HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 02 - Εισαγωγή στη Γεωμετρική Οπτική

Transcript

1 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου HMY 333 Φωτονική Διάλεξη 0 - Εισαγωγή στη Γεωμετρική Οπτική η πράσινη τσόχα έχει μεγαλύτερη αντίσταση από τη λευκή τσόχα φωλιά μυρμήγκια πηγή τροφής Oettler J, Shmid VS, Zakl N, Rey O, Dress, et al. (03) Fermat s Priiple of Least Time Predits Refratio of t Trails at Substrate orders. PLoS ONE 8(3): e doi:0.37/joural.poe Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 3 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 4 Η προσέγγιση μιας ακριβούς θεωρίας με κάτι πιο απλό (εφ' όσον ικανοποιούνται οι ειδικοί όροι) είναι μια έννοια που βρίσκεται σε πολλούς τομείς της φυσικής. Παράδειγμα: Νόμοι κίνησης του Newto Εισαγωγικά σχόλια Οι νόμοι του Newto μπορούν να προβλέψουν την κίνηση των αντικειμένων που κινούνται πιο αργά από την ταχύτητα του φωτός και είναι μεγαλύτερα από τα άτομα. Όταν το αντικείμενο είναι πολύ μικρό, πρέπει να εφαρμόσουμε την κβαντική θεωρία. Όταν το αντικείμενο έχει ταχύτητα που πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός, πρέπει να εφαρμόσουμε τη θεωρία της σχετικότητας. Προσεγγίσεις των κυμάτων Πώς μπορούμε να προσεγγίσουμε τη συμπεριφορά των κυμάτων; Θα αρχίσουμε με τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα για τις συχνότητες των μικροκυμάτων και τις οπτικές συχνότητες. Η προσέγγιση που μπορούμε να κάνουμε θα εξαρτηθεί από το λόγο του μεγέθους των διαφόρων στοιχείων προς το μήκος κύματος. Newtoia mehais is OK if: objet size >> atom objet speed << speed of light

2 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 5 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 6 Δύο σημαντικά μέρη του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος είναι τα μικροκύματα και το οπτικό μέρος: Τα κυκλώματα μικροκυμάτων και οι οπτικές ίνες μπορούν να αναλυθούν με τις εξισώσεις Mawell. Αν και οι εξισώσεις Mawell προσφέρουν μια συμπαγή περιγραφή των ηλεκτρομαγνητικών φαινόμενων, είναι πολύ δύσκολο να λυθούν για μερικές δομές. GHz 00 GHz Μικροκύματα - έχουν υψηλές συχνότητες, έτσι μπορούμε να προσφέρουμε μεγάλο εύρος ζώνης. Ειδικότερα, μπορούμε να παρέχουμε ασύρματες επικοινωνίες. 00 THz 350 THz Οπτικά σήματα - οι συχνότητές τους είναι 000 φορές υψηλότερες από τα σήματα μικροκυμάτων. Χρησιμοποιώντας τις οπτικές ίνες, μπορούμε να προσφέρουμε ένα ακόμα μεγαλύτερο εύρος ζώνης. Hyperphysis Π.χ., η μικροταινία είναι μια απλή γραμμή μεταφοράς. Αλλά είναι ασσύμετρη,έτσι η επίλυση των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων δεν είναι εύκολη. ir Διατομή μικροταινίας Cross-setio of mirostrip Eletri field Mageti field Top odutor Substrate Groud plae Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 7 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 8 Σε μερικές περιπτώσεις, μπορούμε να προσεγγίσουμε τη συμπεριφορά των στοιχείων ενός κυκλώματος. Παραδείγματος χάριν, εάν το μήκος ενός στοιχείου του κυκλώματος είναι πολύ μικρότερο από το μήκος κύματος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία των συγκεντρωμένων κυκλωμάτων (lumped iruit theory). Αυτό σημαίνει ότι μπορούμε να εφαρμόσουμε τους νόμους του Kirhhoff αντί τις εξισώσεις του Mawell. Έστω ένας αντιστάτης: μήκος l i R i Εάν πρόκειται να εφαρμόσουμε το νόμο ρεύματος του Kirhhoff, υποθέτουμε ότι: i i Αυτό υποθέτει ότι το μήκος του αντιστάτη είναι μηδέν. Αλλά τι γίνεται τώρα εάν υποθέσουμε ότι αυτό δεν ισχύει; Τώρα λέμε ότι υπάρχει μια καθυστέρηση (τ) μεταξύ του ρεύματος εισόδου και του ρεύματος εξόδου: καλώδιο i (t) i (t - τ) μονωτής (isulator) άνθρακας (arbo)

3 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 9 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 0 Εάν το ρεύμα είναι ημιτονοειδές, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε τους φάσορες: Με άλλα λόγια, η προσέγγιση είναι κατάλληλη εφ' όσον η χρονική καθυστέρηση είναι μικρή έναντι στην περίοδο του ημιτονοειδούς ρεύματος : i (t) i (t - τ) Re {I e jω t } Re {I e jω (t - τ) } I I e - jω τ τ << Ταχύτητα: v l/τ T l v << f Η επίδραση της καθυστέρησης είναι να περιστραφεί η φάση. Εάν επιθυμούμε να χρησιμοποιήσουμε τους νόμους Kirhhoff, αυτή η περιστροφή φάσης πρέπει υποθετικά να είναι πολύ μικρή: Επίσης, v fλ l << λ ωτ 0 τ /T 0 τ << T ω π T Έτσι όταν το μέγεθος του στοιχείου είναι πολύ μικρότερο από το μήκος κύματος, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την προσέγγιση στις εξισώσεις Mawell που δεν είναι άλλη από τους νόμούς του Kirhhoff για το ρεύμα και την τάση. Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου Τώρα θέλουμε να δούμε ποιο είδος προσέγγισης μπορούμε να κάνουμε εάν το μέγεθος ενός στοιχείου είναι μεγαλύτερο από το μήκος κύματος. Τύποι σεισμικών κυμάτων Αυτό είναι ένα παράδειγμα που εμφανίζεται στην οπτική. Το πρώτο παράδειγμα που θα επιλέξουμε είναι τα σεισμικά κύματα. Παράδειγμα: Σεισμικά κύματα Το P κύμα είναι διαμήκες κύμα (logitudial wave) Σε ένα σεισμό, το επίκεντρο δημιουργεί μια διαταραχή. Η διαταραχή διαδίδεται υπό μορφή κυμάτων. Διαφορετικοί τύποι κυμάτων είναι δυνατοί. Το S κύμα είναι εγκάρσιο κύμα (trasverse wave) Copyright 004. L. raile

4 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 3 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 4 Τα σεισμικά κύματα διαδίδονται μέσω της Γης, και στις διαφορετικές διεπαφές έχουμε ανάκλαση και διάθλαση Διάμετρος της Γης D Γ.700 km Τα μήκη κύματος των κυμάτων P και S είναι μικρά σχετικά με τη γη D Γ >> λ Στη σεισμολογία, επομένως, είμαστε σε θέση να περιγράψουμε τη διάδοση των κυμάτων με τη χρησιμοποίηση των ακτίνων. Αυτό επιτρέπει, παραδείγματος χάριν, την παραγωγή του νόμου Sell για τη διάθλαση. Η θεωρία ακτίνων μπορεί να εφαρμοστεί και στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα και ειδικότερα για τις συχνότητες των μικροκυμάτων και τις οπτικές συχνότητες. Όπως στα σεισμικά κύματα, η θεωρία ακτίνων προυποθέτει ότι το μέγεθος του στοιχείου είναι πολύ μεγαλύτερο από το μήκος κύματος. Έτσι μπορούμε να εφαρμόσουμε τη θεωρία ακτίνων (ray theory). Αυτή η προσέγγιση είναι σωστή εάν το μέγεθος του στοιχείου είναι πολύ μεγαλύτερο από το μήκος κύματος. Wiley Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 5 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 6 Έναπαράδειγματηςθεωρίαςακτινών: Ασύρματες επικοινωνίες Σταθμός βάσης ase statio Έναπαράδειγματηςθεωρίαςακτίνων: πολύτροπες οπτικέςίνες(multimode optial fibre) Multipath propagatio Διάδοση μέσω των πολλαπλών πορειών O 3 D Π Διάμετροςτου πυρήνα 6,5 µm S.O. Kasap Πολλά συστήματα οπτικών ινών λειτουργούν με μήκος κύματος λ,55 µm Άμεση πορεία, τα φύλλα προκαλούν εξασθένιση Πορεία πίσω από το δέντρο με ανάκλαση στο έδαφος Πορεία μέσω πολλαπλών ανακλάσεων D Π >> λ

5 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 7 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 8 Η θεωρία ακτίνωνέχει χρησιµοποιηθεί πολύ στην οπτική. Παραδείγµατος χάριν, µπορούµε να την χρησιµοποιήσουµε για να εξετάσουµε πως το φως επηρεάζεται από έναν φακό. Εισαγωγή στη γεωμετρική οπτική U. of Toroto Εναλλακτικά η θεωρία ακτινών καλείται και: -Γεωμετρική οπτική -(Geometrial optis) Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 9 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 0 Μια ιεραρχία των μοντέλων οπτικής Η ακρίβεια βελτιώνεται Ireasig auray Οι υπολογισμοί γίνονται πιο εύκολοι Ease of use Quatum eletrodyamis (QED) (Feyma) EM theory D λ Wave optis D λ Geometrial optis D >> λ D λ Έχουμε περίθλαση (diffratio), έτσι πρέπει να χρησιμοποιήσουμε τη θεωρία κυμάτων (wave optis) D>> λ Η περίθλαση δεν είναι σημαντική, έτσι μπορούμε να προσεγγίσουμε τη διάδοση του φωτός με τις ακτίνες. (Γεωμετρική οπτική) Εάν λ 0, κυματική οπτική γεωμετρική οπτική

6 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου Οι ακτίνες δείχνουν την κατεύθυνση διάδοσης του φωτός : Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου Τα αξιώματα της γεωμετρικής οπτικής Postulates of geometrial optis. Οι ακτίνες είναι κάθετες στα μέτωπα κύματος. Δείχνουν την κατεύθυνση διάδοσης του φωτός.. Ένα οπτικό μέσο έχει δείκτη διάθλασης: v δείκτη διάθλασης ταχύτητα του φωτός στο κενό ( ms - ) v ταχύτητα του φωτός στο οπτικό μέσο Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 3 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 4 Οπτικός δρόμος (optial path legth - OPL): Είναι το γινόμενο του γεωμετρικού μήκους της διαδρομής d που ακολουθεί το φώς μέσα στο σύστημα και του δείκτη διάθλασης του μέσου μέσα στο οποίο ταξιδεύει. 3. Η αρχήτου Fermat: Εάν μια ακτίνα αρχίζει από ένα σημείο Α και φθάνει σε ένα σημείο Β, θα επιλέξει μια πορεία για την οποία ο οπτικός δρόμος (έναντι στις παρακείμενες πορείες) είναι ακρότατο (ελάχιστο). OPL. d v d Οι ακτίνες ακολουθούν την πορεία του λιγότερου χρόνου Rays of light travel alog the path of least time Σε ένα ανομοιόμορφο μέσο, ο δείκτης διάθλασης είναι μια συνάρτηση της θέσης: ds OPL ( r) ds r positio vetor (,y,z) διάνυσμα θέσης d t v OPL MIT Γ OPL ( r) ds Tο Γ επιλέγεται για να ελαχιστοποιήσει την τιμή αυτού του ολοκληρώματος έναντι σε άλλες πορείες.

7 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 5 Παράδειγμα: Ανάκλαση από έναν καθρέφτη Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 6 Παράδειγμα: Διάθλαση στα ομοιόμορφα μέσα Mirror h θ X t () h μεταβλητή θ t () MIN OPL X + X 4 w Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 7 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 8 h h μεταβλητή w θ X θ t OPL X + h + X + [ w ] + h Θέτουμε τον παράγωγο να είναι μηδέν: dt d 0 dt ( w ) d h + + [ w ] h dt ( w ) 0 d h + + [ w ] h si θ h + si θ w [ w ] + h θ θ Ο νόμος του Sell si si

8 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 9 Uiversity of Cyprus Πανεπιστήµιο Κύπρου 30 Άσκηση ο λεπτός φακός Αμφίκυρτος φακός Δείκτης διάθλασης Να υποθέσετε ότι οι ακτίνες είναι παραξονικές. Δείξτε ότι η αρχή του Fermat δίνει + p q f f r ( ) d Thi les equatio εστιακό μήκος