ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ

Transcript

1 ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ & ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ ΤΟΜΕΑΣ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΙΚΩΝ ΚΑΤΑΣΚΕΥΩΝ & ΑΥΤΟΜΑΤΟΥ ΕΛΕΓΧΟΥ ΣΧΟΛΗ ΜΗΧΑΝΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΣΥΣΤΗΜΑΤΩΝ έκδοση DΥΝI-FVDOFS-06b

2 Cpyrig Ε.Μ.Π Σχολή Μηχανολόγν Μηχανικών Εργαστήριο Δυναμικής και Κατασκευών κτ. Μ αιθ. Μ00 Με επιφύλαξη παντός δικαιώματος. Απαγορεύεται η χρήση, αντιγραφή, αποθήκευση και διανομή της παρούσας παρουσίασης, εξ ολοκλήρου ή τμήματος αυτής, για πάσης φύσες εμπορικό ή επαγγελματικό σκοπό. Επιτρέπεται η ανατύπση, αποθήκευση και διανομή για σκοπό μη κερδοσκοπικό, εκπαιδευτικής ή ερευνητικής φύσες, υπό την προϋπόθεση να αναφέρεται η πηγή προέλευσης και να διατηρείται το παρόν μήνυμα. Πληροφορίες Δρ. Ι. Αντνιάδης, Καθηγητής, agia@cral.ua.gr, Δρ. Χ. Γιακόπουλος, ΕΔΙΠ, cryiak@cral.ua.gr,

3 Σύστημα Β.Ε. υπό ελεύθερη ταλάντση

4 μετατόπιση Σύστημα Β.Ε.: Γραμμικό μονοβάθμιο μηχανικό σύστημα m-k-c Μηχανικό σύστημα Β.Ε. Διάγραμμα ελευθέρου σώματος F m k c m F F k F c F m Εξίσση κίνησης Νόμος Νεύτνα m c k F Δυν. αδράνειaς Δυν. απόσβεσης Δυν. ελαστικίτητας Εξτ. διέγερση Γραμμική διαφορική εξίσση ης τάξης Δυναμική ισορροπία εξτερικής διέγερσης & εστερικών δυνάμεν

5 Σύστημα Β.Ε.: Γραμμικό μονοβάθμιο μηχανικό σύστημα m-k-c m c k F Αρχικές συνθήκες Μαθηματική λύση μετατόπισης ταχύτητας Ομογενής λύση mgu lui ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ συστήματος Δεν ασκείται εξτερική διέγερση Μερική λύση parial lui ΜΟΝΙΜΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ συστήματος Ασκείται εξτερική διέγερση F0 m c k F0

6 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση μηχανικού συστήματος m-k-c m c k F 0 /m criical m c m c km c c c λόγος απόσβεσης φυσική συχνότητα m k m k 0 θερία ομογενών γραμμικών διαφορικών εξισώσεν ης τάξης λύση ά, σταθερ

7 0 0 Χαρακτηριστικό πολυώνυμο συστήματος 0 για μη τετρημένη λύση, δηλ. το χαρακτηριστικό πολυώνυμο έχει μιγαδικές ιδιοτιμές πόλοι: και, ± ± m k m c m c Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση μηχανικού συστήματος m-k-c

8 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση μηχανικού συστήματος m-k-c Επομένς, η γενική ομογενής λύση είναι της μορφής: όπου οι σταθερές και προσδιορίονται από τις αρχικές συνθήκες για A B 0 A B Η συμπεριφορά του συστήματος καθορίεται ανάλογα με την περιοχή τιμών του συντελεστή απόσβεσης : ❶ ❷ ❸ ❹ 0 < < > 0 Υποκρίσιμη απόσβεση ur-amp ym Κρίσιμη απόσβεση criically amp ym Υπερκρίσιμη απόσβεση vr-amp ym Ταλάντση χρίς απόσβεση ❺ < 0 Ασταθές δυναμικό σύστημα

9 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση Υποκρίσιμη απόσβεση ur-amp ym A B Αντικατάσταση Eulr frmula, ± ϑ i cϑ ± i iϑ Tο σύστημα ταλαντώνεται με τέτοιο τρόπο, ώστε το πλάτος της ταλάντσης διαρκώς να μειώνεται 0 < < [ α c β i ] α A B όπου και για... β i A B πραγματικές σταθερές * συχνότητα αποσβενόμενν ταλαντώσεν [ α c β i ]

10 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση * α & β πραγματικές σταθερές α A B β i A B Α & Β μιγαδικές συυγείς* A α i β / B α i β /

11 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση Υπολογισμός α & β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ για V 0 V 0 0 [ α c 0 β i 0] 0 α

12 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση και [ α c β i ] [ α c β i ] [ α i β c ] [ α c β i ] για 0 0 β α V και α β V

13 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση επομένς α [ α c β i ] και β V Τελική Λύση V [ c i ] αποσβενόμενη ιδιοπερίοδος εξαρτάται από μάα & ακαμψία συστήματος, αμελητέα εξάρτηση από απόσβεση καθορίει ρυθμό χρονικής απόσβεσης

14 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση Εναλλακτική μορφή λύσης: ισχύει: i α ± β iα c β ± cα i β θέτουμε: α και β ϕ α β Χ Μ i ϕ... Χ Μ iϕ c Χ Μ cϕ i συγκρίνοντας με: [ α c β i ] α Χ Μ iϕ α i ϕ α aϕ ϕ a και β Χ cϕ β cϕ β Μ

15 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση ϕ α επίσης α a β και β V a ϕ V α Χ Μ i ϕ και β Χ Μ c ϕ α β Χ M ισχύει i ϕ c ϕ και α Χ iϕ α Μ Χ Μ iϕ και β V

16 V Χ Μ i c c i... i Χ Χ Χ Μ Μ Μ ϕ ϕ ϕ α β ] i c [ β α συγκρίνοντας με: και i ϕ V Εναλλακτική Λύση Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση

17 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση χρήσιμες παρατηρήσεις... όπου... i λ i

18 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση Αύξηση της ιδιοσυχνότητας αυξάνει η ταχύτητα της απόκρισης για σταθερό ταχύτερη απόκριση

19 Σύστημα Β.Ε.: Υποκρίσιμη απόσβεση Μείση λόγου απόσβεσης αυξάνει η ταχύτητα της απόκρισης για σταθερό εντονότερες ταλαντώσεις βραδύτερη απόκριση μεγαλύτερη υπερακόντηση

20 Σύστημα Β.Ε.: Κρίσιμη απόσβεση Κρίσιμη απόσβεση criical amp ym Περιγράφει ταλάντση με άπειρη περίοδο ταλάντσης κάτι το οποίο, τεχνικά, δεν επιτυγχάνεται ποτέ. το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ΙΔΙΕΣ πραγματικές & αρνητικές ιδιοτιμές πόλοι: και 0 έχει :, ±, η μορφή της λύσης θερία διαφορ. εξισ. είναι: [ ] [ A B ] τα Α & Β υπολογίονται από τις αρχικές συνθήκες:

21 Σύστημα Β.Ε.: Κρίσιμη απόσβεση Υπολογισμός Α & Β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ 0 για 0 V V 0 0. A B A ] 0 [ και η παράγγος είναι: B A B B A ]} [ { ] [ 0 για V B V B A B 0 0]} [ { 0

22 Σύστημα Β.Ε.: Κρίσιμη απόσβεση επομένς A B V, Τελική Λύση [ V ]... ΜΟΝΟ μαθηματικό ενδιαφέρον

23 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση Υπερκρίσιμη απόσβεση vr-amp ym το χαρακτηριστικό πολυώνυμο Tο σύστημα δεν ταλαντώνεται. Όσο μεγαλύτερο το τόσο μεγαλύτερο χρονικό διάστημα χρειάεται το σύστημα για να επανέλθει σε κατάσταση ισορροπίας. 0 έχει : > ΔΙΑΦΟΡΕΤΙΚΕΣ πραγματικές & αρνητικές ιδιοτιμές πόλοι: και, ± η μορφή της λύσης θερία διαφορ. εξισ. είναι: A... B... A B

24 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση B A ισχύουν οι τριγνομετρικές σχέσεις: c ϑ ϑ ϑ i ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ c i ϑ θέτουμε ] i c [ B A τα Α & Β υπολογίονται από τις αρχικές συνθήκες...

25 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση Υπολογισμός Α & Β από ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ για V 0 V 0 0 [ Ac 0 B 0 i 0] A

26 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση και η παράγγος είναι: B A ] i c [... ] i c [ B A ] c i [ B A ] i c [ B A 0 για A V B V B 0 V

27 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση Τελική Λύση A επομένς V B ] i c [ B A ] i c [ V... το μηχανικό σύστημα δεν ταλαντώνεται

28 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση.5 [mm].5 > [c] Tο σύστημα δεν ταλαντώνεται. Όσο μεγαλύτερο το τόσο μεγαλύτερο χρονικό διάστημα χρειάεται το σύστημα για να επανέλθει σε κατάσταση ισορροπίας.

29 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση Εναλλακτική μορφή λύσης : ισχύει: i α ± β iα c β ± cα i β θέτουμε: α και β ϕ α β Χ Μ i ϕ... Χ Μ iϕ c Χ Μ cϕ i συγκρίνοντας με: [ Ac B i ] α Χ Μ i ϕ α i ϕ α aϕ ϕ a και β Χ cϕ β cϕ β Μ

30 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση ϕ α επίσης α a β και β V a ϕ V και α β Χ Μ Χ Μ i c ϕ ϕ α β Χ M cϕ και α Χ i ϕ α Μ Χ Μ iϕ και β V

31 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση c ϕ M V X i c c i... i Χ Χ Χ Μ Μ Μ ϕ ϕ ϕ α β συγκρίνοντας με: ] i c [ B A και Εναλλακτική Λύση i c ϕ ϕ V X

32 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση Εναλλακτική μορφή λύσης : η μορφή της λύσης θερία διαφορ. εξισ. είναι: ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ για A B V 0 V A B 0... A B

33 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση και η παράγγος είναι: V B A 0 V B A B A V B και B A V A... V V επομένς

34 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση ] [ V, ± με... Εναλλακτική Λύση

35 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση με αρχικές συνθήκες μη μηδενικές... Αύξηση φυσικής συχνότητας μείση χρόνου κατάληξης συστήματος για σταθερό σε ισορροπία

36 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση με αρχικές συνθήκες μη μηδενικές... Αύξηση λόγου απόσβεσης αύξηση χρόνου κατάληξης συστήματος για σταθερό σε ισορροπία

37 Σύστημα Β.Ε.: Υπερκρίσιμη απόσβεση με αρχικές συνθήκες μηδενικές... Αύξηση λόγου απόσβεσης ή μείση φυσικής συχν. αύξηση χρόνου κατάληξης συστήματος σε ισορροπία πιο αργή απόκριση

38 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση Ειδική περίπτση: 0 Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση Από την άποψη του Μηχανικού, αυτή η ειδική περίπτση, αν και δεν συναντάται στη φύση, έχει ιδιαίτερη αξία. Πλεονεκτήματα 0 έναντι 0 < < Υπολογίεται πολύ πιο εύκολα. Επίσης, σε αντίθεση με την ιδιοσυχνότητα, η οποία είναι δυνατόν να προσδιοριστεί πειραματικά, ο λόγος απόσβεσης δεν είναι εύκολα πειραματικά μετρήσιμος. Αφορά μία δυσμενέστερη κατάσταση. Συνεπώς, εάν η σχεδίαση είναι ασφαλής έναντι της δυσμενέστερης κατάστασης, τότε είναι ασφαλής και έναντι της πραγματικής κατάστασης. Σε τέτοιες περιπτώσεις λέμε ότι η σχεδίαση βρίσκεται από την ασφαλή πλευρά af i, ή, ισοδύναμα, η σχεδίαση είναι συντηρητική.

39 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση 0 c 0 η απόκριση προκύπτει λύνοντας την ομογενή διαφορική εξίσση m k το χαρακτηριστικό πολυώνυμο φανταστικές ιδιοτιμές πόλοι: και 0 έχει : ± i, όπου : i

40 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση η μορφή της λύσης θερία διαφορ. εξισ. είναι:... A B και ϕ i ϕ i cϕ i iϕ cϕ i iϕ μιγαδικοί συηγείς αριθμοί θέτουμε ϕ α c β i όπου: α Α Β και: β i Α Β τα α & β υπολογίονται από τις αρχικές συνθήκες...

41 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση ΑΡΧΙΚΕΣ ΣΥΝΘΗΚΕΣ και 0 0 α c β i α 0 0 V 0 και V α c β i β V

42 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση α c β i α β V πραγματικοί αριθμοί V c i Τελική Λύση

43 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση Εναλλακτική μορφή λύσης: ισχύει: α c β i ισχύει η τριγνομετρική σχέση: α cθ β iθ α β c θ ϕ όπου: aϕ β α θέτουμε: α β c α και β V β α

44 Σύστημα Β.Ε.: Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση V c V Εναλλακτική Λύση ιδιοπερίοδος αρχική κατάσταση...t T

45 Σύστημα Β.Ε.: Ασταθές δυναμικό σύστημα < 0 Ιδιαίτερη περίπτση. Ρίες πόλοι του συστήματος: πραγματικοί θετικοί αριθμοί Από την άποψη του Μηχανικού, η συγκεκριμένη κατηγορία αφορά δυναμικά συστήματα, στα οποία υφίσταται κάποια μορφή αστάθειας π.χ. μη γραμμικοί ταλανττές και επιτυγχάνεται πρόσδοση ενέργειας στο σύστημα αντί καταστροφή αυτής. Εφαρμογές: Αιρούμενα καλώδια, στα οποία είναι δυνατόν η αεροελαστική τους αστάθεια να οδηγήσει σε απορρόφηση ενέργειας από την ροή του αέρα, όταν, προφανώς, φυσά άνεμος. Ενεργητική ανάρτηση τν αυτοκινήτν. Αντί του κλασσικού συστήματος παθητικής ανάρτησης «μπουκάλα με υγρό», χρησιμοποιούνται ηλεκτροκινητήρες, με τους οποίους επιχειρείται τυπικά η ανάπτυξη δύναμης σε αντίθετη αναλογία με την κατακόρυφη ταλάντση του οχήματος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου. Ευσταθές σύστημα Ασταθές σύστημα

46 Σύστημα Β.Ε.: Ρίες συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο

47 Σύστημα Β.Ε.: Ρίες συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο

48 Σύστημα Β.Ε.: Ρίες συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο

49 Σύστημα Β.Ε.: Γραμμικό μονοβάθμιο μηχανικό σύστημα m-k-c ❶ Κρίσιμη απόσβεση φθάνει σε ηρεμία πιο γρήγορα από ❷ ισορροπία σε ~ 3/ ❷Υπερκρίσιμη απόσβεση > ❸Ελεύθερη ταλάντση χρίς απόσβεση ❹Υποκρίσιμη απόσβεση 0 < < φθάνει σε ηρεμία πιο αργά από ❶

50 Σύστημα Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης Ελεύθερη ταλάντση με απόσβεση και 0<< και αρχικές συνθήκες & V. Απόκριση μηχανικού συστήματος Α i ϕ

51 Σύστημα Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης μία μέγιστη τιμή της απόκρισης καλείται πλάτος ταλάντσης το πλάτος ταλάντσης μειώνεται από κύκλο σε κύκλο σύμφνα με την απόσβεση ο Τ π ο ο π κάθε νέο μέγιστο θα εμφανίεται ο π

52 Σύστημα Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης i ϕ ο Α i ϕ Α T T ο T ο i i ϕ ϕ Α Α T T τη χρονική στιγμή το πλάτος της απόκρισης είναι: τη χρονική στιγμή το πλάτος της απόκρισης είναι: Μέτρο απόσβεσης Ζ ή δ ] l[ δ

53 Σύστημα Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης... ] i i l[ Α Α ϕ ϕ δ T T ] l[ δ π T l... π δ T T π π δ ισχύει

54 Σύστημα Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης π π δ και <<< π δ πειραματικός προσδιορισμός π ] l[ δ... π δ δ π δ 4... η αρνητική ρία απορρίπτεται για <<<

55 Σύστημα Β.Ε.: Μέτρο απόσβεσης i i ϕ ϕ Α Α T T Για συντελεστής απόσβεσης πολύ μικρό, ο ρυθμός με τον οποίο αποσβένει η ταλάντση είναι πολύ αργός και η ακρίβεια του αποτελέσματος επηρεάεται σημαντικά από την ακρίβεια με την οποία προσδιορίονται τα δύο διαδοχικά πλάτη ταλάντσης. Για την διατήρηση ικανοποιητικής ακρίβειας είναι επιθυμητό ο λόγος τν πλατών να βασίεται σε κορυφές οι οποίες απέχουν αρκετούς κύκλους ταλάντσης. π π δ

56 ΑΝΑΦΟΡΕΣ Viualizig fr a frc armic cillai p:// Dampr fr arquak prci p:// MDOF ym frc vibrai p:// Damp Vibrai p:// Aimai f a Harmic cillar mcaic, pyic p:// EN4: Dyamic a Vibrai p:// Fr vibrai f ig DOF ym p://liplayr.cm/li/3479/ Uamp fr vibrai p://liplayr.cm/li/8858/

57 Ευχαριστώ για την προσοχή σας! Εργαστήριο Δυναμικής & Κατασκευών Δρ. Αντνιάδης Ι..... Δρ. Γιακόπουλος Χ....