Ολοκληρωμένος Βιομηχανικός Έλεγχος

Transcript

1 ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα Ολοκληρωμένος Βιομηχανικός Έλεγχος Ενότητα 2: Βιομηχανικός Αυτόματος Έλεγχος με PID Ελεγκτές Αναστασία Βελώνη Τμήμα Μηχανικών Η/Υ Συστημάτων

2 Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2

3 Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα στο Ανώτατο Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Τεχνολογικού Τομέα» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Έλεγχος Βιομηχανικών Διαδικασιών Βιομηχανικός Έλεγχος(απλές λύσεις σε δύσκολα προβλήματα) Ιστορικά Στοιχεία Εισαγωγικά Στοιχεία Σύγχρονο Βιομηχανικό Σύστημα Τύποι βιομηχανικού ελέγχου Ελεγκτής Στόχοι σχεδίασης Ελεγκτής Τριών Όρων Ελεγκτής P Ελεγκτής I Εναλλακτικές μορφές αλγορίθμου τριών όρων Συντονισμός ελεγκτών τριών όρων Προδιαγραφές βιομηχανικών ελεγκτών Μέθοδοι υπολογισμού των παραμέτρων Εφαρμογή των PID ελεγκτών Εφαρμογή 1-απλό σύστημα μάζας και αποσβεστήρα Εφαρμογή 2-σύστημα μάζας, αποσβεστήρα και δύναμης Εφαρμογή 3-μοντέλο ταχύτητας κινητήρα Εφαρμογή με ψηφιακό ελεγκτή Βιβλιογραφία Ελεγκτής D Χαρακτηριστικά των PID ελεγκτών 4

5 Έλεγχος Βιομηχανικών Διαδικασιών Εισαγωγή Η βάση των σύγχρονων συστημάτων εποπτικού ελέγχου αποτελείται από τον σύγχρονο Βιομηχανικό Αυτοματισμό που ασχολείται κυρίως με την χρήση Προγραμματιζόμενων Λογικών Ελεγκτών (ΠΕΛ), πιο γνωστών ως PLC, για το διακοπτικό έλεγχο βιομηχανικών διαδικασιών και τον Βιομηχανικό Έλεγχο που ασχολείται με τον έλεγχο των μεταβλητών των βιομηχανικών διαδικασιών που είναι κρίσιμες για τον ποσοτικό και ποιοτικό έλεγχο του παραγόμενου προϊόντος 5

6 Έλεγχος Βιομηχανικών Διαδικασιών Η χρήση βιομηχανικού αυτοματισμού και βιομηχανικού ελέγχου είναι απαραίτητη στη βιομηχανία σήμερα ώστε οι απαιτήσεις της ευελιξίας στην παραγωγή, της μείωσης του κόστους παραγωγής, της εξοικονόμησης ενέργειας και της συνέπειας στην παράδοση των παραγόμενων προϊόντων να μπορούν να επιτευχθούν Η ομαλή λειτουργία, η τήρηση και η βελτιστοποίηση της ποιότητας του παραγόμενου προϊόντος μιας παραγωγικής μονάδας συνδέεται άμεσα με την ποιότητα, την ακεραιότητα και την αξιοπιστία του συστήματος ελέγχου της μονάδας 6

7 Βιομηχανικός έλεγχος απλές λύσεις σε δύσκολα προβλήματα Oι διαδικασίες του σχεδιασμού, συντονισμού και θέσης σε λειτουργία ενός βιομηχανικού ελεγκτή ακολουθούν τρεις φάσεις: Πρώτη φάση: Φάση της προτυποποίησης της φυσικής διαδικασίας Βρίσκεται αρχικά ένα απλό προσεγγιστικό πρότυπο (μοντέλο) της ελεγχόμενης διαδικασίας που αναπαράγει ικανοποιητικά τα κύρια δυναμικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας Το πρότυπο αυτό εξάγεται από μετρήσεις των εισόδων και εξόδων της διαδικασίας μετά από επιβολή γνωστών διεγέρσεων 7

8 Βιομηχανικός έλεγχος απλές λύσεις σε δύσκολα προβλήματα Δεύτερη φάση: Φάση σχεδιασμού και συντονισμού του ελεγκτή Υπολογίζονται οι παράμετροι του ελεγκτή ώστε η δυναμική συμπεριφορά του κλειστού συστήματος να ικανοποιεί ορισμένες προδιαγραφές. Αυτό γίνεται με συστηματικές αλλά απλές αναλυτικές μεθόδους Τρίτη φάση: Φάση της εγκατάστασης του ελεγκτή Είναι απαραίτητο να γίνουν άμεσα μικρο-ρυθμίσεις στις παραμέτρους (fine tuning) του ελεγκτή ώστε να επιτευχθεί η πλέον αποδεκτή απόκριση της διαδικασίας κάτω από κανονικές συνθήκες λειτουργίας 8

9 ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 1η ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Έχουμε το αναλογικό εποπτικό σύστημα ελέγχου: 9

10 ΙΣΤΟΡΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ 2 η ΠΕΡΙΟΔΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Υβριδικός εποπτικός έλεγχος Οι κύριες δραστηριότητες των πρώτων υπολογιστικών συστημάτων ήταν: ο υπολογισμός των βέλτιστων λειτουργικών συνθηκών ο χρονικός προγραμματισμός της παραγωγής η σύνταξη των διαφόρων αναφορών των παραγωγικών στοιχείων 10

11 Πληροφορικός έλεγχος διαδικασιών Ένα σύγχρονο κατανεμημένο σύστημα εποπτικού ελέγχου και συλλογής πληροφοριών (Supervisory Control And Data Acquisition - SCADA) ή κατανεμημένου συστήματος ελέγχου (Distributed Control System - DCS) αποτελείται από ένα σύμπλεγμα συνεργαζόμενων τοπικών μονάδων ελέγχου 11

12 Κατανεμημένο Σύστημα Εποπτικού Ελέγχου Ένα σύγχρονο κατανεμημένο σύστημα εποπτικού ελέγχου αποτελείται από τα εξής στοιχεία: τους αισθητήρες που συλλέγουν δεδομένα από το περιβάλλον της φυσικής διαδικασίας. Τα δεδομένα συγκεντρώνονται στις τοπικές μονάδων ελέγχου (ΤΜΕ) που μετατρέπουν τα δεδομένα σε ψηφιακή μορφή για μετάδοση μέσω του τοπικού δικτύου που είναι ουσιαστικά ο δίαυλος μέσω του οποίου γίνεται η αμφίδρομη μεταφορά πληροφοριών και δεδομένων προς και από τη φυσική διαδικασία και του εποπτικού συστήματος ελέγχου, που είναι υπεύθυνο για τον εποπτικό έλεγχο της μονάδας. Το εποπτικό σύστημα περιλαμβάνει τη βάση δεδομένων πραγματικού χρόνου όπου αποθηκεύονται όλα τα δεδομένα σχετικά με τη φυσική διαδικασία. Οι ονομαστικές τιμές των μεταβλητών της φυσικής διαδικασίας καθορίζονται στη βαθμίδα αυτή και επιστρέφονται στη φυσική διαδικασία μέσω του τοπικού δικτύου στις ΤΜΕ που ενσωματώνουν τους βιομηχανικούς ελεγκτές τριών όρων, υπεύθυνοι για τον έλεγχο των συνεχών μεταβλητών της φυσικής διαδικασίας. Τέλος, οι δράσεις ελέγχου επί της διαδικασίας γίνονται με ενεργοποιητές,όπου κλείνει ο βρόχος ελέγχου της διαδικασίας 12

13 Σύγχρονο Σύστημα Ελέγχου Στοιχεία ενός σύγχρονου Συστήματος Ελέγχου 13

14 ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ Οι ελεγκτές (νόμοι ελέγχου) είναι συστήματα που ελέγχουν την είσοδο των διεργασιών, δηλαδή την αναγκάζουν σε επιθυμητή συμπεριφορά Σύστημα Στην συστημική μελέτη μιας διεργασίας, οι κύριες μεταβλητές που λαμβάνονται υπ' όψη είναι η είσοδος (input) και η έξοδος (output) Η είσοδος είναι το φυσικό μέγεθος που μπορεί να μεταβληθεί ώστε να οδηγήσει τη λειτουργία του συστήματος. Καλείται μεταβλητή ελέγχου (control variable), είσοδος ελέγχου (control input) ή οδηγούσα εντολή (driving command) Η έξοδος είναι η μεταβλητή που καθορίζει τον επιθυμητό σχεδιαστικό στόχο, δηλαδή είναι η μεταβλητή που απαιτείται να έχει επιθυμητή συμπεριφορά. Καλείται μεταβλητή απόδοσης (performance output) ή μετρούμενη μεταβλητή (measurement output) 14

15 Διάγραμμα Διεργασίας Στο χονδρικό διάγραμμα του Σχήματος παρουσιάζεται η δομή ενός συστήματος (διεργασίας) με βάση τη θεώρηση εισόδου - εξόδου, όπου u(t) είναι η είσοδος και y(t) είναι η έξοδος (συναρτήσεις του χρόνου t) Χονδρικό διάγραμμα διεργασίας (Είσοδος + Έξοδος + Σύστημα) 15

16 Διάγραμμα Διεργασίας Στην είσοδο κάθε ελεγχόμενου συστήματος απαραίτητη μονάδα αποτελεί η συσκευή που ονομάζεται ενεργοποιητής (actuator). Η συσκευή αυτή μετατρέπει την εντολή εισόδου σε μεταβλητή κατάλληλη να ενεργοποιήσει το σύστημα Στην έξοδο του συστήματος είναι αναγκαία μια επιπλέον συσκευή που καλείται αισθητήρας (sensor). Το όργανο αυτό μετρά την τιμή της εξόδου και την αποδίδει σε μορφή ηλεκτρικού σήματος στον ελεγκτή Ο αισθητήρας και ο ενεργοποιητής αποτελούν την ενδοπροσωπεία (interface) της διεργασίας με κάθε ευφυές περιβάλλον (π.χ. Η-Υ) 16

17 Σύγχρονο βιομηχανικό σύστημα Οι βασικοί στόχοι ενός σύγχρονου συστήματος ελέγχου είναι: η διασφάλιση της άρτιας λειτουργίας των παραγωγικών μονάδων η διασφάλιση της ποιότητας και της ποσότητας του παραγόμενου προϊόντος η μεγιστοποίηση της παραγωγής η ελαχιστοποίηση της ενέργειας και η αξιοποίηση του εξοπλισμού, των υλικών και της ενέργειας 17

18 Τύποι βιομηχανικού ελέγχου Διακρίνονται οι εξής βασικοί τύποι βιομηχανικού ελέγχου: Έλεγχος μοναδικού βρόχου (single loop control) (περισσότερα) Μία μεταβλητή της ελεγχόμενης διαδικασίας ελέγχεται αποκλειστικά από έναν ελεγκτή που δεν έχει διασύνδεση με άλλον Έλεγχος λόγου (ratio control) (περισσότερα) Απαιτείται η τήρηση ενός σταθερού λόγου μεταξύ δύο (ή περισσοτέρων) μεταβλητών της ελεγχόμενης διαδικασίας Διαδοχικός έλεγχος (cascade control) (περισσότερα) Απαιτούνται δύο ή περισσότεροι διασυνδεδεμένοι βρόχοι ελέγχου Έλεγχος πρόσμιξης (blending control) (περισσότερα) Απαιτείται ο ποσοστιαίος έλεγχος δύο ή περισσοτέρων ποσοτήτων 18

19 ΕΛΕΓΚΤΗΣ Ορισμοί Ελεγκτής (controller) καλείται μια συσκευή που παράγει αυτόματα ένα σήμα ελέγχου (είσοδος) Όταν ο ελεγκτής χρησιμοποιεί μέτρηση της εξόδου καλείται έλεγχος ανατροφοδότησης (feedback control) Ο αλγόριθμος που είναι εγκατεστημένος στον ελεγκτή ονομάζεται νόμος ανατροφοδότησης (feedback law) Στόχος της σχεδίασης συστημάτων ελέγχου είναι ο προσδιορισμός κατάλληλου σήματος εισόδου, έτσι ώστε η διεργασία να έχει επιθυμητή συμπεριφορά Η επιθυμητή συμπεριφορά της διεργασίας ποικίλλει ανάλογα με τα χαρακτηριστικά της και τη λειτουργία που αυτή καλείται να εκτελέσει 19

20 Σύστημα Κλειστού Βρόχου Η παρουσία της ανατροφοδότησης εξόδου σχηματίζει μια διάταξη κλειστού βρόχου (closed loop), η οποία αποτελείται από τη διεργασία και τον ελεγκτή Χονδρική δομή συστήματος κλειστού βρόχου (διεργασία + ελεγκτής) 20

21 Σύστημα Κλειστού Βρόχου Ο ελεγκτής χρησιμοποιεί, γενικά, το σήμα εξόδου (απόδοση) του συστήματος έτσι ώστε να μεγιστοποιεί την πληροφορία που γνωρίζει για τη διεργασία και έτσι να διορθώνει αυτόματα την επιλογή της κατάλληλης εντολής εισόδου Η εξωτερική είσοδος είναι ένα σήμα (ή περισσότερα) που αντιπροσωπεύει την επίδραση του εξωτερικού περιβάλλοντος στο σύστημα κλειστού βρόχου. Η εξωτερική είσοδος αντιστοιχεί σε: Διαταραχές που επιδρούν στη διεργασία, δηλαδή εισόδους που δεν μπορούν να ελεγχθούν (δεν επιδέχονται εφαρμογή ενεργοποιητή) Ενδοπροσωπεία χρήστη-μηχανής, δηλαδή σήμα πραγματικού χρόνου που παράγει ο χρήστης της διεργασίας επεμβαίνοντας άμεσα στην απόδοση της Επιθυμητή απόδοση, δηλαδή σήμα που εισάγεται στον ελεγκτή από το σχεδιαστή και αντιπροσωπεύει την επιθυμητή απόδοση της διεργασίας ή κατάλληλο μετασχηματισμό της 21

22 Σύστημα Κλειστού Βρόχου Στην περίπτωση που η διεργασία και ο ελεγκτής είναι γραμμικά χρονικά αμετάβλητα δυναμικά συστήματα η χονδρική δομή της διάταξης κλειστού βρόχου λαμβάνει την ειδική μορφή: Χονδρική δομή συστήματος κλειστού βρόχου για γραμμικές διεργασίες και γραμμικούς ελεγκτές 22

23 A(q)y(k) = B(q)u(k) ) ( q a q a q q A n n n = 0 0 ) ( q b q b q B n n + + = = ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( w k k y q C q u q C e ) (, ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( q g q g q G q f q f q F q G q F q C q c q c q q C e σ σ σ σ σ σ σ + + = + + = = = Σύστημα Κλειστού Βρόχου Η διεργασία είναι ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα με περιγραφή: όπου Όπου C(q) είναι ένα πολυώνυμο του τελεστή προήγησης q και Ce(q) είναι πολυωνυμικό διάνυσμα 1x2 του τελεστή προήγησης q όπου σ=degc η τάξη του ελεγκτή Ο ελεγκτής είναι ένα γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα με περιγραφή: 23

24 Σύστημα Κλειστού Βρόχου Σύμφωνα με τους προηγούμενους ορισμούς και αναλύοντας τον ελεγκτή, έχουμε : Χονδρική δομή συστήματος κλειστού βρόχου με ανάλυση του ελεγκτή σε δρόμο ανατροφοδότησης και δρόμο προαντιστάθμισης 24

25 Σύστημα Κλειστού Βρόχου A( q) G( q) F ( q) τελεστές μεταφοράς B( q) C( q) C( q) Το γραμμικά συστήματα της δομής Α(q)y(k) = B(q)u(k) παριστάνονται σε σχέση με τον τελεστή μεταφοράς ως εξής: B( q) y( k) = u( k) A( q) Το τμήμα του ελεγκτή στην ευθεία πορεία του συστήματος, με τελεστή μεταφοράς G( q) ονομάζεται προαντισταθμιστής (precompensator) C( q) Το τμήμα του ελεγκτή στο δρόμο της ανατροφοδότησης, με τελεστή μεταφοράς F ( q) ονομάζεται απλά ανατροφοδότηση (feedback) C( q) 25

26 Σύστημα Κλειστού Βρόχου Η δυναμική περιγραφή του ελεγκτή, δηλαδή η εξίσωση ονομάζεται νόμος ελέγχου C(q)u(k) = - F(q)y(k) +G(q)w(k) Οι συντελεστές των πολυωνύμων F(q), G(q), C(q) καθώς και η τάξη σ του ελεγκτή είναι βαθμοί ελευθερίας σχεδίασης, οι οποίοι χρησιμοποιούνται για την επίτευξη του επιθυμητού αποτελέσματος, δηλαδή την επίτευξη επιθυμητών χαρακτηριστικών στο σύστημα κλειστού βρόχου που συνδέει την εξωτερική είσοδο w(k) με την έξοδο y(k) (απόδοση) της διεργασίας Χονδρικό διάγραμμα συστήματος κλειστού βρόχου (συσχέτιση εξωτερικής εισόδου και εξόδου) 26

27 Σύστημα Κλειστού Βρόχου Η έξοδος του ελεγκτή οδηγεί ως είσοδος τη διεργασία Η επιλογή του κατάλληλου ελεγκτή εξαρτάται από: τη δομή της διεργασίας και τον σχεδιαστικό στόχο τον οποίο πρέπει αυτός να επιτύχει 27

28 Στόχοι σχεδίασης Οι απαιτήσεις συμπεριφοράς του συστήματος κλειστού βρόχου, που συναντώνται στις περισσότερες πρακτικές εφαρμογές, συνοψίζονται στους ακόλουθους στόχους σχεδίασης: Φραγμένη Απόκριση (Bounded Response) (περισσότερα) Η έξοδος του συστήματος να παραμένει φραγμένη, για οποιαδήποτε φραγμένη εξωτερική είσοδο και για οποιεσδήποτε αρχικές τιμές εξωτερικής εισόδου και εξόδου Ακολούθηση Εντολής (Command Following) (περισσότερα) Η έξοδος y(k) του συστήματος να ακολουθεί μια επιθυμητή απόκριση (εντολή) yd(k), δηλαδή y(k) yd(k). Μια ειδική περίπτωση ακολούθησης εντολής είναι η περίπτωση που το επιθυμητό σήμα είναι ίσο με το μηδέν, οπότε ο σχεδιαστικός στόχος αντιστοιχεί στην αδρανοποίηση (relaxation) του συστήματος κλειστού βρόχου 28

29 Σχεδίαση Συνοψίζοντας, η διαδικασία της σχεδίασης συστημάτων ελέγχου αναλύεται σε δύο βήματα: Tη διερεύνηση της επιλυσιμότητας του σχεδιαστικού στόχου και τον προσδιορισμό των παραμέτρων του ελεγκτή ώστε να ικανοποιείται ο σχεδιαστικός στόχος 29

30 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Γενικά Βασική αρχή και θεμελιώδης λίθος στον αυτόματο έλεγχο είναι η αρχή της ανατροφοδότησης Στόχος ενός ελεγκτή είναι ο μηδενισμός του σφάλματος για κάθε συνθήκη λειτουργίας 30

31 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Ο ελεγκτής τριών όρων είναι ουσιαστικά ένας ελεγκτής - αντισταθμητής σειράς που τοποθετείται στον απ ευθείας κλάδο του κλειστού συστήματος και ρυθμίζει το σήμα u(s) που οδηγεί το σύστημα λαμβάνοντας υπ όψη την απόκλιση (σφάλμα) e(s) της εισόδου από την έξοδο Ο σχεδιασμός του ελεγκτή έχει σκοπό να μετακινήσει τους πόλους του κλειστού συστήματος σε επιθυμητές θέσεις Γενικά κάθε κλειστό σύστημα με ελεγκτή σειράς έχει την παρακάτω δομή, όπου: Η Gp(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς της υπό έλεγχο διαδικασίας Η Gc(s) είναι η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή τριών όρων 31

32 u( t) Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Ο ελεγκτής τριών όρων περιγράφεται από το νόμο ελέγχου: 1 t = K e( t) + e(t)d(t) + Td T 0 i de( t) dt = PID u(t) είναι η μεταβλητή ελέγχου και αποτελεί την έξοδο του ελεγκτή και είσοδο της διαδικασίας e(t) = ysp y(t) είναι το σφάλμα μεταξύ της πραγματικής και της επιθυμητής τιμής της εξόδου y(t) της διαδικασίας υπό έλεγχο Η μεταβλητή ελέγχου, δηλαδή η έξοδος του ελεγκτή είναι το άθροισμα τριών όρων: του αναλογικού όρου Ρ (ανάλογο του σφάλματος), του ολοκληρωτικού όρου I (ανάλογο του ολοκληρώματος του σφάλματος) και του όρου παραγωγισμού D (ανάλογο της παραγώγου του σφάλματος) 32

33 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Οι παράμετροι ενός βιομηχανικού ελεγκτή τριών όρων είναι : 1. το αναλογικό κέρδος Κ 2. ο χρόνος ολοκλήρωσης Τi 3. ο χρόνος παραγωγισμού Τd K: PG (Proportional Gain) Ti: IAT (Integral Action Time) Td: DAT (Derivative Action Time) 33

34 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Χονδρικό διάγραμμα ελεγκτή τριών όρων 34

35 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Αν έχουμε P (αναλογικό έλεγχο) τότε: u(t) = Kp e(t) (για το πεδίο του χρόνου) Gc(s) = Kp (για το πεδίο συχνοτήτων) Ρυθμίζει το μόνιμο σφάλμα και τείνει να το μηδενίσει, αλλά τελικά καταλήγει σε μόνιμο σφάλμα ανάλογα με τον τύπο του συστήματος, γιατί δεν μπορούμε να αυξήσουμε το Kp πάνω από κάποιο όριο Αν το Kp αυξάνει έχουμε αύξηση των ταλαντώσεων και το σύστημα σβήνει πιο αργά αφού χειροτερεύει η μεταβατική συμπεριφορά Αν το Kp αυξάνει έχουμε αύξηση στη φυσική συχνότητα ωn του συστήματος και μείωση του συντελεστή απόσβεσης ζ Συνήθως χρησιμοποιείται και ο όρος ανάλογη ζώνη ΡΒ%=100/Kp (Παράδειγμα ) 35

36 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Αν έχουμε I (ολοκληρωτικό έλεγχο) τότε: u ( t) = Ki e( t) dt Gc ( s) = όπου Kp Ki = Ti Η προσθήκη του ολοκληρωτικού όρου έχει σαν αποτέλεσμα ένα μικρό θετικό σφάλμα να ολοκληρώνεται ώστε η είσοδος της διεργασίας να αυξάνεται με το χρόνο και να επαναφέρει την απόκριση του συστήματος κλειστού βρόχου στην επιθυμητή τιμή Επομένως ο ολοκληρωτικός όρος τείνει να οδηγήσει το σύστημα κλειστού βρόχου σε μηδενικό σφάλμα μόνιμης κατάστασης Ki s 36

37 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Ti είναι ο χρόνος που απαιτείται ο όρος ολοκλήρωσης να γίνει ίσος με τον ανάλογο έλεγχο για σταθερό σφάλμα Η δράση ολοκληρώματος καθυστερεί τον ανάλογο έλεγχο κατά την ποσότητα Ti Η χρήση του ελέγχου αυξάνει το αποδεκτό Kp To Ki=1/Ti εκφράζει επαναλήψεις σε mins ή secs Αν το Ti ελαττωθεί πάρα πολύ τότε η ημιτονοειδής έξοδος τείνει να κάνει ταλαντώσεις με συχνότητα μικρότερη της κρίσιμης συχνότητας Ο όρος του ολοκληρώματος λόγω της εξασθένησης που εισάγει έχει σαν αποτέλεσμα να μειώνεται η φυσική συχνότητα με απόσβεση του συστήματος, οπότε το σύστημα παρουσιάζει μεγάλη υπερύψωση με αποτέλεσμα να αυξάνει ο αριθμός των ταλαντώσεων και να χειροτερεύει η μεταβατική συμπεριφορά (Παράδειγμα ) 37

38 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Αν έχουμε D (διαφορικό έλεγχο) τότε: όπου d( e( t)) u( t) = Kd Gc( s) = Kd s dt Kd = Kp Td s Ο διαφορικός όρος αυξάνει την ευστάθεια του συστήματος κλειστού βρόχου και βελτιώνει τη συμπεριφορά της βηματικής απόκρισης του κατά το μεταβατικό φαινόμενο. Όμως ο διαφορικός όρος ενισχύει σημαντικά το θόρυβο που εμφανίζεται στην απόκριση του συστήματος 38

39 Ελεγκτές Τριών Όρων Proportional Integral Derivative Η δράση της παραγώγου ενισχύει το θόρυβο και γι αυτό βάζουμε φίλτρο Ο έλεγχος παραγώγου βοηθάει στις αργές διαδικασίες αφού δρα προβλεπτικά στο σφάλμα και δίνει σήμα στον ενεργοποιητή για βελτίωση της μεταβατικής συμπεριφοράς Το Td είναι ο απαιτούμενος χρόνος που χρειάζεται ώστε η συνεισφορά του όρου της παραγώγου να γίνει ίση με τη συνεισφορά του ανάλογου ελέγχου όταν έχουμε είσοδο ράμπας Η δράση της παραγώγου προκαλεί προήγηση του ανάλογου ελέγχου κατά την ποσότητα Td Αν δεν υπάρχει θόρυβος η δράση της παραγώγου μειώνει το Kp Η δράση του ελέγχου παραγώγισης μειώνει την μεγάλη υπερύψωση και το σύστημα ανταποκρίνεται πιο γρήγορα (Παράδειγμα ) 39

40 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ PID ΕΛΕΓΚΤΩΝ Οι επιδράσεις των όρων Kp, Ki, Kd στο σύστημά μας συμπεριλαμβάνονται στον παρακάτω πίνακα: Απόκριση Κλειστού Βρόχου Χρόνος Ανύψωσης Υπερύψωση Χρόνος Αποκατάστασης Μόνιμο Σφάλμα Kp Μείωση Αύξηση Μικρή αλλαγή Μείωση Ki Μείωση Αύξηση Αύξηση Εξάλειψη Kd Μικρή αλλαγή Μείωση Μείωση Μικρή αλλαγή 40

41 Εναλλακτικές μορφές του αλγορίθμου τριών όρων Ο κλασικός αλγόριθμος του βιομηχανικού ελεγκτή: 1 = + t de( t) u( t) K e( t) e(t)d(t) + Td T 0 i dt μπορεί να εκφραστεί στις εξής μορφές: παράλληλη σειριακή αναλυτική 41

42 Εναλλακτικές μορφές του αλγορίθμου τριών όρων Στην παράλληλη μορφή, που είναι και η πιο συχνή ο ελεγκτής έχει συνάρτηση μεταφοράς: 1 ( s) = K(1 + Tds) Gc + Tis Οι σταθερές χρόνου Ti και Td δεν αλληλοεπιδρούν αλλά το κέρδος Κ του αναλογικού όρου επηρεάζει όλους τους όρους 42

43 Εναλλακτικές μορφές του αλγορίθμου τριών όρων Στην σειριακή μορφή, η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζεται ως γινόμενο παραγόντων: Gc 1 ( s) = K (1 + )(1 + Td s) Ti s Η σειριακή μορφή έχει το μειονέκτημα ότι οι σταθερές των όρων ολοκλήρωσης και παραγωγισμού αλληλοεπιδρούν και για το λόγο αυτό δεν χρησιμοποιείται συχνά 43

44 Εναλλακτικές μορφές του αλγορίθμου τριών όρων Τέλος στην αναλυτική μορφή η συνάρτηση μεταφοράς είναι : Ki k Gc( s) = K p + + Kd s = 1 + z2 s s ( s + z )( s ) Η μορφή αυτή είναι χρήσιμη κατά την ανάλυση της ευστάθειας του κλειστού συστήματος και έχει το πλεονέκτημα ότι οι τρεις όροι εμφανίζονται ανεξάρτητα Η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή τριών όρων σε αναλυτική μορφή έχει δύο μηδενικά (z1,z2) και έναν πόλο στην αρχή 44

45 Συντονισμός Ελεγκτών Τριών Όρων Κάθε μέθοδος συντονισμού πρέπει να αποβλέπει στο συμβιβασμό μεταξύ πολλών και συχνά αλληλο-συγκρουόμενων απαιτήσεων. Οι πιο συνήθεις απαιτήσεις είναι οι εξής: ταχεία απόσβεση των επιπτώσεων των διαταραχών φορτίου ταχεία απόσβεση των επιπτώσεων του θορύβου στις μετρήσεις χαμηλή ευαισθησία σε μεταβολές των παραμέτρων της διαδικασίας μικρός χρόνος απόκρισης του συστήματος Οποιαδήποτε μέθοδος συντονισμού πρέπει να είναι απλή και εφαρμόσιμη ευρέως και να περιέχει παραμέτρους σχεδιασμού που έχουν άμεση επίδραση στη συμπεριφορά της ελεγχόμενης διαδικασίας. Η μέθοδος πρέπει επίσης να επιτρέπει την άμεση εκτίμηση της διαφοράς μεταξύ ελεγκτών δύο και τριών όρων 45

46 Προδιαγραφές βιομηχανικών ελεγκτών Για την επίλυση του προβλήματος του ελέγχου μιας διαδικασίας είναι απαραίτητο να κατανοηθεί πρώτα ο κυρίαρχος σκοπός του συστήματος ελέγχου Έτσι μια συστηματική ανάλυση του προβλήματος απαιτεί εξέταση των εξής: τη δυναμική απόκριση του συστήματος τις μη-γραμμικότητες της διαδικασίας τις ενδογενείς και εξωγενείς διαταραχές που υπόκειται η διαδικασία την αβεβαιότητα και ασάφεια της ελεγχόμενης διαδικασίας 46

47 Προδιαγραφές βιομηχανικών ελεγκτών Οι προδιαγραφές ενός συστήματος ελέγχου περιλαμβάνουν: την ικανότητα εξασθένισης των διαταραχών φορτίου την ευαισθησία του συστήματος σε θόρυβο στις μετρήσεις τη στιβαρότητα (ή σθεναρότητα) του ελεγκτή στην αβεβαιότητα του προτύπου την πιστότητα της παρακολούθησης των επιθυμητών τιμών της εξόδου της διαδικασίας Οι παραπάνω προδιαγραφές μπορούν να εκφραστούν στο πεδίο χρόνου ή στο πεδίο συχνότητας 47

48 Διαταραχές του φορτίου Οι διαταραχές του φορτίου έχουν ως αποτέλεσμα την απομάκρυνση των μεταβλητών της διαδικασίας από τις επιθυμητές τους τιμές Άρα κυρίαρχο μέλημα στον έλεγχο διεργασιών είναι η εξασθένιση ή αποκοπή των διαταραχών του φορτίου Μια τυπική απόκριση διαδικασίας με βηματική διέγερση της εισόδου φαίνεται στο Σχήμα: 48

49 Διαταραχές του φορτίου Τα χαρακτηριστικά της βηματικής απόκρισης χρησιμοποιούνται συχνά για να προσδιορίσουν επίσης την απόκριση σε διαταραχές φορτίου Έστω e το σφάλμα που προκαλείται από βηματική διαταραχή στην είσοδο της διαδικασίας. Οι παράμετροι που χρησιμοποιούνται για να χαρακτηρίσουν το σφάλμα είναι: το μέγιστο σφάλμα t max e max ο χρόνος όπου το σφάλμα έχει τιμή ο χρόνος αποκατάστασης του σφάλματος t s για το οποίο το σφάλμα είναι μικρότερο του ±p δδ ο λόγος απόσβεσης d και ένα μέτρο του σφάλματος με το οποίο μπορεί να εκτιμηθεί η συμπεριφορά του συστήματος emax 49

50 Διαταραχές του φορτίου Για να χαρακτηριστούν οι μεταβλητές που σχετίζονται με την ποιότητα του παραγόμενου προϊόντος της διεργασίας έχουμε: Το μέτρο της ολοκλήρωσης του απόλυτου σφάλματος (Integral Absolute Error): ΙΑΕ = Το μέτρο ολοκληρώματος του σφάλματος: ΙΕ = 0 0 e( t) dt e( t) dt Το μέτρο ολοκληρώματος του τετραγώνου σφάλματος ISE (Integral Squared Error), που καταλήγει σε γραμμικό ελεγκτή: = 2 ISE e ( t) dt 0 Το μέτρο ολοκληρώματος του σταθμισμένου απόλυτου σφάλματος ΙΤΑΕ (Integral Time Absolute Error): ΙΤΑΕ = 0 t e( t) dt 50

51 Ευαισθησία θορύβου στις μετρήσεις Ο θόρυβος στις μετρήσεις που προκαλείται από τους αισθητήρες συνήθως περιέχει υψηλές συχνότητες και συνεπώς επιβάλλεται η μείωσή του Ο θόρυβος στις μετρήσεις διεισδύει στο σύστημα μέσω ανατροφοδότησης και προκαλεί ανεπιθύμητα σφάλματα και δράση του ενεργοποιητή Η συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ του θορύβου στις μετρήσεις και τη δράση ελέγχου είναι: όπου G = CG β G = 1 Gθ u + = 1 1 C G είναι η συνάρτηση μεταφοράς του ανοικτού βρόχου G είναι η συνάρτηση μεταφοράς της διαδικασίας C είναι η συνάρτηση μεταφοράς του ελεγκτή Η συνάρτηση μεταφοράς μεταξύ θορύβου θ και της εξόδου της διαδικασίας y είναι: όπου S είναι η συνάρτηση ευαισθησίας β θ y = Sθ y + Gβ 51

52 Ευαισθησία στα χαρακτηριστικά της M διαδικασίας Οι παράμετροι του ελεγκτή πρέπει να επιλεγούν έτσι ώστε το κλειστό σύστημα να είναι όσο το δυνατόν λιγότερο ευαίσθητο σε μεταβολές των δυναμικών χαρακτηριστικών της διαδικασίας Πολλά μέτρα της ευαισθησίας μπορούν να εκφραστούν Επιλέγουμε τη χαρακτηριστική ευαισθησία ως: 1 max 1+ C( jω) G( jω) S = = G β ( ω) j max S θ ( jω) Πολλά συμπεράσματα μπορούν να ληφθούν απευθείας από την καμπύλη Nyquist της συνάρτησης μεταφοράς του ανοικτού βρόχου: Η χαρακτηριστική ευαισθησία Μs είναι αντιστρόφως ανάλογη της ελάχιστης απόστασης του κρίσιμου σημείου (-1,j0) από την καμπύλη Nyquist του ανοικτού βρόχου y 52

53 Ευαισθησία στα χαρακτηριστικά της διαδικασίας Χαρακτηριστικά της καμπύλης Nyquist 53

54 Ευαισθησία στα χαρακτηριστικά της διαδικασίας Το περιθώριο κέρδους ορίζεται ως: A m = 1 G ( jω ) β c > M s s M 1 όπου ω c είναι η απώτερη συχνότητα, δηλαδή η κυκλική συχνότητα όπου η γωνία arggβ = π Το περιθώριο φάσης ορίζεται ως: φ m = π + argg ( jω ) ηµ β Ν > 1 1 2M Χαρακτηριστική ευαισθησίας 1.3 M < 2 s < s Περιθώριο φάσης Περιθώριο κέρδους 30 < φ m < 60 2 < A m < 5 54

55 Παρακολούθηση ονομαστικών τιμών Οι προδιαγραφές για την ακρίβεια της παρακολούθησης των ονομαστικών τιμών(tracking accuracy) ενός συστήματος είναι: Ο χρόνος ανύψωσης (rise time) t r Ορίζεται είτε ως το αντίστροφο της μέγιστης κλίσης της βηματικής απόκρισης ή ως ο χρόνος που απαιτείται να φτάσει από 10% στο 90% της τιμής της τελικής (μόνιμης) κατάστασης Ο χρόνος αποκατάστασης (settling time) t s Είναι ο χρόνος που απαιτείται για τη βηματική απόκριση να φθάσει στο p% της τελικής της τιμής (p=2%) Ο συντελεστής απόσβεσης (decay ratio) d Σε περίπτωση συστήματος με ταλάντωση είναι ο λόγος δύο διαδοχικών κορυφών του σφάλματος μετά από βηματική μεταβολή της ονομαστικής τιμής (d=0,25) Η υπερύψωση (overshoot) Είναι ο ποσοστιαίος λόγος της διαφοράς μεταξύ της πρώτης κορυφής και της μόνιμης τιμής της εξόδου του συστήματος μετά από βηματική διέγερση (8%-10%) To μόνιμο σφάλμα (steady state error) Με όρο ολοκλήρωσης στον ελεγκτή το σφάλμα αυτό είναι πάντα μηδέν e ss 55

56 Μέθοδοι υπολογισμού των παραμέτρων Οι κλασικές μέθοδοι των Ziegler και Nichols Η πρώτη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο χρόνου ι Η δεύτερη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο συχνότητας Η μέθοδος συντονισμού των Chien, Hrones και Reswick Η μέθοδος της τοποθέτησης πόλων Η μέθοδος των Cohen και Coon ι 56

57 Η πρώτη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο χρόνου Η πρώτη μέθοδος Ziegler - Nichols στηρίζεται στον πειραματικό προσδιορισμό της βηματικής απόκρισης της διεργασίας Η μέθοδος χαρακτηρίζεται από δύο παραμέτρους που αφορούν την καθυστέρηση της απόκρισης και τη μέγιστη ταχύτητα της βηματικής απόκρισης Ειδικότερα, η είσοδος της διεργασίας τίθεται ίση με το βηματικό σήμα συνεχούς χρόνου σχετικά μικρού πλάτους, άλλα αρκετού ώστε να μπορούν να προσδιοριστούν τα χαρακτηριστικά της βηματικής απόκρισης Για την εύρεση των δύο παραμέτρων Ζ-Ν σημειώνεται το σημείο της βηματικής απόκρισης όπου ο ρυθμός (δηλαδή η κλίση) είναι μέγιστος Στο σημείο αυτό χαράσσεται η εφαπτομένη που τέμνει τους άξονες του πλάτους και του χρόνου Οι τομές ορίζουν τις παραμέτρους α και L αντίστοιχα. Η τομή στον άξονα του χρόνου καθορίζει την τιμή του νεκρού χρόνου L, ενώ ο μέγιστος ρυθμός είναι ίσος με το λόγο α/l 57

58 Η πρώτη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο χρόνου Οι παράμετροι Z-N της πρώτης μεθόδου συντονισμού Ziegler Nichols 58

59 Η πρώτη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο χρόνου Στον παρακάτω πίνακα παρατίθενται οι παράμετροι του ελεγκτή τριών όρων ως συναρτήσεις των παραμέτρων Ζ-Ν Μια εκτίμηση της περιόδου της ταλάντωσης του ελεγχόμενου συστήματος δίνεται από τη τιμή T p Ελεγκτής K Ti Td Tp P 1/α 4L PI 0.9/α 3L 5.7L PID 1.2/α 2L L/2 3.4L Παράμετροι ελεγκτών με την πρώτη μέθοδο Ziegler Nichols 59

60 Η δεύτερη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο συχνότητας Η δεύτερη μέθοδος Ziegler - Nichols βασίζεται στην απόκριση της διαδικασίας σε ημιτονοειδή διέγερση Οι παράμετροι που καθορίζονται γίνονται με γνώση της κρίσιμης συχνότητας, όπου: ω c = κρίσιμη συχνότητα όπου η καμπύλη Nyquist τέμνει τον αρνητικό πραγματικό άξονα του πολικού διαγράμματος ω c Τ c = K c 1 ω c = αναλογικό κέρδος στην κρίσιμη συχνότητα, περίοδος ταλάντωσης στην κρίσιμη συχνότητα 60

61 Η δεύτερη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο συχνότητας Τα βήματα για τον καθορισμό των δύο παραμέτρων είναι: Με κλειστό βρόγχο εφαρμόζουμε αναλογικό ελεγκτή στη διεργασία (τα κέρδη διαφόρισης και ολοκλήρωσης θέτονται ίσα με μηδέν) Η εξωτερική είσοδος της διεργασίας τίθεται ίση με το βηματικό σήμα συνεχούς χρόνου Το αναλογικό κέρδος αυξάνεται έως ότου το σύστημα κλειστού βρόχου φτάσει στο όριο ευστάθειας, δηλ. έως ότου η βηματική απόκριση του εμφανίσει αμείωτες ταλαντώσεις Στην κρίσιμη περίπτωση σημειώνονται οι τιμές της συχνότητας ταλάντωσης καθώς και του κέρδους που προκάλεσε την ταλάντωση 61

62 Η δεύτερη μέθοδος των Ziegler και Nichols στο πεδίο συχνότητας Ελεγκτής K Ti Td Tp P 0.5Kc Tc PI 0.4Kc 0.54Kc/Tc 1.4Tc PID 0.6Kc 1.2Kc/Tc 0.125Tc 0.85Tc Παράμετροι ελεγκτών με την δεύτερη μέθοδο Ziegler Nichols Εκτίμηση των μεθόδων των Ziegler-Nichols 62

63 Η μέθοδος συντονισμού των Chien, Hrones και Reswick Οι Chien, Hrones και Reswick πρότειναν μια τροποποίηση της πρώτης μεθόδου των Ziegler και Nichols ώστε το τελικό σύστημα να έχει μεγαλύτερο βαθμό απόσβεσης Η μέθοδος αυτή επιτυγχάνει ταχύτερη απόκριση με δεδομένα ποσοστά υπερύψωσης (0% ή 20%) Για το συντονισμό ενός ελεγκτή με τη μέθοδο των C-H-R οι βασικοί συντελεστές Ζ-Ν, δηλαδή α και L,βρίσκονται πειραματικά όπως και πριν Ελεγκτής K Ti Td P 0.3/α PI 0.35/α 1.2T PID 0.6/α T 0.5L Παράμετροι ελεγκτών με τη μέθοδο των Chien, Hrones και Reswick για επιθυμητή υπερύψωση 0% 63

64 Η μέθοδος συντονισμού των Chien, Hrones και Reswick Ελεγκτής K Ti Td P 0.7/α PI 0.6/α T PID 0.95/α 1.4T 0.47L Παράμετροι ελεγκτών με τη μέθοδο των Chien, Hrones και Reswick για επιθυμητή υπερύψωση 20% Στους πίνακες ο συντελεστής Τ είναι η ολική σταθερά χρόνου της διαδικασίας Η μέθοδος των Chien, Hrones και Reswick διαφέρει από τη μέθοδο των Ziegler και Nichols γιατί χρησιμοποιεί τρεις παραμέτρους της διαδικασίας αντί δύο 64

65 Η μέθοδος των Cohen και Coon Η μέθοδος των Cohen και Coon βασίζεται στη τοποθέτηση των κυρίαρχων πόλων και συγκεκριμένα σε πρότυπο της διαδικασίας τριών παραμέτρων της κλασικής μορφής: G( s) = K p e sl 1+ Ts Βασικός στόχος της μεθόδου είναι ο περιορισμός των διαταραχών φορτίου στην έξοδο του συστήματος με την κατάλληλη τοποθέτηση των πόλων του κλειστού συστήματος ώστε να επιτυγχάνεται συντελεστής απόσβεσης ενός τετάρτου Έτσι με τη μέθοδο αυτή έχουμε ελαχιστοποίηση του μόνιμου σφάλματος λόγω διαταραχών του φορτίου για ελεγκτές δύο και τριών όρων 65

66 Η μέθοδος των Cohen και Coon Ελεγκτής K Ti Td PI PID τ 1.1 τ (1 + ) 3L( ) µ 1 τ τ τ 1.25 τ 1 τ (1 + ) 2L ( ) 0.37L( ) µ 1 τ τ τ Όπου οι παράμετροι είναι συναρτήσεις των μ=ρκp, L, ρ=l/t και το λόγο ελεγξιμότητας τ (περισσότερα) Για μικρές τιμές του λόγου ελεγξιμότητας τ, οι παράμετροι των ελεγκτών είναι συγκρίσιμες με αυτές της μεθόδου των Ziegler και Nichols 66

67 ΕΦΑΡΜΟΓΗ PID ΕΛΕΓΚΤΩΝ Θα λάβουμε ως βάση το ακόλουθο σύστημα μοναδιαίας ανατροφοδότησης: PIant: Το σύστημα που θα ελεγχθεί Controller (Ελεγκτής): Παρέχει τη διέγερση στο σύστημα προς έλεγχο. Είναι σχεδιασμένος για να ελέγχει την συνολική συμπεριφορά του συστήματος Η συνάρτηση μεταφοράς του PID ελεγκτή είναι η ακόλουθη: KI K p+ +K s D K s= D 2 s +K s υ(t) = Κ e(t) + Κ p Ι e( t) dt + K t 0 p s+k D I de(t) dt 67

68 ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΤΩΝ PID ΕΛΕΓΚΤΩΝ Τα αποτελέσματα της επίδρασης καθενός από τους ελεγκτές Κp, Kd και Κi σε ένα σύστημα κλειστού βρόχου, συνοψίζονται στο παρακάτω πίνακα: Απόκριση Κλειστού Βρόχου Χρόνος ανύψωσης Υπερύψωση Χρόνος αποκατάστασης Μόνιμο Σφάλμα Kp Μείωση Αύξηση Μικρή αλλαγή Μείωση Ki Μείωση Αύξηση Αύξηση Εξάλειψη Kd Μικρή αλλαγή Μείωση Μείωση Μικρή αλλαγή 68

69 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Το μοντέλο του συστήματος ελέγχου κίνησης το οποίο θα εξετάσουμε είναι ένα απλό σύστημα μάζας και αποσβεστήρα, αφού η αδράνεια των τροχών παραμελείται, και υποθέτουμε ότι αυτή η τριβή (η οποία είναι ανάλογη της ταχύτητας του αυτοκινήτου) είναι στην αντίθετη φορά της κίνησης του οχήματος Χρησιμοποιώντας τον νόμο του Νεύτωνα το μοντέλο εξισώσεων γίνεται: m v + bv = u y = v 69

70 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 1 Ο μετασχηματισμός Laplace των δυο εξισώσεων είναι: msv ( s) + bv( s) = U ( s) Y ( s) = V( s) Επειδή η έξοδος μας είναι η ταχύτητα, αντικαθιστούμε το V(s) με τον όρο Y(s): msy ( s) + by( s) = U ( s) Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος γίνεται: Y( s) U ( s) = 1 ms + b Έστω: m = 1000 kg b = 50 Ns/m u = 500 N 70

71 Χώρος κατάστασης Το μοντέλο εξισώσεων πρώτου βαθμού μπορεί να αναλυθεί και σαν μοντέλο στο χώρο κατάστασης Χρησιμοποιώντας το Matlab μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα αυτό, αφού δημιουργήσουμε ένα νέο m-file και αντιγράψουμε τις ακόλουθες εντολές με τις 4 νέες μεταβλητές A,B,C,D m = 1000; b = 50; u = 500; A = [-b/m]; B = [1/m]; C = [1]; D = 0; 71

72 Απαιτήσεις Σχεδίασης Πριν συνεχίσουμε στο μοντέλο του συστήματος ας θέσουμε μερικά κριτήρια σχεδίασης Όταν η μηχανή δίνει μια δύναμη 500 Newton, το όχημα θα φτάσει την μέγιστη ταχύτητα των 10 m/s (22 mph). Ένα όχημα πρέπει να μπορεί να φτάσει αυτή την ταχύτητα σε λιγότερο από 5δευτερόλεπτα Επειδή αυτό είναι ένα απλό σύστημα ελέγχου κίνησης, η 10% υπερύψωση στην ταχύτητα δεν θα κάνει μεγάλη ζημιά. Ένα 2% σφάλμα σταθερής κατάστασης είναι επίσης αποδεκτό Τα κριτήρια σχεδίασής μας λοιπόν για το πρόβλημα αυτό είναι: Χρόνος ανόδου < 5 sec Υπερύψωση < 10% Σφάλμα σταθερής κατάστασης < 2% 72

73 ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ Βλέπουμε αρχικά πώς ανταποκρίνεται το σύστημα ανοικτού βρόχου σε βηματική είσοδο, δημιουργώντας τον ακόλουθο κώδικα σε ένα νέο m-file για την συνάρτηση μεταφοράς m=1000; b=50; u=500; num=[1]; den=[m b]; step(u*num,den) Χρησιμοποιώντας το m-file που γράψαμε για τον χώρο κατάστασης με τους πίνακες Α, B, C, D, προσθέτουμε στο τέλος του m-file την παρακάτω εντολή και το τρέχουμε: step( A, u*b, C, D) Ακολουθώντας οποιοδήποτε από τους δύο τρόπους και εκτελώντας τον στο Matlab, παίρνουμε την παρακάτω γραφική παράσταση 73

74 ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ 74

75 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου του παραπάνω συστήματος με αναλογικό ελεγκτή γίνεται Y( s) U ( s) = ms + Kp ( b + Kp) Δίνουμε τελικά μετά από δοκιμές σαν τιμή αναλογικού κέρδους Κρ = Γράφουμε τον παρακάτω κώδικα στο MATLAB και παίρνουμε την επόμενη γραφική παράσταση kp=10000; m=1000; b=50; u=10; num=[kp]; den=[m b+kp] t=0:0.1:20 step(u*num,den,t) axis([ ]) 75

76 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 76

77 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ Y( s) U ( s) = ΕΛΕΓΧΟΣ Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου με ΡΙ έλεγχο, είναι: 2 ms Kps + Ki kp=800; Ki=40 m=1000; b=50; u=10; num=[kp ki]; den=[m b+kp ki] t=0:0.1:20 step(u*num,den,t) axis([ ]) + ( b + Kp) s + Ki Ρυθμίζοντας έπειτα από αρκετές δοκιμές τις τιμές του Kp=800 και Ki=40, γράφουμε τον κώδικα και παίρνουμε την επιθυμητή απόκριση 77

78 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 78

79 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 Ας υποθέσουμε ότι έχουμε ένα σύστημα που αποτελείται από μία μάζα Μ, ένα ελατήριο και έναν αποσβεστήρα b σε διαμήκη κίνηση λόγω μιας δύναμης F Η εξίσωση που περιγράφει τo πρόβλημα είναι: M x + bx + kx = F Ο μετασχηματισμός Laplace αυτής της εξίσωσης είναι: Ms 2 X(s) + bsx(s) + kx(s) = F(s) 79

80 ΕΦΑΡΜΟΓΗ 2 Η συνάρτηση μεταφοράς που προκύπτει ανάμεσα στην μετατόπιση X(s) και την είσοδο F(s) είναι: Έστω: M = 1kg b = 10 Ns/m k = 20 N/m F(s) = 1 X(s) F(s) = Ms bs + k Εάν αντικαταστήσουμε αυτές τις τιμές στην παραπάνω συνάρτηση μεταφοράς θα έχουμε: X(s) 1 = 2 F(s) s + 10s

81 Χώρος κατάστασης Το μοντέλο εξισώσεων δευτέρου βαθμού μπορεί να αναλυθεί και σαν μοντέλο στο χώρο κατάστασης Χρησιμοποιώντας το Matlab μπορούμε να λύσουμε το πρόβλημα αυτό, αφού δημιουργήσουμε ένα νέο m-file και αντιγράψουμε τις ακόλουθες εντολές με τις 4 νέες μεταβλητές A, B, C, D: M=1; b=10; k=20; A=[0 1; -k/m -b/m]; B=[ 0; 1/M]; C=[1 0]; D=[0]; 81

82 ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ Παρακολουθούμε αρχικά την βηματική απόκριση του ανοικτού βρόχου, δημιουργώντας τον ακόλουθο κώδικα σε ένα νέο m-file για την συνάρτηση μεταφοράς: num=1; den=[ ]; step(num,den); Χρησιμοποιώντας το m-file που γράψαμε για τον χώρο κατάστασης με τους πίνακες Α, B, C, D, προσθέτουμε στο τέλος του m-file την παρακάτω εντολή και το τρέχουμε: step(a, B, C, D) Ακολουθώντας οποιοδήποτε από τους δύο τρόπους και εκτελώντας τον στο Matlab, παίρνουμε την παρακάτω γραφική παράσταση 82

83 ΒΗΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΑΝΟΙΚΤΟΥ ΒΡΟΧΟΥ 83

84 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου του παραπάνω συστήματος με αναλογικό ελεγκτή γίνεται: X(s) F(s) = s 2 K P +10s + (20 + K Δίνουμε σαν τιμή αναλογικού κέρδους Κρ = 300 Γράφουμε τον παρακάτω κώδικα στο MATLAB και παίρνουμε την επόμενη γραφική παράσταση: Κρ=300; num=[κρ]; den=[ Κρ]; t=0:0.01:2; step(num,den, t); P ) 84

85 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 85

86 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόχου του συστήματος που περιγράφουμε με έλεγχο PD είναι: X(s) KDs+KP = 2 F(s) s +( 10+K )s+( 20+K Έστω ότι η τιμή του αναλογικού κέρδους Κp ισοδυναμεί με 300 όπως και προηγουμένως και ας δώσουμε στο διαφορικό κέρδος Kd την τιμή 10. Γράφουμε τις παρακάτω εντολές: Kp=300; Kd=10; num=[kd Kp]; den=[1 10+Kd 20+ Kp]; t=0:0.01:2; step(num,den,t); Η γραφική παράσταση που προκύπτει είναι: D P ) 86

87 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 87

88 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου με ΡΙ έλεγχο, είναι: X(s) KPs+KI = F(s) s s 2 +( 20+K kp=30; ki=70; num=[kp ki]; den=[ kp ki]; t=0:0.01:2; step(num,den,t) P )s+k Ας μειώσουμε την τιμή του Κp στο 30 και ας δώσουμε στο ολοκληρωτικό κέρδος Κi την τιμή 70 Η γραφική παράσταση που προκύπτει είναι: I 88

89 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ -ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 89

90 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Εξετάζοντας τον PID ελεγκτή,η συνάρτηση μεταφοράς κλειστού βρόγχου του δοθέντος συστήματος είναι: X(s) F(s) = s 3 2 K Ds + K Ps + K I 2 + (10 + K )s + (20 + K D k p =350; k i =300; k d =50; num=[k d k p k i ]; den=[1 10+k d 20+k p k i ]; t=0:0.01:2; step(num,den,t) P )s + K Ύστερα από πολλές προσπάθειες και δοκιμές, καταλήξαμε στα παρακάτω κέρδη, τα οποία μας δίνουν την επιθυμητή απόκριση: Kp=350, Κi=300 και Kd=50. Για επιβεβαίωση των τιμών, τις εισάγουμε στο Matlab Η γραφική παράσταση που προκύπτει είναι: I 90

91 ΑΝΑΛΟΓΙΚΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ - ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ 91

92 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Φώτης Ν. Κουμπουλής, Βιομηχανικός Έλεγχος, εκδ. Νέων Τεχνολογιών, Αθήνα 1999 Ροβέρτος Ερρίκος Κινγκ, Βιομηχανικός Έλεγχος, εκδ. Παπασωτηρίου, Αθήνα 1996 Π.Ν Παρασκευόπουλος, Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Αθήνα 1991 Π.Ν Παρασκευόπουλος, Έλεγχος Συστημάτων με Υπολογιστές, Αθήνα 1991 Αναστάσιος Πουλιέζος, Έλεγχος Γραμμικών Χρονικά Αμετάβλητων Συστημάτων, Σημειώσεις Εκπαιδευτικού υλικού εργαστηρίου Ψηφιακών Σ.Α.Ε Σημειώσεις Εργαστηρίου Ψηφιακών Σ.Α.Ε Internet 92