Μάθημα 6 ο. Σεισμομετρία. Γεωγραφικές Συντεταγμένες του Επικέντρου

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Μάθημα 6 ο. Σεισμομετρία. Γεωγραφικές Συντεταγμένες του Επικέντρου"

Transcript

1 Μάθημα 6 ο Σεισμομετρία Χρόνος Γένεσης Σεισμού Γεωγραφικές Συντεταγμένες του Επικέντρου Εστιακό Βάθος

2 Μάθημα 6 ο Σεισμομετρία Στο μάθημα αυτό περιγράφονται οι τρόποι μέτρησης των φυσικών μεγεθών που μετριούνται στα σεισμογράμματα και οι μέθοδοι καθορισμού των βασικών παραμέτρων της σεισμικής εστίας. Το μετρούμενο στα αναλογικά σεισμογράμματα φυσικό μέγεθος είναι πάντοτε μήκος. Όταν το μήκος αυτό μετριέται κατά τη διεύθυνση του άξονα των τετμημένων παριστάνει χρόνο και μάλιστα το χρόνο άφιξης των σεισμικών κυμάτων ή την περίοδο αυτών ενώ όταν μετριέται κατά τη διεύθυνση του άξονα των τεταγμένων παριστάνει μετάθεση, ταχύτητα ή επιτάχυνση. ο χρόνος γένεσης Οι πιο βασικές παράμετροι ενός σεισμού είναι: οι γεωγραφικές συντεταγμένες του επικέντρου το εστιακό βάθος το μέγεθος ησεισμικήροπή ηενέργειάτου 2

3 ΕύρεσητουΧρόνουΆφιξηςτωνΕπιμήκωνκαιΕγκαρσίωνΚυμάτων Το σχήμα παριστάνει σεισμόγραμμα, όπου δείχνονται οι φάσεις P και Sg. Παρατηρούμε ότι ο χρόνος άφιξης των πρώτων κυμάτων P είναι 0 h 07 mi 22.8 sec ενώ ο χρόνος άφιξης των κυμάτων Sg είναι 0 h 07 m 38.3 sec. Ο χρόνος αναγραφής μιας σεισμικής κίνησης δε συμπίπτει απόλυτα με τον πραγματικό χρόνο άφιξης της σεισμικής κίνησης στο σεισμολογικό σταθμό, λόγω διαφοράς φάσης, φ, μεταξύ της εδαφικής κίνησης με περίοδο, Τ, και της αναγραφόμενης κίνησης. Ηδιαφορά φάσης και η διαφορά χρόνου μεταξύ των δύο κινήσεων είναι συνάρτηση της περιόδου της εδαφικής κίνησης. Η χρονική μετατόπιση, δt, της φάσης είναι: ϕ T δt = 2π 3

4 Εύρεση του πλάτους και της περιόδου Ηεύρεσητουμέγιστου πλάτους αναγραφής, Χ m, γίνεται με απευθείας μέτρηση της απόστασης του σημείου στροφής από τον άξονα ηρεμίας της γραφίδας. Η αντίστοιχη περίοδος, Τ, βρίσκεται με μέτρηση της απόστασης μεταξύ των δύο σημείων που αποτελούν διαδοχικές τομές της γραφίδας με τον άξονα των χρόνων, κατά την κίνηση αυτής κατά την ίδια φορά, και αναγωγή κατόπιν του μήκους που μετρήθηκε σε χρόνο. 4

5 Φάσμα της Σεισμικής Κίνησης Το πλάτος αναγραφής, που αντιστοιχεί σε τυχαία χρονική στιγμή, βρίσκεται εύκολα, όπως φαίνεται στο προηγούμενο σχήμα. Η εύρεση όμως της περιόδου, που αντιστοιχεί στο πλάτος αυτό, δεν είναι δυνατό να γίνει με απλό τρόπο και συνεπώς δεν είναι εύκολη και η εύρεση του αντίστοιχου πραγματικού πλάτους της εδαφικής κίνησης. Από το σεισμόγραμμα, που αποτελεί γραφική παράσταση της σχέσης ψ=ψ(t) μεταξύ της μετάθεσης της γραφίδας και του χρόνου, πρέπει να βρεθεί σχέση, F=F(ω), μεταξύ της μετάθεσης και της κυκλικής συχνότητας, ω (ή της περιόδου). Η τελευταία αυτή σχέση λέγεται φάσμα της σεισμικής κίνησης. Η συνάρτηση ψ(t) μπορεί να γραφεί ως εξής: ΗσυνάρτησηF(ω) μπορεί να γραφεί: ψ(t) = F( ω) = 2π 2π F( ω) exp(iωt) dω ψ(t) exp( iωt) dt Είναι γνωστό ότι: exp(-iωt) = συνωt iημωt Συνεπώς, F( ω) = R( ω) ii( ω) όπου R( ω) I( ω) = = 2π 2π ψ(t) συνωtdt ψ(t) ημωtdt Για δεδομένη τιμή της ω ή της περιόδου Τ (=2π/ω) του κύματος Πραγματικό μέρος Φανταστικό μέρος 5

6 Φάσμα της Σεισμικής Κίνησης Για τον υπολογισμό του φάσματος ψηφιοποιούμε το σεισμόγραμμα, δηλαδή, μετράμε στο σεισμόγραμμα τα πλάτη ψ ανά ίσα χρονικά διαστήματα και με αριθμητική ολοκλήρωση υπολογίζουμε τα R(ω) και I(ω). Η φασματική τιμή Ψ(ω) και η φασματική διαφορά φάσης φ(ω) υπολογίζονται από τις σχέσεις: Ψ( ω) = R 2 ( ω) + I 2 ( ω) εϕϕ( ω) = I( ω) R( ω) Ουσιαστικά, θεωρούμε άπειρους αρμονικούς (με συγκεκριμένα πλάτη και διαφορετικές περιόδους) και βρίσκουμε τη συνεισφορά κάθε αρμονικού στην αρχική κυματομορφή. Ταυτόχρονα, υπολογίζουμε και τη σειρά με την οποία πρέπει να τοποθετηθούν οι αρμονικοί για να σχηματίσουν την κυματομορφή (διαφορά φάσης). 6

7 Φάσμα της Σεισμικής Κίνησης Φάσματα τμημάτων του σεισμογράμματος 7

8 Διάγραμμα της Κίνησης του Υλικού Σημείου Όταν διαθέτουμε δύο οριζόντια σεισμόμετρα και ένα κατακόρυφο και γνωρίζουμε τις μεγεθύνσεις αυτών, μπορούμε να προσδιορίσουμε το διάνυσμα της εδαφικής κίνησης σε κάθε χρονικήστιγμήκαιναχαράξουμε έτσι την τροχιά. Ητροχιάαυτή λέγεται διάγραμμα της κίνησης του υλικού σημείου. Συνήθως, βρίσκουμε την προβολή του διαγράμματος της κίνησης στο οριζόντιο επίπεδο με τη χρησιμοποίηση των σεισμογραμμάτων των δύο οριζοντίων σεισμομέτρων ή την προβολή αυτού σε ένα από τα κατακόρυφα επίπεδα που ορίζονται από την κατακόρυφο και από τη διεύθυνση της μιας των οριζοντίων συνιστωσών. Το πάνω μέρος του σχήματος παριστάνει τις αναγραφές των εγκαρσίων κυμάτων ενός σεισμού από τα δύο οριζόντια σεισμόμετρα (NS) και (EW) ενός σταθμού. Στο κάτω μέρος του σχήματος φαίνεται το διάγραμμα της οριζόντιας κίνησης των εγκαρσίων κυμάτων που καθορίστηκε με τη βοήθεια των δύο σεισμογραμμάτων. 8

9 Πίνακες και Καμπύλες Χρόνων Διαδρομής Οι καμπύλες χρόνων διαδρομής αποτελούν γραφικές παραστάσεις των πινάκων χρόνων διαδρομής, δηλαδή, των χρόνων διαδρομής των σεισμικών κυμάτων σε συνάρτηση με τις αποστάσεις. Η κατασκευή των πινάκων και των καμπύλων χρόνων διαδρομής των κυμάτων χώρου απαιτεί ακριβή γνώση της θέσης των εστιών και των χρόνων γένεσης των σεισμών και αναγραφή των διαφόρων φάσεων αυτών από μεγάλο αριθμό σταθμών. Οι πίνακες χρόνων διαδρομής, τόσο των βασικών αυτών φάσεων όσο και των υπολοίπων γνωστών σεισμικών φάσεων, εκπονήθηκαν πριν από αρκετά χρόνια, η δε σύγκριση αυτών μ αυτούς που κατασκευάστηκαν με τη χρησιμοποίηση δεδομένων ατομικών εκρήξεων έδειξε ότι και οι πίνακες αυτοί έχουν γενικά ικανοποιητική ακρίβεια. Καμπύλες χρόνων διαδρομής για σεισμό με εστιακό βάθος h = 0 km και ταχύτητες των επιμήκων, V p, και εγκαρσίων κυμάτων, V s, ίσων με 6 km/sec και 3.5 km/sec, αντίστοιχα. Η χρονική διαφορά S-P μεγαλώνει με την απόσταση. 9

10 Πίνακες και Καμπύλες Χρόνων Διαδρομής Ζώνη σκιάς των εγκαρσίων κυμάτων Καταγραφές ισχυρού σεισμού σε σεισμολογικούς σταθμούς σε διάφορες επικεντρικές αποστάσεις. Φαίνονται οι καμπύλες χρόνων διαδρομής ορισμένων φάσεων (π.χ. Ρ, ΡΡ, S, κλπ.). ( 0

11 Εύρεση της επικεντρικής απόστασης και του χρόνου γένεσης Πάνω σε ταινία σημειώνουμε με γραμμές, στην κλίμακα του άξονα των χρόνων, τους χρόνους άφιξης των φάσεων που γράφτηκαν στο σταθμό (πάνω σχήμα). Κατόπιν, βάζουμε την ταινία πάνω στις καμπύλες χρόνων διαδρομής παράλληλα προς τον άξονα των χρόνων και μετατοπίζουμε αυτή παράλληλα προς τον άξονα των αποστάσεων μέχρι να συμπέσουν οι γραμμές που σημειώθηκαν πάνω στην ταινία με τις αντίστοιχες καμπύλες χρόνων διαδρομής. Το σημείο, όπου η πλευρά της ταινίας πάνω στην οποία έχουν σημειωθεί οι χρόνοι άφιξης των φάσεων τέμνει τον άξονα των τετμημένων, δείχνει την επικεντρική απόσταση. Ταυτόχρονα, ο χρόνος που αντιστοιχεί στο σημείο που ο άξονας των αποστάσεων τέμνει την ταινία μας είναι ο χρόνος γένεσης του σεισμού.

12 Επικεντρική απόσταση 74 Km Χρόνος γένεσης 0:06:48.4 Δομή Αιγαίου 2

13 Προσδιορισμός των Συντεταγμένων της Εστίας Σεισμού Η μικροσεισμική εστία (υπόκεντρο) ενός σεισμού ορίζεται από τις γεωγραφικές συντεταγμένες (φ, λ) του επικέντρου του σεισμού (γεωγραφικό πλάτος φ, γεωγραφικό μήκος λ) και από το εστιακό βάθος, h, του σεισμού. Συνήθως, όμως, μέρος της διαδικασίας προσδιορισμού αυτών των παραμέτρων αποτελεί και ο προσδιορισμός του χρόνου γένεσης, τ. Η ακρίβεια προσδιορισμού των τεσσάρων αυτών βασικών παραμέτρων εξαρτάται: από τον αριθμό και την κατανομή των σεισμολογικών σταθμών που καταγράφουν το σεισμό, από το βαθμό που το διαθέσιμο μοντέλο (καμπύλες χρόνων διαδρομής κλπ.) αντιπροσωπεύει τη δομή σεισμικών ταχυτήτων. Όσο μεγαλύτερος είναι ο αριθμός των σεισμολογικών σταθμών και όσο περισσότερο ομοιόμορφη είναι η κατά αζιμούθιο και απόσταση κατανομή των σταθμών σε σχέση με το επίκεντρο του σεισμού, τόσο ακριβέστερα υπολογίζονται οι τέσσερις παράμετροι. Σε ορισμένες περιπτώσεις οι δύο γεωγραφικές συντεταγμένες του επικέντρου ενός σεισμού υπολογίζονται ανεξάρτητα από το εστιακό βάθος, αλλά υπάρχουν και μέθοδοι με τις οποίες προσδιορίζονται συγχρόνως οι τρεις συντεταγμένες της σεισμικής εστίας καθώς και ο χρόνος γένεσης. 3

14 Προσδιορισμός του επικέντρου σεισμού με έναν ή δύο σταθμούς Για τον υπολογισμό του επικέντρου με έναν σταθμό πρέπει να γνωρίζουμε: Την επικεντρική απόσταση, η οποία υπολογίζεται με τη μέθοδο που περιγράφηκε προηγουμένως. Το αζιμούθιο του επικέντρου σε σχέση με το σταθμό, δηλαδή, τη γωνία που σχηματίζει ο μεσημβρινός του σταθμού με το μέγιστο κύκλο της Γης, που περνάει από το σταθμό και το επίκεντρο. Απαραίτητη προϋπόθεση η ύπαρξη 2 οριζοντίων σεισμομέτρων (Βορρά-Νότου, N-S και Ανατολής-Δύσης, E-W) και ενός σεισμομέτρου που γράφει την κατακόρυφη συνιστώσα (Ζ). Καθορισμός του αζιμουθίου του επικέντρου με ένα σταθμό. Η σεισμική ακτίνα των Ρ κυμάτων που περνάει από το σταθμό και το επίκεντρο βρίσκεται στο κατακόρυφο επίπεδο που περνάει από τα δύο αυτά σημεία της επιφάνειας της Γης. Είναι, επίσης, γνωστό ότι η ταλάντωση των υλικών σημείων κατά τη διάδοση των Ρ κυμάτων είναι παράλληλη προς τη σεισμική ακτίνα. Αν, συνεπώς, καθορίσουμε τη διεύθυνση ταλάντωσης των υλικών σημείων κατά την άφιξη των κυμάτων Ρ στο σταθμό, ορίζουμε με αυτή το αζιμούθιο του επικέντρου σε σχέση με το σταθμό. Μετράμε πάνω στα σεισμογράμματα των δύο οριζοντίων σεισμομέτρων τα μήκη των πρώτων αποκλίσεων Α και Α 2, που οφείλονται στα κύματα Ρ και διαιρώντας αυτά με τις αντίστοιχες πραγματικές μεγεθύνσεις, βρίσκουμε τα πραγματικά πλάτη α και α 2. 4

15 Προσδιορισμός του επικέντρου σεισμού με έναν ή δύο σταθμούς Θεωρούμε δύο κάθετους άξονες NS και EW, από τους οποίους ο ένας παριστάνει τη διεύθυνση Βορρά- Νότου και ο άλλος τη διεύθυνση Ανατολής-Δύσης και παίρνουμε πάνω στους άξονες διανύσματα, που έχουν αρχή την τομή των αξόνων, μέτρα ανάλογα των α και α 2 και φορές τις φορές των πρώτων αποκλίσεων των σεισμογραμμάτων, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η διεύθυνση της διαγωνίου του ορθογωνίου παραλληλογράμμου που έχει πλευρές α και α 2 παριστάνει τη διεύθυνση στην οποία βρίσκεται το επίκεντρο. Αν το σχήμα γίνει πάνω σε διαφανές χαρτί, τοποθετηθεί πάνω σε γεωγραφικό χάρτη με τέτοιο τρόπο ώστε η τομή των αξόνων να συμπέσει με το σταθμό και γράψουμε περιφέρεια με κέντρο το σταθμό και ακτίνα ίση με την επικεντρική απόσταση, η περιφέρεια αυτή θα τμήσει τη διαγώνιο του παραλληλογράμμου σε δύο σημεία, απ τα οποία το ένα παριστάνει το επίκεντρο του σεισμού. Για να βρούμε ποιό από τα δύο σημεία παριστάνει το επίκεντρο, χρησιμοποιούμε τη φορά απόκλισης της πρώτης κίνησης των Ρ κυμάτων κατά την κατακόρυφη διεύθυνση. Αν η πρώτη ώθηση στο κατακόρυφο σεισμόμετρο είναι αραίωση (D), δηλαδή, έχει φορά από πάνω προς τα κάτω, όπως στο σχήμα, το επίκεντρο θα βρίσκεται προς τη φορά που δείχνεται από τη συνισταμένη των δύο οριζοντίων διανυσμάτων α και α 2, ενώ όταν η πρώτη ώθηση στο κατακόρυφο σεισμόμετρο είναι συμπίεση (C), δηλαδή, έχει φορά από κάτω προς τα πάνω, το επίκεντρο βρίσκεται προς την αντίθετη φορά εκείνης που δείχνει η συνισταμένη των δύο οριζοντίων διανυσμάτων. Αυτή η μέθοδος προσδιορισμού του επικέντρου, εφαρμόζεται όταν οι επικεντρικές αποστάσεις είναι μικρές. 5

16 Γραφική μέθοδος προσδιορισμού του επικέντρου σεισμού με περισσότερους από δύο σταθμούς Για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής απαιτούνται οι χρόνοι άφιξης των επιμήκων και των εγκαρσίων κυμάτων σε ικανοποιητικό αριθμό σταθμών. Στην περίπτωση 3 σταθμών (πάνω), αφού βρεθούν οι επικεντρικές αποστάσεις για τους σταθμούς όπου αναγράφηκαν ευκρινώς τα Ρ και τα S κύματα (πάνω δεξιά) με τη μέθοδο που περιγράφηκε προηγούμενα, χαράσσονται κύκλοι με κέντρα τους σταθμούς και ακτίνες ίσες με τις επικεντρικές αποστάσεις (δεξιά). Το μέσο της περιοχής όπου τέμνονται οι κύκλοι είναι το επίκεντρο του σεισμού. 6

17 Προσδιορισμός του επικέντρου τοπικού σεισμού με τη μέθοδο Galitzi Αν η πρώτη ώθηση, που οφείλεται στα Ρ κύματα ενός σεισμού, φθάνει συγχρόνως σε δύο σταθμούς τότε, επειδή η ακτίνα είναι κάθετη στο μέτωπο του κύματος, το επίκεντρο θα βρίσκεται στο επίπεδο που είναι κάθετο στο μέσο της χορδής του τόξου μέγιστου κύκλου που συνδέει τους δύο σταθμούς. Αν και για ένα άλλο ζεύγος σταθμών συμβαίνει αυτό, τότε, το επίκεντρο θα βρίσκεται στην τομή δύο γνωστών επιπέδων και στην επιφάνεια της Γης, δηλαδή, στην τομή δύο γνωστών τόξων μέγιστων κύκλων και συνεπώς το επίκεντρο ορίζεται. Πρέπει να γνωρίζουμε την ταχύτητα διάδοσης των επιμήκων κυμάτων στην περιοχή. Έτσι, ορίζεται αρχικά, με μία από τις δύο μεθόδους που περιγράφηκαν προηγούμενα, ένα προσωρινό επίκεντρο (έστω Α). Κατόπιν, βρίσκουμε τη διαφορά της επικεντρικής απόστασης, δδ, που αντιστοιχεί στη διαφορά χρόνου, δt, για επικεντρική απόσταση ίση με την επικεντρική απόσταση, Δ, του προσωρινού επικέντρου από το πλησιέστερο σταθμό (ΤΗΕ). Κατόπιν, θεωρούμε ότι ο πλησιέστερος σταθμός απομακρύνεται του επικέντρου κατά δδ πάνω στο μέγιστο κύκλο που συνδέει το σταθμό αυτό με το επίκεντρο και έστω ότι S είναι η νέα θέση του σταθμού αυτού. Το επίκεντρο θα βρίσκεται, με ικανοποιητική προσέγγιση, πάνω στο επίπεδο που διχοτομεί κάθετα τη χορδή του τόξου του μέγιστου κύκλου, πουπερνάειαπότοσημείοs και απότομακρινότεροσταθμό(lit). Αυτό επαναλαμβάνεται και για τα υπόλοιπα ζεύγη σταθμών. Η μέθοδος αυτή είναι αρκετά ακριβής όταν η διαφορά χρόνου στα ζεύγη των σταθμών είναι μικρή (δt μέχρι 0 sec). Εύρεση επικέντρου με τη μέθοδο Galitzi. 7

18 Προσδιορισμός του επικέντρου και του εστιακού βάθους σεισμού με τη μέθοδο Geiger Εφαρμόζεται αντίστροφη διαδικασία (iversio procedure) Στην αρχή, υιοθετείται ένα προκαταρκτικό μοντέλο εστιακών παραμέτρων του σεισμού Γεωγραφικό μήκος λ ο Γεωγραφικό πλάτος φ ο Εστιακό βάθος h o Χρόνος γένεσης τ ο Με βάση τα δεδομένα, που αποτελούνται (α) από τους χρόνους άφιξης των επιμήκων και των εγκαρσίων κυμάτων, (β) από τους πίνακες των χρόνων διαδρομής αυτών των κυμάτων (που είναι ουσιαστικά το μοντέλο γεωφυσικής δομής ταχυτήτων της Γης στην περιοχή), καθορίζεται το τελικό μοντέλο των παραμέτρων Γεωγραφικό μήκος λ Γεωγραφικό πλάτος φ Εστιακό βάθος h Χρόνος γένεσης τ Έστω ότι σε ένα σεισμολογικό σταθμό ότι μετρήθηκε οχρόνοςάφιξης, Τ, μιας φάσης κυμάτων (π.χ. Ρ ήs) που προέρχεται από την εστία ενός σεισμού: Τ(φ, λ, h, τ). Αυτός ο χρόνος άφιξης εξαρτάται από τις πραγματικές εστιακές συντεταγμένες (φ, λ, h, τ) για μια γνωστή δομή ταχύτητας (καμπύλες χρόνων διαδρομής). Με βάση το προκαταρκτικό μοντέλο, υπολογίζεται ο χρόνος άφιξης αυτής της φάσης κυμάτων, Τ ο (φ ο, λ ο, h ο, τ ο ). 8

19 Προσδιορισμός του επικέντρου και του εστιακού βάθους σεισμού με τη μέθοδο Geiger Αν υποθέσουμε ότι φ=φ ο +δφ, λ=λ ο +δλ, h=h o +δh, τ=τ ο +δτ, τότε η διαφορά, δτ, μεταξύ του παρατηρούμενου και του θεωρητικού χρόνου διαδρομής θα είναι: Αν το δεύτερο μέλος αναπτυχθεί σε σειρά Taylor: δτ = Τ(φ ο +δφ, λ ο +δλ, h ο +δh, τ ο +δτ) - Τ ο (φ ο, λ ο, h ο, τ ο ) () f ( x) = f ( x και παραλειφθούν οι όροι ανώτερης τάξης, τότε προκύπτει ότι: o ) + f ' ( x o )( x x o ) + f '' ( x o ( x x ) 2! o ) 2 + Τ = Τ ο (φ ο, λ ο, h ο, τ ο )+Α δφ+α 2 δλ+α 3 δh+α 4 δτ (2) όπου Α, Α 2, Α 3, Α 4 είναι οι τιμές των μερικών παραγώγων του χρόνου άφιξης ως προς φ, λ, h, τ για την αρχική εστία, οι οποίες είναι ίσες με τις τιμές των αντιστοίχων μερικών παραγώγων του χρόνου διαδρομής, t. Δηλαδή, t t t A = A 2 = A3 = A 4 = ϕ o λ o h o Η Α 4 είναι ίση με γιατί οποιαδήποτε μεταβολή στο χρόνο γένεσης προκαλεί ίση μεταβολή στο χρόνο άφιξης. Οι τιμές των Α, Α 2, Α 3, υπολογίζονται από τους πίνακες χρόνων διαδρομής που αντιστοιχούν στη δοσμένη αρχική εστία (φ ο, λ ο, h ο, τ ο ). Από τις () και (2) προκύπτει ότι: δτ = Α δφ+α 2 δλ+α 3 δh+α 4 δτ (3) Στη σχέση αυτή η διαφορά δτ=τ-τ ο είναι γνωστή και καλείται χρονικό υπόλοιπο (residual), γιατί ο Τ είναι ο χρόνος άφιξης που μετριέται στο σταθμό και Τ ο είναι ο χρόνος άφιξης που υπολογίζεται για τη γνωστή εστία (φ ο, λ ο, h ο, τ ο ), όπως επίσης είναι γνωστές οι τιμές των Α j γιατί υπολογίζονται από τις καμπύλες των χρόνων διαδρομής. Οι ποσότητες δφ, δλ, δh, δτ είναι άγνωστες και πρέπει να υπολογιστούν. Χρειάζονται, συνεπώς, τουλάχιστον 4 καταγραφές (4 σταθμούς) για να επιλυθούν οι αντίστοιχες εξισώσεις της μορφής (3) ( 4). 9

20 Προσδιορισμός του επικέντρου και του εστιακού βάθους σεισμού με τη μέθοδο Geiger 4 Οι εξισώσεις αυτές είναι: δti = Aij δx j, i=,, ( 4). (4) j= Για την επίλυση του συστήματος αυτού εφαρμόζεται η μέθοδος των ελαχίστων τετραγώνων. Δηλαδή, πρέπει 2 4 ψ = δti Aijδx j ελάχιστο i= j= ψ Γιανασυμβείαυτό, πρέπει: = 0 δϕ ψ δλ = 0 ψ δh = 0 ψ δτ = 0 Από αυτές και τις εξισώσεις της μορφής (4) προκύπτει το ακόλουθο σύστημα κανονικών εξισώσεων, του οποίου η επίλυση δίνει τις τιμές δφ, δλ, δh, δτ: ( ( ( ( A A ) δϕ + ( A A ) δλ + ( A A ) δh + ( A A ) δτ = i i i2 i i3 i i4 i i= i= i= i= i= A A ) δϕ + ( A A ) δλ + ( A A ) δh + ( A A ) δτ = i i2 i2 i2 i3 i2 i4 i2 i= i= i= i= i= A A ) δϕ + ( A A ) δλ + ( A A ) δh + ( A A ) δτ = i i3 i2 i3 i3 i3 i4 i3 i= i= i= i= i= A A ) δϕ + ( A A ) δλ + ( A A ) δh + ( A A ) δτ = i i4 i2 i4 i3 i4 i4 i4 i= i= i= i= i= Η μέθοδος είναι επαναληπτική, δηλαδή, οι τιμές των δφ, δλ, δh, δτ, προστίθενται στις αρχικές τιμές φ ο, λ ο, h ο, τ ο, και οι τιμές που προκύπτουν θεωρούνται ως αρχικές και επαναλαμβάνεται η διαδικασία τόσες φορές, όσες απαιτούνται, ώστε οι τέσσερις παράμετροι της εστίας να μην επιδέχονται παραπέρα διόρθωση. A i A A A δt i2 i3 i δt δt i4 i i δt i 20

21 Προσδιορισμός του εστιακού βάθους σεισμού Για τοπικούς σεισμούς το εστιακό βάθος, h, μπορεί να βρεθεί με τη χρησιμοποίηση του τύπου: h 2 = D 2 Δ 2 όπου Δ είναι η επικεντρική απόσταση και D η απόσταση της εστίας από το σταθμό. Η επικεντρική απόσταση Δ είναι γνωστή, επειδή είναι γνωστό το επίκεντρο. Αν γνωρίζουμε τις ταχύτητες α και β των Ρ και S κυμάτων στην περιοχή, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε την υποκεντρική απόσταση, D απότησχέση: D = αβ α β Επικεντρική απόσταση,, εστιακή (υποκεντρική) απόσταση, D, και εστιακό βάθος, h. όπου t p και t s είναι οι χρόνοι διαδρομής των επιμήκων και εγκαρσίων κυμάτων και συνεπώς D=αt p, D=βt s. Η διαφορά των χρόνων διαδρομής, t s -t p είναι ίση με τη διαφορά των χρόνων άφιξης, που μετριέται εύκολα πάνω στα σεισμογράμματα. (t s t p ) 2

22 Προσδιορισμός του εστιακού βάθους σεισμού Για γειτονικούς πλουτώνιου σεισμούς (μέθοδος Wadati) Αν Τ p και T s είναι οι χρόνοι άφιξης των P και των S, αντίστοιχα, τότε από τη χαρτογράφηση της διαφοράς Τ s -Τ p σε συνάρτηση με τον Τ p προκύπτει μια γραμμή που σε πρώτη προσέγγιση είναι ευθεία (βλέπεπάνωσχήμα). Η εξίσωση της ευθείας αυτής είναι: (Τ s Τ p ) = (κ-)(τ p τ) όπου κ είναι ο λόγος α/β, της ταχύτητας, α, των επιμήκων κυμάτων προς την ταχύτητα, β, των εγκαρσίων κυμάτων και τ είναι ο χρόνος γένεσης του σεισμού. Η τομή της ευθείας με τον άξονα των χρόνων άφιξης, Τ p (των τετμημένων) ορίζει το χρόνο γένεσης, τ, του σεισμού ενώ την κλίση της ευθείας παριστάνει η ποσότητα κ = (α/β), όπου α και β οι ταχύτητες των επιμήκων και εγκαρσίων κυμάτων. Στη συνέχεια, αφαιρώντας το χρόνο γένεσης από τους χρόνους άφιξης των Ρκυμάτων, χαρτογραφούμε τη διαφορά σε συνάρτηση με τις επικεντρικές αποστάσεις (βλέπε κάτω σχήμα). Με τον τρόπο αυτόν ορίζεται γραμμή που καμπυλώνεται σε μικρές επικεντρικές αποστάσεις και τέμνει τον άξονα των χρόνων σε ορισμένο σημείο, έστω Α. Ο χρόνος t (=ΟΑ) είναι ο χρόνος στον οποίο το κύμα διατρέχει την απόσταση μεταξύ της εστίας και του επικέντρου. Αν α είναι η μέση ταχύτητα των επιμήκων κυμάτων μεταξύ εστίας και επικέντρου, το εστιακό βάθος θα είναι h= αt. 22

23 Για πλουτώνιους σεισμούς σε διάφορες επικεντρικές αποστάσεις (μέθοδος Bruer) Για επικεντρικές αποστάσεις Δ 60 ο το εστιακό βάθος (σε km) είναι σχεδόν ανάλογο της διαφοράς (σε sec), pp-p, των χρόνων άφιξης των pp (Ρ κύματα ανακλώμενα κοντά στο επίκεντρο) και P κυμάτων, όπως φαίνεται στο σχήμα δεξιά, και δίνεται από τη σχέση h = 4 (pp P) Στη γενική περίπτωση, για τον καθορισμό του εστιακού βάθους και της επικεντρικής απόστασης στη γενική περίπτωση, χρησιμοποιείται ο χάρτης Bruer (σχήμα κάτω δεξιά), που αποτελείται από καμπύλες χρόνων διαδρομής, κάθε μια από τις οποίες αντιστοιχεί σε ορισμένο εστιακό βάθος. Συνήθως, ο χάρτης αυτός έχει χαραγμένες τις καμπύλες για τιμές του εστιακού βάθους ανά 00 km. Η κάτω οικογένεια των καμπύλων αυτών αφορά τα κύματα P και pp. Ηκαμπύλη της οικογένειας αυτής, που συμβολίζεται με Ρ, είναι η κανονική καμπύλη, δηλαδή, αυτή που ισχύει για επιφανειακούς σεισμούς. Οι καμπύλες της οικογένειας αυτής που βρίσκονται κάτω από την κανονική καμπύλη είναι έξι καμπύλες των Ρ κυμάτων που αντιστοιχούν στα διάφορα εστιακά βάθη, ενώ οι καμπύλες που βρίσκονται πάνω από την κανονική καμπύλη είναι οι καμπύλες των pp κυμάτων που αντιστοιχούν στα έξι εστιακά βάθη. Η πάνω οικογένεια των καμπύλων του σχήματος παριστάνει τις καμπύλες χρόνων διαδρομής των S και ss κυμάτων, ενώ οι άλλες δύο οικογένειες παριστάνουν τις καμπύλες P, pp και PP, αντίστοιχα. Προσδιορισμός του εστιακού βάθους σεισμού 23

24 Μέθοδος μοντελοποίησης κυματομορφών (waveform modelig) Η καταγραφή κάποιου σεισμικού κύματος ή ομάδας κυμάτων (κυματομορφή, waveform) εξαρτάται τους παρακάτω παράγοντες, οι οποίοι μπορούν να εκφραστούν με χρονικές συναρτήσεις: Τις ιδιότητες της σεισμικής εστίας (μέγεθος, μηχανισμός γένεσης, κλπ.), s(t), Τις ιδιότητες του δρόμου διάδοσης των κυμάτων μεταξύ εστίας-σεισμολογικού σταθμού, g(t), Τις ιδιότητες του σεισμογράφου που κατέγραψε την κυματομορφή (καμπύλη απόκρισης, κλπ.), i(t), Μπορεί λοιπόν να εκφραστεί η καταγραφή (που είναι συνάρτηση χρόνου, u(t)) ως συνέλιξη των συναρτήσεων αυτών, όπως φαίνεται σε σχήμα. Οι συναρτήσεις u(t) και i(t) είναι γνωστές γιατί η πρώτη είναι η κυματομορφή που έχουμε και η δεύτερη γιατί αφορά το σεισμογράφο που χρησιμοποιούμε. Η συνάρτησηg(t), που εκφράζει το δρόμο διάδοσης των κυμάτων που διαμόρφωσαν το σεισμόγραμμα που έχουμε, καθορίζεται ικανοποιητικά για επικεντρικές αποστάσεις Δ 30 ο και για μεγάλες περιόδους. Μπορεί, συνεπώς, να καθορισθεί η s(t) καιοιπαράμετροίτης(παράμετροι της εστίας του σεισμού, μεταξύ των οποίων και το εστιακό βάθος). 24

25 Μέθοδος μοντελοποίησης κυματομορφών (waveform modelig) Για την εφαρμογή της μεθόδου αυτής χρησιμοποιούνται τα σεισμογράμματα σε σεισμολογικούς σταθμούς οι οποίοι βρίσκονται σε επικεντρικές αποστάσεις 30 ο <Δ<90 ο. Υπολογίζεται συνθετικό σεισμόγραμμα, u(t), για κάθε σεισμολογικό σταθμό με βάση τις γνώσεις μας για τη δομή της Γης (δρόμος διάδοσης των κυμάτων) g(t) και το σεισμογράφο, i(t), και υποθέτοντας κάποιες αρχικές τιμές για τις εστιακές παραμέτρους, s(t), του σεισμού. Τα συνθετικά σεισμογράμματα για όλους τους σταθμούς συγκρίνονται με τα αντίστοιχα πραγματικά σεισμογράμματα. Οι εστιακές παράμετροι αλλάζουν, προκαλώντας αντίστοιχες αλλαγές στα συνθετικά σεισμογράμματα, μέχρις ότου βρεθεί ικανοποιητική συμφωνία μεταξύ συνθετικών και πραγματικών σεισμογραμμάτων. Εφαρμόζεται, συνήθως, μια επαναληπτική διαδικασία, η αντιστροφή κυματομορφής (waveform iversio). Ο μηχανισμός γένεσης του σεισμού που έγινε στη Σκύρο στις 26 Ιουλίου 200 με μέγεθος Μ=6.4, όπως αυτός καθορίστηκε με τη σύγκριση πραγματικών (συνεχείς γραμμές) και συνθετικών καταγραφών (διακεκομμένες γραμμές) (Beetatos et al., 2002). Οι εστιακές παράμετροι που επιλέχθηκαν για να επιτευχθεί η συμφωνία μεταξύ πραγματικών-συνθετικών σεισμογραμμάτων (εστιακό βάθος, μέγεθος του σεισμού, κλπ.) θεωρούνται ως οι τελικές εστιακές παράμετροι του σεισμού. 25

Κεφάλαιο 6 ΣΕΙΣΜΟΜΕΤΡΙΑ

Κεφάλαιο 6 ΣΕΙΣΜΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 6 ΣΕΙΣΜΟΜΕΤΡΙΑ Στην σεισμολογία μετρούμε πάντα μήκος πάνω στα σεισμογράμματα. -Κατά την διεύθυνση του άξονα Χ μετρούμε χρόνο ή περίοδο -Κατά την διεύθυνση του άξονα Υ μετρούμε μετάθεση ή ταχύτητα

Διαβάστε περισσότερα

Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης

Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης Καθορισμός του μηχανισμού γένεσης Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι ο καθορισμός του μηχανισμού γένεσης ενός σεισμού με βάση τις πρώτες αποκλίσεις των επιμήκων κυμάτων όπως αυτές καταγράφονται στους

Διαβάστε περισσότερα

Μέθοδος των γραμμών πόλωσης των εγκαρσίων κυμάτων

Μέθοδος των γραμμών πόλωσης των εγκαρσίων κυμάτων Μέθοδος των γραμμών πόλωσης των εγκαρσίων κυμάτων Πρώτες αποκλίσεις των SH και SV κυμάτων καθορισμός των ορικών επιφανειών u V =0 και u H =0 Μειονέκτημα : η ανάλυση της πρώτης απόκλισης δεν είναι εύκολη

Διαβάστε περισσότερα

Το Πρώτο Δίκτυο Σεισμολογικών Σταθμών στη Σελήνη. Ιδιότητες των Σεισμικών Αναγραφών στη Σελήνη. Μηχανισμός και Αίτια Γένεσης των Σεισμών της Σελήνης

Το Πρώτο Δίκτυο Σεισμολογικών Σταθμών στη Σελήνη. Ιδιότητες των Σεισμικών Αναγραφών στη Σελήνη. Μηχανισμός και Αίτια Γένεσης των Σεισμών της Σελήνης Μάθημα 12ο Σεισμολογία της Σελήνης Το Πρώτο Δίκτυο Σεισμολογικών Σταθμών στη Σελήνη Ιδιότητες των Σεισμικών Αναγραφών στη Σελήνη Μέθοδοι Διάκρισης των Δονήσεων της Σελήνης Σεισμικότητα της Σελήνης Μηχανισμός

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 7 ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕΙΣΜΩΝ

Κεφάλαιο 7 ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕΙΣΜΩΝ Κεφάλαιο 7 ΜΕΓΕΘΟΣ ΚΑΙ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΣΕΙΣΜΩΝ Κατά την γένεση ενός σεισμού υπάρχει έκλυση ενέργειας λόγω παραμόρφωσης και μετατροπή της σε κυματική ενέργεια που είναι τα σεισμικά κύματα. ΜΕΓΕΘΟΣ Μ, ενός σεισμού

Διαβάστε περισσότερα

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΟΡΙΣΜΟΣ 6. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 6.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ονομάζουμε συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β μια διαδικασία (κανόνα) f, με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΣΑΝΑΤΛΙΣΜΥ Β ΛΥΚΕΙΥ ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΥ Να δώσετε τους ορισμούς: διάνυσμα, μηδενικό διάνυσμα, μέτρο διανύσματος, μοναδιαίο διάνυσμα Διάνυσμα AB ονομάζεται ένα ευθύγραμμο

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8

ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με μεταβλητές (γράμματα) και αριθμούς καλείται αλγεβρική, όπως για παράδειγμα η : 2x+3y-8 ΘΕΩΡΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο 1. Τι ονομάζουμε αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Να δώσετε από ένα παράδειγμα. Μια παράσταση που περιέχει πράξεις με αριθμούς, καλείται αριθμητική παράσταση,

Διαβάστε περισσότερα

Μάθημα 7 ο. Μέγεθος Σεισμών

Μάθημα 7 ο. Μέγεθος Σεισμών Μάθημα 7 ο Μέγεθος Σεισμών Μέγεθος Σεισμού Σεισμική Ροπή Ενέργεια Σεισμού ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΣΕΙΣΜΟΛΟΓΙΑ Μάθημα 6ο: Σεισμομετρία ΤΟΜΕΑΣ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗΣ Α.Π.Θ 1 Μέγεθος Σεισμού Ορισμός Το μέγεθος, Μ, ενός σεισμού,

Διαβάστε περισσότερα

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η

Κ Ε Φ Α Λ Α Ι Ο 1ο Ε Υ Θ Υ Γ Ρ Α Μ Μ Η Κ Ι Ν Η Σ Η 1 Σκοπός Να αποκτήσουν οι μαθητές τη δυνατότητα να απαντούν σε ερωτήματα που εμφανίζονται στην καθημερινή μας ζωή και έχουν σχέση με την ταχύτητα, την επιτάχυνση, τη θέση ή το χρόνο κίνησης ενός κινητού.

Διαβάστε περισσότερα

Μηχανισμοί γένεσης σεισμών

Μηχανισμοί γένεσης σεισμών Μηχανισμοί γένεσης σεισμών Μέθοδοι προσδιορισμού ρ και σύνδεσή τους με σεισμοτεκτονικά μοντέλα στον Ελληνικό χώρο. Κεφ.10 http://seismo.geology.upatras.gr/seismology/ gy p g gy Σώκος Ευθύμιος Λέκτορας

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ Ασυνέχεια με κλίση

ΑΣΚΗΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ Ασυνέχεια με κλίση ΑΣΚΗΣΗ ΔΙΑΘΛΑΣΗΣ Ασυνέχεια με κλίση Για να ναμελετηθεί μία γεωφυσική δομή ασυνέχειας με μεκλίση χρησιμοποιήθηκε η μέθοδος της σεισμικής διάθλασης με μετην εφαρμογή σεισμικού προφίλ 66 66γεωφώνων. Αυτά

Διαβάστε περισσότερα

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 5.4 Η ταχύτητα υ διάδοσης του κύματος, η περίοδός του Τ και το μήκος κύματος λ, συνδέονται με τη σχέση:

ΟΡΟΣΗΜΟ ΓΛΥΦΑΔΑΣ. 5.4 Η ταχύτητα υ διάδοσης του κύματος, η περίοδός του Τ και το μήκος κύματος λ, συνδέονται με τη σχέση: Αρμονικό κύμα ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 51 Κατά τη διάδοση ενός κύματος σε ένα ελαστικό μέσο: α μεταφέρεται ύλη, β μεταφέρεται ενέργεια και ύλη, γ όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου έχουν την ίδια φάση την ίδια χρονική

Διαβάστε περισσότερα

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A

) = Απόσταση σημείου από ευθεία. Υπολογισμός Εμβαδού Τριγώνου. και A [Επιλογή Ιαν.. Εμβαδόν Τριγώνου ΣΤΟΧΟΙ: Ο µαθητής ϖρέϖει: να είναι ικανός να υϖολογίζει την αϖόσταση σηµείου αϖό ευθεία να είναι ικανός να υϖολογίζει το εµβαδό ενός τριγώνου αϖό τις συντεταγµένες των κορυφών

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013

ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡΑ: Α (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 13/10/2013 ΜΘΗΜ / ΤΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΕΙΡ: (ΛΥΣΕΙΣ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙ: 13/1/13 ΘΕΜ Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΠΙΣΚΟΠΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΓΧΕΙΡΙΔΙΟ ΔΙΔΑΚΤΕΑΣ ΥΛΗΣ ΔΗΜΗΤΡΙΟΣ ΘΕΟΔΩΡΙΔΗΣ Κεφάλαιο 1.1 Ευθύγραμμη κίνηση 1. Τι ονομάζουμε κίνηση; Τι ονομάζουμε τροχιά; Ποια είδη τροχιών γνωρίζετε; Κίνηση ενός αντικειμένου

Διαβάστε περισσότερα

1 x και y = - λx είναι κάθετες

1 x και y = - λx είναι κάθετες Κεφάλαιο ο: ΕΥΘΕΙΑ Ερωτήσεις του τύπου «Σωστό-Λάθος» 1. * Συντελεστής διεύθυνσης μιας ευθείας (ε) είναι η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζει η ευθεία (ε) με τον άξονα. Σ Λ. * Ο συντελεστής διεύθυνσης

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 5 ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΑΥΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ. Για την μελέτη της διάδοσης των σεισμικών κυμάτων μέσα στη Γη γίνονται 3 υποθέσεις.

Κεφάλαιο 5 ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΑΥΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ. Για την μελέτη της διάδοσης των σεισμικών κυμάτων μέσα στη Γη γίνονται 3 υποθέσεις. Κεφάλαιο 5 ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΚΑΙ ΔΙΑΔΟΣΗ ΑΥΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ Για την μελέτη της διάδοσης των σεισμικών κυμάτων μέσα στη Γη γίνονται 3 υποθέσεις. 1) Τα πετρώματα μέσα από τα οποία διαδίδονται τα κύματα έχουν

Διαβάστε περισσότερα

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν.

ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. Η διαίρεση καλείται Ευκλείδεια και είναι τέλεια όταν το υπόλοιπο είναι μηδέν. ΑΛΓΕΒΡΑ 1 ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΘΕΩΡΙΑ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 1. Τι είναι αριθμητική παράσταση; Με ποια σειρά εκτελούμε τις πράξεις σε μια αριθμητική παράσταση ώστε να βρούμε την τιμή της; Αριθμητική παράσταση λέγεται κάθε

Διαβάστε περισσότερα

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ

ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΗ ΥΛΙΚΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ ΘΕΣΗ ΤΡΟΧΙΑ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΗ ΚΑΙ ΔΙΑΣΤΗΜΑ. Παρατηρώντας τις εικόνες προσπαθήστε να ορίσετε τις θέσεις των διαφόρων ηρώων των κινουμένων σχεδίων. Ερώτηση: Πότε ένα σώμα

Διαβάστε περισσότερα

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s.

1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s. 1. Η συχνότητα αρμονικού κύματος είναι f = 0,5 Hz ενώ η ταχύτητα διάδοσης του υ = 2 m / s. Να βρεθεί το μήκος κύματος. 2. Σε ένα σημείο του Ειρηνικού ωκεανού σχηματίζονται κύματα με μήκος κύματος 1 m και

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων

Κεφάλαιο 1: Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων Κεφάλαιο : Κινηματική των Ταλαντώσεων. Φαινομενολογικός ορισμός ταλαντώσεων Μεταβολές σε φυσικά φαινόμενα που χαρακτηρίζονται από μια κανονική επανάληψη κατά ορισμένα

Διαβάστε περισσότερα

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση

1 ΘΕΩΡΙΑΣ...με απάντηση 1 ΘΕΩΡΙΑΣ.....με απάντηση ΑΛΓΕΒΡΑ Κεφάλαιο 1 0 Εξισώσεις Ανισώσεις 1. Τι ονομάζεται Αριθμητική και τι Αλγεβρική παράσταση; Ονομάζεται Αριθμητική παράσταση μια παράσταση που περιέχει πράξεις μεταξύ αριθμών.

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : OKTΩΒΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : OKTΩΒΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : OKTΩΒΡΙΟΣ 2017 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ

ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ ΣΤΕΡΕΟΓΡΑΦΙΚΗ ΑΠΕΙΚΟΝΙΣΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΤΟΥ ΡΗΓΜΑΤΟΣ ΚΑΙ ΤΩΝ ΚΙΝΗΜΑΤΙΚΩΝ ΑΞΟΝΩΝ Σκοπός Σκοπός της άσκησης αυτής είναι η στερεογραφική απεικόνιση του επιπέδου του ρήγματος, καθώς και του βοηθητικού επιπέδου

Διαβάστε περισσότερα

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β.

Φυσικά μεγέθη. Φυσική α λυκείου ΕΙΣΑΓΩΓΗ. Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα. Β. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Φυσικά μεγέθη Όλα τα φυσικά μεγέθη τα χωρίζουμε σε δύο κατηγορίες : Α. τα μονόμετρα Β. τα διανυσματικά Μονόμετρα ονομάζουμε τα μεγέθη εκείνα τα οποία για να τα γνωρίζουμε χρειάζεται να ξέρουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Επιμέλεια: Άλκης Τζελέπης ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΝΝΟΙΑ - ΠΡΑΞΕΙΣ. Αν τα διανύσματα,, σχηματίζουν τρίγωνο, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει

Διαβάστε περισσότερα

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,,

i) Αν (,, ) είναι μια πυθαγόρεια τριάδα και είναι ένας θετικός ακέραιος, να αποδείξετε ότι και η τριάδα (,, 1. i) Να αποδείξετε την ταυτότητα 1 ( ) ( ) ( ) + + = + +. ii) Να αποδείξετε ότι για όλους τους,, ισχύει Πότε ισχύει ισότητα; + + + +.. Λέμε ότι μια τριάδα θετικών ακεραίων (,, ) είναι όταν είναι πλευρές

Διαβάστε περισσότερα

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ

ENOTHTA 1.1 ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ENOTHTA. ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΕΡΟΣ ο. Πώς προσδιορίζουμε τη θέση των αντικειμένων; A O M B ' y P Ì(,y) Ð Για τον προσδιορισμό της θέσης πάνω σε μία ευθεία πρέπει να έχουμε ένα σημείο της

Διαβάστε περισσότερα

d = 5 λ / 4 λ = 4 d / 5 λ = 4 0,5 / 5 λ = 0,4 m. H βασική κυματική εξίσωση : υ = λ f υ = 0,4 850 υ = 340 m / s.

d = 5 λ / 4 λ = 4 d / 5 λ = 4 0,5 / 5 λ = 0,4 m. H βασική κυματική εξίσωση : υ = λ f υ = 0,4 850 υ = 340 m / s. 1) Ένα κύμα συχνότητας f = 500 Hz διαδίδεται με ταχύτητα υ = 360 m / s. α. Πόσο απέχουν δύο σημεία κατά μήκος μιας ακτίνας διάδοσης του κύματος, τα οποία παρουσιάζουν διαφορά φάσης Δφ = π / 3 ; β. Αν το

Διαβάστε περισσότερα

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ψ =0,5 ημ 2π 8t 10 x, u=8 πσυν 2π 8t 5

ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ. ψ =0,5 ημ 2π 8t 10 x, u=8 πσυν 2π 8t 5 ΜΗΧΑΝΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ 1. Σ ένα σημείο Ο ενός ελαστικού μέσου υπάρχει μια πηγή κυμάτων, η οποία τη χρονική στιγμή t =0 αρχίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y=0,5 ημω t (y σε m, t σε sec). Στη

Διαβάστε περισσότερα

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ)

kg(χιλιόγραμμο) s(δευτερόλεπτο) Ένταση ηλεκτρικού πεδίου Α(Αμπέρ) Ένταση φωτεινής πηγής cd (καντέλα) Ποσότητα χημικής ουσίας mole(μόλ) ΕΙΣΑΓΩΓΗ- ΦΥΣΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ Στα φυσικά φαινόμενα εμφανίζονται κάποιες ιδιότητες της ύλης. Για να περιγράψουμε αυτές τις ιδιότητες χρησιμοποιούμε τα φυσικά μεγέθη. Τέτοια είναι η μάζα, ο χρόνος, το ηλεκτρικό

Διαβάστε περισσότερα

Εξάρτηση της σεισμικής κίνησης από τις τοπικές εδαφικές συνθήκες

Εξάρτηση της σεισμικής κίνησης από τις τοπικές εδαφικές συνθήκες Εξάρτηση της σεισμικής κίνησης από τις τοπικές εδαφικές συνθήκες Μηχανικές ιδιότητες του εδάφους θεμελίωσης Πάχος και δυσκαμψία του επιφανειακού ιζηματογενούς στρώματος Κλίση των στρωμάτων και τοπογραφία

Διαβάστε περισσότερα

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ.

Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Α Σ. Μ Ν Σ Υ Κ Σ Ε Ρ Ω Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Ω Ρ Ι Σ. 1. Να γράψετε τους τύπους του εμβαδού των : (α) τετραγώνου (β) ορθογωνίου παραλληλογράμμου (γ) παραλληλογράμμου (δ) τριγώνου (ε) ορθογωνίου τριγώνου (στ) τραπεζίου.

Διαβάστε περισσότερα

δ. Ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι Τ =

δ. Ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι Τ = ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 01/11/2015 ΘΕΜΑ 1 Να γράψετε στο τετραδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις και δίπλα το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ

γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1η εξεταστική περίοδος από 4/10/15 έως 08/11/15 γραπτή εξέταση στο μάθημα ΦΥΣΙΚΗ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Τάξη: Α Λυκείου Τμήμα: Βαθμός: Ονοματεπώνυμο: Καθηγητές: Θ Ε Μ Α Α Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να επιλέξετε τη σωστή

Διαβάστε περισσότερα

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ

Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Κ ε φ. 1 Κ Ι Ν Η Σ Ε Ι Σ Χρήσιμες έννοιες Κίνηση (σχετική κίνηση) ενός αντικειμένου λέγεται η αλλαγή της θέσης του ως προς κάποιο σύστημα αναφοράς. Τροχιά σώματος ονομάζουμε τη νοητή γραμμή που δημιουργεί

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Να βρείτε στην αντίστοιχη σελίδα του σχολικού σας βιβλίου το ζητούμενο της κάθε ερώτησης που δίνεται παρακάτω και να το γράψετε στο τετράδιό σας. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. Να συμπληρώσετε

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας Διανύσματα Καστοριά,

Διαβάστε περισσότερα

Κεφάλαιο 3 TΑΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ

Κεφάλαιο 3 TΑΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ Κεφάλαιο 3 TΑΣΗ ΚΑΙ ΠΑΡΑΜΟΡΦΩΣΗ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΔΙΑΔΟΣΗ ΤΩΝ ΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΚΥΜΑΤΩΝ ΜΕΣΑ ΣΤΗ ΓΗ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ: ΟΤΙ ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΔΙΑΔΟΣΗΣ ΕΧΕΙ ΑΠΟΛΥΤΑ ΕΛΑΣΤΙΚΕΣ ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΕΧΟΜΑΣΤΕ ΜΕ ΑΛΛΑ ΛΟΓΙΑ ΟΤΙ ΤΑ ΣΕΙΣΜΙΚΑ ΚΥΜΑΤΑ ΕΙΝΑΙ

Διαβάστε περισσότερα

α. 0cm. β. 10cm. γ. 20cm. δ. 40cm.

α. 0cm. β. 10cm. γ. 20cm. δ. 40cm. ΘΕΜΑ A Α. Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά παράγει κύμα (πρακτικά) αμείωτου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f( )) = c f ( ),. Έστω F( )

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ σε word! ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΚΩΝΣΤΑΝΤΙΝΟΣ ΤΣΟΛΚΑΣ Ένα «ανοικτό» αρχείο, δηλαδή επεξεργάσιμο που όλοι μπορούν να συμμετέχουν είτε προσθέτοντας είτε διορθώνοντας υλικό. Μετά

Διαβάστε περισσότερα

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ

ΔΕΙΓΜΑ ΠΡΙΝ ΤΙΣ ΔΙΟΡΘΩΣΕΙΣ - ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΚΡΙΤΙΚΗ Συναρτήσεις Προεπισκόπηση Κεφαλαίου Τα μαθηματικά είναι μια γλώσσα με ένα συγκεκριμένο λεξιλόγιο και πολλούς κανόνες. Πριν ξεκινήσετε το ταξίδι σας στον Απειροστικό Λογισμό, θα πρέπει να έχετε εξοικειωθεί

Διαβάστε περισσότερα

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός

Ιωάννης Σ. Μιχέλης Μαθηματικός 1 Άλγεβρα 1 ο Κεφάλαιο Ερώτηση 1 : Τι ονομάζεται αριθμητική και τι αλγεβρική παράσταση; Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις με αριθμούς ονομάζεται αριθμητική παράσταση. Μία παράσταση, που περιέχει πράξεις

Διαβάστε περισσότερα

β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2

β. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι : Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν φ) (φ = π rad) Α = (Α 1 ² + Α 2 ² + 2 Α 1 Α 2 συν π) Α = [Α 1 ² + Α 2 1) Ένα κινητό εκτελεί συγχρόνως δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την θέση ισορροπίας με εξισώσεις : x 1 = 3 ημ [(2 π) t] και x 2 = 4 ημ [(2 π) t + φ], (S.I.).

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) U β A Σελίδα 1 από 5 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ 05 ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Διάρκεια: 3 ώρες ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙ ΩΝ: ΠΕΝΤΕ (5) ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις Α1- Α και

Διαβάστε περισσότερα

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής

3.2 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ. Ορισμός Παραβολής. Εξίσωση Παραβολής 9 3 Η ΠΑΡΑΒΟΛΗ Ορισμός Παραβολής Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία

Διαβάστε περισσότερα

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7

ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 ΑΡΧΗ 1ης ΣΕΛΙΔΑΣ ΘΕΜΑ 1 Ο : ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΤΑΞΗ : Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΠΕΡΙΟΔΟΥ : ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ 2015 ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ : 7 Στις παρακάτω ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιό σας

Διαβάστε περισσότερα

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ο Κεφάλαιο: Στατιστική ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΚΑΙ ΟΡΙΣΜΟΙ ΣΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Πληθυσμός: Λέγεται ένα σύνολο στοιχείων που θέλουμε να εξετάσουμε με ένα ή περισσότερα χαρακτηριστικά. Μεταβλητές X: Ονομάζονται

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΘΕΜΑ Α Ερώτηση θεωρίας Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R και c είναι μια πραγματική σταθερά, να δείξετε ότι: ( c f) = c f, Έστω F = c f Έχουμε

Διαβάστε περισσότερα

ΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής

ΣΕΙΡΑ: 3 Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΜΑΘΗΜΑ /ΤΑΞΗ: Φυσική Κατεύθυνσης Γ Λυκείου ΟΝΟΜΑΤΕΠΩΝΥMΟ: ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 16/03/014 ΣΕΙΡΑ: 3 ΕΞΕΤΑΣΤΕΑ ΥΛΗ: Κύματα: αρμονικό έως στάσιμο, Στερεό: κινηματική έως διατήρηση στροφορμής ΘΕΜΑ Α Να γράψετε στο τετράδιό

Διαβάστε περισσότερα

Κύκλος Επαναληπτικών Διαγωνισμάτων (Προσομοίωσης) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ / Απρίλιος 2016 Μάθημα: Φυσική Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών.

Κύκλος Επαναληπτικών Διαγωνισμάτων (Προσομοίωσης) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ / Απρίλιος 2016 Μάθημα: Φυσική Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών. Κύκλος Επαναληπτικών Διαγωνισμάτων (Προσομοίωσης) Γ ΛΥΚΕΙΟΥ / Απρίλιος 2016 Μάθημα: Φυσική Ομάδας Προσανατολισμού Θετικών Σπουδών. Ονοματεπώνυμο Τμήμα Καθηγητής: ΓΦΣ Επιτηρητής Αίθουσα ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ

Διαβάστε περισσότερα

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

3 ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΛΥΤΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Νρεθεί η εξίσωση του κύκλου σε καθεμιά από τις παρακάτω περιπτώσεις: α) έχει κέντρο την αρχή των αξόνων και ακτίνα β) έχει κέντρο το σημείο (3, - ) και ακτίνα 5 γ) έχει κέντρο το σημείο

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ.

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1.41. Κάποια ερωτήματα πάνω σε μια κυματομορφή. Α d B Γ d Δ t 0 E Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού γραμμικού μέσου, από αριστερά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ. ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ 1. Τι καλείται μεταβλητή; ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΕΡΟΣ 1ο ΑΛΓΕΒΡΑ Μεταβλητή είναι ένα γράμμα (π.χ., y, t, ) που το χρησιμοποιούμε για να παραστήσουμε ένα οποιοδήποτε στοιχείο ενός συνόλου..

Διαβάστε περισσότερα

Κύματα Εξισώσεις Μεθοδολογία

Κύματα Εξισώσεις Μεθοδολογία Κύματα Εξισώσεις Μεθοδολογία Η εξίσωση του κύματος που εκφράζει την απομάκρυνση y ενός σημείου του μέσου, έστω Μ, που απέχει απόσταση χ από την πηγή τη χρονική στιγμή, είναι: y A ( ) με Η ταχύτητα με την

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ(ΘΕΡΙΝΑ)

ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ(ΘΕΡΙΝΑ) ΦΥΣΙΚΗ ΟΜΑΔΑΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ(ΘΕΡΙΝΑ) 5/01/2019 ΟΙΚΟΝΟΜΟΥ ΓΙΩΡΓΟΣ ΚΑΡΑΒΟΚΥΡΟΣ ΧΡΗΣΤΟΣ- ΤΖΑΓΚΑΡΑΚΗΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014

ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ ΠΡΟΣΠΑΘΕΙΑ ΣΑΣ ΚΙ 2014 ΤΟ ΥΛΙΚΟ ΕΧΕΙ ΑΝΤΛΗΘΕΙ ΑΠΟ ΤΑ ΨΗΦΙΑΚΑ ΕΚΠΑΙΔΕΥΤΙΚΑ ΒΟΗΘΗΜΑΤΑ ΤΟΥ ΥΠΟΥΡΓΕΙΟΥ ΠΑΙΔΕΙΑΣ http://www.study4exams.gr/ ΕΧΕΙ ΤΑΞΙΝΟΜΗΘΕΙ ΑΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΑΝΑ ΤΥΠΟ ΓΙΑ ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΣΗ ΤΗΣ ΜΕΛΕΤΗΣ ΣΑΣ ΚΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ ΣΤΗ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΥ ΜΑΖΑΣ ΘΕΣΗΣ ΚΕΝΤΡΟΥ ΜΑΖΑΣ ΡΟΠΗΣ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΣΩΜΑΤΩΝ ΓΕΝΙΚΕΣ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ Α. Υπολογισμός της θέσης του κέντρου μάζας συστημάτων που αποτελούνται από απλά διακριτά μέρη. Τα απλά διακριτά

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΘΕΡΙΝΑ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/12/2016 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β

γ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις απομάκρυνσης - χρόνου, για τα σημεία Α, Β ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΚΥΜΑΤΑ 1. Κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής μεγάλου μήκους που το ένα άκρο της είναι ακλόνητα στερεωμένο, διαδίδονται δύο κύματα, των οποίων οι εξισώσεις είναι αντίστοιχα: και, όπου και είναι

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις

Μαθηματική Εισαγωγή Συναρτήσεις Φυσικός Ραδιοηλεκτρολόγος (MSc) ο Γενικό Λύκειο Καστοριάς Καστοριά, Ιούλιος 14 A. Μαθηματική Εισαγωγή Πράξεις με αριθμούς σε εκθετική μορφή Επίλυση βασικών μορφών εξισώσεων Συναρτήσεις Στοιχεία τριγωνομετρίας

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α

ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α ΜΑΘΗΜΑ / ΤΑΞΗ : ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ / Γ ΛΥΚΕΙΟΥ (ΑΠΟΦΟΙΤΟΙ) ΗΜΕΡΟΜΗΝΙΑ: 28/02/16 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ: ΑΡΧΩΝ ΜΑΡΚΟΣ ΘΕΜΑ Α Οδηγία: Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό καθεμιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις

Διαβάστε περισσότερα

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ

10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 77 10. ΓΕΩΔΑΙΤΙΚΕΣ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Ολοκληρώνοντας την συνοπτική παρουσίαση των εννοιών και μεθόδων της Γεωδαιτικής Αστρονομίας θα κάνουμε μια σύντομη αναφορά στην αξιοποίηση των μεγεθών που προσδιορίστηκαν,

Διαβάστε περισσότερα

Β Γραφικές παραστάσεις - Πρώτο γράφημα Σχεδιάζοντας το μήκος της σανίδας συναρτήσει των φάσεων της σελήνης μπορείτε να δείτε αν υπάρχει κάποιος συσχετισμός μεταξύ των μεγεθών. Ο συνήθης τρόπος γραφικής

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ

ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΟΥ. Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΟΛΙΚΟΥ ΒΙΒΛΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ B ΛΥΚΕΙΥ Γενικής Παιδείας ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥΣΕΙΣ ΣΧΛΙΚΥ ΒΙΒΛΙΥ Σχολικό βιβλίο: Απαντήσεις Λύσεις Κεφάλαιο ο: Συστήματα Γραμμικά συστήματα Α ΜΑΔΑΣ Έχουμε: = 4 i = 6 = + = + = = Άρα, η λύση του συστήματος

Διαβάστε περισσότερα

3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την

3. Εγκάρσιο γραμμικό κύμα που διαδίδεται σε ένα ομογενές ελαστικό μέσον και κατά την ΚΥΜΑΤΑ 1. Μια πηγή Ο που βρίσκεται στην αρχή του άξονα, αρχίζει να εκτελεί τη χρονική στιγμή 0, απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση 6 10 ημ S. I.. Το παραγόμενο γραμμικό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά τη

Διαβάστε περισσότερα

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις

Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Συναρτήσεις Θεωρία Ορισμοί - Παρατηρήσεις Ορισμός: Έστω Α, Β R. Πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής από το σύνολο Α στο σύνολο Β ονομάζουμε την διαδικασία κατά την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου

Διαβάστε περισσότερα

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΗ

ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΓΕΩΦΥΣΙΚΗ ΣΕΙΣΜΙΚΗ ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΗ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ Μελέτη της δομής των επιφανειακών στρωμάτων του φλοιού της Γης ΣΚΟΠΟΣ Εντοπισμός Γεωλογικών δομών οικονομικής σημασίας και ανίχνευση γεωλογικών

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Α ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΘΕΩΡΙΑ ΑΛΓΕΒΡΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Α.1. 1) Ποιοι φυσικοί αριθμοί λέγονται άρτιοι και ποιοι περιττοί; ( σ. 11 ) 2) Από τι καθορίζεται η αξία ενός ψηφίου σ έναν φυσικό αριθμό; ( σ. 11 ) 3) Τι

Διαβάστε περισσότερα

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ 2: ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΚΥΜΑΤΑ ΕΝΟΤΗΤΑ : ΕΠΑΛΛΗΛΙΑ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΥΜΒΟΛΗ ΚΥΜΑΤΩΝ ΣΤΑΣΙΜΑ ΚΥΜΑΤΑ ΛΥΜΕΝΑ ΘΕΜΑΤΑ Ερώτηση. Δύο σύγχρονες κυματικές πηγές, ΘΕΜΑ Β ταλαντώνονται κάθετα στην επιφάνεια ενός υγρού με το ίδιο πλάτος

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο : ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ 1 ΜΑΘΗΜΑ 1 ο +2 ο ΕΝΝΟΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Διάνυσμα ορίζεται ένα προσανατολισμένο ευθύγραμμο τμήμα, δηλαδή ένα ευθύγραμμο τμήμα

Διαβάστε περισσότερα

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 07 3. Να αποδείξετε την ταυτότητα + + αβ βγ γα = Να αποδείξετε ότι για όλους τους α, β, γ ισχύει + + αβ + βγ + γα Πότε ισχύει ισότητα; = = + + =

Διαβάστε περισσότερα

A4. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί

A4. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 0 ΙΟΥΝΙΟΥ 04 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ) ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ

Διαβάστε περισσότερα

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού

ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού ΑΛΓΕΒΡΑ - ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο Εξισώσεις - Ανισώσεις Δευτέρου Βαθμού 97 98 ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ 1. Να λυθεί η εξίσωση: 1 1 1 ( x+ )(x ) = x 3 3 9. Αν η εξίσωση (x - 3) λ + 3 = λ x έχει ρίζα τον αριθμό, να υπολογιστεί

Διαβάστε περισσότερα

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α.

δίου ορισμού, μέσου του τύπου εξαρτημένης μεταβλητής του πεδίου τιμών που λέγεται εικόνα της f για x α f α. 3.1 Η έννοια της συνάρτησης Ορισμοί Συνάρτηση f από ένα συνόλου Α σε ένα σύνολο Β είναι μια αντιστοιχία των στοιχείων του Α στα στοιχεία του Β, κατά την οποία κάθε στοιχείο του Α αντιστοιχεί σε ένα μόνο

Διαβάστε περισσότερα

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος.

3. α) Να λύσετε την εξίσωση x 2 = 3. β) Να σχηματίσετε εξίσωση δευτέρου βαθμού με ρίζες, τις ρίζες της εξίσωσης του α) ερωτήματος. . Δίνεται η εξίσωση λ + 4(λ ) = 0, με παράμετρο λ R α) Να βρείτε τη διακρίνουσα της εξίσωσης. β) Να αποδείξετε ότι η παραπάνω εξίσωση έχει ρίζες πραγματικές για κάθε λ R. γ) Αν, είναι οι ρίζες της παραπάνω

Διαβάστε περισσότερα

Εσωτερικού της Γης. Κεφάλαιο 2. Αναστασία Α Κυρατζή Τοµέας Γεωφυσικής. Κυρατζή Α.. "Φυσική" της Λιθόσφαιρας" 1

Εσωτερικού της Γης. Κεφάλαιο 2. Αναστασία Α Κυρατζή Τοµέας Γεωφυσικής. Κυρατζή Α.. Φυσική της Λιθόσφαιρας 1 οµή και Σύσταση του Εσωτερικού της Γης Μάθηµα: Φυσική της Λιθόσφαιρας Κεφάλαιο 2 Αναστασία Α Κυρατζή Τοµέας Γεωφυσικής της Λιθόσφαιρας" 1 Μάθηµα 1 ο Εισαγωγή Ορισµοί Ελαστικά κύµατα Ταχύτητες ιδιότητες

Διαβάστε περισσότερα

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7.1 ΜΕΛΕΤΗ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ f ( ) 1. Μορφή της συνάρτησης f ( ) Ιδιότητες Έχει πεδίο ορισµού ολο το R Είναι άρτια, άρα συµµετρική ως προς τον άξονα y y Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστηµα (,0] Είναι γνησίως

Διαβάστε περισσότερα

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ. f3 x = και 7 ΜΕΛΕΤΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε πώς, με τη βοήθεια των πληροφοριών που α- ποκτήσαμε μέχρι τώρα, μπορούμε να χαράξουμε με όσο το δυνατόν μεγαλύτερη ακρίβεια τη γραφική παράσταση

Διαβάστε περισσότερα

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Γ ΘΕΜΑΤΑ:

ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ. Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Γ ΘΕΜΑΤΑ: ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ Μάθημα: ΦΥΣΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ Καθηγητής/τρια: Χρόνος: 3 ΩΡΕΣ Ονοματεπώνυμο: Τμήμα: Γ ΘΕΜΑ Α ΘΕΜΑΤΑ: 1. Στα εγκάρσια κύματα, το μήκος κύματος λ είναι ίσο με την απόσταση: α) μεταξύ δύο

Διαβάστε περισσότερα

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη;

1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ο ΚΙΝΗΣΗ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης. Στην Κινηματική

Διαβάστε περισσότερα

ΠΕΙΡΑΜΑ 7. Μελέτη της Κυκλικής Κίνησης

ΠΕΙΡΑΜΑ 7. Μελέτη της Κυκλικής Κίνησης ΠΕΙΡΑΜΑ 7 Μελέτη της Κυκλικής Κίνησης Σκοπός του πειράµατος Σκοπός του πειράµατος είναι η µελέτη της κυκλικής κίνησης και µερικών από τα µεγέθη που την περιγράφουν, όπως η γωνιακή ταχύτητα και επιτάχυνση,

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΒΑΣΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΑΠΟ ΤΗΝ ΘΕΩΡΙΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΟΣ Αρχή και Πέρας Φορέας Διεύθυνση (Συγγραμμικά διανύσματα) Μέτρο Κατεύθυνση (Ομόρροπα Αντίρροπα διανύσματα)

Διαβάστε περισσότερα

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ

Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ Κίνηση ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ 2.1 Περιγραφή της Κίνησης 1. Τι είναι η Κινηματική; Ποια κίνηση ονομάζεται ευθύγραμμη; Κινηματική είναι ο κλάδος της Φυσικής που έχει ως αντικείμενο τη μελέτη της κίνησης.

Διαβάστε περισσότερα

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση. Ενότητα 4 Τριγωνομετρία Στην ενότητα αυτή θα μάθουμε: Να υπολογίζουμε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς οξείας γωνίας. Τη γωνία σε κανονική θέση και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας σε κανονική θέση.

Διαβάστε περισσότερα

Συμπεράσματα Κεφάλαιο 7.

Συμπεράσματα Κεφάλαιο 7. 7. ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Ο κύριος στόχος της παρούσας διατριβής ήταν η προσομοίωση της σεισμικής κίνησης με τη χρήση τρισδιάστατων προσομοιωμάτων για τους εδαφικούς σχηματισμούς της ευρύτερης περιοχής της Θεσσαλονίκης.

Διαβάστε περισσότερα

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΦΥΣΙΚΗ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Β ΛΥΚΕΙΟΥ Καμπυλόγραμμες Κινήσεις Επιμέλεια: Αγκανάκης Α. Παναγιώτης, Φυσικός http://phyiccore.wordpre.com/ Βασικές Έννοιες Μέχρι στιγμής έχουμε μάθει να μελετάμε απλές κινήσεις,

Διαβάστε περισσότερα

Μαθηματικά Β Γυμνασίου

Μαθηματικά Β Γυμνασίου Μαθηματικά Β Γυμνασίου Περιεχόμενα KEΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ... 3 1.1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ ΑΛΓΕΒΡΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ... 3 1.2 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ... 3 1.3 ΕΠΙΛΥΣΗ ΤΥΠΩΝ... 4 1.4 ΕΠΙΛΥΣΗ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΜΕ ΤΗΝ ΧΡΗΣΗ

Διαβάστε περισσότερα

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ :

Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : Γκύζη 14-Αθήνα Τηλ : 10.64.5.777 ΘΕΜΑ Α ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β ) ΤΡΙΤΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 014 ΦΥΣΙΚΗ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1. Τρέχοντα Κύματα. 2.1.1. Στιγμιότυπο κύματος Στη θέση x=0 ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σύμφωνα με την εξίσωση y= 0,2ημπt (μονάδες στο

Διαβάστε περισσότερα

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 21 Κυματική ΦΥΣ102 1

Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα. ΔΙΑΛΕΞΗ 21 Κυματική ΦΥΣ102 1 Τμήμα Φυσικής Πανεπιστημίου Κύπρου Χειμερινό Εξάμηνο 2016/2017 ΦΥΣ102 Φυσική για Χημικούς Διδάσκων: Μάριος Κώστα ΔΙΑΛΕΞΗ 21 Κυματική ΦΥΣ102 1 Χαρακτηριστικά Διάδοσης Κύματος Όλα τα κύματα μεταφέρουν ενέργεια.

Διαβάστε περισσότερα

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ

Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος , Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Θέματα ενδοσχολικών εξετάσεων Άλγεβρας Α Λυκείου Σχ. έτος 013-014, Ν. Δωδεκανήσου ΘΕΜΑΤΑ ΕΝΔΟΣΧΟΛΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΤΑΞΗ: Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΣΧΟΛΙΚΟ ΕΤΟΣ: 013-014 Επιμέλεια: Καραγιάννης Ιωάννης Σχολικός

Διαβάστε περισσότερα

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 ο Δίνεται η ευθεία (ε) με εξίσωση: 2x y1 0 καθώς και το σημείο Μ(3,0). α. Να βρείτε την εξίσωση μιας ευθείας (η) που περνά από το Μ και είναι κάθετη στην ευθεία (ε). β. Να

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ.

2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1 Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Δ. 2.1.41. Κάποια ερωτήματα πάνω σε μια κυματομορφή. Ένα εγκάρσιο αρμονικό κύμα, πλάτους 0,2m, διαδίδεται κατά μήκος ενός ελαστικού γραμμικού μέσου, από αριστερά προς τα δεξιά

Διαβάστε περισσότερα

ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (Κύματα στην Επιφάνεια Υγρού Θαλάσσια Κύματα)

ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (Κύματα στην Επιφάνεια Υγρού Θαλάσσια Κύματα) ΕΠΙΦΑΝΕΙΑΚΑ ΚΥΜΑΤΑ (Κύματα στην Επιφάνεια Υγρού Θαλάσσια Κύματα) Εκτός από τα εγκάρσια και τα διαμήκη κύματα υπάρχουν και τα επιφανειακά κύματα τα οποία συνδυάζουν τα χαρακτηριστικά των δυο προαναφερθέντων

Διαβάστε περισσότερα

2.1. Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Γ.

2.1. Τρέχοντα Κύματα. Ομάδα Γ. 2.1. Τρέχοντα. Ομάδα Γ. 2.1.21. και προς τις δύο κατευθύνσεις. Στη θέση x 1 =8m ενός οριζόντιου γραμμικού ελαστικού μέσου υπάρχει πηγή κύματος η οποία αρχίζει να ταλαντώνεται σε κατακόρυφη διεύθυνση με

Διαβάστε περισσότερα

είναι τα διανύσματα θέσης της τελικής και της αρχικής του θέσης αντίστοιχα. Η αλγεβρική τιμή της μετατόπισης είναι Δx xτελ xαρχ

είναι τα διανύσματα θέσης της τελικής και της αρχικής του θέσης αντίστοιχα. Η αλγεβρική τιμή της μετατόπισης είναι Δx xτελ xαρχ ΕΥΘΥΓΡΑΜΜΗ ΚΙΝΗΣΗ Ύλη και κίνηση Ένα σώμα λέμε ότι κινείται όταν αλλάζει σνεχώς θέσεις ως προς ένα άλλο σώμα το οποίο θεωρούμε ακίνητο Η κίνηση ή η ακινησία των σωμάτων είναι έννοιες σχετικές και εξαρτούνται

Διαβάστε περισσότερα