ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΚΑΙΟΛΟΓΗΣΗΣ

Transcript

1 1 η ΕΡΩΤΗΣΗ ΜΗΧΝΙΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΤΟΣ 3 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΙΙΟΛΟΓΗΣΗΣ Ένας µαθητής της Γµνασίο το ρακτικού τµήµατος στη δεκαετία το 7 δεν έχει γεωµετρικά όργανα και στο αιφνίδιο διαγώνισµα Γεωµετρίας χρειάζεται να σχεδιάσει κύκλος διαφορετικών ακτίνων. Για καλή το τύχη στα κέρµατα ο έχει µαζί το άρχον και δύο δεκάρες (για τος νεώτερος: 1 δεκάρα = 1 της δραχµής).ρατάει 1 ακίνητη τη µία δεκάρα κέντρο 1 και θέτει τη µύτη ενός στλό στη µικρή οή ο έχει στο κέντρο το το άλλο µικρής αξίας αλλά ολύτιµο για την ερίσταση- νόµισµα,η δεκάρα κέντρο. 1 Μετατοίζει µε τη βοήθεια το στλό τη δεκάρα κέντρο έτσι ώστε ατή να κλίεται χωρίς να ολισθαίνει στην εριφέρεια της ρώτης ακίνητης δεκάρας κέντρο 1.Θεωρούµε ότι η µύτη το στλό διαγράφει την εριφέρεια κύκλο ο αντιστοιχεί στις διαδοχικές θέσεις το κέντρο της κινούµενης δεκάρας. Όταν η κινούµενη δεκάρα θα έχει εκτελέσει Ν 1 εριστροφές γύρω αό το κέντρο 1 της ακίνητης δεκάρας, οι εριστροφές Ν ο θα έχει εκτελέσει γύρω αό άξονα κάθετο σ ατήν ο διέρχεται το κέντρο της θα είναι: A 1. α. Ν = Ν 1 β. Ν = Ν 1 γ. Ν = 1 Ν 1. Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. η ΕΡΩΤΗΣΗ ύο όµοιοι τροχοί ακτίνας R έχον τλιγµένο στην εριφέρειά τος οµογενή και ισοαχή ιµάντα µικρού άχος µάζας m. Το σύστηµα τροχοί ιµάντας βρίσκεται άνω σε οριζόντιο είεδο. Οι τροχοί κλίονται χωρίς να ολισθαίνον µε ταχύτητα µέτρο. ν η ροή αδρανείας σώµατος µάζας m ο έχει τη µορφή εριφέρειας κύκλο µικρού άχος ακτίνας R ως ρος άξονα κάθετο ρος ατό ο διέρχεται αό το κέντρο το κύκλο είναι Ι=mR, η κινητική ενέργεια το ιµάντα είναι : Β 1. α. K= 1 m β. K= m γ. K= m Β. Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας

2 3 η ΕΡΩΤΗΣΗ Οµογενής ράβδος Ο µάζας m και µήκος µορεί να στρέφεται ερί το σταθερό άκρο της Ο. ρχικά η ράβδος ισορροεί στην κατακόρφη θέση. H ράβδος στρέφεται και φθάνει στην οριζόντια θέση.για τη µετατόιση ατή το έργο τ της ροής της δύναµης το βάρος είναι: Ο Γ 1. α. τ = - mg β. τ = - mg Γ. Να δικαιολογήσετε την αάντησή σας. γ. τ = ΠΝΤΗΣΗ A 1. β. Η δεκάρα κέντρο κλίεται χωρίς να ολισθαίνει στην εριφέρεια της δεκάρας κέντρο 1,άρα για την ταχύτητα το εκάστοτε σηµείο εαφής της κλιόµενης δεκάρας µε την ακίνητη ισχύει = και για τα µέτρα των ταχτήτων έχοµε: cm = Π (1) όο cm = το µέτρο της ταχύτητας το κέντρο µάζας της κλιόµενης δεκάρας και Π = το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας των σηµείων της εριφέρειας της κλιόµενης δεκάρας λόγω της στροφικής της κίνησης. ό την (1): ) ) sµ s = όο s ) µ = το τόξο ο διανύει το κέντρο K σε χρόνο t, λόγω της µεταφορικής το t t κίνησης η οοία είναι κκλική ακτίνας R cm cm Π ω και s ) = το τόξο ο διανύει το εκάστοτε σηµείο εαφής της κλιόµενης δεκάρας µε την ακίνητη δεκάρα στον ίδιο χρόνο t.άρα s ) µ = s ) (). ό () Ν 1 R = N R N =Ν 1. Β 1. γ Β. Εειδή οι τροχοί κλίονται χωρίς να ολισθαίνον µε ταχύτητα µέτρο, η γραµµική ταχύτητα των σηµείων των εριφερειών τος λόγω της στροφικής τος κίνησης Π έχει το ίδιο µέτρο µε την ταχύτητα των κέντρων µάζας τος δηλαδή Π =. Για τα σηµεία τος και ισχύει = = (1).ντίστοιχα για τα ανώτερα σηµεία τος Β και Γ ισχύει Β = Γ =(). Π Β Β = Γ Γ = Π - -

3 Εειδή ο ιµάντας είναι οµογενής λόγω σµµετρίας ισχύει ότι m Β =m Γ (1) και m ΒΓ =m () όο: m Β,m ΒΓ,m Γ και m οι µάζες των τµηµάτων Β, ΒΓ, Γ, αντίστοιχα το ιµάντα. Το τµήµα Β το ιµάντα εκτελεί µεταφορική και στροφική κίνηση και έχει κινητική ενέργεια : Β = 1 m Β + 1 Ι Β ω Β = 1 m Β + 1 m ΒR ω Β = m Β (3) διότι για το µέτρο της γραµµικής ταχύτητας των σηµείων το ιµάντα ο λόγω της εαφής τος µε τος τροχούς σµµετέχον στην εριστροφική κίνηση των τροχών, ισχύει =ωr=. ντίστοιχα λόγω σµµετρίας το τµήµα έχει κινητική ενέργεια Γ =m Γ (4) Το τµήµα είναι ακίνητο λόγω της (1),άρα = (5) Το τµήµα ΒΓ εκτελεί µόνο µεταφορική κίνηση και έχει κινητική ενέργεια ΒΓ = 1 m ΒΓ () ΒΓ = m ΒΓ (6) Η ολική κινητική ενέργεια το ιµάντα είναι = Β + ΒΓ + Γ + =(m Β + m ΒΓ + m Γ ) () =( m Β + m ΒΓ + m Γ + m ) =m. (3),(4) (5),(6) *Το θέµα ατό αοτελεί τροοοίηση αλαιότερο θέµατος ο έχει τεθεί στον Πανελλήνιο ιαγωνισµό Φσικής Γ 1. α Γ. 1 ος Τρόος Η ροή το βάρος τ σε τχαία θέση ο η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία ˆφ σε σχέση µε την αρχική της κατακόρφη διεύθνση, είναι τ = mg(ο ) τ = mg(γ) τ = mg ηµ ˆφ, δηλαδή ρόκειται για ροή µεταβλητού µέτρο (ηµιτονοειδούς µορφής).το στοιχειώδες έργο της ροής το βάρος για στροφή της ράβδο Ο ˆφ Γ κατά dφ είναι d τ = - mg ηµ ˆφ dφ όο το ρόσηµο (-) οφείλεται στο ότι η δύναµη το βάρος αντιτίθεται στην στροφική κίνηση της ράβδο για γωνίες εριστροφής ˆφ αό έως (< ˆφ <).Το έργο της ροής το βάρος ολογίζεται ως το εµβαδόν ο ερικλείεται µεταξύ της ηµιτονοειδούς καµύλης και το άξονα <<των φ>> µε ολογισµό το αντίστοιχο ορισµένο ολοκληρώµατος: - 3 -

4 τ mg mg 3 φ τ τ =- τ = mg ηµφ dφ -mg τ =- mg ηµφ dφ τ = -mg -σνφ ος Τρόος Το έργο της ροής το βάρος τ κατά τη στροφική κίνηση της ράβδο είναι το έργο της δύναµης το βάρος. Η δύναµη το βάρος είναι δύναµη σταθερής κατεύθνσης και µέτρο και µετατοίζει το σηµείο εφαρµογής της σε καµύλη τροχιά. οδεικνύεται ότι το µέτρο το έργο µίας δύναµης µε ατά τα χαρακτηριστικά ισούται: µε το γινόµενο το µέτρο της δύναµης και της ροβολής της καµύλης τροχιάς άνω στη διεύθνση το φορέα της δύναµης. Το ρόσηµο της αριθµητικής τιµής το έργο είναι αντίστοιχα θετικό ή αρνητικό όταν η δύναµη έχει τη φορά της κίνησης το σώµατος στο οοίο ασκείται η δύναµη ή αντιτίθεται σ ατήν.η σχετική αόδειξη άρχει στην ανάρτηση το.μάργαρη Έργο µιας µη σταθερής ροής. Άρα τ = = - mg(ο) τ = - 3 ος Τρόος mg Το έργο της ροής το βάροςτ κατά τη στροφική κίνηση της ράβδο είναι το έργο της δύναµης το βάρος.το βάρος όµως είναι µία σντηρητική δύναµη και το έργο της δίνεται εξ ορισµού αό τη σχέση =U ΡΧ U ΤΕΛ (1).Ορίζοµε ως είεδο αναφοράς για τη µέτρηση της ναµικής Ενέργειας βαρτικού εδίο το οριζόντιο είεδο ο διέρχεται αό τη θέση το κέντρο µάζας της ράβδο στην αρχική της (κατακόρφη) θέση,άρα U ΡΧ = και αό τη σχέση (1): = mg

5 Σχόλιο Οι τρεις τρόοι αρατίθενται για να καταδειχθεί ότι στην ερίτωση ο η δύναµη της οοίας ζητείται το έργο της ροής της είναι σντηρητική, ροτιµάται ροφανώς ο 3 ος Τρόος, ακόµα και σε εφαρµογές το Θεωρήµατος Έργο- Ενέργειας σε στροφική κίνηση όο αν και αναφερόµαστε σε έργα ροών δνάµεων, στις σντηρητικές δνάµεις η διαδικασία αλοοιείται µε εφαρµογή το ορισµού το έργο σντηρητικής δύναµης. ν η δύναµη ΕΝ είναι σντηρητική, µετατοίζει το σηµείο εφαρµογής της σε καµύλη τροχιά και η ροή της είναι µεταβλητού µέτρο, κατ ανάγκη χρησιµοοιούµε το ο Τρόο. Ο 1 ος Τρόος είναι η γενίκεση και χρησιµοοιείται όταν το µέτρο της ροής της δύναµης δεν είναι σταθερό είτε εειδή η δύναµη είναι µεταβλητού µέτρο είτε εειδή µεταβάλλεται ο µοχλοβραχίονάς της. ν το µέτρο της ροής είναι γραµµική σνάρτηση της γωνίας: τ=α ˆφ +β (.χ. µια τέτοια ροή ροκύτει αό δύναµη F µε µέτρο F=1-φ (S.I) όο φ= η γωνία στροφής το σώµατος, ο είναι διαρκώς κάθετη σε κάοιο σηµείο στρεφόµενης ράβδο, άρα έχει σταθερό µοχλοβραχίονα) όο α και β σταθερές τότε ο ολογισµός το έργο της ροής γίνεται εύκολα µε ολογισµό το εµβαδού το αντίστοιχο χωρίο. Ξ.ΣΤΕΡΓΙ ΗΣ - 5 -