Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΗΛΕΚΤΡΟΛΟΓΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΤΟΜΕΑΣ: Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΑΥΤΟΜΑΤΙΣΜΟΥ ΚΑΙ ΡΟΜΠΟΤΙΚΗΣ Διπλωματική Εργασία του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών της Πολυτεχνικής Σχολής του Πανεπιστημίου Πατρών Θάνου Μιχαήλ του Δημητρίου Αριθμός Μητρώου: 6256 Θέμα PID Έλεγχος για Quadrotor Επιβλέπων Αντώνιος Τζες Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Πάτρα,

2

3 ΠΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ Πιστοποιείται ότι η Διπλωματική Εργασία με θέμα PID Έλεγχος για Quadrotor Του φοιτητή του Τμήματος Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Θάνου Μιχαήλ του Δημητρίου Αριθμός Μητρώου: 6256 Παρουσιάστηκε δημόσια και εξετάστηκε στο Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών στις.../../ Ο Επιβλέπων Ο Διευθυντής του Τομέα Καθηγητής Αντώνιος Τζες Καθηγητής Νικόλαος Κούσουλας

4

5 Αριθμός Διπλωματικής Εργασίας: Θέμα: PID Έλεγχος για Quadrotor Φοιτητής: Θάνου Μιχαήλ Επιβλέπων: Αντώνιος Τζες Περίληψη Αντικείμενο της εργασίας είναι ο έλεγχος του προσανατολισμού ελικοπτέρου Quadrotor με χρήση ελεγκτή PID. Το ελικόπτερο quadrotor είναι ένα μη γραμμικό, ασταθές, υποενεργοποιούμενο σύστημα. Για αυτούς τους λόγους, ο έλεγχος του παρουσιάζει σοβαρά προβλήματα. Ο ελεγκτής PID αρχικά εφαρμόζεται στο γραμμικοποιημένο μοντέλο του συστήματος, και εν συνεχεία διακριτοποιείται και εξετάζεται στο πλήρες μη γραμμικό μοντέλο του Quadrotor. Ιδιαίτερο βάρος δίνεται στη ρύθμιση του ελεγκτή PID. Αφού παρουσιαστούν οι κυριότερες μέθοδοι ρύθμισης ενός τέτοιου ελεγκτή, επιλέγεται η μέθοδος Extermum Seeking, μία επαναληπτική μέθοδος που βελτιστοποιεί τον PID ώστε να ελαχιστοποιείται τοπικά μια συνάρτηση κόστους. Σημαντικό πλεονέκτημα αυτής της μεθόδου αποτελεί το γεγονός ότι μπορεί να εφαρμοστεί κατ' ευθείαν στο μη γραμμικό μοντέλο του συστήματος βελτιστοποιώντας περαιτέρω τον ελεγκτή. Στη συνέχεια ο ελεγκτής PID εξετάζεται σε ένα πραγματικό ελικόπτερο που κατασκευάστηκε στο εργαστήριο. Στο πειραματικό αυτό σύστημα, η υλοποίηση του PID γίνεται σε έναν ηλεκτρονικό υπολογιστή, με τη βοήθεια του προγράμματος Labview ενώ η επικοινωνία ανάμεσα στον υπολογιστή και το ελικόπτερο επιτυγχάνεται με τη βοήθεια σειριακής θύρας RS232. Μετά την διεξαγωγή των πειραμάτων και την αξιολόγηση της απόδοσης του ελεγκτή PID, αναφέρονται τα γενικότερα συμπεράσματα της εργασίας, καθώς και προτάσεις για περαιτέρω έρευνα.

6

7 Ευχαριστίες Η εργασία αυτή είναι καρπός σημαντικής προσπάθειας και πολύμηνης ενασχόλησης με το αντικείμενο. Καθ' όλη τη διάρκεια της ενασχόλησης υπήρχαν άτομα που θέλω να ευχαριστήσω για την προσφορά τους και για τη συμπαράσταση που μου έδειξαν. Κατ' αρχάς οφείλω να ευχαριστήσω τον επιβλέποντα καθηγητή μου κ. Τζε για τη σημαντική βοήθεια που μου πρόσφερε και το χρόνο που μου διέθεσε. Καθ όλη τη διάρκεια της εργασίας ήταν αυτός που μου έδινε χρήσιμες συμβουλές, αξιολογούσε τις μεθόδους και τα αποτελέσματα και επίσης μου έδινε τις απαραίτητες κατευθύνσεις. Επίσης ευχαριστώ την ομάδα του Εργαστηρίου και ιδίως τον μεταπτυχιακό φοιτητή Κώστα Αλέξη ο οποίος με την εμπειρία του σε θέματα ελέγχου ελικοπτέρων και ρομποτικών συστημάτων με βοήθησε σημαντικά, ιδιαίτερα στον τομέα των πειραμάτων. Θα ήθελα ακόμα να ευχαριστήσω θερμά τον καθηγητή κ. Μάνεση που προσέφερε τις μηχανολογικές γνώσεις του στην κατασκευή της βάσης στήριξης του ελικοπτέρου. Τέλος ένα μεγάλο ευχαριστώ οφείλω στους γονείς μου και τον αδελφό μου για τη συμπαράστασή τους καθ' όλη τη διάρκεια συγγραφής της εργασίας μου.

8 Περιεχόμενα 1.ΕΙΣΑΓΩΓΗ Εισαγωγή-Επιστημονικά Κίνητρα Το Quadrotor Ιστορικά Στοιχεία Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα Quadrotor Σύνοψη Συμπεράσματα ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR Εξισώσεις Newton-Euler Αεροδυναμικές Δυνάμεις και Ροπές Γενικευμένες Δυνάμεις και Ροπές Μοντελοποίηση Κινητήρων Σύνοψη Συμπεράσματα Ο ΕΛΕΓΚΤΗΣ PID Θεωρητικά Στοιχεία Ρύθμιση Ελεγκτή PID Μέθοδοι ρύθμισης βασισμένες σε χαρακτηριστικά του συστήματος Αναλυτικές μέθοδοι ρύθμισης Μέθοδοι βασισμένες στη βελτιστοποίηση Άλλες μέθοδοι Περιοχές Ευστάθειας Κλειστού Συστήματος Σύνοψη Συμπεράσματα ΕΛΕΓΧΟΣ Απλοποίηση Δυναμικών Εξισώσεων Έλεγχος Γραμμικού Συνεχούς Συστήματος Γραμμικοποίηση Εξισώσεων Επιλογή Μεθόδου Ρύθμισης Επιλογή ακριβής μορφής PID Περιοχές ευστάθειας για το μοντέλο Εφαρμογή μεθόδου ES στο γραμμικό μοντέλο Έλεγχος Διακριτοποιημένου Συστήματος Διακριτοποίηση Συστήματος ZOH-G Διακριτοποίηση Ελεγκτή PID Αποκρίσεις Διακριτού Συστήματος Προσομοίωση Μη-γραμμικού Συστήματος Έλεγχος Μη-Γραμμικού Συστήματος Αξιολόγηση τιμών PID που προκύπτουν από τη ρύθμιση του γραμμικού συστήματος Εφαρμογή μεθόδου ES στο μη γραμμικό σύστημα Σύνοψη Συμπεράσματα ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ Κατασκευή Πειραματικού Quadrotor Το λογισμικό του ελικοπτέρου Υλοποίηση Ελεγκτή στο πρόγραμμα Labview Κατασκευή Βάσης Αξιολόγηση του PID στο πειραματικό quadrotor Σύνοψη Συμπεράσματα ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Συμπεράσματα Συνεισφορά της εργασίας...118

9 6.3 Μελλοντική Έρευνα ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ ΠΕΙΡΑΜΑΤΙΚΟΥ QUADROTOR Α.1 Μάζα Α.2 Ροπή Αδράνειας A.2.1 Υπολογισμός ροπής αδράνειας γύρω από τους άξονες x,y (IXX, IYY) Α.2.2 Υπολογισμός ροπής αδράνειας γύρω από του άξονα z (IZZ) Α.3 Σταθερά Χρόνου Κινητήρα Α.4 Χαρακτηριστική Καμπύλη Εισόδου-Εξόδου Κινητήρα Α.5 Συντελεστής Ώθησης (b) Α.6 Μήκος Βραχίονα Α.7 Συντελεστής Αντίστασης A.8 Συνοπτικός πίνακας παραμέτρων ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ...136

10 Κατάλογος Σχημάτων Σχήμα 1.1: Quadrotor UAV...15 Σχήμα 1.2: Ανύψωση ελικοπτέρου...16 Σχήμα 1.3: Ανθωρολογιακή περιστροφή ελικοπτέρου γύρω από τον κάθετο άξονά του...16 Σχήμα 1.4: Ωρολογιακή περιστροφή ελικοπτέρου γύρω από τον κάθετο άξονά του...16 Σχήμα 1.5: Πλάγια κίνηση ελικοπτέρου...16 Σχήμα 1.6: Το Quadrotor των αδερφών Brequet (1907)...17 Σχήμα 1.7: Το Quadrotor του de Bothezat (1922) σε δύο διαφορετικά πλάνα...18 Σχήμα 1.8: Το Quadrotor Oemichen No.2 (1922)...18 Σχήμα 1.9: Convertawings Model "A" (δεκαετία 1950)...19 Σχήμα 2.1: Ορισμός των συστημάτων συντεταγμένων για τη μοντελοποίηση του Quadorotor...23 Σχήμα 3.1: Βρόχος ελέγχου PID...39 Σχήμα 3.2: Προσδιορισμός μοντέλου δύο/τριών παραμέτρων με βάση τη βηματική απόκριση του συστήματος...41 Σχήμα 3.3: Προσδιορισμός παραμέτρων υποαποσβεννύμενου συστήματος...42 Σχήμα 3.4: Διάγραμμα πόλων-μηδενικών κατηγορίας συστημάτων...46 Σχήμα 3.5: Ρύθμιση ελεγκτή PID με τον αλγόριθμο ES. Ο αλγόριθμος μεταβάλλει τις παραμέτρους του PID με βάση την τιμή του κριτηρίου κόστους...51 Σχήμα 3.6: Ψηφιακή υλοποίηση του αλγορίθμου ES...52 Σχήμα 4.1: Γεωμετρικός τόπος ριζών γραμμικού συστήματος...64 Σχήμα 4.2: Περιοχές ευστάθειας PID για το σύστημα του Roll...67 Σχήμα 4.3: Περιοχές ευστάθειας PID για το σύστημα του Pitch...68 Σχήμα 4.4: Περιοχές ευστάθειας PID για το σύστημα του Yaw...68 Σχήμα 4.5: Βηματική απόκριση του Roll για τις τιμές του PID που υπολογίστηκαν με τη μέθοδο ES. Η βελτίωση είναι εμφανής...70 Σχήμα 4.6: Βηματική απόκριση του Roll για τις αρχικές τιμές του PID...70 Σχήμα 4.7: Κριτήριο κόστους συναρτήσει του αριθμού των επαναλήψεων...71 Σχήμα 4.8: Βηματική απόκριση του Roll με τις καινούριες τιμές του PID όπως υπολογίστηκαν από τη μέθοδο ES. Η βελτίωση οφείλεται στην αλλαγή των αρχικών συνθηκών...72 Σχήμα 4.9: Μπλοκ διάγραμμα διακριτού ελεγκτή PID, που χρησιμοποιείται στο πειραματικό μοντέλο...73 Σχήμα 4.10: Απόκριση συστήματος roll στο συνεχές και στο διακριτό σύστημα...75 Σχήμα 4.11: Απόκριση συστήματος pitch στο συνεχή και στο διακριτό χρόνο...76 Σχήμα 4.12: Απόκριση συστήματος yaw στο συνεχή και στο διακριτό χρόνο...76 Σχήμα 4.13: Το πλήρες μη γραμμικό σύστημα του quadrotor στο simulink...77 Σχήμα 4.14: Βηματική απόκριση roll, μη γραμμικού συστήματος. Οι τιμές του PID έχουν υπολογιστεί για το γραμμικοποιημένο Σχήμα 4.15: Aπόκριση pitch, μη γραμμικού συστήματος, για βηματική είσοδο στο roll. Οι τιμές του PID έχουν υπολογιστεί για το γραμμικοποιημένο. Παρατηρούμε ότι μεταξύ των συστημάτων των γωνιών υπάρχει σύζευξη...82 Σχήμα 4.16: Aπόκριση yaw, μη γραμμικού συστήματος, για βηματική είσοδο στο roll. Οι τιμές του PID έχουν υπολογιστεί για το γραμμικοποιημένο...83 Σχήμα 4.17: Aπόκριση roll για βηματική είσοδο και στις τρεις γωνίες (roll, pitch, yaw)...84 Σχήμα 4.18: Aπόκριση pitch για βηματική είσοδο και στις τρεις γωνίες (roll, pitch, yaw)...84 Σχήμα 4.19: Aπόκριση yaw για βηματική είσοδο και στις τρεις γωνίες (roll, pitch, yaw)...84 Σχήμα 4.20: Τα σήματα ελέγχου U2, U3, U4 πριν (κόκκινο) και μετά (μπλε) το σύστημα κορεσμού. Το σύστημα κορεσμού διασφαλίζει ότι κατά τον υπολογισμό της ταχύτητας αναφοράς κάθε κινητήρα (Ωi), όλα τα υπόρριζα που εμφανίζονται στις πράξεις θα είναι θετικά...85 Σχήμα 4.21: Απόκριση pitch για μηδενικά setpoints στα roll, yaw (μπλε) και για μοναδιαία (μωβ ).Το setpoint του pitch είναι σε όλες τις περιπτώσεις ίσο με τη μονάδα...85 Σχήμα 4.22: Βηματική απόκριση pitch μη γραμμικού συστήματος για τιμές των κερδών του PID που υπολογίστηκαν με τη μέθοδο ES στο μη γραμμικό...87

11 Σχήμα 4.23: Βηματική απόκριση yaw μη γραμμικού συστήματος με τις τιμές των κερδών του PID που υπολογίστηκαν στο γραμμικό (μωβ) και στο μη γραμμικό (μπλε)...88 Σχήμα 4.24: Βηματική απόκριση roll μη γραμμικού συστήματος με τις τιμές των κερδών του PID που υπολογίστηκαν για το μη γραμμικό...89 Σχήμα 4.25: Βηματική απόκριση ύψους z ελεγχόμενου από ελεγκτή βασιζόμενου στη δεύτερη μέθοδο Lyapunov. Η μωβ καμπύλη αποτελεί την απόκριση πριν την βελτιστοποίηση της παραμέτρου Kz του ελεγκτή και η μπλε την απόκριση μετά Σχήμα 5.1: Το πειραματικό Quadrotor του εργαστηρίου...93 Σχήμα 5.2: Σκελετός ελικοπτέρου πριν τη συναρμολόγηση...94 Σχήμα 5.3: Ο ηλεκτρικός κινητήρας του ελικοπτέρου...94 Σχήμα 5.4: H πλακέτα Arduino Mega Σχήμα 5.5: Σύστημα μετρήσεων ArduIMU v2+ flat...95 Σχήμα 5.6: Labview: Γραφική διεπαφή ελεγκτη...98 Σχήμα 5.7: Labview: Ανάγνωση πακέτου από τη σειριακή θύρα...98 Σχήμα 5.8: Labview: Ανάγνωση μέτρησης από πακέτο...99 Σχήμα 5.9: Labview: Ελεγκτής PID Σχήμα 5.10: Labview: Τμήμα κορεσμού Σχήμα 5.11: Βάση περιορισμού βαθμών ελευθερίας του ελικοπτέρου Σχήμα 5.12: Το κύριο τμήμα της βάσης σε μηχανο-λογικό σχέδιο Σχήμα 5.13: Τμήμα της βάσης σε μηχανο-λογικό σχέδιο (ημιάξονας) Σχήμα 5.14: Δακτύλιοι στήριξης άξονα σε μηχανολογικό σχέδιο Σχήμα 5.15: Το ελικόπτερο πάνω στη βάση Σχήμα 5.16: Πειραματική απόκριση pitch για τιμές κερδών του PID που υπολόγισε ο αλγόριθμος ES. Η αρχική τιμή της απόκρισης είναι 30 μοίρες Σχήμα 5.17: Πειραματική απόκριση pitch για τιμές που υπολόγισε ο αλγόριθμος ES. Η αρχική τιμή της απόκρισης είναι περίπου -45 μοίρες. Το σύστημα φαίνεται ότι δεν ισορροπεί στο μηδέν, ακόμα και μετά την πάροδο πενήντα δευτερολέπτων Σχήμα 5.18: Πειραματική απόκριση pitch για τιμές που υπολόγισε ο αλγόριθμος ES. Η αρχική τιμή της απόκρισης είναι- 30 μοίρες Σχήμα 5.19: Απόκριση pitch με αρχική τιμή 20 μοίρες. Το κέρδος Kp έχει αυξηθεί κάτι που οδήγησε σε αύξηση των ταλαντώσεων. Όμως βλέπουμε ότι το σύστημα τελικά ισορροπεί πολύ κοντά στο μηδέν Σχήμα 5.20: Απόκριση pitch με αρχική τιμή περίπου -28 μοίρες. Παρατηρούμε ότι μετά από κάποιες ταλαντώσεις το σύστημα οδηγείται στην ισορροπία Σχήμα 5.21: Απόκριση pitch με αρχική τιμή περίπου 25 μοίρες. Παρατηρούμε ότι η απόκριση, παρά την αύξηση του κέρδους Kd εξακολουθεί να εμφανίζει ταλαντώσεις Σχήμα 5.22: Απόκριση pitch με αρχική τιμή -25 μοίρες. Οι ταλαντώσεις είναι εμφανείς Σχήμα 5.23: Απόκριση του pitch για καινούριες τιμές κερδών του PID. Παρατηρούμε ότι το σύστημα ισορροπεί με ελάχιστες ταλαντώσεις Σχήμα 5.24: Απόκριση του pitch για καινούριες τιμές κερδών του PID. Παρατηρούμε ότι η διακύμανση στην μόνιμη κατάσταση είναι πολύ μικρή Σχήμα 5.25: Απόκριση pitch για βέλτιστες τιμές του PID και σήμα ελέγχου U1=9. Η αρχική τιμή είναι περίπου -30 μοίρες Σχήμα 5.26: Απόκριση pitch για βέλτιστες τιμές του PID και σήμα ελέγχου U1=9. Η αρχική τιμή είναι 25 μοίρες Σχήμα 5.27: Απόκριση pitch για διαφορετικές τιμές του PID και σήμα ελέγχου U1=9. Η αρχική τιμή είναι 25 μοίρες Σχήμα 5.28: Απόκριση pitch για διαφορετικές τιμές του PID και σήμα ελέγχου U1=9. Η αρχική τιμή είναι -35 μοίρες Σχήμα Α.1: Απλοποιημένο σχήμα ελικοπτέρου Quadrotor. Κάτοψη και πλαγία όψη Σχήμα A.2: Encoder US Digital E4P Σχήμα A.3: Ηλεκτρονικό σύστημα ανάγνωσης παλμών από τον Encoder...127

12 Σχήμα Α.4: Απόκριση ταχύτητας κινητήρα ως προς το χρόνο για εισόδους μεταβαλλόμενες από 40 έως Σχήμα Α.5: Χρονική απόκριση του κινητήρα για μεταβολή εισόδου από 115 σε Σχήμα Α.6: Χρονική απόκριση του κινητήρα για μεταβολή εισόδου από 85 σε Σχήμα Α.7: Χαρακτηριστική καμπύλη εισόδου-εξόδου κινητήρα,όπως προέκυψε από μετρήσεις.130 Σχήμα Α.8: Προσέγγιση χαρακτηριστικής κινητήρα με splines Σχήμα A.9: Αντίστροφη χαρακτηριστική καμπύλη κινητήρα Σχήμα Α.10: Σύστημα μέτρησης της ώθησης έλικα...132

13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Το Quadrotor που κατασκεύασε ο de Bothezat (1922)

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.1 Εισαγωγή-Επιστημονικά Κίνητρα Οι ιπτάμενες μηχανές από πολύ παλιά κέντριζαν το ενδιαφέρον του ανθρώπου. Από τις πρώτες προσπάθειες να κατασκευαστούν τέτοιες μηχανές μέχρι και τις μέρες μας, ο τομέας αυτός πάντα είχε μεγάλο επιστημονικό και ερευνητικό ενδιαφέρον. Σήμερα ιδιαίτερη έμφαση έχει δοθεί στην ανάπτυξη μη επανδρωμένων, αυτόνομων ιπτάμενων οχημάτων (autonomous UAVs). Τα οχήματα αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για πληθώρα εφαρμογών, όπως εξερεύνηση, διάσωση, ανίχνευση για πολιτικούς ή για στρατιωτικούς σκοπούς. Οι επιστημονικές προκλήσεις που σχετίζονται με αυτά τα οχήματα είναι τεράστιες. Ο έλεγχός τους είναι ιδιαίτερα απαιτητικός και παρουσιάζει πολλά θεωρητικά και πρακτικά προβλήματα. Η μοντελοποίηση για παράδειγμα των ελικοπτέρων αυτών είναι μια επίπονη διαδικασία, ειδικά όταν τα μοντέλα αυτά απαιτείται να είναι αναλυτικά. Ο δε προσδιορισμός των παραμέτρων των μοντέλων αυτών συχνά απαιτεί εκτενή πειράματα με ειδικό εξοπλισμό. Γενικά σε τέτοια οχήματα μπορούν να εφαρμοστούν ελεγκτές από τον απλό PID μέχρι πολύ προηγμένους που χρησιμοποιούνται μόνο για ειδικούς σκοπούς. Σε αυτό έχει βοηθήσει σημαντικά η ανάπτυξη των μικροϋπολογιστικών συστημάτων μικρού μεγέθους και ιδιαίτερα υψηλών επιδόσεων που κάνουν δυνατή την εκτέλεση πολύπλοκων πράξεων σε μικρό χρονικό διάστημα επιτρέποντας την υλοποίηση ιδιαίτερα σύνθετων ελεγκτών. Βεβαίως δεν πρέπει να παραληφθεί και η πρόοδος των αισθητήρων που με χρήση προηγμένης τεχνολογίας (συστήματα MEMS) κατορθώνουν την λήψη μετρήσεων με μεγάλη ακρίβεια και συγχρόνως σε μεγάλους ρυθμούς δειγματοληψίας. Παρόμοια πρόοδος έχει συντελεστεί και στις μπαταρίες των ελικοπτέρων επιτρέποντας αυτονομία με πολύ μικρό κόστος. Όλοι αυτοί οι λόγοι έχουν κάνει προσιτή όσο ποτέ την μελέτη τέτοιων οχημάτων. Το ελικόπτερο Quadrotor που επιλέχθηκε σ' αυτή την εργασία είναι ένας χαρακτηριστικός τύπος τέτοιου ιπτάμενου οχήματος. Παρουσιάζει πλεονεκτήματα όπως συμμετρία, η οποία απλοποιεί τις εξισώσεις περιγραφής του, και μεγάλη δυνατότητα ελιγμών. Το τελευταίο συνιστά πρόκληση για τα συστήματα ελέγχου τα οποία αφενός μεν πρέπει να σταθεροποιούν το ελικόπτερο, αφετέρου δε πρέπει να το καθιστούν ικανό να ακολουθήσει σύνθετες τροχιές. Άλλα προβλήματα τα οποία καλείται να λύσει ο έλεγχος του Quadrotor είναι σταθεροποίηση του ελικοπτέρου σε περίπτωση ανέμων. Το Quadrotor θεωρείται επιρρεπές σε τέτοιου είδους διαταραχές λόγω της φύσεως της κατασκευής του. Πολλές φορές η σχεδίαση του ελεγκτή δεν γίνεται με μοναδικό κριτήριο την απόδοση αλλά το κόστος της όλης διάταξης. Το αποτέλεσμα είναι να μην χρησιμοποιούνται μικροελεγκτές της υπολογιστικής δύναμης ενός σύγχρονου κινητού τηλεφώνου ή ενός netbook αλλά μικροελεγκτές χαμηλότερης ταχύτητας και χαμηλότερου κόστους. Σε αυτή την περίπτωση η χαμηλή ταχύτητα επεξεργασίας τους είναι απαγορευτική για την υλοποίηση σύνθετων νόμων ελέγχου. Επομένως αναζητούνται απλούστερες λύσεις, όπως ο κλασσικός PID. Ο ελεγκτής PID, αν ρυθμιστεί σωστά -και αυτό είναι ίσως το μεγαλύτερο 14

15 ΕΙΣΑΓΩΓΗ πρόβλημά του-, μπορεί να ελέγξει ικανοποιητικά τον προσανατολισμό του ελικοπτέρου όπως έχει αποδείξει μια πληθώρα εφαρμογών σε κορυφαία πανεπιστήμια του κόσμου. Αυτή η εργασία ασχολείται ακριβώς με την υλοποίηση του ελέγχου PID πάνω σε ένα ελικόπτερο Quadrotor. Η διαδικασία ξεκινά από την μοντελοποίησή του με χρήση των εξισώσεων Newton-Euler, την εξαγωγή γραμμικού μοντέλου και στη συνέχεια την εφαρμογή και αξιολόγηση του PID τόσο στο γραμμικό και στο μη-γραμμικό μοντέλο, όσο και σε ένα πραγματικό ελικόπτερο που κατασκευάστηκε στο εργαστήριο. Τέλος αναφέρονται τα προβλήματα που παρουσιάζονται στην όλη διαδικασία καθώς και δυνατοί τρόποι επίλυσής τους. 1.2 Το Quadrotor Στο σημείο αυτό κρίνεται απαραίτητη η παρουσίαση της βασικής κατασκευής του ελικοπτέρου quadrotor καθώς και του τρόπου με τον οποίον ίπταται και εκτελεί τους διαφόρους ελιγμούς. Έτσι μπορούν στη συνέχεια να γίνουν κατανοητά και πιο σύνθετα ζητήματα όπως η πλήρης μοντελοποίηση του και διάφορα αεροδυναμικά φαινόμενα που το επηρεάζουν. Το quadrotor είναι ένας τύπος ελικοπτέρου που χρησιμοποιεί τέσσερις, ίσης διαμέτρου, έλικες για την ανύψωση και για την προώθησή του. Οι τέσσερις έλικες τοποθετούνται συμμετρικά πάνω σε έναν σκελετό σχήματος σταυρού, ενώ στο κέντρο του σκελετού αυτού βρίσκεται το ωφέλιμο φορτίο. Οι έλικες του ελικοπτέρου περιστρέφονται ανά δύο αντίστροφα έτσι ώστε η συνολική ροπή που εφαρμόζεται στο κέντρο του να είναι μηδενική. Με αυτόν τον τρόπο δεν χρειάζεται βοηθητικός έλικας όπως στα συμβατικά ελικόπτερα. Ένα παράδειγμα ελικοπτέρου quadrotor φαίνεται παρακάτω, στο Σχήμα 1.1 : Σχήμα 1.1: Quadrotor UAV Η κίνηση του ελικοπτέρου quadrotor ελέγχεται αποκλειστικά από τις γωνιακές ταχύτητες των τεσσάρων ελίκων του. Όταν οι τέσσερις έλικες κινούνται με την ίδια ακριβώς γωνιακή ταχύτητα, τότε το ελικόπτερο ανυψώνεται. Συγχρόνως η κλίση του διατηρείται σταθερή ενώ δεν περιστρέφεται γύρω από το κέντρο μάζας του επειδή είναι εντελώς συμμετρικό. Αυτή η περίπτωση φαίνεται στο Σχήμα 1.2. Για να επιτευχθεί η περιστροφή του ελικοπτέρου γύρω από το κέντρο μάζας του 15

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 χρειάζεται να αυξομειωθεί η ταχύτητα δύο ομοίως περιστρεφόμενων κινητήρων. Όταν αλλάξει η ταχύτητα ενός κινητήρα τότε αλλάζει και η ροπή του σύμφωνα με τη χαρακτηριστική ροπής-ταχύτητας του κινητήρα-φορτίου (φορτίο θεωρείται ο έλικας του κινητήρα). Επειδή όμως λόγω του τρίτου νόμου του Νεύτωνα η ροπή του ρότορα του κινητήρα ισούται κάθε χρονική τιμή με τη ροπή του στάτη, η μείωση ή αύξηση της ροπής του κινητήρα ισοδυναμεί με μείωση ή αύξηση της ροπής που δέχεται η βάση από τον κινητήρα. Επομένως η βάση τείνει να περιστραφεί γύρω από τον κάθετο άξονά της, όταν οι ροπές των τεσσάρων κινητήρων δεν είναι εξισορροπημένες. Οι ροπές αυτές, επειδή οφείλονται στην αντίσταση του αέρα (αυτή καθορίζει την προσφερόμενη ροπή του κινητήρα) αναφέρονται και ως ροπές αντίστασης - drag moments. Στα Σχήματα 1.3 και 1.4 φαίνεται πώς επιτυγχάνεται η περιστροφή του ελικοπτέρου γύρω από τον κάθετο άξονά του όταν μεταβάλλονται οι ταχύτητες των κινητήρων που περιστρέφονται με την ίδια φορά. Στο Σχήμα 1.3 το ελικόπτερο περιστρέφεται με ανθωρολογιακή φορά και στο Σχήμα 1.4 με ωρολογιακή φορά. Ω 1 Ω 1 Ω 1 Ω 4 Ω 2 Ω 4 Ω 2 Ω 4 Ω 2 Ω 3 Σχήμα 1.3: Ανθωρολογιακή Σχήμα 1.4: Ωρολογιακή Σχήμα 1.2: Ανύψωση ελικοπτέρου περιστροφή ελικοπτέρου γύρω περιστροφή ελικοπτέρου γύρω από από τον κάθετο άξονά του τον κάθετο άξονά του. Η παράλληλη προς το έδαφος κίνηση του ελικοπτέρου επιτυγχάνεται όταν αυτό αποκτήσει κάποια κλίση ως προς το έδαφος. Αυτό συμβαίνει όταν ένας κινητήρας έχει μικρότερη ταχύτητα από τον απέναντί του, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.5. Τότε η ώθηση του ελικοπτέρου, που αναπαριστάται από μια δύναμη κάθετη στους έλικες, θα αναλύεται σε δύο συνιστώσες, μία οριζόντια και μια κάθετη προς το έδαφος. Η οριζόντια συνιστώσα είναι αυτή που προκαλεί και την παράλληλη προς το έδαφος κίνηση του ελικοπτέρου ενώ η κάθετη αυτή που εξισορροπεί το βάρος. Συγχρόνως, όπως φαίνεται και στο Σχήμα 1.5, οι άλλοι δύο έλικες (έλικες 1 και 3) κινούνται με χαμηλότερη ταχύτητα ώστε η ολική ροπή γύρω από το κέντρο του ελικοπτέρου να διατηρείται στο μηδέν και έτσι αυτό να μην περιστρέφεται γύρω από τον εαυτό του. Ω 3 Ω 3 Ω 1 Ω 4 Ω 2 16 Ω 3 Σχήμα 1.5: Πλάγια κίνηση ελικοπτέρου

17 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 1.3 Ιστορικά Στοιχεία Το ελικόπτερο Quadrotor, παρ' ότι έχει λάβει ιδιαίτερο ενδιαφέρον τα τελευταία χρόνια, δεν είναι καινούρια ιδέα. Τα πρώτα Quadrotor τοποθετούνται στις αρχές του 20ου αιώνα, όταν οι μηχανικοί δοκίμαζαν διάφορους τύπους μηχανών καθέτου προσγειώσεως. Τα Quadrotor μάλιστα προέκυψαν χρονολογικά νωρίτερα από τα συμβατικά ελικόπτερα μιας έλικας, όπως τα γνωρίζουμε σήμερα. Σε αυτή την ενότητα παρουσιάζεται η ιστορία της αεροπλοΐας από τη σκοπιά των ελικοπτέρων Quadrotor. Το 1904 ο Γάλλος επιστήμονας και ακαδημαϊκός Charles Richet κατασκεύασε ένα μικρό, μη επανδρωμένο ελικόπτερο. Αν και το ελικόπτερο αυτό δεν είχε επιτυχία, προκάλεσε το ενδιαφέρον ενός από τους μαθητές του, του μετέπειτα πρωτοπόρου της αεροπλοΐας, Louis Brequet. Κατά το 1906 ο Lois Brequet μαζί με τον αδερφό του Jacques ξεκίνησαν να πειραματίζονται με το ελικόπτερο αυτό, υπό την καθοδήγηση του καθηγητή τους Charles Richet. Ο Louis Brequet μελέτησε προσεκτικά τα ατρακτοειδή σχήματα, εστιάζοντας την προσοχή του στο αεροπλάνο των αδερφών Wright που μόλις τρία χρόνια πριν (1903) είχε κάνει την πρώτη του επιτυχή πτήση. Το 1907, έχοντας κατανοήσει πλήρως την αεροδυναμική θεωρία του ελικοπτέρου, οι αδερφοί Brequet κατασκεύασαν το πρώτο ελικόπτερο quadrotor. Το ελικόπτερο αυτό ονομάσθηκε Gyroplane No. ~1 (Σχήμα 1.6) και αποτελείτο από έναν ατσάλινο σκελετό σε σχήμα σταυρού στις άκρες του οποίου υπήρχαν τέσσερις έλικες. Ο κάθε έλικας αποτελείτο από οκτώ πτερύγια, τα οποία ήταν χωρισμένα σε δύο παράλληλες τετράδες. Τα οκτώ πτερύγια ήταν μηχανικά ενωμένα και μπορούσαν να περιστρέφονται συγχρόνως. Επομένως το ελικόπτερο αυτό είχε 32 συνολικά πτερύγια που συνεισέφεραν στην ανύψωσή του. Οι έλικες κινούνταν από μία μηχανή 40 hp που βρισκόταν δίπλα στον πιλότο. Το ελικόπτερο αυτό κατάφερε να ανυψωθεί και να πετάξει αλλά για πολύ σύντομο χρονικό διάστημα επειδή δεν είχε ευστάθεια, ούτε κατάλληλα μέσα Σχήμα 1.6: Το Quadrotor των αδερφών Brequet (1907) ελέγχου. Παρ' ολ' αυτά το Gyroplane No. 1 ήταν το πρώτο μηχανοκίνητο ελικόπτερο στην ιστορία που μπορούσε να μεταφέρει το βάρος ενός ανθρώπου. Το 1922 ένας Ρώσος μετανάστης στην Αμερική, ο Georges de Bothezat κατόπιν συνεργασίας με τον αμερικανικό στρατό κατασκεύασε ένα από τα μεγαλύτερα ελικόπτερα που είχαν κατασκευαστεί εκείνη την εποχή. Ήταν ένα ελικόπτερο quadrotor (Σχήμα 1.7) με 17

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 Σχήμα 1.7: Το Quadrotor του de Bothezat (1922) σε δύο διαφορετικά πλάνα έξι πτερύγια σε κάθε κύριο έλικα, ενώ διέθετε επίσης τέσσερις βοηθητικές έλικες, ανά δύο ίδιες. Το ίδιο έτος το ελικόπτερο αυτό πέταξε επιτυχώς πολλές φορές, αν και σε χαμηλά ύψη. Μέχρι τα τέλη του 1923 είχε κάνει περίπου 100 πτήσεις φτάνοντας σε ύψος μόλις τα 5 μέτρα. Αν και απέδειξε ότι ένα ελικόπτερο quadrotor είναι υλοποιήσιμο, το ελικόπτερο αυτό είχε σημαντικά προβλήματα. Η μηχανή του δεν ήταν αρκετά ισχυρή, δεν ελεγχόταν πλήρως, ήταν πολύπλοκο μηχανικά και είχε μικρή αξιοπιστία. Σχήμα 1.8: Το Quadrotor Oemichen No.2 (1922) Το 1922, παράλληλα με τον de Bothezat, ο Etienne Oehmichen, πρώην υπάλληλος της Peugeot, κατασκεύασε ένα ελικόπτερο που αποτελείτο από τέσσερις κυρίους έλικες και οκτώ μικρότερους βοηθητικούς όπως φαίνεται στο Σχήμα 1.8. Το ελικόπτερο διέθετε μια μηχανή 120 hp η οποία στη συνέχεια αντικαταστάθηκε από μία πιο ισχυρή μηχανή 180 hp. Το ελικόπτερο αυτό ονομάστηκε Oehmichen No.2 και ήταν το πιο πετυχημένο από το 6 διαφορετικά μοντέλα που είχε κατασκευάσει ο συγκεκριμένος μηχανικός. Το Oehmichen No.2 έκανε πολλές πτήσεις στο διάστημα αποδεικνύοντας ότι μια μηχανή κάθετης πτήσης θα μπορούσε να έχει κάποια ευστάθεια και ευκινησία. Τον Απρίλιο του 1924 απονεμήθηκε στον Oehmichen βραβείο από την FAI (Fédération Aéronautique Internationale) για μια επιτυχή πτήση 360 μέτρων. Ήταν το πρώτο βραβείο που απένειμε ο οργανισμός FAI σε ελικόπτερο. Η επιτυχία του Oehmichen No.2 18

19 ΕΙΣΑΓΩΓΗ συνεχίστηκε, και ένα μήνα αργότερα, τον Μάιο του 1924, πραγματοποίησε μια κλειστή διαδρομή ενός χιλιομέτρου, μένοντας στον αέρα για 7 λεπτά και 40 δευτερόλεπτα. Στα χρόνια που ακολούθησαν η προσοχή των μηχανικών στράφηκε στα συμβατικά ελικόπτερα με μία ή δύο το πολύ κύριες έλικες. Η ανάπτυξη αυτών των ελικοπτέρων ήταν ραγδαία, έτσι ώστε σιγά σιγά να παίρνουν την μορφή που έχουν και σήμερα. Παρ' όλη την υπεροχή των ελικοπτέρων μιας έλικας κατά καιρούς κατασκευάστηκαν ελικόπτερα quadrotor. Ένα από αυτά ήταν το Convertawings Model "A" (Σχήμα 1.9), που Σχήμα 1.9: Convertawings Model "A" (δεκαετία 1950) κατασκευάστηκε το Αποτελείτο από τέσσερις έλικες με δυο πτερύγια ο καθένας που κινούνταν συνολικά από δύο μηχανές. Ο έλεγχός του επιτυγχάνετο μεταβάλλοντας την ώθηση καθενός από τους τέσσερις κινητήρες. Το Convertawings Model "A" πραγματοποίησε πολλές επιτυχείς πτήσεις τη δεκαετία του 1950 και ήταν το πρώτο που πραγματοποιούσε έμπροσθεν πτήση με πολύ μεγάλη επιτυχία. Παρ' όλ' αυτά η ανάπτυξη του ελικοπτέρου εγκαταλείφθηκε λόγω μειωμένου ενδιαφέροντος από την πλευρά της αγοράς. Σήμερα τα ελικόπτερα quadrotor περιορίζονται σχεδόν αποκλειστικά για μικρά, μη επανδρωμένα, αυτόνομα ελικόπτερα (UAV) που στοχεύουν σε εμπορικές αλλά και στρατιωτικές εφαρμογές. Παραδείγματα τέτοιων εφαρμογών είναι η εξερεύνηση, η ανίχνευση στόχων και η διάσωση. Τα σημερινά quadrotor περιλαμβάνουν συνήθως τέσσερις ηλεκτρικούς κινητήρες, έναν για κάθε έλικα, ενώ ο σκελετός τους έχει στις περισσότερες των υλοποιήσεων σχήμα σταυρού. Για τον έλεγχό τους χρησιμοποιούνται σύνθετα ηλεκτρονικά συστήματα, το κόστος των οποίων μεταβάλλεται ανάλογα με την σχεδίαση και το σκοπό της εφαρμογής. 1.4 Πλεονεκτήματα και Μειονεκτήματα Quadrotor Το ελικόπτερο quadrotor επιλέχθηκε σε αυτή την εργασία μεταξύ άλλων τύπων ελικοπτέρων που χρησιμοποιούνται σαν UAV, επειδή εμφανίζει σημαντικά πλεονεκτήματα. Κατ' αρχάς έχει απλή μηχανική κατασκευή. Αποτελείται από τέσσερις έλικες στους 19

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 οποίους δεν χρειάζεται να μεταβάλλεται η κλίση όπως σε ένα τυπικό ελικόπτερο. Επομένως είναι λιγότερο επιρρεπή σε βλάβες, ενώ έχουν και μικρότερα έξοδα συντήρησης. Επίσης, επειδή οι έλικές τους είναι περισσότεροι και μικρότεροι, σε σχέση πάντα με άλλα ελικόπτερα, αποθηκεύουν μικρότερα ποσά κινητικής ενέργειας. Επομένως σε κάποια σύγκρουση θα συμβεί μικρότερη ζημιά στον έλικα ή στο αντικείμενο με το οποίο το ελικόπτερο συγκρούεται. Η ζημιά αυτή μπορεί να περιοριστεί στο ελάχιστο αν οι έλικες κλειστούν μέσα σε ένα κατάλληλο προστατευτικό πλαίσιο. Τα παραπάνω βέβαια ισχύουν κυρίως για ελικόπτερα μικρού μεγέθους, γιατί αν το quadrotor έχει μεγάλο μέγεθος οι ζημιές που μπορεί να προκαλέσει στο περιβάλλον του είναι σημαντικές. Ένα άλλο πλεονέκτημα του quadrotor είναι ότι λόγω της συμμετρίας του έχει σχετικά απλές δυναμικές εξισώσεις ενώ επίσης έχει και περιορισμένα γυροσκοπικά φαινόμενα. Επίσης οι τέσσερις έλικες του προσδίδουν μεγάλη ανυψωτική δύναμη, με αποτέλεσμα να μπορούν να σηκώσουν αυξημένο φορτίο σε σχέση με το βάρος τους. Το σημαντικότερο πλεονέκτημα των quadrotor όμως είναι ότι συνδυάζουν ευκολία στον έλεγχο και στην κατασκευή με πολύ υψηλή ικανότητα ελιγμών με αποτέλεσμα να είναι μια πολύ καλή επιλογή για UAV εφαρμογές. Το quadrotor όμως παρουσιάζει και κάποια μειονεκτήματα. Λόγω των τεσσάρων ελίκων που τροφοδοτούνται από τέσσερις ηλεκτρικές μηχανές, η κατανάλωση ισχύος είναι αυξημένη. Αυτό είναι ένα σημαντικό μειονέκτημα για τα UAVs που τροφοδοτούνται από μια μπαταρία. Επομένως απαιτούνται ακριβές μπαταρίες, αλλιώς η αυτονομία του ελικοπτέρου είναι πολύ περιορισμένη. Άλλα μειονεκτήματα είναι το σχετικά μεγάλο μέγεθος (επειδή περιλαμβάνει τέσσερις έλικες) και το μεγαλύτερο βάρος από άλλους τύπους ελικοπτέρων. 1.5 Σύνοψη Συμπεράσματα Τα μη επανδρωμένα αυτόνομα οχήματα έχουν αποκτήσει σήμερα ιδιαίτερο επιστημονικό ενδιαφέρον, λόγω των δυσκολιών και των επιστημονικών προκλήσεων που συνάδουν με τη φύση τους. Ιδιαίτερα σημαντικά μάλιστα είναι τα αυτόνομα ελικόπτερα, επειδή συνδυάζουν την ικανότητα κάθετης απογείωσης και προσγείωσης με την δυνατότητα εκτέλεσης σύνθετων ελιγμών. Τα ελικόπτερα αυτά εμφανίζουν σοβαρές δυσκολίες στον έλεγχο τους λόγω αφενός μεν της δύσκολης μοντελοποίσής τους, αφετέρου δε της μη γραμμικής φύσεως των μοντέλων που τα περιγράφουν. Χαρακτηριστικό παράδειγμα ελικοπτέρου που χρησιμοποιείται σαν αυτόνομο όχημα είναι το Quadrotor, ένα ελικόπτερο που περιλαμβάνει τέσσερις όμοιους έλικες για την προώθησή του. Το Quadrotor περιγράφηκε σε αυτό το κεφάλαιο χωρίς τη χρήση μαθηματικών εξισώσεων, έτσι ώστε ο αναγνώστης να κατανοήσει σε γενικές γραμμές, την κατασκευή του και τον τρόπο με τον οποίο προωθείται. Έτσι θα έχει τις βάσεις να κατανοήσει το πλήρες μαθηματικό μοντέλο που παρουσιάζεται στο αμέσως επόμενο κεφάλαιο. Στο κεφάλαιο αυτό αναφέρθηκε επίσης η πλήρης ιστορία του ελικοπτέρου Quadrotor, μία ιστορία που χρονολογείται από τις αρχές του 20ου αιώνα. Τα ελικόπτερα Quadrotor που κατασκευάστηκαν τότε ήταν μεγάλου μεγέθους, με σκοπό να μεταφέρουν το βάρος ενός ανθρώπου. Η τεχνολογία για την κατασκευή μη επανδρωμένων ελικοπτέρων προφανώς δεν υπήρχε, γι αυτό ο έλεγχός τους 20

21 ΕΙΣΑΓΩΓΗ από πιλότο ήταν η μόνη επιλογή. Σήμερα αντίθετα δεν κατασκευάζονται Quadrotor μεγάλου μεγέθους, αυτής της μορφής, ίσως για το λόγο ότι σε τέτοιο μέγεθος η υψηλή κατανάλωση ενέργειας τα καθιστά ασύμφορα. Τα Quadrotor πάντως περιλαμβάνουν αρκετά πλεονεκτήματα σε σχέση με τα συμβατικά ελικόπτερα τα οποία αναφέρθηκαν σε ξεχωριστή ενότητα στο κεφάλαιο αυτό. Βεβαίως αναφέρθηκαν και τα μειονεκτήματά τους τα οποία εξηγούν το γεγονός ότι δεν είναι τόσο γνωστά στο ευρύ κοινό, σε αντίθεση με άλλους τύπους ελικοπτέρων. 21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR

23 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR 2. ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR Στο κεφάλαιο αυτό πραγματοποιείται η μοντελοποίηση του ελικοπτέρου Quadrotor βάσει των νόμων της μηχανικής. Η μοντελοποίηση αυτή είναι απαραίτητη αφενός μεν για τη σωστή σχεδίαση του ελεγκτή PID, αφετέρου δε για την προσομοίωση του ελικοπτέρου, η οποία θα γίνει με τη βοήθεια του προγράμματος Simulink. Για την μοντελοποίηση του ελικοπτέρου μπορούν να χρησιμοποιηθούν δύο μεθοδολογίες: Η πρώτη χρησιμοποιεί τις εξισώσεις Euler-Lagrange, ενώ η δεύτερη τις Newton-Euler. Ανάμεσα σε αυτές τις δύο επιλέχθηκαν οι Newton-Euler επειδή επιτρέπουν την μοντελοποίηση σύνθετων αεροδυναμικών φαινομένων. Στην παρακάτω ενότητα αρχικά αποδεικνύονται οι εξισώσεις Newton- Euler και στη συνέχεια εφαρμόζονται στο ελικόπτερο. 2.1 Εξισώσεις Newton-Euler Για τη μοντελοποίηση του ελικοπτέρου θεωρούμε αρχικά ένα σταθερό σύστημα συντεταγμένων, έστω Ο 0 x 0 y 0 z 0 και ένα σύστημα συντεταγμένων πάνω στο ελικόπτερο Ο b,x b,y b, z b, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.1. Το τελευταίο σύστημα συντεταγμένων θεωρούμε ότι μετακινείται ακριβώς μαζί με το ελικόπτερο δηλαδή είναι στερεωμένο πάνω του. Επίσης υποθέτουμε ότι το ελικόπτερο είναι τελείως άκαμπτο και εντελώς συμμετρικό. Οι γωνίες φ,θ,ψ που φαίνονται στο σχήμα είναι οι γωνίες Tait-Bryan που χρησιμοποιούνται κατά κόρον στη μοντελοποίηση αεροπλάνων και ελικοπτέρων. Ονομάζονται αντίστοιχα roll, pitch και yaw. F 2 F 3 θ σ y σ F 1 F x 4 φ σ Ο σ σ z σ ψ σ z ν x ν Ο v y ν Σχήμα 2.1: Ορισμός των συστημάτων συντεταγμένων για τη μοντελοποίηση του Quadorotor Έστω ότι η γραμμική ορμή του σώματος ως προς το σύστημα συντεταγμένων Ο 0 x 0 y 0 z 0 είναι 0 Ε και η στροφορμή γύρω από το κέντρο μάζας του 0 G. Αν η ολική εξωτερική δύναμη που ασκείται στο ελικόπτερο είναι 0 F και η ολική εξωτερική ροπή είναι 23

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 0 τ, τότε από το δεύτερο νόμο του Νεύτωνα έχουμε: 0 F = d dt 0 E τ= d dt 0 G 2.2 όπου τα έντονα γράμματα (bold) αναπαριστούν διανύσματα ή πίνακες. Η στροφορμή 0 G του ελικοπτέρου γύρω από το κέντρο μάζας του Ο σ (που συμπίπτει με το σύστημα συντεταγμένων Ο σ x σ y σ z σ ) δίνεται από τη σχέση: όπου 0 Ι 0 G = r ṙ ρdv V = V = V ={ V 0 r 0 ω r ρdv [ r T r 0 ω r T 0 ω r ] ρdv [ r T r I 3x3 r r T ] ρ dv } 0 ω 0 = I ω 2.3 = [r T r I 3x3 r r T ] ρdv (μήτρα αδράνειας ελικοπτέρου ως προς το αδρανειακό V σύστημα συντεταγμένων) και r το διάνυσμα θέσης ενός στοιχειώδους σημείου από το Ο 0. Όταν όμως το ελικόπτερο κινείται η ροπή αδράνειας μεταβάλλεται γιατί είναι υπολογισμένη ως προς το ακίνητο σημείο Ο 0. Η σχέση που δίνει την ροπή αδράνειας 0 Ι συναρτήσει της ροπής αδράνειας του ελικοπτέρου ως προς το σημείο Ο σ που είναι το κέντρο μάζας του ελικοπτέρου, είναι η εξής: 0 b Ι = R I R T 2.4 όπου R κατάλληλος πίνακας μετασχηματισμού από το Ο σ στο Ο 0. Επειδή το σύστημα συντεταγμένων Ο b,x b,y b, z b είναι στερεωμένο στο ελικόπτερο, η ροπή αδράνειας σ Ι είναι σταθερή. Επίσης ισχύει: 0 τ=r b τ ω=r b ω Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (2.2) και (2.3) προκύπτει η πρώτη εξίσωση, ο οποία 24

25 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR αναφέρεται στη στροφική κίνηση του ελικοπτέρου: 0 τ = d dt 0 I 0 ω R b τ= d dt R b I b ω 2.7 Έστω δύο ορθογώνια συστήματα συντεταγμένων Σ Α : Ο Α x A y A z A και Σ Β : Ο Β x Β y Β z Β. Συμβολίζουμε με ω B A ένα διάνυσμα του Σ Β ως προς το Σ Α και με p Β ένα αυθαίρετο διάνυσμα του Σ Β. Ορίζοντας R A B =[ x A B y A B z A B ] και p Β =[ p x B p y B p z B ] η παράγωγος του R B A p B γράφεται: d dt R Α Β p Β A d = R B dt p B d dt R A B p B A d = R B dt p B d dt x A B p B x d dt y A B p B y d dt z A B B p z A d = R B dt p B ω A B x A B p B x ω A B y A B p B y ω A B z A B B p z Ad = R B dt p B ω A B x A B p B x y A B p B y z A B p B z = R Ad B dt p B ω A B R Α Β p B 2.8 Θέτοντας στην 2.7 b I b ω= p και χρησιμοποιώντας τη Σχέση 2.8 παίρνουμε: R b τ=r d dt b I R b τ= R d dt b I R b τ= d dt R b I b ω b ω b ω 0 ω R b I R b b ω R I b ω b ω R b τ =R d dt b I b b τ= I b ω d dt b ω b b R ω I b ω b I b ω b ω 2.9 όπου χρησιμοποιήθηκε η ιδιότητα R σ Α Rσ Α = R σ Α σ Β (σ Α,σ Β διανύσματα). 25

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Στη συνέχεια, ξεκινώντας από τη Σχέση 2.1 παίρνουμε την αντίστοιχη εξίσωση που ισχύει για τη μεταφορική κίνηση: R b F = d dt R m b υ R b F R b F R b F 0 F = d dt R b F = R d dt m b υ = R d dt m b υ 0 E = d dt R b E = R d dt m b υ ω R b ω 0 R m b υ R m b υ R b ω m b υ b F =m d dt b υ b b ω m υ 2.10 όπου m η μάζα του ελικοπτέρου και b υ το διάνυσμα των γραμμικών ταχυτήτων. Οι Σχέσεις 2.9 και 2.10 αποτελούν τις εξισώσεις Newton-Euler οι οποίες και θα χρησιμοποιηθούν για την μοντελοποίηση του ελικοπτέρου. Μια πιο περιεκτική περιγραφή τους σε μορφή πινάκων, είναι η παρακάτω: [ m I 3x3 0 ] [ υ ω ] 0 I [ ω m υ ] ω Iω = [ F ] τ 2.11 Επειδή το σύστημα συντεταγμένων Ο b,x b,y b, z b είναι ταυτισμένο με τους πρωτεύοντες b άξονες αδράνειας του quadrotor, ο πίνακας Ι είναι διαγώνιος. Θέτοντας b Ι =diag [I xx I yy I zz ] η σχέση (2.9) γράφεται ως εξής: τ x = I xx φ I yy I zz θ ψ τ y =I yy θ I zz I xx ψ φ τ z = I zz ψ I xx I yy φ θ 2.12 όπου τ x,τ y,τ z το σύνολο των ροπών στους άξονες x,y και z αντίστοιχα. Επειδή το κέντρο συντεταγμένων του συστήματος συμπίπτει με το κέντρο μάζας, ο όρος b ω m b υ =m b ω b ω c της (2.10) ισούται με το 0. (Ο c είναι μηδενικός πίνακας όταν το κέντρο συντεταγμένων και το κέντρο μάζας συμπίπτουν). Επομένως η 2.10 γράφεται: 26

27 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR F x =m ẍ F y =m ÿ F z =m z 2.13 όπου F x, F y, F z το σύνολο των δυνάμεων στους άξονες x,y και z αντίστοιχα. Στο αριστερό μέλος των εξισώσεων 2.12, 2.13 εμφανίζονται οι ροπές και οι δυνάμεις που επιδρούν στο ελικόπτερο. Οι δυνάμεις αυτές είναι σχεδόν όλες αεροδυναμικής φύσεως. Η παρακάτω ενότητα έχει ως σκοπό την πλήρη περιγραφή των εξισώσεων που τις διέπουν. 2.2 Αεροδυναμικές Δυνάμεις και Ροπές Για τη μοντελοποίηση του ελικοπτέρου είναι απαραίτητο να περιγραφούν οι δυνάμεις και οι ροπές που δημιουργούνται στους έλικες από τα διάφορα αεροδυναμικά φαινόμενα. Οι σχέσεις που ακολουθούν περιγράφουν τα φαινόμενα αυτά στην περίπτωση που οι έλικες είναι εντελώς άκαμπτες, κάτι που ισχύει μόνο προσεγγιστικά. Ακόμα θεωρείται ότι η ώθηση και η αντίσταση (βλ. παρακάτω) που υφίστανται σε κάθε έλικα είναι ανάλογες ακριβώς του τετραγώνου της ταχύτητας του έλικα. Παρακάτω φαίνεται ο συγκεντρωτικός πίνακας των συμβόλων που θα χρησιμοποιηθούν κατά κόρον στην συγκεκριμένη ενότητα: σ : α : λόγος σταθερότητας (solidity ratio) κλίση άνωσης (lift slope) μ: λόγος προήγησης έλικας (rotor advance ratio) λ : λ IGE : λόγος εισροής λόγος εισροής με ground effect υ: επαγόμενη ταχύτητα ρ: πυκνότητα αέρα R rad : θ tw : A : T : C T : Η : C H : Q : ακτίνα έλικα Twist pitch εμβαδόν που καλύπτει κάθε έλικας περιστρεφόμενος Ώθηση Συντελεστής Ώθησης Δύναμη Hub Συντελεστής δύναμης Hub (Ασκούμενη δύναμη στο κέντρο έλικα-κινητήρα) Ροπή Αντίστασης 27

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 C Q : R m : C Rm : T IGE : C IGE T : Ω : Ω r : Συντελεστής ροπής αντίστασης Ροπή Rolling Συντελεστής ροπής Rolling Ώθηση με φαινόμενο Ground Effect Συντελεστής ώθησης με φαινόμενο Ground Effect Γωνιακή ταχύτητα έλικας Συνολικό υπόλοιπο γωνιακών ταχυτήτων Οι δυνάμεις και οι ροπές που αναπτύσσονται στις έλικες του Quadrotor είναι οι εξής: Δύναμη Ώθησης (Thrust) Η δύναμη αυτή ασκείται κάθετα στον έλικα με φορά προς τα πάνω. Είναι αυτή που προκαλεί την ανύψωση του ελικοπτέρου. Το μέτρο της δίνεται από τον παρακάτω τύπο: T =C T ρ Α Ω R rad 2 όπου C T σ α = μ 2 θ 0 1 μ 2 θ tw λ 2.14 Δύναμη Hub Η δύναμη αυτή ασκείται οριζόντια σε κάθε έλικα. Το μέτρο της δίνεται από τον τύπο: Ροπή Αντίστασης (Drag Moment) H =C H ρ Α Ω R rad 2 όπου C H σ α = 1 4 α μ C d 1 4 λμ θ 0 θ tw Η ροπή αυτή οφείλεται στην αντίσταση που δημιουργεί ο αέρας στην περιστροφή του έλικα. Ουσιαστικά είναι η ροπή που αντισταθμίζει την παραγόμενη ηλεκτρομαγνητική ροπή του κινητήρα. Το μέτρο της δίνεται από τον τύπο: 28 Q=C Q ρ A Ω R rad 2 R Rad όπου C Q σα = 1 8 α 1 μ2 C d λ 1 6 θ θ tw 1 4 λ 2.16

29 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR Ροπή Rolling Η ροπή αυτή παράγεται σε κάθε έλικα όταν το ελικόπτερο κινείται προς τα εμπρός. Οφείλεται στο γεγονός ότι το πτερύγιο που προηγείται δημιουργεί μεγαλύτερη ώθηση από το πτερύγιο που ακολουθεί. Το μέτρο δίνεται παρακάτω: R m =C Rm ρ Α Ω R rad 2 R Rad όπου C Rm σα = μ 1 6 θ θ tw 1 8 λ 2.17 Ground Effect Όταν ένα ελικόπτερο πετάει πολύ κοντά στο έδαφος (σε ύψος περίπου ίσο με το μήκος της ακτίνας της έλικάς του) τότε η ώθηση που του παρέχουν οι έλικες αυξάνεται. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται ground effect (φαινόμενο εδάφους) και σχετίζεται με την μείωση της ταχύτητας του αέρα όταν οι έλικες βρεθούν κοντά στο έδαφος. Για την μαθηματική περιγραφή του θεωρούμε ένα αρκετά απλοποιημένο μοντέλο που βασίζεται στην μέθοδο εικονικής έλικας. Προϋποθέτοντας λοιπόν πως η ισχύς που δίνουμε στον έλικα είναι σταθερή, έχουμε: T υ i =T IGE υ i, IGE 2.18 Το μέγεθος υ i, IGE είναι η ταχύτητα του αέρα στον έλικα (επαγόμενη ταχύτητα) κατά το ground effect. Ισχύει επίσης ότι υ i, IGE =υ i δυ i 2.19 όπου δυ i είναι η επαγόμενη ταχύτητα που δημιουργεί έναν εικονικό έλικα. Η τελευταία ταχύτητα δίνεται από τον τύπο: δυ i = Αυ R 2 i 16πz 2= rad υ i 16z Συνδυάζοντας τους τύπους 2.18, 2.18, 2.20 καταλήγουμε στη σχέση που δίνει την ώθηση με ground effect προς την ώθηση χωρίς ground effect. 29

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 T IGE T = R rad z 2 Μία λίγο διαφορετική προσέγγιση είναι να θεωρήσουμε ότι ο λόγος εισροής όταν παρουσιάζεται το ground effect είναι λ IGE = υ i, IGE δυ i ż / ΩR rad, όπου η μεταβολή της επαγόμενης ταχύτητας δίνεται από τον τύπο (2.19). Τότε η ώθηση δεν δίνεται από την (2.14 ) αλλά από τον παρακάτω τύπο: T IGE =C T IGE ρα ΩR rad 2 όπου C IGE T σα = C T σα δυ i 4ΩR rad 2.22 Στη συνέχεια παρουσιάζουμε όλες τις δυνάμεις και τις ροπές που επιδρούν σε κάθε άξονα του ελικοπτέρου. 2.3 Γενικευμένες Δυνάμεις και Ροπές Ροπές στον Άξονα x (Roll) Γυροσκοπικό φαινόμενο προπέλας Δύναμη Ώθησης Ροπή Hub λόγω πλευρικής πτήσης Ροπή Rolling λόγω έμπροσθεν πτήσης J r θ Ω r l T 2 T 4 4 h H i=1 yi 4 1 i 1 R mxi i=1 Ροπές στον Άξονα y (Pitch) Γυροσκοπικό φαινόμενο προπέλας Δύναμη Ώθησης Ροπή Hub λόγω έμπροσθεν πτήσης J r φ Ω r l T 1 T 3 4 h H i=1 xi 30

31 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR Ροπή Rolling λόγω πλευρικής πτήσης 4 1 i 1 R myi i=1 Ροπές στον Άξονα z (Yaw) Αντίδραση αδρανειακής ροπής J r Ω r Αντίδραση ροπής Ανισορροπία δυνάμεων hub στην έμπροσθεν πτήση Ανισορροπία δυνάμεων hub στην πλευρική πτήση 4 1 i Q i i=1 l H x2 H x4 l H y1 H y3 Δυνάμεις στον άξονα x Δύναμη Ώθησης Δύναμη hub Τριβή 4 sinψ sinφ cosψ sinθ cosφ T i i=1 4 H xi i=1 1 2 C x A c ρ ẋ ẋ Δυνάμεις στον άξονα y Δύναμη Ώθησης Δύναμη hub Τριβή 4 cosψ sinφ sinψ sinθ cosφ T i i=1 4 H yi i=1 1 2 C y A c ρ ẏ ẏ 31

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Δυνάμεις στον άξονα z Δύναμη Ώθησης Βάρος 4 cosθ cosφ T i i=1 mg Αντικαθιστώντας τις παραπάνω δυνάμεις και ροπές στις σχέσεις (2.12), (2.13) παίρνουμε τελικά τις εξισώσεις που περιγράφουν πλήρως την κίνηση του ελικοπτέρου. Να σημειωθεί ότι η γωνιακή ταχύτητα Ωr, που εκφράζει την ασυμμετρία μεταξύ των αντιθέτως περιστρεφόμενων κινητήρων, ορίζεται ως Ω r = Ω 1 Ω 2 Ω 3 Ω 4. 4 I xx φ= θ ψ Ι yy I zz J r θ Ω r l T 2 T 4 h i=1 4 H yi 1 i 1 R mxi i=1 I yy θ= φ ψ Ι zz I xx J r φ Ω r l T 1 T 3 h i=1 4 4 H xi 1 i 1 R myi i=1 4 I zz ψ = θ φ Ι zz I xx J r Ω r 1 i Q i l H x2 H x4 l H y1 H y3 i=1 4 m ẍ= sinψ sinφ cosψ sinθ cosφ i=1 4 m ÿ= cosψ sinφ sinψ sinθ cosφ i=1 4 T i H xi 1 i=1 2 C x A c ρ ẋ ẋ 4 T i H yi 1 i=1 2 C y A c ρ ẏ ẏ 4 m z= cosφ cosθ T i mg i= Μοντελοποίηση Κινητήρων Το ελικόπτερο Quadrotor περιλαμβάνει τέσσερις κινητήρες που κινούν, ο κάθε ένας, έναν έλικα. Ο τύπος και το μέγεθος των κινητήρων μπορούν να διαφέρουν ανάλογα με το μέγεθος και τη σχεδίαση του ελικοπτέρου. Γενικά στα αυτόνομα ελικόπτερα quadrotor 32

33 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR μικρού μεγέθους χρησιμοποιούνται δύο τύποι κινητήρων: Συνεχούς Ρεύματος (DC) ή Brush-Less DC (BLDC). Οι κινητήρες συνεχούς ρεύματος χρησιμοποιούνται κατά κανόνα σε φθηνότερες κατασκευές και συνήθως μαζί με γρανάζια, γιατί δεν διαθέτουν αρκετή ροπή για να κινήσουν κατευθείαν τον έλικα. Το κύριο πλεονέκτημά τους, εκτός από το χαμηλότερο κόστος, είναι ο πιο εύκολος και αποτελεσματικός έλεγχος. Ο δεύτερος τύπος κινητήρων που χρησιμοποιούνται είναι οι Brush-Less DC κινητήρες οι οποίοι, αντίθετα με αυτό που υπονοεί η ονομασία τους, είναι σύγχρονοι τριφασικοί κινητήρες πολλαπλών πόλων ή κινητήρες reluctance. Προκειμένου να ελεγχθούν είναι απαραίτητος ένας ηλεκτρονικός μετατροπέας ισχύος που μετατρέπει το συνεχές ρεύμα εισόδου σε τριφασικό εναλλασσόμενο. Οι κινητήρες αυτοί δεν περιλαμβάνουν ψήκτρες όπως οι κλασσικοί κινητήρες συνεχούς ρεύματος, επομένως είναι πιο αξιόπιστοι με μεγαλύτερη διάρκεια ζωής. Το μεγαλύτερο πλεονέκτημά τους παρ' ολ' αυτά είναι η μεγάλη ισχύς που αποδίδουν σε σχέση με το μέγεθός τους. Ένας τέτοιος κινητήρας έχει την απαιτούμενη ροπή για να κινήσει κατ' ευθείαν έναν έλικα, χωρίς να απαιτούνται γρανάζια. Επίσης με την τυποποίηση και τη βελτίωση των ηλεκτρονικών μετατροπέων ο έλεγχος τους είναι ικανοποιητικός. Το μειονέκτημα αυτών των κινητήρων είναι ουσιαστικά το υψηλό κόστος στο οποίο πρέπει να συνυπολογιστεί και αυτό του μετατροπέα ισχύος. Μοντελοποίηση Κινητήρα DC Ο κινητήρας συνεχούς ρεύματος περιγράφεται από το παρακάτω σύστημα εξισώσεων. Η πρώτη αναφέρεται στο ηλεκτρικό και η δεύτερη στο μηχανικό μέρος του κινητήρα. L di dt =u R mot i k e ω m J m dω m dt =τ m τ d 2.24 όπου u η τάση εισόδου του κινητήρα, i ρεύμα που τον διαρρέει, R mot και L η ωμική αντίσταση και η αυτεπαγωγή των τυλιγμάτων του. Επίσης ω m είναι η γωνιακή ταχύτητα του κινητήρα, J m η ροπή αδράνειας του δρομέα ενώ τ m και τ d είναι η ηλεκτρομαγνητική ροπή και η ροπή του φορτίου. Τα μεγέθη k e και k m αποτελούν τις σταθερές ταχύτητας και ροπής του κινητήρα. Η ηλεκτρομαγνητική ροπή όμως που παράγει ο κινητήρας είναι ανάλογη του ρεύματος και δίνεται από τον τύπο: τ m =k m i 2.25 Κάνοντας την υπόθεση ότι η επαγωγή του κινητήρα είναι αμελητέα (μπορεί να εφαρμοστεί σε μικρούς κινητήρες) και αντικαθιστώντας την (2.24α) στην (2.25) παίρνουμε: 33

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 τ m = k m R mot u k e k m R mot ω m 2.26 Υποθέτοντας ότι k e =k m (ισχύει ικανοποιητικά για μικρούς σχετικά κινητήρες ΣΡ) παίρνουμε τη σχέση (2.27): dω J m dt = k 2 m ω R m τ d k m u mot R mot 2.27 Επειδή το φορτίο του κινητήρα είναι ο έλικας στην οποία εφαρμόζεται κυρίως η ροπή αντίστασης, έχουμε: τ d = d ω pr ηr 2.28 όπου ω pr η ταχύτητα της έλικας, ο οποία δεν είναι γενικά ίση με την ταχύτητα του κινητήρα λόγω της ύπαρξης γραναζιών, η ο συντελεστής απόδοσης του συστήματος μεταδόσεως της κίνησης (γραναζιών), r ο λόγος μεταδόσεως και d ο συντελεστής αντίστασης που είναι είναι 3 ίσος με (βλ. Σχέση 2.16) C Q ρ A R rad. Ο λόγος μετάδοσης των γραναζιών ορίζεται ως r = ω m ω pr ή ω pr = ω m r 2.29 Αντικαθιστώντας την παραπάνω σχέση στη (2.27) παίρνουμε: τ d = d ηr ω 2 3 m 2.30 Μέσω του λόγου μεταδόσεως έχουμε μετασχηματισμό της ροπής αδράνειας της έλικας J pr σε J pr m. Θα μπορούσαμε να πούμε ότι J pr m είναι η ροπή αδράνειας της έλικας όπως τη βλέπει ο κινητήρας. Περιγράφοντας τα παραπάνω με μαθηματικές σχέσης καταλήγουμε ότι: J pr ω 2 2 pr =η J pr m ω m 2.31 Επομένως η ολική ροπή αδράνειας J t είναι 34

35 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ QUADROTOR J t = J pr η r 2 J m 2.32 Αν αντικαταστήσουμε τις σχέσεις (2.30) και (2.32) τότε η (2.27), στην οποία έχουμε θέσει αντί για J m το J t ώστε να συμπεριλάβουμε το φορτίο, γίνεται: J pr η r 2 J m ω m = k 2 m R mot ω m d η r ω 2 3 m k m u R mot 2.33 Διαιρώντας τα δύο μέλη της εξίσωσης με Jt και θέτοντας μορφή: k 2 m 1 τ = R mot J t η (2.33) παίρνει τη ω m = 1 τ ω m d ω 2 ηr 3 m 1 J t k m τ u 2.34 Η παραπάνω σχέση είναι η μη-γραμμική εξίσωση που περιγράφει τον κινητήρα Σ.Ρ. αμελητέας επαγωγής L. Για την περαιτέρω απλοποίησή της μπορεί να γραμμικοποιηθεί με σειρές Taylor. Μοντελοποίηση Κινητήρα BLDC Οι κινητήρες BLDC είναι γενικά δύσκολο να μοντελοποιηθούν λόγω της πιο σύνθετης κατασκευής τους και του γεγονότος ότι στο μοντέλο αυτό πρέπει να συμπεριληφθεί και ο αντίστοιχος μετατροπέας ισχύος. Για το λόγο αυτό στο ηλεκτρονικό κύκλωμα υπάρχει ήδη ένας βρόχος ανάδρασης (συνήθως PI ή PID) ο οποίος έχει ρυθμιστεί από τον κατασκευαστή. Ένας άλλος λόγος για τον οποίον δεν είναι απαραίτητη η μοντελοποίηση ενός BLDC κινητήρα είναι ότι οι σταθερές χρόνου τους είναι πολύ μικρότερες από τις μηχανικές σταθερές χρόνου του ελικοπτέρου. Επομένως η μοντελοποίησή τους έγινε με μια πρωτοβάθμια συνάρτηση μεταφοράς, όπου τα μεγέθη Κ και τ μετρήθηκαν πειραματικά. ω m = K ω ref τs

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ Σύνοψη Συμπεράσματα Στο κεφάλαιο αυτό πραγματοποιήθηκε η πλήρης μοντελοποίηση του ελικοπτέρου βάσει των εξισώσεων Newton-Euler. Έγινε μελέτη σύνθετων αεροδυναμικών φαινομένων και επιχειρήθηκε η λεπτομερής περιγραφή τους. Για να ισχύει όμως με ακρίβεια περιγραφή αυτή είναι απαραίτητο το ελικόπτερο να προσεγγίζει κάποια ιδανικά χαρακτηριστικά. Η όλη κατασκευή πρέπει να είναι άκαμπτη, συμμετρική, με το κέντρο μάζας ακριβώς στο κέντρο συμμετρίας του ελικοπτέρου, κάτι που αν και κατά προσέγγιση συμβαίνει, δεν θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι είναι ακριβές σε ένα πραγματικό ελικόπτερο. Κατά τη μελέτη των αεροδυναμικών φαινομένων έγινε επίσης η υπόθεση ότι οι έλικες αποτελούνται από ακλόνητο υλικό, πράγμα που τουλάχιστον στο πειραματικό μοντέλο δεν ισχύει αφού οι έλικες αποτελούνται από σχετικά εύκαμπτο πλαστικό. Επομένως, καθώς αποκτούν ταχύτητα, οι δυνάμεις που εφαρμόζονται σε αυτές προκαλούν την ελαφριά παραμόρφωσή τους. Η παραμόρφωση αυτή δεν λαμβάνεται υπόψιν σε κάποιο από τα μοντέλα. Μία ακόμα προσέγγιση κατά την αεροδυναμική μελέτη είναι ότι όλοι οι αεροδυναμικοί συντελεστές είναι σταθεροί. Αυτό φυσικά απέχει από την πραγματικότητα αν αναλογιστούμε ότι ακόμα και η πυκνότητα του αέρα είναι μέγεθος μεταβλητό, πόσο μάλλον δε η εξάρτηση πολλών μεγεθών από την ταχύτητα της έλικας. Για παράδειγμα στην ενότητα Α.1.5, όπου έχει μετρηθεί πειραματικά ο συντελεστής ώθησης, παρατηρείται μια συσχέτισή του με την ταχύτητα της έλικας. Η συσχέτιση αυτή εισάγει σφάλμα στον συντελεστή ώθησης περίπου 9%. Τέτοιο σφάλμα προφανώς ισχύει και σε άλλους συντελεστές παρ' οτι δεν μετρήθηκε πειραματικά. Στο τέλος του κεφαλαίου επιχειρήθηκε η μοντελοποίηση των κινητήρων που συναντώνται στα ελικόπτερα Quadrotor μικρού μεγέθους. Οι κινητήρες αυτοί είναι ηλεκτρικοί, κατηγορίας DC (κινητήρες συνεχούς ρεύματος) ή BLDC (κινητήρες εναλλασσομένου ρεύματος που περιλαμβάνουν μετατροπέα ο οποίος τροφοδοτείται με συνεχές). Η πρώτη κατηγορία μοντελοποιείται με αρκετά μεγάλη ακρίβεια, αν και γίνονται και εκεί οι απαραίτητες παραδοχές. Για την εξαγωγή μοντέλου πρώτης τάξης θεωρείται μηδενική η επαγωγή των τυλιγμάτων του κινητήρα ενώ ακόμα οι όποιες τριβές μεταξύ του στάτη και του δρομέα θεωρήθηκαν μηδενικές. Στην μοντελοποίηση των κινητήρων BLDC η απλοποίηση προχώρησε ακόμα πιο πέρα, θεωρώντας τους ως ένα απλό πρωτοβάθμιο σύστημα. Αυτό συνέβη επειδή η πλήρης μοντελοποίησή τους αποτελεί μια εργασία από μόνη της που δεν προσφέρει στην πράξη τα ανάλογα οφέλη. 36

37 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο ΕΛΕΓΚΤΗΣ PID

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 3. Ο ΕΛΕΓΚΤΗΣ PID Για τον έλεγχο του ελικοπτέρου Quadrotor μπορούν να εφαρμοστούν αρκετές μέθοδοι, είτε γραμμικές, είτε μη γραμμικές. Οι τελευταίες αν και δίνουν καλύτερα αποτελέσματα είναι αρκετά πιο δύσκολες στην υλοποίησή τους και συνήθως απαιτούν ισχυρότερο και ακριβότερο μικροελεγκτή. Από τις γραμμικές τεχνικές ελέγχου η πιο απλή που μπορεί να εφαρμοστεί επιτυχώς είναι ο έλεγχος PID. Σε αυτό το κεφάλαιο παρουσιάζονται τα απαραίτητα θεωρητικά στοιχεία ενός τέτοιου ελεγκτή, συμπεριλαμβανομένων και των σημαντικότερων μεθόδων ρύθμισής του. 3.1 Θεωρητικά Στοιχεία Μέσα στις προηγούμενες δεκαετίες η θεωρία ελέγχου πραγματοποίησε σημαντικές προόδους. Προηγμένοι ευφυείς αλγόριθμοι και σύνθετοι μη-γραμμικοί νόμοι ελέγχου έχουν αναπτυχθεί. Παρ' ολ' αυτά ο ελεγκτής PID εξακολουθεί να είναι ο πιο δημοφιλής στη βιομηχανία. Περίπου το 90% όλων των ελεγκτών που χρησιμοποιούνται στην πράξη είναι ελεγκτές PID. Οι εφαρμογές του ποικίλλουν από έλεγχο βιομηχανικών διεργασιών, κινητήριων συστημάτων, υποσυστημάτων σε αυτοκίνητα και αεροπλάνα μέχρι έλεγχο σερβομηχανισμών σε μαγνητικά μέσα αποθήκευσης δεδομένων. Οι μορφές που μπορεί να πάρει ένας τέτοιος ελεγκτής επίσης ποικίλλουν. Μπορεί να αποτελούν αυτόνομες συσκευές ή να βρίσκονται ενσωματωμένοι πάνω σε καταναλωτικές συσκευές (πχ. CD Player). Επίσης ελεγκτές PID υπάρχουν και σαν ξεχωριστές μονάδες για PLC ώστε να διευκολύνεται ο έλεγχος βιομηχανικών διεργασιών. Η αιτία για την τόσο ευρεία και διαδεδομένη χρήση του ελεγκτή PID είναι τόσο η εξαιρετική απλότητά του όσο και η υψηλή αποτελεσματικότητά του στις περισσότερες εφαρμογές. Ο ελεγκτής PID είναι τόσο απλός που μπορεί να υλοποιηθεί είτε με αναλογικό κύκλωμα, είτε σαν λίγες γραμμές κώδικα σε έναν ψηφιακό μικροελεγκτή ενώ για τη ρύθμισή του απαιτείται η βελτιστοποίηση τριών μόνο παραμέτρων. Στο παρακάτω Σχήμα 3.1 φαίνεται η τοπολογία ενός τέτοιου ελεγκτή. Η υπό έλεγχο διεργασία συμβολίζεται ως G και ο ελεγκτής PID με C. Τα σήματα r, y αναπαριστούν το σήμα αναφοράς και την έξοδο του συστήματος αντίστοιχα ενώ με e αναπαρίστανται το σφάλμα μεταξύ της επιθυμητής και τις πραγματικής εξόδου e=r y. Με u συμβολίζεται το σήμα εισόδου στη διεργασία, δηλαδή αυτό που μεταφέρεται από τον ελεγκτή στους ενεργοποιητές. 38