven za kolo, pa će sopsveni odziv bii isog oblika 5 bez obzira na red diferencijalne jednačine. Tako de, poznao je da je prinudni odziv uvijek u obliku eksiacije, pa pošo lijeva i desna srana diferencijalne jednčine moraju bii izbalansirane, analiički oblik opšeg rješenja se uvijek može preposavii. 5 Linearna kombinacija parikularnih rješenja homogene diferencijalne jednačine. 59

38 2.8. TEOEMA NEPEKIDNOSTI Ako sa x) označimo eksiaciju, sa y) označimo izlaznu promjenljivu i ukoliko umjeso oznake za prvi izvod d/ uvedemo diferencijalni operaor D, opši oblik UI jednačine se može napisai kao: a n D n y)a n 1 D n 1 y)...a 1 Dy)a y)= b m D m x)b m 1 D m 1 y)...b 1 Dx)b x) 2.151) odnosno kao: AD)y) = BD)x) 2.152) adi lakše analize, preposavimo da je polinom AD) drugog reda a da je polinom BD) prvog reda: a2 D 2 a 1 Da ) y)=b1 Db ) x) 2.153) Ukoliko eksiacija x) ima prekid prvog reda, j. Hevisajdovu eksiaciju, ada Dx) sadrži Dirakovu funkciju, pa Dirakova funkcija mora da se nalazi u jednom od članova sa lijeve srane jednačine 2.153). Taj impuls je prekid najvećeg reda sa desne srane znaka jednakosi, pa mora da bude u članu D 2 y). Pošo se funkcija y) dobija dvosrukom inegracijom D 2 y), y) je sigurno neprekidna funkcija vremena, y) = z)h). Ako eksiacija x) sadrži Dirakovu funkciju, ada Dx) sadrži izvod Dirakove funkcije, pa sličnim rezonom zaključujemo da član D 2 y) ako de sadrži izvod Dirakove funkcije. Soga, član Dy) mora da sadrži Dirakovu funkciju, a član y) Hevisajdovu funkciju. Može se zaključii da je i u ovom slučaju y) neprekidna funkcija vremena i da se može preposavii u obliku y) = z)h). Preposavimo da x) sadrži prvi izvod Dirakove funkcije, pa član Dx) mora da sadrži drugi izvod Dirakove funkcije. Tako de D 2 y) mora da sadrži drugi izvod izvod Dirakove funkcije. Poslije inegracije vidimo da član Dy) sadrži prvi izvod Dirakove funkcije, a član y) ima Dirakovu funkciju. U ovom slučaju y) nije neprekidna funkcija vremena i mora se preposavii u obliku y) = z)h)hδ). U opšem slučaju rješenje diferencijalne jednačine preposavljamo u obliku: y)=z)h)h 1 δ)h 2 δ 1) H 3 δ 2) ) Dakle, odziv se preposavlja u obliku sume proizvoda neke neprekidne funkcije z) i Hevisajdove funkcije h) i linearne kombinacije porebnog broja izvoda Dirakove funkcije. Preposavljeno rješenje mora da zadovoljava diferencijalnu jednačinu, pa se uvršavanjem 2.154) u 2.151) dobijaju sve neophodne konsane. Zadaak 25. U kolu bez akumulisane energije, poznaih parameara L i Cdjeluje generaor napona u g ) = Uh T). Odredii renunu vrijednos napona u) ovorenog prisupa. 6