Χατζημανώλης Νίκος. Μαθηματικα Γ Λυκει ου. Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

Transcript

1 0 Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικα Γ Λυκειου Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια Θεσσαλονίκη 06

2 Χατζημανώλης Νίκος Μαθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια

3 Μαθηματικά Γ Λυκείου Συναρτήσεις-Όρια-Συνέχεια Χατζημανώλης Νικόλαος Θεσσαλονίκη ISBN: (C) Cpyright αυτοέκδοση Ιούλιος 06 Το βιβλίο αυτό διανέμεται ελεύθερα μέσω του διαδικτύου ωστόσο διέπεται από τους νόμους περί πνευματικών δικαιωμάτων

4 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το βιβλίο αυτό απευθύνεται στους μαθητές/τριες της Γ Λυκείου και στους καθηγητές/τριες μαθηματικών Μέλημά μου ήταν να παρουσιάσω τις βασικές μαθηματικές έννοιες που αναφέρονται στην ύλη της τελευταίας τάξης του Λυκείου και παράλληλα να δώσω μία πληθώρα λυμένων ασκήσεων ώστε ο μαθητής/τρια να κατανοήσει αφενός μεν τα μαθηματικά νοήματα αφετέρου δε μέσω της επίλυσης ασκήσεων να αποκτήσει τις κατάλληλες δεξιότητες Σε αυτό το βιβλίο ο απαιτητικός αναγνώστης/τρια θα βρει και αποδείξεις προτάσεων που δεν υπάρχουν στο σχολικό βιβλίο ενώ σε διάφορα σημεία αναφέρονται και πολλά λάθη που συνήθως κάνουν οι μαθητές/τριες και θα πρέπει να αποφεύγονται Μία διαφορά επίσης σε σχέση με τη ροή της σχολικής ύλης είναι ότι παρουσιάζεται πρώτα η έννοια της συνεχούς συνάρτησης και μετά η έννοια του ορίου της μορφής 0/0 Κατά την άποψή μου αυτη η σειρά βοηθάει τον αναγνώστη να κατανοήσει καλύτερα και σε βάθος το τι είναι το όριο της μορφής 0/0 και πώς σχετίζεται η συνεχής συνάρτηση το όριο της μορφής 0/0 και όχι μόνο μόνο απλά να μάθει να εφαρμόζει τις συνήθεις αλγοριθμικές τεχνικές Επιπλέον συμπεριέλαβα μία ενότητα (με αριθμό 6) η οποία αναφέρεται στον ορισμό του ορίου Ωστόσο αυτή η ενότητα είναι δύσκολη και αφετέρου δεν είναι μέσα στο πλαίσιο της σχολική ύλης Ο αναγνώστης μπορεί αν θέλει να την αγνοήσει και να προχωρήσει παρακάτω χωρίς κανένα πρόβλημα στην κατανόηση των επομένων ενοτήτων Τέλος θεώρησα σημαντικό να συμπεριλάβω μία ενότητα που αναφέρεται στη σχέση των συνεχών συναρτήσεων με τις γραφικές παραστάσεις τους Η εμπειρία μού έχει δείξει ότι οι μαθητές τελειώνοντας το σχολείο έχουν συγχεχυμένες και ανεπαρκείς γνώσεις πάνω σε αυτό το θέμα Ελπίζω αυτό το πόνημα να στηρίξει το μαθητή/τρια και να τον/την βοηθήσει στο δρόμο προς τις εξετάσεις Εύχομαι επίσης στον/στην συνάδελφο μαθηματικό το βιβλίο αυτό να παρέχει ένα καλό υλικό ώστε να τον βοηθήσει στη διδασκαλία Ιούλιος 06

5 4 Αφιερώνεται στη σύζυγό μου Μαρία

6 5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣσελ 7 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σελ 0 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ σελ 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣσελ 56 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ σελ 66 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΤΥΠΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΡΙΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣσελ 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣσελ 9 ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΟΡΙΩΝ Ισελ 98 ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΜΙΑ ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΙΣ ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣσελ 06 ΕΝΟΤΗΤΑ 0-ΜΟΡΦΗ 0/0σελ ΕΝΟΤΗΤΑ -ΜΟΡΦΗ 0/0 ΣΕ ΑΡΡΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ σελ ΕΝΟΤΗΤΑ -ΔΙΑΤΑΞΗ ΚΑΙ ΟΡΙΑ σελ 7 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΟΡΙΟ ΣΥΝΘΕΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΚΑΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΟΡΙΑ σελ 4 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ σελ 46 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΜΗ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟ ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΚΑΙ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΔΙΑΤΑΞΗΣ σελ 60 ΕΝΟΤΗΤΑ 6-ΟΡΙΟ ΣΤΟ ΑΠΕΙΡΟ σελ 6 ΕΝΟΤΗΤΑ 7-ΟΡΙΟ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σελ 77 ΕΝΟΤΗΤΑ 8-ΣΥΝΕΧΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (ΙΙ) σελ 8 ΕΝΟΤΗΤΑ 9-ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΔΙΑΣΤΗΜΑ ΚΑΙ ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σελ 9 ΕΝΟΤΗΤΑ 0-ΤΟ ΘΕΩΡΗΜΑ BOLZANO σελ 0 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΠΡΟΣΗΜΟ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σελ ΕΝΟΤΗΤΑ -ΣΥΝΟΛΟ ΤΙΜΩΝ ΣΥΝΕΧΟΥΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣσελ ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣσελ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ-ΥΠΟΔΕΙΞΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΩΝσελ 7 ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑσελ 6

7 6

8 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 ΕΝΟΤΗΤΑ η ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η έννοια της συνάρτησης Η συνάρτηση είναι ένα είδος αντιστοιχίας μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων: Όπως βλέπουμε κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχεί σε ένα στοιχείο του Β Ορισμός : Συνάρτηση είναι μία αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων δύο συνόλων Α και Β ώστε κάθε στοιχείο του συνόλου Α να αντιστοιχεί σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β Τις συναρτήσεις συνήθως τις συμβολίζουμε με μικρά ή κεφαλαία γράμματα του λατινικού και ελληνικού αλφαβήτου Σύμφωνα με τον παραπάνω ορισμό η αντιστοιχία στο σχήμα είναι επίσης μία συνάρτηση ενώ οι αντιστοιχίες στα σχήματα και 4 δεν είναι: Σε μία συνάρτηση μπορούν δύο διαφορετικά στοιχεία του συνόλου Α να αντιστοιχούν στο ίδιο στοιχείο του Β

9 8 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει συνάρτηση διότι υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Α που δεν αντιστοιχεί σε κάποιο στοιχείο του συνόλου Β Η αντιστοιχία αυτή δεν παριστάνει συνάρτηση διότι υπάρχει ένα τουλάχιστον στοιχείο του Α που αντιστοιχεί σε περισσότερα από ένα στοιχεία του συνόλου Β Ορισμοί-Συμβολισμοί: Έστω η συνάρτηση f που περιγράφεται στο σχήμα 5:

10 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Αν ΑR τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματικής μεταβλητής Το σύνολο Β ονομάζεται σύνολο αφίξεως της συνάρτησης f Αν ΒR τότε θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι πραγματική Στο σχήμα 5 η f είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής Από εδώ και στο εξής αν δεν αναφέρουμε τίποτα για το σύνολο αφίξεως τότε θα θεωρούμε ότι αυτό είναι το σύνολο R Επειδή στο παράδειγμά μας η συνάρτηση ονομάζεται f και επειδή έχουμε για παράδειγμα την αντιστοιχία 00 τότε θα γράφουμε ότι f()=00 Όμοια ισχύει f()=00 και f()=00 Η αντιστοιχία σε μία συνάρτηση μπορεί να είναι τυχαία όπως στο σχήμα ή να υπάρχει κάποιος μηχανισμός (κανόνας) Στο παράδειγμα του σχήματος 5 αν είναι κάποιος από τους αριθμούς ή τότε αυτός θα αντιστοιχεί στο εκατονταπλάσιό του δηλαδή έχουμε την αντιστοιχία 00 Άρα όπως και στην προηγούμενη παρατήρηση ισχύει ότι f()=00 Πολλές φορές αντί για f() θα γράφουμε y Δηλαδή y=f() ή y=00 Η παράσταση f()=00 ονομάζεται τύπος της συνάρτησης f Το ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ το y ονομάζεται εξαρτημένη Στη θέση του ή του y μπορούμε να χρησιμοποιούμε και άλλα γράμματα πχ S=5t Από τα στοιχεία του Β στο παραπάνω παράδειγμα βλέπουμε ότι μόνο οι αριθμοί και 00 αντιστοιχούν σε στοιχεία του πεδίου ορισμού Το σύνολο { } ονομάζεται σύνολο τιμών και συμβολίζεται με f(a) Δηλαδή f(a)={ } Αν μία συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού το Α και σύνολο αφίξεων το Β τότε το σύνολο τιμών είναι το σύνολο: f(a)={yb/ υπάρχει (τουλάχιστον) ένα A ώστε f()=y} T πεδίο ορισμού δείχνει ποιες τιμές παίρνει η ανεξάρτητη μεταβλητή ενώ το σύνολο τιμών δείχνει ποιες τιμές παίρνει η εξαρτημένη μεταβλητή y Όταν θα λέμε ότι η συνάρτηση είναι «ορισμένη σε ένα σύνολο Γ» θα εννοούμε ότι το Γ είναι υποσύνολο του πεδίου ορισμού της συνάρτησης

11 0 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Συντομογραφία Συνάρτησης Έστω μία συνάρτηση g με πεδίο ορισμού το διάστημα Α=() σύνολο αφίξεως το R και τύπο g()=5 Τότε γράφουμε όλα τα στοιχεία της συνάρτησης ως εξής: g:() R 5 Εναλλακτικά μπορούμε να γράψουμε g()=5 () Παρατήρηση: Μία πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής (από εδώ και στο εξής θα λέμε απλώς «συνάρτηση») καθορίζεται από το πεδίο ορισμού Α και από τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων του συνόλου Α στο σύνολο αφίξεως Β=R το οποίο συνήθως εκφράζεται με έναν τύπο: Πεδίο Ορισμού + Συνάρτηση Τρόπος αντιστοιχίας (τύπος) Σύμβαση: Αν έχουμε μόνο τον τύπο μιας συνάρτησης τότε ως πεδίο ορισμού θα θεωρούμε το σύνολο όλων των πραγματικών αριθμών για το οποίο έχει νόημα ο τύπος f() Χρήσιμος είναι ο παρακάτω πίνακας που δείχνει ποιους περιορισμούς πρέπει να παίρνουμε ώστε να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού: Παράσταση (Α Β πραγματικοί αριθμοί) Περιορισμός (Πρέπει ) A B Β 0 ν Α νn * Α 0 lga ή lna A>0 εφα π A κπ για κάθε κz π (ισοδύναμα Α (κ ) ) σφα Α κπ για κάθε κz

12 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράσταση (Α Β πραγματικοί αριθμοί) Α Β Περιορισμός (Πρέπει ) (Α>0 και ΒR) ή (Α=0 και Β>0) ή (Α<0 και ΒZ) Παραδείγματα: Παράδειγμα : Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο: 5 6 (α) f() (β) g() ln (γ) h()=ln( ) (δ) P()= (ε) Q()=ln(ημ) Λύση: (α) Πρέπει 0 και ( 0) και ( ή ) (0)(0][+) Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο D f =(0)(0][+) (β) Πρέπει >0 και ln 0 Όμως ln 0 ln ln lne ln lne e Άρα D g =[e +) (γ) Πρέπει 0 > ή < Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο D g =()(+) (δ) Πρέπει (>0 και R) ή (=0 και >0) ή (<0 και Z) Η πρώτη περίπτωση δίνει >0 η δεύτερη περίπτωση είναι αδύνατη ενώ η τρίτη περίπτωση παριστάνει όλους τους αρνητικούς ακέραιους Άρα το πεδίο ορισμού είναι το σύνολο D p =(0+){ } (ε) Πρέπει ημ>0 Όμως το ημίτονο παίρνει θετικές τιμές μόνο για τις γωνίες που έχουν τελική πλευρά στο πρώτο ή στο δεύτερο τεταρτημόριο Τέτοιες γωνίες είναι πχ αυτές που ανήκουν στο διάστημα (0π) ή αυτές που ανήκουν στο (ππ) ή αυτές που ανήκουν στο (π π) κτλ

13 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Το πεδίο ορισμού μπορεί να γραφτεί με τους εξής τρόπους: D Q = (π π)(0π)(ππ) ή να γράψουμε D ή μπορούμε ακόμη να γράψουμε Q (κπκπ π) κz D Q ={R/ για κάποιο κz ισχύει (κπ κπ+π) } Παράδειγμα : Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο 5 f() Λύση: Όταν θέλουμε να βρούμε το σύνολο τιμών μιας συνάρτησης τότε ψάχνουμε όλες τις δυνατές τιμές του y για τις οποίες έχει λύση η εξίσωση f()=y ως προς με Α όπου Α το πεδίο ορισμού της συνάρτησης Ουσιαστικά προσπαθούμε με ισοδυναμίες να αναχθούμε από την παράσταση f()=y σε μια παράσταση της μορφής =g(y) με Α και αποτυπώνουμε για ποιες τιμές του y είναι έγκυρη αυτή η ισοδυναμία Η συνάρτηση ορίζεται για άρα Α=()(+) Θέτουμε f()=y: 5 y y y 5 (y ) 5 y () Αν y= τότε η () δίνει 0y= 7 αδύνατο Άρα f(a) 5 y Για y τότε () y Πρέπει να δούμε αν η () επαληθεύεται για κάποια τιμή y όταν = οπότε αυτή την τιμή ίσως πρέπει επίσης να την εξαιρέσουμε 5 y από το σύνολο τιμών: y 5 y 5 y αδύνατο Άρα f(a)=()(+) Για να βρούμε το σύνολο τιμών μίας συνάρτησης f ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: Βρίσκουμε το πεδίο ορισμού A της συνάρτησης f Λύνουμε την εξίσωση y=f() ως προς Δηλαδή προσπαθούμε να αναχθούμε σε μία ή περισσότερες σχέσεις της μορφής =g(y) με A Λύνουμε τον κάθε περιορισμό g(y)a ως προς y Συναληθεύουμε όλες τις περιπτώσεις που ισχύουν για τις τιμές του y

14 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παράδειγμα : Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο: (α) f()=+ με D f =R{} (β) g()= + με D g =R{} Λύση: (α) Θέτουμε y=f() Τότε y f() y y y Λύνοντας την εξίσωση y=f() ως προς δεν προέκυψε κάποιος περιορισμός y Όμως Αν y y 5 Αντίστροφα λύνουμε την εξίσωση f()=5 D f Αν η εξίσωση έχει λύση τότε 5f(D f ) διαφορετικά 5f(D f ) Πράγματι f() 5 5 απορρίπτεται Άρα 5f(D f ) Επομένως f(d f )=R{5}=(5)(5+) (β) Θέτουμε y=g() Τότε y g() y y Από την τελευταία σχέση έπεται ότι y 0y Τότε προκύπτει ότι y y y ή Όμως διακρίνουμε τις εξής περιπτώσεις:

15 4 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ y (i) Αν ισχύει Η περίπτωση αυτή είναι αδύνατη y (ii) Αν ισχύει y y Τότε y 5 Λύνουμε την εξίσωση g()=5 D g Αν η εξίσωση έχει λύση τότε 5g(D g ) διαφορετικά 5g(D g ) Έχουμε ότι g() 5 5 ή Η τελευταία λύση απορρίπτεται λόγω περιορισμών Τελικά ισχύει ότι g() 5 Επομένως 5g(D g ) Ο μόνος περιορισμός που προέκυψε είναι ο y Επομένως το σύνολο τιμών είναι το g(d g )=[+) Παράδειγμα 4: Να βρεθεί το σύνολο τιμών της συνάρτησης με τύπο f() Λύση: Για <: Τότε θέτουμε y=f() y= + =y Επειδή για κάθε < ισχύει 0 έπεται ότι y 0y Ειδικότερα αν: (i) 0 < τότε y Άρα 0 y 0 y y Δηλαδή f([0))=[) (ii) <0 τότε y Τότε y 0 y 0 y 0 y Δηλαδή ισχύει ότι f((0))=(+)

16 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Επομένως f(())= f([0)) f((0))= [) (+)=[+) Για : Τότε θέτουμε y=f()y==y+ Επίσης για κάθε έπεται ότι y+ y 0 Άρα f([+))=[0+) Τελικά το σύνολο τιμών είναι το f(r)=f(())f([+))=[+)[0+)=[0+) Παράδειγμα 5: Δίνεται συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει ότι f(+y)=f()+f(y) για κάθε yr Να δείξετε ότι: (i) f(0)=0 (ii) f(ν )=v f() για κάθε φυσικό αριθμό ν (iii) Η f είναι περιττή Λύση: (i) Για =y=0 η συναρτησιακή σχέση δίνει f(0+0)=f(0)+f(0) f(0)=f(0)+f(0) f(0)=f(0) f(0)=0 (ii) Για ν=0 έχουμε f(0 )=0 f() f(0)=0 ισχύει Έστω ν Τότε έχουμε: f () f () f () f () f () f () f () f () f () f (ν ) f () f (ν ) f () f () f (ν ) f (ν ) f () f () f () f () f (ν ) Άρα f(ν )=(v+) f()f() f(ν )=v f() ν όροι (iii) (Για την υπενθύμιση του ορισμού της περιττής συνάρτησης βλέπε και στην επόμενη ενότητα)

17 6 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Για κάθε R προφανώς ισχύει και ότι R Για y= η συναρτησιακή σχέση δίνει ότι f()=f()+f() f(0)= f()+f() 0=f()+f() f()= f() Επομένως η συνάρτηση f είναι περιττή ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να συγκρίνετε τον ορισμό της συνάρτησης όπως δόθηκε στην η ενότητα και όπως δίνεται στα σχολικά βιβλία της κατεύθυνσης και της γενικής παιδείας (ομοιότητες-διαφορές) ) Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο f () Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές f() f(4) και f(0) ) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων και κατόπιν να γράψετε τον τύπο τους σε απλούστερη μορφή όπου αυτό είναι δυνατό: i) () ii) 4 f 4 iii) h() iv) g() ω() 9 v) f () vi) f () ln( ) vii) f 4 () εφ viii) f 5 () σφ 5 4) Να βρείτε το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων: i) f () ( ) ii) g() ( ) iii) h() ln( )

18 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 5) Έστω η συνάρτηση με τύπο f () Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης και ύστερα να λύσετε την ανίσωση f()<0 6) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης με τύπο f () 7) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 5 f () Να βρείτε το πεδίο συν π ορισμού της συνάρτησης και να υπολογίσετε τις τιμές f(0) f(π) και f ( ) 8) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () Να βρείτε το πεδίο ημ ορισμού της συνάρτησης και να λύσετε την εξίσωση f()= 9) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () ln Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f 0) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f () e πεδίο ορισμού της και να λύσετε την ανίσωση f()>0 Να βρείτε το 5e 6 ) Έστω συνάρτηση f Να λύσετε την ανίσωση f()>0 όταν: i) f () 4 ii) f () iii) f () e ) Να γράψετε τους τύπους των παρακάτω συναρτήσεων χωρίς απόλυτα: i) f () ii) g() 4 iii) () iv) 9 h L()

19 8 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ v) φ() vi) ω() 6 5 ημ ημ vii) m() [0π] ) Να βρείτε το σύνολο τιμών των συναρτήσεων: i) f()=4 ii) iv) () v) f vii) f() ln( ) 4 f () iii) f () f () vi) f () 4) Έστω η συνάρτηση f για την οποία ισχύει f()f()= για κάθε R Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f 5) Έστω η συνάρτηση f:r * IR για την οποία ισχύει f () f για κάθε R * Να βρείτε τη συνάρτηση f 6) Έστω η συνάρτηση f: (0+)R για την οποία ισχύει f(y)=f()+f(y) για κάθε y >0 Να αποδείξετε ότι: i) f()=0 ii) f () f για κάθε >0 iii) f f () f (y) y για κάθε y >0 iv) f( ν )=νf() για κάθε νn v) f ( ν ) f () για κάθε νn με ν ν

20 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΗΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 7) Αν για τη συνάρτηση f:rr ισχύει f() για κάθε R και επιπλέον ισχύει f(+y) f()+f(y) για κάθε y R να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή και έχει τύπο f()= 8) Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το διάστημα Α=[αβ] και σύνολο τιμών το f(a)=[αβ] που ικανοποιούν τη συνθήκη f () f (y) y για κάθε y [αβ]

21 0 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ η ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ορισμός : Έστω μία συνάρτηση f :AR Ως γραφική παράσταση συνάρτησης ή γράφημα συνάρτησης ορίζουμε το σύνολο των σημείων με συντεταγμένες τις μορφής (f()) για κάθε A Το σύνολο αυτό συμβολίζεται με C f Άρα C f ={(f())/ A} Για παράδειγμα η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α={} και τύπο f()=00 (βλ ενότητα η ) θα έχει ως γράφημα το σύνολο C f ={(00) (00) (00)} δηλαδή η γραφική της παράσταση αποτελείται από μόνο σημεία (βλ διπλανό σχήμα) Αν όμως έχουμε τη συνάρτηση g()=00 με [] τότε η γραφική παράσταση θα παριστάνει το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ όπου Α(00) και Γ(00): Τέλος η συνάρτηση h()=00 με R θα έχει ως γραφική παράσταση την ευθεία που ορίζουν τα σημεία Α(00) και Γ(00):

22 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παρατηρήσεις: Α) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης καθορίζεται όχι μόνο από τον τύπο της αλλά και από το πεδίο ορισμού της όπως είδαμε και παραπάνω Β) Υπάρχουν καμπύλες που δεν είναι γραφικές παραστάσεις συναρτήσεων όπως είναι η περίπτωση του κύκλου: Για τον ίδιο λόγο και οι κατακόρυφες ευθείες δεν αποτελούν γραφική παράσταση συνάρτησης Γ) Το πεδίο ορισμού της C f είναι το σύνολο Α των τετμημένων των σημείων της C f Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το διάστημα [αβ]

23 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Δ) Το σύνολο τιμών f(a) είναι το σύνολο των τεταγμένων των σημείων της C f Για παράδειγμα στο διπλανό σχήμα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το διάστημα (αβ] και το σύνολο τιμών είναι το διάστημα f(a)=(γδ] (Παρατηρήστε ότι για το σημείο Δ ισχύει ότι ΔC f ) Ε) Αν η τετμημένη ενός σημείου της C f είναι ίση με τότε η τεταγμένη θα είναι ίση με f( ) Οι συναρτήσεις f και f* Έστω η συνάρτηση f:ar (Α) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση: f: A R f() Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α=[] και τύπο f()= Τότε η συνάρτηση f θα έχει επίσης πεδίο ορισμού το διάστημα Α και τύπο (f)()= f() (f)()= Οι συμβολισμοί f και ΙfI δηλώνουν ονόματα συναρτήσεων

24 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (Β) Ως f ορίζουμε τη συνάρτηση: f : A R f () Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f()= R Τότε η συνάρτηση f θα έχει πεδίο ορισμού το Α=R και τύπο: f () f () ή Παρατηρήσεις: (α) Η C f είναι συμμετρική της C f ως προς τον άξονα : (β) Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από όλα τα σημεία της C f που βρίσκονται πάνω από τον άξονα και από τα συμμετρικά σημεία ως προς τον άξονα όταν αυτά βρίσκονται κάτω από τον άξονα αυτόν

25 4 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Μετατόπιση Συνάρτησης (α) Κατακόρυφη Μετατόπιση Έστω η συνάρτηση f:ar και η συνάρτηση g:ar με τύπο g()=f()+c Τότε η C g προκύπτει από τη C f με μετατόπιση της τελευταίας κατά c μονάδες προς τα πάνω αν c>0 ή κατά c μονάδες προς τα κάτω αν c<0 (β) Οριζόντια Μετατόπιση Έστω f:ar και η συνάρτηση g της οποίας το γράφημα C g προκύπτει από το C f με μετατόπιση του τελευταίου κατά c μονάδες προς τα δεξιά (c>0) Όπως βλέπουμε ισχύει η συνθήκη g(+c)=f() () Αν στην ισότητα () θέσουμε όπου το c τότε προκύπτει ότι g()=f(c) () Συμπεράσματα: Αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε σχέση με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα δεξιά τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g()=f(c) Όμοια αν το γράφημα μίας συνάρτησης g είναι μετατοπισμένο σε σχέση με το γράφημα μίας συνάρτησης f κατά c μονάδες προς τα αριστερά τότε ισχύει η συναρτησιακή σχέση g()=f(+c)

26 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Έστω Β το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g στην πρώτη περίπτωση όπου το γράφημα C g προκύπτει από το C f με μετατόπιση του τελευταίου κατά c μονάδες προς τα δεξιά Από την ισότητα () προκύπτει ότι +cb αν και μόνο αν A Άρα το πεδίο ορισμού Β είναι το σύνολο Β={+c/A} ΆρτιεςΠεριττές συναρτήσεις (α) Άρτιες Συναρτήσεις: Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι άρτια αν και μόνο αν το γράφημά της είναι συμμετρικό ως προς τον άξονα y y Όπως φαίνεται και στο σχήμα μία συνάρτηση f είναι άρτια αν και μόνο αν Για κάθε A τότε A όπου Α είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f Ισχύει ότι f()=f() για κάθε A Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f() με D f =R * =(0)(0+) Τότε για κάθε A ισχύει A και επιπλέον f( ) f() Άρα η f είναι άρτια

27 6 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (β) Περιττές Συναρτήσεις: Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι περιττή αν και μόνο αν το γράφημά της έχει κέντρο συμμετρίας την αρχή Ο των αξόνων Όπως βλέπουμε και στο σχήμα μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α είναι περιττή αν και μόνο αν: Για κάθε A ισχύει A Ισχύει ότι f()= f() για κάθε A Για παράδειγμα έστω η συνάρτηση f () με D f =R * =(0)(0+) Τότε για κάθε A ισχύει A και επιπλέον f( ) f() Άρα η f είναι περιττή Περιοδικές Συναρτήσεις Η έννοια της περιοδικότητας σχετίζεται με την επανάληψη Για παράδειγμα η περιοδικότητα ενός φυσικού φαινομένου έγκειται στην επανάληψή του μετά από ένα σταθερό χρονικό διάστημα Στις συναρτήσεις η περιοδικότητα αναφέρεται στην επανάληψη ενός γραφήματος μετά από Τ μονάδες στον οριζόντιο άξονα είτε προς τα δεξιά είτε προς τα αριστερά:

28 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 Όπως βλέπουμε και από το παραπάνω σχήμα μπορούμε να οδηγηθούμε στον ακόλουθο τυπικό ορισμό: Ορισμός: Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α λέμε ότι είναι περιοδική όταν υπάρχει ένας θετικός αριθμός Τ τέτοιος ώστε να ισχύει: (α) Για κάθε A τότε TA και (β) ισχύει ότι f()=f(+t)=f(t) για κάθε A Ο αριθμός Τ λέγεται (μία) περίοδος της συνάρτησης f Αν υπάρχει ελάχιστος αριθμός Τ ο με τις παραπάνω ιδιότητες τότε ο αριθμός αυτός λέγεται ελάχιστη ή πρωτεύουσα περίοδος της συνάρτησης f Παρατηρήσεις: Μπορεί να αποδειχθεί ότι: Αν Τ είναι μία περίοδος της συνάρτησης f τότε και ο αριθμός ντ είναι επίσης μία περίοδος της συνάρτησης f όπου νn * Αν υπάρχει αριθμός T ώστε να είναι η ελάχιστη περίοδος μίας συνάρτησης f τότε κάθε άλλη περίοδος Τ της συνάρτησης f θα είναι αναγκαστικά φυσικό πολλαπλάσιο του αριθμού Τ ο δηλαδή θα ισχύει ότι Τ=νΤ ο για κάποιο νn * Για παράδειγμα η συνάρτηση f()=ημ με R έχει περιόδους τους αριθμούς π 4π 6π κτλ με ελάχιστη περίοδο τον αριθμό Τ ο =π Γραφικές Παραστάσεις Βασικών Συναρτήσεων A) Ευθεία f()=α+β:

29 8 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Β) Παραβολές: Γ) Η γενική μορφή της κατακόρυφης παραβολής: Στα παρακάτω σχήματα φαίνεται η γραφική παράσταση της παραβολής y=α +β+γ με α0 για τις διάφορες τιμές του συντελεστή α και της διακρίνουσας Δ:

30 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 Τα σημεία τομής με τον αν υπάρχουν είναι οι ρίζες της παραβολής α +β+γ οι οποίες βέβαια είναι οι αριθμοί κορυφή Κ της παραβολής έχει συντεταγμένες β α β Δ K α 4α Δ ενώ η Δ) Η συνάρτηση f()=α α0

31 0 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Ε) Η συνάρτηση f () και f () Η συνάρτηση y έχει ως γραφική παράσταση μέρος παραβολής διότι y y y με y 0 και άρα είναι το θετικό μέρος της παραβολής με εστία E ( 0) και διευθετούσα 4 4 ΣΤ) Οι βασικές τριγωνομετρικές συναρτήσεις:

32 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Η γραφική παράσταση της συνάρτησης y=σφ προέρχεται από τη π γραφική παράσταση της y=εφ με μετατόπισή της κατά μονάδες προς τα δεξιά και ανάκλαση ως προς τον άξονα διότι π π σφ () εφ εφ Ζ) Οι εκθετικές και λογαριθμικές συναρτήσεις:

33 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Παραδείγματα: Παράδειγμα : Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f () Λύση: Έστω η συνάρτηση g() Τότε f()=g() Άρα η C f προκύπτει από τη C g με μετατόπιση της τελευταίας κατά μία μονάδα προς τα δεξιά: Παράδειγμα : Να γίνει η γραφική παράσταση της συνάρτησης f() Λύση: Πρώτα θα γράψουμε τον τύπο της συνάρτηση χωρίς απόλυτα:

34 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ >0> =0= Άρα για (0) τότε f()= ()= + Για [0] τότε f()= ()+= ++= Για (+) τότε f()= += Άρα 0 f 0 Η γραφική παράσταση της συνάρτησης φαίνεται στο διπλανό σχήμα: Παράδειγμα : (α) Να γενικευτεί η συνθήκη ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να έχει άξονα συμμετρίας μία τυχαία κατακόρυφη ευθεία =c (β) Να αποδειχτεί ότι η κατακόρυφη ευθεία = είναι άξονας συμμετρίας της καμπύλης της συνάρτησης του προηγούμενου παραδείγματος Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α τα οποία είναι σημεία μίας καμπύλης C f και τα οποία είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία =c:

35 4 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Όπως φαίνεται και από το παραπάνω σχήμα αν >0 και το σημείο Α(c+ f(c+))c f τότε και το σημείο Α (c f(c))c f Τα δύο σημεία πρέπει να έχουν ίσες τεταγμένες δηλαδή f(c+)=f(c) Γενικά μία συνάρτηση f:ar έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία =c αν και μόνο αν: (i) Για κάθε >0 με c+a τότε ca και (ii) f(c+)=f(c) για κάθε >0 με c+a (β) Έστω >0 Τότε (i) R και (ii) f Ακόμη f Άρα f()=f(+) για κάθε >0 με +R δηλαδή η C f έχει άξονα συμμετρίας την ευθεία = Παράδειγμα 4: (α) Να γενικευτεί η συνθήκη ώστε η καμπύλη μίας συνάρτησης f να έχει κέντρο συμμετρίας ένα τυχαίο σημείο Γ( y ) (β) Να αποδειχτεί ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης με τύπο f() έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ() Λύση: (α) Έστω δύο σημεία Α και Α τα οποία είναι σημεία μίας καμπύλης C f και τα οποία έχουν κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ( y )

36 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 5 Επειδή το σημείο Γ είναι μέσο του ευθύγραμμου τμήματος ΑΑ έπεται ότι : (i) (ii) f () f ( ) y και f ( ) y f () f ( ) y f () f ( ) y f () Γενικά μία συνάρτηση f:ar έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ( y ) αν και μόνο αν: Για κάθε A τότε A και f()+f( )=y για κάθε A (β) (α τρόπος): Σύμφωνα και με το προηγούμενο ερώτημα παρατηρούμε τα εξής: Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f είναι το σύνολο Α=R{} Έστω A Τότε Επιπλέον Επομένως έχουμε: δηλαδή A Άρα: Για κάθε A τότε A και Για κάθε A έχουμε ότι: f () f ( ) y όπου y Επομένως η C f έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Γ() (β τρόπος): Θεωρούμε τη συνάρτηση με τύπο g() η οποία έχει κέντρο συμμετρίας το σημείο Ο(00) Επειδή f()=g()+ έπεται ότι η C f

37 6 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ προκύπτει από τη C g με μετατόπιση της τελευταίας κατά μία μονάδα προς τα δεξιά και δύο μονάδες προς τα επάνω Με τον ίδιο τρόπο μετατοπίζεται και το κέντρο συμμετρίας και άρα η νέα θέση του έχει συντεταγμένες () Παράδειγμα 5: Δίνεται η συνάρτηση f()= και η συνάρτηση g()= Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της C f και Β μεταβλητό σημείο της C g να υπολογιστεί η ελάχιστη απόσταση ΑΒ Λύση: Αν Α είναι σημείο της C f τότε θα έχει συντεταγμένες της μορφής Α( ) Θέτουμε επίσης y= y=0 Η ελάχιστη απόσταση ΑΒ αντιστοιχεί στην ελάχιστη απόσταση του σημείου Α από την ευθεία ε: y=0 όπως φαίνεται και από το σχήμα παρακάτω: Έχουμε AB d(a ε) Δ0 Δηλαδή d Η ελάχιστη τιμή της d αντιστοιχεί στην ελάχιστη τιμή

38 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 7 του αριθμητή η οποία υπολογίζεται από τον τύπο d min Δ 4α Δ Άρα 4α ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α φαίνεται στο διπλανό σχήμα: i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού Α και το σύνολο τιμών f(a) ii) Να γράψετε τις τιμές των f() f(0) f() f(4) και f(5) iii) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης αν επιπλέον γνωρίζετε ότι η καμπύλη της f για (5) είναι μέρος (κατακόρυφης) παραβολής iv) Να λύσετε τις εξισώσεις f()= και f()= v) Να λύσετε τις ανισώσεις f() 0 f() ) Έστω η συνάρτηση με τύπο f()=αln()+β της οποίας η γραφική παράσταση τέμνει τον στον αριθμό e+ και επιπλέον διέρχεται από το σημείο Α() (α) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης (β) Να βρείτε τους αριθμούς α και β (γ) Να βρείτε το σημείο της C f με τεταγμένη 5 ) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: (α) y= + (β) y= +4 (γ) y= +54 (δ) y=(+) (ε) y=e - + (στ) y

39 8 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ (ζ) y 4) Να σχεδιάσετε τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f g()= f() h()=f() () f i) () m ii) f () g()= f(+) h()=f() iii) f()=ln g() ln () ln h k()=ln() () ln m 5) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των παρακάτω συναρτήσεων και ύστερα να προσδιορίσετε από αυτή το σύνολο τιμών: (α) (γ) e f () ημ h() (δ) 0 0 f () (β) (ε) g() g() (ζ) h() 6) Να γράψετε τον τύπο της συνάρτησης που έχει την παρακάτω γραφική παράσταση:

40 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 9 7) Έστω η συνάρτηση f () αν άρτιος αν περιττός Να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική συνάρτηση και να χαράξετε τη γραφική της παράσταση 8) Να προσδιορίσετε αν υπάρχουν σημεία τομής των αξόνων με τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: (α) (δ) f () f () 4 (β) 5 f () (γ) f () 9 (ε) f () συν (στ) f()=ημ (ζ) f () 4 (η) f()=9 9) Να προσδιορίσετε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων: (α) f()=() και g() (β) f()= και g()=4 (γ) f()= και g()= (δ) f () και g()= (ε) f()=ln και g()= Να λύσετε την ανίσωση ln 0) Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f και με τη βοήθεια της να βρείτε το σύνολο τιμών: (α) f () (β) (γ) f () ln f ()

41 40 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού η C f βρίσκεται πάνω από τον άξονα : (α) f () (β) f () 7 6 e () (γ) ln f ) Να βρείτε για ποιες τιμές του πραγματικού αριθμού η C f βρίσκεται κάτω από τον άξονα : (α) f()=()( +)( 4+) (β) f()=ln(+) ) Να βρείτε τον τύπο των συναρτήσεων των οποίων η γραφική παράσταση φαίνεται στα σχήματα παρακάτω: (A) (B) (Γ) (Δ) 4) Να εξετάσετε αν οι παρακάτω συναρτήσεις είναι άρτιες ή περιττές: (α) ημ () (β) 4 f f () 4 6

42 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 (γ) f () 4 ημ 4 ημ (ε) f () ln 0 0 (δ) 5 f () 5 5) Δίνεται η συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει f(+y)=f()+f(y) Να αποδείξετε ότι: (α) f(0)=0 (β) Η f είναι περιττή 6) Δίνεται η συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει ότι f() 0 για κάθε R και επιπλέον f(+y)+f(y)=f()f(y) για κάθε yr Να αποδείξετε ότι: (α) f(0)= και (β) η f είναι άρτια 7) Δίνεται η συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει f () f ( ) e e για κάθε R Να αποδείξετε ότι η f είναι άρτια και ύστερα να βρείτε τον τύπο της 8) Δίνεται η συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει f()+f()=πημ(+π) για κάθε R (α) Να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή (β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f (γ) Να χαράξετε τη γραφική της παράσταση και να βρείτε το σύνολο τιμών της 9) Να αποδείξετε ότι οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων f α ()=(α) +α(α) αr διέρχονται από δύο σταθερά σημεία Ποια είναι η απόσταση αυτών των σημείων; 0) Δίνεται η συνάρτηση f:r * R για την οποία ισχύει f f () 8 για κάθε R * (α) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης (β) Να σχεδιάσετε τη γραφική της παράσταση (γ) Να βρείτε το σύνολο τιμών της από τη γραφική παράσταση

43 4 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ) Δίνεται η συνάρτηση f()= και η συνάρτηση g()= Να βρείτε το σημείο ΜC f το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη C g Να υπολογίσετε αυτή την απόσταση ) Δίνεται η συνάρτηση f()= και η συνάρτηση g()=+ Να βρείτε το σημείο ΜC f το οποίο απέχει την ελάχιστη απόσταση από τη C g Να υπολογίσετε αυτή την απόσταση ) Έστω η συνάρτηση f()= και ο κύκλος με εξίσωση (y ) 4 Αν Α είναι μεταβλητό σημείο της C f και Β μεταβλητό σημείο που διατρέχει τον κύκλο να βρείτε τις τετμημένες του σημείου Α για τις οποίες η απόσταση ΑΒ γίνεται ελάχιστη Να υπολογίσετε επιπλέον την ελάχιστη απόσταση Α

44 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 4 ΕΝΟΤΗΤΑ η ΙΣΟΤΗΤΑ-ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Ισότητα Συναρτήσεων Όπως έχουμε δει μία πραγματική συνάρτηση καθορίζεται από δύο παράγοντες: το πεδίο ορισμού και τον τρόπο αντιστοιχίας των στοιχείων του πεδίου ορισμού στο σύνολο αφίξεως Άρα οδηγούμαστε στον παρακάτω ορισμό που μας επιτρέπει να ταυτίσουμε δύο συναρτήσεις: Ορισμός: Δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού Α και Β αντίστοιχα είναι ίσες αν και μόνο αν: Α=Β και ισχύει f()=g() για κάθε A(=B) Τότε θα γράφουμε ότι f=g Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τις συναρτήσεις f()= 5+6 και g()= 6 +6 με κοινό πεδίο ορισμού το σύνολο Α={} Εύκολα παρατηρούμε ότι f()=g() και f()=g() Άρα ισχύει f()=g() για κάθε A και κατά συνέπεια ισχύει ότι f=g Αν Γ είναι ένα υποσύνολο των συνόλων Α και Β κατά συνέπεια είναι ΓΑΒ και επιπλέον ισχύει ότι f()=g() για κάθε Γ τότε θα λέμε ότι οι συναρτήσεις f και g είναι ίσες στο Γ (f=g στο Γ) Για παράδειγμα έστω οι συναρτήσεις f()= με A f =() και g() με Α g =R Τότε για Γ=[0) ισχύει ότι g() f () Άρα f=g στο Γ 0 Πράξεις Συναρτήσεων Πριν μιλήσουμε για τις πράξεις δύο συναρτήσεων ας δούμε τι είναι στην πραγματικότητα η πράξη δύο αριθμών Η πρόσθεση για παράδειγμα δύο αριθμών είναι η διαδικασία με την οποία επιλέγουμε δύο αριθμούς και

45 44 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ παίρνουμε έναν τρίτο αριθμό Πράγματι αν επιλέξουμε τους αριθμούς 5 και τότε παίρνουμε τον αριθμό 8 (5+=8) Έτσι λοιπόν και η πράξη δύο συναρτήσεων συνιστά κατ αναλογία μία διαδικασία με την οποία επιλέγουμε δύο συναρτήσεις και παίρνουμε μία τρίτη Παρακάτω θα θεωρούμε δύο συναρτήσεις f και g με πεδίο ορισμού τα σύνολα Α και Β αντίστοιχα με ΑΒ Η Πράξη της Πρόσθεσης: Έστω η συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το σύνολο ΑΒ ώστε να ισχύει: h: AB R f()+g() Τότε η h θα λέγεται πρόσθεση των f και g και θα συμβολίζεται ως f+g δηλαδή h=f+g Άλλες Πράξεις: Όμοια ορίζονται οι συναρτήσεις-πράξεις: (i) της αφαίρεσης : (ii) (iii) fg: AB R f()g() του πολλαπλασιασμού: fg: AB R f()g() της διαίρεσης: f : g Γ R f () g() όπου Γ A B/ g() 0 Οι πράξεις της πρόσθεσης και του πολλαπλασιασμού δύνανται να επεκταθούν και σε περισσότερες από δύο συναρτήσεις Αν για παράδειγμα έχουμε ακόμα μία συνάρτηση h με πεδίο ορισμού το Δ τότε ορίζεται η συνάρτηση:

46 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 45 f+g+h: ABΔ R f()+g()+h() Να τονίσουμε ότι οι συμβολισμοί f+g fg κτλ δηλώνουν ονόματα συναρτήσεων Παράδειγμα : Έστω οι συναρτήσεις f()= 4 με πεδίο ορισμού το Α=(0) και g()= 5+6 με πεδίο ορισμού το Β= R {6} Να f οριστεί η συνάρτηση g Λύση: Η συνάρτηση g f ορίζεται ως εξής: f : g Γ R f () g() όπου Γ A B/ g() 0 Όμως ΑΒ=(6)(60) (γιατί;) Ακόμη g()=0 = ή = Άρα Γ= ΑΒ{}=()(6)(60) Για κάθε Γ η συνάρτηση έχει τύπο: f g f () g() 4 ( )( ) 5 6 ( )( ) Η Πράξη της Σύνθεσης Συναρτήσεων: Ας θεωρήσουμε την διαδοχική αντιστοιχία μεταξύ τριών συνόλων Α Β και Γ η οποία επιτυγχάνεται με τη βοήθεια δύο συναρτήσεων f και g (βλ διπλανό σχήμα):

47 46 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ Η f έχει πεδίο ορισμού το D f =A={4} Η g έχει πεδίο ορισμού το σύνολο D g ={ } f g Βλέπουμε ότι 00 5 και 00 0 Άρα με τη βοήθεια των f g ο αριθμός μπορεί να αντιστοιχηθεί στο 5 και ο αριθμός στο 0 Με αυτό τον τρόπο φτιάχνουμε μία νέα συνάρτηση που ονομάζεται gf: Παρατηρούμε ότι (gf)()=5 αλλά και g(00)=5g(f())=5 Άρα (gf)()= g(f()) f g Γενικότερα ισχύει ότι (gf)()= g(f()) για κάποιες τιμές του D f όχι κατ ανάγκη όλες Η συνάρτηση gf διαβάζεται σύνθεση της f με τη g και μάλιστα παίζει ρόλο η σειρά με την οποία αναφέρουμε τις συναρτήσεις Πρώτη αναφέρουμε εκείνη τη συνάρτηση της οποίας το πεδίο ορισμού δίνει τιμές στο Για παράδειγμα όταν αναφερόμαστε στη gf ισχύει ότι D gf D f Όμοια ισχύει ότι D fg D g Στο προηγούμενο παράδειγμα βλέπουμε ότι μόνο οι αριθμοί και έχουν αντιστοιχία με στοιχεία του Β (δηλαδή τους αριθμούς 00 και 00) τα οποία με τη σειρά τους μπορούν να αντιστοιχηθούν στο Γ Δηλαδή από το πεδίο ορισμού της f παίρνουμε μόνο αυτά τα για τα οποία ισχύει ότι τα αντίστοιχα f() ανήκουν στο πεδίο ορισμού της g Άρα D gf ={D f / f()d g } Ας δούμε τώρα την παρακάτω αντιστοιχία:

48 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 47 Σε αυτή την αντιστοιχία βλέπουμε ότι κανένα στοιχείο του Α δεν μπορεί να αντιστοιχηθεί με τη βοήθεια των f και g στους αριθμούς 50 και 48 του Γ διότι το σύνολο τιμών της f δεν έχει κανένα κοινό στοιχείο με το πεδίο ορισμού της g Για να ορίζεται η gf πρέπει να ισχύει ότι f(d f )D g Στη σύνθεση gf η f θα λέγεται εσωτερική συνάρτηση και η g εξωτερική συνάρτηση ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ Παράδειγμα : Δίνονται οι συναρτήσεις Να εξεταστεί αν ισχύει η ισότητα gf=fg f() και g()=ln Λύση: Είναι D f = R * και D g =(0+) Εύρεση της gf: Για το πεδίο ορισμού της gf θα πρέπει να ισχύουν οι περιορισμοί: (D f και f() D g ) ( 0 και 0 ) >0 Άρα

49 48 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ D gf =(0+) H gf έχει τύπο ( gf )() gf () g ln ln Εύρεση της fg: Για το πεδίο ορισμού της fg θα πρέπει να ισχύουν οι περιορισμοί: (D g και g()d f ) (>0 και ln 0) (>0 και ) Άρα D fg =(0)(+) Αφού D gf D fg τότε έπεται ότι (fg) (gf) H fg έχει τύπο ( fg)() f (g()) f ln ln Ως γενικό συμπέρασμα μπορούμε να πούμε ότι στην πράξη της σύνθεσης δεν ισχύει η αντιμεταθετική ιδιότητα Ισχύει όμως η προσεταιριστική ιδιότητα δηλαδή f(gh)=(fg)h Παράδειγμα : Να βρεθεί συνάρτηση f ώστε να ισχύει f( +)= R () Λύση: Θέτουμε u= + =u Επίσης η u έχει σύνολο τιμών το [+) Επομένως ισχύει η ισοδυναμία: (f( +)= για κάθε R) (f(u)=u για κάθε u ) Άρα μία συνάρτηση που ικανοποιεί τη συνθήκη () είναι η f()= με Να τονίσουμε ωστόσο ότι η f δεν είναι μοναδική Για παράδειγμα κάθε συνάρτηση f της μορφής: () f g() [ ) B όπου g είναι μία τυχαία συνάρτηση που ορίζεται σε ένα σύνολο Β() ικανοποιεί επίσης τη συνθήκη () Πράγματι: f ( ) ( ) Άρα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη ()

50 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 49 Παράδειγμα 4: Έστω συνάρτηση f:rr ώστε να ισχύει f () για κάθε R (α) Να αποδειχτεί ότι υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν την παραπάνω συνθήκη (β) Να γραφτεί ο τύπος της συνάρτησης f αν είναι γνωστό ότι ισχύει η ισοδυναμία f()>0 Λύση: Έχουμε f () f () f () f () ή f () (Το αποτέλεσμα της προηγούμενης γραμμής δεν πρέπει να μας οδηγεί στο λανθασμένο συμπέρασμα ότι η συνάρτηση f έχει δύο δυνατούς τύπους μόνο Αυτό που δηλώνει η παράσταση «f ( ) ή f ( )» είναι δύο δυνατές αντιστοιχίες που μπορεί να έχει η ανεξάρτητη μεταβλητή : ή Αυτή η διπλή δυνατότητα αντιστοιχίας μπορεί να ενυπάρχει συγχρόνως στην ίδια συνάρτηση όπως φαίνεται και στο διπλανό βελοδιάγραμμα) Επομένως υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f που ικανοποιούν τη συνθήκη f () R και οι οποίες έχουν τύπο της γενικής μορφής: f () A με AB= και ΑΒ=R B (Για παράδειγμα δύο συναρτήσεις που ικανοποιούν τη συνθήκη f ( ) R είναι οι εξής:

51 50 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ [ ] f ( ) και ( ) ( ) π f( ) Ο R) (β) Επειδή ισχύει 0 R και 0 R έπεται ότι f()0 και από υπόθεση προκύπτει ότι για f () 0 f () Επίσης από υπόθεση προκύπτει ότι f()<0 δηλαδή ότι f () Επομένως έχουμε ότι f () αν αν Παράδειγμα 5: Να βρεθεί συνάρτηση f ώστε να ισχύει: (i) (fg)()= +6 R με g()= (ii) (fg)()=+5 0 με g()= Λύση: (i) Θέτουμε u=g() (την εσωτερική συνάρτηση) Τότε έχουμε u u Επειδή (fg)()=f(g()) και επειδή η u=g()= έχει σύνολο τιμών το R έπεται ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της f θα δέχεται ως τιμές οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό δηλαδή θα ισχύει ότι D f =R Επίσης έχουμε: (fg)() 6 f g() 6 g() u u f u (u ) (u ) 6 f (u) u u Επομένως βρήκαμε μοναδική συνάρτηση την f () R

52 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 (ii) Θέτουμε u=g() (την εσωτερική συνάρτηση) Τότε έχουμε u u u 0 Το σύνολο τιμών της u=g() είναι το σύνολο [0+) Τότε για u=g() 0 έχουμε ότι : (fg)() 5 f g() u u g() 5 f (u) u 5 για κάθε u 0 Επειδή το σύνολο τιμών της εσωτερικής συνάρτησης u=g() είναι το [0+) και όχι το R όπως στο προηγούμενο παράδειγμα αυτό σημαίνει ότι η f μπορεί να οριστεί ελεύθερα και για τις υπόλοιπες τιμές στο διάστημα (0) Στην πραγματικότητα υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις f που ικανοποιούν τη συνθήκη της εκφώνησης και όλες αυτές έχουν τύπο της γενικής μορφής 5 f () h() αν 0 όπου h() μία αν B οποιαδήποτε συνάρτηση που μπορεί να οριστεί σε σύνολο Β με B(0) (Για παράδειγμα αν λάβουμε υπόψη τις συναρτήσεις: 5 f ( ) αν 0 αν 0 5 αν 0 f ( ) και αν f ( ) τότε για όλες αυτές τις συναρτήσεις 00 8 ισχύει η συνθήκη της εκφώνησης)

53 5 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ) Να εξετάσετε σε ποιες από τις παρακάτω περιπτώσεις ισχύει f=g Στην περίπτωση που ισχύει f g να προσδιορίσετε το ευρύτερο υποσύνολο του R για το οποίο ισχύει f()=g(): i) iii) f και g ii) f () iv) f και g () και f και g() v) f ln και g ln vi) f και g g() vii) και g f 4 viii) f()=ημ και g()=συν(π) ) Να βρείτε τις συναρτήσεις f+g fg g f : i) και g f ii) f και g 6 9 iii) f και g iv) 0 f () και 0 4 g () 0 ) Να ορίσετε τις συναρτήσεις fg και gf στις παρακάτω περιπτώσεις:

54 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 5 i) f και g ii) f () και g() iii) f()= και g() iv) f () και g() 4 0 v) f και 0 g (μόνο τη gf) 4) Να εκφράσετε τη συνάρτηση f ως σύνθεση δύο ή περισσοτέρων συναρτήσεων: i) f()=ημ( ) ii) f()= συν (5)+4 iii) f()=ln(εφ(+))) iv) f()= με >0 v) f vi) f () 5 5 5) Δίνεται η συνάρτηση f:rr και οι συναρτήσεις g (f () f ( )) h (f () f ( )) IR α) Να δείξετε ότι η g είναι άρτια και η h περιττή β) Να αποδείξετε ότι η f γράφεται ως άθροισμα μίας άρτιας και μίας περιττής συνάρτησης 6) Έστω οι συναρτήσεις f:ar και g:br ώστε f(a)b α) Να δείξετε ότι αν η f είναι άρτια τότε και η gf είναι άρτια β) Να δείξετε ότι αν η f είναι περιττή και η g άρτια τότε η gf είναι επίσης άρτια 7) Αν για τη συνάρτηση f:rr ισχύει ότι fg=gf για κάθε σταθερή συνάρτηση g τότε ισχύει ότι f()= για κάθε R

55 54 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 8) Έστω η συνάρτηση f:rr και α β δύο σταθεροί αριθμοί Αν για κάθε σταθερή συνάρτηση g ισχύει (fg)()=α(gf)()+β τότε να αποδείξετε ότι f()=α+β 9) Αν f () τότε να βρείτε τη συνάρτηση f f f f ν το πλήθος 0) Έστω οι συναρτήσεις f g και φ που έχουν πεδίο ορισμού το Α=R Αν ισχύει ότι fg=gφ=ι όπου Ι()= συνάρτηση) τότε να δείξετε ότι f=φ για κάθε R (ταυτοτική ) Δίνεται η συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει (ff)()=4 και (fff)()=8+λ για κάθε R Να αποδείξετε ότι λ 7 και να προσδιορίσετε τον τύπο της συνάρτησης f ) Δίνεται η συνάρτηση g()= +α+β R και μία συνάρτηση f:rr για την οποία ισχύει (i) fg=gf και (ii) ισχύει η ισοδυναμία f()= =ξ (α) Να δείξετε ότι (α) 4β (β) Αν επιπλέον ισχύει η ισοδυναμία f()=ξ =ξ τότε να δείξετε ότι (α) =4β ) Έστω συνάρτηση f:rr και αριθμός αr * ώστε να ισχύει (ff)()=f()+α για κάθε R Να βρείτε την τιμή f(0) 4) Να βρείτε συνάρτηση f ώστε να ισχύει: (i) (fg)()= + για κάθε R με g()= (ii) ( fg)() για κάθε R με g()=

56 ΕΝΟΤΗΤΑ -ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΑΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 55 (iii) ( gf )() ημ για κάθε R με g() (iv) f(e )= +4 για κάθε R (v) f(5+ln)= ln+ για κάθε >0 (vi) (fg)() για κάθε >0 με και g()=ln Σε κάθε περίπτωση να εξετάσετε αν η f είναι μοναδική 5) (i) Έστω δύο συναρτήσεις g και h με κοινό πεδίο ορισμού Α ώστε η g να είναι άρτια ενώ η h να μην είναι Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f τέτοια ώστε (fg)()=h() (ii) Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f ώστε να ισχύει f( +)= για κάθε R

57 56 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4 η (ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ-ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ) A) Μονοτονία Συνάρτησης: Ορισμός: Μία συνάρτηση f λέμε ότι είναι γνησίως αύξουσα (αντ γν φθίνουσα) σε ένα διάστημα Δ όταν για κάθε Δ με < να ισχύει ότι f( )<f( ) (αντ f( )>f( )) Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστημα Δ τότε γράφουμε «f<δ» και αντίστοιχα αν f γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ τότε θα γράφουμε «fδ» Αν μία συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα ή γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ τότε θα λέμε ότι η f είναι γνησίως μονότονη στο Δ σχ

58 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 57 σχ Επεκτάσεις του ορισμού: Η έννοια της γνησίως μονότονης ή γνησίως φθίνουσας συνάρτησης δύναται να επεκταθεί και σε σύνολα που δεν είναι διαστήματα Αν η f ορίζεται σε ένα σύνολο Α και ισχύει ότι για κάθε Α με < ισχύει ότι f( ) f( ) τότε θα λέμε ότι η f είναι αύξουσα στο Α και θα γράφουμε «f Α» Με ανάλογο τρόπο ορίζεται και η φθίνουσα συνάρτηση στο Α και σε αυτή την περίπτωση γράφουμε «f A» Β) Ακρότατα Συνάρτησης: Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α Τότε θα λέμε ότι η f: παρουσιάζει (ολικό) μέγιστο στο A το f( ) όταν f() f( ) A (σχ ) Το λέγεται θέση μεγίστου ενώ το f( ) λέγεται μέγιστη τιμή παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο A το f( ) όταν f() f( ) A (σχ 4) Το λέγεται θέση μεγίστου ενώ το f( ) λέγεται μέγιστη τιμή

59 58 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ σχ σχ4 Παραδείγματα: Παράδειγμα 4: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση με τύπο e f () 0 0

60 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 59 Λύση: Για Για 0 e e f ( ) f ( ) f<(0) 0 f () f ( f[0+) ) Ως προς τα ακρότατα παρατηρούμε πρωτίστως ότι f(0)=0 = Για <0e <e 0 e <f()<f(0) Για f() f(0) Άρα R ισχύει ότι f() f(0) Ο αριθμός =0 είναι θέση μεγίστου και η μέγιστη τιμή ισούται με f(0)= Παράδειγμα 4: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f()=συν R Λύση: Γνωρίζουμε ότι στο διάστημα [0π] η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα ενώ στο [ππ] είναι γνησίως αύξουσα Η f όμως είναι περιοδική με περίοδο Τ=π Άρα σε κάθε διάστημα της μορφής [κπ+0κπ+π] όπου κz η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα ενώ σε κάθε διάστημα της μορφής [κπ+πκπ+π]= [κπ+ππ(κ+)] όπου κz η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα

61 60 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ Στο [0π] η f παρουσιάζει μέγιστο στους αριθμούς =0 και =π Άρα λόγω της περιοδικότητας η f θα παρουσιάζει μέγιστο σε κάθε αριθμό =κπ (μορφή ) και σε κάθε αριθμό =κπ+π=π(κ+) (μορφή ) κz Όμως στη δεύτερη μορφή αν θέσουμε λ=κ+ τότε η ισότητα ανάγεται στη μορφή =λπ Όταν το κ διατρέχει όλο το Z τότε και ο λ διατρέχει επίσης το όλο το Z Δηλαδή οι μορφές και είναι ισοδύναμες και επομένως χρησιμοποιούμε μόνο τη μία από τις δύο Άρα κάθε αριθμός της μορφής =κπ κz είναι θέση μεγίστου και η μέγιστη τιμή ισούται με f( )=συν(κπ)=συν(κπ+0)=συν0= Στο [0π] η f παρουσιάζει ελάχιστο στον αριθμό =π το οποίο ισούται με συνπ συν(π 0) συν0 Λόγω της περιοδικότητας κάθε αριθμός της μορφής =κπ+π κz είναι επίσης θέση ελαχίστου Παράδειγμα 4: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f()= 5 R Λύση: Για R με < 5 < 5 f( )<f( ) Άρα f< R Κατά συνέπεια η f δεν έχει ακρότατα στο R

62 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Παράδειγμα 44: Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τη συνάρτηση f()= [] Λύση: Με ανάλογο τρόπο προκύπτει ότι f<[] Για f γναύξ f () f () f () f () 7 Η f παρουσιάζει ελάχιστο για = την τιμή f()= και μέγιστο για = την τιμή f()=7 Λόγω μονοτονίας οι θέσεις ακροτάτων είναι και μοναδικές Παρατηρούμε από τα δύο τελευταία παραδείγματα ότι τα ακρότατα εξαρτώνται όχι μόνο από τον τύπο της συνάρτησης αλλά και από το πεδίο ορισμού της ΑΣΚΗΣΕΙΣ 4) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τις παρακάτω συναρτήσεις: (i) f () (ii) f()=ln()4 (iii) f () (iv) 4 f () 5 >0 5 (v) f () 4e (vi) f()=() + (vii) f()=5+λ() λr 4) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 0 f () 0 (α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (0] (0) και [+) (β) Να εξετάσετε τη μονοτονία της f στο R

63 6 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο 0 0 f () (α) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης στα διαστήματα (0] (0] και (+) (β) Είναι η συνάρτηση γνησίως φθίνουσα στο R; 44) Να μελετήσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα (θέση και τιμή): (i) 7 4 () f (ii) 5 () f (iii) f()=() 06 (iv) f()=ln()+ (v) f()=ημ4 (vi) f()=(4) 05 + (vii) () f (viii) 0 0 () f (i) () f () 0 ) ( f ()

64 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6 Επιπλέον να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση των συναρτήσεων στα τρία τελευταία ερωτήματα 45) Για τις διάφορες τιμές του λr * να βρείτε το μέγιστο ή το ελάχιστο της συνάρτησης με τύπο f()=λ λ+4 46) Να βρείτε τον αριθμό kr * ώστε η συνάρτηση f() k k να έχει μέγιστο τον αριθμό k 47) Να βρείτε το θετικό αριθμό k ώστε η συνάρτηση f () k k k να έχει ελάχιστο τον αριθμό μηδέν 48) Δίνεται η συνάρτηση με τύπο f()= (k+)+k R Να αποδείξετε ότι για κάθε kr η γραφική παράσταση της f τέμνει τον σε δύο διαφορετικά σημεία A( 0) και Β( 0) Να βρείτε για ποια τιμή του kr η παράσταση Γ= ( + )+ ( + ) παίρνει την ελάχιστη τιμή της Ποια είναι αυτή η τιμή; 49) Να εξετάσετε τη μονοτονία της συνάρτησης: (i) f στο διάστημα Δ αν η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ (ii) f+g στο διάστημα Δ αν οι f και g είναι γνησίως αύξουσες στο Δ (iii) fg στο διάστημα Δ αν οι f και g είναι γνησίως φθίνουσες στο Δ με f() 0 και g() 0 στο ίδιο διάστημα (iv) της gf στο R αν η f < R και gr 40) Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις: (i) +4 =5 (ii) 5 + = (iii) (v) α +(α)=α όπου α> e e (iv) ln=()

65 64 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4) Έστω η συνάρτηση f()= ++ln (α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (β) Να λύσετε την εξίσωση 6 + =ln 4) Έστω οι συναρτήσεις fg: (0+) R με τύπους f () e και g() (α) Να δείξετε ότι η fg είναι γνησίως αύξουσα (β) Να δείξετε ότι οι C f και C g έχουν ένα ακριβώς κοινό σημείο 4) Να λύσετε τις παρακάτω ανισώσεις: (i) +4 <5 (ii) 5 + > (iii) e e (iv) ln>() (v) α +(α) α όπου α> (vi) e +< (vii) για >0 44) Έστω η συνάρτηση f:[0+) με τύπο f () (α) Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα (β) Να αποδείξετε ότι για κάθε α βr ισχύει η σχέση α β α β α β α β 45) Στα παρακάτω σχήματα δίνονται τα σημεία Α( y ) Β( y ) και Γ( y ) Να εξετάσετε τις παρακάτω συναρτήσεις ως προς τα ακρότατα (θέση και τιμή):

66 ΕΝΟΤΗΤΑ 4-ΜΟΝΟΤΟΝΙΑ ΚΑΙ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 65

67 66 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5 η Συναρτήσεις - Αντίστροφες Συναρτήσεις Α) Συναρτήσεις - Έστω οι συναρτήσεις f g του παρακάτω σχήματος: Στην περίπτωση της f παρατηρούμε ότι για ισχύει ότι f ( ) f( ) ενώ δεν συμβαίνει αυτό στην περίπτωση της g διότι για παράδειγμα ισχύει ότι αλλά g()=g()=00 Δίνουμε τον παρακάτω ορισμό: για κάθε Α με ισχύει ότι f ( ) f( ) Ορισμός: Μία συνάρτηση f:ar θα λέγεται -(ένα προς ένα) αν Με απαγωγή σε άτοπο αποδεικνύεται η παρακάτω πρόταση: Πρόταση: Μία συνάρτηση f:a R είναι - αν και μόνο αν για κάθε Α ισχύει η συνεπαγωγή (f( )=f( ) = ) Προσοχή!!! : Η αντίστροφη συνεπαγωγή δηλαδή η συνεπαγωγή ( = f( )=f( )) ισχύει σε κάθε συνάρτηση όχι μόνο στις - Παραδείγματα: Παράδειγμα 5: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f: [0+ ) R με f()= είναι -

68 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 67 Λύση: Πράγματι έστω [0+ ) με f( )=f( ) Τότε: f ( 0 ) f ( ) Παράδειγμα 5: Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f:rr με f()= δεν είναι - Λύση: Πράγματι ισχύει αλλά f()=f()= Συμπέρασμα: Όχι μόνο ο τύπος αλλά και το πεδίο ορισμού καθορίζουν αν μία συνάρτηση είναι - ή όχι Παρατηρήσεις: Έστω τώρα η συνάρτηση f του πρώτου σχήματος: (α) Αν επιλέξουμε y=00 τότε η εξίσωση f()=00 έχει μοναδική λύση τη = Γενικά αν μία συνάρτηση f:a R είναι - τότε η εξίσωση f()=y έχει μοναδική λύση ως προς για κάθε yf(a) (β) Επειδή σε μία συνάρτηση - δύο διαφορετικά αντιστοιχούν σε δύο διαφορετικά «y» τότε οποιαδήποτε οριζόντια ευθεία θα τέμνει τη C f σε ένα το πολύ σημείο

69 68 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (γ) Αν μία συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη τότε προφανώς θα είναι - το αντίστροφο δεν ισχύει πάντα όπως φαίνεται και στο διπλανό σχήμα: Β) Αντίστροφη συνάρτηση Έστω οι συναρτήσεις f και g του παρακάτω σχήματος: Ας ονομάσουμε f και g τις αντιστοιχίες που προκύπτουν από τις f και g αν αντιστρέψουμε τη φορά των βελών:

70 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 69 Παρατηρούμε ότι η g δεν είναι - και ότι η αντιστοιχία είναι συνάρτηση Παρατηρούμε ότι η f είναι - και ότι η αντιστοιχία συνάρτηση Σε αυτή την περίπτωση η f g δεν f είναι λέγεται αντίστροφη συνάρτηση της f Παρατηρείστε ότι πχ f()=00 και f (00) Γενικά έχουμε τον παρακάτω ορισμό: Ορισμός: Έστω μία συνάρτηση f - η οποία περιγράφεται από την αντιστοιχία: f: A R y Τότε ορίζεται μία συνάρτηση η οποία συμβολίζεται ως περιγράφεται από την αντιστοιχία: f : f(a) R y f και Η συνάρτηση αυτή λέγεται αντίστροφη της f Παρατηρήσεις: (α) Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι η αντίστροφη της f είναι η f δηλαδή f f (β) Το πεδίο ορισμού της τιμών της f f είναι το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο τιμών της f και το σύνολο

71 70 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ (γ) Ισχύει ότι f()=y αν και μόνο αν f (y) : (δ) Ως συνέπεια από την προηγούμενη παρατήρηση παίρνουμε τις παρακάτω ισότητες: (α) (β) f f (f (f ()) f (y) f (y)) f () y f(f (f()) A (y)) y yf(a) Παράδειγμα 5: Να αποδειχθεί ότι οι συναρτήσεις f()=α g()=lg α είναι αντίστροφες και Λύση: Πράγματι είναι: (α) D f =R=g(D g ) και f(d f )=(0+ )=D g (β) Έστω A και yf(a) ώστε f()=y Τότε f()=y α =y lg α y= g(y)= Άρα f g Γ) Συμμετρία των C f και C f Έστω οι συναρτήσεις f και f που περιγράφονται στο παρακάτω σχήμα:

72 ΕΝΟΤΗΤΑ 5-ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΚΑΙ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7 Τα γραφήματα των C f και C f είναι τα σύνολα: C f ={(00) (00) (00)} και C f ={(00) (00) (00)} Παρατηρούμε ότι (y) C f (y) C f Αυτή η σχέση ισχύει πάντα μεταξύ των γραφημάτων δύο αντίστροφων μεταξύ τους συναρτήσεων Όμως δύο σημεία Α(y) και Β(y) δηλαδή δύο σημεία με αντίστροφα τοποθετημένες τις συντεταγμένες τους είναι συμμετρικά ως προς την ευθεία y= (διχοτόμος του ου και ου τεταρτημορίου): C Συμπέρασμα: Οι C f και f είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y=